Los números nod y nok son el máximo común divisor y el mínimo común múltiplo de varios números. "Enteros. Signos de divisibilidad. GCD y NOC
Encontrar el máximo común divisor de tres o más números se puede reducir a encontrar secuencialmente el mcd de dos números. Mencionamos esto al estudiar las propiedades de GCD. Allí formulamos y demostramos el teorema: el máximo común divisor de varios números. un 1 , un 2 , ..., un k igual al numero dk, que se encuentra mediante cálculo secuencial MCD(a 1 , a 2)=d 2, MCD(d 2 , a 3)=d 3, MCD(d 3 , a 4)=d 4, …,MCD(d k-1 , a k)=d k.
Veamos cómo se ve el proceso de encontrar el mcd de varios números mirando la solución del ejemplo.
Ejemplo.
Encuentra el máximo común divisor de cuatro números. 78 , 294 , 570 Y 36 .
Solución.
En este ejemplo un 1 = 78, un 2 = 294, 3 = 570, un 4 = 36.
Primero, usando el algoritmo euclidiano, determinamos el máximo común divisor. re 2 primeros dos números 78 Y 294 . Al dividir obtenemos las igualdades. 294=78 3+60; 78=60 1+18;60=18·3+6 Y 18=6·3. De este modo, d 2 =MCD(78, 294)=6.
Ahora calculemos d 3 =MCD(d 2, a 3)=MCD(6, 570). Usemos nuevamente el algoritmo euclidiano: 570=6·95, por eso, d 3 =MCD(6, 570)=6.
queda por calcular d 4 =MCD(d 3, a 4)=MCD(6, 36). Porque 36 dividido por 6 , Eso d 4 =MCD(6, 36)=6.
Por tanto, el máximo común divisor de los cuatro números dados es igual a re 4 = 6, eso es, MCD(78, 294, 570, 36)=6.
Respuesta:
MCD(78, 294, 570, 36)=6.
Factorizar números en factores primos también le permite calcular el mcd de tres o más números. En este caso, el máximo común divisor se encuentra como el producto de todos los factores primos comunes de los números dados.
Ejemplo.
Calcula el mcd de los números del ejemplo anterior usando sus factorizaciones primas.
Solución.
Analicemos los números 78 , 294 , 570 Y 36 por factores primos obtenemos 78=2·3·13,294=2·3·7·7, 570=2 3 5 19, 36=2·2·3·3. Los factores primos comunes de todos los cuatro números dados son los números. 2 Y 3 . Por eso, MCD(78, 294, 570, 36)=2·3=6.
Respuesta:
MCD(78, 294, 570, 36)=6.
Parte superior de la página
Encontrar MCD de números negativos
Si uno, varios o todos los números cuyo máximo divisor se encuentra son números negativos, entonces su mcd es igual al máximo común divisor de los módulos de estos números. Esto se debe a que los números opuestos a Y −un tienen los mismos divisores, como comentamos al estudiar las propiedades de la divisibilidad.
Ejemplo.
Encuentra el mcd de números enteros negativos −231 Y −140 .
Solución.
El valor absoluto de un número. −231 es igual 231 , y el módulo del número −140 es igual 140 , Y MCD(−231, −140)=MCD(231, 140). El algoritmo euclidiano nos da las siguientes igualdades: 231=140 1+91; 140=91 1+49; 91=49 1+42; 49=42 1+7 Y 42=7 6. Por eso, MCD(231, 140)=7. Entonces el máximo común divisor deseado de números negativos es −231 Y −140 es igual 7 .
Respuesta:
MCD(−231, −140)=7.
Ejemplo.
Determinar el mcd de tres números. −585 , 81 Y −189 .
Solución.
Al encontrar el máximo común divisor, los números negativos se pueden reemplazar por sus valores absolutos, es decir, MCD(−585, 81, −189)=MCD(585, 81, 189). Expansiones numéricas 585 , 81 Y 189 en factores primos tienen la forma 585=3·3·5·13, 81=3·3·3·3 Y 189=3·3·3·7. Los factores primos comunes de estos tres números son 3 Y 3 . Entonces MCD(585, 81, 189)=3·3=9, por eso, MCD(−585, 81, −189)=9.
Respuesta:
MCD(−585, 81, −189)=9.
35. Raíces de un polinomio. Teorema de Bezout. (33 y más)
36. Raíces múltiples, criterio de multiplicidad de raíces.
El mínimo común múltiplo de dos números está directamente relacionado con el máximo común divisor de esos números. Este conexión entre GCD y NOC está determinada por el siguiente teorema.
Teorema.
El mínimo común múltiplo de dos enteros positivos a y b es igual al producto de a y b dividido por el máximo común divisor de a y b, es decir, MCM(a, b)=a b:MCD(a, b).
Prueba.
Dejar M es algún múltiplo de los números a y b. Es decir, M es divisible por a, y según la definición de divisibilidad, existe algún número entero k tal que la igualdad M=a·k es verdadera. Pero M también es divisible por b, entonces a·k es divisible por b.
Denotemos mcd(a, b) como d. Entonces podemos escribir las igualdades a=a 1 ·d y b=b 1 ·d, y a 1 =a:d y b 1 =b:d serán números primos relativos. En consecuencia, la condición obtenida en el párrafo anterior de que a · k es divisible por b se puede reformular de la siguiente manera: a 1 · d · k se divide por b 1 · d , y esto, por propiedades de divisibilidad, equivale a la condición que a 1 · k es divisible por b 1 .
También es necesario escribir dos corolarios importantes del teorema considerado.
Los múltiplos comunes de dos números son iguales que los múltiplos de su mínimo común múltiplo.
De hecho, este es el caso, ya que cualquier múltiplo común de M de los números a y b está determinado por la igualdad M=LMK(a, b)·t para algún valor entero t.
El mínimo común múltiplo de los números positivos entre sí primos a y b es igual a su producto.
La razón de este hecho es bastante obvia. Dado que a y b son primos relativos, entonces mcd(a, b)=1, por lo tanto, MCD(a, b)=a b: MCD(a, b)=a b:1=a b.
Mínimo común múltiplo de tres o más números
Encontrar el mínimo común múltiplo de tres o más números se puede reducir a encontrar secuencialmente el MCM de dos números. Cómo se hace esto se indica en el siguiente teorema: a 1 , a 2 , …, a k coinciden con los múltiplos comunes de los números m k-1 y a k , por tanto, coinciden con los múltiplos comunes del número m k . Y dado que el múltiplo positivo más pequeño del número m k es el número m k en sí, entonces el múltiplo común más pequeño de los números a 1, a 2, ..., a k es m k.
Bibliografía.
- Vilenkin N.Ya. y otros Matemáticas. 6to grado: libro de texto para instituciones de educación general.
- Vinogradov I.M. Fundamentos de la teoría de números.
- Mikhelovich Sh.H. Teoría de los números.
- Kulikov L.Ya. y otros Colección de problemas de álgebra y teoría de números: Tutorial para estudiantes de física y matemáticas. especialidades de institutos pedagógicos.
Definición. El mayor número natural por el cual se dividen los números a y b sin resto se llama máximo común divisor (MCD) estos números.
Encontremos el máximo común divisor de los números 24 y 35.
Los divisores de 24 son los números 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24 y los divisores de 35 son los números 1, 5, 7, 35.
Vemos que los números 24 y 35 tienen un solo divisor común: el número 1. Estos números se llaman mutuamente primos.
Definición. Los números naturales se llaman mutuamente primos, si su máximo común divisor (MCD) es 1.
Máximo divisor común (MCD) se puede encontrar sin escribir todos los divisores de los números dados.
Factorizando los números 48 y 36, obtenemos:
48 = 2 * 2 * 2 * 2 * 3, 36 = 2 * 2 * 3 * 3.
De los factores incluidos en la expansión del primero de estos números, tachamos aquellos que no están incluidos en la expansión del segundo número (es decir, dos dos).
Los factores restantes son 2 * 2 * 3. Su producto es igual a 12. Este número es el máximo común divisor de los números 48 y 36. También se encuentra el máximo común divisor de tres o más números.
Encontrar máximo común divisor
2) de los factores incluidos en la expansión de uno de estos números, tachar los que no están incluidos en la expansión de otros números;
3) encuentra el producto de los factores restantes.
Si todos los números dados son divisibles por uno de ellos, entonces este número es máximo común divisor números dados.
Por ejemplo, el máximo común divisor de los números 15, 45, 75 y 180 es el número 15, ya que todos los demás números son divisibles por él: 45, 75 y 180.
Mínimo común múltiplo (MCM)
Definición. Mínimo común múltiplo (MCM) Los números naturales a y b son el número natural más pequeño que es múltiplo de a y b. El mínimo común múltiplo (MCM) de los números 75 y 60 se puede encontrar sin escribir los múltiplos de estos números seguidos. Para hacer esto, factoricemos 75 y 60 en factores primos: 75 = 3 * 5 * 5 y 60 = 2 * 2 * 3 * 5.
Anotamos los factores incluidos en la expansión del primero de estos números y les sumamos los factores que faltan 2 y 2 de la expansión del segundo número (es decir, combinamos los factores).
Obtenemos cinco factores 2 * 2 * 3 * 5 * 5, cuyo producto es 300. Este número es el mínimo común múltiplo de los números 75 y 60.
También encuentran el mínimo común múltiplo de tres o más números.
A encontrar el mínimo común múltiplo varios números naturales, necesitas:
1) factorizarlos en factores primos;
2) anotar los factores incluidos en la expansión de uno de los números;
3) agregarles los factores que faltan de las expansiones de los números restantes;
4) encuentre el producto de los factores resultantes.
Tenga en cuenta que si uno de estos números es divisible por todos los demás números, entonces este número es el mínimo común múltiplo de estos números.
Por ejemplo, el mínimo común múltiplo de los números 12, 15, 20 y 60 es 60 porque es divisible por todos esos números.
Pitágoras (siglo VI aC) y sus alumnos estudiaron la cuestión de la divisibilidad de los números. Llamaron número perfecto a un número igual a la suma de todos sus divisores (sin el número en sí). Por ejemplo, los números 6 (6 = 1 + 2 + 3), 28 (28 = 1 + 2 + 4 + 7 + 14) son perfectos. Los siguientes números perfectos son 496, 8128, 33 550 336. Los pitagóricos sólo conocían los primeros tres números perfectos. El cuarto, 8128, se hizo conocido en el siglo I. norte. mi. El quinto, 33.550.336, fue encontrado en el siglo XV. En 1983 ya se conocían 27 números perfectos. Pero los científicos aún no saben si existen números perfectos impares o si existe un número perfecto mayor.
El interés de los antiguos matemáticos por los números primos surge del hecho de que cualquier número es primo o puede representarse como un producto. números primos, es decir, los números primos son como ladrillos a partir de los cuales se construyen el resto de números naturales.
Probablemente hayas notado que los números primos en la serie de números naturales ocurren de manera desigual: en algunas partes de la serie hay más, en otras, menos. Pero cuanto más avanzamos en la serie numérica, menos comunes son los números primos. Surge la pregunta: ¿existe un último (mayor) número primo? El antiguo matemático griego Euclides (siglo III a. C.), en su libro "Elementos", que fue el principal libro de texto de matemáticas durante dos mil años, demostró que hay infinitos números primos, es decir, detrás de cada número primo hay un primo aún mayor. número.
Para encontrar números primos, otro matemático griego de la misma época, Eratóstenes, ideó este método. Escribió todos los números desde 1 hasta algún número, y luego tachó uno, que no es ni primo ni compuesto, luego tachó por uno todos los números que vienen después de 2 (números que son múltiplos de 2, es decir, 4, 6, 8, etc.). El primer número que quedó después del 2 fue el 3. Luego, después del dos, todos los números que venían después del 3 (números que eran múltiplos de 3, es decir, 6, 9, 12, etc.) fueron tachados. al final sólo quedaron sin cruzar los números primos.
Segundo número: b=
Separador de mil Sin separador de espacios "´
Resultado:
Máximo común divisor mcd( a,b)=6
Mínimo común múltiplo de MCM( a,b)=468
El mayor número natural que se puede dividir sin resto entre los números a y b se llama máximo común divisor(MCD) de estos números. Denotado por mcd(a,b), (a,b), mcd(a,b) o hcf(a,b).
Minimo común multiplo El MCM de dos números enteros a y b es el número natural más pequeño que es divisible por a y b sin resto. Denotado MCM(a,b), o mcm(a,b).
Los números enteros a y b se llaman mutuamente primos, si no tienen divisores comunes distintos de +1 y −1.
Máximo común divisor
Sean dos números positivos a 1 y a 2 1). Se requiere encontrar el divisor común de estos números, es decir encontrar tal número λ , que divide números a 1 y a 2 al mismo tiempo. Describamos el algoritmo.
1) En este artículo la palabra número se entenderá como un número entero.
Dejar a 1 ≥ a 2 y deja
Dónde metro 1 , a 3 son algunos números enteros, a 3 <a 2 (resto de la división a 1 por a 2 debería ser menos a 2).
pretendamos que λ divide a 1 y a 2 entonces λ divide metro 1 a 2 y λ divide a 1 −metro 1 a 2 =a 3 (Declaración 2 del artículo “Divisibilidad de números. Prueba de divisibilidad”). De ello se deduce que todo divisor común a 1 y a 2 es el divisor común a 2 y a 3. Lo contrario también es cierto si λ común divisor a 2 y a 3 entonces metro 1 a 2 y a 1 =metro 1 a 2 +a 3 también es divisible por λ . Por lo tanto el divisor común a 2 y a 3 también es un divisor común a 1 y a 2. Porque a 3 <a 2 ≤a 1, entonces podemos decir que la solución al problema de encontrar el divisor común de números a 1 y a 2 reducido al problema más simple de encontrar el divisor común de números a 2 y a 3 .
Si a 3 ≠0, entonces podemos dividir a 2 en a 3. Entonces
,
Dónde metro 1 y a 4 son algunos números enteros, ( a 4 restos de la división a 2 en a 3 (a 4 <a 3)). Por un razonamiento similar llegamos a la conclusión de que los divisores comunes de los números a 3 y a 4 coincide con divisores comunes de números. a 2 y a 3, y también con divisores comunes a 1 y a 2. Porque a 1 , a 2 , a 3 , a 4, ... son números que están en constante disminución, y como hay un número finito de enteros entre ellos a 2 y 0, luego en algún paso norte, resto de la división a n en a n+1 será igual a cero ( a norte+2 =0).
.
Cada divisor común λ números a 1 y a 2 también es divisor de números a 2 y a 3 , a 3 y a 4 , .... a norte y a norte+1. Lo contrario también es cierto, divisores comunes de números. a norte y a n+1 también son divisores de números a n-1 y a n , .... , a 2 y a 3 , a 1 y a 2. Pero el divisor común de los números. a norte y a n+1 es un número a n+1, porque a norte y a n+1 son divisibles por a n+1 (recuerda que a norte+2 =0). Por eso a n+1 también es divisor de números a 1 y a 2 .
Tenga en cuenta que el número a n+1 es el mayor divisor de números a norte y a n+1 , desde el mayor divisor a n+1 es en sí mismo a norte+1. Si a n+1 se puede representar como un producto de números enteros, entonces estos números también son divisores comunes de números a 1 y a 2. Número a n+1 se llama máximo común divisor números a 1 y a 2 .
Números a 1 y a 2 pueden ser números positivos o negativos. Si uno de los números es igual a cero, entonces el máximo común divisor de estos números será igual al valor absoluto del otro número. El máximo común divisor de números cero no está definido.
El algoritmo anterior se llama algoritmo euclidiano para encontrar el máximo común divisor de dos números enteros.
Un ejemplo de cómo encontrar el máximo común divisor de dos números.
Encuentra el máximo común divisor de dos números 630 y 434.
- Paso 1. Divide el número 630 entre 434. El resto es 196.
- Paso 2. Divide el número 434 entre 196. El resto es 42.
- Paso 3. Divide el número 196 entre 42. El resto es 28.
- Paso 4. Divide el número 42 entre 28. El resto es 14.
- Paso 5. Divide el número 28 entre 14. El resto es 0.
En el paso 5, el resto de la división es 0. Por lo tanto, el máximo común divisor de los números 630 y 434 es 14. Ten en cuenta que los números 2 y 7 también son divisores de los números 630 y 434.
números coprimos
Definición 1. Sea el máximo común divisor de los números. a 1 y a 2 es igual a uno. Entonces estos números se llaman números coprimos, al no tener divisor común.
Teorema 1. Si a 1 y a 2 números coprimos, y λ algún número, luego cualquier divisor común de números λa 1 y a 2 también es un divisor común de números. λ Y a 2 .
Prueba. Considere el algoritmo euclidiano para encontrar el máximo común divisor de números. a 1 y a 2 (ver arriba).
.
De las condiciones del teorema se deduce que el máximo común divisor de los números a 1 y a 2 y por lo tanto a norte y a n+1 es 1. Es decir a norte+1 =1.
Multipliquemos todas estas igualdades por λ , Entonces
.
Sea el divisor común a 1 λ Y a 2 si δ . Entonces δ se incluye como multiplicador en a 1 λ , metro 1 a 2 λ y en a 1 λ -metro 1 a 2 λ =a 3 λ (ver "Divisibilidad de números", Declaración 2). Más δ se incluye como multiplicador en a 2 λ Y metro 2 a 3 λ y, por tanto, es un factor a 2 λ -metro 2 a 3 λ =a 4 λ .
Razonando de esta manera, estamos convencidos de que δ se incluye como multiplicador en a norte-1 λ Y metro norte-1 a norte λ , y por lo tanto en a norte-1 λ −metro norte-1 a norte λ =a n+1 λ . Porque a n+1 =1, entonces δ se incluye como multiplicador en λ . Por lo tanto el número δ es el divisor común de los números λ Y a 2 .
Consideremos casos especiales del Teorema 1.
Consecuencia 1. Dejar a Y C Los números primos son relativamente b. Entonces su producto C.A es un número primo con respecto a b.
En realidad. Del teorema 1 C.A Y b tienen los mismos divisores comunes que C Y b. Pero los números C Y b relativamente simple, es decir tener un único divisor común 1. Entonces C.A Y b también tienen un único divisor común 1. Por lo tanto C.A Y b mutuamente simples.
Consecuencia 2. Dejar a Y b números coprimos y deja b divide Alaska. Entonces b divide y k.
En realidad. De la condición de aprobación Alaska Y b tener un divisor común b. En virtud del teorema 1, b debe ser un divisor común b Y k. Por eso b divide k.
El corolario 1 se puede generalizar.
Consecuencia 3. 1. Deja que los números a 1 , a 2 , a 3 , ..., a m son primos relativos al número b. Entonces a 1 a 2 , a 1 a 2 · a 3 , ..., a 1 a 2 a 3 ··· a m, el producto de estos números es primo con respecto al número b.
2. Tengamos dos filas de números.
tal que cada número de la primera serie es primo en razón de cada número de la segunda serie. Entonces el producto
Necesitas encontrar números que sean divisibles por cada uno de estos números.
Si un número es divisible por a 1, entonces tiene la forma sa 1 donde s algún número. Si q es el máximo común divisor de números a 1 y a 2, entonces
Dónde s 1 es algún número entero. Entonces
es mínimo común múltiplo de números a 1 y a 2 .
a 1 y a 2 son primos relativos, entonces el mínimo común múltiplo de los números a 1 y a 2:
Necesitamos encontrar el mínimo común múltiplo de estos números.
De lo anterior se deduce que cualquier múltiplo de números a 1 , a 2 , a 3 debe ser múltiplo de números ε Y a 3 y viceversa. Sea el mínimo común múltiplo de los números. ε Y a 3 si ε 1 . A continuación, múltiplos de números. a 1 , a 2 , a 3 , a 4 debe ser múltiplo de números ε 1 y a 4 . Sea el mínimo común múltiplo de los números. ε 1 y a 4 si ε 2. Así, descubrimos que todos los múltiplos de números. a 1 , a 2 , a 3 ,...,a m coincide con múltiplos de un cierto número ε n, que se llama mínimo común múltiplo de los números dados.
En el caso especial cuando los números a 1 , a 2 , a 3 ,...,a m son primos relativos, entonces el mínimo común múltiplo de los números a 1 , a 2, como se muestra arriba, tiene la forma (3). A continuación, desde a 3 primos en relación con los números a 1 , a 2 entonces a 3 numero primo a 1 · a 2 (Corolario 1). Significa el mínimo común múltiplo de números a 1 ,a 2 ,a 3 es un número a 1 · a 2 · a 3. Razonando de manera similar, llegamos a las siguientes afirmaciones.
Declaración 1. Mínimo común múltiplo de números coprimos a 1 , a 2 , a 3 ,...,a m es igual a su producto a 1 · a 2 · a 3 ··· a metro.
Declaración 2. Cualquier número que sea divisible por cada uno de los números coprimos. a 1 , a 2 , a 3 ,...,a m también es divisible por su producto a 1 · a 2 · a 3 ··· a metro.
El mayor número natural por el cual se dividen los números a y b sin resto se llama máximo común divisor estos números. Denota MCD(a, b).
Consideremos encontrar MCD usando el ejemplo de dos números naturales 18 y 60:
18 = 2×3×3
60 = 2 × 2 × 3 × 5
18 = 2×3×3
60 = 2 × 2 × 3 × 5
324 , 111 Y 432
Factoricemos los números en factores primos:
324 = 2 × 2 × 3 × 3 × 3 × 3
111 = 3×37
432 = 2 × 2 × 2 × 2 × 3 × 3 × 3
Tachando del primer número cuyos factores no están en el segundo y tercer número, obtenemos:
2 × 2 × 2 × 2 × 3 × 3 × 3 = 3
Como resultado, MCD( 324 , 111 , 432 )=3
Encontrar GCD usando el algoritmo euclidiano
La segunda forma de encontrar el máximo común divisor es usando algoritmo euclidiano. El algoritmo euclidiano es la forma más eficiente de encontrar MCD, al usarlo necesitas encontrar constantemente el resto de los números divisorios y aplicar fórmula de recurrencia.
Fórmula de recurrencia para GCD, MCD(a, b)=MCD(b, a mod b), donde a mod b es el resto de a dividido por b.
algoritmo de euclides
Ejemplo Encuentra el máximo común divisor de números. 7920 Y 594
Encontremos MCD( 7920 , 594 ) usando el algoritmo euclidiano, calcularemos el resto de la división usando una calculadora.
- 7920 módulo 594 = 7920 - 13 × 594 = 198
- 594 módulo 198 = 594 – 3 × 198 = 0
Como resultado, obtenemos MCD( 7920 , 594 ) = 198
Minimo común multiplo
Para encontrar un denominador común al sumar y restar fracciones con diferentes denominadores, necesitas saber y poder calcular. minimo común multiplo(NO ACEPTAR).
Un múltiplo del número “a” es un número que a su vez es divisible por el número “a” sin resto.
Números que son múltiplos de 8 (es decir, estos números son divisibles por 8 sin resto): estos son los números 16, 24, 32...
Múltiplos de 9: 18, 27, 36, 45…
Hay infinitos múltiplos de un número dado a, a diferencia de los divisores del mismo número. Hay un número finito de divisores.
El múltiplo común de dos números naturales es un número que es divisible por ambos números..
Minimo común multiplo(MCM) de dos o más números naturales es el número natural más pequeño que a su vez es divisible por cada uno de estos números.
Cómo encontrar NOC
LCM se puede encontrar y escribir de dos maneras.
La primera forma de encontrar el LOC.
Este método se suele utilizar para números pequeños.
- Anotamos en una línea los múltiplos de cada número hasta encontrar un múltiplo que sea igual para ambos números.
- El múltiplo del número “a” se denota con la letra mayúscula “K”.
Ejemplo. Encuentre MCM 6 y 8.
La segunda forma de encontrar el LOC.
Este método es conveniente para encontrar el MCM de tres o más números.
El número de factores idénticos en descomposiciones de números puede ser diferente.
MCM(24, 60) = 2 2 3 5 2
Respuesta: MCM (24, 60) = 120
También puedes formalizar la búsqueda del mínimo común múltiplo (MCM) de la siguiente manera. Encontremos el LOC (12, 16, 24).
24 = 2 2 2 3
Como vemos en la descomposición de números, todos los factores de 12 están incluidos en la descomposición de 24 (el mayor de los números), por lo que sumamos solo un 2 de la descomposición del número 16 al MCM.
MCM (12, 16, 24) = 2 2 2 3 2 = 48
Respuesta: MCM (12, 16, 24) = 48
Casos especiales de encontrar una NPL
Por ejemplo, MCM (60, 15) = 60
Como los números coprimos no tienen factores primos comunes, su mínimo común múltiplo es igual al producto de estos números.
En nuestro sitio web también puedes utilizar una calculadora especial para encontrar el mínimo común múltiplo en línea para comprobar tus cálculos.
Si un número natural es divisible sólo por 1 y por sí mismo, se llama primo.
Cualquier número natural siempre es divisible por 1 y por sí mismo.
El número 2 es el número primo más pequeño. Este es el único número primo par, el resto de números primos son impares.
Hay muchos números primos y el primero de ellos es el número 2. Sin embargo, no existe un último número primo. En la sección “Para estudiar” puedes descargar una tabla de números primos hasta 997.
Pero muchos números naturales también son divisibles por otros números naturales.
- el número 12 es divisible por 1, por 2, por 3, por 4, por 6, por 12;
- El número 36 es divisible por 1, por 2, por 3, por 4, por 6, por 12, por 18, por 36.
- descomponer los divisores de números en factores primos;
Los números por los cuales un número es divisible por un entero (para 12 son 1, 2, 3, 4, 6 y 12) se llaman divisores del número.
El divisor de un número natural a es un número natural que divide al número dado “a” sin resto.
Un número natural que tiene más de dos divisores se llama compuesto.
Tenga en cuenta que los números 12 y 36 tienen factores comunes. Estos números son: 1, 2, 3, 4, 6, 12. El máximo divisor de estos números es 12.
El divisor común de dos números dados “a” y “b” es el número por el cual se dividen ambos números dados “a” y “b” sin resto.
Máximo común divisor(MCD) de dos números dados “a” y “b” es el número más grande por el cual ambos números “a” y “b” son divisibles sin resto.
Brevemente, el máximo común divisor de los números “a” y “b” se escribe de la siguiente manera::
Ejemplo: mcd (12; 36) = 12.
Los divisores de números en el registro de solución se indican con la letra mayúscula "D".
Los números 7 y 9 tienen un solo divisor común: el número 1. Estos números se llaman números coprimos.
números coprimos- Estos son números naturales que tienen un solo divisor común: el número 1. Su mcd es 1.
Cómo encontrar el máximo común divisor
Para encontrar el mcd de dos o más números naturales necesitas:
Es conveniente escribir cálculos utilizando una barra vertical. A la izquierda de la línea primero escribimos el dividendo, a la derecha, el divisor. A continuación, en la columna de la izquierda anotamos los valores de los cocientes.
Expliquemoslo de inmediato con un ejemplo. Factoricemos los números 28 y 64 en factores primos.
- Destacamos los mismos factores primos en ambos números.
28 = 2 2 7
64 = 2 2 2 2 2 2
Encuentra el producto de factores primos idénticos y escribe la respuesta;
MCD (28; 64) = 2 2 = 4
Respuesta: MCD (28; 64) = 4
Puede formalizar la ubicación del GCD de dos maneras: en una columna (como se hizo arriba) o "en una fila".
La primera forma de escribir gcd
Calcula mcd 48 y 36.
MCD (48; 36) = 2 2 3 = 12
La segunda forma de escribir gcd.
Ahora escribamos la solución a la búsqueda de GCD en una línea. Calcula mcd 10 y 15.
En nuestro sitio de información también puede utilizar la ayuda en línea del máximo común divisor para comprobar sus cálculos.
Encontrar el mínimo común múltiplo, métodos, ejemplos de encontrar el MCM.
El material presentado a continuación es una continuación lógica de la teoría del artículo titulado MCM: mínimo común múltiplo, definición, ejemplos, conexión entre MCM y MCD. Aquí hablaremos de encontrar el mínimo común múltiplo (MCM), y prestaremos especial atención a la resolución de ejemplos. Primero, mostraremos cómo se calcula el MCM de dos números utilizando el MCD de estos números. A continuación, veremos cómo encontrar el mínimo común múltiplo factorizando números en factores primos. Después de esto, nos centraremos en encontrar el MCM de tres o más números y también prestaremos atención a calcular el MCM de números negativos.
Navegación de páginas.
Calcular el mínimo común múltiplo (LCM) mediante MCD
Una forma de encontrar el mínimo común múltiplo se basa en la relación entre MCM y MCD. La conexión existente entre MCM y MCD nos permite calcular el mínimo común múltiplo de dos enteros positivos a través de un máximo común divisor conocido. La fórmula correspondiente es MCM(a, b)=a b:MCD(a, b). Veamos ejemplos de cómo encontrar el MCM usando la fórmula dada.
Encuentra el mínimo común múltiplo de dos números 126 y 70.
En este ejemplo a=126, b=70. Usemos la conexión entre MCM y MCD, expresada por la fórmula MCM(a, b)=a·b:MCD(a, b) . Es decir, primero tenemos que encontrar el máximo común divisor de los números 70 y 126, después de lo cual podemos calcular el MCM de estos números usando la fórmula escrita.
Encontremos MCD(126, 70) usando el algoritmo euclidiano: 126=70·1+56, 70=56·1+14, 56=14·4, por lo tanto, MCD(126, 70)=14.
Ahora encontramos el mínimo común múltiplo requerido: MCM(126, 70)=126·70:MCD(126, 70)= 126·70:14=630.
¿A qué es igual MCM(68, 34)?
Dado que 68 es divisible por 34, entonces MCD(68, 34)=34. Ahora calculamos el mínimo común múltiplo: MCM(68, 34)=68·34:MCD(68, 34)= 68·34:34=68.
Tenga en cuenta que el ejemplo anterior se ajusta a la siguiente regla para encontrar el MCM para números enteros positivos a y b: si a es divisible por b, entonces el mínimo común múltiplo de estos números es a.
Encontrar el MCM factorizando números en factores primos
Otra forma de encontrar el mínimo común múltiplo se basa en factorizar números en factores primos. Si compones un producto de todos los factores primos de números dados y luego excluyes de este producto todos los factores primos comunes presentes en las descomposiciones de los números dados, entonces el producto resultante será igual al mínimo común múltiplo de los números dados. .
La regla establecida para encontrar el MCM se deriva de la igualdad LCM(a, b)=a·b:MCD(a, b) . De hecho, el producto de los números a y b es igual al producto de todos los factores involucrados en la expansión de los números a y b. A su vez, MCD(a, b) es igual al producto de todos los factores primos presentes simultáneamente en las expansiones de los números a y b (como se describe en la sección sobre cómo encontrar el MCD usando la expansión de números en factores primos).
Pongamos un ejemplo. Sepamos que 75=3·5·5 y 210=2·3·5·7. Compongamos el producto a partir de todos los factores de estas expansiones: 2·3·3·5·5·5·7 . Ahora de este producto excluimos todos los factores presentes tanto en la expansión del número 75 como en la expansión del número 210 (estos factores son 3 y 5), entonces el producto tomará la forma 2·3·5·5·7 . El valor de este producto es igual al mínimo común múltiplo de los números 75 y 210, es decir, MCM(75, 210)= 2·3·5·5·7=1050.
Factoriza los números 441 y 700 en factores primos y encuentra el mínimo común múltiplo de estos números.
Factoricemos los números 441 y 700 en factores primos: 
Obtenemos 441=3·3·7·7 y 700=2·2·5·5·7.
Ahora creemos un producto de todos los factores involucrados en la expansión de estos números: 2·2·3·3·5·5·7·7·7. Excluyamos de este producto todos los factores que están presentes simultáneamente en ambas expansiones (solo hay uno de esos factores: este es el número 7): 2·2·3·3·5·5·7·7. Por lo tanto, MCM(441, 700)=2·2·3·3·5·5·7·7=44 100.
NOC(441, 700)= 44 100 .
La regla para encontrar el MCM mediante la factorización de números en factores primos se puede formular de manera un poco diferente. Si los factores que faltan en la expansión del número b se suman a los factores de la expansión del número a, entonces el valor del producto resultante será igual al mínimo común múltiplo de los números a y b.
Por ejemplo, tomemos los mismos números 75 y 210, sus descomposiciones en factores primos son las siguientes: 75=3·5·5 y 210=2·3·5·7. A los factores 3, 5 y 5 del desarrollo del número 75 le sumamos los factores que faltan 2 y 7 del desarrollo del número 210, obtenemos el producto 2·3·5·5·7, cuyo valor es igual a MCM(75, 210).
Encuentra el mínimo común múltiplo de 84 y 648.
Primero obtenemos las descomposiciones de los números 84 y 648 en factores primos. Parecen 84=2·2·3·7 y 648=2·2·2·3·3·3·3. A los factores 2, 2, 3 y 7 de la expansión del número 84 le sumamos los factores faltantes 2, 3, 3 y 3 de la expansión del número 648, obtenemos el producto 2 2 2 3 3 3 3 7, que es igual a 4 536 . Por lo tanto, el mínimo común múltiplo deseado de 84 y 648 es 4536.
Encontrar el MCM de tres o más números
El mínimo común múltiplo de tres o más números se puede encontrar encontrando secuencialmente el MCM de dos números. Recordemos el teorema correspondiente, que proporciona una forma de encontrar el MCM de tres o más números.
Sean dados los números enteros positivos a 1 , a 2 , …, a k, el mínimo común múltiplo m k de estos números se encuentra calculando secuencialmente m 2 = MCM(a 1 , a 2), m 3 = MCM(m 2 , a 3) , … , m k = MCM(m k−1 , a k) .
Consideremos la aplicación de este teorema usando el ejemplo de encontrar el mínimo común múltiplo de cuatro números.
Encuentra el MCM de cuatro números 140, 9, 54 y 250.
Primero encontramos m 2 = MCM(a 1 , a 2) = MCM(140, 9) . Para ello, utilizando el algoritmo euclidiano, determinamos MCD(140, 9), tenemos 140=9·15+5, 9=5·1+4, 5=4·1+1, 4=1·4, por lo tanto, MCD(140, 9)=1, de donde MCM(140, 9)=140·9: MCD(140, 9)= 140·9:1=1,260. Es decir, m 2 = 1 260.
Ahora encontramos m 3 = MCM(m 2 , a 3) = MCM(1 260, 54). Calculémoslo mediante MCD(1 260, 54), que también determinamos mediante el algoritmo euclidiano: 1 260=54·23+18, 54=18·3. Entonces mcd(1,260, 54)=18, de donde mcd(1,260, 54)= 1,260·54:mcd(1,260, 54)= 1,260·54:18=3,780. Es decir, m 3 = 3 780.
Queda por encontrar m 4 = MCM(m 3 , a 4) = MCM(3 780, 250). Para hacer esto, encontramos MCD(3,780, 250) usando el algoritmo euclidiano: 3,780=250·15+30, 250=30·8+10, 30=10·3. Por lo tanto, MCD(3.780, 250)=10, de donde MCD(3.780, 250)= 3.780·250: MCD(3.780, 250)= 3.780·250:10=94.500. Es decir, m4 = 94.500.
Entonces, el mínimo común múltiplo de los cuatro números originales es 94,500.
MCM(140, 9, 54, 250)=94,500.
En muchos casos, es conveniente encontrar el mínimo común múltiplo de tres o más números usando factorizaciones primas de los números dados. En este caso, debes cumplir con la siguiente regla. El mínimo común múltiplo de varios números es igual al producto, el cual se compone de la siguiente manera: los factores faltantes del desarrollo del segundo número se suman a todos los factores del desarrollo del primer número, los factores faltantes del desarrollo del el tercer número se suma a los factores resultantes, y así sucesivamente.
Veamos un ejemplo de cómo encontrar el mínimo común múltiplo usando factorización prima.
Encuentra el mínimo común múltiplo de los cinco números 84, 6, 48, 7, 143.
Primero, obtenemos descomposiciones de estos números en factores primos: 84=2·2·3·7, 6=2·3, 48=2·2·2·2·3, 7 (7 es un número primo, coincide con su descomposición en factores primos) y 143=11·13.
Para encontrar el MCM de estos números, a los factores del primer número 84 (son 2, 2, 3 y 7), debes sumar los factores que faltan de la expansión del segundo número 6. La descomposición del número 6 no contiene factores faltantes, ya que tanto el 2 como el 3 ya están presentes en la descomposición del primer número 84. A continuación, a los factores 2, 2, 3 y 7 sumamos los factores que faltan 2 y 2 de la expansión del tercer número 48, obtenemos un conjunto de factores 2, 2, 2, 2, 3 y 7. No será necesario agregar multiplicadores a este conjunto en el siguiente paso, ya que 7 ya está contenido en él. Finalmente, a los factores 2, 2, 2, 2, 3 y 7 le sumamos los factores que faltan 11 y 13 de la expansión del número 143. Obtenemos el producto 2·2·2·2·3·7·11·13, que es igual a 48.048.
Por lo tanto, MCM(84, 6, 48, 7, 143)=48,048.
MCM(84, 6, 48, 7, 143)=48,048.
Encontrar el mínimo común múltiplo de números negativos
A veces hay tareas en las que es necesario encontrar el mínimo común múltiplo de números, entre los cuales uno, varios o todos los números son negativos. En estos casos, todos los números negativos deben ser reemplazados por sus números opuestos, y luego se debe encontrar el MCM de los números positivos. Esta es la forma de encontrar el MCM de números negativos. Por ejemplo, MCM(54, −34) = MCM(54, 34) y MCM(−622, −46, −54, −888) = MCM(622, 46, 54, 888).
Podemos hacer esto porque el conjunto de múltiplos de a es el mismo que el conjunto de múltiplos de −a (a y −a son números opuestos). De hecho, sea b un múltiplo de a, entonces b es divisible por a, y el concepto de divisibilidad establece la existencia de un número entero q tal que b=a·q. Pero también será cierta la igualdad b=(−a)·(−q), que por el mismo concepto de divisibilidad significa que b es divisible por −a, es decir, b es múltiplo de −a. Lo contrario también es cierto: si b es algún múltiplo de −a, entonces b también es múltiplo de a.
Encuentra el mínimo común múltiplo de números negativos −145 y −45.
Reemplacemos los números negativos −145 y −45 con sus números opuestos 145 y 45. Tenemos MCM(−145, −45) = MCM(145, 45) . Habiendo determinado MCD(145, 45)=5 (por ejemplo, usando el algoritmo euclidiano), calculamos MCD(145, 45)=145·45:MCD(145, 45)= 145·45:5=1 305. Por tanto, el mínimo común múltiplo de los números enteros negativos −145 y −45 es 1.305.
www.cleverstudents.ru
Seguimos estudiando la división. En esta lección veremos conceptos como MCD Y CON.
MCD es el máximo común divisor.
CON es el mínimo común múltiplo.
El tema es bastante aburrido, pero definitivamente debes entenderlo. Sin comprender este tema, no podrás trabajar eficazmente con fracciones, que son un verdadero obstáculo en matemáticas.
Máximo común divisor
Definición. Máximo común divisor de números a Y b a Y b dividido sin resto.
Para entender bien esta definición, sustituyamos las variables a Y b dos números cualesquiera, por ejemplo, en lugar de una variable a Sustituyamos el número 12, y en lugar de la variable b número 9. Ahora intentemos leer esta definición:
Máximo común divisor de números 12 Y 9 se llama el número más grande por el cual 12 Y 9 dividido sin resto.
De la definición se desprende claramente que estamos hablando del divisor común de los números 12 y 9, y este divisor es el mayor de todos los divisores existentes. Es necesario encontrar este máximo común divisor (MCD).
Para encontrar el máximo común divisor de dos números, se utilizan tres métodos. El primer método requiere bastante mano de obra, pero le permite comprender claramente la esencia del tema y sentir todo su significado.
El segundo y tercer método son bastante simples y permiten encontrar rápidamente un GCD. Analizaremos los tres métodos. Y usted elige cuál utilizar en la práctica.
El primer método consiste en encontrar todos los divisores posibles de dos números y elegir el mayor. Veamos este método usando el siguiente ejemplo: encontrar el máximo común divisor de los números 12 y 9.
Primero, encontraremos todos los divisores posibles del número 12. Para hacer esto, dividiremos 12 entre todos los divisores en el rango de 1 a 12. Si el divisor nos permite dividir 12 sin resto, entonces lo resaltaremos en azul y haga una explicación apropiada entre paréntesis.
12: 1 = 12
(12 se divide por 1 sin resto, lo que significa que 1 es divisor del número 12)
12: 2 = 6
(12 se divide por 2 sin resto, lo que significa que 2 es divisor del número 12)
12: 3 = 4
(12 se divide por 3 sin resto, lo que significa que 3 es divisor del número 12)
12: 4 = 3
(12 se divide entre 4 sin resto, lo que significa que 4 es divisor del número 12)
12: 5 = 2 (2 sobrantes)
(12 no se divide por 5 sin resto, lo que significa que 5 no es divisor del número 12)
12: 6 = 2
(12 se divide por 6 sin resto, lo que significa que 6 es divisor del número 12)
12: 7 = 1 (5 sobrantes)
(12 no se divide por 7 sin resto, lo que significa que 7 no es divisor del número 12)
12: 8 = 1 (4 sobrantes)
(12 no se divide entre 8 sin resto, lo que significa que 8 no es divisor de 12)
12: 9 = 1 (3 sobrantes)
(12 no se divide por 9 sin resto, lo que significa que 9 no es divisor del número 12)
12: 10 = 1 (2 sobrantes)
(12 no se divide por 10 sin resto, lo que significa que 10 no es divisor del número 12)
12: 11 = 1 (1 sobrante)
(12 no se divide por 11 sin resto, lo que significa que 11 no es divisor de 12)
12: 12 = 1
(12 se divide entre 12 sin resto, lo que significa que 12 es divisor del número 12)
Ahora busquemos los divisores del número 9. Para ello, verifica todos los divisores del 1 al 9.
9: 1 = 9
(9 se divide por 1 sin resto, lo que significa que 1 es divisor del número 9)
9: 2 = 4 (1 sobrante)
(9 no se divide por 2 sin resto, lo que significa que 2 no es divisor del número 9)
9: 3 = 3
(9 se divide por 3 sin resto, lo que significa que 3 es divisor del número 9)
9: 4 = 2 (1 sobrante)
(9 no se divide por 4 sin resto, lo que significa que 4 no es divisor del número 9)
9: 5 = 1 (4 sobrantes)
(9 no se divide por 5 sin resto, lo que significa que 5 no es divisor del número 9)
9: 6 = 1 (3 sobrantes)
(9 no se divide por 6 sin resto, lo que significa que 6 no es divisor del número 9)
9: 7 = 1 (sobran 2)
(9 no se divide por 7 sin resto, lo que significa que 7 no es divisor del número 9)
9: 8 = 1 (1 sobrante)
(9 no se divide por 8 sin resto, lo que significa que 8 no es divisor del número 9)
9: 9 = 1
(9 se divide entre 9 sin resto, lo que significa que 9 es divisor del número 9)
Ahora anotemos los divisores de ambos números. Los números resaltados en azul son divisores. Anotémoslos:
Al escribir los divisores, puede determinar inmediatamente cuál es el más grande y el más común.
Por definición, el máximo común divisor de los números 12 y 9 es el número que divide a 12 y 9 sin resto. El mayor y común divisor de los números 12 y 9 es el número 3.
Tanto el número 12 como el número 9 son divisibles por 3 sin resto:
Entonces mcd (12 y 9) = 3
La segunda forma de encontrar GCD
Ahora veamos el segundo método para encontrar el máximo común divisor. La esencia de este método es descomponer ambos números en factores primos y multiplicar los comunes.
Ejemplo 1. Encuentra el mcd de los números 24 y 18
Primero, factoricemos ambos números en factores primos:
Ahora multipliquemos sus factores comunes. Para evitar confusiones, se pueden enfatizar los factores comunes.
Observamos el desarrollo del número 24. Su primer factor es 2. Buscamos el mismo factor en el desarrollo del número 18 y vemos que está ahí también. Destacamos ambos dos:
Volvemos a mirar el desarrollo del número 24. Su segundo factor también es 2. Buscamos el mismo factor en el desarrollo del número 18 y vemos que por segunda vez ya no está. Entonces no enfatizamos nada.
Los dos siguientes en la expansión del número 24 también están ausentes en la expansión del número 18.
Pasemos al último factor en la expansión del número 24. Este es el factor 3. Buscamos el mismo factor en la expansión del número 18 y vemos que también está ahí. Destacamos ambos tres:
Entonces, los factores comunes de los números 24 y 18 son los factores 2 y 3. Para obtener MCD, estos factores deben multiplicarse:
Entonces mcd (24 y 18) = 6
La tercera forma de encontrar GCD
Ahora veamos la tercera forma de encontrar el máximo común divisor. La esencia de este método es que los números que se encuentran para el máximo común divisor se descomponen en factores primos. Luego, de la expansión del primer número, se tachan los factores que no están incluidos en la expansión del segundo número. Los números restantes de la primera expansión se multiplican y se obtiene MCD.
Por ejemplo, encontremos MCD para los números 28 y 16 usando este método. En primer lugar, descomponemos estos números en factores primos:
Tenemos dos expansiones: y
Ahora de la descomposición del primer número eliminaremos los factores que no están incluidos en la descomposición del segundo número. La ampliación del segundo número no incluye siete. Tachémoslo de la primera expansión:
Ahora multiplicamos los factores restantes y obtenemos MCD:
El número 4 es el máximo común divisor de los números 28 y 16. Ambos números son divisibles por 4 sin resto:
Ejemplo 2. Encuentra el mcd de los números 100 y 40
Factorizando el número 100
Factorizando el número 40
Tenemos dos expansiones:
Ahora de la descomposición del primer número eliminaremos los factores que no están incluidos en la descomposición del segundo número. La expansión del segundo número no incluye un cinco (solo hay un cinco). Tachémoslo de la primera expansión.
Multipliquemos los números restantes:
Recibimos la respuesta 20. Esto significa que el número 20 es el máximo común divisor de los números 100 y 40. Estos dos números son divisibles por 20 sin resto:
MCD (100 y 40) = 20.
Ejemplo 3. Encuentra el mcd de los números 72 y 128
Factorizando el número 72
Factorizando el número 128
2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2
Ahora de la descomposición del primer número eliminaremos los factores que no están incluidos en la descomposición del segundo número. La expansión del segundo número no incluye dos trillizos (no están allí en absoluto). Tachémoslos de la primera expansión:
Recibimos la respuesta 8. Esto significa que el número 8 es el máximo común divisor de los números 72 y 128. Estos dos números son divisibles por 8 sin resto:
MCD (72 y 128) = 8
Encontrar MCD para varios números
El máximo común divisor se puede encontrar para varios números, no solo para dos. Para hacer esto, los números que se deben encontrar para el máximo común divisor se descomponen en factores primos y luego se calcula el producto de los factores primos comunes de estos números.
Por ejemplo, encontremos MCD para los números 18, 24 y 36.
Factoricemos el número 18.
Factoricemos el número 24.
Factoricemos el número 36
Tenemos tres expansiones:
Ahora resaltemos y subrayemos los factores comunes en estos números. Los factores comunes deben aparecer en los tres números:
Vemos que los factores comunes de los números 18, 24 y 36 son los factores 2 y 3. Multiplicando estos factores obtenemos el mcd que buscamos:
Recibimos la respuesta 6. Esto significa que el número 6 es el máximo común divisor de los números 18, 24 y 36. Estos tres números son divisibles por 6 sin resto:
MCD (18, 24 y 36) = 6
Ejemplo 2. Encuentra MCD para los números 12, 24, 36 y 42
Factoricemos cada número en factores primos. Luego encontramos el producto de los factores comunes de estos números.
Factoricemos el número 12.
Factoricemos el número 42.
Tenemos cuatro expansiones:
Ahora resaltemos y subrayemos los factores comunes en estos números. Los factores comunes deben aparecer en los cuatro números:
Vemos que los factores comunes de los números 12, 24, 36 y 42 son los factores de 2 y 3. Multiplicando estos factores obtenemos el mcd que buscamos:
Recibimos la respuesta 6. Esto significa que el número 6 es el máximo común divisor de los números 12, 24, 36 y 42. Estos números son divisibles por 6 sin resto:
MCD (12, 24, 36 y 42) = 6
De la lección anterior sabemos que si un número se divide por otro sin resto, se llama múltiplo de este número.
Resulta que varios números pueden tener un múltiplo común. Y ahora nos interesará el múltiplo de dos números, y debería ser lo más pequeño posible.
Definición. Mínimo común múltiplo (MCM) de números a Y b- a Y b a y numero b.
La definición contiene dos variables. a Y b. Sustituyamos dos números cualesquiera en lugar de estas variables. Por ejemplo, en lugar de una variable a Sustituyamos el número 9, y en lugar de la variable b Sustituyamos el número 12. Ahora intentemos leer la definición:
Mínimo común múltiplo (MCM) de números 9 Y 12 - es el número más pequeño que es múltiplo de 9 Y 12 . En otras palabras, este es un número tan pequeño que es divisible sin resto por el número 9 y por numero 12 .
De la definición se desprende claramente que el MCM es el número más pequeño que es divisible sin resto entre 9 y 12. Es necesario encontrar este MCM.
Para encontrar el mínimo común múltiplo (MCM), puedes utilizar dos métodos. La primera forma es escribir los primeros múltiplos de dos números y luego elegir entre estos múltiplos un número que sea común a ambos números y pequeño. Apliquemos este método.
En primer lugar, encontremos los primeros múltiplos del número 9. Para encontrar los múltiplos de 9, debes multiplicar este nueve uno por uno por los números del 1 al 9. Las respuestas resultantes serán múltiplos del número 9. Entonces, vamos a empezar. Destacaremos los múltiplos en rojo:
Ahora encontramos los múltiplos del número 12. Para ello, multiplicamos el 12 uno a uno por todos los números del 1 al 12.