ஒரு முக்கோணத்தின் செங்கோணத்தின் உயரம் ஹைப்போடென்யூஸைப் பிரிக்கிறது. வலது முக்கோணம். எடுத்துக்காட்டுகளுடன் விரிவான கோட்பாடு. வெளிப்புற கோணத்தின் முக்கோணவியல் செயல்பாடுகள்

முக்கோணங்கள்.

அடிப்படை கருத்துக்கள்.

முக்கோணம்ஒரே நேர்கோட்டில் அமையாத மூன்று பிரிவுகளையும் மூன்று புள்ளிகளையும் கொண்ட உருவம்.

பிரிவுகள் அழைக்கப்படுகின்றன கட்சிகள், மற்றும் புள்ளிகள் சிகரங்கள்.

கோணங்களின் கூட்டுத்தொகைமுக்கோணம் 180º.

முக்கோணத்தின் உயரம்.

முக்கோண உயரம்- இது உச்சியில் இருந்து எதிர் பக்கமாக வரையப்பட்ட செங்குத்தாக உள்ளது.

கடுமையான முக்கோணத்தில், உயரம் முக்கோணத்திற்குள் இருக்கும் (படம் 1).

ஒரு செங்கோண முக்கோணத்தில், கால்கள் முக்கோணத்தின் உயரம் (படம் 2).

ஒரு மழுங்கிய முக்கோணத்தில், உயரம் முக்கோணத்திற்கு வெளியே நீண்டுள்ளது (படம் 3).

ஒரு முக்கோணத்தின் உயரத்தின் பண்புகள்:

ஒரு முக்கோணத்தின் இரு பிரிவு.

ஒரு முக்கோணத்தின் இரு பிரிவு- இது உச்சியின் மூலையை பாதியாகப் பிரித்து, எதிர் பக்கத்தில் உள்ள ஒரு புள்ளியுடன் உச்சியை இணைக்கும் ஒரு பிரிவு (படம் 5).

இரு பிரிவின் பண்புகள்:

ஒரு முக்கோணத்தின் இடைநிலை.

ஒரு முக்கோணத்தின் இடைநிலை- இது எதிர் பக்கத்தின் நடுப்பகுதியுடன் உச்சியை இணைக்கும் ஒரு பிரிவு (படம் 9a).

சராசரியின் நீளத்தை சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்தி கணக்கிடலாம்: 2பி 2 + 2c 2 - அ 2 மீ ஏ 2 = —————— 4 எங்கே மீ ஏ- பக்கவாட்டில் வரையப்பட்ட இடைநிலை ஏ. ஒரு செங்கோண முக்கோணத்தில், ஹைப்போடென்ஸுக்கு வரையப்பட்ட சராசரியானது பாதி ஹைப்போடென்ஸுக்கு சமம்: c மீ சி = — 2 எங்கே மீ சி- ஹைப்போடென்ஸுக்கு வரையப்பட்ட இடைநிலை c(படம்.9c) முக்கோணத்தின் இடைநிலைகள் ஒரு புள்ளியில் (முக்கோணத்தின் வெகுஜன மையத்தில்) வெட்டுகின்றன மற்றும் இந்த புள்ளியால் 2:1 என்ற விகிதத்தில் வகுக்கப்படுகின்றன, உச்சியில் இருந்து எண்ணப்படும். அதாவது, உச்சியில் இருந்து மையம் வரையிலான பகுதியானது, மையத்திலிருந்து முக்கோணத்தின் பக்கத்திற்கு (படம் 9c) உள்ள பகுதியை விட இரண்டு மடங்கு பெரியது. ஒரு முக்கோணத்தின் மூன்று இடைநிலைகள் அதை ஆறு சம முக்கோணங்களாகப் பிரிக்கின்றன.

முக்கோணத்தின் நடுக் கோடு.

முக்கோணத்தின் நடுக் கோடு- இது அதன் இரு பக்கங்களின் நடுப்புள்ளிகளை இணைக்கும் ஒரு பிரிவு (படம் 10).

முக்கோணத்தின் நடுக் கோடு மூன்றாவது பக்கத்திற்கு இணையாகவும் அதன் பாதிக்கு சமமாகவும் இருக்கும்

ஒரு முக்கோணத்தின் வெளிப்புற கோணம்.

வெளிப்புற மூலைஒரு முக்கோணத்தின் இரண்டு அருகில் இல்லாத உள் கோணங்களின் கூட்டுத்தொகைக்கு சமம் (படம் 11).

முக்கோணத்தின் வெளிப்புறக் கோணம் அருகில் இல்லாத கோணத்தை விட அதிகமாக இருக்கும்.

வலது முக்கோணம்.

வலது முக்கோணம்வலது கோணம் கொண்ட ஒரு முக்கோணமாகும் (படம் 12).

செங்கோணத்திற்கு எதிரே இருக்கும் செங்கோண முக்கோணத்தின் பக்கமானது அழைக்கப்படுகிறது ஹைப்போடென்யூஸ்.

மற்ற இரண்டு பக்கங்களும் அழைக்கப்படுகின்றன கால்கள்.

செங்கோண முக்கோணத்தில் விகிதாசாரப் பிரிவுகள்.

1) ஒரு செங்கோண முக்கோணத்தில், வலது கோணத்தில் இருந்து வரையப்பட்ட உயரம் மூன்று ஒத்த முக்கோணங்களை உருவாக்குகிறது: ABC, ACH மற்றும் HCB (படம் 14a). அதன்படி, உயரத்தால் உருவாகும் கோணங்கள் A மற்றும் B கோணங்களுக்கு சமம்.

படம்.14a

ஐசோசெல்ஸ் முக்கோணம்.

ஐசோசெல்ஸ் முக்கோணம்இரண்டு பக்கங்களும் சமமாக இருக்கும் ஒரு முக்கோணமாகும் (படம் 13).

இந்த சம பக்கங்கள் அழைக்கப்படுகின்றன பக்கங்களிலும், மற்றும் மூன்றாவது - அடிப்படையில்முக்கோணம்.

ஐசோசெல்ஸ் முக்கோணத்தில், அடிப்படை கோணங்கள் சமமாக இருக்கும். (எங்கள் முக்கோணத்தில், A கோணம் C க்கு சமம்).

ஐசோசெல்ஸ் முக்கோணத்தில், அடிப்பகுதிக்கு வரையப்பட்ட இடைநிலையானது முக்கோணத்தின் இருபக்கமும் உயரமும் ஆகும்.

சமபக்க முக்கோணம்.

ஒரு சமபக்க முக்கோணம் என்பது அனைத்து பக்கங்களும் சமமாக இருக்கும் ஒரு முக்கோணமாகும் (படம் 14).

ஒரு சமபக்க முக்கோணத்தின் பண்புகள்:

முக்கோணங்களின் குறிப்பிடத்தக்க பண்புகள்.

முக்கோணங்களில் தனித்துவமான பண்புகள் உள்ளன, அவை இந்த வடிவங்கள் சம்பந்தப்பட்ட சிக்கல்களை வெற்றிகரமாக தீர்க்க உதவும். இந்த பண்புகளில் சில மேலே விவரிக்கப்பட்டுள்ளன. ஆனால் நாங்கள் அவற்றை மீண்டும் மீண்டும் செய்கிறோம், அவற்றில் சில அற்புதமான அம்சங்களைச் சேர்க்கிறோம்:

1) 90º, 30º மற்றும் 60º கால்கள் கொண்ட ஒரு செங்கோண முக்கோணத்தில் பி, 30º கோணத்திற்கு எதிரே இருப்பது, சமம் ஹைப்போடென்யூஸின் பாதி. ஒரு கால்அ மேலும் கால்பி√3 முறை (படம் 15 ஏ) எடுத்துக்காட்டாக, லெக் பி 5 என்றால், ஹைப்போடென்யூஸ் cஅவசியம் சமம் 10, மற்றும் கால் ஏ 5√3க்கு சமம். 2) 90º, 45º மற்றும் 45º கோணங்களைக் கொண்ட வலது சமபக்க முக்கோணத்தில், ஹைப்போடென்யூஸ் காலை விட √2 மடங்கு பெரியது (படம் 15 பி) எடுத்துக்காட்டாக, கால்கள் 5 ஆக இருந்தால், ஹைப்போடென்யூஸ் 5√2 ஆகும். 3) முக்கோணத்தின் நடுக் கோடு இணையான பக்கத்தின் பாதிக்கு சமம் (படம் 15 உடன்) எடுத்துக்காட்டாக, ஒரு முக்கோணத்தின் பக்கமானது 10 ஆக இருந்தால், அதற்கு இணையான நடுக் கோடு 5 ஆகும். 4) ஒரு செங்கோண முக்கோணத்தில், ஹைபோடென்யூஸுக்கு வரையப்பட்ட சராசரியானது பாதி ஹைப்போடென்ஸுக்குச் சமமாக இருக்கும் (படம். 9c): மீ சி= s/2. 5) ஒரு புள்ளியில் வெட்டும் ஒரு முக்கோணத்தின் இடைநிலைகள், இந்த புள்ளியால் 2:1 என்ற விகிதத்தில் வகுக்கப்படுகின்றன. அதாவது, உச்சியில் இருந்து இடைநிலைகளின் வெட்டுப்புள்ளி வரையிலான பகுதி, இடைநிலைகளின் குறுக்குவெட்டுப் புள்ளியிலிருந்து முக்கோணத்தின் பக்கம் (படம் 9c) வரை உள்ள பகுதியை விட இரண்டு மடங்கு பெரியது. 6) ஒரு செங்கோண முக்கோணத்தில், ஹைபோடென்யூஸின் நடுப்பகுதியானது சுற்றப்பட்ட வட்டத்தின் மையமாகும் (படம் 15 ஈ).

முக்கோணங்களின் சமத்துவத்தின் அறிகுறிகள்.

சமத்துவத்தின் முதல் அடையாளம்: ஒரு முக்கோணத்தின் இரு பக்கங்களும் அவற்றுக்கிடையேயான கோணமும் இரண்டு பக்கங்களுக்கும், மற்றொரு முக்கோணத்தின் அவற்றுக்கிடையேயான கோணமும் சமமாக இருந்தால், அத்தகைய முக்கோணங்கள் ஒத்ததாக இருக்கும்.

சமத்துவத்தின் இரண்டாவது அடையாளம்: ஒரு முக்கோணத்தின் ஒரு பக்கமும் அதன் அருகில் உள்ள கோணங்களும் மற்றொரு முக்கோணத்தின் பக்கத்திற்கும் அதன் அருகிலுள்ள கோணங்களுக்கும் சமமாக இருந்தால், அத்தகைய முக்கோணங்கள் ஒத்ததாக இருக்கும்.

சமத்துவத்தின் மூன்றாவது அடையாளம்: ஒரு முக்கோணத்தின் மூன்று பக்கங்களும் மற்றொரு முக்கோணத்தின் மூன்று பக்கங்களும் சமமாக இருந்தால், அத்தகைய முக்கோணங்கள் சமமாக இருக்கும்.

முக்கோண சமத்துவமின்மை.

எந்த முக்கோணத்திலும், ஒவ்வொரு பக்கமும் மற்ற இரண்டு பக்கங்களின் கூட்டுத்தொகையை விட குறைவாக இருக்கும்.

பித்தகோரியன் தேற்றம்.

ஒரு செங்கோண முக்கோணத்தில், ஹைபோடென்யூஸின் சதுரம் கால்களின் சதுரங்களின் கூட்டுத்தொகைக்கு சமம்:

c 2 = அ 2 + பி 2 .

ஒரு முக்கோணத்தின் பரப்பளவு.

1) ஒரு முக்கோணத்தின் பரப்பளவு அதன் பக்கத்தின் பாதிப் பெருக்கத்திற்குச் சமம் மற்றும் இந்தப் பக்கம் வரையப்பட்ட உயரம்:

ஆ
எஸ் = ——
2

2) ஒரு முக்கோணத்தின் பரப்பளவு அதன் இரண்டு பக்கங்களின் பாதிப் பெருக்கத்திற்கும் அவற்றுக்கிடையே உள்ள கோணத்தின் சைனுக்கும் சமம்:

1
எஸ் = — ஏபி · ஏ.சி. · பாவம் ஏ
2

ஒரு முக்கோணம் ஒரு வட்டத்தைச் சுற்றி வளைக்கப்பட்டுள்ளது.

ஒரு வட்டம் அதன் அனைத்து பக்கங்களையும் தொட்டால் முக்கோணத்தில் பொறிக்கப்பட்டதாக அழைக்கப்படுகிறது (படம் 16 ஏ).

ஒரு வட்டத்தில் பொறிக்கப்பட்ட முக்கோணம்.

ஒரு முக்கோணத்தை அதன் அனைத்து முனைகளிலும் தொட்டால் அது ஒரு வட்டத்தில் பொறிக்கப்பட்டதாகக் கூறப்படுகிறது (படம் 17 அ).

ஒரு செங்கோண முக்கோணத்தின் தீவிர கோணத்தின் சைன், கொசைன், டேன்ஜென்ட், கோட்டான்ஜென்ட் (படம் 18).

நீர் சேர்க்கைகுறுங்கோணம் எக்ஸ் எதிர்கால் முதல் ஹைப்போடென்யூஸ்.
இது பின்வருமாறு குறிக்கப்படுகிறது: பாவம்எக்ஸ்.

கொசைன்குறுங்கோணம் எக்ஸ்ஒரு செங்கோண முக்கோணத்தின் விகிதம் அருகில்கால் முதல் ஹைப்போடென்யூஸ்.
பின்வருமாறு குறிக்கப்படுகிறது: cos எக்ஸ்.

தொடுகோடுகுறுங்கோணம் எக்ஸ்- இது எதிர் பக்கத்தின் அடுத்த பக்கத்தின் விகிதம்.
இது பின்வருமாறு குறிப்பிடப்பட்டுள்ளது: tgஎக்ஸ்.

கோட்டான்ஜென்ட்குறுங்கோணம் எக்ஸ்- இது எதிர் பக்கத்திற்கு அருகிலுள்ள பக்கத்தின் விகிதம்.
இது பின்வருமாறு நியமிக்கப்பட்டுள்ளது: ctgஎக்ஸ்.

விதிகள்:

மூலைக்கு எதிரே கால் எக்ஸ், ஹைப்போடென்யூஸ் மற்றும் பாவத்தின் தயாரிப்புக்கு சமம் எக்ஸ்:

b = cபாவம் எக்ஸ்

மூலையை ஒட்டிய கால் எக்ஸ், ஹைப்போடென்யூஸ் மற்றும் காஸ் ஆகியவற்றின் தயாரிப்புக்கு சமம் எக்ஸ்:

a = c cos எக்ஸ்

மூலைக்கு எதிரே கால் எக்ஸ், tg மூலம் இரண்டாவது காலின் தயாரிப்புக்கு சமம் எக்ஸ்:

b = aடிஜி எக்ஸ்

மூலையை ஒட்டிய கால் எக்ஸ், ctg மூலம் இரண்டாவது காலின் தயாரிப்புக்கு சமம் எக்ஸ்:

a = b· சி.டி.ஜி எக்ஸ்.

எந்த கடுமையான கோணத்திற்கும் எக்ஸ்:

பாவம் (90° - எக்ஸ்) = cos எக்ஸ்

விலை (90° - எக்ஸ்) = பாவம் எக்ஸ்

சொத்து: 1.எந்த செங்கோண முக்கோணத்திலும், செங்கோணத்திலிருந்து எடுக்கப்பட்ட உயரம் (ஹைபோடென்யூஸால்) வலது முக்கோணத்தை மூன்று ஒத்த முக்கோணங்களாகப் பிரிக்கிறது.

சொத்து: 2.ஒரு செங்கோண முக்கோணத்தின் உயரம், ஹைப்போடென்ஸுக்குக் குறைக்கப்பட்டது, ஹைபோடென்யூஸில் கால்களின் கணிப்புகளின் வடிவியல் சராசரிக்கு சமம் (அல்லது உயரம் ஹைபோடென்யூஸைப் பிரிக்கும் அந்த பிரிவுகளின் வடிவியல் சராசரி).

சொத்து: 3.கால் என்பது ஹைப்போடென்யூஸின் வடிவியல் சராசரி மற்றும் ஹைபோடென்யூஸில் இந்த காலின் முன்கணிப்புக்கு சமம்.

சொத்து: 4. 30 டிகிரி கோணத்திற்கு எதிரே உள்ள ஒரு கால் ஹைபோடென்யூஸின் பாதிக்கு சமம்.

ஃபார்முலா 1.

சூத்திரம் 2., ஹைப்போடென்யூஸ் எங்கே; , கால்கள்.

சொத்து: 5.ஒரு செங்கோண முக்கோணத்தில், ஹைபோடென்யூஸுக்கு வரையப்பட்ட இடைநிலை அதன் பாதிக்கு சமமாகவும், சுற்றப்பட்ட வட்டத்தின் ஆரத்திற்குச் சமமாகவும் இருக்கும்.

சொத்து: 6. செங்கோண முக்கோணத்தின் பக்கங்களுக்கும் கோணங்களுக்கும் இடையிலான உறவு:

44. கொசைன்களின் தேற்றம். தொடர்புகள்: ஒரு இணையான வரைபடத்தின் மூலைவிட்டங்கள் மற்றும் பக்கங்களுக்கு இடையிலான உறவு; முக்கோணத்தின் வகையை தீர்மானித்தல்; ஒரு முக்கோணத்தின் இடைநிலையின் நீளத்தைக் கணக்கிடுவதற்கான சூத்திரம்; முக்கோணக் கோணத்தின் கொசைன் கணக்கீடு.

வேலையின் முடிவு -

இந்த தலைப்பு பிரிவுக்கு சொந்தமானது:

வர்க்கம். அடிப்படை பிளானிமெட்ரி பற்றிய கலந்துரையாடல் திட்டம்

அருகருகே உள்ள கோணங்களின் சொத்து.. ஒரு பக்கம் பொதுவானதாகவும், மற்ற இரண்டும் நேர்கோட்டாகவும் இருந்தால் இரண்டு கோணங்களும் அருகருகே இருப்பதற்கான வரையறை.

இந்த தலைப்பில் உங்களுக்கு கூடுதல் தகவல் தேவைப்பட்டால் அல்லது நீங்கள் தேடுவதை நீங்கள் கண்டுபிடிக்கவில்லை என்றால், எங்கள் படைப்புகளின் தரவுத்தளத்தில் தேடலைப் பயன்படுத்த பரிந்துரைக்கிறோம்:

பெறப்பட்ட பொருளை என்ன செய்வோம்:

இந்த பொருள் உங்களுக்கு பயனுள்ளதாக இருந்தால், அதை சமூக வலைப்பின்னல்களில் உங்கள் பக்கத்தில் சேமிக்கலாம்:

வலது முக்கோணம்- இது ஒரு முக்கோணம், இதில் ஒரு கோணம் நேராக இருக்கும், அதாவது 90 டிகிரிக்கு சமம்.

• வலது கோணத்திற்கு எதிரே உள்ள பக்கமானது ஹைப்போடென்யூஸ் என்று அழைக்கப்படுகிறது (படத்தில் காட்டப்பட்டுள்ளது cஅல்லது ஏபி)
• வலது கோணத்தை ஒட்டிய பக்கமானது கால் என்று அழைக்கப்படுகிறது. ஒவ்வொரு வலது முக்கோணத்திற்கும் இரண்டு கால்கள் உள்ளன (படத்தில் அவை குறிக்கப்பட்டுள்ளன அமற்றும் b அல்லது AC மற்றும் BC)

செங்கோண முக்கோணத்தின் சூத்திரங்கள் மற்றும் பண்புகள்

சூத்திர பெயர்கள்:

(மேலே உள்ள படத்தைப் பார்க்கவும்)

a, b- ஒரு செங்கோண முக்கோணத்தின் கால்கள்

c- ஹைப்போடென்யூஸ்

α, β - ஒரு முக்கோணத்தின் கடுமையான கோணங்கள்

எஸ்- சதுரம்

ம- செங்கோணத்தின் உச்சியில் இருந்து ஹைப்போடென்ஸுக்கு உயரம் குறைக்கப்பட்டது

மீ ஏ அஎதிர் மூலையில் இருந்து ( α )

மீ பி- பக்கவாட்டில் வரையப்பட்ட இடைநிலை பிஎதிர் மூலையில் இருந்து ( β )

மீ சி- பக்கவாட்டில் வரையப்பட்ட இடைநிலை cஎதிர் மூலையில் இருந்து ( γ )

IN வலது முக்கோணம் எந்த கால்களும் ஹைப்போடென்யூஸை விட குறைவாக இருக்கும்(சூத்திரம் 1 மற்றும் 2). இந்த பண்பு பித்தகோரியன் தேற்றத்தின் விளைவாகும்.

கடுமையான கோணங்களில் ஏதேனும் ஒன்றின் கொசைன்ஒன்றுக்கும் குறைவானது (சூத்திரம் 3 மற்றும் 4). இந்த சொத்து முந்தையதைப் பின்பற்றுகிறது. எந்த கால்களும் ஹைப்போடென்யூஸை விட குறைவாக இருப்பதால், கால் மற்றும் ஹைப்போடென்யூஸின் விகிதம் எப்போதும் ஒன்றை விட குறைவாகவே இருக்கும்.

ஹைபோடென்யூஸின் சதுரம் கால்களின் சதுரங்களின் கூட்டுத்தொகைக்கு சமம் (பித்தகோரியன் தேற்றம்). (சூத்திரம் 5). சிக்கல்களைத் தீர்க்கும்போது இந்த சொத்து தொடர்ந்து பயன்படுத்தப்படுகிறது.

ஒரு செங்கோண முக்கோணத்தின் பரப்பளவுகால்களின் பாதி உற்பத்திக்கு சமம் (சூத்திரம் 6)

ஸ்கொயர் மீடியன்களின் கூட்டுத்தொகைகால்களுக்குச் சமம் என்பது நடுநிலையிலிருந்து ஹைப்போடென்யூஸின் ஐந்து சதுரங்கள் மற்றும் ஹைபோடென்யூஸின் ஐந்து சதுரங்கள் நான்கால் வகுக்கப்படும் (ஃபார்முலா 7). மேலே கூடுதலாக, உள்ளது மேலும் 5 சூத்திரங்கள், எனவே, "வலது முக்கோணத்தின் சராசரி" என்ற பாடத்தையும் நீங்கள் படிக்க பரிந்துரைக்கப்படுகிறது, இது இடைநிலையின் பண்புகளை இன்னும் விரிவாக விவரிக்கிறது.

உயரம்ஒரு செங்கோண முக்கோணத்தின் கால்களின் பெருக்கத்திற்கு சமமானது ஹைப்போடென்யூஸால் வகுக்கப்படும் (ஃபார்முலா 8)

கால்களின் சதுரங்கள் ஹைப்போடென்யூஸுக்குக் குறைக்கப்பட்ட உயரத்தின் சதுரத்திற்கு நேர்மாறான விகிதத்தில் இருக்கும் (சூத்திரம் 9). இந்த அடையாளம் பித்தகோரியன் தேற்றத்தின் விளைவுகளில் ஒன்றாகும்.

ஹைபோடென்யூஸ் நீளம்சுற்றறிக்கை வட்டத்தின் விட்டம் (இரண்டு ஆரங்கள்) சமம் (சூத்திரம் 10). செங்கோண முக்கோணத்தின் ஹைபோடென்யூஸ் சுற்றுவட்டத்தின் விட்டம் ஆகும். இந்த சொத்து பெரும்பாலும் சிக்கலைத் தீர்ப்பதில் பயன்படுத்தப்படுகிறது.

பொறிக்கப்பட்ட ஆரம்வி வலது முக்கோணம் வட்டம்இந்த முக்கோணத்தின் கால்களின் கூட்டுத்தொகையை ஹைப்போடென்யூஸின் நீளத்தைக் கழித்தல் உட்பட வெளிப்பாட்டின் பாதியாகக் காணலாம். அல்லது கொடுக்கப்பட்ட முக்கோணத்தின் அனைத்து பக்கங்களின் (சுற்றளவு) கூட்டுத்தொகையால் வகுக்கப்பட்ட கால்களின் பெருக்கமாக. (சூத்திரம் 11)
கோணத்தின் சைன் எதிர் உறவுஇந்த கோணம் கால் முதல் ஹைப்போடென்யூஸ்(சைன் வரையறையின்படி). (சூத்திரம் 12). பிரச்சனைகளை தீர்க்கும் போது இந்த சொத்து பயன்படுத்தப்படுகிறது. பக்கங்களின் அளவை அறிந்து, அவை உருவாக்கும் கோணத்தை நீங்கள் காணலாம்.

ஒரு செங்கோண முக்கோணத்தில் A (α, ஆல்பா) கோணத்தின் கொசைன் சமமாக இருக்கும் அணுகுமுறை அருகில்இந்த கோணம் கால் முதல் ஹைப்போடென்யூஸ்(சைன் வரையறையின்படி). (சூத்திரம் 13)

வடிவியல் சிக்கல்களைத் தீர்க்கும் போது, ​​அத்தகைய வழிமுறையைப் பின்பற்றுவது பயனுள்ளது. பிரச்சனையின் நிலைமைகளைப் படிக்கும்போது, ​​அது அவசியம்

• ஒரு வரைதல் செய்யுங்கள். வரைதல் சிக்கலின் நிலைமைகளுக்கு முடிந்தவரை ஒத்திருக்க வேண்டும், எனவே அதன் முக்கிய பணி தீர்வு கண்டுபிடிக்க உதவுகிறது
• சிக்கல் அறிக்கையிலிருந்து எல்லா தரவையும் வரைபடத்தில் வைக்கவும்
• சிக்கலில் தோன்றும் அனைத்து வடிவியல் கருத்துகளையும் எழுதுங்கள்
• இந்த கருத்துகளுடன் தொடர்புடைய அனைத்து கோட்பாடுகளையும் நினைவில் கொள்ளுங்கள்
• இந்த கோட்பாட்டிலிருந்து வரும் வடிவியல் உருவத்தின் கூறுகளுக்கு இடையிலான அனைத்து உறவுகளையும் வரைபடத்தில் வரையவும்

எடுத்துக்காட்டாக, சிக்கலில் ஒரு முக்கோணத்தின் கோணத்தின் இருசமவெட்டி என்ற சொற்கள் இருந்தால், நீங்கள் ஒரு இருசமயத்தின் வரையறை மற்றும் பண்புகளை நினைவில் வைத்துக் கொள்ள வேண்டும் மற்றும் வரைபடத்தில் சமமான அல்லது விகிதாசார பிரிவுகள் மற்றும் கோணங்களைக் குறிக்க வேண்டும்.

இந்த கட்டுரையில் நீங்கள் ஒரு முக்கோணத்தின் அடிப்படை பண்புகளை கண்டுபிடிப்பீர்கள், அது சிக்கல்களை வெற்றிகரமாக தீர்க்க நீங்கள் தெரிந்து கொள்ள வேண்டும்.

முக்கோணம்.

ஒரு முக்கோணத்தின் பரப்பளவு.

1. ,

இங்கே - முக்கோணத்தின் தன்னிச்சையான பக்கம், - இந்த பக்கத்திற்கு உயரம் குறைக்கப்பட்டது.

2. ,

இங்கே மற்றும் முக்கோணத்தின் தன்னிச்சையான பக்கங்கள், மற்றும் இந்த பக்கங்களுக்கு இடையே உள்ள கோணம்:

3. ஹெரானின் சூத்திரம்:

முக்கோணத்தின் பக்கங்களின் நீளம் இங்கே உள்ளது, முக்கோணத்தின் அரை சுற்றளவு,

4. ,

இங்கே முக்கோணத்தின் அரை சுற்றளவு உள்ளது, மேலும் இது பொறிக்கப்பட்ட வட்டத்தின் ஆரம் ஆகும்.

தொடுகோடு பகுதிகளின் நீளமாக இருக்கட்டும்.

ஹெரானின் சூத்திரத்தை பின்வருமாறு எழுதலாம்:

5.

6. ,

இங்கே - முக்கோணத்தின் பக்கங்களின் நீளம், - சுற்றப்பட்ட வட்டத்தின் ஆரம்.

இந்த பக்கத்தை m: n என்ற விகிதத்தில் பிரிக்கும் ஒரு முக்கோணத்தின் பக்கத்தில் ஒரு புள்ளி எடுக்கப்பட்டால், இந்த புள்ளியை எதிர் கோணத்தின் உச்சியுடன் இணைக்கும் பிரிவு முக்கோணத்தை இரண்டு முக்கோணங்களாகப் பிரிக்கிறது, அதன் பகுதிகள் விகிதத்தில் உள்ளன. மீ: என்:

ஒத்த முக்கோணங்களின் பகுதிகளின் விகிதம் ஒற்றுமை குணகத்தின் சதுரத்திற்கு சமம்.

ஒரு முக்கோணத்தின் இடைநிலை

இது ஒரு முக்கோணத்தின் உச்சியை எதிர் பக்கத்தின் நடுவில் இணைக்கும் ஒரு பகுதி.

ஒரு முக்கோணத்தின் இடைநிலைகள்ஒரு புள்ளியில் வெட்டும் மற்றும் 2:1 என்ற விகிதத்தில் வெட்டுப்புள்ளியால் வகுக்கப்படும், உச்சியில் இருந்து எண்ணும்.

வழக்கமான முக்கோணத்தின் இடைநிலைகளின் வெட்டுப்புள்ளி இடைநிலையை இரண்டு பிரிவுகளாகப் பிரிக்கிறது, அதில் சிறியது பொறிக்கப்பட்ட வட்டத்தின் ஆரத்திற்குச் சமம், மேலும் பெரியது சுற்றப்பட்ட வட்டத்தின் ஆரத்திற்குச் சமம்.

சுற்றப்பட்ட வட்டத்தின் ஆரம் பொறிக்கப்பட்ட வட்டத்தின் ஆரம்: R=2r

சராசரி நீளம்தன்னிச்சையான முக்கோணம்

,

இங்கே - பக்கத்திற்கு வரையப்பட்ட இடைநிலை - முக்கோணத்தின் பக்கங்களின் நீளம்.

ஒரு முக்கோணத்தின் இரு பிரிவு

இந்த கோணத்தின் உச்சியை எதிர் பக்கத்துடன் இணைக்கும் முக்கோணத்தின் எந்தக் கோணத்தின் இருசமப் பிரிவு இதுவாகும்.

ஒரு முக்கோணத்தின் இரு பிரிவுஒரு பக்கத்தை அடுத்தடுத்த பக்கங்களுக்கு விகிதாசாரமாக பிரிவுகளாக பிரிக்கிறது:

ஒரு முக்கோணத்தின் இரு பிரிவுகள்ஒரு புள்ளியில் வெட்டுங்கள், இது பொறிக்கப்பட்ட வட்டத்தின் மையமாகும்.

கோண இருசமயத்தின் அனைத்து புள்ளிகளும் கோணத்தின் பக்கங்களிலிருந்து சமமான தொலைவில் உள்ளன.

முக்கோண உயரம்

இது முக்கோணத்தின் உச்சியில் இருந்து எதிர் பக்கத்திற்கு அல்லது அதன் தொடர்ச்சிக்கு கைவிடப்பட்ட ஒரு செங்குத்து பிரிவு ஆகும். ஒரு மழுங்கிய முக்கோணத்தில், கடுமையான கோணத்தின் உச்சியில் இருந்து வரையப்பட்ட உயரம் முக்கோணத்திற்கு வெளியே உள்ளது.

ஒரு முக்கோணத்தின் உயரம் ஒரு புள்ளியில் வெட்டுகிறது, இது அழைக்கப்படுகிறது முக்கோணத்தின் orthocenter.

முக்கோணத்தின் உயரத்தைக் கண்டறியபக்கவாட்டில் வரையப்பட்டால், கிடைக்கக்கூடிய எந்த வகையிலும் அதன் பகுதியை நீங்கள் கண்டுபிடிக்க வேண்டும், பின்னர் சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்தவும்:

ஒரு முக்கோணத்தின் சுற்றுவட்டத்தின் மையம், முக்கோணத்தின் பக்கங்களில் வரையப்பட்ட செங்குத்தாக இருபக்கங்களின் வெட்டுப்புள்ளியில் அமைந்துள்ளது.

ஒரு முக்கோணத்தின் சுற்றளவு ஆரம் பின்வரும் சூத்திரங்களைப் பயன்படுத்தி கண்டறியலாம்:

இங்கே முக்கோணத்தின் பக்கங்களின் நீளம் மற்றும் முக்கோணத்தின் பரப்பளவு உள்ளது.

,

முக்கோணத்தின் பக்கத்தின் நீளம் மற்றும் எதிர் கோணம் எங்கே. (இந்த சூத்திரம் சைன் தேற்றத்திலிருந்து பின்பற்றப்படுகிறது.)

முக்கோண சமத்துவமின்மை

முக்கோணத்தின் ஒவ்வொரு பக்கமும் தொகையை விட குறைவாகவும் மற்ற இரண்டின் வேறுபாட்டை விட அதிகமாகவும் இருக்கும்.

எந்த இரண்டு பக்கங்களின் நீளங்களின் கூட்டுத்தொகையானது மூன்றாவது பக்கத்தின் நீளத்தை விட எப்போதும் அதிகமாக இருக்கும்:

பெரிய பக்கத்திற்கு எதிரே பெரிய கோணம் உள்ளது; பெரிய கோணத்திற்கு எதிரே பெரிய பக்கம் உள்ளது:

என்றால், நேர்மாறாக.

சைன்களின் தேற்றம்:

ஒரு முக்கோணத்தின் பக்கங்கள் எதிர் கோணங்களின் சைன்களுக்கு விகிதாசாரமாக இருக்கும்:

கொசைன் தேற்றம்:

ஒரு முக்கோணத்தின் ஒரு பக்கத்தின் சதுரமானது, மற்ற இரு பக்கங்களின் சதுரங்களின் கூட்டுத்தொகைக்கு சமமாக இருக்கும், அவற்றுக்கு இடையே உள்ள கோணத்தின் கோசைன் மூலம் இந்தப் பக்கங்களின் பெருக்கத்தின் இருமடங்கு இல்லை:

வலது முக்கோணம்

- இது ஒரு முக்கோணம், இதன் கோணங்களில் ஒன்று 90° ஆகும்.

செங்கோண முக்கோணத்தின் தீவிர கோணங்களின் கூட்டுத்தொகை 90° ஆகும்.

ஹைப்போடென்யூஸ் என்பது 90° கோணத்திற்கு எதிரே இருக்கும் பக்கமாகும். ஹைப்போடென்யூஸ் மிக நீளமான பக்கமாகும்.

பித்தகோரியன் தேற்றம்:

ஹைப்போடென்யூஸின் சதுரம் கால்களின் சதுரங்களின் கூட்டுத்தொகைக்கு சமம்:

செங்கோண முக்கோணத்தில் பொறிக்கப்பட்ட வட்டத்தின் ஆரம் சமமாக இருக்கும்

,

இங்கே பொறிக்கப்பட்ட வட்டத்தின் ஆரம், - கால்கள், - ஹைப்போடென்யூஸ்:

ஒரு செங்கோண முக்கோணத்தின் சுற்றுவட்டத்தின் மையம் ஹைபோடென்யூஸின் நடுவில் உள்ளது:

ஹைபோடென்யூஸுக்கு வரையப்பட்ட செங்கோண முக்கோணத்தின் இடைநிலை, பாதி ஹைப்போடென்ஸுக்கு சமம்.

ஒரு செங்கோண முக்கோணத்தின் சைன், கொசைன், டேன்ஜென்ட் மற்றும் கோடேன்ஜென்ட் ஆகியவற்றின் வரையறைபார்

வலது முக்கோணத்தில் உள்ள உறுப்புகளின் விகிதம்:

ஒரு செங்கோணத்தின் உச்சியில் இருந்து வரையப்பட்ட ஒரு செங்கோண முக்கோணத்தின் உயரத்தின் சதுரம், ஹைபோடென்யூஸில் கால்களின் கணிப்புகளின் பெருக்கத்திற்கு சமம்:

காலின் சதுரமானது ஹைப்போடென்யூஸின் பெருக்கத்திற்கு சமம் மற்றும் ஹைபோடென்யூஸின் மீது காலின் முன்கணிப்பு:

மூலைக்கு எதிரே கிடந்த கால் பாதி ஹைப்போடென்ஸுக்கு சமம்:

ஐசோசெல்ஸ் முக்கோணம்.

ஒரு ஐசோசெல்ஸ் முக்கோணத்தின் இருமுனையானது அடிப்பகுதிக்கு வரையப்பட்ட இடைநிலை மற்றும் உயரம் ஆகும்.

ஐசோசெல்ஸ் முக்கோணத்தில், அடிப்படை கோணங்கள் சமமாக இருக்கும்.

உச்ச கோணம்.

மற்றும் - பக்கங்களிலும்,

மற்றும் - அடிவாரத்தில் கோணங்கள்.

உயரம், இருமுனை மற்றும் இடைநிலை.

கவனம்!பக்கவாட்டில் வரையப்பட்ட உயரம், இருமுனை மற்றும் இடைநிலை ஆகியவை ஒத்துப்போவதில்லை.

வழக்கமான முக்கோணம்

(அல்லது சமபக்க முக்கோணம் ) ஒரு முக்கோணம், அனைத்து பக்கங்களும் கோணங்களும் ஒன்றுக்கொன்று சமமாக இருக்கும்.

வழக்கமான முக்கோணத்தின் பகுதிசமமாக

முக்கோணத்தின் பக்கத்தின் நீளம் எங்கே.

வழக்கமான முக்கோணத்தில் பொறிக்கப்பட்ட வட்டத்தின் மையம், ஒரு வழக்கமான முக்கோணத்தைச் சுற்றி வட்டத்தின் மையத்துடன் ஒத்துப்போகிறது மற்றும் இடைநிலைகளின் குறுக்குவெட்டு புள்ளியில் உள்ளது.

வழக்கமான முக்கோணத்தின் இடைநிலைகளின் வெட்டுப்புள்ளிஇடைநிலையை இரண்டு பிரிவுகளாகப் பிரிக்கிறது, அதில் சிறியது பொறிக்கப்பட்ட வட்டத்தின் ஆரத்திற்குச் சமம், மேலும் பெரியது சுற்றப்பட்ட வட்டத்தின் ஆரத்திற்குச் சமம்.

ஐசோசெல்ஸ் முக்கோணத்தின் கோணங்களில் ஒன்று 60° ஆக இருந்தால், முக்கோணம் வழக்கமானதாக இருக்கும்.

முக்கோணத்தின் நடுக் கோடு

இது இரு பக்கங்களின் நடுப்புள்ளிகளை இணைக்கும் பிரிவு.

படத்தில் DE என்பது ABC முக்கோணத்தின் நடுக் கோடு.

முக்கோணத்தின் நடுக் கோடு மூன்றாவது பக்கத்திற்கு இணையாகவும் அதன் பாதிக்கு சமமாகவும் இருக்கும்: DE||AC, AC=2DE

ஒரு முக்கோணத்தின் வெளிப்புற கோணம்

இது முக்கோணத்தின் எந்த கோணத்திற்கும் அருகில் இருக்கும் கோணம்.

ஒரு முக்கோணத்தின் வெளிப்புறக் கோணம் அதற்கு அருகில் இல்லாத இரண்டு கோணங்களின் கூட்டுத்தொகைக்கு சமம்.

வெளிப்புற கோண முக்கோணவியல் செயல்பாடுகள்:

முக்கோணங்களின் சமத்துவத்தின் அறிகுறிகள்:

1 . ஒரு முக்கோணத்தின் இரண்டு பக்கங்களும் அவற்றுக்கிடையேயான கோணமும் முறையே இரண்டு பக்கங்களுக்கும், மற்றொரு முக்கோணத்தின் அவற்றுக்கிடையேயான கோணமும் சமமாக இருந்தால், அத்தகைய முக்கோணங்கள் ஒத்ததாக இருக்கும்.

2 . ஒரு முக்கோணத்தின் ஒரு பக்கமும் இரண்டு அடுத்தடுத்த கோணங்களும் முறையே மற்றொரு முக்கோணத்தின் ஒரு பக்கத்திற்கும் இரண்டு அடுத்தடுத்த கோணங்களுக்கும் சமமாக இருந்தால், அத்தகைய முக்கோணங்கள் ஒத்ததாக இருக்கும்.

3 ஒரு முக்கோணத்தின் மூன்று பக்கங்களும் முறையே மற்றொரு முக்கோணத்தின் மூன்று பக்கங்களுக்கு சமமாக இருந்தால், அத்தகைய முக்கோணங்கள் சமமாக இருக்கும்.

முக்கியமான:ஒரு செங்கோண முக்கோணத்தில் இரண்டு கோணங்கள் வெளிப்படையாக சமமாக இருப்பதால், பிறகு இரண்டு வலது முக்கோணங்களின் சமத்துவம்இரண்டு கூறுகளின் சமத்துவம் தேவை: இரண்டு பக்கங்கள், அல்லது ஒரு பக்கம் மற்றும் ஒரு தீவிர கோணம்.

முக்கோணங்களின் ஒற்றுமையின் அறிகுறிகள்:

1 . ஒரு முக்கோணத்தின் இரண்டு பக்கங்களும் மற்றொரு முக்கோணத்தின் இரு பக்கங்களுக்கு விகிதாசாரமாக இருந்தால், இந்த பக்கங்களுக்கு இடையே உள்ள கோணங்கள் சமமாக இருந்தால், இந்த முக்கோணங்கள் ஒரே மாதிரியாக இருக்கும்.

2 . ஒரு முக்கோணத்தின் மூன்று பக்கங்களும் மற்றொரு முக்கோணத்தின் மூன்று பக்கங்களுக்கு விகிதாசாரமாக இருந்தால், முக்கோணங்களும் ஒரே மாதிரியாக இருக்கும்.

3 . ஒரு முக்கோணத்தின் இரண்டு கோணங்களும் மற்றொரு முக்கோணத்தின் இரண்டு கோணங்களும் சமமாக இருந்தால், முக்கோணங்களும் ஒரே மாதிரியாக இருக்கும்.

முக்கியமான:ஒத்த முக்கோணங்களில், ஒத்த பக்கங்களும் சம கோணங்களுக்கு எதிரே இருக்கும்.

மெனெலாஸ் தேற்றம்

ஒரு கோடு ஒரு முக்கோணத்தை வெட்டட்டும், அது பக்கத்துடன் அதன் குறுக்குவெட்டு புள்ளியாகும், இது பக்கத்துடன் அதன் குறுக்குவெட்டு புள்ளியாகும், மேலும் பக்கத்தின் தொடர்ச்சியுடன் அதன் குறுக்குவெட்டு புள்ளியாகும். பிறகு

"Get an A" என்ற வீடியோ பாடத்தில் 60-65 புள்ளிகளுடன் கணிதத்தில் ஒருங்கிணைந்த மாநிலத் தேர்வில் வெற்றிகரமாக தேர்ச்சி பெற தேவையான அனைத்து தலைப்புகளும் அடங்கும். கணிதத்தில் சுயவிவர ஒருங்கிணைந்த மாநிலத் தேர்வின் 1-13 அனைத்து பணிகளும் முழுமையாக. கணிதத்தில் அடிப்படை ஒருங்கிணைந்த மாநிலத் தேர்வில் தேர்ச்சி பெறவும் ஏற்றது. நீங்கள் ஒருங்கிணைந்த மாநிலத் தேர்வில் 90-100 புள்ளிகளுடன் தேர்ச்சி பெற விரும்பினால், பகுதி 1 ஐ 30 நிமிடங்களில் மற்றும் தவறுகள் இல்லாமல் தீர்க்க வேண்டும்!

10-11 வகுப்புகளுக்கான ஒருங்கிணைந்த மாநிலத் தேர்வுக்கான தயாரிப்பு பாடநெறி, அத்துடன் ஆசிரியர்களுக்கும். கணிதத்தில் ஒருங்கிணைந்த மாநிலத் தேர்வின் பகுதி 1 (முதல் 12 சிக்கல்கள்) மற்றும் சிக்கல் 13 (முக்கோணவியல்) ஆகியவற்றில் நீங்கள் தீர்க்க வேண்டிய அனைத்தும். இது ஒருங்கிணைந்த மாநிலத் தேர்வில் 70 புள்ளிகளுக்கு மேல் உள்ளது, மேலும் 100-புள்ளி மாணவரோ அல்லது மனிதநேய மாணவரோ அவர்கள் இல்லாமல் செய்ய முடியாது.

தேவையான அனைத்து கோட்பாடு. ஒருங்கிணைந்த மாநிலத் தேர்வின் விரைவான தீர்வுகள், ஆபத்துகள் மற்றும் ரகசியங்கள். FIPI பணி வங்கியின் பகுதி 1 இன் அனைத்து தற்போதைய பணிகளும் பகுப்பாய்வு செய்யப்பட்டுள்ளன. ஒருங்கிணைந்த மாநிலத் தேர்வு 2018 இன் தேவைகளுடன் பாடநெறி முழுமையாக இணங்குகிறது.

பாடநெறி 5 பெரிய தலைப்புகளைக் கொண்டுள்ளது, ஒவ்வொன்றும் 2.5 மணிநேரம். ஒவ்வொரு தலைப்பும் புதிதாக, எளிமையாகவும் தெளிவாகவும் கொடுக்கப்பட்டுள்ளது.

நூற்றுக்கணக்கான ஒருங்கிணைந்த மாநில தேர்வு பணிகள். வார்த்தை சிக்கல்கள் மற்றும் நிகழ்தகவு கோட்பாடு. சிக்கல்களைத் தீர்ப்பதற்கான எளிய மற்றும் எளிதாக நினைவில் கொள்ளக்கூடிய அல்காரிதம்கள். வடிவியல். கோட்பாடு, குறிப்பு பொருள், அனைத்து வகையான ஒருங்கிணைந்த மாநில தேர்வு பணிகளின் பகுப்பாய்வு. ஸ்டீரியோமெட்ரி. தந்திரமான தீர்வுகள், பயனுள்ள ஏமாற்றுத் தாள்கள், இடஞ்சார்ந்த கற்பனையின் வளர்ச்சி. முக்கோணவியல் முதல் பிரச்சனை வரை 13. சிக்கலுக்கு பதிலாக புரிந்து கொள்ளுதல். சிக்கலான கருத்துகளின் தெளிவான விளக்கங்கள். இயற்கணிதம். வேர்கள், சக்திகள் மற்றும் மடக்கைகள், செயல்பாடு மற்றும் வழித்தோன்றல். ஒருங்கிணைந்த மாநிலத் தேர்வின் பகுதி 2 இன் சிக்கலான சிக்கல்களைத் தீர்ப்பதற்கான அடிப்படை.