Другое 

Сокращение тригонометрических выражений онлайн. Упрощение логических выражений

Зачастую в задачах требуется привести упрощенный ответ. Хотя и упрощенный, и неупрощенный ответы являются верными, преподаватель может снизить вашу оценку, если вы не упростите ответ. Более того, с упрощенным математическим выражением гораздо легче работать. Поэтому очень важно научиться упрощать выражения.

Шаги

Правильный порядок выполнения математических операций

  1. Запомните правильный порядок выполнения математических операций. При упрощении математического выражения необходимо соблюдать определенный порядок действий, так как некоторые математические операции имеют приоритет над другими и должны быть сделаны в первую очередь (на самом деле несоблюдение правильного порядка выполнения операций приведет вас к неправильному результату). Запомните следующий порядок выполнения математических операций: выражение в скобках, возведение в степень, умножение, деление, сложение, вычитание.

    • Обратите внимание, что знание правильного порядка выполнения операций позволит вам упростить большинство простейших выражений, но для упрощения многочлена (выражения с переменной) необходимо знать специальные приемы (смотрите следующий раздел).

  2. Начните с решения выражения в скобках. В математике скобки указывают на то, что заключенное в них выражение должно быть выполнено в первую очередь. Поэтому при упрощении любого математического выражения начинайте с решения выражения, заключенного в скобки (при этом неважно, какие операции нужно выполнить внутри скобок). Но помните, что работая с выражением, заключенным в скобки, следует соблюдать порядок проведения операций, то есть члены в скобках сначала перемножаются, делятся, складываются, вычитаются и так далее.

    • Например, упростим выражение 2x + 4(5 + 2) + 3 2 - (3 + 4/2) . Здесь начнем с выражений в скобках: 5 + 2 = 7 и 3 + 4/2 = 3 + 2 =5.
      • Выражение во второй паре скобок упрощается до 5, потому что сначала нужно разделить 4/2 (согласно правильному порядку выполнения операций). Если не соблюдать этот порядок, то вы получите неправильный ответ: 3 + 4 = 7 и 7 ÷ 2 = 7/2.
    • Если в скобках есть еще одна пара скобок, начните упрощение с решения выражения во внутренних скобках, а затем переходите к решению выражения во внешних скобках.

  3. Возведите в степень. Решив выражения в скобках, перейдите к возведению в степень (помните, что у степени есть показатель степени и основание степени). Возведите соответствующее выражение (или число) в степень и подставьте результат в данное вам выражение.

    • В нашем примере единственным выражением (числом) в степени является 3 2: 3 2 = 9. В данном вам выражении вместо 3 2 подставьте 9 и вы получите: 2x + 4(7) + 9 - 5.

  4. Умножьте. Помните, что операция умножения может обозначаться следующими символами: «х», «∙» или «*». Но если между числом и переменной (например, 2х) или между числом и числом в скобках (например, 4(7)) нет никаких символов, то это также является операцией умножения.

    • В нашем примере присутствуют две операции умножения: 2x (два умножить на переменную «х») и 4(7) (четыре умножить на семь). Мы не знаем значения х, поэтому выражение 2х оставим как есть. 4(7) = 4 х 7 = 28. Теперь вы можете переписать данное вам выражение так: 2x + 28 + 9 - 5.

  5. Разделите. Помните, что операция деления может обозначаться следующими символами: «/», «÷» или «–» (последний символ вы можете встретить в дробях). Например 3/4 – это три, деленное на четыре.

    • В нашем примере операции деления больше нет, так как вы уже разделили 4 на 2 (4/2) при решении выражения в скобках. Поэтому вы можете перейти к следующему шагу. Помните, что в большинстве выражений нет сразу всех математических операций (только некоторые из них).

  6. Сложите. При сложении членов выражения вы можете начать с самого крайнего (слева) члена, или можете сначала сложить те члены выражения, которые легко складываются. Например, в выражении 49 + 29 + 51 +71 сначала легче сложить 49 + 51 = 100, потом 29 + 71 = 100 и, наконец, 100 + 100 = 200. Гораздо сложнее складывать так: 49 + 29 = 78; 78 + 51 = 129; 129 + 71 = 200.

    • В нашем примере 2x + 28 + 9 + 5 присутствуют две операции сложения. Начнем с самого крайнего (слева) члена: 2x + 28; вы не можете сложить 2х и 28, потому что не знаете значения переменной «х». Поэтому сложите 28 + 9 = 37. Теперь выражение можно переписать так: 2х + 37 - 5.

  7. Вычтите. Это последняя операция в правильном порядке выполнения математических операций. На этом этапе вы также можете прибавлять отрицательные числа или же делать это на этапе сложения членов – это никак не отразится на конечном результате.

    • В нашем примере 2х + 37 - 5 присутствует только одна операция вычитания: 37 - 5 = 32.

  8. На этом этапе, проделав все математические операции, вы должны получить упрощенное выражение. Но если данное вам выражение содержит одну или несколько переменных, то помните, что член с переменной останется таким, как есть. Решение (а не упрощение) выражения с переменной подразумевает нахождение значения этой переменной. Иногда выражения с переменной можно упростить, используя специальные методы (смотрите следующий раздел).

    • В нашем примере окончательный ответ: 2х + 32. Вы не сможете сложить два члена, пока не узнаете значение переменной «х». Узнав значение переменной, вы с легкостью упростите этот двучлен.

    Упрощение сложных выражений

    1. Сложение подобных членов. Помните, что вычитать и складывать можно исключительно подобные члены, то есть члены с одинаковой переменной и одинаковым показателем степени. Например, можно сложить 7x и 5x, но нельзя складывать 7x и 5x 2 (так как здесь показатели степени разные).

      • Это правило распространяется и на члены с несколькими переменными. Например, можно сложить 2xy 2 и -3xy 2 , но нельзя складывать 2xy 2 и -3x 2 y или 2xy 2 и -3y 2 .
      • Рассмотрим пример: x 2 + 3x + 6 - 8x. Здесь подобными членами являются 3x и 8x, поэтому их можно сложить. Упрощенное выражение выглядит так: x 2 - 5x + 6.

    2. Упростите числовую дробь. В такой дроби и в числителе, и в знаменателе находятся числа (без переменной). Числовая дробь упрощается несколькими способами. Во-первых, просто разделите знаменатель на числитель. Во-вторых, разложите числитель и знаменатель на множители и сократите одинаковые множители (так как при делении числа на само себя вы получите 1). Другими словами, если и у числителя, и у знаменателя есть один и тот же множитель, его можно отбросить и получить упрощенную дробь.

      • Например, рассмотрим дробь 36/60. При помощи калькулятора разделите 36 на 60 и получите 0,6. Но вы можете упростить эту дробь и по-другому, разложив числитель и знаменатель на множители: 36/60 = (6х6)/(6х10) = (6/6)*(6/10). Так как 6/6 = 1, то упрощенная дробь: 1 х 6/10 = 6/10. Но эту дробь также можно упростить: 6/10 = (2х3)/(2*5) = (2/2)*(3/5) = 3/5.

    3. Если дробь содержит переменную, можно сократить одинаковые множители с переменной. Разложите и числитель, и знаменатель на множители и сократите одинаковые множители, даже если они содержат переменную (помните, что здесь одинаковые множители могут содержать или не содержать переменную).

      • Рассмотрим пример: (3x 2 + 3x)/(-3x 2 + 15x). Это выражение можно переписать (разложить на множители) в виде: (x + 1)(3x)/(3x)(5 - x). Так как член 3x находится и в числителе, и в знаменателе, его можно сократить, и вы получите упрощенное выражение: (х + 1)/(5 - х). Рассмотрим другой пример: (2x 2 + 4x + 6)/2 = (2(x 2 + 2x + 3))/2 = x 2 + 2x + 3.
      • Обратите внимание, что вы не можете сокращать любые члены – сокращаются только одинаковые множители, которые присутствуют как в числителе, так и в знаменателе. Например, в выражении (х(х + 2))/х переменная (множитель) «х» находится и в числителе, и в знаменателе, поэтому «х» можно сократить и получить упрощенное выражение: (х + 2)/1 = х + 2. Тем не менее, в выражении (х + 2)/х переменную «х» сокращать нельзя (так как в числителе «х» не является множителем).

    4. Раскройте скобки. Для этого умножьте член, стоящий за скобкой, на каждый член в скобках. Иногда это помогает упростить сложное выражение. Это относится как к членам, которые являются простыми числами, так и к членам, которые содержат переменную.

      • Например, 3(x 2 + 8) = 3x 2 + 24, а 3x(x 2 + 8) = 3x 3 + 24x.
      • Обратите внимание, что в дробных выражениях скобки раскрывать не нужно, если и в числителе, и в знаменателе присутствует одинаковый множитель. Например, в выражении (3(x 2 + 8))/3x скобки раскрывать не нужно, так как здесь можно сократить множитель 3 и получить упрощенное выражение (x 2 + 8)/x. С этим выражением легче работать; если бы вы раскрыли скобки, то получили бы следующее сложное выражение: (3x 3 + 24x)/3x.

    5. Разложите на множители многочлены. При помощи этого метода можно упростить некоторые выражения и многочлены. Разложение на множители – это операция, противоположная раскрытию скобок, то есть выражение записывается в виде произведения двух выражений, каждое из которых заключено в скобки. В некоторых случаях разложение на множители позволяет сократить одинаковое выражение. В особых случаях (как правило, с квадратными уравнениями) разложение на множители позволит вам решить уравнение.

      • Рассмотрим выражение x 2 - 5x + 6. Оно раскладывается на множители: (x - 3)(x - 2). Таким образом, если, например, дано выражение (x 2 - 5x + 6)/(2(x - 2)), то вы можете переписать его в виде (x - 3)(x - 2)/(2(x - 2)), сократить выражение (х - 2) и получить упрощенное выражение (х - 3)/2.
      • Разложение многочленов на множители применяется для решения (нахождения корней) уравнений (уравнение – это многочлен, приравненный к 0). Например, рассмотрим уравнение x 2 - 5x + 6 = 0. Разложив его на множители, вы получите (х - 3)(х - 2) = 0. Так как любое выражение, умноженное на 0, равно 0, то мы можем записать так: х - 3 = 0 и х - 2 = 0. Таким образом, х = 3 и х = 2, то есть вы нашли два корня данного вам уравнения.

Известно, что в математике никак не обойтись без упрощения выражений. Это необходимо для правильного и быстрого решения самых разнообразных задач, а также различного рода уравнений. Обсуждаемое упрощение подразумевает под собой уменьшение количества действий, необходимых для достижения поставленной цели. В результате вычисления заметным образом облегчаются, а время существенно экономится. Но, как упростить выражение? Для этого используются установленные математические соотношения, часто именуемые формулами, либо же законами, которые позволяют делать выражения гораздо короче, упрощая тем самым расчеты.

Не секрет, что состоянием на сегодняшний день не представляет труда упростить выражение онлайн. Приведем ссылки на некоторые наиболее популярные из них:

Однако обойтись так можно далеко не с каждым выражением. Поэтому рассмотрим подробнее более традиционные методы.

Вынесение общего делителя

В том случае, когда в одном выражении присутствуют одночлены, обладающие одинаковыми множителями, можно находить при них сумму коэффициентов, а потом умножать на общий для них множитель. Эта операция также носит название "вынесения общего делителя". Последовательно используя данный метод, порою можно достаточно существенно упростить выражение. Алгебра ведь вообще, в целом, построена на группировке и перегруппировке множителей и делителей.

Простейшие формулы сокращенного умножения

Одним из следствий ранее описанного метода являются формулы сокращенного умножения. Как упрощать выражения с их помощью гораздо понятнее тем, кто даже не вызубрил эти формулы наизусть, а знает, которым образом они выводятся, то есть, откуда берутся, а соответственно их математическую природу. В принципе, предыдущее высказывание сохраняет свою силу во всей современной математике, начиная от первого класса и заканчивая высшими курсами механико-математических факультетов. Разность квадратов, квадрат разности и суммы, сумма и разность кубов – все эти формулы повсеместно используются в элементарной, а также высшей математике в тех случаях, когда для решения поставленных задач необходимо упростить выражение. Примеры таких преобразований можно без труда найти в любом школьном учебнике по алгебре, либо же, что еще проще, на просторах всемирной сети.

Степени корни

Элементарная математика, если посмотреть на нее в целом, вооружена не так уж и многими способами, при помощи которых можно упростить выражение. Степени и действия с ними, как правило, удаются большинству учащихся сравнительно легко. Только вот у многих современных школьников и студентов возникают немалые трудности, когда необходимо упростить выражение с корнями. И это совершенно безосновательно. Потому как математическая природа корней ничем не отличается от природы тех же степеней, с которыми, как правило, трудностей гораздо меньше. Известно, что квадратный корень от числа, переменной или выражения представляет собой ничто иное как то же число, переменную или выражение в степени "одна вторая", кубический корень – то же самое в степени "одна третья" и так далее по соответствию.

Упрощения выражений с дробями

Рассмотрим также часто встречающийся пример того, как упростить выражение с дробями. В тех случаях, когда выражения представляют собой натуральные дроби, следует выделять из знаменателя и числителя общий множитель, а затем сокращать дробь на него. Когда же одночлены обладают одинаковыми множителями, возведенными в степени, необходимо следить при их суммировании за равенством степеней.

Упрощение простейших тригонометрических выражений

Некоторым особняком стоит разговор о том, как упростить тригонометрическое выражение. Широчайший раздел тригонометрии является, пожалуй, первым этапом, на котором изучающим математику предстоит столкнуться с несколько абстрактными понятиями, задачами и методами их решения. Здесь существуют свои соответствующие формулы, первой из которых является основное тригонометрическое тождество. Имея достаточный математический склад ума, можно проследить планомерное выведение из этого тождества всех основных тригонометрических тождеств и формул, среди которых формулы разности и суммы аргументов, двойных, тройных аргументов, формулы приведения и многие другие. Разумеется, что забывать здесь не стоит и самые первые методы, наподобие вынесения общего множителя, которые в полной мере используются наряду с новыми способами и формулами.

Для подведения итогов, предоставим читателю несколько советов общего характера:

  • Многочлены следует раскладывать на множители, то есть представлять их в форме произведения некоторого количества сомножителей – одночленов и многочленов. Если существует такая возможность, необходимо выносить за скобки общий множитель.
  • Лучше все-таки выучить на память все без исключения формулы сокращенного умножения. Их не так уж и много, но именно они при этом являются основой при упрощении математических выражений. Не стоит также забывать о способе выделения полных квадратов в трехчленах, являющемся обратным действием к одной из формул сокращенного умножения.
  • Все существующие в выражении дроби следует сокращать как можно чаще. При этом не забывайте, что сокращаются только множители. В том случае, когда знаменатель и числитель алгебраических дробей умножается на одно и то же самое число, которое отличается от нуля, значения дробей не меняются.
  • В целом все выражения можно преобразовывать по действиям, либо ж цепочкой. Первый способ более предпочтителен, т.к. результаты промежуточных действий проверяются легче.
  • Достаточно часто в математических выражениях приходиться извлекать корни. Следует помнить, что корни четных степеней могут извлекаться только лишь из неотрицательного числа или выражения, а корни нечетных степеней совершенно из любых выражений или чисел.

Надеемся, наша статья поможет Вам, в дальнейнем, разбираться в математических формулах и научит применять их на практике.

Алгебраическое выражение в записи которого наряду с действиями сложения, вычитания и умножения используют также деление на буквенные выражения, называется дробным алгебраическим выражением. Таковы, например, выражения

Алгебраической дробью мы называем алгебраическое выражение, имеющее вид частного от деления двух целых алгебраических выражений (например, одночленов или многочленов). Таковы, например, выражения

Третье из выражений ).

Тождественные преобразования дробных алгебраических выражений имеют по большей части своей целью представить их в виде алгебраической дроби. Для отыскания общего знаменателя используется разложение на множители знаменателей дробей - слагаемых с целью отыскания их наименьшего общего кратного. При сокращении алгебраических дробей может нарушаться строгая тождественность выражений: необходимо исключать значения величин, при которых множитель, на который производится сокращение, обращается в нуль.

Приведем примеры тождественных преобразований дробных алгебраических выражений.

Пример 1. Упростить выражение

Все слагаемые можно привести к общему знаменателю (удобно при этом изменить знак в знаменателе последнего слагаемого и знак перед ним):

Наше выражение равно единице при всех значениях кроме этих значениях оно не определено и сокращение дроби незаконно).

Пример 2. Представить в виде алгебраической дроби выражение

Решение. За общий знаменатель можно принять выражение . Находим последовательно:

Упражнения

1. Найти значения алгебраических выражений при указанных значениях параметров:

2. Разложить на множители.

Некоторые алгебраические примеры одним видом способны наводить ужас на школьников. Длинные выражения не только пугают, но и очень затрудняют вычисления. Пытаясь сходу понять, что и за чем следует, недолго запутаться. Именно по этой причине математики всегда стараются максимально упростить «жуткое» задание и только потом приступают к его решению. Как ни странно, такой трюк значительно ускоряет процесс работы.

Упрощение является одним из фундаментальных моментов в алгебре. Если в простых задачах без него ещё можно обойтись, то более трудные для вычисления примеры могут оказаться «не по зубам». Тут-то и пригодятся эти навыки! Тем более что сложных математических знаний не требуется: достаточно будет всего лишь запомнить и научиться применять на практике несколько базовых приёмов и формул.

Вне зависимости от сложности вычислений при решении любого выражения важно соблюдать порядок выполнения операций с числами :

  1. скобки;
  2. возведение в степень;
  3. умножение;
  4. деление;
  5. сложение;
  6. вычитание.

Последние два пункта можно спокойно поменять местами и это никак не отразится на результате. Но складывать два соседних числа, когда рядом с одним из них стоит знак умножения категорически нельзя! Ответ если и получится, то неверный. Поэтому нужно запомнить последовательность.

Применение подобных

К таким элементам относятся числа с переменной одного порядка или одинаковой степени. Существуют и так называемые свободные члены, не имеющие рядом с собой буквенного обозначения неизвестного.

Суть заключается в том, что при отсутствии скобок можно упростить выражение, складывая или вычитая между собой подобные .

Несколько наглядных примеров :

  • 8x 2 и 3x 2 - оба числа имеют одну и ту же переменную второго порядка, поэтому они подобны и при сложении упрощаются до (8+3)x 2 =11x 2 , тогда как при вычитании получается (8-3)x 2 =5x 2 ;
  • 4x 3 и 6x - а тут «х» имеет разную степень;
  • 2y 7 и 33x 7 - содержат различные переменные, поэтому, как и в предыдущем случае, не относятся к подобным.

Разложение числа на множители

Эта маленькая математическая хитрость, если научиться её правильно использовать, в будущем не раз поможет справиться с каверзной задачкой. Да и понять, как работает «система», несложно: разложением называют произведение нескольких элементов, вычисление которого даёт исходное значение . Таким образом, 20 можно представить как на 20×1, 2×10, 5×4, 2×5×2 или другим способом.

На заметку : множители всегда совпадают с делителями. Так что искать рабочую «пару» для разложения нужно среди чисел, на которые исходное делится без остатка.

Проделывать такую операцию можно как со свободными членами, так и с цифрами при переменной. Главное, не потерять последнюю во время вычислений - даже после разложения неизвестная не может взять и «уйти в никуда». Она остаётся при одном из множителей :

  • 15x=3(5x);
  • 60у 2 =(15y 2)4.

Простые числа, которые можно разделить лишь на себя или 1, никогда не раскладываются - в этом нет смысла .

Основные способы упрощения

Первое, за что цепляется взгляд:

  • наличие скобок;
  • дроби;
  • корни.

Алгебраические примеры в школьной программе часто составляются с учётом того, что их можно красиво упростить.

Вычисления в скобках

Внимательно следите за знаком, стоящим перед скобками! Умножение или деление применяется к каждому элементу внутри, а минус - меняет имеющиеся знаки «+» или «-» на противоположные.

Скобки вычисляются по правилам либо по формулам сокращённого умножения, после чего приводятся подобные.

Сокращение дробей

Сокращать дроби тоже несложно. Они сами через раз «охотно убегают», стоит произвести операции с приведением подобных членов. Но упростить пример можно ещё до этого: обращайте внимание на числитель и знаменатель . Они нередко содержат явные или скрытые элементы, которые можно взаимно сократить. Правда, если в первом случае нужно всего лишь вычеркнуть лишнее, во втором придётся подумать, приводя часть выражения к виду для упрощения. Используемые методы:

  • поиск и вынесение за скобки наибольшего общего делителя у числителя и знаменателя;
  • деление каждого верхнего элемента на знаменатель.

Когда выражение или его часть находится под корнем , первостепенная задача упрощения практически аналогична случаю с дробями. Необходимо искать способы полностью от него избавиться или, если это невозможно, максимально сократить мешающий вычислениям знак . Например, до ненавязчивого √(3) или √(7).

Верный способ упростить подкоренное выражение - попытаться разложить его на множители , часть из которых выносится за пределы знака. Наглядный пример: √(90)=√(9×10) =√(9)×√(10)=3√(10).

Другие маленькие хитрости и нюансы:

  • эту операцию упрощения можно проводить с дробями, вынося её за знак как целиком, так и отдельно числитель или знаменатель;
  • раскладывать и выносить за пределы корня часть суммы или разности нельзя ;
  • при работе с переменными обязательно учитывайте её степень, она должна быть равной или кратной корню для возможности вынесения: √(x 2 y)=x√(y), √(x 3)=√(x 2 ×x)=x√(x);
  • иногда допускается избавление от подкоренной переменной путём возведения её в дробную степень: √(y 3)=y 3/2 .

Упрощение степенного выражения

Если в случае простых вычислений на минус или плюс примеры упрощаются за счёт приведения подобных, то как быть при умножении или делении переменных с разными степенями? Их можно легко упростить, запомнив два основных момента:

  1. Если между переменными стоит знак умножения - степени складываются.
  2. Когда они делятся друг на друга - из степени числителя вычитается она же знаменателя.

Единственное условие для такого упрощения - одинаковое основание у обоих членов. Примеры для наглядности:

  • 5x 2 ×4x 7 +(y 13 /y 11)=(5×4)x 2+7 +y 13- 11 =20x 9 +y 2 ;
  • 2z 3 +z×z 2 -(3×z 8 /z 5)=2z 3 +z 1+2 -(3×z 8-5)=2z 3 +z 3 -3z 3 =3z 3 -3z 3 =0.

Отмечаем, что операции с числовыми значениями, стоящими перед переменными, происходят по обычным математическим правилам . И если присмотреться, то становится понятно, что степенные элементы выражения «работают» аналогично:

  • возведение члена в степень обозначает умножение его на самого себя определённое количество раз, т. е. x 2 =x×x;
  • деление аналогично: если разложить степень числителя и знаменателя, то часть переменных сократится, тогда как оставшиеся «собираются», что равносильно вычитанию.

Как и в любом деле, при упрощении алгебраических выражений необходимо не только знание основ, но и практика. Уже через несколько занятий примеры, когда-то кажущиеся сложными, будут сокращаться без особого труда, превращаясь в короткие и легко решаемые.

Видео

Это видео поможет вам разобраться и запомнить, как упрощаются выражения.

Не получили ответ на свой вопрос? Предложите авторам тему.

Упрощение алгебраических выражений является одним из ключевых моментов изучения алгебры и чрезвычайно полезным навыком для всех математиков. Упрощение позволяет привести сложное или длинное выражение к простому выражению, с которым легко работать. Базовые навыки упрощения хорошо даются даже тем, кто не в восторге от математики. Соблюдая несколько простых правил, можно упростить многие из наиболее распространенных типов алгебраических выражений без каких-либо специальных математических знаний.

Шаги

Важные определения

  1. Подобные члены . Это члены с переменной одного порядка, члены с одинаковыми переменными или свободные члены (члены, не содержащие переменную). Другими словами, подобные члены включают одну переменную в одной и той же степени, включают несколько одинаковых переменных или не включают переменную вовсе. Порядок членов в выражении не имеет значения.

    • Например, 3x 2 и 4x 2 - это подобные члены, так как они содержат переменную «х» второго порядка (во второй степени). Однако х и x 2 не являются подобными членами, так как содержат переменную «х» разных порядков (первого и второго). Точно так же -3yx и 5хz не являются подобными членами, так как содержат разные переменные.

  2. Разложение на множители . Это нахождение таких чисел, произведение которых приводит к исходному числу. Любое исходное число может иметь несколько множителей. Например, число 12 может быть разложено на следующий ряд множителей: 1 × 12, 2 × 6 и 3 × 4, поэтому можно сказать, что числа 1, 2, 3, 4, 6 и 12 являются множителями числа 12. Множители совпадают с делителями, то есть числами, на которые делится исходное число.

    • Например, если вы хотите разложить на множители число 20, запишите это так: 4 × 5.
    • Обратите внимание, что при разложении на множители переменная учитывается. Например, 20x = 4(5x) .
    • Простые числа не могут быть разложены на множители, потому что они делятся только на себя и на 1.

  3. Запомните и соблюдайте порядок выполнения операций во избежание ошибок.

    • Скобки
    • Степень
    • Умножение
    • Деление
    • Сложение
    • Вычитание

    Приведение подобных членов

    1. Запишите выражение. Простейшие алгебраические выражения (которые не содержат дробей, корней и так далее) можно решить (упростить) всего за несколько шагов.

      • Например, упростите выражение 1 + 2x - 3 + 4x .

    2. Определите подобные члены (члены с переменной одного порядка, члены с одинаковыми переменными или свободные члены).

      • Найдите подобные члены в этом выражении. Члены 2x и 4x содержат переменную одного порядка (первого). Кроме того, 1 и -3 - это свободные члены (не содержат переменную). Таким образом, в этом выражении члены 2х и 4x являются подобными, и члены 1 и -3 тоже являются подобными.

    3. Приведите подобные члены. Это значит сложить или вычесть их и упростить выражение.

      • 2x + 4x = 6х
      • 1 - 3 = -2

    4. Перепишите выражение с учетом приведенных членов. Вы получите простое выражение с меньшим количеством членов. Новое выражение равно исходному.

      • В нашем примере: 1 + 2x - 3 + 4x = 6х - 2 , то есть исходное выражение упрощено и с ним легче работать.

    5. Соблюдайте порядок выполнения операций при приведении подобных членов. В нашем примере было легко привести подобные члены. Однако в случае сложных выражений, в которых члены заключены в скобки и присутствуют дроби и корни, привести подобные члены не так просто. В этих случаях соблюдайте порядок выполнения операций.

      • Например, рассмотрим выражение 5(3x - 1) + х((2x)/(2)) + 8 - 3x. Здесь было бы ошибкой сразу определить 3x и 2x как подобные члены и привести их, потому что сначала необходимо раскрыть скобки. Поэтому выполните операции согласно их порядку.
        • 5(3x-1) + x((2x)/(2)) + 8 - 3x
        • 15x - 5 + x(x) + 8 - 3x
        • 15x - 5 + x 2 + 8 - 3x. Теперь , когда в выражении присутствуют только операции сложения и вычитания, вы можете привести подобные члены.
        • x 2 + (15x - 3x) + (8 - 5)
        • x 2 + 12x + 3

    Вынесение множителя за скобки

    1. Найдите наибольший общий делитель (НОД) всех коэффициентов выражения. НОД - это наибольшее число, на которое делятся все коэффициенты выражения.

      • Например, рассмотрим уравнение 9x 2 + 27x - 3. В этом случае НОД=3, так как любой коэффициент данного выражения делится на 3.

    2. Разделите каждый член выражения на НОД. Полученные члены будут содержать меньшие коэффициенты, чем в исходном выражении.

      • В нашем примере разделите каждый член выражения на 3.
        • 9x 2 /3 = 3x 2
        • 27x/3 = 9x
        • -3/3 = -1
        • Получилось выражение 3x 2 + 9x - 1 . Оно не равно исходному выражению.

    3. Запишите исходное выражение как равное произведению НОД на полученное выражение. То есть заключите полученное выражение в скобки, а за скобки вынесите НОД.

      • В нашем примере: 9x 2 + 27x - 3 = 3(3x 2 + 9x - 1)

    4. Упрощение дробных выражений с помощью вынесения множителя за скобки. Зачем просто выносить множитель за скобки, как это было сделано ранее? Затем, чтобы научиться упрощать сложные выражения, например дробные выражения. В этом случае вынесение множителя за скобки может помочь избавиться от дроби (от знаменателя).

      • Например, рассмотрим дробное выражение (9x 2 + 27x - 3)/3. Воспользуйтесь вынесением множителя за скобки, чтобы упростить это выражение.
        • Вынесите множитель 3 за скобки (как вы делали это ранее): (3(3x 2 + 9x - 1))/3
        • Обратите внимание, что теперь и в числителе, и в знаменателе присутствует число 3. Его можно сократить, и вы получите выражение: (3x 2 + 9x – 1)/1
        • Так как любая дробь, у которой в знаменателе находится число 1, равна просто числителю, то исходное дробное выражение упрощается до: 3x 2 + 9x - 1 .

    Дополнительные методы упрощения

  4. Рассмотрим простой пример: √(90). Число 90 можно разложить на следующие множители: 9 и 10, а из 9 извлечь квадратный корень (3) и вынести 3 из-под корня.
    • √(90)
    • √(9×10)
    • √(9)×√(10)
    • 3×√(10)
    • 3√(10)

  5. Упрощение выражений со степенями. В некоторых выражениях присутствуют операции умножения или деления членов со степенью. В случае умножения членов с одним основанием их степени складываются; в случае деления членов с одним основанием их степени вычитаются.

    • Например, рассмотрим выражение 6x 3 × 8x 4 + (x 17 /x 15). В случае умножения сложите степени, а в случае деления – вычтите их.
      • 6x 3 × 8x 4 + (x 17 /x 15)
      • (6 × 8)x 3 + 4 + (x 17 - 15)
      • 48x 7 + x 2
    • Далее приведено объяснение правила умножения и деления членов со степенью.
      • Умножение членов со степенями равносильно умножению членов на самих себя. Например, так как x 3 = x × x × x и x 5 = x × x × x × x × x, то x 3 × x 5 = (x × x × x) × (x × x × x × x × x), или x 8 .
      • Аналогично, деление членов со степенями равносильно делению членов на самих себя. x 5 /x 3 = (x × x × x × x × x)/(x × x × x). Так как подобные члены, находящиеся и в числителе, и в знаменателе, могут быть сокращены, то в числителе остается произведение двух «х», или x 2 .
  • Всегда помните о знаках (плюс или минус), стоящих перед членами выражения, так как многие испытывают затруднения с выбором правильного знака.
  • Попросите о помощи, если это необходимо!
  • Упрощать алгебраические выражения нелегко, но если вы набьете руку, вы сможете использовать этот навык всю жизнь.