Los lados paralelos de un paralelogramo son iguales. Proyecto de investigación "paralelogramo y sus propiedades"

1. Definición de paralelogramo.

Si cortamos un par de rectas paralelas con otro par de rectas paralelas, obtenemos un cuadrilátero cuyos lados opuestos son paralelos por pares.

En los cuadriláteros ABDC y EFNM (Fig. 224) ВD || AC y AB || CD;

FE || MN y EM || FN.

Un cuadrilátero cuyos lados opuestos son paralelos en pares se llama paralelogramo.

2. Propiedades de un paralelogramo.

Teorema. La diagonal de un paralelogramo lo divide en dos triángulos iguales.

Sea un paralelogramo ABDC (Fig. 225), en el que AB || CD y aire acondicionado || ВD.

Necesitas demostrar que la diagonal lo divide en dos triángulos iguales.

Dibujemos la diagonal CB en el paralelogramo ABDC. Demostremos que \(\Delta\)CAB = \(\Delta\)СДВ.

El lado NE es común a estos triángulos; ∠ABC = ∠BCD, como ángulos transversales internos con AB y CD paralelos y CB secante; ∠ACB = ∠СВD, también como ángulos transversales internos con AC y BD paralelos y CB secante.

Por lo tanto \(\Delta\)CAB = \(\Delta\)СДВ.

De la misma forma, se puede demostrar que la diagonal AD dividirá el paralelogramo en dos triángulos iguales ACD y ABD.

Consecuencias:

1 . Los ángulos opuestos de un paralelogramo son iguales entre sí.

∠A = ∠D, esto se desprende de la igualdad de los triángulos CAB y CDB.

Asimismo, ∠C = ∠B.

2. Los lados opuestos de un paralelogramo son iguales entre sí.

AB = CD y AC = BD, ya que estos son lados de triángulos iguales y se encuentran frente a ángulos iguales.

Teorema 2. Las diagonales de un paralelogramo se dividen por la mitad en el punto de su intersección.

Sean BC y AD las diagonales del paralelogramo ABC (figura 226). Demostremos que AO = OD y CO = OB.

Para hacer esto, compare algún par de triángulos ubicados en direcciones opuestas, por ejemplo \(\Delta\)AOB y \(\Delta\)COD.

En estos triángulos AB = CD, como lados opuestos de un paralelogramo;

∠1 = ∠2, como ángulos internos transversales a los paralelos AB y CD y secante AD;

∠3 = ∠4 por la misma razón, ya que AB || CD y SV son sus secantes.

De ello se deduce que \(\Delta\)AOB = \(\Delta\)СOD. Y en triángulos iguales se encuentran ángulos iguales opuestos lados iguales. Por tanto, AO = OD y CO = OB.

Teorema 3. La suma de los ángulos adyacentes a un lado de un paralelogramo es igual a 180°.

En el paralelogramo ABCD trazamos la diagonal AC y obtenemos dos triángulos ABC y ADC.

Los triángulos son iguales, ya que ∠1 = ∠4, ∠2 = ∠3 (ángulos transversales para rectas paralelas) y el lado AC es común.
De la igualdad \(\Delta\)ABC = \(\Delta\)ADC se deduce que AB = CD, BC = AD, ∠B = ∠D.

La suma de los ángulos adyacentes a un lado, por ejemplo los ángulos A y D, es igual a 180° como ángulos unilaterales para rectas paralelas.

Un paralelogramo es un cuadrilátero cuyos lados opuestos son paralelos en pares. La siguiente figura muestra el paralelogramo ABCD. Tiene el lado AB paralelo al lado CD y el lado BC paralelo al lado AD.

Como habrás adivinado, un paralelogramo es un cuadrilátero convexo. Consideremos las propiedades básicas de un paralelogramo.

Propiedades de un paralelogramo

1. En un paralelogramo, los ángulos opuestos y los lados opuestos son iguales. Demostremos esta propiedad: considere el paralelogramo presentado en la siguiente figura.

La diagonal BD lo divide en dos triángulos iguales: ABD y CBD. Son iguales a lo largo del lado BD y los dos ángulos adyacentes a él, ya que los ángulos que se encuentran transversalmente en la secante BD de las líneas paralelas BC y AD y AB y CD, respectivamente. Por lo tanto AB = CD y
antes de Cristo = d.C. Y de la igualdad de los ángulos 1, 2, 3 y 4 se deduce que ángulo A = ángulo1 + ángulo3 = ángulo2 + ángulo4 = ángulo C.

2. Las diagonales de un paralelogramo se dividen por la mitad por el punto de intersección. Sea el punto O el punto de intersección de las diagonales AC y BD del paralelogramo ABCD.

Entonces el triángulo AOB y el triángulo COD son iguales entre sí, en el lado y en dos ángulos adyacentes. (AB = CD ya que estos son lados opuestos del paralelogramo. Y ángulo1 = ángulo2 y ángulo3 = ángulo4 son como ángulos transversales cuando las líneas AB y CD se cruzan con las secantes AC y BD, respectivamente.) De esto se deduce que AO = OC y OB = OD, que necesitaba ser probado.

Todas las propiedades principales se ilustran en las tres figuras siguientes.

Sign-ki pa-ral-le-lo-gram-ma

1. Definición y propiedades básicas de un paralelogramo.

Comencemos recordando la definición de para-ral-le-lo-grama.

Definición. Paralelogramo- what-you-rekh-gon-nick, que tiene cada dos lados pro-ti-falsos que son paralelos (ver Fig. 1).

Arroz. 1. Pa-ral-le-lo-grama

Recordemos propiedades básicas de pa-ral-le-lo-gram-ma:

Para poder utilizar todas estas propiedades, debe estar seguro de que la fi-gu-ra, de alguien -roy de quien estamos hablando, - par-ral-le-lo-gram. Para hacer esto, es necesario conocer hechos como los signos de pa-ral-le-lo-gram-ma. Estamos viendo los dos primeros ahora.

2. El primer signo de un paralelogramo.

Teorema. El primer signo de pa-ral-le-lo-gram-ma. Si en un cuatro carbones los dos lados opuestos son iguales y paralelos, entonces este apodo de cuatro carbones: paralelogramo. .

Arroz. 2. El primer signo de pa-ral-le-lo-gram-ma

Prueba. Pongamos el dia-go-nal en el cuatro-reh-coal-ni-ka (ver Fig. 2), lo dividió en dos tri-coal-ni-ka. Anotemos lo que sabemos sobre estos triángulos:

según el primer signo de la igualdad de los triángulos.

De la igualdad de los triángulos indicados se deduce que, por el signo de paralelismo de las rectas al cruzar ch-nii, sus s-ku-shchi. Tenemos eso:

Do-ka-za-pero.

3. Segundo signo de un paralelogramo

Teorema. El segundo signo es pa-ral-le-lo-gram-ma. Si en un cuádruple cada dos lados pro-ti-falso son iguales, entonces este cuádruple es paralelogramo. .

Arroz. 3. El segundo signo de pa-ral-le-lo-gram-ma

Prueba. Colocamos la diagonal en las cuatro esquinas (ver Fig. 3), ella la divide en dos triángulos. Anotemos lo que sabemos sobre estos triángulos, según la forma de la teoría:

según el tercer signo de la igualdad de los triángulos.

De la igualdad de los triángulos se deduce que, por el signo de las rectas paralelas, al cruzarlas s-ku-shchey. Comamos:

par-ral-le-lo-grama por definición. Q.E.D.

Do-ka-za-pero.

4. Un ejemplo del uso de la primera característica del paralelogramo.

Echemos un vistazo al ejemplo del uso de los signos de pa-ral-le-lo-grama.

Ejemplo 1. En el bulto no hay carbones Encuentre: a) las esquinas de los carbones; b) cien ro-pozo.

Solución. Ilustración Fig. 4.

pa-ral-le-lo-gram según el primer signo de pa-ral-le-lo-gram-ma.

A. por la propiedad de un par-ral-le-lo-gramo sobre ángulos pro-ti-falsos, por la propiedad de un par-ral-le-lo-gramo sobre la suma de ángulos, cuando está acostado de lado.

B. por la naturaleza de la igualdad de los lados pro-falsos.

signo re-tiy pa-ral-le-lo-gram-ma

5. Repaso: Definición y propiedades de un paralelogramo

recordemos eso paralelogramo- Esta es una esquina de cuatro cuadrados, que tiene lados pro-ti-falsos en pares. Es decir, si - par-ral-le-lo-gramo, entonces (ver figura 1).

El paralelo-le-lo-gramo tiene una serie de propiedades: los ángulos opuestos son iguales (), los ángulos opuestos -somos iguales ( ). Además, el dia-go-na-li pa-ral-le-lo-gram en el punto de re-se-che-niya se divide según la suma de los ángulos, at-le- presionando hacia cualquier lado pa -ral-le-lo-gram-ma, igual, etc.

Pero para aprovechar todas estas propiedades, es necesario estar absolutamente seguro de que el r-va-e-my th-you-rekh-coal-nick - pa-ral-le-lo-gram. Para ello, existen signos de par-ral-le-lo-gram: es decir, aquellos hechos de los que se puede sacar una conclusión univaluada , que lo que-rekh-coal-nick es un par-ral- le-lo-gram-mamá. En la lección anterior ya vimos dos señales. Ahora estamos viendo la tercera vez.

6. El tercer signo de un paralelogramo y su demostración.

Si en un cuatro carbón hay un dia-go-on en el punto de re-se-che-niya que hacen por lams, entonces el cuatro-tú Roh-coal-nick dado es un pa-ral-le -lo-gram-mamá.

Dado:

¿Qué-eres-carbón-nick? ; .

Probar:

Paralelogramo.

Prueba:

Para probar este hecho, es necesario mostrar el paralelismo de las partes del par-le-lo-grama. Y el paralelismo de líneas rectas se logra con mayor frecuencia mediante la igualdad de los ángulos internos transversales en estos ángulos rectos. Así, aquí tienes el siguiente método para obtener el tercer signo de par-ral -le-lo-gram-ma: mediante la igualdad de triángulos .

Veamos cómo estos triángulos son iguales. De hecho, de la condición se sigue: . Además, como los ángulos son verticales, son iguales. Eso es:

(primer signo de igualdadtri-carbón-ni-cov- a lo largo de dos lados y la esquina entre ellos).

De la igualdad de triángulos: (ya que los ángulos transversales internos en estas rectas y separadores son iguales). Además, de la igualdad de triángulos se deduce que . Esto significa que entendemos que en cuatro carbones doscientos son iguales y paralelos. Según el primer signo, pa-ral-le-lo-gram-ma: - pa-ral-le-lo-gram.

Do-ka-za-pero.

7. Ejemplo de problema sobre el tercer signo de un paralelogramo y generalización.

Veamos el ejemplo del uso del tercer signo de pa-ral-le-lo-grama.

Ejemplo 1

Dado:

- paralelogramo; . - se-re-di-na, - se-re-di-na, - se-re-di-na, - se-re-di-na (ver Fig. 2).

Probar:- pa-ral-le-lo-grama.

Prueba:

Esto significa que en los cuatro carbones-no-dia-go-on-si en el punto de re-se-che-niya lo hacen-by-lam. Por el tercer signo de pa-ral-le-lo-gram, se deduce de esto que - pa-ral-le-lo-gram.

Do-ka-za-pero.

Si analiza el tercer signo de par-ral-le-lo-grama, entonces puede notar que este signo es con-vet- tiene la propiedad de un par-ral-le-lo-grama. Es decir, el hecho de que el dia-go-na-li de-la-xia no sea solo una propiedad del par-le-lo-gram, y su distintivo, kha-rak-te-ri-sti-che- propiedad, por la cual se puede distinguir del conjunto what-you-rekh-coal-ni-cov.

FUENTE

http://interneturok.ru/ru/school/geometry/8-klass/chyotyrehugolniki/priznaki-parallelogramma

http://interneturok.ru/ru/school/geometry/8-klass/chyotyrehugolniki/tretiy-priznak-parallelogramma

http://www.uchportfolio.ru/users_content/675f9820626f5bc0afb47b57890b466e/images/46TThxQ8j4Y.jpg

http://cs10002.vk.me/u31195134/116260458/x_56d40dd3.jpg

http://wwww.tepka.ru/geometriya/16.1.gif

Para determinar si una figura determinada es un paralelogramo, existen varios signos. Veamos las tres características principales de un paralelogramo.

1 signo de paralelogramo

Si dos lados de un cuadrilátero son iguales y paralelos, entonces este cuadrilátero será un paralelogramo.

Prueba:

Considere el cuadrilátero ABCD. Sean los lados AB y CD paralelos. Y sea AB=CD. Dibujemos la diagonal BD en él. Dividirá este cuadrilátero en dos triángulos iguales: ABD y CBD.

Estos triángulos son iguales entre sí en dos lados y en el ángulo entre ellos (BD es el lado común, AB = CD por condición, ángulo1 = ángulo2 como ángulos transversales con la transversal BD de las líneas paralelas AB y CD), y por lo tanto el ángulo3 = ángulo4.

Y estos ángulos estarán transversales cuando las líneas BC y AD se crucen con la secante BD. De esto se deduce que BC y AD son paralelos entre sí. Tenemos que en el cuadrilátero ABCD los lados opuestos son paralelos por pares, y por tanto el cuadrilátero ABCD es un paralelogramo.

signo de paralelogramo 2

Si en un cuadrilátero los lados opuestos son iguales por pares, entonces este cuadrilátero será un paralelogramo.

Prueba:

Considere el cuadrilátero ABCD. Dibujemos la diagonal BD en él. Dividirá este cuadrilátero en dos triángulos iguales: ABD y CBD.

Estos dos triángulos serán iguales en tres lados (BD es el lado común, AB = CD y BC = AD por condición). De esto podemos concluir que ángulo1 = ángulo2. De ello se deduce que AB es paralelo a CD. Y como AB = CD y AB es paralelo a CD, entonces, según el primer criterio de un paralelogramo, el cuadrilátero ABCD será un paralelogramo.

signo de 3 paralelogramos

Si las diagonales de un cuadrilátero se cortan y son bisecadas por el punto de intersección, entonces este cuadrilátero será un paralelogramo.

Considere el cuadrilátero ABCD. Dibujemos en él dos diagonales AC y BD, que se cruzarán en el punto O y serán atravesadas por este punto.

Los triángulos AOB y COD serán iguales entre sí, según el primer signo de igualdad de los triángulos. (AO = OC, BO = OD por condición, ángulo AOB = ángulo COD como ángulos verticales.) Por lo tanto, AB = CD y ángulo1 = ángulo 2. De la igualdad de los ángulos 1 y 2, tenemos que AB es paralelo a CD. Entonces tenemos que en el cuadrilátero ABCD los lados AB son iguales a CD y paralelos, y según el primer criterio de un paralelogramo, el cuadrilátero ABCD será un paralelogramo.