அடிப்படை செயல்பாடுகளின் ஒருங்கிணைப்புகளின் பட்டியல். ஆண்டிடெரிவேட்டிவ்
அடிப்படை செயல்பாடுகளின் ஒருங்கிணைப்புகளை பட்டியலிடுவோம், அவை சில நேரங்களில் அட்டவணை என்று அழைக்கப்படுகின்றன:
மேலே உள்ள எந்தவொரு சூத்திரத்தையும் வலது பக்கத்தின் வழித்தோன்றல் மூலம் நிரூபிக்க முடியும் (இதன் விளைவாக ஒருங்கிணைந்ததாக இருக்கும்).
ஒருங்கிணைப்பு முறைகள்
சில அடிப்படை ஒருங்கிணைப்பு முறைகளைப் பார்ப்போம். இவற்றில் அடங்கும்:
1. சிதைவு முறை(நேரடி ஒருங்கிணைப்பு).
இந்த முறை அட்டவணை ஒருங்கிணைப்புகளின் நேரடிப் பயன்பாட்டை அடிப்படையாகக் கொண்டது, அத்துடன் காலவரையற்ற ஒருங்கிணைப்பின் 4 மற்றும் 5 பண்புகளின் பயன்பாடு (அதாவது, அடைப்புக்குறிக்குள் இருந்து நிலையான காரணியை எடுத்துக்கொள்வது மற்றும்/அல்லது ஒருங்கிணைப்பை செயல்பாடுகளின் கூட்டுத்தொகையாகக் குறிப்பிடுவது - சிதைவு விதிமுறைகளுடன் ஒருங்கிணைக்கப்பட்டது).
எடுத்துக்காட்டு 1.எடுத்துக்காட்டாக, கண்டுபிடிக்க(dx/x 4) நீங்கள் நேரடியாக டேபிள் இன்டெக்ரலுக்கான x n dx ஐப் பயன்படுத்தலாம். உண்மையில்,(dx/x 4) =x -4 dx=x -3 /(-3) +C= -1/3x 3 +C.
இன்னும் சில உதாரணங்களைப் பார்ப்போம்.
உதாரணம் 2.அதைக் கண்டுபிடிக்க, நாங்கள் அதே ஒருங்கிணைப்பைப் பயன்படுத்துகிறோம்:
எடுத்துக்காட்டு 3.அதை கண்டுபிடிக்க நீங்கள் எடுக்க வேண்டும்
எடுத்துக்காட்டு 4.கண்டுபிடிக்க, படிவத்தில் உள்ள ஒருங்கிணைந்த செயல்பாட்டைக் குறிக்கிறோம் 
மற்றும் அதிவேக செயல்பாட்டிற்கு அட்டவணை ஒருங்கிணைப்பைப் பயன்படுத்தவும்:
அடைப்புக்குறியின் பயன்பாட்டை ஒரு நிலையான காரணியாகக் கருதுவோம்.
எடுத்துக்காட்டு 5.
உதாரணமாக, கண்டுபிடிப்போம் 
. அதைக் கருத்தில் கொண்டு, நாம் பெறுகிறோம்
எடுத்துக்காட்டு 6.அதைக் கண்டுபிடிப்போம். ஏனெனில் 
, டேபிள் இன்டெகிராலைப் பயன்படுத்துவோம் 
நாம் பெறுகிறோம்
பின்வரும் இரண்டு எடுத்துக்காட்டுகளில், நீங்கள் அடைப்புக்குறி மற்றும் அட்டவணை ஒருங்கிணைப்புகளையும் பயன்படுத்தலாம்:
எடுத்துக்காட்டு 7.
(நாங்கள் பயன்படுத்துகிறோம் மற்றும் 
);
எடுத்துக்காட்டு 8.
(நாம் பயன்படுத்த 
மற்றும் 
).
கூட்டுத்தொகையைப் பயன்படுத்தும் மிகவும் சிக்கலான எடுத்துக்காட்டுகளைப் பார்ப்போம்.
எடுத்துக்காட்டு 9.உதாரணமாக, கண்டுபிடிப்போம் 
. எண்கணிதத்தில் விரிவாக்க முறையைப் பயன்படுத்த, நாம் சம் கனசதுர சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்துகிறோம் , அதன் விளைவாக வரும் பல்லுறுப்புக்கோவையை காலத்தின்படி வகுப்பால் வகுக்கிறோம்.
=((8x 3/2 + 12x+ 6x 1/2 + 1)/(x 3/2))dx=(8 + 12x -1/2 + 6/x+x -3/2)dx= 8 dx+ 12x -1/2 dx+ + 6dx/x+x -3/2 dx= 
தீர்வு முடிவில் ஒரு பொதுவான மாறிலி C எழுதப்பட்டிருப்பதைக் கவனத்தில் கொள்ள வேண்டும் (ஒவ்வொரு காலத்தையும் ஒருங்கிணைக்கும் போது தனித்தனியாக இல்லை). எதிர்காலத்தில், வெளிப்பாடு குறைந்தபட்சம் ஒன்றைக் கொண்டிருக்கும் வரை, தீர்வு செயல்பாட்டில் தனிப்பட்ட சொற்களின் ஒருங்கிணைப்பிலிருந்து மாறிலிகளைத் தவிர்க்கவும் முன்மொழியப்பட்டது. காலவரையற்ற ஒருங்கிணைப்பு(தீர்வின் முடிவில் ஒரு மாறிலியை எழுதுவோம்).
எடுத்துக்காட்டு 10.நாம் கண்டுபிடிப்போம் 
. இந்த சிக்கலை தீர்க்க, எண்களை காரணியாக்குவோம் (இதற்குப் பிறகு நாம் வகுப்பைக் குறைக்கலாம்).
எடுத்துக்காட்டு 11.அதைக் கண்டுபிடிப்போம். முக்கோணவியல் அடையாளங்களை இங்கே பயன்படுத்தலாம்.
சில நேரங்களில், ஒரு வெளிப்பாட்டை சொற்களாக சிதைக்க, நீங்கள் மிகவும் சிக்கலான நுட்பங்களைப் பயன்படுத்த வேண்டும்.
எடுத்துக்காட்டு 12.நாம் கண்டுபிடிப்போம் 
. ஒருங்கிணைப்பில் நாம் பகுதியின் முழு பகுதியையும் தேர்ந்தெடுக்கிறோம் 
. பிறகு
எடுத்துக்காட்டு 13.நாம் கண்டுபிடிப்போம்
2. மாறி மாற்று முறை (மாற்று முறை)
இந்த முறை பின்வரும் சூத்திரத்தை அடிப்படையாகக் கொண்டது: f(x)dx=f((t))`(t)dt, இங்கு x =(t) என்பது பரிசீலனையில் உள்ள இடைவெளியில் வேறுபடக்கூடிய ஒரு செயல்பாடாகும்.
ஆதாரம். சூத்திரத்தின் இடது மற்றும் வலது பக்கங்களில் இருந்து t மாறியைப் பொறுத்து வழித்தோன்றல்களைக் கண்டுபிடிப்போம்.
இடது பக்கத்தில் ஒரு சிக்கலான செயல்பாடு உள்ளது, அதன் இடைநிலை வாதம் x = (t) ஆகும். எனவே, t ஐப் பொறுத்து வேறுபடுத்துவதற்கு, நாம் முதலில் x ஐப் பொறுத்து ஒருங்கிணைப்பை வேறுபடுத்துகிறோம், பின்னர் t ஐப் பொறுத்து இடைநிலை வாதத்தின் வழித்தோன்றலை எடுத்துக்கொள்கிறோம்.
( f(x)dx)` t = ( f(x)dx)` x *x` t = f(x) `(t)
வலது பக்கத்திலிருந்து பெறப்பட்டது:
(f((t))`(t)dt)` t =f((t))`(t) =f(x)`(t)
இந்த வழித்தோன்றல்கள் சமமாக இருப்பதால், லாக்ரேஞ்ச் தேற்றத்துடன் இணையாக, நிரூபிக்கப்பட்ட சூத்திரத்தின் இடது மற்றும் வலது பக்கங்கள் ஒரு குறிப்பிட்ட மாறிலியால் வேறுபடுகின்றன. காலவரையற்ற ஒருங்கிணைப்புகள் காலவரையற்ற நிலையான சொல் வரை வரையறுக்கப்படுவதால், இந்த மாறிலியை இறுதிக் குறிப்பிலிருந்து தவிர்க்கலாம். நிரூபிக்கப்பட்டுள்ளது.
மாறியின் வெற்றிகரமான மாற்றம் அசல் ஒருங்கிணைப்பை எளிதாக்க உங்களை அனுமதிக்கிறது, மேலும் எளிமையான சந்தர்ப்பங்களில், அதை அட்டவணைக்குக் குறைக்கவும். இந்த முறையின் பயன்பாட்டில், நேரியல் மற்றும் நேரியல் அல்லாத மாற்று முறைகளுக்கு இடையே ஒரு வேறுபாடு செய்யப்படுகிறது.
a) நேரியல் மாற்று முறைஒரு உதாரணத்தைப் பார்ப்போம்.
எடுத்துக்காட்டு 1.
. t= 1 – 2x, பிறகு
dx=d(½ - ½t) = - ½dt
புதிய மாறியை வெளிப்படையாக எழுத வேண்டிய அவசியமில்லை என்பதை கவனத்தில் கொள்ள வேண்டும். இதுபோன்ற சந்தர்ப்பங்களில், அவர்கள் வேறுபட்ட அடையாளத்தின் கீழ் ஒரு செயல்பாட்டை மாற்றுவது பற்றி அல்லது வேறுபட்ட அடையாளத்தின் கீழ் மாறிலிகள் மற்றும் மாறிகளை அறிமுகப்படுத்துவது பற்றி பேசுகிறார்கள், அதாவது. ஓ மறைமுக மாறி மாற்று.
உதாரணம் 2.எடுத்துக்காட்டாக, cos(3x + 2)dx ஐக் கண்டுபிடிப்போம். வேறுபாடு dx = (1/3)d(3x) = (1/3)d(3x + 2), பின்னர்cos(3x + 2)dx =(1/3)cos(3x + 2)d (3x + + 2) = (1/3)cos(3x + 2)d(3x + 2) = (1/3)sin(3x + 2) +C.
கருதப்பட்ட இரண்டு எடுத்துக்காட்டுகளிலும், நேர்கோட்டு மாற்று t=kx+b(k0) ஒருங்கிணைப்புகளைக் கண்டறிய பயன்படுத்தப்பட்டது.
பொதுவான வழக்கில், பின்வரும் தேற்றம் செல்லுபடியாகும்.
நேரியல் மாற்று தேற்றம். F(x) என்பது f(x) செயல்பாட்டின் சில எதிர்வழியாக இருக்கட்டும். பிறகுf(kx+b)dx= (1/k)F(kx+b) +C, இதில் k மற்றும் b சில மாறிலிகள்,k0.
ஆதாரம்.
f(kx+b)d(kx+b) =F(kx+b) +C இன் வரையறையின்படி. Hod(kx+b)= (kx+b)`dx=kdx. ஒருங்கிணைந்த குறியிலிருந்து k என்ற நிலையான காரணியை எடுத்துக் கொள்வோம்: kf(kx+b)dx=F(kx+b) +C. இப்போது நாம் சமத்துவத்தின் இடது மற்றும் வலது பக்கங்களை இரண்டாகப் பிரித்து, நிலையான காலத்தின் பதவி வரை நிரூபிக்கப்பட்ட அறிக்கையைப் பெறலாம்.
ஒருங்கிணைந்த f(x)dx= F(x) + C என்பதன் வரையறையில் x வாதத்திற்குப் பதிலாக நாம் வெளிப்பாட்டை (kx+b) மாற்றினால், இது கூடுதல் தோற்றத்திற்கு வழிவகுக்கும் என்று இந்த தேற்றம் கூறுகிறது. ஆண்டிடெரிவேடிவ்க்கு முன்னால் காரணி 1/k.
நிரூபிக்கப்பட்ட தேற்றத்தைப் பயன்படுத்தி, பின்வரும் எடுத்துக்காட்டுகளை நாங்கள் தீர்க்கிறோம்.
எடுத்துக்காட்டு 3.
நாம் கண்டுபிடிப்போம் 
. இங்கே kx+b= 3 –x, அதாவது k= -1,b= 3. பிறகு
எடுத்துக்காட்டு 4.
அதைக் கண்டுபிடிப்போம். Herekx+b= 4x+ 3, அதாவது k= 4,b= 3. பிறகு
எடுத்துக்காட்டு 5.
நாம் கண்டுபிடிப்போம் 
. இங்கே kx+b= -2x+ 7, அதாவது k= -2,b= 7. பிறகு
.
எடுத்துக்காட்டு 6.நாம் கண்டுபிடிப்போம் 
. இங்கே kx+b= 2x+ 0, அதாவது k= 2,b= 0.
.
பெறப்பட்ட முடிவை எடுத்துக்காட்டு 8 உடன் ஒப்பிடுவோம், இது சிதைவு முறையால் தீர்க்கப்பட்டது. அதே பிரச்சனையை வேறு முறை மூலம் தீர்த்து, விடை கிடைத்தது 
. முடிவுகளை ஒப்பிடுவோம்: எனவே, இந்த வெளிப்பாடுகள் ஒரு நிலையான காலத்தால் ஒருவருக்கொருவர் வேறுபடுகின்றன 
, அதாவது பெறப்பட்ட பதில்கள் ஒன்றுக்கொன்று முரண்படவில்லை.
எடுத்துக்காட்டு 7.நாம் கண்டுபிடிப்போம் 
. வகுப்பில் சரியான சதுரத்தைத் தேர்ந்தெடுப்போம்.
சில சந்தர்ப்பங்களில், ஒரு மாறியை மாற்றுவது ஒரு அட்டவணைக்கு நேரடியாக ஒருங்கிணைப்பைக் குறைக்காது, ஆனால் தீர்வை எளிதாக்கலாம், இது அடுத்த கட்டத்தில் விரிவாக்க முறையைப் பயன்படுத்துவதை சாத்தியமாக்குகிறது.
எடுத்துக்காட்டு 8.உதாரணமாக, கண்டுபிடிப்போம் 
. t=x+ 2 ஐ மாற்றவும், பின்னர் dt=d(x+ 2) =dx. பிறகு
,
இதில் C = C 1 – 6 (முதல் இரண்டு சொற்களுக்குப் பதிலாக வெளிப்பாட்டை (x+ 2) மாற்றும் போது ½x 2 -2x– 6 கிடைக்கும்).
எடுத்துக்காட்டு 9.நாம் கண்டுபிடிப்போம் 
. t= 2x+ 1, பிறகு dt= 2dx;dx= ½dt;x= (t– 1)/2 என்று விடுங்கள்.
t க்கு வெளிப்பாடு (2x+ 1) பதிலாக, அடைப்புக்குறிகளைத் திறந்து ஒத்தவற்றைக் கொடுப்போம்.
மாற்றங்களின் செயல்பாட்டில் நாம் மற்றொரு நிலையான காலத்திற்கு நகர்ந்தோம், ஏனெனில் மாற்றும் செயல்பாட்டின் போது நிலையான சொற்களின் குழு தவிர்க்கப்படலாம்.
b) நேரியல் அல்லாத மாற்று முறைஒரு உதாரணத்தைப் பார்ப்போம்.
எடுத்துக்காட்டு 1.
. Lett= -x 2. அடுத்து, ஒருவர் t இன் அடிப்படையில் x ஐ வெளிப்படுத்தலாம், பின்னர் dx க்கான வெளிப்பாட்டைக் கண்டுபிடித்து, விரும்பிய ஒருங்கிணைப்பில் மாறியின் மாற்றத்தை செயல்படுத்தலாம். ஆனால் இந்த விஷயத்தில் விஷயங்களை வித்தியாசமாக செய்வது எளிது. நாம் finddt=d(-x 2) = -2xdx. xdx என்ற வெளிப்பாடு, விரும்பிய ஒருங்கிணைப்பின் ஒருங்கிணைப்பின் காரணியாகும் என்பதை நினைவில் கொள்க. இதன் விளைவாக வரும் சமத்துவம்xdx= - ½dt இலிருந்து அதை வெளிப்படுத்துவோம். பிறகு
ஆண்டிடெரிவேடிவ் செயல்பாடு மற்றும் காலவரையற்ற ஒருங்கிணைப்பு
உண்மை 1. ஒருங்கிணைப்பு என்பது வேறுபாட்டின் தலைகீழ் செயல், அதாவது, இந்தச் செயல்பாட்டின் அறியப்பட்ட வழித்தோன்றலில் இருந்து ஒரு செயல்பாட்டை மீட்டமைத்தல். செயல்பாடு இவ்வாறு மீட்டெடுக்கப்பட்டது எஃப்(எக்ஸ்) என்று அழைக்கப்படுகிறது எதிர் வழிவகைசெயல்பாட்டிற்கு f(எக்ஸ்).
வரையறை 1. செயல்பாடு எஃப்(எக்ஸ் f(எக்ஸ்) சில இடைவெளியில் எக்ஸ், அனைத்து மதிப்புகளுக்கும் என்றால் எக்ஸ்இந்த இடைவெளியில் இருந்து சமத்துவம் உள்ளது எஃப் "(எக்ஸ்)=f(எக்ஸ்), அதாவது, இந்த செயல்பாடு f(எக்ஸ்) என்பது ஆண்டிடெரிவேடிவ் செயல்பாட்டின் வழித்தோன்றலாகும் எஃப்(எக்ஸ்). .
உதாரணமாக, செயல்பாடு எஃப்(எக்ஸ்) = பாவம் எக்ஸ் செயல்பாட்டின் ஒரு எதிர்ப்பொருள் ஆகும் f(எக்ஸ்) = cos எக்ஸ் முழு எண் வரியிலும், x இன் எந்த மதிப்பிற்கும் (பாவம் எக்ஸ்)" = (காஸ் எக்ஸ்) .
வரையறை 2. ஒரு செயல்பாட்டின் காலவரையற்ற ஒருங்கிணைப்பு f(எக்ஸ்) என்பது அதன் அனைத்து ஆண்டிடெரிவேடிவ்களின் தொகுப்பாகும். இந்த வழக்கில், குறியீடு பயன்படுத்தப்படுகிறது
∫
f(எக்ஸ்)dx
,அடையாளம் எங்கே ∫ ஒருங்கிணைந்த அடையாளம், செயல்பாடு என்று அழைக்கப்படுகிறது f(எக்ஸ்) - ஒருங்கிணைந்த செயல்பாடு, மற்றும் f(எக்ஸ்)dx - ஒருங்கிணைந்த வெளிப்பாடு.
இவ்வாறு, என்றால் எஃப்(எக்ஸ்) – இதற்கு சில எதிர்ப்பு f(எக்ஸ்) , அந்த
∫
f(எக்ஸ்)dx = எஃப்(எக்ஸ்) +சி
எங்கே சி - தன்னிச்சையான மாறிலி (நிலையான).
ஒரு செயல்பாட்டின் ஆண்டிடெரிவேடிவ்களின் தொகுப்பை காலவரையற்ற ஒருங்கிணைப்பாகப் புரிந்து கொள்ள, பின்வரும் ஒப்புமை பொருத்தமானது. ஒரு கதவு இருக்கட்டும் (பாரம்பரியமானது மரக்கதவு) அதன் செயல்பாடு "ஒரு கதவு" ஆகும். கதவு எதனால் ஆனது? மரத்தால் ஆனது. இதன் பொருள் என்னவென்றால், “ஒரு கதவு” என்ற செயல்பாட்டின் ஒருங்கிணைப்பின் ஆன்டிடெரிவேடிவ்களின் தொகுப்பு, அதாவது அதன் காலவரையற்ற ஒருங்கிணைப்பு, “ஒரு மரம் + சி” ஆகும், இதில் C என்பது ஒரு நிலையானது, இது இந்த சூழலில் முடியும். எடுத்துக்காட்டாக, மரத்தின் வகையைக் குறிக்கவும். சில கருவிகளைப் பயன்படுத்தி ஒரு கதவு மரத்தில் இருந்து உருவாக்கப்படுவது போல, ஒரு செயல்பாட்டின் வழித்தோன்றல் ஒரு ஆண்டிடெரிவேடிவ் செயல்பாட்டிலிருந்து "உருவாக்கப்படுகிறது" வழித்தோன்றலைப் படிக்கும்போது நாம் கற்றுக்கொண்ட சூத்திரங்கள் .
பின்னர் பொதுவான பொருட்களின் செயல்பாடுகளின் அட்டவணை மற்றும் அவற்றுடன் தொடர்புடைய ஆன்டிடெரிவேடிவ்கள் ("கதவாக இருக்க" - "ஒரு மரமாக", "ஒரு கரண்டியாக இருக்க" - "உலோகமாக" போன்றவை) அடிப்படை அட்டவணைக்கு ஒத்ததாக இருக்கும். காலவரையற்ற ஒருங்கிணைப்புகள், அவை கீழே கொடுக்கப்படும். காலவரையற்ற ஒருங்கிணைப்புகளின் அட்டவணையானது, இந்த செயல்பாடுகள் "உருவாக்கப்பட்ட" ஆண்டிடெரிவேடிவ்களின் அறிகுறியுடன் பொதுவான செயல்பாடுகளை பட்டியலிடுகிறது. காலவரையற்ற ஒருங்கிணைப்பைக் கண்டறிவதில் உள்ள சிக்கல்களின் ஒரு பகுதியாக, அதிக முயற்சி இல்லாமல் நேரடியாக ஒருங்கிணைக்கக்கூடிய ஒருங்கிணைப்புகள் வழங்கப்படுகின்றன, அதாவது காலவரையற்ற ஒருங்கிணைப்புகளின் அட்டவணையைப் பயன்படுத்துகிறது. மிகவும் சிக்கலான சிக்கல்களில், ஒருங்கிணைப்பு முதலில் மாற்றப்பட வேண்டும், இதனால் அட்டவணை ஒருங்கிணைப்புகளைப் பயன்படுத்தலாம்.
உண்மை 2. ஆண்டிடெரிவேடிவ் என ஒரு செயல்பாட்டை மீட்டெடுக்கும் போது, ஒரு தன்னிச்சையான மாறிலியை (நிலையான) கணக்கில் எடுத்துக்கொள்ள வேண்டும். சி, மற்றும் 1 முதல் முடிவிலி வரையிலான பல்வேறு மாறிலிகளுடன் ஆன்டிடெரிவேடிவ்களின் பட்டியலை எழுதாமல் இருக்க, நீங்கள் ஒரு தன்னிச்சையான மாறிலியுடன் ஆன்டிடெரிவேடிவ்களின் தொகுப்பை எழுத வேண்டும். சி, எடுத்துக்காட்டாக, இது போன்றது: 5 எக்ஸ்³+C. எனவே, ஒரு தன்னிச்சையான மாறிலி (நிலையானது) ஆண்டிடெரிவேட்டிவ் வெளிப்பாட்டில் சேர்க்கப்பட்டுள்ளது, ஏனெனில் ஆன்டிடெரிவேடிவ் ஒரு செயல்பாடாக இருக்கலாம், எடுத்துக்காட்டாக, 5 எக்ஸ்³+4 அல்லது 5 எக்ஸ்³+3 மற்றும் வேறுபடுத்தப்பட்டால், 4 அல்லது 3 அல்லது வேறு ஏதேனும் மாறிலி பூஜ்ஜியத்திற்குச் செல்லும்.
ஒருங்கிணைப்பு சிக்கலை முன்வைப்போம்: இந்த செயல்பாட்டிற்கு f(எக்ஸ்) அத்தகைய செயல்பாட்டைக் கண்டறியவும் எஃப்(எக்ஸ்), யாருடைய வழித்தோன்றல்சமமாக f(எக்ஸ்).
எடுத்துக்காட்டு 1.ஒரு செயல்பாட்டின் ஆன்டிடெரிவேடிவ்களின் தொகுப்பைக் கண்டறியவும்
தீர்வு. இந்தச் செயல்பாட்டிற்கு, ஆண்டிடெரிவேட்டிவ் என்பது செயல்பாடாகும்
செயல்பாடு எஃப்(எக்ஸ்) செயல்பாட்டிற்கான ஆன்டிடெரிவேட்டிவ் என்று அழைக்கப்படுகிறது f(எக்ஸ்), வழித்தோன்றல் என்றால் எஃப்(எக்ஸ்) சமமாக உள்ளது f(எக்ஸ்), அல்லது, இது ஒரே விஷயம், வேறுபாடு எஃப்(எக்ஸ்) சமமாக உள்ளது f(எக்ஸ்) dx, அதாவது
(2)
எனவே, சார்பு என்பது செயல்பாட்டின் எதிர் வழித்தோன்றலாகும். இருப்பினும், இது மட்டும் ஆண்டிடெரிவேடிவ் அல்ல. அவை செயல்பாடுகளாகவும் செயல்படுகின்றன
எங்கே உடன்- தன்னிச்சையான மாறிலி. இதை வேறுபாட்டின் மூலம் சரிபார்க்கலாம்.
எனவே, ஒரு செயல்பாட்டிற்கு ஒரு ஆன்டிடெரிவேடிவ் இருந்தால், அதற்கு ஒரு நிலையான காலத்தால் வேறுபடும் எண்ணற்ற ஆன்டிடெரிவேடிவ்கள் உள்ளன. ஒரு செயல்பாட்டிற்கான அனைத்து ஆன்டிடெரிவேடிவ்களும் மேலே உள்ள வடிவத்தில் எழுதப்பட்டுள்ளன. இது பின்வரும் தேற்றத்திலிருந்து பின்வருமாறு.
தேற்றம் (உண்மை 2 இன் முறையான அறிக்கை).என்றால் எஃப்(எக்ஸ்) - செயல்பாட்டிற்கான ஆன்டிடெரிவேடிவ் f(எக்ஸ்) சில இடைவெளியில் எக்ஸ், பிறகு வேறு ஏதேனும் ஆன்டிடெரிவேட்டிவ் f(எக்ஸ்) அதே இடைவெளியில் படிவத்தில் குறிப்பிடப்படலாம் எஃப்(எக்ஸ்) + சி, எங்கே உடன்- தன்னிச்சையான மாறிலி.
அடுத்த எடுத்துக்காட்டில், காலவரையற்ற ஒருங்கிணைப்பின் பண்புகளுக்குப் பிறகு, பத்தி 3 இல் கொடுக்கப்படும் ஒருங்கிணைப்புகளின் அட்டவணைக்குத் திரும்புவோம். மேலே உள்ளவற்றின் சாராம்சம் தெளிவாக இருக்கும் வகையில் முழு அட்டவணையையும் படிப்பதற்கு முன் இதைச் செய்கிறோம். அட்டவணை மற்றும் பண்புகளுக்குப் பிறகு, ஒருங்கிணைப்பின் போது அவற்றை முழுமையாகப் பயன்படுத்துவோம்.
உதாரணம் 2.ஆண்டிடெரிவேடிவ் செயல்பாடுகளின் தொகுப்புகளைக் கண்டறியவும்:
தீர்வு. இந்த செயல்பாடுகள் "உருவாக்கப்பட்ட" ஆண்டிடெரிவேடிவ் செயல்பாடுகளின் தொகுப்புகளை நாங்கள் காண்கிறோம். ஒருங்கிணைப்புகளின் அட்டவணையில் இருந்து சூத்திரங்களைக் குறிப்பிடும்போது, தற்போதைக்கு அத்தகைய சூத்திரங்கள் உள்ளன என்பதை ஏற்றுக்கொள்ளுங்கள், மேலும் காலவரையற்ற ஒருங்கிணைப்புகளின் அட்டவணையை இன்னும் கொஞ்சம் படிப்போம்.
1) ஒருங்கிணைப்புகளின் அட்டவணையில் இருந்து சூத்திரத்தை (7) பயன்படுத்துதல் n= 3, நாம் பெறுகிறோம்
2) ஒருங்கிணைந்த அட்டவணையில் இருந்து சூத்திரம் (10) ஐப் பயன்படுத்துதல் n= 1/3, எங்களிடம் உள்ளது
3) முதல்
பின்னர் சூத்திரத்தின் படி (7) உடன் n= -1/4 நாம் கண்டுபிடிக்கிறோம்
இது ஒருங்கிணைந்த குறியின் கீழ் எழுதப்பட்ட செயல்பாடு அல்ல. f, மற்றும் வேறுபாட்டின் மூலம் அதன் தயாரிப்பு dx. இது முதன்மையாக எந்த மாறி மூலம் ஆன்டிடெரிவேடிவ் தேடப்படுகிறது என்பதைக் குறிப்பிடுவதற்காக செய்யப்படுகிறது. உதாரணத்திற்கு,
,
;
இங்கே இரண்டு நிகழ்வுகளிலும் ஒருங்கிணைப்பு சமமாக இருக்கும், ஆனால் கருதப்படும் நிகழ்வுகளில் அதன் காலவரையற்ற ஒருங்கிணைப்புகள் வேறுபட்டதாக மாறிவிடும். முதல் வழக்கில், இந்த செயல்பாடு மாறியின் செயல்பாடாக கருதப்படுகிறது எக்ஸ், மற்றும் இரண்டாவது - ஒரு செயல்பாடாக z .
ஒரு செயல்பாட்டின் காலவரையற்ற ஒருங்கிணைப்பைக் கண்டறியும் செயல்முறை அந்த செயல்பாட்டை ஒருங்கிணைத்தல் என்று அழைக்கப்படுகிறது.
காலவரையற்ற ஒருங்கிணைப்பின் வடிவியல் பொருள்
நாம் ஒரு வளைவைக் கண்டுபிடிக்க வேண்டும் என்று வைத்துக்கொள்வோம் y=F(x)மற்றும் அதன் ஒவ்வொரு புள்ளியிலும் தொடு கோணத்தின் தொடுகோடு என்பது கொடுக்கப்பட்ட செயல்பாடு என்பதை நாம் ஏற்கனவே அறிவோம் f(x)இந்த புள்ளியின் abscissa.
வழித்தோன்றலின் வடிவியல் அர்த்தத்தின்படி, வளைவின் கொடுக்கப்பட்ட புள்ளியில் தொடுகோடு சாய்வின் கோணத்தின் தொடுகோடு y=F(x)வழித்தோன்றலின் மதிப்புக்கு சமம் F"(x). எனவே அத்தகைய செயல்பாட்டை நாம் கண்டுபிடிக்க வேண்டும் F(x), எதற்காக F"(x)=f(x). பணியில் தேவையான செயல்பாடு F(x)என்பதன் ஆன்டிடெரிவேட்டிவ் ஆகும் f(x). பிரச்சனையின் நிலைமைகள் ஒரு வளைவால் அல்ல, ஆனால் வளைவுகளின் குடும்பத்தால் திருப்தி அடைகின்றன. y=F(x)- இந்த வளைவுகளில் ஒன்று மற்றும் வேறு எந்த வளைவையும் அச்சில் இணையான மொழிபெயர்ப்பு மூலம் பெறலாம் ஓ.
இன் ஆண்டிடெரிவேடிவ் செயல்பாட்டின் வரைபடத்தை அழைப்போம் f(x)ஒருங்கிணைந்த வளைவு. என்றால் F"(x)=f(x), பின்னர் செயல்பாட்டின் வரைபடம் y=F(x)ஒரு ஒருங்கிணைந்த வளைவு உள்ளது.
உண்மை 3. காலவரையற்ற ஒருங்கிணைப்பானது அனைத்து ஒருங்கிணைந்த வளைவுகளின் குடும்பத்தால் வடிவியல் ரீதியாக குறிப்பிடப்படுகிறது , கீழே உள்ள படத்தில் உள்ளது போல. ஆயத்தொலைவுகளின் தோற்றத்திலிருந்து ஒவ்வொரு வளைவின் தூரமும் தன்னிச்சையான ஒருங்கிணைப்பு மாறிலியால் தீர்மானிக்கப்படுகிறது. சி.
காலவரையற்ற ஒருங்கிணைப்பின் பண்புகள்
உண்மை 4. தேற்றம் 1. காலவரையற்ற ஒருங்கிணைப்பின் வழித்தோன்றல் ஒருங்கிணைப்புக்குச் சமம், அதன் வேறுபாடு ஒருங்கிணைப்புக்குச் சமம்.
உண்மை 5. தேற்றம் 2. ஒரு செயல்பாட்டின் வேறுபாட்டின் காலவரையற்ற ஒருங்கிணைப்பு f(எக்ஸ்) செயல்பாட்டிற்கு சமம் f(எக்ஸ்) ஒரு நிலையான காலம் வரை , அதாவது
(3)
1 மற்றும் 2 கோட்பாடுகள் வேறுபாடு மற்றும் ஒருங்கிணைப்பு ஆகியவை பரஸ்பர தலைகீழ் செயல்பாடுகள் என்பதைக் காட்டுகின்றன.
உண்மை 6. தேற்றம் 3. ஒருங்கிணைப்பில் உள்ள நிலையான காரணி காலவரையற்ற ஒருங்கிணைப்பின் அடையாளத்திலிருந்து எடுக்கப்படலாம் , அதாவது
முந்தைய பொருளில், வழித்தோன்றலைக் கண்டுபிடிப்பதில் சிக்கல் கருதப்பட்டது பல்வேறு பயன்பாடுகள்: ஒரு வரைபடத்திற்கான தொடுகோட்டின் கோணக் குணகத்தைக் கணக்கிடுதல், தேர்வுமுறைச் சிக்கல்களைத் தீர்ப்பது, மோனோடோனிசிட்டி மற்றும் எக்ஸ்ட்ரீமாவுக்கான செயல்பாடுகளை ஆய்வு செய்தல். $\nநியூகமாண்ட்(\tg)(\mathop(\mathrm(tg))\nolimits)$ $\nnewcommand(\ctg)(\mathop(\mathrm(tg))\nolimits)$ $\newcommand(\arctg)( \mathop(\mathrm(arctg))\nolimits)$ $\newcommand(\arcctg)(\mathop(\mathrm(arcctg))\nolimits)$
படம் 1.
$s(t)$ செயல்பாட்டின் மூலம் வெளிப்படுத்தப்பட்ட, முன்னர் அறியப்பட்ட பாதையில் வழித்தோன்றலைப் பயன்படுத்தி உடனடி வேகத்தை $v(t)$ கண்டுபிடிப்பதில் சிக்கல் கருதப்பட்டது.
படம் 2.
$v(t)$ புள்ளியின் வேகத்தை அறிந்து $t$ நேரத்தில் ஒரு புள்ளியில் $s(t)$ கடந்து செல்லும் பாதையை நீங்கள் கண்டுபிடிக்க வேண்டியிருக்கும் போது, தலைகீழ் பிரச்சனையும் மிகவும் பொதுவானது. நாம் நினைவு கூர்ந்தால், உடனடி வேகமான $v(t)$ $s(t)$: $v(t)=s'(t)$ என்பதன் வழித்தோன்றலாகக் காணப்படுகிறது. இதன் பொருள், தலைகீழ் சிக்கலைத் தீர்க்க, அதாவது பாதையைக் கணக்கிட, நீங்கள் ஒரு செயல்பாட்டைக் கண்டுபிடிக்க வேண்டும், அதன் வழித்தோன்றல் வேக செயல்பாட்டிற்கு சமமாக இருக்கும். ஆனால் பாதையின் வழித்தோன்றல் வேகம் என்பதை நாம் அறிவோம், அதாவது: $s’(t) = v(t)$. வேகம் என்பது முடுக்கம் நேர நேரத்துக்கு சமம்: $v=at$. விரும்பிய பாதை செயல்பாடு படிவத்தைக் கொண்டிருக்கும் என்பதைத் தீர்மானிப்பது எளிது: $s(t) = \frac(at^2)(2)$. ஆனால் இது ஒரு முழுமையான தீர்வு அல்ல. முழுமையான தீர்வு படிவத்தைக் கொண்டிருக்கும்: $s(t)= \frac(at^2)(2)+C$, $C$ என்பது சில மாறிலி. இது ஏன் என்று மேலும் விவாதிக்கப்படும். இப்போதைக்கு, கண்டுபிடிக்கப்பட்ட தீர்வின் சரியான தன்மையைச் சரிபார்ப்போம்: $s"(t)=\left(\frac(at^2)(2)+C\right)"=2\frac(at)(2)+0 =at=v(t)$.
வேகத்தின் அடிப்படையில் ஒரு பாதையைக் கண்டறிவது ஒரு ஆண்டிடெரிவேடிவ் என்பதன் இயற்பியல் பொருள் என்பது கவனிக்கத்தக்கது.
இதன் விளைவாக $s(t)$ சார்பு $v(t)$ செயல்பாட்டின் ஆண்டிடெரிவேட்டிவ் என அழைக்கப்படுகிறது. மிகவும் சுவாரஸ்யமான மற்றும் அசாதாரண பெயர், ஆமாம் தானே. இது சாரத்தை விளக்கும் பல அர்த்தங்களைக் கொண்டுள்ளது இந்த கருத்துமற்றும் அதன் புரிதலுக்கு வழிவகுக்கிறது. அதில் "முதல்" மற்றும் "படம்" என்ற இரண்டு வார்த்தைகள் இருப்பதை நீங்கள் கவனிப்பீர்கள். அவர்களே பேசுகிறார்கள். அதாவது, நம்மிடம் உள்ள வழித்தோன்றலுக்கு ஆரம்பமான செயல்பாடு இதுவாகும். இந்த வழித்தோன்றலைப் பயன்படுத்தி, ஆரம்பத்தில் இருந்த "முதல்", "முதல் படம்", அதாவது ஆன்டிடெரிவேட்டிவ் செயல்பாட்டைத் தேடுகிறோம். இது சில சமயங்களில் பழமையான செயல்பாடு அல்லது ஆண்டிடெரிவேட்டிவ் என்றும் அழைக்கப்படுகிறது.
நாம் ஏற்கனவே அறிந்தபடி, வழித்தோன்றலைக் கண்டறியும் செயல்முறை வேறுபாடு என்று அழைக்கப்படுகிறது. மற்றும் ஆன்டிடெரிவேட்டிவ் கண்டுபிடிக்கும் செயல்முறை ஒருங்கிணைப்பு என்று அழைக்கப்படுகிறது. ஒருங்கிணைப்பின் செயல்பாடு வேறுபாட்டின் செயல்பாட்டின் தலைகீழ் ஆகும். உரையாடலும் உண்மைதான்.
வரையறை.ஒரு குறிப்பிட்ட இடைவெளியில் $f(x)$ செயல்பாட்டிற்கான ஆன்டிடெரிவேட்டிவ் என்பது ஒரு சார்பு $F(x)$ ஆகும், இதன் வழித்தோன்றல் இந்தச் சார்பு $f(x)$ க்கு சமமாக இருக்கும் குறிப்பிட்ட இடைவெளியில் இருந்து அனைத்து $x$: $F' (x)=f (x)$.
ஒருவருக்கு ஒரு கேள்வி இருக்கலாம்: ஆரம்பத்தில் $s(t)$ மற்றும் $v(t)$ பற்றி பேசினால், வரையறையில் $F(x)$ மற்றும் $f(x)$ எங்கிருந்து வந்தது. உண்மை என்னவென்றால், $s(t)$ மற்றும் $v(t)$ ஆகியவை இந்த விஷயத்தில் ஒரு குறிப்பிட்ட பொருளைக் கொண்ட செயல்பாட்டு பதவியின் சிறப்பு நிகழ்வுகள், அதாவது அவை முறையே நேரத்தின் செயல்பாடு மற்றும் வேகத்தின் செயல்பாடு. $t$ மாறியும் அதே தான் - இது நேரத்தைக் குறிக்கிறது. மேலும் $f$ மற்றும் $x$ ஆகியவை முறையே ஒரு செயல்பாடு மற்றும் மாறியின் பொதுவான பதவியின் பாரம்பரிய மாறுபாடு ஆகும். செலுத்தத் தகுந்தது சிறப்பு கவனம்ஆண்டிடெரிவேட்டிவ் $F(x)$ இன் பதவிக்கு. முதலில், $F$ என்பது மூலதனம். ஆன்டிடெரிவேடிவ்கள் நியமிக்கப்பட்டுள்ளன பெரிய எழுத்துக்களில். இரண்டாவதாக, எழுத்துக்கள் ஒன்றே: $F$ மற்றும் $f$. அதாவது, $g(x)$ செயல்பாட்டிற்கு ஆன்டிடெரிவேட்டிவ் $G(x)$ என்றும், $z(x)$ -க்கு $Z(x)$ என்றும் குறிக்கப்படும். குறிப்பீடு எதுவாக இருந்தாலும், ஒரு ஆண்டிடெரிவேடிவ் செயல்பாட்டைக் கண்டறிவதற்கான விதிகள் எப்போதும் ஒரே மாதிரியாக இருக்கும்.
ஒரு சில உதாரணங்களைப் பார்ப்போம்.
எடுத்துக்காட்டு 1.$F(x)=\frac(1)(5)\sin5x$ செயல்பாடானது $f(x)=\cos5x$ செயல்பாட்டின் எதிர்வழி என்பதை நிரூபிக்கவும்.
இதை நிரூபிக்க, நாம் $F'(x)=f(x)$ என்ற வரையறையைப் பயன்படுத்துவோம், மேலும் $F(x)$: $F'(x)=( செயல்பாட்டின் வழித்தோன்றலைக் கண்டுபிடிப்போம். \frac(1)(5 ) \sin5x)'=\frac(1)(5)\cdot 5\cos5x= \cos5x$. இதன் பொருள் $F(x)=\frac(1)(5) \sin5x$ என்பது $f(x)=\cos5x$ இன் எதிர்வழியாகும். கே.இ.டி.
உதாரணம் 2.பின்வரும் ஆண்டிடெரிவேடிவ்களுக்கு எந்தச் செயல்பாடுகள் பொருந்துகின்றன என்பதைக் கண்டறியவும்: a) $F(z)=\tg z$; b) $G(l) = \sin l$.
தேவையான செயல்பாடுகளைக் கண்டறிய, அவற்றின் வழித்தோன்றல்களைக் கணக்கிடுவோம்:
a) $F'(z)=(\tg z)'=\frac(1)(\cos^2 z)$;
b) $G(l) = (\sin l)' = \cos l$.
எடுத்துக்காட்டு 3.$f(x)=0$ க்கு ஆன்டிடெரிவேட்டிவ் என்னவாக இருக்கும்?
வரையறையைப் பயன்படுத்துவோம். எந்த செயல்பாடு $0$ க்கு சமமான வழித்தோன்றலைக் கொண்டிருக்கலாம் என்று சிந்திப்போம். வழித்தோன்றல்களின் அட்டவணையை நினைவுபடுத்தும்போது, எந்த மாறிலியும் அத்தகைய வழித்தோன்றலைக் கொண்டிருப்பதைக் காண்கிறோம். நாம் தேடும் ஆன்டிடெரிவேட்டிவ்: $F(x)= C$.
இதன் விளைவாக வரும் தீர்வு வடிவியல் மற்றும் உடல் ரீதியாக விளக்கப்படலாம். வடிவியல் ரீதியாக, இந்த வரைபடத்தின் ஒவ்வொரு புள்ளியிலும் $y=F(x)$ வரையிலான தொடுகோடு கிடைமட்டமாக உள்ளது, எனவே $Ox$ அச்சுடன் ஒத்துப்போகிறது. பூஜ்ஜியத்திற்கு சமமான வேகம் கொண்ட ஒரு புள்ளி இடத்தில் உள்ளது, அதாவது அது பயணித்த பாதை மாறாமல் உள்ளது என்பதன் மூலம் இது விளக்கப்படுகிறது. இதன் அடிப்படையில், நாம் பின்வரும் தேற்றத்தை உருவாக்கலாம்.
தேற்றம். (செயல்பாடுகளின் நிலைத்தன்மையின் அடையாளம்) சில இடைவெளியில் $F’(x) = 0$ எனில், இந்த இடைவெளியில் $F(x)$ செயல்பாடு நிலையானதாக இருக்கும்.
எடுத்துக்காட்டு 4.எந்தச் செயல்பாடுகள் a) $F_1 = \frac(x^7)(7)$ இன் எதிர்வழிகள் என்பதைத் தீர்மானிக்கவும்; b) $F_2 = \frac(x^7)(7) – 3$; c) $F_3 = \frac(x^7)(7) + 9$; ஈ) $F_4 = \frac(x^7)(7) + a$, இங்கு $a$ என்பது சில எண்.
ஆண்டிடெரிவேட்டிவ் வரையறையைப் பயன்படுத்தி, இந்தச் சிக்கலைத் தீர்க்க, நமக்குக் கொடுக்கப்பட்ட ஆண்டிடெரிவேடிவ் செயல்பாடுகளின் வழித்தோன்றல்களைக் கணக்கிட வேண்டும் என்று முடிவு செய்கிறோம். கணக்கிடும் போது, ஒரு மாறிலியின் வழித்தோன்றல், அதாவது எந்த எண்ணின், பூஜ்ஜியத்திற்கு சமம் என்பதை நினைவில் கொள்ளுங்கள்.
a) $F_1 =(\frac(x^7)(7))"= 7 \cdot \frac(x^6)(7) = x^6$;
b) $F_2 =\left(\frac(x^7)(7) – 3\right)"=7 \cdot \frac(x^6)(7)= x^6$;
c) $F_3 =(\frac(x^7)(7) + 9)'= x^6$;
ஈ) $F_4 =(\frac(x^7)(7) + a)’ = x^6$.
நாம் என்ன பார்க்கிறோம்? பல வேறுபட்ட செயல்பாடுகள் ஒரே செயல்பாட்டின் முதன்மையானவை. எந்தவொரு செயல்பாட்டிலும் எண்ணற்ற பல ஆன்டிடெரிவேடிவ்கள் உள்ளன, மேலும் அவை $F(x) + C$ வடிவத்தைக் கொண்டுள்ளன, இங்கு $C$ என்பது தன்னிச்சையான மாறிலி. அதாவது, வேறுபாட்டின் செயல்பாட்டைப் போலன்றி, ஒருங்கிணைப்பின் செயல்பாடு பன்முகப்படுத்தப்படுகிறது. இதன் அடிப்படையில், ஆண்டிடெரிவேடிவ்களின் முக்கிய பண்புகளை விவரிக்கும் ஒரு தேற்றத்தை உருவாக்குவோம்.
தேற்றம். (ஆண்டிடெரிவேடிவ்களின் முக்கிய சொத்து) $F_1$ மற்றும் $F_2$ செயல்பாடுகள் சில இடைவெளியில் $f(x)$ செயல்பாட்டின் ஆன்டிடெரிவேடிவ்களாக இருக்கட்டும். இந்த இடைவெளியில் இருந்து அனைத்து மதிப்புகளுக்கும் பின்வரும் சமத்துவம் உண்மையாக இருக்கும்: $F_2=F_1+C$, $C$ என்பது சில மாறிலி.
எண்ணற்ற ஆன்டிடெரிவேடிவ்கள் இருப்பதை வடிவியல் ரீதியாக விளக்கலாம். $Oy$ அச்சில் இணையான மொழிபெயர்ப்பைப் பயன்படுத்தி, $f(x)$க்கு ஏதேனும் இரண்டு ஆண்டிடெரிவேடிவ்களின் வரைபடங்களை ஒருவர் மற்றவரிடமிருந்து பெறலாம். இது ஆண்டிடெரிவேடிவ் என்பதன் வடிவியல் பொருள்.
நிலையான $C$ ஐத் தேர்ந்தெடுப்பதன் மூலம், ஆண்டிடெரிவேடிவ் வரைபடம் ஒரு குறிப்பிட்ட புள்ளியின் வழியாகச் செல்வதை உறுதிசெய்ய முடியும் என்பதில் கவனம் செலுத்துவது மிகவும் முக்கியம்.
படம் 3.
எடுத்துக்காட்டு 5.$f(x)=\frac(x^2)(3)+1$ செயல்பாட்டிற்கான ஆன்டிடெரிவேட்டிவ்வைக் கண்டறியவும், இதன் வரைபடம் $(3; 1)$ புள்ளியைக் கடந்து செல்கிறது.
முதலில் $f(x)$: $F(x)=\frac(x^3)(9)+x + C$க்கான அனைத்து ஆண்டிடெரிவேட்டிவ்களையும் கண்டுபிடிப்போம்.
அடுத்து, சி எண்ணைக் கண்டுபிடிப்போம், அதற்கான வரைபடம் $y=\frac(x^3)(9)+x + C$ புள்ளி $(3; 1)$ வழியாக செல்லும். இதைச் செய்ய, புள்ளியின் ஆயங்களை வரைபட சமன்பாட்டில் மாற்றி $C$ க்கு அதைத் தீர்க்கிறோம்:
$1= \frac(3^3)(9)+3 + C$, $C=-5$.
$y=\frac(x^3)(9)+x-5$ வரைப்படத்தைப் பெற்றுள்ளோம், இது $F(x)=\frac(x^3)(9)+x-5$ உடன் ஒத்துள்ளது.
ஆன்டிடெரிவேடிவ்களின் அட்டவணை
வழித்தோன்றல்களைக் கண்டறிவதற்கான சூத்திரங்களைப் பயன்படுத்தி ஆண்டிடெரிவேடிவ்களைக் கண்டறிவதற்கான சூத்திரங்களின் அட்டவணையைத் தொகுக்கலாம்.
| செயல்பாடுகள் | ஆண்டிடெரிவேடிவ்கள் |
| $0$ | $C$ |
| $1$ | $x+C$ |
| $a\in R$ இல் | $ax+C$ |
| $x^n, n\ne1$ | $\டிஸ்ப்ளே ஸ்டைல் \frac(x^(n+1))(n+1)+C$ |
| $\டிஸ்ப்ளே ஸ்டைல் \frac(1)(x)$ | $\ln|x|+C$ |
| $\பாவம் x$ | $-\cos x+C$ |
| $\cos x$ | $\sin x+C$ |
| $\டிஸ்ப்ளேஸ்டைல் \frac(1)(\sin^2 x)$ | $-\ctg x+C$ |
| $\டிஸ்ப்ளேஸ்டைல் \frac(1)(\cos^2 x)$ | $\tg x+C$ |
| $e^x$ | $e^x+C$ |
| $a^x, a>0, a\ne1$ | $\டிஸ்ப்ளேஸ்டைல் \frac(a^x)(\ln a) +C$ |
| $\டிஸ்ப்ளேஸ்டைல் \frac(1)(\sqrt(1-x^2))$ | $\arcsin x+C$ |
| $\டிஸ்ப்ளே ஸ்டைல் -\frac(1)(\sqrt(1-x^2))$ | $\arccos x+C$ |
| $\டிஸ்ப்ளே ஸ்டைல் \frac(1)(1+x^2)$ | $\arctg x+C$ |
| $\டிஸ்ப்ளே ஸ்டைல் -\frac(1)(1+x^2)$ | $\arcctg x+C$ |
அட்டவணையின் சரியான தன்மையை நீங்கள் பின்வரும் வழியில் சரிபார்க்கலாம்: வலது நெடுவரிசையில் அமைந்துள்ள ஒவ்வொரு ஆன்டிடெரிவேட்டிவ்களுக்கும், வழித்தோன்றலைக் கண்டறியவும், இது இடது நெடுவரிசையில் தொடர்புடைய செயல்பாடுகளை விளைவிக்கும்.
ஆண்டிடெரிவேடிவ்களைக் கண்டறிவதற்கான சில விதிகள்
அறியப்பட்டபடி, பல செயல்பாடுகள் ஆன்டிடெரிவேடிவ்களின் அட்டவணையில் சுட்டிக்காட்டப்பட்டதை விட மிகவும் சிக்கலான வடிவத்தைக் கொண்டுள்ளன, மேலும் இந்த அட்டவணையில் இருந்து தொகைகள் மற்றும் செயல்பாடுகளின் தயாரிப்புகளின் தன்னிச்சையான கலவையாக இருக்கலாம். இங்கே கேள்வி எழுகிறது: அத்தகைய செயல்பாடுகளின் ஆண்டிடெரிவேடிவ்களை எவ்வாறு கணக்கிடுவது. எடுத்துக்காட்டாக, அட்டவணையில் இருந்து $x^3$, $\sin x$ மற்றும் $10$ ஆகியவற்றின் ஆன்டிடெரிவேடிவ்களை எவ்வாறு கணக்கிடுவது என்பது நமக்குத் தெரியும். எடுத்துக்காட்டாக, $x^3-10\sin x$-ஐ எவ்வாறு கணக்கிடுவது? முன்னோக்கிப் பார்க்கும்போது, இது $\frac(x^4)(4)+10\cos x$க்கு சமமாக இருக்கும் என்பது குறிப்பிடத்தக்கது.
1. $f(x)$ க்கு $F(x)$, $g(x)$ க்கு $G(x)$ எனில், $f(x)+g(x)$ க்கு எதிர் வழித்தோன்றல் $ F(x)+G(x)$க்கு சமம்.
2. $f(x)$ என்பது $f(x)$ க்கு ஒரு ஆன்டிடெரிவேட்டிவ் மற்றும் $a$ என்பது மாறிலி என்றால், $af(x)$ க்கு $aF(x)$ என்பது ஆன்டிடெரிவேட்டிவ் ஆகும்.
3. $f(x)$க்கு $F(x)$, $a$ மற்றும் $b$ ஆகியவை மாறிலிகள் எனில், $\frac(1)(a) F(ax+b)$ என்பது ஆன்டிடெரிவேட்டிவ் ஆகும். $f (ax+b)$க்கு.
பெறப்பட்ட விதிகளைப் பயன்படுத்தி, ஆண்டிடெரிவேடிவ்களின் அட்டவணையை விரிவாக்கலாம்.
| செயல்பாடுகள் | ஆண்டிடெரிவேடிவ்கள் |
| $(ax+b)^n, n\ne1, a\ne0$ | $\டிஸ்ப்ளேஸ்டைல் \frac((ax+b)^n)(a(n+1)) +C$ |
| $\displaystyle \frac(1)(ax+b), a\ne0$ | $\டிஸ்ப்ளே ஸ்டைல் \frac(1)(a)\ln|ax+b|+C$ |
| $e^(ax+b), a\ne0$ | $\டிஸ்ப்ளே ஸ்டைல் \frac(1)(a) e^(ax+b)+C$ |
| $\sin(ax+b), a\ne0$ | $\டிஸ்ப்ளே ஸ்டைல் -\frac(1)(a)\cos(ax+b)+C$ |
| $\cos(ax+b), a\ne0$ | $\டிஸ்ப்ளே ஸ்டைல் \frac(1)(a)\sin(ax+b)+C$ |
எடுத்துக்காட்டு 5.இதற்கான ஆண்டிடெரிவேடிவ்களைக் கண்டறியவும்:
a) $\டிஸ்ப்ளே ஸ்டைல் 4x^3+10x^7$;
b) $\டிஸ்ப்ளேஸ்டைல் \frac(6)(x^5) -\frac(2)(x)$;
c) $\displaystyle 5\cos x+\sin(3x+15)$;
ஈ) $\டிஸ்ப்ளே ஸ்டைல் \sqrt(x)-2\sqrt(x)$.
a) $4\frac (x^(3+1))(3+1)+10\frac(x^(7+1))(7+1)+C=x^4+\frac(5)( 4) x^8+C$;
b) $-\frac(3)(2x^4) -2\ln|x|+C$;
c) $5 \sin x - \frac(1)(3)\cos(3x + 15) + C$;
ஈ) $\frac(2)(3)x\sqrt(x) - \frac(3)(2) x\sqrt(x) + C$.
அடிப்படை சூத்திரங்கள் மற்றும் ஒருங்கிணைப்பு முறைகள். ஒரு தொகை அல்லது வேறுபாட்டை ஒருங்கிணைப்பதற்கான விதி. ஒருங்கிணைந்த அடையாளத்திற்கு வெளியே மாறிலியை நகர்த்துதல். மாறி மாற்று முறை. பகுதிகள் மூலம் ஒருங்கிணைப்பதற்கான சூத்திரம். ஒரு சிக்கலைத் தீர்ப்பதற்கான எடுத்துக்காட்டு.
நான்கு முக்கிய ஒருங்கிணைப்பு முறைகள் கீழே பட்டியலிடப்பட்டுள்ளன.
1)
ஒரு தொகை அல்லது வேறுபாட்டை ஒருங்கிணைப்பதற்கான விதி.
.
இங்கே மற்றும் கீழே u, v, w ஆகியவை ஒருங்கிணைப்பு மாறி x இன் செயல்பாடுகள்.
2)
ஒருங்கிணைந்த அடையாளத்திற்கு வெளியே மாறிலியை நகர்த்துதல்.
c ஆனது x இலிருந்து ஒரு நிலையான சார்பற்றதாக இருக்கட்டும். பின்னர் அதை ஒருங்கிணைந்த அடையாளத்திலிருந்து வெளியே எடுக்கலாம்.
3)
மாறி மாற்று முறை.
காலவரையற்ற ஒருங்கிணைப்பைக் கருத்தில் கொள்வோம்.
அத்தகைய செயல்பாட்டை நாம் கண்டுபிடிக்க முடிந்தால் φ (எக்ஸ்) x இலிருந்து, அதனால்
,
பின்னர், t = φ(x) மாறியை மாற்றுவதன் மூலம், நம்மிடம் உள்ளது
.
4)
பாகங்கள் மூலம் ஒருங்கிணைப்பதற்கான சூத்திரம்.
,
இதில் u மற்றும் v ஆகியவை ஒருங்கிணைப்பு மாறியின் செயல்பாடுகள்.
காலவரையற்ற ஒருங்கிணைப்புகளைக் கணக்கிடுவதற்கான இறுதி இலக்கு, மாற்றங்களின் மூலம், கொடுக்கப்பட்ட ஒருங்கிணைப்பை எளிய ஒருங்கிணைப்புகளுக்குக் குறைப்பதாகும், அவை அட்டவணை ஒருங்கிணைப்புகள் என்று அழைக்கப்படுகின்றன. அட்டவணை ஒருங்கிணைப்புகள்அறியப்பட்ட சூத்திரங்களைப் பயன்படுத்தி அடிப்படை செயல்பாடுகள் மூலம் வெளிப்படுத்தப்படுகின்றன.
ஒருங்கிணைப்புகளின் அட்டவணை >>> பார்க்கவும்
உதாரணமாக
காலவரையற்ற ஒருங்கிணைப்பைக் கணக்கிடுங்கள்
தீர்வு
ஒருங்கிணைப்பு என்பது மூன்று சொற்களின் கூட்டுத்தொகை மற்றும் வேறுபாடு என்பதை நாங்கள் கவனிக்கிறோம்:
, மற்றும் .
முறையைப் பயன்படுத்துதல் 1
.
அடுத்து, புதிய ஒருங்கிணைப்புகளின் ஒருங்கிணைப்புகள் மாறிலிகளால் பெருக்கப்படுகின்றன என்பதை நாங்கள் கவனிக்கிறோம் 5, 4,
மற்றும் 2
, முறையே. முறையைப் பயன்படுத்துதல் 2
.
ஒருங்கிணைப்புகளின் அட்டவணையில் நாம் சூத்திரத்தைக் காண்கிறோம்
.
n = அனுமானித்து 2
, முதல் ஒருங்கிணைப்பைக் காண்கிறோம்.
இரண்டாவது ஒருங்கிணைப்பை படிவத்தில் மீண்டும் எழுதுவோம்
.
என்பதை நாங்கள் கவனிக்கிறோம். பிறகு
மூன்றாவது முறையைப் பயன்படுத்துவோம். t = φ என்ற மாறியை மாற்றுகிறோம் (x) = பதிவு x.
.
ஒருங்கிணைப்புகளின் அட்டவணையில் நாம் சூத்திரத்தைக் காண்கிறோம்
ஒருங்கிணைப்பு மாறியை எந்த எழுத்திலும் குறிக்கலாம் என்பதால், பின்னர்
படிவத்தில் மூன்றாவது ஒருங்கிணைப்பை மீண்டும் எழுதுவோம்
.
பகுதிகள் மூலம் ஒருங்கிணைப்பு சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்துகிறோம்.
போடுவோம்.
பிறகு
;
;
;
;
.
பள்ளியில், பலர் ஒருங்கிணைப்புகளைத் தீர்க்கத் தவறிவிடுகிறார்கள் அல்லது அவர்களுடன் ஏதேனும் சிரமங்களை எதிர்கொள்கின்றனர். இந்த கட்டுரையில் நீங்கள் அனைத்தையும் கண்டுபிடிப்பதால், அதைக் கண்டுபிடிக்க உதவும். ஒருங்கிணைந்த அட்டவணைகள்.
ஒருங்கிணைந்தகணித பகுப்பாய்வில் முக்கிய கணக்கீடுகள் மற்றும் கருத்துக்களில் ஒன்றாகும். அதன் தோற்றம் இரண்டு நோக்கங்களுக்காக விளைந்தது:
முதல் கோல்- ஒரு செயல்பாட்டை அதன் வழித்தோன்றலைப் பயன்படுத்தி மீட்டமைக்கவும்.
இரண்டாவது கோல்- வரைபடத்திலிருந்து f(x) சார்புக்கு நேராகக் கோட்டில் அமைந்துள்ள பகுதியின் கணக்கீடு, இதில் a ஆனது x ஐ விட அதிகமாகவோ அல்லது சமமாகவோ b மற்றும் x-அச்சுக்கு சமமாக இருக்கும்.
இந்த இலக்குகள் நம்மை திட்டவட்டமான மற்றும் காலவரையற்ற ஒருங்கிணைப்புகளுக்கு இட்டுச் செல்கின்றன. இந்த ஒருங்கிணைப்புகளுக்கு இடையேயான தொடர்பு பண்புகள் மற்றும் கணக்கீடுகளுக்கான தேடலில் உள்ளது. ஆனால் எல்லாம் பாய்கிறது மற்றும் காலப்போக்கில் எல்லாம் மாறுகிறது, புதிய தீர்வுகள் கண்டறியப்பட்டன, சேர்த்தல்கள் அடையாளம் காணப்பட்டன, இதன் மூலம் மற்ற வகையான ஒருங்கிணைப்புக்கு திட்டவட்டமான மற்றும் காலவரையற்ற ஒருங்கிணைப்புகளை வழிநடத்துகிறது.
என்ன நடந்தது காலவரையற்ற ஒருங்கிணைப்பு நீங்கள் கேட்க. இது ஒரு மாறி x இன் ஆண்டிடெரிவேடிவ் செயல்பாடு F(x) இடைவெளியில் x ஐ விட பெரியது. எந்த செயல்பாடு F(x) என்று அழைக்கப்படுகிறது, x என்ற எந்த பதவிக்கும் கொடுக்கப்பட்ட இடைவெளியில், வழித்தோன்றல் F(x) க்கு சமம். x ஐ விட பெரியது b ஐ விட பெரியது என்ற இடைவெளியில் F(x) என்பது f(x) க்கு ஆண்டிடெரிவேடிவ் என்பது தெளிவாகிறது. இதன் பொருள் F1(x) = F(x) + C. C - என்பது கொடுக்கப்பட்ட இடைவெளியில் f(x)க்கான ஏதேனும் மாறிலி மற்றும் எதிர்வழியாகும். இந்த கூற்று தலைகீழானது; f(x) - 2 செயல்பாட்டிற்கு, ஆண்டிடெரிவேடிவ்கள் மாறிலியில் மட்டுமே வேறுபடுகின்றன. ஒருங்கிணைந்த கால்குலஸின் தேற்றத்தின் அடிப்படையில், இடைவெளியில் ஒவ்வொரு தொடர்ச்சியும் ஒரு
திட்டவட்டமான ஒருங்கிணைந்த ஒருங்கிணைந்த தொகைகளில் வரம்பு என புரிந்து கொள்ளப்படுகிறது, அல்லது கொடுக்கப்பட்ட செயல்பாட்டின் சூழ்நிலையில் f(x) சில வரியில் வரையறுக்கப்பட்டுள்ளது (a,b) அதன் மீது ஒரு எதிர்வழி எஃப் உள்ளது, அதாவது கொடுக்கப்பட்ட வரியின் முனைகளில் அதன் வெளிப்பாடுகளின் வேறுபாடு F(b) - F(a).
இந்த தலைப்பின் ஆய்வை விளக்குவதற்கு, வீடியோவைப் பார்க்க பரிந்துரைக்கிறேன். இது விரிவாகச் சொல்கிறது மற்றும் ஒருங்கிணைப்புகளை எவ்வாறு கண்டுபிடிப்பது என்பதைக் காட்டுகிறது.
ஒரு குறிப்பிட்ட வகை ஒருங்கிணைப்பைத் தீர்க்க உதவுவதால், ஒவ்வொரு ஒருங்கிணைப்பு அட்டவணையும் மிகவும் பயனுள்ளதாக இருக்கும்.
சாத்தியமான அனைத்து வகையான எழுதுபொருட்கள் மற்றும் பல. நீங்கள் ஆன்லைன் ஸ்டோர் v-kant.ru மூலம் வாங்கலாம். அல்லது ஸ்டேஷனரி சமாரா (http://v-kant.ru) இணைப்பைப் பின்தொடரவும், தரம் மற்றும் விலைகள் உங்களை மகிழ்ச்சியுடன் ஆச்சரியப்படுத்தும்.