La altura de un ángulo recto de un triángulo divide a la hipotenusa. Triángulo rectángulo. Teoría detallada con ejemplos. Funciones trigonométricas del ángulo externo.

Triangulos.

Conceptos básicos.

Triángulo es una figura formada por tres segmentos y tres puntos que no se encuentran en la misma recta.

Los segmentos se llaman fiestas, y los puntos son picos.

suma de angulos el triangulo mide 180º.

Altura del triángulo.

Altura del triángulo- esta es una perpendicular trazada desde el vértice hacia el lado opuesto.

En un triángulo agudo, la altura está contenida dentro del triángulo (Fig. 1).

En un triángulo rectángulo, los catetos son las alturas del triángulo (Fig. 2).

En un triángulo obtuso, la altitud se extiende fuera del triángulo (Fig. 3).

Propiedades de la altitud de un triángulo:

Bisectriz de un triángulo.

Bisectriz de un triángulo- este es un segmento que divide la esquina del vértice por la mitad y conecta el vértice con un punto en el lado opuesto (Fig. 5).

Propiedades de la bisectriz:

Mediana de un triángulo.

mediana de un triangulo- este es un segmento que conecta el vértice con la mitad del lado opuesto (Fig. 9a).

La longitud de la mediana se puede calcular mediante la fórmula: 2b 2 + 2C 2 - a 2 m un 2 = —————— 4 Dónde m un- mediana dibujada hacia un lado A. En un triángulo rectángulo, la mediana trazada hasta la hipotenusa es igual a la mitad de la hipotenusa: C m c = — 2 Dónde m c- mediana dibujada hacia la hipotenusa C(Figura 9c) Las medianas del triángulo se cortan en un punto (en el centro de masa del triángulo) y se dividen por este punto en una proporción de 2:1, contando desde el vértice. Es decir, el segmento desde el vértice hasta el centro es dos veces más grande que el segmento desde el centro hasta el lado del triángulo (Fig. 9c). Las tres medianas de un triángulo lo dividen en seis triángulos iguales.

La línea media del triángulo.

Línea media del triángulo- este es un segmento que conecta los puntos medios de sus dos lados (Fig. 10).

La línea media del triángulo es paralela al tercer lado e igual a la mitad del mismo.

Ángulo externo de un triángulo.

Esquina exterior de un triángulo es igual a la suma de dos ángulos internos no adyacentes (Fig. 11).

Un ángulo exterior de un triángulo es mayor que cualquier ángulo no adyacente.

Triángulo rectángulo.

Triángulo rectángulo es un triángulo que tiene un ángulo recto (Fig. 12).

El lado de un triángulo rectángulo opuesto al ángulo recto se llama hipotenusa.

Los otros dos lados se llaman piernas.

Segmentos proporcionales en un triángulo rectángulo.

1) En un triángulo rectángulo, la altitud extraída del ángulo recto forma tres triángulos semejantes: ABC, ACH y HCB (Fig. 14a). En consecuencia, los ángulos formados por la altura son iguales a los ángulos A y B.

Fig.14a

Triángulo isósceles.

Triángulo isósceles es un triángulo cuyos dos lados son iguales (Fig. 13).

Estos lados iguales se llaman lados, y el tercero - base triángulo.

En un triángulo isósceles los ángulos de la base son iguales. (En nuestro triángulo, el ángulo A es igual al ángulo C).

En un triángulo isósceles, la mediana trazada hasta la base es a la vez la bisectriz y la altura del triángulo.

Triángulo equilátero.

Un triángulo equilátero es un triángulo en el que todos los lados son iguales (Fig. 14).

Propiedades de un triángulo equilátero:

Propiedades notables de los triángulos.

Los triángulos tienen propiedades únicas que te ayudarán a resolver con éxito problemas que involucran estas formas. Algunas de estas propiedades se describen arriba. Pero los repetimos nuevamente, añadiéndoles algunas otras características maravillosas:

1) En un triángulo rectángulo con ángulos de 90º, 30º y 60º de catetos b, situada frente a un ángulo de 30º, es igual a la mitad de la hipotenusa. Una piernaa mas piernab√3 veces (Fig.15 A). Por ejemplo, si el cateto b es 5, entonces la hipotenusa C necesariamente es igual a 10, y el cateto A es igual a 5√3. 2) En un triángulo rectángulo isósceles con ángulos de 90º, 45º y 45º, la hipotenusa es √2 veces mayor que el cateto (Fig. 15 b). Por ejemplo, si los catetos son 5, entonces la hipotenusa es 5√2. 3) La línea media del triángulo es igual a la mitad del lado paralelo (Fig.15 Con). Por ejemplo, si el lado de un triángulo es 10, entonces la línea media paralela a él es 5. 4) En un triángulo rectángulo, la mediana trazada hasta la hipotenusa es igual a la mitad de la hipotenusa (Fig. 9c): m c= s/2. 5) Las medianas de un triángulo, que se cortan en un punto, se dividen por este punto en una proporción de 2:1. Es decir, el segmento desde el vértice hasta el punto de intersección de las medianas es dos veces más grande que el segmento desde el punto de intersección de las medianas hasta el lado del triángulo (Fig. 9c). 6) En un triángulo rectángulo, la mitad de la hipotenusa es el centro del círculo circunscrito (Fig.15 d).

Signos de igualdad de triángulos..

Primer signo de igualdad: si dos lados y el ángulo entre ellos de un triángulo son iguales a dos lados y el ángulo entre ellos de otro triángulo, entonces dichos triángulos son congruentes.

Segundo signo de igualdad: si un lado y sus ángulos adyacentes de un triángulo son iguales al lado y sus ángulos adyacentes de otro triángulo, entonces dichos triángulos son congruentes.

Tercer signo de igualdad: Si tres lados de un triángulo son iguales a tres lados de otro triángulo, entonces dichos triángulos son congruentes.

Desigualdad triangular.

En cualquier triángulo, cada lado es menor que la suma de los otros dos lados.

Teorema de pitágoras.

En un triángulo rectángulo, el cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de los catetos:

C 2 = a 2 + b 2 .

Área de un triángulo.

1) El área de un triángulo es igual a la mitad del producto de su lado por la altura trazada hacia este lado:

ah
S = ——
2

2) El área de un triángulo es igual a la mitad del producto de dos de sus lados cualesquiera por el seno del ángulo entre ellos:

1
S = — AB · C.A. · pecado A
2

Un triángulo circunscrito a un círculo.

Un círculo se llama inscrito en un triángulo si toca todos sus lados (Fig.16 A).

Un triángulo inscrito en un círculo.

Se dice que un triángulo está inscrito en una circunferencia si la toca con todos sus vértices (Fig. 17). a).

Seno, coseno, tangente, cotangente de un ángulo agudo de un triángulo rectángulo (Fig. 18).

Senoángulo agudo X opuesto cateto a la hipotenusa.
Se denota de la siguiente manera: pecadoX.

Cosenoángulo agudo X de un triángulo rectángulo es la razón adyacente cateto a la hipotenusa.
Denotado como sigue: cos X.

Tangenteángulo agudo X- esta es la relación entre el lado opuesto y el lado adyacente.
Se designa de la siguiente manera: tgX.

Cotangenteángulo agudo X- esta es la relación entre el lado adyacente y el lado opuesto.
Se designa de la siguiente manera: ctgX.

Normas:

Pierna opuesta a la esquina X, es igual al producto de la hipotenusa y el pecado X:

segundo = c pecado X

Pierna adyacente a la esquina X, es igual al producto de la hipotenusa y cos X:

a = c porque X

Pierna opuesta a la esquina X, es igual al producto del segundo tramo por tg X:

segundo = un tg X

Pierna adyacente a la esquina X, es igual al producto del segundo tramo por ctg X:

a = b· ctg X.

Para cualquier ángulo agudo X:

pecado (90° - X) = porque X

cos (90° - X) = pecado X

Propiedad: 1. En cualquier triángulo rectángulo, la altura tomada del ángulo recto (por la hipotenusa) divide el triángulo rectángulo en tres triángulos semejantes.

Propiedad: 2. La altura de un triángulo rectángulo, bajada hasta la hipotenusa, es igual a la media geométrica de las proyecciones de los catetos sobre la hipotenusa (o la media geométrica de aquellos segmentos en los que la altura divide la hipotenusa).

Propiedad: 3. El cateto es igual a la media geométrica de la hipotenusa y la proyección de este cateto sobre la hipotenusa.

Propiedad: 4. Un cateto opuesto a un ángulo de 30 grados es igual a la mitad de la hipotenusa.

Fórmula 1.

Fórmula 2., donde está la hipotenusa; , piernas.

Propiedad: 5. En un triángulo rectángulo, la mediana trazada hasta la hipotenusa es igual a la mitad de ésta e igual al radio del círculo circunscrito.

Propiedad: 6. Relación entre los lados y ángulos de un triángulo rectángulo:

44. Teorema de los cosenos. Corolarios: relación entre diagonales y lados de un paralelogramo; determinar el tipo de triángulo; fórmula para calcular la longitud de la mediana de un triángulo; Cálculo del coseno de un ángulo de un triángulo.

Fin del trabajo -

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Clase. Programa de coloquio sobre planimetría básica

Propiedad de los ángulos adyacentes.. definición de dos ángulos que son adyacentes si tienen un lado en común y los otros dos forman una recta..

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Triángulo rectángulo- este es un triángulo en el que uno de los ángulos es recto, es decir, igual a 90 grados.

• El lado opuesto al ángulo recto se llama hipotenusa (en la figura se indica como C o AB)
• El lado adyacente al ángulo recto se llama cateto. Cada triángulo rectángulo tiene dos catetos (en la figura se designan como a yb o AC y BC)

Fórmulas y propiedades de un triángulo rectángulo.

Designaciones de fórmulas:

(ver imagen arriba)

a, b- catetos de un triángulo rectángulo

C- hipotenusa

α, β - ángulos agudos de un triángulo

S- cuadrado

h- altura bajada desde el vértice de un ángulo recto hasta la hipotenusa

m un a desde la esquina opuesta ( α )

m b- mediana dibujada hacia un lado b desde la esquina opuesta ( β )

m c- mediana dibujada hacia un lado C desde la esquina opuesta ( γ )

EN triángulo rectángulo cualquiera de los catetos es menor que la hipotenusa(Fórmula 1 y 2). Esta propiedad es consecuencia del teorema de Pitágoras.

Coseno de cualquiera de los ángulos agudos. menos de uno (Fórmula 3 y 4). Esta propiedad se deriva de la anterior. Dado que cualquiera de los catetos es menor que la hipotenusa, la relación entre el cateto y la hipotenusa es siempre menor que uno.

El cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de los catetos (teorema de Pitágoras). (Fórmula 5). Esta propiedad se utiliza constantemente al resolver problemas.

Área de un triángulo rectángulo igual a la mitad del producto de las piernas (Fórmula 6)

Suma de medianas al cuadrado a los catetos es igual a cinco cuadrados de la mediana a la hipotenusa y cinco cuadrados de la hipotenusa divididos por cuatro (Fórmula 7). Además de lo anterior, existe 5 fórmulas más, por lo tanto, se recomienda leer también la lección “Mediana de un triángulo rectángulo”, que describe las propiedades de la mediana con más detalle.

Altura de un triángulo rectángulo es igual al producto de los catetos dividido por la hipotenusa (Fórmula 8)

Los cuadrados de los catetos son inversamente proporcionales al cuadrado de la altura bajada a la hipotenusa (Fórmula 9). Esta identidad es también una de las consecuencias del teorema de Pitágoras.

longitud de la hipotenusa igual al diámetro (dos radios) del círculo circunscrito (Fórmula 10). hipotenusa de un triángulo rectángulo es el diámetro del círculo circunstante. Esta propiedad se utiliza a menudo en la resolución de problemas.

Radio inscrito V triángulo rectángulo círculo se puede encontrar como la mitad de la expresión incluyendo la suma de los catetos de este triángulo menos la longitud de la hipotenusa. O como el producto de los catetos dividido por la suma de todos los lados (perímetro) de un triángulo dado. (Fórmula 11)
Seno de ángulo relación con el opuesto este ángulo cateto a hipotenusa(por definición de seno). (Fórmula 12). Esta propiedad se utiliza al resolver problemas. Conociendo los tamaños de los lados, puedes encontrar el ángulo que forman.

El coseno del ángulo A (α, alfa) en un triángulo rectángulo será igual a actitud adyacente este ángulo cateto a hipotenusa(por definición de seno). (Fórmula 13)

Al resolver problemas geométricos, resulta útil seguir dicho algoritmo. Al leer las condiciones del problema, es necesario

• Haz un dibujo. El dibujo debe corresponder lo más posible a las condiciones del problema, por lo que su tarea principal es ayudar a encontrar la solución.
• Pon todos los datos del enunciado del problema en el dibujo.
• Anota todos los conceptos geométricos que aparecen en el problema.
• Recuerda todos los teoremas que se relacionan con estos conceptos.
• Dibujar en el dibujo todas las relaciones entre los elementos de una figura geométrica que se derivan de estos teoremas.

Por ejemplo, si el problema contiene las palabras bisectriz de un ángulo de un triángulo, debe recordar la definición y las propiedades de una bisectriz e indicar segmentos y ángulos iguales o proporcionales en el dibujo.

En este artículo encontrarás las propiedades básicas de un triángulo que necesitas conocer para resolver problemas con éxito.

TRIÁNGULO.

Área de un triángulo.

1. ,

aquí - un lado arbitrario del triángulo, - la altura bajada a este lado.

2. ,

aquí y son lados arbitrarios del triángulo, y es el ángulo entre estos lados:

3. La fórmula de Heron:

Aquí están las longitudes de los lados del triángulo, es el semiperímetro del triángulo,

4. ,

aquí está el semiperímetro del triángulo y es el radio del círculo inscrito.

Sean las longitudes de los segmentos tangentes.

Entonces la fórmula de Heron se puede escribir de la siguiente manera:

5.

6. ,

aquí - las longitudes de los lados del triángulo, - el radio del círculo circunscrito.

Si se toma un punto en el lado de un triángulo que divide este lado en la proporción m: n, entonces el segmento que conecta este punto con el vértice del ángulo opuesto divide el triángulo en dos triángulos, cuyas áreas están en la proporción metro: norte:

La razón de las áreas de triángulos semejantes es igual al cuadrado del coeficiente de similitud.

mediana de un triangulo

Este es un segmento que conecta el vértice de un triángulo con la mitad del lado opuesto.

Medianas de un triangulo se cruzan en un punto y se dividen por el punto de intersección en una proporción de 2:1, contando desde el vértice.

El punto de intersección de las medianas de un triángulo regular divide la mediana en dos segmentos, el menor de los cuales es igual al radio del círculo inscrito y el mayor es igual al radio del círculo circunscrito.

El radio del círculo circunscrito es el doble del radio del círculo inscrito: R=2r

longitud mediana triangulo arbitrario

,

aquí, la mediana dibujada hacia el lado, las longitudes de los lados del triángulo.

Bisectriz de un triángulo

Este es el segmento bisector de cualquier ángulo de un triángulo que conecta el vértice de este ángulo con el lado opuesto.

Bisectriz de un triángulo divide un lado en segmentos proporcionales a los lados adyacentes:

Bisectrices de un triángulo se cortan en un punto, que es el centro del círculo inscrito.

Todos los puntos de la bisectriz del ángulo equidistan de los lados del ángulo.

Altura del triángulo

Este es un segmento perpendicular que cae desde el vértice del triángulo hacia el lado opuesto, o su continuación. En un triángulo obtuso, la altura trazada desde el vértice del ángulo agudo se encuentra fuera del triángulo.

Las alturas de un triángulo se cortan en un punto llamado ortocentro del triángulo.

Para encontrar la altura de un triángulo. dibujado hacia un lado, necesitas encontrar su área de cualquier forma disponible y luego usar la fórmula:

Centro de la circunferencia circunscrita de un triángulo, se encuentra en el punto de intersección de las bisectrices perpendiculares dibujadas a los lados del triángulo.

Radio de circunferencia de un triángulo. se puede encontrar usando las siguientes fórmulas:

Aquí están las longitudes de los lados del triángulo y el área del triángulo.

,

donde es la longitud del lado del triángulo y es el ángulo opuesto. (Esta fórmula se deriva del teorema del seno).

Desigualdad triangular

Cada lado del triángulo es menor que la suma y mayor que la diferencia de los otros dos.

La suma de las longitudes de dos lados cualesquiera es siempre mayor que la longitud del tercer lado:

Frente al lado mayor se encuentra el ángulo mayor; Frente al ángulo mayor se encuentra el lado mayor:

Si, entonces viceversa.

Teorema de los senos:

Los lados de un triángulo son proporcionales a los senos de los ángulos opuestos:

Teorema del coseno:

El cuadrado de un lado de un triángulo es igual a la suma de los cuadrados de los otros dos lados sin el doble del producto de estos lados por el coseno del ángulo entre ellos:

Triángulo rectángulo

- Este es un triángulo, uno de cuyos ángulos mide 90°.

La suma de los ángulos agudos de un triángulo rectángulo es 90°.

La hipotenusa es el lado opuesto al ángulo de 90°. La hipotenusa es el lado más largo.

Teorema de pitágoras:

el cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de los catetos:

El radio de una circunferencia inscrita en un triángulo rectángulo es igual a

,

aquí está el radio del círculo inscrito, - los catetos, - la hipotenusa:

Centro de la circunferencia circunscrita de un triángulo rectángulo se encuentra en medio de la hipotenusa:

Mediana de un triángulo rectángulo trazado hasta la hipotenusa, es igual a la mitad de la hipotenusa.

Definición de seno, coseno, tangente y cotangente de un triángulo rectángulo mirar

La proporción de elementos en un triángulo rectángulo:

El cuadrado de la altura de un triángulo rectángulo trazado desde el vértice de un ángulo recto es igual al producto de las proyecciones de los catetos sobre la hipotenusa:

El cuadrado del cateto es igual al producto de la hipotenusa por la proyección del cateto sobre la hipotenusa:

Pierna opuesta a la esquina. igual a la mitad de la hipotenusa:

Triángulo isósceles.

La bisectriz de un triángulo isósceles trazada hasta la base es la mediana y la altitud.

En un triángulo isósceles los ángulos de la base son iguales.

Ángulo del ápice.

Y - lados,

Y - ángulos en la base.

Altura, bisectriz y mediana.

¡Atención! La altura, la bisectriz y la mediana dibujadas hacia el lado no coinciden.

Triángulo regular

(o triángulo equilátero ) es un triángulo cuyos lados y ángulos son iguales entre sí.

Área de un triángulo regular igual a

¿Dónde está la longitud del lado del triángulo?

Centro de un círculo inscrito en un triángulo regular., coincide con el centro del círculo circunscrito a un triángulo regular y se encuentra en el punto de intersección de las medianas.

Punto de intersección de las medianas de un triángulo regular. divide la mediana en dos segmentos, el menor de los cuales es igual al radio del círculo inscrito y el mayor es igual al radio del círculo circunscrito.

Si uno de los ángulos de un triángulo isósceles mide 60°, entonces el triángulo es regular.

Línea media del triángulo

Este es un segmento que conecta los puntos medios de dos lados.

En la figura DE es la línea media del triángulo ABC.

La línea media del triángulo es paralela al tercer lado e igual a su mitad: DE||AC, AC=2DE

Ángulo externo de un triángulo

Este es el ángulo adyacente a cualquier ángulo del triángulo.

Un ángulo exterior de un triángulo es igual a la suma de dos ángulos no adyacentes a él.

Funciones trigonométricas de ángulos externos:

Signos de igualdad de triángulos:

1 . Si dos lados y el ángulo entre ellos de un triángulo son respectivamente iguales a dos lados y el ángulo entre ellos de otro triángulo, entonces dichos triángulos son congruentes.

2 . Si un lado y dos ángulos adyacentes de un triángulo son respectivamente iguales a un lado y dos ángulos adyacentes de otro triángulo, entonces dichos triángulos son congruentes.

3 Si tres lados de un triángulo son respectivamente iguales a tres lados de otro triángulo, entonces dichos triángulos son congruentes.

Importante: Dado que en un triángulo rectángulo dos ángulos son obviamente iguales, entonces para igualdad de dos triángulos rectángulos Sólo se requiere la igualdad de dos elementos: dos lados, o un lado y un ángulo agudo.

Signos de similitud de triángulos:

1 . Si dos lados de un triángulo son proporcionales a dos lados de otro triángulo y los ángulos entre estos lados son iguales, entonces estos triángulos son semejantes.

2 . Si tres lados de un triángulo son proporcionales a tres lados de otro triángulo, entonces los triángulos son semejantes.

3 . Si dos ángulos de un triángulo son iguales a dos ángulos de otro triángulo, entonces los triángulos son semejantes.

Importante: En triángulos semejantes, los lados semejantes se encuentran frente a ángulos iguales.

Teorema de Menelao

Sea una recta que interseque a un triángulo, y es el punto de su intersección con el lado, es el punto de su intersección con el lado, y es el punto de su intersección con la continuación del lado. Entonces

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