Integral definida. Cómo calcular el área de una figura. Calculadora en línea Calcule una integral definida (área de un trapezoide curvilíneo)
La figura delimitada por la gráfica de la función continua no negativa $f(x)$ sobre el segmento $$ y las rectas $y=0, \ x=a$ y $x=b$ se llama trapezoide curvilíneo.
El área de la correspondiente trapecio curvilíneo calculado por la fórmula:
$S=\int\limits_(a)^(b)(f(x)dx).$ (*)
Los problemas de encontrar el área de un trapezoide curvilíneo los dividiremos condicionalmente en tipos de $4$. Consideremos cada tipo con más detalle.
Tipo I: se da explícitamente un trapezoide curvilíneo. Luego aplique inmediatamente la fórmula (*).
Por ejemplo, encontrar el área de un trapezoide curvilíneo delimitado por la gráfica de la función $y=4-(x-2)^(2)$ y las rectas $y=0, \x=1$ y $x =3$.
Dibujemos este trapezoide curvilíneo.
Aplicando la fórmula (*), encontramos el área de este trapezoide curvilíneo.
$S=\int\limits_(1)^(3)(\left(4-(x-2)^(2)\right)dx)=\int\limits_(1)^(3)(4dx)- \int\limits_(1)^(3)((x-2)^(2)dx)=4x|_(1)^(3) – \left.\frac((x-2)^(3) )(3)\derecha|_(1)^(3)=$
$=4(3-1)-\frac(1)(3)\left((3-2)^(3)-(1-2)^(3)\right)=4 \cdot 2 - \frac (1)(3)\izquierda((1)^(3)-(-1)^(3)\derecha) = 8 – \frac(1)(3)(1+1) =$
$=8-\frac(2)(3)=7\frac(1)(3)$ (unidad$^(2)$).
Tipo II: el trapezoide curvilíneo se da implícitamente. En este caso, las rectas $x=a, \ x=b$ no suelen especificarse o lo están parcialmente. En este caso, necesitas encontrar los puntos de intersección de las funciones $y=f(x)$ y $y=0$. Estos puntos serán los puntos $a$ y $b$.
Por ejemplo, encuentra el área de la figura delimitada por las gráficas de las funciones $y=1-x^(2)$ y $y=0$.
Encontremos los puntos de intersección. Para hacer esto, igualamos las partes correctas de las funciones.
Entonces $a=-1$ y $b=1$. Dibujemos este trapezoide curvilíneo.
Encuentra el área de este trapezoide curvilíneo.
$S=\int\limits_(-1)^(1)(\left(1-x^(2)\right)dx)=\int\limits_(-1)^(1)(1dx)-\int \limits_(-1)^(1)(x^(2)dx)=x|_(-1)^(1) – \left.\frac(x^(3))(3)\right|_ (-1)^(1)=$
$=(1-(-1))-\frac(1)(3)\left(1^(3)-(-1)^(3)\right)=2 – \frac(1)(3) \left(1+1\right) = 2 – \frac(2)(3) = 1\frac(1)(3)$ (unidad$^(2)$).
Tipo III: el área de una figura limitada por la intersección de dos funciones continuas no negativas. Esta figura no será un trapezoide curvilíneo, lo que significa que usando la fórmula (*) no puedes calcular su área. ¿Cómo ser? Resulta que el área de esta figura se puede encontrar como la diferencia entre las áreas de trapecios curvilíneos acotados por la función superior y $y=0$ ($S_(uf)$) y la función inferior y $y= 0$ ($S_(lf)$), donde el papel de $x=a, \ x=b$ lo juegan las coordenadas $x$ de los puntos de intersección de estas funciones, es decir
$S=S_(uf)-S_(lf)$. (**)
Lo más importante al calcular tales áreas es no "perder" con la elección de las funciones superior e inferior.
Por ejemplo, encuentra el área de una figura delimitada por las funciones $y=x^(2)$ y $y=x+6$.
Encontremos los puntos de intersección de estas gráficas:
Según el teorema de Vieta,
$x_(1)=-2, \ x_(2)=3.$
Es decir, $a=-2, \ b=3$. Dibujemos una forma:
Así que la función de arriba es $y=x+6$ y la de abajo es $y=x^(2)$. Luego, encuentra $S_(uf)$ y $S_(lf)$ usando la fórmula (*).
$S_(uf)=\int\limits_(-2)^(3)((x+6)dx)=\int\limits_(-2)^(3)(xdx)+\int\limits_(-2 )^(3)(6dx)=\izquierda.\frac(x^(2))(2)\derecha|_(-2)^(3) + 6x|_(-2)^(3)= 32 ,5$ (unidad $^(2)$).
$S_(lf)=\int\limits_(-2)^(3)(x^(2)dx)=\left.\frac(x^(3))(3)\right|_(-2) ^(3) = \frac(35)(3)$ (unidad$^(2)$).
Sustituir encontrado en (**) y obtener:
$S=32,5-\frac(35)(3)= \frac(125)(6)$ (unidad $^(2)$).
Tipo IV: el área de una figura delimitada por una(s) función(es) que no satisface la condición de no negatividad. Para encontrar el área de dicha figura, debe ser simétrico con respecto al eje $Ox$ ( en otras palabras, coloque "menos" delante de las funciones) muestre el área y, utilizando los métodos descritos en los tipos I - III, encuentre el área del área mostrada. Esta área será el área requerida. Primero, quizás tengas que encontrar los puntos de intersección de los gráficos de función.
Por ejemplo, encuentra el área de la figura delimitada por las gráficas de las funciones $y=x^(2)-1$ y $y=0$.
Encontremos los puntos de intersección de las gráficas de funciones:
aquellos. $a=-1$ y $b=1$. Dibujemos el área.
Vamos a mostrar el área simétricamente:
$y=0 \ \Flecha derecha \ y=-0=0$
$y=x^(2)-1 \ \Rightarrow \ y= -(x^(2)-1) = 1-x^(2)$.
Obtienes un trapezoide curvilíneo delimitado por la gráfica de la función $y=1-x^(2)$ y $y=0$. Este es un problema de encontrar un trapezoide curvilíneo del segundo tipo. Ya lo solucionamos. La respuesta fue: $S= 1\frac(1)(3)$ (unidades $^(2)$). Entonces, el área del trapezoide curvilíneo deseado es igual a:
$S=1\frac(1)(3)$ (unidad$^(2)$).
Sea la función no negativa y continua en el intervalo . Entonces, según el significado geométrico de cierta integral, el área de un trapezoide curvilíneo delimitado por arriba por la gráfica de esta función, por abajo por el eje, por la izquierda y por la derecha por rectas y (ver Fig. 2 ) se calcula mediante la fórmula
Ejemplo 9 Hallar el area de una figura delimitada por una recta 
y eje.
Solución. Gráfico de función 
es una parábola cuyas ramas apuntan hacia abajo. Vamos a construirlo (Fig. 3). Para determinar los límites de integración, encontramos los puntos de intersección de la recta (parábola) con el eje (recta). Para ello, resolvemos el sistema de ecuaciones
Obtenemos: 
, dónde , ; Como consecuencia, , .
Arroz. 3
El área de la figura se encuentra mediante la fórmula (5):
Si la función es no positiva y continua en el segmento , entonces el área del trapezoide curvilíneo, delimitada desde abajo por la gráfica de esta función, desde arriba por el eje, desde la izquierda y la derecha por rectas y , es calculado por la fórmula
. (6)
Si la función es continua en un segmento y cambia de signo en un número finito de puntos, entonces el área de la figura sombreada (Fig. 4) es igual a la suma algebraica de las integrales definidas correspondientes:
Arroz. cuatro
Ejemplo 10 Calcula el área de la figura delimitada por el eje y la gráfica de la función para .
Arroz. 5
Solución. Hagamos un dibujo (Fig. 5). El área deseada es la suma de las áreas y . Encontremos cada una de estas áreas. Primero, determinamos los límites de integración resolviendo el sistema 
Obtenemos , . Como consecuencia:
;
.
Por lo tanto, el área de la figura sombreada es
(unidades cuadradas).
Arroz. 6
Sea, finalmente, el trapezoide curvilíneo está acotado por arriba y por abajo por las gráficas de funciones continuas en el segmento y ,
ya la izquierda y a la derecha - recto y (Fig. 6). Entonces su área se calcula con la fórmula
. (8)
Ejemplo 11. Encuentra el área de la figura encerrada por las rectas y .
Solución. Esta figura se muestra en la Fig. 7. Calculamos su área usando la fórmula (8). Resolviendo el sistema de ecuaciones, encontramos , ; Como consecuencia, , . En el segmento tenemos: . Por lo tanto, en la fórmula (8) tomamos como X, y como - . Obtenemos:
(unidades cuadradas).
Los problemas más complejos de cálculo de áreas se resuelven dividiendo la figura en partes que no se intersecan y calculando el área de la figura completa como la suma de las áreas de estas partes.
Arroz. 7
Ejemplo 12. Halla el área de la figura delimitada por las rectas , , .
Solución. Hagamos un dibujo (Fig. 8). Esta figura puede considerarse como un trapezoide curvilíneo delimitado por abajo por el eje, por izquierda y derecha por rectas y por arriba por gráficas de funciones y . Dado que la figura está limitada desde arriba por los gráficos de dos funciones, entonces, para calcular su área, dividimos esta figura recta en dos partes (1 es la abscisa del punto de intersección de las líneas y). El área de cada una de estas partes se encuentra mediante la fórmula (4):
(unidades cuadradas); 
(unidades cuadradas). Como consecuencia:
(unidades cuadradas).
Arroz. ocho
|
Arroz. 9
En conclusión, notamos que si un trapezoide curvilíneo está delimitado por líneas rectas y , el eje y continuo en la curva (Fig. 9), entonces su área se encuentra mediante la fórmula
Volumen de un cuerpo de revolución
Sea un trapezoide curvilíneo acotado por una gráfica de una función continua sobre un segmento, un eje, rectas y gire alrededor del eje (Fig. 10). Luego, el volumen del cuerpo de revolución resultante se calcula mediante la fórmula
. (9)
Ejemplo 13 Calcular el volumen de un cuerpo obtenido al girar alrededor del eje de un trapezoide curvilíneo delimitado por una hipérbola, rectas y el eje.
Solución. Hagamos un dibujo (Fig. 11).
De la condición del problema se sigue que , . Por la fórmula (9) obtenemos
.
Arroz. diez
Arroz. once
El volumen de un cuerpo obtenido por rotación alrededor de un eje. UNED trapecio curvilíneo delimitado por líneas rectas y = c y y = re, eje UNED y una gráfica de una función continua en un segmento (Fig. 12), está determinada por la fórmula
. (10)
|
Arroz. 12
Ejemplo 14. Calcular el volumen de un cuerpo obtenido por rotación alrededor de un eje UNED trapecio curvilíneo delimitado por líneas X 2 = 4a, y= 4, x = 0 (figura 13).
Solución. De acuerdo con la condición del problema, encontramos los límites de integración: , . Por la fórmula (10) obtenemos:
Arroz. 13
Longitud de arco de una curva plana
Deje que la curva dada por la ecuación , donde , se encuentre en un plano (Fig. 14).
Arroz. catorce
Definición. Se entiende por longitud de un arco el límite al que tiende la longitud de una polilínea inscrita en dicho arco cuando el número de eslabones de la polilínea tiende a infinito, y la longitud del eslabón mayor tiende a cero.
Si la función y su derivada son continuas en el segmento, entonces la longitud del arco de la curva se calcula mediante la fórmula
. (11)
Ejemplo 15. Calcular la longitud del arco de la curva encerrado entre los puntos para los cuales 
.
Solución. De la condición del problema tenemos 
. Por la fórmula (11) obtenemos:
.
4. Integrales impropias
con infinitos límites de integración
Al introducir el concepto de integral definida, se supuso que se cumplen las siguientes dos condiciones:
a) límites de integración a y son finitos;
b) el integrando está acotado en el segmento .
Si al menos una de estas condiciones no se cumple, entonces la integral se llama incorrecto.
Consideremos primero integrales impropias con infinitos límites de integración.
Definición. Sea la función definida y continua en el intervalo , entonces y sin límites por la derecha (Fig. 15).
Si la integral impropia converge, entonces esta área es finita; si la integral impropia diverge, entonces esta área es infinita.
Arroz. quince
Una integral impropia con un límite inferior infinito de integración se define de manera similar:
. (13)
Esta integral converge si el límite por el lado derecho de la igualdad (13) existe y es finito; de lo contrario, se dice que la integral es divergente.
Una integral impropia con dos límites infinitos de integración se define como sigue:
, (14)
donde с es cualquier punto del intervalo . La integral converge solo si ambas integrales convergen en el lado derecho de la igualdad (14).
;GRAMO) 
= [seleccione el cuadrado completo en el denominador: ] = 
[reemplazo:
] = 
Por tanto, la integral impropia converge y su valor es igual a .
Ejemplo 1 . Calcule el área de la figura delimitada por líneas: x + 2y - 4 = 0, y = 0, x = -3 y x = 2
Construyamos una figura (ver Fig.) Construimos una línea recta x + 2y - 4 \u003d 0 a lo largo de dos puntos A (4; 0) y B (0; 2). Expresando y en términos de x, obtenemos y \u003d -0.5x + 2. De acuerdo con la fórmula (1), donde f (x) \u003d -0.5x + 2, a \u003d -3, b \u003d 2, nosotros encontrar
S \u003d \u003d [-0.25 \u003d 11.25 metros cuadrados. unidades
Ejemplo 2 Calcule el área de la figura delimitada por líneas: x - 2y + 4 \u003d 0, x + y - 5 \u003d 0 e y \u003d 0.
Solución. Construyamos una figura.
Construyamos una recta x - 2y + 4 = 0: y = 0, x = - 4, A (-4; 0); x = 0, y = 2, B(0; 2).
Construyamos una línea recta x + y - 5 = 0: y = 0, x = 5, С(5; 0), x = 0, y = 5, D(0; 5).
Encuentra el punto de intersección de las rectas resolviendo el sistema de ecuaciones:
x = 2, y = 3; M(2; 3).
Para calcular el área requerida, dividimos el triángulo AMC en dos triángulos AMN y NMC, ya que cuando x cambia de A a N, el área está limitada por una línea recta, y cuando x cambia de N a C, es una línea recta
Para el triángulo AMN tenemos: ; y \u003d 0.5x + 2, es decir, f (x) \u003d 0.5x + 2, a \u003d - 4, b \u003d 2.
Para el triángulo NMC tenemos: y = - x + 5, es decir, f(x) = - x + 5, a = 2, b = 5.
Calculando el área de cada uno de los triángulos y sumando los resultados, encontramos:
cuadrados unidades
cuadrados unidades
9 + 4, 5 = 13,5 metros cuadrados unidades Verifique: = 0.5AC = 0.5 pies cuadrados unidades
Ejemplo 3 Calcular el área de una figura delimitada por rectas: y = x 2 , y = 0, x = 2, x = 3.
En este caso se requiere calcular el área de un trapezoide curvilíneo acotado por una parábola y = x 2 , líneas rectas x \u003d 2 y x \u003d 3 y el eje Ox (ver Fig.) De acuerdo con la fórmula (1), encontramos el área de un trapezoide curvilíneo
= = 6 kv. unidades
Ejemplo 4 Calcule el área de una figura delimitada por líneas: y \u003d - x 2 + 4 y y = 0
Construyamos una figura. El área deseada está encerrada entre la parábola y \u003d - x 2 + 4 y eje Oh.
Encuentra los puntos de intersección de la parábola con el eje x. Suponiendo que y \u003d 0, encontramos x \u003d Dado que esta figura es simétrica con respecto al eje Oy, calculamos el área de la figura ubicada a la derecha del eje Oy y duplicamos el resultado: \u003d + 4x] cuadrado. unidades 2 = 2 metros cuadrados unidades
Ejemplo 5 Calcular el área de una figura delimitada por rectas: y 2 = x, yx = 1, x = 4
Aquí se requiere calcular el área del trapezoide curvilíneo delimitado por la rama superior de la parábola y 2 \u003d x, el eje Ox y las líneas rectas x \u003d 1x \u003d 4 (ver Fig.)
De acuerdo con la fórmula (1), donde f(x) = a = 1 y b = 4, tenemos = (= unidades cuadradas
Ejemplo 6 . Calcula el área de la figura delimitada por líneas: y = senx, y = 0, x = 0, x=.
El área deseada está limitada por una sinusoide de media onda y el eje Ox (ver Fig.).
Tenemos - cosx \u003d - cos \u003d 1 + 1 \u003d 2 metros cuadrados. unidades
Ejemplo 7 Calcule el área de la figura delimitada por líneas: y \u003d - 6x, y \u003d 0 y x \u003d 4.
La figura está ubicada debajo del eje Ox (ver Fig.).
Por lo tanto, su área se encuentra por la fórmula (3)
= =
Ejemplo 8 Calcule el área de la figura delimitada por las líneas: y \u003d y x \u003d 2. Construiremos la curva y \u003d por puntos (ver figura). Por lo tanto, el área de la figura se encuentra mediante la fórmula (4)
Ejemplo 9 .
X 2 + y 2 = r 2 .
Aquí necesitas calcular el área delimitada por el círculo x 2 + y 2 = r 2 , es decir, el área de un círculo de radio r con centro en el origen. Encontremos la cuarta parte de esta área, tomando los límites de integración de 0
insecto; tenemos: 1 = = [
Como consecuencia, 1 =
Ejemplo 10 Calcule el área de la figura delimitada por líneas: y \u003d x 2 y y = 2x
Esta figura está limitada por la parábola y \u003d x 2 y línea recta y \u003d 2x (ver Fig.) Para determinar los puntos de intersección de las líneas dadas, resolvemos el sistema de ecuaciones: x 2 – 2x = 0 x = 0 y x = 2
Usando la fórmula (5) para encontrar el área, obtenemos
= (base de un trapezoide curvilíneo) en n partes iguales; esta partición es factible con la ayuda de los puntos x 1 , x 2 , ... x k , ... x n-1 . Dibujemos líneas a través de estos puntos paralelas al eje y. Entonces el trapezoide curvilíneo dado se dividirá en n partes, en n columnas estrechas. El área de todo el trapezoide es igual a la suma de las áreas de las columnas.
Considere por separado la columna k-ésima, es decir trapezoide curvilíneo, cuya base es un segmento. Vamos a reemplazarlo con un rectángulo con la misma base y altura igual a f(x k) (ver figura). El área del rectángulo es \(f(x_k) \cdot \Delta x_k \), donde \(\Delta x_k \) es la longitud del segmento; es natural considerar el producto compilado como un valor aproximado del área de la columna k-ésima. 
Si ahora hacemos lo mismo con todas las demás columnas, llegamos al siguiente resultado: el área S de un trapezoide curvilíneo dado es aproximadamente igual al área S n de una figura escalonada formada por n rectángulos (ver figura):
\(S_n = f(x_0)\Delta x_0 + \dots + f(x_k)\Delta x_k + \dots + f(x_(n-1))\Delta x_(n-1) \)
Aquí, en aras de la uniformidad de la notación, consideramos que a \u003d x 0, b \u003d x n; \(\Delta x_0 \) - longitud del segmento, \(\Delta x_1 \) - longitud del segmento, etc.; mientras que, como acordamos anteriormente, \(\Delta x_0 = \dots = \Delta x_(n-1) \)
Entonces, \(S \approx S_n \), y esta igualdad aproximada es tanto más precisa cuanto mayor sea n.
Por definición, se supone que el área deseada del trapezoide curvilíneo es igual al límite de la secuencia (S n):
$$ S = \lim_(n \to \infty) S_n $$
Tarea 2(sobre mover un punto)
Un punto material se mueve en línea recta. La dependencia de la velocidad con el tiempo se expresa mediante la fórmula v = v(t). Encuentre el desplazamiento de un punto en el intervalo de tiempo [a; b].
Solución. Si el movimiento fuera uniforme, entonces el problema se resolvería de manera muy simple: s = vt, es decir s = v(b-a). Para el movimiento desigual, uno tiene que usar las mismas ideas en las que se basó la solución del problema anterior.
1) Divida el intervalo de tiempo [a; b] en n partes iguales.
2) Considere un intervalo de tiempo y suponga que durante este intervalo de tiempo la velocidad fue constante, como en el tiempo t k . Entonces, asumimos que v = v(t k).
3) Encuentre el valor aproximado del desplazamiento del punto en el intervalo de tiempo, este valor aproximado será denotado por s k
\(s_k = v(t_k) \Delta t_k \)
4) Encuentre el valor aproximado del desplazamiento s:
\(s \approx S_n \) donde
\(S_n = s_0 + \puntos + s_(n-1) = v(t_0)\Delta t_0 + \puntos + v(t_(n-1)) \Delta t_(n-1) \)
5) El desplazamiento requerido es igual al límite de la secuencia (S n):
$$ s = \lim_(n \to \infty) S_n $$
Resumamos. Las soluciones de varios problemas se redujeron a un mismo modelo matemático. Muchos problemas de varios campos de la ciencia y la tecnología conducen al mismo modelo en el proceso de solución. Por lo tanto, este modelo matemático debe ser especialmente estudiado.
El concepto de integral definida
Demos una descripción matemática del modelo que se construyó en los tres problemas considerados para la función y = f(x), que es continua (pero no necesariamente no negativa, como se supuso en los problemas considerados) en el segmento [ a; b]:
1) dividir el segmento [a; b] en n partes iguales;
2) suma $$ S_n = f(x_0)\Delta x_0 + f(x_1)\Delta x_1 + \dots + f(x_(n-1))\Delta x_(n-1) $$
3) calcular $$ \lim_(n \to \infty) S_n $$
En el curso del análisis matemático, se demostró que este límite existe en el caso de una función continua (o continua por partes). El es llamado una integral definida de la función y = f(x) sobre el segmento [a; b] y se denotan así:
\(\int\limits_a^b f(x) dx \)
Los números a y b se denominan límites de integración (inferior y superior, respectivamente).
Volvamos a las tareas discutidas anteriormente. La definición de área dada en el problema 1 ahora se puede reescribir de la siguiente manera:
\(S = \int\limits_a^b f(x) dx \)
aquí S es el área del trapezoide curvilíneo que se muestra en la figura de arriba. Esto es lo que Significado geométrico de la integral definida.
La definición del desplazamiento s de un punto que se mueve en línea recta con una velocidad v = v(t) durante el intervalo de tiempo de t = a a t = b, dada en el Problema 2, se puede reescribir como sigue:
Fórmula de Newton-Leibniz
Para empezar, respondamos la pregunta: ¿cuál es la relación entre una integral definida y una antiderivada?
La respuesta se encuentra en el problema 2. Por un lado, el desplazamiento s de un punto que se mueve a lo largo de una línea recta con una velocidad v = v(t) en un intervalo de tiempo de t = a a t = b y se calcula mediante la formula
\(S = \int\limits_a^b v(t) dt \)
Por otro lado, la coordenada del punto en movimiento es la antiderivada de la velocidad - denotaremos s(t); por tanto, el desplazamiento s se expresa mediante la fórmula s = s(b) - s(a). Como resultado, obtenemos:
\(S = \int\limits_a^b v(t) dt = s(b)-s(a) \)
donde s(t) es la antiderivada de v(t).
El siguiente teorema se demostró en el curso del análisis matemático.
Teorema. Si la función y = f(x) es continua en el segmento [a; b], entonces la fórmula
\(S = \int\limits_a^b f(x) dx = F(b)-F(a) \)
donde F(x) es la antiderivada de f(x).
Esta fórmula suele llamarse Fórmula de Newton-Leibniz en honor al físico inglés Isaac Newton (1643-1727) y al filósofo alemán Gottfried Leibniz (1646-1716), quienes la recibieron de forma independiente y casi simultánea.
En la práctica, en lugar de escribir F(b) - F(a), usan la notación \(\left. F(x)\right|_a^b \) (a veces se le llama sustitución doble) y, en consecuencia, reescribir la fórmula de Newton-Leibniz en esta forma:
\(S = \int\limits_a^b f(x) dx = \left. F(x)\right|_a^b \)
Calculando una integral definida, primero encuentre la antiderivada y luego realice una doble sustitución.
Con base en la fórmula de Newton-Leibniz, se pueden obtener dos propiedades de una integral definida.
Propiedad 1. La integral de la suma de funciones es igual a la suma de las integrales:
\(\int\limits_a^b (f(x) + g(x))dx = \int\limits_a^b f(x)dx + \int\limits_a^b g(x)dx \)
Propiedad 2. El factor constante se puede sacar del signo integral:
\(\int\limits_a^b kf(x)dx = k \int\limits_a^b f(x)dx \)
Cálculo de áreas de figuras planas usando una integral definida
Usando la integral, puede calcular el área no solo de trapecios curvilíneos, sino también de figuras planas de un tipo más complejo, como la que se muestra en la figura. La figura P está delimitada por rectas x = a, x = b y gráficas de funciones continuas y = f(x), y = g(x), y sobre el segmento [a; b] se cumple la desigualdad \(g(x) \leq f(x) \). Para calcular el área S de tal figura, procederemos de la siguiente manera:
\(S = S_(ABCD) = S_(aDCb) - S_(aABb) = \int\limits_a^b f(x) dx - \int\limits_a^b g(x) dx = \)
\(= \int\limits_a^b (f(x)-g(x))dx \)
Entonces, el área S de la figura acotada por las rectas x = a, x = b y las gráficas de las funciones y = f(x), y = g(x), continuas en el segmento y tales que para cualquier x de el segmento [a; b] se cumple la desigualdad \(g(x) \leq f(x) \), se calcula mediante la fórmula
\(S = \int\limits_a^b (f(x)-g(x))dx \)