இரண்டு நேர் கோடுகளுக்கு இடையே உள்ள கோணம். ஒரு வழக்கமான முக்கோணப் பிரமிடில் அடித்தளத்தின் ஒரு பக்கத்தை சமமாக, விளிம்புகளுக்கு இடையே உள்ள கோணங்கள். விளிம்புகளுக்கு இடையே உள்ள கோணம் என்ன?
பணி
ஒரு வழக்கமான நாற்கர பிரமிட்டில், அடித்தளத்தின் பக்கமானது a மற்றும் உயரம் 3a ஆகும்.பக்க விலா எலும்புகள் மற்றும் பக்க முகங்களின் சாய்வின் கோணங்களை அடித்தளத்தின் விமானத்திற்குக் கண்டறியவும் .
தீர்வு.
அடித்தளத்தின் விமானத்திற்கு விலா எலும்புகளின் சாய்வின் கோணத்தைக் கண்டுபிடிப்போம்.
ஒரு வழக்கமான பிரமிட்டின் அடிப்பகுதியில் ஒரு வழக்கமான நாற்கரம் இருப்பதால், இந்த விஷயத்தில், அது ஒரு சதுரம். பிரமிட்டின் உயரம் அடித்தளத்தின் மையத்திற்கு திட்டமிடப்பட்டிருப்பதால், இது மூலைவிட்டங்களின் குறுக்குவெட்டு புள்ளியாகும். KN = a/2 எங்கிருந்து வருகிறது?
முக்கோணம் OKN செவ்வகமானது, சரி என்பது 3a க்கு சமமான உயரம்.
KNO என்ற கோணத்தின் தொடுகைக் கண்டுபிடிப்போம், அதை α எனக் குறிப்பிடுகிறோம்.
Tg α = சரி / KN
tg α = 3a / (a/2) = 6
α = ஆர்க்டான் 6 ≈ 80.5377°
பிரமிட்டின் விளிம்பின் சாய்வின் கோணத்தைக் கண்டுபிடிப்போம்.
a பக்கத்துடன் கூடிய சதுரத்தின் மூலைவிட்டமானது a√2க்கு சமம். அடித்தளத்தின் மையத்திற்கு உயரம் திட்டமிடப்பட்டிருப்பதால், இந்த இடத்தில் மூலைவிட்டங்கள் பாதியாக பிரிக்கப்படுகின்றன.
எனவே, ஒரு செங்கோண முக்கோண OKC க்கு, KCO கோணத்தின் தொடுகோடு (நாம் அதை β எனக் குறிப்பிடுகிறோம்) சமம்
Tg β = சரி / KC
tg β = 3a / (a√2/2) = 6 / √2
β = ஆர்க்டான் 6/√2 ≈ 76.7373°
பதில்: முகங்களின் சாய்வின் கோணம் arctg 6 ≈ 80.5377°; விலா எலும்புகளின் சாய்வின் கோணம் arctg 6/√2 ≈ 76.7373°
விமானம் ВСE (படம்.) விளிம்பில் AS க்கு செங்குத்தாக பக்க ВС வழியாக வரையப்பட்டது. பக்கவாட்டு முகங்களுக்கு இடையே உள்ள இருமுனை கோணங்கள் (அவை அனைத்தும் சமம்) கோணம் BEC = மூலம் அளவிடப்படுகிறது. φ . முக்கோண எடை ஐசோசெல்ஸ் ஆகும்.
பிரிவு பகுதி S மற்றும் கோணத்தை தீர்மானிக்க φ , DE (D என்பது BC யின் நடுப்பகுதி) கண்டுபிடித்தால் போதும். இதைச் செய்ய, BS ஐ வரிசையாகக் காண்கிறோம் (BSD முக்கோணத்திலிருந்து, BD = அ / 2 மற்றும் ∠BSD = α / 2 ).
பின்னர் BE (முக்கோண BSE இலிருந்து, ∠BSE = α ) மற்றும் இறுதியாக DE=√BE 2 -BD 2 . நாம் பெறுகிறோம்
குறிப்பு 1
. உச்சி S இல் உள்ள விமானக் கோணங்களின் கூட்டுத்தொகை எப்போதும் 360°க்கும் குறைவாகவே இருக்கும். எனவே 0<α
<120°. При этом условии 2cos α /
2
> 1, அதாவது, சமன்பாடு எப்போதும் ஒரு தீர்வு உள்ளது.
குறிப்பு 2 . என்றால் α >90°, அதாவது பக்க முகத்தின் உச்சியில் உள்ள கோணம் ASB மழுங்கலாக உள்ளது, பின்னர் ASB முக்கோணத்தின் உயரம் BE அடித்தளத்தின் தொடர்ச்சியைக் குறுக்கிடும், மேலும் விமானம் BEC பிரமிட்டின் எந்தப் பகுதியையும் கொடுக்காது. இதற்கிடையில் சூத்திரம்
மற்றும் ஒரு மழுங்கிய கோணத்தில் α (120°க்கும் குறைவானது, குறிப்பு 1ஐப் பார்க்கவும்) S இன் குறிப்பிட்ட மதிப்பைக் கொடுக்கும்.
பதில்: φ = 2 ஆர்க் சின் (1/2 நொடி α / 2 );
இதே போன்ற உதாரணங்கள்:
பிரமிட்டின் அடிப்பகுதியில் ஒரு செவ்வகம் உள்ளது. பக்க முகங்களில் ஒன்று ஐசோசெல்ஸ் முக்கோணத்தின் வடிவத்தைக் கொண்டுள்ளது மற்றும் அடித்தளத்திற்கு செங்குத்தாக உள்ளது; மற்ற முகத்தில், முதல் முகத்திற்கு எதிரே, சமமாக பக்கவாட்டு விளிம்புகள் உள்ளன பி , தங்களுக்கு இடையே 2 கோணத்தை உருவாக்குங்கள் α மற்றும் ஒரு கோணத்தில் முதல் முகத்தில் சாய்ந்திருக்கும் α . பிரமிட்டின் அளவு மற்றும் சுட்டிக்காட்டப்பட்ட இரண்டு முகங்களுக்கு இடையிலான கோணத்தை தீர்மானிக்கவும்.
நான் சுருக்கமாக சொல்கிறேன். இரண்டு நேர் கோடுகளுக்கு இடையே உள்ள கோணம் அவற்றின் திசை திசையன்களுக்கு இடையே உள்ள கோணத்திற்கு சமம். எனவே, திசை திசையன்கள் a = (x 1; y 1; z 1) மற்றும் b = (x 2; y 2; z 2) ஆகியவற்றின் ஆயங்களை நீங்கள் கண்டுபிடிக்க முடிந்தால், நீங்கள் கோணத்தைக் கண்டறியலாம். இன்னும் துல்லியமாக, சூத்திரத்தின்படி கோணத்தின் கொசைன்:
குறிப்பிட்ட எடுத்துக்காட்டுகளைப் பயன்படுத்தி இந்த சூத்திரம் எவ்வாறு செயல்படுகிறது என்பதைப் பார்ப்போம்:
பணி. ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 கனசதுரத்தில், E மற்றும் F புள்ளிகள் குறிக்கப்பட்டுள்ளன - முறையே A 1 B 1 மற்றும் B 1 C 1 விளிம்புகளின் நடுப்புள்ளிகள். AE மற்றும் BF கோடுகளுக்கு இடையே உள்ள கோணத்தைக் கண்டறியவும்.
கனசதுரத்தின் விளிம்பு குறிப்பிடப்படாததால், AB = 1 ஐ அமைப்போம். நாங்கள் ஒரு நிலையான ஒருங்கிணைப்பு அமைப்பை அறிமுகப்படுத்துகிறோம்: தோற்றம் A புள்ளியில் உள்ளது, x, y, z அச்சுகள் முறையே AB, AD மற்றும் AA 1 உடன் இயக்கப்படுகின்றன. யூனிட் பிரிவு AB = 1 க்கு சமம். இப்போது நமது வரிகளுக்கான திசை திசையன்களின் ஆயத்தொலைவுகளைக் கண்டுபிடிப்போம்.
திசையன் AE இன் ஆயத்தொலைவுகளைக் கண்டுபிடிப்போம். இதற்கு A = (0; 0; 0) மற்றும் E = (0.5; 0; 1) புள்ளிகள் தேவை. புள்ளி E என்பது A 1 B 1 பிரிவின் நடுப்பகுதி என்பதால், அதன் ஆயத்தொலைவுகள் முனைகளின் ஆய எண்கணித சராசரிக்கு சமமாக இருக்கும். திசையன் AE இன் தோற்றம் ஒருங்கிணைப்புகளின் தோற்றத்துடன் ஒத்துப்போகிறது, எனவே AE = (0.5; 0; 1).
இப்போது BF வெக்டரைப் பார்ப்போம். இதேபோல், B = (1; 0; 0) மற்றும் F = (1; 0.5; 1) புள்ளிகளை நாங்கள் பகுப்பாய்வு செய்கிறோம், ஏனெனில் F என்பது B 1 C 1 பிரிவின் நடுப்பகுதி. எங்களிடம் உள்ளது:
BF = (1 - 1; 0.5 - 0; 1 - 0) = (0; 0.5; 1).
எனவே, திசை திசையன்கள் தயாராக உள்ளன. நேர் கோடுகளுக்கு இடையே உள்ள கோணத்தின் கோசைன் திசை திசையன்களுக்கு இடையே உள்ள கோணத்தின் கோசைன் ஆகும், எனவே எங்களிடம் உள்ளது:
பணி. ஒரு வழக்கமான முக்கோண ப்ரிஸம் ABCA 1 B 1 C 1 இல், அனைத்து விளிம்புகளும் 1 க்கு சமமாக இருக்கும், D மற்றும் E புள்ளிகள் குறிக்கப்படுகின்றன - முறையே A 1 B 1 மற்றும் B 1 C 1 விளிம்புகளின் நடுப்புள்ளிகள். AD மற்றும் BE கோடுகளுக்கு இடையே உள்ள கோணத்தைக் கண்டறியவும்.
ஒரு நிலையான ஒருங்கிணைப்பு அமைப்பை அறிமுகப்படுத்துவோம்: தோற்றம் A புள்ளியில் உள்ளது, x அச்சு AB, z - AA 1 உடன் இயக்கப்படுகிறது. OXY விமானம் ABC விமானத்துடன் ஒத்துப்போகும் வகையில் y- அச்சை இயக்குவோம். அலகு பிரிவு AB = 1 க்கு சமம். தேவையான கோடுகளுக்கான திசை திசையன்களின் ஆயத்தொகுப்புகளைக் கண்டுபிடிப்போம்.
முதலில், திசையன் AD இன் ஆயத்தொலைவுகளைக் கண்டுபிடிப்போம். புள்ளிகளைக் கவனியுங்கள்: A = (0; 0; 0) மற்றும் D = (0.5; 0; 1), ஏனெனில் D - A 1 B 1 பிரிவின் நடுப்பகுதி. திசையன் AD இன் ஆரம்பம் ஆயத்தொலைவுகளின் தோற்றத்துடன் ஒத்துப்போவதால், நாம் AD = (0.5; 0; 1) ஐப் பெறுகிறோம்.
இப்போது திசையன் BE இன் ஆயத்தொலைவுகளைக் கண்டுபிடிப்போம். புள்ளி B = (1; 0; 0) கணக்கிட எளிதானது. புள்ளி E உடன் - C 1 B 1 பிரிவின் நடுப்பகுதி - இது இன்னும் கொஞ்சம் சிக்கலானது. எங்களிடம் உள்ளது:
![](https://i1.wp.com/berdov.com/img/ege/solid_geometry/line/formula3.png)
கோணத்தின் கோசைனைக் கண்டுபிடிக்க இது உள்ளது:
![](https://i1.wp.com/berdov.com/img/ege/solid_geometry/line/formula4.png)
பணி. ஒரு வழக்கமான அறுகோண ப்ரிஸத்தில் ABCDEFA 1 B 1 C 1 D 1 E 1 F 1 , இதன் அனைத்து விளிம்புகளும் 1 க்கு சமமாக இருக்கும், K மற்றும் L புள்ளிகள் முறையே A 1 B 1 மற்றும் B 1 C 1 விளிம்புகளின் நடுப்புள்ளிகள் குறிக்கப்படுகின்றன. . AK மற்றும் BL கோடுகளுக்கு இடையே உள்ள கோணத்தைக் கண்டறியவும்.
ஒரு ப்ரிஸத்திற்கான நிலையான ஒருங்கிணைப்பு அமைப்பை அறிமுகப்படுத்துவோம்: கீழ் அடித்தளத்தின் மையத்தில் ஆயத்தொலைவுகளின் தோற்றத்தை வைக்கிறோம், x அச்சு FC வழியாக இயக்கப்படுகிறது, y அச்சு AB மற்றும் DE மற்றும் z பிரிவுகளின் நடுப்புள்ளிகள் வழியாக இயக்கப்படுகிறது. அச்சு செங்குத்தாக மேல்நோக்கி இயக்கப்படுகிறது. யூனிட் பிரிவு மீண்டும் AB = 1 க்கு சமம். நமக்கு ஆர்வமுள்ள புள்ளிகளின் ஆயங்களை எழுதுவோம்:
![](https://i1.wp.com/berdov.com/img/ege/solid_geometry/line/formula5.png)
புள்ளிகள் K மற்றும் L ஆகியவை முறையே A 1 B 1 மற்றும் B 1 C 1 பிரிவுகளின் நடுப்புள்ளிகள் ஆகும், எனவே அவற்றின் ஆய எண்கணித சராசரி மூலம் கண்டறியப்படுகிறது. புள்ளிகளை அறிந்தால், திசை திசையன்களான AK மற்றும் BL இன் ஆயங்களை நாங்கள் காண்கிறோம்:
![](https://i1.wp.com/berdov.com/img/ege/solid_geometry/line/formula6.png)
இப்போது கோணத்தின் கோசைனைக் கண்டுபிடிப்போம்:
![](https://i0.wp.com/berdov.com/img/ege/solid_geometry/line/formula7.png)
பணி. ஒரு வழக்கமான நாற்கர பிரமிடு SABCD இல், அதன் அனைத்து விளிம்புகளும் 1 க்கு சமமாக இருக்கும், E மற்றும் F புள்ளிகள் குறிக்கப்படுகின்றன - முறையே SB மற்றும் SC பக்கங்களின் நடுப்புள்ளிகள். AE மற்றும் BF கோடுகளுக்கு இடையே உள்ள கோணத்தைக் கண்டறியவும்.
ஒரு நிலையான ஒருங்கிணைப்பு அமைப்பை அறிமுகப்படுத்துவோம்: தோற்றம் புள்ளி A இல் உள்ளது, x மற்றும் y அச்சுகள் முறையே AB மற்றும் AD உடன் இயக்கப்படுகின்றன, மேலும் z அச்சு செங்குத்தாக மேல்நோக்கி இயக்கப்படுகிறது. அலகு பிரிவு AB = 1 க்கு சமம்.
புள்ளிகள் E மற்றும் F ஆகியவை முறையே SB மற்றும் SC பிரிவுகளின் நடுப்புள்ளிகளாகும், எனவே அவற்றின் ஆய எண்கள் எண்கணித சராசரியாகக் காணப்படுகின்றன. எங்களுக்கு ஆர்வமுள்ள புள்ளிகளின் ஆயங்களை எழுதுவோம்:
A = (0; 0; 0); பி = (1; 0; 0)
![](https://i1.wp.com/berdov.com/img/ege/solid_geometry/line/formula8.png)
புள்ளிகளை அறிந்தால், திசை திசையன்களான AE மற்றும் BF இன் ஆயத்தொலைவுகளைக் காண்கிறோம்:
![](https://i2.wp.com/berdov.com/img/ege/solid_geometry/line/formula9.png)
திசையன் AE இன் ஆயத்தொலைவுகள் புள்ளி E இன் ஆயத்தொலைவுகளுடன் ஒத்துப்போகின்றன, ஏனெனில் புள்ளி A என்பது தோற்றம். கோணத்தின் கோசைனைக் கண்டுபிடிக்க இது உள்ளது:
![](https://i1.wp.com/berdov.com/img/ege/solid_geometry/line/formula10.png)