நேரடி ப்ரிஸம் (முக்கோண வழக்கமான). முக்கோண ப்ரிஸம் அனைத்து சூத்திரங்கள் மற்றும் எடுத்துக்காட்டு சிக்கல்கள் பொதுவான வலது முக்கோண ப்ரிஸம்

கணிதத்தில் ஒருங்கிணைந்த மாநிலத் தேர்வை எடுக்கத் தயாராகும் பள்ளி மாணவர்கள் நேரான மற்றும் வழக்கமான ப்ரிஸத்தின் பகுதியைக் கண்டுபிடிப்பதில் சிக்கல்களை எவ்வாறு தீர்ப்பது என்பதை நிச்சயமாகக் கற்றுக்கொள்ள வேண்டும். பல வருட பயிற்சி பல மாணவர்கள் இத்தகைய வடிவியல் பணிகளை மிகவும் கடினமாக கருதுகின்றனர் என்பதை உறுதிப்படுத்துகிறது.

அதே நேரத்தில், உயர்நிலைப் பள்ளி மாணவர்கள் எந்த அளவிலான பயிற்சியும் கொண்டவர்கள் வழக்கமான மற்றும் நேரான ப்ரிஸத்தின் பரப்பளவு மற்றும் அளவைக் கண்டறிய முடியும். இந்த விஷயத்தில் மட்டுமே அவர்கள் ஒருங்கிணைந்த மாநிலத் தேர்வில் தேர்ச்சி பெற்றதன் முடிவுகளின் அடிப்படையில் போட்டி மதிப்பெண்களைப் பெறுவதை நம்ப முடியும்.

நினைவில் கொள்ள வேண்டிய முக்கிய புள்ளிகள்

• ஒரு ப்ரிஸத்தின் பக்கவாட்டு விளிம்புகள் அடித்தளத்திற்கு செங்குத்தாக இருந்தால், அது ஒரு நேர் கோடு என்று அழைக்கப்படுகிறது. இந்த உருவத்தின் அனைத்து பக்க முகங்களும் செவ்வகங்களாக உள்ளன. நேரான ப்ரிஸத்தின் உயரம் அதன் விளிம்புடன் ஒத்துப்போகிறது.
• வழக்கமான ப்ரிஸம் என்பது அதன் பக்க விளிம்புகள் வழக்கமான பலகோணம் அமைந்துள்ள அடித்தளத்திற்கு செங்குத்தாக இருக்கும். இந்த உருவத்தின் பக்க முகங்கள் சம செவ்வகங்கள். சரியான ப்ரிஸம் எப்போதும் நேராக இருக்கும்.

ஷ்கோல்கோவோவுடன் இணைந்து ஒருங்கிணைந்த மாநிலத் தேர்வுக்குத் தயாராவது உங்கள் வெற்றிக்கு முக்கியமாகும்!

உங்கள் வகுப்புகளை எளிதாகவும் முடிந்தவரை பயனுள்ளதாகவும் மாற்ற, எங்கள் கணித போர்ட்டலைத் தேர்வு செய்யவும். சான்றிதழ் தேர்வில் தேர்ச்சி பெறுவதற்குத் தேவையான அனைத்து பொருட்களையும் இங்கே காணலாம்.

ஷ்கோல்கோவோ கல்வித் திட்டத்தின் வல்லுநர்கள் எளிமையானது முதல் சிக்கலானது வரை செல்ல முன்மொழிகிறோம்: முதலில் நாங்கள் கோட்பாடு, அடிப்படை சூத்திரங்கள், கோட்பாடுகள் மற்றும் அடிப்படை சிக்கல்களை தீர்வுகளுடன் வழங்குகிறோம், பின்னர் படிப்படியாக நிபுணர்-நிலை பணிகளுக்கு செல்கிறோம்.

அடிப்படைத் தகவல்கள் முறைப்படுத்தப்பட்டு, "கோட்பாட்டுத் தகவல்" பிரிவில் தெளிவாக வழங்கப்படுகின்றன. தேவையான பொருளை நீங்கள் ஏற்கனவே மீண்டும் செய்ய முடிந்திருந்தால், சரியான ப்ரிஸத்தின் பரப்பளவு மற்றும் அளவைக் கண்டறிவதில் சிக்கல்களைத் தீர்ப்பதை நீங்கள் பயிற்சி செய்ய பரிந்துரைக்கிறோம். "காட்டலாக்" பிரிவு பல்வேறு அளவிலான சிரமங்களின் பெரிய அளவிலான பயிற்சிகளை வழங்குகிறது.

நேரான மற்றும் வழக்கமான ப்ரிஸத்தின் பகுதியை அல்லது இப்போதே கணக்கிட முயற்சிக்கவும். எந்த பணியையும் பகுப்பாய்வு செய்யுங்கள். இது எந்த சிரமத்தையும் ஏற்படுத்தவில்லை என்றால், நீங்கள் பாதுகாப்பாக நிபுணர் அளவிலான பயிற்சிகளுக்கு செல்லலாம். சில சிரமங்கள் ஏற்பட்டால், ஷ்கோல்கோவோ கணித போர்ட்டலுடன் ஆன்லைனில் ஒருங்கிணைந்த மாநிலத் தேர்வுக்கு தொடர்ந்து தயாராகுமாறு நாங்கள் பரிந்துரைக்கிறோம், மேலும் “நேரான மற்றும் வழக்கமான ப்ரிஸம்” என்ற தலைப்பில் பணிகள் உங்களுக்கு எளிதாக இருக்கும்.

இது நம் வாழ்வில் நாம் அடிக்கடி சந்திக்கும் அளவீட்டு வடிவியல் வடிவங்களில் ஒன்றாகும். எடுத்துக்காட்டாக, விற்பனையில் நீங்கள் கீச்சின்கள் மற்றும் கடிகாரங்களை அதன் வடிவத்தில் காணலாம். இயற்பியலில், கண்ணாடியால் செய்யப்பட்ட இந்த உருவம், ஒளியின் நிறமாலையை ஆய்வு செய்யப் பயன்படுகிறது. இந்த கட்டுரையில் ஒரு முக்கோண ப்ரிஸத்தின் வளர்ச்சி தொடர்பான சிக்கலைப் பற்றி விவாதிப்போம்.

முக்கோண ப்ரிஸம் என்றால் என்ன

இந்த உருவத்தை வடிவியல் பார்வையில் பார்க்கலாம். அதைப் பெற, நீங்கள் தன்னிச்சையான பக்க நீளங்களைக் கொண்ட ஒரு முக்கோணத்தை எடுத்து, அதற்கு இணையாக, ஒரு குறிப்பிட்ட திசையனுக்கு விண்வெளியில் அதை மாற்ற வேண்டும். இதற்குப் பிறகு, அசல் முக்கோணத்தின் ஒரே மாதிரியான செங்குத்துகள் மற்றும் பரிமாற்றத்தின் மூலம் பெறப்பட்ட முக்கோணத்தை இணைக்க வேண்டியது அவசியம். எங்களுக்கு ஒரு முக்கோண ப்ரிஸம் கிடைத்தது. கீழே உள்ள புகைப்படம் இந்த உருவத்தின் ஒரு உதாரணத்தைக் காட்டுகிறது.

உருவத்தில் இருந்து அது 5 முகங்களால் உருவானது என்பதைக் காணலாம். ஒரே மாதிரியான இரண்டு முக்கோண பக்கங்கள் அடிப்படைகள் என்று அழைக்கப்படுகின்றன, இணையான வரைபடங்களால் குறிப்பிடப்படும் மூன்று பக்கங்கள் பக்கவாட்டுகள் என்று அழைக்கப்படுகின்றன. இந்த ப்ரிஸம் 6 செங்குத்துகள் மற்றும் 9 விளிம்புகளைக் கொண்டுள்ளது, அவற்றில் 6 இணையான தளங்களின் விமானங்களில் உள்ளன.

பொது வகையின் ஒரு முக்கோண ப்ரிஸம் மேலே கருதப்பட்டது. பின்வரும் இரண்டு கட்டாய நிபந்தனைகள் பூர்த்தி செய்யப்பட்டால் அது சரியானது என்று அழைக்கப்படும்:

1. அதன் அடிப்படை ஒரு வழக்கமான முக்கோணத்தைக் குறிக்க வேண்டும், அதாவது, அதன் அனைத்து கோணங்களும் பக்கங்களும் ஒரே மாதிரியாக இருக்க வேண்டும் (சமபக்கமாக).
2. ஒவ்வொரு பக்க விளிம்பிற்கும் அடித்தளத்திற்கும் இடையிலான கோணம் நேராக இருக்க வேண்டும், அதாவது 90 o.

மேலே உள்ள புகைப்படம் கேள்விக்குரிய உருவத்தைக் காட்டுகிறது.

ஒரு வழக்கமான முக்கோண ப்ரிஸத்திற்கு, அதன் மூலைவிட்டங்களின் நீளம் மற்றும் உயரம், தொகுதி மற்றும் பரப்பளவு ஆகியவற்றைக் கணக்கிடுவது வசதியானது.

முந்தைய படத்தில் காட்டப்பட்டுள்ள சரியான ப்ரிஸத்தை எடுத்துக்கொள்வோம், அதற்காக பின்வரும் செயல்பாடுகளை மனதளவில் மேற்கொள்வோம்:

1. முதலில் நமக்கு மிக அருகில் இருக்கும் மேல் தளத்தின் இரண்டு விளிம்புகளை வெட்டுவோம். அடித்தளத்தை மேலே வளைக்கவும்.
2. கீழ் தளத்திற்கான புள்ளி 1 இன் செயல்பாடுகளை நாங்கள் செய்வோம், அதை கீழே வளைக்கவும்.
3. அருகிலுள்ள பக்க விளிம்பில் உருவத்தை வெட்டுவோம். இரண்டு பக்க முகங்களை (இரண்டு செவ்வகங்கள்) இடது மற்றும் வலது பக்கம் வளைக்கவும்.

இதன் விளைவாக, கீழே கொடுக்கப்பட்டுள்ள ஒரு முக்கோண ப்ரிஸத்தின் ஸ்கேன் பெறுவோம்.

ஒரு உருவத்தின் பக்கவாட்டு மேற்பரப்பு மற்றும் தளங்களின் பரப்பளவைக் கணக்கிட இந்த ஸ்கேன் பயன்படுத்த வசதியானது. பக்க விளிம்பின் நீளம் c ஆகவும், முக்கோணத்தின் பக்கத்தின் நீளம் a ஆகவும் இருந்தால், இரண்டு தளங்களின் பரப்பளவிற்கு நாம் சூத்திரத்தை எழுதலாம்:

பக்கவாட்டு மேற்பரப்பின் பரப்பளவு ஒரே மாதிரியான செவ்வகங்களின் மூன்று பகுதிகளுக்கு சமமாக இருக்கும், அதாவது:

பின்னர் மொத்த பரப்பளவு S o மற்றும் S b இன் கூட்டுத்தொகைக்கு சமமாக இருக்கும்.

1. கனசதுரத்தின் மூலைவிட்டங்கள் பொறிக்கப்பட்ட மற்றும் சுற்றப்பட்ட கோளங்களின் மையமாக இருக்கும் ஒரு புள்ளியில் வெட்டுகின்றன.

2. ஒரு கனசதுரத்தைச் சுற்றியிருக்கும் கோளத்தின் ஆரம் சமம்.

3. ஒரு கனசதுரத்தில் பொறிக்கப்பட்ட கோளத்தின் ஆரம் சமம் .

பணிகள்

1. ஒரு கனசதுரத்தின் மூலைவிட்டம் . அதன் அளவைக் கண்டறியவும்.

2. ஒரு கனசதுரத்தின் ஒவ்வொரு விளிம்பையும் 1 ஆல் அதிகரித்தால், அதன் பரப்பளவு 30 ஆக அதிகரிக்கும். கனசதுரத்தின் விளிம்பைக் கண்டறியவும்.

3. ஒரு பந்து ஒரு கனசதுரத்தில் விளிம்பு 6 உடன் பொறிக்கப்பட்டுள்ளது. கோளத்தின் அளவை ஆல் வகுக்க கண்டறியவும்.

பதில்: 36.

4 . கனசதுரத்தின் மூலைவிட்டம் . அதன் அளவைக் கண்டறியவும்.

பதில்: 27.

5. ஒரு கனசதுர முகத்தின் மூலைவிட்டம் . அதன் அளவைக் கண்டறியவும்.

6.ஒரு கனசதுரத்தின் ஒவ்வொரு விளிம்பும் 1 ஆல் அதிகரிக்கப்பட்டால், அதன் கன அளவு 19 ஆல் அதிகரிக்கும். கனசதுரத்தின் விளிம்பைக் கண்டறியவும்.

7. ஒரு கனசதுரத்தின் விளிம்புகள் மூன்று மடங்காக இருந்தால் அதன் கன அளவு எத்தனை மடங்கு அதிகரிக்கும்?

பதில்: 27.

8. கனசதுரத்தின் மூலைவிட்டம் 1. அதன் பரப்பளவைக் கண்டறியவும்.

9. ஒரு கனசதுரத்தின் பரப்பளவு 8. அதன் மூலைவிட்டத்தைக் கண்டறியவும்.

10. ஒரு கனசதுர முகத்தின் மூலைவிட்டம் 3. அதன் பரப்பளவைக் கண்டறியவும்.

பதில்: 27.

11. ஒரு கனசதுரத்தின் பரப்பளவு 48. கனசதுரத்தின் முகத்தின் மூலைவிட்டத்தைக் கண்டறியவும்.

12. ஒரு கனசதுரத்தின் மூலைவிட்டம் . அதன் அளவைக் கண்டறியவும்.

பதில்: 27.

13. ஒரு கனசதுரத்தின் பரப்பளவு 24. அதன் கன அளவைக் கண்டறியவும்.

14. ஒரு கனசதுரத்தின் விளிம்பு மூன்று மடங்கு அதிகரித்தால் அதன் பரப்பளவு எத்தனை மடங்கு அதிகரிக்கும்?

15. கனசதுரத்தின் கன அளவு 27. அதன் பரப்பளவைக் கண்டறியவும்.

பதில்: 54.

16. ஒரு கனசதுரத்தின் கன அளவு 12. ஒரு உச்சியில் இருந்து வெளிவரும் மற்றும் அதே உச்சியில் இருந்து வெளிப்படும் மூன்றாவது விளிம்பிற்கு இணையாக வெளிவரும் இரண்டு விளிம்புகளின் நடுப்புள்ளிகள் வழியாக செல்லும் விமானம் மூலம் அதிலிருந்து துண்டிக்கப்பட்ட முக்கோண பிரமிட்டின் கன அளவைக் கண்டறியவும்.

பதில்: 1.5.

செவ்வக இணை குழாய்

அதன் பக்கவாட்டு விளிம்புகள் அடித்தளத்திற்கு செங்குத்தாக இருந்தால், மற்றும் தளங்கள் செவ்வகங்களாக இருந்தால் ஒரு இணையான குழாய் செவ்வகமானது என்று அழைக்கப்படுகிறது.

ஒரு செவ்வக இணைக் குழாய்களின் எதிர் முகங்கள் சம செவ்வகங்களாகும்.

ஒரு செவ்வக இணைக்குழாயின் மூலைவிட்டத்தின் சதுரம் அதன் முப்பரிமாணங்களின் சதுரங்களின் கூட்டுத்தொகைக்கு சமம் .

பணிகள்

1. ஒரு செவ்வக இணைக்குழாயின் மூலைவிட்டமானது சமமாக இருக்கும் மற்றும் 30°, 45° மற்றும் 60° கோணங்களை இணையான முகங்களின் விமானங்களுடன் உருவாக்குகிறது. இணையான குழாய்களின் அளவைக் கண்டறியவும்.

பதில்: 4.5.

2. ஒரு செவ்வக இணைக் குழாய் உருளையைச் சுற்றி வளைக்கப்பட்டுள்ளது, அதன் அடிப்படை ஆரம் மற்றும் உயரம் 2 க்கு சமமாக இருக்கும்.

3. படத்தில் காட்டப்பட்டுள்ள பாலிஹெட்ரானின் அளவைக் கண்டறியவும், அனைத்து இருமுனைக் கோணங்களும் 90°க்கு சமமாக இருக்கும்.

பதில்: 7.

4. ஒரு செவ்வக இணைக்குழாயின் அளவு 24 க்கு சமம். அதன் விளிம்புகளில் ஒன்று 3. இந்த விளிம்பிற்கு செங்குத்தாக இணையான முகத்தின் பகுதியைக் கண்டறியவும்.

பதில்: 8.

5. ஒரு செவ்வக இணைக்குழாயின் அளவு 60. அதன் முகங்களில் ஒன்றின் பரப்பளவு 12. இந்த முகத்திற்கு செங்குத்தாக இணையான பைப்பின் விளிம்பைக் கண்டறியவும்.

பதில்: 5.

6. ஒரே உச்சியில் இருந்து நீட்டிக்கப்படும் செவ்வக இணைக் குழாய்களின் இரண்டு விளிம்புகள் 2, 4. இணையான பைப்பின் மூலைவிட்டமானது 6 க்கு சமம். இணையான பைப்பின் அளவைக் கண்டறியவும்.

பதில்: 32.

7. ஒரு உச்சியில் இருந்து விரியும் செவ்வக இணைக் குழாய்களின் விளிம்புகள் 3, 4, 5. அதன் பரப்பளவைக் கண்டறியவும்.

பதில்: 94.

8. ஒரே உச்சியில் இருந்து வரும் செவ்வக இணைக்குழாயின் இரண்டு விளிம்புகள் 3 மற்றும் 4 ஆகும். இந்த இணைக்குழாயின் பரப்பளவு 52. அதே உச்சியில் இருந்து வரும் மூன்றாவது விளிம்பைக் கண்டறியவும்.

பதில்: 2.

9. ஒரே உச்சியில் இருந்து நீட்டிக்கப்படும் செவ்வக இணைக் குழாய்களின் இரண்டு விளிம்புகள் 2, 4. இணைக் குழாய்களின் மூலைவிட்டம் 6. இணைக் குழாய்களின் மேற்பரப்பைக் கண்டறியவும்.

10. ஒரே உச்சியில் இருந்து நீட்டிக்கப்படும் செவ்வக இணைக் குழாய்களின் இரண்டு விளிம்புகள் 1, 2 க்கு சமம். இணையான குழாய்களின் பரப்பளவு 16. அதன் மூலைவிட்டத்தைக் கண்டறியவும்.

11. ஒரு செவ்வக இணைக் குழாய் ஆரம் கொண்ட ஒரு கோளத்தைச் சுற்றி வளைக்கப்பட்டுள்ளது 2. அதன் பரப்பளவைக் கண்டறியவும்.

பதில்: 96.

12. ஒரு செவ்வக இணைக் குழாய் ஆரம் கொண்ட ஒரு கோளத்தைச் சுற்றி வளைக்கப்பட்டுள்ளது 2. அதன் கன அளவைக் கண்டறியவும்.

13. ஒரு கோளத்தைச் சுற்றியிருக்கும் செவ்வக இணைக் குழாய்களின் கன அளவு 216. கோளத்தின் ஆரத்தைக் கண்டறியவும்.

பதில்: 3.

14. ஒரு கோளத்தைச் சுற்றி வளைக்கப்பட்ட செவ்வக இணைக் குழாய்களின் பரப்பளவு 96. கோளத்தின் ஆரத்தைக் கண்டறியவும்.

பதில்: 2.

15. ஒரு செவ்வக இணைக்குழாயின் முகத்தின் பரப்பளவு 12. இந்த முகத்திற்கு செங்குத்தாக இருக்கும் விளிம்பு 4. இணையான பைப்பின் அளவைக் கண்டறியவும்.

பதில்: 48.

16. ஒரே உச்சியில் இருந்து வரும் செவ்வக இணைக்குழாயின் இரண்டு விளிம்புகள் 2 மற்றும் 6. இணையான குழாய்களின் கன அளவு 48. அதே உச்சியில் இருந்து வரும் இணைக்குழாயின் மூன்றாவது விளிம்பைக் கண்டறியவும்.

பதில்: 4.

17. ஒரு உச்சியில் இருந்து வரும் செவ்வக இணைக்குழாயின் இரண்டு விளிம்புகள் 2 க்கு சமம், 3. இணையான பைப்பின் அளவு 36. அதன் மூலைவிட்டத்தைக் கண்டறியவும்.

பதில்: 7.

ப்ரிஸம்

ப்ரிஸம்

நேரான பட்டகம்

ஒரு பாலிஹெட்ரான், அதன் இரண்டு முகங்கள் சமமான பலகோணங்கள் இணையான விமானங்களில் உள்ளன, மீதமுள்ள முகங்கள் இணையான வரைபடங்கள், இது ப்ரிஸம் என்று அழைக்கப்படுகிறது.

இணையான சமதளங்களில் இருக்கும் சம பலகோணங்கள் ப்ரிஸம் தளங்கள் எனப்படும். மீதமுள்ள முகங்கள் பக்க முகங்கள் என்று அழைக்கப்படுகின்றன. அவை ப்ரிஸத்தின் பக்கவாட்டு மேற்பரப்பை உருவாக்குகின்றன. ப்ரிஸத்தின் (எல்) அடிப்பகுதியில் விலா எலும்புகள் மற்றும் பக்கவாட்டு விலா எலும்புகள் உள்ளன.

பக்கவாட்டு விளிம்புகள் ப்ரிஸத்தின் தளங்களுக்கு செங்குத்தாக இருந்தால், ஒரு ப்ரிஸம் நேராக அழைக்கப்படுகிறது.

மேல் தளத்தின் எந்த மின்னோட்டத்திலிருந்தும் கீழ் தளத்திற்கு செங்குத்தாக கைவிடப்படுவது ப்ரிஸத்தின் உயரம் (H) எனப்படும்.

ப்ரிஸத்தின் பெயர் ப்ரிஸத்தின் அடிப்பகுதியில் உள்ள பலகோணத்தைப் பொறுத்தது.

ப்ரிஸத்தின் மொத்த மேற்பரப்பு இரண்டு தளங்களின் பகுதிகள் மற்றும் பக்கவாட்டு மேற்பரப்பின் பகுதியின் கூட்டுத்தொகைக்கு சமம்.

ப்ரிஸத்தின் பக்கவாட்டு மேற்பரப்பு அடித்தளத்தின் சுற்றளவு மற்றும் ப்ரிஸத்தின் உயரத்தின் தயாரிப்புக்கு சமம்.

(அல்லது, செங்குத்து பிரிவு சுற்றளவு மற்றும் ப்ரிஸத்தின் பக்கவாட்டு விளிம்பின் தயாரிப்பு ).

ஒரு ப்ரிஸத்தின் அளவு அடித்தளத்தின் பரப்பளவு மற்றும் ப்ரிஸின் உயரத்தின் தயாரிப்புக்கு சமம்.

(அல்லது, செங்குத்து குறுக்கு வெட்டு பகுதி மற்றும் ப்ரிஸத்தின் பக்கவாட்டு விளிம்பின் தயாரிப்பு ).

ஒரு ப்ரிஸம் அதன் அடிப்பகுதியில் ஒரு இணையான வரைபடத்தை ஒரு இணையாக அழைக்கப்படுகிறது.

இணையான பைப்பின் அனைத்து எதிர் முகங்களும் சமமாகவும் இணையாகவும் இருக்கும். ஒரு இணைக் குழாய்களின் மூலைவிட்டங்கள் ஒரு புள்ளியில் வெட்டுகின்றன மற்றும் அங்கு இரண்டாகப் பிரிகின்றன. மூலைவிட்டங்களின் குறுக்குவெட்டு புள்ளியானது இணையான பைப்பின் சமச்சீர் மையமாகும்.

அனைத்து முகங்களும் செவ்வகமாக இருக்கும் ஒரு இணை குழாய் க்யூபாய்டு என்று அழைக்கப்படுகிறது.

சமமான விளிம்புகளைக் கொண்ட ஒரு செவ்வக இணைக் குழாய் ஒரு கன சதுரம் என்று அழைக்கப்படுகிறது.

வலது ப்ரிஸம் (முக்கோண வழக்கமான)

ஒரு ப்ரிஸம், இதில் பக்க விளிம்புகள் தளங்களுக்கு செங்குத்தாக இருக்கும், மேலும் தளங்கள் வழக்கமான முக்கோணங்களாக இருக்கும்.

1. பக்க முகங்கள் - சம செவ்வகங்கள்

2. அடிப்படை பக்கம்

பணிகள்

1. வழக்கமான முக்கோண ப்ரிஸத்தின் அளவைக் கண்டறியவும், அதன் அனைத்து விளிம்புகளும் சமமாக இருக்கும்.

பதில்: 2.25.

2. வழக்கமான முக்கோணப் பட்டகத்தின் கன அளவு 6. அதன் அடிப்பகுதியின் பக்கங்கள் மும்மடங்காகி, உயரம் பாதியாகக் குறைக்கப்பட்டால், ப்ரிஸத்தின் கன அளவு என்னவாக இருக்கும்?

3. வழக்கமான முக்கோண ப்ரிஸத்தின் பரப்பளவு 6. அதன் அனைத்து விளிம்புகளும் மும்மடங்காக இருந்தால் அதன் மேற்பரப்பு என்னவாக இருக்கும்?

4. வழக்கமான முக்கோண ப்ரிஸம் போன்ற வடிவிலான பாத்திரத்தில் 2300 செ.மீ 3 தண்ணீர் ஊற்றப்பட்டு அந்த பகுதி தண்ணீரில் மூழ்கியது. அதே நேரத்தில், நீர்மட்டம் 25 சென்டிமீட்டரில் இருந்து 27 சென்டிமீட்டராக உயர்ந்தது.

பகுதியின் அளவைக் கண்டறியவும். உங்கள் பதிலை cm3 இல் வெளிப்படுத்தவும்.

5. வழக்கமான முக்கோண ப்ரிஸம் போன்ற வடிவிலான பாத்திரத்தில் தண்ணீர் ஊற்றப்பட்டது. நீர்மட்டம் 80 செ.மீ.யை எட்டுகிறது.அதை ஒத்த மற்றொரு பாத்திரத்தில் ஊற்றினால் நீர் மட்டம் எந்த உயரத்தில் இருக்கும், அதன் அடிப்பகுதி முதல் பகுதியை விட 4 மடங்கு பெரியது? உங்கள் பதிலை செ.மீ.

வழக்கமான முக்கோண ப்ரிஸம்- ஒரு ப்ரிஸம், அதன் அடிப்பகுதியில் இரண்டு வழக்கமான முக்கோணங்கள் உள்ளன, மேலும் அனைத்து பக்க முகங்களும் இந்த தளங்களுக்கு கண்டிப்பாக செங்குத்தாக இருக்கும்.

பதவிகள்

• $ABCA_1B_1C_1$ - வழக்கமான முக்கோணப் பட்டகம்
• $a$ - ப்ரிஸம் தளத்தின் பக்க நீளம்
• $h$ - ப்ரிஸத்தின் பக்க விளிம்பின் நீளம்
• $S_(\text(அடிப்படை))$ - ப்ரிஸம் தளத்தின் பகுதி
• $V_(\text(prisms))$ - prism தொகுதி

ப்ரிஸம் அடிப்படை பகுதி

வழக்கமான முக்கோண ப்ரிஸத்தின் அடிப்பகுதியில் $a$ பக்கத்துடன் வழக்கமான முக்கோணம் உள்ளது. வழக்கமான முக்கோணத்தின் பண்புகளின்படி $$ S_(\text(main))=\frac(\sqrt(3))(4)\cdot a^2 $$ இவ்வாறு, $S_(ABC)= S_(A_1B_1C_1 )=\frac(\sqrt(3))(4)\cdot a^2$.

ப்ரிஸம் தொகுதி

ஒரு ப்ரிஸத்தின் அளவு அதன் அடிப்பகுதியின் பரப்பளவு மற்றும் அதன் உயரத்தின் விளைபொருளாகக் கணக்கிடப்படுகிறது. வழக்கமான ப்ரிஸத்தின் உயரம் அதன் பக்கவாட்டு விளிம்புகளில் ஏதேனும் ஒன்று, எடுத்துக்காட்டாக, விளிம்பு $AA_1$. ஒரு வழக்கமான முக்கோண ப்ரிஸத்தின் அடிப்பகுதியில் ஒரு வழக்கமான முக்கோணம் உள்ளது, அதன் பரப்பளவு நமக்குத் தெரியும். நமக்கு $$ V_(\text(prisms))=S_(\text(main))\cdot AA_1=\frac(\sqrt(3))(4)\cdot a^2 \cdot h $$

BD ஐக் கண்டறிதல்

BD என்பது ப்ரிஸத்தின் அடிப்பகுதியில் $a$ அமைந்திருக்கும் ஒரு வழக்கமான முக்கோணத்தின் உயரம். ஒரு வழக்கமான முக்கோணத்தின் பண்புகளின்படி $$ BD=\frac(\sqrt(3))(2)\cdot a $$ இதேபோல், ப்ரிஸத்தின் தளங்களின் மற்ற அனைத்து மூலைவிட்டங்களின் நீளங்களும் உள்ளன என்ற முடிவுக்கு வருகிறோம். $\frac(\sqrt(3)) (2)\cdot a$ க்கு சமம்.

$BD_1$ஐக் கண்டறியவும்

முக்கோணத்தில் $DBD_1$:

• $DB=\frac(\sqrt(3))(2)\cdot a$ - நாம் இப்போது கண்டுபிடித்தது போல்
• $DD_1=h$
• $\angle BDD_1=90^(\circ)$ - $DD_1$ வரி $ABC$க்கு செங்குத்தாக இருப்பதால்

இதனால், $DBD_1$ முக்கோணம் வலது கோணமானது என்று மாறிவிடும். ஒரு செங்கோண முக்கோணத்தின் பண்புகளால் $$ BD_1=\sqrt(h^2+\frac(3)(4)\cdot a^2) $$ $h=a$ எனில், $$ BD_1=\frac(\ சதுர(7))(2)\cdot a$$

$BC_1$ஐக் கண்டறியவும்

முக்கோணத்தில் $CBC_1$:

• $CB=a$
• $CC_1=h$
• $\angle BCC_1=90^(\circ)$ - $CC_1$ வரி $ABC$க்கு செங்குத்தாக இருப்பதால்

எனவே, $CBC_1$ முக்கோணம் வலது கோணத்தில் உள்ளது. ஒரு செங்கோண முக்கோணத்தின் பண்புகளால் $$ BC_1=\sqrt(h^2+a^2) $$ என்றால் $h=a$, $$ BC_1=\sqrt(2)\cdot a $$ இதேபோல், நாங்கள் வருகிறோம் முடிவிற்கு , ப்ரிஸத்தின் பக்கவாட்டு முகங்களின் மற்ற அனைத்து மூலைவிட்டங்களின் நீளமும் $\sqrt(h^2+a^2)$க்கு சமம்.

இந்த வீடியோ பாடத்தின் உதவியுடன், "பாலிஹெட்ரானின் கருத்து" என்ற தலைப்பில் அனைவரும் தங்களைத் தாங்களே அறிந்திருக்க முடியும். ப்ரிஸம். ப்ரிஸத்தின் மேற்பரப்பு பகுதி." பாடத்தின் போது, ​​​​ஆசிரியர் பாலிஹெட்ரான் மற்றும் ப்ரிஸம் போன்ற வடிவியல் உருவங்கள் என்ன என்பதைப் பற்றி பேசுவார், பொருத்தமான வரையறைகளை வழங்குவார் மற்றும் குறிப்பிட்ட எடுத்துக்காட்டுகளைப் பயன்படுத்தி அவற்றின் சாரத்தை விளக்குவார்.

இந்த பாடத்தின் உதவியுடன், "பாலிஹெட்ரானின் கருத்து" என்ற தலைப்பில் அனைவரும் தங்களைத் தாங்களே அறிந்திருக்க முடியும். ப்ரிஸம். ப்ரிஸத்தின் மேற்பரப்பு பகுதி."

வரையறை. பலகோணங்களால் ஆன ஒரு மேற்பரப்பு மற்றும் ஒரு குறிப்பிட்ட வடிவியல் உடலைக் கட்டுப்படுத்துவது பாலிஹெட்ரல் மேற்பரப்பு அல்லது பாலிஹெட்ரான் என்று அழைக்கப்படுகிறது.

பாலிஹெட்ராவின் பின்வரும் எடுத்துக்காட்டுகளைக் கவனியுங்கள்:

1. டெட்ராஹெட்ரான் ஏ பி சி டிநான்கு முக்கோணங்களால் ஆன மேற்பரப்பு: ஏபிசி, ஏ.டி.பி., BDCமற்றும் ஏடிசி(வரைபடம். 1).

அரிசி. 1

2. Parallelepiped ABCDA 1 B 1 C 1 D 1ஆறு இணையான வரைபடங்களால் ஆன மேற்பரப்பு (படம் 2).

அரிசி. 2

பாலிஹெட்ரானின் முக்கிய கூறுகள் முகங்கள், விளிம்புகள் மற்றும் செங்குத்துகள்.

முகங்கள் என்பது பாலிஹெட்ரானை உருவாக்கும் பலகோணங்கள்.

விளிம்புகள் முகங்களின் பக்கங்களாகும்.

செங்குத்துகள் விளிம்புகளின் முனைகளாகும்.

ஒரு டெட்ராஹெட்ரானைக் கவனியுங்கள் ஏ பி சி டி(வரைபடம். 1). அதன் முக்கிய கூறுகளைக் குறிப்பிடுவோம்.

விளிம்புகள்: முக்கோணங்கள் ABC, ADB, BDC, ADC.

விலா எலும்புகள்: AB, AC, BC, DC, கி.பி, BD.

சிகரங்கள்: ஏ பி சி டி.

ஒரு parallelepiped கருதுகின்றனர் ABCDA 1 B 1 C 1 D 1(படம் 2).

விளிம்புகள்: இணையான வரைபடங்கள் AA 1 D 1 D, D 1 DCC 1, BB 1 C 1 C, AA 1 B 1 B, ABCD, A 1 B 1 C 1 D 1.

விலா எலும்புகள்: ஏஏ 1 , பிபி 1 , எஸ்.எஸ் 1 , DD 1 , AD, A 1 D 1 , B 1 C 1 , BC, AB, A 1 B 1 , D 1 C 1 , DC.

சிகரங்கள்: A, B, C, D, A 1 ,B 1 ,C 1 ,D 1 .

ஒரு பாலிஹெட்ரானின் ஒரு முக்கியமான சிறப்பு வழக்கு ஒரு ப்ரிஸம் ஆகும்.

ABCA 1 இல் 1 உடன் 1(படம் 3).

அரிசி. 3

சம முக்கோணங்கள் ஏபிசிமற்றும் A 1 B 1 C 1இணை விமானங்கள் α மற்றும் β அமைந்துள்ள அதனால் விளிம்புகள் ஏஏ 1, பிபி 1, எஸ்எஸ் 1இணையான.

அது ABCA 1 இல் 1 உடன் 1- முக்கோண ப்ரிஸம் என்றால்:

1) முக்கோணங்கள் ஏபிசிமற்றும் A 1 B 1 C 1சமமாக உள்ளன.

2) முக்கோணங்கள் ஏபிசிமற்றும் A 1 B 1 C 1α மற்றும் β இணை விமானங்களில் அமைந்துள்ளது: ஏபிசி║ஏ 1 பி 1 சி (α ║ β).

3) விலா எலும்புகள் ஏஏ 1, பிபி 1, எஸ்எஸ் 1இணையான.

ஏபிசிமற்றும் A 1 B 1 C 1- ப்ரிஸத்தின் அடிப்படை.

ஏஏ 1, பிபி 1, எஸ்எஸ் 1- ப்ரிஸத்தின் பக்க விலா எலும்புகள்.

ஒரு தன்னிச்சையான புள்ளியில் இருந்து இருந்தால் எச் 1ஒரு விமானம் (எடுத்துக்காட்டாக, β) செங்குத்தாக கைவிடவும் என்என் 1விமானத்திற்கு α, பின்னர் இந்த செங்குத்தாக ப்ரிஸத்தின் உயரம் என்று அழைக்கப்படுகிறது.

வரையறை. பக்க விளிம்புகள் தளங்களுக்கு செங்குத்தாக இருந்தால், ப்ரிஸம் நேராக அழைக்கப்படுகிறது, இல்லையெனில் அது சாய்ந்ததாக அழைக்கப்படுகிறது.

ஒரு முக்கோண ப்ரிஸத்தைக் கவனியுங்கள் ABCA 1 இல் 1 உடன் 1(படம் 4). இந்த ப்ரிஸம் நேராக உள்ளது. அதாவது, அதன் பக்க விலா எலும்புகள் தளங்களுக்கு செங்குத்தாக இருக்கும்.

உதாரணமாக, விலா எலும்பு ஏஏ 1விமானத்திற்கு செங்குத்தாக ஏபிசி. விளிம்பு ஏஏ 1என்பது இந்த ப்ரிஸத்தின் உயரம்.

அரிசி. 4

பக்க முகம் என்பதைக் கவனியுங்கள் ஏஏ 1 பி 1 பிதளங்களுக்கு செங்குத்தாக ஏபிசிமற்றும் A 1 B 1 C 1, அது செங்குத்தாக கடந்து செல்வதால் ஏஏ 1தளங்களுக்கு.

இப்போது ஒரு சாய்ந்த ப்ரிஸத்தைக் கவனியுங்கள் ABCA 1 இல் 1 உடன் 1(படம் 5). இங்கே பக்க விளிம்பு தளத்தின் விமானத்திற்கு செங்குத்தாக இல்லை. புள்ளியில் இருந்து விடுபட்டால் A 1செங்குத்தாக ஏ 1 என்அன்று ஏபிசி, இந்த செங்குத்தாக ப்ரிஸத்தின் உயரம் இருக்கும். பிரிவு என்பதை கவனத்தில் கொள்ளவும் ஒருபிரிவின் திட்டமாகும் ஏஏ 1விமானத்திற்கு ஏபிசி.

பின்னர் நேர்கோட்டுக்கு இடையே உள்ள கோணம் ஏஏ 1மற்றும் விமானம் ஏபிசிஒரு நேர் கோட்டிற்கு இடையே உள்ள கோணம் ஏஏ 1அவளும் ஒருவிமானத்தின் மீது ப்ராஜெக்ஷன், அதாவது கோணம் A 1 AN.

அரிசி. 5

ஒரு நாற்கர ப்ரிஸத்தைக் கவனியுங்கள் ABCDA 1 B 1 C 1 D 1(படம் 6). அது எப்படி மாறுகிறது என்று பார்ப்போம்.

1) நாற்கோணம் ஏ பி சி டிஒரு நாற்கரத்திற்கு சமம் A 1 B 1 C 1 D 1: ABCD = A 1 B 1 C 1 D 1.

2) நாற்கரங்கள் ஏ பி சி டிமற்றும் A 1 B 1 C 1 D 1 ஏபிசி║ஏ 1 பி 1 சி (α ║ β).

3) நாற்கரங்கள் ஏ பி சி டிமற்றும் A 1 B 1 C 1 D 1பக்க விலா எலும்புகள் இணையாக இருக்கும், அதாவது: AA 1 ║ВВ 1 ║СС 1 ║DD 1.

வரையறை. ஒரு ப்ரிஸத்தின் மூலைவிட்டம் என்பது ஒரே முகத்தைச் சேர்ந்த ஒரு ப்ரிஸத்தின் இரண்டு முனைகளை இணைக்கும் ஒரு பிரிவாகும்.

உதாரணத்திற்கு, ஏசி 1- ஒரு நாற்கர ப்ரிஸத்தின் மூலைவிட்டம் ABCDA 1 B 1 C 1 D 1.

வரையறை. பக்க முனை என்றால் ஏஏ 1அடித்தளத்தின் விமானத்திற்கு செங்குத்தாக, அத்தகைய ப்ரிஸம் ஒரு நேர் கோடு என்று அழைக்கப்படுகிறது.

அரிசி. 6

ஒரு நாற்கர ப்ரிஸத்தின் ஒரு சிறப்பு வழக்கு நமக்குத் தெரிந்த இணையான ப்ரிஸம் ஆகும். இணையான குழாய் ABCDA 1 B 1 C 1 D 1படம் காட்டப்பட்டுள்ளது. 7.

இது எவ்வாறு செயல்படுகிறது என்பதைப் பார்ப்போம்:

1) தளங்களில் சமமான புள்ளிவிவரங்கள் உள்ளன. இந்த வழக்கில் - சம இணையான வரைபடங்கள் ஏ பி சி டிமற்றும் A 1 B 1 C 1 D 1: ஏ பி சி டி = A 1 B 1 C 1 D 1.

2) இணையான வரைபடங்கள் ஏ பி சி டிமற்றும் A 1 B 1 C 1 D 1இணை விமானங்கள் α மற்றும் β: ஏபிசி║A 1 B 1 C 1 (α ║ β).

3) இணையான வரைபடங்கள் ஏ பி சி டிமற்றும் A 1 B 1 C 1 D 1பக்க விலா எலும்புகள் ஒன்றுக்கொன்று இணையாக இருக்கும் வகையில் ஏற்பாடு செய்யப்பட்டுள்ளது: AA 1 ║ВВ 1 ║СС 1 ║DD 1.

அரிசி. 7

புள்ளியில் இருந்து A 1செங்குத்தாக விடுவோம் ஒருவிமானத்திற்கு ஏபிசி. கோட்டு பகுதி ஏ 1 என்உயரம் ஆகும்.

ஒரு அறுகோண ப்ரிஸம் எவ்வாறு கட்டமைக்கப்பட்டுள்ளது என்பதைப் பார்ப்போம் (படம் 8).

1) அடித்தளத்தில் சம அறுகோணங்கள் உள்ளன ABCDEFமற்றும் A 1 B 1 C 1 D 1 E 1 F 1: ABCDEF= A 1 B 1 C 1 D 1 E 1 F 1.

2) அறுகோணங்களின் விமானங்கள் ABCDEFமற்றும் A 1 B 1 C 1 D 1 E 1 F 1இணையாக, அதாவது, தளங்கள் இணையான விமானங்களில் உள்ளன: ஏபிசி║ஏ 1 பி 1 சி (α ║ β).

3) அறுகோணங்கள் ABCDEFமற்றும் A 1 B 1 C 1 D 1 E 1 F 1அனைத்து பக்க விலா எலும்புகளும் ஒன்றுக்கொன்று இணையாக இருக்கும் வகையில் ஏற்பாடு செய்யப்பட்டுள்ளது: AA 1 ║BB 1 …║FF 1.

அரிசி. 8

வரையறை. எந்தவொரு பக்க விளிம்பும் அடித்தளத்தின் விமானத்திற்கு செங்குத்தாக இருந்தால், அத்தகைய அறுகோண ப்ரிஸம் நேராக அழைக்கப்படுகிறது.

வரையறை. அதன் அடிப்படைகள் வழக்கமான பலகோணங்களாக இருந்தால், வலது ப்ரிஸம் வழக்கமானது என்று அழைக்கப்படுகிறது.

வழக்கமான முக்கோண ப்ரிஸத்தைக் கவனியுங்கள் ABCA 1 இல் 1 உடன் 1.

அரிசி. 9

முக்கோண பட்டகம் ABCA 1 இல் 1 உடன் 1- வழக்கமானது, இதன் பொருள் தளங்களில் வழக்கமான முக்கோணங்கள் உள்ளன, அதாவது, இந்த முக்கோணங்களின் அனைத்து பக்கங்களும் சமமாக இருக்கும். மேலும், இந்த ப்ரிஸம் நேராக உள்ளது. இதன் பொருள் பக்க விளிம்பு அடித்தளத்தின் விமானத்திற்கு செங்குத்தாக உள்ளது. இதன் பொருள் அனைத்து பக்க முகங்களும் சம செவ்வகங்கள்.

எனவே, ஒரு முக்கோண ப்ரிஸம் என்றால் ABCA 1 இல் 1 உடன் 1- சரியானது, பின்னர்:

1) பக்க விளிம்பு அடித்தளத்தின் விமானத்திற்கு செங்குத்தாக உள்ளது, அதாவது உயரம்: ஏஏ 1 ⊥ ஏபிசி.

2) அடிப்படை ஒரு வழக்கமான முக்கோணம்: ∆ ஏபிசி- சரி.

வரையறை. ஒரு ப்ரிஸத்தின் மொத்த பரப்பளவு அதன் அனைத்து முகங்களின் பகுதிகளின் கூட்டுத்தொகையாகும். நியமிக்கப்பட்டது எஸ் முழு.

வரையறை. பக்கவாட்டு மேற்பரப்பு என்பது அனைத்து பக்கவாட்டு முகங்களின் பகுதிகளின் கூட்டுத்தொகையாகும். நியமிக்கப்பட்டது எஸ் பக்கம்.

ப்ரிஸம் இரண்டு தளங்களைக் கொண்டுள்ளது. பின்னர் ப்ரிஸத்தின் மொத்த பரப்பளவு:

S முழு = S பக்க + 2S முக்கிய.

நேரான ப்ரிஸத்தின் பக்கவாட்டு மேற்பரப்பு அடித்தளத்தின் சுற்றளவு மற்றும் ப்ரிஸின் உயரத்தின் தயாரிப்புக்கு சமம்.

முக்கோண ப்ரிஸத்தின் உதாரணத்தைப் பயன்படுத்தி நாங்கள் ஆதாரத்தை மேற்கொள்வோம்.

கொடுக்கப்பட்டது: ABCA 1 இல் 1 உடன் 1- நேரான ப்ரிஸம், அதாவது. ஏஏ 1 ⊥ ஏபிசி.

AA 1 = h.

நிரூபிக்க: S பக்க = P முக்கிய ∙ h.

அரிசி. 10

ஆதாரம்.

முக்கோண பட்டகம் ABCA 1 இல் 1 உடன் 1- நேராக, அதாவது AA 1 B 1 B, AA 1 C 1 C, BB 1 C 1 C -செவ்வகங்கள்.

பக்கவாட்டு மேற்பரப்பின் பகுதியை செவ்வகங்களின் பகுதிகளின் கூட்டுத்தொகையாகக் கண்டுபிடிப்போம் AA 1 B 1 B, AA 1 C 1 C, BB 1 C 1 C:

S பக்க = AB∙ h + BC∙ h + CA∙ h = (AB + BC + CA) ∙ h = P முக்கிய ∙ h.

நாம் பெறுகிறோம் S பக்கம் = P முக்கிய ∙ h,கே.இ.டி.

பாலிஹெட்ரா, ப்ரிஸம் மற்றும் அதன் வகைகள் பற்றி நாங்கள் அறிந்தோம். ஒரு ப்ரிஸத்தின் பக்கவாட்டு மேற்பரப்பு பற்றிய தேற்றத்தை நாங்கள் நிரூபித்தோம். அடுத்த பாடத்தில் ப்ரிஸம் பிரச்சனைகளை தீர்ப்போம்.

1. வடிவியல். வகுப்புகள் 10-11: பொது கல்வி நிறுவனங்களின் மாணவர்களுக்கான பாடநூல் (அடிப்படை மற்றும் சிறப்பு நிலைகள்) / I. M. ஸ்மிர்னோவா, V. A. ஸ்மிர்னோவ். - 5வது பதிப்பு, சரி செய்யப்பட்டது மற்றும் விரிவாக்கப்பட்டது - எம்.: Mnemosyne, 2008. - 288 p. : உடம்பு சரியில்லை.
2. வடிவியல். தரங்கள் 10-11: பொதுக் கல்வி நிறுவனங்களுக்கான பாடநூல் / ஷரிகின் ஐ.எஃப். - எம்.: பஸ்டர்ட், 1999. - 208 பக்.: இல்.
3. வடிவியல். தரம் 10: கணிதம் /E பற்றிய ஆழ்ந்த மற்றும் சிறப்புப் படிப்புடன் பொதுக் கல்வி நிறுவனங்களுக்கான பாடநூல். வி. போடோஸ்குவேவ், எல்.ஐ. ஸ்வாலிச். - 6வது பதிப்பு, ஸ்டீரியோடைப். - எம்.: பஸ்டர்ட், 008. - 233 பக். :நான் L.

1. Iclass().
2. Shkolo.ru ().
3. பழைய பள்ளிக்கூடம் ().
4. விக்கிஹவ்().

1. ஒரு ப்ரிஸம் கொண்டிருக்கும் குறைந்தபட்ச முகங்களின் எண்ணிக்கை என்ன? அத்தகைய ப்ரிஸம் எத்தனை முனைகள் மற்றும் விளிம்புகளைக் கொண்டுள்ளது?
2. சரியாக 100 விளிம்புகளைக் கொண்ட ப்ரிஸம் உள்ளதா?
3. பக்க விலா எலும்பு 60 டிகிரி கோணத்தில் அடிப்படை விமானத்தில் சாய்ந்துள்ளது. பக்க விளிம்பு 6 செ.மீ ஆக இருந்தால் ப்ரிஸத்தின் உயரத்தைக் கண்டறியவும்.
4. வலது முக்கோண ப்ரிஸத்தில், அனைத்து விளிம்புகளும் சமமாக இருக்கும். அதன் பக்கவாட்டு மேற்பரப்பு 27 செமீ 2 ஆகும். ப்ரிஸத்தின் மொத்த பரப்பளவைக் கண்டறியவும்.