Ecuaciones cuadráticas por ejemplos del teorema de Vieta. Solución oral de ecuaciones cuadráticas y teorema de Vieta
Al estudiar métodos para resolver ecuaciones de segundo orden en curso escolar álgebra, considere las propiedades de las raíces resultantes. Ahora se conocen como teorema de Vieta. En este artículo se dan ejemplos de su uso.
Ecuación cuadrática
La ecuación de segundo orden es la igualdad, que se muestra en la foto de abajo.
Aquí los símbolos a, b, c son algunos números que se denominan coeficientes de la ecuación en consideración. Para resolver una igualdad, necesitas encontrar los valores de x que la hacen verdadera.
Tenga en cuenta que desde valor máximo el grado en que x se eleva es dos, entonces el número de raíces en el caso general también es dos.
Hay varias formas de resolver este tipo de igualdad. En este artículo, consideraremos uno de ellos, que implica el uso del llamado teorema de Vieta.
Formulación del teorema de Vieta
A finales del siglo XVI, el célebre matemático François Viet (francés) notó, analizando las propiedades de las raíces de varias ecuaciones cuadráticas, que ciertas combinaciones de ellas satisfacen relaciones específicas. En particular, estas combinaciones son su producto y suma.
El teorema de Vieta establece lo siguiente: las raíces de la ecuación cuadrática, cuando suman, dan la razón de los coeficientes de lo lineal a lo cuadrático tomados con el signo opuesto, y cuando se multiplican, dan como resultado la razón del término libre al coeficiente cuadrático.
Si la forma general de la ecuación se escribe como se muestra en la foto de la sección anterior del artículo, entonces matemáticamente este teorema se puede escribir en forma de dos igualdades:
- r 2 + r 1 \u003d -b / a;
- r 1 x r 2 \u003d c / a.
Donde r 1, r 2 es el valor de las raíces de la ecuación en cuestión.
Estas dos igualdades se pueden utilizar para resolver varios problemas matemáticos muy diferentes. El uso del teorema de Vieta en ejemplos con soluciones se da en las siguientes secciones del artículo.
Con este programa de matemáticas puedes resolver ecuación cuadrática.
El programa no solo da una respuesta al problema, sino que también muestra el proceso de solución de dos formas:
- usando el discriminante
- utilizando el teorema de Vieta (si es posible).
Además, la respuesta se muestra exacta, no aproximada.
Por ejemplo, para la ecuación \\ (81x ^ 2-16x-1 \u003d 0 \\), la respuesta se muestra de esta forma:
Este programa puede ser útil para estudiantes de secundaria. escuelas de educación general al prepararse para las pruebas y exámenes, al verificar los conocimientos antes del examen, los padres deben controlar la solución de muchos problemas en matemáticas y álgebra. ¿O tal vez es demasiado caro para usted contratar a un tutor o comprar libros de texto nuevos? ¿O simplemente quieres hacerlo lo más rápido posible? deberes en matemáticas o álgebra? En este caso, también puede utilizar nuestros programas con una solución detallada.
De esta manera, puede conducir su propia enseñanza y / o la enseñanza de sus hermanos o hermanas menores, mientras aumenta el nivel de educación en el campo de los problemas que se resuelven.
Si no está familiarizado con las reglas para ingresar un polinomio cuadrado, le recomendamos que se familiarice con ellas.
Reglas para ingresar un polinomio cuadrado
Cualquier letra latina se puede utilizar como variable.
Por ejemplo: \\ (x, y, z, a, b, c, o, p, q \\) etc.
Los números se pueden ingresar como números enteros o fraccionarios.
Además, los números fraccionarios se pueden ingresar no solo en forma de decimal, sino también en forma de fracción ordinaria.
Reglas para ingresar fracciones decimales.
En fracciones decimales, la parte fraccionaria del entero se puede separar con un punto o una coma.
Por ejemplo, puede ingresar decimales entonces: 2.5x - 3.5x ^ 2
Reglas para ingresar fracciones ordinarias.
Solo se puede usar un número entero como numerador, denominador y parte entera de una fracción.
El denominador no puede ser negativo.
Al escribir fracción numérica el numerador está separado del denominador por un signo de división: /
La parte completa está separada de la fracción por un ampersand: &
Entrada: 3 y 1/3 - 5 y 6 / 5z + 1 / 7z ^ 2
Resultado: \\ (3 \\ frac (1) (3) - 5 \\ frac (6) (5) z + \\ frac (1) (7) z ^ 2 \\)
Al ingresar una expresión se pueden utilizar soportes... En este caso, al resolver una ecuación cuadrática, primero se simplifica la expresión introducida.
Por ejemplo: 1/2 (y-1) (y + 1) - (5y-10 & 1/2)
Decidir
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Un poco de teoría.
Ecuación cuadrática y sus raíces. Ecuaciones cuadráticas incompletas
Cada una de las ecuaciones
\\ (- x ^ 2 + 6x + 1,4 \u003d 0, \\ quad 8x ^ 2-7x \u003d 0, \\ quad x ^ 2- \\ frac (4) (9) \u003d 0 \\)
tiene la forma
\\ (ax ^ 2 + bx + c \u003d 0, \\)
donde x es una variable, a, byc son números.
En la primera ecuación a \u003d -1, b \u003d 6 y c \u003d 1.4, en la segunda a \u003d 8, b \u003d -7 y c \u003d 0, en la tercera a \u003d 1, b \u003d 0 y c \u003d 4/9. Tales ecuaciones se llaman ecuaciones cuadráticas.
Definición.
Ecuación cuadrática es una ecuación de la forma ax 2 + bx + c \u003d 0, donde x es una variable, a, byc son algunos números y \\ (a \\ neq 0 \\).
Los números a, byc son los coeficientes de la ecuación cuadrática. El número a se llama el primer coeficiente, el número b, el segundo coeficiente y el número c, el término libre.
En cada una de las ecuaciones de la forma ax 2 + bx + c \u003d 0, donde \\ (a \\ neq 0 \\), la mayor potencia de la variable x es el cuadrado. De ahí el nombre: ecuación cuadrática.
Tenga en cuenta que una ecuación cuadrática también se llama ecuación de segundo grado, ya que su lado izquierdo es un polinomio de segundo grado.
Una ecuación cuadrática en la que el coeficiente en x 2 es 1 se llama ecuación cuadrática reducida... Por ejemplo, las ecuaciones cuadráticas reducidas son las ecuaciones
\\ (x ^ 2-11x + 30 \u003d 0, \\ quad x ^ 2-6x \u003d 0, \\ quad x ^ 2-8 \u003d 0 \\)
Si en la ecuación cuadrática ax 2 + bx + c \u003d 0 al menos uno de los coeficientes boc es igual a cero, entonces dicha ecuación se llama ecuación cuadrática incompleta... Entonces, las ecuaciones -2x 2 + 7 \u003d 0, 3x 2 -10x \u003d 0, -4x 2 \u003d 0 son ecuaciones cuadráticas incompletas. En el primero de ellos b \u003d 0, en el segundo c \u003d 0, en el tercero b \u003d 0 y c \u003d 0.
Las ecuaciones cuadráticas incompletas son de tres tipos:
1) ax 2 + c \u003d 0, donde \\ (c \\ neq 0 \\);
2) ax 2 + bx \u003d 0, donde \\ (b \\ neq 0 \\);
3) eje 2 \u003d 0.
Consideremos la solución de ecuaciones de cada uno de estos tipos.
Para resolver una ecuación cuadrática incompleta de la forma ax 2 + c \u003d 0 para \\ (c \\ neq 0 \\), transfiera su término libre al lado derecho y divida ambos lados de la ecuación por a:
\\ (x ^ 2 \u003d - \\ frac (c) (a) \\ Flecha derecha x_ (1,2) \u003d \\ pm \\ sqrt (- \\ frac (c) (a)) \\)
Dado que \\ (c \\ neq 0 \\), entonces \\ (- \\ frac (c) (a) \\ neq 0 \\)
Si \\ (- \\ frac (c) (a)\u003e 0 \\), entonces la ecuación tiene dos raíces.
Si \\ (- \\ frac (c) (a) Para resolver una ecuación cuadrática incompleta de la forma ax 2 + bx \u003d 0 para \\ (b \\ neq 0 \\), factoriza su lado izquierdo en factores y obtén la ecuación
\\ (x (ax + b) \u003d 0 \\ Rightarrow \\ left \\ (\\ begin (array) (l) x \u003d 0 \\\\ ax + b \u003d 0 \\ end (array) \\ right. \\ Rightarrow \\ left \\ (\\ begin (matriz) (l) x \u003d 0 \\\\ x \u003d - \\ frac (b) (a) \\ end (matriz) \\ right. \\)
Por tanto, una ecuación cuadrática incompleta de la forma ax 2 + bx \u003d 0 para \\ (b \\ neq 0 \\) siempre tiene dos raíces.
Una ecuación cuadrática incompleta de la forma ax 2 \u003d 0 es equivalente a la ecuación x 2 \u003d 0 y por lo tanto tiene una raíz única 0.
La fórmula de las raíces de una ecuación cuadrática
Consideremos ahora cómo se resuelven las ecuaciones cuadráticas, en las que tanto los coeficientes de las incógnitas como el término libre son distintos de cero.
Resuelve la ecuación cuadrática en vista general y como resultado obtenemos la fórmula de las raíces. Entonces esta fórmula se puede aplicar para resolver cualquier ecuación cuadrática.
Resolver la ecuación cuadrática ax 2 + bx + c \u003d 0
Dividiendo sus dos partes por a, obtenemos la ecuación cuadrática reducida equivalente
\\ (x ^ 2 + \\ frac (b) (a) x + \\ frac (c) (a) \u003d 0 \\)
Transformamos esta ecuación seleccionando el cuadrado del binomio:
\\ (x ^ 2 + 2x \\ cdot \\ frac (b) (2a) + \\ left (\\ frac (b) (2a) \\ right) ^ 2- \\ left (\\ frac (b) (2a) \\ right) ^ 2 + \\ frac (c) (a) \u003d 0 \\ Flecha derecha \\)
La expresión radical se llama el discriminante de la ecuación cuadrática ax 2 + bx + c \u003d 0 ("discriminante" latino es un discriminador). Está designado por la letra D, es decir
\\ (D \u003d b ^ 2-4ac \\)
Ahora, usando la notación del discriminante, reescribimos la fórmula para las raíces de la ecuación cuadrática:
\\ (x_ (1,2) \u003d \\ frac (-b \\ pm \\ sqrt (D)) (2a) \\), donde \\ (D \u003d b ^ 2-4ac \\)
Es obvio que:
1) Si D\u003e 0, entonces la ecuación cuadrática tiene dos raíces.
2) Si D \u003d 0, entonces la ecuación cuadrática tiene una raíz \\ (x \u003d - \\ frac (b) (2a) \\).
3) Si D Por lo tanto, dependiendo del valor del discriminante, una ecuación cuadrática puede tener dos raíces (para D\u003e 0), una raíz (para D \u003d 0) o no tener raíces (para D Al resolver una ecuación cuadrática usando esta fórmula, es aconsejable proceder de la siguiente manera camino:
1) calcular el discriminante y compararlo con cero;
2) si el discriminante es positivo o igual a cero, utilice la fórmula de la raíz, si el discriminante es negativo, escriba que no hay raíces.
Teorema de vieta
La ecuación cuadrática dada ax 2 -7x + 10 \u003d 0 tiene raíces 2 y 5. La suma de las raíces es 7 y el producto es 10. Vemos que la suma de las raíces es igual al segundo coeficiente, tomado con el signo opuesto, y el producto de las raíces es igual al término libre. Cualquier ecuación cuadrática con raíces tiene esta propiedad.
La suma de las raíces de la ecuación cuadrática dada es igual al segundo coeficiente, tomado con el signo opuesto, y el producto de las raíces es igual al término libre.
Aquellos. El teorema de Vieta establece que las raíces x 1 y x 2 de la ecuación cuadrática reducida x 2 + px + q \u003d 0 tienen la propiedad:
\\ (\\ left \\ (\\ begin (matriz) (l) x_1 + x_2 \u003d -p \\\\ x_1 \\ cdot x_2 \u003d q \\ end (matriz) \\ right. \\)
Antes de pasar al teorema de Vieta, presentamos una definición. Ecuación cuadrática de la forma x² + px + q \u003d 0 se llama reducido. En esta ecuación, el coeficiente principal es uno. Por ejemplo, la ecuación x² - 3 x - 4 \u003d 0 se reduce. Cualquier ecuación cuadrática de la forma hacha² + b x + c \u003d 0 se puede reducir, para esto dividimos ambos lados de la ecuación por y ≠ 0. Por ejemplo, ecuación 4 x² + 4 x - 3 \u003d 0 al dividir entre 4 se reduce a la forma: x² + x - 3/4 \u003d 0. Derivamos la fórmula para las raíces de la ecuación cuadrática reducida, para esto usamos la fórmula para las raíces de una ecuación cuadrática de forma general: hacha² + bx + c = 0
Ecuación reducida x² + px + q \u003d 0 coincide con una ecuación general en la que y = 1, segundo = pag, c = q.Por lo tanto, para la ecuación cuadrática reducida, la fórmula toma la forma: 
la última expresión se llama fórmula para las raíces de la ecuación cuadrática reducida, es especialmente conveniente usar esta fórmula cuando r - número par. Por ejemplo, resolvamos la ecuación x² - 14 x — 15 = 0
En respuesta, escribimos que la ecuación tiene dos raíces.
Para la ecuación cuadrática reducida con positivo, el siguiente teorema es cierto.
Teorema de vieta
Si un x 1 y x 2 - raíces de la ecuación x² + px + q \u003d 0, entonces las siguientes fórmulas son válidas:
x 1 + x 2 = — r
x 1 * x 2 \u003d q,es decir, la suma de las raíces de la ecuación cuadrática dada es igual al segundo coeficiente, tomado con el signo opuesto, y el producto de las raíces es igual al término libre.
Con base en la fórmula de las raíces de la ecuación cuadrática reducida, tenemos:
Sumando estas igualdades, obtenemos: x 1 + x 2 = —r.
Multiplicando estas igualdades, usando la fórmula para la diferencia de cuadrados, obtenemos:
Tenga en cuenta que el teorema de Vieta también es válido cuando el discriminante es cero, si asumimos que en este caso la ecuación cuadrática tiene dos raíces idénticas: x 1 = x 2 = — r/2.
Sin resolver las ecuaciones x² - 13 x + 30 \u003d 0 hallar la suma y el producto de sus raíces x 1 y x 2. esta ecuación re \u003d 169 - 120 \u003d 49\u003e 0, por lo que se puede aplicar el teorema de Vieta: x 1 + x 2 = 13, x 1 * x 2 \u003d30. Considere algunos ejemplos más. Una de las raíces de la ecuación x² — px - 12 \u003d 0 igual x 1 = 4. Encontrar coeficiente r y la segunda raíz x 2 de esta ecuación. Por el teorema de Vieta x 1 * x 2 \u003d— 12, x 1 + x 2 = — r.Porque x 1 \u003d 4, luego 4 x 2 \u003d - 12, de donde x 2 = — 3, r = — (x 1 + x 2) \u003d - (4 - 3) \u003d - 1. En respuesta, escriba la segunda raíz x 2 \u003d - 3, coeficiente p \u003d -1.
Sin resolver las ecuaciones x² + 2 x - 4 \u003d 0 calcula la suma de los cuadrados de sus raíces. Permitir x 1 y x 2 - las raíces de la ecuación. Por el teorema de Vieta x 1 + x 2 = — 2, x 1 * x 2 \u003d -4. Porque x 1 ² + x 2 ² \u003d ( x 1 + x 2) ² - 2 x 1 x 2, luego x 1 ² + x 2 ² \u003d (- 2) ² -2 (- 4) \u003d 12.
Halla la suma y el producto de las raíces de la ecuación 3 x² + 4 x - 5 \u003d 0. Esta ecuación tiene dos raíces diferentes, ya que el discriminante re \u003d 16 + 4 * 3 * 5\u003e 0. Para resolver la ecuación, usamos el teorema de Vieta. Este teorema se demuestra para la ecuación cuadrática reducida. Por lo tanto, dividimos esta ecuación por 3.
Por lo tanto, la suma de las raíces es -4/3 y su producto es -5/3.
En general, las raíces de la ecuación hacha² + b x + c \u003d 0 están relacionados por las siguientes igualdades: x 1 + x 2 = — b / a, x 1 * x 2 \u003d c / a,Para obtener estas fórmulas, basta con dividir ambos lados de esta ecuación cuadrática por y ≠ 0 y aplique el teorema de Vieta a la ecuación cuadrática reducida resultante. Considere un ejemplo, se requiere componer la ecuación cuadrática reducida, cuyas raíces x 1 = 3, x 2 = 4. Porque x 1 = 3, x 2 = 4 - raíces de una ecuación cuadrática x² + px + q \u003d 0, luego por el teorema de Vieta r = — (x 1 + x 2) = — 7, q = x 1 x 2 \u003d 12. En respuesta, escriba x² - 7 x + 12 \u003d 0. El siguiente teorema se usa para resolver algunos problemas.
Inverso del teorema de Vieta
Si los números r, q, x 1 , x 2 son tales que x 1 + x 2 = — p, x 1 * x 2 \u003d qentonces x 1y x 2- las raíces de la ecuación x² + px + q \u003d 0. Sustituir en el lado izquierdo x² + px + qen lugar rexpresión - ( x 1 + x 2), y en lugar de q - composición x 1 * x 2.Obtenemos: x² + px + q = x² — ( x 1 + x 2) x + x 1 x 2 \u003d x² - x 1 x - x 2 x + x 1 x 2 \u003d (x - x 1) (x - x 2).Por tanto, si los números r, q, x 1 y x 2 están relacionados por estas relaciones, entonces para todos x la igualdad se sostiene x² + px + q = (x - x 1) (x - x 2),de lo que se sigue que x 1 y x 2 - raíces de la ecuación x² + px + q \u003d 0. Usando un teorema inverso al teorema de Vieta, a veces es posible encontrar las raíces de una ecuación cuadrática por selección. Considere un ejemplo, x² - 5 x + 6 \u003d 0. Aquí r = — 5, q \u003d 6. Escojamos dos números x 1 y x 2 para que x 1 + x 2 = 5, x 1 * x 2 \u003d6. Observando que 6 \u003d 2 * 3, y 2 + 3 \u003d 5, por el inverso del teorema de Vieta, obtenemos que x 1 = 2, x 2 = 3 - raíces de la ecuación x² - 5 x + 6 = 0.
Primer nivel
Ecuaciones cuadráticas... Guía completa (2019)
En el término "ecuación cuadrática", la palabra clave es "cuadrática". Esto significa que la ecuación debe tener una variable (la misma x) al cuadrado, y no debe haber x en el tercer (o mayor) grado.
La solución de muchas ecuaciones se reduce a la solución de ecuaciones cuadráticas.
Aprendamos a definir que tenemos una ecuación cuadrática y no otra.
Ejemplo 1.
Eliminemos el denominador y multipliquemos cada término de la ecuación por
Mueva todo al lado izquierdo y organice los términos en orden decreciente de grados de x
¡Ahora podemos decir con seguridad que esta ecuación es cuadrática!
Ejemplo 2.
Multipliquemos los lados izquierdo y derecho por:
Esta ecuación, aunque originalmente estaba en ella, ¡no es cuadrada!
Ejemplo 3.
Multipliquemos todo por:
¿Con miedo? Cuarto y segundo grados ... Sin embargo, si hacemos una sustitución, veremos que tenemos una ecuación cuadrática simple:
Ejemplo 4.
Parece estar ahí, pero echemos un vistazo más de cerca. Mueve todo al lado izquierdo:
Verá, se ha reducido, ¡y ahora es una ecuación lineal simple!
Ahora intente determinar por sí mismo cuáles de las siguientes ecuaciones son cuadráticas y cuáles no:
Ejemplos:
Respuestas:
- cuadrado;
- cuadrado;
- no cuadrado
- no cuadrado
- no cuadrado
- cuadrado;
- no cuadrado
- cuadrado.
Los matemáticos dividen convencionalmente todas las ecuaciones cuadráticas en la siguiente forma:
- Ecuaciones cuadráticas completas - ecuaciones en las que los coeficientes y, así como el término libre con, no son iguales a cero (como en el ejemplo). Además, entre las ecuaciones cuadráticas completas, hay dado son ecuaciones en las que el coeficiente (la ecuación del ejemplo uno no solo es completa, sino también reducida)
- Ecuaciones cuadráticas incompletas - ecuaciones en las que el coeficiente yo el término libre c son iguales a cero:
Están incompletas porque carecen de algún elemento. ¡Pero en la ecuación siempre debe haber una x al cuadrado! De lo contrario, ya no será un cuadrado, sino alguna otra ecuación.
¿Por qué se le ocurrió tal división? Parecería que hay una x al cuadrado, y está bien. Esta división se debe a los métodos de solución. Consideremos cada uno de ellos con más detalle.
Resolver ecuaciones cuadráticas incompletas
Para empezar, centrémonos en resolver ecuaciones cuadráticas incompletas: ¡son mucho más fáciles!
Las ecuaciones cuadráticas incompletas son de los siguientes tipos:
- , en esta ecuación el coeficiente es.
- , en esta ecuación el término libre es.
- , en esta ecuación el coeficiente y la intersección son iguales.
1. y. Ya que sabemos extraer raíz cuadrada, luego expresemos a partir de esta ecuación
La expresión puede ser negativa o positiva. El número al cuadrado no puede ser negativo, porque al multiplicar dos números negativos o dos positivos, el resultado siempre será un número positivo, entonces: si, entonces la ecuación no tiene soluciones.
Y si, entonces tenemos dos raíces. No es necesario memorizar estas fórmulas. Lo principal es que debes saber y recordar siempre que no puede haber menos.
Intentemos resolver algunos ejemplos.
Ejemplo 5:
Resuelve la ecuación
Ahora queda extraer la raíz de los lados izquierdo y derecho. ¿Recuerdas cómo extraer raíces?
Responder:
¡Nunca te olvides de las raíces negativas!
Ejemplo 6:
Resuelve la ecuación
Responder:
Ejemplo 7:
Resuelve la ecuación
Oh! El cuadrado de un número no puede ser negativo, lo que significa que la ecuación
sin raíces!
Para las ecuaciones que no tienen raíces, los matemáticos han creado un icono especial: (conjunto vacío). Y la respuesta se puede escribir así:
Responder:
Por tanto, esta ecuación cuadrática tiene dos raíces. No hay restricciones aquí, ya que no extrajimos la raíz.
Ejemplo 8:
Resuelve la ecuación
Saquemos el factor común del paréntesis:
De este modo,
Esta ecuación tiene dos raíces.
Responder:
El tipo más simple de ecuaciones cuadráticas incompletas (aunque todas son simples, ¿no?). Obviamente, esta ecuación siempre tiene una sola raíz:
Lo haremos sin ejemplos aquí.
Resolver ecuaciones cuadráticas completas
Te recordamos que una ecuación cuadrática completa es una ecuación de la forma ecuación donde
La solución para completar ecuaciones cuadráticas es un poco más difícil (solo un poco) que las dadas.
Recuerda, ¡cualquier ecuación cuadrática puede resolverse usando el discriminante! Incluso incompleto.
El resto de los métodos lo ayudarán a hacer esto más rápido, pero si tiene problemas con las ecuaciones cuadráticas, primero domine la solución usando el discriminante.
1. Resolver ecuaciones cuadráticas usando el discriminante.
Resolver ecuaciones cuadráticas de esta manera es muy simple, lo principal es recordar la secuencia de acciones y un par de fórmulas.
Si, entonces la ecuación tiene una raíz. atención especial Da un paso. El discriminante () nos indica el número de raíces de la ecuación.
- Si, entonces la fórmula del paso se reducirá a. Por tanto, la ecuación tendrá la raíz completa.
- Si, entonces no podremos extraer la raíz del discriminante en el paso. Esto indica que la ecuación no tiene raíces.
Volvamos a nuestras ecuaciones y veamos algunos ejemplos.
Ejemplo 9:
Resuelve la ecuación
Paso 1 omitir.
Paso 2.
Encontramos el discriminante:
Entonces la ecuación tiene dos raíces.
Paso 3.
Responder:
Ejemplo 10:
Resuelve la ecuación
La ecuación se presenta en forma estándar, por lo tanto Paso 1 omitir.
Paso 2.
Encontramos el discriminante:
Entonces la ecuación tiene una raíz.
Responder:
Ejemplo 11:
Resuelve la ecuación
La ecuación se presenta en forma estándar, por lo tanto Paso 1 omitir.
Paso 2.
Encontramos el discriminante:
Por tanto, no podremos extraer la raíz del discriminante. No hay raíces de la ecuación.
Ahora sabemos cómo escribir estas respuestas correctamente.
Responder:Sin raíces
2. Solución de ecuaciones cuadráticas utilizando el teorema de Vieta.
Si recuerdas, hay un tipo de ecuaciones que se llaman reducidas (cuando el coeficiente a es igual):
Tales ecuaciones son muy fáciles de resolver usando el teorema de Vieta:
Suma de raíces dado la ecuación cuadrática es, y el producto de las raíces es.
Ejemplo 12:
Resuelve la ecuación
Esta ecuación es adecuada para resolver usando el teorema de Vieta, ya que ...
La suma de las raíces de la ecuación es, es decir obtenemos la primera ecuación:
Y el producto es igual a:
Compongamos y resolvamos el sistema:
- y. La cantidad es igual;
- y. La cantidad es igual;
- y. La cantidad es igual.
y son la solución del sistema:
Responder: ; .
Ejemplo 13:
Resuelve la ecuación
Responder:
Ejemplo 14:
Resuelve la ecuación
La ecuación se reduce, lo que significa:
Responder:
ECUACIONES CUADRÁTICAS. NIVEL PROMEDIO
¿Qué es una ecuación cuadrática?
En otras palabras, una ecuación cuadrática es una ecuación de la forma, donde es la incógnita, son algunos números y.
El número se llama senior o primeras probabilidades ecuación cuadrática, - segundas probabilidadesy miembro gratuito.
¿Por qué? Porque si, la ecuación se vuelve lineal inmediatamente, porque desaparecerá.
Además, y puede ser igual a cero. En esta silla, la ecuación se llama incompleta. Si todos los términos están en su lugar, es decir, la ecuación está completa.
Soluciones a varios tipos de ecuaciones cuadráticas
Métodos para resolver ecuaciones cuadráticas incompletas:
Para empezar, analicemos los métodos para resolver ecuaciones cuadráticas incompletas; son más simples.
Se pueden distinguir los siguientes tipos de ecuaciones:
I., en esta ecuación el coeficiente y la intersección son iguales.
II. , en esta ecuación el coeficiente es.
III. , en esta ecuación el término libre es.
Ahora veamos una solución para cada uno de estos subtipos.
Obviamente, esta ecuación siempre tiene una sola raíz:
Un número al cuadrado no puede ser negativo, porque cuando multiplicas dos números negativos o dos positivos, el resultado siempre será un número positivo. Por lo tanto:
si, entonces la ecuación no tiene soluciones;
si tenemos dos raíces
No es necesario memorizar estas fórmulas. Lo principal para recordar es que no puede ser menos.
Ejemplos:
Soluciones:
Responder:
¡Nunca te olvides de las raíces negativas!
El cuadrado de un número no puede ser negativo, lo que significa que la ecuación
sin raíces.
Para registrar brevemente que el problema no tiene solución, usamos el icono de conjunto vacío.
Responder:
Entonces, esta ecuación tiene dos raíces: y.
Responder:
Saque el factor común del paréntesis:
El producto es igual a cero si al menos uno de los factores es igual a cero. Esto significa que la ecuación tiene solución cuando:
Entonces, esta ecuación cuadrática tiene dos raíces: y.
Ejemplo:
Resuelve la ecuación.
Decisión:
Factoriza el lado izquierdo de la ecuación y encuentra las raíces:
Responder:
Métodos para resolver ecuaciones cuadráticas completas:
1. Discriminante
Resolver ecuaciones cuadráticas de esta manera es fácil, lo principal es recordar la secuencia de acciones y un par de fórmulas. Recuerde, ¡cualquier ecuación cuadrática puede resolverse usando el discriminante! Incluso incompleto.
¿Ha notado la raíz del discriminante en la fórmula de la raíz? Pero el discriminante puede ser negativo. ¿Qué hacer? Debe prestar especial atención al paso 2. El discriminante nos indica el número de raíces de la ecuación.
- Si, entonces la ecuación tiene una raíz:
- Si, entonces la ecuación tiene la misma raíz, pero de hecho, una raíz:
Estas raíces se llaman raíces dobles.
- Si, no se extrae la raíz del discriminante. Esto indica que la ecuación no tiene raíces.
Porque es posible cantidad diferente raíces? Pasemos al significado geométrico de la ecuación cuadrática. La gráfica de la función es una parábola:
En el caso especial, que es una ecuación cuadrática. Y esto significa que las raíces de la ecuación cuadrática son los puntos de intersección con el eje de abscisas (eje). Es posible que la parábola no cruce el eje en absoluto, o lo cruce en uno (cuando el vértice de la parábola se encuentra en el eje) o dos puntos.
Además, el coeficiente es responsable de la dirección de las ramas de la parábola. Si, entonces las ramas de la parábola se dirigen hacia arriba, y si - luego hacia abajo.
Ejemplos:
Soluciones:
Responder:
Responder:.
Responder:
Entonces no hay soluciones.
Responder:.
2. Teorema de Vieta
Es muy fácil usar el teorema de Vieta: solo necesita elegir un par de números, cuyo producto es igual al término libre de la ecuación, y la suma es el segundo coeficiente, tomado con el signo opuesto.
Es importante recordar que el teorema de Vieta solo se puede aplicar en ecuaciones cuadráticas reducidas ().
Veamos algunos ejemplos:
Ejemplo 1:
Resuelve la ecuación.
Decisión:
Esta ecuación es adecuada para resolver usando el teorema de Vieta, ya que ... Otros coeficientes :; ...
La suma de las raíces de la ecuación es:
Y el producto es igual a:
Tomemos esos pares de números, cuyo producto es igual, y verifiquemos si su suma es igual:
- y. La cantidad es igual;
- y. La cantidad es igual;
- y. La cantidad es igual.
y son la solución del sistema:
Por lo tanto, y son las raíces de nuestra ecuación.
Responder:; ...
Ejemplo # 2:
Decisión:
Tomemos esos pares de números que dan el producto y luego verifiquemos si su suma es igual:
y: sumar.
y: sumar. Para obtenerlo, solo necesita cambiar los signos de las supuestas raíces: y, después de todo, el trabajo.
Responder:
Ejemplo # 3:
Decisión:
El término libre de la ecuación es negativo, lo que significa que el producto de las raíces es un número negativo. Esto es posible solo si una de las raíces es negativa y la otra es positiva. Por tanto, la suma de las raíces es diferencia de sus módulos.
Elijamos los pares de números que dan en el producto, y cuya diferencia es igual a:
y: su diferencia es igual - no encaja;
y: - no encaja;
y: - no encaja;
y: - encaja. Solo resta recordar que una de las raíces es negativa. Dado que su suma debe ser igual, entonces la raíz del valor absoluto más pequeño debe ser negativa :. Verificamos:
Responder:
Ejemplo # 4:
Resuelve la ecuación.
Decisión:
La ecuación se reduce, lo que significa:
El término libre es negativo y, por tanto, el producto de las raíces es negativo. Y esto solo es posible cuando una raíz de la ecuación es negativa y la otra es positiva.
Seleccionemos esos pares de números, cuyo producto es igual, y luego determinemos qué raíces deben tener un signo negativo:
Obviamente, solo las raíces y son adecuadas para la primera condición:
Responder:
Ejemplo # 5:
Resuelve la ecuación.
Decisión:
La ecuación se reduce, lo que significa:
La suma de las raíces es negativa, lo que significa que al menos una de las raíces es negativa. Pero como su producto es positivo, ambas raíces tienen un signo menos.
Seleccionemos tales pares de números, cuyo producto es igual a:
Obviamente, las raíces son números y.
Responder:
Admítelo, es muy conveniente inventar raíces oralmente, en lugar de contar a este desagradable discriminante. Intente utilizar el teorema de Vieta con la mayor frecuencia posible.
Pero el teorema de Vieta es necesario para facilitar y acelerar la búsqueda de raíces. Para usarlo de manera rentable, debes llevar las acciones al automatismo. Y para ello, decida cinco ejemplos más. Pero no hagas trampa: ¡no puedes usar el discriminante! Solo el teorema de Vieta:
Resolver tareas para el trabajo independiente:
Tarea 1. ((x) ^ (2)) - 8x + 12 \u003d 0
Por el teorema de Vieta:
Como es habitual, comenzamos la selección con una pieza:
No apto por la cantidad;
: la cantidad es la que necesitas.
Responder:; ...
Tarea 2.
Y nuevamente, nuestro teorema favorito de Vieta: la suma debería funcionar, pero el producto es igual.
Pero como debería ser no, pero, cambiamos los signos de las raíces: y (en total).
Responder:; ...
Tarea 3.
Hmm ... ¿Dónde está eso?
Es necesario transferir todos los términos en una parte:
La suma de las raíces es igual al producto.
¡Así que deja de! No se da la ecuación. Pero el teorema de Vieta es aplicable solo en las ecuaciones anteriores. Entonces, primero debes traer la ecuación. Si no puede mencionarlo, abandone esta empresa y decida de otra manera (por ejemplo, a través del discriminante). Permítanme recordarles que traer una ecuación cuadrática significa hacer que el coeficiente principal sea igual a:
Excelente. Entonces la suma de las raíces es igual y el producto.
Es fácil de recoger aquí: después de todo, un número primo (perdón por la tautología).
Responder:; ...
Tarea 4.
El término libre es negativo. ¿Qué tiene de especial? Y el hecho de que las raíces serán de diferentes signos. Y ahora, durante la selección, comprobamos no la suma de las raíces, sino la diferencia de sus módulos: esta diferencia es igual, pero el producto.
Entonces, las raíces son iguales y, pero una de ellas tiene un signo menos. El teorema de Vieta nos dice que la suma de las raíces es igual al segundo coeficiente con el signo opuesto, es decir. Esto significa que la raíz más pequeña tendrá menos: y, ya que.
Responder:; ...
Tarea 5.
¿Qué es lo primero que debes hacer? Así es, da la ecuación:
Nuevamente: seleccionamos los factores del número, y su diferencia debe ser:
Las raíces son iguales y, pero una de ellas tiene un signo menos. ¿Cúal? Su suma debe ser igual, lo que significa que con menos habrá una raíz más grande.
Responder:; ...
Para resumir:
- El teorema de Vieta se usa solo en las ecuaciones cuadráticas dadas.
- Usando el teorema de Vieta, puede encontrar las raíces por selección, oralmente.
- Si no se da la ecuación o no hay un par adecuado de multiplicadores de términos libres, entonces no hay raíces enteras y debe resolverlo de otra manera (por ejemplo, mediante el discriminante).
3. Método de selección de un cuadrado completo
Si todos los términos que contienen lo desconocido se representan en forma de términos de las fórmulas de multiplicación abreviadas (el cuadrado de la suma o diferencia), luego de cambiar las variables, la ecuación se puede representar como una ecuación cuadrática incompleta del tipo.
Por ejemplo:
Ejemplo 1:
Resuelve la ecuación:.
Decisión:
Responder:
Ejemplo 2:
Resuelve la ecuación:.
Decisión:
Responder:
En general, la transformación se verá así:
Esto implica: .
¿No se parece a nada? ¡Esto es un discriminante! Así es, tenemos la fórmula discriminante.
ECUACIONES CUADRÁTICAS. BREVEMENTE SOBRE EL PRINCIPAL
Ecuación cuadráticaes una ecuación de la forma, donde es la incógnita, son los coeficientes de la ecuación cuadrática, es el término libre.
Ecuación cuadrática completa - una ecuación en la que los coeficientes no son iguales a cero.
Ecuación cuadrática reducida - una ecuación en la que el coeficiente, es decir :.
Ecuación cuadrática incompleta - una ecuación en la que el coeficiente yo el término libre c son iguales a cero:
- si el coeficiente, la ecuación tiene la forma :,
- si el término libre, la ecuación tiene la forma :,
- si y, la ecuación tiene la forma :.
1. Algoritmo para resolver ecuaciones cuadráticas incompletas
1.1. Ecuación cuadrática incompleta de la forma, donde ,:
1) Expresemos lo desconocido :,
2) Comprueba el signo de la expresión:
- si, entonces la ecuación no tiene soluciones,
- si, entonces la ecuación tiene dos raíces.
1.2. Ecuación cuadrática incompleta de la forma, donde ,:
1) Saque el factor común de los corchetes :,
2) El producto es igual a cero si al menos uno de los factores es igual a cero. Por tanto, la ecuación tiene dos raíces:
1.3. Ecuación cuadrática incompleta de la forma, donde:
Esta ecuación siempre tiene una sola raíz :.
2. Algoritmo para resolver ecuaciones cuadráticas completas de la forma donde
2.1. Solución discriminante
1) Llevemos la ecuación a la forma estándar :,
2) Calculamos el discriminante mediante la fórmula :, que indica el número de raíces de la ecuación:
3) Encuentra las raíces de la ecuación:
- si, entonces la ecuación tiene raíces, que se encuentran mediante la fórmula:
- si, entonces la ecuación tiene una raíz, que se encuentra mediante la fórmula:
- si, entonces la ecuación no tiene raíces.
2.2. Solución usando el teorema de Vieta
La suma de las raíces de la ecuación cuadrática reducida (una ecuación de la forma, donde) es igual, y el producto de las raíces es igual, es decir y.
2.3. Solución cuadrada completa
Formulación y demostración del teorema de Vieta para ecuaciones cuadráticas. Teorema inverso de Vieta. Teorema de Vieta para ecuaciones cúbicas y ecuaciones de orden arbitrario.
Ecuaciones cuadráticas
Teorema de vieta
Sea y denote las raíces de la ecuación cuadrática reducida
(1)
.
Entonces la suma de las raíces es igual al coeficiente en, tomado con el signo opuesto. El producto de las raíces es igual al término libre:
;
.
Una nota sobre múltiples raíces
Si el discriminante de la ecuación (1) es cero, entonces esta ecuación tiene una raíz. Pero, para evitar formulaciones engorrosas, generalmente se acepta que en este caso, la ecuación (1) tiene dos raíces múltiples o iguales:
.
Prueba uno
Encontremos las raíces de la ecuación (1). Para hacer esto, aplicamos la fórmula para las raíces de la ecuación cuadrática:
;
;
.
Encuentra la suma de las raíces:
.
Para encontrar un trabajo, aplique la fórmula:
.
Entonces
.
Se demuestra el teorema.
Segunda prueba
Si los números y son las raíces de la ecuación cuadrática (1), entonces
.
Expanda los corchetes.
.
Por tanto, la ecuación (1) tomará la forma:
.
Comparando con (1) encontramos:
;
.
Se demuestra el teorema.
Teorema inverso de Vieta
Sea números arbitrarios. Entonces y son las raíces de la ecuación cuadrática
,
Dónde
(2)
;
(3)
.
Prueba del teorema inverso de Vieta
Considere la ecuación cuadrática
(1)
.
Necesitamos demostrar que si y, entonces u son las raíces de la ecuación (1).
Sustituya (2) y (3) en (1):
.
Agrupamos los términos en el lado izquierdo de la ecuación:
;
;
(4)
.
Sustituir en (4):
;
.
Sustituir en (4):
;
.
La ecuación se cumple. Es decir, el número es la raíz de la ecuación (1).
Se demuestra el teorema.
Teorema de Vieta para una ecuación cuadrática completa
Ahora considere la ecuación cuadrática completa
(5)
,
dónde, y hay algunos números. Además.
Divida la ecuación (5) por:
.
Es decir, tenemos la ecuación reducida
,
dónde; ...
Entonces, el teorema de Vieta para la ecuación cuadrática completa tiene la siguiente forma.
Sea y denote las raíces de la ecuación cuadrática completa
.
Luego, la suma y el producto de las raíces se determinan mediante las fórmulas:
;
.
Teorema de Vieta para la ecuación cúbica
De manera similar, podemos establecer conexiones entre las raíces de una ecuación cúbica. Considere la ecuación cúbica
(6)
,
donde ,,, son algunos números. Además.
Dividamos esta ecuación en:
(7)
,
dónde,,.
Sean ,, las raíces de la ecuación (7) (y la ecuación (6)). Entonces
.
Comparando con la ecuación (7) encontramos:
;
;
.
Teorema de Vieta para una ecuación de enésimo grado
De la misma manera, puede encontrar conexiones entre raíces ,, ... ,, para ecuaciones de la enésima la licenciatura
.
Teorema de Vieta para la ecuación enésimo grado Se ve como esto:
;
;
;
.
Para obtener estas fórmulas, escribimos la ecuación de la siguiente forma:
.
Luego equiparamos los coeficientes en ,,, ..., y comparamos el término libre.
Referencias:
EN. Bronstein, K.A. Semendyaev, Manual de Matemáticas para Ingenieros y Estudiantes de Instituciones Técnicas, "Lan", 2009.
CM. Nikolsky, M.K. Potapov et al., Álgebra: un libro de texto para instituciones educativas de octavo grado, Moscú, Educación, 2006.