El ángulo entre dos líneas rectas. En una pirámide triangular regular con un lado de la base igual a a, los ángulos entre las aristas ¿Cuál es el ángulo entre las aristas?

Tarea

Solución.

Encontremos el ángulo de inclinación de las nervaduras con respecto al plano de la base.
Dado que en la base de una pirámide regular se encuentra un cuadrilátero regular, entonces, en este caso, es un cuadrado. Dado que la altura de la pirámide se proyecta hacia el centro de la base, este es el punto de intersección de las diagonales. ¿De dónde viene KN = a/2?

El triángulo OKN es rectangular, OK tiene una altura igual a 3a.
Encontremos la tangente del ángulo KNO, denotándolo como α.

Tg α = OK / KN
tg α = 3a / (a/2) = 6
α = arctan 6 ≈ 80,5377°

Encontremos el ángulo de inclinación del borde de la pirámide.
La diagonal de un cuadrado de lado a es igual a a√2. Dado que la altura se proyecta hacia el centro de la base, las diagonales se dividen por la mitad en este punto.

Así, para un triángulo rectángulo OKC, la tangente del ángulo KCO (lo denotamos como β) es igual a

Tg β = OK / KC
tg β = 3a / (a√2/2) = 6 / √2
β = arctan 6/√2 ≈ 76,7373°

Respuesta: ángulo de inclinación de las caras arctg 6 ≈ 80,5377°; ángulo de inclinación de las costillas arctg 6/√2 ≈ 76,7373°

El plano ВСE (Fig.) se traza a través del lado ВС perpendicular al borde AS. Los ángulos diédricos entre las caras laterales (todas son iguales) se miden mediante el ángulo BEC = φ . El PESO del triángulo es isósceles.

Para determinar el área de la sección S y el ángulo φ , basta con encontrar DE (D es la mitad de BC). Para hacer esto, encontramos secuencialmente BS (del triángulo BSD, donde BD = a / 2 y ∠BSD = α / 2 ).

Entonces BE (del triángulo BSE, donde ∠BSE = α ) y finalmente DE=√BE 2 -BD 2 . Obtenemos

Nota 1 . La suma de los ángulos planos en el vértice S es siempre menor que 360°. Por lo tanto 0<α <120°. При этом условии 2cos α / 2 > 1, es decir, entonces la ecuación siempre tiene una solución.

Nota 2 . Si α >90°, es decir, el ángulo ASB en el vértice de la cara lateral es obtuso, entonces la altura BE del triángulo ASB cortará la continuación de la base y el plano BEC no dará ninguna sección de la pirámide. Mientras tanto la fórmula

y en un ángulo obtuso α (menos de 120°, ver nota 1) dará un cierto valor de S.

Respuesta: φ = 2 arco sen (1/2 seg α / 2 );

Ejemplos similares:

En la base de la pirámide se encuentra un rectángulo. Una de las caras laterales tiene forma de triángulo isósceles y es perpendicular a la base; en la otra cara, opuesta a la primera, hay aristas laterales iguales a b , forman un ángulo de 2 entre ellos α e inclinado hacia la primera cara en ángulo α . Determina el volumen de la pirámide y el ángulo entre las dos caras indicadas.

Seré breve. El ángulo entre dos rectas es igual al ángulo entre sus vectores directores. Por lo tanto, si logras encontrar las coordenadas de los vectores directores a = (x 1 ; y 1 ; z 1) y b = (x 2 ; y 2 ​​​​; z 2), entonces puedes encontrar el ángulo. Más precisamente, el coseno del ángulo según la fórmula:

Veamos cómo funciona esta fórmula usando ejemplos específicos:

Tarea. En el cubo ABCDA 1 B 1 C 1 D 1, están marcados los puntos E y F, los puntos medios de los bordes A 1 B 1 y B 1 C 1, respectivamente. Encuentra el ángulo entre las líneas AE y BF.

Como la arista del cubo no está especificada, establezcamos AB = 1. Introducimos un sistema de coordenadas estándar: el origen está en el punto A, los ejes x, y, z se dirigen a lo largo de AB, AD y AA 1, respectivamente. El segmento unitario es igual a AB = 1. Ahora encontremos las coordenadas de los vectores directores de nuestras rectas.

Encontremos las coordenadas del vector AE. Para ello necesitamos los puntos A = (0; 0; 0) y E = (0,5; 0; 1). Dado que el punto E es el medio del segmento A 1 B 1, sus coordenadas son iguales a la media aritmética de las coordenadas de los extremos. Tenga en cuenta que el origen del vector AE coincide con el origen de coordenadas, por lo que AE = (0,5; 0; 1).

Ahora veamos el vector BF. De manera similar, analizamos los puntos B = (1; 0; 0) y F = (1; 0,5; 1), porque F es la mitad del segmento B 1 C 1. Tenemos:
BF = (1 − 1; 0,5 − 0; 1 − 0) = (0; 0,5; 1).

Entonces, los vectores de dirección están listos. El coseno del ángulo entre rectas es el coseno del ángulo entre los vectores directores, entonces tenemos:

Tarea. En un prisma triangular regular ABCA 1 B 1 C 1, cuyos bordes son iguales a 1, están marcados los puntos D y E, los puntos medios de los bordes A 1 B 1 y B 1 C 1, respectivamente. Encuentra el ángulo entre las líneas AD y BE.

Introduzcamos un sistema de coordenadas estándar: el origen está en el punto A, el eje x se dirige a lo largo de AB, z - a lo largo de AA 1. Dirijamos el eje y de modo que el plano OXY coincida con el plano ABC. El segmento unitario es igual a AB = 1. Encontremos las coordenadas de los vectores directores para las rectas requeridas.

Primero, encontremos las coordenadas del vector AD. Considere los puntos: A = (0; 0; 0) y D = (0,5; 0; 1), porque D - la mitad del segmento A 1 B 1. Como el inicio del vector AD coincide con el origen de coordenadas, obtenemos AD = (0,5; 0; 1).

Ahora encontremos las coordenadas del vector BE. El punto B = (1; 0; 0) es fácil de calcular. Con el punto E, la mitad del segmento C 1 B 1, es un poco más complicado. Tenemos:

Queda por encontrar el coseno del ángulo:

Tarea. En un prisma hexagonal regular ABCDEFA 1 B 1 C 1 D 1 E 1 F 1 , cuyos bordes son iguales a 1, se marcan los puntos K y L: los puntos medios de los bordes A 1 B 1 y B 1 C 1, respectivamente . Encuentra el ángulo entre las líneas AK y BL.

Introduzcamos un sistema de coordenadas estándar para un prisma: colocamos el origen de coordenadas en el centro de la base inferior, el eje x se dirige a lo largo de FC, el eje y se dirige a través de los puntos medios de los segmentos AB y DE, y el z El eje está dirigido verticalmente hacia arriba. El segmento unitario vuelve a ser igual a AB = 1. Anotamos las coordenadas de los puntos que nos interesan:

Los puntos K y L son los puntos medios de los segmentos A 1 B 1 y B 1 C 1, respectivamente, por lo que sus coordenadas se encuentran mediante la media aritmética. Conociendo los puntos, encontramos las coordenadas de los vectores directores AK y BL:

Ahora encontremos el coseno del ángulo:

Tarea. En una pirámide cuadrangular regular SABCD, cuyos bordes son iguales a 1, están marcados los puntos E y F, los puntos medios de los lados SB y SC, respectivamente. Encuentra el ángulo entre las líneas AE y BF.

Introduzcamos un sistema de coordenadas estándar: el origen está en el punto A, los ejes xey están dirigidos a lo largo de AB y AD, respectivamente, y el eje z está dirigido verticalmente hacia arriba. El segmento unitario es igual a AB = 1.

Los puntos E y F son los puntos medios de los segmentos SB y SC, respectivamente, por lo que sus coordenadas se encuentran como la media aritmética de los extremos. Anotemos las coordenadas de los puntos que nos interesan:
A = (0; 0; 0); B = (1; 0; 0)

Conociendo los puntos, encontramos las coordenadas de los vectores directores AE y BF:

Las coordenadas del vector AE coinciden con las coordenadas del punto E, ya que el punto A es el origen. Queda por encontrar el coseno del ángulo: