கேரேஜ் 

எண்களின் தலையெழுத்து மற்றும் எண்கள் மிகப் பெரிய பொது வகுப்பான் மற்றும் பல எண்களின் குறைவான பொதுவான பெருக்கல் ஆகும். "முழு எண்கள். பிரிவினையின் அறிகுறிகள். GCD மற்றும் NOC

மூன்று அல்லது அதற்கு மேற்பட்ட எண்களின் மிகப் பெரிய பொதுவான வகுப்பியைக் கண்டறிவது, இரண்டு எண்களின் gcdஐ வரிசையாகக் கண்டறிவதற்குக் குறைக்கப்படும். ஜிசிடியின் பண்புகளைப் படிக்கும் போது இதைக் குறிப்பிட்டோம். அங்கு நாங்கள் தேற்றத்தை உருவாக்கி நிரூபித்தோம்: பல எண்களின் மிகப் பெரிய பொது வகுப்பான் a 1, a 2, ..., a kஎண்ணுக்கு சமம் dk, இது தொடர் கணக்கீடு மூலம் கண்டறியப்படுகிறது GCD(a 1 , a 2)=d 2, GCD(d 2, a 3)=d 3, GCD(d 3, a 4)=d 4, …,GCD(d k-1 , a k)=d k.

உதாரணத்தின் தீர்வைப் பார்ப்பதன் மூலம் பல எண்களின் ஜிசிடியை கண்டுபிடிக்கும் செயல்முறை எப்படி இருக்கும் என்று பார்ப்போம்.

உதாரணமாக.

நான்கு எண்களின் மிகப் பெரிய பொது வகுப்பினைக் கண்டறியவும் 78 , 294 , 570 மற்றும் 36 .

தீர்வு.

இந்த எடுத்துக்காட்டில் a 1 =78, a 2 =294, ஒரு 3 =570, a 4 =36.

முதலில், யூக்ளிடியன் அல்காரிதத்தைப் பயன்படுத்தி, மிகப் பெரிய பொதுவான வகுப்பியைத் தீர்மானிக்கிறோம் ஈ 2முதல் இரண்டு எண்கள் 78 மற்றும் 294 . பிரிக்கும் போது சமத்துவம் கிடைக்கும் 294=78 3+60; 78=60 1+18;60=18·3+6மற்றும் 18=6·3. இதனால், d 2 =GCD(78, 294)=6.

இப்போது கணக்கிடுவோம் d 3 =GCD(d 2, a 3)=GCD(6, 570). யூக்ளிடியன் அல்காரிதத்தை மீண்டும் பயன்படுத்துவோம்: 570=6·95, எனவே, d 3 =GCD(6, 570)=6.

இது கணக்கிட உள்ளது d 4 =GCD(d 3, a 4)=GCD(6, 36). ஏனெனில் 36 வகுக்க 6 , அந்த d 4 =GCD(6, 36)=6.

எனவே, கொடுக்கப்பட்ட நான்கு எண்களின் மிகப் பெரிய பொது வகுப்பான் சமம் d 4 =6, அது, GCD(78, 294, 570, 36)=6.

பதில்:

GCD(78, 294, 570, 36)=6.

எண்களை பிரதான காரணிகளாகக் காரணியாக்குவது, மூன்று அல்லது அதற்கு மேற்பட்ட எண்களின் ஜிசிடியைக் கணக்கிட உங்களை அனுமதிக்கிறது. இந்த வழக்கில், கொடுக்கப்பட்ட எண்களின் அனைத்து பொதுவான முதன்மை காரணிகளின் விளைபொருளாக மிகப் பெரிய பொது வகுப்பான் காணப்படுகிறது.

உதாரணமாக.

முந்தைய எடுத்துக்காட்டில் இருந்து எண்களின் ஜிசிடியை அவற்றின் முதன்மை காரணியாக்கங்களைப் பயன்படுத்தி கணக்கிடவும்.

தீர்வு.

எண்களை உடைப்போம் 78 , 294 , 570 மற்றும் 36 பிரதான காரணிகளால், நாம் பெறுகிறோம் 78=2·3·13,294=2·3·7·7, 570=2 3 5 19, 36=2·2·3·3. கொடுக்கப்பட்ட நான்கு எண்களின் பொதுவான முதன்மை காரணிகள் எண்கள் 2 மற்றும் 3 . எனவே, GCD(78, 294, 570, 36)=2·3=6.

பதில்:

GCD(78, 294, 570, 36)=6.

பக்கத்தின் மேல்

எதிர்மறை எண்களின் ஜிசிடியைக் கண்டறிதல்

ஒன்று, பல அல்லது அனைத்து எண்களின் மிகப்பெரிய வகுப்பான்கள் எதிர்மறை எண்களாக இருந்தால், அவற்றின் ஜிசிடி இந்த எண்களின் மாடுலியின் மிகப்பெரிய பொதுவான வகுப்பிக்கு சமம். எதிர் எண்கள் இருப்பதே இதற்குக் காரணம் அமற்றும் −aவகுபடுதலின் பண்புகளைப் படிக்கும் போது நாம் விவாதித்த அதே வகுப்பிகள் உள்ளன.

உதாரணமாக.

எதிர்மறை முழு எண்களின் gcd ஐக் கண்டறியவும் −231 மற்றும் −140 .

தீர்வு.

ஒரு எண்ணின் முழுமையான மதிப்பு −231 சமம் 231 , மற்றும் எண்ணின் மாடுலஸ் −140 சமம் 140 , மற்றும் GCD(−231, −140)=GCD(231, 140). யூக்ளிடியன் அல்காரிதம் பின்வரும் சமத்துவங்களை நமக்கு வழங்குகிறது: 231=140 1+91; 140=91 1+49; 91=49 1+42; 49=42 1+7மற்றும் 42=7 6. எனவே, GCD(231, 140)=7. எதிர்மறை எண்களின் விரும்பிய மிகப் பெரிய பொது வகுப்பான் −231 மற்றும் −140 சமம் 7 .


பதில்:

GCD(−231, −140)=7.

உதாரணமாக.

மூன்று எண்களின் ஜிசிடியை தீர்மானிக்கவும் −585 , 81 மற்றும் −189 .

தீர்வு.

மிகப் பெரிய பொதுவான வகுப்பியைக் கண்டறியும் போது, ​​எதிர்மறை எண்களை அவற்றின் முழுமையான மதிப்புகளால் மாற்றலாம், அதாவது, GCD(−585, 81, −189)=GCD(585, 81, 189). எண் விரிவாக்கங்கள் 585 , 81 மற்றும் 189 பிரதான காரணிகளுக்கு வடிவம் உள்ளது 585=3·3·5·13, 81=3·3·3·3மற்றும் 189=3·3·3·7. இந்த மூன்று எண்களின் பொதுவான பிரதான காரணிகள் 3 மற்றும் 3 . பிறகு GCD(585, 81, 189)=3·3=9, எனவே, GCD(−585, 81, −189)=9.

பதில்:

GCD(−585, 81, −189)=9.

35. ஒரு பல்லுறுப்புக்கோவையின் வேர்கள். பெசவுட்டின் தேற்றம். (33 மற்றும் அதற்கு மேல்)

36. பல வேர்கள், வேர்களின் பெருக்கத்திற்கான அளவுகோல்.

இரண்டு எண்களின் மிகக் குறைவான பொதுப் பெருக்கல் அந்த எண்களின் மிகப் பெரிய பொது வகுப்போடு நேரடியாக தொடர்புடையது. இது GCD மற்றும் NOC இடையே இணைப்புபின்வரும் தேற்றத்தால் தீர்மானிக்கப்படுகிறது.

தேற்றம்.

இரண்டு நேர்மறை முழு எண்களான a மற்றும் b இன் குறைந்தப் பொதுப் பெருக்கல் a மற்றும் b இன் பெருக்கத்தின் பெருக்கத்திற்கு சமம் a மற்றும் b இன் மிகப் பெரிய பொது வகுப்பினால் வகுக்கப்படும், அதாவது LCM(a, b)=a b:GCD(a, b).

ஆதாரம்.

விடுங்கள் M என்பது a மற்றும் b எண்களின் சில மடங்கு. அதாவது, M என்பது a ஆல் வகுபடும், மற்றும் வகுபடுதலின் வரையறையின்படி, சில முழு எண் k உள்ளது, அதாவது M=a·k என்பது உண்மை. ஆனால் M என்பது b ஆல் வகுபடும், பிறகு a·k என்பது b ஆல் வகுபடும்.

gcd(a, b) ஐ d எனக் குறிப்போம். பின்னர் நாம் a=a 1 ·d மற்றும் b=b 1 ·d ஆகிய சமத்துவங்களை எழுதலாம், மேலும் a 1 =a:d மற்றும் b 1 =b:d ஆகியவை ஒப்பீட்டளவில் பகா எண்களாக இருக்கும். இதன் விளைவாக, a · k என்பது b ஆல் வகுபடும் என்ற முந்தைய பத்தியில் பெறப்பட்ட நிபந்தனை பின்வருமாறு மறுசீரமைக்கப்படலாம்: a 1 · d · k ஆனது b 1 · d ஆல் வகுக்கப்படுகிறது, மேலும் இது, வகுபடும் பண்புகளின் காரணமாக, நிபந்தனைக்கு சமமானது. a 1 · k என்பது b 1 ஆல் வகுபடும்.

கருதப்பட்ட தேற்றத்திலிருந்து இரண்டு முக்கியமான தொடர்ச்சிகளையும் நீங்கள் எழுத வேண்டும்.

    இரண்டு எண்களின் பொதுப் பெருக்கல்கள் அவற்றின் குறைந்தப் பொதுப் பெருக்கத்தின் பெருக்கங்களைப் போலவே இருக்கும்.

    A மற்றும் b எண்களின் M இன் எந்தப் பொதுப் பெருக்கமும் M=LMK(a, b)·t என்ற சமத்துவத்தால் சில முழு எண் மதிப்பு t க்கு தீர்மானிக்கப்படுவதால், இது உண்மையாகவே உள்ளது.

    பரஸ்பர பகா நேர்மறை எண்கள் a மற்றும் b ஆகியவற்றின் மிகக் குறைவான பொதுவான பெருக்கல் அவற்றின் தயாரிப்புக்கு சமம்.

    இந்த உண்மைக்கான காரணம் மிகவும் வெளிப்படையானது. a மற்றும் b ஆகியவை ஒப்பீட்டளவில் முதன்மையானவை என்பதால், gcd(a, b)=1, எனவே, GCD(a, b)=a b: GCD(a, b)=a b:1=a b.

மூன்று அல்லது அதற்கு மேற்பட்ட எண்களின் குறைவான பொதுவான பெருக்கல்

மூன்று அல்லது அதற்கு மேற்பட்ட எண்களின் குறைந்தப் பொதுப் பெருக்கத்தைக் கண்டறிவது இரண்டு எண்களின் LCMஐ வரிசையாகக் கண்டறிவதற்குக் குறைக்கப்படும். இது எவ்வாறு செய்யப்படுகிறது என்பது பின்வரும் தேற்றத்தில் குறிப்பிடப்பட்டுள்ளது. a 1 , a 2 , ..., a k என்பது m k-1 மற்றும் a k எண்களின் பொது மடங்குகளுடன் ஒத்துப்போகிறது, எனவே, m k எண்ணின் பொதுப் பெருக்கல்களுடன் ஒத்துப்போகிறது. மேலும் m k எண்ணின் மிகச் சிறிய நேர்மறைப் பெருக்கல் எண் m k தானே என்பதால், a 1, a 2, ..., a k என்பது m k என்பது எண்களின் மிகச் சிறிய பொதுப் பெருக்கல் ஆகும்.

நூல் பட்டியல்.

  • விலென்கின் என்.யா. மற்றும் பிற.கணிதம். 6 ஆம் வகுப்பு: பொது கல்வி நிறுவனங்களுக்கான பாடநூல்.
  • வினோகிராடோவ் ஐ.எம். எண் கோட்பாட்டின் அடிப்படைகள்.
  • Mikhelovich Sh.H. எண் கோட்பாடு.
  • குலிகோவ் எல்.யா. இயற்கணிதம் மற்றும் எண் கோட்பாட்டில் உள்ள சிக்கல்களின் தொகுப்பு: பயிற்சிஇயற்பியல் மற்றும் கணிதம் மாணவர்களுக்கு. கல்வி நிறுவனங்களின் சிறப்புகள்.

வரையறை. a மற்றும் b எண்கள் மீதம் இல்லாமல் வகுக்கப்படும் மிகப்பெரிய இயற்கை எண் அழைக்கப்படுகிறது மிகப் பெரிய பொது வகுப்பி (GCD)இந்த எண்கள்.

24 மற்றும் 35 எண்களின் மிகப் பெரிய பொதுவான வகுப்பினைக் கண்டுபிடிப்போம்.
24 இன் வகுப்பிகள் 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24 ஆகிய எண்களாகவும், 35 இன் வகுப்பிகள் 1, 5, 7, 35 ஆகிய எண்களாகவும் உள்ளன.
24 மற்றும் 35 ஆகிய எண்களுக்கு ஒரே ஒரு பொதுவான வகுப்பி இருப்பதைக் காண்கிறோம் - எண் 1. அத்தகைய எண்கள் அழைக்கப்படுகின்றன. பரஸ்பரம் முதன்மையானது.

வரையறை.இயற்கை எண்கள் என்று அழைக்கப்படுகின்றன பரஸ்பரம் முதன்மையானது, அவற்றின் மிகப் பெரிய பொது வகுப்பான் (GCD) 1 ஆக இருந்தால்.

சிறந்த பொது வகுப்பான் (GCD)கொடுக்கப்பட்ட எண்களின் அனைத்து வகுப்பிகளையும் எழுதாமல் கண்டுபிடிக்கலாம்.

48 மற்றும் 36 எண்களை காரணியாக்கினால், நாம் பெறுகிறோம்:
48 = 2 * 2 * 2 * 2 * 3, 36 = 2 * 2 * 3 * 3.
இந்த எண்களில் முதல் எண்களின் விரிவாக்கத்தில் சேர்க்கப்பட்டுள்ள காரணிகளிலிருந்து, இரண்டாவது எண்ணின் விரிவாக்கத்தில் (அதாவது இரண்டு இரண்டுகள்) சேர்க்கப்படாதவற்றைக் கடக்கிறோம்.
மீதமுள்ள காரணிகள் 2 * 2 * 3. அவற்றின் தயாரிப்பு 12 க்கு சமம். இந்த எண் 48 மற்றும் 36 எண்களின் மிகப் பெரிய பொது வகுப்பான். மூன்று அல்லது அதற்கு மேற்பட்ட எண்களின் மிகப் பெரிய பொது வகுத்தும் காணப்படுகிறது.

கண்டுபிடிக்க மிகப் பெரிய பொது வகுப்பான்

2) இந்த எண்களில் ஒன்றின் விரிவாக்கத்தில் சேர்க்கப்பட்டுள்ள காரணிகளிலிருந்து, மற்ற எண்களின் விரிவாக்கத்தில் சேர்க்கப்படாதவற்றைக் கடக்கவும்;
3) மீதமுள்ள காரணிகளின் பலனைக் கண்டறியவும்.

கொடுக்கப்பட்ட அனைத்து எண்களும் அவற்றில் ஒன்றால் வகுக்கப்பட்டால், இந்த எண் மிகப் பெரிய பொது வகுப்பான்கொடுக்கப்பட்ட எண்கள்.
எடுத்துக்காட்டாக, 15, 45, 75 மற்றும் 180 எண்களின் மிகப் பெரிய பொது வகுப்பானது எண் 15 ஆகும், ஏனெனில் மற்ற எல்லா எண்களும் இதன் மூலம் வகுக்கப்படுகின்றன: 45, 75 மற்றும் 180.

குறைந்த பொதுவான பல (LCM)

வரையறை. குறைந்த பொதுவான பல (LCM)இயற்கை எண்கள் a மற்றும் b என்பது a மற்றும் b இரண்டின் பெருக்கமான சிறிய இயற்கை எண் ஆகும். 75 மற்றும் 60 எண்களின் மிகக் குறைவான பொதுவான மடங்கு (LCM) இந்த எண்களின் மடங்குகளை ஒரு வரிசையில் எழுதாமல் காணலாம். இதைச் செய்ய, 75 மற்றும் 60 ஐ பிரதான காரணிகளாகக் கருதுவோம்: 75 = 3 * 5 * 5, மற்றும் 60 = 2 * 2 * 3 * 5.
இந்த எண்களில் முதல் எண்களின் விரிவாக்கத்தில் சேர்க்கப்பட்டுள்ள காரணிகளை எழுதுவோம், மேலும் இரண்டாவது எண்ணின் விரிவாக்கத்திலிருந்து விடுபட்ட காரணிகள் 2 மற்றும் 2 ஐச் சேர்ப்போம் (அதாவது, காரணிகளை இணைக்கிறோம்).
நாம் ஐந்து காரணிகள் 2 * 2 * 3 * 5 * 5 ஐப் பெறுகிறோம், இதன் பலன் 300 ஆகும். இந்த எண் 75 மற்றும் 60 எண்களின் மிகக் குறைவான பொதுவான மடங்கு ஆகும்.

மூன்று அல்லது அதற்கு மேற்பட்ட எண்களின் மிகக் குறைந்த பொதுப் பெருக்கத்தையும் அவர்கள் காண்கிறார்கள்.

செய்ய குறைந்தபட்ச பொதுவான பலவற்றைக் கண்டறியவும்பல இயற்கை எண்கள், உங்களுக்குத் தேவை:
1) முக்கிய காரணிகளாக அவற்றை காரணியாக்கு;
2) எண்களில் ஒன்றின் விரிவாக்கத்தில் சேர்க்கப்பட்டுள்ள காரணிகளை எழுதுங்கள்;
3) மீதமுள்ள எண்களின் விரிவாக்கங்களிலிருந்து விடுபட்ட காரணிகளைச் சேர்க்கவும்;
4) விளைந்த காரணிகளின் விளைபொருளைக் கண்டறியவும்.

இந்த எண்களில் ஒன்று மற்ற எல்லா எண்களாலும் வகுபடுமானால், இந்த எண் இந்த எண்களின் மிகக் குறைவான பொதுவான பெருக்கமாகும்.
எடுத்துக்காட்டாக, 12, 15, 20 மற்றும் 60 எண்களின் பொதுவான பெருக்கல் 60 ஆகும், ஏனெனில் அது அந்த எண்கள் அனைத்திலும் வகுபடும்.

பித்தகோரஸ் (கிமு VI நூற்றாண்டு) மற்றும் அவரது மாணவர்கள் எண்களின் வகுக்கும் தன்மை பற்றிய கேள்வியைப் படித்தனர். அவர்கள் அதன் அனைத்து வகுத்தல்களின் கூட்டுத்தொகைக்கு சமமான எண்ணை (எண் இல்லாமல்) சரியான எண் என்று அழைத்தனர். எடுத்துக்காட்டாக, எண்கள் 6 (6 = 1 + 2 + 3), 28 (28 = 1 + 2 + 4 + 7 + 14) சரியானவை. அடுத்த சரியான எண்கள் 496, 8128, 33,550,336. பித்தகோரியர்கள் முதல் மூன்று சரியான எண்களை மட்டுமே அறிந்திருந்தனர். நான்காவது - 8128 - 1 ஆம் நூற்றாண்டில் அறியப்பட்டது. n இ. ஐந்தாவது - 33,550,336 - 15 ஆம் நூற்றாண்டில் கண்டுபிடிக்கப்பட்டது. 1983 வாக்கில், 27 சரியான எண்கள் ஏற்கனவே அறியப்பட்டன. ஆனால் விஞ்ஞானிகள் ஒற்றைப்படை சரியான எண்கள் உள்ளதா அல்லது மிகப்பெரிய சரியான எண் உள்ளதா என்பது இன்னும் தெரியவில்லை.
பகா எண்களில் பண்டைய கணிதவியலாளர்களின் ஆர்வம், எந்தவொரு எண்ணும் பகா எண் அல்லது ஒரு பொருளாகக் குறிப்பிடப்படலாம் என்ற உண்மையிலிருந்து உருவாகிறது. முதன்மை எண்கள், அதாவது பகா எண்கள் செங்கற்கள் போன்றவை, இதிலிருந்து மீதமுள்ள இயற்கை எண்கள் கட்டமைக்கப்படுகின்றன.
இயற்கை எண்களின் வரிசையில் பகா எண்கள் சீரற்ற முறையில் நிகழ்கின்றன என்பதை நீங்கள் கவனித்திருக்கலாம் - தொடரின் சில பகுதிகளில் அவற்றில் அதிகமாகவும், மற்றவற்றில் - குறைவாகவும் உள்ளன. ஆனால் எண் தொடரில் நாம் மேலும் நகர்ந்தால், பகா எண்கள் குறைவாகவே இருக்கும். கேள்வி எழுகிறது: கடைசி (பெரிய) பகா எண் உள்ளதா? பண்டைய கிரேக்க கணிதவியலாளர் யூக்லிட் (கிமு 3 ஆம் நூற்றாண்டு), இரண்டாயிரம் ஆண்டுகளாக கணிதத்தின் முக்கிய பாடப்புத்தகமாக இருந்த "எலிமென்ட்ஸ்" என்ற புத்தகத்தில், எண்ணற்ற பகா எண்கள் உள்ளன என்பதை நிரூபித்தார், அதாவது ஒவ்வொரு பகா எண்ணுக்கும் பின்னால் இன்னும் பெரிய பகா எண்கள் உள்ளன. எண்.
பகா எண்களைக் கண்டறிய, அதே காலத்தைச் சேர்ந்த மற்றொரு கிரேக்கக் கணிதவியலாளர் எரடோஸ்தீனஸ் இந்த முறையைக் கொண்டு வந்தார். அவர் 1 முதல் சில எண்கள் வரை அனைத்து எண்களையும் எழுதினார், பின்னர் ஒரு பகா அல்லது கூட்டு எண் அல்லாத ஒன்றைக் கடந்து, பின்னர் 2 க்குப் பிறகு வரும் அனைத்து எண்களையும் (2 இன் பெருக்கல் எண்கள், அதாவது 4, 6, 8, முதலியன). 2 க்குப் பிறகு மீதமுள்ள முதல் எண் 3. பின்னர், இரண்டிற்குப் பிறகு, 3 க்குப் பிறகு வரும் அனைத்து எண்களும் (3 இன் பெருக்கல் எண்கள், அதாவது 6, 9, 12, முதலியன) கடந்துவிட்டன. இறுதியில் பகா எண்கள் மட்டுமே கடக்கப்படாமல் இருந்தன.

இரண்டாவது எண்: b=

ஆயிரம் பிரிப்பான்இடம் பிரிப்பான் இல்லாமல் "´

விளைவாக:

மிகப் பெரிய பொதுவான வகுப்பி gcd( அ,பி)=6

LCM இன் குறைந்த பொதுவான மடங்கு அ,பி)=468

மீதம் இல்லாமல் வகுக்கக்கூடிய மிகப்பெரிய இயற்கை எண் a மற்றும் b எண்களால் அழைக்கப்படுகிறது மிகப் பெரிய பொது வகுப்பான்இந்த எண்களின் (GCD). gcd(a,b), (a,b), gcd(a,b) அல்லது hcf(a,b)ஆல் குறிக்கப்படுகிறது.

மீச்சிறு பொது a மற்றும் b ஆகிய இரண்டு முழு எண்களின் LCM என்பது மீதம் இல்லாமல் a மற்றும் b ஆல் வகுபடும் சிறிய இயற்கை எண்ணாகும். LCM(a,b), அல்லது lcm(a,b) குறிக்கப்படுகிறது.

முழு எண்கள் a மற்றும் b என்று அழைக்கப்படுகின்றன பரஸ்பரம் முதன்மையானது, அவர்கள் +1 மற்றும் −1 தவிர பொதுவான வகுப்பிகள் இல்லை என்றால்.

மிகப் பெரிய பொது வகுப்பான்

இரண்டு நேர்மறை எண்களைக் கொடுக்கலாம் அ 1 மற்றும் அ 2 1). இந்த எண்களின் பொதுவான வகுப்பியைக் கண்டறிய வேண்டும், அதாவது. அத்தகைய எண்ணைக் கண்டறியவும் λ , இது எண்களைப் பிரிக்கிறது அ 1 மற்றும் அ 2 அதே நேரத்தில். அல்காரிதத்தை விவரிப்போம்.

1) இந்த கட்டுரையில், எண் என்ற சொல் முழு எண்ணாக புரிந்து கொள்ளப்படும்.

விடுங்கள் அ 1 ≥ அ 2 மற்றும் விடுங்கள்

எங்கே மீ 1 , அ 3 சில முழு எண்கள், அ 3 <அ 2 (பிரிவின் மீதமுள்ளவை அ 1 ஒன்றுக்கு அ 2 குறைவாக இருக்க வேண்டும் அ 2).

என்று பாசாங்கு செய்யலாம் λ பிரிக்கிறது அ 1 மற்றும் அ 2 பிறகு λ பிரிக்கிறது மீ 1 அ 2 மற்றும் λ பிரிக்கிறது அ 1 −மீ 1 அ 2 =அ 3 (கட்டுரையின் அறிக்கை 2 "எண்களின் வகுத்தல். வகுத்தல் சோதனை"). இது ஒவ்வொரு பொதுவான வகுப்பான் பின்வருமாறு அ 1 மற்றும் அ 2 என்பது பொதுவான வகுப்பான் அ 2 மற்றும் அ 3. தலைகீழ் என்றால் உண்மை λ பொதுவான வகுப்பான் அ 2 மற்றும் அ 3 பிறகு மீ 1 அ 2 மற்றும் அ 1 =மீ 1 அ 2 +அ 3 ஆல் வகுபடும் λ . எனவே பொது வகுத்தல் அ 2 மற்றும் அ 3 என்பது ஒரு பொதுவான வகுப்பியாகும் அ 1 மற்றும் அ 2. ஏனெனில் அ 3 <அ 2 ≤அ 1, பின்னர் எண்களின் பொதுவான வகுப்பியைக் கண்டுபிடிப்பதில் உள்ள சிக்கலுக்கு தீர்வு என்று சொல்லலாம் அ 1 மற்றும் அஎண்களின் பொதுவான வகுப்பினைக் கண்டறிவதில் எளிமையான சிக்கலாக 2 குறைக்கப்பட்டது அ 2 மற்றும் அ 3 .

என்றால் அ 3 ≠0, பின்னர் நாம் பிரிக்கலாம் அ 2 இல் அ 3. பிறகு

,

எங்கே மீ 1 மற்றும் அ 4 சில முழு எண்கள், ( அபிரிவிலிருந்து 4 மீதம் அ 2 இல் அ 3 (அ 4 <அ 3)). இதே போன்ற பகுத்தறிவு மூலம், எண்களின் பொதுவான வகுப்பிகள் என்ற முடிவுக்கு வருகிறோம் அ 3 மற்றும் அ 4 எண்களின் பொதுவான வகுப்பிகளுடன் ஒத்துப்போகிறது அ 2 மற்றும் அ 3, மற்றும் பொதுவான வகுப்பிகளுடன் அ 1 மற்றும் அ 2. ஏனெனில் அ 1 , அ 2 , அ 3 , அ 4, ... என்பது தொடர்ந்து குறைந்து வரும் எண்கள், மற்றும் இடையே ஒரு வரையறுக்கப்பட்ட முழு எண்கள் இருப்பதால் அ 2 மற்றும் 0, பின்னர் சில படிகளில் n, பிரிவின் மீதமுள்ளவை அமீது n அ n+1 என்பது பூஜ்ஜியத்திற்குச் சமமாக இருக்கும் ( அ n+2 =0).

.

ஒவ்வொரு பொதுவான வகுப்பான் λ எண்கள் அ 1 மற்றும் அ 2 என்பது எண்களின் வகுத்தல் ஆகும் அ 2 மற்றும் அ 3 , அ 3 மற்றும் அ 4 , .... அ n மற்றும் அ n+1 உரையாடல் உண்மை, எண்களின் பொதுவான வகுத்தல் அ n மற்றும் அ n+1 என்பதும் எண்களின் வகுப்பிகள் அ n−1 மற்றும் அ n,...., அ 2 மற்றும் அ 3 , அ 1 மற்றும் அ 2. ஆனால் எண்களின் பொதுவான வகுப்பான் அ n மற்றும் அ n+1 என்பது ஒரு எண் அ n+1 , ஏனெனில் அ n மற்றும் அ n+1 ஆல் வகுபடும் அ n+1 (அதை நினைவில் கொள்க அ n+2 =0). எனவே அ n+1 என்பது எண்களின் வகுப்பாகும் அ 1 மற்றும் அ 2 .

எண் என்பதைக் கவனியுங்கள் அ n+1 என்பது எண்களின் மிகப்பெரிய வகுப்பான் அ n மற்றும் அ n+1 , மிகப் பெரிய வகுப்பான் என்பதால் அ n+1 தானே அ n+1 என்றால் அ n+1ஐ முழு எண்களின் பெருக்கமாகக் குறிப்பிடலாம், பின்னர் இந்த எண்களும் எண்களின் பொதுவான வகுப்பிகளாகும். அ 1 மற்றும் அ 2. எண் அ n+1 அழைக்கப்படுகிறது மிகப்பெரிய பொது வகுப்பான்எண்கள் அ 1 மற்றும் அ 2 .

எண்கள் அ 1 மற்றும் அ 2 நேர்மறை அல்லது எதிர்மறை எண்களாக இருக்கலாம். எண்களில் ஒன்று பூஜ்ஜியத்திற்குச் சமமாக இருந்தால், இந்த எண்களின் மிகப் பெரிய பொது வகுப்பானது மற்ற எண்ணின் முழுமையான மதிப்புக்கு சமமாக இருக்கும். பூஜ்ஜிய எண்களின் மிகப் பெரிய பொது வகுப்பான் வரையறுக்கப்படவில்லை.

மேலே உள்ள அல்காரிதம் அழைக்கப்படுகிறது யூக்ளிடியன் அல்காரிதம்இரண்டு முழு எண்களின் மிகப் பெரிய பொது வகுப்பினைக் கண்டறிய.

இரண்டு எண்களின் மிகப் பெரிய பொது வகுப்பினைக் கண்டறிவதற்கான எடுத்துக்காட்டு

630 மற்றும் 434 ஆகிய இரண்டு எண்களின் மிகப் பெரிய பொது வகுப்பினைக் கண்டறியவும்.

  • படி 1. 630 என்ற எண்ணை 434 ஆல் வகுக்கவும். மீதி 196.
  • படி 2. 434 என்ற எண்ணை 196 ஆல் வகுக்கவும். மீதி 42 ஆகும்.
  • படி 3. 196 என்ற எண்ணை 42 ஆல் வகுக்கவும். மீதி 28 ஆகும்.
  • படி 4. எண் 42 ஐ 28 ஆல் வகுக்கவும். மீதி 14 ஆகும்.
  • படி 5. எண் 28 ஐ 14 ஆல் வகுக்கவும். மீதி 0.

படி 5 இல், வகுப்பின் எஞ்சிய பகுதி 0 ஆகும். எனவே, 630 மற்றும் 434 எண்களின் மிகப் பெரிய பொது வகுத்தல் 14 ஆகும். 2 மற்றும் 7 எண்களும் 630 மற்றும் 434 எண்களின் வகுப்பான்கள் என்பதை நினைவில் கொள்ளவும்.

காபிரைம் எண்கள்

வரையறை 1. எண்களின் மிகப் பெரிய பொது வகுப்பான் அ 1 மற்றும் அ 2 ஒன்றுக்கு சமம். பின்னர் இந்த எண்கள் அழைக்கப்படுகின்றன முதன்மை எண்கள், பொதுவான வகுத்தல் இல்லை.

தேற்றம் 1. என்றால் அ 1 மற்றும் அ 2 காபிரைம் எண்கள் மற்றும் λ சில எண், பின்னர் எண்களின் பொதுவான வகுத்தல் λa 1 மற்றும் அ 2 என்பது எண்களின் பொதுவான வகுப்பாகும் λ மற்றும் அ 2 .

ஆதாரம். எண்களின் மிகப் பெரிய பொதுவான வகுப்பினைக் கண்டறிய யூக்ளிடியன் அல்காரிதத்தைக் கவனியுங்கள். அ 1 மற்றும் அ 2 (மேலே காண்க).

.

தேற்றத்தின் நிபந்தனைகளில் இருந்து, எண்களின் மிகப் பெரிய பொதுவான வகுப்பான் அ 1 மற்றும் அ 2 மற்றும் எனவே அ n மற்றும் அ n+1 என்பது 1. அதாவது அ n+1 =1.

இந்த சமத்துவங்கள் அனைத்தையும் பெருக்குவோம் λ , பிறகு

.

பொது பிரிப்பான் அ 1 λ மற்றும் அ 2 ஆம் δ . பிறகு δ ஒரு பெருக்கியாக சேர்க்கப்பட்டுள்ளது அ 1 λ , மீ 1 அ 2 λ மற்றும் உள்ளே அ 1 λ -மீ 1 அ 2 λ =அ 3 λ ("எண்களின் வகுக்கும் தன்மை", அறிக்கை 2 ஐப் பார்க்கவும்). மேலும் δ ஒரு பெருக்கியாக சேர்க்கப்பட்டுள்ளது அ 2 λ மற்றும் மீ 2 அ 3 λ , மற்றும், எனவே, ஒரு காரணியாகும் அ 2 λ -மீ 2 அ 3 λ =அ 4 λ .

இந்த வழியில் நியாயப்படுத்தினால், நாங்கள் உறுதியாக இருக்கிறோம் δ ஒரு பெருக்கியாக சேர்க்கப்பட்டுள்ளது அ n−1 λ மற்றும் மீ n−1 அ n λ , எனவே உள்ளே அ n−1 λ −மீ n−1 அ n λ =அ n+1 λ . ஏனெனில் அ n+1 =1, பிறகு δ ஒரு பெருக்கியாக சேர்க்கப்பட்டுள்ளது λ . எனவே எண் δ எண்களின் பொதுவான வகுப்பான் λ மற்றும் அ 2 .

தேற்றம் 1 இன் சிறப்பு நிகழ்வுகளைக் கருத்தில் கொள்வோம்.

விளைவு 1. விடுங்கள் அமற்றும் cமுதன்மை எண்கள் ஒப்பீட்டளவில் உள்ளன பி. பின்னர் அவர்களின் தயாரிப்பு ஏசிஎன்பது சம்பந்தமாக ஒரு பகா எண் பி.

உண்மையில். தேற்றம் 1ல் இருந்து ஏசிமற்றும் பிஅதே பொதுவான வகுத்தல் வேண்டும் cமற்றும் பி. ஆனால் எண்கள் cமற்றும் பிஒப்பீட்டளவில் எளிமையானது, அதாவது. ஒரு பொதுவான வகுத்தல் வேண்டும் 1. பிறகு ஏசிமற்றும் பிஒரு பொதுவான வகுத்தல் 1. எனவே ஏசிமற்றும் பிபரஸ்பரம் எளிமையானது.

விளைவு 2. விடுங்கள் அமற்றும் பிமுதன்மை எண்கள் மற்றும் அனுமதி பிபிரிக்கிறது ak. பிறகு பிபிரிக்கிறது மற்றும் கே.

உண்மையில். ஒப்புதல் நிபந்தனையிலிருந்து akமற்றும் பிஒரு பொதுவான வகுப்பி உள்ளது பி. தேற்றம் 1 இன் அடிப்படையில், பிஒரு பொதுவான வகுப்பியாக இருக்க வேண்டும் பிமற்றும் கே. எனவே பிபிரிக்கிறது கே.

முடிவு 1 ஐ பொதுமைப்படுத்தலாம்.

விளைவு 3. 1. எண்களை விடுங்கள் அ 1 , அ 2 , அ 3 , ..., அ m என்பது எண்ணுடன் தொடர்புடைய முதன்மையானது பி. பிறகு அ 1 அ 2 , அ 1 அ 2 · அ 3 , ..., அ 1 அ 2 அ 3 ··· அமீ, இந்த எண்களின் பெருக்கல் எண்ணுடன் ஒப்பிடும்போது முதன்மையானது பி.

2. நமக்கு இரண்டு வரிசை எண்கள் இருக்கட்டும்

முதல் தொடரில் உள்ள ஒவ்வொரு எண்ணும் இரண்டாவது தொடரின் ஒவ்வொரு எண்ணின் விகிதத்தில் முதன்மையானது. பின்னர் தயாரிப்பு

இந்த ஒவ்வொரு எண்களாலும் வகுபடும் எண்களை நீங்கள் கண்டுபிடிக்க வேண்டும்.

ஒரு எண்ணை வகுத்தால் அ 1, பின்னர் அது வடிவம் உள்ளது sa 1 எங்கே கள்சில எண். என்றால் கேஎண்களின் மிகப் பெரிய பொது வகுப்பாகும் அ 1 மற்றும் அ 2, பின்னர்

எங்கே கள் 1 என்பது சில முழு எண். பிறகு

இருக்கிறது எண்களின் பொதுவான மடங்குகள் அ 1 மற்றும் அ 2 .

அ 1 மற்றும் அ 2 ஒப்பீட்டளவில் முதன்மையானது, பின்னர் எண்களின் மிகக் குறைந்த பொதுவான பெருக்கல் அ 1 மற்றும் அ 2:

இந்த எண்களில் குறைவான பொதுவான பெருக்கத்தை நாம் கண்டுபிடிக்க வேண்டும்.

மேற்கூறியவற்றிலிருந்து, எண்களின் எந்தப் பெருக்கமும் வரும் அ 1 , அ 2 , அ 3 எண்களின் பெருக்கமாக இருக்க வேண்டும் ε மற்றும் அ 3 மற்றும் பின். எண்களின் மிகக் குறைவான பொதுவான பெருக்கத்தை விடுங்கள் ε மற்றும் அ 3 ஆம் ε 1 . அடுத்து, எண்களின் மடங்குகள் அ 1 , அ 2 , அ 3 , அ 4 எண்களின் பெருக்கமாக இருக்க வேண்டும் ε 1 மற்றும் அ 4 . எண்களின் மிகக் குறைவான பொதுவான பெருக்கத்தை விடுங்கள் ε 1 மற்றும் அ 4 ஆம் ε 2. இவ்வாறு, எண்களின் அனைத்து மடங்குகளும் இருப்பதைக் கண்டுபிடித்தோம் அ 1 , அ 2 , அ 3 ,...,அ m ஒரு குறிப்பிட்ட எண்ணின் மடங்குகளுடன் ஒத்துப்போகிறது ε n, இது கொடுக்கப்பட்ட எண்களின் மிகக் குறைந்த பொது மடங்கு என அழைக்கப்படுகிறது.

சிறப்பு வழக்கில் எண்கள் போது அ 1 , அ 2 , அ 3 ,...,அ m என்பது ஒப்பீட்டளவில் முதன்மையானது, பின்னர் எண்களின் மிகக் குறைந்த பொதுவான பெருக்கல் அ 1 , அ 2, மேலே காட்டப்பட்டுள்ளபடி, வடிவம் (3) உள்ளது. அடுத்து, முதல் அஎண்கள் தொடர்பாக 3 முதன்மை அ 1 , அ 2 பிறகு அ 3 முதன்மை எண் அ 1 · அ 2 (முடிவு 1). எண்களின் குறைவான பொதுவான பெருக்கல் என்று பொருள் அ 1 ,அ 2 ,அ 3 என்பது ஒரு எண் அ 1 · அ 2 · அ 3. இதே வழியில் தர்க்கம் செய்து, பின்வரும் அறிக்கைகளுக்கு வருகிறோம்.

அறிக்கை 1. காபிரைம் எண்களின் மிகக் குறைவான பொதுவான மடங்கு அ 1 , அ 2 , அ 3 ,...,அமீ அவர்களின் தயாரிப்புக்கு சமம் அ 1 · அ 2 · அ 3 ··· அமீ.

அறிக்கை 2. ஒவ்வொரு காபிரைம் எண்களாலும் வகுபடும் எந்த எண்ணும் அ 1 , அ 2 , அ 3 ,...,அ m என்பது அவற்றின் தயாரிப்பால் வகுபடும் அ 1 · அ 2 · அ 3 ··· அமீ.

a மற்றும் b எண்கள் மீதம் இல்லாமல் வகுக்கப்படும் மிகப்பெரிய இயற்கை எண் அழைக்கப்படுகிறது மிகப் பெரிய பொது வகுப்பான்இந்த எண்கள். GCD(a, b) ஐக் குறிக்கவும்.

18 மற்றும் 60 ஆகிய இரண்டு இயற்கை எண்களின் உதாரணத்தைப் பயன்படுத்தி GCD ஐக் கண்டுபிடிப்பதைக் கருத்தில் கொள்வோம்:

  • 1 எண்களை பிரதான காரணிகளாகக் கணக்கிடுவோம்:
    18 = 2×3×3
    60 = 2 × 2 × 3 × 5
  • 2 இரண்டாவது எண்ணின் விரிவாக்கத்தில் சேர்க்கப்படாத அனைத்து காரணிகளையும் முதல் எண்ணின் விரிவாக்கத்திலிருந்து நீக்குதல், நாம் பெறுகிறோம் 2×3×3 .
  • 3 கடந்துவிட்ட பிறகு மீதமுள்ள பிரதான காரணிகளைப் பெருக்கி, எண்களின் மிகப் பெரிய பொதுவான வகுப்பினைப் பெறுகிறோம்: gcd( 18 , 60 )=2×3= 6 .
  • 4 முதல் அல்லது இரண்டாவது எண்ணிலிருந்து காரணிகளைக் கடந்தாலும் பரவாயில்லை, விளைவு ஒரே மாதிரியாக இருக்கும்:
    18 = 2×3×3
    60 = 2 × 2 × 3 × 5
    • 324 , 111 மற்றும் 432

    எண்களை பிரதான காரணிகளாகக் கணக்கிடுவோம்:

    324 = 2 × 2 × 3 × 3 × 3 × 3

    111 = 3×37

    432 = 2 × 2 × 2 × 2 × 3 × 3 × 3

    இரண்டாவது மற்றும் மூன்றாவது எண்களில் இல்லாத காரணிகளை முதல் எண்ணிலிருந்து கடந்து, நாம் பெறுகிறோம்:

    2 × 2 × 2 × 2 × 3 × 3 × 3 = 3

    இதன் விளைவாக, GCD( 324 , 111 , 432 )=3

    யூக்ளிடியன் அல்காரிதத்தைப் பயன்படுத்தி ஜிசிடியைக் கண்டறிதல்

    மிகப் பெரிய பொதுவான வகுப்பியைக் கண்டறிய இரண்டாவது வழி பயன்படுத்தப்படுகிறது யூக்ளிடியன் அல்காரிதம். யூக்ளிடியன் அல்காரிதம் கண்டுபிடிக்க மிகவும் திறமையான வழி ஜிசிடி, அதைப் பயன்படுத்தி நீங்கள் தொடர்ந்து மீதமுள்ள எண்களைப் பிரிக்க வேண்டும் மற்றும் விண்ணப்பிக்க வேண்டும் மறுநிகழ்வு சூத்திரம்.

    மறுநிகழ்வு சூத்திரம் GCDக்கு, GCD(a, b)=GCD(b, a mod b), ஒரு mod b என்பது b ஆல் வகுக்கப்பட்ட எஞ்சியதாகும்.

    யூக்ளிட் அல்காரிதம்
    எடுத்துக்காட்டு எண்களின் மிகப் பெரிய பொதுவான வகுப்பினைக் கண்டறியவும் 7920 மற்றும் 594

    GCDஐக் கண்டுபிடிப்போம்( 7920 , 594 ) யூக்ளிடியன் அல்காரிதத்தைப் பயன்படுத்தி, கால்குலேட்டரைப் பயன்படுத்தி மீதமுள்ள பிரிவைக் கணக்கிடுவோம்.

  • GCD( 7920 , 594 )
  • GCD( 594 , 7920 mod 594 ) = GCD( 594 , 198 )
  • GCD( 198 , 594 mod 198 ) = GCD( 198 , 0 )
  • GCD( 198 , 0 ) = 198
    • 7920 மோட் 594 = 7920 - 13 × 594 = 198
    • 594 மோட் 198 = 594 – 3 × 198 = 0

      • இதன் விளைவாக, நாம் GCD( 7920 , 594 ) = 198

      மீச்சிறு பொது

      வெவ்வேறு பிரிவுகளுடன் பின்னங்களைச் சேர்க்கும்போதும் கழிக்கும்போதும் பொதுவான வகுப்பினைக் கண்டறிய, நீங்கள் தெரிந்து கொள்ள வேண்டும் மற்றும் கணக்கிட முடியும் மீச்சிறு பொது(என்ஓகே).

      "a" எண்ணின் பெருக்கல் என்பது மீதம் இல்லாமல் "a" என்ற எண்ணால் வகுபடும் எண்ணாகும்.

      8 இன் பெருக்கல் எண்கள் (அதாவது, இந்த எண்கள் மீதி இல்லாமல் 8 ஆல் வகுபடும்): இவை எண்கள் 16, 24, 32...

      9: 18, 27, 36, 45 இன் பெருக்கல்கள்…

      அதே எண்ணின் வகுப்பிகளுக்கு மாறாக, கொடுக்கப்பட்ட எண்ணின் எண்ணற்ற பல மடங்குகள் உள்ளன. வரையறுக்கப்பட்ட எண்ணிக்கையிலான வகுப்பிகள் உள்ளன.

      இரண்டு இயல் எண்களின் பொதுப் பெருக்கல் என்பது இந்த இரண்டு எண்களாலும் வகுபடும் எண்ணாகும்..

      மீச்சிறு பொது(எல்சிஎம்) இரண்டு அல்லது அதற்கு மேற்பட்ட இயற்கை எண்கள் இந்த எண்கள் ஒவ்வொன்றாலும் வகுபடும் சிறிய இயற்கை எண்ணாகும்.

      என்ஓசியை எப்படி கண்டுபிடிப்பது

      LCM ஐ இரண்டு வழிகளில் கண்டுபிடித்து எழுதலாம்.

      LOC ஐக் கண்டுபிடிப்பதற்கான முதல் வழி

      இந்த முறை பொதுவாக சிறிய எண்ணிக்கையில் பயன்படுத்தப்படுகிறது.

    1. இரண்டு எண்களுக்கும் ஒரே மாதிரியான ஒரு பலவைக் கண்டுபிடிக்கும் வரை, ஒவ்வொரு எண்ணின் மடங்குகளையும் ஒரு வரியில் எழுதுகிறோம்.
    2. "a" எண்ணின் பெருக்கல் "K" என்ற பெரிய எழுத்தால் குறிக்கப்படுகிறது.

    உதாரணமாக. LCM 6 மற்றும் 8ஐக் கண்டறியவும்.

    LOC கண்டுபிடிக்க இரண்டாவது வழி

    மூன்று அல்லது அதற்கு மேற்பட்ட எண்களுக்கு LCM ஐக் கண்டறிய இந்த முறை வசதியானது.

    எண்களின் சிதைவுகளில் ஒரே மாதிரியான காரணிகளின் எண்ணிக்கை வேறுபட்டிருக்கலாம்.

  • சிறிய எண்(களின்) விரிவாக்கத்தில், பெரிய எண்ணின் விரிவாக்கத்தில் சேர்க்கப்படாத காரணிகளை முன்னிலைப்படுத்தவும் (எங்கள் எடுத்துக்காட்டில், இது 2) மற்றும் இந்த காரணிகளை பெரிய எண்ணின் விரிவாக்கத்தில் சேர்க்கவும்.
    LCM(24, 60) = 2 2 3 5 2
  • இதன் விளைவாக வரும் தயாரிப்பை ஒரு பதிலாக எழுதுங்கள்.
    பதில்: LCM (24, 60) = 120

    • குறைந்த பொதுவான பல (LCM) ஐக் கண்டறிவதையும் பின்வருமாறு முறைப்படுத்தலாம். LOC (12, 16, 24) ஐக் கண்டுபிடிப்போம்.

    24 = 2 2 2 3

    எண்களின் சிதைவிலிருந்து நாம் பார்ப்பது போல், 12 இன் அனைத்து காரணிகளும் 24 இன் சிதைவில் சேர்க்கப்பட்டுள்ளன (எண்களில் மிகப்பெரியது), எனவே எண் 16 இன் சிதைவிலிருந்து ஒரு 2 ஐ மட்டுமே LCM இல் சேர்க்கிறோம்.

    LCM (12, 16, 24) = 2 2 2 3 2 = 48

    பதில்: LCM (12, 16, 24) = 48

    NPL கண்டுபிடிக்கும் சிறப்பு வழக்குகள்

  • எண்களில் ஒன்று மற்றவற்றால் வகுபடுமானால், இந்த எண்களின் பொதுவான பெருக்கல் அந்த எண்ணுக்கு சமமாக இருக்கும்.

    • எடுத்துக்காட்டாக, LCM (60, 15) = 60
    காபிரைம் எண்களுக்கு பொதுவான முதன்மைக் காரணிகள் இல்லை என்பதால், அவற்றின் குறைந்தப் பொதுவான பெருக்கல் இந்த எண்களின் பெருக்கத்திற்குச் சமம்.

    எங்கள் இணையதளத்தில், உங்கள் கணக்கீடுகளைச் சரிபார்க்க, ஆன்லைனில் குறைவான பொதுவான பலவற்றைக் கண்டறிய சிறப்பு கால்குலேட்டரையும் பயன்படுத்தலாம்.

    ஒரு இயல் எண் 1 மற்றும் அதனாலேயே வகுபடுமானால், அது முதன்மை எனப்படும்.

    எந்தவொரு இயற்கை எண்ணும் எப்போதும் 1 மற்றும் தன்னால் வகுபடும்.

    எண் 2 என்பது மிகச் சிறிய பகா எண். இதுவே இரட்டைப் பகா எண், மீதமுள்ள பகா எண்கள் ஒற்றைப்படை எண்கள்.

    பல பகா எண்கள் உள்ளன, அவற்றில் முதலாவது எண் 2 ஆகும். இருப்பினும், கடைசி பகா எண் இல்லை. "ஆய்வுக்கு" பிரிவில் 997 வரையிலான பகா எண்களின் அட்டவணையைப் பதிவிறக்கலாம்.

    ஆனால் பல இயற்கை எண்கள் மற்ற இயற்கை எண்களால் வகுபடும்.

    • எண் 12 ஆல் 1, 2, 3, 4, 6, 12 ஆல் வகுபடும்;
    • 36 என்ற எண் 1, 2, 3, 4, 6, 12, 18, 36 ஆல் வகுபடும்.

      • எண்ணை ஒரு முழுமையால் வகுக்கும் எண்கள் (12க்கு இவை 1, 2, 3, 4, 6 மற்றும் 12) எண்ணின் வகுப்பிகள் எனப்படும்.

      ஒரு இயல் எண்ணின் வகுத்தல் என்பது கொடுக்கப்பட்ட எண்ணான “a” ஐ மீதம் இல்லாமல் வகுக்கும் ஒரு இயல் எண்.

      இரண்டுக்கும் மேற்பட்ட வகுப்பிகளைக் கொண்ட இயல் எண் கூட்டு எனப்படும்.

      12 மற்றும் 36 எண்கள் பொதுவான காரணிகளைக் கொண்டுள்ளன என்பதை நினைவில் கொள்க. இந்த எண்கள்: 1, 2, 3, 4, 6, 12. இந்த எண்களின் மிகப்பெரிய வகுத்தல் 12 ஆகும்.

      கொடுக்கப்பட்ட இரண்டு எண்களின் "a" மற்றும் "b" ஆகியவற்றின் பொதுவான வகுப்பானது, "a" மற்றும் "b" ஆகிய இரண்டு எண்களும் மீதியின்றி வகுக்கப்படும் எண்ணாகும்.

      மிகப் பெரிய பொது வகுப்பான்கொடுக்கப்பட்ட இரண்டு எண்களின் (GCD) "a" மற்றும் "b" என்பது "a" மற்றும் "b" ஆகிய இரண்டு எண்களும் மீதம் இல்லாமல் வகுபடும் மிகப்பெரிய எண்ணாகும்.

      சுருக்கமாக, "a" மற்றும் "b" எண்களின் மிகப்பெரிய பொதுவான வகுத்தல் பின்வருமாறு எழுதப்பட்டுள்ளது::

      எடுத்துக்காட்டு: gcd (12; 36) = 12.

      தீர்வு பதிவில் உள்ள எண்களின் வகுப்பிகள் பெரிய எழுத்தான "D" மூலம் குறிக்கப்படுகின்றன.

      எண்கள் 7 மற்றும் 9 க்கு ஒரே ஒரு பொதுவான வகுப்பான் உள்ளது - எண் 1. அத்தகைய எண்கள் அழைக்கப்படுகின்றன முதன்மை எண்கள்.

      காபிரைம் எண்கள்- இவை ஒரே ஒரு பொதுவான வகுப்பியைக் கொண்ட இயற்கை எண்கள் - எண் 1. அவர்களின் ஜிசிடி 1.

      மிகப் பெரிய பொதுவான வகுப்பியை எவ்வாறு கண்டுபிடிப்பது

      இரண்டு அல்லது அதற்கு மேற்பட்ட இயற்கை எண்களின் gcd ஐக் கண்டுபிடிக்க உங்களுக்குத் தேவை:

    • எண்களின் வகுப்பிகளை பிரதான காரணிகளாக சிதைக்கவும்;

      • செங்குத்து பட்டியைப் பயன்படுத்தி கணக்கீடுகளை எழுதுவது வசதியானது. வரியின் இடதுபுறத்தில் நாம் முதலில் ஈவுத்தொகையை எழுதுகிறோம், வலதுபுறம் - வகுப்பான். அடுத்து, இடது நெடுவரிசையில் நாம் புள்ளிகளின் மதிப்புகளை எழுதுகிறோம்.

      உடனே ஒரு உதாரணத்துடன் விளக்குவோம். 28 மற்றும் 64 எண்களை பிரதான காரணிகளாகக் கருதுவோம்.

      இரண்டு எண்களிலும் ஒரே பிரதான காரணிகளை வலியுறுத்துகிறோம்.
      28 = 2 2 7

    64 = 2 2 2 2 2 2
    ஒரே மாதிரியான முதன்மைக் காரணிகளின் விளைபொருளைக் கண்டறிந்து பதிலை எழுதவும்;
    GCD (28; 64) = 2 2 = 4

    பதில்: GCD (28; 64) = 4

    GCD இன் இருப்பிடத்தை நீங்கள் இரண்டு வழிகளில் முறைப்படுத்தலாம்: ஒரு நெடுவரிசையில் (மேலே செய்தது போல்) அல்லது "ஒரு வரிசையில்".

    ஜிசிடி எழுதுவதற்கான முதல் வழி

    gcd 48 மற்றும் 36ஐக் கண்டறியவும்.

    GCD (48; 36) = 2 2 3 = 12

    ஜிசிடி எழுத இரண்டாவது வழி

    இப்போது GCD தேடலுக்கான தீர்வை ஒரு வரியில் எழுதுவோம். gcd 10 மற்றும் 15ஐக் கண்டறியவும்.

    எங்கள் தகவல் தளத்தில் நீங்கள் உங்கள் கணக்கீடுகளைச் சரிபார்க்க சிறந்த பொதுவான வகுப்பி ஆன்லைன் உதவியாளரையும் பயன்படுத்தலாம்.

    குறைந்த பொதுவான பல, முறைகள், LCM ஐக் கண்டறிவதற்கான எடுத்துக்காட்டுகளைக் கண்டறிதல்.

    கீழே கொடுக்கப்பட்டுள்ள பொருள் LCM என்ற கட்டுரையில் இருந்து கோட்பாட்டின் தர்க்கரீதியான தொடர்ச்சி ஆகும் - குறைந்த பொதுவான பல, வரையறை, எடுத்துக்காட்டுகள், LCM மற்றும் GCD இடையேயான இணைப்பு. இங்கே நாம் பேசுவோம் குறைந்த பொதுவான பல (LCM), மற்றும் எடுத்துக்காட்டுகளைத் தீர்ப்பதில் நாங்கள் சிறப்பு கவனம் செலுத்துவோம். முதலில், இந்த எண்களின் GCD ஐப் பயன்படுத்தி இரண்டு எண்களின் LCM எவ்வாறு கணக்கிடப்படுகிறது என்பதைக் காண்பிப்போம். அடுத்து, முக்கிய காரணிகளாக எண்களை காரணியாக்குவதன் மூலம் குறைவான பொதுவான பெருக்கத்தை கண்டுபிடிப்போம். இதற்குப் பிறகு, மூன்று அல்லது அதற்கு மேற்பட்ட எண்களின் LCM ஐக் கண்டுபிடிப்பதில் கவனம் செலுத்துவோம், மேலும் எதிர்மறை எண்களின் LCM ஐக் கணக்கிடுவதில் கவனம் செலுத்துவோம்.

    பக்க வழிசெலுத்தல்.

    GCD வழியாக குறைந்த பொதுவான பல (LCM) கணக்கிடுதல்

    LCM மற்றும் GCD க்கு இடையேயான உறவின் அடிப்படையில் குறைந்த பொதுவான பன்மடங்கைக் கண்டறிவதற்கான ஒரு வழி. LCM மற்றும் GCD க்கு இடையே இருக்கும் இணைப்பு, அறியப்பட்ட மிகப் பெரிய பொது வகுப்பி மூலம் இரண்டு நேர்மறை முழு எண்களின் குறைந்தப் பொதுப் பெருக்கத்தைக் கணக்கிட அனுமதிக்கிறது. தொடர்புடைய சூத்திரம் LCM(a, b)=a b:GCD(a, b). கொடுக்கப்பட்ட சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்தி LCM ஐக் கண்டுபிடிப்பதற்கான எடுத்துக்காட்டுகளைப் பார்ப்போம்.

    126 மற்றும் 70 ஆகிய இரண்டு எண்களின் குறைவான பொதுவான பெருக்கத்தைக் கண்டறியவும்.

    இந்த எடுத்துக்காட்டில் a=126 , b=70 . LCM(a, b)=a·b:GCD(a, b) சூத்திரத்தால் வெளிப்படுத்தப்படும் LCM மற்றும் GCD க்கு இடையே உள்ள இணைப்பைப் பயன்படுத்துவோம். அதாவது, முதலில் நாம் 70 மற்றும் 126 எண்களின் மிகப் பெரிய பொதுவான வகுப்பியைக் கண்டுபிடிக்க வேண்டும், அதன் பிறகு இந்த எண்களின் LCM ஐ எழுதப்பட்ட சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்தி கணக்கிடலாம்.

    யூக்ளிடியன் அல்காரிதத்தைப் பயன்படுத்தி GCD(126, 70) ஐக் கண்டுபிடிப்போம்: 126=70·1+56, 70=56·1+14, 56=14·4, எனவே, GCD(126, 70)=14.

    இப்போது தேவையான குறைந்தபட்ச பொது மடங்குகளைக் காண்கிறோம்: LCM(126, 70)=126·70:GCD(126, 70)= 126·70:14=630.

    LCM(68, 34) எதற்குச் சமம்?

    68 என்பது 34 ஆல் வகுபடும் என்பதால், GCD(68, 34)=34. இப்போது நாம் மிகக் குறைவான பொதுவான மடங்குகளைக் கணக்கிடுகிறோம்: LCM(68, 34)=68·34:GCD(68, 34)= 68·34:34=68.

    நேர்மறை முழு எண்கள் a மற்றும் b க்கான LCM ஐக் கண்டறிவதற்கான பின்வரும் விதிக்கு முந்தைய உதாரணம் பொருந்துகிறது என்பதை நினைவில் கொள்ளவும்: a ஆனது b ஆல் வகுபடும் என்றால், இந்த எண்களின் மிகக் குறைவான பொதுவான மடங்கு a ஆகும்.

    எண்களை பிரதான காரணிகளாக காரணியாக்குவதன் மூலம் LCM ஐக் கண்டறிதல்

    குறைவான பொதுவான பெருக்கத்தைக் கண்டறிவதற்கான மற்றொரு வழி, முக்கிய காரணிகளாக எண்களை காரணியாக்குவதன் அடிப்படையிலானது. கொடுக்கப்பட்ட எண்களின் அனைத்து முதன்மை காரணிகளிலிருந்தும் நீங்கள் ஒரு தயாரிப்பை உருவாக்கினால், கொடுக்கப்பட்ட எண்களின் சிதைவுகளில் இருக்கும் அனைத்து பொதுவான முதன்மை காரணிகளையும் இந்த தயாரிப்பிலிருந்து விலக்கினால், அதன் விளைவாக வரும் தயாரிப்பு கொடுக்கப்பட்ட எண்களின் குறைந்தபட்ச பொதுவான பெருக்கத்திற்கு சமமாக இருக்கும். .

    LCMஐக் கண்டறிவதற்கான கூறப்பட்ட விதி LCM(a, b)=a·b:GCD(a, b) என்ற சமத்துவத்திலிருந்து பின்பற்றப்படுகிறது. உண்மையில், a மற்றும் b எண்களின் பெருக்கல், a மற்றும் b எண்களின் விரிவாக்கத்தில் ஈடுபட்டுள்ள அனைத்து காரணிகளின் பெருக்கத்திற்கும் சமம். இதையொட்டி, GCD(a, b) என்பது a மற்றும் b எண்களின் விரிவாக்கங்களில் ஒரே நேரத்தில் இருக்கும் அனைத்து முதன்மைக் காரணிகளின் பெருக்கத்திற்குச் சமம் (எண்களை பிரதான காரணிகளாக விரிவாக்குவதன் மூலம் GCDயைக் கண்டறியும் பிரிவில் விவரிக்கப்பட்டுள்ளது).

    ஒரு உதாரணம் தருவோம். 75=3·5·5 மற்றும் 210=2·3·5·7 என்பதை அறியலாம். இந்த விரிவாக்கங்களின் அனைத்து காரணிகளிலிருந்தும் தயாரிப்பை உருவாக்குவோம்: 2·3·3·5·5·5·7 . இப்போது இந்தத் தயாரிப்பில் இருந்து, எண் 75 இன் விரிவாக்கம் மற்றும் எண் 210 இன் விரிவாக்கம் (இந்த காரணிகள் 3 மற்றும் 5) ஆகிய இரண்டிலும் உள்ள அனைத்து காரணிகளையும் விலக்குகிறோம், பின்னர் தயாரிப்பு 2·3·5·5·7 வடிவத்தை எடுக்கும். . இந்தத் தயாரிப்பின் மதிப்பு 75 மற்றும் 210 எண்களின் பொதுவான பெருக்கத்திற்குச் சமம், அதாவது LCM(75, 210)= 2·3·5·5·7=1050.

    441 மற்றும் 700 எண்களை முதன்மைக் காரணிகளாகக் காரணிப்படுத்தி, இந்த எண்களின் குறைந்தப் பொதுவான பெருக்கத்தைக் கண்டறியவும்.

    441 மற்றும் 700 எண்களை பிரதான காரணிகளாகக் கணக்கிடுவோம்:

    நமக்கு 441=3·3·7·7 மற்றும் 700=2·2·5·5·7 கிடைக்கும்.

    இப்போது இந்த எண்களின் விரிவாக்கத்தில் உள்ள அனைத்து காரணிகளிலிருந்தும் ஒரு தயாரிப்பை உருவாக்குவோம்: 2·2·3·3·5·5·7·7·7. இரண்டு விரிவாக்கங்களிலும் ஒரே நேரத்தில் இருக்கும் அனைத்து காரணிகளையும் இந்தத் தயாரிப்பில் இருந்து விலக்குவோம் (அத்தகைய ஒரே ஒரு காரணி உள்ளது - இது எண் 7): 2·2·3·3·5·5·7·7. இவ்வாறு, LCM(441, 700)=2·2·3·3·5·5·7·7=44 100 .

    NOC(441, 700)= 44 100 .

    எண்களின் காரணியாக்கத்தை பிரதான காரணிகளாகப் பயன்படுத்தி LCM ஐக் கண்டுபிடிப்பதற்கான விதியை சற்று வித்தியாசமாக உருவாக்கலாம். எண் b இன் விரிவாக்கத்திலிருந்து விடுபட்ட காரணிகள் a எண்ணின் விரிவாக்கத்திலிருந்து வரும் காரணிகளுடன் சேர்க்கப்பட்டால், அதன் விளைவாக வரும் உற்பத்தியின் மதிப்பு a மற்றும் b எண்களின் பொதுவான பெருக்கத்திற்கு சமமாக இருக்கும்.

    எடுத்துக்காட்டாக, அதே எண்களான 75 மற்றும் 210ஐ எடுத்துக்கொள்வோம், அவற்றின் சிதைவுகள் பிரதான காரணிகளாக உள்ளன: 75=3·5·5 மற்றும் 210=2·3·5·7. எண் 75 இன் விரிவாக்கத்திலிருந்து 3, 5 மற்றும் 5 காரணிகளுக்கு 210 என்ற எண்ணின் விரிவாக்கத்திலிருந்து விடுபட்ட காரணிகள் 2 மற்றும் 7 ஐச் சேர்த்தால், 2·3·5·5·7 என்ற பொருளைப் பெறுகிறோம், அதன் மதிப்பு LCM (75, 210) க்கு சமம்.

    84 மற்றும் 648 இன் குறைந்தபட்ச பொதுவான பெருக்கத்தைக் கண்டறியவும்.

    நாம் முதலில் 84 மற்றும் 648 எண்களின் சிதைவுகளை பிரதான காரணிகளாகப் பெறுகிறோம். அவை 84=2·2·3·7 மற்றும் 648=2·2·2·3·3·3·3 போன்று இருக்கும். எண் 84 இன் விரிவாக்கத்திலிருந்து 2, 2, 3 மற்றும் 7 காரணிகளுக்கு 648 என்ற எண்ணின் விரிவாக்கத்திலிருந்து விடுபட்ட காரணிகளான 2, 3, 3 மற்றும் 3 ஐச் சேர்த்தால், 2 2 2 3 3 3 3 7 என்ற தயாரிப்பைப் பெறுகிறோம். இது 4 536 க்கு சமம். எனவே, 84 மற்றும் 648 இன் குறைந்தபட்ச பொதுவான பெருக்கல் 4,536 ஆகும்.

    மூன்று அல்லது அதற்கு மேற்பட்ட எண்களின் LCMஐக் கண்டறிதல்

    இரண்டு எண்களின் LCMஐ வரிசையாகக் கண்டறிவதன் மூலம் மூன்று அல்லது அதற்கு மேற்பட்ட எண்களின் குறைந்தப் பொதுவான பெருக்கத்தைக் கண்டறியலாம். தொடர்புடைய தேற்றத்தை நினைவுபடுத்துவோம், இது மூன்று அல்லது அதற்கு மேற்பட்ட எண்களின் LCM ஐக் கண்டறிய வழி செய்கிறது.

    நேர்மறை முழு எண்கள் a 1 , a 2 , ..., a k கொடுக்கப்பட்டதாக இருக்கட்டும், இந்த எண்களின் மிகக் குறைவான பொதுவான பல m k ஆனது m ​​2 = LCM(a 1 , a 2) , m 3 = LCM(m 2 , a 3) , … , m k = LCM(m k−1 , a k) .

    நான்கு எண்களின் குறைவான பொதுவான பெருக்கத்தைக் கண்டறிவதற்கான உதாரணத்தைப் பயன்படுத்தி இந்தத் தேற்றத்தின் பயன்பாட்டைக் கருத்தில் கொள்வோம்.

    140, 9, 54 மற்றும் 250 ஆகிய நான்கு எண்களின் LCM ஐக் கண்டறியவும்.

    முதலில் m 2 = LCM(a 1 , a 2) = LCM(140, 9) . இதைச் செய்ய, யூக்ளிடியன் அல்காரிதத்தைப் பயன்படுத்தி, நாம் GCD(140, 9) ஐ தீர்மானிக்கிறோம், எங்களிடம் 140=9·15+5, 9=5·1+4, 5=4·1+1, 4=1·4, எனவே, GCD(140, 9)=1, இதிலிருந்து LCM(140, 9)=140·9:GCD(140, 9)= 140·9:1=1,260. அதாவது, மீ 2 =1 260.

    இப்போது m 3 = LCM(m 2, a 3) = LCM(1 260, 54) ஐக் காண்கிறோம். GCD(1 260, 54) மூலம் அதைக் கணக்கிடுவோம், இது யூக்ளிடியன் அல்காரிதம்: 1 260=54·23+18, 54=18·3. பின்னர் gcd(1,260, 54)=18, இதில் இருந்து gcd(1,260, 54)= 1,260·54:gcd(1,260, 54)= 1,260·54:18=3,780. அதாவது, மீ 3 =3 780.

    இது மீ 4 = LCM(m 3, a 4) = LCM(3 780, 250) ஐக் கண்டறிய உள்ளது. இதைச் செய்ய, யூக்ளிடியன் அல்காரிதம்: 3,780=250·15+30, 250=30·8+10, 30=10·3 ஐப் பயன்படுத்தி GCD(3,780, 250) ஐக் காண்கிறோம். எனவே, GCD(3,780, 250)=10, இதில் இருந்து GCD(3,780, 250)= 3,780·250:GCD(3,780, 250)= 3,780·250:10=94,500. அதாவது, மீ 4 =94,500.

    எனவே அசல் நான்கு எண்களின் மிகக் குறைவான பொதுவான பெருக்கல் 94,500 ஆகும்.

    LCM(140, 9, 54, 250)=94,500 .

    பல சமயங்களில், கொடுக்கப்பட்ட எண்களின் முதன்மை காரணியாக்கங்களைப் பயன்படுத்தி மூன்று அல்லது அதற்கு மேற்பட்ட எண்களின் குறைந்தபட்ச பொதுவான பெருக்கத்தைக் கண்டறிவது வசதியானது. இந்த வழக்கில், நீங்கள் பின்வரும் விதியை கடைபிடிக்க வேண்டும். பல எண்களின் மிகக் குறைவான பொதுப் பெருக்கல் தயாரிப்புக்கு சமம், இது பின்வருமாறு உருவாக்கப்படுகிறது: இரண்டாவது எண்ணின் விரிவாக்கத்திலிருந்து விடுபட்ட காரணிகள் முதல் எண்ணின் விரிவாக்கத்திலிருந்து அனைத்து காரணிகளிலும் சேர்க்கப்படுகின்றன, விரிவாக்கத்திலிருந்து விடுபட்ட காரணிகள் மூன்றாவது எண் விளைந்த காரணிகளில் சேர்க்கப்படும், மற்றும் பல.

    ப்ரைம் ஃபேக்டரைசேஷனைப் பயன்படுத்தி மிகக் குறைவான பொதுவான பெருக்கத்தைக் கண்டறிவதற்கான உதாரணத்தைப் பார்ப்போம்.

    84, 6, 48, 7, 143 ஆகிய ஐந்து எண்களின் குறைவான பொதுவான பெருக்கத்தைக் கண்டறியவும்.

    முதலில், இந்த எண்களின் சிதைவுகளை பிரதான காரணிகளாகப் பெறுகிறோம்: 84=2·2·3·7, 6=2·3, 48=2·2·2·2·3, 7 (7 என்பது பகா எண், அது ஒத்துப்போகிறது. பிரதான காரணிகளாக அதன் சிதைவுடன்) மற்றும் 143=11·13.

    இந்த எண்களின் LCM ஐக் கண்டுபிடிக்க, முதல் எண் 84 இன் காரணிகளுக்கு (அவை 2, 2, 3 மற்றும் 7), நீங்கள் இரண்டாவது எண் 6 இன் விரிவாக்கத்திலிருந்து விடுபட்ட காரணிகளைச் சேர்க்க வேண்டும். முதல் எண் 84 இன் சிதைவில் 2 மற்றும் 3 இரண்டும் ஏற்கனவே இருப்பதால், எண் 6 இன் சிதைவு காணாமல் போன காரணிகளைக் கொண்டிருக்கவில்லை. அடுத்து, 2, 2, 3 மற்றும் 7 ஆகிய காரணிகளுக்கு மூன்றாவது எண் 48 இன் விரிவாக்கத்திலிருந்து விடுபட்ட காரணிகள் 2 மற்றும் 2 ஐச் சேர்க்கிறோம், 2, 2, 2, 2, 3 மற்றும் 7 காரணிகளின் தொகுப்பைப் பெறுகிறோம். 7 ஏற்கனவே இதில் உள்ளதால், அடுத்த கட்டத்தில் இந்த தொகுப்பில் பெருக்கிகளைச் சேர்க்க வேண்டிய அவசியமில்லை. இறுதியாக, 2, 2, 2, 2, 3 மற்றும் 7 ஆகிய காரணிகளுக்கு 143 என்ற எண்ணின் விரிவாக்கத்திலிருந்து விடுபட்ட காரணிகளான 11 மற்றும் 13ஐச் சேர்க்கிறோம். 2·2·2·2·3·7·11·13 என்ற தயாரிப்பைப் பெறுகிறோம், இது 48,048க்கு சமம்.

    எனவே, LCM(84, 6, 48, 7, 143)=48,048.

    LCM(84, 6, 48, 7, 143)=48,048 .

    எதிர்மறை எண்களின் குறைவான பொதுவான பெருக்கத்தைக் கண்டறிதல்

    சில நேரங்களில் நீங்கள் எண்களின் பொதுவான மடங்குகளைக் கண்டறிய வேண்டிய பணிகள் உள்ளன, அவற்றில் ஒன்று, பல அல்லது அனைத்து எண்களும் எதிர்மறையாக இருக்கும். இந்த சந்தர்ப்பங்களில், அனைத்து எதிர்மறை எண்களும் அவற்றின் எதிர் எண்களால் மாற்றப்பட வேண்டும், பின்னர் நேர்மறை எண்களின் LCM கண்டுபிடிக்கப்பட வேண்டும். எதிர்மறை எண்களின் LCM ஐக் கண்டறிய இதுவே வழி. எடுத்துக்காட்டாக, LCM(54, −34) = LCM(54, 34) மற்றும் LCM(−622, −46, −54, -888) = LCM(622, 46, 54, 888) .

    நாம் இதைச் செய்ய முடியும், ஏனெனில் a இன் பெருக்கல்களின் தொகுப்பும் −a இன் பெருக்கல்களின் தொகுப்பும் ஒன்றுதான் (a மற்றும் −a என்பது எதிர் எண்கள்). உண்மையில், b என்பது a இன் சில மடங்குகளாக இருக்கட்டும், பின்னர் b என்பது a ஆல் வகுபடும், மேலும் வகுபடுதலின் கருத்து b=a·q என்று ஒரு முழு எண் q இருப்பதைக் கூறுகிறது. ஆனால் சமத்துவம் b=(−a)·(−q) என்பதும் உண்மையாக இருக்கும், இது வகுபடுதலின் அதே கருத்தின் காரணமாக, b என்பது −a ஆல் வகுபடும், அதாவது b என்பது −a இன் பெருக்கல் ஆகும். உரையாடலும் உண்மைதான்: b என்பது −a இன் சில மடங்கு என்றால், b என்பது a இன் பெருக்கல் ஆகும்.

    எதிர்மறை எண்கள் -145 மற்றும் −45 ஆகியவற்றின் குறைவான பொதுவான பெருக்கத்தைக் கண்டறியவும்.

    எதிர்மறை எண்களான −145 மற்றும் −45 ஐ அவற்றின் எதிர் எண்களான 145 மற்றும் 45 உடன் மாற்றுவோம். எங்களிடம் LCM(−145, −45) = LCM(145, 45) . GCD(145, 45)=5 (உதாரணமாக, யூக்ளிடியன் அல்காரிதம் பயன்படுத்தி), GCM(145, 45)=145·45:GCD(145, 45)= 145·45:5=1 305 ஐக் கணக்கிடுகிறோம். எனவே, எதிர்மறை முழு எண்கள் −145 மற்றும் −45 இன் மிகக் குறைவான பொதுவான பெருக்கல் 1,305 ஆகும்.

    www.cleverstudents.ru

    பிரிவை தொடர்ந்து படிக்கிறோம். என்பது போன்ற கருத்துகளை இந்தப் பாடத்தில் பார்ப்போம் ஜிசிடிமற்றும் என்ஓசி.

    ஜிசிடிமிகப் பெரிய பொது வகுப்பான்.

    என்ஓசிமிகக் குறைவான பொதுவான பெருக்கமாகும்.

    தலைப்பு மிகவும் சலிப்பை ஏற்படுத்துகிறது, ஆனால் நீங்கள் அதை நிச்சயமாக புரிந்து கொள்ள வேண்டும். இந்த தலைப்பைப் புரிந்து கொள்ளாமல், கணிதத்தில் உண்மையான தடையாக இருக்கும் பின்னங்களுடன் நீங்கள் திறம்பட செயல்பட முடியாது.

    மிகப் பெரிய பொது வகுப்பான்

    வரையறை. எண்களின் மிகப் பெரிய பொது வகுப்பான் அமற்றும் பி அமற்றும் பிமீதி இல்லாமல் பிரிக்கப்பட்டது.

    இந்த வரையறையை நன்கு புரிந்து கொள்ள, மாறிகளை மாற்றுவோம் அமற்றும் பிஏதேனும் இரண்டு எண்கள், எடுத்துக்காட்டாக, ஒரு மாறிக்கு பதிலாக அமாறிக்கு பதிலாக 12 என்ற எண்ணை மாற்றுவோம் பிஎண் 9. இப்போது இந்த வரையறையைப் படிக்க முயற்சிப்போம்:

    எண்களின் மிகப் பெரிய பொது வகுப்பான் 12 மற்றும் 9 இது மிகப்பெரிய எண் என்று அழைக்கப்படுகிறது 12 மற்றும் 9 மீதி இல்லாமல் பிரிக்கப்பட்டது.

    வரையறையிலிருந்து நாம் 12 மற்றும் 9 எண்களின் பொதுவான வகுப்பியைப் பற்றி பேசுகிறோம் என்பது தெளிவாகிறது, மேலும் இந்த வகுப்பான் தற்போதுள்ள அனைத்து வகுப்பிகளிலும் மிகப்பெரியது. இந்த மிகப் பெரிய பொதுவான வகுப்பி (GCD) கண்டுபிடிக்கப்பட வேண்டும்.

    இரண்டு எண்களின் மிகப் பெரிய பொதுவான வகுப்பினைக் கண்டறிய, மூன்று முறைகள் பயன்படுத்தப்படுகின்றன. முதல் முறை மிகவும் உழைப்பு-தீவிரமானது, ஆனால் இது தலைப்பின் சாரத்தை தெளிவாக புரிந்து கொள்ளவும் அதன் முழு அர்த்தத்தை உணரவும் உங்களை அனுமதிக்கிறது.

    இரண்டாவது மற்றும் மூன்றாவது முறைகள் மிகவும் எளிமையானவை மற்றும் விரைவாக ஒரு GCD ஐக் கண்டுபிடிப்பதை சாத்தியமாக்குகின்றன. மூன்று முறைகளையும் பார்ப்போம். நடைமுறையில் எதைப் பயன்படுத்துவது என்பது உங்களுடையது.

    இரண்டு எண்களின் சாத்தியமான அனைத்து வகுத்தல்களையும் கண்டுபிடித்து மிகப்பெரிய ஒன்றைத் தேர்ந்தெடுப்பது முதல் முறை. பின்வரும் உதாரணத்தைப் பயன்படுத்தி இந்த முறையைப் பார்ப்போம்: 12 மற்றும் 9 எண்களின் மிகப் பெரிய பொது வகுப்பினைக் கண்டறியவும்.

    முதலில், 12 என்ற எண்ணின் சாத்தியமான அனைத்து வகுப்பிகளையும் கண்டுபிடிப்போம். இதைச் செய்ய, 1 முதல் 12 வரையிலான வரம்பில் உள்ள அனைத்து வகுப்பிகளாலும் 12 ஐப் பிரிப்போம். வகுப்பான் 12 ஐ எஞ்சியில்லாமல் வகுக்க அனுமதித்தால், அதை முன்னிலைப்படுத்துவோம். நீலம் மற்றும் அடைப்புக்குறிக்குள் பொருத்தமான விளக்கத்தை உருவாக்கவும்.

    12: 1 = 12
    (12 என்பது மீதி இல்லாமல் 1 ஆல் வகுக்கப்படுகிறது, அதாவது 1 என்பது 12 என்ற எண்ணின் வகுத்தல்)

    12: 2 = 6
    (12 என்பது மீதி இல்லாமல் 2 ஆல் வகுக்கப்படுகிறது, அதாவது 2 என்பது 12 என்ற எண்ணின் வகுத்தல்)

    12: 3 = 4
    (12 என்பது மீதி இல்லாமல் 3 ஆல் வகுக்கப்படுகிறது, அதாவது 3 என்பது 12 என்ற எண்ணின் வகுத்தல்)

    12: 4 = 3
    (12 என்பது மீதி இல்லாமல் 4 ஆல் வகுக்கப்படுகிறது, அதாவது 4 என்பது 12 என்ற எண்ணின் வகுத்தல்)

    12: 5 = 2 (2 மீதம்)
    (12 ஆனது மீதி இல்லாமல் 5 ஆல் வகுக்கப்படவில்லை, அதாவது 5 என்பது 12 என்ற எண்ணின் வகுத்தல் அல்ல)

    12: 6 = 2
    (12 என்பது மீதி இல்லாமல் 6 ஆல் வகுக்கப்படுகிறது, அதாவது 6 என்பது 12 என்ற எண்ணின் வகுத்தல்)

    12: 7 = 1 (5 மிச்சம்)
    (12 ஆனது மீதி இல்லாமல் 7 ஆல் வகுக்கப்படவில்லை, அதாவது 7 என்பது 12 என்ற எண்ணின் வகுத்தல் அல்ல)

    12: 8 = 1 (4 மிச்சம்)
    (12 என்பது மீதி இல்லாமல் 8 ஆல் வகுக்கப்படவில்லை, அதாவது 8 என்பது 12ன் வகுத்தல் அல்ல)

    12: 9 = 1 (3 மிச்சம்)
    (12 ஆனது மீதி இல்லாமல் 9 ஆல் வகுக்கப்படவில்லை, அதாவது 9 என்பது 12 என்ற எண்ணின் வகுத்தல் அல்ல)

    12: 10 = 1 (2 மிச்சம்)
    (12 ஆனது 10 ஆல் மீதி இல்லாமல் வகுக்கப்படவில்லை, அதாவது 10 என்பது 12 என்ற எண்ணின் வகுத்தல் அல்ல)

    12: 11 = 1 (1 மிச்சம்)
    (12 ஐ மீதி இல்லாமல் 11 ஆல் வகுக்கவில்லை, அதாவது 11 என்பது 12ன் வகுத்தல் அல்ல)

    12: 12 = 1
    (12 ஆனது 12 ஆல் வகுக்கப்படுகிறது, அதாவது 12 என்பது 12 என்ற எண்ணின் வகுத்தல்)

    இப்போது 9 என்ற எண்ணின் வகுப்பிகளைக் கண்டுபிடிப்போம். இதைச் செய்ய, 1 முதல் 9 வரை உள்ள அனைத்து வகுப்பிகளையும் சரிபார்க்கவும்.

    9: 1 = 9
    (9 என்பது மீதி இல்லாமல் 1 ஆல் வகுக்கப்படுகிறது, அதாவது 1 என்பது 9 என்ற எண்ணின் வகுத்தல்)

    9: 2 = 4 (1 மிச்சம்)
    (9 என்பது மீதி இல்லாமல் 2 ஆல் வகுக்கப்படவில்லை, அதாவது 2 என்பது 9 என்ற எண்ணின் வகுத்தல் அல்ல)

    9: 3 = 3
    (9 என்பது மீதி இல்லாமல் 3 ஆல் வகுக்கப்படுகிறது, அதாவது 3 என்பது 9 என்ற எண்ணின் வகுத்தல்)

    9: 4 = 2 (1 மிச்சம்)
    (9 ஐ மீதி இல்லாமல் 4 ஆல் வகுக்கவில்லை, அதாவது 4 என்பது 9 என்ற எண்ணின் வகுத்தல் அல்ல)

    9: 5 = 1 (4 மிச்சம்)
    (9 ஐ மீதி இல்லாமல் 5 ஆல் வகுக்கவில்லை, அதாவது 5 என்பது 9 என்ற எண்ணின் வகுத்தல் அல்ல)

    9: 6 = 1 (3 மிச்சம்)
    (9 ஐ மீதி இல்லாமல் 6 ஆல் வகுக்கவில்லை, அதாவது 6 என்பது 9 என்ற எண்ணின் வகுத்தல் அல்ல)

    9: 7 = 1 (2 மீதம்)
    (9 ஐ மீதி இல்லாமல் 7 ஆல் வகுக்கவில்லை, அதாவது 7 என்பது 9 என்ற எண்ணின் வகுத்தல் அல்ல)

    9: 8 = 1 (1 மிச்சம்)
    (9 என்பது மீதி இல்லாமல் 8 ஆல் வகுக்கப்படவில்லை, அதாவது 8 என்பது 9 என்ற எண்ணின் வகுத்தல் அல்ல)

    9: 9 = 1
    (9 என்பது மீதி இல்லாமல் 9 ஆல் வகுக்கப்படுகிறது, அதாவது 9 என்பது 9 என்ற எண்ணின் வகுத்தல்)

    இப்போது இரண்டு எண்களின் வகுப்பினையும் எழுதுவோம். நீல நிறத்தில் காட்டப்பட்டுள்ள எண்கள் வகுப்பிகள். அவற்றை எழுதுவோம்:

    வகுப்பிகளை எழுதிய பிறகு, எது மிகப்பெரியது மற்றும் மிகவும் பொதுவானது என்பதை நீங்கள் உடனடியாக தீர்மானிக்க முடியும்.

    வரையறையின்படி, 12 மற்றும் 9 எண்களின் மிகப் பெரிய பொது வகுப்பானது 12 மற்றும் 9 ஐ எஞ்சியில்லாமல் பிரிக்கும் எண்ணாகும். 12 மற்றும் 9 எண்களின் மிகப்பெரிய மற்றும் பொதுவான வகுத்தல் எண் 3 ஆகும்

    எண் 12 மற்றும் எண் 9 ஆகிய இரண்டும் மீதி இல்லாமல் 3 ஆல் வகுபடும்:

    எனவே ஜிசிடி (12 மற்றும் 9) = 3

    GCD ஐக் கண்டறிய இரண்டாவது வழி

    இப்போது மிகப் பெரிய பொதுவான வகுப்பியைக் கண்டறியும் இரண்டாவது முறையைப் பார்ப்போம். இந்த முறையின் சாராம்சம் இரண்டு எண்களையும் பிரதான காரணிகளாக சிதைத்து பொதுவானவற்றைப் பெருக்குவதாகும்.

    எடுத்துக்காட்டு 1. 24 மற்றும் 18 எண்களின் ஜிசிடியைக் கண்டறியவும்

    முதலில், இரண்டு எண்களையும் பிரதான காரணிகளாகக் கணக்கிடுவோம்:

    இப்போது அவற்றின் பொதுவான காரணிகளைப் பெருக்குவோம். குழப்பத்தைத் தவிர்க்க, பொதுவான காரணிகளை வலியுறுத்தலாம்.

    24 என்ற எண்ணின் விரிவாக்கத்தைப் பார்க்கிறோம். அதன் முதல் காரணி 2. 18 என்ற எண்ணின் விரிவாக்கத்திலும் அதே காரணியைத் தேடுகிறோம், அதுவும் இருப்பதைப் பார்க்கிறோம். இரண்டையும் நாங்கள் வலியுறுத்துகிறோம்:

    24 என்ற எண்ணின் விரிவாக்கத்தை மீண்டும் பார்க்கிறோம். அதன் இரண்டாவது காரணியும் 2 தான். அதே காரணியை 18 என்ற எண்ணின் விரிவாக்கத்திலும் தேடுகிறோம், இரண்டாவது முறையாக அது இல்லை என்று பார்க்கிறோம். பிறகு நாங்கள் எதையும் வலியுறுத்த மாட்டோம்.

    24 என்ற எண்ணின் விரிவாக்கத்தில் அடுத்த இரண்டு எண் 18 இன் விரிவாக்கத்திலும் இல்லை.

    எண் 24 இன் விரிவாக்கத்தின் கடைசி காரணிக்கு செல்லலாம். இது காரணி 3. அதே காரணியை 18 என்ற எண்ணின் விரிவாக்கத்திலும் தேடுகிறோம், அதுவும் இருக்கிறதா என்று பார்க்கிறோம். நாங்கள் இரண்டையும் வலியுறுத்துகிறோம்:

    எனவே, 24 மற்றும் 18 எண்களின் பொதுவான காரணிகள் 2 மற்றும் 3 காரணிகள். GCD பெற, இந்த காரணிகள் பெருக்கப்பட வேண்டும்:

    எனவே ஜிசிடி (24 மற்றும் 18) = 6

    GCD ஐக் கண்டறிய மூன்றாவது வழி

    இப்போது மிகப் பெரிய பொதுவான வகுப்பியைக் கண்டறிய மூன்றாவது வழியைப் பார்ப்போம். இந்த முறையின் சாராம்சம் என்னவென்றால், மிகப் பெரிய பொதுவான வகுப்பிக்கான எண்கள் பிரதான காரணிகளாக சிதைக்கப்படுகின்றன. பின்னர், முதல் எண்ணின் விரிவாக்கத்திலிருந்து, இரண்டாவது எண்ணின் விரிவாக்கத்தில் சேர்க்கப்படாத காரணிகள் கடக்கப்படுகின்றன. முதல் விரிவாக்கத்தில் மீதமுள்ள எண்கள் பெருக்கப்பட்டு ஜிசிடி பெறப்படுகிறது.

    எடுத்துக்காட்டாக, இந்த முறையைப் பயன்படுத்தி 28 மற்றும் 16 எண்களுக்கான GCD ஐக் கண்டுபிடிப்போம். முதலில், இந்த எண்களை பிரதான காரணிகளாக சிதைக்கிறோம்:

    எங்களுக்கு இரண்டு விரிவாக்கங்கள் கிடைத்துள்ளன: மற்றும்

    இப்போது முதல் எண்ணின் சிதைவிலிருந்து இரண்டாவது எண்ணின் சிதைவில் சேர்க்கப்படாத காரணிகளை நீக்குவோம். இரண்டாவது எண்ணின் விரிவாக்கத்தில் ஏழு இல்லை. முதல் விரிவாக்கத்திலிருந்து அதைக் கடப்போம்:

    இப்போது நாம் மீதமுள்ள காரணிகளைப் பெருக்கி, GCD ஐப் பெறுகிறோம்:

    எண் 4 என்பது 28 மற்றும் 16 எண்களின் மிகப் பெரிய பொது வகுப்பான். இந்த இரண்டு எண்களும் மீதி இல்லாமல் 4 ஆல் வகுபடும்:

    எடுத்துக்காட்டு 2. 100 மற்றும் 40 எண்களின் ஜிசிடியைக் கண்டறியவும்

    100 எண்ணை காரணியாக்குதல்

    40 எண்ணை காரணியாக்குதல்

    எங்களிடம் இரண்டு விரிவாக்கங்கள் உள்ளன:

    இப்போது முதல் எண்ணின் சிதைவிலிருந்து இரண்டாவது எண்ணின் சிதைவில் சேர்க்கப்படாத காரணிகளை நீக்குவோம். இரண்டாவது எண்ணின் விரிவாக்கத்தில் ஒரு ஐந்து இல்லை (ஒரு ஐந்து மட்டுமே உள்ளது). முதல் விரிவாக்கத்திலிருந்து அதைக் கடப்போம்

    மீதமுள்ள எண்களை பெருக்குவோம்:

    20 என்ற பதிலைப் பெற்றோம். இதன் பொருள் 100 மற்றும் 40 ஆகிய எண்களின் மிகப் பெரிய பொதுவான வகுத்தல் எண் 20 ஆகும். இந்த இரண்டு எண்களும் மீதி இல்லாமல் 20 ஆல் வகுபடும்:

    GCD (100 மற்றும் 40) = 20.

    எடுத்துக்காட்டு 3. 72 மற்றும் 128 எண்களின் gcd ஐக் கண்டறியவும்

    72 என்ற எண்ணை காரணியாக்குதல்

    128 எண்ணை காரணியாக்குதல்

    2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2

    இப்போது முதல் எண்ணின் சிதைவிலிருந்து இரண்டாவது எண்ணின் சிதைவில் சேர்க்கப்படாத காரணிகளை நீக்குவோம். இரண்டாவது எண்ணின் விரிவாக்கத்தில் இரண்டு மும்மடங்குகள் இல்லை (அவை அங்கு இல்லை). முதல் விரிவாக்கத்திலிருந்து அவற்றைக் கடப்போம்:

    எங்களுக்கு பதில் 8 கிடைத்தது. இதன் பொருள் எண் 8 என்பது 72 மற்றும் 128 எண்களின் மிகப் பெரிய பொதுவான வகுத்தல் ஆகும். இந்த இரண்டு எண்களும் மீதி இல்லாமல் 8 ஆல் வகுபடும்:

    GCD (72 மற்றும் 128) = 8

    பல எண்களுக்கான ஜிசிடியைக் கண்டறிதல்

    மிகப் பெரிய பொதுவான வகுப்பியை இரண்டு எண்களுக்கு மட்டுமல்ல, பல எண்களுக்கும் காணலாம். இதைச் செய்ய, மிகப் பெரிய பொதுவான வகுப்பிக்கான எண்கள் பிரதான காரணிகளாக சிதைக்கப்படுகின்றன, பின்னர் இந்த எண்களின் பொதுவான பகா காரணிகளின் பெருக்கல் கண்டறியப்படுகிறது.

    எடுத்துக்காட்டாக, 18, 24 மற்றும் 36 எண்களுக்கு GCD ஐக் கண்டுபிடிப்போம்

    18 என்ற எண்ணை காரணியாக்குவோம்

    எண் 24ஐ காரணியாக்குவோம்

    எண் 36ஐ காரணியாக்குவோம்

    எங்களுக்கு மூன்று விரிவாக்கங்கள் கிடைத்துள்ளன:

    இப்போது இந்த எண்களில் உள்ள பொதுவான காரணிகளை முன்னிலைப்படுத்தி அடிக்கோடிட்டுக் காட்டுவோம். பொதுவான காரணிகள் மூன்று எண்களிலும் தோன்ற வேண்டும்:

    18, 24 மற்றும் 36 ஆகிய எண்களுக்கான பொதுவான காரணிகள் 2 மற்றும் 3 காரணிகளாக இருப்பதைக் காண்கிறோம். இந்தக் காரணிகளைப் பெருக்கினால், நாம் தேடும் gcd கிடைக்கும்:

    எங்களுக்கு பதில் 6 கிடைத்தது. இதன் பொருள் எண் 6 என்பது 18, 24 மற்றும் 36 ஆகிய எண்களின் மிகப் பெரிய பொது வகுப்பான். இந்த மூன்று எண்களும் மீதி இல்லாமல் 6 ஆல் வகுபடும்:

    GCD (18, 24 மற்றும் 36) = 6

    எடுத்துக்காட்டு 2.எண்கள் 12, 24, 36 மற்றும் 42 க்கான GCD ஐக் கண்டறியவும்

    ஒவ்வொரு எண்ணையும் பிரதான காரணிகளாகக் கருதுவோம். இந்த எண்களின் பொதுவான காரணிகளின் பலனைக் காணலாம்.

    எண் 12 ஐ காரணியாக்குவோம்

    42 என்ற எண்ணை காரணியாக்குவோம்

    நாங்கள் நான்கு விரிவாக்கங்களைப் பெற்றுள்ளோம்:

    இப்போது இந்த எண்களில் உள்ள பொதுவான காரணிகளை முன்னிலைப்படுத்தி அடிக்கோடிட்டுக் காட்டுவோம். நான்கு எண்களிலும் பொதுவான காரணிகள் தோன்ற வேண்டும்:

    12, 24, 36 மற்றும் 42 ஆகிய எண்களுக்கான பொதுவான காரணிகள் 2 மற்றும் 3 இன் காரணிகளாக இருப்பதைக் காண்கிறோம். இந்தக் காரணிகளை ஒன்றாகப் பெருக்கினால், நாம் தேடும் ஜிசிடி கிடைக்கும்:

    எங்களுக்கு பதில் 6 கிடைத்தது. இதன் பொருள் எண் 6 என்பது 12, 24, 36 மற்றும் 42 ஆகிய எண்களின் மிகப் பெரிய பொதுவான வகுத்தல் ஆகும். இந்த எண்கள் மீதி இல்லாமல் 6 ஆல் வகுபடும்:

    GCD (12, 24, 36 மற்றும் 42) = 6

    முந்தைய பாடத்திலிருந்து, ஒரு எண்ணை மற்றொன்றால் வகுத்தால், அது இந்த எண்ணின் பெருக்கல் எனப்படும்.

    பல எண்கள் ஒரு பொதுவான பெருக்கத்தைக் கொண்டிருக்கலாம் என்று மாறிவிடும். இப்போது நாம் இரண்டு எண்களின் பெருக்கத்தில் ஆர்வமாக இருப்போம், அது முடிந்தவரை சிறியதாக இருக்க வேண்டும்.

    வரையறை. குறைவான பொதுவான பல (LCM) எண்கள் அமற்றும் b- அமற்றும் பி அமற்றும் எண் பி.

    வரையறை இரண்டு மாறிகளைக் கொண்டுள்ளது அமற்றும் பி. இந்த மாறிகளுக்குப் பதிலாக ஏதேனும் இரண்டு எண்களை மாற்றுவோம். உதாரணமாக, ஒரு மாறிக்கு பதிலாக அமாறிக்கு பதிலாக 9 என்ற எண்ணை மாற்றுவோம் பிஎண் 12 ஐ மாற்றுவோம். இப்போது வரையறையைப் படிக்க முயற்சிப்போம்:

    குறைவான பொதுவான பல (LCM) எண்கள் 9 மற்றும் 12 - ஒரு பெருக்கல் சிறிய எண் 9 மற்றும் 12 . வேறு வார்த்தைகளில் கூறுவதானால், இது ஒரு சிறிய எண்ணாகும், இது எண்ணால் மீதம் இல்லாமல் வகுபடும் 9 மற்றும் எண் மூலம் 12 .

    வரையறையிலிருந்து LCM என்பது 9 மற்றும் 12ஆல் வகுபடும் சிறிய எண் என்பது தெளிவாகிறது.இந்த LCM கண்டுபிடிக்கப்பட வேண்டும்.

    குறைந்த பொதுவான பல (LCM) கண்டுபிடிக்க, நீங்கள் இரண்டு முறைகளைப் பயன்படுத்தலாம். முதல் வழி, நீங்கள் இரண்டு எண்களின் முதல் மடங்குகளை எழுதலாம், பின்னர் இந்த மடங்குகளில் எண்கள் மற்றும் சிறிய எண்கள் இரண்டிற்கும் பொதுவான ஒரு எண்ணைத் தேர்வு செய்யலாம். இந்த முறையைப் பயன்படுத்துவோம்.

    முதலில், எண் 9 இன் முதல் பெருக்கல்களைக் கண்டுபிடிப்போம். 9 இன் பெருக்கல்களைக் கண்டுபிடிக்க, இந்த ஒன்பதை ஒவ்வொன்றாக 1 முதல் 9 வரையிலான எண்களால் பெருக்க வேண்டும். இதன் விளைவாக வரும் பதில்கள் எண் 9 இன் பெருக்கல்களாக இருக்கும். ஆரம்பித்துவிடுவோம். சிவப்பு நிறத்தில் பல மடங்குகளை முன்னிலைப்படுத்துவோம்:

    இப்போது 12 என்ற எண்ணின் மடங்குகளைக் காண்கிறோம். இதைச் செய்ய, 1 முதல் 12 வரை உள்ள அனைத்து எண்களாலும் 12 ஐப் பெருக்குவோம்.