Cómo resolver ecuaciones con dos módulos. Solución de ecuaciones con un módulo.

20.10.2019

Uno de los temas más difíciles para los estudiantes es la solución de ecuaciones que contienen una variable en el signo del módulo. Vamos a resolverlo para empezar con lo que está conectado? ¿Por qué, por ejemplo, las ecuaciones cuadradas que la mayoría de los niños hacen clic en las nueces, y con un lugar tan lejos del concepto más complejo, ya que un módulo tiene tantos problemas?

En mi opinión, todas estas dificultades están asociadas con la falta de reglas claramente formuladas para resolver ecuaciones con un módulo. Así que, resolviendo ecuación cuadrática, el estudiante sabe exactamente lo que necesitaba para usar primero la fórmula del discriminante, y luego la fórmula de las raíces de la ecuación cuadrada. ¿Y si el módulo se reunió en la ecuación? Intentaremos describir claramente el plan de acción necesario en caso de que la ecuación contenga un desconocido bajo el signo del módulo. A cada caso le damos algunos ejemplos.

Pero primero recuerda definición del módulo. Entonces, el número del módulo. uNA. se llamaba este número si uNA. No negativo I. -a.Si el número uNA. menos cero. Puedes escribirlo así:

| A | \u003d a si A ≥ 0 y | A | \u003d -Un si un< 0

Hablando sobre el sentido geométrico del módulo, debe recordarse que cada número real corresponde a un cierto punto en el eje numérico: pEPELEN. Por lo tanto, el módulo o el valor absoluto del número es la distancia desde este punto antes del inicio de la cuenta regresiva del eje numérico. La distancia siempre se da por un número positivo. Por lo tanto, el módulo de cualquier número negativo es el número positivo. Por cierto, incluso en esta etapa, muchos estudiantes comienzan a confundirse. El módulo puede ser un número incompleto, pero el resultado de la aplicación del módulo es siempre un número positivo.

Ahora nos movemos directamente a la resolución de ecuaciones.

1. Considere la ecuación de tipo | x | \u003d C, donde C es un número válido. Esta ecuación se puede resolver definiendo un módulo.

Todos los números reales se dividirán en tres grupos: aquellos más cero, aquellos que son menos que cero, y el tercer grupo es el número 0. Escribimos una solución en forma de un esquema:

(± c, si con\u003e 0

Si | x | \u003d C, x \u003d (0, si c \u003d 0

(sin raíces, si con< 0

1) | x | \u003d 5, porque 5\u003e 0, luego x \u003d ± 5;

2) | x | \u003d -5, porque -cinco< 0, то уравнение не имеет корней;

3) | x | \u003d 0, luego x \u003d 0.

2. Ver ecuación | F (x) | \u003d B, donde B\u003e 0. Para resolver esta ecuación, es necesario deshacerse del módulo. Hacemos esto: f (x) \u003d b o f (x) \u003d -b. Ahora es necesario resolver cada una de las ecuaciones obtenidas. Si en la ecuación inicial b< 0, решений не будет.

1) | x + 2 | \u003d 4, porque 4\u003e 0, entonces

x + 2 \u003d 4 o x + 2 \u003d -4

2) | x 2 - 5 | \u003d 11, porque 11\u003e 0, entonces

x 2 - 5 \u003d 11 o x 2 - 5 \u003d -11

x 2 \u003d 16 x 2 \u003d -6

x \u003d ± 4 sin raíces

3) | x 2 - 5x | \u003d -8, porque -ocho< 0, то уравнение не имеет корней.

3. Ver ecuación | F (x) | \u003d G (x). En el sentido del módulo, tal ecuación tendrá soluciones si su lado derecho es mayor o igual a cero, es decir, G (x) ≥ 0. Entonces tendremos:

f (x) \u003d g (x)o f (x) \u003d -g (x).

1) | 2x - 1 | \u003d 5x - 10. Esta ecuación tendrá una raíz, si 5x es 10 ≥ 0. Es de esto que se rogan dichas ecuaciones.

1. OD 5x - 10 ≥ 0

2. Solución:

2x - 1 \u003d 5x - 10 o 2x - 1 \u003d - (5x - 10)

3. Combinar OD. Y la decisión, obtenemos:

La raíz X \u003d 11/7 no es adecuada en OD, es menor que 2, y X \u003d 3 satisface esta condición.

Respuesta: X \u003d 3

2) | X - 1 | \u003d 1 - x 2.

1. OD 1 - x 2 ≥ 0. Esta desigualdad se resuelve mediante el método de intervalos:

(1 - x) (1 + x) ≥ 0

2. Solución:

x - 1 \u003d 1 - x 2 o x - 1 \u003d - (1 - x 2)

x 2 + x - 2 \u003d 0 x 2 - x \u003d 0

x \u003d -2 o x \u003d 1 x \u003d 0 o x \u003d 1

3. Combinamos la decisión y la OD:

Solo las raíces x \u003d 1 y x \u003d 0 son adecuadas.

Respuesta: x \u003d 0, x \u003d 1.

4. Ver ecuación | F (x) | \u003d | G (x) |. Dicha ecuación es equivalente a las dos siguientes ecuaciones f (x) \u003d g (x) o f (x) \u003d -g (x).

1) | x 2 - 5x + 7 | \u003d | 2x - 5 |. Esta ecuación es equivalente a los dos siguientes:

x 2 - 5x + 7 \u003d 2x - 5 o x 2 - 5x +7 \u003d -2x + 5

x 2 - 7x + 12 \u003d 0 x 2 - 3x + 2 \u003d 0

x \u003d 3 o x \u003d 4 x \u003d 2 o x \u003d 1

Respuesta: x \u003d 1, x \u003d 2, x \u003d 3, x \u003d 4.

5. Las ecuaciones resuelven por sustitución (reemplazo variable). Este método de solución es más fácil de explicar en un ejemplo específico. Por lo tanto, deje que la ecuación cuadrada con el módulo:

x 2 - 6 | x | + 5 \u003d 0. Por las propiedades del módulo x 2 \u003d | x | 2, por lo que la ecuación puede ser reescrita por lo que:

| X | 2 - 6 | x | + 5 \u003d 0. Vamos a reemplazar | x | \u003d T ≥ 0, entonces tendremos:

t 2 - 6T + 5 \u003d 0. Resolución de esta ecuación, obtenemos que T \u003d 1 o T \u003d 5. Vuelves al reemplazo:

| X | \u003d 1 o | x | \u003d 5.

x \u003d ± 1 x \u003d ± 5

Respuesta: x \u003d -5, x \u003d -1, x \u003d 1, x \u003d 5.

Considere otro ejemplo:

x 2 + | x | - 2 \u003d 0. Por las propiedades del módulo x 2 \u003d | x | 2, por lo tanto.

| X | 2 + | x | - 2 \u003d 0. Vamos a reemplazar | X | \u003d T ≥ 0, luego:

t 2 + T - 2 \u003d 0. Resolución de esta ecuación, obtenemos, T \u003d -2 o T \u003d 1. Vuelvemos al reemplazo:

| X | \u003d -2 o | x | \u003d 1.

No hay raíces x \u003d ± 1

Respuesta: X \u003d -1, x \u003d 1.

6. Otro tipo de ecuaciones: ecuaciones con un módulo "complejo". Tales ecuaciones incluyen ecuaciones en las que hay "módulos en el módulo". Las ecuaciones de esta especie se pueden resolver aplicando las propiedades del módulo.

1) | 3 - | x || \u003d 4. Actuaremos tan bien como en las ecuaciones de segundo tipo. Porque 4\u003e 0, entonces obtenemos dos ecuaciones:

3 - | x | \u003d 4 o 3 - | x | \u003d -4.

Ahora expresa en cada módulo de ecuación x, entonces | X | \u003d -1 o | x | \u003d 7.

Resolvemos cada una de las ecuaciones obtenidas. En la primera ecuación no hay raíces, porque -uno< 0, а во втором x = ±7.

La respuesta es x \u003d -7, x \u003d 7.

2) | 3 + | x + 1 || \u003d 5. Resolvemos esta ecuación de la misma manera:

3 + | x + 1 | \u003d 5 o 3 + | x + 1 | \u003d -5

| x + 1 | \u003d 2 | x + 1 | \u003d -8.

x + 1 \u003d 2 o x + 1 \u003d -2. No hay raíces.

Respuesta: x \u003d -3, x \u003d 1.

También hay una solución universal para resolver ecuaciones con un módulo. Este es el método de intervalo. Pero lo consideraremos en el futuro.

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No elegimos matemáticas.su profesión, y ella nos elige.

Matemático ruso Yu.I. Manin

Ecuaciones con módulo

Las tareas resueltas más difíciles de las matemáticas escolares son las ecuaciones que contienen variables en el signo del módulo. Para resolver con éxito dichas ecuaciones, es necesario conocer la definición y las propiedades básicas del módulo. Naturalmente, los estudiantes deben tener las habilidades de resolver ecuaciones de este tipo.

Conceptos y propiedades básicas.

Módulo (valor absoluto) de un número válido denota y se define como sigue:

A propiedades simples El módulo incluye las siguientes relaciones:

Nota Que las dos últimas propiedades son válidas para cualquier grado.

Además, si, dónde, entonces

Propiedades más complejas del módulo., que se puede utilizar de manera efectiva al resolver ecuaciones con módulos, Formulado siguiendo los siguientes teoremas:

Teorema 1. Para cualquier funciones analítica. y Bastante desigualdad

Teorema 2. La igualdad es equivalente a la desigualdad.

Teorema 3. Igualdad equivalente a la desigualdad.

Considere los ejemplos típicos de resolver problemas en el tema "Ecuaciones, que contiene variables en el signo del módulo ".

Solución de ecuaciones con un módulo.

El más común en las matemáticas escolares mediante la solución de ecuaciones con el módulo es el método., Basado en la divulgación de módulos. Este método es universal., Sin embargo, en general, su uso puede llevar a cálculos muy engorrosos. En este sentido, los estudiantes deben conocer a los demás., más métodos efectivos y los métodos de resolución de tales ecuaciones. En particular, Es necesario tener las habilidades del uso de teoremas., Dado en este artículo.

Ejemplo 1.Resolver la ecuación. (uno)

Decisión. La ecuación (1) resolverá el método "clásico" del método de revelar módulos. Para hacer esto, rompemos el eje numérico. Puntos I. A intervalos y consideran tres casos.

1. Si, entonces, la ecuación (1) toma el formulario. Desde aquí sigue. Sin embargo, aquí, por lo que el valor encontrado no es la raíz de la ecuación (1).

2. Si, Luego, desde la ecuación (1) obtenemos o .

Desde entonces ecuación de la raíz (1).

3. Si, Esa ecuación (1) toma o . Tenga en cuenta que.

Respuesta: ,.

Al resolver ecuaciones posteriores con el módulo, utilizaremos activamente las propiedades de los módulos para aumentar la eficiencia de resolver tales ecuaciones.

Ejemplo 2. Resolver la ecuación.

Decisión. También Luego de la ecuación sigue. A este respecto, ,, y la ecuación toma. Desde aquí tenemos. Pero , Por lo tanto, la ecuación de la raíz inicial no tiene raíces.

Respuesta: No hay raíces.

Ejemplo 3. Resolver la ecuación.

Decisión. Desde entonces. Si, entonces y la ecuación toma.

Desde aquí tenemos.

Ejemplo 4. Resolver la ecuación.

Decisión.Reescribir la ecuación en forma equivalente.. (2)

La ecuación resultante se refiere a las ecuaciones del tipo.

Teniendo en cuenta el teorema 2, se puede argumentar que la ecuación (2) es equivalente a la desigualdad. Desde aquí tenemos.

Respuesta:.

Ejemplo 5. Resolver la ecuación.

Decisión. Esta ecuación tiene la forma.. Por lo tanto , Según el teorema 3., Aquí tenemos desigualdad o .

Ejemplo 6. Resolver la ecuación.

Decisión. Ponemos eso. Como , Luego, la ecuación especificada toma la vista de la ecuación cuadrada., (3)

dónde . Dado que la ecuación (3) tiene una raíz positiva única Y eso . Desde aquí obtenemos dos raíces de la ecuación original: y.

Ejemplo 7. Resolver la ecuación. (4)

Decisión. Desde la ecuación Equivalente a la totalidad de dos ecuaciones: y Esto, cuando se resuelve la ecuación (4), es necesario considerar dos casos.

1. Si, entonces o.

Desde aquí tenemos, y.

2. Si, entonces o.

Desde entonces.

Respuesta: ,,,

Ejemplo 8. Resolver la ecuación . (5)

Decisión. Así que, entonces. Desde aquí y desde la ecuación (5) se deduce que, es decir, Aquí tienen un sistema de ecuaciones.

Sin embargo, este sistema de ecuaciones es incompleto.

Respuesta: No hay raíces.

Ejemplo 9. Resolver la ecuación. (6)

Decisión.Si designa, entonces y de la ecuación (6) obtener

O . (7)

Dado que la ecuación (7) tiene la forma, esta ecuación es equivalente a la desigualdad. Desde aquí tenemos. Desde entonces o.

Respuesta:.

Ejemplo 10. Resolver la ecuación. (8)

Decisión. Según el teorema 1 puedes grabar

(9)

Teniendo en cuenta la ecuación (8), concluimos que ambas desigualdades (9) se abordan en la igualdad, es decir, Hay un sistema de ecuaciones.

Sin embargo, según el teorema 3, el sistema anterior es igualizado por el sistema de desigualdad.

(10)

Resolviendo el sistema de desigualdades (10) obtenemos. Dado que el sistema de desigualdad (10) es equivalente a la ecuación (8), la ecuación inicial tiene una sola raíz.

Respuesta:.

Ejemplo 11. Resolver la ecuación. (11)

Decisión. Aunque, luego la igualdad fluye de la ecuación (11).

A partir de aquí sigue eso. Así, aquí tienen un sistema de desigualdad.

La solución de este sistema de desigualdades es y.

Respuesta: ,.

Ejemplo 12. Resolver la ecuación. (12)

Decisión. La ecuación (12) resolverá el método de divulgación constante de los módulos. Para hacer esto, considere varios casos.

1. Si, entonces.

1.1. Si, entonces.

1.2. Si, entonces. Pero , Por lo tanto, en este caso, la ecuación (12) no tiene las raíces.

2. Si, entonces.

2.1. Si, entonces.

2.2. Si, entonces.

Respuesta: ,,,,,

Ejemplo 13. Resolver la ecuación. (13)

Decisión. Dado que la parte izquierda de la ecuación (13) no es negativa, entonces. En este sentido, la ecuación (13)

toma una vista o

Se sabe que la ecuación. Equivalente a la totalidad de dos ecuaciones. y resolviendo lo que conseguimos. Como , Esa ecuación (13) tiene una raíz.

Respuesta:.

Ejemplo 14. Resolver el sistema de ecuaciones. (14)

Decisión. Desde ambos, entonces. En consecuencia, desde el sistema de ecuaciones (14) obtenemos cuatro sistemas de ecuaciones:

Las raíces de los sistemas anteriores de las ecuaciones son raíces del sistema de ecuaciones (14).

Respuesta: ,, ,,,,,,

Ejemplo 15. Resolver el sistema de ecuaciones. (15)

Decisión. Desde entonces. En este sentido, desde el sistema de ecuaciones (15) obtenemos dos sistemas de ecuaciones.

Las raíces del primer sistema de ecuaciones son y, y desde el segundo sistema de las ecuaciones que obtenemos y.

Respuesta: ,,,

Ejemplo 16. Resolver el sistema de ecuaciones. (16)

Decisión. De la primera ecuación del sistema (16) se deduce que.

Desde entonces . Considere la segunda ecuación del sistema. En la medida enluego y la ecuación toma, , o .

Si sustituyes el valor En la primera ecuación del sistema (16), entonces, o.

Respuesta: ,.

Para un estudio más profundo de los métodos de resolución de problemas., asociado a la resolución de ecuaciones, Contiene variables bajo el signo del módulo., puede aconsejar tutoriales De la lista de literatura recomendada.

1. Recopilación de problemas en matemáticas para la entrada en el suelo / ed. MI. Schanavi. - M.: Paz y educación., 2013. - 608 p.

2. Suprun v.p. Matemáticas para estudiantes de secundaria: tareas de mayor complejidad. - M.: CD "LiBOK" / URSS, 2017. - 200 p.

3. Suprun v.p. Matemáticas para estudiantes de secundaria: métodos no estándar para resolver problemas. - M.: CD "LiBOK" / URSS, 2017. - 296 p.

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El módulo es un valor absoluto de la expresión. Al menos, de alguna manera, marque el módulo, es habitual utilizar soportes directos. El valor que se concluye en paréntesis es, y es el significado que lo toma el módulo. El proceso de resolver cualquier módulo es revelar los soportes más directos que se refieren matemáticamente por soportes modulares. Su divulgación ocurre en un cierto número de reglas. Además, para resolver los módulos, también hay muchos valores de las expresiones que estaban en corchetes modulares. En la mayor parte de todos los casos, el módulo se describe de tal manera que la expresión que se submodifique, y es positiva, y los valores negativos también son cero. Si se repele de las propiedades instaladas del módulo, el proceso se elige varias ecuaciones o desigualdades en la expresión inicial, que luego deben resolverse. Entenderemos cómo resolver los módulos.

Solución de proceso

La solución del módulo comienza con el registro de la ecuación original con el módulo. Para responder a la pregunta de cómo resolver ecuaciones con un módulo, debe revelarlo por completo. Para resolver una ecuación de este tipo, se revela el módulo. Todas las expresiones modulares deben ser consideradas. Bajo qué valores de valores desconocidos incluidos en su composición, la expresión modular entre paréntese apela a cero. Para hacer esto, es suficiente equiparar la expresión en corchetes modulares a cero, y luego calcular la solución de la ecuación resultante. Los valores encontrados deben ser fijos. De la misma manera, también es necesario determinar el valor de todas las variables desconocidas para todos los módulos en esta ecuación. A continuación, es necesario hacer una definición y consideración de todos los casos de la existencia de variables en expresiones cuando son diferentes de cero. Para hacer esto, escriba algún sistema de desigualdades, respectivamente, todos los módulos en la desigualdad original. Se deben elaborar desigualdades para que cubran todos los valores disponibles y posibles para la variable que se encuentran en un directo numérico. Luego, debe dibujar para la visualización de este directo muy numérico, donde posponer todos los valores obtenidos.

Casi todo se puede hacer en línea. No es una excepción a las reglas y el módulo. Es posible resolverlo en línea en uno de los numerosos recursos modernos. Todos aquellos valores de la variable que están en un módulo cero serán una limitación especial que se utilizará en el proceso de resolución de la ecuación modular. En la ecuación de origen, debe divulgar todos los corchetes modulares disponibles, al tiempo que cambia el signo de expresión, de modo que los valores de la variable deseada coinciden con esos valores que se pueden ver en el Direct numérico. La ecuación resultante debe ser resuelta. El valor de la variable que se obtendrá durante la solución de la ecuación debe verificarse en un límite especificado por el propio módulo. Si el valor de la variable satisface completamente la condición, es correcto. Todas las raíces que se obtendrán durante la solución de la ecuación, pero no se abordarán las restricciones, deben ser descartadas.

En mi opinión, todas estas dificultades están asociadas con la falta de reglas claramente formuladas para resolver ecuaciones con un módulo. Por lo tanto, la ecuación cuadrada decisiva, el estudiante sabe exactamente lo que primero debe aplicar la fórmula del discriminante, y luego la fórmula de las raíces de la ecuación cuadrada. ¿Y si el módulo se reunió en la ecuación? Intentaremos describir claramente el plan de acción necesario en caso de que la ecuación contenga un desconocido bajo el signo del módulo. A cada caso le damos algunos ejemplos.

Pero primero recuerda definición del módulo. Entonces, el número del módulo. uNA. se llamaba este número si uNA. No negativo I. -a.Si el número uNA. Menos cero. Puedes escribirlo así:

| A | \u003d a si A ≥ 0 y | A | \u003d -Un si un< 0

Ahora nos movemos directamente a la resolución de ecuaciones.

1. Considere la ecuación de tipo | x | \u003d C, donde C es un número válido. Esta ecuación se puede resolver definiendo un módulo.

Todos los números reales se dividirán en tres grupos: aquellos más cero, aquellos que son menos que cero, y el tercer grupo es el número 0. Escribimos una solución en forma de un esquema:

(± c, si con\u003e 0

Si | x | \u003d C, x \u003d (0, si c \u003d 0

(sin raíces, si con< 0

1) | x | \u003d 5, porque 5\u003e 0, luego x \u003d ± 5;

2) | x | \u003d -5, porque -cinco< 0, то уравнение не имеет корней;

3) | x | \u003d 0, luego x \u003d 0.

1) | x + 2 | \u003d 4, porque 4\u003e 0, entonces

x + 2 \u003d 4 o x + 2 \u003d -4

2) | x 2 - 5 | \u003d 11, porque 11\u003e 0, entonces

x 2 - 5 \u003d 11 o x 2 - 5 \u003d -11

x 2 \u003d 16 x 2 \u003d -6

x \u003d ± 4 sin raíces

3) | x 2 - 5x | \u003d -8, porque -ocho< 0, то уравнение не имеет корней.

3. Ver ecuación | F (x) | \u003d G (x). En el sentido del módulo, tal ecuación tendrá soluciones si su lado derecho es mayor o igual a cero, es decir, G (x) ≥ 0. Entonces tendremos:

f (x) \u003d g (x)o f (x) \u003d -g (x).

1) | 2x - 1 | \u003d 5x - 10. Esta ecuación tendrá una raíz, si 5x es 10 ≥ 0. Es de esto que se rogan dichas ecuaciones.

1. OD 5x - 10 ≥ 0

2. Solución:

2x - 1 \u003d 5x - 10 o 2x - 1 \u003d - (5x - 10)

3. Combinar OD. Y la decisión, obtenemos:

La raíz X \u003d 11/7 no es adecuada en OD, es menor que 2, y X \u003d 3 satisface esta condición.

Respuesta: X \u003d 3

2) | X - 1 | \u003d 1 - x 2.

1. OD 1 - x 2 ≥ 0. Esta desigualdad se resuelve mediante el método de intervalos:

(1 - x) (1 + x) ≥ 0

2. Solución:

x - 1 \u003d 1 - x 2 o x - 1 \u003d - (1 - x 2)

x 2 + x - 2 \u003d 0 x 2 - x \u003d 0

x \u003d -2 o x \u003d 1 x \u003d 0 o x \u003d 1

3. Combinamos la decisión y la OD:

Solo las raíces x \u003d 1 y x \u003d 0 son adecuadas.

Respuesta: x \u003d 0, x \u003d 1.

4. Ver ecuación | F (x) | \u003d | G (x) |. Dicha ecuación es equivalente a las dos siguientes ecuaciones f (x) \u003d g (x) o f (x) \u003d -g (x).

1) | x 2 - 5x + 7 | \u003d | 2x - 5 |. Esta ecuación es equivalente a los dos siguientes:

x 2 - 5x + 7 \u003d 2x - 5 o x 2 - 5x +7 \u003d -2x + 5

x 2 - 7x + 12 \u003d 0 x 2 - 3x + 2 \u003d 0

x \u003d 3 o x \u003d 4 x \u003d 2 o x \u003d 1

Respuesta: x \u003d 1, x \u003d 2, x \u003d 3, x \u003d 4.

x 2 - 6 | x | + 5 \u003d 0. Por las propiedades del módulo x 2 \u003d | x | 2, por lo que la ecuación puede ser reescrita por lo que:

| X | 2 - 6 | x | + 5 \u003d 0. Vamos a reemplazar | x | \u003d T ≥ 0, entonces tendremos:

t 2 - 6T + 5 \u003d 0. Resolución de esta ecuación, obtenemos que T \u003d 1 o T \u003d 5. Vuelves al reemplazo:

| X | \u003d 1 o | x | \u003d 5.

x \u003d ± 1 x \u003d ± 5

Respuesta: x \u003d -5, x \u003d -1, x \u003d 1, x \u003d 5.

Considere otro ejemplo:

x 2 + | x | - 2 \u003d 0. Por las propiedades del módulo x 2 \u003d | x | 2, por lo tanto.

| X | 2 + | x | - 2 \u003d 0. Vamos a reemplazar | X | \u003d T ≥ 0, luego:

t 2 + T - 2 \u003d 0. Resolución de esta ecuación, obtenemos, T \u003d -2 o T \u003d 1. Vuelvemos al reemplazo:

| X | \u003d -2 o | x | \u003d 1.

No hay raíces x \u003d ± 1

Respuesta: X \u003d -1, x \u003d 1.

1) | 3 - | x || \u003d 4. Actuaremos tan bien como en las ecuaciones de segundo tipo. Porque 4\u003e 0, entonces obtenemos dos ecuaciones:

3 - | x | \u003d 4 o 3 - | x | \u003d -4.

Ahora expresa en cada módulo de ecuación x, entonces | X | \u003d -1 o | x | \u003d 7.

Resolvemos cada una de las ecuaciones obtenidas. En la primera ecuación no hay raíces, porque -uno< 0, а во втором x = ±7.

La respuesta es x \u003d -7, x \u003d 7.

2) | 3 + | x + 1 || \u003d 5. Resolvemos esta ecuación de la misma manera:

3 + | x + 1 | \u003d 5 o 3 + | x + 1 | \u003d -5

| x + 1 | \u003d 2 | x + 1 | \u003d -8.

x + 1 \u003d 2 o x + 1 \u003d -2. No hay raíces.

Respuesta: x \u003d -3, x \u003d 1.

También hay una solución universal para resolver ecuaciones con un módulo. Este es el método de intervalo. Pero lo consideraremos en el futuro.

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