Sistemas de ingenieria 

Hallar el área de un trapezoide curvo. Área trapezoidal curvada

La figura delimitada por la gráfica de la función continua no negativa en el segmento $$ función $ f (x) $ y las líneas rectas $ y = 0, \ x = a $ y $ x = b $, se llama trapezoide curvilíneo .

El área de la correspondiente trapezoide curvo calculado por la fórmula:

$ S = \ int \ límites_ (a) ^ (b) (f (x) dx). $ (*)

Dividiremos convencionalmente el problema de encontrar el área de un trapezoide curvilíneo en tipos de $ 4 $. Consideremos cada tipo con más detalle.

Tipo I: se especifica explícitamente un trapezoide curvo. Luego aplicamos inmediatamente la fórmula (*).

Por ejemplo, encuentre el área de un trapecio curvo delimitado por la gráfica de la función $ y = 4- (x-2) ^ (2) $, y por las líneas rectas $ y = 0, \ x = 1 $ y $ x = 3 $.

Dibujemos este trapezoide curvo.

Aplicando la fórmula (*), encontramos el área de este trapezoide curvo.

$ S = \ int \ limits_ (1) ^ (3) (\ left (4- (x-2) ^ (2) \ right) dx) = \ int \ limits_ (1) ^ (3) (4dx) - \ int \ límites_ (1) ^ (3) ((x-2) ^ (2) dx) = 4x | _ (1) ^ (3) - \ izquierda. \ frac ((x-2) ^ (3) ) (3) \ derecha | _ (1) ^ (3) = $

$ = 4 (3-1) - \ frac (1) (3) \ left ((3-2) ^ (3) - (1-2) ^ (3) \ right) = 4 \ cdot 2 - \ frac (1) (3) \ izquierda ((1) ^ (3) - (- 1) ^ (3) \ derecha) = 8 - \ frac (1) (3) (1 + 1) = $

$ = 8- \ frac (2) (3) = 7 \ frac (1) (3) $ (unidad $ ^ (2) $).

Tipo II: se especifica implícitamente un trapezoide curvo. En este caso, las líneas rectas $ x = a, \ x = b $ generalmente no se especifican o se especifican parcialmente. En este caso, necesita encontrar los puntos de intersección de las funciones $ y = f (x) $ y $ y = 0 $. Estos puntos serán los puntos $ a $ y $ b $.

Por ejemplo, encuentre el área de una figura delimitada por las gráficas de las funciones $ y = 1-x ^ (2) $ y $ y = 0 $.

Busquemos los puntos de intersección. Para hacer esto, equiparamos los lados derechos de las funciones.

Entonces $ a = -1 $ y $ b = 1 $. Dibujemos este trapezoide curvo.

Encontremos el área de este trapezoide curvo.

$ S = \ int \ límites _ (- 1) ^ (1) (\ izquierda (1-x ^ (2) \ derecha) dx) = \ int \ límites _ (- 1) ^ (1) (1dx) - \ int \ límites _ (- 1) ^ (1) (x ^ (2) dx) = x | _ (- 1) ^ (1) - \ izquierda. \ frac (x ^ (3)) (3) \ derecha | _ (-1) ^ (1) = $

$ = (1 - (- 1)) - \ frac (1) (3) \ left (1 ^ (3) - (- 1) ^ (3) \ right) = 2 - \ frac (1) (3) \ left (1 + 1 \ right) = 2 - \ frac (2) (3) = 1 \ frac (1) (3) $ (unidad $ ^ (2) $).

Tipo III: área de una figura delimitada por la intersección de dos funciones continuas no negativas. Esta figura no será un trapezoide curvilíneo, lo que significa que no puede calcular su área usando la fórmula (*). ¿Cómo ser? Resulta que el área de esta figura se puede encontrar como la diferencia entre las áreas de trapezoides curvilíneos delimitados por la función superior y $ y = 0 $ ($ S_ (uf) $), y la función inferior y $ y = 0 $ ($ S_ (lf) $), donde el papel de $ x = a, \ x = b $ lo juegan las coordenadas $ x $ de los puntos de intersección de estas funciones, es decir

$ S = S_ (uf) -S_ (lf) $. (**)

Lo más importante al calcular tales áreas es no excederse con la elección de las funciones superior e inferior.

Por ejemplo, encuentre el área de una figura limitada por las funciones $ y = x ^ (2) $ y $ y = x + 6 $.

Encontremos los puntos de intersección de estos gráficos:

Por el teorema de Vieta,

$ x_ (1) = - 2, \ x_ (2) = 3. $

Es decir, $ a = -2, \ b = 3 $. Dibujemos una figura:

Entonces, la función superior es $ y = x + 6 $, y la inferior es $ y = x ^ (2) $. Luego, encuentre $ S_ (uf) $ y $ S_ (lf) $ por la fórmula (*).

$ S_ (uf) = \ int \ límites _ (- 2) ^ (3) ((x + 6) dx) = \ int \ límites _ (- 2) ^ (3) (xdx) + \ int \ límites _ (- 2) ^ (3) (6dx) = \ izquierda. \ Frac (x ^ (2)) (2) \ derecha | _ (- 2) ^ (3) + 6x | _ (- 2) ^ (3 ) = 32, 5 $ (unidades $ ^ (2) $).

$ S_ (lf) = \ int \ limits _ (- 2) ^ (3) (x ^ (2) dx) = \ left. \ Frac (x ^ (3)) (3) \ right | _ (- 2 ) ^ (3) = \ frac (35) (3) $ (unidad $ ^ (2) $).

Sustituye lo encontrado en (**) y obtén:

$ S = 32,5- \ frac (35) (3) = \ frac (125) (6) $ (unidad $ ^ (2) $).

Tipo IV: área de una figura delimitada por una función (es) que no satisface la condición de no negatividad. Para encontrar el área de dicha figura, necesita simétricamente alrededor de $ Ox $ ( en otras palabras, poner “menos” delante de las funciones) visualizar el área y, utilizando los métodos descritos en los tipos I - III, encontrar el área del área visualizada. Esta área será el área requerida. Anteriormente, es posible que deba encontrar los puntos de intersección de los gráficos de funciones.

Por ejemplo, encuentre el área de una figura delimitada por las gráficas de las funciones $ y = x ^ (2) -1 $ y $ y = 0 $.

Encontremos los puntos de intersección de las gráficas de las funciones:

aquellos. $ a = -1 $ y $ b = 1 $. Dibujemos el área.

Visualice el área simétricamente:

$ y = 0 \ \ Flecha derecha \ y = -0 = 0 $

$ y = x ^ (2) -1 \ \ Flecha derecha \ y = - (x ^ (2) -1) = 1-x ^ (2) $.

Obtienes un trapezoide curvilíneo acotado por la gráfica de la función $ y = 1-x ^ (2) $ y $ y = 0 $. Este es el problema de encontrar un trapezoide curvilíneo del segundo tipo. Ya lo hemos solucionado. La respuesta fue: $ S = 1 \ frac (1) (3) $ (unidad $ ^ (2) $). Por lo tanto, el área del trapezoide curvilíneo requerido es igual a:

$ S = 1 \ frac (1) (3) $ (unidad $ ^ (2) $).









De vuelta atras

¡Atención! Las vistas previas de diapositivas son solo para fines informativos y es posible que no representen todas las opciones de presentación. Si estás interesado este trabajo descargue la versión completa.

Palabras clave: integral, trapezoide curvilíneo, área de figuras delimitadas por lirios

Equipo: pizarra, computadora, proyector multimedia

Tipo de lección: lección-conferencia

Objetivos de la lección:

  • educativo: formar una cultura de trabajo mental, crear una situación de éxito para cada alumno, formar una motivación positiva para el aprendizaje; Desarrollar la capacidad de hablar y escuchar a los demás.
  • desarrollando: la formación de la independencia del estudiante en la aplicación del conocimiento en diversas situaciones, la capacidad de analizar y sacar conclusiones, el desarrollo de la lógica, el desarrollo de la capacidad para plantear preguntas correctamente y encontrar respuestas a ellas. Mejorar la formación de la informática, las habilidades de cálculo, el desarrollo del pensamiento de los estudiantes en el curso de la realización de las tareas propuestas, el desarrollo de la cultura algorítmica.
  • educativo: para formar el concepto de un trapezoide curvilíneo, una integral, dominar las habilidades de calcular las áreas de figuras planas

Método de enseñanza: explicativo e ilustrativo.

Durante las clases

En las clases anteriores, aprendimos a calcular las áreas de formas cuyos límites son líneas discontinuas. Existen métodos en matemáticas que le permiten calcular las áreas de formas delimitadas por curvas. Estas formas se denominan trapezoides curvilíneos y su área se calcula mediante antiderivadas.

Trapezoide curvo ( diapositiva 1)

Un trapezoide curvilíneo es una figura limitada por la gráfica de una función, ( schm.), derecho x = a y x = b y la abscisa

Varios tipos de trapezoides curvos ( diapositiva 2)

Considerar diferentes tipos trapezoides curvilíneos y aviso: una de las líneas rectas degenera en un punto, el papel de la función limitante lo desempeña la línea recta

Área trapezoidal curvada (diapositiva 3)

Arregle el extremo izquierdo del espacio. a, y a la derecha NS cambiaremos, es decir, movemos la pared derecha del trapezoide curvo y obtenemos una forma cambiante. El área de un trapezoide curvilíneo variable, limitada por la gráfica de la función, es la antiderivada F para la función F

Y en el segmento [ a; B] el área del trapezoide curvo formado por la función F, es igual al incremento de la antiderivada de esta función:

Ejercicio 1:

Encuentre el área de un trapezoide curvo delimitado por la gráfica de la función: f (x) = x 2 y directo y = 0, x = 1, x = 2.

Solución: ( según el algoritmo de la diapositiva 3)

Dibujemos una gráfica de la función y las líneas.

Busquemos uno de antiderivadas f (x) = x 2 :

Autoprueba por portaobjetos

Integral

Considere un trapezoide curvo dado por la función F en el segmento [ a; B]. Dividamos este segmento en varias partes. El área de todo el trapezoide se dividirá en la suma de las áreas de trapezoides curvos más pequeños. ( diapositiva 5)... Cada uno de estos trapezoides puede considerarse aproximadamente un rectángulo. La suma de las áreas de estos rectángulos da una idea aproximada del área completa del trapezoide curvo. Cuanto más pequeño dividimos el segmento [ a; B], calculamos con mayor precisión el área.

Escribamos este razonamiento en forma de fórmulas.

Divida el segmento [ a; B] en n partes por puntos x 0 = a, x1, ..., xn = b. Largo k- th denotamos por xk = xk - xk-1... Compongamos la cantidad

Geométricamente, esta suma es el área de la figura sombreada en la figura ( metro.)

Las sumas de la forma se llaman sumas integrales para la función F. (schm.)

Las sumas integrales dan un valor aproximado del área. El valor exacto se obtiene mediante una transición de límite. Imagine que refinamos la partición del segmento [ a; B] de modo que las longitudes de todos los segmentos pequeños tienden a cero. Entonces, el área de la figura compuesta se acercará al área del trapezoide curvo. Podemos decir que el área de un trapezoide curvilíneo es igual al límite de las sumas integrales, Sk.t. (schm.) o una integral, es decir,

Definición:

La integral de la función f (x) de a antes de B se llama el límite de las sumas integrales

= (schm.)

Fórmula de Newton-Leibniz.

Recuerda que el límite de las sumas integrales es igual al área de un trapezoide curvilíneo, lo que significa que puedes escribir:

Sk.t. = (schm.)

Por otro lado, el área de un trapezoide curvo se calcula mediante la fórmula

S K. t. (schm.)

Comparando estas fórmulas, obtenemos:

= (schm.)

Esta igualdad se llama fórmula de Newton-Leibniz.

Para la conveniencia de los cálculos, la fórmula se escribe en la forma:

= = (schm.)

Tareas: (schm.)

1. Calcule la integral mediante la fórmula de Newton-Leibniz: ( comprobar la diapositiva 5)

2.Informar las integrales según el dibujo ( comprobar la diapositiva 6)

3. Calcula el área de la figura delimitada por las líneas: y = x 3, y = 0, x = 1, x = 2. ( Diapositiva 7)

Encontrar las áreas de figuras planas ( diapositiva 8)

¿Cómo hallas el área de formas que no son trapezoides curvos?

Deje que se den dos funciones, cuyas gráficas ve en la diapositiva ... (schm.) Es necesario encontrar el área de la figura llena. ... (schm.)... ¿Es la figura en cuestión un trapezoide curvo? ¿Y cómo puede encontrar su área usando la propiedad de aditividad de área? Considere dos trapecios curvos y reste el área del otro del área de uno de ellos ( schm.)

Compongamos un algoritmo para encontrar el área por animación en una diapositiva:

  1. Trazar gráficas de funciones
  2. Proyecte los puntos de intersección de los gráficos en el eje de abscisas
  3. Sombrea la figura obtenida en la intersección de las gráficas
  4. Encuentre trapezoides curvos cuya intersección o unión sea una figura dada.
  5. Calcula el área de cada uno de ellos
  6. Encuentra la diferencia o suma de áreas

Tarea oral: Cómo obtener el área de una figura sombreada (contar con la ayuda de la animación, diapositiva 8 y 9)

Tarea: Elabore la sinopsis, No. 353 (a), No. 364 (a).

Bibliografía

  1. Álgebra y el comienzo del análisis: un libro de texto para los grados 9-11 de la escuela vespertina (turno) / ed. G. D. Glazer. - M: Educación, 1983.
  2. Bashmakov M.I. Álgebra y el comienzo del análisis: un libro de texto para los grados 10-11 de la escuela secundaria / Bashmakov M.I. - M: Educación, 1991.
  3. Bashmakov M.I. Matemáticas: un libro de texto para instituciones tempranas. y miércoles profe. educación / M.I. Bashmakov. - M: Academia, 2010.
  4. Kolmogorov A.N. Álgebra y el comienzo del análisis: un libro de texto para los grados 10-11. instituciones educativas / A.N. Kolmogorov. - M: Educación, 2010.
  5. S.L. Ostrovsky ¿Cómo hacer una presentación para una lección? / C.L. Ostrovsky. - M .: 1 de septiembre de 2010.

Ejemplo 1 . Calcula el área de la figura delimitada por las líneas: x + 2y - 4 = 0, y = 0, x = -3 y x = 2


Construyamos una figura (ver fig.) Construya una línea recta x + 2y - 4 = 0 en dos puntos A (4; 0) y B (0; 2). Expresando y a través de x, obtenemos y = -0.5x + 2. Por la fórmula (1), donde f (x) = -0.5x + 2, a = -3, b = 2, encontramos

S = = [-0,25 = 11,25 pies cuadrados unidades

Ejemplo 2. Calcula el área de la figura delimitada por las líneas: x - 2y + 4 = 0, x + y - 5 = 0 e y = 0.

Solución. Construyamos la figura.

Construya una línea recta x - 2y + 4 = 0: y = 0, x = - 4, A (-4; 0); x = 0, y = 2, B (0; 2).

Construya una línea recta x + y - 5 = 0: y = 0, x = 5, C (5; 0), x = 0, y = 5, D (0; 5).

Encuentra el punto de intersección de las rectas resolviendo el sistema de ecuaciones:

x = 2, y = 3; M (2; 3).

Para calcular el área requerida, dividimos el triángulo AMC en dos triángulos AMN y NMC, ya que cuando x cambia de A a N, el área está limitada por una línea recta, y cuando x cambia de N a C, es una línea recta.


Para el triángulo AMN tenemos :; y = 0.5x + 2, es decir, f (x) = 0.5x + 2, a = - 4, b = 2.

Para el triángulo NMC tenemos: y = - x + 5, es decir, f (x) = - x + 5, a = 2, b = 5.

Después de calcular el área de cada uno de los triángulos y sumar los resultados, encontramos:

metros cuadrados unidades

metros cuadrados unidades

9 + 4.5 = 13.5 pies cuadrados unidades Comprobar: = 0.5АС = 0.5 sq. unidades

Ejemplo 3. Calcula el área de una forma delimitada por líneas: y = x 2 , y = 0, x = 2, x = 3.

En este caso, se requiere calcular el área del trapezoide curvo acotado por la parábola y = x 2 , líneas rectas x = 2 yx = 3 y el eje del Buey (ver Fig.) Usando la fórmula (1), encontramos el área de un trapezoide curvilíneo


= = 6 pies cuadrados unidades

Ejemplo 4. Calcula el área de la figura delimitada por las líneas: y = - x 2 + 4 y y = 0

Construyamos la figura. El área deseada se encierra entre la parábola y = - x 2 + 4 y el eje del Buey.


Encuentra los puntos de intersección de la parábola con el eje Ox. Suponiendo y = 0, encontramos x = Dado que esta figura es simétrica con respecto al eje Oy, calculamos el área de la figura ubicada a la derecha del eje Oy, y el resultado se duplicará: = + 4x] sq. unidades 2 = 2 pies cuadrados unidades

Ejemplo 5. Calcula el área de una forma delimitada por líneas: y 2 = x, yx = 1, x = 4

Aquí se requiere calcular el área del trapezoide curvilíneo delimitada por la rama superior de la parábola y 2 = x, el eje del Buey y las líneas rectas x = 1 y x = 4 (ver Fig.)


Por la fórmula (1), donde f (x) = a = 1 y b = 4, tenemos = (= Unidades cuadradas.

Ejemplo 6 . Calcula el área de la figura delimitada por las líneas: y = sinx, y = 0, x = 0, x =.

El área requerida está limitada por la media onda de la sinusoide y el eje Ox (ver Fig.).


Tenemos - cosx = - cos = 1 + 1 = 2 sq. unidades

Ejemplo 7. Calcula el área de la figura delimitada por las líneas: y = - 6x, y = 0 y x = 4.

La figura se encuentra debajo del eje del Buey (ver figura).

Por lo tanto, encontramos su área por la fórmula (3)


= =

Ejemplo 8. Calcula el área de la figura delimitada por las líneas: y = y x = 2. Dibujamos la curva y = por puntos (ver Fig.). Por lo tanto, encontramos el área de la figura por la fórmula (4)

Ejemplo 9 .

NS 2 + y 2 = r 2 .

Aquí necesitas calcular el área delimitada por el círculo x 2 + y 2 = r 2 , es decir, el área de un círculo de radio r centrado en el origen. Encontremos la cuarta parte de esta área, tomando los límites de integración de 0

insecto; tenemos: 1 = = [

Por eso, 1 =

Ejemplo 10. Calcula el área de la figura delimitada por las líneas: y = x 2 y y = 2x

Esta cifra está limitada por la parábola y = x 2 y la línea recta y = 2x (ver Fig.) Para determinar los puntos de intersección de las líneas dadas, resolvemos el sistema de ecuaciones: x 2 - 2x = 0 x = 0 y x = 2


Usando la fórmula (5) para encontrar el área, obtenemos

= }