இயற்கணிதப் பின்னங்களின் பெருக்கல் ஒரு இருபக்கத்தின் வர்க்கமாகும். சுருக்கமான பெருக்கல் சூத்திரங்கள். மாற்றங்கள் இல்லாமல் பின்னங்களைச் சேர்க்க முடியாது

இந்த கட்டுரையில் நாம் பார்ப்போம் இயற்கணித பின்னங்களுடன் அடிப்படை செயல்பாடுகள்:

• பின்னங்களைக் குறைத்தல்
• பின்னங்களை பெருக்குதல்
• பிரிக்கும் பின்னங்கள்

ஆரம்பிப்போம் இயற்கணித பின்னங்களின் குறைப்பு.

என்று தோன்றும், அல்காரிதம்வெளிப்படையானது.

செய்ய இயற்கணித பின்னங்களைக் குறைக்கவும், வேண்டும்

1. பின்னத்தின் எண் மற்றும் வகுப்பின் காரணி.

2. சம காரணிகளைக் குறைக்கவும்.

இருப்பினும், பள்ளி குழந்தைகள் பெரும்பாலும் "குறைப்பதில்" தவறு செய்கிறார்கள் காரணிகள் அல்ல, ஆனால் விதிமுறைகள். எடுத்துக்காட்டாக, பின்னங்களை "குறைத்து" அதன் விளைவாக பெறும் அமெச்சூர்கள் உள்ளனர், இது உண்மையல்ல.

எடுத்துக்காட்டுகளைப் பார்ப்போம்:

1. பகுதியைக் குறைத்தல்:

1. தொகையின் வர்க்கத்தின் சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்தி எண்ணையும், சதுரங்களின் வேறுபாட்டின் சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்தி வகுப்பையும் காரணியாக்குவோம்.

2. எண் மற்றும் வகுப்பை வகுக்கவும்

2. பகுதியைக் குறைத்தல்:

1. எண்ணை காரணியாக்குவோம். எண் நான்கு சொற்களைக் கொண்டிருப்பதால், நாங்கள் குழுவாக்கத்தைப் பயன்படுத்துகிறோம்.

2. வகுப்பினை காரணியாக்குவோம். நாம் குழுவாகவும் பயன்படுத்தலாம்.

3. நமக்குக் கிடைத்த பின்னத்தை எழுதி, அதே காரணிகளைக் குறைப்போம்:

இயற்கணித பின்னங்களை பெருக்குதல்.

இயற்கணிதப் பின்னங்களைப் பெருக்கும் போது, ​​நாம் எண்ணை எண்ணால் பெருக்குகிறோம், மேலும் வகுப்பினால் வகுப்பினைப் பெருக்குகிறோம்.

முக்கியமான!ஒரு பின்னத்தின் எண் மற்றும் வகுப்பினைப் பெருக்க அவசரப்பட வேண்டிய அவசியமில்லை. எண்களில் உள்ள பின்னங்களின் எண்களின் பெருக்கத்தையும், வகுப்பில் உள்ள வகுப்பின் பலனையும் எழுதி முடித்த பிறகு, ஒவ்வொரு காரணியையும் காரணியாக்கி பின்னத்தை குறைக்க வேண்டும்.

எடுத்துக்காட்டுகளைப் பார்ப்போம்:

3. வெளிப்பாட்டை எளிமையாக்கு:

1. பின்னங்களின் பலனை எழுதுவோம்: எண்களில் எண்களின் பலன், மற்றும் வகுப்பில் வகுத்தல்களின் பலன்:

2. ஒவ்வொரு அடைப்புக்குறியையும் காரணியாக்குவோம்:

இப்போது நாம் அதே காரணிகளைக் குறைக்க வேண்டும். வெளிப்பாடுகள் மற்றும் அடையாளத்தில் மட்டுமே வேறுபடுகின்றன என்பதை நினைவில் கொள்க: முதல் வெளிப்பாட்டை இரண்டாவதாகப் பிரிப்பதன் விளைவாக -1 கிடைக்கும்.

அதனால்,

பின்வரும் விதியின்படி இயற்கணித பின்னங்களை பிரிக்கிறோம்:

அது ஒரு பகுதியால் வகுக்க, நீங்கள் "தலைகீழ்" ஒன்றால் பெருக்க வேண்டும்.

பிரிக்கும் பின்னங்கள் பெருக்கலுக்கு வருவதைக் காண்கிறோம், மற்றும் பெருக்கல் இறுதியில் பின்னங்களைக் குறைப்பதில் வருகிறது.

ஒரு உதாரணத்தைப் பார்ப்போம்:

4. வெளிப்பாட்டை எளிமையாக்கு:

சுருக்கமான வெளிப்பாடு சூத்திரங்கள் பெரும்பாலும் நடைமுறையில் பயன்படுத்தப்படுகின்றன, எனவே அவை அனைத்தையும் இதயத்தால் கற்றுக்கொள்வது நல்லது. இந்த தருணம் வரை, இது எங்களுக்கு உண்மையாக சேவை செய்யும், அதை எப்போதும் அச்சிட்டு உங்கள் கண்களுக்கு முன்பாக வைத்திருக்க பரிந்துரைக்கிறோம்:

சுருக்கமான பெருக்கல் சூத்திரங்களின் தொகுக்கப்பட்ட அட்டவணையில் இருந்து முதல் நான்கு சூத்திரங்கள், இரண்டு வெளிப்பாடுகளின் கூட்டுத்தொகை அல்லது வேறுபாட்டை சதுரம் மற்றும் கனசதுரமாக்க உங்களை அனுமதிக்கின்றன. ஐந்தாவது இரண்டு வெளிப்பாடுகளின் வேறுபாட்டையும் கூட்டுத்தொகையையும் சுருக்கமாகப் பெருக்கும் நோக்கம் கொண்டது. ஆறாவது மற்றும் ஏழாவது சூத்திரங்கள் a மற்றும் b ஆகிய இரண்டு வெளிப்பாடுகளின் கூட்டுத்தொகையை அவற்றின் முழுமையற்ற வேறுபாட்டின் வர்க்கத்தால் பெருக்கப் பயன்படுகின்றன (இதுதான் a 2 -a b+b 2 வடிவத்தின் வெளிப்பாடு அழைக்கப்படுகிறது) மற்றும் இரண்டின் வேறுபாடு வெளிப்பாடுகள் a மற்றும் b முறையே அவற்றின் கூட்டுத்தொகையின் முழுமையற்ற வர்க்கத்தால் (a 2 + a·b+b 2 )

அட்டவணையில் உள்ள ஒவ்வொரு சமத்துவமும் ஒரு அடையாளம் என்பதை தனித்தனியாகக் குறிப்பிடுவது மதிப்பு. சுருக்கமான பெருக்கல் சூத்திரங்கள் ஏன் சுருக்கமான பெருக்கல் அடையாளங்கள் என்றும் அழைக்கப்படுகின்றன என்பதை இது விளக்குகிறது.

உதாரணங்களைத் தீர்க்கும் போது, ​​குறிப்பாக பல்லுறுப்புக்கோவை காரணியாக்கப்பட்டால், FSU பெரும்பாலும் இடது மற்றும் வலது பக்கங்களை மாற்றியமைக்கும் வடிவத்தில் பயன்படுத்தப்படுகிறது:

அட்டவணையில் உள்ள கடைசி மூன்று அடையாளங்கள் அவற்றின் சொந்த பெயர்களைக் கொண்டுள்ளன. சூத்திரம் a 2 −b 2 =(a−b)·(a+b) எனப்படும் சதுர சூத்திரத்தின் வேறுபாடு, a 3 +b 3 =(a+b)·(a 2 −a·b+b 2) - க்யூப்ஸ் சூத்திரத்தின் கூட்டுத்தொகை, ஏ a 3 −b 3 =(a−b)·(a 2 +a·b+b 2) - க்யூப்ஸ் சூத்திரத்தின் வேறுபாடு. முந்தைய அட்டவணையிலிருந்து மறுசீரமைக்கப்பட்ட பகுதிகளுடன் தொடர்புடைய சூத்திரங்களுக்கு நாங்கள் பெயரிடவில்லை என்பதை நினைவில் கொள்ளவும்.

கூடுதல் சூத்திரங்கள்

சுருக்கமான பெருக்கல் சூத்திரங்களின் அட்டவணையில் இன்னும் சில அடையாளங்களைச் சேர்ப்பது வலிக்காது.

சுருக்கமான பெருக்கல் சூத்திரங்களைப் பயன்படுத்துவதற்கான பகுதிகள் (FSU) மற்றும் எடுத்துக்காட்டுகள்

சுருக்கமான பெருக்கல் சூத்திரங்களின் (fsu) முக்கிய நோக்கம் அவற்றின் பெயரால் விளக்கப்படுகிறது, அதாவது சுருக்கமாகப் பெருக்கும் வெளிப்பாடுகளைக் கொண்டுள்ளது. இருப்பினும், FSU இன் பயன்பாட்டின் நோக்கம் மிகவும் விரிவானது, மேலும் இது குறுகிய பெருக்கத்திற்கு மட்டுப்படுத்தப்படவில்லை. முக்கிய திசைகளை பட்டியலிடுவோம்.

சந்தேகத்திற்கு இடமின்றி, சுருக்கமான பெருக்கல் சூத்திரத்தின் மையப் பயன்பாடு வெளிப்பாடுகளின் ஒரே மாதிரியான மாற்றங்களைச் செய்வதில் கண்டறியப்பட்டது. பெரும்பாலும் இந்த சூத்திரங்கள் செயல்பாட்டில் பயன்படுத்தப்படுகின்றன எளிமைப்படுத்தும் வெளிப்பாடுகள்.

உதாரணமாக.

9·y−(1+3·y) 2 என்ற வெளிப்பாட்டை எளிமைப்படுத்தவும்.

தீர்வு.

இந்த வெளிப்பாட்டில், ஸ்கொரிங் சுருக்கமாக செய்யப்படலாம், எங்களிடம் உள்ளது 9 y−(1+3 y) 2 =9 y−(1 2 +2 1 3 y+(3 y) 2). எஞ்சியிருப்பது அடைப்புக்குறிகளைத் திறந்து ஒத்த சொற்களைக் கொண்டுவருவதுதான்: 9 y−(1 2 +2 1 3 y+(3 y) 2)= 9·y−1−6·y−9·y 2 =3·y−1−9·y 2.

இந்த பாடம் இயற்கணித பின்னங்களை போன்ற பிரிவுகளுடன் கூட்டல் மற்றும் கழித்தல் ஆகியவற்றை உள்ளடக்கும். பொதுவான பின்னங்களை போன்ற பிரிவுகளுடன் எப்படி கூட்டுவது மற்றும் கழிப்பது என்பது எங்களுக்கு ஏற்கனவே தெரியும். இயற்கணித பின்னங்கள் அதே விதிகளைப் பின்பற்றுகின்றன என்று மாறிவிடும். இயற்கணித பின்னங்களுடன் எவ்வாறு வேலை செய்வது என்பதைக் கற்றுக்கொள்வதற்கான அடிப்படைக் கற்களில் ஒன்று போன்ற பிரிவுகளைக் கொண்ட பின்னங்களுடன் வேலை செய்யக் கற்றுக்கொள்வது. குறிப்பாக, இந்தத் தலைப்பைப் புரிந்துகொள்வது மிகவும் சிக்கலான தலைப்பில் தேர்ச்சி பெறுவதை எளிதாக்கும் - வெவ்வேறு பிரிவுகளுடன் பின்னங்களைக் கூட்டுதல் மற்றும் கழித்தல். பாடத்தின் ஒரு பகுதியாக, இயற்கணித பின்னங்களை போன்ற பிரிவுகளுடன் கூட்டுவதற்கும் கழிப்பதற்கும் விதிகளைப் படிப்போம், மேலும் பல பொதுவான எடுத்துக்காட்டுகளையும் பகுப்பாய்வு செய்வோம்.

இயற்கணித பின்னங்களை போன்ற வகுப்பினருடன் கூட்டுவதற்கும் கழிப்பதற்கும் விதி

Sfor-mu-li-ru-em pra-vi-lo slo-zhe-niya (you-chi-ta-niya) al-geb-ra-i-che-skih ffractions from one-on-to-you-mi know-me-na-te-la-mi (இது சாதாரண ஷாட்-பீட்களுக்கான ஒத்த விதியுடன் ஒத்துப்போகிறது): அதாவது அல்-கெப்-ரா-ஐ-சே-ஸ்கி பின்னங்களை ஒன்றுக்கு-உங்களுக்குக் கூட்டுதல் அல்லது கணக்கிடுதல் அறிதல்-மீ-ஆன்-தி-லா-மை அவசியமானது -ஹோ-டி-மோ-தொகுப்பு எண்களின் தொடர்புடைய அல்-கெப்-ரா-இ-செ-சம், மற்றும் சைன்-மீ-நா-டெல் எதுவும் இல்லாமல் விடுங்கள்.

சாதாரண வென்-டிராக்கள் மற்றும் அல்-கெப்-ரா-இ-சே-டிராவின் உதாரணத்திற்கு இந்த விதியை நாங்கள் புரிந்துகொள்கிறோம்.

சாதாரண பின்னங்களுக்கு விதியைப் பயன்படுத்துவதற்கான எடுத்துக்காட்டுகள்

எடுத்துக்காட்டு 1. பின்னங்களைச் சேர்: .

தீர்வு

பின்னங்களின் எண்ணிக்கையைச் சேர்த்து, அடையாளத்தை அப்படியே விடுவோம். இதற்குப் பிறகு, எண்ணை சிதைத்து, எளிய பெருக்கல்கள் மற்றும் சேர்க்கைகளில் உள்நுழைகிறோம். அதைப் பெறுவோம்: .

குறிப்பு: பின்வரும் சாத்தியமான தீர்வில் -klu-cha-et-sya க்கான, ஒத்த வகை உதாரணங்களைத் தீர்க்கும்போது அனுமதிக்கப்படும் நிலையான பிழை: . இது ஒரு பெரிய தவறு, ஏனெனில் இந்த அடையாளம் அசல் பின்னங்களில் இருந்ததைப் போலவே உள்ளது.

எடுத்துக்காட்டு 2. பின்னங்களைச் சேர்: .

தீர்வு

இது முந்தையதை விட எந்த வகையிலும் வேறுபட்டதல்ல: .

இயற்கணித பின்னங்களுக்கு விதியைப் பயன்படுத்துவதற்கான எடுத்துக்காட்டுகள்

சாதாரண ட்ரோ-பீட்களில் இருந்து, நாங்கள் அல்-கெப்-ரா-இ-சே-ஸ்கிமுக்கு செல்கிறோம்.

எடுத்துக்காட்டு 3. பின்னங்களைச் சேர்: .

தீர்வு: ஏற்கனவே மேலே குறிப்பிட்டுள்ளபடி, அல்-கெப்-ரா-ஐ-சே-பின்னங்களின் கலவை வழக்கமான ஷாட்-ஃபைட்கள் போன்ற வார்த்தையிலிருந்து எந்த வகையிலும் வேறுபட்டதல்ல. எனவே, தீர்வு முறை ஒன்றே: .

எடுத்துக்காட்டு 4. நீங்கள் பின்னம்: .

தீர்வு

அல்-கெப்-ரா-ஐ-சே-ஸ்கிஹ் பின்னங்களின் யூ-சி-தா-நியே, பை-சை-வா-எட்-ஸ்யா எண்ணில் பயன்படுத்தப்பட்ட பின்னங்களின் எண்ணிக்கையில் உள்ள வித்தியாசம் மட்டுமே. அதனால் தான் .

எடுத்துக்காட்டு 5. நீங்கள் பின்னம்: .

தீர்வு: .

எடுத்துக்காட்டு 6. எளிமையாக்கு: .

தீர்வு: .

விதியைப் பயன்படுத்துவதற்கான எடுத்துக்காட்டுகள், அதைத் தொடர்ந்து குறைப்பு

கூட்டு அல்லது கணக்கீடு விளைவாக அதே பொருள் கொண்ட ஒரு பின்னத்தில், சேர்க்கைகள் சாத்தியம் நியா. கூடுதலாக, அல்-கெப்-ரா-ஐ-சே-ஸ்கி பின்னங்களின் ODZ பற்றி நீங்கள் மறந்துவிடக் கூடாது.

எடுத்துக்காட்டு 7. எளிமையாக்கு: .

தீர்வு: .

இதில் . பொதுவாக, ஆரம்ப பின்னங்களின் ODZ மொத்தத்தின் ODZ உடன் இணைந்தால், அதைத் தவிர்க்கலாம் (எல்லாவற்றிற்கும் மேலாக, பின்னம் பதிலில் உள்ளது, தொடர்புடைய குறிப்பிடத்தக்க மாற்றங்களுடன் இருக்காது). ஆனால் பயன்படுத்திய பின்னங்களின் ODZ மற்றும் பதில் பொருந்தவில்லை என்றால், ODZ ஐக் குறிப்பிட வேண்டும்.

எடுத்துக்காட்டு 8. எளிமைப்படுத்து: .

தீர்வு: . அதே நேரத்தில், y (ஆரம்ப பின்னங்களின் ODZ முடிவின் ODZ உடன் ஒத்துப்போவதில்லை).

வெவ்வேறு பிரிவுகளுடன் பின்னங்களைச் சேர்த்தல் மற்றும் கழித்தல்

அல்-கெப்-ரா-ஐ-சே-பிராக்சன்களை வெவ்வேறு அறி-மீ-ஆன்-தி-லா-மியுடன் சேர்க்க மற்றும் படிக்க, நாங்கள் சாதாரண-வென்-நி பின்னங்களுடன் அனா-லோ-கியூ செய்து அதை அல்-கெபிற்கு மாற்றுவோம். -ரா-இ-சே-பின்னங்கள்.

சாதாரண பின்னங்களுக்கு எளிமையான உதாரணத்தைப் பார்ப்போம்.

எடுத்துக்காட்டு 1.பின்னங்களைச் சேர்: .

தீர்வு:

பின்னங்களைச் சேர்ப்பதற்கான விதிகளை நினைவில் கொள்வோம். ஒரு பகுதியுடன் தொடங்க, அதை ஒரு பொதுவான அடையாளத்திற்கு கொண்டு வருவது அவசியம். சாதாரண பின்னங்களுக்கான பொதுவான அடையாளத்தின் பாத்திரத்தில், நீங்கள் செயல்படுகிறீர்கள் மீச்சிறு பொது(NOK) ஆரம்ப அறிகுறிகள்.

வரையறை

மிகச்சிறிய எண், அதே நேரத்தில் எண்களாக பிரிக்கப்பட்டுள்ளது மற்றும்.

NOC ஐக் கண்டுபிடிக்க, நீங்கள் அறிவை எளிய தொகுப்புகளாக உடைக்க வேண்டும், பின்னர் இரண்டு அறிகுறிகளின் பிரிவிலும் சேர்க்கப்பட்டுள்ள பலவற்றைத் தேர்ந்தெடுக்கவும்.

; . எண்களின் LCM இரண்டு இரண்டு மற்றும் இரண்டு மூன்று ஆகியவற்றைக் கொண்டிருக்க வேண்டும்: .

பொது அறிவைக் கண்டறிந்த பிறகு, ஒவ்வொரு பின்னமும் ஒரு முழுமையான பன்மடங்கு குடியிருப்பைக் கண்டுபிடிப்பது அவசியம் (உண்மையில், பொதுவான அடையாளத்தை தொடர்புடைய பின்னத்தின் அடையாளத்தில் ஊற்றுவது).

பின்னர் ஒவ்வொரு பின்னமும் அரை-முழு காரணியால் பெருக்கப்படுகிறது. உங்களுக்குத் தெரிந்தவற்றிலிருந்து சில பின்னங்களைப் பெறுவோம், அவற்றைச் சேர்த்து அவற்றைப் படிப்போம் - முந்தைய பாடங்களில் படித்தது.

சாப்பிடலாம்: .

பதில்:.

இப்போது அல்-கெப்-ரா-இ-சே-பின்னங்களின் கலவையை வெவ்வேறு அடையாளங்களுடன் பார்க்கலாம். இப்போது பின்னங்களைப் பார்த்து, ஏதேனும் எண்கள் உள்ளதா என்று பார்ப்போம்.

வெவ்வேறு பிரிவுகளுடன் இயற்கணித பின்னங்களைச் சேர்த்தல் மற்றும் கழித்தல்

எடுத்துக்காட்டு 2.பின்னங்களைச் சேர்: .

தீர்வு:

அல்-கோ-ரிதம் ஆஃப்-சோ-லியுட்-ஆனால் முந்தைய உதாரணத்திற்கு அனா-லோ-கி-சென். கொடுக்கப்பட்ட பின்னங்களின் பொதுவான அடையாளத்தை எடுத்துக்கொள்வது எளிது: மேலும் அவை ஒவ்வொன்றிற்கும் கூடுதல் பெருக்கிகள்.

.

பதில்:.

எனவே, உருவாக்குவோம் அல்-கோ-ரிதம் கூட்டல் மற்றும் பல்வேறு அறிகுறிகளுடன் அல்-கெப்-ரா-இ-சே-ஸ்கி பின்னங்களின் கணக்கீடு:

1. பின்னத்தின் சிறிய பொதுவான அடையாளத்தைக் கண்டறியவும்.

2. ஒவ்வொரு பின்னத்திற்கும் கூடுதல் பெருக்கிகளைக் கண்டறியவும் (உண்மையில், அடையாளத்தின் பொதுவான அடையாளம் -வது பின்னம் கொடுக்கப்பட்டுள்ளது).

3. தொடர்புடைய வரை-முழுப் பெருக்கல்களில் பல எண்கள் வரை.

4. சிறு சிறு சேர்த்தல்களைப் பயன்படுத்தி பின்னங்களைச் சேர்க்கவும் அல்லது கணக்கிடவும் மற்றும் அதே அறிவைக் கொண்டு பின்னங்களைக் கணக்கிடுதல் -me-na-te-la-mi.

இப்போது பின்னங்களுடன் ஒரு உதாரணத்தைப் பார்ப்போம், அதன் அடையாளத்தில் நீங்கள் -னியா என்ற எழுத்துக்கள் உள்ளன.

வெளிப்படையாக, இவை எந்த ஏழாம் வகுப்பு மாணவரும் நினைவில் கொள்ள வேண்டிய சூத்திரங்கள். பள்ளி அளவில் கூட இயற்கணிதத்தைப் படிப்பது சாத்தியமற்றது மற்றும் சதுரங்களின் வேறுபாட்டிற்கான சூத்திரம் அல்லது ஒரு தொகையின் வர்க்கம் என்று தெரியவில்லை. இயற்கணித வெளிப்பாடுகளை எளிதாக்கும் போது, ​​பின்னங்களைக் குறைக்கும் போது அவை எல்லா நேரங்களிலும் தோன்றும், மேலும் எண்கணித கணக்கீடுகளுக்கு கூட உதவலாம். சரி, எடுத்துக்காட்டாக, நீங்கள் உங்கள் தலையில் கணக்கிட வேண்டும்: 3.16 2 - 2 3.16 1.16 + 1.16 2. நீங்கள் அதைத் தலைகீழாகக் கணக்கிடத் தொடங்கினால், அது நீளமாகவும் சலிப்பாகவும் மாறும், ஆனால் நீங்கள் ஸ்கொயர் வேற்றுமை சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்தினால், 2 வினாடிகளில் பதில் கிடைக்கும்!

எனவே, அனைவரும் தெரிந்து கொள்ள வேண்டிய "பள்ளி" இயற்கணிதத்தின் ஏழு சூத்திரங்கள்:

பெயர்	சூத்திரம்
தொகையின் சதுரம்	(A + B) 2 = A 2 + 2AB + B 2
சதுர வேறுபாடு	(A - B) 2 = A 2 - 2AB + B 2
சதுரங்களின் வேறுபாடு	(A - B)(A + B) = A 2 - B 2
தொகையின் கனசதுரம்	(A + B) 3 = A 3 + 3A 2 B + 3AB 2 + B 3
வேறுபாடு கன சதுரம்	(A - B) 3 = A 3 - 3A 2 B + 3AB 2 - B 3
க்யூப்ஸ் தொகை	A 3 + B 3 = (A + B)(A 2 - AB + B 2)
க்யூப்ஸ் வேறுபாடு	A 3 - B 3 = (A - B)(A 2 + AB + B 2)

தயவுசெய்து கவனிக்கவும்: சதுரங்களின் கூட்டுத்தொகைக்கு சூத்திரம் இல்லை! உங்கள் கற்பனையை வெகுதூரம் செல்ல விடாதீர்கள்.

இந்த சூத்திரங்கள் அனைத்தையும் நினைவில் வைத்துக் கொள்ள எளிதான வழி எது? சரி, சில ஒப்புமைகளைப் பார்ப்போம். எடுத்துக்காட்டாக, வர்க்கத் தொகைக்கான சூத்திரம் வர்க்க வேறுபாட்டிற்கான சூத்திரத்தைப் போன்றது (வேறுபாடு ஒரு அடையாளத்தில் மட்டுமே உள்ளது), மேலும் தொகையின் கனசதுரத்திற்கான சூத்திரம் வேறுபாட்டின் கனசதுரத்திற்கான சூத்திரத்தைப் போன்றது. மேலும், கனசதுரங்களின் வேறுபாடு மற்றும் கனசதுரங்களின் கூட்டுத்தொகைக்கான சூத்திரங்களில், கூட்டுத்தொகையின் வர்க்கம் மற்றும் வேறுபாட்டின் வர்க்கம் (குணம் 2 மட்டும் இல்லை) போன்ற ஒன்றைக் காண்கிறோம்.

ஆனால் இந்த சூத்திரங்கள் (மற்றவை போல!) நடைமுறையில் சிறப்பாக நினைவில் வைக்கப்படுகின்றன. இயற்கணித வெளிப்பாடுகளை எளிதாக்குவதற்கான கூடுதல் எடுத்துக்காட்டுகளைத் தீர்க்கவும், மேலும் அனைத்து சூத்திரங்களும் தாங்களாகவே நினைவில் வைக்கப்படும்.

ஆர்வமுள்ள மாணவர்கள் முன்வைக்கப்பட்ட உண்மைகளை சுருக்கமாகக் கூற ஆர்வமாக இருக்கலாம். எடுத்துக்காட்டாக, ஒரு தொகையின் சதுரம் மற்றும் கனசதுரத்திற்கான சூத்திரங்கள் உள்ளன. (A + B) 4, (A + B) 5 மற்றும் கூட (A + B) n போன்ற வெளிப்பாடுகளைக் கருத்தில் கொண்டால், n என்பது தன்னிச்சையான இயற்கை எண்ணாக இருக்கும். இங்கே எந்த மாதிரியையும் பார்க்க முடியுமா?

ஆம், அத்தகைய முறை உள்ளது. (A + B) n வடிவத்தின் வெளிப்பாடு நியூட்டனின் இருசொல் எனப்படும். ஆர்வமுள்ள பள்ளி மாணவர்கள் (A + B) 4 மற்றும் (A + B) 5 க்கான சூத்திரங்களைத் தாங்களே கழிக்க பரிந்துரைக்கிறேன், பின்னர் பொதுச் சட்டத்தைப் பார்க்க முயற்சிக்கவும்: எடுத்துக்காட்டாக, தொடர்புடைய இருமத்தின் அளவு மற்றும் ஒவ்வொன்றின் பட்டத்தையும் ஒப்பிடுக. அடைப்புக்குறிகளைத் திறப்பதன் மூலம் பெறப்படும் விதிமுறைகள்; ஒரு பைனோமியலின் அளவை சொற்களின் எண்ணிக்கையுடன் ஒப்பிடுக; குணகங்களில் வடிவங்களைக் கண்டறிய முயற்சிக்கவும். இந்த தலைப்பை நாங்கள் இப்போது ஆராய மாட்டோம் (இதற்கு ஒரு தனி உரையாடல் தேவை!), ஆனால் முடிக்கப்பட்ட முடிவை மட்டுமே எழுதுவோம்:

(A + B) n = A n + C n 1 A n-1 B + C n 2 A n-2 B 2 + ... + C n k A n-k B k + ... + B n .

இங்கே C n k = n!/(k! (n-k)!).

நான் உங்களுக்கு நினைவூட்டுகிறேன் n! - இது 1 2 ... n - 1 முதல் n வரையிலான அனைத்து இயற்கை எண்களின் பெருக்கமாகும். இந்த வெளிப்பாடு அழைக்கப்படுகிறது n இன் காரணி. உதாரணமாக, 4! = 1 2 3 4 = 24. பூஜ்ஜியத்தின் காரணியானது ஒன்றுக்கு சமமாகக் கருதப்படுகிறது!

சதுரங்களின் வேறுபாடு, கனசதுரங்களின் வேறுபாடு போன்றவற்றைப் பற்றி என்ன சொல்ல முடியும்? இங்கே ஏதாவது மாதிரி இருக்கிறதா? A n - B n க்கு பொதுவான சூத்திரம் கொடுக்க முடியுமா?

ஆமாம் உன்னால் முடியும். இதோ சூத்திரம்:

A n - B n = (A - B)(A n-1 + A n-2 B + A n-3 B 2 + ... + B n-1).

மேலும், அதற்காக ஒற்றைப்படைடிகிரி n கூட்டுத்தொகைக்கு ஒத்த சூத்திரம் உள்ளது:

A n + B n = (A + B)(A n-1 - A n-2 B + A n-3 B 2 - ... + B n-1).

இந்த சூத்திரங்களை நாங்கள் இப்போது பெற மாட்டோம் (மூலம், இது மிகவும் கடினம் அல்ல), ஆனால் அவற்றின் இருப்பைப் பற்றி தெரிந்துகொள்வது நிச்சயமாக பயனுள்ளதாக இருக்கும்.

சாதாரண பின்னங்கள்.

இயற்கணித பின்னங்களைச் சேர்த்தல்

நினைவில் கொள்ளுங்கள்!

நீங்கள் ஒரே வகுப்பில் பின்னங்களை மட்டுமே சேர்க்க முடியும்!

மாற்றங்கள் இல்லாமல் பின்னங்களைச் சேர்க்க முடியாது

நீங்கள் பின்னங்களைச் சேர்க்கலாம்

இயற்கணித பின்னங்களை லைக் டினாமினேட்டர்களுடன் சேர்க்கும் போது:

1. முதல் பின்னத்தின் எண் இரண்டாவது பின்னத்தின் எண்ணுடன் சேர்க்கப்படுகிறது;
2. வகுத்தல் அப்படியே உள்ளது.

இயற்கணித பின்னங்களைச் சேர்ப்பதற்கான உதாரணத்தைப் பார்ப்போம்.

இரண்டு பின்னங்களின் வகுத்தல் “2a” என்பதால், பின்னங்களைச் சேர்க்கலாம் என்று அர்த்தம்.

முதல் பின்னத்தின் எண்கணிதத்தை இரண்டாம் பின்னத்தின் எண்கணிதத்துடன் சேர்த்து, பிரிவை அப்படியே விட்டுவிடுவோம். இதன் விளைவாக வரும் எண்களில் பின்னங்களைச் சேர்க்கும்போது, ​​​​நாம் ஒத்தவற்றை முன்வைக்கிறோம்.

இயற்கணித பின்னங்களைக் கழித்தல்

இயற்கணிதப் பின்னங்களை லைக் டினாமினேட்டர்களுடன் கழிக்கும்போது:

1. இரண்டாவது பின்னத்தின் எண் முதல் பின்னத்தின் எண்ணிலிருந்து கழிக்கப்படுகிறது.
2. வகுத்தல் அப்படியே உள்ளது.

முக்கியமான!

அடைப்புக்குறிக்குள் நீங்கள் கழிக்கும் பகுதியின் முழு எண்ணையும் சேர்க்க வேண்டும்.

இல்லையெனில், நீங்கள் கழிக்கும் பின்னத்தின் அடைப்புக்குறிகளைத் திறக்கும்போது அறிகுறிகளில் தவறு செய்வீர்கள்.

இயற்கணித பின்னங்களைக் கழிப்பதற்கான உதாரணத்தைப் பார்ப்போம்.

இரண்டு இயற்கணித பின்னங்களும் “2c” என்ற வகுப்பினைக் கொண்டிருப்பதால், இந்தப் பின்னங்களைக் கழிக்க முடியும்.

"(a + d)" முதல் பின்னத்தின் எண்ணிலிருந்து "(a - b)" என்ற இரண்டாவது பின்னத்தின் எண்ணைக் கழிக்கவும். நீங்கள் கழிக்கும் பின்னத்தின் எண்ணை அடைப்புக்குறிக்குள் வைக்க மறக்காதீர்கள். அடைப்புக்குறிகளைத் திறக்கும்போது, ​​அடைப்புக்குறிகளைத் திறக்க விதியைப் பயன்படுத்துகிறோம்.

இயற்கணித பின்னங்களை ஒரு பொதுவான வகுப்பிற்கு குறைத்தல்

இன்னொரு உதாரணத்தைப் பார்ப்போம். நீங்கள் இயற்கணித பின்னங்களைச் சேர்க்க வேண்டும்.

இந்த வடிவத்தில் பின்னங்களைச் சேர்க்க முடியாது, ஏனெனில் அவை வெவ்வேறு பிரிவுகளைக் கொண்டுள்ளன.

இயற்கணித பின்னங்களைச் சேர்ப்பதற்கு முன், அவை இருக்க வேண்டும் ஒரு பொதுவான வகுப்பிற்கு கொண்டு வாருங்கள்.

இயற்கணித பின்னங்களை ஒரு பொதுவான வகுப்பிற்குக் குறைப்பதற்கான விதிகள், சாதாரண பின்னங்களை ஒரு பொதுவான வகுப்பாகக் குறைப்பதற்கான விதிகளைப் போலவே இருக்கும். .

இதன் விளைவாக, நாம் ஒரு பல்லுறுப்புக்கோவையைப் பெற வேண்டும், அது பின்னங்களின் முந்தைய வகுப்பில் ஒவ்வொன்றாக எஞ்சியில்லாமல் பிரிக்கப்படும்.

செய்ய இயற்கணித பின்னங்களை ஒரு பொதுவான வகுப்பிற்கு குறைக்கவும்நீங்கள் பின்வருவனவற்றை செய்ய வேண்டும்.

1. நாங்கள் எண் குணகங்களுடன் வேலை செய்கிறோம். அனைத்து எண் குணகங்களுக்கும் LCM (குறைந்த பொதுவான பல) ஐ நாங்கள் தீர்மானிக்கிறோம்.
2. நாங்கள் பல்லுறுப்புக்கோவைகளுடன் வேலை செய்கிறோம். பல்வேறு பல்லுறுப்புக்கோவைகளை நாம் மிகப்பெரிய சக்திகளில் வரையறுக்கிறோம்.
3. எண் குணகம் மற்றும் மிகப் பெரிய சக்திகளில் உள்ள பல்வேறு பல்லுறுப்புக்கோவைகளின் விளைபொருளானது பொதுவான வகுப்பாக இருக்கும்.
4. ஒரு பொதுவான வகுப்பினைப் பெற, ஒவ்வொரு இயற்கணிதப் பகுதியையும் நீங்கள் பெருக்க வேண்டியதைத் தீர்மானிக்கவும்.

நமது உதாரணத்திற்கு திரும்புவோம்.

இரண்டு பின்னங்களின் “15a” மற்றும் “3” பிரிவைக் கருத்தில் கொண்டு அவற்றுக்கான பொதுவான வகுப்பைக் கண்டறியவும்.

1. நாங்கள் எண் குணகங்களுடன் வேலை செய்கிறோம். LCM ஐக் கண்டறியவும் (குறைந்த பொதுவான பெருக்கல் என்பது ஒவ்வொரு எண் குணகத்தால் வகுக்கும் எண் ஆகும்). "15" மற்றும் "3" க்கு அது "15" ஆகும்.
2. நாங்கள் பல்லுறுப்புக்கோவைகளுடன் வேலை செய்கிறோம். அனைத்து பல்லுறுப்புக்கோவைகளையும் மிகப்பெரிய சக்திகளில் பட்டியலிடுவது அவசியம். பிரிவுகளில் "15a" மற்றும் "5" மட்டுமே உள்ளன
   ஒரு மோனோமியல் - "a".
3. படி 1 “15” இலிருந்து LCM ஐயும் படி 2 இலிருந்து மோனோமியலான “a” ஐயும் பெருக்குவோம். நாம் "15a" பெறுகிறோம். இதுவே பொதுவான அம்சமாக இருக்கும்.
4. ஒவ்வொரு பின்னத்திற்கும், நாம் நம்மை நாமே கேள்வி கேட்டுக்கொள்கிறோம்: ""15a" ஐப் பெற, இந்த பின்னத்தின் வகுப்பினை எதன் மூலம் பெருக்க வேண்டும்?"

முதல் பகுதியைப் பார்ப்போம். இந்த பின்னம் ஏற்கனவே "15a" இன் வகுப்பினைக் கொண்டுள்ளது, அதாவது எதையும் பெருக்க வேண்டிய அவசியமில்லை.

இரண்டாவது பகுதியைப் பார்ப்போம். கேள்வியைக் கேட்போம்: "15a" ஐப் பெற, "3" ஐப் பெருக்க வேண்டியது என்ன?" பதில் "5a".

ஒரு பகுதியைப் பொதுவான வகுப்பிற்குக் குறைக்கும்போது, ​​“5a” ஆல் பெருக்கவும் எண் மற்றும் வகு இரண்டு.

இயற்கணிதப் பகுதியைப் பொதுவான வகுப்பிற்குக் குறைப்பதற்கான சுருக்கப்பட்ட குறிப்பை "வீடுகளை" பயன்படுத்தி எழுதலாம்.

இதைச் செய்ய, பொதுவான வகுப்பை மனதில் கொள்ளுங்கள். "வீட்டில்" மேலே உள்ள ஒவ்வொரு பின்னத்திற்கும் மேலே நாம் ஒவ்வொரு பின்னங்களையும் பெருக்குவதை எழுதுகிறோம்.

இப்போது பின்னங்கள் ஒரே வகைகளைக் கொண்டிருப்பதால், பின்னங்களைச் சேர்க்கலாம்.

வெவ்வேறு பிரிவுகளுடன் பின்னங்களைக் கழிப்பதற்கான உதாரணத்தைப் பார்ப்போம்.

இரண்டு பின்னங்களின் "(x - y)" மற்றும் "(x + y)" பிரிவைக் கருத்தில் கொண்டு அவற்றுக்கான பொதுவான வகுப்பைக் கண்டறியவும்.

"(x - y)" மற்றும் "(x + y)" ஆகிய பிரிவுகளில் இரண்டு வெவ்வேறு பல்லுறுப்புக்கோவைகள் உள்ளன. அவர்களின் தயாரிப்பு பொதுவான வகுப்பாக இருக்கும், அதாவது. "(x - y)(x + y)" என்பது பொதுவான வகுப்பாகும்.

சுருக்கமான பெருக்கல் சூத்திரங்களைப் பயன்படுத்தி இயற்கணித பின்னங்களைச் சேர்த்தல் மற்றும் கழித்தல்

சில எடுத்துக்காட்டுகளில், இயற்கணித பின்னங்களை ஒரு பொதுவான வகுப்பிற்கு குறைக்க சுருக்கமான பெருக்கல் சூத்திரங்கள் பயன்படுத்தப்பட வேண்டும்.

இயற்கணித பின்னங்களைச் சேர்ப்பதற்கான உதாரணத்தைப் பார்ப்போம், அங்கு நாம் சதுர சூத்திரத்தின் வேறுபாட்டைப் பயன்படுத்த வேண்டும்.

முதல் இயற்கணிதப் பின்னத்தில் வகுத்தல் "(ப 2 - 36)" ஆகும். வெளிப்படையாக, சதுர சூத்திரத்தின் வேறுபாடு அதற்குப் பயன்படுத்தப்படலாம்.

பல்லுறுப்புக்கோவை "(p 2 - 36)" பல்லுறுப்புக்கோவைகளின் பெருக்கத்தில் சிதைந்த பிறகு
“(p + 6)(p − 6)” பல்லுறுப்புக்கோவை “(p + 6)” பின்னங்களில் மீண்டும் மீண்டும் வருகிறது என்பது தெளிவாகிறது. இதன் பொருள், பின்னங்களின் பொதுவான வகுப்பானது "(p + 6)(p - 6)" என்ற பல்லுறுப்புக்கோவைகளின் பெருக்கமாக இருக்கும்.