Aislamiento 

Encontrar el área de un trapezoide curvo. El área de un trapecio curvilíneo es numéricamente igual a una integral definida

Tema: Calcular el área de una figura plana usando una integral definida

Objetivos: aprender la definición y fórmulas para encontrar el área de un trapecio curvilíneo;

considerar varios casos encontrar el área de un trapecio curvilíneo;

Ser capaz de calcular el área de un trapecio curvo.

Plan:

Trapezoide curvilíneo.

Fórmulas para calcular el área de un trapecio curvo.

trapezoide curvilíneo es una figura que está limitada por la gráfica de una función continua y no negativa f(x) en el intervalo, los segmentos de recta x=a y x=b, así como un segmento del eje x entre los puntos a y b .

Imágenes de trapecios curvos:

Ahora pasemos a opciones posibles la ubicación de figuras cuya área debe calcularse en el plano de coordenadas.

Primero Habrá la opción más sencilla (la primera imagen), la habitual. trapecio curvo, como en la definición. No hay necesidad de inventar nada aquí, sólo toma la integral de a antes b de la función f(x). Si encontramos la integral, también sabremos el área de este trapezoide.


En segundo opción, nuestra figura estará limitada no por el eje x, sino por otra función gramo(x). Por lo tanto, para encontrar el área CEFD, primero necesitamos encontrar el área AEFB(usando la integral de f(x)), luego encuentre el área ACDB(usando la integral de gramo(x)). Y el área requerida de la figura. CEFD, habrá una diferencia entre la primera y la segunda área del trapecio curvo. Dado que aquí los límites de integración son los mismos, todo esto se puede escribir bajo una integral (ver fórmulas debajo de la figura), todo depende de la complejidad de las funciones, en cuyo caso será más fácil encontrar la integral.



Tercero muy similar al primero, pero solo se coloca nuestro trapezoide, no arriba eje x y debajo de él. Por lo tanto, aquí debemos tomar la misma integral, solo que con un signo menos, porque el valor de la integral será negativo y el valor del área debería ser positivo. Si en lugar de una función f(x) tomar función –f(x), entonces su gráfica será la misma, simplemente mostrada simétricamente con respecto al eje x.


Y cuatro opción cuando parte de nuestra figura está por encima del eje x y parte por debajo de él. Por lo tanto, primero necesitamos encontrar el área de la figura. AEFB, como en la primera opción, y luego el área de la figura. A B C D, como en la tercera opción y luego doblarlos. Como resultado, obtenemos el área de la figura. DEFC. Dado que aquí los límites de integración son los mismos, todo esto se puede escribir bajo una integral (ver fórmulas debajo de la figura), todo depende de la complejidad de las funciones, en cuyo caso será más fácil encontrar la integral.




Preguntas de autoevaluación:

¿Qué figura se llama trapecio curvo?

¿Cómo encontrar el área de un trapecio curvo?

Una figura delimitada por la gráfica de una función continua no negativa $f(x)$ en el segmento $$ y las líneas $y=0, \ x=a$ y $x=b$ se llama trapecio curvilíneo.

El área del trapecio curvilíneo correspondiente se calcula mediante la fórmula:

$S=\int\limits_(a)^(b)(f(x)dx).$ (*)

Dividiremos condicionalmente los problemas para encontrar el área de un trapecio curvilíneo en tipos $4$. Veamos cada tipo con más detalle.

Tipo I: se especifica explícitamente un trapecio curvo. Luego aplique inmediatamente la fórmula (*).

Por ejemplo, encuentra el área de un trapecio curvilíneo acotado por la gráfica de la función $y=4-(x-2)^(2)$ y las rectas $y=0, \x=1$ y $x =3$.

Dibujemos este trapezoide curvo.

Usando la fórmula (*), encontramos el área de este trapecio curvilíneo.

$S=\int\limits_(1)^(3)(\left(4-(x-2)^(2)\right)dx)=\int\limits_(1)^(3)(4dx)- \int\limits_(1)^(3)((x-2)^(2)dx)=4x|_(1)^(3) – \left.\frac((x-2)^(3) )(3)\derecha|_(1)^(3)=$

$=4(3-1)-\frac(1)(3)\left((3-2)^(3)-(1-2)^(3)\right)=4 \cdot 2 – \frac (1)(3)\izquierda((1)^(3)-(-1)^(3)\derecha) = 8 – \frac(1)(3)(1+1) =$

$=8-\frac(2)(3)=7\frac(1)(3)$ (unidades$^(2)$).

Tipo II: el trapecio curvo se especifica implícitamente. En este caso, las líneas rectas $x=a, \ x=b$ generalmente no se especifican o se especifican parcialmente. En este caso, necesitas encontrar los puntos de intersección de las funciones $y=f(x)$ y $y=0$. Estos puntos serán los puntos $a$ y $b$.

Por ejemplo, encuentra el área de una figura delimitada por las gráficas de las funciones $y=1-x^(2)$ y $y=0$.

Encontremos los puntos de intersección. Para hacer esto, igualamos los lados derechos de las funciones.

Por lo tanto, $a=-1$ y $b=1$. Dibujemos este trapezoide curvo.

Encontremos el área de este trapecio curvo.

$S=\int\limits_(-1)^(1)(\left(1-x^(2)\right)dx)=\int\limits_(-1)^(1)(1dx)-\int \limits_(-1)^(1)(x^(2)dx)=x|_(-1)^(1) – \left.\frac(x^(3))(3)\right|_ (-1)^(1)=$

$=(1-(-1))-\frac(1)(3)\left(1^(3)-(-1)^(3)\right)=2 – \frac(1)(3) \left(1+1\right) = 2 – \frac(2)(3) = 1\frac(1)(3)$ (unidades$^(2)$).

Tipo III: el área de una figura limitada por la intersección de dos funciones continuas no negativas. Esta figura no será un trapecio curvo, lo que significa que no puedes calcular su área usando la fórmula (*). ¿Cómo ser? Resulta que el área de esta figura se puede encontrar como la diferencia entre las áreas de trapecios curvilíneos acotados por la función superior y $y=0$ ($S_(uf)$), y la función inferior y $y =0$ ($S_(lf)$), donde el papel de $x=a, \ x=b$ lo desempeñan las coordenadas $x$ de los puntos de intersección de estas funciones, es decir,

$S=S_(uf)-S_(lf)$. (**)

Lo más importante al calcular dichas áreas es no “fallarse” en la elección de las funciones superior e inferior.

Por ejemplo, encuentre el área de una figura delimitada por las funciones $y=x^(2)$ y $y=x+6$.

Encontremos los puntos de intersección de estas gráficas:

Según el teorema de Vieta,

$x_(1)=-2,\x_(2)=3.$

Es decir, $a=-2,\b=3$. Dibujemos una figura:

Por lo tanto, la función superior es $y=x+6$, y la función inferior es $y=x^(2)$. A continuación, encontramos $S_(uf)$ y $S_(lf)$ usando la fórmula (*).

$S_(uf)=\int\limits_(-2)^(3)((x+6)dx)=\int\limits_(-2)^(3)(xdx)+\int\limits_(-2 )^(3)(6dx)=\left.\frac(x^(2))(2)\right|_(-2)^(3) + 6x|_(-2)^(3)= 32 .5$ (unidades$^(2)$).

$S_(lf)=\int\limits_(-2)^(3)(x^(2)dx)=\left.\frac(x^(3))(3)\right|_(-2) ^(3) = \frac(35)(3)$ (unidades$^(2)$).

Sustituyamos lo que encontramos en (**) y obtenemos:

$S=32.5-\frac(35)(3)= \frac(125)(6)$ (unidades$^(2)$).

Tipo IV: el área de una figura acotada por una(s) función(es) que no satisface la condición de no negatividad. Para encontrar el área de dicha figura, debes ser simétrico con respecto al eje $Ox$ ( en otras palabras, coloque "menos" delante de las funciones) muestre el área y, utilizando los métodos descritos en los tipos I - III, encuentre el área del área mostrada. Esta área será el área requerida. Primero, es posible que tengas que encontrar los puntos de intersección de las gráficas de funciones.

Por ejemplo, encuentra el área de una figura delimitada por las gráficas de las funciones $y=x^(2)-1$ y $y=0$.

Encontremos los puntos de intersección de las gráficas de funciones:

aquellos. $a=-1$ y $b=1$. Dibujemos el área.

Mostremos el área simétricamente:

$y=0 \ \Flecha derecha \ y=-0=0$

$y=x^(2)-1 \ \Flecha derecha \ y= -(x^(2)-1) = 1-x^(2)$.

El resultado es un trapezoide curvilíneo acotado por la gráfica de la función $y=1-x^(2)$ y $y=0$. Este es un problema para encontrar un trapezoide curvo del segundo tipo. Ya lo hemos solucionado. La respuesta fue: $S= 1\frac(1)(3)$ (unidades $^(2)$). Esto significa que el área del trapecio curvilíneo requerido es igual a:

$S=1\frac(1)(3)$ (unidades$^(2)$).

Problema 1(sobre el cálculo del área de un trapezoide curvo).

En el sistema de coordenadas rectangular cartesiano xOy, se da una figura (ver figura) delimitada por el eje x, líneas rectas x = a, x = b (a por un trapecio curvilíneo. Se requiere calcular el área de un curvilíneo trapezoide.
Solución. La geometría nos da recetas para calcular las áreas de polígonos y algunas partes de un círculo (sector, segmento). Usando consideraciones geométricas, solo podemos encontrar un valor aproximado del área requerida, razonando de la siguiente manera.

Dividamos el segmento [a; b] (base de un trapecio curvo) en n partes iguales; esta partición se realiza utilizando los puntos x 1, x 2, ... x k, ... x n-1. Dibujemos líneas rectas a través de estos puntos paralelas al eje y. Luego, el trapezoide curvilíneo dado se dividirá en n partes, en n columnas estrechas. El área de todo el trapezoide es igual a la suma de las áreas de las columnas.

Consideremos la k-ésima columna por separado, es decir un trapecio curvo cuya base es un segmento. Reemplacémoslo con un rectángulo con la misma base y altura igual a f(x k) (ver figura). El área del rectángulo es igual a \(f(x_k) \cdot \Delta x_k \), donde \(\Delta x_k \) es la longitud del segmento; Es natural considerar el producto resultante como un valor aproximado del área de la k-ésima columna.

Si ahora hacemos lo mismo con todas las demás columnas, llegaremos al siguiente resultado: el área S de un trapezoide curvilíneo dado es aproximadamente igual al área S n de una figura escalonada formada por n rectángulos (ver figura):
\(S_n = f(x_0)\Delta x_0 + \dots + f(x_k)\Delta x_k + \dots + f(x_(n-1))\Delta x_(n-1) \)
Aquí, en aras de la uniformidad de la notación, suponemos que a = x 0, b = x n; \(\Delta x_0 \) - longitud del segmento, \(\Delta x_1 \) - longitud del segmento, etc.; en este caso, como acordamos anteriormente, \(\Delta x_0 = \dots = \Delta x_(n-1) \)

Entonces, \(S \approx S_n \), y esta igualdad aproximada es más precisa cuanto mayor es n.
Por definición, se cree que el área requerida de un trapezoide curvilíneo es igual al límite de la secuencia (S n):
$$ S = \lim_(n \to \infty) S_n $$

Problema 2(sobre mover un punto)
Un punto material se mueve en línea recta. La dependencia de la velocidad con el tiempo se expresa mediante la fórmula v = v(t). Encuentre el movimiento de un punto durante un período de tiempo [a; b].
Solución. Si el movimiento fuera uniforme, entonces el problema se resolvería de forma muy sencilla: s = vt, es decir s = v(b-a). Para movimientos desiguales, hay que utilizar las mismas ideas en las que se basó la solución al problema anterior.
1) Dividir el intervalo de tiempo [a; b] en n partes iguales.
2) Considere un período de tiempo y suponga que durante este período la velocidad fue constante, igual que en el momento t k. Entonces suponemos que v = v(t k).
3) Encontremos el valor aproximado del movimiento del punto durante un período de tiempo; denotaremos este valor aproximado como s k
\(s_k = v(t_k) \Delta t_k \)
4) Encuentre el valor aproximado del desplazamiento s:
\(s \aprox S_n \) donde
\(S_n = s_0 + \dots + s_(n-1) = v(t_0)\Delta t_0 + \dots + v(t_(n-1)) \Delta t_(n-1) \)
5) El desplazamiento requerido es igual al límite de la secuencia (S n):
$$ s = \lim_(n \to \infty) S_n $$

Resumamos. Las soluciones a varios problemas se redujeron al mismo modelo matemático. Muchos problemas de diversos campos de la ciencia y la tecnología conducen al mismo modelo en el proceso de solución. Esto significa que este modelo matemático debe ser estudiado especialmente.

El concepto de integral definida.

Demos una descripción matemática del modelo que se construyó en los tres problemas considerados para la función y = f(x), continua (pero no necesariamente no negativa, como se supuso en los problemas considerados) en el intervalo [a; b]:
1) dividir el segmento [a; b] en n partes iguales;
2) hacer la suma $$ S_n = f(x_0)\Delta x_0 + f(x_1)\Delta x_1 + \dots + f(x_(n-1))\Delta x_(n-1) $$
3) calcular $$ \lim_(n \to \infty) S_n $$

En el curso del análisis matemático se demostró que este límite existe en el caso de una función continua (o continua por partes). El es llamado cierta integral de la función y = f(x) sobre el segmento [a; b] y denotado de la siguiente manera:
\(\int\limits_a^b f(x) dx \)
Los números a y b se denominan límites de integración (inferior y superior, respectivamente).

Volvamos a las tareas comentadas anteriormente. La definición de área dada en el problema 1 ahora se puede reescribir de la siguiente manera:
\(S = \int\limits_a^b f(x) dx \)
aquí S es el área del trapezoide curvo que se muestra en la figura anterior. Esto es Significado geométrico de una integral definida.

La definición del desplazamiento s de un punto que se mueve en línea recta con una velocidad v = v(t) durante el período de tiempo desde t = a hasta t = b, dada en el problema 2, se puede reescribir de la siguiente manera:

Fórmula de Newton-Leibniz

Primero, respondamos la pregunta: ¿cuál es la conexión entre la integral definida y la primitiva?

La respuesta se puede encontrar en el problema 2. Por un lado, el desplazamiento s de un punto que se mueve en línea recta con una velocidad v = v(t) durante el período de tiempo desde t = a hasta t = b se calcula mediante la formula
\(S = \int\limits_a^b v(t) dt \)

Por otro lado, la coordenada de un punto en movimiento es una antiderivada de la velocidad; denotémosla s(t); esto significa que el desplazamiento s se expresa mediante la fórmula s = s(b) - s(a). Como resultado obtenemos:
\(S = \int\limits_a^b v(t) dt = s(b)-s(a) \)
donde s(t) es la antiderivada de v(t).

El siguiente teorema fue demostrado en el curso del análisis matemático.
Teorema. Si la función y = f(x) es continua en el intervalo [a; b], entonces la fórmula es válida
\(S = \int\limits_a^b f(x) dx = F(b)-F(a) \)
donde F(x) es la antiderivada de f(x).

La fórmula dada generalmente se llama Fórmula de Newton-Leibniz en honor al físico inglés Isaac Newton (1643-1727) y al filósofo alemán Gottfried Leibniz (1646-1716), quienes lo recibieron de forma independiente y casi simultáneamente.

En la práctica, en lugar de escribir F(b) - F(a), usan la notación \(\left. F(x)\right|_a^b \) (a veces se le llama doble sustitución) y, en consecuencia, reescribe la fórmula de Newton-Leibniz de esta forma:
\(S = \int\limits_a^b f(x) dx = \left. F(x)\right|_a^b \)

Al calcular una integral definida, primero encuentre la primitiva y luego realice una doble sustitución.

Basándonos en la fórmula de Newton-Leibniz, podemos obtener dos propiedades de la integral definida.

Propiedad 1. La integral de la suma de funciones es igual a la suma de las integrales:
\(\int\limits_a^b (f(x) + g(x))dx = \int\limits_a^b f(x)dx + \int\limits_a^b g(x)dx \)

Propiedad 2. El factor constante se puede sacar del signo integral:
\(\int\limits_a^b kf(x)dx = k \int\limits_a^b f(x)dx \)

Calcular las áreas de figuras planas usando una integral definida.

Con la ayuda de la integral, es posible calcular las áreas no solo de trapecios curvos, sino también de figuras planas de un tipo más complejo, por ejemplo, el que se muestra en la figura. La figura P está limitada por las rectas x = a, x = b y gráficas de funciones continuas y = f(x), y = g(x), y en el segmento [a; b] la desigualdad \(g(x) \leq f(x) \) se cumple. Para calcular el área S de dicha figura procederemos de la siguiente manera:
\(S = S_(ABCD) = S_(aDCb) - S_(aABb) = \int\limits_a^b f(x) dx - \int\limits_a^b g(x) dx = \)
\(= \int\limits_a^b (f(x)-g(x))dx \)

Entonces, el área S de una figura delimitada por rectas x = a, x = b y gráficas de funciones y = f(x), y = g(x), continuas en el segmento y tales que para cualquier x del segmento [a; b] se satisface la desigualdad \(g(x) \leq f(x) \), calculada mediante la fórmula
\(S = \int\limits_a^b (f(x)-g(x))dx \)

Tabla de integrales indefinidas (antiderivadas) de algunas funciones

$$ \int 0 \cdot dx = C $$ $$ \int 1 \cdot dx = x+C $$ $$ \int x^n dx = \frac(x^(n+1))(n+1 ) +C\;\; (n \neq -1) $$ $$ \int \frac(1)(x) dx = \ln |x| +C $$ $$ \int e^x dx = e^x +C $$ $$ \int a^x dx = \frac(a^x)(\ln a) +C \;\; (a>0, \;\; a \neq 1) $$ $$ \int \cos x dx = \sin x +C $$ $$ \int \sin x dx = -\cos x +C $$ $ $ \int \frac(dx)(\cos^2 x) = \text(tg) x +C $$ $$ \int \frac(dx)(\sin^2 x) = -\text(ctg) x +C $$ $$ \int \frac(dx)(\sqrt(1-x^2)) = \text(arcsin) x +C $$ $$ \int \frac(dx)(1+x^2 ) = \text(arctg) x +C $$ $$ \int \text(ch) x dx = \text(sh) x +C $$ $$ \int \text(sh) x dx = \text(ch )x+C$$









De vuelta atras

¡Atención! Las vistas previas de diapositivas tienen únicamente fines informativos y es posible que no representen todas las características de la presentación. Si estás interesado este trabajo, descargue la versión completa.

Palabras clave: trapecio integral, curvilíneo, área de figuras delimitadas por lirios

Equipo: pizarra, ordenador, proyector multimedia

tipo de lección: lección-conferencia

Objetivos de la lección:

  • educativo: crear una cultura de trabajo mental, crear una situación de éxito para cada estudiante y crear motivación positiva para el aprendizaje; Desarrollar la capacidad de hablar y escuchar a los demás.
  • desarrollando: formación del pensamiento independiente del estudiante en la aplicación de conocimientos en diversas situaciones, la capacidad de analizar y sacar conclusiones, desarrollo de la lógica, desarrollo de la capacidad de plantear correctamente preguntas y encontrar respuestas. Mejorar la formación de habilidades computacionales, desarrollar el pensamiento de los estudiantes durante la realización de las tareas propuestas, desarrollar una cultura algorítmica.
  • educativo: formar conceptos sobre un trapezoide curvilíneo, sobre una integral, dominar las habilidades de calcular las áreas de figuras planas

Método de enseñanza: explicativo e ilustrativo.

durante las clases

En clases anteriores aprendimos a calcular las áreas de figuras cuyos límites son líneas quebradas. En matemáticas existen métodos que permiten calcular las áreas de figuras delimitadas por curvas. Estas figuras se denominan trapecios curvilíneos y su área se calcula mediante antiderivadas.

Trapecio curvilíneo ( diapositiva 1)

Un trapezoide curvo es una figura delimitada por la gráfica de una función, ( sh.m.), derecho x = un Y x = segundo y eje x

Varios tipos de trapecios curvos ( diapositiva 2)

Estamos considerando diferentes tipos trapecios curvilíneos y aviso: una de las líneas degenera en un punto, el papel de función limitante lo desempeña la línea

Área de un trapecio curvo (diapositiva 3)

Arreglar el extremo izquierdo del intervalo. A, y el correcto X cambiaremos, es decir, moveremos la pared derecha del trapezoide curvilíneo y obtendremos una figura cambiante. El área de un trapecio curvilíneo variable delimitada por la gráfica de la función es una primitiva F para función F

Y en el segmento [ a; b] área de un trapezoide curvilíneo formado por la función F, es igual al incremento de la primitiva de esta función:

Ejercicio 1:

Encuentra el área de un trapecio curvilíneo delimitado por la gráfica de la función: f(x) = x 2 y recto y = 0, x = 1, x = 2.

Solución: ( según el algoritmo diapositiva 3)

Dibujemos una gráfica de la función y las líneas.

Busquemos uno de funciones antiderivadas f(x) = x 2 :

Autoprueba en diapositiva

Integral

Considere un trapecio curvilíneo definido por la función F en el segmento [ a; b]. Dividamos este segmento en varias partes. El área de todo el trapecio se dividirá por la suma de las áreas de trapecios curvos más pequeños. ( diapositiva 5). Cada uno de estos trapecio puede considerarse aproximadamente un rectángulo. La suma de las áreas de estos rectángulos da una idea aproximada del área total del trapecio curvo. Cuanto más pequeño dividimos el segmento [ a; b], con mayor precisión calculamos el área.

Escribamos estos argumentos en forma de fórmulas.

Divida el segmento [ a; b] en n partes por puntos x 0 =a, x1,...,xn = b. Longitud k- th denotamos por xk = xk – xk-1. hagamos una suma

Geométricamente, esta suma representa el área de la figura sombreada en la figura ( sh.m.)

Las sumas de la forma se llaman sumas integrales de la función. F. (sh.m.)

Las sumas integrales dan un valor aproximado del área. El valor exacto se obtiene pasando al límite. Imaginemos que estamos refinando la partición del segmento [ a; b] de modo que las longitudes de todos los segmentos pequeños tiendan a cero. Entonces el área de la figura compuesta se acercará al área del trapecio curvo. Podemos decir que el área de un trapecio curvo es igual al límite de sumas integrales, sc.t. (sh.m.) o integral, es decir,

Definición:

Integral de una función f(x) de a antes b llamado límite de sumas integrales

= (sh.m.)

Fórmula de Newton-Leibniz.

Recordamos que el límite de las sumas integrales es igual al área de un trapecio curvilíneo, lo que significa que podemos escribir:

sc.t. = (sh.m.)

Por otro lado, el área de un trapecio curvo se calcula mediante la fórmula

S k.t. (sh.m.)

Comparando estas fórmulas, obtenemos:

= (sh.m.)

Esta igualdad se llama fórmula de Newton-Leibniz.

Para facilitar el cálculo, la fórmula se escribe como:

= = (sh.m.)

Tareas: (sh.m.)

1. Calcule la integral usando la fórmula de Newton-Leibniz: ( consulte la diapositiva 5)

2. Redacte integrales según el dibujo ( consulte la diapositiva 6)

3. Encuentra el área de la figura delimitada por las líneas: y = x 3, y = 0, x = 1, x = 2. ( Diapositiva 7)

Encontrar las áreas de figuras planas ( diapositiva 8)

¿Cómo encontrar el área de figuras que no son trapecios curvos?

Dejemos que se den dos funciones, cuyas gráficas ves en la diapositiva. . (sh.m.) Encuentra el área de la figura sombreada. . (sh.m.). ¿Es la figura en cuestión un trapecio curvo? ¿Cómo puedes encontrar su área usando la propiedad de aditividad del área? Considere dos trapecios curvos y reste el área del otro del área de uno de ellos ( sh.m.)

Creemos un algoritmo para encontrar el área usando animación en una diapositiva:

  1. Funciones gráficas
  2. Proyecta los puntos de intersección de las gráficas en el eje x.
  3. Sombrea la figura obtenida cuando las gráficas se cruzan.
  4. Encuentra trapecios curvilíneos cuya intersección o unión sea la figura dada.
  5. Calcula el área de cada uno de ellos.
  6. Encuentra la diferencia o suma de áreas.

Tarea oral: Cómo obtener el área de una figura sombreada (decir usando animación, diapositiva 8 y 9)

Tarea: Analice las notas, núm. 353 (a), núm. 364 (a).

Bibliografía

  1. Álgebra y los inicios del análisis: un libro de texto para los grados 9-11 de la escuela nocturna (turno) / ed. G.D. Glaser. - M: Ilustración, 1983.
  2. Bashmakov M.I. Álgebra y los inicios del análisis: un libro de texto para los grados 10-11 de la escuela secundaria / Bashmakov M.I. - M: Ilustración, 1991.
  3. Bashmakov M.I. Matemáticas: libro de texto para instituciones que comienzan. y miércoles profe. educación / M.I. Bashmákov. - M: Academia, 2010.
  4. Kolmogorov A.N. Álgebra y principios del análisis: libro de texto para los grados 10-11. instituciones educativas / A.N. Kolmogorov. - M: Educación, 2010.
  5. Ostrovsky S.L. ¿Cómo hacer una presentación para una lección?/ S.L. Ostrovsky. – M.: 1 de septiembre de 2010.

Sea la función no negativa y continua en el intervalo. Luego, de acuerdo con el significado geométrico de una integral definida, el área de un trapecio curvilíneo delimitada arriba por la gráfica de esta función, abajo por el eje, a la izquierda y a la derecha por líneas rectas y (ver Fig.2) es calculado por la fórmula

Ejemplo 9. Encuentra el área de la figura delimitada por la recta y el eje.

Solución. Gráfico de funciones es una parábola cuyas ramas se dirigen hacia abajo. Vamos a construirlo (Fig. 3). Para determinar los límites de integración, encontramos los puntos de intersección de la recta (parábola) con el eje (recta). Para ello resolvemos el sistema de ecuaciones.

Obtenemos: , dónde , ; por eso, , .

Arroz. 3

Encontramos el área de la figura usando la fórmula (5):

Si la función no es positiva y es continua en el segmento , entonces el área del trapecio curvilíneo delimitada abajo por la gráfica de esta función, arriba por el eje, a la izquierda y a la derecha por líneas rectas y , se calcula mediante el fórmula

. (6)

Si la función es continua en un segmento y cambia de signo en un número finito de puntos, entonces el área de la figura sombreada (Fig.4) es igual a la suma algebraica de las integrales definidas correspondientes:

Arroz. 4

Ejemplo 10. Calcula el área de la figura delimitada por el eje y la gráfica de la función en .

Arroz. 5

Solución. Hagamos un dibujo (Fig. 5). El área requerida es la suma de las áreas y . Encontremos cada una de estas áreas. Primero, determinamos los límites de integración resolviendo el sistema. Obtenemos , . Por eso:

;

.

Por tanto, el área de la figura sombreada es

(unidades cuadradas).

Arroz. 6

Finalmente, dejemos que el trapecio curvilíneo esté acotado arriba y abajo por las gráficas de funciones continuas en el segmento y ,
ya la izquierda y a la derecha, líneas rectas y (Fig. 6). Entonces su área se calcula mediante la fórmula



. (8)

Ejemplo 11. Encuentra el área de la figura delimitada por las rectas y.

Solución. Esta figura se muestra en la Fig. 7. Calculemos su área usando la fórmula (8). Resolviendo el sistema de ecuaciones encontramos, ; por eso, , . En el segmento tenemos: . Esto significa que en la fórmula (8) tomamos como X, y como cualidad – . Obtenemos:

(unidades cuadradas).

Los problemas más complejos de cálculo de áreas se resuelven dividiendo la figura en partes que no se superponen y calculando el área de toda la figura como la suma de las áreas de estas partes.

Arroz. 7

Ejemplo 12. Encuentra el área de la figura delimitada por las líneas , , .

Solución. Hagamos un dibujo (Fig. 8). Esta figura se puede considerar como un trapezoide curvilíneo, delimitado desde abajo por el eje, hacia la izquierda y hacia la derecha, por líneas rectas y, desde arriba, por gráficas de funciones y. Dado que la figura está limitada desde arriba por las gráficas de dos funciones, para calcular su área dividimos esta figura recta en dos partes (1 es la abscisa del punto de intersección de las rectas y ). El área de cada una de estas partes se encuentra mediante la fórmula (4):

(unidades cuadradas); (unidades cuadradas). Por eso:

(unidades cuadradas).

Arroz. 8

X=j( en)

Arroz. 9

En conclusión, observamos que si un trapezoide curvilíneo está limitado por líneas rectas y , eje y continuo en la curva (Fig.9), entonces su área se encuentra mediante la fórmula

Volumen de un cuerpo de rotación.

Dejemos que un trapezoide curvilíneo, delimitado por la gráfica de una función continua en un segmento, por un eje, por líneas rectas y , gire alrededor del eje (Fig. 10). Luego, el volumen del cuerpo de rotación resultante se calcula mediante la fórmula

. (9)

Ejemplo 13. Calcula el volumen de un cuerpo obtenido al girar alrededor del eje de un trapezoide curvilíneo delimitado por una hipérbola, rectas y un eje.

Solución. Hagamos un dibujo (Fig. 11).

De las condiciones del problema se deduce que , . De la fórmula (9) obtenemos

.

Arroz. 10

Arroz. once

Volumen de un cuerpo obtenido por rotación alrededor de un eje. UNED trapezoide curvilíneo delimitado por líneas rectas y = c Y y = d, eje UNED y una gráfica de una función continua en un segmento (Fig.12), determinada por la fórmula

. (10)

X=j( en)

Arroz. 12

Ejemplo 14. Calcular el volumen de un cuerpo obtenido al girar alrededor de un eje. UNED trapezoide curvilíneo delimitado por líneas X 2 = 4en, y = 4, x = 0 (Figura 13).

Solución. De acuerdo con las condiciones del problema, encontramos los límites de integración: , . Usando la fórmula (10) obtenemos:

Arroz. 13

Longitud de arco de una curva plana.

Sea la curva dada por la ecuación , donde , se encuentra en el plano (Fig. 14).

Arroz. 14

Definición. Se entiende por longitud de un arco el límite al que tiende la longitud de una línea discontinua inscrita en este arco, cuando el número de eslabones de la línea discontinua tiende a infinito, y la longitud del eslabón más grande tiende a cero.

Si una función y su derivada son continuas en el segmento, entonces la longitud del arco de la curva se calcula mediante la fórmula

. (11)

Ejemplo 15. Calcule la longitud del arco de la curva encerrada entre los puntos para los cuales .

Solución. De las condiciones problemáticas que tenemos . Usando la fórmula (11) obtenemos:

4. Integrales impropias
con infinitos límites de integración

Al introducir el concepto de integral definida, se supuso que se cumplían las dos condiciones siguientes:

a) límites de integración A y son finitos;

b) el integrando está acotado en el intervalo.

Si al menos una de estas condiciones no se cumple, entonces la integral se llama no tuyo.

Consideremos primero integrales impropias con límites infinitos de integración.

Definición. Sea la función definida y continua en el intervalo, entonces e ilimitado a la derecha (Fig. 15).

Si la integral impropia converge, entonces esta área es finita; si la integral impropia diverge, entonces esta área es infinita.

Arroz. 15

Una integral impropia con un límite inferior de integración infinito se define de manera similar:

. (13)

Esta integral converge si el límite en el lado derecho de la igualdad (13) existe y es finito; en caso contrario se dice que la integral es divergente.

Una integral impropia con dos límites infinitos de integración se define de la siguiente manera:

, (14)

donde с es cualquier punto del intervalo. La integral converge solo si ambas integrales del lado derecho de la igualdad (14) convergen.

;

GRAMO) = [seleccione un cuadrado completo en el denominador: ] = [reemplazo:

] =

Esto significa que la integral impropia converge y su valor es igual a .