Todo lo que necesitas saber sobre el triángulo. Triángulo rectángulo Cómo encontrar la altura desde un ángulo recto.
No importa qué plan de estudios escolar contenga una materia como la geometría. Cada uno de nosotros, como estudiante, estudiamos esta disciplina y resolvimos ciertos problemas. Pero para muchas personas, sus años escolares han quedado atrás y algunos de los conocimientos adquiridos se han borrado de la memoria.
Pero, ¿qué pasa si de repente necesitas encontrar la respuesta a una determinada pregunta de un libro de texto escolar, por ejemplo, cómo encontrar la altura de un triángulo rectángulo? En este caso, un usuario de computadora moderno y avanzado primero abrirá Internet y encontrará la información que le interese.
Información básica sobre triángulos.
Esta figura geométrica consta de 3 segmentos conectados entre sí en los puntos finales, y los puntos de contacto de estos puntos no están en la misma línea recta. Los segmentos que forman un triángulo se llaman lados. Las uniones de los lados forman la parte superior de la figura, así como sus esquinas.
Tipos de triángulos según sus ángulos.
Esta figura puede tener 3 tipos de ángulos: agudo, obtuso y recto. Dependiendo de esto, entre los triángulos se distinguen las siguientes variedades:
Tipos de triángulos según la longitud de los lados
Como se mencionó anteriormente, esta figura surge de 3 segmentos. Según su tamaño se distinguen los siguientes tipos de triángulos:
Cómo encontrar la altura de un triángulo rectángulo
Dos lados semejantes de un triángulo rectángulo que forman un ángulo recto en el punto de contacto se llaman catetos. El segmento que los conecta se llama “hipotenusa”. Para encontrar la altura en una figura geométrica determinada, debes trazar una línea desde la parte superior del ángulo recto hasta la hipotenusa. Con todo esto, ¿esta recta debería dividir el ángulo en 90? exactamente a la mitad. Tal segmento se llama bisectriz.
La imagen de arriba muestra un triángulo rectángulo, cuya altura tendremos que calcular. Esto se puede hacer de varias maneras:
Si dibujas un círculo alrededor de un triángulo y dibujas un radio, su valor será la mitad del tamaño de la hipotenusa. En base a esto, la altura de un triángulo rectángulo se puede calcular mediante la fórmula:
Triángulo rectángulo- este es un triángulo en el que uno de los ángulos es recto, es decir, igual a 90 grados.
- El lado opuesto al ángulo recto se llama hipotenusa (en la figura se indica como C o AB)
- El lado adyacente al ángulo recto se llama cateto. Cada triángulo rectángulo tiene dos catetos (en la figura se designan como a yb o AC y BC)
Fórmulas y propiedades de un triángulo rectángulo.
Designaciones de fórmulas:(ver imagen arriba)
a, b- catetos de un triángulo rectángulo
C- hipotenusa
α, β - ángulos agudos de un triángulo
S- cuadrado
h- altura bajada desde el vértice de un ángulo recto hasta la hipotenusa
m un a desde la esquina opuesta ( α )
m b- mediana dibujada hacia un lado b desde la esquina opuesta ( β )
m c- mediana dibujada hacia un lado C desde la esquina opuesta ( γ )
EN triángulo rectángulo cualquiera de los catetos es menor que la hipotenusa(Fórmula 1 y 2). Esta propiedad es consecuencia del teorema de Pitágoras.
Coseno de cualquiera de los ángulos agudos. menos de uno (Fórmula 3 y 4). Esta propiedad se deriva de la anterior. Dado que cualquiera de los catetos es menor que la hipotenusa, la relación entre el cateto y la hipotenusa es siempre menor que uno.
El cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de los catetos (teorema de Pitágoras). (Fórmula 5). Esta propiedad se utiliza constantemente al resolver problemas.
Área de un triángulo rectángulo igual a la mitad del producto de las piernas (Fórmula 6)
Suma de medianas al cuadrado a los catetos es igual a cinco cuadrados de la mediana a la hipotenusa y cinco cuadrados de la hipotenusa divididos por cuatro (Fórmula 7). Además de lo anterior, existe 5 fórmulas más, por lo tanto, se recomienda leer también la lección “Mediana de un triángulo rectángulo”, que describe las propiedades de la mediana con más detalle.
Altura de un triángulo rectángulo es igual al producto de los catetos dividido por la hipotenusa (Fórmula 8)
Los cuadrados de los catetos son inversamente proporcionales al cuadrado de la altura bajada a la hipotenusa (Fórmula 9). Esta identidad es también una de las consecuencias del teorema de Pitágoras.
longitud de la hipotenusa igual al diámetro (dos radios) del círculo circunscrito (Fórmula 10). hipotenusa de un triángulo rectángulo es el diámetro del círculo circunstante. Esta propiedad se utiliza a menudo en la resolución de problemas.
Radio inscrito V triángulo rectángulo círculo se puede encontrar como la mitad de la expresión incluyendo la suma de los catetos de este triángulo menos la longitud de la hipotenusa. O como el producto de los catetos dividido por la suma de todos los lados (perímetro) de un triángulo dado. (Fórmula 11)
Seno de ángulo relación con el opuesto este ángulo cateto a hipotenusa(por definición de seno). (Fórmula 12). Esta propiedad se utiliza al resolver problemas. Conociendo los tamaños de los lados, puedes encontrar el ángulo que forman.
El coseno del ángulo A (α, alfa) en un triángulo rectángulo será igual a actitud adyacente este ángulo cateto a hipotenusa(por definición de seno). (Fórmula 13)
El curso en video “Obtén una A” incluye todos los temas necesarios para aprobar con éxito el Examen Estatal Unificado de Matemáticas con 60-65 puntos. Completar todas las tareas 1-13 del Examen Estatal Unificado de Perfil en matemáticas. También apto para aprobar el Examen Estatal Unificado Básico de Matemáticas. Si quieres aprobar el Examen Estatal Unificado con 90-100 puntos, ¡debes resolver la parte 1 en 30 minutos y sin errores!
Curso de preparación para el Examen del Estado Unificado para los grados 10-11, así como para docentes. Todo lo que necesitas para resolver la Parte 1 del Examen Estatal Unificado de Matemáticas (los primeros 12 problemas) y el Problema 13 (trigonometría). Y esto son más de 70 puntos en el Examen Estatal Unificado, y ni un estudiante de 100 puntos ni un estudiante de humanidades pueden prescindir de ellos.
Toda la teoría necesaria. Soluciones rápidas, trampas y secretos del Examen Estatal Unificado. Se han analizado todas las tareas actuales de la parte 1 del Banco de tareas FIPI. El curso cumple plenamente con los requisitos del Examen Estatal Unificado 2018.
El curso contiene 5 grandes temas, de 2,5 horas cada uno. Cada tema se da desde cero, de forma sencilla y clara.
Cientos de tareas del Examen Estatal Unificado. Problemas verbales y teoría de la probabilidad. Algoritmos simples y fáciles de recordar para la resolución de problemas. Geometría. Teoría, material de referencia, análisis de todo tipo de tareas del Examen Estatal Unificado. Estereometría. Soluciones complicadas, trucos útiles, desarrollo de la imaginación espacial. Trigonometría desde cero hasta el problema 13. Comprender en lugar de abarrotar. Explicaciones claras de conceptos complejos. Álgebra. Raíces, potencias y logaritmos, función y derivada. Una base para resolver problemas complejos de la Parte 2 del Examen Estatal Unificado.
(A B C) y sus propiedades, que se presenta en la figura. Un triángulo rectángulo tiene una hipotenusa, el lado opuesto al ángulo recto.
Consejo 1: Cómo encontrar la altura de un triángulo rectángulo
Los lados que forman un ángulo recto se llaman catetos. La imagen muestra los lados. AD, CC y BD, CC- piernas y costados C.A. Y nordeste- hipotenusa.
Teorema 1. En un triángulo rectángulo con un ángulo de 30°, el cateto opuesto a este ángulo romperá la mitad de la hipotenusa.
HC
AB- hipotenusa;
ANUNCIO Y DВ
Triángulo
Hay un teorema:
sistema de comentarios carcajadami
Solución: 1) Las diagonales de cualquier rectángulo son iguales. Verdadero 2) Si un triángulo tiene un ángulo agudo, entonces este triángulo es agudo. No es verdad. Tipos de triángulos. Un triángulo se llama agudo si sus tres ángulos son agudos, es decir, menores de 90° 3) Si el punto está sobre.
O, en otra entrada,
Según el teorema de Pitágoras
¿Cuál es la fórmula para la altura de un triángulo rectángulo?
Altura de un triángulo rectángulo
La altura de un triángulo rectángulo dibujado hasta la hipotenusa se puede encontrar de una forma u otra dependiendo de los datos del enunciado del problema.
O, en otra entrada,
Donde BK y KC son las proyecciones de los catetos sobre la hipotenusa (los segmentos en los que la altura divide la hipotenusa).
La altura a la hipotenusa se puede encontrar a través del área de un triángulo rectángulo. Si aplicamos la fórmula para encontrar el área de un triángulo
(la mitad del producto de un lado por la altura trazada a este lado) a la hipotenusa y la altura trazada a la hipotenusa, obtenemos:
A partir de aquí podemos encontrar la altura como la razón entre el doble del área del triángulo y la longitud de la hipotenusa:
Dado que el área de un triángulo rectángulo es igual a la mitad del producto de los catetos:
Es decir, la longitud de la altura trazada hasta la hipotenusa es igual a la relación entre el producto de los catetos y la hipotenusa. Si denotamos las longitudes de los catetos por a y b, la longitud de la hipotenusa por c, la fórmula se puede reescribir como
Dado que el radio del círculo circunstante de un triángulo rectángulo es igual a la mitad de la hipotenusa, la longitud de la altitud se puede expresar en términos de los catetos y el radio del círculo circunstante:
Dado que la altura dibujada hasta la hipotenusa forma dos triángulos rectángulos más, su longitud se puede encontrar mediante las relaciones en el triángulo rectángulo.
Del triángulo rectángulo ABK
Del triángulo rectángulo ACK
La longitud de la altura de un triángulo rectángulo se puede expresar en términos de las longitudes de los catetos. Porque
Según el teorema de Pitágoras
Si elevamos al cuadrado ambos lados de la ecuación:
Puedes obtener otra fórmula para relacionar la altura de un triángulo rectángulo con sus catetos:
¿Cuál es la fórmula para la altura de un triángulo rectángulo?
Triángulo rectángulo. Nivel promedio.
¿Quiere poner a prueba su fortaleza y conocer el resultado de qué tan preparado está para el Examen Estatal Unificado o Examen Estatal Unificado?
El teorema principal sobre los triángulos rectángulos es el teorema de Pitágoras.
Teorema de pitágoras
Por cierto, ¿recuerdas bien qué son los catetos y la hipotenusa? Si no es muy bueno, mire la imagen y actualice sus conocimientos.
Es muy posible que ya hayas utilizado el teorema de Pitágoras muchas veces, pero ¿alguna vez te has preguntado por qué ese teorema es cierto? ¿Cómo puedo probarlo? Hagamos como los antiguos griegos. Dibujemos un cuadrado con un lado.
¡Mira con qué habilidad dividimos sus lados en longitudes y!
Ahora conectemos los puntos marcados.
Aquí, sin embargo, notamos algo más, pero usted mismo mira el dibujo y piensa por qué es así.
¿Cuál es el área del cuadrado más grande? Bien, . ¿Qué pasa con un área más pequeña? Ciertamente, . Queda el área total de las cuatro esquinas. Imaginemos que los tomamos de dos en dos y los apoyamos uno contra otro con sus hipotenusas. ¿Qué pasó? Dos rectángulos. Esto significa que el área de los “cortes” es igual.
Juntémoslo todo ahora.
Entonces visitamos a Pitágoras y demostramos su teorema de una manera antigua.
Triángulo rectángulo y trigonometría.
Para un triángulo rectángulo se cumplen las siguientes relaciones:
El seno de un ángulo agudo es igual a la razón del cateto opuesto a la hipotenusa.
El coseno de un ángulo agudo es igual a la razón entre el cateto adyacente y la hipotenusa.
La tangente de un ángulo agudo es igual a la razón entre el lado opuesto y el lado adyacente.
La cotangente de un ángulo agudo es igual a la relación entre el lado adyacente y el lado opuesto.
Y una vez más todo esto en forma de tablet:
¿Has notado algo muy conveniente? Mire el cartel con atención.
¡Es muy cómodo!
Signos de igualdad de triángulos rectángulos.
II. Por cateto e hipotenusa
III. Por hipotenusa y ángulo agudo
IV. A lo largo de la pierna y ángulo agudo.
¡Atención! Aquí es muy importante que las piernas sean “apropiadas”. Por ejemplo, si dice así:
ENTONCES LOS TRIÁNGULOS NO SON IGUALES, a pesar de que tienen un ángulo agudo idéntico.
Necesitar En ambos triángulos el cateto era adyacente, o en ambos era opuesto.
¿Has notado en qué los signos de igualdad de los triángulos rectángulos difieren de los signos habituales de igualdad de los triángulos? Eche un vistazo al tema "Triángulo" y preste atención al hecho de que para la igualdad de los triángulos "ordinarios", tres de sus elementos deben ser iguales: dos lados y el ángulo entre ellos, dos ángulos y el lado entre ellos, o tres lados. Pero para la igualdad de triángulos rectángulos sólo bastan dos elementos correspondientes. Genial, ¿verdad?
La situación es aproximadamente la misma con los signos de semejanza de triángulos rectángulos.
Signos de similitud de triángulos rectángulos.
III. Por cateto e hipotenusa
Mediana en un triángulo rectángulo
En lugar de un triángulo rectángulo, considere un rectángulo completo.
Dibujemos una diagonal y consideremos el punto en el que se cruzan las diagonales. ¿Qué sabes sobre las diagonales de un rectángulo?
- El punto de intersección de las diagonales se divide por la mitad y las diagonales son iguales.
¿Y qué se sigue de esto?
Entonces resultó que
¡Recuerda este hecho! ¡Ayuda mucho!
Lo que es aún más sorprendente es que también ocurre lo contrario.
¿Qué beneficio se puede obtener del hecho de que la mediana trazada hasta la hipotenusa sea igual a la mitad de la hipotenusa? Miremos la foto
Mira cuidadosamente. Tenemos: , es decir, las distancias desde el punto a los tres vértices del triángulo resultaron ser iguales. Pero solo hay un punto en el triángulo, cuyas distancias desde los tres vértices del triángulo son iguales, y este es el CENTRO DEL CÍRCULO. ¿Entonces qué pasó?
Empecemos con este "además". "
¡Pero los triángulos semejantes tienen todos los ángulos iguales!
Lo mismo puede decirse de y
Ahora dibujémoslo juntos:
¡Tienen los mismos ángulos agudos!
¿Qué beneficio se puede derivar de esta “triple” similitud?
Bueno, por ejemplo - Dos fórmulas para la altura de un triángulo rectángulo.
Anotemos las relaciones de las partes correspondientes:
Para encontrar la altura, resolvemos la proporción y obtenemos La primera fórmula "Altura en un triángulo rectángulo".:
¿Cómo conseguir un segundo?
Ahora apliquemos la similitud de triángulos y.
Entonces, apliquemos la similitud: .
¿Que pasará ahora?
Nuevamente resolvemos la proporción y obtenemos la segunda fórmula. "Altura en un triángulo rectángulo":
Debe recordar muy bien ambas fórmulas y utilizar la que le resulte más conveniente. Escribámoslos de nuevo
Pues ahora, aplicando y combinando estos conocimientos con otros, ¡resolverás cualquier problema con un triángulo rectángulo!
Comentarios
Se permite la distribución de materiales sin aprobación si hay un enlace dofollow a la página de origen.
política de privacidad
Mantener su privacidad es importante para nosotros. Por este motivo, hemos desarrollado una Política de Privacidad que describe cómo usamos y almacenamos su información. Revise nuestras prácticas de privacidad y háganos saber si tiene alguna pregunta.
Recopilación y uso de información personal.
La información personal se refiere a datos que pueden usarse para identificar o contactar a una persona específica.
Es posible que se le solicite que proporcione su información personal en cualquier momento cuando se comunique con nosotros.
A continuación se muestran algunos ejemplos de los tipos de información personal que podemos recopilar y cómo podemos usar dicha información.
Qué información personal recopilamos:
- Cuando envía una solicitud en el sitio, podemos recopilar diversa información, incluido su nombre, número de teléfono, dirección de correo electrónico, etc.
Cómo usamos tu información personal:
- La información personal que recopilamos nos permite comunicarnos con usted con ofertas únicas, promociones y otros eventos y próximos eventos. De vez en cuando, podemos utilizar su información personal para enviar avisos y comunicaciones importantes. También podemos utilizar información personal para fines internos, como realizar auditorías, análisis de datos e investigaciones diversas para mejorar los servicios que brindamos y brindarle recomendaciones sobre nuestros servicios.
Propiedad de la altura de un triángulo rectángulo reducida a la hipotenusa
Si participa en un sorteo de premios, concurso o promoción similar, podremos utilizar la información que proporcione para administrar dichos programas.
Divulgación de información a terceros
No revelamos la información que recibimos de usted a terceros.
- Si es necesario, de conformidad con la ley, un procedimiento judicial, en procedimientos legales y/o en base a solicitudes públicas o solicitudes de autoridades gubernamentales en el territorio de la Federación de Rusia, revelar su información personal. También podemos divulgar información sobre usted si determinamos que dicha divulgación es necesaria o apropiada para fines de seguridad, cumplimiento de la ley u otros fines de importancia pública. En caso de una reorganización, fusión o venta, podemos transferir la información personal que recopilamos al tercero sucesor correspondiente.
Protección de información personal
Tomamos precauciones, incluidas las administrativas, técnicas y físicas, para proteger su información personal contra pérdida, robo y uso indebido, así como acceso no autorizado, divulgación, alteración y destrucción.
Respetando su privacidad a nivel de empresa
Para garantizar que su información personal esté segura, comunicamos estándares de privacidad y seguridad a nuestros empleados y aplicamos estrictamente las prácticas de privacidad.
¡Gracias por tu mensaje!
Su comentario ha sido aceptado y después de moderación será publicado en esta página.
¿Quiere saber qué se esconde debajo del corte y recibir materiales exclusivos sobre la preparación para el Examen Estatal Unificado y el Examen Estatal Unificado? Deja tu correo electrónico
Propiedades de un triángulo rectángulo
Considere un triángulo rectángulo (A B C) y sus propiedades, que se presenta en la figura. Un triángulo rectángulo tiene una hipotenusa, el lado opuesto al ángulo recto. Los lados que forman un ángulo recto se llaman catetos. La imagen muestra los lados. AD, CC y BD, CC- piernas y costados C.A. Y nordeste- hipotenusa.
Signos de igualdad de un triángulo rectángulo:
Teorema 1. Si la hipotenusa y el cateto de un triángulo rectángulo son similares a la hipotenusa y el cateto de otro triángulo, entonces dichos triángulos son congruentes.
Teorema 2. Si dos catetos de un triángulo rectángulo son iguales a dos catetos de otro triángulo, entonces dichos triángulos son congruentes.
Teorema 3. Si la hipotenusa y el ángulo agudo de un triángulo rectángulo son similares a la hipotenusa y el ángulo agudo de otro triángulo, entonces dichos triángulos son congruentes.
Teorema 4. Si un cateto y un ángulo agudo adyacente (opuesto) de un triángulo rectángulo son iguales a un cateto y un ángulo agudo adyacente (opuesto) de otro triángulo, entonces dichos triángulos son congruentes.
Propiedades de un cateto opuesto a un ángulo de 30°:
Teorema 1.
Altura en un triángulo rectángulo
En un triángulo rectángulo con un ángulo de 30°, el cateto opuesto a este ángulo romperá la mitad de la hipotenusa.
Teorema 2. Si en un triángulo rectángulo el cateto es igual a la mitad de la hipotenusa, entonces el ángulo opuesto mide 30°.
Si la altura se traza desde el vértice del ángulo recto hasta la hipotenusa, entonces dicho triángulo se divide en dos más pequeños, similares al saliente y similares entre sí. De esto se desprenden las siguientes conclusiones:
- La altura es la media geométrica (media proporcional) de los dos segmentos de la hipotenusa.
- Cada cateto del triángulo es la media proporcional a la hipotenusa y los segmentos adyacentes.
En un triángulo rectángulo, los catetos actúan como altitudes. El ortocentro es el punto en el que se produce la intersección de las altitudes del triángulo. Coincide con el vértice del ángulo recto de la figura.
HC- la altura que sale del ángulo recto del triángulo;
AB- hipotenusa;
ANUNCIO Y DВ- segmentos que surgen al dividir la hipotenusa por la altura.
Volver a visualizar información sobre la disciplina "Geometría"
Triángulo es una figura geométrica que consta de tres puntos (vértices) que no están en la misma línea recta y tres segmentos que conectan estos puntos. Un triángulo rectángulo es un triángulo que tiene uno de sus ángulos a 90° (un ángulo recto).
Hay un teorema: la suma de los ángulos agudos de un triángulo rectángulo es 90°.
sistema de comentarios carcajadami
Palabras clave: triángulo, ángulo recto, cateto, hipotenusa, teorema de Pitágoras, círculo
El triangulo se llama rectangular si tiene un ángulo recto.
Un triángulo rectángulo tiene dos lados mutuamente perpendiculares llamados piernas; su tercer lado se llama hipotenusa.
- Según las propiedades de la perpendicular y la oblicua, la hipotenusa es más larga que cada uno de los catetos (pero menos que su suma).
- La suma de dos ángulos agudos de un triángulo rectángulo es igual a un ángulo recto.
- Dos alturas de un triángulo rectángulo coinciden con sus catetos. Por tanto, uno de los cuatro puntos notables cae en los vértices del ángulo recto del triángulo.
- El circuncentro de un triángulo rectángulo se encuentra en la mitad de la hipotenusa.
- La mediana de un triángulo rectángulo trazado desde el vértice del ángulo recto hasta la hipotenusa es el radio de la circunferencia circunscrita a este triángulo.
Considere un triángulo rectángulo arbitrario ABC y dibuje la altura CD = hc desde el vértice C de su ángulo recto.
Dividirá el triángulo dado en dos triángulos rectángulos ACD y BCD; cada uno de estos triángulos tiene un ángulo agudo común con el triángulo ABC y, por tanto, es similar al triángulo ABC.
Los tres triángulos ABC, ACD y BCD son similares entre sí.
 |
De la semejanza de triángulos se determinan las siguientes relaciones:
- $$h = \sqrt(a_(c) \cdot b_(c)) = \frac(a \cdot b)(c)$$;
- c = ca + antes de Cristo;
- $$a = \sqrt(a_(c) \cdot c), b = \sqrt(b_(c) \cdot c)$$;
- $$(\frac(a)(b))^(2)= \frac(a_(c))(b_(c))$$.
Teorema de pitágoras uno de los teoremas fundamentales de la geometría euclidiana, que establece la relación entre los lados de un triángulo rectángulo.
Formulación geométrica. En un triángulo rectángulo, el área del cuadrado construido sobre la hipotenusa es igual a la suma de las áreas de los cuadrados construidos sobre los catetos.
Formulación algebraica. En un triángulo rectángulo, el cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de los catetos.
Es decir, denotando la longitud de la hipotenusa del triángulo por c, y las longitudes de los catetos por a y b:
a2 + b2 = c2
Teorema de Pitágoras inverso.
Altura de un triángulo rectángulo
Para cualquier tripleta de números positivos a, b y c tales que
a2 + b2 = c2,
Hay un triángulo rectángulo con catetos a y b e hipotenusa c.
Signos de igualdad de triángulos rectángulos:
- a lo largo del cateto y la hipotenusa;
- sobre dos piernas;
- a lo largo de la pierna y ángulo agudo;
- a lo largo de la hipotenusa y el ángulo agudo.
Ver también:
Área de un triángulo, Triángulo isósceles, Triángulo equilátero
Geometría. 8 Clase. Prueba 4. Opción 1 .
ANUNCIO : CD = CD : B.D. Por lo tanto CD2 = AD ∙ B.D. Ellos dicen:
ANUNCIO : CA = CA : AB. Por lo tanto AC2 = AB ∙ ANUNCIO. Ellos dicen:
BD : antes de Cristo = antes de Cristo : AB. Por lo tanto BC2 = AB ∙ B.D.
Resolver problemas:
1.
A) 70 cm; B) 55 cm; C) 65 cm; D) 45 cm; MI) 53cm.
2. La altura de un triángulo rectángulo dibujado hasta la hipotenusa divide la hipotenusa en los segmentos 9 y 36.
Determine la longitud de esta altura.
A) 22,5; B) 19; C) 9; D) 12; MI) 18.
4.
A) 30,25; B) 24,5; C) 18,45; D) 32; MI) 32,25.
5.
A) 25; B) 24; C) 27; D) 26; MI) 21.
6.
A) 8; B) 7; C) 6; D) 5; MI) 4.
7.
8. El cateto de un triángulo rectángulo es 30.
¿Cómo encontrar la altura en un triángulo rectángulo?
Calcula la distancia desde el vértice del ángulo recto hasta la hipotenusa si el radio del círculo circunscrito a este triángulo es 17.
A) 17; B) 16; C) 15; D) 14; MI) 12.
10.
A) 15; B) 18; C) 20; D) 16; MI) 12.
A) 80; B) 72; C) 64; D) 81; MI) 75.
12.
A) 7,5; B) 8; C) 6,25; D) 8,5; MI) 7.
¡Comprueba las respuestas!
G8.04.1. Segmentos proporcionales en un triángulo rectángulo.
Geometría. 8 Clase. Prueba 4. Opción 1 .
En Δ ABC ∠ACV = 90°. Patos AC y BC, hipotenusa AB.
CD es la altura del triángulo trazado hasta la hipotenusa.
Proyección AD del cateto AC sobre la hipotenusa,
Proyección BD del cateto BC sobre la hipotenusa.
La altitud CD divide el triángulo ABC en dos triángulos similares a él (y entre sí): Δ ADC y Δ CDB.
De la proporcionalidad de los lados de Δ ADC y Δ CDB similares se sigue:
ANUNCIO : CD = CD : B.D.
Propiedad de la altura de un triángulo rectángulo reducida a la hipotenusa.
Por lo tanto CD2 = AD ∙ B.D. Ellos dicen: altura de un triángulo rectángulo trazado hasta la hipotenusa,es el valor proporcional promedio entre las proyecciones de los catetos sobre la hipotenusa.
De la similitud de Δ ADC y Δ ACB se deduce:
ANUNCIO : CA = CA : AB. Por lo tanto AC2 = AB ∙ ANUNCIO. Ellos dicen: cada cateto es el valor proporcional promedio entre toda la hipotenusa y la proyección de este cateto sobre la hipotenusa.
De manera similar, de la similitud de Δ CDB y Δ ACB se deduce:
BD : antes de Cristo = antes de Cristo : AB. Por lo tanto BC2 = AB ∙ B.D.
Resolver problemas:
1. Encuentra la altura de un triángulo rectángulo dibujado hasta la hipotenusa si divide la hipotenusa en segmentos de 25 cm y 81 cm.
A) 70 cm; B) 55 cm; C) 65 cm; D) 45 cm; MI) 53cm.
2. La altura de un triángulo rectángulo dibujado hasta la hipotenusa divide la hipotenusa en los segmentos 9 y 36. Determina la longitud de esta altura.
A) 22,5; B) 19; C) 9; D) 12; MI) 18.
4. La altura de un triángulo rectángulo dibujado hasta la hipotenusa es 22, la proyección de uno de los catetos es 16. Encuentra la proyección del otro cateto.
A) 30,25; B) 24,5; C) 18,45; D) 32; MI) 32,25.
5. El cateto de un triángulo rectángulo es 18 y su proyección a la hipotenusa es 12. Encuentra la hipotenusa.
A) 25; B) 24; C) 27; D) 26; MI) 21.
6. La hipotenusa es igual a 32. Encuentra el lado cuya proyección sobre la hipotenusa es igual a 2.
A) 8; B) 7; C) 6; D) 5; MI) 4.
7. La hipotenusa de un triángulo rectángulo es 45. Encuentra el lado cuya proyección sobre la hipotenusa es 9.
8. El cateto de un triángulo rectángulo es 30. Calcula la distancia desde el vértice del ángulo recto hasta la hipotenusa si el radio del círculo circunscrito alrededor de este triángulo es 17.
A) 17; B) 16; C) 15; D) 14; MI) 12.
10. La hipotenusa de un triángulo rectángulo es 41 y la proyección de uno de los catetos es 16. Encuentra la longitud de la altura trazada desde el vértice del ángulo recto hasta la hipotenusa.
A) 15; B) 18; C) 20; D) 16; MI) 12.
A) 80; B) 72; C) 64; D) 81; MI) 75.
12. La diferencia en las proyecciones de los catetos sobre la hipotenusa es 15 y la distancia desde el vértice del ángulo recto hasta la hipotenusa es 4. Encuentra el radio del círculo circunscrito.
A) 7,5; B) 8; C) 6,25; D) 8,5; MI) 7.
Al resolver problemas geométricos, resulta útil seguir dicho algoritmo. Al leer las condiciones del problema, es necesario
- Haz un dibujo. El dibujo debe corresponder lo más posible a las condiciones del problema, por lo que su tarea principal es ayudar a encontrar la solución.
- Pon todos los datos del enunciado del problema en el dibujo.
- Anota todos los conceptos geométricos que aparecen en el problema.
- Recuerda todos los teoremas que se relacionan con estos conceptos.
- Dibujar en el dibujo todas las relaciones entre los elementos de una figura geométrica que se derivan de estos teoremas.
Por ejemplo, si el problema contiene las palabras bisectriz de un ángulo de un triángulo, debe recordar la definición y las propiedades de una bisectriz e indicar segmentos y ángulos iguales o proporcionales en el dibujo.
En este artículo encontrarás las propiedades básicas de un triángulo que necesitas conocer para resolver problemas con éxito.
TRIÁNGULO.
Área de un triángulo.
1. ,
aquí - un lado arbitrario del triángulo, - la altura bajada a este lado.
2.
,
aquí y son lados arbitrarios del triángulo, y es el ángulo entre estos lados:
3. La fórmula de Heron:
Aquí están las longitudes de los lados del triángulo, es el semiperímetro del triángulo,
4. ,
aquí está el semiperímetro del triángulo y es el radio del círculo inscrito.
Sean las longitudes de los segmentos tangentes.
Entonces la fórmula de Heron se puede escribir de la siguiente manera:
5.
6. ,
aquí - las longitudes de los lados del triángulo, - el radio del círculo circunscrito.
Si se toma un punto en el lado de un triángulo que divide este lado en la proporción m: n, entonces el segmento que conecta este punto con el vértice del ángulo opuesto divide el triángulo en dos triángulos, cuyas áreas están en la proporción metro: norte:
La razón de las áreas de triángulos semejantes es igual al cuadrado del coeficiente de similitud.
mediana de un triangulo
Este es un segmento que conecta el vértice de un triángulo con la mitad del lado opuesto.
Medianas de un triangulo se cruzan en un punto y se dividen por el punto de intersección en una proporción de 2:1, contando desde el vértice.
El punto de intersección de las medianas de un triángulo regular divide la mediana en dos segmentos, el menor de los cuales es igual al radio del círculo inscrito y el mayor es igual al radio del círculo circunscrito.
El radio del círculo circunscrito es el doble del radio del círculo inscrito: R=2r
longitud mediana triangulo arbitrario
,
aquí, la mediana dibujada hacia el lado, las longitudes de los lados del triángulo.
Bisectriz de un triángulo
Este es el segmento bisector de cualquier ángulo de un triángulo que conecta el vértice de este ángulo con el lado opuesto.
Bisectriz de un triángulo divide un lado en segmentos proporcionales a los lados adyacentes:
Bisectrices de un triángulo se cortan en un punto, que es el centro del círculo inscrito.
Todos los puntos de la bisectriz del ángulo equidistan de los lados del ángulo.
Altura del triángulo
Este es un segmento perpendicular que cae desde el vértice del triángulo hacia el lado opuesto, o su continuación. En un triángulo obtuso, la altura trazada desde el vértice del ángulo agudo se encuentra fuera del triángulo.
Las alturas de un triángulo se cortan en un punto llamado ortocentro del triángulo.
Para encontrar la altura de un triángulo. dibujado hacia un lado, necesitas encontrar su área de cualquier forma disponible y luego usar la fórmula:
Centro de la circunferencia circunscrita de un triángulo, se encuentra en el punto de intersección de las bisectrices perpendiculares dibujadas a los lados del triángulo.
Radio de circunferencia de un triángulo. se puede encontrar usando las siguientes fórmulas:
Aquí están las longitudes de los lados del triángulo y el área del triángulo.
,
donde es la longitud del lado del triángulo y es el ángulo opuesto. (Esta fórmula se deriva del teorema del seno).
Desigualdad triangular
Cada lado del triángulo es menor que la suma y mayor que la diferencia de los otros dos.
La suma de las longitudes de dos lados cualesquiera es siempre mayor que la longitud del tercer lado:
Frente al lado mayor se encuentra el ángulo mayor; Frente al ángulo mayor se encuentra el lado mayor:
Si, entonces viceversa.
Teorema de los senos:
Los lados de un triángulo son proporcionales a los senos de los ángulos opuestos:
Teorema del coseno:
El cuadrado de un lado de un triángulo es igual a la suma de los cuadrados de los otros dos lados sin el doble del producto de estos lados por el coseno del ángulo entre ellos:
Triángulo rectángulo
- Este es un triángulo, uno de cuyos ángulos mide 90°.
La suma de los ángulos agudos de un triángulo rectángulo es 90°.
La hipotenusa es el lado opuesto al ángulo de 90°. La hipotenusa es el lado más largo.
Teorema de pitágoras:
el cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de los catetos: 
El radio de una circunferencia inscrita en un triángulo rectángulo es igual a
,
aquí está el radio del círculo inscrito, - los catetos, - la hipotenusa:
Centro de la circunferencia circunscrita de un triángulo rectángulo se encuentra en medio de la hipotenusa:
Mediana de un triángulo rectángulo trazado hasta la hipotenusa, es igual a la mitad de la hipotenusa.
Definición de seno, coseno, tangente y cotangente de un triángulo rectángulo mirar
La proporción de elementos en un triángulo rectángulo:
El cuadrado de la altura de un triángulo rectángulo trazado desde el vértice de un ángulo recto es igual al producto de las proyecciones de los catetos sobre la hipotenusa:
El cuadrado del cateto es igual al producto de la hipotenusa por la proyección del cateto sobre la hipotenusa:
Pierna opuesta a la esquina. igual a la mitad de la hipotenusa:
Triángulo isósceles.
La bisectriz de un triángulo isósceles trazada hasta la base es la mediana y la altitud.
En un triángulo isósceles los ángulos de la base son iguales.
Ángulo del ápice.
Y - lados,
Y - ángulos en la base.
Altura, bisectriz y mediana.
¡Atención! La altura, la bisectriz y la mediana dibujadas hacia el lado no coinciden.
Triángulo regular
(o triángulo equilátero ) es un triángulo cuyos lados y ángulos son iguales entre sí.
Área de un triángulo regular igual a
¿Dónde está la longitud del lado del triángulo?
Centro de un círculo inscrito en un triángulo regular., coincide con el centro del círculo circunscrito a un triángulo regular y se encuentra en el punto de intersección de las medianas.
Punto de intersección de las medianas de un triángulo regular. divide la mediana en dos segmentos, el menor de los cuales es igual al radio del círculo inscrito y el mayor es igual al radio del círculo circunscrito.
Si uno de los ángulos de un triángulo isósceles mide 60°, entonces el triángulo es regular.
Línea media del triángulo
Este es un segmento que conecta los puntos medios de dos lados.
En la figura DE es la línea media del triángulo ABC.
La línea media del triángulo es paralela al tercer lado e igual a su mitad: DE||AC, AC=2DE
Ángulo externo de un triángulo
Este es el ángulo adyacente a cualquier ángulo del triángulo.
Un ángulo exterior de un triángulo es igual a la suma de dos ángulos no adyacentes a él.
Funciones trigonométricas de ángulos externos:
Signos de igualdad de triángulos:
1 . Si dos lados y el ángulo entre ellos de un triángulo son respectivamente iguales a dos lados y el ángulo entre ellos de otro triángulo, entonces dichos triángulos son congruentes.
2 . Si un lado y dos ángulos adyacentes de un triángulo son respectivamente iguales a un lado y dos ángulos adyacentes de otro triángulo, entonces dichos triángulos son congruentes.
3 Si tres lados de un triángulo son respectivamente iguales a tres lados de otro triángulo, entonces dichos triángulos son congruentes.
Importante: Dado que en un triángulo rectángulo dos ángulos son obviamente iguales, entonces para igualdad de dos triángulos rectángulos Sólo se requiere la igualdad de dos elementos: dos lados, o un lado y un ángulo agudo.
Signos de similitud de triángulos:
1 . Si dos lados de un triángulo son proporcionales a dos lados de otro triángulo y los ángulos entre estos lados son iguales, entonces estos triángulos son semejantes.
2 . Si tres lados de un triángulo son proporcionales a tres lados de otro triángulo, entonces los triángulos son semejantes.
3 . Si dos ángulos de un triángulo son iguales a dos ángulos de otro triángulo, entonces los triángulos son semejantes.
Importante: En triángulos semejantes, los lados semejantes se encuentran frente a ángulos iguales.
Teorema de Menelao
Sea una recta que interseque a un triángulo, y es el punto de su intersección con el lado, es el punto de su intersección con el lado, y es el punto de su intersección con la continuación del lado. Entonces
