Los lados paralelos de un paralelogramo son iguales. Proyecto de investigación "Paralelogramo y sus propiedades"

1. Definición de paralelogramo.

Si cortamos un par de líneas paralelas con otro par de líneas paralelas, obtenemos un cuadrilátero, cuyos lados opuestos son paralelos por pares.

En los cuadrángulos ABDC y EFNM (Fig. 224) BD || AC y AB || CD;

ЕF || МN y ЕМ || FN.

Un cuadrilátero cuyos lados opuestos son pares paralelos se llama paralelogramo.

2. Propiedades del paralelogramo.

Teorema. La diagonal del paralelogramo lo divide en dos triángulos iguales.

Sea un paralelogramo ABDC (figura 225), en el que AB || CD y AC || BD.

Se requiere demostrar que la diagonal lo divide en dos triángulos iguales.

Dibujemos la diagonal CB en el paralelogramo ABDС. Demostremos que \ (\ Delta \) CAB = \ (\ Delta \) СDВ.

El lado CB es común para estos triángulos; ∠ABC = ∠BCD, como ángulos internos en cruz con AB y CD paralelos y CB secante; ∠ACB = ∠СВD, también como ángulos internos entrecruzados con АС y ВD paralelos y secante CB.

Por tanto, \ (\ Delta \) CAB = \ (\ Delta \) CDB.

De la misma manera, se puede probar que la diagonal AD dividirá el paralelogramo en dos triángulos iguales ACD y ABD.

Consecuencias:

1 . Los ángulos opuestos de un paralelogramo son iguales entre sí.

∠А = ∠D, esto se sigue de la igualdad de los triángulos CAB y СDВ.

Del mismo modo, ∠С = ∠В.

2. Los lados opuestos de un paralelogramo son iguales entre sí.

AB = CD y AC = BD, ya que estos son los lados de triángulos iguales y se encuentran opuestos a ángulos iguales.

Teorema 2. Las diagonales del paralelogramo se reducen a la mitad en el punto de su intersección.

Sean BC y AD las diagonales del paralelogramo ABDC (fig. 226). Demostremos que AO = OD y CO = OB.

Para hacer esto, compare un par de triángulos opuestos, por ejemplo \ (\ Delta \) AOB y \ (\ Delta \) COD.

En estos triángulos AB = CD, como lados opuestos de un paralelogramo;

∠1 = ∠2, como ángulos internos transversales con AB y CD paralelos y AD secante;

∠3 = ∠4 por la misma razón, ya que AB || CD y CB son sus secantes.

De ello se deduce que \ (\ Delta \) AOB = \ (\ Delta \) COD. Y en triángulos iguales opuestos a ángulos iguales hay lados iguales. Por tanto, AO = OD y CO = OB.

Teorema 3. La suma de los ángulos adyacentes a un lado del paralelogramo es 180 °.

Dibuja una diagonal AC en el paralelogramo ABCD y obtén dos triángulos ABC y ADC.

Los triángulos son iguales, ya que ∠1 = ∠4, ∠2 = ∠3 (ángulos de intersección con líneas paralelas) y el lado AC es común.
De la igualdad \ (\ Delta \) ABC = \ (\ Delta \) ADC se sigue que AB = CD, BC = AD, ∠B = ∠D.

La suma de los ángulos adyacentes a un lado, por ejemplo, los ángulos A y D, es igual a 180 ° como unilateral con líneas paralelas.

Un paralelogramo es un cuadrilátero con lados opuestos paralelos en pares. La siguiente figura muestra un paralelogramo ABCD. Su lado AB es paralelo al lado CD y el lado BC es paralelo al lado AD.

Como habrás adivinado, un paralelogramo es un cuadrilátero convexo. Consideremos las principales propiedades de un paralelogramo.

Propiedades de paralelogramo

1. En un paralelogramo, los ángulos opuestos y los lados opuestos son iguales. Demostremos esta propiedad: considere el paralelogramo que se muestra en la siguiente figura.

La diagonal BD lo divide en dos triángulos iguales: ABD y CBD. Son iguales en el lado BD y dos esquinas adyacentes, ya que los ángulos se encuentran transversalmente en la secante BD de las líneas paralelas BC y AD y AB y CD, respectivamente. Por lo tanto, AB = CD y
BC = AD. Y de la igualdad de los ángulos 1, 2, 3 y 4 se deduce que ángulo A = ángulo1 + ángulo3 = ángulo2 + ángulo4 = ángulo C.

2. Las diagonales del paralelogramo se reducen a la mitad por el punto de intersección. Sea el punto O el punto de intersección de las diagonales AC y BD del paralelogramo ABCD.

Entonces, el triángulo AOB y el triángulo COD son iguales entre sí, a lo largo del lado y dos esquinas adyacentes. (AB = CD ya que estos son lados opuestos del paralelogramo. Y ángulo1 = ángulo2 y ángulo3 = ángulo4 son los ángulos que se encuentran transversalmente en la intersección de las líneas AB y CD con secantes AC y BD, respectivamente.) De esto se deduce que AO = OC y OB = OD, que se requería probar.

Todas las propiedades básicas se ilustran en las siguientes tres figuras.

Pri-zn-ki pa-ra-le-lo-gram-ma

1. Definición y propiedades básicas de un paralelogramo.

Para empezar, recuerde la definición de pa-ra-le-lo-gram-ma.

Definición. Paralelogramo- cuatro-you-rekh-carbon-nick, en ko-that-ro-go, cada dos pro-ty-in-false-side-pa-ral-lel-ny (ver Fig. uno).

Arroz. 1. Pa-ral-le-lo-gram

Recordar las principales propiedades de pa-ra-le-lo-gram-ma:

Para poder utilizar todas estas propiedades, debe asegurarse de que fi-gu-ra, sobre alguien -hay un discurso, -pa-ra-le-lo-gram. Para hacer esto, necesita conocer hechos tales como los signos de pa-ra-le-lo-gram-ma. Los dos primeros los estamos ahora y los revisaremos.

2. El primer signo de un paralelogramo

Teorema. El primer signo es pa-ra-le-lo-gram-ma. Si en cuatro-tú-rekh-carbón-no-ke dos ventajas-en-falsos lados son iguales y parall-solitarios, entonces este cuatro-tú-rekh-carbón es el apodo - paralelogramo. .

Arroz. 2. El primer signo de pa-ra-le-lo-gram-ma

Prueba. Hablemos de dia-go-nal (ver Fig. 2), lo dividió en dos tri-carbones. Anotemos lo que sabemos sobre estos triángulos:

por el primer reconocimiento de la paridad de los triángulos.

De la igualdad de los triángulos indicados, se sigue que, según el reconocimiento de la paralelidad de las líneas rectas durante la resiembra, che-nii su se-ku-shchey. Tenemos eso:

Do-ka-za-pero.

3. El segundo signo de un paralelogramo

Teorema. El segundo signo es pa-ra-le-lo-gram-ma. Si en cuatro-tú-rekh-carbón-no-ke cada dos lados anti-falsos son iguales, entonces este apodo-cuatro-tú-rekh-carbón- paralelogramo. .

Arroz. 3. El segundo atributo es pa-ra-le-lo-gram-ma

Prueba. Hablemos de dia-go-nal (ver Fig. 3), ella lo divide en dos tri-carbones. Anotemos lo que sabemos sobre estos triángulos, de la forma-mu-li-rov-ki theo-re-we:

en el tercer signo de la paridad de los triángulos.

De la igualdad de los triángulos-nikov se sigue que, de acuerdo con el reconocimiento de la paralelidad de las líneas rectas cuando son se-ku-schay. By-lo-cha-eat:

pa-ra-le-lo-gram según la definición de de-le-niyu. Q.E.D.

Do-ka-za-pero.

4. Un ejemplo del uso de la primera característica de un paralelogramo

Considere un ejemplo para el uso de signos de pa-ra-le-lo-gram-ma.

Ejemplo 1. En you-bunch-th-you-rekh-coal-ni-ke Encuentre: a) las esquinas del cuatro-you-rekh-coal-ni-ka; b) un centenar de ro-pozos.

Solución. Fig-zim Fig. 4.

pa-ra-le-lo-gram según el primer signo de pa-ra-le-lo-gram.

PERO. por la propiedad de para-le-lo-gram-ma sobre anti-en-falsos-ángulos, por la propiedad de para-le-lo-gram-ma sobre la suma de los ángulos, dentro de un lado.

B. por la propiedad de iguales lados anti-falsos.

tercer pri-signo pa-ra-le-lo-gram-ma

5. Repetición: definición y propiedades de un paralelogramo

Recuerda eso paralelogramo- esto es cuatro-tú-torre-carbón-nick, en algún-ro-go-en-falso-lado-contra-nosotros en un par-pero-pa-ral-lel-ny. Es decir, si - pa-ra-le-lo-gram, entonces (ver figura 1).

Pa-ral-le-lo-gram ob-la-da-e con varias propiedades: los ángulos anti-falsos son iguales (), los anti-falsos sto-ro -are iguales ( ). Además, dia-go-na-li paral-le-lo-gram-ma en el punto de pe-re-se-ch-nia de-late in-lam, la suma de los ángulos, cuando-le- deseando a cada lado del pa-ra-le-lo-gram-ma, es igual, etc.

Pero para utilizar todas estas propiedades, debe tener la absoluta certeza de que está r-va-th-my th-you-rykh-coal-nick - pa-ra-le-lo-gram . Para esto, hay signos de pa-ra-le-lo-gram-ma: es decir, aquellos hechos a partir de los cuales se puede llegar a una conclusión de un dígito de que el apodo-tu-rykh-carbón-es-la-e- Xia pa-ra-le-lo-gram-m. En la lección anterior, ya hemos examinado dos signos. Ahora veremos la tercera hora.

6. El tercer signo de un paralelogramo y su demostración

Si en cuatro-tú-ryh-carbón-ni-ke dia-go-na-li en el punto de pe-re-se-ch-nia do-lam, entonces este apodo-cuatro-tú-rekh-carbón es- la-et-sya pa-ra-le-lo-gram-m.

Dado:

Che-you-rook-coal-nick; ; ...

Probar:

Paralelogramo.

Prueba:

Para llegar a este hecho, es necesario obtener la parálisis de los lados paral-le-lo-gram-ma. Y la parall-ness de las líneas rectas con mayor frecuencia hace-ka-zy-wa-th-th-th-th-th-th-th-th-th-th-th-a través de la igualdad del interior-wen-ellos a la cruz de los ángulos de mentira en estas líneas rectas. Entonces, na-great-shi-va-is-sya junto a yu-so-so-so-so-ka-tel-tstva-th-t-t-t-t-th-t-ka-ka-pa-ra -le -lo-gram-ma: a través de la paridad de los tre-coals-nikov .

Veamos la igualdad de estos triángulos. En realidad, de la condición se sigue :. Además, dado que los ángulos son ver-t-cal-ny, son iguales. Es decir:

(primer signo de igualdadtre-carbón-nikov- en dos lados y un ángulo entre ellos).

De la igualdad de los triángulos: (ya que los ángulos internos cruzados son iguales para estas líneas rectas y se-ku-shi). Además, de la igualdad de los triángulos, se sigue que. Know-chit, we-l-chi-li, que en th-you-ryh-coal-no-ke, dos lados son iguales y pa-ra-lel-ny. Según el primer pri-zn-ku pa-ra-le-lo-gram-ma: - pa-ra-le-lo-gram.

Do-ka-za-pero.

7. Un ejemplo de un problema para el tercer signo de un paralelogramo y generalización

Considere un ejemplo para el uso del tercer signo de paral-le-lo-gram-ma.

Ejemplo 1

Dado:

- paralelogramo; ... - se-re-di-na, - se-re-di-na, - se-re-di-na, - se-re-di-na (ver Fig. 2).

Probar:- pa-ra-le-lo-gram.

Prueba:

Know-chit, en th-you-rykh-coal-ni-ke dia-go-na-li en el punto de pe-re-se-ch-niya do-lam. Según el tercer signo de pa-ra-le-lo-gram-ma, se sigue de esto que - pa-ra-le-lo-gram.

Do-ka-za-pero.

Si el análisis del tercer atributo del paral-le-lo-gram-ma, entonces puede notar que este atributo es una co-respuesta es propiedad de pa-ra-le-lo-gram-ma. Es decir, el hecho de que dia-go-na-li do-lam-in-lam no es solo una propiedad de pa-ra-le-lo-gram-ma, y ​​su distintivo, ha-rak-te-ri- sti-ch-property, según qué-ro-mo se puede hacer a partir de la multitud th-you-ryokh-coal-no-kov.

FUENTE

http://interneturok.ru/ru/school/geometry/8-klass/chyotyrehugolniki/priznaki-parallelogramma

http://interneturok.ru/ru/school/geometry/8-klass/chyotyrehugolniki/tretiy-priznak-parallelogramma

http://www.uchportfolio.ru/users_content/675f9820626f5bc0afb47b57890b466e/images/46TThxQ8j4Y.jpg

http://cs10002.vk.me/u31195134/116260458/x_56d40dd3.jpg

http://wwww.tepka.ru/geometriya/16.1.gif

Para determinar si una figura dada es un paralelogramo, hay varios signos. Consideremos tres características principales de un paralelogramo.

1 signo de un paralelogramo

Si en un cuadrilátero dos lados son iguales y paralelos, entonces este cuadrilátero será un paralelogramo.

Prueba:

Considere un cuadrilátero ABCD. Deje que los lados AB y CD sean paralelos. Y sea AB = CD. Dibujemos una diagonal BD en ella. Dividirá este cuadrilátero en dos triángulos iguales: ABD y CBD.

Estos triángulos son iguales entre sí en dos lados y el ángulo entre ellos (BD es un lado común, AB = CD por condición, ángulo1 = ángulo2 como ángulos entrecruzados en la secante BD de las líneas paralelas AB y CD.), Y por lo tanto ángulo3 = ángulo4.

Y estos ángulos serán transversales en la intersección de las líneas BC y AD de la secante BD. De esto se deduce que BC y AD son paralelos entre sí. Tenemos que en el cuadrilátero ABCD los lados opuestos son pares paralelos, y por lo tanto el cuadrilátero ABCD es un paralelogramo.

2 signo de un paralelogramo

Si en un cuadrilátero los lados opuestos son pares iguales, entonces este cuadrilátero será un paralelogramo.

Prueba:

Considere un cuadrilátero ABCD. Dibujemos una diagonal BD en ella. Dividirá este cuadrilátero en dos triángulos iguales: ABD y CBD.

Estos dos triángulos serán iguales entre sí en tres lados (BD es el lado común, AB = CD y BC = AD por condición). De esto podemos concluir que ángulo1 = ángulo2. De ello se deduce que AB es paralelo a CD. Y como AB = CD y AB es paralelo a CD, entonces por el primer signo de un paralelogramo, el cuadrilátero ABCD será un paralelogramo.

3 signo de un paralelogramo

Si en un cuadrilátero las diagonales se cruzan y el punto de intersección se divide por la mitad, entonces este cuadrilátero será un paralelogramo.

Considere un cuadrilátero ABCD. Dibujemos dos diagonales AC y BD en él, que se intersecarán en el punto O y se dividirán por este punto por la mitad.

Los triángulos AOB y COD serán iguales entre sí, según el primer signo de igualdad de los triángulos. (AO = OC, BO = OD por condición, ángulo AOB = ángulo COD como ángulos verticales). Por lo tanto, AB = CD y ángulo1 = ángulo 2. De la igualdad de los ángulos 1 y 2, tenemos que AB es paralelo a CD. Entonces tenemos que en el cuadrilátero ABCD los lados AB son iguales a CD y paralelos, y por el primer signo del paralelogramo el cuadrilátero ABCD será un paralelogramo.