ஒரு பிரமிட்டின் மூலைகளைக் கண்டறிதல். ஒரு வழக்கமான முக்கோணப் பிரமிடில் அடித்தளத்தின் ஒரு பக்கத்தை சமமாக, விளிம்புகளுக்கு இடையே உள்ள கோணங்கள். விளிம்புகளுக்கு இடையே உள்ள கோணம் என்ன?

நான் சுருக்கமாக சொல்கிறேன். இரண்டு நேர் கோடுகளுக்கு இடையே உள்ள கோணம் அவற்றின் திசை திசையன்களுக்கு இடையே உள்ள கோணத்திற்கு சமம். எனவே, திசை திசையன்கள் a = (x 1; y 1; z 1) மற்றும் b = (x 2; y 2; z 2) ஆகியவற்றின் ஆயங்களை நீங்கள் கண்டுபிடிக்க முடிந்தால், நீங்கள் கோணத்தைக் கண்டறியலாம். இன்னும் துல்லியமாக, சூத்திரத்தின்படி கோணத்தின் கொசைன்:

குறிப்பிட்ட எடுத்துக்காட்டுகளைப் பயன்படுத்தி இந்த சூத்திரம் எவ்வாறு செயல்படுகிறது என்பதைப் பார்ப்போம்:

பணி. ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 கனசதுரத்தில், E மற்றும் F புள்ளிகள் குறிக்கப்பட்டுள்ளன - முறையே A 1 B 1 மற்றும் B 1 C 1 விளிம்புகளின் நடுப்புள்ளிகள். AE மற்றும் BF கோடுகளுக்கு இடையே உள்ள கோணத்தைக் கண்டறியவும்.

கனசதுரத்தின் விளிம்பு குறிப்பிடப்படாததால், AB = 1 ஐ அமைப்போம். நாங்கள் ஒரு நிலையான ஒருங்கிணைப்பு அமைப்பை அறிமுகப்படுத்துகிறோம்: தோற்றம் A புள்ளியில் உள்ளது, x, y, z அச்சுகள் முறையே AB, AD மற்றும் AA 1 உடன் இயக்கப்படுகின்றன. யூனிட் பிரிவு AB = 1 க்கு சமம். இப்போது நமது வரிகளுக்கான திசை திசையன்களின் ஆயத்தொலைவுகளைக் கண்டுபிடிப்போம்.

திசையன் AE இன் ஆயத்தொலைவுகளைக் கண்டுபிடிப்போம். இதற்கு A = (0; 0; 0) மற்றும் E = (0.5; 0; 1) புள்ளிகள் தேவை. புள்ளி E என்பது A 1 B 1 பிரிவின் நடுப்பகுதி என்பதால், அதன் ஆயத்தொலைவுகள் முனைகளின் ஆய எண்கணித சராசரிக்கு சமமாக இருக்கும். திசையன் AE இன் தோற்றம் ஒருங்கிணைப்புகளின் தோற்றத்துடன் ஒத்துப்போகிறது, எனவே AE = (0.5; 0; 1).

இப்போது BF வெக்டரைப் பார்ப்போம். இதேபோல், B = (1; 0; 0) மற்றும் F = (1; 0.5; 1) புள்ளிகளை நாங்கள் பகுப்பாய்வு செய்கிறோம், ஏனெனில் F என்பது B 1 C 1 பிரிவின் நடுப்பகுதி. எங்களிடம் உள்ளது:
BF = (1 - 1; 0.5 - 0; 1 - 0) = (0; 0.5; 1).

எனவே, திசை திசையன்கள் தயாராக உள்ளன. நேர் கோடுகளுக்கு இடையே உள்ள கோணத்தின் கோசைன் திசை திசையன்களுக்கு இடையே உள்ள கோணத்தின் கோசைன் ஆகும், எனவே எங்களிடம் உள்ளது:

பணி. ஒரு வழக்கமான முக்கோண ப்ரிஸம் ABCA 1 B 1 C 1 இல், அனைத்து விளிம்புகளும் 1 க்கு சமமாக இருக்கும், D மற்றும் E புள்ளிகள் குறிக்கப்படுகின்றன - முறையே A 1 B 1 மற்றும் B 1 C 1 விளிம்புகளின் நடுப்புள்ளிகள். AD மற்றும் BE கோடுகளுக்கு இடையே உள்ள கோணத்தைக் கண்டறியவும்.

ஒரு நிலையான ஒருங்கிணைப்பு அமைப்பை அறிமுகப்படுத்துவோம்: தோற்றம் A புள்ளியில் உள்ளது, x அச்சு AB, z - AA 1 உடன் இயக்கப்படுகிறது. OXY விமானம் ABC விமானத்துடன் ஒத்துப்போகும் வகையில் y- அச்சை இயக்குவோம். அலகு பிரிவு AB = 1 க்கு சமம். தேவையான கோடுகளுக்கான திசை திசையன்களின் ஆயத்தொகுப்புகளைக் கண்டுபிடிப்போம்.

முதலில், திசையன் AD இன் ஆயத்தொலைவுகளைக் கண்டுபிடிப்போம். புள்ளிகளைக் கவனியுங்கள்: A = (0; 0; 0) மற்றும் D = (0.5; 0; 1), ஏனெனில் D - A 1 B 1 பிரிவின் நடுப்பகுதி. திசையன் AD இன் ஆரம்பம் ஆயத்தொலைவுகளின் தோற்றத்துடன் ஒத்துப்போவதால், நாம் AD = (0.5; 0; 1) ஐப் பெறுகிறோம்.

இப்போது திசையன் BE இன் ஆயத்தொலைவுகளைக் கண்டுபிடிப்போம். புள்ளி B = (1; 0; 0) கணக்கிட எளிதானது. புள்ளி E உடன் - C 1 B 1 பிரிவின் நடுப்பகுதி - இது இன்னும் கொஞ்சம் சிக்கலானது. எங்களிடம் உள்ளது:

கோணத்தின் கோசைனைக் கண்டுபிடிக்க இது உள்ளது:

பணி. ஒரு வழக்கமான அறுகோண ப்ரிஸத்தில் ABCDEFA 1 B 1 C 1 D 1 E 1 F 1 , இதன் அனைத்து விளிம்புகளும் 1 க்கு சமமாக இருக்கும், K மற்றும் L புள்ளிகள் முறையே A 1 B 1 மற்றும் B 1 C 1 விளிம்புகளின் நடுப்புள்ளிகள் குறிக்கப்படுகின்றன. . AK மற்றும் BL கோடுகளுக்கு இடையே உள்ள கோணத்தைக் கண்டறியவும்.

ஒரு ப்ரிஸத்திற்கான நிலையான ஒருங்கிணைப்பு அமைப்பை அறிமுகப்படுத்துவோம்: கீழ் தளத்தின் மையத்தில் ஆயத்தொலைவுகளின் தோற்றத்தை வைக்கிறோம், x அச்சு FC வழியாக இயக்கப்படுகிறது, y அச்சு AB மற்றும் DE மற்றும் z பிரிவுகளின் நடுப்புள்ளிகள் வழியாக இயக்கப்படுகிறது. அச்சு செங்குத்தாக மேல்நோக்கி இயக்கப்படுகிறது. யூனிட் பிரிவு மீண்டும் AB = 1 க்கு சமம். நமக்கு ஆர்வமுள்ள புள்ளிகளின் ஆயங்களை எழுதுவோம்:

புள்ளிகள் K மற்றும் L ஆகியவை முறையே A 1 B 1 மற்றும் B 1 C 1 பிரிவுகளின் நடுப்புள்ளிகள் ஆகும், எனவே அவற்றின் ஆய எண்கணித சராசரி மூலம் கண்டறியப்படுகிறது. புள்ளிகளை அறிந்தால், திசை திசையன்களான AK மற்றும் BL இன் ஆயங்களை நாங்கள் காண்கிறோம்:

இப்போது கோணத்தின் கோசைனைக் கண்டுபிடிப்போம்:

பணி. ஒரு வழக்கமான நாற்கர பிரமிடு SABCD இல், அதன் அனைத்து விளிம்புகளும் 1 க்கு சமமாக இருக்கும், E மற்றும் F புள்ளிகள் குறிக்கப்படுகின்றன - முறையே SB மற்றும் SC பக்கங்களின் நடுப்புள்ளிகள். AE மற்றும் BF கோடுகளுக்கு இடையே உள்ள கோணத்தைக் கண்டறியவும்.

ஒரு நிலையான ஒருங்கிணைப்பு அமைப்பை அறிமுகப்படுத்துவோம்: தோற்றம் புள்ளி A இல் உள்ளது, x மற்றும் y அச்சுகள் முறையே AB மற்றும் AD உடன் இயக்கப்படுகின்றன, மேலும் z அச்சு செங்குத்தாக மேல்நோக்கி இயக்கப்படுகிறது. அலகு பிரிவு AB = 1 க்கு சமம்.

புள்ளிகள் E மற்றும் F ஆகியவை முறையே SB மற்றும் SC பிரிவுகளின் நடுப்புள்ளிகளாகும், எனவே அவற்றின் ஆய எண்கள் எண்கணித சராசரியாகக் காணப்படுகின்றன. எங்களுக்கு ஆர்வமுள்ள புள்ளிகளின் ஆயங்களை எழுதுவோம்:
A = (0; 0; 0); பி = (1; 0; 0)

புள்ளிகளை அறிந்து, திசை திசையன்களான AE மற்றும் BF இன் ஆயத்தொலைவுகளைக் காண்கிறோம்:

திசையன் AE இன் ஆயத்தொலைவுகள் புள்ளி E இன் ஆயத்தொலைவுகளுடன் ஒத்துப்போகின்றன, ஏனெனில் புள்ளி A என்பது தோற்றம். கோணத்தின் கோசைனைக் கண்டுபிடிக்க இது உள்ளது:

பணி

தீர்வு.

அடித்தளத்தின் விமானத்திற்கு விலா எலும்புகளின் சாய்வின் கோணத்தைக் கண்டுபிடிப்போம்.
ஒரு வழக்கமான பிரமிட்டின் அடிப்பகுதியில் ஒரு வழக்கமான நாற்கரம் இருப்பதால், இந்த விஷயத்தில், அது ஒரு சதுரம். பிரமிட்டின் உயரம் அடித்தளத்தின் மையத்திற்கு திட்டமிடப்பட்டிருப்பதால், இது மூலைவிட்டங்களின் குறுக்குவெட்டு புள்ளியாகும். KN = a/2 எங்கிருந்து வருகிறது?

முக்கோணம் OKN செவ்வகமானது, சரி என்பது 3a க்கு சமமான உயரம்.
KNO என்ற கோணத்தின் தொடுகைக் கண்டுபிடிப்போம், அதை α எனக் குறிப்பிடுகிறோம்.

Tg α = சரி / KN
tg α = 3a / (a/2) = 6
α = ஆர்க்டான் 6 ≈ 80.5377°

பிரமிட்டின் விளிம்பின் சாய்வின் கோணத்தைக் கண்டுபிடிப்போம்.
a பக்கத்துடன் கூடிய சதுரத்தின் மூலைவிட்டமானது a√2க்கு சமம். அடித்தளத்தின் மையத்திற்கு உயரம் திட்டமிடப்பட்டிருப்பதால், இந்த இடத்தில் மூலைவிட்டங்கள் பாதியாக பிரிக்கப்படுகின்றன.

எனவே, ஒரு செங்கோண முக்கோண OKC க்கு, KCO கோணத்தின் தொடுகோடு (நாம் அதை β எனக் குறிப்பிடுகிறோம்) சமம்

Tg β = சரி / KC
tg β = 3a / (a√2/2) = 6 / √2
β = ஆர்க்டான் 6/√2 ≈ 76.7373°

பதில்: முகங்களின் சாய்வின் கோணம் arctg 6 ≈ 80.5377°; விலா எலும்புகளின் சாய்வின் கோணம் arctg 6/√2 ≈ 76.7373°

விமானம் ВСE (படம்.) விளிம்பில் AS க்கு செங்குத்தாக பக்க ВС வழியாக வரையப்பட்டது. பக்கவாட்டு முகங்களுக்கு இடையே உள்ள இருமுனை கோணங்கள் (அவை அனைத்தும் சமம்) கோணம் BEC = மூலம் அளவிடப்படுகிறது. φ . முக்கோண எடை ஐசோசெல்ஸ் ஆகும்.

பிரிவு பகுதி S மற்றும் கோணத்தை தீர்மானிக்க φ , DE (D என்பது BC யின் நடுப்பகுதி) கண்டுபிடித்தால் போதும். இதைச் செய்ய, BS ஐ வரிசையாகக் காண்கிறோம் (BSD முக்கோணத்திலிருந்து, BD = அ / 2 மற்றும் ∠BSD = α / 2 ).

பின்னர் BE (முக்கோண BSE இலிருந்து, ∠BSE = α ) மற்றும் இறுதியாக DE=√BE 2 -BD 2 . நாம் பெறுகிறோம்

குறிப்பு 1 . உச்சி S இல் உள்ள விமானக் கோணங்களின் கூட்டுத்தொகை எப்போதும் 360°க்கும் குறைவாகவே இருக்கும். எனவே 0<α <120°. При этом условии 2cos α / 2 > 1, அதாவது, சமன்பாடு எப்போதும் ஒரு தீர்வு உள்ளது.

குறிப்பு 2 . என்றால் α >90°, அதாவது பக்க முகத்தின் உச்சியில் உள்ள கோணம் ASB மழுங்கலாக உள்ளது, பின்னர் ASB முக்கோணத்தின் உயரம் BE அடிப்பகுதியின் தொடர்ச்சியை வெட்டும், மற்றும் விமானம் BEC பிரமிட்டின் எந்தப் பகுதியையும் கொடுக்காது. இதற்கிடையில் சூத்திரம்

மற்றும் ஒரு மழுங்கிய கோணத்தில் α (120°க்கும் குறைவானது, குறிப்பு 1ஐப் பார்க்கவும்) S இன் குறிப்பிட்ட மதிப்பைக் கொடுக்கும்.

பதில்: φ = 2 ஆர்க் சின் (1/2 நொடி α / 2 );

இதே போன்ற உதாரணங்கள்:

பிரமிட்டின் அடிப்பகுதியில் ஒரு செவ்வகம் உள்ளது. பக்க முகங்களில் ஒன்று ஐசோசெல்ஸ் முக்கோணத்தின் வடிவத்தைக் கொண்டுள்ளது மற்றும் அடித்தளத்திற்கு செங்குத்தாக உள்ளது; மற்ற முகத்தில், முதல் முகத்திற்கு எதிரே, சமமாக பக்கவாட்டு விளிம்புகள் உள்ளன பி , தங்களுக்கு இடையே 2 கோணத்தை உருவாக்குங்கள் α மற்றும் ஒரு கோணத்தில் முதல் முகத்தில் சாய்ந்திருக்கும் α . பிரமிட்டின் அளவு மற்றும் சுட்டிக்காட்டப்பட்ட இரண்டு முகங்களுக்கு இடையிலான கோணத்தை தீர்மானிக்கவும்.