4க்கு பயன்படுத்தவா? நீங்கள் மகிழ்ச்சியில் வெடிக்கவில்லையா?

கேள்வி, அவர்கள் சொல்வது போல், சுவாரஸ்யமானது ... உங்களால் முடியும், நீங்கள் 4 இல் தேர்ச்சி பெறலாம்! மற்றும் அதே நேரத்தில், வெடிக்க வேண்டாம் ... முக்கிய நிபந்தனை வழக்கமாக பயிற்சி ஆகும். கணிதத்தில் தேர்வுக்கான அடிப்படை தயாரிப்பு இங்கே. ஒருங்கிணைந்த மாநில தேர்வின் அனைத்து ரகசியங்கள் மற்றும் மர்மங்களுடன், நீங்கள் பாடப்புத்தகங்களில் படிக்க மாட்டீர்கள் ... இந்த பகுதியைப் படிக்கவும், பல்வேறு மூலங்களிலிருந்து கூடுதல் பணிகளைத் தீர்க்கவும் - எல்லாம் செயல்படும்! அடிப்படைப் பிரிவு "உங்களுக்கும் மூவருக்கும் போதும்!" உங்களுக்கு எந்த பிரச்சனையும் ஏற்படுத்தாது. ஆனால் திடீரென்று ... இணைப்புகளைப் பின்தொடரவும், சோம்பேறியாக இருக்காதீர்கள்!

நாங்கள் ஒரு பெரிய மற்றும் பயங்கரமான தலைப்புடன் தொடங்குவோம்.

முக்கோணவியல்

கவனம்!
கூடுதல் உள்ளன
சிறப்புப் பிரிவு 555ல் உள்ள பொருள்.
"மிகவும் இல்லை..." என்று வலுவாக இருப்பவர்களுக்கு
மேலும் "மிக அதிகம்..." என்று இருப்பவர்களுக்கு)

இந்த தலைப்பு மாணவர்களுக்கு நிறைய பிரச்சனைகளை கொடுக்கிறது. இது மிகவும் கடுமையான ஒன்றாக கருதப்படுகிறது. சைன் மற்றும் கொசைன் என்றால் என்ன? தொடுகோடு மற்றும் கோட்டான்ஜென்ட் என்றால் என்ன? எண் வட்டம் என்றால் என்ன?இந்த பாதிப்பில்லாத கேள்விகளைக் கேட்பது மதிப்புக்குரியது, ஒரு நபர் வெளிர் நிறமாகி, உரையாடலை பக்கத்திற்குத் திருப்ப முயற்சிக்கிறார் ... ஆனால் வீண். இவை எளிய கருத்துக்கள். இந்த தலைப்பு மற்றவர்களை விட கடினமாக இல்லை. இந்தக் கேள்விகளுக்கான பதில்களை நீங்கள் ஆரம்பத்தில் இருந்தே தெளிவாகப் புரிந்து கொள்ள வேண்டும். இது மிகவும் முக்கியமானது. நீங்கள் அதை கண்டுபிடித்திருந்தால், நீங்கள் முக்கோணவியல் விரும்புவீர்கள். அதனால்,

சைன் மற்றும் கொசைன் என்றால் என்ன? தொடுகோடு மற்றும் கோட்டான்ஜென்ட் என்றால் என்ன?

பழங்காலத்திலிருந்தே தொடங்குவோம். கவலைப்பட வேண்டாம், 20 நூற்றாண்டுகளின் முக்கோணவியலை 15 நிமிடங்களில் கடந்துவிடுவோம். மேலும், நமக்குப் புரியாத வகையில், கிரேடு 8ல் இருந்து வடிவவியலின் ஒரு பகுதியை மீண்டும் செய்வோம்.

பக்கங்களுடன் ஒரு வலது முக்கோணத்தை வரையவும் a, b, cமற்றும் கோணம் எக்ஸ். இதோ ஒன்று.

வலது கோணத்தை உருவாக்கும் பக்கங்கள் கால்கள் என்று அழைக்கப்படுகின்றன என்பதை நான் உங்களுக்கு நினைவூட்டுகிறேன். a மற்றும் c- சறுக்கு. அவற்றில் இரண்டு உள்ளன. மறுபக்கம் ஹைப்போடென்யூஸ் என்று அழைக்கப்படுகிறது. உடன்- ஹைப்போடென்யூஸ்.

முக்கோணம் மற்றும் முக்கோணம், அதைப் பற்றி சிந்தியுங்கள்! அவரை என்ன செய்வது? ஆனால் பழங்கால மக்களுக்கு என்ன செய்வது என்று தெரியும்! அவர்களின் செயல்களை மீண்டும் செய்வோம். பக்கத்தை அளப்போம் உள்ளே. படத்தில், செல்கள் சிறப்பாக வரையப்பட்டுள்ளன, இது தேர்வின் பணிகளில் நடக்கிறது. பக்கம் உள்ளேநான்கு செல்களுக்கு சமம். சரி. பக்கத்தை அளப்போம் அ.மூன்று செல்கள்.

இப்போது பக்கத்தின் நீளத்தை பிரிப்போம் அஒரு பக்க நீளம் உள்ளே. அல்லது, அவர்கள் சொல்வது போல், விகிதத்தை எடுத்துக் கொள்வோம் அசெய்ய உள்ளே. a/c= 3/4.

மாற்றாக, நீங்கள் பகிரலாம் உள்ளேஅதன் மேல் அ.நமக்கு 4/3 கிடைக்கும். முடியும் உள்ளேபிரித்து உடன்.ஹைப்போடென்யூஸ் உடன்செல்கள் மூலம் எண்ண வேண்டாம், ஆனால் அது சமம் 5. நாம் பெறுகிறோம் a/c= 4/5. சுருக்கமாக, நீங்கள் பக்கங்களின் நீளத்தை ஒருவருக்கொருவர் பிரித்து சில எண்களைப் பெறலாம்.

அதனால் என்ன? இந்த சுவாரஸ்யமான செயல்பாட்டின் பொருள் என்ன? இதுவரை இல்லை. ஒரு முட்டாள் வேலை, நேர்மையாக இருக்க வேண்டும்.)

இப்போது இதை செய்வோம். முக்கோணத்தை பெரிதாக்குவோம். பக்கங்களை நீட்டிப்போம் மற்றும் இருந்து, ஆனால் அதனால் முக்கோணம் வலது கோணத்தில் இருக்கும். மூலை எக்ஸ், நிச்சயமாக, மாறாது. அதைப் பார்க்க, உங்கள் சுட்டியை படத்தின் மேல் வைக்கவும் அல்லது அதைத் தொடவும் (உங்களிடம் டேப்லெட் இருந்தால்). கட்சிகள் a, b மற்றும் cமாறிவிடும் மீ, என், கே, மற்றும், நிச்சயமாக, பக்கங்களின் நீளம் மாறும்.

ஆனால் அவர்களின் உறவு இல்லை!

மனோபாவம் a/cஅது: a/c= 3/4, ஆனது m/n= 6/8 = 3/4. பிற தொடர்புடைய கட்சிகளின் உறவுகளும் மாறாது . நீங்கள் ஒரு வலது முக்கோணத்தில் பக்கங்களின் நீளத்தை தன்னிச்சையாக மாற்றலாம், அதிகரிக்கலாம், குறைக்கலாம், x கோணத்தை மாற்றாமல் – அந்தந்த கட்சிகளின் உறவு மாறாது . நீங்கள் சரிபார்க்கலாம் அல்லது பழங்கால மக்களின் வார்த்தையை நீங்கள் எடுத்துக் கொள்ளலாம்.

இப்போது இது மிகவும் முக்கியமானது! ஒரு செங்கோண முக்கோணத்தில் உள்ள பக்கங்களின் விகிதங்கள் பக்கங்களின் நீளத்தை (அதே கோணத்திற்கு) எந்த வகையிலும் சார்ந்து இருக்காது. இது மிகவும் முக்கியமானது, கட்சிகளின் உறவுகள் அவற்றின் சிறப்புப் பெயர்களைப் பெற்றுள்ளன. அவர்களின் பெயர்கள், பேசலாம்.) பழகவும்.

கோணம் x இன் சைன் என்ன ? இது எதிர் காலின் ஹைப்போடென்ஸுக்கு விகிதம்:

sinx = a/c

கோணம் x இன் கொசைன் என்றால் என்ன ? இது ஹைபோடென்ஸுக்கு அருகிலுள்ள காலின் விகிதம்:

உடன்osx= a/c

x கோணத்தின் தொடுகோடு என்ன ? இது எதிரெதிர் காலின் அருகில் உள்ள விகிதமாகும்:

tgx=a/c

கோணம் x இன் கோடேன்ஜென்ட் என்ன ? இது எதிர் காலின் எதிர் காலின் விகிதம்:

ctgx = in/a

எல்லாம் மிகவும் எளிமையானது. Sine, cosine, tangent மற்றும் cotangent ஆகியவை சில எண்கள். பரிமாணமற்றது. வெறும் எண்கள். ஒவ்வொரு மூலைக்கும் - அவர்களின் சொந்த.

நான் ஏன் மிகவும் சலிப்பாக மீண்டும் சொல்கிறேன்? அப்புறம் என்ன நினைவில் கொள்ள வேண்டும். முரண்பாடாக ஞாபகம் இருக்கிறது. மனப்பாடம் செய்வதை எளிதாக்கலாம். "தூரத்தில் இருந்து தொடங்குவோம் ..." என்ற சொற்றொடர் தெரிந்ததா? எனவே தூரத்திலிருந்து தொடங்குங்கள்.

நீர் சேர்க்கைகோணம் என்பது விகிதம் தொலைவில்காலின் கோணத்தில் இருந்து ஹைப்போடென்யூஸ் வரை. கொசைன்ஹைப்போடென்ஸுக்கு அருகில் உள்ள விகிதமாகும்.

தொடுகோடுகோணம் என்பது விகிதம் தொலைவில்வடிகுழாயின் கோணத்தில் இருந்து அருகில் உள்ளது. கோட்டான்ஜென்ட்- நேர்மாறாக.

ஏற்கனவே எளிதானது, இல்லையா?

சரி, கால்கள் மட்டுமே தொடுகோடு மற்றும் கோட்டான்ஜெண்டில் அமர்ந்திருப்பதை நீங்கள் நினைவில் வைத்திருந்தால், சைன் மற்றும் கோசைனில் ஹைப்போடென்யூஸ் தோன்றும், பின்னர் எல்லாம் மிகவும் எளிமையானதாகிவிடும்.

இந்த முழு புகழ்பெற்ற குடும்பம் - சைன், கொசைன், டேன்ஜென்ட் மற்றும் கோட்டான்ஜென்ட் என்றும் அழைக்கப்படுகிறது முக்கோணவியல் செயல்பாடுகள்.

இப்போது கருத்தில் கொள்ள வேண்டிய ஒரு கேள்வி.

ஏன் சைன், கொசைன், டேன்ஜென்ட் மற்றும் கோட்டான்ஜென்ட் என்று சொல்கிறோம் மூலையில்?கட்சிகளின் உறவைப் பற்றி பேசுகிறோம், இது போல ... அதற்கும் என்ன சம்பந்தம் மூலையில்?

இரண்டாவது படத்தைப் பார்ப்போம். முதல் ஒன்றைப் போலவே.

படத்தின் மீது உங்கள் சுட்டியை வட்டமிடுங்கள். கோணத்தை மாற்றினேன் எக்ஸ். இருந்து அதை பெரிதாக்கியது x முதல் x வரை.எல்லா உறவுகளும் மாறிவிட்டன! மனோபாவம் a/c 3/4, மற்றும் தொடர்புடைய விகிதம் t/in 6/4 ஆனது.

மற்ற எல்லா உறவுகளும் வித்தியாசமாகிவிட்டன!

எனவே, பக்கங்களின் விகிதங்கள் அவற்றின் நீளத்தை (ஒரு கோணத்தில் x) எந்த வகையிலும் சார்ந்து இல்லை, ஆனால் இந்த கோணத்தையே கடுமையாக சார்ந்துள்ளது! மேலும் அவரிடமிருந்து மட்டுமே.எனவே, sine, cosine, tangent மற்றும் cotangent ஆகிய சொற்கள் குறிப்பிடுகின்றன மூலையில்.இங்கு மூலை முதன்மையானது.

கோணம் அதன் முக்கோணவியல் செயல்பாடுகளுடன் பிரிக்கமுடியாத வகையில் இணைக்கப்பட்டுள்ளது என்பதை முரண்பாடாக புரிந்து கொள்ள வேண்டும். ஒவ்வொரு கோணத்திற்கும் அதன் சொந்த சைன் மற்றும் கொசைன் உள்ளது. மேலும் ஏறக்குறைய ஒவ்வொருவருக்கும் அவரவர் தொடுகோடு மற்றும் கோடேன்ஜென்ட் உள்ளது.அது முக்கியம். நமக்கு ஒரு கோணம் கொடுக்கப்பட்டால், அதன் சைன், கொசைன், டேன்ஜென்ட் மற்றும் கோடேன்ஜென்ட் என்று நம்பப்படுகிறது. எங்களுக்கு தெரியும் ! மற்றும் நேர்மாறாகவும். ஒரு சைன் அல்லது வேறு ஏதேனும் முக்கோணவியல் செயல்பாடு கொடுக்கப்பட்டால், கோணம் நமக்குத் தெரியும்.

ஒவ்வொரு கோணத்திற்கும் அதன் முக்கோணவியல் செயல்பாடுகள் எழுதப்பட்ட சிறப்பு அட்டவணைகள் உள்ளன. பிராடிஸ் அட்டவணைகள் என்று அழைக்கப்படுகின்றன. அவை மிக நீண்ட காலமாக உருவாக்கப்பட்டுள்ளன. கால்குலேட்டர்களோ கணினிகளோ இல்லாத காலத்தில்...

நிச்சயமாக, அனைத்து கோணங்களின் முக்கோணவியல் செயல்பாடுகளை மனப்பாடம் செய்ய முடியாது. நீங்கள் சில கோணங்களில் அவற்றைத் தெரிந்து கொள்ள வேண்டும், மேலும் அதைப் பற்றி பின்னர். ஆனால் மந்திரம் எனக்கு ஒரு கோணம் தெரியும், அதனால் அதன் முக்கோணவியல் செயல்பாடுகள் எனக்குத் தெரியும்" -எப்போதும் வேலை செய்கிறது!

எனவே நாங்கள் 8 ஆம் வகுப்பிலிருந்து வடிவவியலின் ஒரு பகுதியை மீண்டும் மீண்டும் செய்தோம். தேர்வுக்கு இது தேவையா? அவசியமானது. தேர்வில் இருந்து ஒரு பொதுவான பிரச்சனை இங்கே. இதற்கு 8ம் வகுப்பு படித்தால் போதும். படம் கொடுக்கப்பட்டது:

எல்லாம். மேலும் தரவு எதுவும் இல்லை. BC காலின் நீளத்தை நாம் கண்டுபிடிக்க வேண்டும்.

செல்கள் சிறிதளவு உதவுகின்றன, முக்கோணம் எப்படியோ தவறாக அமைந்துள்ளது .... நோக்கத்திற்காக, நான் யூகிக்கிறேன் ... தகவலில் இருந்து ஹைபோடென்யூஸின் நீளம் உள்ளது. 8 செல்கள். சில காரணங்களால், ஒரு கோணம் கொடுக்கப்பட்டுள்ளது.

இங்கே நாம் உடனடியாக முக்கோணவியல் பற்றி நினைவில் கொள்ள வேண்டும். ஒரு கோணம் உள்ளது, எனவே அதன் அனைத்து முக்கோணவியல் செயல்பாடுகளையும் நாம் அறிவோம். நான்கில் எந்த செயல்பாட்டைச் செயல்படுத்த வேண்டும்? நமக்குத் தெரிந்ததைப் பார்ப்போம், இல்லையா? ஹைப்போடென்யூஸ், கோணம் எங்களுக்குத் தெரியும், ஆனால் நாம் கண்டுபிடிக்க வேண்டும் அருகில்இந்த மூலையில் கேட்! தெளிவாக, கொசைன் செயல்பட வேண்டும்! இதோ தொடங்குகிறோம். கொசைன் (விகிதம் அருகில்கால் முதல் ஹைப்போடென்யூஸ்):

cosC = BC/8

கோணம் C 60 டிகிரி மற்றும் அதன் கொசைன் 1/2 ஆகும். எந்த அட்டவணையும் இல்லாமல் இதை நீங்கள் தெரிந்து கொள்ள வேண்டும்! அது:

1/2 = சூரியன்/8

அடிப்படை நேரியல் சமன்பாடு. தெரியவில்லை - சூரியன். சமன்பாடுகளை எவ்வாறு தீர்ப்பது என்பதை யார் மறந்துவிட்டார்கள், இணைப்பில் நடந்து செல்லுங்கள், மீதமுள்ளவர்கள் தீர்க்கிறார்கள்:

சூரியன் = 4

ஒவ்வொரு கோணமும் அதன் சொந்த முக்கோணவியல் செயல்பாடுகளைக் கொண்டுள்ளது என்பதை பண்டைய மக்கள் உணர்ந்தபோது, ​​அவர்களுக்கு ஒரு நியாயமான கேள்வி இருந்தது. சைன், கோசைன், டேன்ஜென்ட் மற்றும் கோடேன்ஜென்ட் ஆகியவை எப்படியாவது ஒன்றோடொன்று தொடர்புடையவை அல்லவா?கோணத்தின் ஒரு செயல்பாட்டை அறிந்து, மீதமுள்ளவற்றைக் கண்டுபிடிக்க முடியுமா? கோணத்தையே கணக்கிடாமல்?

அப்படித்தான் அவர்கள் அமைதியின்றி இருந்தார்கள்...)

ஒரு கோணத்தின் முக்கோணவியல் செயல்பாடுகளுக்கு இடையேயான இணைப்பு.

நிச்சயமாக, அதே கோணத்தின் சைன், கொசைன், டேன்ஜென்ட் மற்றும் கோடேன்ஜென்ட் ஆகியவை தொடர்புடையவை. வெளிப்பாடுகளுக்கு இடையிலான எந்த தொடர்பும் சூத்திரங்களால் கணிதத்தில் கொடுக்கப்பட்டுள்ளது. முக்கோணவியலில், ஏராளமான சூத்திரங்கள் உள்ளன. ஆனால் இங்கே நாம் மிக அடிப்படையானவற்றைப் பார்ப்போம். இந்த சூத்திரங்கள் அழைக்கப்படுகின்றன: அடிப்படை முக்கோணவியல் அடையாளங்கள்.இங்கே அவர்கள்:

இந்த ஃபார்முலாக்கள் இரும்பு தெரிந்து கொள்ள வேண்டும். அவை இல்லாமல், முக்கோணவியலில் எதுவும் செய்ய முடியாது. இந்த அடிப்படை அடையாளங்களிலிருந்து மேலும் மூன்று துணை அடையாளங்கள் பின்பற்றப்படுகின்றன:

கடைசி மூன்று சூத்திரங்கள் விரைவாக நினைவகத்திலிருந்து வெளியேறும் என்று நான் உடனடியாக எச்சரிக்கிறேன். சில காரணங்களால்.) நிச்சயமாக, நீங்கள் முதல் மூன்றில் இருந்து இந்த சூத்திரங்களைப் பெறலாம். ஆனால், ஒரு கடினமான தருணத்தில் ... நீங்கள் புரிந்துகொள்கிறீர்கள்.)

கீழே உள்ளவை போன்ற நிலையான பணிகளில், இந்த மறக்கக்கூடிய சூத்திரங்களைச் சுற்றி வர ஒரு வழி உள்ளது. மற்றும் பிழைகளை வெகுவாகக் குறைக்கிறதுமறதியால், கணக்கீடுகளிலும் கூட. இந்த நடைமுறை பிரிவு 555, பாடம் "ஒரு கோணத்தின் முக்கோணவியல் செயல்பாடுகளுக்கு இடையேயான உறவு."

எந்தப் பணிகளில் அடிப்படை முக்கோணவியல் அடையாளங்கள் எவ்வாறு பயன்படுத்தப்படுகின்றன? மற்றொன்று கொடுக்கப்பட்டால், கோணத்தின் சில செயல்பாட்டைக் கண்டுபிடிப்பதே மிகவும் பிரபலமான பணியாகும். தேர்வில், அத்தகைய பணி ஆண்டுதோறும் உள்ளது.) எடுத்துக்காட்டாக:

x ஒரு தீவிர கோணம் மற்றும் cosx=0.8 எனில் sinx இன் மதிப்பைக் கண்டறியவும்.

பணி கிட்டத்தட்ட ஆரம்பமானது. சைன் மற்றும் கொசைன் இருக்கும் சூத்திரத்தை நாங்கள் தேடுகிறோம். இதோ அந்த சூத்திரம்:

பாவம் 2 x + cos 2 x = 1

அறியப்பட்ட மதிப்பை இங்கே மாற்றுகிறோம், அதாவது, கொசைனுக்குப் பதிலாக 0.8:

பாவம் 2 x + 0.8 2 = 1

சரி, நாங்கள் வழக்கம் போல் கருதுகிறோம்:

பாவம் 2 x + 0.64 = 1

பாவம் 2 x \u003d 1 - 0.64

இங்கே, கிட்டத்தட்ட எல்லாம். நாம் சைனின் வர்க்கத்தை கணக்கிட்டுள்ளோம், அது வர்க்க மூலத்தை பிரித்தெடுக்க உள்ளது மற்றும் பதில் தயாராக உள்ளது! 0.36 இன் வேர் 0.6 ஆகும்.

பணி கிட்டத்தட்ட ஆரம்பமானது. ஆனால் "கிட்டத்தட்ட" என்ற வார்த்தை இங்கு வீண் இல்லை... உண்மை என்னவென்றால் sinx = - 0.6 என்ற விடையும் பொருந்தும்... (-0.6) 2 என்பதும் 0.36 ஆக இருக்கும்.

இரண்டு வெவ்வேறு பதில்கள் பெறப்படுகின்றன. மற்றும் உங்களுக்கு ஒன்று வேண்டும். இரண்டாவது தவறு. எப்படி இருக்க!? ஆம், வழக்கம் போல்.) வேலையை கவனமாகப் படியுங்கள். சில காரணங்களால் அது சொல்கிறது... x ஒரு தீவிர கோணம் என்றால்...மற்றும் பணிகளில், ஒவ்வொரு வார்த்தைக்கும் ஒரு அர்த்தம் உள்ளது, ஆம் ... இந்த சொற்றொடர் தீர்வுக்கான கூடுதல் தகவல்.

கடுமையான கோணம் என்பது 90°க்கும் குறைவான கோணமாகும். மற்றும் அத்தகைய கோணங்களில் அனைத்துமுக்கோணவியல் செயல்பாடுகள் - சைன் மற்றும் கொசைன் இரண்டும், மற்றும் கோட்டான்ஜென்ட் கொண்ட டேன்ஜென்ட் - நேர்மறை.அந்த. எதிர்மறையான பதிலை இங்கு நிராகரிக்கிறோம். எங்களுக்கு உரிமை உண்டு.

உண்மையில், எட்டாம் வகுப்பு மாணவர்களுக்கு இதுபோன்ற நுணுக்கங்கள் தேவையில்லை. அவை வலது முக்கோணங்களுடன் மட்டுமே வேலை செய்கின்றன, அங்கு மூலைகள் மட்டுமே கடுமையானதாக இருக்கும். அவர்களுக்குத் தெரியாது, மகிழ்ச்சியானவர்களே, எதிர்மறை கோணங்களும், 1000 ° கோணங்களும் உள்ளன ... மேலும் இந்த கனவுக் கோணங்கள் அனைத்தும் பிளஸ் மற்றும் மைனஸ் இரண்டிலும் அவற்றின் சொந்த முக்கோணவியல் செயல்பாடுகளைக் கொண்டுள்ளன ...

ஆனால் உயர்நிலைப் பள்ளி மாணவர்களுக்கு அடையாளத்தை கணக்கில் எடுத்துக் கொள்ளாமல் - வழி இல்லை. நிறைய அறிவு துக்கங்களை பெருக்குகிறது, ஆம்...) சரியான தீர்வுக்கு, பணியில் கூடுதல் தகவல்கள் இருக்க வேண்டும் (தேவைப்பட்டால்). உதாரணமாக, இது கொடுக்கப்படலாம்:

அல்லது வேறு வழி. கீழே உள்ள உதாரணங்களில் நீங்கள் பார்க்கலாம்.) அத்தகைய உதாரணங்களைத் தீர்க்க, நீங்கள் தெரிந்து கொள்ள வேண்டும் கொடுக்கப்பட்ட கோணம் x எந்த காலாண்டில் விழுகிறது மற்றும் இந்த காலாண்டில் விரும்பிய முக்கோணவியல் செயல்பாடு என்ன அடையாளத்தைக் கொண்டுள்ளது.

முக்கோணவியலின் இந்த அடிப்படைகள் முக்கோணவியல் வட்டம் என்றால் என்ன, இந்த வட்டத்தில் உள்ள கோணங்களின் எண்ணிக்கை, ஒரு கோணத்தின் ரேடியன் அளவு ஆகியவை பாடங்களில் விவாதிக்கப்படுகின்றன. சில நேரங்களில் நீங்கள் தொடுகோடுகள் மற்றும் கோட்டான்ஜென்ட்களின் கோசைன்களின் சைன்களின் அட்டவணையை அறிந்து கொள்ள வேண்டும்.

எனவே, மிக முக்கியமானவற்றைக் கவனியுங்கள்:

நடைமுறை குறிப்புகள்:

1. sine, cosine, tangent மற்றும் cotangent ஆகியவற்றின் வரையறைகளை நினைவில் கொள்ளுங்கள். மிகவும் பயனுள்ளது.

2. நாம் தெளிவாக ஒருங்கிணைக்கிறோம்: சைன், கொசைன், டேன்ஜென்ட் மற்றும் கோடேன்ஜென்ட் ஆகியவை கோணங்களுடன் உறுதியாக இணைக்கப்பட்டுள்ளன. நமக்கு ஒன்று தெரியும், அதனால் நமக்கு வேறு ஒன்று தெரியும்.

3. நாங்கள் தெளிவாக ஒருங்கிணைக்கிறோம்: ஒரு கோணத்தின் சைன், கொசைன், டேன்ஜென்ட் மற்றும் கோட்டான்ஜென்ட் ஆகியவை அடிப்படை முக்கோணவியல் அடையாளங்களால் ஒன்றோடொன்று இணைக்கப்பட்டுள்ளன. எங்களுக்கு ஒரு செயல்பாடு தெரியும், அதாவது (தேவையான கூடுதல் தகவல் இருந்தால்) மற்ற அனைத்தையும் கணக்கிட முடியும்.

இப்போது வழக்கம் போல் முடிவு செய்வோம். முதலில், 8 ஆம் வகுப்பின் தொகுதியில் பணிகள். ஆனால் உயர்நிலைப் பள்ளி மாணவர்களும் முடியும் ...)

1. ctgA = 0.4 எனில் tgA இன் மதிப்பைக் கணக்கிடவும்.

2. β - செங்கோண முக்கோணத்தில் கோணம். sinβ = 12/13 எனில் tgβ இன் மதிப்பைக் கண்டறியவும்.

3. tgx \u003d 4/3 என்றால் தீவிர கோணம் x இன் சைனைத் தீர்மானிக்கவும்.

4. வெளிப்பாட்டின் மதிப்பைக் கண்டறியவும்:

6sin 2 5° - 3 + 6cos 2 5°

5. வெளிப்பாட்டின் மதிப்பைக் கண்டறியவும்:

(1-cosx)(1+cosx), sinx = 0.3

பதில்கள் (அரைப்புள்ளிகளால் பிரிக்கப்பட்டு, குழப்பத்தில்):

0,09; 3; 0,8; 2,4; 2,5

நடந்ததா? சிறப்பானது! எட்டாம் வகுப்பு மாணவர்கள் ஏற்கனவே தங்கள் Aகளை பின்பற்றலாம்.)

எல்லாம் சரியாகவில்லையா? பணிகள் 2 மற்றும் 3 எப்படியோ மிகவும் இல்லை ...? எந்த பிரச்சினையும் இல்லை! அத்தகைய பணிகளுக்கு ஒரு அழகான நுட்பம் உள்ளது. எல்லாம் நடைமுறையில், சூத்திரங்கள் இல்லாமல் தீர்மானிக்கப்படுகிறது! எனவே, பிழைகள் இல்லாமல். இந்த நுட்பம் பாடத்தில் விவரிக்கப்பட்டுள்ளது: பிரிவு 555 இல் "ஒரு கோணத்தின் முக்கோணவியல் செயல்பாடுகளுக்கு இடையிலான உறவு". மற்ற அனைத்து பணிகளும் அங்கு பிரிக்கப்படுகின்றன.

இவை ஒருங்கிணைந்த மாநிலத் தேர்வு போன்ற சிக்கல்கள், ஆனால் அகற்றப்பட்ட பதிப்பில் இருந்தன. பயன்படுத்த - ஒளி). இப்போது கிட்டத்தட்ட அதே பணிகள், ஆனால் முழு அளவிலான வடிவத்தில். அறிவுச் சுமையுள்ள உயர்நிலைப் பள்ளி மாணவர்களுக்கு.)

6. sinβ = 12/13 மற்றும் என்றால் tgβ இன் மதிப்பைக் கண்டறியவும்

7. tgx = 4/3, மற்றும் x என்பது இடைவெளியில் (- 540°; - 450°) சேர்ந்தால் sinx ஐத் தீர்மானிக்கவும்.

8. ctgβ = 1 எனில் sinβ cosβ வெளிப்பாட்டின் மதிப்பைக் கண்டறியவும்.

பதில்கள் (குழப்பத்தில்):

0,8; 0,5; -2,4.

இங்கே, சிக்கல் 6 இல், கோணம் எப்படியோ மிகவும் சந்தேகத்திற்கு இடமின்றி கொடுக்கப்பட்டுள்ளது ... ஆனால் சிக்கல் 8 இல், அது அமைக்கப்படவில்லை! இது வேண்டுமென்றே). கூடுதல் தகவல் பணியிலிருந்து மட்டுமல்ல, தலையிலிருந்தும் எடுக்கப்படுகிறது.) ஆனால் நீங்கள் முடிவு செய்தால், ஒரு சரியான பணி உத்தரவாதம்!

நீங்கள் முடிவு செய்யவில்லை என்றால் என்ன செய்வது? ம்... சரி, பிரிவு 555 இங்கே உதவும். அங்கு, இந்த பணிகள் அனைத்திற்கும் தீர்வுகள் விரிவாக விவரிக்கப்பட்டுள்ளன, புரிந்து கொள்ளாமல் இருப்பது கடினம்.

இந்த பாடத்தில், முக்கோணவியல் செயல்பாடுகளின் மிகக் குறைந்த கருத்து கொடுக்கப்பட்டுள்ளது. 8 ஆம் வகுப்புக்குள். மூத்தவர்களுக்கு கேள்விகள்...

உதாரணமாக, கோணம் என்றால் எக்ஸ்(இந்தப் பக்கத்தில் உள்ள இரண்டாவது படத்தைப் பார்க்கவும்) - அதை ஊமையாக்கு!? முக்கோணம் இடிந்து விழும்! மற்றும் எப்படி இருக்க வேண்டும்? கால் இருக்காது, ஹைப்போடென்யூஸ் இருக்காது ... சைன் போய்விட்டது ...

பழங்கால மக்கள் இந்த சூழ்நிலையிலிருந்து ஒரு வழியைக் கண்டுபிடிக்கவில்லை என்றால், இப்போது நம்மிடம் மொபைல் போன், டிவி அல்லது மின்சாரம் இருக்காது. ஆம் ஆம்! முக்கோணவியல் செயல்பாடுகள் இல்லாத இந்த அனைத்து விஷயங்களின் கோட்பாட்டு அடிப்படையானது மந்திரக்கோலை இல்லாமல் பூஜ்ஜியமாகும். ஆனால் பண்டைய மக்கள் ஏமாற்றமடையவில்லை. அவர்கள் எப்படி வெளியேறினார்கள் - அடுத்த பாடத்தில்.

இந்த தளம் உங்களுக்கு பிடித்திருந்தால்...

உங்களுக்காக இன்னும் இரண்டு சுவாரஸ்யமான தளங்கள் என்னிடம் உள்ளன.)

உதாரணங்களைத் தீர்ப்பதில் நீங்கள் பயிற்சி செய்யலாம் மற்றும் உங்கள் நிலையைக் கண்டறியலாம். உடனடி சரிபார்ப்புடன் சோதனை. கற்றல் - ஆர்வத்துடன்!)

செயல்பாடுகள் மற்றும் வழித்தோன்றல்களை நீங்கள் அறிந்து கொள்ளலாம்.

வாழ்க்கையில், நாம் அடிக்கடி கணித சிக்கல்களை எதிர்கொள்ள வேண்டியிருக்கும்: பள்ளியில், பல்கலைக்கழகத்தில், பின்னர் எங்கள் குழந்தைக்கு வீட்டுப்பாடத்தில் உதவுவது. குறிப்பிட்ட தொழில்களைச் சேர்ந்தவர்கள் அன்றாடம் கணிதத்தை சந்திப்பார்கள். எனவே, கணித விதிகளை மனப்பாடம் செய்வது அல்லது நினைவுபடுத்துவது பயனுள்ளது. இந்த கட்டுரையில், அவற்றில் ஒன்றை நாங்கள் பகுப்பாய்வு செய்வோம்: ஒரு செங்கோண முக்கோணத்தின் காலைக் கண்டறிதல்.

செங்கோண முக்கோணம் என்றால் என்ன

முதலில், செங்கோண முக்கோணம் என்றால் என்ன என்பதை நினைவில் கொள்வோம். ஒரு செங்கோண முக்கோணம் என்பது ஒரே நேர்கோட்டில் இல்லாத புள்ளிகளை இணைக்கும் மூன்று பிரிவுகளின் வடிவியல் உருவமாகும், மேலும் இந்த உருவத்தின் கோணங்களில் ஒன்று 90 டிகிரி ஆகும். வலது கோணத்தை உருவாக்கும் பக்கங்கள் கால்கள் என்றும், வலது கோணத்திற்கு எதிரே இருக்கும் பக்கமானது ஹைப்போடென்யூஸ் என்றும் அழைக்கப்படுகிறது.

செங்கோண முக்கோணத்தின் காலை கண்டறிதல்

காலின் நீளத்தைக் கண்டறிய பல வழிகள் உள்ளன. நான் அவற்றை இன்னும் விரிவாகக் கருத்தில் கொள்ள விரும்புகிறேன்.

பித்தகோரியன் தேற்றம் செங்கோண முக்கோணத்தின் காலைக் கண்டறியும்

ஹைப்போடென்யூஸ் மற்றும் கால் தெரிந்தால், பித்தகோரியன் தேற்றத்தைப் பயன்படுத்தி தெரியாத காலின் நீளத்தைக் கண்டறியலாம். இது போல் தெரிகிறது: "ஹைபோடென்யூஸின் சதுரம் கால்களின் சதுரங்களின் கூட்டுத்தொகைக்கு சமம்." சூத்திரம்: c²=a²+b², இதில் c என்பது ஹைப்போடென்யூஸ், a மற்றும் b ஆகியவை கால்கள். நாங்கள் சூத்திரத்தை மாற்றி, பெறுகிறோம்: a²=c²-b².

உதாரணமாக. ஹைப்போடென்யூஸ் 5 செ.மீ. மற்றும் கால் 3 செ.மீ. நாங்கள் சூத்திரத்தை மாற்றுகிறோம்: c²=a²+b² → a²=c²-b². அடுத்து, நாங்கள் முடிவு செய்கிறோம்: a²=5²-3²; a²=25-9; a²=16; a=√16; a=4 (செ.மீ.)

செங்கோண முக்கோணத்தின் காலைக் கண்டறிய முக்கோணவியல் உறவுகள்

செங்கோண முக்கோணத்தின் வேறு எந்தப் பக்கமும், தீவிரக் கோணமும் தெரிந்தால், தெரியாத காலையும் கண்டுபிடிக்க முடியும். முக்கோணவியல் செயல்பாடுகளைப் பயன்படுத்தி காலைக் கண்டறிய நான்கு விருப்பங்கள் உள்ளன: சைன், கொசைன், டேன்ஜென்ட், கோடேன்ஜென்ட். சிக்கல்களைத் தீர்க்க, கீழே உள்ள அட்டவணை எங்களுக்கு உதவும். இந்த விருப்பங்களை கருத்தில் கொள்வோம்.

சைனைப் பயன்படுத்தி வலது முக்கோணத்தின் காலைக் கண்டறியவும்

ஒரு கோணத்தின் சைன் (பாவம்) என்பது எதிர் காலின் ஹைப்போடென்யூஸின் விகிதமாகும். சூத்திரம்: sin \u003d a / c, இங்கு a என்பது கொடுக்கப்பட்ட கோணத்திற்கு எதிரே உள்ள கால் மற்றும் c என்பது ஹைப்போடென்யூஸ். அடுத்து, சூத்திரத்தை மாற்றி, பெறுவோம்: a=sin*c.

உதாரணமாக. ஹைப்போடென்யூஸ் 10 செமீ மற்றும் கோணம் A 30 டிகிரி ஆகும். அட்டவணையின்படி, கோணம் A இன் சைனைக் கணக்கிடுகிறோம், அது 1/2 க்கு சமம். பின்னர், மாற்றப்பட்ட சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்தி, நாம் தீர்க்கிறோம்: a=sin∠A*c; a=1/2*10; a=5 (செ.மீ.)

கோசைனைப் பயன்படுத்தி வலது முக்கோணத்தின் காலைக் கண்டறியவும்

ஒரு கோணத்தின் கோசைன் (cos) என்பது ஹைபோடென்யூஸுக்கு அருகிலுள்ள காலின் விகிதமாகும். சூத்திரம்: cos \u003d b / c, இங்கு b என்பது கொடுக்கப்பட்ட கோணத்திற்கு அருகில் இருக்கும் கால் மற்றும் c என்பது ஹைப்போடென்யூஸ். சூத்திரத்தை மாற்றி, பெறுவோம்: b=cos*c.

உதாரணமாக. கோணம் A 60 டிகிரி, ஹைபோடென்யூஸ் 10 செ.மீ., அட்டவணையின்படி, கோணம் A இன் கொசைனைக் கணக்கிடுகிறோம், அது 1/2 க்கு சமம். அடுத்து, நாம் தீர்க்கிறோம்: b=cos∠A*c; b=1/2*10, b=5 (cm).

தொடுகோணத்தைப் பயன்படுத்தி வலது முக்கோணத்தின் காலைக் கண்டறியவும்

ஒரு கோணத்தின் தொடுகோடு (tg) என்பது எதிரெதிர் காலின் விகிதமாகும். சூத்திரம்: tg \u003d a / b, இங்கு a என்பது மூலைக்கு எதிரே உள்ள கால் மற்றும் b என்பது அருகில் உள்ளது. சூத்திரத்தை மாற்றி, பெறுவோம்: a=tg*b.

உதாரணமாக. கோணம் A 45 டிகிரி, ஹைபோடென்யூஸ் 10 செ.மீ. அட்டவணையின்படி, கோணம் A இன் தொடுகைக் கணக்கிடுகிறோம், அது தீர்வுக்கு சமம்: a=tg∠A*b; a=1*10; a=10 (செ.மீ.)

கோட்டான்ஜென்ட்டைப் பயன்படுத்தி வலது முக்கோணத்தின் காலைக் கண்டறியவும்

ஒரு கோணத்தின் கோடேன்ஜென்ட் (ctg) என்பது அருகில் உள்ள கால் மற்றும் எதிர் காலின் விகிதமாகும். சூத்திரம்: ctg \u003d b / a, இங்கு b என்பது மூலையை ஒட்டிய கால் மற்றும் எதிர். வேறு வார்த்தைகளில் கூறுவதானால், கோடேன்ஜென்ட் என்பது "தலைகீழ் தொடுகோடு". நாம் பெறுகிறோம்: b=ctg*a.

உதாரணமாக. கோணம் A 30 டிகிரி, எதிர் கால் 5 செ.மீ. அட்டவணையின்படி, கோணம் A இன் தொடுகோடு √3 ஆகும். கணக்கிடுக: b=ctg∠A*a; b=√3*5; b=5√3 (செ.மீ.)

எனவே, வலது முக்கோணத்தில் காலை எவ்வாறு கண்டுபிடிப்பது என்பது இப்போது உங்களுக்குத் தெரியும். நீங்கள் பார்க்க முடியும் என, அது மிகவும் கடினம் அல்ல, முக்கிய விஷயம் சூத்திரங்கள் நினைவில் உள்ளது.

நீர் சேர்க்கைசெங்கோண முக்கோணத்தின் தீவிர கோணம் α என்பது விகிதமாகும் எதிர்ஹைப்போடென்ஸுக்கு வடிகுழாய்.
இது பின்வருமாறு குறிக்கப்படுகிறது: sin α.

கொசைன்ஒரு செங்கோண முக்கோணத்தின் தீவிர கோணம் α என்பது, அருகில் உள்ள காலின் ஹைப்போடென்யூஸின் விகிதமாகும்.
இது பின்வருமாறு குறிக்கப்படுகிறது: cos α.

தொடுகோடுகடுமையான கோணம் α என்பது எதிர் காலுக்கும் அருகில் உள்ள காலுக்கும் உள்ள விகிதமாகும்.
இது பின்வருமாறு குறிக்கப்படுகிறது: tg α.

கோட்டான்ஜென்ட்கடுமையான கோணம் α என்பது எதிர் காலின் எதிர் காலின் விகிதமாகும்.
இது பின்வருமாறு குறிப்பிடப்பட்டுள்ளது: ctg α.

ஒரு கோணத்தின் சைன், கோசைன், டேன்ஜென்ட் மற்றும் கோட்டான்ஜென்ட் ஆகியவை கோணத்தின் அளவை மட்டுமே சார்ந்துள்ளது.

விதிகள்:

வலது முக்கோணத்தில் அடிப்படை முக்கோணவியல் அடையாளங்கள்:

(α - காலுக்கு எதிரே கடுமையான கோணம் பி மற்றும் காலுக்கு அருகில் அ . பக்கம் உடன் - ஹைப்போடென்யூஸ். β - இரண்டாவது கடுமையான கோணம்).

பி sinα = - c	sin 2 α + cos 2 α = 1
அ cosα = - c	1 1 + tg 2 α = -- விலை 2 α
பி tgα = - அ	1 1 + ctg 2 α = -- sin2α
அ ctgα = - பி	1 1 1 + -- = -- tg 2 α பாவம் 2 α
பாவம் tgα = -- cosα

கடுமையான கோணம் அதிகரிக்கும் போதுsinα மற்றும்tg α அதிகரிப்பு, மற்றும்cos α குறைகிறது.

எந்த தீவிர கோணத்திற்கும் α:

பாவம் (90° - α) = cos α

cos (90° - α) = sin α

விளக்க உதாரணம்:

ஒரு செங்கோண முக்கோண ABC இல் விடவும்
AB = 6,
BC = 3,
கோணம் A = 30º.

A கோணத்தின் சைன் மற்றும் கோண B இன் கோசைனைக் கண்டறியவும்.

தீர்வு .

1) முதலில், கோணம் B இன் மதிப்பைக் காண்கிறோம். இங்கே எல்லாம் எளிமையானது: ஒரு செங்கோண முக்கோணத்தில் கடுமையான கோணங்களின் கூட்டுத்தொகை 90º, பின்னர் கோணம் B \u003d 60º:

B \u003d 90º - 30º \u003d 60º.

2) பாவத்தை கணக்கிடுங்கள் A. சைன் என்பது எதிர் காலின் ஹைப்போடென்யூஸின் விகிதத்திற்கு சமம் என்பதை நாம் அறிவோம். கோணம் A க்கு, எதிர் கால் கி.மு. அதனால்:

கிமு 3 1
பாவம் A = -- = - = -
ஏபி 6 2

3) இப்போது நாம் cos B ஐக் கணக்கிடுகிறோம். கொசைன், அருகில் உள்ள காலின் ஹைப்போடென்யூஸின் விகிதத்திற்கு சமம் என்பதை நாம் அறிவோம். கோணம் Bக்கு, அருகில் உள்ள கால் கி.மு. இதன் பொருள் நாம் மீண்டும் BC ஐ AB ஆகப் பிரிக்க வேண்டும் - அதாவது, A கோணத்தின் சைனைக் கணக்கிடும்போது அதே செயல்களைச் செய்யுங்கள்:

கிமு 3 1
cos B = -- = - = -
ஏபி 6 2

முடிவு:
sin A = cos B = 1/2.

sin 30º = cos 60º = 1/2.

இதிலிருந்து ஒரு செங்கோண முக்கோணத்தில் ஒரு தீவிர கோணத்தின் சைன் மற்றொரு தீவிர கோணத்தின் கோசைனுக்கு சமம் - மற்றும் நேர்மாறாகவும் இருக்கும். எங்கள் இரண்டு சூத்திரங்களும் இதைத்தான் குறிக்கின்றன:
பாவம் (90° - α) = cos α
cos (90° - α) = sin α

அதை மீண்டும் பார்க்கலாம்:

1) α = 60º. α இன் மதிப்பை சைன் சூத்திரத்தில் மாற்றினால், நாம் பெறுகிறோம்:
பாவம் (90º - 60º) = cos 60º.
sin 30º = cos 60º.

2) α = 30º. கொசைன் சூத்திரத்தில் α இன் மதிப்பை மாற்றினால், நாம் பெறுகிறோம்:
cos (90° - 30º) = sin 30º.
cos 60° = பாவம் 30º.

(முக்கோணவியல் பற்றி மேலும் அறிய, இயற்கணிதம் பகுதியைப் பார்க்கவும்)

அத்தியாயம் I. செங்கோண முக்கோணங்களின் தீர்வு

§3 (37). அடிப்படை விகிதங்கள் மற்றும் பணிகள்

முக்கோணவியலில், ஒரு முக்கோணத்தின் சில கூறுகளை அதன் கொடுக்கப்பட்ட உறுப்புகளின் போதுமான எண்ணிக்கையிலான எண் மதிப்புகளால் கணக்கிட வேண்டிய சிக்கல்கள் கருதப்படுகின்றன. இந்த பணிகள் பொதுவாக குறிப்பிடப்படுகின்றன தீர்வுமுக்கோணம்.

ABC ஒரு செங்கோண முக்கோணமாகவும், C ஒரு செங்கோணமாகவும் இருக்கட்டும், அமற்றும் பி- கடுமையான கோணங்களில் A மற்றும் B க்கு எதிர் கால்கள், உடன்- ஹைபோடென்யூஸ் (படம் 3);

பின்னர் எங்களிடம் உள்ளது:

கடுமையான கோணத்தின் கொசைன் என்பது ஹைபோடென்யூஸுக்கு அருகிலுள்ள காலின் விகிதமாகும்:

cos A = b/ c, cos B = ஒரு / c (1)

கடுமையான கோணத்தின் சைன் என்பது எதிர் காலின் ஹைப்போடென்யூஸுக்கு உள்ள விகிதமாகும்:

பாவம் ஏ = ஒரு / c, பாவம் பி = b/ c (2)

கடுமையான கோணத்தின் தொடுகோடு என்பது எதிரெதிர் காலின் விகிதமாகும்.

டான் ஏ = ஒரு / பி, tg B = b/ அ (3)

ஒரு தீவிர கோணத்தின் கோடேன்ஜென்ட் என்பது எதிர் காலின் எதிர் காலின் விகிதமாகும்:

ctgA= b/ அ, ctg B = ஒரு / பி (4)

கடுமையான கோணங்களின் கூட்டுத்தொகை 90°.

வலது முக்கோணங்களுக்கான அடிப்படை சிக்கல்கள்.

பணி I. ஹைபோடென்யூஸ் மற்றும் கடுமையான கோணங்களில் ஒன்றைக் கொண்டு, மற்ற உறுப்புகளைக் கணக்கிடுங்கள்.

தீர்வு.கொடுக்கலாம் உடன்மற்றும் A. கோணம் B = 90° - A என்பதும் அறியப்படுகிறது; கால்கள் (1) மற்றும் (2) சூத்திரங்களிலிருந்து காணப்படுகின்றன.

a = cபாவம், b = cகாஸ் ஏ.

பணி II . ஒரு கால் மற்றும் கடுமையான கோணங்களில் ஒன்று கொடுக்கப்பட்டால், மற்ற உறுப்புகளை கணக்கிடுங்கள்.

தீர்வு.கொடுக்கலாம் அமற்றும் A. கோணம் B = 90° - A அறியப்படுகிறது; (3) மற்றும் (2) சூத்திரங்களிலிருந்து நாம் காண்கிறோம்:

பி = அ tg B (= அ ctg A), உடன் = அ/ பாவம் ஏ

பணி III. கால் மற்றும் ஹைப்போடென்யூஸ் கொடுக்கப்பட்டால், மீதமுள்ள கூறுகளைக் கணக்கிடுங்கள்.

தீர்வு.கொடுக்கலாம் அமற்றும் உடன்(மற்றும் அ< с ) சமத்துவங்களிலிருந்து (2) கோணம் A ஐக் காண்கிறோம்:

பாவம் ஏ = ஒரு / cமற்றும் A = பரிதி பாவம் ஒரு / c ,

இறுதியாக கால் பி:

பி = உடன் cos A (= உடன்பாவம் பி).

பணி IV. மற்ற உறுப்புகளைக் கண்டறிய கால்கள் a மற்றும் b கொடுக்கப்பட்டுள்ளன.

தீர்வு.சமத்துவங்களிலிருந்து (3) நாம் ஒரு தீவிர கோணத்தைக் காண்கிறோம், எடுத்துக்காட்டாக A:

tg A = ஒரு / பி, ஏ = ஆர்க்டான் ஒரு / பி ,

கோணம் B \u003d 90 ° - A,

ஹைப்போடென்யூஸ்: c = அ/ பாவம் ஏ (= பி/sinB; = அ/காஸ் பி)

மடக்கை அட்டவணைகளைப் பயன்படுத்தி செங்கோண முக்கோணத்தைத் தீர்ப்பதற்கான எடுத்துக்காட்டு கீழே உள்ளது*.

* இயற்கை அட்டவணைகளின்படி செங்கோண முக்கோணங்களின் தனிமங்களின் கணக்கீடு VIII வகுப்பின் வடிவியல் பாடத்திலிருந்து அறியப்படுகிறது.

மடக்கை அட்டவணைகளைப் பயன்படுத்தி கணக்கிடும்போது, ​​தொடர்புடைய சூத்திரங்களை எழுத வேண்டும், அவற்றைப் புரோலாக்ரிதம், மாற்று எண் தரவு, அட்டவணையில் இருந்து அறியப்பட்ட உறுப்புகளின் தேவையான மடக்கைகளை (அல்லது அவற்றின் முக்கோணவியல் செயல்பாடுகள்) கண்டுபிடிக்க வேண்டும், விரும்பிய உறுப்புகளின் மடக்கைகளை (அல்லது அவற்றின் முக்கோணவியல் செயல்பாடுகளை) கணக்கிட வேண்டும். ) மற்றும் அட்டவணையில் இருந்து தேவையான கூறுகளைக் கண்டறியவும்.

உதாரணமாக.டானா கால் அ= 166.1 மற்றும் ஹைப்போடென்யூஸ் உடன்= 187.3; கடுமையான கோணங்கள், மற்ற கால் மற்றும் பகுதி ஆகியவற்றைக் கணக்கிடுங்கள்.

தீர்வு.எங்களிடம் உள்ளது:

பாவம் ஏ = ஒரு / c; lg sin A = lg அ-எல்ஜி c;

A ≈ 62°30", B ≈ 90° - 62°30" ≈ 27°30".

நாங்கள் கால் கணக்கிடுகிறோம் பி:

b = a tg B; lg பி= பதிவு பி+ எல்ஜி டிஜி பி ;

ஒரு முக்கோணத்தின் பரப்பளவை சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்தி கணக்கிடலாம்

எஸ்=1/2 ab = 0,5 அ 2 டிஜி பி;

கட்டுப்பாட்டுக்கு, ஸ்லைடு விதியில் A கோணத்தைக் கணக்கிடுகிறோம்:

ஒரு \u003d ஆர்க் பாவம் ஒரு / c= ஆர்க் சின் 166 / 187 ≈ 62°.

குறிப்பு.கால் பிசதுரங்கள் மற்றும் சதுர வேர்களின் (அட்டவணைகள் III மற்றும் IV) அட்டவணைகளைப் பயன்படுத்தி, பித்தகோரியன் தேற்றத்தால் கணக்கிடலாம்:

பி= √187,3 2 - 166,1 2 = √35080 - 27590 ≈ 86,54.

முன்னர் பெறப்பட்ட மதிப்புடன் முரண்பாடு b= 86.48 அட்டவணைகளின் பிழைகளால் விளக்கப்படுகிறது, இது செயல்பாடுகளின் தோராயமான மதிப்புகளை வழங்குகிறது. 86.54 இன் முடிவு மிகவும் துல்லியமானது.

ஒரு கோணத்தின் sine, cosine, tangent, cotangent என்றால் என்ன என்பது செங்கோண முக்கோணத்தைப் புரிந்துகொள்ள உதவும்.

செங்கோண முக்கோணத்தின் பக்கங்கள் என்ன அழைக்கப்படுகிறது? அது சரி, ஹைப்போடென்யூஸ் மற்றும் கால்கள்: ஹைபோடென்யூஸ் என்பது வலது கோணத்திற்கு எதிரே இருக்கும் பக்கமாகும் (எங்கள் எடுத்துக்காட்டில், இது பக்க \ (ஏசி \) ); கால்கள் இரண்டு மீதமுள்ள பக்கங்களாகும் \ (AB \) மற்றும் \ (BC \) (சரியான கோணத்தை ஒட்டியவை), மேலும், கோணத்தைப் பொறுத்து கால்களைக் கருத்தில் கொண்டால் \ (BC \) , பின்னர் கால் \ (AB \) அருகில் உள்ள கால், மற்றும் கால் \ (BC \) எதிர் உள்ளது. எனவே, இப்போது கேள்விக்கு பதிலளிப்போம்: ஒரு கோணத்தின் சைன், கொசைன், டேன்ஜென்ட் மற்றும் கோடேன்ஜென்ட் என்றால் என்ன?

ஒரு கோணத்தின் சைன்- இது எதிர் (தூர) காலின் ஹைப்போடென்ஸுக்கு விகிதமாகும்.

எங்கள் முக்கோணத்தில்:

\[ \sin \beta =\dfrac(BC)(AC) \]

ஒரு கோணத்தின் கொசைன்- இது ஹைபோடென்ஸுக்கு அருகிலுள்ள (நெருக்கமான) காலின் விகிதம்.

எங்கள் முக்கோணத்தில்:

\[ \cos \beta =\dfrac(AB)(AC) \]

கோண தொடுகோடு- இது எதிரெதிர் (தூர) காலின் விகிதமாகும், இது அருகிலுள்ள (நெருக்கமான) ஆகும்.

எங்கள் முக்கோணத்தில்:

\[ tg\beta =\dfrac(BC)(AB) \]

ஒரு கோணத்தின் கோடன்ஜென்ட்- இது அருகிலுள்ள (நெருக்கமான) காலின் எதிர் (தொலைவு) விகிதமாகும்.

எங்கள் முக்கோணத்தில்:

\[ ctg\beta =\dfrac(AB)(BC) \]

இந்த வரையறைகள் அவசியம் நினைவில் கொள்க! எந்தக் காலை எதனால் வகுக்க வேண்டும் என்பதை எளிதாக நினைவில் வைத்துக் கொள்ள, அதை நீங்கள் தெளிவாகப் புரிந்து கொள்ள வேண்டும் தொடுகோடுமற்றும் கோடேன்ஜென்ட்கால்கள் மட்டுமே உட்காரும், மற்றும் ஹைப்போடென்யூஸ் மட்டுமே தோன்றும் நீர் சேர்க்கைமற்றும் கொசைன். பின்னர் நீங்கள் சங்கங்களின் சங்கிலியைக் கொண்டு வரலாம். உதாரணமாக, இது:

கொசைன்→டச்→டச்→அருகில்;

கோட்டான்ஜென்ட்→டச்→டச்→அருகில்.

முதலில், ஒரு முக்கோணத்தின் பக்கங்களின் விகிதங்களாக சைன், கொசைன், டேன்ஜென்ட் மற்றும் கோட்டான்ஜென்ட் ஆகியவை இந்த பக்கங்களின் நீளத்தை (ஒரு கோணத்தில்) சார்ந்து இல்லை என்பதை நினைவில் கொள்ள வேண்டும். நம்பாதே? பின்னர் படத்தைப் பார்த்து உறுதிப்படுத்தவும்:

எடுத்துக்காட்டாக, கோணத்தின் கோசைன் \(\beta \) . வரையறையின்படி, ஒரு முக்கோணத்திலிருந்து \(ABC \) : \(\cos \beta =\dfrac(AB)(AC)=\dfrac(4)(6)=\dfrac(2)(3) \), ஆனால் முக்கோணத்திலிருந்து \(\beta \) கோணத்தின் கோசைனைக் கணக்கிடலாம் \(AHI \) : \(\cos \beta =\dfrac(AH)(AI)=\dfrac(6)(9)=\dfrac(2)(3) \). நீங்கள் பார்க்கிறீர்கள், பக்கங்களின் நீளம் வேறுபட்டது, ஆனால் ஒரு கோணத்தின் கொசைனின் மதிப்பு ஒன்றுதான். எனவே, சைன், கொசைன், டேன்ஜென்ட் மற்றும் கோட்டான்ஜென்ட் ஆகியவற்றின் மதிப்புகள் கோணத்தின் அளவை மட்டுமே சார்ந்துள்ளது.

நீங்கள் வரையறைகளைப் புரிந்து கொண்டால், மேலே சென்று அவற்றை சரிசெய்யவும்!

கீழே உள்ள படத்தில் காட்டப்பட்டுள்ள முக்கோணத்திற்கு \(ABC \) , நாம் கண்டுபிடிக்கிறோம் \(\sin \\alpha ,\ \cos \ \alpha ,\ tg\ \alpha ,\ ctg\ \alpha \).

\(\begin(array)(l)\sin \\alpha =\dfrac(4)(5)=0.8\\\cos \\alpha =\dfrac(3)(5)=0.6\\ tg\ \alpha =\dfrac(4)(3)\\ctg\\alpha =\dfrac(3)(4)=0.75\end(array) \)

சரி, கிடைத்ததா? பிறகு நீங்களே முயற்சி செய்து பாருங்கள்: \(\beta \) கோணத்திற்கும் இதையே கணக்கிடுங்கள்.

பதில்கள்: \(\sin \ \beta =0.6;\ \cos \ \beta =0.8;\ tg\ \beta =0.75;\ ctg\ \beta =\dfrac(4)(3) \).

அலகு (முக்கோணவியல்) வட்டம்

பட்டம் மற்றும் ரேடியன் கருத்துகளைப் புரிந்துகொண்டு, \ (1 \) க்கு சமமான ஆரம் கொண்ட ஒரு வட்டத்தை நாங்கள் கருதினோம். அத்தகைய வட்டம் அழைக்கப்படுகிறது ஒற்றை. முக்கோணவியல் ஆய்வில் இது மிகவும் பயனுள்ளதாக இருக்கும். எனவே, நாம் அதை இன்னும் கொஞ்சம் விரிவாக வாழ்கிறோம்.

நீங்கள் பார்க்க முடியும் என, இந்த வட்டம் கார்ட்டீசியன் ஒருங்கிணைப்பு அமைப்பில் கட்டப்பட்டுள்ளது. வட்டத்தின் ஆரம் ஒன்றுக்கு சமம், அதே சமயம் வட்டத்தின் மையம் தோற்றத்தில் உள்ளது, ஆரம் திசையன் ஆரம்ப நிலை \(x \) அச்சின் நேர்மறை திசையில் சரி செய்யப்படுகிறது (எங்கள் எடுத்துக்காட்டில், இது ஆரம் \(AB \) ).

வட்டத்தின் ஒவ்வொரு புள்ளியும் இரண்டு எண்களுக்கு ஒத்திருக்கும்: அச்சில் உள்ள ஆய \(x \) மற்றும் அச்சில் உள்ள ஒருங்கிணைப்பு \(y \) . இந்த ஆய எண்கள் என்ன? பொதுவாக, அவர்கள் கையில் இருக்கும் தலைப்புடன் என்ன செய்ய வேண்டும்? இதைச் செய்ய, கருதப்படும் வலது கோண முக்கோணத்தைப் பற்றி நினைவில் கொள்ளுங்கள். மேலே உள்ள படத்தில், நீங்கள் இரண்டு முழு வலது முக்கோணங்களைக் காணலாம். முக்கோணத்தை கருதுங்கள் \(ACG \) . \(CG \) \(x \) அச்சுக்கு செங்குத்தாக இருப்பதால் இது செவ்வகமானது.

முக்கோணத்தில் இருந்து \(\cos \\alpha \) என்றால் என்ன \(ACG \) ? அது சரி \(\cos \\alpha =\dfrac(AG)(AC) \). தவிர, \(AC \) என்பது அலகு வட்டத்தின் ஆரம், எனவே \(AC=1 \) . இந்த மதிப்பை எங்கள் கொசைன் சூத்திரத்தில் மாற்றவும். என்ன நடக்கிறது என்பது இங்கே:

\(\cos \\alpha =\dfrac(AG)(AC)=\dfrac(AG)(1)=AG \).

முக்கோணத்தில் இருந்து \(\sin \\alpha \) என்றால் என்ன \(ACG \) ? சரி, நிச்சயமாக, \(\sin \alpha =\dfrac(CG)(AC) \)! இந்த சூத்திரத்தில் ஆரம் \ (AC \) மதிப்பை மாற்றவும் மற்றும் பெறவும்:

\(\sin \alpha =\dfrac(CG)(AC)=\dfrac(CG)(1)=CG \)

எனவே, வட்டத்திற்குச் சொந்தமான புள்ளி \(C \) யின் ஆயத்தொலைவுகள் என்னவென்று சொல்ல முடியுமா? சரி, வழி இல்லையா? ஆனால் \(\cos \\alpha \) மற்றும் \(\sin \alpha \) வெறும் எண்கள் என்பதை நீங்கள் உணர்ந்தால் என்ன செய்வது? \(\cos \alpha \) எந்த ஒருங்கிணைப்புடன் ஒத்துப்போகிறது? சரி, நிச்சயமாக, ஒருங்கிணைப்பு \(x \) ! மேலும் \(\sin \alpha \) எந்த ஒருங்கிணைப்புடன் ஒத்துப்போகிறது? அது சரி, \(y \) ஒருங்கிணைப்பு! எனவே புள்ளி \(C(x;y)=C(\cos \alpha ;\sin \alpha) \).

\(tg \alpha \) மற்றும் \(ctg \alpha \) என்றால் என்ன? அது சரி, தொடுகோடு மற்றும் கோட்டான்ஜென்ட் ஆகியவற்றின் பொருத்தமான வரையறைகளைப் பயன்படுத்தி அதைப் பெறுவோம் \(tg \alpha =\dfrac(\sin \alpha )(\cos \alpha)=\dfrac(y)(x) \), ஏ \(ctg \alpha =\dfrac(\cos \alpha )(\sin \alpha )=\dfrac(x)(y) \).

கோணம் பெரியதாக இருந்தால் என்ன செய்வது? இங்கே, எடுத்துக்காட்டாக, இந்த படத்தில் உள்ளது போல:

இந்த எடுத்துக்காட்டில் என்ன மாறிவிட்டது? அதை கண்டுபிடிக்கலாம். இதை செய்ய, நாம் மீண்டும் ஒரு வலது கோண முக்கோணத்திற்கு திரும்புவோம். செங்கோண முக்கோணத்தைக் கவனியுங்கள் \(((A)_(1))((C)_(1))G \) : ஒரு கோணம் (கோணத்திற்கு அருகில் \(\பீட்டா \) ). ஒரு கோணத்திற்கான சைன், கொசைன், டேன்ஜென்ட் மற்றும் கோட்டான்ஜென்ட் ஆகியவற்றின் மதிப்பு என்ன \(((C)_(1))((A)_(1))G=180()^\circ -\beta \\)? அது சரி, முக்கோணவியல் செயல்பாடுகளின் தொடர்புடைய வரையறைகளை நாங்கள் கடைபிடிக்கிறோம்:

\(\begin(array)(l)\sin \angle ((C)_(1))((A)_(1))G=\dfrac(((C)_(1))G)(( (A)_(1))((C)_(1)))=\dfrac(((C)_(1))G)(1)=((C)_(1))G=y; \\\ cos \angle ((C)_(1))((A)_(1))G=\dfrac(((A)_(1))G)(((A)_(1)) ((C)_(1)))=\dfrac(((A)_(1))G)(1)=((A)_(1))G=x;\\tg\angle ((C) )_(1))((A)_(1))G=\dfrac((((C)_(1))G)(((A)_(1))G)=\dfrac(y)( x);\\ctg\angle ((C)_(1))((A)_(1))G=\dfrac(((A)_(1))G)(((C)_(1 ))G)=\dfrac(x)(y)\end(array) \)

சரி, நீங்கள் பார்க்க முடியும் என, கோணத்தின் சைனின் மதிப்பு இன்னும் ஒருங்கிணைப்புக்கு ஒத்திருக்கிறது \ (y \) ; கோணத்தின் கொசைன் மதிப்பு - ஒருங்கிணைப்பு \ (x \) ; மற்றும் தொடர்புடைய விகிதங்களுக்கு தொடுகோடு மற்றும் கோட்டான்ஜென்ட் மதிப்புகள். எனவே, இந்த உறவுகள் ஆரம் திசையன் எந்த சுழற்சிக்கும் பொருந்தும்.

ஆரம் வெக்டரின் ஆரம்ப நிலை \(x \) அச்சின் நேர்மறையான திசையில் உள்ளது என்று ஏற்கனவே குறிப்பிடப்பட்டுள்ளது. இதுவரை இந்த வெக்டரை எதிரெதிர் திசையில் சுழற்றினோம், ஆனால் அதை கடிகார திசையில் சுழற்றினால் என்ன ஆகும்? அசாதாரணமானது எதுவும் இல்லை, நீங்கள் ஒரு குறிப்பிட்ட அளவிலான கோணத்தையும் பெறுவீர்கள், ஆனால் அது எதிர்மறையாக மட்டுமே இருக்கும். இவ்வாறு, ஆரம் திசையன் எதிரெதிர் திசையில் சுழலும் போது, ​​நாம் பெறுகிறோம் நேர்மறை கோணங்கள், மற்றும் கடிகார திசையில் சுழலும் போது - எதிர்மறை.

எனவே, வட்டத்தைச் சுற்றியுள்ள ஆரம் திசையன் முழுப் புரட்சியும் \(360()^\circ \) அல்லது \(2\pi \) . ஆரம் வெக்டரை \(390()^\circ \) அல்லது \(-1140()^\circ \) ஆல் சுழற்ற முடியுமா? சரி, நிச்சயமாக உங்களால் முடியும்! முதல் வழக்கில், \(390()^\circ =360()^\circ +30()^\circ \), எனவே ஆரம் திசையன் ஒரு முழு சுழற்சியை செய்து \(30()^\circ \) அல்லது \(\dfrac(\pi )(6) \) .

இரண்டாவது வழக்கில், \(-1140()^\circ =-360()^\circ \cdot 3-60()^\circ \), அதாவது, ஆரம் திசையன் மூன்று முழுமையான புரட்சிகளை செய்து \(-60()^\circ \) அல்லது \(-\dfrac(\pi )(3) \) நிலையில் நிறுத்தப்படும்.

எனவே, மேலே உள்ள எடுத்துக்காட்டுகளிலிருந்து, \(360()^\circ \cdot m \) அல்லது \(2\pi \cdot m \) (இங்கு \(m \) எந்த முழு எண் ஆகும் ) ஆரம் திசையன் அதே நிலைக்கு ஒத்துள்ளது.

கீழே உள்ள படம் \(\beta =-60()^\circ \) கோணத்தைக் காட்டுகிறது. அதே படம் மூலைக்கு ஒத்திருக்கிறது \(-420()^\circ ,-780()^\circ ,\ 300()^\circ ,660()^\circ \)முதலியன இந்த பட்டியலை காலவரையின்றி தொடரலாம். இந்த அனைத்து கோணங்களையும் பொதுவான சூத்திரத்துடன் எழுதலாம் \(\beta +360()^\circ \cdot m\)அல்லது \(\beta +2\pi \cdot m \) (இங்கு \(m \) எந்த முழு எண் ஆகும்)

\(\begin(array)(l)-420()^\circ =-60+360\cdot (-1);\\-780()^\circ =-60+360\cdot (-2); \\300()^\circ =-60+360\cdot 1;\\660()^\circ =-60+360\cdot 2.\end(array) \)

இப்போது, ​​அடிப்படை முக்கோணவியல் செயல்பாடுகளின் வரையறைகளை அறிந்து, அலகு வட்டத்தைப் பயன்படுத்தி, மதிப்புகள் எதற்கு சமம் என்பதற்கு பதிலளிக்க முயற்சிக்கவும்:

\(\begin(array)(l)\sin \ 90()^\circ =?\\\cos \ 90()^\circ =?\\\text(tg)\ 90()^\circ =? \\\ text(ctg)\ 90()^\circ =?\\\sin \ 180()^\circ =\sin \\pi =?\\\cos \ 180()^\circ =\cos \ \pi =?\\\text(tg)\ 180()^\circ =\text(tg)\\pi =?\\\text(ctg)\ 180()^\circ =\text(ctg)\ \pi =?\\\sin \ 270()^\circ =?\\\cos \ 270()^\circ =?\\\text(tg)\ 270()^\circ =?\\\text (ctg)\ 270()^\circ =?\\\sin \ 360()^\circ =?\\\cos \ 360()^\circ =?\\\text(tg)\ 360()^ \circ =?\\\text(ctg)\ 360()^\circ =?\\\sin \ 450()^\circ =?\\\cos \ 450()^\circ =?\\\text (tg)\ 450()^\circ =?\\\text(ctg)\ 450()^\circ =?\end(array) \)

உங்களுக்கு உதவ ஒரு யூனிட் வட்டம் இங்கே:

ஏதேனும் சிரமங்கள் உள்ளதா? பின்னர் அதை கண்டுபிடிக்கலாம். எனவே நாங்கள் அதை அறிவோம்:

\(\begin(array)(l)\sin \alpha =y;\\cos\alpha =x;\\tg\alpha =\dfrac(y)(x);\\ctg\alpha =\dfrac(x )(y).\end(array) \)

இங்கிருந்து, கோணத்தின் சில நடவடிக்கைகளுடன் தொடர்புடைய புள்ளிகளின் ஆயங்களை நாங்கள் தீர்மானிக்கிறோம். சரி, வரிசையில் ஆரம்பிக்கலாம்: மூலையில் \(90()^\circ =\dfrac(\pi )(2) \)\(\இடது(0;1 \வலது) \) ஆயத்தொகுதிகளுடன் ஒரு புள்ளிக்கு ஒத்திருக்கிறது, எனவே:

\(\sin 90()^\circ =y=1 \) ;

\(\cos 90()^\circ =x=0 \) ;

\(\text(tg)\ 90()^\circ =\dfrac(y)(x)=\dfrac(1)(0)\Rightarrow \text(tg)\ 90()^\circ \)- இல்லை;

\(\text(ctg)\ 90()^\circ =\dfrac(x)(y)=\dfrac(0)(1)=0 \).

மேலும், அதே தர்க்கத்தை கடைபிடிப்பதன் மூலம், மூலைகள் உள்ளே இருப்பதைக் கண்டுபிடிப்போம் \(180()^\circ ,\ 270()^\circ ,\ 360()^\circ ,\ 450()^\circ (=360()^\circ +90()^\circ)\ \ )ஆயத்தொலைவுகளுடன் புள்ளிகளுடன் ஒத்துள்ளது \(\left(-1;0 \right),\text( )\left(0;-1 \right),\text( )\left(1;0 \right),\text( )\left(0 ;1 \வலது) \), முறையே. இதை அறிந்தால், தொடர்புடைய புள்ளிகளில் முக்கோணவியல் செயல்பாடுகளின் மதிப்புகளை தீர்மானிக்க எளிதானது. முதலில் நீங்களே முயற்சிக்கவும், பின்னர் பதில்களைச் சரிபார்க்கவும்.

பதில்கள்:

\(\டிஸ்ப்ளேஸ்டைல் ​​\sin \ 180()^\circ =\sin \\pi =0 \)

\(\டிஸ்ப்ளேஸ்டைல் ​​\cos \ 180()^\circ =\cos \ \pi =-1 \)

\(\text(tg)\ 180()^\circ =\text(tg)\ \pi =\dfrac(0)(-1)=0 \)

\(\text(ctg)\ 180()^\circ =\text(ctg)\ \pi =\dfrac(-1)(0)\Rightarrow \text(ctg)\\pi \)- இல்லை

\(\sin \ 270()^\circ =-1 \)

\(\cos \ 270()^\circ =0 \)

\(\text(tg)\ 270()^\circ =\dfrac(-1)(0)\Rightarrow \text(tg)\ 270()^\circ \)- இல்லை

\(\text(ctg)\ 270()^\circ =\dfrac(0)(-1)=0 \)

\(\sin \ 360()^\circ =0 \)

\(\cos \ 360()^\circ =1 \)

\(\text(tg)\ 360()^\circ =\dfrac(0)(1)=0 \)

\(\text(ctg)\ 360()^\circ =\dfrac(1)(0)\Rightarrow \text(ctg)\ 2\pi \)- இல்லை

\(\sin \ 450()^\circ =\sin \ \left(360()^\circ +90()^\circ \right)=\sin \ 90()^\circ =1 \)

\(\cos \ 450()^\circ =\cos \ \left(360()^\circ +90()^\circ \right)=\cos \ 90()^\circ =0 \)

\(\text(tg)\ 450()^\circ =\text(tg)\ \left(360()^\circ +90()^\circ \right)=\text(tg)\ 90() ^\circ =\dfrac(1)(0)\Rightarrow \text(tg)\ 450()^\circ \)- இல்லை

\(\text(ctg)\ 450()^\circ =\text(ctg)\left(360()^\circ +90()^\circ \right)=\text(ctg)\ 90()^ \circ =\dfrac(0)(1)=0 \).

எனவே, நாம் பின்வரும் அட்டவணையை உருவாக்கலாம்:

இந்த மதிப்புகள் அனைத்தையும் நினைவில் வைத்திருக்க வேண்டிய அவசியமில்லை. அலகு வட்டத்தில் உள்ள புள்ளிகளின் ஆயத்தொலைவுகளுக்கும் முக்கோணவியல் செயல்பாடுகளின் மதிப்புகளுக்கும் இடையிலான கடிதப் பரிமாற்றத்தை நினைவில் கொள்வது போதுமானது:

\(\இடது. \begin(array)(l)\sin \alpha =y;\\cos \alpha =x;\\tg \alpha =\dfrac(y)(x);\\ctg \alpha =\ dfrac(x)(y).\end(array) \right\)\ \text(நினைவில் இருக்க வேண்டும் அல்லது அவுட்புட் செய்ய முடியும்!! \) !}

மற்றும் கோணங்களின் முக்கோணவியல் செயல்பாடுகளின் மதிப்புகள் இங்கே உள்ளன \(30()^\circ =\dfrac(\pi )(6),\ 45()^\circ =\dfrac(\pi )(4) \)கீழே உள்ள அட்டவணையில் கொடுக்கப்பட்டுள்ளது, நீங்கள் நினைவில் கொள்ள வேண்டும்:

பயப்படத் தேவையில்லை, இப்போது தொடர்புடைய மதிப்புகளை மிகவும் எளிமையான மனப்பாடம் செய்வதற்கான எடுத்துக்காட்டுகளில் ஒன்றைக் காண்பிப்போம்:

இந்த முறையைப் பயன்படுத்த, மூன்று கோண அளவீடுகளுக்கும் சைன் மதிப்புகளை நினைவில் கொள்வது அவசியம் ( \(30()^\circ =\dfrac(\pi )(6),\ 45()^\circ =\dfrac(\pi )(4),\ 60()^\circ =\dfrac(\pi )(3) \)), அத்துடன் \(30()^\circ \) இல் உள்ள கோணத்தின் தொடுகோடு மதிப்பு. இந்த \(4\) மதிப்புகளை அறிந்தால், முழு அட்டவணையையும் மீட்டெடுப்பது மிகவும் எளிதானது - கொசைன் மதிப்புகள் அம்புகளுக்கு ஏற்ப மாற்றப்படுகின்றன, அதாவது:

\(\begin(array)(l)\sin 30()^\circ =\cos \ 60()^\circ =\dfrac(1)(2)\ \\\\sin 45()^\circ = \cos \ 45()^\circ =\dfrac(\sqrt(2))(2)\\\sin 60()^\circ =\cos \ 30()^\circ =\dfrac(\sqrt(3 ))(2)\ \ முடிவு(வரிசை) \)

\(\text(tg)\ 30()^\circ \ =\dfrac(1)(\sqrt(3)) \), இதை அறிந்தால், அதற்கான மதிப்புகளை மீட்டெடுக்க முடியும் \(\text(tg)\ 45()^\circ , \text(tg)\ 60()^\circ \). “\(1 \) ” என்ற எண் \(\text(tg)\ 45()^\circ \\) உடன் பொருந்தும், மேலும் “\(\sqrt(\text(3)) \) ” \) (\text (tg)\ 60()^\circ \\) . படத்தில் காட்டப்பட்டுள்ள அம்புகளுக்கு ஏற்ப கோட்டான்ஜென்ட் மதிப்புகள் மாற்றப்படுகின்றன. நீங்கள் இதைப் புரிந்துகொண்டு அம்புக்குறிகளுடன் திட்டத்தை நினைவில் வைத்திருந்தால், அட்டவணையில் இருந்து \ (4 \) மதிப்புகளை மட்டும் நினைவில் வைத்துக் கொள்ள போதுமானதாக இருக்கும்.

ஒரு வட்டத்தில் ஒரு புள்ளியின் ஆயத்தொலைவுகள்

வட்டத்தின் மையத்தின் ஆயத்தொலைவுகள், அதன் ஆரம் மற்றும் சுழற்சியின் கோணம் ஆகியவற்றை அறிந்து, ஒரு வட்டத்தில் ஒரு புள்ளியை (அதன் ஆயத்தொலைவுகள்) கண்டுபிடிக்க முடியுமா? சரி, நிச்சயமாக உங்களால் முடியும்! ஒரு புள்ளியின் ஆயங்களை கண்டுபிடிப்பதற்கான பொதுவான சூத்திரத்தைப் பெறுவோம். இங்கே, எடுத்துக்காட்டாக, எங்களிடம் அத்தகைய வட்டம் உள்ளது:

எங்களுக்கு அந்த புள்ளி கொடுக்கப்பட்டுள்ளது \(K(((x)_(0));((y)_(0)))=K(3;2) \)வட்டத்தின் மையமாக உள்ளது. வட்டத்தின் ஆரம் \(1,5 \) . \(O \) புள்ளியை \(\டெல்டா \) டிகிரிகளால் சுழற்றுவதன் மூலம் பெறப்பட்ட \(P \) புள்ளியின் ஆயத்தொலைவுகளைக் கண்டறிவது அவசியம்.

படத்தில் இருந்து பார்க்க முடிந்தால், \ (P \) புள்ளியின் ஒருங்கிணைப்பு \ (x \) பிரிவின் நீளம் \ (TP=UQ=UK+KQ \) . பிரிவின் நீளம் \(UK \) வட்டத்தின் மையத்தின் ஒருங்கிணைப்பு \(x \) உடன் ஒத்துள்ளது, அதாவது \(3 \) க்கு சமம். கோசைனின் வரையறையைப் பயன்படுத்தி \(KQ \) பிரிவின் நீளத்தை வெளிப்படுத்தலாம்:

\(\cos \ \delta =\dfrac(KQ)(KP)=\dfrac(KQ)(r)\Rightarrow KQ=r\cdot \cos \\delta \).

பின்னர் புள்ளி \(P \) ஒருங்கிணைப்பு என்று உள்ளது \(x=((x)_(0))+r\cdot \cos \ \delta =3+1,5\cdot \cos \ \delta \).

அதே தர்க்கத்தின் மூலம், \(P \) புள்ளிக்கான y ஒருங்கிணைப்பின் மதிப்பைக் காண்கிறோம். இந்த வழியில்,

\(y=((y)_(0))+r\cdot \sin \ \delta =2+1,5\cdot \sin \delta \).

எனவே, பொதுவாக, புள்ளிகளின் ஒருங்கிணைப்புகள் சூத்திரங்களால் தீர்மானிக்கப்படுகின்றன:

\(\begin(array)(l)x=((x)_(0))+r\cdot \cos \\delta \\y=((y)_(0))+r\cdot \sin \ \delta \end(array) \), எங்கே

\((((x)_(0)),((y)_(0)) \) - வட்டத்தின் மையத்தின் ஆயத்தொகுப்புகள்,

\(r\) - வட்டம் ஆரம்,

\(\டெல்டா \) - திசையன் ஆரத்தின் சுழற்சி கோணம்.

நீங்கள் பார்க்க முடியும் என, நாங்கள் கருத்தில் கொண்ட யூனிட் வட்டத்திற்கு, இந்த சூத்திரங்கள் கணிசமாகக் குறைக்கப்படுகின்றன, ஏனெனில் மையத்தின் ஆயத்தொலைவுகள் பூஜ்ஜியமாக இருப்பதால், ஆரம் ஒன்றுக்கு சமம்:

\(\begin(array)(l)x=((x)_(0))+r\cdot \cos \\delta =0+1\cdot \cos \\delta =\cos \\delta \\y =((y)_(0))+r\cdot \sin \ \delta =0+1\cdot \sin \ \delta =\sin \\delta \end(array) \)

உங்கள் உலாவியில் Javascript முடக்கப்பட்டுள்ளது.
கணக்கீடுகளைச் செய்ய ActiveX கட்டுப்பாடுகள் இயக்கப்பட வேண்டும்!