Parallelogramové rovnobežné strany sú rovnaké. Výskumný projekt "rovnobežník a jeho vlastnosti"

1. Definícia rovnobežníka.

Ak pretíname dvojicu rovnobežných čiar s ďalšou dvojicou rovnobežných čiar, dostaneme štvoruholník, ktorého protiľahlé strany sú párovo rovnobežné.

V štvoruholníkoch ABDC a EFNM (Obr. 224) BD || AC a AB || CD;

ЕF || МN a ЕМ || FN.

Štvoruholník, v ktorom sú protiľahlé strany párovo rovnobežné, sa nazýva rovnobežník.

2. Vlastnosti rovnobežníka.

Veta. Diagonál rovnobežníka ho delí na dva rovnaké trojuholníky.

Nech je k dispozícii rovnobežník ABDC (Obr. 225), v ktorom AB || CD a AC || BD.

Je potrebné preukázať, že diagonála ho delí na dva rovnaké trojuholníky.

Nakreslime diagonálnu CB v rovnobežníku ABDС. Dokážeme, že \\ (\\ Delta \\) CAB \u003d \\ (\\ Delta \\) СDВ.

Strana CB je spoločná pre tieto trojuholníky; ∠ABC \u003d ∠BCD, ako vnútorné priečne uhly s rovnobežnými AB a CD a segregovanými CB; ∠ACB \u003d ∠СВD, ako aj vnútorné uhly kríženia criss s rovnobežnými АС a ВD a secant CB.

Preto \\ (\\ Delta \\) CAB \u003d \\ (\\ Delta \\) CDB.

Rovnakým spôsobom je možné dokázať, že diagonálna AD rozdelí rovnobežník na dva rovnaké trojuholníky ACD a ABD.

dôsledky:

1 . Opačné uhly rovnobežníka sú rovnaké.

∠А \u003d ∠D, vyplýva z rovnosti trojuholníkov CAB a СDВ.

Podobne ∠С \u003d ∠В.

2. Protilehlé strany rovnobežníka sú si navzájom rovnaké.

AB \u003d CD a AC \u003d BD, pretože to sú strany rovnakých trojuholníkov a ležia oproti rovnakým uhlom.

Veta 2. Diagonály rovnobežníka sú v priereze polovičné.

Nech BC a AD sú diagonály rovnobežníka ABDC (obr. 226). Dokážeme, že AO \u003d OD a CO \u003d OB.

Aby sme to dosiahli, porovnajme pár protiľahlých trojuholníkov, napríklad \\ (\\ Delta \\) AOB a \\ (\\ Delta \\) COD.

V týchto trojuholníkoch AB \u003d CD, ako protiľahlé strany rovnobežníka;

∠1 \u003d ∠2, ako vnútorné uhly v kríži ležiacom rovnobežne s AB a CD a oddelene AD;

∠3 \u003d ∠4 z rovnakého dôvodu, pretože AB || CD a CB sú ich secanty.

Z toho vyplýva, že \\ (\\ Delta \\) AOB \u003d \\ (\\ Delta \\) COD. A v rovnakých trojuholníkoch oproti rovnakým uhlom sú rovnaké strany. Preto AO \u003d OD a CO \u003d OB.

Veta 3. Súčet uhlov susediacich s jednou stranou rovnobežníka je 180 °.

Na rovnobežníku ABCD nakreslite uhlopriečku AC a získajte dva trojuholníky ABC a ADC.

Trojuholníky sú rovnaké, pretože ∠1 \u003d ∠4, ∠2 \u003d ∠3 (priesečníky uhlov s rovnobežnými čiarami) a strana AC je spoločná.
Z rovnosti \\ (\\ Delta \\) ABC \u003d \\ (\\ Delta \\) ADC vyplýva, že AB \u003d CD, BC \u003d AD, ∠B \u003d ∠D.

Súčet uhlov susediacich s jednou stranou, napríklad uhlov A a D, je rovný 180 ° ako jednostranný s rovnobežnými čiarami.

Paralelogram je štvoruholník, ktorého protiľahlé strany sú vo dvojiciach rovnobežné. Nasledujúci obrázok zobrazuje rovnobežník ABCD. Má stranu AB rovnobežnú so stranou CD a stranu BC rovnobežnú s stranou AD.

Ako ste asi uhádli, rovnobežník je konvexný štvoruholník. Pozrime sa na hlavné vlastnosti rovnobežníka.

Vlastnosti rovnobežníka

1. V rovnobežníku sú protiľahlé uhly a protiľahlé strany rovnaké. Dokážme túto vlastnosť - zvážte rovnobežník uvedený na nasledujúcom obrázku.

Diagonálna BD ho delí na dva rovnaké trojuholníky: ABD a CBD. Sú rovnaké na boku BD a na dvoch susedných rohoch, pretože uhly ležiace priečne na oddelených BD rovnobežných čiar BC a AD a AB a CD, v danom poradí. Preto AB \u003d CD a
BC \u003d AD. Z rovnosti uhlov 1, 2, 3 a 4 vyplýva, že uhol A \u003d uhol 1 + uhol 3 \u003d uhol2 + uhol 4 \u003d uhol C.

2. Diagonály rovnobežníka sú na polovicu priesečník. Nech bod O je priesečník uhlopriečok AC a BD rovnobežníka ABCD.

Potom sú trojuholník AOB a trojuholník COD navzájom rovnaké, pozdĺž boku a dvoch susedných rohov. (AB \u003d CD, pretože to sú protiľahlé strany rovnobežníka. Uhol 1 \u003d uhol 2 a uhol 3 \u003d uhol 4 sú uhly ležiace priečne na priesečníku priamok AB a CD so sektami AC a BD.) Z toho vyplýva, že AO \u003d OC a OB \u003d OD, ktoré a bolo potrebné to dokázať.

Všetky hlavné vlastnosti sú znázornené na nasledujúcich troch obrázkoch.

Pri-zn-ki pa-ra-le-lo-gram-ma

1. Definícia a základné vlastnosti rovnobežníka

Na začiatok nezabudnite na definíciu pa-ra-le-lo-gram-ma.

Definícia-de-le-ny. rovnobežník- four-you-rekh-uhlie-nick, pri ko-that-ro-go, každá z dvoch pro-ty-falošných strán je pa-ral-lel-ny (pozri obr. 1).

Obr. 1. Pa-ral-le-lo-gram

pamätať hlavné vlastnosti pa-ra-le-lo-gram-ma:

Aby ste mohli využívať všetky tieto vlastnosti, musíte si byť istí, že o niekom je fi-gu-ra -je tu reč, - pa-ra-le-lo-gram. Aby ste to dosiahli, musíte poznať také fakty, ako sú znaky pa-ra-le-lo-gram-ma. Prví dvaja z nich sme teraz a preskúmame ich.

2. Prvé znamenie rovnobežníka

Veta. Prvým znakom je pa-ra-le-lo-gram-ma.Ak sú na štyroch-ty-rekh-uhlie-nie-ke dve proti-falošné strany rovnaké a rovnobežné, potom toto štyri-ty-rekh-uhlie prezývka - rovnobežník. .

Obr. 2. Prvé príznaky pa-ra-le-lo-gram-ma

Dôkazov. Poďme hovoriť o dia-go-nal v štyri-rekh-uhlie-no-ke (pozri obr. 2), rozdelila ju do dvoch tri-uhlie. Napíšme, čo vieme o týchto trojuholníkoch:

prvým uznaním parity trojuholníkov.

Z rovnosti uvedených trojuholníkov vyplýva, že podľa uznania pa-ra-lel ness priamok počas opätovného výsevu, che-nii im se-ku-schay. Máme to:

Do-ka-ZA-ale.

3. Druhé znamenie rovnobežníka

Veta. Druhým znakom je pa-ra-le-lo-gram-ma.Ak sú štyri-ty-rekh-uhlie-nie-ke rovnaké každé dve pro-tee-in-falošné strany, potom je táto che-you-rekh-uhlie-nick rovnaká rovnobežník. .

Obr. 3. Druhá známka pa-ra-le-lo-gram-ma

Dôkazov. Poďme hovoriť o dia-go-nal v che-you-rekh-uhlie (pozri obr. 3), rozdelí ho do dvoch trojuholníkov. O týchto trojuholníkoch-nikah vieme, od-ho-dya z formy-mu-li-rov-ki theo-re-we:

podľa tretieho znaku parity trojuholníkov.

Z rovnosti trojuholníkov-nikov vyplýva, že podľa uznania pa-ra-lel-ness priamok, keď sú sa-ku-cha. By-lo-cha-jesť:

pa-ra-le-lo-gram podľa definície de-le-niyu. Q.e.d.

Do-ka-ZA-ale.

4. Príklad použitia prvého prvku rovnobežníka

Uvažujme príklad použitia príznakov pa-ra-le-lo-gram-ma.

Príklad 1. Vo zväzku-th-you-rekh-uhlím-ni-ke Nájdite: a) rohy štvorice-u-rekh-uhlia-ni-ka; b) sto-ro-studňa.

Rozhodnutie. Obr. Zima Obr. 4.

pa-ra-le-lo-gram podľa prvej značky pa-ra-le-lo-gram.

AND. vlastnosťou para-le-lo-gram-ma o anti-in-false-uhloch, vlastnosťou pa-ra-le-lo-gram-ma o súčte uhlov, leží na jednej strane.

B. vlastníctvom rovnosti proti falošným stránkam.

tretí pri-znamenie pa-ra-le-lo-gram-ma

5. Opakovanie: definícia a vlastnosti rovnobežníka

Zapamätaj si to rovnobežník - toto je štvor-uhlie-uhoľný nikel, na ktorom je možné pre-ty-nepravý-ro-ny-pa-pa-ra-l-l-ny. To znamená, že ak - pa-ra-le-lo-gram, potom (pozri obr. 1).

Pa-ral-le-lo-gram ob-la-da-e s množstvom vlastností: anti-false uhly sú rovnaké (), anti-false sto-ro -jsou rovnaké ( ). Okrem toho dia-go-na-li paralel-le-lo-gram-ma v bode pe-re-se-ch-nia de-late in-lam, súčet uhlov, keď-le- ktorí chcú na ktorejkoľvek strane pa-ra-le-lo-gram-ma, sú si rovní atď.

Aby sme však mohli všetky tieto vlastnosti využiť, musíme si byť istí, že to tak je ri-va-th-my th-you-rykh-uhlie-nick - pa-ra-le-lo-gram. Na tento účel existujú náznaky pa-ra-le-lo-gram-ma: to sú skutočnosti, z ktorých je možné vyvodiť jednociferný záver že prezývka pre teba-rykh-uhlie je-la-e-Xia paral-le-lo-gram-m. V predchádzajúcej lekcii sme už uvažovali o dvoch znakoch. Teraz uvidíme tretiu hodinu.

6. Tretí znak rovnobežníka a jeho dôkaz

Ak v dia-go-na-li v štýle pe-re-se-ch-niya do-lam-na-lam, potom prezh-nick-prezývka je-la-e-Xia pa-ra-le-lo-gram-m.

Vzhľadom na to:

Che-you-veža-uhlie-nick; ; ...

Robiť-k-ZAT:

Rovnobežník.

dôkaz:

S cieľom dosiahnuť túto skutočnosť je potrebné do paralelnej le-lo-gram-ma pridať paralelu strán. A rovnobežnosť priamok najčastejšie robí-ka-zy-wa-et-sya prostredníctvom rovnosti vnútorného kríža ležiacich uhlov v týchto priamkach. Takže na-pra-shi-va-is-sya hneď vedľa yu-tak-so-so-so-ka-tel-tstva-t-t-t-t-t-t-t-t-ka-pa-ra -le-lo-gram-ma: prostredníctvom rovnosti tre-coals-nikov .

Pozrime sa na rovnosť týchto trojuholníkov. V skutočnosti to zo stavu vyplýva: Navyše, pretože uhly sú ver-t-cal-ny, sú rovnaké. tj:

(prvé známky rovnostitre-uhlie Nikov - z dvoch strán a uhol medzi nimi).

Z rovnoprávnosti trojuholníkov nikov: (keďže vnútorné priečne uhly sa rovnajú týmto priamkam a se-ku-shi). Z rovnoprávnosti trojuholníkov okrem toho vyplýva, že. Know-chit, we-l-chi-li, že v štyri-ty-ryh-uhlie-nie-ke, sú dve strany rovnaké a pa-ra-lel-ny. Podľa prvého pri-zn-ku pa-ra-le-lo-gram: - pa-ra-le-lo-gram.

Do-ka-ZA-ale.

7. Príklad problému tretieho znaku rovnobežníka a zovšeobecnenia

Zoberme si príklad použitia tretieho atribútu paral-le-lo-gram-ma.

Príklad 1

Vzhľadom na to:

- rovnobežník; ... - se-re-di-na, - se-re-di-na, - se-re-di-na, - se-re-di-na (pozri obrázok 2).

Robiť-k-ZAT: - pa-ra-le-lo-gram.

dôkaz:

Know-chit, v th-you-ryh-coal-ni-ke dia-go-na-li v bode pe-re-se-ch-niya do-lam. Podľa tretieho znaku pa-ra-le-lo-gram-ma z toho vyplýva, že - pa-ra-le-lo-gram.

Do-ka-ZA-ale.

Ak je analýza tretieho atribútu paral-le-lo-gram-ma, potom si môžete všimnúť, že tento atribút je spoločnou odpoveďou je vlastnosť pa-ra-le-lo-gram-ma. To je skutočnosť, že dia-go-na-li do-lam in-lam nie je len vlastníctvom pa-ra-le-lo-gram-ma, a jeho osobitnú vlastnosť ha-rak-te-ri-sti-che-che, podľa ktorej-ro-mo sa dá vyrobiť z množstva th-you-rykh uhlie-Nikov.

SOURCE

http://interneturok.ru/ru/school/geometry/8-klass/chyotyrehugolniki/priznaki-parallelogramma

http://interneturok.ru/ru/school/geometry/8-klass/chyotyrehugolniki/tretiy-priznak-parallelogramma

http://www.uchportfolio.ru/users_content/675f9820626f5bc0afb47b57890b466e/images/46TThxQ8j4Y.jpg

http://cs10002.vk.me/u31195134/116260458/x_56d40dd3.jpg

http://wwww.tepka.ru/geometriya/16.1.gif

V predchádzajúcej lekcii sme hovorili o štvoruholníku. Pripomeňme si to štvoruholník nazýva geometrický útvar, ktorý pozostáva zo štyroch bodov a štyroch po sebe idúcich úsečiek. Navyše na jednej priamke ležia žiadne tri body a segmenty, ktoré ich spájajú, sa nepretínajú.

V tejto lekcii sa zoznámime s novým geometrickým tvarom nazývaným rovnobežník.

Definujme definíciu: rovnobežník sa nazýva štvoruholník, v ktorom sú protiľahlé strany párovo rovnobežné.

Akýkoľvek rovnobežník je konvexný štvoruholník.

Pozrime sa na nasledujúce štvorkolky.

Prvý je rovnobežník, pretože jeho protiľahlé strany sú rovnobežné v pároch. Ďalší štvoruholník je rovnobežník, pretože jeho protiľahlé strany sú rovnobežné v pároch. Avšak štvoruholník v bode c nie je rovnobežník, pretože jeho dve strany sú rovnobežné a ostatné dve nie. Na štvoruholníku v bode d sú protiľahlé strany rovnobežné, čo znamená, že ide o rovnobežník. A posledný štvoruholník nie je rovnobežník, pretože jeho strany nie sú rovnobežné.

Porozprávajme sa o vlastnosti rovnobežníka.

Majetok 1. Súčet uhlov v susedných vrcholoch rovnobežníka je.

Dôkazov.

Podľa definície rovnobežníka sú strany AB a CD rovnobežné, to znamená, že ležia na rovnobežkách. Čiara AD, ktorá prechádza dvoma susednými vrcholmi, je sekáčik. A potom rohy BAD a ADC sú vnútorné jednostranné.

Vieme, že ak dve rovnobežné priamky prechádzajú sekáčikom, potom súčet jednostranných uhlov sa rovná sto osemdesiat stupňov. Preto,.

A keďže tieto uhly sú uhly v susedných vrcholoch rovnobežníka, táto vlastnosť je dokázaná.

Nehnuteľnosť 2.Diagonálna rozdelí rovnobežník na dva rovnaké trojuholníky.

Dôkazov.

Zvážte a.

Strana - obyčajná, podobne ako kryt. ležiace a secant,

ako obal. ležiace a secant.

na druhom základe.

Q.e.d.

Nehnuteľnosť 3. Paralelogram má rovnaké protiľahlé strany.

Dôkazov.

Zvážte rovnobežník ABCD.

Diagonálne AC ho delí na dva trojuholníky: ABC a CDA. Pri preukázaní predchádzajúcej vlastnosti sme zistili, že tieto trojuholníky sú si rovné, to znamená, že ich príslušné strany sú si rovné. A strana AB \u003d DC a strana AD \u003d BC.

Táto nehnuteľnosť je preukázaná.

Nehnuteľnosť 4. Paralelogram má rovnaké opačné uhly.

Dôkazov. Zvážte rovnobežník ABCD. Nakreslime uhlopriečku AC.

ako obal. ležiace a secesné, ako kryt. ležiace a secant,

,

,

tým, .

Q.e.d.

Rovnosť rovností opačných uhlov rovnobežníka vyplýva aj z rovnoprávnosti trojuholníkov ABC a CDA, čo sme dokázali v predchádzajúcej vlastnosti.

Majetok 5. Diagonály rovnobežníka sú na polovicu priesečník.

Dôkazov. Zvážte rovnobežník ABCD. Nech bod O je priesečníkom uhlopriečok AC a BD.

Zvážte a.

ako opačné strany, napríklad nakr. ležiace na

a secant ako nakr. ležiace a secant.

na druhom základe.

Preto,.

Q.e.d.

Teraz, na konsolidáciu materiálu, vyriešime niekoľko problémov.

Úloha. Dokážte, že zúženie uhla rovnobežníka odreže rovnoramenný trojuholník.

Dôkazov. Nech ABCD bude nejaký rovnobežník. Nakreslime napríklad bisektor AM z vrcholu A.

Na určenie, či daná postava je rovnobežník, existuje niekoľko znakov. Zvážte tri hlavné znaky rovnobežníka.

1 znak rovnobežníka

Ak sú v štvoruholníku dve strany rovnaké a rovnobežné, potom bude týmto štvoruholníkom rovnobežník.

dôkaz:

Zvážte štvorstranné ABCD. Nech sú strany AB a CD v ňom rovnobežné. A nech AB \u003d CD. Poďme do toho nakresliť diagonálnu BD. Rozdelí tento štvoruholník na dva rovnaké trojuholníky: ABD a CBD.

Tieto trojuholníky sa navzájom rovnajú na dvoch stranách a uhol medzi nimi (BD je spoločná strana, AB \u003d CD podľa podmienok, uhol 1 \u003d uhol 2 ako uhly križovania v oddelených BD rovnobežných čiar AB a CD), a preto uhol 3 \u003d uhol4.

A tieto uhly budú priečne na priesečníku priamok BC a AD secant BD. Z toho vyplýva, že BC a AD sú navzájom rovnobežné. Máme, že v štvoruholníku ABCD sú protiľahlé strany párovo rovnobežné, a preto je štvoruholník ABCD rovnobežník.

2 znamienko rovnobežníka

Ak sú v štvoruholníku protiľahlé strany párovo rovnaké, potom bude týmto štvoruholníkom rovnobežník.

dôkaz:

Zvážte štvorstranné ABCD. Poďme do toho nakresliť diagonálnu BD. Rozdelí tento štvoruholník na dva rovnaké trojuholníky: ABD a CBD.

Tieto dva trojuholníky sa budú navzájom rovnať na troch stranách (BD je spoločná strana, AB \u003d CD a BC \u003d AD podľa podmienok). Z toho môžeme vyvodiť, že uhol1 \u003d uhol2. Z toho vyplýva, že AB je paralelná s CD. A keďže AB \u003d CD a AB je rovnobežná s CD, potom prvým znakom rovnobežníka bude štvoruholník ABCD rovnobežník.

3 znak rovnobežníka

Ak sa v štvoruholníku pretína uhlopriečka a priesečník je rozdelený na polovicu, potom bude týmto štvoruholníkom rovnobežník.

Zvážte štvorstranné ABCD. Nakreslime do nej dve uhlopriečky AC a BD, ktoré sa budú pretínať v bode O a sú rozdelené týmto bodom na polovicu.

Trojuholníky AOB a COD sa budú navzájom rovnať podľa prvého znaku rovnosti trojuholníka. (AO \u003d OC, BO \u003d OD podľa podmienok, uhol AOB \u003d uhol COD ako zvislé uhly.) Preto AB \u003d CD a uhol1 \u003d uhol 2. Z rovnice uhlov 1 a 2 máme, že AB je rovnobežná s CD. Potom máme to, že v štvoruholníku ABCD sú strany AB rovné CD a rovnobežné a prvým znakom rovnobežníka bude štvoruholník ABCD rovnobežník.