Быстрое умножение двузначных. Что поможет в быстром обучении. Деление на однозначное число

20.09.2019

Умножение двузначных чисел - навык, крайне необходимый для нашей повседневной жизни. Люди постоянно сталкиваются с потребностью перемножить что-либо в уме: ценник в магазине, массу продуктов или размер скидки. Но как умножать двузначные числа быстро и без проблем? Давайте разберемся.

Как умножить двузначное число на однозначное?

Начнем с простой задачи - как умножать двузначные числа на однозначные.

Для начала, двузначное число - это такое число, которое состоит из определенного количества десятков и единиц.

Для того чтобы умножить двузначное число на однозначное в столбец, нужно написать нужное двузначное число, а под ним соответствующее однозначное. Далее следует поочередно умножить на заданное число сначала единицы, а потом - десятки. Если при умножении единиц получилось число больше 10, то количество десятков нужно просто перенести в следующий разряд, прибавив их.

Умножение двузначных чисел на десятки

Умножение двузначных чисел на десятки - задача ненамного сложнее, чем умножение на однозначные числа. Основной порядок действий остается тем же:

Выписать числа друг под другом в столбец, при этом нуль должен находиться как бы «сбоку», чтобы не мешать при арифметических действиях.
Умножить двузначное число на количество десятков, не забыть про перенос некоторых цифр в следующие разряды.
Единственное, что отличает этот пример от предыдущего - в конце получившегося ответа нужно добавить нуль, так что десятки, которые были опущены в начале, становятся учтенными.

Как перемножить два двузначных числа?

После того как вы полностью разобрались с умножением двузначных и однозначных чисел, можно начинать думать, как умножать столбиком двузначные числа друг на друга. На самом деле это действие тоже не должно потребовать от вас больших усилий, так как принцип все еще остается тем же.

Выписываем данные числа в столбец - единицы под единицами, десятки под десятками.
Начинаем умножение с единицы точно так же, как в примерах с однозначными числами.
После того как вы получили первое число, умножив единицы на данную цифру, нужно таким же образом умножить десятки на эту же цифру. Внимание: ответ нужно записывать строго под десятками. Пустое место под единицами - это неучтенный нуль. Вы можете записывать его, если вам так удобнее.
Перемножив и десятки, и единицы и получив два числа, записанных одно под одним, их нужно сложить в столбец. Получившееся значение и является ответом.

Как правильно умножать двузначные числа? Для этого недостаточно просто прочитать или выучить приведенную инструкцию. Помните, для того чтобы освоить принцип, как умножать двузначные числа, в первую очередь нужно постоянно практиковаться - решать как можно больше примеров, как можно реже пользоваться калькулятором.

Как умножать в уме

Научившись блестяще умножать на бумаге, можно задаться вопросом, как быстро умножить двузначные числа в уме.

Конечно, это не самая простая задача. Она требует некоторой концентрации, хорошей памяти, а также способности удерживать в голове некоторое количество информации. Однако и этому можно научиться, приложив достаточно усилий, тем более если подобрать правильный алгоритм. Очевидно, что легче всего умножать на круглые числа, поэтому самым простым способом является разложение чисел на множители.

Для начала следует разбить одно из данных двузначных чисел на десятки. Например, 48 = 4 × 10 + 8.
Далее нужно последовательно перемножить сначала единицы, а потом десятки со вторым числом. Это достаточно сложные для выполнения в уме операции, так как нужно одновременно умножать числа друг на друга и держать в уме уже получившийся результат. Вероятнее всего, вам будет трудно справиться с этой задачей с первого раза, но, если быть достаточно усердным, этот навык можно развить, ведь понять, как правильно умножать двузначные числа в уме, можно только на практике.

Некоторые хитрости при умножении двузначных чисел

Но существует ли более легкий способ в уме умножать двузначные числа, и как это сделать?

Есть несколько хитростей. Они помогут вам легко и быстро умножать двузначные числа.

При умножении на одиннадцать нужно просто поставить сумму десятков и единиц в середину данного двузначного числа. К примеру, нам понадобилось умножить 34 на 11.

Ставим 7 в середину, 374. Это и есть ответ.

Если при сложении получается число больше 10, то следует просто добавить единицу к первому числу. Например, 79 × 11.

Иногда легче разложить число на множители и последовательно умножить их. Например, 16 = 2 × 2 × 2 × 2, поэтому можно просто 4 раза умножить исходное число на 2.

14 = 2 × 7, поэтому при выполнении математических операций можно умножить сначала на 7, а потом на 2.

Для того чтобы умножить число на числа, кратные 100, например, 50 или 25, можно умножить это число на 100, а потом разделить на 2 или 4 соответственно.
Еще нужно помнить, что иногда при умножении легче не складывать, а отнимать числа друг от друга.

Например, чтобы умножить число на 29, можно сначала умножить его на 30, а потом отнять от полученного числа данное число один раз. Это правило справедливо для любых десятков.

Не любишь математику? Ты просто не умеешь ею пользоваться! На самом деле, это увлекательная наука. И наша подборка необычных методов умножения подтверждает это.

Умножай на пальцах, как купец

Этот метод позволяет умножать числа от 6 до 9 . Для начала согни обе руки в кулаки. Затем на левой руке отогни столько пальцев, на сколько первый множитель больше числа 5. На правой проделай то же самое для второго множителя. Посчитай количество разогнутых пальцев и умножь сумму на десять. А теперь перемножь сумму загнутых пальцев левой и правой руки. Сложив обе суммы, получишь результат.

Пример. Умножим 6 на 7. Шесть больше пяти на один, значит на левой руке отгибаем один палец. А семь - на два, значит на правой - два пальца. В сумме - это три, а после умножения на 10 - 30. Теперь перемножим четыре загнутых пальца левой руки и три - правой. Получим 12. Сумма 30 и 12 даст 42.

Вообще-то здесь речь идет о простой таблице умножения, которую хорошо бы знать наизусть. Но этот метод хорош для самопроверки, да и пальцы размять полезно.

Умножай, как Ферроль

Этот способ получил название по фамилии немецкого инженера, который им пользовался. Метод позволяет быстро перемножить числа от 10 до 20 . Если потренируешься, то сможешь делать это даже в уме.

Суть простая. В итоге всегда будет получаться трехзначное число. Так что сначала считаем единицы, потом - десятки, затем - сотни.

Пример. Умножим 17 на 16. Чтобы получить единицы, умножаем 7 на 6, десятки - складываем произведение 1 и 6 с произведением 7 и 1, сотни - умножаем 1 на 1. В итоге получим 42, 13 и 1. Для удобства запишем их в столбик и сложим. Вот и итог!

Умножай, как японец

Этот графический способ, которым пользуются японские школьники, позволяет легко перемножить двух- и даже трехзначные числа. Чтобы опробовать его, приготовь бумагу и ручку.

Пример. Умножим 32 на 143. Для этого нарисуем сетку: первое число отразим тремя и двумя линиями с отступом по горизонтали, а второе - одной, четырьмя и тремя линиями по вертикали. В местах пересечения линий поставим точки. В итоге у нас должно получиться четырехзначное число, поэтому условно разделим таблицу на 4 сектора. И пересчитаем точки, попавшие в каждый из них. Получаем 3, 14, 17 и 6. Чтобы получить ответ, лишние единички у 14 и 17 прибавим к предыдущему числу. Получим 4, 5 и 76 - 4576.

Умножай, как итальянец

Еще один интересный графический способ используется в Италии. Пожалуй, он проще японского: точно не запутаешься при переносе десятков. Чтобы перемножить большие числа с его помощью, нужно начертить сетку . По горизонтали сверху записываем первый множитель, а по вертикали справа - второй. При этом на каждую цифру должна приходиться одна клетка.

Теперь перемножим цифры каждого ряда на цифры каждой колонки. Результат запишем в клетку (разделенную надвое) на их пересечении. Если получилось однозначное число, то в верхнюю часть клетки пишем 0, а в нижнюю - полученный результат.

Осталось сложить все числа, оказавшиеся в диагональных полосках. Начинаем с нижней правой клетки. Десятки при этом прибавляем к единицам в соседнем столбике.

Вот как мы умножили 639 на 12.

Весело, правда? Нескучной тебе математики! И помни, что гуманитарии в ИТ тоже нужны!

Ребенка просто научить умножать столбиком, если делать это в игровой форме.

Математика — это сложная наука почти для каждого ребенка. Родителям приходится заставлять своего чада выполнять домашние задания, ведь это необходимо не только для получения хороших оценок в школе, но и для развития
Напряженная работа мозга помогает развить память, интеллект, внимание и приобрести отличные навыки счета
Все качества, приобретенные в школе, будут полезными в будущей жизни. Считать нужно уметь не только ученым, но и рабочим, и домохозяйкам. Одно из самых сложных действий — это умножение. Оно дается сразу не каждому ребенку

Важно: Ученику начальной школы порой нужно несколько уроков, чтобы понять это действие. Но, ведь учителя требуют в течение нескольких дней после подачи материала, выучить таблицу умножения.

Научить ребенка умножению — это реальная задача, но придется запастись терпением. Занятие должны быть регулярными, ведь только система поможет добиться желаемых результатов.

Важно: Если ребенок еще маленький (5, 6, 7 лет), необходимо приготовить наглядные пособия в виде монет, картинок или карточек для счета. Сделайте занятия в игровой форме. Длиться они должны не более 20 минут.

Расскажите ребенку, что умножение — это повторение, сложение одинаковых чисел
Напишите на листе бумаги примеры: 2+2+2+2+2 и 2х5
Сделайте вместе с ребенком сравнение, как быстрее подсчитать сложением или умножением
Чтобы закрепить эту полученную информацию, приведите примеры из жизни, но они должны быть не выдуманными. Например, к ребенку в гости идут 7 друзей. Для них готово лакомство — по 2 конфеты. Как быстрее подсчитать — сложением или умножением? Подсчитайте вместе с малышом и запишите на бумаге в виде примера: 7х2=14

Совет: Сразу объясните малышу, что 3х5=5х3. Благодаря этому вы уменьшите количество информации, которую ему придется заучивать.

Когда пройдет несколько занятий, таблица умножения будет выучена, тогда можно начинать объяснять ребенку умножение столбиком двухзначных и трехзначных чисел.

Дети уже в третьем классе начинают проходить умножение в столбик на двухзначные и трехзначные числа. Но сначала необходимо объяснить умножение на однозначное число, например, 76х3:

Сначала умножаем 3 на 6, получается 18 — 1 десяток и восемь единиц, 8 единиц пишем, а 1 запоминаем. Единицу мы потом будем прибавлять к десяткам
Теперь умножаем 3 на 7, получается 21 десяток + единица, которую запоминали, получилось 22 десятка
Используем правило умножения в столбик: последнюю цифру оставляем, а ниже записываем десятки, получилось 228

Правило умножения в столбик: Сразу расскажите ребенку, что при умножении в столбик нужно записывать цифры аккуратно, ведь от этого зависит результат. Разряды единиц пишутся под единицами, а десятки — под десятками.

Двух-, трех-, четырехзначные числа можно умножить на однозначные в уме. Когда ребенок станет немного старше, он так и будет делать. Но умножать на двухзначное число в уме ему еще сложно. Поэтому применяется снова действие в столбик.

Пример : Делаем умножение на двузначное число — 45х75:

Под числом 45 записываем 75 по правилу: единицы под единицами, десятки под десятками
Умножение начинаем делать с единиц: 25 — 5 пишем, 2 запоминаем, чтобы потом прибавить к десяткам
Умножаем 5 на 4, получается 20. Прибавляем к десяткам 2, получается 22. Записываем впереди цифры 5, получается 225
7х5=35. Цифру 5 записываем под десятками, 3 запоминаем и будем ее записывать потом в сотни
7х4=28 сотен. Прибавляем 3, получается 31 сотня. Записываем по правилу умножения в столбик
Складываем неполные произведения — единицы, десятки и сотни и получаем результат: 45х75=3375

Есть такие люди, которые производят умножение трехзначных чисел в уме. Ребенку, естественно, сложно это делать, поэтому он должен оттачивать навыки на бумаге.

Умножение на трехзначное число производится по такому же принципу, как и умножение на двухзначное число:

Сначала умножаются единицы и записываются в строку
Ниже будут записаны десятки по правилу умножения в столбик
Третьей строкой записывается произведение сотен
В итоге получатся тысячи, сотни, десятки и единицы, которые нужно сложить

Важно: Если нужно умножить двузначное число на трех- или четырехзначное число, то запись в столбик выполняется таким образом, чтобы наибольшее число было вверху, а наименьшее снизу. Благодаря этому действию придется сделать меньше записей, а умножать будет легче.

Как умножать столбиком двузначные числа мы рассмотрели выше, а как умножить большое число на двузначное следует разобрать подробнее:

Пример : 4325х23

Сначала умножаем 3 на 5, на 2, на 3 и на 4. Записываем единицы, десятки, сотни и тысячи
Теперь умножаем 2 на 5, на 2, на 3 и на 4. Также записываем, но уже десятки под десятками, сотни под сотнями, а тысячи под тысячами
Складываем по правилу и получаем результат: 4325х23=99475

Важно : Чтобы ребенок научился хорошо умножать сложные числа, необходимо с ним много заниматься. Эти занятия должны быть непродолжительными, но систематичными.

Алгоритм умножения чисел заключается в применении таблицы умножения. Поэтому ребенок сначала должен досконально выучить таблицу умножения, а потом учиться выполнять действие со сложными числами.

Важно : Таблицу умножения надо знать хорошо для того, чтобы не тратить время на поиск нужного результата при выполнении умножения сложных чисел.

Важно : Чтобы быстро выучить таблицу умножения, можно тренироваться, умножая столбиком. Так получится закрепить знания, и потренировать память.

Ребенку будет легче запомнить таблицу умножения в стихотворной форме, а занимательный персонаж поможет ему в этом.

Некоторые способы быстрого устного умножения мы уже с Вами разобрали, теперь давайте подробнее разберемся, как быстро умножать числа в уме, используя различные вспомогательные способы. Вы, возможно, уже знаете, а некоторые из них довольно экзотические, например, древний китайский способ умножения чисел.

Раскладка по разрядам

Является самым простым приемом быстрого умножения двухзначных чисел. Оба множителя нужно разбить на десятки и единицы, а затем все эти новые числа перемножить друг на друга.

Данный способ требует умения удерживать в памяти одновременно до четырех чисел, и делать с этими числами вычисления.

К примеру, нужно перемножить числа 38 и 56 . Делаем это следующим образом:

38 * 56 = (30 + 8) * (50 + 6) = 30 * 50 + 8 * 50 + 30 * 6 + 8 * 6 = 1500 + 400 + 180 + 48 = 2128 Еще проще будет делать устное умножение двухзначных чисел в три действия. Сначала нужно перемножить десятки, затем прибавить два произведения единиц на десятки, и затем прибавить произведение единиц на единицы. Выглядит это так: 38 * 56 = (30 + 8) * (50 + 6) = 30 * 50 + (8 * 50 + 30 * 6) + 8 * 6 = 1500 + 580 + 48 = 2128 Для того, чтобы успешно пользоваться этим способом, нужно хорошо знать таблицу умножения, уметь быстро складывать двухзначные и трехзначные числа , и переключаться между математическими действиями, не забывая промежуточные результаты. Последнее умение достигается с помощью и визуализации.

Данный способ не самый быстрый и эффективный, потому стоит изучить еще и другие способы устного умножения.

Подгонка чисел

Можно попробовать привести арифметическое вычисление к более удобному виду. Например, произведение чисел 35 и 49 можно себе представить таким образом: 35 * 49 = (35 * 100) / 2 - 35 = 1715
Этот способ может оказаться более эффективным, чем предыдущий, но он не универсальный, и подходит не ко всем случаям. Не всегда можно найти подходящий алгоритм для упрощения задачи.

На эту тему вспомнился анекдот про то, как математик проплывал по реке мимо фермы, и заявил собеседникам, что ему удалось быстро подсчитать количество овец в загоне, 1358 овец. Когда его спросили, как ему это удалось, он сказал, что все просто - нужно подсчитать количество ног, и разделить на 4.

Визуализация умножения в столбик

Этот один из самых универсальных способов устного умножения чисел, развивающий пространственное воображение и память. Для начала следует научиться умножать в столбик в уме двухзначные числа на однозначные. После этого Вы легко сможете умножать двухзначные числа в три действия. Сначала двухзначное число нужно умножить на десятки другого числа, затем умножить на единицы другого числа, и после этого просуммировать полученные числа.

Выглядит это таким образом: 38 * 56 = (38 * 5) * 10 + 38 * 6 = 1900 + 228 = 2128

Визуализация с расстановкой чисел

Очень интересный способ перемножения двухзначных чисел следующий. Нужно последовательно перемножить цифры в числах, чтобы получились сотни, единицы и десятки.

Допустим, Вам нужно умножить 35 на 49 .

Сначала перемножаете 3 на 4 , получаете 12 , затем 5 и 9 , получаете 45 . Записываете 12 и 5 , с пробелом между ними, а 4 запоминаете.

Получаете: 12 __ 5 (запоминаете 4 ).

Теперь умножаете 3 на 9 , и 5 на 4 , и суммируете: 3 * 9 + 5 * 4 = 27 + 20 = 47 .

Теперь нужно к 47 прибавить 4 , которое мы запомнили. Получаем 51 .

Пишем 1 в середине, а 5 прибавляем к 12 , получаем 17 .

Итого, число, которое мы искали, 1715 , оно является ответом:

35 * 49 = 1715
Попробуйте таким же образом перемножить в уме: 18 * 34, 45 * 91, 31 * 52 .

Китайское, или японское, умножение

В азиатских странах принято умножать числа не в столбик, а рисуя линии. Для восточных культур важно стремление к созерцанию, и визуализации, поэтому, наверное, они и придумали такой красивый метод, позволяющий перемножать любые числа. Сложен этот способ только на первый взгляд. На самом деле, большая наглядность позволяет использовать этот способ гораздо эффективнее, чем умножение в столбик.

Кроме того, знание этого древнего восточного етода повышает Вашу эрудицию. Согласитесь, не каждый может похвастаться тем, что знает древнюю систему умножения, которой китайцы пользовались еще 3000 лет назад.

Видео о том, как китайцы перемножают числа

Более подробные сведения Вы можете получить в разделах "Все курсы" и "Полезности", в которые можно перейти через верхнее меню сайта. В этих разделах статьи сгруппированы по тематикам в блоки, содержащие максимально развернутую (насколько это было возможно) информацию по различным темам.

Также Вы можете подписаться на блог, и узнавать о всех новых статьях.
Это не займет много времени. Просто нажмите на ссылку ниже:

Существуют три общих способа: прямое умножение, метод опорного числа и метод Трахтенберга.

Освойте их все, так как каждый может быть более предпочтительным в той или иной ситуации.

Отрабатывать полученные навыки можно с помощью тренировочной таблицы.

Прямое умножение

Этот метод удобен, когда один из множителей находится в диапазоне 12-18 или заканчивается на 1, а другой значительно от него отличается.

Один из множителей мысленно разбивают на десятки и единицы. Затем умножают другой множитель на десятки, потом на единицы и складывают.

Например, 62×13 = 62×10 + 62×3 = 620 + 186 = 806.

Иногда удобно разбивать на десятки и единицы больший множитель: 42×17 = 17×40 + 17×2 = 714.

Метод опорного числа

Для освоения метода требуется небольшая практика, однако он очень удобен, когда два множителя - близкие числа. В частности, это основной способ для возведения двузначных чисел в квадрат.

Опорное число - это круглое число, близкое к обоим множителям. Оно может быть меньше обоих множителей, больше обоих множителей или находится между ними.

В качестве опорного числа следует выбирать числа, на которые легко умножать. Например, 50 или 100, если они близки к двум множителям.

В зависимости от того, как соотносятся опорное число и множители, техника умножения немного различается.

а. Опорное число меньше двух множителей. Например, нужно умножить 32 на 36.

Опорное число - 30. Множители больше опорного числа на 2 и 6.
Добавьте к первому множителю 6 и умножьте на опорное число: 38 × 30 = 1140.
Добавьте произведение 2 и 6: 1140 + 2×6 = 1152.

б. Опорное число больше двух множителей. Например, нужно умножить 43 на 48.

Опорное число - 50. Множители меньше опорного числа на 7 и 2.
Вычтите из первого множителя 2 и умножьте на опорное число: 41 × 50 = 2050.
Добавьте произведение 7 и 2: 2050 + 7×2 = 2064.

в. Опорное число - между множителями. Например, нужно умножить 37 на 42.

Опорное число - 40. Первый множитель меньше на 3, второй - больше на 2.
Добавьте к меньшему множителю 2 и умножьте на опорное число: 39 × 40 = 1560.
Вычтите произведение 3 и 2: 1440 − 3×2 = 1554.

Метод Трахтенберга

Поскольку метод Трахтенберга не совсем привычен, при его освоении лучше иметь множители перед глазами. В дальнейшем практикуйтесь без записи исходных чисел.

Разберем метод на примере умножения 87 на 32.

Представьте числа последовательно: 8732. Перемножьте два внутренних числа (7 и 3), два внешних числа (8 и 2) и сложите. Получается 37.
Перемножьте десятки: 80×30 = 2400. Добавьте 37×10. Получается 2770.
Добавьте произведение единиц (7 и 2). Итого 2784.

Из всех наук математика пользуется особым уважением, потому что ее теоремы абсолютно верны и неоспоримы, тогда как законы других наук в известной степени спорны и всегда существует опасность их опровержения новыми открытиями.

Школьники начальных классов должны уметь производить в уме несложные арифметические вычисления. Например, дети должны уметь складывать и вычитать в уме двузначные и трехзначные числа.

У взрослых сложение и вычитание двузначных и трехзначных чисел не вызывает затруднений, так как взрослый человек самостоятельно выработал для себя способы элементарного устного счета.

80 - 67 = 80 - 60 - 7 = 20 - 7 = 13 (отделение разряда единиц при вычитании)

Комбинации разных способов

79 - 50 (прибавление к числам единицы)

70 - 50 + 9 = 20 + 9 = 29 (отделение разряда единиц)

80 + 67 (перенос единицы с числа 68 на число 79)

80 + 67 = 80 + 20 + 47 = 100 + 47 = 147

Аналогичными способами легко складываются и вычитаются в уме и трехзначные числа.

300 + 57 (+3) + 38(-3) (перенос тройки с 38 на 57)

287 (+1) - 29 (+1) (прибавление единицы к уменьшаемому и к вычитаемому)

419-297(400-200), 219 (+3) - 97 (+3) (прибавление тройки к уменьшаемому и к вычитаемому).

Одним из приемов ускоренного умножения является прием перекрестного умножения, весьма удобный при действии с двузначными числами. Способ не нов; он восходит к грекам и индусам и в старину назывался "способом молнии" или "умножением крестиком".

"Умножением крестиком".

Пусть требуется перемножить 2432.Мысленно располагаем числа по следующей схеме, одно под другим:

Теперь последовательно производим следующие действия:

1) 42=8-это последняя цифра результата;

2) 22=4; 43=12; 4+12=16; 6-средняя цифра результата; единицу запоминаем;

3) 23=6 да еще удержанная в уме единица, имеем 7-это первая цифра результата.

Получаем все цифры произведения: 7, 6, 8=768

Другой способ, состоящий в употреблении так называемых "дополнений".удобно применяется в тех случаях. когда перемножаемые числа близки к 100.Полученный результат верен, наглядно видно из следующих преобразований;

8896=88(100-4)=88100-884

496= 4(88+8)= 48+884

929 =8832+0

Таблица умножения на "9".

Существует огромное множество приемов ускоренного выполнения арифметических действий-приемов, предназначаемых для обиходных вычислений.

Возведение в квадрат чисел, оканчивающихся на "5".

Чтобы возвести в квадрат число, например 65, надо к разряду десятков прибавить 1(т. е.6+1=7) и умножить 6*7=42, а 5*5=25. Значит, =4225

35*35

=1225 3*4=12

все ответы заканчиваются числом 25. Но как получаются первые две цифры ответа? Они получаются умножением цифры десятков на следующее за ней натуральное число . Чтобы возвести в квадрат число, например 65, надо к разряду десятков прибавить 1(т. е.6+1=7) и умножить 6*7=42, а 5*5=25. Значит =4225.

Запоминания таблицы значений Sin, Cos, tg для острых углов.

Видите, пальцы левой руки образуют углы:

мизинец-0 (нулевой палец)

безымянный-30 (первый палец)

средний-45 (второй палец)

указательный- 60(третий палец)

большой-90 (четвёртый палец)

Зная синусы, можно заполнить косинусы (наоборот),тангенсы и котангенсы острых углов.

Способ умножения чисел близких к 100

Пример: 95 * 93

Чтобы получить 2 последние цифры ответа (десятки и единицы), нужно

Чтобы получить первые 2 цифры ответа (тысячи и сотни), надо

4) 93 - 5 = 88 или (95 - 7 = 88)

Получим 8835

Пример 2: 98 * 92

Получим 9016

Предположим, что требуется перемножить 92*96.Дополнение для 92 до 100 будет 8, а для 86-4. Действие производят по следующей схеме:

Множители: 92 и 96.

Дополнения: 8 и 4.

Первые две цифры результата получаются простым вычитанием из множителя "дополнения" множимого или наоборот: т.е. из 92 вычитают 4 или из 96-8.В том и другом случае имеем 88;к этому числу приписывают произведение "дополнений":8?4=32.Получаем результат 8832.

Еще пример - требуется перемножить 78 на 77:

Множители:78 и 77.

Дополнения: 22 и 23.

Числа 1, 5 и 6

Вероятно, все знают, что от перемножения ряда чисел, оканчивающихся на 1, 5 или 6, получается число, оканчивающее той же цифрой.

46 = 2116; 46 = 97 336

Извлечение из под корня

1). Чтобы извлечь число из под корня, например, разделим это число по два разряда справа налево так: = 568

1. Разбиваем число (5963364) на пары справа налево (5`96`33`64)

2. Извлекаем квадратный корень из первой слева группы (число 2). Так мы получаем первую цифру числа.

3. Находим квадрат первой цифры (2 2 =4).

4. Находим разность первой группы и квадрата первой цифры (5-4=1).

5. Сносим следующие две цифры (получили число 196).

6. Удваиваем первую, найденную нами цифру, записываем слева за чертой (2*2=4).

7. Теперь необходимо найти вторую цифру числа: удвоенная первая цифра, найденная нами, становится цифрой десятков числа, при умножении которого на число единиц, необходимо получить число меньшее 196 (это цифра 4, 44*4=176). 4 - вторая цифра числа.

8. Находим разность (196-176=20).

9. Сносим следующую группу (получаем число 2033).

10. Удваиваем число 24, получаем 48.

11. 48 десятков в числе, при умножении которого на число единиц, мы должны получить число меньшее 2033 (484*4=1936). Найденная нами цифра единиц (4) и есть третья цифра числа.

Числа 10, 11, 12, 13 и 14 обладают удивительной особенностью. Кто бы мог подумать что

10 2 + 11 2 + 12 2 = 13 2 + 14 2 . Докажем это: 100 + 121 +144 = 169 + 196

Сложение чисел, близких друг к другу по величине.

В практике технических и торговых вычислений нередки случаи, когда приходится складывать столбцы чисел, близких друг к другу по величине. Например;

Для сложения таких чисел применяется следующий прием

40*7=280, 3-2-1+5+1-1+2=7, 280+7=287.

Точно также находим сумму:

750*6+1=4501

Среднее арифметическое чисел, близких между собой по величине

Руб.
465
473
475
467
478
474
468
472

Сходным образом поступают, когда находят среднее арифметическое чисел, близких между собой по величине. Найдем например, среднюю из следующих цен:

Намечаем на глаз круглую цену, близкую к средней, т.е. 470 рублей. Записываем отклонения всех цен от средней: избытки со знаком плюс +, недостатки со знаком -.

Получаем: -5+3+5-3+8+4-2+2=12. Деля сумму отклонений на их количество. Имеем:12:8=1,5.

Отсюда искомая средняя цена 470+1,5=471,5(471 рублей 50 копеек).

Умножение на числа 5, 25, 125

Перейдем к умножению.

Здесь, прежде всего, укажем, что умножение на числа 5, 25, 125 значительно ускоряется, если иметь в виду следующее:

Поэтому, например,

Умножение на 15.

При умножении на 15 можно воспользоваться тем, что

Поэтому легко производить в уме вычисления вроде таких:

36*15=360*1=360+180=540,

Или проще: 36*1*10=540;

Умножение на 11.

При умножении на 11 нет надобности писать пять строк:

Достаточно лишь под умноженным числом подписать его еще раз, отодвинув на одну цифру:

4213 или 4213 и произвести сложение.

Полезно запомнить результаты умножения первых девяти чисел на 12, 13, 14, 15.Тогда умножение многозначных чисел на такие множители значительно ускоряется. Пусть требуется умножить

Поступаем так. Каждую цифру множимого умножаем в уме сразу на 13:

7*13=91; 1 пишем, 9 запоминаем;

8*13=104;104+9=113; 3 пишем, 11 запоминаем;

5*13=65;65+11=76; 6 пишем; 7 запоминаем;

4*13=52; 52+7=59.

Итого 59631.

После нескольких упражнений прием этот легко запоминается.

Весьма удобный прием существует для умножения двузначных чисел на 11: надо раздвинуть цифры множимого и вписать между ними их сумму:

Если же сумма цифр двузначная, то число ее десятков прибавляют к первой цифре множимого:

48*11=4(12)8,то есть 528.

Деление на 5; 25; 125.

Укажем некоторые приемы ускоренного деления.

При делении на 5 умножают делимое и делитель на 2:

3471:5=6942:10=694,2

При делении на 25 умножают оба числа на 4:

3471;25=13884:100=138,84. Аналогичным образом поступают при делении на 1(=1,5) и на 2(=2,5); 3471: 1=6942:3=2314; 3471: 2,5=13884:10=1388,4

Русский способ уножения.

Вот пример:

32*13; 16*26; 8*52; 4*104; 2*208; 1*416

Деление пополам продолжают до тех пор, пока в частном не получится 1, параллельно удваивая другое число. Последнее удвоенное число и дает искомый результат.

Как поступить, если при этом приходится делить пополам число нечетное? В случае нечетного числа откинуть единицу и делить остаток пополам; но зато к последнему числу правого столбца нужно будет прибавить все те числа этого столбца, которые стоят против нечетных чисел левого столбца: сумма и будет искомым произведением.19*17; 9*34; 4*68; 2*136; 1*272. Сложив незачеркнутые числа, получаем правильный результат: 17+34+272=323.

Умножение чисел, оканчивающихся на 5.

При умножении пары чисел, у которых цифры десятков были четные или нечетные, а цифра единиц 5, надо перемножить цифры десятков и к их произведению прибавить полусумму этих цифр. Получим число сотен. К числу сотен надо прибавить произведение 5*5=25.

Например:

85*45=(8*4+(8+4)/2)сотен+5*5=38*100+25=3825

35*55=(3*5+(3+5)/2)сотен+5*5=19*100+25=1925

Возьмем пример, который нам знаком с 5 класса.

Найдите сумму первых ста натуральных чисел:

1+2+3+4+5+6+ : +94+95+96+97+98+99+100=?

А как проще вычислить следующий пример:

34*48+18*12+23*24=34*2*24+9*24+23*24=24*(68+9+23)=24*100=2400

Самостоятельно можно составить примеры на каждое правило и отработать устные вычисления. Составляя примеры, выполняя задания, ребята не испытывают трудностей.

Литература:

Энциклопедия для детей. Математика. М., Аванта,2002.
Я.И.Перельман, Занимательная арифметика. М., 1954.
Журнал "Практический журнал для учителя и администрации школы".№9, 2004.
Ж. "Математика", №4,1994.

В этой статье рассмотрим более расширенно тему умножения чисел.

При умножении чисел есть несколько методов или приемов. Я попробую их описать. Для начала разделим на два раздела и опишем эти случаи.

1) Умножение двузначных чисел. В зависимости от вида чисел тут тоже можно выделить несколько методов. Вообще для умножения двузначных чисел очень полезно знать таблицу умножения чисел до 20 (обычно в школе учат до 10 и останавливаются). Я рекомендую выучить таблицу до 20. Потом, если появится желание - продолжить заучивание таблицы умножения до 100. Это поможет при умножении трехзначных и четырехзначных чисел.

2) Под конкретными в разных источниках можно встретить разные числа. Начиная с банального умножения на 10 до умножения на 75. Некоторые источники приводят умножение на некоторые специфичные трехзначные числа. Сюда же будет входить умножение на однозначные числа.

В зависимости от чисел я выбираю и метод. Не торопитесь перемножать, сначала определись с методом, потом бросайтесь умножать по выбранному методу. На выбор метода уходят доли секунд, то зато выбор наиболее простого метода экономит значительно больше времени и сил.

Я совсем не утверждаю, что я - супервычислитель, просто калькулятор у меня появился в 11 классе, и до приобретения я спокойно вычислял в уме - а если бумага была под рукой, то... Сейчас для меня это как переоткрытие - решил поделится с Вами методами, и вспомнить давно забытое.

1) Умножение двузначных чисел.

А) Для умножения двузначных чисел подходит метод креста. Это наиболее общий метод. Покажу на конкретных примерах. Потом выведем общее правило.

Пример 1. Необходимо 27*96.

Представим 27*96=2*9*100+(2*6+7*9)*10+7*6=1800+750+42=2550+42=2592

Пример 2. Необходимо 39*78. 39*78=3*7*100+(3*8+9*7)*10+9*8=2100+870+72=2970+72=3042

Думаю достаточно. При обычном умножении (столбиком) Вы делаете тоже самое - просто в другом порядке:"Вы умножаете 27*6, то есть умножаете 6*7+20*6=6*7+2*6*10 записываете в одно строке и умножаете 27*90=(9*7*10+20*9)*10=(9*7*10+2*9*10)*10 - из-за того что разряд на 1 больше (умножаете на 10) Вы записываете со смещением. Теперь можно даже расписать

27*96=(20+7)*(90+6)=20*90+7*90+20*6+7*6=2*9*100+7*9*10+2*6*10+7*6=2*9*100+(7*9+2*6)*10+7*6 ".

Этот способ редко показывают в школах, потому что он труден для объяснения и не все дети его поймут. Но как видно он более прост для устного умножения. Здесь видно, что используется формула (a+b)*(c+d) и особенность десятичной системы счисления. Потренируйтесь и Вы привыкните.

Итак правило: Для того, чтобы умножить одно двузначное число на другое двузначное число необходимо:

1) цифры десяток перемножить между собой, умножив на 100,

2) перемножить "крайние" цифры чисел между собой попарно (справа и слева), и перемножить внутренние цифры между собой при записи в строчку. Результат сложить и умножить на 10. (При записи столбиком перемножаются на крест: единицы одного числа на десятки другого и наоборот. Результат складывается и умножается на 10.)

3) перемножить цифры единиц.

4) Сложить 3 результата:1)+2)+3).

Собственно других комбинаций попарного умножения (их всего 4) для двухзначных чисел и нет. А суммировать ведь можно по разному. От этого и меняются способы записи методов умножения. В школе напоминаю обучают только одному методу(назовем его метод "галочки"), когда числа умножают в порядке следования. В предлагаем методе "креста" умножение и сложение также чередуется, но складываются более "легкие" числа. Методу "галочки", которому обучают в школе просто наиболее удобен для "обучения". А быстро и удобно будут дети умножать или нет это никого не волнует. Согласитесь немногие поняли вышеописанный метод с первого раза. Многие бегло прочитали, не поняли ничего, и... продолжают умножать как учили. Почему я один метод называют метод "креста", а другой метод "галочки" будет ясно из рисунков.

б) Умножение чисел вида (10x+a) *(10x+b), где x - одинаковое число десятков и a+b=10 (1) Например, 51*59; 42*48; 83*87; 94*96, 65*65, 115*115. То есть Вы видите, что десятки у них одинаковые, а сумма единиц дает 10.

Правило: Для того чтобы умножить два числа вида (1), необходимо число десятков X умножить на число, большее на 1 - это (X+1), а справа приписать результат умножения единиц в виде двузначного числа.

помним, что вид (1), числа удовлетворяют следующему условию: число десятков одинаковое, цифры единиц двух чисел в сумме дают 10.

Пример 3. 51*59=? Видим, что числа удовлетворяют (1). 5*6 (ведь 5+1=6), 5*6=30 . К 30 справа пишем 09=1*9 (приписываем не 9, а 09) Результат 3009=51*59.

Пример 4. 42*48=? 4*5=20 и 2*8=16. Результат 2016=42*48

Пример 5. 25*25=? 2*3=6 и 5*5=25 Результат 625 Как видите хваленные способы умножения 15*15,25*25 и т.д.(или возведения в квадрат чисел вида а5 *а5 ) это всего лишь частный случай вышеописанного метода - 1б) , который в свою очередь еще более частный случай.

Примечание, я сначала написал, что а=1...9, но это не совсем верно вы можете умножить и 372*378 (число десятков 37). Метод будет справедлив и для таких случаев. 37*38=1406 и 2*8=16 Итого результат 140616=37*38. Проверьте. Разумеется правило умножения под б) можно строго математически доказать, но у меня сейчас нет на это времени. Поверьте пока мне на слово или сами для себя докажите его. Лучше вместо этого пока напишу другие правила, которые сидят у меня в голове.

Нашел время записать доказательство

Пусть первый сомножитель 10x+a, второй сомножитель 10х+b, где a+b=10 х число десятков, тогда

(10х+a)*(10x+b)=100x*x+10xa+10xb+ab=10x*(10x+a+b)+ab= =10x*(10x+10)+ab=10x*10(x+1)+ab=x*(x+1)*100+ab Отсюда видим, что математически записано правило, которое записано словами.

в) Умножение чисел вида 48*52; 37*43, 64*56. Т.е. умножение, тех чисел которые отстоят от "основания" на одинаковое число единиц. Для таких чисел применима простая формула (a+b)*(a-b)=(a-b)*(a+b)= a 2 -b 2

Пример 6. 48*52=(50-2)(50+2)=2500-4=2496

Пример 7. 37*43=(40-3)*(40+3)=1600-9=1591

г) Умножение одинаковых чисел - возведение в квадрат. Для некоторых чисел удобно использовать формулу бинома Ньютона: (a±b) 2 =a 2 ±2*a*b+b 2

Пример 8. 38*38=(40-2)*(40-2)=1600-2*40*2+4=1600-160+4=1444

Пример 9. 41*41=(40+1)*(40+1)=1600+2*40*1+1=1681

д) Умножение двух чисел, заканчивающихся на 5. (число десятков двух множителей различается на 1)

Рассмотрим несколько примеров: 15*25=375; 25*35=875; 35*45=1575; 45*55=2475 Как видим результат такого умножения всегда заканчивается на 75. Счёт же производится аналогичным способом -1б) с добавлением справа к результату 75: меньшее число десятков умножается на число, получающееся из числа десятков второго сомножителя с добавлением 1, справа от такого произведения дописываем 75.

Пример 10. 25*35 - - - 3+1=4 (к большему числу к числу десятков прибавляем 1); 2*4=8 дописываем 75. Результат - 875. Аналогично 15*25=? 2+1=3; 1*3=3 15*25=375.