வழக்கமான நிகழ்தகவு விநியோகங்கள்: ஒரு தரவு விஞ்ஞானியின் ஏமாற்று தாள். தனித்த சீரற்ற மாறியின் இருபக்க விநியோகம்

பிரிவு 6. வழக்கமான விநியோக விதிகள் மற்றும் சீரற்ற மாறிகளின் எண் பண்புகள்

செயல்பாடுகளின் வடிவம் F(x), p(x), அல்லது p(x i) கணக்கீடு ஒரு சீரற்ற மாறியின் விநியோக விதி என்று அழைக்கப்படுகிறது. நாம் எண்ணற்ற பல்வேறு சீரற்ற மாறிகளை கற்பனை செய்து பார்க்க முடியும் என்றாலும், விநியோக விதிகள் மிகக் குறைவு. முதலாவதாக, வெவ்வேறு சீரற்ற மாறிகள் ஒரே மாதிரியான விநியோக விதிகளைக் கொண்டிருக்கலாம். எடுத்துக்காட்டாக: y ஐ மட்டும் 2 மதிப்புகள் 1 மற்றும் -1 உடன் நிகழ்தகவுகள் 0.5 உடன் எடுக்கலாம்; z = -y மதிப்பு அதே விநியோகச் சட்டத்தைக் கொண்டுள்ளது.
இரண்டாவதாக, பெரும்பாலும் சீரற்ற மாறிகள் ஒரே மாதிரியான விநியோகச் சட்டங்களைக் கொண்டுள்ளன, அதாவது, அவற்றுக்கான p(x) ஒரே வடிவத்தின் சூத்திரங்களால் வெளிப்படுத்தப்படுகிறது, ஒன்று அல்லது அதற்கு மேற்பட்ட மாறிலிகளில் மட்டுமே வேறுபடுகிறது. இந்த மாறிலிகள் விநியோக அளவுருக்கள் என்று அழைக்கப்படுகின்றன.

கொள்கையளவில் பலவிதமான விநியோகச் சட்டங்கள் சாத்தியம் என்றாலும், மிகவும் பொதுவான சில சட்டங்கள் இங்கே பரிசீலிக்கப்படும். அவை எழும் நிலைமைகள், இந்த விநியோகங்களின் அளவுருக்கள் மற்றும் பண்புகள் குறித்து கவனம் செலுத்த வேண்டியது அவசியம்.

1 . சீரான விநியோகம்
இடைவெளியில் (a,b) எந்த மதிப்புகளையும் எடுக்கக்கூடிய ஒரு சீரற்ற மாறியின் விநியோகத்திற்கு இது பெயர், மேலும் (a,b) உள்ளே எந்தப் பிரிவிலும் விழும் நிகழ்தகவு அதன் நீளத்திற்கு விகிதாசாரமாகும். பிரிவு மற்றும் அதன் நிலையை சார்ந்து இல்லை, மேலும் மதிப்புகளின் நிகழ்தகவு வெளியே (a,b ) 0 க்கு சமம்.

படம் 6.1 சீரான விநியோக செயல்பாடு மற்றும் அடர்த்தி

விநியோக அளவுருக்கள்: a, b

2. இயல்பான விநியோகம்
சூத்திரத்தால் விவரிக்கப்பட்ட அடர்த்தியுடன் கூடிய விநியோகம்

(6.1)

சாதாரணமாக அழைக்கப்படுகிறது.
விநியோக அளவுருக்கள்: a, σ

படம் 6.2 வழக்கமான அடர்த்தி மற்றும் சாதாரண விநியோக செயல்பாடு

3. பெர்னோலி விநியோகம்
தொடர்ச்சியான சுயாதீன சோதனைகள் நடத்தப்பட்டால், ஒவ்வொன்றிலும் நிகழ்வு A ஒரே நிகழ்தகவு p உடன் தோன்றலாம், பின்னர் நிகழ்வின் எண்ணிக்கையானது பெர்னூலியின் சட்டத்தின்படி அல்லது இருசொற் சட்டத்தின்படி விநியோகிக்கப்படும் ஒரு சீரற்ற மாறியாகும். (விநியோகத்திற்கான மற்றொரு பெயர்).

இங்கே n என்பது தொடரில் உள்ள சோதனைகளின் எண்ணிக்கை, m என்பது ஒரு சீரற்ற மாறி (நிகழ்வு A இன் நிகழ்வுகளின் எண்ணிக்கை), P n (m) என்பது A சரியாக m முறை நிகழும் நிகழ்தகவு, q = 1 - p (நிகழ்தகவு விசாரணையில் A ஆஜராக மாட்டார் ).

எடுத்துக்காட்டு 1: ஒரு டை 5 முறை உருட்டப்படுகிறது, 6 இரண்டு முறை உருட்டப்படும் நிகழ்தகவு என்ன?
n = 5, m = 2, p = 1/6, q = 5/6

விநியோக அளவுருக்கள்: n, p

4 . விஷம் விநியோகம்
பாய்சன் விநியோகம் பெர்னோல்லி பரவலின் வரம்புக்குட்பட்ட நிகழ்வாகப் பெறப்படுகிறது, p பூஜ்ஜியமாகவும் n முடிவிலியாகவும் இருந்தால், ஆனால் அவற்றின் தயாரிப்பு மாறாமல் இருக்கும்: nр = а. முறையாக, வரம்புக்கு அத்தகைய பத்தியானது சூத்திரத்திற்கு வழிவகுக்கிறது

விநியோக அளவுரு: a

அறிவியல் மற்றும் நடைமுறை வாழ்க்கையில் காணப்படும் பல சீரற்ற மாறிகள் பாய்சன் விநியோகத்திற்கு உட்பட்டவை.

எடுத்துக்காட்டு 2: ஒரு மணி நேரத்திற்குள் ஆம்புலன்ஸ் நிலையத்தில் பெறப்பட்ட அழைப்புகளின் எண்ணிக்கை.
T (1 மணிநேரம்) நேர இடைவெளியை சிறிய இடைவெளிகளாக dt பிரிப்போம், அதாவது dt இன் போது இரண்டு அல்லது அதற்கு மேற்பட்ட அழைப்புகளைப் பெறுவதற்கான நிகழ்தகவு மிகக் குறைவு, மேலும் ஒரு அழைப்பின் நிகழ்தகவு dt க்கு விகிதாசாரமாகும்: p = μdt;
கணங்கள் dt இன் போது கவனிப்பதை சுயாதீன சோதனைகளாகக் கருதுவோம், T: n = T / dt நேரத்தில் அத்தகைய சோதனைகளின் எண்ணிக்கை;
ஒரு மணிநேரத்தில் அழைப்பு வருவதற்கான சாத்தியக்கூறுகள் மாறாது என்று நாம் கருதினால், மொத்த அழைப்புகளின் எண்ணிக்கை பெர்னௌலியின் சட்டத்திற்கு கீழ்ப்படிகிறது: n = T / dt, p = μdt. dt ஐ பூஜ்ஜியத்திற்கு இயக்கிய பிறகு, n முடிவிலியை நோக்கி செல்வதைக் காண்கிறோம், மேலும் n×р என்ற தயாரிப்பு மாறாமல் உள்ளது: a = n×р = μT.

எடுத்துக்காட்டு 3: சில நிலையான தொகுதி V இல் உள்ள ஒரு சிறந்த வாயுவின் மூலக்கூறுகளின் எண்ணிக்கை.
dV இல் இரண்டு அல்லது அதற்கு மேற்பட்ட மூலக்கூறுகளைக் கண்டறிவதற்கான நிகழ்தகவு மிகக் குறைவு, மேலும் ஒரு மூலக்கூறைக் கண்டறியும் நிகழ்தகவு dVக்கு விகிதாசாரமாக இருக்கும் வகையில் V தொகுதியை dV சிறிய தொகுதிகளாகப் பிரிப்போம்: p = μdV; ஒவ்வொரு தொகுதி dV இன் அவதானிப்பை ஒரு சுயாதீன சோதனையாகக் கருதுவோம், அத்தகைய சோதனைகளின் எண்ணிக்கை n=V/dV; V இன் உள்ளே எங்கும் மூலக்கூறைக் கண்டறிவதற்கான சாத்தியக்கூறுகள் ஒரே மாதிரியாக இருக்கும் என்று நாம் கருதினால், V இன் தொகுதியில் உள்ள மொத்த மூலக்கூறுகளின் எண்ணிக்கை பெர்னௌல்லியின் விதிக்கு கீழ்ப்படிகிறது: n = V / dV, p = μdV. dV ஐ பூஜ்ஜியத்திற்கு இயக்கிய பிறகு, n முடிவிலியை நோக்கி செல்வதைக் காண்கிறோம், மேலும் n×р என்ற தயாரிப்பு மாறாமல் உள்ளது: a = n×р =μV.

சீரற்ற மாறிகளின் எண்ணியல் பண்புகள்

1 . கணித எதிர்பார்ப்பு (சராசரி மதிப்பு)

வரையறை:
கணித எதிர்பார்ப்பு அழைக்கப்படுகிறது
  (6.4)

சீரற்ற மாறி எடுக்கும் அனைத்து மதிப்புகளின் மீதும் தொகை எடுக்கப்படுகிறது. தொடர் முற்றிலும் ஒன்றிணைந்ததாக இருக்க வேண்டும் (இல்லையெனில் சீரற்ற மாறிக்கு கணித எதிர்பார்ப்பு இல்லை என்று கூறப்படுகிறது)

;   (6.5)

ஒருங்கிணைப்பானது முற்றிலும் ஒன்றிணைந்ததாக இருக்க வேண்டும் (இல்லையெனில் சீரற்ற மாறிக்கு கணித எதிர்பார்ப்பு இல்லை என்று கூறப்படுகிறது)

கணித எதிர்பார்ப்பின் பண்புகள்:

அ. C ஒரு நிலையான மதிப்பு என்றால், MC = C
பி. MCx = CMx
c. சீரற்ற மாறிகளின் கூட்டுத்தொகையின் கணித எதிர்பார்ப்பு எப்போதும் அவற்றின் கணித எதிர்பார்ப்புகளின் கூட்டுத்தொகைக்கு சமமாக இருக்கும்: M(x+y) = Mx + My d. நிபந்தனைக்குட்பட்ட கணித எதிர்பார்ப்பு என்ற கருத்து அறிமுகப்படுத்தப்பட்டது. ஒரு சீரற்ற மாறி அதன் மதிப்புகளை எடுத்துக் கொண்டால் x i c வெவ்வேறு நிகழ்தகவுகள் p(x i/H j) வெவ்வேறு நிலைமைகளின் கீழ் H j , பின்னர் நிபந்தனை எதிர்பார்ப்பு தீர்மானிக்கப்படுகிறது

எப்படி அல்லது ;   (6.6)

நிகழ்வுகளின் நிகழ்தகவு H j தெரிந்தால், முழுமையானது

எதிர்பார்க்கப்படும் மதிப்பு: ;   (6.7)

எடுத்துக்காட்டு 4: சராசரியாக, முதல் சின்னம் தோன்றும் முன் ஒரு நாணயத்தை எத்தனை முறை தூக்கி எறிய வேண்டும்? இந்த சிக்கலை நேரடியாக தீர்க்க முடியும்

x i	1 2 3 ... கே..
p(x i) :		,

ஆனால் இந்த தொகை இன்னும் கணக்கிடப்பட வேண்டும். நிபந்தனை மற்றும் முழுமையான கணித எதிர்பார்ப்புகளின் கருத்துகளைப் பயன்படுத்துவதன் மூலம் நீங்கள் அதை மிகவும் எளிமையாகச் செய்யலாம். கருதுகோள்களை கருத்தில் கொள்வோம் H 1 - கோட் ஆஃப் ஆர்ம்ஸ் முதல் முறையாக விழுந்தது, H 2 - கோட் ஆஃப் ஆர்ம்ஸ் முதல் முறையாக விழவில்லை. வெளிப்படையாக, p(H 1) = p(H 2) = ½; Mx / N 1 = 1;
Mx / N 2 என்பது விரும்பிய முழு எதிர்பார்ப்பை விட 1 அதிகம், ஏனெனில் நாணயத்தின் முதல் டாஸில் நிலைமை மாறவில்லை, ஆனால் அது ஏற்கனவே ஒரு முறை தூக்கி எறியப்பட்டது. மொத்த கணித எதிர்பார்ப்புக்கான சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்தி, சமன்பாட்டைத் தீர்க்கும் Мх = Мx / Н 1 ×р(Н 1) + Мx / Н 2 ×р(Н 2) = 1 × 0.5 + (Мх + 1) × 0.5 Мх க்கு, நாங்கள் உடனடியாக Mx = 2 ஐப் பெறுகிறோம்.

இ. f(x) என்பது ஒரு சீரற்ற மாறி x இன் செயல்பாடாக இருந்தால், ஒரு சீரற்ற மாறியின் செயல்பாட்டின் கணித எதிர்பார்ப்பு என்ற கருத்து வரையறுக்கப்படுகிறது:

தனித்த சீரற்ற மாறிக்கு: ;   (6.8)

சீரற்ற மாறி எடுக்கும் அனைத்து மதிப்புகளின் மீதும் தொகை எடுக்கப்படுகிறது. தொடர் முற்றிலும் ஒன்றிணைந்ததாக இருக்க வேண்டும்.

தொடர்ச்சியான சீரற்ற மாறிக்கு: ;   (6.9)

ஒருங்கிணைப்பு முற்றிலும் ஒன்றிணைந்ததாக இருக்க வேண்டும்.

2. சீரற்ற மாறியின் மாறுபாடு
வரையறை:
ஒரு சீரற்ற மாறி x இன் மாறுபாடு என்பது அதன் கணித எதிர்பார்ப்பிலிருந்து மதிப்பின் மதிப்பின் வர்க்க விலகலின் கணித எதிர்பார்ப்பு ஆகும்: Dx = M(x-Mx) 2

தனித்த சீரற்ற மாறிக்கு: ;   (6.10)

சீரற்ற மாறி எடுக்கும் அனைத்து மதிப்புகளின் மீதும் தொகை எடுக்கப்படுகிறது. தொடர் ஒன்றிணைந்ததாக இருக்க வேண்டும் (இல்லையெனில் சீரற்ற மாறிக்கு மாறுபாடு இல்லை என்று கூறப்படுகிறது)

தொடர்ச்சியான சீரற்ற மாறிக்கு: ;   (6.11)

ஒருங்கிணைப்பானது ஒன்றிணைந்ததாக இருக்க வேண்டும் (இல்லையெனில் சீரற்ற மாறிக்கு மாறுபாடு இல்லை என்று கூறப்படுகிறது)

சிதறல் பண்புகள்:
அ. C ஒரு நிலையான மதிப்பு என்றால், DC = 0
பி. DСх = С 2 Dх
c. சீரற்ற மாறிகளின் கூட்டுத்தொகையின் மாறுபாடு இந்த மதிப்புகள் சுயாதீனமாக இருந்தால் மட்டுமே அவற்றின் மாறுபாடுகளின் கூட்டுத்தொகைக்கு சமமாக இருக்கும் (சுயாதீன மாறிகளின் வரையறை)
ஈ. மாறுபாட்டைக் கணக்கிட, சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்துவது வசதியானது:

Dx = Mx 2 - (Mx) 2 (6.12)

எண் பண்புகளுக்கு இடையிலான உறவு
மற்றும் வழக்கமான விநியோகங்களின் அளவுருக்கள்

விநியோகம்	விருப்பங்கள்	சூத்திரம்	Mx	Dx
சீருடை	a, b		(b+a) / 2	(b-a) 2/12
சாதாரண	a, σ		அ	σ 2
பெர்னோலி	n,p		என்.பி.	npq
விஷம்	அ		அ	அ

நிகழ்தகவு பரவல் என்பது அளவிடக்கூடிய இடத்தில் நிகழ்தகவு அளவீடு ஆகும்.

W என்பது தன்னிச்சையான இயல்பு மற்றும் வெறுமையற்ற தொகுப்பாக இருக்கட்டும் Ƒ -s- இயற்கணிதம் W இல், அதாவது, W இன் துணைக்குழுக்களின் தொகுப்பு, W தானே, வெற்றுத் தொகுப்பு Æ, மற்றும் அதிகபட்சமாக எண்ணக்கூடிய தொகுப்பு-கோட்பாட்டு செயல்பாடுகளின் கீழ் மூடப்பட்டது (இதன் பொருள் ஏ Î Ƒ தொகுப்பு = W\ ஏமீண்டும் சொந்தமானது Ƒ மற்றும் என்றால் ஏ 1 , ஏ 2,…ஓ Ƒ , அந்த Ƒ மற்றும் Ƒ ) ஜோடி (W, Ƒ ) அளவிடக்கூடிய இடம் என்று அழைக்கப்படுகிறது. எதிர்மறை அல்லாத செயல்பாடு பி( ஏ), அனைவருக்கும் வரையறுக்கப்பட்டுள்ளது ஏ Î Ƒ , ஒரு நிகழ்தகவு அளவீடு, நிகழ்தகவு, P. நிகழ்தகவுகள் அல்லது வெறுமனே P., P(W) = 1 மற்றும் P எண்ணத்தக்க சேர்க்கையாக இருந்தால், அதாவது எந்த வரிசைக்கும் ஏ 1 , ஏ 2,…ஓ Ƒ அதுபோல் ஏ ஐ ∩ ஒரு ஜே= Æ அனைவருக்கும் நான் ¹ ஜே, சமத்துவம் P() = P( ஏ ஐ) மூன்று (W, Ƒ , பி) ஒரு நிகழ்தகவு இடம் என்று அழைக்கப்படுகிறது. நிகழ்தகவு இடம் என்பது A.N ஆல் முன்மொழியப்பட்ட அச்சோமாடிக் நிகழ்தகவு கோட்பாட்டின் அசல் கருத்து. 1930 களின் முற்பகுதியில் கோல்மோகோரோவ்.

ஒவ்வொரு நிகழ்தகவு இடத்திலும் ஒருவர் (உண்மையான) அளவிடக்கூடிய செயல்பாடுகளைக் கருத்தில் கொள்ளலாம் எக்ஸ் = எக்ஸ்(w), wÎW, அதாவது, செயல்பாடுகள் (w: எக்ஸ்(வ)ஓ பி} Î Ƒ எந்த போரல் துணைக்குழுவிற்கும் பிஉண்மையான வரி ஆர். ஒரு செயல்பாட்டின் அளவீடு எக்ஸ்சமமானதாகும் (w: எக்ஸ்(வ)< எக்ஸ்} Î Ƒ எந்த உண்மைக்கும் எக்ஸ். அளவிடக்கூடிய செயல்பாடுகள் சீரற்ற மாறிகள் என்று அழைக்கப்படுகின்றன. ஒவ்வொரு சீரற்ற மாறி எக்ஸ், நிகழ்தகவு இடத்தில் வரையறுக்கப்பட்டது (W, Ƒ , P), P. நிகழ்தகவுகளை உருவாக்குகிறது

பி எக்ஸ் (பி) = பி( எக்ஸ்Î பி) = P((w: எக்ஸ்(வ)ஓ பி}), பி Î Ɓ ,
அளவிடக்கூடிய இடத்தில் ( ஆர், Ɓ ), எங்கே Ɓ ஆர், மற்றும் விநியோக செயல்பாடு

எஃப் எக்ஸ்(எக்ஸ்) = பி( எக்ஸ் < எக்ஸ்) = P((w: எக்ஸ்(வ)< எக்ஸ்}), -¥ < எக்ஸ் <¥,
ஒரு சீரற்ற மாறியின் நிகழ்தகவு நிகழ்தகவு மற்றும் விநியோக செயல்பாடு என்று அழைக்கப்படுகின்றன எக்ஸ்.

விநியோக செயல்பாடு எஃப்எந்த சீரற்ற மாறியும் பண்புகளைக் கொண்டுள்ளது

1. எஃப்(எக்ஸ்) குறையாத,

2. எஃப்(- ¥) = 0, எஃப்(¥) = 1,

3. எஃப்(எக்ஸ்) ஒவ்வொரு புள்ளியிலும் தொடர்ந்து விடப்படுகிறது எக்ஸ்.

சில நேரங்களில் விநியோக செயல்பாட்டின் வரையறையில் சமத்துவமின்மை< заменяется неравенством £; в этом случае функция распределения является непрерывной справа. В содержательных утверждениях теории вероятностей не важно, непрерывна функция распределения слева или справа, важны лишь положения ее точек разрыва எக்ஸ்(ஏதேனும் இருந்தால்) மற்றும் அதிகரிப்பு அளவுகள் எஃப்(எக்ஸ்+0) - எஃப்(எக்ஸ்-0) இந்த புள்ளிகளில்; என்றால் எஃப் எக்ஸ், இந்த அதிகரிப்பு P( எக்ஸ் = எக்ஸ்).

எந்த செயல்பாடும் எஃப், பண்புகளை கொண்ட 1. - 3. ஒரு பரவல் செயல்பாடு என்று அழைக்கப்படுகிறது. விநியோகங்களுக்கு இடையிலான கடித தொடர்பு ( ஆர், Ɓ ) மற்றும் விநியோக செயல்பாடுகள் ஒன்றுக்கு ஒன்று. எந்த ஆர். பிஅன்று ( ஆர், Ɓ ) அதன் விநியோக செயல்பாடு சமத்துவத்தால் தீர்மானிக்கப்படுகிறது எஃப்(எக்ஸ்) = பி((-¥, எக்ஸ்)), -¥ < எக்ஸ் <¥, а для любой функции распределения எஃப்அதற்கு இணையான ஆர். பிஇயற்கணிதம் £ தொகுப்புகளின் வரையறுக்கப்பட்ட எண்ணிக்கையிலான இடைநிலை இடைவெளிகள் செயல்பாட்டின் தொழிற்சங்கங்களைக் கொண்டுள்ளது. எஃப் 1 (எக்ஸ்) 0 முதல் 1 வரை நேர்கோட்டில் அதிகரிக்கிறது. செயல்பாட்டை உருவாக்க எஃப் 2 (எக்ஸ்) பிரிவு பிரிவு , இடைவெளி (1/3, 2/3) மற்றும் பிரிவு . செயல்பாடு எஃப் 2 (எக்ஸ்) இடைவெளியில் (1/3, 2/3) 1/2 க்கு சமம் மற்றும் 0 முதல் 1/2 வரை மற்றும் பிரிவுகளில் 1/2 முதல் 1 வரை நேர்கோட்டில் அதிகரிக்கிறது. இந்த செயல்முறை தொடர்கிறது மற்றும் செயல்பாடு Fnபின்வரும் செயல்பாடு மாற்றத்தைப் பயன்படுத்தி +1 பெறப்படுகிறது Fn, n³ 2. செயல்பாடு இருக்கும் இடைவெளியில் Fn(எக்ஸ்) நிலையானது, Fn +1 (எக்ஸ்) உடன் ஒத்துப்போகிறது Fn(எக்ஸ்) செயல்படும் ஒவ்வொரு பிரிவும் Fn(எக்ஸ்) இருந்து நேர்கோட்டில் அதிகரிக்கிறது அமுன் பி, பிரிவு , இடைவெளி (a + (a - b)/3, a + 2(b - a)/3) மற்றும் பிரிவு . குறிப்பிட்ட இடைவெளியில் Fn +1 (எக்ஸ்) சமம் ( அ + பி)/2, மற்றும் சுட்டிக்காட்டப்பட்ட பிரிவுகளில் Fn +1 (எக்ஸ்) இருந்து நேர்கோட்டில் அதிகரிக்கிறது அமுன் ( அ + பி)/2 மற்றும் இருந்து ( அ + பி)/2 முதல் பிமுறையே. ஒவ்வொரு 0 £க்கும் எக்ஸ்£1 வரிசை Fn(எக்ஸ்), n= 1, 2,..., சில எண்ணுடன் ஒன்றிணைகிறது எஃப்(எக்ஸ்) விநியோக செயல்பாடுகளின் வரிசை Fn, n= 1, 2,..., சமநிலையானது, எனவே வரம்பு விநியோக செயல்பாடு எஃப்(எக்ஸ்) தொடர்ச்சியாக உள்ளது. இந்தச் சார்பு கணக்கிடக்கூடிய இடைவெளிகளின் தொகுப்பில் நிலையானது (செயல்பாட்டின் மதிப்புகள் வெவ்வேறு இடைவெளிகளில் வேறுபட்டவை), அதில் வளர்ச்சிப் புள்ளிகள் இல்லை, மேலும் இந்த இடைவெளிகளின் மொத்த நீளம் 1. எனவே, லெபெஸ்கு அளவீடு சப் அமைக்கவும் எஃப்பூஜ்ஜியத்திற்கு சமம், அதாவது எஃப்ஒருமை.

ஒவ்வொரு விநியோகச் செயல்பாட்டையும் இவ்வாறு குறிப்பிடலாம்

எஃப்(எக்ஸ்) = பஏசி எஃப்ஏசி ( எக்ஸ்) + பஈ எஃப்ஈ ( எக்ஸ்) + பகள் எஃப்கள் ( எக்ஸ்),
எங்கே எஃப்ஏசி, எஃப் d மற்றும் எஃப் s என்பது முற்றிலும் தொடர்ச்சியான, தனித்துவமான மற்றும் ஒருமைப் பரவல் செயல்பாடுகள் மற்றும் எதிர்மறை எண்களின் கூட்டுத்தொகை பஏசி, ப d மற்றும் p s ஒன்றுக்கு சமம். இந்த பிரதிநிதித்துவம் Lebesgue விரிவாக்கம் மற்றும் செயல்பாடுகள் என்று அழைக்கப்படுகிறது எஃப்ஏசி, எஃப் d மற்றும் எஃப் s - சிதைவின் கூறுகள்.

விநியோக செயல்பாடு சமச்சீர் என்றால் என்று அழைக்கப்படுகிறது எஃப்(-எக்ஸ்) = 1 - எஃப்(எக்ஸ்+ 0) க்கு
எக்ஸ்> 0. ஒரு சமச்சீர் பரவல் சார்பு முற்றிலும் தொடர்ச்சியாக இருந்தால், அதன் அடர்த்தி சமச் சார்பு ஆகும். சீரற்ற மாறி என்றால் எக்ஸ்ஒரு சமச்சீர் விநியோகம் உள்ளது, பின்னர் சீரற்ற மாறிகள் எக்ஸ்மற்றும் - எக்ஸ்சமமாக விநியோகிக்கப்படுகிறது. சமச்சீர் விநியோக செயல்பாடு என்றால் எஃப்(எக்ஸ்) பூஜ்ஜியத்தில் தொடர்ந்து இருக்கும் எஃப்(0) = 1/2.

நிகழ்தகவு கோட்பாட்டில் பெரும்பாலும் பயன்படுத்தப்படும் முற்றிலும் தொடர்ச்சியான விதிகளில் ஒரே மாதிரியான விதிகள், சாதாரண விதிகள் (காஸ் விதிகள்), அதிவேக விதிகள் மற்றும் கௌச்சி விதிகள் ஆகியவை அடங்கும்.

R. இடைவெளியில் சீரானதாக அழைக்கப்படுகிறது ( அ, பி) (அல்லது பிரிவில் [ அ, பி], அல்லது இடைவெளியில் [ அ, பி) மற்றும் ( அ, பி]), அதன் அடர்த்தி நிலையானதாக இருந்தால் (மற்றும் 1/(க்கு சமம்) பி - அ)) அன்று ( அ, பி) மற்றும் வெளியே பூஜ்ஜியத்திற்கு சமம் ( அ, பி) பெரும்பாலும், (0, 1) இல் ஒரு சீரான விநியோகம் பயன்படுத்தப்படுகிறது, அதன் விநியோக செயல்பாடு எஃப்(எக்ஸ்) என்பது பூஜ்ஜியத்திற்கு சமம் எக்ஸ்£ 0, ஒன்றுக்கு சமம் எக்ஸ்>1 மற்றும் எஃப்(எக்ஸ்) = எக்ஸ் 0 இல்< எக்ஸ்£ 1. (0, 1) இல் ஒரு சீரான சீரற்ற மாறி ஒரு சீரற்ற மாறியைக் கொண்டுள்ளது எக்ஸ்(w) = w இந்த இடைவெளியின் போரல் துணைக்குழுக்கள் மற்றும் Lebesgue அளவின் ஒரு தொகுப்பு இடைவெளி (0, 1) ஆகியவற்றைக் கொண்ட ஒரு நிகழ்தகவு இடத்தில். இந்த நிகழ்தகவு இடைவெளி "ஒரு புள்ளியை சீரற்ற முறையில் இடைவெளியில் (0, 1) வீசுதல்" என்ற சோதனைக்கு ஒத்திருக்கிறது, இங்கு "சீரற்ற நிலையில்" என்ற வார்த்தையின் பொருள் (0, 1) இலிருந்து அனைத்து புள்ளிகளின் சமத்துவம் ("சம வாய்ப்பு"). நிகழ்தகவு இடத்தில் இருந்தால் (W, Ƒ , பி) ஒரு சீரற்ற மாறி உள்ளது எக்ஸ்ஒரு சீரான விநியோகத்துடன் (0, 1), பின்னர் எந்த விநியோகச் செயல்பாட்டிற்கும் அதன் மீது எஃப்ஒரு சீரற்ற மாறி உள்ளது ஒய், விநியோக செயல்பாடு எஃப் ஒய்உடன் ஒத்துப்போகிறது எஃப். எடுத்துக்காட்டாக, ஒரு சீரற்ற மாறியின் பரவல் செயல்பாடு ஒய் = எஃப் -1 (எக்ஸ்) உடன் ஒத்துப்போகிறது எஃப். இங்கே எஃப் -1 (ஒய்) = inf( எக்ஸ்: எஃப்(எக்ஸ்) > ஒய்}, 0 < ஒய் < 1; если функция எஃப்(எக்ஸ்) முழு உண்மையான வரியிலும் தொடர்ச்சியான மற்றும் கண்டிப்பாக மோனோடோன் ஆகும் எஃப்-1 - தலைகீழ் செயல்பாடு எஃப்.

அளவுருக்கள் கொண்ட இயல்பான R. ( அ, s 2), -¥< அ < ¥, s 2 >0, அடர்த்தி கொண்ட R. எனப்படும், -¥< எக்ஸ் < ¥. Чаще всего используется нормальное Р. с параметрами அ= 0 மற்றும் s 2 = 1, இது நிலையான இயல்பான R என்று அழைக்கப்படுகிறது, அதன் விநியோக செயல்பாடு F( எக்ஸ்) அடிப்படை செயல்பாடுகளின் சூப்பர்போசிஷன்கள் மூலம் வெளிப்படுத்தப்படவில்லை மற்றும் அதன் ஒருங்கிணைந்த பிரதிநிதித்துவத்தை நாம் பயன்படுத்த வேண்டும் F( எக்ஸ்) =, -¥ < எக்ஸ் < ¥. Для фунции распределения F(எக்ஸ்) நவீனத்திற்கு முன் தேவையான விரிவான அட்டவணைகள் தொகுக்கப்பட்டன கணினி பொறியியல்(செயல்பாட்டு மதிப்புகள் F( எக்ஸ்) சிறப்பு அட்டவணைகளைப் பயன்படுத்தியும் பெறலாம். செயல்பாடுகள் erf( எக்ஸ்)), மதிப்புகள் F( எக்ஸ்) க்கு எக்ஸ்> 0 தொடரின் கூட்டுத்தொகையைப் பயன்படுத்தி பெறலாம்

,
மற்றும் எக்ஸ் < 0 можно воспользоваться симметричностью F(எக்ஸ்) அளவுருக்கள் கொண்ட இயல்பான விநியோக செயல்பாடு மதிப்புகள் அமற்றும் s 2 ஆனது F((( எக்ஸ் - அ)/கள்). என்றால் எக்ஸ் 1 மற்றும் எக்ஸ் 2 சுயாதீனமானது பொதுவாக அளவுருக்களுடன் விநியோகிக்கப்படுகிறது அ 1, கள் 1 2 மற்றும் அ 2 , s 2 2 சீரற்ற மாறிகள், பின்னர் அவற்றின் கூட்டுத்தொகையின் பரவல் எக்ஸ் 1 + எக்ஸ் 2 அளவுருக்களுடன் சரி அ= அ 1 + அ 2 மற்றும் s 2 = s 1 2 + s 2 2 . கூற்றும் உண்மை, ஒரு வகையில், எதிர்: ஒரு சீரற்ற மாறி என்றால் எக்ஸ்பொதுவாக அளவுருக்களுடன் விநியோகிக்கப்படுகிறது அமற்றும் கள் 2 மற்றும்
எக்ஸ் = எக்ஸ் 1 + எக்ஸ் 2 எங்கே எக்ஸ் 1 மற்றும் எக்ஸ் 2 என்பது மாறிலிகளைத் தவிர வேறு சுயாதீனமான சீரற்ற மாறிகள் எக்ஸ் 1 மற்றும் எக்ஸ் 2 சாதாரண விநியோகங்களைக் கொண்டுள்ளது (கிராமர் தேற்றம்). விருப்பங்கள் அ 1, கள் 1 2 மற்றும் அசாதாரண சீரற்ற மாறிகளின் 2, s 2 2 விநியோகங்கள் எக்ஸ் 1 மற்றும் எக்ஸ் 2 தொடர்புடையது அமற்றும் s 2 மேலே கொடுக்கப்பட்ட சமத்துவங்கள் மூலம். நிலையான இயல்பான விநியோகம் என்பது மத்திய வரம்பு தேற்றத்தில் ஒரு வரம்பு.

அதிவேகப் பரவல் என்பது அடர்த்தியுடன் கூடிய பரவலாகும் ப(எக்ஸ்) = 0 மணிக்கு எக்ஸ் < 0 и ப(எக்ஸ்) = எல் இ- எல் எக்ஸ்மணிக்கு எக்ஸ்³ 0, இதில் l > 0 என்பது ஒரு அளவுரு, அதன் பரவல் செயல்பாடு எஃப்(எக்ஸ்) = 0 மணிக்கு எக்ஸ்£0 மற்றும் எஃப்(எக்ஸ்) = 1 - இ- எல் எக்ஸ்மணிக்கு எக்ஸ்> 0 (சில நேரங்களில் அதிவேக அளவுருக்கள் பயன்படுத்தப்படுகின்றன, அவை உண்மையான அச்சில் ஒரு மாற்றத்தால் சுட்டிக்காட்டப்பட்ட ஒன்றிலிருந்து வேறுபடுகின்றன). இந்த R. இல் பின்விளைவு இல்லாதது எனப்படும் ஒரு பண்பு உள்ளது: என்றால் எக்ஸ்அதிவேக R. உடன் சீரற்ற மாறி, பின்னர் எந்த நேர்மறைக்கும் எக்ஸ்மற்றும் டி

பி( எக்ஸ் > எக்ஸ் + டி | எக்ஸ் > எக்ஸ்) = பி( எக்ஸ் > டி).
என்றால் எக்ஸ்சில சாதனங்கள் செயலிழப்பதற்கு முன் செயல்படும் நேரமாகும், பின் விளைவு இல்லாதது என்பது, 0-ல் இயக்கப்பட்டிருக்கும் நிகழ்தகவு, அது வரை தோல்வியடையாது. எக்ஸ் + டிஅவர் கணம் வரை மறுக்கவில்லை என்று வழங்கினார் எக்ஸ், சார்ந்து இல்லை எக்ஸ். இந்த சொத்து "வயதான" இல்லாததாக விளக்கப்படுகிறது. பின்விளைவு இல்லாதது அதிவேக விநியோகத்தின் ஒரு சிறப்பியல்பு பண்பு: முற்றிலும் தொடர்ச்சியான விநியோகங்களின் வகுப்பில், மேலே உள்ள சமத்துவம் அதிவேக விநியோகத்திற்கு மட்டுமே செல்லுபடியாகும் (சில அளவுரு l > 0 உடன்). அதிவேக R. குறைந்தபட்ச திட்டத்தில் வரம்பு R. ஆக தோன்றுகிறது. விடுங்கள் எக்ஸ் 1 , எக்ஸ் 2 ,… - எதிர்மறை அல்லாத சுயாதீன ஒரே மாதிரியாக விநியோகிக்கப்படும் சீரற்ற மாறிகள் மற்றும் அவற்றின் பொதுவான விநியோக செயல்பாடு எஃப்புள்ளி 0 என்பது வளர்ச்சி புள்ளி. பின்னர் மணிக்கு nசீரற்ற மாறிகளின் ®¥ விநியோகங்கள் ஒய்n= நிமிடம்( எக்ஸ் 1 ,…, Xn) ஒற்றை வளர்ச்சிப் புள்ளி 0 உடன் பலவீனமாக ஒரு சீரழிந்த விநியோகத்திற்கு ஒன்றிணைகிறது (இது பெரிய எண்களின் சட்டத்தின் அனலாக் ஆகும்). சில e > 0 விநியோகச் செயல்பாடு என்று நாம் கூடுதலாகக் கருதினால் எஃப்(எக்ஸ்) இடைவெளியில் (0, e) பிரதிநிதித்துவத்தை ஒப்புக்கொள்கிறது மற்றும் ப(u)®l மணிக்கு u¯ 0, பின்னர் சீரற்ற மாறிகளின் விநியோக செயல்பாடுகள் Z n = n நிமிடம்( எக்ஸ் 1 ,…, Xn) மணிக்கு n®¥ முழுவதும் சமமாக -¥< எக்ஸ் < ¥ сходятся к экспоненциальной функции распределения с параметром l (это - аналог центральной предельной теоремы).

R. Cauchy அடர்த்தியுடன் R. என்று அழைக்கப்படுகிறது ப(எக்ஸ்) = 1/(p(1 + எக்ஸ் 2)), -¥< எக்ஸ் < ¥, его функция рас-пределения எஃப்(எக்ஸ்) = (arctg எக்ஸ்+ ப/2)/ப. பின்வரும் சிக்கலின் தீர்வு தொடர்பாக 1832 இல் எஸ். பாய்சனின் படைப்பில் இந்த ஆர். தோன்றியது: சுயாதீனமான ஒரே மாதிரியான சீரற்ற மாறிகள் உள்ளனவா? எக்ஸ் 1 , எக்ஸ் 2 ,... எண்கணிதம் என்றால் ( எக்ஸ் 1 + … + Xn)/nஒவ்வொரு முறை nசீரற்ற மாறிகள் ஒவ்வொன்றின் அதே R எக்ஸ் 1 , எக்ஸ் 2 ,...? S. Poisson குறிப்பிட்ட அடர்த்தி கொண்ட சீரற்ற மாறிகள் இந்தப் பண்புகளைக் கொண்டுள்ளன என்பதைக் கண்டுபிடித்தார். இந்த சீரற்ற மாறிகளுக்கு, பெரிய எண்களின் விதியின் அறிக்கை இல்லை, இதில் எண்கணிதம் பொருள் ( எக்ஸ் 1 +…+ Xn)/nவளர்ச்சியுடன் nசீரழியும். இருப்பினும், இது பெரிய எண்களின் சட்டத்திற்கு முரணாக இல்லை, ஏனெனில் இது குறிப்பிட்ட விநியோகத்திற்கு திருப்தியடையாத அசல் சீரற்ற மாறிகளின் விநியோகங்களுக்கு கட்டுப்பாடுகளை விதிக்கிறது (இந்த விநியோகத்திற்கு ஒற்றுமையை விட குறைவான அனைத்து நேர்மறை ஆர்டர்களின் முழுமையான தருணங்கள் உள்ளன, ஆனால் கணித எதிர்பார்ப்பு இல்லை) . ஓ. கௌச்சியின் படைப்புகளில், ஆர்., அவரது பெயரைத் தாங்கி, 1853 இல் தோன்றினார். ஆர். கௌச்சி தொடர்புடையவர் எக்ஸ்/ஒய்நிலையான சாதாரண P உடன் சுயாதீன சீரற்ற மாறிகள்.

நிகழ்தகவுக் கோட்பாட்டில் பெரும்பாலும் பயன்படுத்தப்படும் தனித்த மாறிகளில் ஆர். பெர்னௌல்லி, பைனோமியல் ஆர். மற்றும் ஆர். பாய்சன்.

R. பெர்னோலி எந்த விநியோகத்தையும் இரண்டு வளர்ச்சிப் புள்ளிகளுடன் அழைக்கிறார். பொதுவாகப் பயன்படுத்தப்படும் சீரற்ற மாறி R ஆகும். எக்ஸ், நிகழ்தகவுகளுடன் 0 மற்றும் 1 மதிப்புகளை எடுத்துக்கொள்வது
கே = 1 - பமற்றும் பமுறையே, எங்கே 0< ப < 1 - параметр. Первые формы закона больших чисел и центральной предельной теоремы были получены для случайных величин, имею-щих Р. Бернулли. Если на вероятностном пространстве (W, Ƒ , பி) ஒரு வரிசை உள்ளது எக்ஸ் 1 , எக்ஸ் 2,... 1/2 நிகழ்தகவுகளுடன் 0 மற்றும் 1 மதிப்புகளை எடுக்கும் சுயாதீன சீரற்ற மாறிகள், பின்னர் இந்த நிகழ்தகவு இடத்தில் சீரான R இல் (0, 1) ஒரு சீரற்ற மாறி உள்ளது. குறிப்பாக, சீரற்ற மாறி (0, 1) இல் சீரான விநியோகத்தைக் கொண்டுள்ளது.

அளவுருக்கள் கொண்ட பைனோமியல் ஆர் nமற்றும் ப, n- இயற்கை, 0< ப < 1, называется Р., с точками роста 0, 1,..., n, இதில் நிகழ்தகவுகள் குவிந்துள்ளன C n k p k q n-கே, கே = 0, 1,…, n,
கே = 1 - ப. இது ஆர். தொகை nவளர்ச்சிப் புள்ளிகள் 0 மற்றும் 1 உடன் R. பெர்னௌல்லி கொண்ட சுயாதீன சீரற்ற மாறிகள், இதில் நிகழ்தகவுகள் குவிந்துள்ளன கேமற்றும் ப. இந்த விநியோகம் பற்றிய ஆய்வு ஜே. பெர்னௌலியை பெரிய எண்களின் விதியைக் கண்டுபிடிப்பதற்கும், ஏ. மொய்வ்ரே மத்திய வரம்பு தேற்றத்தைக் கண்டுபிடிப்பதற்கும் வழிவகுத்தது.

ஒரு பாய்சன் சூத்திரம் ஒரு சூத்திரம் என்று அழைக்கப்படுகிறது, அதன் ஆதரவு புள்ளிகள் 0, 1,..., இதில் நிகழ்தகவுகள் l குவிந்திருக்கும் கே இ-எல்/ கே!, கே= 0, 1,..., இங்கு l > 0 என்பது ஒரு அளவுரு. L மற்றும் m அளவுருக்கள் கொண்ட R. Poisson ஐக் கொண்ட இரண்டு சார்பற்ற சீரற்ற மாறிகளின் கூட்டுத்தொகை மீண்டும் l + m அளவுருவுடன் R. Poisson ஐக் கொண்டுள்ளது. R. Poisson என்பது அளவுருக்கள் கொண்ட R. பெர்னூலிக்கான வரம்பு nமற்றும் ப = ப(n) மணிக்கு n®¥ என்றால் nமற்றும் பஉறவால் தொடர்புடையது என்.பி.®l மணிக்கு n®¥ (பாய்சன் தேற்றம்). வரிசை 0 என்றால்< டி 1 < டி 2 < டி 3 <… есть последовательность моментов времени, в которые происходят некоторые события (так. наз поток событий) и величины டி 1 , டி 2 -டி 1 , டி 3 - டி 2 ,... இவை சுயாதீனமான ஒரே மாதிரியாக விநியோகிக்கப்படும் சீரற்ற மாறிகள் மற்றும் அவற்றின் பொதுவான R. அளவுரு l > 0 உடன் அதிவேகமாகும், பின்னர் சீரற்ற மாறி Xt, இடைவெளியில் நிகழ்ந்த நிகழ்வுகளின் எண்ணிக்கைக்கு சமம் (0, டி), அளவுருவுடன் R. Poisson உள்ளது.l டி(அத்தகைய ஓட்டம் பாய்சன் என்று அழைக்கப்படுகிறது).

R இன் கருத்து பல பொதுமைப்படுத்தல்களைக் கொண்டுள்ளது; குறிப்பாக, இது பல பரிமாண வழக்குகள் மற்றும் இயற்கணித கட்டமைப்புகள் வரை நீண்டுள்ளது.

பைனோமியல் விநியோகம் என்பது தனித்தனியாக மாறுபடும் சீரற்ற மாறியின் மிக முக்கியமான நிகழ்தகவு விநியோகங்களில் ஒன்றாகும். ஈருறுப்புப் பரவல் என்பது எண்ணின் நிகழ்தகவுப் பரவல் ஆகும் மீஒரு நிகழ்வின் நிகழ்வு ஏவி nபரஸ்பர சுதந்திரமான அவதானிப்புகள். பெரும்பாலும் ஒரு நிகழ்வு ஏஒரு அவதானிப்பின் "வெற்றி" என்றும், எதிர் நிகழ்வு "தோல்வி" என்றும் அழைக்கப்படுகிறது, ஆனால் இந்த பதவி மிகவும் நிபந்தனைக்குட்பட்டது.

இருபக்க விநியோக நிலைமைகள்:

• மொத்தமாக மேற்கொள்ளப்பட்டது nசோதனைகள் இதில் நிகழ்வு ஏநிகழலாம் அல்லது ஏற்படாமல் போகலாம்;
• நிகழ்வு ஏஒவ்வொரு சோதனையிலும் ஒரே நிகழ்தகவுடன் நிகழலாம் ப;
• சோதனைகள் பரஸ்பரம் சுயாதீனமானவை.

உள்ள நிகழ்தகவு nசோதனை நிகழ்வு ஏஅது சரியாக வரும் மீபெர்னோலியின் சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்தி நேரங்களைக் கணக்கிடலாம்:

,

எங்கே ப- ஒரு நிகழ்வின் நிகழ்தகவு ஏ;

கே = 1 - ப- எதிர் நிகழ்வின் நிகழ்தகவு.

அதை கண்டுபிடிக்கலாம் மேலே விவரிக்கப்பட்ட முறையில் பெர்னௌலியின் சூத்திரத்துடன் ஏன் பைனோமியல் விநியோகம் தொடர்புடையது? . நிகழ்வு - வெற்றிகளின் எண்ணிக்கை nசோதனைகள் பல விருப்பங்களாக பிரிக்கப்பட்டுள்ளன, ஒவ்வொன்றிலும் வெற்றி அடையப்படுகிறது மீசோதனைகள், மற்றும் தோல்வி - இல் n - மீசோதனைகள். இந்த விருப்பங்களில் ஒன்றைக் கருத்தில் கொள்வோம் - பி1 . நிகழ்தகவுகளைச் சேர்ப்பதற்கான விதியைப் பயன்படுத்தி, எதிர் நிகழ்வுகளின் நிகழ்தகவுகளைப் பெருக்குகிறோம்:

,

மற்றும் நாம் குறிப்பிட்டால் கே = 1 - ப, அந்த

.

இதில் வேறு ஏதேனும் விருப்பம் மீவெற்றி மற்றும் n - மீதோல்விகள். அத்தகைய விருப்பங்களின் எண்ணிக்கை, ஒருவர் செய்யக்கூடிய வழிகளின் எண்ணிக்கைக்கு சமம் nசோதனை கிடைக்கும் மீவெற்றி.

அனைத்து நிகழ்தகவுகளின் கூட்டுத்தொகை மீநிகழ்வு எண்கள் ஏ(0 முதல் எண்கள் n) ஒன்றுக்கு சமம்:

ஒவ்வொரு சொல்லும் நியூட்டனின் இருபக்கத்தில் ஒரு சொல்லைக் குறிக்கிறது. எனவே, பரிசீலனையில் உள்ள விநியோகம் ஈருறுப்பு விநியோகம் என்று அழைக்கப்படுகிறது.

நடைமுறையில், நிகழ்தகவுகளை கணக்கிடுவது பெரும்பாலும் அவசியம் "அதற்கு மேல் இல்லை மீவெற்றி nசோதனைகள்" அல்லது "குறைந்தது மீவெற்றி nசோதனைகள்". இதற்கு பின்வரும் சூத்திரங்கள் பயன்படுத்தப்படுகின்றன.

ஒருங்கிணைந்த செயல்பாடு, அதாவது நிகழ்தகவு எஃப்(மீ) என்ன இருக்கிறது nகண்காணிப்பு நிகழ்வு ஏஇனி வராது மீஒருமுறை, சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்தி கணக்கிடலாம்:

அதன் திருப்பத்தில் நிகழ்தகவு எஃப்(≥மீ) என்ன இருக்கிறது nகண்காணிப்பு நிகழ்வு ஏகுறையாமல் வரும் மீஒருமுறை, சூத்திரத்தால் கணக்கிடப்படுகிறது:

சில நேரங்களில் நிகழ்தகவைக் கணக்கிடுவது மிகவும் வசதியானது nகண்காணிப்பு நிகழ்வு ஏஇனி வராது மீநேரங்கள், எதிர் நிகழ்வின் நிகழ்தகவு மூலம்:

.

எந்தச் சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்துவது என்பது அவற்றில் எது குறைவான சொற்களைக் கொண்டுள்ளது என்பதைப் பொறுத்தது.

பின்வரும் சூத்திரங்களைப் பயன்படுத்தி பைனோமியல் விநியோகத்தின் பண்புகள் கணக்கிடப்படுகின்றன .

எதிர்பார்க்கப்படும் மதிப்பு: .

சிதறல்:.

நிலையான விலகல்: .

MS Excel இல் பைனோமியல் விநியோகம் மற்றும் கணக்கீடுகள்

ஈருறுப்பு நிகழ்தகவு பி n( மீ) மற்றும் ஒருங்கிணைந்த செயல்பாட்டின் மதிப்புகள் எஃப்(மீ) MS Excel செயல்பாடு BINOM.DIST ஐப் பயன்படுத்தி கணக்கிடலாம். தொடர்புடைய கணக்கீட்டிற்கான சாளரம் கீழே காட்டப்பட்டுள்ளது (பெரிதாக்க இடது கிளிக் செய்யவும்).

MS Excel நீங்கள் பின்வரும் தரவை உள்ளிட வேண்டும்:

• வெற்றிகளின் எண்ணிக்கை;
• சோதனைகளின் எண்ணிக்கை;
• வெற்றி நிகழ்தகவு;
• integral - தருக்க மதிப்பு: 0 - நீங்கள் நிகழ்தகவைக் கணக்கிட வேண்டும் என்றால் பி n( மீ) மற்றும் 1 - நிகழ்தகவு என்றால் எஃப்(மீ).

எடுத்துக்காட்டு 1.கடந்த 100 நாட்களில் விற்பனை செய்யப்பட்ட கேமராக்களின் எண்ணிக்கை குறித்த தகவலை நிறுவன மேலாளர் சுருக்கமாகக் கூறினார். அட்டவணை தகவலைச் சுருக்கி, ஒரு நாளைக்கு ஒரு குறிப்பிட்ட எண்ணிக்கையிலான கேமராக்கள் விற்கப்படும் நிகழ்தகவுகளைக் கணக்கிடுகிறது.

13 அல்லது அதற்கு மேற்பட்ட கேமராக்கள் விற்கப்பட்டால் நாள் லாபத்துடன் முடிகிறது. நாள் லாபகரமாக செயல்படும் நிகழ்தகவு:

ஒரு நாள் லாபம் இல்லாமல் வேலை செய்யும் நிகழ்தகவு:

ஒரு நாள் லாபத்துடன் வேலை செய்யும் நிகழ்தகவு நிலையானதாகவும் 0.61 க்கு சமமாகவும் இருக்கட்டும், மேலும் ஒரு நாளைக்கு விற்கப்படும் கேமராக்களின் எண்ணிக்கை அந்த நாளைப் பொறுத்தது அல்ல. பின் நாம் நிகழ்வின் இடத்தில் இருசொல் விநியோகத்தைப் பயன்படுத்தலாம் ஏ- நாள் லாபத்துடன் வேலை செய்யும், - லாபம் இல்லாமல்.

அனைத்து 6 நாட்களும் லாபத்துடன் செயல்படுவதற்கான நிகழ்தகவு:

.

MS Excel செயல்பாடு BINOM.DIST ஐப் பயன்படுத்தி அதே முடிவைப் பெறுவோம் (ஒருங்கிணைந்த மதிப்பின் மதிப்பு 0):

பி 6 (6 ) = BINOM.DIST(6; 6; 0.61; 0) = 0.052.

6 நாட்களில் 4 அல்லது அதற்கு மேற்பட்ட நாட்கள் லாபத்துடன் வேலை செய்யும் நிகழ்தகவு:

எங்கே ,

,

MS Excel செயல்பாடு BINOM.DIST ஐப் பயன்படுத்தி, 6 நாட்களில் 3 நாட்களுக்கு மேல் லாபத்துடன் முடிவடையும் நிகழ்தகவைக் கணக்கிடுகிறோம் (ஒருங்கிணைந்த மதிப்பின் மதிப்பு 1):

பி 6 (≤3 ) = BINOM.DIST(3; 6; 0.61; 1) = 0.435.

அனைத்து 6 நாட்களும் இழப்புகளுடன் வேலை செய்யும் நிகழ்தகவு:

,

MS Excel செயல்பாடு BINOM.DIST ஐப் பயன்படுத்தி அதே குறிகாட்டியை நாம் கணக்கிடலாம்:

பி 6 (0 ) = BINOM.DIST(0; 6; 0.61; 0) = 0.0035.

பிரச்சனையை நீங்களே தீர்த்து கொள்ளுங்கள், பிறகு தீர்வைப் பாருங்கள்

எடுத்துக்காட்டு 2.கலசத்தில் 2 வெள்ளை பந்துகளும், 3 கருப்பு பந்துகளும் உள்ளன. கலசத்திலிருந்து ஒரு பந்து எடுக்கப்பட்டு, வண்ணம் அமைக்கப்பட்டு மீண்டும் வைக்கப்படுகிறது. முயற்சி 5 முறை மீண்டும் மீண்டும் செய்யப்படுகிறது. வெள்ளைப் பந்துகளின் நிகழ்வுகளின் எண்ணிக்கை தனித்த சீரற்ற மாறியாகும் எக்ஸ், பினாமி சட்டத்தின் படி விநியோகிக்கப்படுகிறது. சீரற்ற மாறியின் விநியோக விதியை வரையவும். முறை, கணித எதிர்பார்ப்பு மற்றும் சிதறல் ஆகியவற்றை வரையறுக்கவும்.

தொடர்ந்து ஒன்றாக பிரச்சனைகளை தீர்ப்போம்

எடுத்துக்காட்டு 3.இருந்து கூரியர் சேவைதளங்களுக்கு சென்றார் n= 5 கூரியர்கள். ஒவ்வொரு கூரியரும் வாய்ப்பு உள்ளது ப= 0.3, மற்றவர்களைப் பொருட்படுத்தாமல், பொருளுக்கு தாமதமாகிறது. தனித்த சீரற்ற மாறி எக்ஸ்- தாமதமான கூரியர்களின் எண்ணிக்கை. இந்த சீரற்ற மாறிக்கான விநியோகத் தொடரை உருவாக்கவும். அதன் கணித எதிர்பார்ப்பு, மாறுபாடு, நிலையான விலகல் ஆகியவற்றைக் கண்டறியவும். பொருள்களுக்கு குறைந்தது இரண்டு கூரியர்கள் தாமதமாக வருவதற்கான நிகழ்தகவைக் கண்டறியவும்.

அவற்றின் கவர்ச்சியான பெயர்கள் இருந்தபோதிலும், பொதுவான விநியோகங்கள் உள்ளுணர்வு மற்றும் சுவாரஸ்யமான வழிகளில் ஒருவருக்கொருவர் தொடர்புபடுத்துகின்றன, அவை நினைவில் வைத்துக்கொள்ளவும் நம்பிக்கையுடன் பகுத்தறிவை எளிதாக்கவும் செய்கின்றன. சிலர் இயற்கையாகவே பின்பற்றுகிறார்கள், உதாரணமாக, பெர்னௌலி விநியோகத்திலிருந்து. இந்த இணைப்புகளின் வரைபடத்தைக் காண்பிக்கும் நேரம்.

ஒவ்வொரு விநியோகமும் அதன் விநியோக அடர்த்தி செயல்பாட்டின் (DFF) எடுத்துக்காட்டு மூலம் விளக்கப்படுகிறது. இந்தக் கட்டுரை ஒற்றை எண்களாக இருக்கும் விநியோகங்களைப் பற்றியது. எனவே, ஒவ்வொரு வரைபடத்தின் கிடைமட்ட அச்சும் சாத்தியமான விளைவு எண்களின் தொகுப்பாகும். செங்குத்து - ஒவ்வொரு முடிவின் நிகழ்தகவு. சில விநியோகங்கள் தனித்தன்மை வாய்ந்தவை - அவற்றின் முடிவுகள் 0 அல்லது 5 போன்ற முழு எண்களாக இருக்க வேண்டும். அரிதான கோடுகள், ஒவ்வொரு முடிவுக்கும் ஒன்று, கொடுக்கப்பட்ட முடிவின் நிகழ்தகவுடன் தொடர்புடைய உயரத்துடன். சில தொடர்ச்சியானவை, அவற்றின் முடிவுகள் -1.32 அல்லது 0.005 போன்ற எந்த எண் மதிப்பையும் பெறலாம். இவை நிகழ்தகவுகளைக் கொடுக்கும் வளைவின் பிரிவுகளின் கீழ் பகுதிகளுடன் அடர்த்தியான வளைவுகளாகக் காட்டப்படுகின்றன. கோடுகள் மற்றும் வளைவுகளின் கீழ் உள்ள பகுதிகளின் உயரங்களின் கூட்டுத்தொகை எப்போதும் 1 ஆகும்.

அதை அச்சிட்டு, புள்ளியிடப்பட்ட கோட்டுடன் வெட்டி, உங்கள் பணப்பையில் உங்களுடன் எடுத்துச் செல்லுங்கள். விநியோக நாடு மற்றும் அவர்களின் உறவினர்களுக்கான உங்கள் வழிகாட்டி இது.

பெர்னோலி மற்றும் சீருடை

மேலே உள்ள பெர்னௌல்லி விநியோகத்தை நீங்கள் ஏற்கனவே சந்தித்திருக்கிறீர்கள், இரண்டு முடிவுகளுடன் - தலைகள் அல்லது வால்கள். அதை இப்போது 0 மற்றும் 1க்கு மேல் உள்ள விநியோகமாக கற்பனை செய்து பாருங்கள், 0 என்பது தலைகள், 1 என்பது வால்கள். ஏற்கனவே தெளிவாக உள்ளது போல, இரண்டு விளைவுகளும் சமமாக இருக்கும், மேலும் இது வரைபடத்தில் பிரதிபலிக்கிறது. பெர்னௌல்லி PDF ஆனது சம உயரத்தின் இரண்டு வரிகளைக் கொண்டுள்ளது, இது 2 சமமான சாத்தியமான விளைவுகளைக் குறிக்கிறது: முறையே 0 மற்றும் 1.

பெர்னௌல்லி விநியோகமானது தவறான நாணயத்தைப் புரட்டுவது போன்ற சமமற்ற சாத்தியமான விளைவுகளையும் குறிக்கும். பின்னர் தலைகளின் நிகழ்தகவு 0.5 ஆக இருக்காது, ஆனால் வேறு சில மதிப்பு p, மற்றும் வால்களின் நிகழ்தகவு 1-p ஆக இருக்கும். பல விநியோகங்களைப் போலவே, இதுவும் மேலே உள்ள p போன்ற குறிப்பிட்ட அளவுருக்களால் வரையறுக்கப்பட்ட விநியோகங்களின் முழு குடும்பமாகும். "பெர்னோலி" என்று நீங்கள் நினைக்கும் போது, ​​"ஒரு (ஒருவேளை தவறான) நாணயத்தைத் தூக்கி எறிவது" பற்றி சிந்தியுங்கள்.

இங்கிருந்து பல சமமான சாத்தியமான விளைவுகளின் மேல் விநியோகத்தை பிரதிநிதித்துவப்படுத்துவது மிகச் சிறிய படியாகும்: ஒரு சீரான விநியோகம் ஒரு தட்டையான PDF மூலம் வகைப்படுத்தப்படுகிறது. ஒரு வழக்கமான பகடையை கற்பனை செய்து பாருங்கள். அதன் முடிவுகள் 1-6 சமமாக சாத்தியமாகும். இது எந்த பல விளைவுகளுக்கும் குறிப்பிடப்படலாம் n, மற்றும் தொடர்ச்சியான விநியோகமாகவும் கூட.

சமமான விநியோகத்தை "நேராக இறக்குதல்" என்று நினைத்துப் பாருங்கள்.

பைனோமியல் மற்றும் ஹைபர்ஜியோமெட்ரிக்

பெர்னோலி விநியோகத்தைப் பின்பற்றும் விஷயங்களின் விளைவுகளின் கூட்டுத்தொகையாக இருமொழிப் பரவலைக் கருதலாம்.

ஒரு நியாயமான நாணயத்தை இரண்டு முறை தூக்கி எறியுங்கள் - அது எத்தனை முறை தலைகளாக இருக்கும்? இது ஈருறுப்புப் பரவலைப் பின்பற்றும் எண். அதன் அளவுருக்கள் n, சோதனைகளின் எண்ணிக்கை மற்றும் p - "வெற்றியின்" நிகழ்தகவு (எங்கள் விஷயத்தில், தலைகள் அல்லது 1). ஒவ்வொரு வீசுதலும் பெர்னௌலி-விநியோக முடிவு அல்லது சோதனை. ஒரு நாணயத்தைத் தூக்கி எறிவது போன்ற விஷயங்களில் வெற்றிகளின் எண்ணிக்கையைக் கணக்கிடும் போது, ​​ஒவ்வொரு டாஸும் மற்றவற்றிலிருந்து சுயாதீனமாக இருக்கும் மற்றும் அதே வெற்றிக்கான நிகழ்தகவைக் கொண்டிருக்கும் போது இருசொல் விநியோகத்தைப் பயன்படுத்தவும்.

அல்லது அதே எண்ணிக்கையிலான வெள்ளை மற்றும் கருப்பு பந்துகள் கொண்ட ஒரு கலசத்தை கற்பனை செய்து பாருங்கள். உங்கள் கண்களை மூடி, பந்தை வெளியே எடுத்து, அதன் நிறத்தை எழுதி மீண்டும் வைக்கவும். மீண்டும் செய்யவும். கருப்பு பந்து எத்தனை முறை வரையப்படுகிறது? இந்த எண் இருசொற் பரவலையும் பின்பற்றுகிறது.

ஹைப்பர்ஜியோமெட்ரிக் விநியோகத்தின் பொருளைப் புரிந்துகொள்வதை எளிதாக்க இந்த விசித்திரமான சூழ்நிலையை நாங்கள் வழங்கினோம். இது அதே எண்ணின் விநியோகம், ஆனால் நாம் என்றால் சூழ்நிலையில் இல்லைபந்துகளை திருப்பி அனுப்பினார். இது நிச்சயமாக பைனோமியல் விநியோகத்தின் உறவினர், ஆனால் ஒவ்வொரு பந்திலும் வெற்றியின் நிகழ்தகவு மாறுவதால் ஒரே மாதிரியாக இல்லை. டிராக்களின் எண்ணிக்கையுடன் ஒப்பிடும்போது பந்துகளின் எண்ணிக்கை போதுமானதாக இருந்தால், இந்த விநியோகங்கள் கிட்டத்தட்ட ஒரே மாதிரியாக இருக்கும், ஏனெனில் ஒவ்வொரு டிராவிலும் வெற்றிக்கான வாய்ப்பு மிகவும் சிறிதளவு மாறுகிறது.

உருண்டைகளைத் திருப்பித் தராமல் பந்துகளை வெளியே இழுப்பது பற்றி யாராவது பேசினால், "ஆம், ஹைப்பர்ஜியோமெட்ரிக் விநியோகம்" என்று சொல்வது எப்போதுமே பாதுகாப்பானது, ஏனென்றால் உருண்டைகளை உண்மையில் பந்துகளால் நிரப்பி, வெளியே இழுத்து திருப்பி அனுப்பிய யாரையும் நான் என் வாழ்க்கையில் சந்தித்ததில்லை. , அல்லது நேர்மாறாகவும். குப்பைத் தொட்டிகள் யாரையும் எனக்குத் தெரியாது. இன்னும் அடிக்கடி, சில மக்கள்தொகையின் குறிப்பிடத்தக்க துணைக்குழுவை மாதிரியாக தேர்ந்தெடுக்கும்போது இந்த விநியோகம் வெளிப்பட வேண்டும்.

குறிப்பு மொழிபெயர்ப்பு

இது இங்கே மிகவும் தெளிவாக இருக்காது, ஆனால் பயிற்சி ஆரம்பநிலைக்கு ஒரு எக்ஸ்பிரஸ் பாடமாக இருப்பதால், அது தெளிவுபடுத்தப்பட வேண்டும். மக்கள்தொகை என்பது நாம் புள்ளிவிவர ரீதியாக மதிப்பீடு செய்ய விரும்பும் ஒன்று. மதிப்பிடுவதற்கு, ஒரு குறிப்பிட்ட பகுதியை (துணைக்குழு) தேர்ந்தெடுத்து, அதன் மீது தேவையான மதிப்பீட்டை உருவாக்குகிறோம் (பின்னர் இந்த துணைக்குழு மாதிரி என்று அழைக்கப்படுகிறது), மொத்த மக்கள்தொகைக்கான மதிப்பீடு ஒரே மாதிரியாக இருக்கும் என்று கருதுகிறோம். ஆனால் இது உண்மையாக இருக்க, மாதிரியின் துணைக்குழுவின் வரையறையில் கூடுதல் கட்டுப்பாடுகள் அடிக்கடி தேவைப்படுகின்றன (அல்லது, அறியப்பட்ட மாதிரி கொடுக்கப்பட்டால், அது மக்கள்தொகையை போதுமான அளவு துல்லியமாக விவரிக்கிறதா என்பதை மதிப்பீடு செய்ய வேண்டும்).

ஒரு நடைமுறை உதாரணம் - E3 க்கு பயணிக்க 100 பேர் கொண்ட நிறுவனத்தின் பிரதிநிதிகளை நாம் தேர்ந்தெடுக்க வேண்டும். கடந்த ஆண்டு ஏற்கனவே 10 பேர் அங்கு பயணம் செய்ததாக அறியப்படுகிறது (ஆனால் யாரும் அதை ஒப்புக் கொள்ளவில்லை). குழுவில் குறைந்தபட்சம் ஒரு அனுபவமிக்க தோழராவது அதிக நிகழ்தகவு இருக்க, நீங்கள் எவ்வளவு குறைந்தபட்சம் எடுக்க வேண்டும்? இந்த வழக்கில், மக்கள் தொகை 100, மாதிரி 10, மாதிரி தேவைகள் ஏற்கனவே E3 சவாரி செய்த ஒரு நபர்.

விக்கிபீடியாவில் குறைவான வேடிக்கையான, ஆனால் ஒரு தொகுப்பில் உள்ள குறைபாடுள்ள பாகங்கள் பற்றிய நடைமுறை உதாரணம் உள்ளது.

விஷம்

ஒவ்வொரு நிமிடமும் தொழில்நுட்ப ஆதரவு ஹாட்லைனை அழைக்கும் வாடிக்கையாளர்களின் எண்ணிக்கை என்ன? ஒவ்வொரு நொடியும் பெர்னௌலி சோதனையாகக் கணக்கிட்டால், வாடிக்கையாளர் (0) அல்லது அழைப்பு (1) ஐ அழைக்காதபோது, ​​அதன் விநியோகம் இருபக்கமாகத் தோன்றும் விளைவு இதுவாகும். ஆனால் மின்சாரம் வழங்கும் நிறுவனங்கள் நன்றாகத் தெரியும்: மின்சாரம் அணைக்கப்படும் போது, ​​இரண்டு பேர் ஒரு நொடியில் அழைக்கலாம். அல்லது நூற்றுக்கும் மேல்மக்களின். 60,000 மில்லி விநாடி சோதனைகள் என்று நினைப்பது ஒன்றும் உதவாது - அதிக சோதனைகள் உள்ளன, ஒரே நேரத்தில் இரண்டு அல்லது அதற்கு மேற்பட்டவற்றை எண்ணாவிட்டாலும், ஒரு மில்லி வினாடிக்கு அழைப்பின் நிகழ்தகவு குறைவாக இருக்கும், ஆனால், தொழில்நுட்ப ரீதியாக, இது இன்னும் உள்ளது பெர்னோலி சோதனை அல்ல. இருப்பினும், முடிவிலிக்கு மாற்றத்துடன் தர்க்கரீதியான பகுத்தறிவு வேலை செய்கிறது. n முடிவிலி மற்றும் p க்கு 0 ஆக, அதனால் np மாறாமல் இருக்கும். இது அழைப்பின் பெருகிய முறையில் சிறிய நிகழ்தகவுடன் சிறிய மற்றும் சிறிய பகுதிகளாகப் பிரிப்பது போன்றது. வரம்பில் நாம் பாய்சன் விநியோகத்தைப் பெறுகிறோம்.

பைனோமியலைப் போலவே, பாய்சன் விநியோகமும் ஒரு எண்ணிக்கை விநியோகமாகும்: ஒன்று நடக்கும் எண்ணிக்கை. இது நிகழ்தகவு p மற்றும் சோதனைகளின் எண்ணிக்கை n ஆகியவற்றால் அல்ல, ஆனால் சராசரி தீவிரம் λ ஆல் அளவுருவாக உள்ளது, இது இருசொல்லுடன் ஒப்பிடுகையில், ஒரு நிலையான மதிப்பு np ஆகும். விஷம் விநியோகம் - இது எதைப் பற்றியது தேவையானநிலையான கொடுக்கப்பட்ட தீவிரத்தில் ஒரு குறிப்பிட்ட நேரத்தில் நிகழ்வுகளை எண்ணுவதைப் பற்றி நாம் பேசும்போது நினைவில் கொள்ளுங்கள்.

ஒரு ரூட்டருக்கு வரும் பாக்கெட்டுகள், அல்லது கடையில் தோன்றும் வாடிக்கையாளர்கள், அல்லது வரிசையில் காத்திருப்பது போன்ற ஏதாவது இருந்தால், "பாயிசன்" என்று நினைக்கவும்.

வடிவியல் மற்றும் எதிர்மறை இருவகை

எளிய பெர்னோலி சோதனைகளில் இருந்து வேறுபட்ட விநியோகம் வெளிப்படுகிறது. ஒரு நாணயம் எத்தனை முறை தலையில் இறங்கும்? வால்களின் எண்ணிக்கை வடிவியல் பரவலைப் பின்பற்றுகிறது. பெர்னோலி விநியோகத்தைப் போலவே, இது வெற்றிகரமான முடிவின் நிகழ்தகவால் அளவுருவாக உள்ளது, ப. இது n எண், வீசுதல்-சோதனைகளின் எண்ணிக்கையால் அளவுருவாக இல்லை, ஏனெனில் தோல்வியுற்ற சோதனைகளின் எண்ணிக்கை துல்லியமாக முடிவாகும்.

ஈருறுப்புப் பரவலானது "எத்தனை வெற்றிகள்" என்றால், வடிவியல் விநியோகம் "வெற்றிக்கு முன் எத்தனை தோல்விகள்?"

எதிர்மறை இருவகைப் பரவல் என்பது முந்தைய ஒன்றின் எளிய பொதுமைப்படுத்தலாகும். இது r க்கு முன் தோல்விகளின் எண்ணிக்கை, வெற்றிகள் 1 அல்ல. எனவே, இது மேலும் இந்த r மூலம் அளவுருவாக உள்ளது. இது சில நேரங்களில் r தோல்விகளின் வெற்றிகளின் எண்ணிக்கையாக விவரிக்கப்படுகிறது. ஆனால், எனது வாழ்க்கைப் பயிற்சியாளர் சொல்வது போல்: "எது வெற்றி, எது தோல்வி என்பதை நீங்களே முடிவு செய்யுங்கள்", எனவே p நிகழ்தகவு முறையே வெற்றி அல்லது தோல்வியின் சரியான நிகழ்தகவாக இருக்க வேண்டும் என்பதை நீங்கள் நினைவில் வைத்திருக்கும் வரை இது ஒன்றுதான்.

பதற்றத்தைத் தணிக்க உங்களுக்கு நகைச்சுவை தேவைப்பட்டால், பைனோமியல் மற்றும் ஹைப்பர்ஜியோமெட்ரிக் விநியோகங்கள் வெளிப்படையான ஜோடி என்று நீங்கள் குறிப்பிடலாம், ஆனால் வடிவியல் மற்றும் எதிர்மறை இருபக்கமும் மிகவும் ஒத்ததாக இருக்கும், பின்னர் சொல்லுங்கள், "சரி, யார் அவற்றை எல்லாம் அழைக்கிறார்கள்? ”

அதிவேக மற்றும் வெய்புலா

தொழில்நுட்ப ஆதரவுக்கான அழைப்புகள் பற்றி மீண்டும்: அடுத்த அழைப்புக்கு எவ்வளவு நேரம் ஆகும்? இந்த காத்திருப்பு நேரத்தின் விநியோகம் வடிவியல் போல் தெரிகிறது, ஏனென்றால் யாரும் அழைக்காத வரை ஒவ்வொரு நொடியும் தோல்வி போன்றது, அழைப்பு இறுதியாக நிகழும் வரை. தோல்விகளின் எண்ணிக்கை, யாரும் அழைக்காத வரை வினாடிகளின் எண்ணிக்கையைப் போன்றது, இதுவும் நடைமுறையில்அடுத்த அழைப்பு வரை நேரம், ஆனால் "நடைமுறையில்" எங்களுக்கு போதுமானதாக இல்லை. விஷயம் என்னவென்றால், இந்த நேரம் முழு வினாடிகளின் கூட்டுத்தொகையாக இருக்கும், எனவே அழைப்புக்கு முன் இந்த வினாடிக்குள் காத்திருப்பை கணக்கிட முடியாது.

சரி, முன்பு போலவே, நேரப் பங்குகள் - மற்றும் வோய்லா தொடர்பான வடிவியல் விநியோகத்தில் வரம்புக்கு நகர்கிறோம். அழைப்புக்கு முந்தைய நேரத்தை துல்லியமாக விவரிக்கும் அதிவேக விநியோகத்தைப் பெறுகிறோம். இது ஒரு தொடர்ச்சியான விநியோகமாகும், இது எங்கள் வகைகளில் முதன்மையானது, ஏனெனில் விளைவு முழு வினாடிகளில் இருக்காது. பாய்சன் விநியோகத்தைப் போலவே, இது λ தீவிரத்தால் அளவுருவாக உள்ளது.

பைனோமியலுக்கும் ஜியோமெட்ரிக்கும் இடையே உள்ள தொடர்பை மீண்டும் வலியுறுத்தி, பாய்சனின் “எத்தனை நிகழ்வுகள் சரியான நேரத்தில்?” "நிகழ்வு எவ்வளவு காலம் வரை?" என்ற அதிவேகத்துடன் தொடர்புடையது. ஒரு யூனிட் நேரத்தின் எண்ணிக்கை பாய்சன் விநியோகத்திற்குக் கீழ்ப்படியும் நிகழ்வுகள் இருந்தால், அவற்றுக்கிடையேயான நேரம் அதே அளவுரு λ உடன் அதிவேகப் பரவலுக்குக் கீழ்ப்படிகிறது. இரண்டு விநியோகங்களுக்கு இடையே உள்ள இந்த கடிதத் தொடர்பு, அவற்றில் ஏதேனும் ஒன்று விவாதிக்கப்படும்போது கவனிக்கப்பட வேண்டும்.

"நிகழ்வின் நேரம்", ஒருவேளை "தோல்விக்கான நேரம்" பற்றி நினைக்கும் போது அதிவேக விநியோகம் நினைவுக்கு வர வேண்டும். உண்மையில், இது ஒரு முக்கியமான சூழ்நிலையாகும், இது வெய்புல் விநியோகம் போன்ற MTBF ஐ விவரிக்க மிகவும் பொதுவான விநியோகங்கள் உள்ளன. உடை வீதம் அல்லது தோல்வி விகிதம் நிலையானதாக இருக்கும்போது அதிவேக விநியோகம் பொருத்தமானது என்றாலும், வெய்புல் விநியோகமானது காலப்போக்கில் தோல்வி விகிதங்கள் அதிகரிக்கும் (அல்லது குறையும்) மாதிரியாக இருக்கும். அதிவேகமானது, பொதுவாக, ஒரு சிறப்பு வழக்கு.

MTBF பற்றி பேசும்போது "Weibull" என்று நினைக்கவும்.

இயல்பான, lognormal, மாணவர்களின் t மற்றும் chi-square

சாதாரண, அல்லது காஸியன், விநியோகம் ஒருவேளை மிக முக்கியமான ஒன்றாகும். அதன் மணி வடிவ வடிவம் உடனடியாக அடையாளம் காணக்கூடியது. இது மிகவும் எளிமையான ஆதாரங்களில் இருந்தும் கூட, எல்லா இடங்களிலும் தன்னை வெளிப்படுத்தும் ஒரு குறிப்பாக ஆர்வமுள்ள நிறுவனம். ஒரே விநியோகத்தைப் பின்பற்றும் மதிப்புகளின் தொகுப்பை எடுத்துக் கொள்ளுங்கள் - ஏதேனும் ஒன்று! - மற்றும் அவற்றை மடியுங்கள். அவற்றின் தொகையின் விநியோகம் (தோராயமாக) ஒரு சாதாரண விநியோகத்தைப் பின்பற்றுகிறது. அதிகமான விஷயங்கள் சேர்க்கப்படுவதால், அவற்றின் தொகையானது இயல்பான விநியோகத்துடன் நெருக்கமாக ஒத்துப்போகிறது (பிடிப்பு: விதிமுறைகளின் விநியோகம் யூகிக்கக்கூடியதாக இருக்க வேண்டும், சுயாதீனமாக இருக்க வேண்டும், அது சாதாரணமாக மட்டுமே இருக்கும்). அசல் விநியோகம் இருந்தபோதிலும் இது உண்மைதான் என்பது ஆச்சரியமாக இருக்கிறது.

குறிப்பு மொழிபெயர்ப்பு

சுருக்கமான விநியோகங்களின் ஒப்பீட்டு அளவிலான தேவையைப் பற்றி ஆசிரியர் எழுதவில்லை என்பது எனக்கு ஆச்சரியமாக இருந்தது: ஒருவர் மற்றவற்றில் குறிப்பிடத்தக்க அளவில் ஆதிக்கம் செலுத்தினால், ஒருங்கிணைப்பு மிகவும் மோசமாக இருக்கும். மேலும், பொதுவாக, முழுமையான பரஸ்பர சுதந்திரம் தேவையில்லை; பலவீனமான சார்பு போதுமானது.

அவர் எழுதியது போல், கட்சிகளுக்கு நல்லது.

இது "மத்திய வரம்பு தேற்றம்" என்று அழைக்கப்படுகிறது, மேலும் அது என்ன, அது ஏன் அழைக்கப்படுகிறது, அதன் அர்த்தம் என்ன என்பதை நீங்கள் அறிந்து கொள்ள வேண்டும், இல்லையெனில் நீங்கள் உடனடியாக சிரிப்பீர்கள்.

அதன் சூழலில், இயல்பானது அனைத்து விநியோகங்களுடனும் தொடர்புடையது. இருப்பினும், அடிப்படையில், இது அனைத்து வகையான தொகைகளின் விநியோகத்துடன் தொடர்புடையது. பெர்னௌல்லி சோதனைகளின் கூட்டுத்தொகை இருசொற் பரவலைப் பின்தொடர்கிறது, மேலும் சோதனைகளின் எண்ணிக்கை அதிகரிக்கும்போது, ​​இந்த இருபக்கப் பரவல் இயல்பான விநியோகத்திற்கு நெருக்கமாகிறது. அதேபோல், அதன் உறவினர் ஹைப்பர்ஜியோமெட்ரிக் விநியோகம். பாய்ஸன் விநியோகம் - பைனோமியலின் வரம்புக்குட்பட்ட வடிவம் - அதிகரிக்கும் தீவிரம் அளவுருவுடன் இயல்பானதை நெருங்குகிறது.

லாக்நார்மல் விநியோகத்தைப் பின்பற்றும் விளைவுகள், மடக்கை பொதுவாக விநியோகிக்கப்படும் மதிப்புகளை உருவாக்குகின்றன. அல்லது வேறு வார்த்தைகளில் கூறுவதானால்: பொதுவாக விநியோகிக்கப்படும் மதிப்பின் அடுக்கு lognormally விநியோகிக்கப்படுகிறது. தொகைகள் பொதுவாக விநியோகிக்கப்பட்டால், தயாரிப்புகள் சாதாரணமாக விநியோகிக்கப்படுகின்றன என்பதை நினைவில் கொள்ளுங்கள்.

மாணவர் t விநியோகம் t சோதனையின் அடிப்படையாகும், இது பல புள்ளிவிவரங்கள் அல்லாத பிற துறைகளில் படிக்கிறது. இது ஒரு சாதாரண விநியோகத்தின் சராசரியைப் பற்றிய அனுமானங்களைச் செய்யப் பயன்படுகிறது, மேலும் அதன் அளவுரு அதிகரிக்கும்போது இயல்பான விநியோகத்திற்கும் முனைகிறது. டி-விநியோகத்தின் ஒரு தனித்துவமான அம்சம் அதன் வால்கள் ஆகும், அவை சாதாரண விநியோகத்தை விட தடிமனாக இருக்கும்.

கொழுத்த வால் கொண்ட நகைச்சுவை உங்கள் அண்டை வீட்டாரை போதுமான அளவு உலுக்கவில்லை என்றால், பீர் பற்றிய வேடிக்கையான கதைக்குச் செல்லுங்கள். 100 ஆண்டுகளுக்கு முன்பு, கின்னஸ் அதன் வலிமையை மேம்படுத்த புள்ளிவிவரங்களைப் பயன்படுத்தியது. பின்னர் வில்லியம் சீலி கோசெட் மேம்படுத்தப்பட்ட பார்லி சாகுபடிக்கு முற்றிலும் புதிய புள்ளிவிவரக் கோட்பாட்டைக் கண்டுபிடித்தார். மற்ற மதுபான உற்பத்தியாளர்கள் தனது யோசனைகளை எவ்வாறு பயன்படுத்துவது என்பதைப் புரிந்து கொள்ள மாட்டார்கள் என்று கோசெட் தனது முதலாளியை நம்பவைத்தார், மேலும் வெளியிட அனுமதி பெற்றார், ஆனால் "மாணவர்" என்ற புனைப்பெயரில். கோசெட்டின் மிகவும் பிரபலமான சாதனை துல்லியமாக இந்த டி-விநியோகம் ஆகும், இது அவரது பெயரிடப்பட்டது என்று ஒருவர் கூறலாம்.

இறுதியாக, சி-சதுர விநியோகம் என்பது பொதுவாக விநியோகிக்கப்படும் மதிப்புகளின் சதுரங்களின் தொகைகளின் விநியோகமாகும். சி-சதுர சோதனையானது இந்த விநியோகத்தை அடிப்படையாகக் கொண்டது, இதுவே வேறுபாடுகளின் சதுரங்களின் கூட்டுத்தொகையை அடிப்படையாகக் கொண்டது, இது பொதுவாக விநியோகிக்கப்பட வேண்டும்.

காமா மற்றும் பீட்டா

இந்த கட்டத்தில், நீங்கள் ஏற்கனவே சி-சதுரத்தைப் பற்றி பேச ஆரம்பித்திருந்தால், உரையாடல் தீவிரமாக தொடங்குகிறது. நீங்கள் ஏற்கனவே உண்மையான புள்ளியியல் வல்லுநர்களுடன் பேசிக் கொண்டிருக்கலாம், மேலும் நீங்கள் ஏற்கனவே தலைவணங்க வேண்டும், ஏனெனில் காமா விநியோகம் போன்ற விஷயங்கள் வரக்கூடும். இது ஒரு பொதுமைப்படுத்தல் மற்றும்அதிவேக மற்றும்சி-சதுர விநியோகம். அதிவேக விநியோகத்தைப் போலவே, இது சிக்கலான காத்திருப்பு நேர மாதிரிகளுக்குப் பயன்படுத்தப்படுகிறது. எடுத்துக்காட்டாக, அடுத்த n நிகழ்வுகளுக்கான நேரத்தை உருவகப்படுத்தும்போது காமா விநியோகம் தோன்றும். இது மற்ற இரண்டு விநியோகங்களுக்கு "இணைந்த முன் விநியோகம்" என இயந்திர கற்றலில் தோன்றும்.

இந்த இணைப் பகிர்வுகளைப் பற்றிப் பேச வேண்டாம், ஆனால், பீட்டா விநியோகத்தைப் பற்றி பேச மறந்துவிடாதீர்கள், ஏனெனில் இது இங்கு குறிப்பிடப்பட்டுள்ள பெரும்பாலான விநியோகங்களுக்கு முந்தைய இணைப்பாகும். இது சரியாக உருவாக்கப்பட்டது என்று தரவு விஞ்ஞானிகள் உறுதியாக நம்புகிறார்கள். இதை சாதாரணமாகக் குறிப்பிட்டு வாசலுக்குச் செல்லுங்கள்.

ஞானத்தின் ஆரம்பம்

நிகழ்தகவு பகிர்வுகள் என்பது உங்களுக்கு அதிகம் தெரியாத ஒன்று. உண்மையிலேயே ஆர்வமுள்ளவர்கள், அனைத்து நிகழ்தகவு விநியோகங்களின் இந்த சூப்பர்-விரிவான வரைபடத்தைப் பார்க்கவும் குறிச்சொற்களைச் சேர்க்கவும் நிகழ்தகவு பகுத்தறிவின் பின்னால் உள்ள யோசனை என்ன?

நிகழ்தகவு பகுத்தறிவின் முதல், மிகவும் இயல்பான படி இது: சீரற்ற முறையில் மதிப்புகளை எடுக்கும் சில மாறிகள் உங்களிடம் இருந்தால், அந்த மாறி எந்த நிகழ்தகவுகளுடன் சில மதிப்புகளை எடுக்கும் என்பதை நீங்கள் அறிய விரும்புகிறீர்கள். இந்த நிகழ்தகவுகளின் மொத்தமானது நிகழ்தகவு பரவலைக் குறிப்பிடுகிறது. உதாரணமாக, ஒரு பகடை கொடுக்கப்பட்டால், உங்களால் முடியும் 1/6 சம நிகழ்தகவுகளுடன் அது எந்த விளிம்பிலும் விழும் என்று ஒரு முன்னோடி கருதுகிறது. எலும்பு சமச்சீராக இருந்தால் இது நிகழ்கிறது. டை சமச்சீரற்றதாக இருந்தால், சோதனைத் தரவுகளின் அடிப்படையில், அடிக்கடி விழும் முகங்களுக்கு அதிக நிகழ்தகவுகளையும், குறைவாக அடிக்கடி விழும் முகங்களுக்கு குறைந்த நிகழ்தகவுகளையும் தீர்மானிக்க முடியும். சில முகம் தோன்றவில்லை என்றால், அதற்கு 0 நிகழ்தகவு ஒதுக்கப்படும். இது ஒரு சாவை வீசுவதன் முடிவுகளை விவரிக்கப் பயன்படும் எளிய நிகழ்தகவுச் சட்டமாகும். நிச்சயமாக, இது மிகவும் எளிமையான உதாரணம், ஆனால் இதே போன்ற சிக்கல்கள் எழுகின்றன, எடுத்துக்காட்டாக, உண்மையான கணக்கீடுகளில், காப்பீட்டுக் கொள்கையை வழங்கும்போது உண்மையான ஆபத்து உண்மையான தரவுகளின் அடிப்படையில் கணக்கிடப்படும் போது.

இந்த அத்தியாயத்தில் நடைமுறையில் அடிக்கடி எழும் நிகழ்தகவுச் சட்டங்களைப் பார்ப்போம்.

இந்த விநியோகங்களின் வரைபடங்களை STATISTICA இல் எளிதாக வரையலாம்.

இயல்பான விநியோகம்

சாதாரண நிகழ்தகவு விநியோகம் குறிப்பாக பெரும்பாலும் புள்ளிவிவரங்களில் பயன்படுத்தப்படுகிறது. சாதாரண விநியோகம் கொடுக்கிறது நல்ல மாதிரிஉண்மையான நிகழ்வுகளுக்கு:

1) ஒரு மையத்தைச் சுற்றி தரவு கொத்தாக இருக்கும் ஒரு வலுவான போக்கு உள்ளது;

2) நேர்மறை மற்றும் எதிர்மறை விலகல்கள்மையத்தில் இருந்து சமமாக சாத்தியம்;

3) மையத்திலிருந்து விலகல்கள் பெரிதாகும்போது விலகல்களின் அதிர்வெண் விரைவாகக் குறைகிறது.

மைய வரம்பு தேற்றம் என்று அழைக்கப்படும் முறையைப் பயன்படுத்தி விளக்கப்பட்ட சாதாரண விநியோகத்தின் அடிப்படையிலான வழிமுறையை உருவகமாக பின்வருமாறு விவரிக்கலாம். நீங்கள் தோராயமாக ஒரு கிளாஸ் தண்ணீரில் விழுந்த மகரந்தத் துகள்கள் உங்களிடம் இருப்பதாக கற்பனை செய்து பாருங்கள். நுண்ணோக்கியின் கீழ் ஒரு துகள்களைப் பார்த்தால், நீங்கள் ஒரு அற்புதமான நிகழ்வைக் காண்பீர்கள் - துகள் நகர்கிறது. நிச்சயமாக, நீர் மூலக்கூறுகள் நகர்ந்து அவற்றின் இயக்கத்தை இடைநிறுத்தப்பட்ட மகரந்தத் துகள்களுக்கு அனுப்புவதால் இது நிகழ்கிறது.

ஆனால் இயக்கம் எவ்வாறு சரியாக நிகழ்கிறது? இங்கே இன்னும் சுவாரஸ்யமான கேள்வி. இந்த இயக்கம் மிகவும் வினோதமானது!

ஒரு தனிப்பட்ட மகரந்தத் துகள் மீது எண்ணற்ற சுயாதீன தாக்கங்கள் உள்ளன, அவை நீர் மூலக்கூறுகளின் தாக்கங்களின் வடிவத்தில் உள்ளன, இதனால் துகள் மிகவும் விசித்திரமான பாதையில் நகரும். ஒரு நுண்ணோக்கின் கீழ், இந்த இயக்கம் மீண்டும் மீண்டும் குழப்பமான உடைந்த கோட்டை ஒத்திருக்கிறது. இந்த கின்க்ஸை கணிக்க முடியாது; அவற்றில் எந்த வடிவமும் இல்லை, இது ஒரு துகள் மீது மூலக்கூறுகளின் குழப்பமான தாக்கங்களுக்கு சரியாக ஒத்திருக்கிறது. ஒரு இடைநிறுத்தப்பட்ட துகள், ஒரு சீரற்ற தருணத்தில் ஒரு நீர் மூலக்கூறின் தாக்கத்தை அனுபவித்து, அதன் இயக்கத்தின் திசையை மாற்றுகிறது, பின்னர் சிறிது நேரம் மந்தநிலையால் நகர்கிறது, பின்னர் மீண்டும் அடுத்த மூலக்கூறின் தாக்கத்தின் கீழ் விழுகிறது, மற்றும் பல. ஒரு கிளாஸ் தண்ணீரில் தோன்றிய அற்புத பில்லியர்ட்ஸ்!

மூலக்கூறுகளின் இயக்கம் சீரற்ற திசையையும் வேகத்தையும் கொண்டிருப்பதால், பாதையில் உள்ள கின்க்ஸின் அளவும் திசையும் முற்றிலும் சீரற்றவை மற்றும் கணிக்க முடியாதவை. 19 ஆம் நூற்றாண்டில் கண்டுபிடிக்கப்பட்ட பிரவுனியன் இயக்கம் என்று அழைக்கப்படும் இந்த அற்புதமான நிகழ்வு, நாம் சிந்திக்க நிறைய உதவுகிறது.

நாம் ஒரு பொருத்தமான அமைப்பை அறிமுகப்படுத்தி, குறிப்பிட்ட தருணங்களில் துகள்களின் ஆயங்களைக் குறித்தால், நாம் சாதாரண சட்டத்தைப் பெறுவோம். இன்னும் துல்லியமாக, மூலக்கூறு தாக்கங்களால் ஏற்படும் மகரந்தத் துகள்களின் இடப்பெயர்வுகள் சாதாரண சட்டத்திற்குக் கீழ்ப்படியும்.

முதன்முறையாக, பிரவுனியன் என்று அழைக்கப்படும் அத்தகைய ஒரு துகள் இயக்கத்தின் விதி, ஏ. ஐன்ஸ்டீனால் கடுமையான உடல் மட்டத்தில் விவரிக்கப்பட்டது. லென்செவன் பின்னர் எளிமையான மற்றும் உள்ளுணர்வு அணுகுமுறையை உருவாக்கினார்.

20 ஆம் நூற்றாண்டில் கணிதவியலாளர்கள் தங்கள் சிறந்த பக்கங்களை இந்த கோட்பாட்டிற்கு அர்ப்பணித்தனர், மேலும் முதல் படி 300 ஆண்டுகளுக்கு முன்பு எடுக்கப்பட்டது, மத்திய வரம்பு தேற்றத்தின் எளிமையான பதிப்பு கண்டுபிடிக்கப்பட்டது.

நிகழ்தகவுக் கோட்பாட்டில், மத்திய வரம்பு தேற்றம், 17 ஆம் நூற்றாண்டில், ஜே. பெர்னௌல்லி (1654-1705) என்பவரால் உருவாக்கப்பட்ட பெரிய எண்களின் புகழ்பெற்ற சட்டத்தின் வளர்ச்சியாக மொய்வ்ரே மற்றும் லாப்லேஸ் ஆகியவற்றின் உருவாக்கத்தில் முதலில் அறியப்பட்டது (பார்க்க ஜே. பெர்னௌல்லி (1713) , Ars Conjectandi), தற்போது மிகவும் வளர்ச்சியடைந்து அதன் உயரத்தை எட்டியுள்ளது. மாற்றமின்மையின் நவீன கொள்கையில், ரஷ்ய கணிதப் பள்ளியின் உருவாக்கம் குறிப்பிடத்தக்க பங்கைக் கொண்டிருந்தது. இந்தக் கொள்கையில்தான் பிரவுனிய துகளின் இயக்கம் அதன் கடுமையான கணித விளக்கத்தைக் காண்கிறது.

யோசனை என்னவென்றால், ஒரு பெரிய எண்ணிக்கையிலான சுயாதீன அளவுகளை (மகரந்தத் துகள்கள் மீது மூலக்கூறுகளின் மோதல்கள்), சில நியாயமான நிலைமைகளின் கீழ், பொதுவாக விநியோகிக்கப்பட்ட அளவுகள் பெறப்படுகின்றன. இது சுயாதீனமாக நடக்கிறது, அதாவது, ஆரம்ப மதிப்புகளின் விநியோகத்திலிருந்து மாறாமல். வேறு வார்த்தைகளில் கூறுவதானால், ஒரு குறிப்பிட்ட மாறியானது பல காரணிகளால் தாக்கப்பட்டால், இந்த தாக்கங்கள் சுயாதீனமானவை, ஒப்பீட்டளவில் சிறியவை மற்றும் ஒன்றுக்கொன்று சேர்க்கின்றன, இதன் விளைவாக வரும் மதிப்பு ஒரு சாதாரண விநியோகத்தைக் கொண்டுள்ளது.

உதாரணமாக, கிட்டத்தட்ட எண்ணற்ற காரணிகள் ஒரு நபரின் எடையை தீர்மானிக்கின்றன (ஆயிரக்கணக்கான மரபணுக்கள், முன்கணிப்பு, நோய்கள் போன்றவை). எனவே, அனைத்து தனிநபர்களின் மக்கள்தொகையிலும் எடையின் இயல்பான விநியோகத்தை ஒருவர் எதிர்பார்க்கலாம்.

நீங்கள் ஒரு நிதியாளராக இருந்து பங்குச் சந்தையில் விளையாடினால், நிச்சயமாக, பங்கு விலைகள் பிரவுனியத் துகள்களைப் போல செயல்படும், பல காரணிகளால் குழப்பமான தாக்கங்களைச் சந்திக்கும் நிகழ்வுகள் உங்களுக்குத் தெரியும்.

முறையாக, சாதாரண விநியோக அடர்த்தி பின்வருமாறு எழுதப்பட்டுள்ளது:

இதில் a மற்றும் õ 2 ஆகியவை சட்டத்தின் அளவுருக்கள், கொடுக்கப்பட்ட சீரற்ற மாறியின் சராசரி மற்றும் மாறுபாடு என முறையே விளக்கப்படுகிறது (சாதாரண விநியோகத்தின் சிறப்புப் பங்கின் காரணமாக, அதன் அடர்த்தி செயல்பாடு மற்றும் விநியோகச் செயல்பாட்டைக் குறிக்க சிறப்பு குறியீடுகளைப் பயன்படுத்துவோம்). பார்வைக்கு, சாதாரண அடர்த்தி வரைபடம் பிரபலமான மணி வடிவ வளைவு ஆகும்.

ஒரு சாதாரண சீரற்ற மாறியின் (a,õ 2) தொடர்புடைய பரவல் செயல்பாடு Ф(x; a,õ 2) ஆல் குறிக்கப்படுகிறது மற்றும் இது தொடர்பினால் வழங்கப்படுகிறது:

a = 0 மற்றும் õ 2 = 1 அளவுருக்கள் கொண்ட சாதாரண விதி நிலையானது என்று அழைக்கப்படுகிறது.

நிலையான இயல்பான விநியோகத்தின் தலைகீழ் செயல்பாடு மதிப்பு z, 0 க்கு பயன்படுத்தப்படுகிறது

x இலிருந்து z ஐக் கணக்கிட, STATISTICA இன் நிகழ்தகவு கால்குலேட்டரைப் பயன்படுத்தவும்.

சாதாரண சட்டத்தின் முக்கிய பண்புகள்:

சராசரி, முறை, இடைநிலை: E=x mod =x med =a;

சிதறல்: D=õ 2 ;

சமச்சீரற்ற தன்மை:

அதிகப்படியான:

சூத்திரங்களிலிருந்து சாதாரண விநியோகம் இரண்டு அளவுருக்கள் மூலம் விவரிக்கப்பட்டுள்ளது என்பது தெளிவாகிறது:

a - சராசரி - சராசரி;

õ - நிலையான விலகல் - நிலையான விலகல், படிக்க: "சிக்மா".

சில நேரங்களில் உடன் நிலையான விலகல் நிலையான விலகல் என்று அழைக்கப்படுகிறது, ஆனால் இது ஏற்கனவே காலாவதியான சொற்களஞ்சியம்.

சாதாரண விநியோகம் பற்றிய சில பயனுள்ள உண்மைகள் இங்கே உள்ளன.

சராசரி மதிப்பு அடர்த்தி இருப்பிட அளவை தீர்மானிக்கிறது. ஒரு சாதாரண விநியோகத்தின் அடர்த்தி சராசரியைப் பற்றிய சமச்சீராக இருக்கும். ஒரு சாதாரண விநியோகத்தின் சராசரி இடைநிலை மற்றும் பயன்முறையுடன் ஒத்துப்போகிறது (வரைபடங்களைப் பார்க்கவும்).

மாறுபாடு 1 மற்றும் சராசரி 1 உடன் இயல்பான விநியோகத்தின் அடர்த்தி

சராசரி 0 மற்றும் மாறுபாடு 0.01 உடன் இயல்பான பரவல் அடர்த்தி

சராசரி 0 மற்றும் மாறுபாடு 4 உடன் இயல்பான பரவலின் அடர்த்தி

சிதறல் அதிகரிக்கும் போது, ​​சாதாரண விநியோகத்தின் அடர்த்தி OX அச்சில் பரவுகிறது அல்லது பரவுகிறது; சிதறல் குறையும் போது, ​​மாறாக, சுருங்குகிறது, ஒரு புள்ளியில் கவனம் செலுத்துகிறது - அதிகபட்ச மதிப்பின் புள்ளி, இது சராசரி மதிப்புடன் ஒத்துப்போகிறது. . பூஜ்ஜிய மாறுபாட்டின் வரம்புக்குட்பட்ட வழக்கில், சீரற்ற மாறி சிதைந்து, சராசரிக்கு சமமான ஒற்றை மதிப்பைப் பெறுகிறது.

2- மற்றும் 3-சிக்மா, அல்லது 2- மற்றும் 3-தரநிலை விலகல் விதிகளை அறிந்து கொள்வது பயனுள்ளது, அவை சாதாரண விநியோகத்துடன் தொடர்புடையவை மற்றும் பல்வேறு பயன்பாடுகளில் பயன்படுத்தப்படுகின்றன. இந்த விதிகளின் பொருள் மிகவும் எளிமையானது.

சராசரிப் புள்ளியில் இருந்து அல்லது, ஒரு சாதாரண விநியோகத்தின் அதிகபட்ச அடர்த்தியின் புள்ளியில் இருந்து, நாம் முறையே இரண்டு மற்றும் மூன்று நிலையான விலகல்களை (2- மற்றும் 3-சிக்மா) வலது மற்றும் இடது பக்கம் வைத்தால், பின்னர் இந்த இடைவெளியில் இருந்து கணக்கிடப்பட்ட சாதாரண அடர்த்தி வரைபடத்தின் கீழ் உள்ள பகுதி, வரைபடத்தின் கீழ் உள்ள முழுப் பகுதியில் முறையே 95.45% மற்றும் 99.73% ஆக இருக்கும் (புள்ளிவிவர நிகழ்தகவு கால்குலேட்டரில் சரிபார்க்கவும்!).

வேறு வார்த்தைகளில் கூறுவதானால், இது பின்வருமாறு வெளிப்படுத்தப்படலாம்: பகுதி அளவு அல்லது பங்கு விலை போன்ற சாதாரண மக்கள்தொகையில் அனைத்து சுயாதீனமான அவதானிப்புகளில் 95.45% மற்றும் 99.73% சராசரியிலிருந்து 2 மற்றும் 3 நிலையான விலகல்களுக்குள் உள்ளன.

சீரான விநியோகம்

ஒவ்வொரு மதிப்பும் சமமாக இருக்கும் மாறிகளை விவரிக்கும் போது சீரான விநியோகம் பயனுள்ளதாக இருக்கும், வேறுவிதமாகக் கூறினால், மாறியின் மதிப்புகள் சில பிராந்தியங்களில் சமமாக விநியோகிக்கப்படுகின்றன.

ஒரு சீரான சீரற்ற மாறியின் அடர்த்தி மற்றும் விநியோகச் செயல்பாட்டிற்கான சூத்திரங்கள் கீழே [a, b] இடைவெளியில் மதிப்புகளைக் கொண்டுள்ளன.

இந்த சூத்திரங்களிலிருந்து ஒரு சீரான சீரற்ற மாறியானது தொகுப்பிலிருந்து மதிப்புகளை எடுக்கும் நிகழ்தகவை எளிதாகப் புரிந்து கொள்ள முடியும். [c, d] [a, b], சமம் (d - c)/(b - a).

போடுவோம் a=0,b=1. பிரிவை மையமாகக் கொண்ட ஒரு சீரான நிகழ்தகவு அடர்த்தியின் வரைபடம் கீழே உள்ளது.

ஒரே மாதிரியான சட்டத்தின் எண்ணியல் பண்புகள்:

அதிவேக விநியோகம்

அன்றாட மொழியில் அரிதாகச் சொல்லக்கூடிய நிகழ்வுகள் நிகழ்கின்றன. T என்பது X தீவிரத்துடன் சராசரியாக நிகழும் அரிதான நிகழ்வுகளின் நிகழ்வுகளுக்கு இடைப்பட்ட நேரமாக இருந்தால், மதிப்பு
டி அளவுருவுடன் (லாம்ப்டா) அதிவேக விநியோகம் உள்ளது. இந்த வருகைகள் அரிதான நிகழ்வுகள் என்பதால், பிரபலமில்லாத வலைத்தளத்தைப் பார்வையிடுவதற்கு இடையிலான இடைவெளிகள் போன்ற தொடர்ச்சியான சீரற்ற நிகழ்வுகளுக்கு இடையிலான இடைவெளிகளை விவரிக்க அதிவேக விநியோகம் பெரும்பாலும் பயன்படுத்தப்படுகிறது.

இந்த விநியோகம் பின்விளைவு இல்லாத மிகவும் சுவாரஸ்யமான சொத்து, அல்லது, அவர்கள் சொல்வது போல், பிரபல ரஷ்ய கணிதவியலாளர் ஏ.ஏ. மார்கோவின் நினைவாக, மார்கோவ் சொத்து, இது பின்வருமாறு விளக்கப்படலாம். சில நிகழ்வுகள் நிகழும் தருணங்களுக்கு இடையேயான விநியோகம் குறியீடாக இருந்தால், எந்த நேரத்திலும் விநியோகம் கணக்கிடப்படும் t அடுத்த நிகழ்வு வரை ஒரு அதிவேக விநியோகம் இருக்கும் (அதே அளவுருவுடன்).

வேறு வார்த்தைகளில் கூறுவதானால், அரிய நிகழ்வுகளின் ஸ்ட்ரீமிற்கு, அடுத்த பார்வையாளருக்கான காத்திருப்பு நேரம் எப்போதும் அதிவேகமாக விநியோகிக்கப்படுகிறது, நீங்கள் அவருக்காக ஏற்கனவே எவ்வளவு நேரம் காத்திருந்தீர்கள் என்பதைப் பொருட்படுத்தாமல்.

அதிவேக விநியோகம் பாய்சன் விநியோகத்துடன் தொடர்புடையது: ஒரு யூனிட் நேர இடைவெளியில், நிகழ்வுகளின் எண்ணிக்கை, சுயாதீனமான மற்றும் அதிவேகமாக விநியோகிக்கப்படும் இடைவெளிகளில், ஒரு பாய்சன் விநியோகம் உள்ளது. தள வருகைகளுக்கு இடையிலான இடைவெளிகள் அதிவேகப் பரவலைக் கொண்டிருந்தால், எடுத்துக்காட்டாக, ஒரு மணி நேரத்திற்குள் வருகைகளின் எண்ணிக்கை பாய்சன் சட்டத்தின்படி விநியோகிக்கப்படுகிறது.

அதிவேக விநியோகம் என்பது வெய்புல் விநியோகத்தின் ஒரு சிறப்பு நிகழ்வாகும்.

நேரம் தொடர்ச்சியாக இல்லை, ஆனால் தனித்தனியாக இருந்தால், அதிவேக விநியோகத்தின் அனலாக் வடிவியல் பரவலாகும்.

அதிவேக பரவல் அடர்த்தி சூத்திரத்தால் விவரிக்கப்படுகிறது:

இந்த விநியோகத்தில் ஒரே ஒரு அளவுரு உள்ளது, இது அதன் பண்புகளை தீர்மானிக்கிறது.

அதிவேக விநியோக அடர்த்தி வரைபடம் இதுபோல் தெரிகிறது:

அதிவேக விநியோகத்தின் அடிப்படை எண் பண்புகள்:

எர்லாங் விநியோகம்

இந்த தொடர்ச்சியான விநியோகம் (0,1) ஐ மையமாகக் கொண்டது மற்றும் அடர்த்தி கொண்டது:

எதிர்பார்ப்பு மற்றும் மாறுபாடு முறையே சமம்

எர்லாங் விநியோகம் ஏ. எர்லாங்கின் பெயரால் அழைக்கப்படுகிறது, அவர் முதலில் வரிசை மற்றும் தொலைபேசியின் கோட்பாட்டில் உள்ள சிக்கல்களில் இதைப் பயன்படுத்தினார்.

µ மற்றும் n அளவுருக்கள் கொண்ட ஒரு எர்லாங் விநியோகம் என்பது n சார்பற்ற, ஒரே மாதிரியாக விநியோகிக்கப்படும் சீரற்ற மாறிகளின் கூட்டுத்தொகையின் பரவலாகும், இவை ஒவ்வொன்றும் nµ அளவுருவுடன் கூடிய அதிவேகப் பரவலைக் கொண்டுள்ளன.

மணிக்கு n = 1 எர்லாங் பரவலானது அதிவேக அல்லது அதிவேகப் பரவலைப் போன்றது.

Laplace விநியோகம்

லாப்லேஸ் அடர்த்தி செயல்பாடு, அல்லது இரட்டை அதிவேக என்றும் அழைக்கப்படுகிறது, எடுத்துக்காட்டாக, பின்னடைவு மாதிரிகளில் பிழை விநியோகத்தை விவரிக்க பயன்படுத்தப்படுகிறது. இந்த விநியோகத்தின் வரைபடத்தைப் பார்க்கும்போது, ​​OY அச்சைப் பற்றிய சமச்சீரான இரண்டு அதிவேக விநியோகங்களைக் கொண்டிருப்பதைக் காண்பீர்கள்.

நிலை அளவுரு 0 எனில், லாப்லேஸ் விநியோக அடர்த்தி செயல்பாடு படிவத்தைக் கொண்டுள்ளது:

இந்த விநியோகச் சட்டத்தின் முக்கிய எண் பண்புகள், நிலை அளவுரு பூஜ்ஜியமாக இருந்தால், பின்வருமாறு:

பொதுவாக, லாப்லேஸ் விநியோக அடர்த்தி வடிவம் கொண்டது:

a என்பது விநியோகத்தின் சராசரி; b - அளவுரு அளவுரு; இ - ஆய்லர் எண் (2.71...).

காமா விநியோகம்

அதிவேக விநியோகத்தின் அடர்த்தி புள்ளி 0 இல் ஒரு பயன்முறையைக் கொண்டுள்ளது, மேலும் இது சில நேரங்களில் நடைமுறை பயன்பாடுகளுக்கு சிரமமாக இருக்கும். பல எடுத்துக்காட்டுகளில், பரிசீலனையில் உள்ள சீரற்ற மாறியின் பயன்முறையானது 0 க்கு சமமாக இல்லை என்பது முன்கூட்டியே அறியப்படுகிறது, எடுத்துக்காட்டாக, ஈ-காமர்ஸ் கடைக்கு வரும் அல்லது வலைத்தளத்தைப் பார்வையிடும் வாடிக்கையாளர்களுக்கு இடையேயான இடைவெளிகள் உச்சரிக்கப்படும் பயன்முறையைக் கொண்டுள்ளன. அத்தகைய நிகழ்வுகளை மாதிரியாகக் காட்ட, காமா விநியோகம் பயன்படுத்தப்படுகிறது.

காமா பரவல் அடர்த்தி வடிவம் கொண்டது:

Г என்பது யூலரின் Г-செயல்பாடு, a > 0 என்பது “வடிவம்” அளவுரு மற்றும் b > 0 என்பது அளவுகோல்.

ஒரு குறிப்பிட்ட வழக்கில், எர்லாங் விநியோகம் மற்றும் அதிவேக விநியோகம் உள்ளது.

காமா விநியோகத்தின் முக்கிய பண்புகள்:

1 அளவுரு அளவுரு மற்றும் 3 மற்றும் 5 வடிவ அளவுருக்கள் கொண்ட இரண்டு காமா அடர்த்தி அடுக்குகள் கீழே உள்ளன.

காமா விநியோகத்தின் பயனுள்ள சொத்து: சுயாதீன காமா விநியோகிக்கப்பட்ட சீரற்ற மாறிகளின் கூட்டுத்தொகை (அதே அளவுரு b உடன்)

(a l ,b) + (a 2 ,b) + --- + (a n ,b) காமா பரவலுக்கும் கீழ்ப்படிகிறது, ஆனால் அளவுருக்கள் a 1 + a 2 + + a n மற்றும் b.

லாக்நார்மல் விநியோகம்

ஒரு சீரற்ற மாறி h என்பது மடக்கை நார்மல் அல்லது லாக்நார்மல் என அழைக்கப்படுகிறது, அதன் இயற்கை மடக்கை (lnh) இயல்பான விநியோக விதிக்கு உட்பட்டது.

லாக்நார்மல் விநியோகம் பயன்படுத்தப்படுகிறது, எடுத்துக்காட்டாக, வருமானம், புதுமணத் தம்பதிகளின் வயது, அல்லது சகிப்புத்தன்மைஉணவில் உள்ள தீங்கு விளைவிக்கும் பொருட்களின் தரத்திலிருந்து.

எனவே, மதிப்பு என்றால் x ஒரு சாதாரண விநியோகம், பின்னர் மதிப்பு y = e x ஒரு லாக்நார்மல் பரவலைக் கொண்டுள்ளது.

நீங்கள் ஒரு சாதாரண மதிப்பை ஒரு அடுக்கு சக்தியில் மாற்றினால், ஒரு சாதாரண சீரற்ற மாறி மீண்டும் மீண்டும் கூட்டுத்தொகையின் விளைவாக இருப்பதைப் போலவே, ஒரு லாக்நார்மல் மதிப்பு என்பது சுயாதீன மாறிகளின் மீண்டும் மீண்டும் பெருக்கலின் விளைவாகும் என்பதை நீங்கள் எளிதாகப் புரிந்து கொள்ளலாம்.

lognormal விநியோக அடர்த்தி வடிவம் கொண்டது:

லாக்நார்மல் விநியோகத்தின் முக்கிய பண்புகள்:

சி-சதுர விநியோகம்

சதுரங்களின் கூட்டுத்தொகை மீ சார்பற்றது சாதாரண மதிப்புகள்சராசரி 0 மற்றும் மாறுபாடு 1 உடன் m டிகிரி சுதந்திரத்துடன் சி-சதுரப் பரவலைக் கொண்டுள்ளது. இந்த விநியோகம் பெரும்பாலும் தரவு பகுப்பாய்வில் பயன்படுத்தப்படுகிறது.

முறைப்படி, m டிகிரி சுதந்திரத்துடன் கூடிய நன்கு-சதுரப் பரவலின் அடர்த்தி வடிவம் கொண்டது:

எதிர்மறைக்கு x அடர்த்தி 0 ஆகிறது.

சி-சதுர விநியோகத்தின் அடிப்படை எண் பண்புகள்:

அடர்த்தி வரைபடம் கீழே உள்ள படத்தில் காட்டப்பட்டுள்ளது:

இருவகைப் பரவல்

ஈருறுப்புப் பரவல் என்பது ஒரு சில புள்ளிகளில் மட்டுமே குவிந்திருக்கும் மிக முக்கியமான தனித்த விநியோகமாகும். இருவகைப் பரவல் இந்த புள்ளிகளுக்கு நேர்மறை நிகழ்தகவுகளை ஒதுக்குகிறது. இவ்வாறு, பைனோமியல் விநியோகம் தொடர்ச்சியான விநியோகங்களிலிருந்து வேறுபடுகிறது (சாதாரண, சி-சதுரம், முதலியன), அவை தனித்தனியாக தேர்ந்தெடுக்கப்பட்ட புள்ளிகளுக்கு பூஜ்ஜிய நிகழ்தகவுகளை ஒதுக்குகின்றன மற்றும் அவை தொடர்ச்சியாக அழைக்கப்படுகின்றன.

பின்வரும் விளையாட்டைக் கருத்தில் கொள்வதன் மூலம் இருமொழிப் பரவலை நீங்கள் நன்கு புரிந்து கொள்ளலாம்.

நீங்கள் ஒரு நாணயத்தை வீசுகிறீர்கள் என்று கற்பனை செய்து பாருங்கள். கோட் ஆஃப் ஆர்ம்ஸ் வெளியே விழும் நிகழ்தகவு இருக்கட்டும் ப, மற்றும் தரையிறங்கும் தலைகளின் நிகழ்தகவு ஆகும் q = 1 - p (நாணயம் சமச்சீரற்றதாக இருக்கும் போது, ​​எடுத்துக்காட்டாக, இடம்பெயர்ந்த ஈர்ப்பு மையம் உள்ளது - நாணயத்தில் ஒரு துளை உள்ளது) மிகவும் பொதுவான வழக்கை நாங்கள் கருத்தில் கொள்கிறோம்.

கோட் ஆஃப் ஆர்ம்ஸ் தரையிறங்குவது வெற்றியாகக் கருதப்படுகிறது, அதே நேரத்தில் வால் தரையிறங்குவது தோல்வியாக கருதப்படுகிறது. பின்னர் வரையப்பட்ட தலைகளின் எண்ணிக்கை (அல்லது வால்கள்) ஒரு இருவகைப் பரவலைக் கொண்டுள்ளது.

சமச்சீரற்ற நாணயங்கள் அல்லது ஒழுங்கற்ற பகடைகளை கருத்தில் கொள்வது நடைமுறை ஆர்வமாக உள்ளது என்பதை நினைவில் கொள்க. ஜே. நியூமன் தனது நேர்த்தியான புத்தகமான "நிகழ்தகவு மற்றும் கணித புள்ளியியல் கோட்பாட்டில் ஒரு அறிமுக பாடத்தில்" குறிப்பிட்டது போல, டையில் புள்ளிகளின் அதிர்வெண் டையின் பண்புகளைப் பொறுத்தது மற்றும் செயற்கையாக மாற்றப்படலாம் என்று மக்கள் நீண்ட காலமாக யூகித்துள்ளனர். தொல்பொருள் ஆராய்ச்சியாளர்கள் பார்வோனின் கல்லறையில் இரண்டு ஜோடி பகடைகளைக் கண்டுபிடித்தனர்: "நேர்மையானவை" - எல்லா பக்கங்களிலும் சமமான நிகழ்தகவுகளுடன், மற்றும் தவறானவை - புவியீர்ப்பு மையத்தில் வேண்டுமென்றே மாற்றத்துடன், இது சிக்ஸர்கள் விழுவதற்கான வாய்ப்பை அதிகரித்தது.

இருவகைப் பரவலின் அளவுருக்கள் வெற்றியின் நிகழ்தகவு ஆகும் p (q = 1 - p) மற்றும் சோதனைகளின் எண்ணிக்கை n.

தோராயமாக தேர்ந்தெடுக்கப்பட்ட நிறுவனங்களில் உள்ள ஆண்கள் மற்றும் பெண்களின் எண்ணிக்கை போன்ற இருசொற் நிகழ்வுகளின் விநியோகத்தை விவரிக்க பைனோமியல் விநியோகம் பயனுள்ளதாக இருக்கும். விளையாட்டுப் பிரச்சனைகளில் பைனாமியல் விநியோகத்தைப் பயன்படுத்துவது குறிப்பாக முக்கியத்துவம் வாய்ந்தது.

வெற்றிக்கான நிகழ்தகவு m க்கான சரியான சூத்திரம் n சோதனைகள் பின்வருமாறு எழுதப்பட்டுள்ளன:

ப-வெற்றிக்கான நிகழ்தகவு

q என்பது 1-p, q>=0, p+q==1

n- சோதனைகளின் எண்ணிக்கை, m =0.1...m

இருவகைப் பரவலின் முக்கிய பண்புகள்:

வெவ்வேறு எண்ணிக்கையிலான சோதனைகள் n மற்றும் வெற்றி நிகழ்தகவுகளுக்கான இந்த விநியோகத்தின் வரைபடம் p வடிவத்தைக் கொண்டுள்ளது:

ஈருறுப்புப் பரவலானது இயல்பான மற்றும் பாய்சன் விநியோகங்களுடன் தொடர்புடையது (கீழே காண்க); சில அளவுரு மதிப்புகளில் பெரிய எண்ணிக்கைசோதனைகள் இந்த விநியோகங்களாக மாறும். STATISTICA ஐப் பயன்படுத்தி இதை நிரூபிக்க எளிதானது.

எடுத்துக்காட்டாக, அளவுருக்கள் கொண்ட ஒரு பைனோமியல் விநியோகத்தின் வரைபடத்தைக் கருத்தில் கொள்ளுங்கள் p = 0.7, n = 100 (படத்தைப் பார்க்கவும்), நாங்கள் STATISTICA BASIC ஐப் பயன்படுத்தினோம் - வரைபடமானது ஒரு சாதாரண விநியோகத்தின் அடர்த்திக்கு மிகவும் ஒத்திருப்பதைக் காணலாம் (அது உண்மையில்!).

அளவுருக்கள் கொண்ட பைனோமியல் விநியோக சதி p=0.05, n=100 பாய்சன் விநியோக வரைபடத்திற்கு மிகவும் ஒத்திருக்கிறது.

ஏற்கனவே குறிப்பிட்டுள்ளபடி, ஒரு நியாயமான நாணயத்தை தூக்கி எறிவது - வாய்ப்பின் எளிமையான விளையாட்டின் அவதானிப்புகளிலிருந்து இருசொல் விநியோகம் எழுந்தது. பல சூழ்நிலைகளில் இந்த மாதிரி உதவுகிறது முதலில் நல்லதுபங்குச் சந்தையில் விளையாடும் போது எழும் மிகவும் சிக்கலான விளையாட்டுகள் மற்றும் சீரற்ற செயல்முறைகளுக்கான தோராயம். பல சிக்கலான செயல்முறைகளின் அத்தியாவசிய அம்சங்களை ஒரு எளிய பைனோமியல் மாதிரியிலிருந்து புரிந்து கொள்ள முடியும் என்பது குறிப்பிடத்தக்கது.

உதாரணமாக, பின்வரும் சூழ்நிலையை கவனியுங்கள்.

கோட் ஆஃப் ஆர்ம்ஸ் இழப்பை 1 என்றும், வால் இழப்பை மைனஸ் 1 என்றும் குறிப்போம், வெற்றி மற்றும் தோல்விகளை அடுத்தடுத்த புள்ளிகளில் கூட்டுவோம். 1,000 வீசுதல்கள், 5,000 வீசுதல்கள் மற்றும் 10,000 வீசுதல்கள் போன்ற ஒரு விளையாட்டின் வழக்கமான பாதைகளை வரைபடங்கள் காட்டுகின்றன. பாதை பூஜ்ஜியத்திற்கு மேல் அல்லது கீழே எவ்வளவு நேரம் உள்ளது என்பதைக் கவனியுங்கள், வேறுவிதமாகக் கூறினால், ஒரு வீரர் முற்றிலும் நியாயமான விளையாட்டில் வெற்றிபெறும் நேரம் மிக நீண்டது, மேலும் வெற்றியிலிருந்து தோல்விக்கு மாறுவது ஒப்பீட்டளவில் அரிதானது, மேலும் இது சமரசம் செய்வது கடினம். ஆயத்தமில்லாத மனம், இதற்கு "முற்றிலும் நியாயமான விளையாட்டு" என்ற வெளிப்பாடு ஒரு மந்திர எழுத்து போல் தெரிகிறது. எனவே, விளையாட்டு அதன் நிலைமைகளின் அடிப்படையில் நியாயமானதாக இருந்தாலும், ஒரு பொதுவான பாதையின் நடத்தை நியாயமானது அல்ல மற்றும் சமநிலையை நிரூபிக்காது!

நிச்சயமாக, அனுபவரீதியாக இந்த உண்மை அனைத்து வீரர்களுக்கும் தெரியும்; வெற்றிகளுடன் வெளியேற வீரர் அனுமதிக்கப்படாமல், மேலும் விளையாட வேண்டிய கட்டாயத்தில் இருக்கும்போது ஒரு உத்தி அதனுடன் தொடர்புடையது.

எதில் ஒரு வீரர் வெற்றி பெறுகிறார் (0 க்கு மேல் உள்ள பாதை), மற்றும் இரண்டாவது வீரர் தோற்றார் (பாதை 0 க்குக் கீழே) வீசும் எண்ணிக்கையைக் கருத்தில் கொள்வோம். முதல் பார்வையில், அத்தகைய வீசுதல்களின் எண்ணிக்கை தோராயமாக ஒரே மாதிரியாக இருப்பதாகத் தெரிகிறது. இருப்பினும் (பரபரப்பான புத்தகத்தைப் பார்க்கவும்: ஃபெல்லர் வி. "நிகழ்தகவுக் கோட்பாடு மற்றும் அதன் பயன்பாடுகளுக்கான அறிமுகம்." மாஸ்கோ: மிர், 1984, ப. 106) 10,000 டாஸ்ஸுடன் ஒரு சிறந்த நாணயம் (அதாவது, பெர்னோலி சோதனைகளுக்கு p = q = 0.5, n=10,000) 9,930 க்கும் மேற்பட்ட சோதனைகளில் ஒரு தரப்பினர் முன்னணியில் இருப்பதற்கான நிகழ்தகவு, மற்றொன்று 70 க்கும் குறைவானது, 0.1 ஐ மீறுகிறது.

வியக்கத்தக்க வகையில், 10,000 சிகப்பு நாணயங்கள் கொண்ட விளையாட்டில், தலைமைத்துவம் அதிகபட்சமாக 8 முறை மாறுவதற்கான நிகழ்தகவு 0.14 ஐ விட அதிகமாக உள்ளது, மேலும் 78 க்கும் மேற்பட்ட தலைமை மாற்றங்களின் நிகழ்தகவு தோராயமாக 0.12 ஆகும்.

எனவே, எங்களிடம் ஒரு முரண்பாடான சூழ்நிலை உள்ளது: ஒரு சமச்சீர் பெர்னௌல்லி நடையில், பூஜ்ஜியத்திற்கு (வரைபடங்களைப் பார்க்கவும்) இடையே உள்ள வரைபடத்தின் "அலைகள்" அதிசயமாக நீண்டதாக இருக்கும். மற்றொரு சூழ்நிலை இதனுடன் இணைக்கப்பட்டுள்ளது, அதாவது T n / n (வரைபடம் x-அச்சுக்கு மேல் இருக்கும் நேரத்தின் பின்னம்) 1/2 க்கு அருகில் உள்ள மதிப்புகள் குறைவாக இருக்கலாம்.

கணிதவியலாளர்கள் ஆர்க்சைன் விதி என்று அழைக்கப்படுவதைக் கண்டுபிடித்தனர், அதன்படி ஒவ்வொரு 0 க்கும்< а <1 вероятность неравенства , где Т n - число шагов, в течение которых первый игрок находится в выигрыше, стремится к

ஆர்க்சைன் விநியோகம்

இந்த தொடர்ச்சியான விநியோகம் இடைவெளியை (0, 1) மையமாகக் கொண்டது மற்றும் அடர்த்தி கொண்டது:

ஆர்க்சைன் விநியோகம் சீரற்ற நடையுடன் தொடர்புடையது. சமச்சீர் நாணயத்தை, அதாவது சம நிகழ்தகவுகளைக் கொண்ட நாணயத்தைத் தூக்கி எறியும்போது முதல் வீரர் வெல்லும் நேரப் பகுதியின் விநியோகம் இதுவாகும். எஸ் கோட் ஆஃப் ஆர்ம்ஸ் மற்றும் டெயில்ஸ் மீது விழுகிறது. மற்றொரு வழியில், அத்தகைய விளையாட்டை ஒரு துகள்களின் சீரற்ற நடைபாதையாகக் கருதலாம், இது பூஜ்ஜியத்திலிருந்து தொடங்கி, சமமான நிகழ்தகவுகளுடன் வலது அல்லது இடதுபுறமாக ஒற்றைத் தாவல்களை உருவாக்குகிறது. துகள் தாவல்கள் - விழும் தலைகள் அல்லது வால்கள் - சமமாக சாத்தியமானவை என்பதால், அத்தகைய நடை பெரும்பாலும் சமச்சீர் என்று அழைக்கப்படுகிறது. நிகழ்தகவுகள் வேறுபட்டிருந்தால், சமச்சீரற்ற நடைப்பயணத்தைப் பெறுவோம்.

ஆர்க்சைன் விநியோக அடர்த்தி வரைபடம் பின்வரும் படத்தில் காட்டப்பட்டுள்ளது:

மிகவும் சுவாரஸ்யமான விஷயம் என்னவென்றால், வரைபடத்தின் தரமான விளக்கம், அதில் இருந்து நீங்கள் ஒரு நியாயமான விளையாட்டில் வெற்றி மற்றும் தோல்விகளின் தொடர் பற்றி ஆச்சரியமான முடிவுகளை எடுக்க முடியும். வரைபடத்தைப் பார்த்தால், குறைந்தபட்ச அடர்த்தி புள்ளியில் இருப்பதைக் காணலாம் 1/2. "அதனால் என்ன?!" - நீங்கள் கேட்க. ஆனால் இந்த கவனிப்பைப் பற்றி நீங்கள் யோசித்தால், உங்கள் ஆச்சரியத்திற்கு எல்லையே தெரியாது! விளையாட்டு நியாயமானது என்று வரையறுக்கப்பட்டாலும், அது உண்மையில் முதல் பார்வையில் தோன்றும் அளவுக்கு நியாயமானது அல்ல என்று மாறிவிடும்.

சமச்சீர் சீரற்ற பாதைகள், இதில் துகள் நேர்மறை மற்றும் எதிர்மறை அரை-அச்சு இரண்டிலும் சமமான நேரத்தை செலவிடுகிறது, அதாவது பூஜ்ஜியத்தின் வலது அல்லது இடதுபுறம், துல்லியமாக மிகக் குறைந்த நிகழ்தகவு ஆகும். வீரர்களின் மொழிக்கு மாறினால், சமச்சீர் நாணயத்தை வீசும்போது, ​​வீரர்கள் வெற்றி மற்றும் தோல்விக்கு சமமான நேரத்தை செலவிடும் விளையாட்டுகள் மிகக் குறைவு என்று கூறலாம்.

மாறாக, ஒரு வீரர் வெற்றி பெறுவதற்கான வாய்ப்புகள் அதிகம், மற்றொன்று தோல்வியடையும் வாய்ப்புகள் அதிகம். அற்புதமான முரண்பாடு!

நிகழ்தகவைக் கணக்கிட, முதல் வீரர் வெற்றிபெறும் நேரத்தின் பின்னம் t இடையே இருக்கும் t1 முதல் t2, விநியோக செயல்பாடு மதிப்பிலிருந்து தேவை F(t2) F(t1) விநியோகச் செயல்பாட்டின் மதிப்பைக் கழிக்கவும்.

முறைப்படி நாம் பெறுகிறோம்:

பி(டி1

இந்த உண்மையின் அடிப்படையில், 10,000 படிகளில் துகள் நேர்மறை பக்கத்தில் 0.1 நிகழ்தகவுடன் 9930 தடவைகளுக்கு மேல் உள்ளது என்று STATISTICA ஐப் பயன்படுத்தி கணக்கிடலாம், அதாவது தோராயமாகச் சொன்னால், அத்தகைய நிலை குறைந்தது ஒரு சந்தர்ப்பத்திலாவது கவனிக்கப்படும். பத்தில் (முதல் பார்வையில் இது அபத்தமாகத் தோன்றினாலும்; யு. வி. ப்ரோகோரோவின் குறிப்பைப் பார்க்கவும், தெளிவில் குறிப்பிடத்தக்கது, "நிகழ்தகவு மற்றும் கணிதப் புள்ளியியல்" என்சைக்ளோபீடியாவில் "பெர்னூலியின் நடை", பக். 42-43, எம்.: பிக் ரஷியன் என்சைக்ளோபீடியா, 1999) .

எதிர்மறை இருவகைப் பரவல்

இது முழு எண் புள்ளிகளுக்கு ஒதுக்கப்படும் ஒரு தனிப் பகிர்வாகும் k = 0,1,2,... நிகழ்தகவுகள்:

p k =P(X=k)=C k r+k-1 p r (l-p) k ", இங்கு 0<р<1,r>0.

எதிர்மறை இருவகைப் பரவல் பல பயன்பாடுகளில் காணப்படுகிறது.

ஒட்டுமொத்த r > 0, எதிர்மறை இருவகைப் பரவலானது, பெர்னோலி சோதனைத் திட்டத்தில் "வெற்றி" நிகழ்தகவுடன் rth "வெற்றி"க்கான காத்திருப்பு நேரத்தின் விநியோகம் என விளக்கப்படுகிறது. p, எடுத்துக்காட்டாக, இரண்டாவது சின்னம் வரையப்படுவதற்கு முன் செய்யப்பட வேண்டிய ரோல்களின் எண்ணிக்கை, இது சில நேரங்களில் பாஸ்கல் விநியோகம் என்று அழைக்கப்படுகிறது மற்றும் காமா விநியோகத்தின் தனித்துவமான அனலாக் ஆகும்.

மணிக்கு r = 1 எதிர்மறை இருவகைப் பரவல் வடிவியல் பரவலுடன் ஒத்துப்போகிறது.

Y ஆனது சீரற்ற அளவுருவுடன் பாய்சன் பரவலைக் கொண்ட ஒரு சீரற்ற மாறியாக இருந்தால், அது அடர்த்தியுடன் கூடிய காமா பரவலைக் கொண்டிருக்கும்

பின்னர் U ஆனது அளவுருக்கள் கொண்ட எதிர்மறை இருவகைப் பரவலைக் கொண்டிருக்கும்;

விஷம் விநியோகம்

பாய்சன் விநியோகம் சில நேரங்களில் அரிதான நிகழ்வு விநியோகம் என்று அழைக்கப்படுகிறது. பாய்சனின் சட்டத்தின்படி விநியோகிக்கப்படும் மாறிகளின் எடுத்துக்காட்டுகள்: விபத்துகளின் எண்ணிக்கை, உற்பத்தி செயல்பாட்டில் உள்ள குறைபாடுகளின் எண்ணிக்கை போன்றவை. பாய்சன் விநியோகம் சூத்திரத்தால் வரையறுக்கப்படுகிறது:

பாய்சன் சீரற்ற மாறியின் முக்கிய பண்புகள்:

பாய்சன் விநியோகம் அதிவேகப் பரவல் மற்றும் பெர்னௌல்லி விநியோகத்துடன் தொடர்புடையது.

நிகழ்வுகளின் எண்ணிக்கையில் பாய்சன் விநியோகம் இருந்தால், நிகழ்வுகளுக்கு இடையிலான இடைவெளிகள் அதிவேக அல்லது அதிவேக விநியோகத்தைக் கொண்டிருக்கும்.

விஷம் விநியோக திட்டம்:

பாய்சன் விநியோகத்தின் வரைபடத்தை அளவுரு 5 உடன் p=q=0.5,n=100 இல் உள்ள பெர்னோல்லி விநியோகத்தின் வரைபடத்துடன் ஒப்பிடுக.

வரைபடங்கள் மிகவும் ஒத்திருப்பதை நீங்கள் காண்பீர்கள். பொது வழக்கில், பின்வரும் முறை உள்ளது (உதாரணமாக, சிறந்த புத்தகத்தைப் பார்க்கவும்: Shiryaev A.N. "நிகழ்தகவு." மாஸ்கோ: Nauka, ப. 76): பெர்னௌலியில் சோதனைகள் n பெரிய மதிப்புகளை எடுத்தால், வெற்றியின் நிகழ்தகவு / ? ஒப்பீட்டளவில் சிறியது, அதனால் வெற்றிகளின் சராசரி எண்ணிக்கை (தயாரிப்பு மற்றும் நார்) சிறியதாகவோ அல்லது பெரியதாகவோ இல்லை, பின்னர் n, p அளவுருக்கள் கொண்ட பெர்னௌல்லி விநியோகம் = np உடன் Poisson விநியோகத்தால் மாற்றப்படும்.

பாய்சன் விநியோகம் நடைமுறையில் பரவலாகப் பயன்படுத்தப்படுகிறது, எடுத்துக்காட்டாக, அரிய நிகழ்வுகளின் விநியோகமாக தரக் கட்டுப்பாட்டு விளக்கப்படங்களில்.

மற்றொரு எடுத்துக்காட்டு, தொலைபேசி இணைப்புகளுடன் தொடர்புடைய பின்வரும் சிக்கலைக் கவனியுங்கள் மற்றும் நடைமுறையில் இருந்து எடுக்கப்பட்டது (பார்க்க: ஃபெல்லர் வி. நிகழ்தகவு கோட்பாடு மற்றும் அதன் பயன்பாடுகளின் அறிமுகம். மாஸ்கோ: மிர், 1984, ப. 205, அத்துடன் மோலினா ஈ.எஸ். (1935 ) பொறியியலில் நிகழ்தகவு, மின் பொறியியல், 54, பக். 423-427; பெல் டெலிபோன் சிஸ்டம் டெக்னிக்கல் பப்ளிகேஷன்ஸ் மோனோகிராஃப் பி-854). இந்த பணியை நவீன மொழியில் எளிதாக மொழிபெயர்க்கலாம், எடுத்துக்காட்டாக, மொபைல் தகவல்தொடர்புகளின் மொழியில், ஆர்வமுள்ள வாசகர்கள் செய்ய அழைக்கப்படுகிறார்கள்.

சிக்கல் பின்வருமாறு வடிவமைக்கப்பட்டுள்ளது. இரண்டு தொலைபேசி பரிமாற்றங்கள் இருக்கட்டும் - ஏ மற்றும் பி.

டெலிபோன் எக்ஸ்சேஞ்ச் A 2,000 சந்தாதாரர்களுக்கு இடையே தகவல்தொடர்பு வழங்க வேண்டும் மற்றும் பரிமாற்றம் B. தகவல்தொடர்பு தரமானது 100ல் 1 அழைப்பு மட்டுமே லைன் இலவசம் ஆகும் வரை காத்திருக்க வேண்டும்.

கேள்வி: தேவையான தகவல்தொடர்பு தரத்தை உறுதிப்படுத்த எத்தனை தொலைபேசி இணைப்புகளை நிறுவ வேண்டும்? வெளிப்படையாக, 2,000 வரிகளை உருவாக்குவது முட்டாள்தனமானது, ஏனெனில் அவற்றில் பல நீண்ட காலத்திற்கு இலவசமாக இருக்கும். உள்ளுணர்வு பரிசீலனைகளில் இருந்து, வெளிப்படையாக, சில உகந்த கோடுகள் உள்ளன என்பது தெளிவாகிறது N. இந்த எண்ணை எவ்வாறு கணக்கிடுவது?

நெட்வொர்க்கிற்கான சந்தாதாரரின் அணுகலின் தீவிரத்தை விவரிக்கும் ஒரு யதார்த்தமான மாதிரியுடன் ஆரம்பிக்கலாம், மாதிரியின் துல்லியம், நிச்சயமாக, நிலையான புள்ளிவிவர அளவுகோல்களைப் பயன்படுத்தி சரிபார்க்கப்படலாம்.

எனவே, ஒவ்வொரு சந்தாதாரரும் ஒரு மணி நேரத்திற்கு சராசரியாக 2 நிமிடங்கள் வரியைப் பயன்படுத்துகிறார்கள் மற்றும் சந்தாதாரர்களின் இணைப்புகள் சுயாதீனமானவை என்று வைத்துக்கொள்வோம் (இருப்பினும், ஃபெல்லர் சரியாகச் சுட்டிக்காட்டுவது போல, எல்லா சந்தாதாரர்களையும் பாதிக்கும் சில நிகழ்வுகள் நிகழாவிட்டால் பிந்தையது நிகழ்கிறது, எடுத்துக்காட்டாக, ஒரு போர் அல்லது ஒரு சூறாவளி).

எங்களிடம் 2000 பெர்னௌலி சோதனைகள் (காயின் டாஸ்கள்) அல்லது நெட்வொர்க் இணைப்புகள் வெற்றியின் நிகழ்தகவு p=2/60=1/30.

N ஐ விட அதிகமான பயனர்கள் ஒரே நேரத்தில் நெட்வொர்க்குடன் இணைக்கும் நிகழ்தகவு 0.01 ஐ விட அதிகமாக இருக்காது. இந்த கணக்கீடுகளை STATISTICA அமைப்பில் எளிதாக தீர்க்க முடியும்.

STATISTICA ஐப் பயன்படுத்தி சிக்கலைத் தீர்ப்பது.

படி 1.தொகுதியைத் திறக்கவும் அடிப்படை புள்ளிவிவரங்கள். 110 அவதானிப்புகளைக் கொண்ட binoml.sta கோப்பை உருவாக்கவும். முதல் மாறிக்கு பெயரிடவும் இருவகை, இரண்டாவது மாறி - விஷம்.

படி 2. இருவகை, சன்னலை திற மாறி 1(படம் பார்க்கவும்). படத்தில் காட்டப்பட்டுள்ளபடி சாளரத்தில் சூத்திரத்தை உள்ளிடவும். பொத்தானை கிளிக் செய்யவும் சரி.

படி 3.தலைப்பில் இருமுறை கிளிக் செய்யவும் விஷம், சன்னலை திற மாறி 2(படம் பார்க்கவும்)

படத்தில் காட்டப்பட்டுள்ளபடி சாளரத்தில் சூத்திரத்தை உள்ளிடவும். பாய்சன் விநியோக அளவுருவை சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்தி கணக்கிடுகிறோம் என்பதை நினைவில் கொள்க =n×p. எனவே = 2000 × 1/30. பொத்தானை கிளிக் செய்யவும் சரி.

STATISTICA நிகழ்தகவுகளைக் கணக்கிட்டு அவற்றை உருவாக்கப்பட்ட கோப்பில் எழுதும்.

படி 4.கண்காணிப்பு எண் 86 க்கு கீழே உருட்டவும். ஒரு மணிநேரத்தில் 2,000 நெட்வொர்க் பயனர்களில் 86 அல்லது அதற்கு மேற்பட்ட ஒரே நேரத்தில் பயனர்கள் இருப்பதற்கான நிகழ்தகவு 0.01347 ஆகும்.

2,000 நெட்வொர்க் பயனர்களில் 86 அல்லது அதற்கு மேற்பட்டவர்கள் ஒரு மணிநேரத்தில் ஒரே நேரத்தில் வேலை செய்யும் நிகழ்தகவு 0.01293 ஆகும், இது இருமப் பரவலுக்கான பாய்சன் தோராயத்தைப் பயன்படுத்துகிறது.

0.01க்கு மேல் நிகழ்தகவு தேவைப்படுவதால், தேவையான தகவல்தொடர்பு தரத்தை வழங்க 87 கோடுகள் போதுமானதாக இருக்கும்.

ஈருறுப்புப் பரவலுக்கான சாதாரண தோராயத்தைப் பயன்படுத்தினால் இதே போன்ற முடிவுகளைப் பெறலாம் (இதைச் சரிபார்க்கவும்!).

V. ஃபெல்லர் தனது வசம் STATISTICA அமைப்பைக் கொண்டிருக்கவில்லை என்பதையும், பைனாமியல் மற்றும் சாதாரண விநியோகங்களுக்கு அட்டவணைகளைப் பயன்படுத்தினார் என்பதையும் கவனத்தில் கொள்ளவும்.

அதே காரணத்தைப் பயன்படுத்தி, W. ஃபெல்லரால் விவாதிக்கப்பட்ட பின்வரும் சிக்கலை ஒருவர் தீர்க்க முடியும். தலா 1000 பேர் கொண்ட 2 குழுக்களாகப் பிரிக்கும் போது, ​​பயனர்களை நம்பகத்தன்மையுடன் சேவை செய்ய அதிக அல்லது குறைவான வரிகள் தேவையா என்பதைச் சரிபார்க்க வேண்டியது அவசியம்.

பயனர்கள் குழுக்களாகப் பிரிக்கப்படும்போது, ​​அதே அளவிலான தரத்தை அடைய கூடுதலாக 10 வரிகள் தேவைப்படும் என்று மாறிவிடும்.

நாள் முழுவதும் நெட்வொர்க் இணைப்பு தீவிரத்தில் ஏற்படும் மாற்றங்களை நீங்கள் கணக்கில் எடுத்துக்கொள்ளலாம்.

வடிவியல் விநியோகம்

சுயாதீனமான பெர்னோலி சோதனைகள் நடத்தப்பட்டு, அடுத்த "வெற்றி" வரை சோதனைகளின் எண்ணிக்கை கணக்கிடப்பட்டால், இந்த எண் வடிவியல் விநியோகத்தைக் கொண்டுள்ளது. எனவே, நீங்கள் ஒரு நாணயத்தைத் தூக்கி எறிந்தால், அடுத்த கோட் ஆஃப் ஆர்ம்ஸ் தோன்றும் முன் நீங்கள் செய்ய வேண்டிய டாஸ்களின் எண்ணிக்கை ஒரு வடிவியல் சட்டத்திற்குக் கீழ்ப்படிகிறது.

வடிவியல் விநியோகம் சூத்திரத்தால் தீர்மானிக்கப்படுகிறது:

F(x) = p(1-p) x-1

ப - வெற்றிக்கான நிகழ்தகவு, x = 1, 2,3...

விநியோகத்தின் பெயர் வடிவியல் முன்னேற்றத்துடன் தொடர்புடையது.

எனவே, வடிவியல் விநியோகம் ஒரு குறிப்பிட்ட கட்டத்தில் வெற்றி ஏற்பட்ட நிகழ்தகவைக் குறிப்பிடுகிறது.

வடிவியல் பரவல் என்பது அதிவேகப் பரவலின் தனித்துவமான அனலாக் ஆகும். நேரம் குவாண்டாவால் மாறினால், ஒவ்வொரு தருணத்திலும் வெற்றியின் நிகழ்தகவு ஒரு வடிவியல் விதியால் விவரிக்கப்படுகிறது. நேரம் தொடர்ச்சியாக இருந்தால், நிகழ்தகவு ஒரு அதிவேக அல்லது அதிவேக விதியால் விவரிக்கப்படுகிறது.

ஹைபர்ஜியோமெட்ரிக் விநியோகம்

இது ஒரு சீரற்ற மாறி X இன் தனித்தனி நிகழ்தகவு விநியோகமாகும், முழு எண் மதிப்புகள் m = 0, 1,2,...,n நிகழ்தகவுகளுடன்:

N, M மற்றும் n ஆகியவை எதிர்மில்லாத முழு எண்கள் மற்றும் M< N, n < N.

ஹைப்பர்ஜியோமெட்ரிக் விநியோகம் பொதுவாக மாற்றீடு இல்லாமல் தேர்வுடன் தொடர்புடையது மற்றும் எடுத்துக்காட்டாக, M கருப்பு மற்றும் N - M வெள்ளை உட்பட N பந்துகளைக் கொண்ட மக்கள்தொகையில் இருந்து n அளவின் சீரற்ற மாதிரியில் சரியாக m கருப்பு பந்துகளைக் கண்டுபிடிப்பதற்கான நிகழ்தகவை தீர்மானிக்கிறது (பார்க்க, எடுத்துக்காட்டாக, என்சைக்ளோபீடியா "நிகழ்தகவு" மற்றும் கணித புள்ளிவிவரங்கள்", எம்.: கிரேட் ரஷியன் என்சைக்ளோபீடியா, ப. 144).

ஹைப்பர்ஜியோமெட்ரிக் விநியோகத்தின் கணித எதிர்பார்ப்பு N ஐச் சார்ந்து இல்லை மற்றும் தொடர்புடைய பைனோமியல் விநியோகத்தின் கணித எதிர்பார்ப்பு µ=np உடன் ஒத்துப்போகிறது.

ஹைபர்ஜியோமெட்ரிக் விநியோகத்தின் மாறுபாடு ஈருறுப்பு விநியோகத்தின் மாறுபாட்டை மீறுவதில்லை npq ஹைபர்ஜியோமெட்ரிக் விநியோகத்தின் எந்த வரிசையின் தருணங்களிலும், பைனோமியல் விநியோகத்தின் தருணங்களின் தொடர்புடைய மதிப்புகளுக்குச் செல்கிறது.

தரக் கட்டுப்பாட்டுப் பயன்பாடுகளில் இந்த விநியோகம் மிகவும் அடிக்கடி நிகழ்கிறது.

பல்லுறுப்புக்கோவை பரவல்

பல்லுறுப்புக்கோவை, அல்லது பல்லுறுப்புக்கோவை, விநியோகம் இயற்கையாகவே பரவலைப் பொதுமைப்படுத்துகிறது. ஒரு நாணயம் இரண்டு விளைவுகளுடன் (தலைகள் அல்லது முகடு) தூக்கி எறியப்படும் போது ஒரு பைனோமியல் விநியோகம் நிகழும் போது, ​​ஒரு டை உருட்டப்பட்டு இரண்டுக்கும் மேற்பட்ட சாத்தியமான விளைவுகள் இருக்கும் போது ஒரு பல்லுறுப்புக்கோவை விநியோகம் ஏற்படுகிறது. முறைப்படி, இது சீரற்ற மாறிகள் X 1,...,X k ஆகியவற்றின் கூட்டு நிகழ்தகவுப் பரவலாகும், எதிர்மறையான முழு எண் மதிப்புகள் n 1,...,n k எடுத்து, நிபந்தனை n 1 + ... + n k = n, நிகழ்தகவுகளுடன்:

பல்லுறுப்புக்கோவை (p 1 + ... + p k) n ஐ விரிவுபடுத்தும்போது பல்லுறுப்புக்கோவை நிகழ்தகவுகள் எழுகின்றன என்பதன் மூலம் "மல்டினோமியல் விநியோகம்" என்ற பெயர் விளக்கப்படுகிறது.

பீட்டா விநியோகம்

பீட்டா விநியோகம் படிவத்தின் அடர்த்தியைக் கொண்டுள்ளது:

நிலையான பீட்டா விநியோகம் 0 முதல் 1 வரையிலான இடைவெளியை மையமாகக் கொண்டது. நேரியல் மாற்றங்களைப் பயன்படுத்தி, பீட்டா மதிப்பை எந்த இடைவெளியிலும் மதிப்புகளை எடுக்கும் வகையில் மாற்றலாம்.

பீட்டா விநியோகம் கொண்ட அளவின் அடிப்படை எண் பண்புகள்:

தீவிர மதிப்புகளின் விநியோகம்

தீவிர மதிப்புகளின் விநியோகம் (வகை I) படிவத்தின் அடர்த்தியைக் கொண்டுள்ளது:

இந்த விநியோகம் சில நேரங்களில் தீவிர மதிப்பு விநியோகம் என்றும் அழைக்கப்படுகிறது.

தீவிர மதிப்புகளின் விநியோகம் தீவிர நிகழ்வுகளை மாடலிங் செய்வதில் பயன்படுத்தப்படுகிறது, எடுத்துக்காட்டாக, வெள்ள அளவுகள், சுழல் வேகம், ஒரு குறிப்பிட்ட ஆண்டிற்கான அதிகபட்ச பங்குச் சந்தை குறியீடுகள் போன்றவை.

இந்த விநியோகம் நம்பகத்தன்மை கோட்பாட்டில் பயன்படுத்தப்படுகிறது, எடுத்துக்காட்டாக, மின்சுற்றுகளின் தோல்வி நேரத்தை விவரிக்கவும், அதே போல் உண்மையான கணக்கீடுகளிலும்.

ரேலி விநியோகங்கள்

Rayleigh விநியோகம் படிவத்தின் அடர்த்தியைக் கொண்டுள்ளது:

b என்பது அளவுகோல் அளவுரு.

Rayleigh விநியோகம் 0 முதல் முடிவிலி வரையிலான வரம்பில் குவிந்துள்ளது. மதிப்பு 0 க்கு பதிலாக, STATISTICA ஆனது த்ரெஷோல்ட் அளவுருவிற்கு வேறு மதிப்பை உள்ளிட அனுமதிக்கிறது, இது Rayleigh விநியோகத்தைப் பொருத்துவதற்கு முன் அசல் தரவிலிருந்து கழிக்கப்படும். எனவே, வாசல் அளவுருவின் மதிப்பு கவனிக்கப்பட்ட அனைத்து மதிப்புகளையும் விட குறைவாக இருக்க வேண்டும்.

இரண்டு மாறிகள் 1 மற்றும் 2 ஒன்றுக்கொன்று சார்பற்றதாக இருந்தால் மற்றும் பொதுவாக ஒரே மாறுபாட்டுடன் விநியோகிக்கப்பட்டால், மாறி Rayleigh விநியோகம் இருக்கும்.

Rayleigh விநியோகம், எடுத்துக்காட்டாக, படப்பிடிப்பு கோட்பாட்டில் பயன்படுத்தப்படுகிறது.

வெய்புல் விநியோகம்

ஸ்வீடிஷ் ஆராய்ச்சியாளர் வாலோடி வெய்புல் என்பவரின் நினைவாக வெய்புல் விநியோகம் பெயரிடப்பட்டது, அவர் நம்பகத்தன்மை கோட்பாட்டில் பல்வேறு வகையான தோல்வி நேரங்களை விவரிக்க இந்த விநியோகத்தைப் பயன்படுத்தினார்.

முறைப்படி, வெய்புல் விநியோக அடர்த்தி இவ்வாறு எழுதப்படுகிறது:

சில நேரங்களில் வெய்புல் பரவல் அடர்த்தி இவ்வாறு எழுதப்படுகிறது:

பி - அளவுரு அளவுரு;

சி - வடிவ அளவுரு;

E என்பது ஆய்லரின் மாறிலி (2.718...).

நிலை அளவுரு. பொதுவாக வெய்புல் விநியோகமானது 0 முதல் முடிவிலி வரையிலான அரை அச்சில் மையமாக இருக்கும். எல்லை 0 க்கு பதிலாக, நடைமுறையில் பெரும்பாலும் தேவைப்படும் அளவுரு a ஐ அறிமுகப்படுத்தினால், மூன்று அளவுரு Weibull விநியோகம் என்று அழைக்கப்படுகிறது.

வெய்புல் விநியோகம் நம்பகத்தன்மை கோட்பாடு மற்றும் காப்பீட்டில் பரவலாகப் பயன்படுத்தப்படுகிறது.

மேலே விவரிக்கப்பட்டுள்ளபடி, ஒரு பொருளின் தோல்வியின் நிகழ்தகவு நிலையானது என்ற அனுமானத்தின் கீழ் தோல்விக்கான நேரத்தை மதிப்பிடுவதற்கான மாதிரியாக அதிவேக விநியோகம் பெரும்பாலும் பயன்படுத்தப்படுகிறது. காலப்போக்கில் தோல்வியின் நிகழ்தகவு மாறினால், வெய்புல் விநியோகம் பயன்படுத்தப்படும்.

மணிக்கு =1 உடன் அல்லது, மற்றொரு அளவுருவில், வெய்புல் விநியோகத்துடன், சூத்திரங்களில் இருந்து எளிதாகக் காணலாம், ஒரு அதிவேகப் பரவலாகவும், உடன் - ரேலீ விநியோகமாகவும் மாறும்.

Weibull விநியோக அளவுருக்களை மதிப்பிடுவதற்கான சிறப்பு முறைகள் உருவாக்கப்பட்டுள்ளன (உதாரணமாக, புத்தகம்: Lawless (1982) புள்ளிவிவர மாதிரிகள் மற்றும் வாழ்நாள் தரவுக்கான முறைகள், Belmont, CA: Lifetime Learning, இது மதிப்பீட்டு முறைகள் மற்றும் மதிப்பிடும் போது எழும் சிக்கல்களை விவரிக்கிறது. மூன்று அளவுரு விநியோகத்திற்கான நிலை அளவுரு Weibull).

பெரும்பாலும் நம்பகத்தன்மை பகுப்பாய்வை மேற்கொள்ளும்போது, ​​குறிப்பிட்ட நேரத்திற்குப் பிறகு குறுகிய கால இடைவெளியில் தோல்வியின் நிகழ்தகவைக் கருத்தில் கொள்வது அவசியம். t அதை தருணம் வரை வழங்கியுள்ளது t தோல்வி ஏற்படவில்லை.

இந்த செயல்பாடு ஆபத்து செயல்பாடு அல்லது தோல்வி விகிதம் செயல்பாடு என்று அழைக்கப்படுகிறது, மேலும் இது முறையாக பின்வருமாறு வரையறுக்கப்படுகிறது:

H(t) - தோல்வி விகிதம் செயல்பாடு அல்லது ஆபத்து செயல்பாடு நேரத்தில் t;

f(t) - தோல்வி நேரங்களின் விநியோக அடர்த்தி;

F(t) - தோல்வி நேரங்களின் விநியோக செயல்பாடு (இடைவெளிக்கு மேல் அடர்த்தியின் ஒருங்கிணைப்பு).

பொதுவாக, தோல்வி விகிதம் செயல்பாடு பின்வருமாறு எழுதப்பட்டுள்ளது:

ஆபத்து செயல்பாடு ஒரு மாறிலிக்கு சமமாக இருக்கும்போது, ​​இது சாதனத்தின் இயல்பான செயல்பாட்டிற்கு ஒத்திருக்கிறது (சூத்திரங்களைப் பார்க்கவும்).

ஆபத்து செயல்பாடு குறையும் போது, ​​இது சாதனத்தின் இயங்குதலுக்கு ஒத்திருக்கும்.

ஆபத்து செயல்பாடு குறையும் போது, ​​இது சாதனத்தின் வயதானதை ஒத்துள்ளது. வழக்கமான ஆபத்து செயல்பாடுகள் வரைபடத்தில் காட்டப்பட்டுள்ளன.

பல்வேறு அளவுருக்கள் கொண்ட வெய்புல் அடர்த்தி அடுக்குகள் கீழே காட்டப்பட்டுள்ளன. அளவுரு a இன் மதிப்புகளின் மூன்று வரம்புகளுக்கு கவனம் செலுத்த வேண்டியது அவசியம்:

முதல் பகுதியில், ஆபத்து செயல்பாடு குறைகிறது (சரிசெய்தல் காலம்), இரண்டாவது பகுதியில், ஆபத்து செயல்பாடு ஒரு மாறிலிக்கு சமம், மூன்றாவது பகுதியில், ஆபத்து செயல்பாடு அதிகரிக்கிறது.

ஒரு புதிய காரை வாங்குவதற்கான உதாரணத்தைப் பயன்படுத்தி நீங்கள் கூறப்பட்டதை நீங்கள் எளிதாகப் புரிந்து கொள்ளலாம்: முதலில் காரின் தழுவல் காலம், பின்னர் இயல்பான செயல்பாடு நீண்ட காலம், பின்னர் காரின் பாகங்கள் தேய்ந்துவிடும் மற்றும் அதன் தோல்வியின் ஆபத்து கூர்மையாக அதிகரிக்கிறது.

செயல்பாட்டின் அனைத்து காலகட்டங்களும் ஒரே விநியோக குடும்பத்தால் விவரிக்கப்படுவது முக்கியம். வெய்புல் விநியோகத்தின் பின்னணியில் உள்ள யோசனை இதுதான்.

Weibull விநியோகத்தின் முக்கிய எண் பண்புகளை முன்வைப்போம்.

பரேட்டோ விநியோகம்

பயன்பாட்டு புள்ளிவிவரங்களின் பல்வேறு சிக்கல்களில், துண்டிக்கப்பட்ட விநியோகங்கள் என்று அழைக்கப்படுவது மிகவும் பொதுவானது.

எடுத்துக்காட்டாக, இந்த விநியோகம் காப்பீட்டில் அல்லது வரிவிதிப்பில் பயன்படுத்தப்படுகிறது, வட்டி ஒரு குறிப்பிட்ட மதிப்பை மீறும் வருமானம் c 0

பரேட்டோ விநியோகத்தின் அடிப்படை எண் பண்புகள்:

லாஜிஸ்டிக் விநியோகம்

தளவாட விநியோகம் ஒரு அடர்த்தி செயல்பாட்டைக் கொண்டுள்ளது:

A - நிலை அளவுரு;

பி - அளவுரு அளவுரு;

இ - ஆய்லர் எண் (2.71...).

ஹோட்டல் டி 2 விநியோகம்

இடைவெளியை (0, Г) மையமாகக் கொண்ட இந்த தொடர்ச்சியான விநியோகம் அடர்த்தியைக் கொண்டுள்ளது:

அளவுருக்கள் எங்கே n மற்றும் k, n >_k >_1, சுதந்திரத்தின் அளவுகள் எனப்படும்.

மணிக்கு கே = 1 ஹோட்டல், பி-விநியோகம் மாணவர்களின் விநியோகத்தைக் குறைக்கிறது, மேலும் எதற்கும் k >1 என்பது பன்முக வழக்குக்கான மாணவர் விநியோகத்தின் பொதுமைப்படுத்தலாகக் கருதப்படலாம்.

ஹோட்டல் விநியோகம் சாதாரண விநியோகத்தை அடிப்படையாகக் கொண்டது.

ஒரு k-பரிமாண சீரற்ற திசையன் Y ஆனது பூஜ்ஜிய திசையன் பொருள் மற்றும் கோவாரியன்ஸ் மேட்ரிக்ஸுடன் இயல்பான பரவலைக் கொண்டிருக்கட்டும்.

அளவைக் கருத்தில் கொள்வோம்

சீரற்ற திசையன்களான Z i ஒன்றுக்கொன்று மற்றும் Y இல் இருந்து சுயாதீனமாக உள்ளன மற்றும் Y போலவே விநியோகிக்கப்படுகின்றன.

பின்னர் சீரற்ற மாறி T 2 =Y T S -1 Y ஆனது T 2 -Hotelling விநியோகம் n டிகிரி சுதந்திரத்துடன் உள்ளது (Y என்பது ஒரு நெடுவரிசை திசையன், T என்பது இடமாற்ற இயக்கி).

சீரற்ற மாறி எங்கே t n சுதந்திரத்தின் n டிகிரி கொண்ட மாணவர் விநியோகத்தைக் கொண்டுள்ளது (“நிகழ்தகவு மற்றும் கணிதப் புள்ளியியல்,” என்சைக்ளோபீடியா, ப. 792 ஐப் பார்க்கவும்).

Y என்பது பூஜ்ஜியமற்ற சராசரியுடன் இயல்பான பரவலைக் கொண்டிருந்தால், அதனுடன் தொடர்புடைய விநியோகம் அழைக்கப்படுகிறது அல்லாத மத்தியஹோட்டலிங் டி 2 - சுதந்திரம் மற்றும் மையமற்ற அளவுருவின் n டிகிரி கொண்ட விநியோகம் v.

Hotelling T 2 -distribution என்பது மாணவர்களின் ^-விநியோகத்தின் அதே சூழ்நிலையில் கணித புள்ளிவிவரங்களில் பயன்படுத்தப்படுகிறது, ஆனால் பன்முக வழக்கில் மட்டுமே. அவதானிப்புகளின் முடிவுகள் X 1,..., X n சுயாதீனமாக இருந்தால், பொதுவாக µ திசையன் மற்றும் ஒருமை அல்லாத கோவாரியன்ஸ் மேட்ரிக்ஸுடன் சீரற்ற திசையன்கள் விநியோகிக்கப்படுகின்றன, பின்னர் புள்ளிவிவரங்கள்

உடன் ஒரு Hotelling T 2 -விநியோகம் உள்ளது n - 1 டிகிரி சுதந்திரம். இந்த உண்மை ஹோட்டல் அளவுகோலின் அடிப்படையை உருவாக்குகிறது.

STATISTICA இல், ஹோட்டல் சோதனை கிடைக்கிறது, எடுத்துக்காட்டாக, அடிப்படை புள்ளிவிவரங்கள் மற்றும் அட்டவணைகள் தொகுதியில் (கீழே உள்ள உரையாடல் பெட்டியைப் பார்க்கவும்).

மேக்ஸ்வெல் விநியோகம்

ஒரு சிறந்த வாயுவின் மூலக்கூறுகளின் வேகங்களின் பரவலை விவரிக்கும் போது மேக்ஸ்வெல் பரவல் இயற்பியலில் எழுந்தது.

இந்த தொடர்ச்சியான விநியோகம் (0, ) ஐ மையமாகக் கொண்டது மற்றும் அடர்த்தி கொண்டது:

விநியோக செயல்பாடு வடிவம் உள்ளது:

Ф(x) என்பது நிலையான இயல்பான விநியோகச் செயல்பாடாகும். மேக்ஸ்வெல் விநியோகம் நேர்மறை வளைவு குணகம் மற்றும் ஒரு புள்ளியில் ஒற்றை பயன்முறையைக் கொண்டுள்ளது (அதாவது, விநியோகம் ஒரே மாதிரியானது).

மேக்ஸ்வெல் விநியோகம் எந்த வரிசையின் இறுதி தருணங்களைக் கொண்டுள்ளது; கணித எதிர்பார்ப்பு மற்றும் மாறுபாடு முறையே சமம், மற்றும்

மேக்ஸ்வெல் விநியோகம் இயற்கையாகவே இயல்பான விநியோகத்துடன் தொடர்புடையது.

X 1, X 2, X 3 ஆகியவை 0 மற்றும் õ 2 அளவுருக்களுடன் இயல்பான பரவலைக் கொண்ட சுயாதீன சீரற்ற மாறிகள் என்றால், சீரற்ற மாறி மேக்ஸ்வெல் விநியோகம் உள்ளது. இவ்வாறு, மேக்ஸ்வெல் பரவலானது, முப்பரிமாண இடைவெளியில் உள்ள கார்ட்டீசியன் ஒருங்கிணைப்பு அமைப்பில் உள்ள ஆயத்தொலைவுகள் சுயாதீனமாகவும் பொதுவாக சராசரி 0 மற்றும் மாறுபாடு õ 2 உடன் விநியோகிக்கப்படும் ஒரு சீரற்ற திசையன் நீளத்தின் விநியோகமாகக் கருதப்படலாம்.

காச்சி விநியோகம்

இந்த அற்புதமான விநியோகம் சில சமயங்களில் சராசரி மதிப்பைக் கொண்டிருக்கவில்லை, ஏனெனில் அதன் அடர்த்தி மிக மெதுவாக பூஜ்ஜியத்திற்கு செல்கிறது, ஏனெனில் x முழுமையான மதிப்பில் அதிகரிக்கும். இத்தகைய விநியோகங்கள் ஹெவி டெயில்ட் விநியோகங்கள் என்று அழைக்கப்படுகின்றன. சராசரி இல்லாத ஒரு விநியோகத்தை நீங்கள் கொண்டு வர வேண்டும் என்றால், உடனடியாக அதை Cauchy விநியோகம் என்று அழைக்கவும்.

Cauchy பரவலானது, பயன்முறையைப் பொறுத்தமட்டில் ஒரே மாதிரியானது மற்றும் சமச்சீரானது, இது இடைநிலை மற்றும் படிவத்தின் அடர்த்தி செயல்பாட்டைக் கொண்டுள்ளது:

எங்கே c > 0 - அளவுரு அளவுரு மற்றும் a என்பது மைய அளவுரு ஆகும், இது ஒரே நேரத்தில் பயன்முறை மற்றும் இடைநிலையின் மதிப்புகளை தீர்மானிக்கிறது.

அடர்த்தியின் ஒருங்கிணைப்பு, அதாவது, விநியோக செயல்பாடு உறவால் வழங்கப்படுகிறது:

மாணவர் விநியோகம்

"மாணவர்" என்ற புனைப்பெயரில் அறியப்பட்ட ஆங்கிலப் புள்ளியியல் நிபுணர் டபிள்யூ. கோசெட், ஆங்கில பீரின் தரத்தைப் பற்றிய புள்ளிவிவர ஆய்வு மூலம் தனது வாழ்க்கையைத் தொடங்கியவர், 1908 இல் பின்வரும் முடிவைப் பெற்றார். விடுங்கள் x 0 , x 1 ,.., x m - சுயாதீனமான, (0, s 2) - பொதுவாக விநியோகிக்கப்படும் சீரற்ற மாறிகள்:

இந்த விநியோகம், இப்போது மாணவர் விநியோகம் என்று அழைக்கப்படுகிறது (சுருக்கமாக t(m) விநியோகம், இங்கு m என்பது சுதந்திரத்தின் அளவுகளின் எண்ணிக்கை), இரண்டு மக்கள்தொகையின் வழிமுறைகளை ஒப்பிடுவதற்காக வடிவமைக்கப்பட்ட பிரபலமான டி-டெஸ்டின் அடிப்படையாகும்.

அடர்த்தி செயல்பாடு f t (x) என்பது சீரற்ற மாறிகளின் õ 2 மாறுபாட்டைச் சார்ந்து இல்லை, மேலும், x = 0 புள்ளியைப் பொறுத்து ஒரே மாதிரியாகவும் சமச்சீராகவும் இருக்கும்.

மாணவர் விநியோகத்தின் அடிப்படை எண் பண்புகள்:

சராசரியின் மதிப்பீடுகள் பரிசீலிக்கப்படும் மற்றும் மாதிரி மாறுபாடு தெரியாத சந்தர்ப்பங்களில் t விநியோகம் முக்கியமானது. இந்த வழக்கில், மாதிரி மாறுபாடு மற்றும் டி-விநியோகம் பயன்படுத்தப்படுகிறது.

பெரிய அளவிலான சுதந்திரத்திற்கு (30க்கு மேல்), டி-விநியோகம் நடைமுறையில் நிலையான இயல்பான விநியோகத்துடன் ஒத்துப்போகிறது.

டி-பகிர்வு அடர்த்தி செயல்பாட்டின் வரைபடம், சுதந்திரத்தின் டிகிரிகளின் எண்ணிக்கையை அதிகரிப்பதால் சிதைகிறது: உச்சம் அதிகரிக்கிறது, வால்கள் 0 வரை செங்குத்தாக செல்கின்றன, மேலும் டி-விநியோக அடர்த்தி செயல்பாட்டின் வரைபடம் பக்கவாட்டாக சுருக்கப்பட்டதாகத் தோன்றுகிறது.

எஃப்-விநியோகம்

கருத்தில் கொள்வோம் மீ 1 + மீ 2 சுயாதீனமான மற்றும் (0, s 2) பொதுவாக விநியோகிக்கப்படும் அளவுகள்

மற்றும் வைத்து

வெளிப்படையாக, அதே சீரற்ற மாறி இரண்டு சுயாதீனமான மற்றும் சரியான முறையில் இயல்பாக்கப்பட்ட கை-சதுர விநியோகிக்கப்பட்ட மாறிகளின் விகிதமாகவும் வரையறுக்கப்படலாம் மற்றும் , அதாவது

பிரபல ஆங்கிலப் புள்ளியியல் நிபுணர் ஆர். ஃபிஷர் 1924 ஆம் ஆண்டில் ஒரு சீரற்ற மாறி F(m 1, m 2) இன் நிகழ்தகவு அடர்த்தி செயல்பாட்டின் மூலம் வழங்கப்படுகிறது என்று காட்டினார்:

இதில் Г(у) என்பது ஆய்லரின் காமா செயல்பாட்டின் மதிப்பு. புள்ளி y, மற்றும் சட்டமே எஃப்-விநியோகம் என அழைக்கப்படுகிறது, இது முறையே m,1l m7 க்கு சமமான எண் மற்றும் வகுப்பின் சுதந்திரத்தின் டிகிரி எண்களுடன்

எஃப் விநியோகத்தின் அடிப்படை எண் பண்புகள்:

எஃப் விநியோகம் பாரபட்சமான பகுப்பாய்வு, பின்னடைவு பகுப்பாய்வு, மாறுபாட்டின் பகுப்பாய்வு மற்றும் பிற வகை பல்வகை தரவு பகுப்பாய்வுகளில் தோன்றும்.