Prisma triangular regular. Prisma triangular todas las fórmulas y problemas de ejemplo En un prisma triangular regular todas las aristas
Prisma triangular regular- un prisma, en cuyas bases hay dos triángulos regulares, y todas las caras laterales son estrictamente perpendiculares a estas bases.
Designaciones
- $ABCA_1B_1C_1$ - prisma triangular regular
- $a$ - longitud lateral de la base del prisma
- $h$ - longitud del borde lateral del prisma
- $S_(\text(base))$ - área de la base del prisma
- $V_(\text(prismas))$ - volumen del prisma
Área base del prisma
En la base de un prisma triangular regular hay un triángulo regular de lado $a$. Según las propiedades de un triángulo regular $$ S_(\text(main))=\frac(\sqrt(3))(4)\cdot a^2 $$ Por lo tanto, resulta que $S_(ABC)= S_(A_1B_1C_1 )=\frac(\sqrt(3))(4)\cdot a^2$.Volumen del prisma
El volumen de un prisma se calcula como el producto del área de su base por su altura. La altura de un prisma regular es cualquiera de sus aristas laterales, por ejemplo, la arista $AA_1$. En la base de un prisma triangular regular hay un triángulo regular, cuyo área conocemos. Obtenemos $$ V_(\text(prismas))=S_(\text(main))\cdot AA_1=\frac(\sqrt(3))(4)\cdot a^2 \cdot h $$Encontrar BD
BD es la altura de un triángulo regular cuyo lado $a$ se encuentra en la base del prisma. De acuerdo con las propiedades de un triángulo regular $$ BD=\frac(\sqrt(3))(2)\cdot a $$ De manera similar, llegamos a la conclusión de que las longitudes de todas las demás diagonales de las bases del prisma son igual a $\frac(\sqrt(3)) (2)\cdot a$.Encuentra $BD_1$
En el triángulo $DBD_1$:- $DB=\frac(\sqrt(3))(2)\cdot a$ - como acabamos de descubrir
- $DD_1=h$
- $\angle BDD_1=90^(\circ)$ - porque la línea $DD_1$ es perpendicular al plano $ABC$
Encuentra $BC_1$
En el triángulo $CBC_1$:- $CB=a$
- $CC_1=h$
- $\angle BCC_1=90^(\circ)$ - porque la línea $CC_1$ es perpendicular al plano $ABC$
Los escolares que se están preparando para tomar el Examen Estatal Unificado de matemáticas definitivamente deben aprender a resolver problemas para encontrar el área de un prisma recto y regular. Muchos años de práctica confirman el hecho de que muchos estudiantes consideran que estas tareas de geometría son bastante difíciles.
Al mismo tiempo, los estudiantes de secundaria con cualquier nivel de formación deberían poder encontrar el área y el volumen de un prisma regular y recto. Solo en este caso podrán contar con recibir puntajes competitivos en función de los resultados de aprobar el Examen Estatal Unificado.
Puntos clave para recordar
- Si los bordes laterales de un prisma son perpendiculares a la base, se llama línea recta. Todas las caras laterales de esta figura son rectángulos. La altura de un prisma recto coincide con su arista.
- Un prisma regular es aquel cuyas aristas laterales son perpendiculares a la base en la que se encuentra el polígono regular. Las caras laterales de esta figura son rectángulos iguales. Un prisma correcto siempre es recto.
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En todas las escuelas, los estudiantes de secundaria toman un curso de estereometría, que examina las características de varias figuras espaciales. Este artículo está dedicado al estudio de las propiedades de una de estas figuras. Veamos qué es un prisma triangular regular.
Prisma en geometría
Según la estereometría, es una figura tridimensional que consta de n paralelogramos y dos bases n-gonales idénticas, donde n es un número entero positivo. Ambas bases están ubicadas en planos paralelos y los paralelogramos conectan sus lados por pares en una sola figura.
Cualquier prisma se puede obtener de la siguiente manera: tome un n-gón plano y muévalo paralelo a sí mismo a otro plano. En el proceso de mover los vértices del n-gón, se dibujarán n segmentos, que serán los bordes laterales del prisma.
Los prismas pueden ser convexos y cóncavos, rectos y oblicuos, regulares e irregulares. Todos estos tipos de figuras se diferencian entre sí por la forma de los n-gonos en la base, así como por su ubicación con respecto al segmento perpendicular a ellos, cuya longitud es la altura del prisma. La siguiente figura muestra un conjunto de prismas con diferente número de esquinas en la base y número de caras laterales.
Prisma triangular regular
El primer prisma de la foto de arriba es triangular regular. Consta de dos triángulos equiláteros idénticos y tres rectángulos. Un rectángulo es un caso especial de paralelogramo, por lo que la figura en cuestión satisface la definición estereométrica expuesta anteriormente.
Además de cinco caras, un prisma triangular está formado por seis vértices, que pertenecen a ambas bases, y nueve aristas, tres de las cuales son laterales.
Una propiedad importante de un prisma triangular regular es que su altura coincide con la longitud del borde lateral. Todos estos bordes son iguales entre sí y los rectángulos laterales se cruzan con las bases en ángulo recto. Tenga en cuenta que las líneas rectas entre las bases y las caras laterales hacen que los paralelogramos del prisma inclinado se conviertan en rectángulos en una figura recta. Obviamente, con determinadas longitudes de aristas, los rectángulos pueden convertirse en cuadrados.
Las propiedades importantes de cualquier figura tridimensional son su área de superficie y el volumen de espacio contenido en ella. El prisma en estudio no es una excepción, así que veamos sus características detalladas.
Área de superficie
El área de un prisma triangular regular está formada por las áreas de sus cinco caras. Se sabe que el área de las figuras espaciales es más fácil de considerar y estudiar en un plano, por lo que conviene hacer un desarrollo de un prisma. Se muestra a continuación.
El desarrollo está representado por cinco figuras de dos tipos, que en el prisma eran caras.
Para determinar el área de todas estas figuras, introducimos la siguiente notación: asumimos que la longitud del lado de la base es igual a a, y la altura (la longitud del borde lateral) es igual a h. Teniendo en cuenta la notación, obtenemos el área de un triángulo:
Al escribir esta fórmula se utilizó la expresión estándar para el área de un triángulo. El área de un rectángulo es:
Teniendo en cuenta el número de triángulos y rectángulos (ver el diagrama de arriba), obtenemos una fórmula para la superficie total de la figura geométrica en estudio:
S = 2 × S 3 + 3 × S 4 = √3 / 2 × a 2 + 3 × a × h
Aquí, el primer término del lado derecho de la igualdad describe el área de las dos bases, el segundo término permite calcular el área de la superficie de la lateral.
Recuerde que la fórmula obtenida para S es válida sólo para un prisma triangular recto y regular. Si estuviéramos considerando una figura oblicua, entonces la expresión para S tendría una forma diferente.
Fórmula para determinar el volumen de una figura.
El volumen de cualquier figura espacial es la parte del espacio que está delimitada por las aristas del poliedro. El volumen de cualquier prisma, independientemente de la forma de su base y lados, se puede determinar mediante la siguiente fórmula:
Es decir, basta con multiplicar el área de una base por la altura de toda la figura para obtener el valor de volumen deseado.
Para el caso de un prisma regular triangular, obtenemos la siguiente expresión para V:
V = S 0 × h = S 3 × h = √3 / 4 × a 2 × h
La fórmula escrita para V, así como la expresión para S en el párrafo anterior, dependen sólo de dos parámetros de la figura: las longitudes a y h. Es decir, el conocimiento de dos parámetros lineales cualesquiera permite calcular todas las propiedades del prisma en estudio.
La solución del problema
En física, a menudo se utiliza un prisma triangular regular hecho de vidrio macizo para descomponer el flujo electromagnético en la región visible del espectro en varias frecuencias con el fin de estudiarlas. Es necesario determinar cuánto vidrio se necesitará para hacer un prisma con un área de superficie de 300 cm2 y una longitud lateral de base de 10 cm.
Primero determinamos la altura del prisma h. Usando la fórmula para S, tenemos:
S = √3 / 2 × a 2 + 3 × a × h =>
h = (S - √3 / 2 × a 2) / (3 × a) = (300 - √3 / 2 × 10 2) / (3 × 10) = 7,11 cm
Como conocemos los valores de a y h, para determinar el volumen del prisma usaremos la fórmula de V:
V = √3 / 4 × a 2 × h = √3 / 4 × 10 2 × 7,11 = 307,87 cm 3
Así, para realizar el prisma descrito, necesitarás unos 308 cm 3 de vidrio.
Tarea
Encuentra el área de un prisma triangular regular., cuyo lado de base mide 6 cm y su altura es de 10 cm.Solución.
El área de un triángulo regular en la base de un prisma se encuentra mediante la fórmula:
Tenemos en cuenta la primera fórmula.
Según las condiciones del problema, a = 6 cm de donde S = √3 / 4 * 36 = 9√3
Como un prisma triangular regular tiene dos bases, el área de las bases será igual a
9√3 * 2 = 18√3
El área de cada cara será igual a 6 * 10 = 60, y como son tres caras, entonces 60 * 3 = 180
Así, la superficie total del prisma será igual a 180 + 18√3 ≈ 211,18 cm2.
Respuesta: 180 + 18√3 ≈ 211,18
Tarea
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El lado de la base de un prisma triangular regular es igual a A , la superficie lateral es igual a la suma de las bases. Encuentra el volumen del prisma.. Solución. Como el prisma es triangular, hay tres caras laterales, por lo que el área de la superficie lateral se puede encontrar usando la Fórmula 1 El prisma tiene dos bases, por lo que su área es igual a dos áreas de un triángulo equilátero de lado a. Fórmula 2 Según las condiciones del problema, son iguales (Fórmula 3) Expresemos la altura del prisma a partir de la igualdad resultante (Fórmula 4) Sustituyamos la expresión resultante en la fórmula del volumen del prisma y encontremos la respuesta (Fórmula 5) |
El lado de la base del prisma tricutáneo regular es antiguo. A , la superficie es igual al tamaño de la suma de las bases. Conozca nuestro prisma. Rishennya. Los fragmentos del prisma son triangulares, luego hay tres caras laterales, por lo que el área de la superficie lateral se puede encontrar usando la Fórmula 1 Hay dos bases en el prisma, por lo que sus áreas son iguales a las dos áreas del tricubo equilátero de lado a. Fórmula 2 En mi opinión, el hedor del río (Fórmula 3) Virazimo de los celos que le salieron, la altura del prisma (Fórmula 4) Imaginemos la expresión que salió de la fórmula del prisma y conocemos la confirmación (Fórmula 5) |
Las figuras geométricas en el espacio son objeto de estudio de la estereometría, cuyo curso realizan los escolares de secundaria. Este artículo está dedicado a un poliedro tan perfecto como un prisma. Echemos un vistazo más de cerca a las propiedades de un prisma y presentemos fórmulas que sirvan para describirlas cuantitativamente.
¿Qué es esto? ¿Un prisma?
Todo el mundo imagina cómo es un paralelepípedo o un cubo. Ambas figuras son prismas. Sin embargo, la clase de prismas es mucho más diversa. En geometría, a esta figura se le da la siguiente definición: un prisma es cualquier poliedro en el espacio que está formado por dos lados poligonales paralelos e idénticos y varios paralelogramos. Los bordes paralelos idénticos de una figura se llaman bases (superior e inferior). Los paralelogramos son las caras laterales de una figura que conectan los lados de la base entre sí.
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Si la base está representada por un n-gon, donde n es un número entero, entonces la figura constará de 2+n caras, 2*n vértices y 3*n aristas. Las caras y las aristas pertenecen a uno de dos tipos: pertenecen a la superficie lateral o a las bases. En cuanto a los vértices, todos son iguales y se relacionan con las bases del prisma.
Tipos de figuras de la clase que se estudia.
Al estudiar las propiedades de un prisma, conviene enumerar los posibles tipos de esta figura:
- Convexo y cóncavo. La diferencia entre ellos es la forma de la base poligonal. Si es cóncava, una figura tridimensional también lo será y viceversa.
- Recto e inclinado. Un prisma recto tiene caras laterales que son rectángulos o cuadrados. En una figura inclinada, las caras laterales son paralelogramos del tipo general o rombos.
- Mal y bien. Para que la figura que se estudia sea correcta debe ser recta y tener la base correcta. Un ejemplo de esto último son figuras planas como un triángulo o cuadrado equilátero.
El nombre del prisma se forma teniendo en cuenta la clasificación enumerada. Por ejemplo, el paralelepípedo con ángulos rectos o un cubo mencionado anteriormente se llama prisma cuadrangular regular. Los prismas regulares, debido a su alta simetría, son convenientes para estudiar. Sus propiedades se expresan en forma de fórmulas matemáticas específicas.
Área del prisma
Cuando consideramos una propiedad de un prisma como su área, nos referimos al área total de todas sus caras. La forma más sencilla de imaginar este valor es desenvolver la figura, es decir, colocar todas las caras en un plano. La siguiente figura muestra un ejemplo del desarrollo de dos prismas.
Para un prisma arbitrario, la fórmula para su área de desarrollo se puede escribir en forma general de la siguiente manera:
S = 2*So + b*Psr.
Expliquemos la notación. El valor So es el área de una base, b es la longitud del borde lateral, Psr es el perímetro del corte, que es perpendicular a los paralelogramos laterales de la figura.
La fórmula escrita se utiliza a menudo para determinar las áreas de prismas inclinados. En el caso de un prisma regular, la expresión para S adoptará una forma específica:
S = n/2*a2*ctg(pi/n) + n*b*a .
El primer término de la expresión representa el área de las dos bases de un prisma regular, el segundo término es el área de los rectángulos laterales. Aquí a es la longitud del lado de un n-gon regular. Tenga en cuenta que la longitud del borde lateral b de un prisma regular también es su altura h, por lo que en la fórmula b se puede reemplazar por h.
¿Cómo calcular el volumen de una figura?
Un prisma es un poliedro relativamente simple con alta simetría. Por tanto, para determinar su volumen existe una fórmula muy sencilla. Se parece a esto:
Calcular el área de la base y la altura puede resultar difícil cuando se considera una figura irregular inclinada. Este problema se resuelve mediante análisis geométrico secuencial utilizando información sobre los ángulos diédricos entre los paralelogramos laterales y la base.
Si el prisma es correcto, entonces la fórmula para V adopta una forma muy específica:
V = n/4*a2*ctg(pi/n)*h.
Como puede ver, el área S y el volumen V de un prisma regular se determinan de forma única si se conocen sus dos parámetros lineales.
Prisma triangular regular
Completemos el artículo considerando las propiedades de un prisma triangular regular. Está formado por cinco caras, tres de las cuales son rectángulos (cuadrados) y dos son triángulos equiláteros. El prisma tiene seis vértices y nueve aristas. Para este prisma, las fórmulas de volumen y área de superficie se escriben a continuación:
S3 = √3/2*a2 + 3*h*a
V3 = √3/4*a2*h.
Además de estas propiedades, también es útil dar una fórmula para la apotema de la base de la figura, que representa la altura ha de un triángulo equilátero:
Los lados del prisma son rectángulos idénticos. Las longitudes de sus diagonales d son iguales:
d = √(a2 + h2).
El conocimiento de las propiedades geométricas de un prisma triangular tiene un interés no sólo teórico, sino también práctico. El caso es que esta figura, fabricada en vidrio óptico, se utiliza para estudiar el espectro de emisión de los cuerpos.
Al pasar a través de un prisma de vidrio, la luz se descompone en varios colores componentes como resultado del fenómeno de dispersión, lo que crea las condiciones para estudiar la composición espectral del flujo electromagnético.