Lista de integrales de funciones elementales. Antiderivada
Enumeremos las integrales de funciones elementales, que a veces se denominan tabulares:
Cualquiera de las fórmulas anteriores se puede probar tomando la derivada del lado derecho (el resultado será el integrando).
Métodos de integración
Veamos algunos métodos de integración básicos. Éstas incluyen:
1. Método de descomposición(integración directa).
Este método se basa en el uso directo de integrales tabulares, así como en el uso de las propiedades 4 y 5 de la integral indefinida (es decir, quitar el factor constante entre paréntesis y/o representar el integrando como una suma de funciones - descomposición del integrando en términos).
Ejemplo 1. Por ejemplo, para encontrar(dx/x 4) puedes usar directamente la integral de tabla parax n dx. De hecho,(dx/x 4) =x -4 dx=x -3 /(-3) +C= -1/3x 3 +C.
Veamos algunos ejemplos más.
Ejemplo 2. Para encontrarlo usamos la misma integral:
Ejemplo 3. Para encontrarlo necesitas tomar
Ejemplo 4. Para encontrar, representamos la función integrando en la forma 
y use la integral de tabla para la función exponencial:
Consideremos el uso de corchetes como un factor constante.
Ejemplo 5.
Encontremos, por ejemplo 
. Considerando eso, obtenemos
Ejemplo 6. Lo encontraremos. Porque el 
, usemos la integral de tabla 
Obtenemos
En los dos ejemplos siguientes, también puede utilizar corchetes e integrales de tabla:
Ejemplo 7.
(usamos y 
);
Ejemplo 8.
(usamos 
Y 
).
Veamos ejemplos más complejos que usan la suma integral.
Ejemplo 9. Por ejemplo, busquemos 
. Para aplicar el método de expansión en el numerador, usamos la fórmula de suma cúbica , y luego dividimos el polinomio resultante por el denominador, término por término.
=((8x 3/2 + 12x+ 6x 1/2 + 1)/(x 3/2))dx=(8 + 12x -1/2 + 6/x+x -3/2)dx= 8 dx+ 12x -1/2 dx+ + 6dx/x+x -3/2 dx= 
Cabe señalar que al final de la solución se escribe una constante común C (y no separadas al integrar cada término). En el futuro, también se propone omitir las constantes de la integración de términos individuales en el proceso de solución siempre que la expresión contenga al menos una integral indefinida(escribiremos una constante al final de la solución).
Ejemplo 10. Lo encontraremos 
. Para resolver este problema, factoricemos el numerador (después de esto podemos reducir el denominador).
Ejemplo 11. Lo encontraremos. Aquí se pueden utilizar identidades trigonométricas.
A veces, para descomponer una expresión en términos, es necesario utilizar técnicas más complejas.
Ejemplo 12. Lo encontraremos 
. En el integrando seleccionamos la parte entera de la fracción. 
. Entonces
Ejemplo 13. Lo encontraremos
2. Método de reemplazo de variables (método de sustitución)
El método se basa en la siguiente fórmula: f(x)dx=f((t))`(t)dt, donde x =(t) es una función derivable en el intervalo considerado.
Prueba. Encontremos las derivadas con respecto a la variable t de los lados izquierdo y derecho de la fórmula.
Observa que en el lado izquierdo hay una función compleja cuyo argumento intermedio es x = (t). Por lo tanto, para derivarla con respecto a t, primero derivamos la integral con respecto a x, y luego tomamos la derivada del argumento intermedio con respecto a t.
( f(x)dx)` t = ( f(x)dx)` x *x` t = f(x) `(t)
Derivada del lado derecho:
(f((t))`(t)dt)` t =f((t))`(t) =f(x)`(t)
Dado que estas derivadas son iguales, como corolario del teorema de Lagrange, los lados izquierdo y derecho de la fórmula que se está demostrando difieren en una cierta constante. Dado que las integrales indefinidas se definen hasta un término constante indefinido, esta constante se puede omitir en la notación final. Probado.
Un cambio exitoso de variable le permite simplificar la integral original y, en los casos más simples, reducirla a una tabular. En la aplicación de este método se distingue entre métodos de sustitución lineales y no lineales.
a) Método de sustitución lineal Veamos un ejemplo.
Ejemplo 1.
. Sea t= 1 – 2x, entonces
dx=d(½ - ½t) = - ½dt
Cabe señalar que no es necesario escribir explícitamente la nueva variable. En tales casos, se habla de transformar una función bajo el signo diferencial o de introducir constantes y variables bajo el signo diferencial, es decir oh reemplazo implícito de variables.
Ejemplo 2. Por ejemplo, encontremoscos(3x + 2)dx. Por las propiedades del diferencial dx = (1/3)d(3x) = (1/3)d(3x + 2), entoncescos(3x + 2)dx =(1/3)cos(3x + 2)d (3x + + 2) = (1/3)cos(3x + 2)d(3x + 2) = (1/3)sen(3x + 2) +C.
En ambos ejemplos considerados, se utilizó la sustitución lineal t=kx+b(k0) para encontrar las integrales.
En el caso general, el siguiente teorema es válido.
Teorema de sustitución lineal. Sea F(x) alguna primitiva de la función f(x). Entoncesf(kx+b)dx= (1/k)F(kx+b) +C, donde k y b son algunas constantes,k0.
Prueba.
Por definición de la integral f(kx+b)d(kx+b) =F(kx+b) +C. Hod(kx+b)= (kx+b)`dx=kdx. Saquemos el factor constante k del signo integral: kf(kx+b)dx=F(kx+b) +C. Ahora podemos dividir los lados izquierdo y derecho de la igualdad en dos y obtener el enunciado a demostrar hasta la designación del término constante.
Este teorema establece que si en la definición de la integral f(x)dx= F(x) + C en lugar del argumento x sustituimos la expresión (kx+b), esto conducirá a la aparición de un adicional factor 1/k delante de la antiderivada.
Usando el teorema probado, resolvemos los siguientes ejemplos.
Ejemplo 3.
Lo encontraremos 
. Aquí kx+b= 3 –x, es decir k= -1,b= 3. Entonces
Ejemplo 4.
Lo encontraremos. Aquíkx+b= 4x+ 3, es decir k= 4,b= 3. Entonces
Ejemplo 5.
Lo encontraremos 
. Aquí kx+b= -2x+ 7, es decir k= -2,b= 7. Entonces
.
Ejemplo 6. Lo encontraremos 
. Aquí kx+b= 2x+ 0, es decir k= 2,b= 0.
.
Comparemos el resultado obtenido con el ejemplo 8, que se resolvió mediante el método de descomposición. Resolviendo el mismo problema usando un método diferente, obtuvimos la respuesta. 
. Comparemos los resultados: Por tanto, estas expresiones se diferencian entre sí por un término constante 
, es decir. Las respuestas recibidas no se contradicen.
Ejemplo 7. Lo encontraremos 
. Seleccionemos un cuadrado perfecto en el denominador.
En algunos casos, cambiar una variable no reduce la integral directamente a una tabular, pero puede simplificar la solución, haciendo posible utilizar el método de expansión en un paso posterior.
Ejemplo 8. Por ejemplo, busquemos 
. Reemplace t=x+ 2, luego dt=d(x+ 2) =dx. Entonces
,
donde C = C 1 – 6 (al sustituir la expresión (x+ 2) en lugar de los dos primeros términos obtenemos ½x 2 -2x– 6).
Ejemplo 9. Lo encontraremos 
. Sea t= 2x+ 1, entonces dt= 2dx;dx= ½dt;x= (t– 1)/2.
Sustituyamos la expresión (2x+ 1) por t, abramos los corchetes y demos otros similares.
Tenga en cuenta que en el proceso de transformaciones pasamos a otro término constante, porque el grupo de términos constantes podría omitirse durante el proceso de transformación.
b) Método de sustitución no lineal Veamos un ejemplo.
Ejemplo 1.
. Sea = -x 2. A continuación, se podría expresar x en términos de t, luego encontrar una expresión para dx e implementar un cambio de variable en la integral deseada. Pero en este caso es más fácil hacer las cosas de otra manera. Encontremosdt=d(-x 2) = -2xdx. Tenga en cuenta que la expresión xdx es un factor del integrando de la integral deseada. Expresémoslo a partir de la igualdad resultantexdx= - ½dt. Entonces
Función antiderivada e integral indefinida
Hecho 1. La integración es la acción inversa de la diferenciación, es decir, restaurar una función a partir de la derivada conocida de esta función. La función así restablecida F(X) se llama antiderivada para función F(X).
Definición 1. Función F(X F(X) en algún intervalo X, si para todos los valores X a partir de este intervalo se cumple la igualdad F "(X)=F(X), es decir, esta función F(X) es la derivada de la función antiderivada F(X). .
Por ejemplo, la función F(X) = pecado X es una antiderivada de la función F(X) = porque X en toda la recta numérica, ya que para cualquier valor de x (pecado X)" = (porque X) .
Definición 2. Integral indefinida de una función F(X) es el conjunto de todas sus antiderivadas. En este caso se utiliza la notación
∫
F(X)dx
,donde esta la señal ∫ llamada signo integral, la función F(X) – función integrando, y F(X)dx – expresión integrando.
Así, si F(X) – alguna antiderivada para F(X) , Eso
∫
F(X)dx = F(X) +C
Dónde C - constante arbitraria (constante).
Para comprender el significado del conjunto de primitivas de una función como integral indefinida, resulta apropiada la siguiente analogía. Que haya una puerta (tradicional puerta de madera). Su función es “ser una puerta”. ¿De qué está hecha la puerta? Hecho de madera. Esto significa que el conjunto de primitivas del integrando de la función “ser una puerta”, es decir, su integral indefinida, es la función “ser un árbol + C”, donde C es una constante, que en este contexto puede denota, por ejemplo, el tipo de árbol. Así como una puerta se hace de madera usando algunas herramientas, una derivada de una función se “hace” a partir de una función antiderivada usando fórmulas que aprendimos mientras estudiamos la derivada .
Entonces la tabla de funciones de los objetos comunes y sus correspondientes antiderivadas (“ser una puerta” - “ser un árbol”, “ser una cuchara” - “ser metal”, etc.) es similar a la tabla de funciones básicas integrales indefinidas, que se darán a continuación. La tabla de integrales indefinidas enumera funciones comunes con una indicación de las antiderivadas a partir de las cuales se “hacen” estas funciones. En parte de los problemas para encontrar la integral indefinida se dan integrandos que se pueden integrar directamente sin mucho esfuerzo, es decir, usando la tabla de integrales indefinidas. En problemas más complejos, primero se debe transformar el integrando para poder utilizar integrales de tabla.
Hecho 2. Al restaurar una función como antiderivada, debemos tener en cuenta una constante arbitraria (constante) C, y para no escribir una lista de antiderivadas con varias constantes del 1 al infinito, es necesario escribir un conjunto de antiderivadas con una constante arbitraria C, por ejemplo, así: 5 X³+C. Entonces, se incluye una constante arbitraria (constante) en la expresión de la antiderivada, ya que la antiderivada puede ser una función, por ejemplo, 5 X³+4 o 5 X³+3 y cuando se diferencia, 4 o 3, o cualquier otra constante va a cero.
Planteemos el problema de integración: para esta función F(X) encontrar tal función F(X), cuyo derivado es igual a F(X).
Ejemplo 1. Encuentra el conjunto de primitivas de una función.
Solución. Para esta función, la antiderivada es la función
Función F(X) se llama antiderivada de la función F(X), si la derivada F(X) es igual a F(X), o, lo que es lo mismo, diferencial F(X) es igual F(X) dx, es decir.
(2)
Por tanto, la función es una primitiva de la función. Sin embargo, no es la única antiderivada de . También cumplen funciones
Dónde CON- Constante arbitraria. Esto se puede verificar mediante diferenciación.
Por lo tanto, si hay una primitiva para una función, entonces para ella hay un número infinito de primitivas que difieren en un término constante. Todas las primitivas de una función se escriben en la forma anterior. Esto se desprende del siguiente teorema.
Teorema (declaración formal de hecho 2). Si F(X) – antiderivada de la función F(X) en algún intervalo X, entonces cualquier otra antiderivada para F(X) en el mismo intervalo se puede representar en la forma F(X) + C, Dónde CON- Constante arbitraria.
En el siguiente ejemplo, pasamos a la tabla de integrales, que se dará en el párrafo 3, después de las propiedades de la integral indefinida. Hacemos esto antes de leer toda la tabla para que quede clara la esencia de lo anterior. Y después de la tabla y las propiedades, las usaremos en su totalidad durante la integración.
Ejemplo 2. Encuentre conjuntos de funciones antiderivadas:
Solución. Encontramos conjuntos de funciones antiderivadas a partir de las cuales se “hacen” estas funciones. Cuando mencione fórmulas de la tabla de integrales, por ahora simplemente acepte que existen tales fórmulas y estudiaremos la tabla de integrales indefinidas un poco más.
1) Aplicando la fórmula (7) de la tabla de integrales para norte= 3, obtenemos
2) Usando la fórmula (10) de la tabla de integrales para norte= 1/3, tenemos
3) Desde
luego de acuerdo con la fórmula (7) con norte= -1/4 encontramos
No es la función en sí la que está escrita bajo el signo integral. F, y su producto por el diferencial dx. Esto se hace principalmente para indicar con qué variable se busca la antiderivada. Por ejemplo,
,
;
aquí en ambos casos el integrando es igual a , pero sus integrales indefinidas en los casos considerados resultan diferentes. En el primer caso, esta función se considera como función de la variable X, y en el segundo - en función de z .
El proceso de encontrar la integral indefinida de una función se llama integrar esa función.
Significado geométrico de la integral indefinida.
Supongamos que necesitamos encontrar una curva y=F(x) y ya sabemos que la tangente del ángulo tangente en cada uno de sus puntos es una función dada f(x) abscisa de este punto.
Según el significado geométrico de la derivada, la tangente del ángulo de inclinación de la tangente en un punto dado de la curva. y=F(x) igual al valor de la derivada F"(x). Entonces necesitamos encontrar tal función. F(x), para cual F"(x)=f(x). Función requerida en la tarea. F(x) es una antiderivada de f(x). Las condiciones del problema no se satisfacen con una curva, sino con una familia de curvas. y=F(x)- una de estas curvas, y cualquier otra curva se puede obtener a partir de ella mediante traslación paralela a lo largo del eje Oye.
Llamemos a la gráfica de la función antiderivada de f(x) curva integral. Si F"(x)=f(x), entonces la gráfica de la función y=F(x) hay una curva integral.
Hecho 3. La integral indefinida está representada geométricamente por la familia de todas las curvas integrales. , como en la imagen de abajo. La distancia de cada curva desde el origen de coordenadas está determinada por una constante de integración arbitraria. C.
Propiedades de la integral indefinida
Hecho 4. Teorema 1. La derivada de una integral indefinida es igual al integrando y su diferencial es igual al integrando.
Hecho 5. Teorema 2. Integral indefinida del diferencial de una función F(X) igual a la función F(X) hasta un término constante , es decir.
(3)
Los teoremas 1 y 2 muestran que la diferenciación y la integración son operaciones mutuamente inversas.
Hecho 6. Teorema 3. El factor constante en el integrando se puede sacar del signo de la integral indefinida , es decir.
En un material anterior, se consideró la cuestión de encontrar la derivada y su varias aplicaciones: calcular el coeficiente angular de una tangente a una gráfica, resolver problemas de optimización, estudiar funciones de monotonicidad y extremos. $\newcommand(\tg)(\mathop(\mathrm(tg))\nolimits)$ $\newcommand(\ctg)(\mathop(\mathrm(tg))\nolimits)$ $\newcommand(\arctg)( \mathop(\mathrm(arctg))\nolimits)$ $\newcommand(\arcctg)(\mathop(\mathrm(arcctg))\nolimits)$
Foto 1.
También se consideró el problema de encontrar la velocidad instantánea $v(t)$ usando la derivada a lo largo de un camino recorrido previamente conocido, expresado por la función $s(t)$.
Figura 2.
El problema inverso también es muy común, cuando necesitas encontrar el camino $s(t)$ recorrido por un punto en el tiempo $t$, conociendo la velocidad del punto $v(t)$. Si recordamos, la velocidad instantánea $v(t)$ se encuentra como la derivada de la función de trayectoria $s(t)$: $v(t)=s’(t)$. Esto significa que para resolver el problema inverso, es decir, calcular la trayectoria, es necesario encontrar una función cuya derivada sea igual a la función de velocidad. Pero sabemos que la derivada del camino es la velocidad, es decir: $s’(t) = v(t)$. La velocidad es igual a la aceleración por el tiempo: $v=at$. Es fácil determinar que la función de ruta deseada tendrá la forma: $s(t) = \frac(at^2)(2)$. Pero ésta no es una solución completa. La solución completa tendrá la forma: $s(t)= \frac(at^2)(2)+C$, donde $C$ es una constante. Por qué esto es así se discutirá más a fondo. Por ahora, verifiquemos la exactitud de la solución encontrada: $s"(t)=\left(\frac(at^2)(2)+C\right)"=2\frac(at)(2)+0 =en=v(t)$.
Vale la pena señalar que encontrar un camino basado en la velocidad es el significado físico de una antiderivada.
La función resultante $s(t)$ se llama antiderivada de la función $v(t)$. bastante interesante y nombre inusual, No lo es. Contiene mucho significado que explica la esencia. este concepto y conduce a su comprensión. Notarás que contiene dos palabras "primero" e "imagen". Hablan por sí mismos. Es decir, esta es la función inicial de la derivada que tenemos. Y usando esta derivada buscamos la función que estaba al principio, era “primera”, “primera imagen”, es decir, antiderivada. A veces también se le llama función primitiva o antiderivada.
Como ya sabemos, el proceso de encontrar la derivada se llama diferenciación. Y el proceso de encontrar la primitiva se llama integración. La operación de integración es la inversa de la operación de diferenciación. Lo contrario también es cierto.
Definición. Una antiderivada de una función $f(x)$ en un determinado intervalo es una función $F(x)$ cuya derivada es igual a esta función $f(x)$ para todo $x$ del intervalo especificado: $F' (x)=f(x)$.
Alguien puede tener una pregunta: ¿de dónde vienen $F(x)$ y $f(x)$ en la definición, si inicialmente estábamos hablando de $s(t)$ y $v(t)$? El hecho es que $s(t)$ y $v(t)$ son casos especiales de designación de funciones que tienen un significado específico en este caso, es decir, son una función del tiempo y una función de la velocidad, respectivamente. Lo mismo ocurre con la variable $t$: denota tiempo. Y $f$ y $x$ son la variante tradicional de la designación general de una función y una variable, respectivamente. vale la pena pagar Atención especial a la designación de la antiderivada $F(x)$. En primer lugar, $F$ es capital. Se designan antiderivadas. en letras mayúsculas. En segundo lugar, las letras son iguales: $F$ y $f$. Es decir, para la función $g(x)$ la antiderivada se denotará por $G(x)$, para $z(x)$ – por $Z(x)$. Independientemente de la notación, las reglas para encontrar una función antiderivada son siempre las mismas.
Veamos algunos ejemplos.
Ejemplo 1. Demuestre que la función $F(x)=\frac(1)(5)\sin5x$ es una antiderivada de la función $f(x)=\cos5x$.
Para probar esto, usaremos la definición, o más bien el hecho de que $F'(x)=f(x)$, y encontraremos la derivada de la función $F(x)$: $F'(x)=( \frac(1)(5 ) \sin5x)'=\frac(1)(5)\cdot 5\cos5x= \cos5x$. Esto significa que $F(x)=\frac(1)(5) \sin5x$ es la antiderivada de $f(x)=\cos5x$. Q.E.D.
Ejemplo 2. Encuentre qué funciones corresponden a las siguientes antiderivadas: a) $F(z)=\tg z$; b) $G(l) = \sin l$.
Para encontrar las funciones requeridas, calculemos sus derivadas:
a) $F’(z)=(\tg z)’=\frac(1)(\cos^2 z)$;
b) $G(l) = (\sin l)’ = \cos l$.
Ejemplo 3.¿Cuál será la primitiva de $f(x)=0$?
Usemos la definición. Pensemos qué función puede tener una derivada igual a $0$. Recordando la tabla de derivadas, encontramos que cualquier constante tendrá dicha derivada. Encontramos que la antiderivada que buscamos es: $F(x)= C$.
La solución resultante se puede explicar geométrica y físicamente. Geométricamente, significa que la tangente a la gráfica $y=F(x)$ es horizontal en cada punto de esta gráfica y, por tanto, coincide con el eje $Ox$. Físicamente se explica por el hecho de que un punto con una velocidad igual a cero permanece en su lugar, es decir, el camino que ha recorrido no cambia. En base a esto, podemos formular el siguiente teorema.
Teorema. (Signo de constancia de funciones.). Si en algún intervalo $F’(x) = 0$, entonces la función $F(x)$ en este intervalo es constante.
Ejemplo 4. Determine qué funciones son antiderivadas de a) $F_1 = \frac(x^7)(7)$; b) $F_2 = \frac(x^7)(7) – 3$; c) $F_3 = \frac(x^7)(7) + 9$; d) $F_4 = \frac(x^7)(7) + a$, donde $a$ es algún número.
Usando la definición de antiderivada, concluimos que para resolver este problema necesitamos calcular las derivadas de las funciones antiderivadas que se nos dan. A la hora de calcular recuerda que la derivada de una constante, es decir, de cualquier número, es igual a cero.
a) $F_1 =(\frac(x^7)(7))"= 7 \cdot \frac(x^6)(7) = x^6$;
b) $F_2 =\left(\frac(x^7)(7) – 3\right)"=7 \cdot \frac(x^6)(7)= x^6$;
c) $F_3 =(\frac(x^7)(7) + 9)’= x^6$;
d) $F_4 =(\frac(x^7)(7) + a)’ = x^6$.
¿Qué vemos? Varias funciones diferentes son primitivas de la misma función. Esto sugiere que cualquier función tiene infinitas primitivas, y tienen la forma $F(x) + C$, donde $C$ es una constante arbitraria. Es decir, la operación de integración es multivaluada, a diferencia de la operación de diferenciación. Con base en esto, formulemos un teorema que describa la propiedad principal de las antiderivadas.
Teorema. (La principal propiedad de las antiderivadas.). Sean las funciones $F_1$ y $F_2$ primitivas de la función $f(x)$ en algún intervalo. Entonces, para todos los valores de este intervalo se cumple la siguiente igualdad: $F_2=F_1+C$, donde $C$ es una constante.
El hecho de la presencia de un número infinito de antiderivadas se puede interpretar geométricamente. Usando la traslación paralela a lo largo del eje $Oy$, se pueden obtener entre sí las gráficas de dos antiderivadas cualesquiera para $f(x)$. Éste es el significado geométrico de la antiderivada.
Es muy importante prestar atención al hecho de que al elegir la constante $C$ puedes asegurar que la gráfica de la antiderivada pase por un punto determinado.
Figura 3.
Ejemplo 5. Encuentra la primitiva de la función $f(x)=\frac(x^2)(3)+1$, cuya gráfica pasa por el punto $(3; 1)$.
Primero encontremos todas las antiderivadas para $f(x)$: $F(x)=\frac(x^3)(9)+x + C$.
A continuación, encontraremos un número C para el cual la gráfica $y=\frac(x^3)(9)+x + C$ pasará por el punto $(3; 1)$. Para hacer esto, sustituimos las coordenadas del punto en la ecuación gráfica y la resolvemos para $C$:
$1= \frac(3^3)(9)+3 + C$, $C=-5$.
Obtuvimos una gráfica $y=\frac(x^3)(9)+x-5$, que corresponde a la primitiva $F(x)=\frac(x^3)(9)+x-5$.
Tabla de antiderivadas
Se puede compilar una tabla de fórmulas para encontrar antiderivadas utilizando fórmulas para encontrar derivadas.
| Funciones | Antiderivadas |
| $0$ | $C$ |
| $1$ | $x+C$ |
| $a\en R$ | $hacha+C$ |
| $x^n, n\ne1$ | $\displaystyle \frac(x^(n+1))(n+1)+C$ |
| $\displaystyle \frac(1)(x)$ | $\ln|x|+C$ |
| $\pecado x$ | $-\cos x+C$ |
| $\cos x$ | $\pecado x+C$ |
| $\displaystyle \frac(1)(\sin^2 x)$ | $-\ctgx+C$ |
| $\displaystyle \frac(1)(\cos^2 x)$ | $\tgx+C$ |
| $e^x$ | $e^x+C$ |
| $a^x, a>0, a\ne1$ | $\displaystyle \frac(a^x)(\ln a) +C$ |
| $\displaystyle \frac(1)(\sqrt(1-x^2))$ | $\arcosen x+C$ |
| $\displaystyle -\frac(1)(\sqrt(1-x^2))$ | $\arcos x+C$ |
| $\displaystyle \frac(1)(1+x^2)$ | $\arctgx+C$ |
| $\displaystyle -\frac(1)(1+x^2)$ | $\arcctgx+C$ |
Puedes comprobar la exactitud de la tabla de la siguiente manera: para cada conjunto de antiderivadas ubicadas en la columna de la derecha, encuentra la derivada, lo que dará como resultado las funciones correspondientes en la columna de la izquierda.
Algunas reglas para encontrar antiderivadas
Como sabes, muchas funciones tienen una forma más compleja que las indicadas en la tabla de antiderivadas y pueden ser cualquier combinación arbitraria de sumas y productos de funciones de esta tabla. Y aquí surge la pregunta: cómo calcular las antiderivadas de tales funciones. Por ejemplo, de la tabla sabemos cómo calcular las antiderivadas de $x^3$, $\sin x$ y $10$. ¿Cómo, por ejemplo, se puede calcular la primitiva $x^3-10\sin x$? De cara al futuro, vale la pena señalar que será igual a $\frac(x^4)(4)+10\cos x$.
1. Si $F(x)$ es antiderivada para $f(x)$, $G(x)$ para $g(x)$, entonces para $f(x)+g(x)$ la antiderivada será igual a $ F(x)+G(x)$.
2. Si $F(x)$ es una antiderivada de $f(x)$ y $a$ es una constante, entonces para $af(x)$ la antiderivada es $aF(x)$.
3. Si para $f(x)$ la antiderivada es $F(x)$, $a$ y $b$ son constantes, entonces $\frac(1)(a) F(ax+b)$ es la antiderivada por $f (ax+b)$.
Usando las reglas obtenidas podemos ampliar la tabla de antiderivadas.
| Funciones | Antiderivadas |
| $(ax+b)^n, n\ne1, a\ne0$ | $\displaystyle \frac((ax+b)^n)(a(n+1)) +C$ |
| $\displaystyle \frac(1)(ax+b), a\ne0$ | $\displaystyle \frac(1)(a)\ln|ax+b|+C$ |
| $e^(ax+b), a\ne0$ | $\displaystyle \frac(1)(a) e^(ax+b)+C$ |
| $\sin(ax+b), a\ne0$ | $\displaystyle -\frac(1)(a)\cos(ax+b)+C$ |
| $\cos(ax+b), a\ne0$ | $\displaystyle \frac(1)(a)\sin(ax+b)+C$ |
Ejemplo 5. Encuentre antiderivadas para:
a) $\displaystyle 4x^3+10x^7$;
b) $\displaystyle \frac(6)(x^5) -\frac(2)(x)$;
c) $\displaystyle 5\cos x+\sin(3x+15)$;
d) $\displaystyle \sqrt(x)-2\sqrt(x)$.
a) $4\frac (x^(3+1))(3+1)+10\frac(x^(7+1))(7+1)+C=x^4+\frac(5)( 4) x^8+C$;
b) $-\frac(3)(2x^4) -2\ln|x|+C$;
c) $5 \sin x - \frac(1)(3)\cos(3x + 15) + C$;
d) $\frac(2)(3)x\sqrt(x) - \frac(3)(2) x\sqrt(x) + C$.
Fórmulas básicas y métodos de integración. La regla para integrar una suma o diferencia. Moviendo la constante fuera del signo integral. Método de reemplazo de variables. Fórmula de integración por partes. Un ejemplo de resolución de un problema.
Los cuatro métodos principales de integración se enumeran a continuación.
1)
La regla para integrar una suma o diferencia.
.
Aquí y debajo u, v, w son funciones de la variable de integración x.
2)
Moviendo la constante fuera del signo integral.
Sea c una constante independiente de x. Entonces se puede sacar del signo integral.
3)
Método de reemplazo de variables.
Consideremos la integral indefinida.
Si podemos encontrar tal función φ (X) de x, entonces
,
entonces, reemplazando la variable t = φ(x), tenemos
.
4)
Fórmula de integración por partes.
,
donde u y v son funciones de la variable de integración.
El objetivo final del cálculo de integrales indefinidas es, mediante transformaciones, reducir una integral dada a las integrales más simples, que se denominan integrales tabulares. Integrales de tabla se expresan mediante funciones elementales utilizando fórmulas conocidas.
Ver Tabla de Integrales >>>
Ejemplo
Calcular integral indefinida
Solución
Observamos que el integrando es la suma y diferencia de tres términos:
, Y .
Aplicando el método 1
.
A continuación, observamos que los integrandos de las nuevas integrales se multiplican por constantes 5, 4,
Y 2
, respectivamente. Aplicando el método 2
.
En la tabla de integrales encontramos la fórmula.
.
Suponiendo n = 2
, encontramos la primera integral.
Reescribamos la segunda integral en la forma
.
Nos damos cuenta que . Entonces
Utilicemos el tercer método. Cambiamos la variable t = φ (x) = iniciar sesiónx.
.
En la tabla de integrales encontramos la fórmula.
Dado que la variable de integración se puede denotar con cualquier letra, entonces
Reescribamos la tercera integral en la forma
.
Aplicamos la fórmula de integración por partes.
Digámoslo.
Entonces
;
;
;
;
.
En la escuela, muchas personas no saben resolver integrales o tienen dificultades con ellas. Este artículo le ayudará a resolverlo, ya que encontrará todo en él. tablas integrales.
Integral Es uno de los principales cálculos y conceptos del análisis matemático. Su aparición resultó de dos propósitos:
Primer objetivo- restaurar una función usando su derivada.
Segundo gol- cálculo del área situada a la distancia del gráfico a la función f(x) en la recta donde a es mayor o igual a x mayor o igual a b y el eje x.
Estos objetivos nos llevan a integrales definidas e indefinidas. La conexión entre estas integrales radica en la búsqueda de propiedades y el cálculo. Pero todo fluye y todo cambia con el tiempo, se encontraron nuevas soluciones, se identificaron adiciones, lo que llevó a las integrales definidas e indefinidas a otras formas de integración.
Qué ha pasado integral indefinida usted pregunta. Esta es una función antiderivada F(x) de una variable x en el intervalo a mayor que x mayor que b. se llama cualquier función F(x), en un intervalo dado para cualquier designación x, la derivada es igual a F(x). Está claro que F(x) es antiderivada para f(x) en el intervalo a es mayor que x es mayor que b. Esto significa F1(x) = F(x) + C. C - es cualquier constante y primitiva de f(x) en un intervalo dado. Esta afirmación es invertible; para la función f(x) - 2 las antiderivadas difieren sólo en la constante. Basado en el teorema del cálculo integral, resulta que cada continuo en el intervalo a
Integral definida se entiende como un límite en sumas integrales, o en la situación de una función dada f(x) definida en alguna línea (a,b) que tiene una primitiva F, es decir, la diferencia de sus expresiones en los extremos de una línea dada F(b) - F(a).
Para ilustrar el estudio de este tema, sugiero ver el video. Cuenta en detalle y muestra cómo encontrar integrales.
Cada tabla de integrales en sí misma es muy útil, ya que ayuda a resolver un tipo específico de integral.
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