ஒரு இணையான வரைபடத்தின் இணையான பக்கங்கள் சமமாக இருக்கும். ஆராய்ச்சி திட்டம் "இணையான வரைபடம் மற்றும் அதன் பண்புகள்"

1. ஒரு இணையான வரைபடத்தின் வரையறை.

நாம் ஒரு ஜோடி இணையான கோடுகளை மற்றொரு ஜோடி இணை கோடுகளுடன் வெட்டினால், எதிர் பக்கங்கள் ஜோடிகளாக இணையாக இருக்கும் ஒரு நாற்கரத்தைப் பெறுகிறோம்.

நாற்கரங்களில் ABDC மற்றும் EFNM (படம் 224) ВD || ஏசி மற்றும் ஏபி || குறுவட்டு;

EF || MN மற்றும் EM || FN.

எதிரெதிர் பக்கங்கள் ஜோடிகளாக இணையாக இருக்கும் நாற்கரம் இணை வரைபடம் எனப்படும்.

2. ஒரு இணையான வரைபடத்தின் பண்புகள்.

தேற்றம். ஒரு இணையான வரைபடத்தின் மூலைவிட்டமானது அதை இரண்டு சமமான முக்கோணங்களாகப் பிரிக்கிறது.

ஒரு இணையான வரைபடம் ABDC (படம் 225) இருக்கட்டும், அதில் AB || CD மற்றும் AC || ВD.

மூலைவிட்டமானது அதை இரண்டு சமமான முக்கோணங்களாகப் பிரிக்கிறது என்பதை நீங்கள் நிரூபிக்க வேண்டும்.

இணையான ABDC இல் மூலைவிட்ட CB ஐ வரைவோம். \(\Delta\)CAB = \(\Delta\)СДВ என்பதை நிரூபிப்போம்.

பக்க NE இந்த முக்கோணங்களுக்கு பொதுவானது; ∠ABC = ∠BCD, இணையான AB மற்றும் CD மற்றும் secant CB உடன் உள் குறுக்கு கோணங்களாக; ∠ACB = ∠СВD, இணையான AC மற்றும் BD மற்றும் secant CB உடன் உள் குறுக்கு கோணங்கள் போன்றவை.

எனவே \(\Delta\)CAB = \(\Delta\)СДВ.

அதே வழியில், மூலைவிட்ட AD இணையான வரைபடத்தை ACD மற்றும் ABD என இரண்டு சம முக்கோணங்களாகப் பிரிக்கும் என்பதை ஒருவர் நிரூபிக்க முடியும்.

விளைவுகள்:

1 . ஒரு இணையான வரைபடத்தின் எதிர் கோணங்கள் ஒன்றுக்கொன்று சமமாக இருக்கும்.

∠A = ∠D, இது CAB மற்றும் CDB முக்கோணங்களின் சமத்துவத்திலிருந்து பின்பற்றப்படுகிறது.

அதேபோல், ∠C = ∠B.

2. ஒரு இணையான வரைபடத்தின் எதிர் பக்கங்கள் ஒன்றுக்கொன்று சமமாக இருக்கும்.

AB = CD மற்றும் AC = BD, இவை சம முக்கோணங்களின் பக்கங்கள் மற்றும் சம கோணங்களுக்கு எதிரே இருப்பதால்.

தேற்றம் 2. ஒரு இணையான வரைபடத்தின் மூலைவிட்டங்கள் அவற்றின் வெட்டும் புள்ளியில் பாதியாக பிரிக்கப்படுகின்றன.

BC மற்றும் AD ஆகியவை இணையான ஏபிசியின் மூலைவிட்டங்களாக இருக்கட்டும் (படம் 226). AO = OD மற்றும் CO = OB என்பதை நிரூபிப்போம்.

இதைச் செய்ய, சில ஜோடி எதிர் முக்கோணங்களை ஒப்பிடவும், எடுத்துக்காட்டாக \(\Delta\)AOB மற்றும் \(\Delta\)СOD.

இந்த முக்கோணங்களில் AB = CD, ஒரு இணையான வரைபடத்தின் எதிர் பக்கங்களைப் போன்றது;

∠1 = ∠2, இணையான AB மற்றும் CD மற்றும் secant AD உடன் குறுக்காக இருக்கும் உள் கோணங்களாக;

∠3 = ∠4 அதே காரணத்திற்காக, AB || CD மற்றும் SV ஆகியவை அவற்றின் செகண்டுகள்.

இது \(\Delta\)AOB = \(\Delta\)СOD. மற்றும் சம முக்கோணங்களில் எதிர் சம கோணங்கள் உள்ளன சம பக்கங்கள். எனவே, AO = OD மற்றும் CO = OB.

தேற்றம் 3. ஒரு இணையான வரைபடத்தின் ஒரு பக்கத்தை ஒட்டிய கோணங்களின் கூட்டுத்தொகை சமம் 180°.

இணையான ஏபிசிடியில் நாம் மூலைவிட்ட ஏசியை வரைந்து ஏபிசி மற்றும் ஏடிசி என இரண்டு முக்கோணங்களைப் பெறுகிறோம்.

முக்கோணங்கள் சமமாக இருக்கும், ஏனெனில் ∠1 = ∠4, ∠2 = ∠3 (இணை கோடுகளுக்கு குறுக்கு கோணங்கள்), மற்றும் பக்க ஏசி பொதுவானது.
சமத்துவம் \(\Delta\)ABC = \(\Delta\)ADC என்பதிலிருந்து AB = CD, BC = AD, ∠B = ∠D.

ஒரு பக்கத்திற்கு அருகில் உள்ள கோணங்களின் கூட்டுத்தொகை, எடுத்துக்காட்டாக A மற்றும் D கோணங்கள், இணையான கோடுகளுக்கு ஒரு பக்க கோணங்களாக 180°க்கு சமம்.

ஒரு இணை வரைபடம் என்பது ஒரு நாற்கரமாகும், அதன் எதிர் பக்கங்கள் ஜோடிகளாக இணையாக இருக்கும். பின்வரும் படம் ABCD இணையான வரைபடத்தைக் காட்டுகிறது. இது பக்க CD க்கு இணையான பக்க AB மற்றும் பக்க BC க்கு இணையாக AD உள்ளது.

நீங்கள் யூகித்தபடி, ஒரு இணையான வரைபடம் ஒரு குவிந்த நாற்கரமாகும். இணையான வரைபடத்தின் அடிப்படை பண்புகளை கருத்தில் கொள்வோம்.

ஒரு இணையான வரைபடத்தின் பண்புகள்

1. ஒரு இணையான வரைபடத்தில், எதிர் கோணங்களும் எதிர் பக்கங்களும் சமமாக இருக்கும். இந்த சொத்தை நிரூபிப்போம் - பின்வரும் படத்தில் வழங்கப்பட்ட இணையான வரைபடத்தைக் கவனியுங்கள்.

மூலைவிட்ட BD அதை இரண்டு சம முக்கோணங்களாகப் பிரிக்கிறது: ABD மற்றும் CBD. BC மற்றும் AD மற்றும் AB மற்றும் CD ஆகிய இணைக் கோடுகளின் secant BD இல் குறுக்காகக் கிடக்கும் கோணங்கள் முறையே BD பக்கத்திலும் அதை ஒட்டிய இரண்டு கோணங்களிலும் சமமாக இருக்கும். எனவே AB = CD மற்றும்
கி.மு = கி.பி. 1, 2, 3 மற்றும் 4 ஆகிய கோணங்களின் சமத்துவத்திலிருந்து, கோணம் A = கோணம்1 + கோணம்3 = கோணம்2 + கோணம்4 = கோணம் C.

2. ஒரு இணையான வரைபடத்தின் மூலைவிட்டங்கள் வெட்டும் புள்ளியால் பாதியாக பிரிக்கப்படுகின்றன. ABCDயின் இணையான வரைபடத்தின் AC மற்றும் BD ஆகிய மூலைவிட்டங்களின் குறுக்குவெட்டு புள்ளி O புள்ளியாக இருக்கட்டும்.

பின்னர் முக்கோணம் AOB மற்றும் முக்கோணம் COD ஆகியவை ஒன்றுக்கொன்று சமமாக இருக்கும், பக்கவாட்டில் மற்றும் இரண்டு அடுத்தடுத்த கோணங்களில். (ஏபி = CD, ஏனெனில் இவை இணையான வரைபடத்தின் எதிர் பக்கங்கள். மேலும் கோணம்1 = கோணம்2 மற்றும் கோணம்3 = கோணம்4 ஆகியவை AB மற்றும் CD கோடுகள் முறையே AC மற்றும் BD உடன் குறுக்கிடும் போது குறுக்கு கோணங்கள் போன்றவை.) இதிலிருந்து AO = OC மற்றும் OB = OD, இது நிரூபிக்கப்பட வேண்டும்.

அனைத்து முக்கிய பண்புகளும் பின்வரும் மூன்று புள்ளிவிவரங்களில் விளக்கப்பட்டுள்ளன.

சைன்-கி ப-ரல்-லே-லோ-கிராம்-ம

1. ஒரு இணையான வரைபடத்தின் வரையறை மற்றும் அடிப்படை பண்புகள்

பாரா-ரல்-லே-லோ-கிராம் வரையறையை நினைவுபடுத்தி ஆரம்பிக்கலாம்.

வரையறை. இணைகரம்- what-you-rekh-gon-nick, இது இணையாக இருக்கும் ஒவ்வொரு இரண்டு சார்பு-பொய் பக்கங்களையும் கொண்டுள்ளது (படம். 1 ஐப் பார்க்கவும்).

அரிசி. 1. பா-ரல்-லே-லோ-கிராம்

நினைவில் கொள்வோம் pa-ral-le-lo-gram-ma இன் அடிப்படை பண்புகள்:

இந்த அனைத்து பண்புகளையும் பயன்படுத்த, நீங்கள் fi-gu-ra, நாம் பேசும் யாரோ -roy பற்றி, - par-ral-le-lo-gram என்று உறுதியாக இருக்க வேண்டும். இதைச் செய்ய, பா-ரல்-லெ-லோ-கிராம்-மாவின் அறிகுறிகள் போன்ற உண்மைகளை அறிந்து கொள்வது அவசியம். அவற்றில் முதல் இரண்டை இப்போது பார்க்கிறோம்.

2. இணையான வரைபடத்தின் முதல் அடையாளம்

தேற்றம். பா-ரல்-லே-லோ-கிராம்-மாவின் முதல் அறிகுறி.நான்கு நிலக்கரியில் இரண்டு எதிர் பக்கங்களும் சமமாகவும் இணையாகவும் இருந்தால், இந்த நான்கு நிலக்கரி புனைப்பெயர் - இணைகரம். .

அரிசி. 2. பா-ரல்-லே-லோ-கிராம்-மாவின் முதல் அறிகுறி

ஆதாரம். டயா-கோ-நல்-ஐ நான்கு-ரெஹ்-கால்-நி-காவில் வைப்போம் (படம் 2 ஐப் பார்க்கவும்), அவள் அதை இரண்டு ட்ரை-கரி-நி-காவாகப் பிரித்தாள். இந்த முக்கோணங்களைப் பற்றி நமக்குத் தெரிந்தவற்றை எழுதுவோம்:

முக்கோணங்களின் சமத்துவத்தின் முதல் அறிகுறியின்படி.

சுட்டிக்காட்டப்பட்ட முக்கோணங்களின் சமத்துவத்திலிருந்து, ch-nii ஐக் கடக்கும்போது நேர் கோடுகளின் இணையான அடையாளத்தின் மூலம், அவற்றின் s-ku-shchi. எங்களிடம் உள்ளது:

தோ-கா-ஜா-ஆனால்.

3. இணையான வரைபடத்தின் இரண்டாவது அடையாளம்

தேற்றம். இரண்டாவது அடையாளம் பா-ரல்-லே-லோ-கிராம்-மா.நான்கு மூலையில் ஒவ்வொரு இரண்டு சார்பு-பொய் பக்கங்களும் சமமாக இருந்தால், இந்த நான்கு மூலை இணைகரம். .

அரிசி. 3. பா-ரல்-லே-லோ-கிராம்-மாவின் இரண்டாவது அடையாளம்

ஆதாரம். டயா-கோ-நாலை நான்கு மூலையில் வைக்கிறோம் (படம் 3 ஐப் பார்க்கவும்), அவள் அதை இரண்டு முக்கோணங்களாகப் பிரிக்கிறாள். கோட்பாட்டின் வடிவத்தின் அடிப்படையில் இந்த முக்கோணங்களைப் பற்றி நமக்குத் தெரிந்தவற்றை எழுதுவோம்:

முக்கோணங்களின் சமத்துவத்தின் மூன்றாவது அடையாளத்தின் படி.

முக்கோணங்களின் சமத்துவத்திலிருந்து, இணையான கோடுகளின் அடையாளம் மூலம், அவற்றை வெட்டும் போது s-ku-shchey. சாப்பிடலாம்:

வரையறையின்படி par-ral-le-lo-gram. கே.இ.டி.

தோ-கா-ஜா-ஆனால்.

4. முதல் இணை வரைபடம் அம்சத்தைப் பயன்படுத்துவதற்கான எடுத்துக்காட்டு

பா-ரல்-லே-லோ-கிராம் அறிகுறிகளைப் பயன்படுத்துவதற்கான உதாரணத்தைப் பார்ப்போம்.

உதாரணம் 1. புடைப்பில் எந்த நிலக்கரியும் இல்லை கண்டுபிடிக்கவும்: a) நிலக்கரியின் மூலைகள்; b) நூறு-ரோ-கிணறு.

தீர்வு. விளக்கம் படம். 4.

ப-ரல்-லெ-லோ-கிராம் ப-ரல்-லெ-லோ-கிராம்-மாவின் முதல் அறிகுறியின்படி.

ஏ. சார்பு-டி-ஃபால்ஸ் கோணங்களைப் பற்றிய ஒரு பார்-ரல்-லெ-லோ-கிராமின் சொத்தின் மூலம், ஒரு பக்கமாகப் படுக்கும்போது, ​​கோணங்களின் கூட்டுத்தொகையைப் பற்றிய ஒரு பார்-ரல்-லெ-லோ-கிராமின் சொத்தின் மூலம்.

பி. தவறான சார்பு பக்கங்களின் சமத்துவத்தின் தன்மையால்.

மறு-திய் அடையாளம் பா-ரல்-லே-லோ-கிராம்-மா

5. மதிப்பாய்வு: ஒரு இணையான வரைபடத்தின் வரையறை மற்றும் பண்புகள்

என்பதை நினைவில் கொள்வோம் இணைகரம்- இது நான்கு-சதுர மூலையாகும், இது ஜோடிகளாக ti-false பக்கங்களைக் கொண்டுள்ளது. அதாவது, என்றால் - par-ral-le-lo-gram, பின்னர் (படம் 1 ஐப் பார்க்கவும்).

இணை-லெ-லோ-கிராம் பல பண்புகளைக் கொண்டுள்ளது: எதிர் கோணங்கள் சமம் (), எதிர் கோணங்கள் -நாம் சமம் ( ) கூடுதலாக, மறு-செ-செ-நியா புள்ளியில் உள்ள தியா-கோ-னா-லி ப-ரல்-லே-லோ-கிராம் கோணங்களின் கூட்டுத்தொகையின்படி பிரிக்கப்படுகிறது, அட்-லெ-எந்தப் பக்கத்திலும் பா. -ரல்-லே-லோ-கிராம்-மா, சமம், முதலியன.

ஆனால் இந்த எல்லா பண்புகளையும் பயன்படுத்திக் கொள்ள, ரி-வா-இ-மை த்-யு-ரேக்-கால்-நிக் - பா-ரல்-லெ-லோ-கிராம் என்பதை முற்றிலும் உறுதியாகக் கூறுவது அவசியம். இந்த நோக்கத்திற்காக, par-ral-le-lo-gram அறிகுறிகள் உள்ளன: அதாவது, அந்த உண்மைகள் ஒரு ஒற்றை மதிப்பான முடிவை எடுக்க முடியும், என்ன-நீங்கள்-rekh-நிலக்கரி-நிக் ஒரு பார-ரல்- le-lo-gram-mom. முந்தைய பாடத்தில், நாம் ஏற்கனவே இரண்டு அறிகுறிகளைப் பார்த்தோம். இப்போது மூன்றாவது முறையாகப் பார்க்கிறோம்.

6. இணையான வரைபடத்தின் மூன்றாவது அடையாளம் மற்றும் அதன் ஆதாரம்

நான்கு நிலக்கரியில் ரீ-செ-செ-நியா அவர்கள் டூ-பை-லாம் புள்ளியில் ஒரு டயா-கோ-ஆன் இருந்தால், கொடுக்கப்பட்ட நான்கு-உங்கள் ரோஹ்-கால்-நிக் என்பது ஒரு ப-ரல்-லே ஆகும். -லோ-கிராம்-அம்மா.

கொடுக்கப்பட்டது:

என்ன-நீங்கள் மீண்டும் நிலக்கரி-நிக்; ; .

நிரூபிக்க:

இணைகரம்.

ஆதாரம்:

இந்த உண்மையை நிரூபிக்க, பார்-லெ-லோ-கிராமுக்கு கட்சிகளின் இணையான தன்மையைக் காட்ட வேண்டியது அவசியம். மேலும் நேர்கோடுகளின் இணையான தன்மை பெரும்பாலும் இந்த வலது கோணங்களில் உள்ள உள் குறுக்கு கோணங்களின் சமத்துவத்தின் மூலம் அடையப்படுகிறது. எனவே, முக்கோணங்களின் சமத்துவத்தின் மூலம் par-ral -le-lo-gram-ma இன் மூன்றாவது அடையாளத்தைப் பெறுவதற்கான அடுத்த முறை இங்கே உள்ளது. .

இந்த முக்கோணங்கள் எப்படி சமம் என்று பார்ப்போம். உண்மையில், நிபந்தனையிலிருந்து இது பின்வருமாறு: . கூடுதலாக, கோணங்கள் செங்குத்தாக இருப்பதால், அவை சமமாக இருக்கும். அது:

(சமத்துவத்தின் முதல் அடையாளம்tri-coal-ni-cov- இரண்டு பக்கங்களிலும் மற்றும் அவற்றுக்கிடையேயான மூலையில்).

முக்கோணங்களின் சமத்துவத்திலிருந்து: (இந்த நேர்கோடுகள் மற்றும் பிரிப்பான்களில் உள்ள உள் குறுக்கு கோணங்கள் சமமாக இருப்பதால்). கூடுதலாக, முக்கோணங்களின் சமத்துவத்திலிருந்து அது பின்வருமாறு. இதன் பொருள் நான்கு நிலக்கரியில் இருநூறு சமமானவை மற்றும் இணையானவை என்பதை நாம் புரிந்துகொள்கிறோம். முதல் அறிகுறியின்படி, ப-ரல்-லெ-லோ-கிராம்-ம: - ப-ரல்-லெ-லோ-கிராம்.

தோ-கா-ஜா-ஆனால்.

7. இணையான வரைபடம் மற்றும் பொதுமைப்படுத்தலின் மூன்றாவது அடையாளத்தில் உள்ள சிக்கலின் எடுத்துக்காட்டு

Pa-ral-le-lo-gram இன் மூன்றாவது அடையாளத்தைப் பயன்படுத்துவதற்கான உதாரணத்தைப் பார்ப்போம்.

எடுத்துக்காட்டு 1

கொடுக்கப்பட்டது:

- இணைகரம்; . - se-re-di-na, - se-re-di-na, - se-re-di-na, - se-re-di-na (படம் 2 ஐப் பார்க்கவும்).

நிரூபிக்க:- இணைகரம்.

ஆதாரம்:

அதாவது, நான்கு நிலக்கரி-நோ-டியா-கோ-ஆன்-இல் மறு-செ-செ-நியா புள்ளியில் அவர்கள் டூ-பை-லாம். பா-ரல்-லெ-லோ-கிராமின் மூன்றாவது அடையாளத்தால், இதிலிருந்து இது பின்வருமாறு - பா-ரல்-லெ-லோ-கிராம்.

தோ-கா-ஜா-ஆனால்.

Pa-ral-le-lo-gram இன் மூன்றாவது அடையாளத்தை நீங்கள் பகுப்பாய்வு செய்தால், இந்த அடையாளம் வித்-வெட்-க்கு ஒரு par-ral-le-lo-gram இன் சொத்து இருப்பதை நீங்கள் கவனிக்கலாம். அதாவது, தியா-கோ-னா-லி டி-லா-சியா என்பது பார்-லே-லோ-கிராமின் சொத்து மட்டுமல்ல, அதன் தனித்துவமான, கா-ரக்-தே-ரி-ஸ்டி-சே- சொத்து, இது what-you-rekh-coal-ni-cov என்ற தொகுப்பிலிருந்து வேறுபடுத்தப்படலாம்.

ஆதாரம்

http://interneturok.ru/ru/school/geometry/8-klass/chyotyrehugolniki/priznaki-parallelogramma

http://interneturok.ru/ru/school/geometry/8-klass/chyotyrehugolniki/tretiy-priznak-parallelogramma

http://www.uchportfolio.ru/users_content/675f9820626f5bc0afb47b57890b466e/images/46TThxQ8j4Y.jpg

http://cs10002.vk.me/u31195134/116260458/x_56d40dd3.jpg

http://wwww.tepka.ru/geometriya/16.1.gif

கொடுக்கப்பட்ட உருவம் ஒரு இணையானதா என்பதை தீர்மானிக்க, பல அறிகுறிகள் உள்ளன. இணையான வரைபடத்தின் மூன்று முக்கிய அம்சங்களைப் பார்ப்போம்.

1 இணையான வரைபடம்

ஒரு நாற்கரத்தின் இரண்டு பக்கங்களும் சமமாகவும் இணையாகவும் இருந்தால், இந்த நாற்கரமானது ஒரு இணையான வரைபடமாக இருக்கும்.

ஆதாரம்:

நாற்கர ABCD ஐக் கவனியுங்கள். AB மற்றும் CD பக்கங்கள் இணையாக இருக்கட்டும். மேலும் AB=CD ஐ விடுங்கள். அதில் மூலைவிட்ட BD ஐ வரைவோம். இது இந்த நாற்கரத்தை இரண்டு சம முக்கோணங்களாகப் பிரிக்கும்: ABD மற்றும் CBD.

இந்த முக்கோணங்கள் இரண்டு பக்கங்களிலும் மற்றும் அவற்றுக்கிடையே உள்ள கோணம் ஒன்றுக்கொன்று சமமாக இருக்கும் (BD என்பது பொதுவான பக்கமாகும், AB = CD நிபந்தனையின்படி, கோணம்1 = கோணம்2 AB மற்றும் CD இணையான கோடுகளின் குறுக்குவெட்டு BD உடன் குறுக்கு கோணங்களாகும்.), எனவே கோணம்3 = கோணம்4.

BC மற்றும் AD கோடுகள் செகண்ட் BD உடன் வெட்டும் போது இந்த கோணங்கள் குறுக்காக இருக்கும். இதிலிருந்து கி.மு.வும் கி.பியும் ஒன்றுக்கொன்று இணையாக உள்ளன. நாற்கர ஏபிசிடியில் எதிர் பக்கங்கள் ஜோடியாக இணையாக உள்ளன, எனவே நாற்கர ஏபிசிடி ஒரு இணையான வரைபடமாகும்.

இணையான வரைபடம் 2

ஒரு நாற்கரத்தில் எதிர் பக்கங்கள் ஜோடிகளாக சமமாக இருந்தால், இந்த நாற்கரமானது ஒரு இணையான வரைபடமாக இருக்கும்.

ஆதாரம்:

நாற்கர ABCD ஐக் கவனியுங்கள். அதில் மூலைவிட்ட BD ஐ வரைவோம். இது இந்த நாற்கரத்தை இரண்டு சம முக்கோணங்களாகப் பிரிக்கும்: ABD மற்றும் CBD.

இந்த இரண்டு முக்கோணங்களும் மூன்று பக்கங்களிலும் ஒன்றுக்கொன்று சமமாக இருக்கும் (BD என்பது பொதுவான பக்கமாகும், AB = CD மற்றும் BC = AD நிபந்தனையின்படி). இதிலிருந்து நாம் கோணம்1 = கோணம்2 என்று முடிவு செய்யலாம். AB என்பது CD க்கு இணையாக உள்ளது. மேலும் AB = CD மற்றும் AB ஆகியவை CD க்கு இணையாக இருப்பதால், ஒரு இணையான வரைபடத்தின் முதல் அளவுகோலின் படி, நாற்கர ABCD ஒரு இணையான வரைபடமாக இருக்கும்.

3 இணையான வரைபடம்

ஒரு நாற்கரத்தின் மூலைவிட்டங்கள் வெட்டும் புள்ளியால் பிரிக்கப்பட்டால், இந்த நாற்கரமானது ஒரு இணையான வரைபடமாக இருக்கும்.

நாற்கர ABCD ஐக் கவனியுங்கள். அதில் AC மற்றும் BD ஆகிய இரண்டு மூலைவிட்டங்களை வரைவோம், அவை O புள்ளியில் வெட்டும் மற்றும் இந்த புள்ளியால் பிரிக்கப்படும்.

முக்கோணங்களின் சமத்துவத்தின் முதல் அறிகுறியின்படி, AOB மற்றும் COD முக்கோணங்கள் ஒன்றுக்கொன்று சமமாக இருக்கும். (AO = OC, BO = OD நிபந்தனையின்படி, கோணம் AOB = கோணம் COD செங்குத்து கோணங்களாகும்.) எனவே, AB = CD மற்றும் கோணம்1 = கோணம் 2. 1 மற்றும் 2 கோணங்களின் சமத்துவத்திலிருந்து, AB CD க்கு இணையாக உள்ளது. நாற்புற ஏபிசிடியில் ஏபியின் பக்கங்கள் சிடி மற்றும் இணையாக இருக்கும், மேலும் ஒரு இணையான வரைபடத்தின் முதல் அளவுகோலின்படி, நாற்கர ஏபிசிடி ஒரு இணையான வரைபடமாக இருக்கும்.