$$ பிரிவின் $f(x)$ மற்றும் $y=0, \ x=a$ மற்றும் $x=b$ ஆகிய கோடுகளின் தொடர்ச்சியான எதிர்மறை அல்லாத செயல்பாட்டின் வரைபடத்தால் வரையறுக்கப்பட்ட ஒரு உருவம் வளைவு ட்ரேப்சாய்டு எனப்படும்.

தொடர்புடைய பகுதி வளைந்த ட்ரேப்சாய்டுசூத்திரத்தால் கணக்கிடப்படுகிறது:

$S=\int\limits_(a)^(b)(f(x)dx).$ (*)

வளைந்த ட்ரேப்சாய்டின் பகுதியை $4$ வகைகளாகக் கண்டறிவதற்கான சிக்கல்களை நிபந்தனையுடன் பிரிப்போம். ஒவ்வொரு வகையையும் இன்னும் விரிவாகப் பார்ப்போம்.

வகை I: வளைந்த ட்ரேப்சாய்டு வெளிப்படையாகக் குறிப்பிடப்படுகிறது.பின்னர் உடனடியாக சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்தவும் (*).

எடுத்துக்காட்டாக, $y=4-(x-2)^(2)$ செயல்பாட்டின் வரைபடம் மற்றும் $y=0, \ x=1$ மற்றும் $x ஆகிய கோடுகளால் எல்லைப்படுத்தப்பட்ட வளைந்த ட்ரேப்சாய்டின் பகுதியைக் கண்டறியவும். =3$.

இந்த வளைந்த ட்ரேப்சாய்டை வரைவோம்.

சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்தி (*), இந்த வளைவு ட்ரேப்சாய்டின் பகுதியைக் காண்கிறோம்.

$S=\int\limits_(1)^(3)(\left(4-(x-2)^(2)\right)dx)=\int\limits_(1)^(3)(4dx)- \int\limits_(1)^(3)((x-2)^(2)dx)=4x|_(1)^(3) – \left.\frac((x-2)^(3) )(3)\வலது|_(1)^(3)=$

$=4(3-1)-\frac(1)(3)\இடது((3-2)^(3)-(1-2)^(3)\வலது)=4 \cdot 2 – \frac (1)(3)\இடது((1)^(3)-(-1)^(3)\வலது) = 8 – \frac(1)(3)(1+1) =$

$=8-\frac(2)(3)=7\frac(1)(3)$ (அலகுகள்$^(2)$).

வகை II: வளைந்த ட்ரேப்சாய்டு மறைமுகமாக குறிப்பிடப்படுகிறது.இந்த வழக்கில், நேர்கோடுகள் $x=a, \ x=b$ பொதுவாக குறிப்பிடப்படவில்லை அல்லது பகுதியளவில் குறிப்பிடப்படவில்லை. இந்த வழக்கில், $y=f(x)$ மற்றும் $y=0$ செயல்பாடுகளின் குறுக்குவெட்டு புள்ளிகளை நீங்கள் கண்டுபிடிக்க வேண்டும். இந்த புள்ளிகள் $a$ மற்றும் $b$ புள்ளிகளாக இருக்கும்.

எடுத்துக்காட்டாக, $y=1-x^(2)$ மற்றும் $y=0$ ஆகிய சார்புகளின் வரைபடங்களால் வரையறுக்கப்பட்ட ஒரு உருவத்தின் பகுதியைக் கண்டறியவும்.

குறுக்குவெட்டு புள்ளிகளைக் கண்டுபிடிப்போம். இதைச் செய்ய, செயல்பாடுகளின் வலது பக்கங்களை சமன் செய்கிறோம்.

எனவே, $a=-1$ மற்றும் $b=1$. இந்த வளைந்த ட்ரேப்சாய்டை வரைவோம்.

இந்த வளைந்த ட்ரேப்சாய்டின் பகுதியைக் கண்டுபிடிப்போம்.

$S=\int\limits_(-1)^(1)(\left(1-x^(2)\right)dx)=\int\limits_(-1)^(1)(1dx)-\int \limits_(-1)^(1)(x^(2)dx)=x|_(-1)^(1) – \இடது.\frac(x^(3))(3)\வலது|_ (-1)^(1)=$

$=(1-(-1))-\frac(1)(3)\இடது(1^(3)-(-1)^(3)\வலது)=2 – \frac(1)(3) \இடது(1+1\வலது) = 2 – \frac(2)(3) = 1\frac(1)(3)$ (அலகுகள்$^(2)$).

வகை III: இரண்டு தொடர்ச்சியான எதிர்மறையான செயல்பாடுகளின் குறுக்குவெட்டு மூலம் வரையறுக்கப்பட்ட உருவத்தின் பரப்பளவு.இந்த எண்ணிக்கை ஒரு வளைந்த ட்ரெப்சாய்டாக இருக்காது, அதாவது சூத்திரத்தை (*) பயன்படுத்தி அதன் பகுதியை கணக்கிட முடியாது. எப்படி இருக்க வேண்டும்?இந்த உருவத்தின் பரப்பளவு மேல் செயல்பாடு மற்றும் $y=0$ ($S_(uf)$) மற்றும் கீழ் செயல்பாடு மற்றும் $y ஆகியவற்றால் கட்டுப்படுத்தப்பட்ட வளைவு ட்ரெப்சாய்டுகளின் பகுதிகளுக்கு இடையே உள்ள வேறுபாட்டைக் காணலாம். =0$ ($S_(lf)$), இதில் $x=a, \ x=b$ பங்கு இந்த செயல்பாடுகளின் குறுக்குவெட்டு புள்ளிகளின் $x$ ஆயத்தொலைவுகளால் விளையாடப்படுகிறது, அதாவது.

$S=S_(uf)-S_(lf)$. (**)

அத்தகைய பகுதிகளை கணக்கிடும் போது மிக முக்கியமான விஷயம், மேல் மற்றும் கீழ் செயல்பாடுகளின் தேர்வுடன் "மிஸ்" செய்யக்கூடாது.

எடுத்துக்காட்டாக, $y=x^(2)$ மற்றும் $y=x+6$ ஆகிய செயல்பாடுகளால் வரையறுக்கப்பட்ட உருவத்தின் பகுதியைக் கண்டறியவும்.

இந்த வரைபடங்களின் குறுக்குவெட்டு புள்ளிகளைக் கண்டுபிடிப்போம்:

வியட்டாவின் தேற்றத்தின்படி,

$x_(1)=-2,\ x_(2)=3.$

அதாவது, $a=-2,\b=3$. ஒரு உருவத்தை வரைவோம்:

எனவே, மேல் செயல்பாடு $y=x+6$, மற்றும் கீழ் செயல்பாடு $y=x^(2)$. அடுத்து, சூத்திரம் (*) ஐப் பயன்படுத்தி $S_(uf)$ மற்றும் $S_(lf)$ ஆகியவற்றைக் காண்கிறோம்.

$S_(uf)=\int\limits_(-2)^(3)((x+6)dx)=\int\limits_(-2)^(3)(xdx)+\int\limits_(-2 )^(3)(6dx)=\இடது.\frac(x^(2))(2)\வலது|_(-2)^(3) + 6x|_(-2)^(3)= 32 .5$ (அலகுகள்$^(2)$).

$S_(lf)=\int\limits_(-2)^(3)(x^(2)dx)=\இடது.\frac(x^(3))(3)\வலது|_(-2) ^(3) = \frac(35)(3)$ (அலகுகள்$^(2)$).

நாம் கண்டுபிடித்ததை (**) மாற்றுவோம்:

$S=32.5-\frac(35)(3)= \frac(125)(6)$ (அலகுகள்$^(2)$).

வகை IV: எதிர்மறை அல்லாத நிலையைத் திருப்திப்படுத்தாத ஒரு செயல்பாடு(கள்) மூலம் வரையறுக்கப்பட்ட உருவத்தின் பரப்பளவு.அத்தகைய உருவத்தின் பரப்பளவைக் கண்டறிய, நீங்கள் $Ox$ அச்சில் சமச்சீராக இருக்க வேண்டும் ( வேறு வார்த்தைகளில் கூறுவதானால்,செயல்பாடுகளுக்கு முன்னால் "மைனஸ்கள்" வைக்கவும்) பகுதியைக் காட்டவும், I - III வகைகளில் கோடிட்டுக் காட்டப்பட்டுள்ள முறைகளைப் பயன்படுத்தி, காட்டப்படும் பகுதியின் பகுதியைக் கண்டறியவும். இந்த பகுதி தேவையான பகுதியாக இருக்கும். முதலில், நீங்கள் செயல்பாட்டு வரைபடங்களின் குறுக்குவெட்டு புள்ளிகளைக் கண்டறிய வேண்டும்.

எடுத்துக்காட்டாக, $y=x^(2)-1$ மற்றும் $y=0$ ஆகிய சார்புகளின் வரைபடங்களால் வரையறுக்கப்பட்ட ஒரு உருவத்தின் பகுதியைக் கண்டறியவும்.

செயல்பாட்டு வரைபடங்களின் குறுக்குவெட்டு புள்ளிகளைக் கண்டுபிடிப்போம்:

அந்த. $a=-1$, மற்றும் $b=1$. பகுதியை வரைவோம்.

பகுதியை சமச்சீராகக் காண்பிப்போம்:

$y=0 \ \Rightarrow \ y=-0=0$

$y=x^(2)-1 \\Rightarrow \ y= -(x^(2)-1) = 1-x^(2)$.

இதன் விளைவாக $y=1-x^(2)$ மற்றும் $y=0$ செயல்பாட்டின் வரைபடத்தால் வரம்பிடப்பட்ட ஒரு வளைவு ட்ரேப்சாய்டு ஆகும். இரண்டாவது வகையின் வளைந்த ட்ரெப்சாய்டைக் கண்டுபிடிப்பதில் இது ஒரு சிக்கல். நாங்கள் ஏற்கனவே அதை தீர்த்துவிட்டோம். பதில்: $S= 1\frac(1)(3)$ (அலகுகள் $^(2)$). இதன் பொருள், தேவையான வளைவு ட்ரேப்சாய்டின் பரப்பளவு இதற்கு சமம்:

$S=1\frac(1)(3)$ (அலகுகள்$^(2)$).

எருது அச்சில், வளைவு y=f(x) மற்றும் இரண்டு நேர் கோடுகள்: x=a மற்றும் x=b (படம் 85) ஆகியவற்றால் கட்டுப்படுத்தப்பட்ட வளைந்த ட்ரேப்சாய்டைக் கருத்தில் கொள்வோம். x இன் தன்னிச்சையான மதிப்பை எடுத்துக் கொள்வோம் (ஒரு மற்றும் b அல்ல). அதற்கு h = dx என்ற அதிகரிப்பைக் கொடுத்து, AB மற்றும் CD, Ox axis மற்றும் arc BD ஆகிய நேர்கோடுகளால் கட்டுப்படுத்தப்பட்ட ஒரு துண்டு பரிசீலனையில் உள்ள வளைவைக் கருத்தில் கொள்வோம். இந்த ஸ்ட்ரிப்பை ஒரு எலிமெண்டரி ஸ்ட்ரிப் என்று அழைப்போம். ஒரு அடிப்படைப் பட்டையின் பரப்பளவு ACQB செவ்வகத்தின் பரப்பளவிலிருந்து வளைவு முக்கோண BQD ஆல் வேறுபடுகிறது, மேலும் பிந்தைய பகுதியின் பரப்பளவு BQDM செவ்வகத்தின் பரப்பளவை விட BQ = =h= பக்கங்களைக் காட்டிலும் குறைவாக உள்ளது. dx) QD=Ay மற்றும் hAy க்கு சமமான பகுதி = Ay dx. பக்க h குறையும்போது, ​​பக்க Du குறைகிறது மற்றும் h உடன் ஒரே நேரத்தில் பூஜ்ஜியமாக இருக்கும். எனவே, BQDM இன் பரப்பளவு இரண்டாம் வரிசை எல்லையற்றது. ஒரு எலிமெண்டரி ஸ்ட்ரிப் பகுதியின் பரப்பளவு என்பது பகுதியின் அதிகரிப்பு ஆகும், மேலும் செவ்வகத்தின் ACQB பகுதி, AB-AC ==/(x) dx>க்கு சமமான பகுதியின் வேறுபாடு ஆகும். இதன் விளைவாக, அதன் வேறுபாட்டை ஒருங்கிணைத்து அந்தப் பகுதியையே காண்கிறோம். பரிசீலனையில் உள்ள படத்தில், சுயாதீன மாறி l: a இலிருந்து b க்கு மாறுகிறது, எனவே தேவையான பகுதி 5 5= \f(x) dx க்கு சமமாக இருக்கும். (I) உதாரணம் 1. பரவளைய y - 1 -x*, நேர் கோடுகள் X =--Fj-, x = 1 மற்றும் O* அச்சால் (படம் 86) எல்லைப்படுத்தப்பட்ட பகுதியைக் கணக்கிடுவோம். படம். 87. படம். 86. 1 இங்கே f(x) = 1 - l?, ஒருங்கிணைப்பின் வரம்புகள் a = - மற்றும் £ = 1, எனவே J [*-t]\- -fl -- Г -1-±Л_ 1V1 -l-l- Ii-^ 3) |_ 2 3V 2 / J 3 24 24* எடுத்துக்காட்டு 2. சைனூசாய்டு y = sinXy, ஆக்ஸ் அச்சு மற்றும் நேர்கோட்டால் வரையறுக்கப்பட்ட பகுதியைக் கணக்கிடுவோம் (படம் 87). சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்துவதன் மூலம் (I), நாம் A 2 S= J sinxdx= [-cos x]Q =0 -(-1) = lf எடுத்துக்காட்டு 3. சைனூசாய்டின் வளைவால் வரையறுக்கப்பட்ட பகுதியைக் கணக்கிடவும் ^у = sin jc, மூடப்பட்டிருக்கும் ஆக்ஸ் அச்சுடன் இரண்டு அருகில் உள்ள வெட்டுப்புள்ளிகளுக்கு இடையில் (உதாரணமாக, தோற்றம் மற்றும் அப்சிஸ்ஸா i உடன் புள்ளிக்கு இடையில்). இந்த பகுதி முந்தைய எடுத்துக்காட்டின் பரப்பளவை விட இரண்டு மடங்கு அதிகமாக இருக்கும் என்பது வடிவியல் பரிசீலனைகளிலிருந்து தெளிவாகிறது என்பதை நினைவில் கொள்க. இருப்பினும், கணக்கீடுகளைச் செய்வோம்: I 5= | s\nxdx= [ - cosх)* - - cos i-(-cos 0)= 1 + 1 = 2. o உண்மையில், எங்கள் அனுமானம் சரியானது. உதாரணம் 4. சைனூசாய்டு மற்றும் ஆக்ஸ் அச்சில் ஒரு காலத்தில் எல்லைப்படுத்தப்பட்ட பகுதியைக் கணக்கிடுங்கள் (படம் 88). பூர்வாங்க கணக்கீடுகள் எடுத்துக்காட்டு 2 ஐ விட நான்கு மடங்கு பெரியதாக இருக்கும் என்று கூறுகின்றன. இருப்பினும், கணக்கீடுகளை செய்த பிறகு, "i Г,*i S - \ sin x dx = [ - cos x]0 = = - cos 2l -( -cos 0) = - 1 + 1 = 0. இந்த முடிவுக்கு தெளிவு தேவை. விஷயத்தின் சாராம்சத்தை தெளிவுபடுத்த, அதே சைனூசாய்டு y = sin l: மற்றும் L இலிருந்து 2i வரையிலான வரம்பில் உள்ள Ox அச்சினால் வரையறுக்கப்பட்ட பகுதியையும் கணக்கிடுகிறோம். சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்துவதன் மூலம் (I), நாம் 2l $2l sin xdx=[ - cosх]l = -cos 2i~)-c05i=- 1-1 =-2 ஐப் பெறுகிறோம். இதனால், இந்தப் பகுதி எதிர்மறையாக மாறியதைக் காண்கிறோம். உடற்பயிற்சி 3 இல் கணக்கிடப்பட்ட பகுதியுடன் ஒப்பிடுகையில், அவற்றின் முழுமையான மதிப்புகள் ஒரே மாதிரியாக இருப்பதைக் காண்கிறோம், ஆனால் அறிகுறிகள் வேறுபட்டவை. நாம் சொத்து V ஐப் பயன்படுத்தினால் (அத்தியாயம் XI, § 4 ஐப் பார்க்கவும்), 2l I 2l J sin xdx= J sin * dx [ sin x dx = 2 + (- 2) = 0இந்த எடுத்துக்காட்டில் நடந்தது விபத்து அல்ல. எப்பொழுதும் ஆக்ஸ் அச்சுக்குக் கீழே அமைந்துள்ள பகுதி, இடமிருந்து வலமாக மாறி மாறி, ஒருங்கிணைப்புகளைப் பயன்படுத்தி கணக்கிடப்படும் போது பெறப்படும். இந்த பாடத்திட்டத்தில் நாங்கள் எப்போதும் அறிகுறிகள் இல்லாத பகுதிகளை கருத்தில் கொள்வோம். எனவே, இப்போது விவாதிக்கப்பட்ட எடுத்துக்காட்டில் உள்ள பதில்: தேவையான பகுதி 2 + |-2| = 4. எடுத்துக்காட்டு 5. படத்தில் காட்டப்பட்டுள்ள BAB இன் பகுதியைக் கணக்கிடுவோம். 89. இந்தப் பகுதி எருது அச்சில் வரம்பிடப்பட்டுள்ளது, பரவளையம் y = - xr மற்றும் நேர்கோடு y - = -x+\. ஒரு வளைவு ட்ரேப்சாய்டின் பகுதி OAB தேவையான பகுதி இரண்டு பகுதிகளைக் கொண்டுள்ளது: OAM மற்றும் MAV. புள்ளி A என்பது ஒரு பரவளைய மற்றும் ஒரு நேர்கோட்டின் குறுக்குவெட்டு புள்ளியாக இருப்பதால், 3 2 Y = mx சமன்பாடுகளின் அமைப்பைத் தீர்ப்பதன் மூலம் அதன் ஒருங்கிணைப்புகளைக் கண்டுபிடிப்போம். (புள்ளி A இன் abscissa ஐ மட்டும் நாம் கண்டுபிடிக்க வேண்டும்). அமைப்பைத் தீர்த்தல், நாம் l கண்டுபிடிக்கிறோம்; = ~. எனவே, பகுதி பகுதிகளாக கணக்கிடப்பட வேண்டும், முதல் சதுரம். OAM மற்றும் பின்னர் pl. MAV: .... G 3 2, 3 G xP 3 1/2 U 2. QAM-^x சதுர. அலகுகள் 2 = 2 சதுர. அலகுகள்

உதாரணம் 5. கோடுகளால் வரையறுக்கப்பட்ட உருவத்தின் பரப்பளவைக் கணக்கிடவும்: y 2 = x, yx = 1, x = 4

இங்கே நீங்கள் பரவளையத்தின் மேல் கிளையால் கட்டுப்படுத்தப்பட்ட வளைந்த ட்ரேப்சாய்டின் பகுதியைக் கணக்கிட வேண்டும். 2 = x, எருது அச்சு மற்றும் நேர் கோடுகள் x = 1 மற்றும் x = 4 (படத்தைப் பார்க்கவும்)

சூத்திரத்தின்படி (1), f(x) = a = 1 மற்றும் b = 4, எங்களிடம் = (= சதுர அலகுகள்.

எடுத்துக்காட்டு 6 . கோடுகளால் கட்டப்பட்ட உருவத்தின் பகுதியைக் கணக்கிடுங்கள்: y = sinx, y = 0, x = 0, x = .

தேவையான பகுதி சைனூசாய்டு மற்றும் ஆக்ஸ் அச்சின் அரை-அலையால் வரையறுக்கப்பட்டுள்ளது (படத்தைப் பார்க்கவும்).

எங்களிடம் உள்ளது - cosx = - cos = 1 + 1 = 2 sq. அலகுகள்

எடுத்துக்காட்டு 7. கோடுகளால் கட்டப்பட்ட உருவத்தின் பகுதியைக் கணக்கிடுங்கள்: y = - 6x, y = 0 மற்றும் x = 4.

உருவம் எருது அச்சின் கீழ் அமைந்துள்ளது (படத்தைப் பார்க்கவும்).

எனவே, சூத்திரம் (3) ஐப் பயன்படுத்தி அதன் பகுதியைக் காண்கிறோம்

= =

எடுத்துக்காட்டு 8. கோடுகளால் கட்டப்பட்ட உருவத்தின் பகுதியைக் கணக்கிடவும்: y = மற்றும் x = 2. புள்ளிகளிலிருந்து y = வளைவை உருவாக்கவும் (படத்தைப் பார்க்கவும்). எனவே, சூத்திரம் (4) ஐப் பயன்படுத்தி உருவத்தின் பரப்பளவைக் காண்கிறோம்.

எடுத்துக்காட்டு 9 .

எக்ஸ் 2 + ஒய் 2 = ஆர் 2 .

இங்கே நீங்கள் x வட்டத்தால் இணைக்கப்பட்ட பகுதியைக் கணக்கிட வேண்டும் 2 + ஒய் 2 = ஆர் 2 , அதாவது r ஆரம் கொண்ட ஒரு வட்டத்தின் பரப்பளவு மற்றும் மையத்தின் தோற்றம். 0 இலிருந்து ஒருங்கிணைப்பின் வரம்புகளை எடுத்து இந்தப் பகுதியின் நான்காவது பகுதியைக் கண்டுபிடிப்போம்

முன்; எங்களிடம் உள்ளது: 1 = = [

எனவே, 1 =

எடுத்துக்காட்டு 10. கோடுகளால் வரையறுக்கப்பட்ட உருவத்தின் பகுதியைக் கணக்கிடுங்கள்: y= x 2 மற்றும் y = 2x

இந்த எண்ணிக்கை பரவளைய y = x ஆல் வரையறுக்கப்பட்டுள்ளது 2 மற்றும் நேர்கோடு y = 2x (படத்தைப் பார்க்கவும்) கொடுக்கப்பட்ட கோடுகளின் வெட்டுப்புள்ளிகளைத் தீர்மானிக்க, சமன்பாடுகளின் அமைப்பைத் தீர்க்கிறோம்: x 2 – 2x = 0 x = 0 மற்றும் x = 2

பகுதியைக் கண்டுபிடிக்க சூத்திரம் (5) ஐப் பயன்படுத்தி, நாங்கள் பெறுகிறோம்

= (வளைந்த ட்ரேப்சாய்டின் அடிப்படை) n சம பாகங்களாக; இந்த பகிர்வு x 1, x 2, ... x k, ... x n-1 புள்ளிகளைப் பயன்படுத்தி மேற்கொள்ளப்படுகிறது. y அச்சுக்கு இணையான இந்த புள்ளிகள் வழியாக நேர்கோடுகளை வரைவோம். பின்னர் கொடுக்கப்பட்ட வளைவு ட்ரேப்சாய்டு n பகுதிகளாக, n குறுகிய நெடுவரிசைகளாக பிரிக்கப்படும். முழு ட்ரெப்சாய்டின் பரப்பளவு நெடுவரிசைகளின் பகுதிகளின் கூட்டுத்தொகைக்கு சமம்.

k-th நெடுவரிசையை தனித்தனியாகக் கருதுவோம், அதாவது. ஒரு வளைந்த ட்ரேப்சாய்டு அதன் அடிப்பகுதி ஒரு பிரிவாகும். F(x k) க்கு சமமான அதே அடித்தளம் மற்றும் உயரம் கொண்ட ஒரு செவ்வகத்துடன் அதை மாற்றுவோம் (படத்தைப் பார்க்கவும்). செவ்வகத்தின் பரப்பளவு \(f(x_k) \cdot \Delta x_k \), இங்கு \(\Delta x_k \) என்பது பிரிவின் நீளம்; இதன் விளைவாக வரும் தயாரிப்பை kth நெடுவரிசையின் பரப்பளவின் தோராயமான மதிப்பாகக் கருதுவது இயற்கையானது.

இப்போது மற்ற எல்லா நெடுவரிசைகளிலும் இதைச் செய்தால், பின்வரும் முடிவைப் பெறுவோம்: கொடுக்கப்பட்ட வளைவு ட்ரேப்சாய்டின் பகுதி S என்பது n செவ்வகங்களால் ஆன படிநிலை உருவத்தின் S n பகுதிக்கு தோராயமாக சமமாக இருக்கும் (படத்தைப் பார்க்கவும்):
\(S_n = f(x_0)\Delta x_0 + \dots + f(x_k)\Delta x_k + \dots + f(x_(n-1))\Delta x_(n-1) \)
இங்கே, குறியீட்டின் சீரான தன்மைக்காக, a = x 0, b = x n; \(\Delta x_0 \) - பிரிவின் நீளம், \(\Delta x_1 \) - பிரிவின் நீளம், முதலியன; இந்த வழக்கில், நாம் மேலே ஒப்புக்கொண்டது போல், \(\Delta x_0 = \dots = \Delta x_(n-1) \)

எனவே, \(S \ approx S_n \), மேலும் இந்த தோராயமான சமத்துவம் மிகவும் துல்லியமானது, பெரிய n.
வரையறையின்படி, ஒரு வளைவு ட்ரேப்சாய்டின் தேவையான பகுதி வரிசையின் வரம்பிற்கு சமம் என்று நம்பப்படுகிறது (S n):
$$ S = \lim_(n \to \infty) S_n $$

பிரச்சனை 2(ஒரு புள்ளியை நகர்த்துவது பற்றி)
ஒரு பொருள் புள்ளி நேர்கோட்டில் நகரும். நேரத்தின் வேகத்தின் சார்பு v = v(t) சூத்திரத்தால் வெளிப்படுத்தப்படுகிறது. ஒரு குறிப்பிட்ட காலப்பகுதியில் ஒரு புள்ளியின் இயக்கத்தைக் கண்டறியவும் [a; b].
தீர்வு.இயக்கம் ஒரே மாதிரியாக இருந்தால், பிரச்சனை மிகவும் எளிமையாக தீர்க்கப்படும்: s = vt, அதாவது. s = v(b-a). சீரற்ற இயக்கத்திற்கு, முந்தைய சிக்கலுக்கான தீர்வை அடிப்படையாகக் கொண்ட அதே யோசனைகளை நீங்கள் பயன்படுத்த வேண்டும்.
1) நேர இடைவெளியை வகுக்கவும் [a; b] n சம பாகங்களாக.
2) ஒரு காலகட்டத்தை கருத்தில் கொண்டு, இந்த காலகட்டத்தில் வேகம் நிலையானதாக இருந்தது, அதே நேரத்தில் t k. எனவே v = v(t k) என்று வைத்துக்கொள்வோம்.
3) குறிப்பிட்ட காலப்பகுதியில் புள்ளியின் இயக்கத்தின் தோராய மதிப்பைக் கண்டுபிடிப்போம்; இந்த தோராய மதிப்பை s k எனக் குறிப்பிடுவோம்
\(s_k = v(t_k) \Delta t_k \)
4) இடப்பெயர்ச்சியின் தோராயமான மதிப்பைக் கண்டறியவும்:
\(கள் \தோராயமாக S_n \) எங்கே
\(S_n = s_0 + \dots + s_(n-1) = v(t_0)\Delta t_0 + \dots + v(t_(n-1)) \Delta t_(n-1) \)
5) தேவையான இடப்பெயர்ச்சி வரிசையின் வரம்புக்கு சமம் (S n):
$$ s = \lim_(n \to \infty) S_n $$

சுருக்கமாகக் கூறுவோம். பல்வேறு சிக்கல்களுக்கான தீர்வுகள் ஒரே கணித மாதிரிக்கு குறைக்கப்பட்டன. அறிவியல் மற்றும் தொழில்நுட்பத்தின் பல்வேறு துறைகளில் இருந்து வரும் பல பிரச்சனைகள், தீர்வுக்கான செயல்பாட்டில் ஒரே மாதிரிக்கு இட்டுச் செல்கின்றன. இதன் பொருள் இந்த கணித மாதிரி சிறப்பாக படிக்கப்பட வேண்டும்.

ஒரு திட்டவட்டமான ஒருங்கிணைப்பின் கருத்து

y = f(x) செயல்பாட்டிற்கான மூன்று கருதப்பட்ட சிக்கல்களில் கட்டமைக்கப்பட்ட மாதிரியின் கணித விளக்கத்தை வழங்குவோம், தொடர்ச்சியான (ஆனால் கருதப்பட்ட சிக்கல்களில் கருதப்பட்டது போல் எதிர்மறையானது அவசியமில்லை) இடைவெளியில் [a; b]:
1) பிரிவைப் பிரிக்கவும் [a; b] n சம பாகங்களாக;
2) $$ S_n = f(x_0)\Delta x_0 + f(x_1)\Delta x_1 + \dots + f(x_(n-1))\Delta x_(n-1) $$
3) கணக்கிட $$ \lim_(n \to \infty) S_n $$

கணிதப் பகுப்பாய்வின் போக்கில், தொடர்ச்சியான (அல்லது துண்டு துண்டாக தொடர்ச்சியான) செயல்பாட்டின் விஷயத்தில் இந்த வரம்பு உள்ளது என்பது நிரூபிக்கப்பட்டது. அவன் அழைக்கப்பட்டான் y = f(x) செயல்பாட்டின் ஒரு குறிப்பிட்ட ஒருங்கிணைப்பு [a; b]மற்றும் பின்வருமாறு குறிக்கப்படுகிறது:
\(\int\limits_a^b f(x) dx \)
எண்கள் a மற்றும் b ஆகியவை ஒருங்கிணைப்பின் வரம்புகள் என்று அழைக்கப்படுகின்றன (முறையே கீழ் மற்றும் மேல்).

மேலே விவாதிக்கப்பட்ட பணிகளுக்குத் திரும்புவோம். சிக்கல் 1 இல் கொடுக்கப்பட்ட பகுதியின் வரையறை இப்போது பின்வருமாறு மீண்டும் எழுதப்படலாம்:
\(S = \int\limits_a^b f(x) dx \)
இங்கே S என்பது மேலே உள்ள படத்தில் காட்டப்பட்டுள்ள வளைவு ட்ரெப்சாய்டின் பகுதி. இது ஒரு திட்டவட்டமான ஒருங்கிணைப்பின் வடிவியல் பொருள்.

சிக்கல் 2 இல் கொடுக்கப்பட்டுள்ள t = a இலிருந்து t = b வரையிலான காலப்பகுதியில் v = v(t) வேகத்துடன் நேர்கோட்டில் நகரும் ஒரு புள்ளியின் இடப்பெயர்ச்சி s இன் வரையறை பின்வருமாறு மீண்டும் எழுதப்படலாம்:

நியூட்டன்-லீப்னிஸ் சூத்திரம்

முதலில், கேள்விக்கு பதிலளிப்போம்: திட்டவட்டமான ஒருங்கிணைந்த மற்றும் எதிர்வழிக்கு இடையே உள்ள தொடர்பு என்ன?

பிரச்சனை 2 இல் பதிலைக் காணலாம். ஒருபுறம், t = a இலிருந்து t = b வரையிலான காலப்பகுதியில் v = v(t) வேகத்துடன் நேர்கோட்டில் நகரும் புள்ளியின் இடப்பெயர்ச்சி கள் கணக்கிடப்படுகிறது சூத்திரம்
\(S = \int\limits_a^b v(t) dt \)

மறுபுறம், ஒரு நகரும் புள்ளியின் ஒருங்கிணைப்பு என்பது வேகத்திற்கான ஒரு எதிர்விளைவு ஆகும் - அதை s(t) குறிப்போம்; இதன் பொருள் s = s(b) - s(a) சூத்திரத்தால் இடப்பெயர்ச்சி s வெளிப்படுத்தப்படுகிறது. இதன் விளைவாக நாம் பெறுகிறோம்:
\(S = \int\limits_a^b v(t) dt = s(b)-s(a) \)
இதில் s(t) என்பது v(t) இன் எதிர்வழியாகும்.

கணிதப் பகுப்பாய்வின் போது பின்வரும் தேற்றம் நிரூபிக்கப்பட்டது.
தேற்றம். செயல்பாடு y = f(x) இடைவெளியில் [a; b], பின்னர் சூத்திரம் செல்லுபடியாகும்
\(S = \int\limits_a^b f(x) dx = F(b)-F(a) \)
இதில் F(x) என்பது f(x) இன் எதிர் வழித்தோன்றலாகும்.

கொடுக்கப்பட்ட சூத்திரம் பொதுவாக அழைக்கப்படுகிறது நியூட்டன்-லீப்னிஸ் சூத்திரம்ஆங்கில இயற்பியலாளர் ஐசக் நியூட்டன் (1643-1727) மற்றும் ஜெர்மன் தத்துவஞானி காட்ஃபிரைட் லீப்னிஸ் (1646-1716) ஆகியோரின் நினைவாக, அவர் ஒருவருக்கொருவர் சுயாதீனமாகவும் கிட்டத்தட்ட ஒரே நேரத்தில் பெற்றார்.

நடைமுறையில், F(b) - F(a) என்று எழுதுவதற்குப் பதிலாக, \(\left. F(x)\right|_a^b \) (இது சில நேரங்களில் அழைக்கப்படுகிறது) குறியீட்டைப் பயன்படுத்துகிறது. இரட்டை மாற்று) மற்றும், அதன்படி, நியூட்டன்-லீப்னிஸ் சூத்திரத்தை இந்த வடிவத்தில் மீண்டும் எழுதவும்:
\(S = \int\limits_a^b f(x) dx = \left. F(x)\right|_a^b \)

ஒரு திட்டவட்டமான ஒருங்கிணைப்பைக் கணக்கிடும் போது, ​​முதலில் ஆன்டிடெரிவேட்டிவ் கண்டுபிடிக்கவும், பின்னர் இரட்டை மாற்றீடு செய்யவும்.

நியூட்டன்-லீப்னிஸ் சூத்திரத்தின் அடிப்படையில், திட்டவட்டமான ஒருங்கிணைப்பின் இரண்டு பண்புகளை நாம் பெறலாம்.

சொத்து 1.செயல்பாடுகளின் கூட்டுத்தொகை ஒருங்கிணைப்புகளின் கூட்டுத்தொகைக்கு சமம்:
\(\int\limits_a^b (f(x) + g(x))dx = \int\limits_a^b f(x)dx + \int\limits_a^b g(x)dx \)

சொத்து 2.நிலையான காரணியை ஒருங்கிணைந்த அடையாளத்திலிருந்து எடுக்கலாம்:
\(\int\limits_a^b kf(x)dx = k \int\limits_a^b f(x)dx \)

ஒரு திட்டவட்டமான ஒருங்கிணைப்பைப் பயன்படுத்தி விமான உருவங்களின் பகுதிகளைக் கணக்கிடுதல்

ஒருங்கிணைப்பைப் பயன்படுத்தி, நீங்கள் வளைந்த ட்ரெப்சாய்டுகளின் பகுதிகளை மட்டுமல்ல, மிகவும் சிக்கலான வகையின் விமான புள்ளிவிவரங்களையும் கணக்கிடலாம், எடுத்துக்காட்டாக, படத்தில் காட்டப்பட்டுள்ளது. படம் P ஆனது x = a, x = b என்ற நேர் கோடுகள் மற்றும் y = f(x), y = g(x) என்ற தொடர் செயல்பாடுகளின் வரைபடங்கள் மற்றும் பிரிவில் [a; b] சமத்துவமின்மை \(g(x) \leq f(x) \) உள்ளது. அத்தகைய உருவத்தின் S பகுதியைக் கணக்கிட, நாம் பின்வருமாறு தொடருவோம்:
\(S = S_(ABCD) = S_(aDCb) - S_(aABb) = \int\limits_a^b f(x) dx - \int\limits_a^b g(x) dx = \)
\(= \int\limits_a^b (f(x)-g(x))dx \)

எனவே, x = a, x = b என்ற நேர்கோடுகளால் வரம்பிடப்பட்ட ஒரு உருவத்தின் பகுதி S மற்றும் y = f(x), y = g(x) செயல்பாடுகளின் வரைபடங்கள், பிரிவில் தொடர்ந்து இருக்கும். [அ; b] சமத்துவமின்மை \(g(x) \leq f(x) \) சூத்திரத்தால் கணக்கிடப்படுகிறது
\(S = \int\limits_a^b (f(x)-g(x))dx \)

சில செயல்பாடுகளின் காலவரையற்ற ஒருங்கிணைப்புகளின் (ஆண்டிடெரிவேடிவ்கள்) அட்டவணை

$$ \int 0 \cdot dx = C $$ $$ \int 1 \cdot dx = x+C $$ $$ \int x^n dx = \frac(x^(n+1))(n+1 ) +C \;\; (n \neq -1) $$ $$ \int \frac(1)(x) dx = \ln |x| +C $$ $$ \int e^x dx = e^x +C $$ $$ \int a^x dx = \frac(a^x)(\ln a) +C \;\; (a>0, \;\; a \neq 1) $$ $$ \int \cos x dx = \sin x +C $$ $$ \int \sin x dx = -\cos x +C $$ $ $ \int \frac(dx)(\cos^2 x) = \text(tg) x +C $$ $$ \int \frac(dx)(\sin^2 x) = -\text(ctg) x +C $$ $$ \int \frac(dx)(\sqrt(1-x^2)) = \text(arcsin) x +C $$ $$ \int \frac(dx)(1+x^2 ) = \text(arctg) x +C $$ $$ \int \text(ch) x dx = \text(sh) x +C $$ $$ \int \text(sh) x dx = \text(ch ) x +C $$

ஒரு வளைவு ட்ரேப்சாய்டின் பரப்பளவு எண்ணியல் ரீதியாக ஒரு திட்டவட்டமான ஒருங்கிணைப்புக்கு சமம்

எந்தவொரு திட்டவட்டமான ஒருங்கிணைப்பும் (இருக்கிறது) ஒரு நல்ல வடிவியல் பொருளைக் கொண்டுள்ளது. வகுப்பில் நான் ஒரு திட்டவட்டமான ஒருங்கிணைப்பு எண் என்று சொன்னேன். இப்போது மற்றொரு பயனுள்ள உண்மையைக் கூற வேண்டிய நேரம் இது. வடிவவியலின் பார்வையில், திட்டவட்டமான ஒருங்கிணைந்த பகுதி AREA ஆகும்.

அது, திட்டவட்டமான ஒருங்கிணைப்பு (அது இருந்தால்) வடிவியல் ரீதியாக ஒரு குறிப்பிட்ட உருவத்தின் பகுதிக்கு ஒத்திருக்கிறது. எடுத்துக்காட்டாக, திட்டவட்டமான ஒருங்கிணைப்பைக் கவனியுங்கள். ஒருங்கிணைப்பானது விமானத்தில் ஒரு குறிப்பிட்ட வளைவை வரையறுக்கிறது (விரும்பினால் அது எப்போதும் வரையப்படலாம்), மேலும் திட்டவட்டமான ஒருங்கிணைப்பானது எண்ணாக இருக்கும். பகுதிக்கு சமம்தொடர்புடைய வளைந்த ட்ரேப்சாய்டு.

எடுத்துக்காட்டு 1

இது ஒரு பொதுவான பணி அறிக்கை. முதலில் மற்றும் மிக முக்கியமான தருணம்தீர்வுகள் - வரைதல். மேலும், வரைதல் கட்டப்பட வேண்டும் வலது.

ஒரு வரைபடத்தை உருவாக்கும்போது, ​​​​பின்வரும் வரிசையை நான் பரிந்துரைக்கிறேன்: முதலில்அனைத்து நேர் கோடுகளையும் (அவை இருந்தால்) மற்றும் மட்டும் கட்டமைப்பது நல்லது பிறகு- பரவளையங்கள், ஹைபர்போலாக்கள், பிற செயல்பாடுகளின் வரைபடங்கள். செயல்பாடுகளின் வரைபடங்களை உருவாக்குவது மிகவும் லாபகரமானது புள்ளி புள்ளி, புள்ளி-மூலம்-புள்ளி கட்டுமான நுட்பத்தை குறிப்புப் பொருளில் காணலாம்.

எங்கள் பாடத்திற்கு மிகவும் பயனுள்ள பொருட்களையும் நீங்கள் காணலாம் - ஒரு பரவளையை எவ்வாறு விரைவாக உருவாக்குவது.

இந்த சிக்கலில், தீர்வு இப்படி இருக்கலாம்.
வரைபடத்தை வரைவோம் (சமன்பாடு அச்சை வரையறுக்கிறது என்பதை நினைவில் கொள்க):

வளைந்த ட்ரேப்சாய்டை நான் நிழலிட மாட்டேன்; நாம் எந்தப் பகுதியைப் பற்றி பேசுகிறோம் என்பது இங்கே தெளிவாகத் தெரிகிறது. தீர்வு பின்வருமாறு தொடர்கிறது:

பிரிவில், செயல்பாட்டின் வரைபடம் அமைந்துள்ளது அச்சுக்கு மேலே, அதனால்தான்:

பதில்:

திட்டவட்டமான ஒருங்கிணைப்பைக் கணக்கிடுவதில் மற்றும் நியூட்டன்-லீப்னிஸ் சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்துவதில் யாருக்கு சிரமங்கள் உள்ளன , விரிவுரையைப் பார்க்கவும் திட்டவட்டமான ஒருங்கிணைந்த. தீர்வுகளின் எடுத்துக்காட்டுகள்.

பணி முடிந்ததும், வரைபடத்தைப் பார்த்து, பதில் உண்மையானதா என்பதைக் கண்டுபிடிப்பது எப்போதும் பயனுள்ளதாக இருக்கும். இந்த வழக்கில், வரைபடத்தில் உள்ள கலங்களின் எண்ணிக்கையை “கண்ணால்” எண்ணுகிறோம் - சரி, சுமார் 9 இருக்கும், அது உண்மையாகத் தெரிகிறது. பதில் கிடைத்தால், சொல்லுங்கள்: 20 என்பது முற்றிலும் தெளிவாகிறது சதுர அலகுகள், எங்கோ ஒரு தவறு நடந்துள்ளது என்பது வெளிப்படையானது - 20 செல்கள் கேள்விக்குரிய உருவத்தில் தெளிவாக பொருந்தவில்லை, அதிகபட்சம் ஒரு டஜன். பதில் எதிர்மறையாக இருந்தால், பணியும் தவறாக தீர்க்கப்பட்டது.

உதாரணம் 2

கோடுகள், , மற்றும் அச்சு ஆகியவற்றால் கட்டுப்படுத்தப்பட்ட ஒரு உருவத்தின் பகுதியைக் கணக்கிடுங்கள்

நீங்களே தீர்க்க இது ஒரு எடுத்துக்காட்டு. பாடத்தின் முடிவில் முழு தீர்வு மற்றும் பதில்.

வளைந்த ட்ரெப்சாய்டு அமைந்திருந்தால் என்ன செய்வது அச்சின் கீழ்?

எடுத்துக்காட்டு 3

கோடுகள் மற்றும் ஒருங்கிணைப்பு அச்சுகளால் வரையறுக்கப்பட்ட உருவத்தின் பகுதியைக் கணக்கிடுங்கள்.

தீர்வு: வரைவோம்:

வளைந்த ட்ரேப்சாய்டு என்றால் முற்றிலும் அச்சின் கீழ் அமைந்துள்ளது, அதன் பகுதியை சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்தி காணலாம்:
இந்த வழக்கில்:

கவனம்! இரண்டு வகையான பணிகளும் குழப்பமடையக்கூடாது:

1) எந்த வடிவியல் அர்த்தமும் இல்லாமல் ஒரு திட்டவட்டமான ஒருங்கிணைப்பைத் தீர்க்கும்படி உங்களிடம் கேட்கப்பட்டால், அது எதிர்மறையாக இருக்கலாம்.

2) திட்டவட்டமான ஒருங்கிணைப்பைப் பயன்படுத்தி ஒரு உருவத்தின் பகுதியைக் கண்டறியும்படி உங்களிடம் கேட்கப்பட்டால், அந்த பகுதி எப்போதும் நேர்மறையாக இருக்கும்! அதனால்தான் இப்போது விவாதிக்கப்பட்ட சூத்திரத்தில் கழித்தல் தோன்றும்.

நடைமுறையில், பெரும்பாலும் இந்த எண்ணிக்கை மேல் மற்றும் கீழ் அரை விமானம் இரண்டிலும் அமைந்துள்ளது, எனவே, எளிமையான பள்ளி சிக்கல்களிலிருந்து நாம் மிகவும் அர்த்தமுள்ள எடுத்துக்காட்டுகளுக்கு செல்கிறோம்.

எடுத்துக்காட்டு 4

கோடுகளால் வரையறுக்கப்பட்ட ஒரு விமான உருவத்தின் பகுதியைக் கண்டறியவும்.

தீர்வு: முதலில் நீங்கள் ஒரு வரைபடத்தை உருவாக்க வேண்டும். பொதுவாக, பகுதி சிக்கல்களில் ஒரு வரைபடத்தை உருவாக்கும்போது, ​​​​கோடுகளின் குறுக்குவெட்டு புள்ளிகளில் நாங்கள் மிகவும் ஆர்வமாக உள்ளோம். பரவளைய மற்றும் நேர்கோட்டின் வெட்டுப்புள்ளிகளைக் கண்டுபிடிப்போம். இதை இரண்டு வழிகளில் செய்யலாம். முதல் முறை பகுப்பாய்வு ஆகும். நாங்கள் சமன்பாட்டை தீர்க்கிறோம்:

இதன் பொருள் ஒருங்கிணைப்பின் கீழ் வரம்பு , ஒருங்கிணைப்பின் மேல் வரம்பு .
முடிந்தால், இந்த முறையைப் பயன்படுத்தாமல் இருப்பது நல்லது.

புள்ளி வாரியாக வரிகளை உருவாக்குவது மிகவும் லாபகரமானது மற்றும் விரைவானது, மேலும் ஒருங்கிணைப்பின் வரம்புகள் "தங்களால்" தெளிவாகின்றன. பல்வேறு வரைபடங்களுக்கான புள்ளி-மூலம்-புள்ளி கட்டுமான நுட்பம் உதவியில் விரிவாக விவாதிக்கப்படுகிறது அடிப்படை செயல்பாடுகளின் வரைபடங்கள் மற்றும் பண்புகள். ஆயினும்கூட, வரம்புகளைக் கண்டறியும் பகுப்பாய்வு முறை சில நேரங்களில் பயன்படுத்தப்பட வேண்டும், எடுத்துக்காட்டாக, வரைபடம் போதுமானதாக இருந்தால், அல்லது விரிவான கட்டுமானம் ஒருங்கிணைப்பின் வரம்புகளை வெளிப்படுத்தவில்லை (அவை பகுதியளவு அல்லது பகுத்தறிவற்றதாக இருக்கலாம்). அத்தகைய உதாரணத்தையும் நாங்கள் கருத்தில் கொள்வோம்.

எங்கள் பணிக்குத் திரும்புவோம்: முதலில் ஒரு நேர்கோட்டை உருவாக்குவது மிகவும் பகுத்தறிவு மற்றும் பின்னர் ஒரு பரவளையமாகும். வரைபடத்தை உருவாக்குவோம்:

புள்ளியாக கட்டமைக்கும்போது, ​​ஒருங்கிணைப்பின் வரம்புகள் பெரும்பாலும் "தானாகவே" கண்டறியப்படும் என்பதை நான் மீண்டும் சொல்கிறேன்.

இப்போது வேலை சூத்திரம்:ஒரு பிரிவில் சில தொடர்ச்சியான செயல்பாடு இருந்தால் அதிகமாக அல்லது சமமாகசில தொடர்ச்சியான செயல்பாடு, பின்னர் தொடர்புடைய உருவத்தின் பகுதியை சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்தி காணலாம்:

அச்சுக்கு மேலே அல்லது அச்சுக்குக் கீழே, மற்றும், தோராயமாகச் சொன்னால், உருவம் எங்கு அமைந்துள்ளது என்பதைப் பற்றி நீங்கள் இனி சிந்திக்க வேண்டியதில்லை. எந்த வரைபடம் அதிகமாக உள்ளது என்பது முக்கியம்(மற்றொரு வரைபடத்துடன் தொடர்புடையது), மற்றும் எது கீழே உள்ளது.

பரிசீலனையில் உள்ள எடுத்துக்காட்டில், பிரிவில் பரவளையம் நேர் கோட்டிற்கு மேலே அமைந்துள்ளது என்பது வெளிப்படையானது, எனவே இதிலிருந்து கழிக்க வேண்டியது அவசியம்.

முடிக்கப்பட்ட தீர்வு இப்படி இருக்கலாம்:

விரும்பிய உருவம் மேலே ஒரு பரவளையத்தாலும் கீழே ஒரு நேர்கோட்டாலும் வரையறுக்கப்பட்டுள்ளது.
பிரிவில், தொடர்புடைய சூத்திரத்தின்படி:

பதில்:

உண்மையில், கீழ் அரை-தளத்தில் உள்ள வளைவு ட்ரேப்சாய்டின் பகுதிக்கான பள்ளி சூத்திரம் (எளிய எடுத்துக்காட்டு எண். 3 ஐப் பார்க்கவும்) சிறப்பு வழக்குசூத்திரங்கள் . அச்சு சமன்பாட்டால் குறிப்பிடப்படுவதால், செயல்பாட்டின் வரைபடம் அச்சுக்குக் கீழே அமைந்துள்ளது, பின்னர்

இப்போது உங்கள் சொந்த தீர்வுக்கான இரண்டு எடுத்துக்காட்டுகள்

எடுத்துக்காட்டு 5

எடுத்துக்காட்டு 6

கோடுகளால் கட்டப்பட்ட உருவத்தின் பகுதியைக் கண்டறியவும்.

ஒரு திட்டவட்டமான ஒருங்கிணைப்பைப் பயன்படுத்தி பகுதியைக் கணக்கிடுவதில் உள்ள சிக்கல்களைத் தீர்க்கும்போது, ​​​​சில நேரங்களில் ஒரு வேடிக்கையான சம்பவம் நடக்கும். வரைதல் சரியாக இருந்தது, கணக்கீடுகள் சரியாக இருந்தன, ஆனால் கவனக்குறைவால் ... தவறான உருவத்தின் பகுதி கண்டறியப்பட்டது, உங்கள் பணிவான வேலைக்காரன் இப்படித்தான் பலமுறை திருகினான். இங்கே உண்மையான வழக்குவாழ்க்கையில் இருந்து:

எடுத்துக்காட்டு 7

கோடுகளால் கட்டப்பட்ட உருவத்தின் பரப்பளவைக் கணக்கிடவும், , , .

முதலில் ஒரு ஓவியம் வரைவோம்:

நாம் கண்டுபிடிக்க வேண்டிய பகுதி நீல நிறத்தில் உள்ளது(நிலையை கவனமாகப் பாருங்கள் - எண்ணிக்கை எவ்வாறு வரையறுக்கப்பட்டுள்ளது!). ஆனால் நடைமுறையில், கவனக்குறைவு காரணமாக, நிழலாடிய ஒரு உருவத்தின் பகுதியை நீங்கள் கண்டுபிடிக்க வேண்டும் என்பது அடிக்கடி எழுகிறது. பச்சை!

இரண்டு திட்டவட்டமான ஒருங்கிணைப்புகளைப் பயன்படுத்தி ஒரு உருவத்தின் பரப்பளவைக் கணக்கிடுவதால், இந்த எடுத்துக்காட்டு பயனுள்ளதாக இருக்கும். உண்மையில்:

1) அச்சுக்கு மேலே உள்ள பிரிவில் ஒரு நேர் கோட்டின் வரைபடம் உள்ளது;

2) அச்சுக்கு மேலே உள்ள பிரிவில் ஹைப்பர்போலாவின் வரைபடம் உள்ளது.

பகுதிகள் சேர்க்கப்படலாம் (மற்றும் வேண்டும்) என்பது மிகவும் வெளிப்படையானது, எனவே:

பதில்:

எடுத்துக்காட்டு 8

கோடுகளால் வரையறுக்கப்பட்ட ஒரு உருவத்தின் பரப்பளவைக் கணக்கிடுங்கள்,
சமன்பாடுகளை "பள்ளி" வடிவத்தில் முன்வைப்போம் மற்றும் ஒரு புள்ளிக்கு-புள்ளி வரைவோம்:

வரைபடத்திலிருந்து எங்கள் மேல் வரம்பு "நல்லது" என்பது தெளிவாகிறது: .
ஆனால் குறைந்த வரம்பு என்ன?! இது முழு எண் அல்ல என்பது தெளிவாகிறது, ஆனால் அது என்ன? இருக்கலாம் ? ஆனால் வரைதல் சரியான துல்லியத்துடன் உருவாக்கப்பட்டது என்பதற்கான உத்தரவாதம் எங்கே, அது நன்றாக மாறிவிடும் ... அல்லது வேர். வரைபடத்தை தவறாக உருவாக்கினால் என்ன செய்வது?

இதுபோன்ற சந்தர்ப்பங்களில், நீங்கள் கூடுதல் நேரத்தை செலவிட வேண்டும் மற்றும் ஒருங்கிணைப்பின் வரம்புகளை பகுப்பாய்வு ரீதியாக தெளிவுபடுத்த வேண்டும்.

ஒரு நேர்கோடு மற்றும் ஒரு பரவளையத்தின் வெட்டுப்புள்ளிகளைக் கண்டுபிடிப்போம்.
இதைச் செய்ய, சமன்பாட்டை நாங்கள் தீர்க்கிறோம்:

எனவே, .

மேலும் தீர்வு அற்பமானது, முக்கிய விஷயம் மாற்றீடுகள் மற்றும் அறிகுறிகளில் குழப்பமடையக்கூடாது; இங்கே கணக்கீடுகள் எளிமையானவை அல்ல.

பிரிவில் , தொடர்புடைய சூத்திரத்தின் படி:

பதில்:

சரி, பாடத்தை முடிக்க, இன்னும் இரண்டு கடினமான பணிகளைப் பார்ப்போம்.

எடுத்துக்காட்டு 9

கோடுகளால் கட்டப்பட்ட உருவத்தின் பரப்பளவைக் கணக்கிடவும், ,

தீர்வு: இந்த உருவத்தை வரைபடத்தில் சித்தரிக்கலாம்.

புள்ளிக்கு-புள்ளி வரைவதற்கு நீங்கள் தெரிந்து கொள்ள வேண்டும் தோற்றம் sinusoids (மற்றும் பொதுவாக அறிய பயனுள்ளதாக இருக்கும் அனைத்து அடிப்படை செயல்பாடுகளின் வரைபடங்கள்), அத்துடன் சில சைன் மதிப்புகள், அவற்றைக் காணலாம் முக்கோணவியல் அட்டவணை. சில சந்தர்ப்பங்களில் (இந்த நிகழ்வைப் போலவே), ஒரு திட்ட வரைபடத்தை உருவாக்க முடியும், அதில் வரைபடங்கள் மற்றும் ஒருங்கிணைப்பின் வரம்புகள் அடிப்படையில் சரியாகக் காட்டப்பட வேண்டும்.

இங்கே ஒருங்கிணைப்பின் வரம்புகளில் எந்த பிரச்சனையும் இல்லை; அவை நிபந்தனையிலிருந்து நேரடியாகப் பின்தொடர்கின்றன: "x" பூஜ்ஜியத்திலிருந்து "பை" க்கு மாறுகிறது. மேலும் ஒரு முடிவை எடுப்போம்:

பிரிவில், செயல்பாட்டின் வரைபடம் அச்சுக்கு மேலே அமைந்துள்ளது, எனவே:

(1) பாடத்தில் ஒற்றைப்படை சக்திகளில் சைன்கள் மற்றும் கொசைன்கள் எவ்வாறு ஒருங்கிணைக்கப்படுகின்றன என்பதை நீங்கள் பார்க்கலாம் முக்கோணவியல் செயல்பாடுகளின் ஒருங்கிணைப்புகள். இது ஒரு பொதுவான நுட்பமாகும், நாங்கள் ஒரு சைனஸைக் கிள்ளுகிறோம்.

(2) படிவத்தில் முக்கிய முக்கோணவியல் அடையாளத்தைப் பயன்படுத்துகிறோம்

(3) மாறியை மாற்றுவோம், பிறகு:

ஒருங்கிணைப்பின் புதிய பகுதிகள்:

மாற்றீடுகளில் மிகவும் மோசமாக இருக்கும் எவரும், தயவுசெய்து பாடம் எடுக்கவும். மாற்று முறை காலவரையற்ற ஒருங்கிணைப்பு . ஒரு திட்டவட்டமான ஒருங்கிணைப்பில் மாற்று வழிமுறையை சரியாக புரிந்து கொள்ளாதவர்கள், பக்கத்தைப் பார்வையிடவும் திட்டவட்டமான ஒருங்கிணைந்த. தீர்வுகளின் எடுத்துக்காட்டுகள்.