வளைந்த ட்ரேப்சாய்டின் பகுதியைக் கண்டறிதல். வளைந்த ட்ரேப்சாய்டின் பகுதி
$$ பிரிவின் $f(x)$ மற்றும் $y=0, \ x=a$ மற்றும் $x=b$ ஆகிய கோடுகளின் தொடர்ச்சியான எதிர்மறை அல்லாத செயல்பாட்டின் வரைபடத்தால் வரையறுக்கப்பட்ட ஒரு உருவம் வளைவு ட்ரேப்சாய்டு எனப்படும்.
தொடர்புடைய பகுதி வளைந்த ட்ரேப்சாய்டுசூத்திரத்தால் கணக்கிடப்படுகிறது:
$S=\int\limits_(a)^(b)(f(x)dx).$ (*)
வளைந்த ட்ரேப்சாய்டின் பகுதியை $4$ வகைகளாகக் கண்டறிவதற்கான சிக்கல்களை நிபந்தனையுடன் பிரிப்போம். ஒவ்வொரு வகையையும் இன்னும் விரிவாகப் பார்ப்போம்.
வகை I: வளைந்த ட்ரேப்சாய்டு வெளிப்படையாகக் குறிப்பிடப்படுகிறது.பின்னர் உடனடியாக சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்தவும் (*).
எடுத்துக்காட்டாக, $y=4-(x-2)^(2)$ செயல்பாட்டின் வரைபடம் மற்றும் $y=0, \ x=1$ மற்றும் $x ஆகிய கோடுகளால் எல்லைப்படுத்தப்பட்ட வளைவு ட்ரேப்சாய்டின் பகுதியைக் கண்டறியவும். =3$.
இந்த வளைந்த ட்ரேப்சாய்டை வரைவோம்.
சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்தி (*), இந்த வளைவு ட்ரேப்சாய்டின் பகுதியைக் காண்கிறோம்.
$S=\int\limits_(1)^(3)(\left(4-(x-2)^(2)\right)dx)=\int\limits_(1)^(3)(4dx)- \int\limits_(1)^(3)((x-2)^(2)dx)=4x|_(1)^(3) – \left.\frac((x-2)^(3) )(3)\வலது|_(1)^(3)=$
$=4(3-1)-\frac(1)(3)\இடது((3-2)^(3)-(1-2)^(3)\வலது)=4 \cdot 2 – \frac (1)(3)\இடது((1)^(3)-(-1)^(3)\வலது) = 8 – \frac(1)(3)(1+1) =$
$=8-\frac(2)(3)=7\frac(1)(3)$ (அலகுகள்$^(2)$).
வகை II: வளைந்த ட்ரேப்சாய்டு மறைமுகமாக குறிப்பிடப்படுகிறது.இந்த வழக்கில், நேர்கோடுகள் $x=a, \ x=b$ பொதுவாக குறிப்பிடப்படவில்லை அல்லது பகுதியளவில் குறிப்பிடப்படவில்லை. இந்த வழக்கில், $y=f(x)$ மற்றும் $y=0$ செயல்பாடுகளின் குறுக்குவெட்டு புள்ளிகளை நீங்கள் கண்டுபிடிக்க வேண்டும். இந்த புள்ளிகள் $a$ மற்றும் $b$ புள்ளிகளாக இருக்கும்.
எடுத்துக்காட்டாக, $y=1-x^(2)$ மற்றும் $y=0$ ஆகிய சார்புகளின் வரைபடங்களால் வரையறுக்கப்பட்ட ஒரு உருவத்தின் பகுதியைக் கண்டறியவும்.
குறுக்குவெட்டு புள்ளிகளைக் கண்டுபிடிப்போம். இதைச் செய்ய, செயல்பாடுகளின் வலது பக்கங்களை சமன் செய்கிறோம்.
எனவே, $a=-1$ மற்றும் $b=1$. இந்த வளைந்த ட்ரேப்சாய்டை வரைவோம்.
இந்த வளைந்த ட்ரேப்சாய்டின் பகுதியைக் கண்டுபிடிப்போம்.
$S=\int\limits_(-1)^(1)(\left(1-x^(2)\right)dx)=\int\limits_(-1)^(1)(1dx)-\int \limits_(-1)^(1)(x^(2)dx)=x|_(-1)^(1) – \இடது.\frac(x^(3))(3)\வலது|_ (-1)^(1)=$
$=(1-(-1))-\frac(1)(3)\இடது(1^(3)-(-1)^(3)\வலது)=2 – \frac(1)(3) \இடது(1+1\வலது) = 2 – \frac(2)(3) = 1\frac(1)(3)$ (அலகுகள்$^(2)$).
வகை III: இரண்டு தொடர்ச்சியான எதிர்மறையான செயல்பாடுகளின் குறுக்குவெட்டு மூலம் வரையறுக்கப்பட்ட உருவத்தின் பரப்பளவு.இந்த எண்ணிக்கை ஒரு வளைந்த ட்ரெப்சாய்டாக இருக்காது, அதாவது சூத்திரத்தை (*) பயன்படுத்தி அதன் பகுதியை கணக்கிட முடியாது. எப்படி இருக்க வேண்டும்?இந்த உருவத்தின் பரப்பளவு மேல் செயல்பாடு மற்றும் $y=0$ ($S_(uf)$) மற்றும் கீழ் செயல்பாடு மற்றும் $y ஆகியவற்றால் கட்டுப்படுத்தப்பட்ட வளைவு ட்ரெப்சாய்டுகளின் பகுதிகளுக்கு இடையே உள்ள வேறுபாட்டைக் காணலாம். =0$ ($S_(lf)$), இதில் $x=a, \ x=b$ பங்கு இந்த செயல்பாடுகளின் குறுக்குவெட்டு புள்ளிகளின் $x$ ஆயத்தொலைவுகளால் விளையாடப்படுகிறது, அதாவது.
$S=S_(uf)-S_(lf)$. (**)
அத்தகைய பகுதிகளை கணக்கிடும் போது மிக முக்கியமான விஷயம், மேல் மற்றும் கீழ் செயல்பாடுகளின் தேர்வுடன் "மிஸ்" செய்யக்கூடாது.
எடுத்துக்காட்டாக, $y=x^(2)$ மற்றும் $y=x+6$ ஆகிய செயல்பாடுகளால் வரையறுக்கப்பட்ட உருவத்தின் பகுதியைக் கண்டறியவும்.
இந்த வரைபடங்களின் குறுக்குவெட்டு புள்ளிகளைக் கண்டுபிடிப்போம்:
வியட்டாவின் தேற்றத்தின்படி,
$x_(1)=-2,\x_(2)=3.$
அதாவது $a=-2,\b=3$. ஒரு உருவத்தை வரைவோம்:
எனவே, மேல் செயல்பாடு $y=x+6$, மற்றும் கீழ் செயல்பாடு $y=x^(2)$. அடுத்து, சூத்திரம் (*) ஐப் பயன்படுத்தி $S_(uf)$ மற்றும் $S_(lf)$ ஆகியவற்றைக் காண்கிறோம்.
$S_(uf)=\int\limits_(-2)^(3)((x+6)dx)=\int\limits_(-2)^(3)(xdx)+\int\limits_(-2 )^(3)(6dx)=\இடது.\frac(x^(2))(2)\வலது|_(-2)^(3) + 6x|_(-2)^(3)= 32 .5$ (அலகுகள்$^(2)$).
$S_(lf)=\int\limits_(-2)^(3)(x^(2)dx)=\இடது.\frac(x^(3))(3)\வலது|_(-2) ^(3) = \frac(35)(3)$ (அலகுகள்$^(2)$).
நாம் கண்டுபிடித்ததை (**) மாற்றுவோம்:
$S=32.5-\frac(35)(3)= \frac(125)(6)$ (அலகுகள்$^(2)$).
வகை IV: எதிர்மறை அல்லாத நிலையைத் திருப்திப்படுத்தாத ஒரு செயல்பாடு(கள்) மூலம் வரையறுக்கப்பட்ட உருவத்தின் பரப்பளவு.அத்தகைய உருவத்தின் பரப்பளவைக் கண்டறிய, நீங்கள் $Ox$ அச்சில் சமச்சீராக இருக்க வேண்டும் ( வேறு வார்த்தைகளில் கூறுவதானால்,செயல்பாடுகளுக்கு முன்னால் "மைனஸ்கள்" வைக்கவும்) பகுதியைக் காட்டவும், I - III வகைகளில் கோடிட்டுக் காட்டப்பட்டுள்ள முறைகளைப் பயன்படுத்தி, காட்டப்படும் பகுதியின் பகுதியைக் கண்டறியவும். இந்த பகுதி தேவையான பகுதியாக இருக்கும். முதலில், நீங்கள் செயல்பாட்டு வரைபடங்களின் குறுக்குவெட்டு புள்ளிகளைக் கண்டறிய வேண்டும்.
எடுத்துக்காட்டாக, $y=x^(2)-1$ மற்றும் $y=0$ ஆகிய சார்புகளின் வரைபடங்களால் வரையறுக்கப்பட்ட ஒரு உருவத்தின் பகுதியைக் கண்டறியவும்.
செயல்பாட்டு வரைபடங்களின் குறுக்குவெட்டு புள்ளிகளைக் கண்டுபிடிப்போம்:
அந்த. $a=-1$, மற்றும் $b=1$. பகுதியை வரைவோம்.
பகுதியை சமச்சீராகக் காண்பிப்போம்:
$y=0 \ \Rightarrow \ y=-0=0$
$y=x^(2)-1 \\Rightarrow \ y= -(x^(2)-1) = 1-x^(2)$.
இதன் விளைவாக $y=1-x^(2)$ மற்றும் $y=0$ செயல்பாட்டின் வரைபடத்தால் வரம்பிடப்பட்ட ஒரு வளைவு ட்ரேப்சாய்டு ஆகும். இரண்டாவது வகையின் வளைந்த ட்ரெப்சாய்டைக் கண்டுபிடிப்பதில் இது ஒரு சிக்கல். நாங்கள் ஏற்கனவே அதை தீர்த்துவிட்டோம். பதில்: $S= 1\frac(1)(3)$ (அலகுகள் $^(2)$). இதன் பொருள், தேவையான வளைவு ட்ரேப்சாய்டின் பரப்பளவு இதற்கு சமம்:
$S=1\frac(1)(3)$ (அலகுகள்$^(2)$).
மீண்டும் முன்னோக்கி
கவனம்! ஸ்லைடு மாதிரிக்காட்சிகள் தகவல் நோக்கங்களுக்காக மட்டுமே மற்றும் விளக்கக்காட்சியின் அனைத்து அம்சங்களையும் பிரதிநிதித்துவப்படுத்தாது. நீங்கள் ஆர்வமாக இருந்தால் இந்த வேலை, முழு பதிப்பையும் பதிவிறக்கவும்.
முக்கிய வார்த்தைகள்:ஒருங்கிணைந்த, வளைந்த ட்ரேப்சாய்டு, அல்லிகளால் கட்டுப்படுத்தப்பட்ட உருவங்களின் பகுதி
உபகரணங்கள்: மார்க்கர் போர்டு, கணினி, மல்டிமீடியா ப்ரொஜெக்டர்
பாடம் வகை: பாடம்-விரிவுரை
பாடம் நோக்கங்கள்:
- கல்வி:மன வேலை கலாச்சாரத்தை உருவாக்குதல், ஒவ்வொரு மாணவருக்கும் வெற்றிகரமான சூழ்நிலையை உருவாக்குதல் மற்றும் கற்றலுக்கான நேர்மறையான உந்துதலை உருவாக்குதல்; மற்றவர்களிடம் பேசும் மற்றும் கேட்கும் திறனை வளர்த்துக் கொள்ளுங்கள்.
- வளரும்:பல்வேறு சூழ்நிலைகளில் அறிவைப் பயன்படுத்துவதில் மாணவரின் சுயாதீன சிந்தனையை உருவாக்குதல், பகுப்பாய்வு மற்றும் முடிவுகளை எடுக்கும் திறன், தர்க்கத்தின் வளர்ச்சி, கேள்விகளை சரியாக முன்வைத்து அவற்றுக்கான பதில்களைக் கண்டறியும் திறனை வளர்ப்பது. கணக்கீட்டு மற்றும் கணக்கீட்டு திறன்களின் உருவாக்கத்தை மேம்படுத்துதல், முன்மொழியப்பட்ட பணிகளை முடிக்கும் போக்கில் மாணவர்களின் சிந்தனையை மேம்படுத்துதல், ஒரு வழிமுறை கலாச்சாரத்தை உருவாக்குதல்.
- கல்வி: ஒரு வளைவு ட்ரேப்சாய்டு பற்றிய கருத்துகளை உருவாக்குதல், ஒரு ஒருங்கிணைந்த பற்றி, விமான உருவங்களின் பகுதிகளை கணக்கிடும் திறன்களில் தேர்ச்சி பெறுதல்
கற்பித்தல் முறை:விளக்கமான மற்றும் விளக்கமான.
வகுப்புகளின் போது
முந்தைய வகுப்புகளில், எல்லைகள் உடைந்த கோடுகளாக இருக்கும் உருவங்களின் பகுதிகளைக் கணக்கிட கற்றுக்கொண்டோம். கணிதத்தில், வளைவுகளால் வரையறுக்கப்பட்ட புள்ளிவிவரங்களின் பகுதிகளைக் கணக்கிட உங்களை அனுமதிக்கும் முறைகள் உள்ளன. இத்தகைய புள்ளிவிவரங்கள் கர்விலினியர் ட்ரெப்சாய்டுகள் என்று அழைக்கப்படுகின்றன, மேலும் அவற்றின் பரப்பளவு ஆன்டிடெரிவேடிவ்களைப் பயன்படுத்தி கணக்கிடப்படுகிறது.
கர்விலினியர் ட்ரேப்சாய்டு ( ஸ்லைடு 1)
வளைந்த ட்ரேப்சாய்டு என்பது ஒரு செயல்பாட்டின் வரைபடத்தால் வரையறுக்கப்பட்ட ஒரு உருவம், ( sh.m), நேராக x = aமற்றும் x = bமற்றும் x-அச்சு
பல்வேறு வகையான வளைந்த ட்ரேப்சாய்டுகள் ( ஸ்லைடு 2)
நாங்கள் பரிசீலித்து வருகிறோம் வெவ்வேறு வகையானவளைவு ட்ரேப்சாய்டுகள் மற்றும் அறிவிப்பு: கோடுகளில் ஒன்று ஒரு புள்ளியாக சிதைகிறது, கட்டுப்படுத்தும் செயல்பாட்டின் பங்கு கோட்டால் செய்யப்படுகிறது
வளைந்த ட்ரேப்சாய்டின் பகுதி (ஸ்லைடு 3)
இடைவெளியின் இடது முனையை சரிசெய்யவும் ஏ,மற்றும் சரியானது எக்ஸ்நாம் மாற்றுவோம், அதாவது, வளைவு ட்ரேப்சாய்டின் வலது சுவரை நகர்த்தி, மாறும் உருவத்தைப் பெறுவோம். செயல்பாட்டின் வரைபடத்தால் கட்டுப்படுத்தப்பட்ட மாறி வளைவு ட்ரேப்சாய்டின் பரப்பளவு ஒரு ஆண்டிடெரிவேடிவ் ஆகும் எஃப்செயல்பாட்டிற்கு f
மற்றும் பிரிவில் [ ஒரு; பி] செயல்பாட்டால் உருவாக்கப்பட்ட ஒரு வளைவு ட்ரேப்சாய்டின் பகுதி f,இந்தச் செயல்பாட்டின் ஆண்டிடெரிவேடிவ் அதிகரிப்புக்கு சமம்:
பயிற்சி 1:
செயல்பாட்டின் வரைபடத்தால் கட்டுப்படுத்தப்பட்ட வளைவு ட்ரேப்சாய்டின் பகுதியைக் கண்டறியவும்: f(x) = x 2மற்றும் நேராக y = 0, x = 1, x = 2.
தீர்வு: ( அல்காரிதம் ஸ்லைடு 3 இன் படி)
செயல்பாடு மற்றும் கோடுகளின் வரைபடத்தை வரைவோம்
அதில் ஒன்றைக் கண்டுபிடிப்போம் ஆண்டிடெரிவேடிவ் செயல்பாடுகள் f(x) = x 2 :
ஸ்லைடில் சுய சோதனை
ஒருங்கிணைந்த
செயல்பாட்டால் வரையறுக்கப்பட்ட ஒரு வளைவு ட்ரேப்சாய்டைக் கவனியுங்கள் fபிரிவில் [ ஒரு; பி]. இந்த பகுதியை பல பகுதிகளாக பிரிக்கலாம். முழு ட்ரெப்சாய்டின் பகுதியும் சிறிய வளைந்த ட்ரெப்சாய்டுகளின் பகுதிகளின் கூட்டுத்தொகையாக பிரிக்கப்படும். ( ஸ்லைடு 5). அத்தகைய ஒவ்வொரு ட்ரெப்சாய்டையும் தோராயமாக ஒரு செவ்வகமாகக் கருதலாம். இந்த செவ்வகங்களின் பகுதிகளின் கூட்டுத்தொகை வளைந்த ட்ரெப்சாய்டின் முழுப் பகுதியையும் தோராயமாகத் தருகிறது. சிறிய பகுதியை நாம் பிரிக்கிறோம் [ ஒரு; பி], எவ்வளவு துல்லியமாக நாம் பகுதியை கணக்கிடுகிறோம்.
இந்த வாதங்களை ஃபார்முலா வடிவில் எழுதுவோம்.
பிரிவை பிரிக்கவும் [ ஒரு; பி] புள்ளிகளால் n பகுதிகளாக x 0 =a, x1,...,xn = b.நீளம் k-வது மூலம் குறிக்கவும் xk = xk – xk-1. ஒரு தொகையை உருவாக்குவோம்
வடிவியல் ரீதியாக, இந்த தொகை படத்தில் நிழலாடிய உருவத்தின் பகுதியைக் குறிக்கிறது ( sh.m.)
படிவத்தின் தொகைகள் செயல்பாட்டிற்கான ஒருங்கிணைந்த தொகைகள் எனப்படும் f. (sh.m.)
ஒருங்கிணைந்த தொகைகள் பகுதியின் தோராயமான மதிப்பைக் கொடுக்கும். வரம்பிற்குள் செல்வதன் மூலம் சரியான மதிப்பு பெறப்படுகிறது. பிரிவின் பிரிவை நாம் செம்மைப்படுத்துகிறோம் என்று கற்பனை செய்து கொள்வோம் [ ஒரு; பி] அதனால் அனைத்து சிறிய பிரிவுகளின் நீளமும் பூஜ்ஜியமாக இருக்கும். பின்னர் தொகுக்கப்பட்ட உருவத்தின் பரப்பளவு வளைந்த ட்ரெப்சாய்டின் பகுதியை அணுகும். வளைந்த ட்ரேப்சாய்டின் பரப்பளவு ஒருங்கிணைந்த தொகைகளின் வரம்பிற்கு சமம் என்று நாம் கூறலாம், Sc.t. (sh.m.)அல்லது ஒருங்கிணைந்த, அதாவது,
வரையறை:
ஒரு செயல்பாட்டின் ஒருங்கிணைப்பு f(x)இருந்து அமுன் பிஒருங்கிணைந்த தொகைகளின் வரம்பு என்று அழைக்கப்படுகிறது
= (sh.m.)
நியூட்டன்-லீப்னிஸ் சூத்திரம்.
ஒருங்கிணைந்த தொகைகளின் வரம்பு ஒரு வளைவு ட்ரெப்சாய்டின் பகுதிக்கு சமம் என்பதை நாங்கள் நினைவில் கொள்கிறோம், அதாவது நாம் எழுதலாம்:
Sc.t. = (sh.m.)
மறுபுறம், வளைந்த ட்ரெப்சாய்டின் பரப்பளவு சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்தி கணக்கிடப்படுகிறது
எஸ் கே.டி. (sh.m.)
இந்த சூத்திரங்களை ஒப்பிடுகையில், நாம் பெறுகிறோம்:
= (sh.m.)இந்த சமத்துவம் நியூட்டன்-லீப்னிஸ் சூத்திரம் என்று அழைக்கப்படுகிறது.
கணக்கீட்டின் எளிமைக்காக, சூத்திரம் பின்வருமாறு எழுதப்பட்டுள்ளது:
= = (sh.m.)பணிகள்: (sh.m.)
1. நியூட்டன்-லீப்னிஸ் சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்தி ஒருங்கிணைப்பைக் கணக்கிடவும்: ( ஸ்லைடு 5 இல் சரிபார்க்கவும்)
2. வரைபடத்தின் படி ஒருங்கிணைப்புகளை உருவாக்கவும் ( ஸ்லைடு 6 இல் சரிபார்க்கவும்)
3. கோடுகளால் கட்டப்பட்ட உருவத்தின் பகுதியைக் கண்டறியவும்: y = x 3, y = 0, x = 1, x = 2. ( ஸ்லைடு 7)
விமான உருவங்களின் பகுதிகளைக் கண்டறிதல் ( ஸ்லைடு 8)
வளைந்த ட்ரெப்சாய்டுகள் இல்லாத உருவங்களின் பகுதியை எவ்வாறு கண்டுபிடிப்பது?
ஸ்லைடில் நீங்கள் பார்க்கும் வரைபடங்கள் இரண்டு செயல்பாடுகளைக் கொடுக்கலாம் . (sh.m.)நிழலாடிய உருவத்தின் பகுதியைக் கண்டறியவும் . (sh.m.). கேள்விக்குரிய உருவம் வளைந்த ட்ரேப்சாய்டா? பகுதியின் சேர்க்கையின் சொத்தைப் பயன்படுத்தி அதன் பகுதியை எவ்வாறு கண்டுபிடிப்பது? இரண்டு வளைந்த ட்ரெப்சாய்டுகளைக் கருத்தில் கொண்டு, அவற்றில் ஒன்றின் பரப்பிலிருந்து மற்றொன்றின் பகுதியைக் கழிக்கவும் ( sh.m.)
ஸ்லைடில் அனிமேஷனைப் பயன்படுத்தி பகுதியைக் கண்டறியும் வழிமுறையை உருவாக்குவோம்:
- வரைபட செயல்பாடுகள்
- வரைபடங்களின் குறுக்குவெட்டு புள்ளிகளை x-அச்சில் திட்டமிடுங்கள்
- வரைபடங்கள் வெட்டும் போது பெறப்பட்ட உருவத்தை நிழலிடுங்கள்
- கொடுக்கப்பட்ட உருவத்தின் குறுக்குவெட்டு அல்லது ஒன்றியத்தின் வளைவு ட்ரெப்சாய்டுகளைக் கண்டறியவும்.
- அவை ஒவ்வொன்றின் பகுதியையும் கணக்கிடுங்கள்
- பகுதிகளின் வேறுபாடு அல்லது தொகையைக் கண்டறியவும்
வாய்வழி பணி: நிழலாடிய உருவத்தின் பகுதியை எவ்வாறு பெறுவது (அனிமேஷனைப் பயன்படுத்தி சொல்லுங்கள், ஸ்லைடு 8 மற்றும் 9)
வீட்டு பாடம்:குறிப்புகள் மூலம் வேலை செய்யுங்கள், எண். 353 (அ), எண். 364 (அ).
நூல் பட்டியல்
- இயற்கணிதம் மற்றும் பகுப்பாய்வின் ஆரம்பம்: மாலை (ஷிப்ட்) பள்ளி / பதிப்பின் 9-11 வகுப்புகளுக்கான பாடநூல். ஜி.டி. கிளாசர். - எம்: அறிவொளி, 1983.
- பாஷ்மகோவ் எம்.ஐ. இயற்கணிதம் மற்றும் பகுப்பாய்வின் ஆரம்பம்: மேல்நிலைப் பள்ளியின் 10-11 வகுப்புகளுக்கான பாடநூல் / பாஷ்மகோவ் எம்.ஐ. - எம்: அறிவொளி, 1991.
- பாஷ்மகோவ் எம்.ஐ. கணிதம்: நிறுவனங்களின் தொடக்கத்திற்கான பாடநூல். மற்றும் புதன்கிழமை பேராசிரியர். கல்வி / எம்.ஐ. பாஷ்மகோவ். - எம்: அகாடமி, 2010.
- கோல்மோகோரோவ் ஏ.என். இயற்கணிதம் மற்றும் பகுப்பாய்வின் ஆரம்பம்: 10-11 வகுப்புகளுக்கான பாடநூல். கல்வி நிறுவனங்கள் / ஏ.என். கோல்மோகோரோவ். - எம்: கல்வி, 2010.
- ஆஸ்ட்ரோவ்ஸ்கி எஸ்.எல். ஒரு பாடத்திற்கான விளக்கக்காட்சியை எவ்வாறு உருவாக்குவது?/ எஸ்.எல். ஆஸ்ட்ரோவ்ஸ்கி. – எம்.: செப்டம்பர் 1, 2010.
உதாரணம்1 . கோடுகளால் கட்டப்பட்ட உருவத்தின் பகுதியைக் கணக்கிடவும்: x + 2y – 4 = 0, y = 0, x = -3, மற்றும் x = 2
ஒரு உருவத்தை உருவாக்குவோம் (படத்தைப் பார்க்கவும்) A(4;0) மற்றும் B(0;2) ஆகிய இரண்டு புள்ளிகளைப் பயன்படுத்தி x + 2y – 4 = 0 என்ற நேர்கோட்டை உருவாக்குகிறோம். y ஐ x மூலம் வெளிப்படுத்தினால், நாம் y = -0.5x + 2 ஐப் பெறுகிறோம். (1) சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்தி, f(x) = -0.5x + 2, a = -3, b = 2, நாம் கண்டுபிடிக்கிறோம்
S = = [-0.25=11.25 சதுர. அலகுகள்
எடுத்துக்காட்டு 2. கோடுகளால் கட்டப்பட்ட உருவத்தின் பகுதியைக் கணக்கிடுங்கள்: x – 2y + 4 = 0, x + y – 5 = 0 மற்றும் y = 0.
தீர்வு. உருவத்தை உருவாக்குவோம்.
x – 2y + 4 = 0: y = 0, x = - 4, A(-4; 0) என்ற நேர்கோட்டை உருவாக்குவோம்; x = 0, y = 2, B(0; 2).
x + y – 5 = 0: y = 0, x = 5, C(5; 0), x = 0, y = 5, D(0; 5) என்ற நேர்கோட்டை உருவாக்குவோம்.
சமன்பாடுகளின் அமைப்பைத் தீர்ப்பதன் மூலம் கோடுகளின் வெட்டும் புள்ளியைக் கண்டுபிடிப்போம்:
x = 2, y = 3; எம்(2; 3).
தேவையான பகுதியைக் கணக்கிட, AMC முக்கோணத்தை AMN மற்றும் NMC என இரண்டு முக்கோணங்களாகப் பிரிக்கிறோம், ஏனெனில் x A இலிருந்து N க்கு மாறும்போது, பகுதி ஒரு நேர் கோட்டாலும், x N இலிருந்து C க்கு மாறும்போது - ஒரு நேர் கோட்டாலும்
AMN முக்கோணத்திற்கு நம்மிடம் உள்ளது: ; y = 0.5x + 2, அதாவது f(x) = 0.5x + 2, a = - 4, b = 2.
NMC முக்கோணத்திற்கு நம்மிடம் உள்ளது: y = - x + 5, அதாவது f(x) = - x + 5, a = 2, b = 5.
ஒவ்வொரு முக்கோணத்தின் பரப்பளவையும் கணக்கிட்டு, முடிவுகளைச் சேர்ப்பதன் மூலம், நாம் காண்கிறோம்:
சதுர. அலகுகள்
சதுர. அலகுகள்
9 + 4, 5 = 13.5 சதுர. அலகுகள் சரிபார்க்கவும்: = 0.5AC = 0.5 சதுர. அலகுகள்
எடுத்துக்காட்டு 3. கோடுகளால் வரையறுக்கப்பட்ட உருவத்தின் பகுதியைக் கணக்கிடுங்கள்: y = x 2 , y = 0, x = 2, x = 3.
இந்த வழக்கில், நீங்கள் பரவளைய y = x ஆல் கட்டுப்படுத்தப்பட்ட வளைந்த ட்ரேப்சாய்டின் பகுதியைக் கணக்கிட வேண்டும். 2 , நேர்கோடுகள் x = 2 மற்றும் x = 3 மற்றும் ஆக்ஸ் அச்சு (படம் பார்க்கவும்) சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்தி (1) வளைவு ட்ரேப்சாய்டின் பகுதியைக் கண்டுபிடிப்போம்
= = 6 சதுர. அலகுகள்
எடுத்துக்காட்டு 4. கோடுகளால் கட்டப்பட்ட உருவத்தின் பகுதியைக் கணக்கிடுங்கள்: y = - x 2 + 4 மற்றும் y = 0
உருவத்தை உருவாக்குவோம். தேவையான பகுதி பரவளைய y = - x இடையே இணைக்கப்பட்டுள்ளது 2 + 4 மற்றும் எருது அச்சு.
எருது அச்சுடன் பரவளையத்தின் வெட்டுப்புள்ளிகளைக் கண்டுபிடிப்போம். y = 0 என்று வைத்துக் கொண்டால், x = இந்த எண்ணிக்கை Oy அச்சில் சமச்சீராக இருப்பதால், Oy அச்சின் வலதுபுறத்தில் அமைந்துள்ள உருவத்தின் பரப்பளவைக் கணக்கிட்டு, பெறப்பட்ட முடிவை இரட்டிப்பாக்குகிறோம்: = +4x] சதுர. அலகுகள் 2 = 2 சதுர. அலகுகள்
எடுத்துக்காட்டு 5. கோடுகளால் வரையறுக்கப்பட்ட உருவத்தின் பரப்பளவைக் கணக்கிடவும்: y 2 = x, yx = 1, x = 4
இங்கே நீங்கள் பரவளையத்தின் மேல் கிளையால் கட்டுப்படுத்தப்பட்ட வளைந்த ட்ரேப்சாய்டின் பகுதியைக் கணக்கிட வேண்டும். 2 = x, எருது அச்சு மற்றும் நேர் கோடுகள் x = 1 மற்றும் x = 4 (படத்தைப் பார்க்கவும்)
சூத்திரத்தின்படி (1), f(x) = a = 1 மற்றும் b = 4, எங்களிடம் = (= சதுர அலகுகள்.
எடுத்துக்காட்டு 6 . கோடுகளால் கட்டப்பட்ட உருவத்தின் பகுதியைக் கணக்கிடுங்கள்: y = sinx, y = 0, x = 0, x = .
தேவையான பகுதி சைனூசாய்டு மற்றும் ஆக்ஸ் அச்சின் அரை-அலையால் வரையறுக்கப்பட்டுள்ளது (படத்தைப் பார்க்கவும்).
எங்களிடம் உள்ளது - cosx = - cos = 1 + 1 = 2 sq. அலகுகள்
எடுத்துக்காட்டு 7. கோடுகளால் கட்டப்பட்ட உருவத்தின் பகுதியைக் கணக்கிடுங்கள்: y = - 6x, y = 0 மற்றும் x = 4.
உருவம் எருது அச்சின் கீழ் அமைந்துள்ளது (படத்தைப் பார்க்கவும்).
எனவே, சூத்திரம் (3) ஐப் பயன்படுத்தி அதன் பகுதியைக் காண்கிறோம்
= =
எடுத்துக்காட்டு 8. கோடுகளால் கட்டப்பட்ட உருவத்தின் பகுதியைக் கணக்கிடவும்: y = மற்றும் x = 2. புள்ளிகளிலிருந்து y = வளைவை உருவாக்கவும் (படத்தைப் பார்க்கவும்). எனவே, சூத்திரம் (4) ஐப் பயன்படுத்தி உருவத்தின் பரப்பளவைக் காண்கிறோம்.
எடுத்துக்காட்டு 9 .
எக்ஸ் 2 + ஒய் 2 = ஆர் 2 .
இங்கே நீங்கள் x வட்டத்தால் இணைக்கப்பட்ட பகுதியைக் கணக்கிட வேண்டும் 2 + ஒய் 2 = ஆர் 2 , அதாவது r ஆரம் கொண்ட ஒரு வட்டத்தின் பரப்பளவு மற்றும் மையத்தின் தோற்றம். 0 இலிருந்து ஒருங்கிணைப்பின் வரம்புகளை எடுத்து இந்தப் பகுதியின் நான்காவது பகுதியைக் கண்டுபிடிப்போம்
முன்; எங்களிடம் உள்ளது: 1 = = [
எனவே, 1 =
எடுத்துக்காட்டு 10. கோடுகளால் வரையறுக்கப்பட்ட உருவத்தின் பகுதியைக் கணக்கிடுங்கள்: y= x 2 மற்றும் y = 2x
இந்த எண்ணிக்கை பரவளைய y = x ஆல் வரையறுக்கப்பட்டுள்ளது 2 மற்றும் நேர்கோடு y = 2x (படத்தைப் பார்க்கவும்) கொடுக்கப்பட்ட கோடுகளின் வெட்டுப்புள்ளிகளைத் தீர்மானிக்க, சமன்பாடுகளின் அமைப்பைத் தீர்க்கிறோம்: x 2 – 2x = 0 x = 0 மற்றும் x = 2
பகுதியைக் கண்டுபிடிக்க சூத்திரம் (5) ஐப் பயன்படுத்தி, நாங்கள் பெறுகிறோம்
= }