Encontrar las esquinas de la pirámide. En una pirámide triangular regular con base de lado igual a a, los ángulos entre las aristas ¿Cuál es el ángulo entre las aristas

Seré breve. El ángulo entre dos rectas es igual al ángulo entre sus vectores directores. Por lo tanto, si logra encontrar las coordenadas de los vectores de dirección a \u003d (x 1; y 1; z 1) y b \u003d (x 2; y 2; z 2), puede encontrar el ángulo. Más precisamente, el coseno del ángulo según la fórmula:

Veamos cómo funciona esta fórmula en ejemplos específicos:

Tarea. Los puntos E y F están marcados en el cubo ABCDA 1 B 1 C 1 D 1, los puntos medios de los bordes A 1 B 1 y B 1 C 1, respectivamente. Encuentra el ángulo entre las líneas AE y BF.

Como no se especifica la arista del cubo, establecemos AB = 1. Introducimos un sistema de coordenadas estándar: el origen está en el punto A, y los ejes x, y, z están dirigidos a lo largo de AB, AD y AA 1, respectivamente . El segmento unitario es igual a AB = 1. Ahora encontremos las coordenadas de los vectores directores de nuestras rectas.

Encuentre las coordenadas del vector AE. Para hacer esto, necesitamos los puntos A = (0; 0; 0) y E = (0.5; 0; 1). Dado que el punto E es el medio del segmento A 1 B 1 , sus coordenadas son iguales a la media aritmética de las coordenadas de los extremos. Note que el origen del vector AE coincide con el origen, entonces AE = (0.5; 0; 1).

Ahora tratemos con el vector BF. Del mismo modo, analizamos los puntos B = (1; 0; 0) y F = (1; 0.5; 1), porque F - la mitad del segmento B 1 C 1 . Tenemos:
BF = (1 - 1; 0,5 - 0; 1 - 0) = (0; 0,5; 1).

Entonces, los vectores de dirección están listos. El coseno del ángulo entre las rectas es el coseno del ángulo entre los vectores directores, por lo que tenemos:

Tarea. En un prisma triédrico regular ABCA 1 B 1 C 1 , cuyos bordes son iguales a 1, los puntos D y E están marcados: los puntos medios de los bordes A 1 B 1 y B 1 C 1, respectivamente. Encuentra el ángulo entre las líneas AD y BE.

Introducimos un sistema de coordenadas estándar: el origen está en el punto A, el eje x está dirigido a lo largo de AB, z - a lo largo de AA 1 . Dirigimos el eje y para que el plano OXY coincida con el plano ABC. El segmento unitario es igual a AB = 1. Encuentra las coordenadas de los vectores de dirección para las líneas deseadas.

Primero, encontremos las coordenadas del vector AD. Considere los puntos: A = (0; 0; 0) y D = (0.5; 0; 1), porque D - la mitad del segmento A 1 B 1 . Como el comienzo del vector AD coincide con el origen, obtenemos AD = (0.5; 0; 1).

Ahora encontremos las coordenadas del vector BE. El punto B = (1; 0; 0) es fácil de calcular. Con el punto E, el medio del segmento C 1 B 1, un poco más difícil. Tenemos:

Queda por encontrar el coseno del ángulo:

Tarea. En un prisma hexagonal regular ABCDEFA 1 B 1 C 1 D 1 E 1 F 1 , cuyos bordes son iguales a 1, los puntos K y L están marcados: los puntos medios de los bordes A 1 B 1 y B 1 C 1, respectivamente. Encuentra el ángulo entre las líneas AK y BL.

Introducimos un sistema de coordenadas estándar para un prisma: colocamos el origen de coordenadas en el centro de la base inferior, dirigimos el eje x a lo largo de FC, el eje y a través de los puntos medios de los segmentos AB y DE, y el eje z verticalmente hacia arriba. El segmento unitario vuelve a ser igual a AB = 1. Escribamos las coordenadas de los puntos que nos interesan:

Los puntos K y L son los puntos medios de los segmentos A 1 B 1 y B 1 C 1, respectivamente, por lo que sus coordenadas se encuentran a través de la media aritmética. Conociendo los puntos, encontramos las coordenadas de los vectores directores AK y BL:

Ahora encontremos el coseno del ángulo:

Tarea. En una pirámide cuadrangular regular SABCD, todos los lados de los cuales son iguales a 1, los puntos E y F están marcados, los puntos medios de los lados SB y SC, respectivamente. Encuentra el ángulo entre las líneas AE y BF.

Introducimos un sistema de coordenadas estándar: el origen está en el punto A, los ejes x e y están dirigidos a lo largo de AB y AD, respectivamente, y el eje z está dirigido verticalmente hacia arriba. El segmento unitario es igual a AB = 1.

Los puntos E y F son los puntos medios de los segmentos SB y SC, respectivamente, por lo que sus coordenadas se encuentran como la media aritmética de los extremos. Anotamos las coordenadas de los puntos que nos interesan:
A = (0; 0; 0); B = (1; 0; 0)

Conociendo los puntos, encontramos las coordenadas de los vectores directores AE y BF:

Las coordenadas del vector AE coinciden con las coordenadas del punto E, ya que el punto A es el origen. Queda por encontrar el coseno del ángulo:

Tarea

Solución.

Encuentre el ángulo de inclinación de las nervaduras con respecto al plano de la base.
Dado que la base de una pirámide regular es un cuadrilátero regular, entonces, en este caso, es un cuadrado. Dado que la altura de la pirámide se proyecta hacia el centro de la base, este es el punto de intersección de las diagonales. De donde KN \u003d a / 2

Triángulo OKN - rectangular, OK - altura igual a 3a.
Encontremos la tangente del ángulo KNO, denotándolo como α.

Tgα = OK / KN
tgα = 3a / (a/2) = 6
α = arctan6 ≈ 80.5377°

Encuentre el ángulo de inclinación del borde de la pirámide.
La diagonal de un cuadrado de lado a es a√2. Dado que la altura se proyecta hacia el centro de la base, en este punto las diagonales se dividen por la mitad.

Por lo tanto, para el triángulo rectángulo OKC, la tangente del ángulo KCO (denotado como β) es

Tg β = OK / KC
tg β = 3a / (√2/2) = 6 / √2
β = arctan6/√2 ≈ 76,7373°

Respuesta: ángulo de inclinación de las caras arctan 6 ≈ 80,5377°; ángulo de costilla arctan 6/√2 ≈ 76.7373°

El plano BCE (fig.) se dibuja a través del lado BC perpendicular al borde AS. Los ángulos diedros entre las caras laterales (son todas iguales) se miden por el ángulo BEC = φ . El peso del triángulo es isósceles.

Para determinar el área S de la sección y el ángulo φ , basta encontrar DE (D es el punto medio de BC). Para hacer esto, encontramos secuencialmente BS (del triángulo BSD, donde BD = a / 2 y ∠BSD= α / 2 ).

Entonces BE (del triángulo BSE, donde ∠BSE = α ) y finalmente DE=√BE 2 -BD 2 . Obtenemos

Observación 1 . La suma de los ángulos del plano en el vértice S siempre es menor que 360°. Por lo tanto 0<α <120°. При этом условии 2cos α / 2 > 1, es decir, de modo que la ecuación siempre tiene una solución.

Observación 2 . Si α >90°, es decir, el ángulo ASB en la parte superior de la cara lateral es obtuso, entonces la altura BE del triángulo ASB cortará la continuación de la base, y el plano BEC no dará ninguna sección de la pirámide. Mientras tanto, la fórmula

y en ángulo obtuso α (menos de 120°, ver nota 1) dará un cierto valor de S.

Respuesta: φ = 2 arc sen (1/2 seg α / 2 );

Ejemplos similares:

La base de la pirámide es un rectángulo. Una de las caras laterales tiene forma de triángulo isósceles y es perpendicular a la base; en la otra cara, opuesta a la primera, aristas laterales iguales a b , forman un ángulo entre ellos 2 α e inclinado a la primera cara en un ángulo α . Determine el volumen de la pirámide y el ángulo entre las dos caras especificadas.