Pisos 

El producto de fracciones algebraicas es el cuadrado de un binomio. Fórmulas de multiplicación abreviadas. No puedes sumar fracciones sin conversiones

En este artículo veremos operaciones básicas con fracciones algebraicas:

  • fracciones reductoras
  • multiplicar fracciones
  • dividir fracciones

Empecemos con reducción de fracciones algebraicas.

Parecería que, algoritmo obvio.

A reducir fracciones algebraicas, Necesitar

1. Factoriza el numerador y denominador de la fracción.

2. Reducir factores iguales.

Sin embargo, los escolares suelen cometer el error de “reducir” no los factores, sino los términos. Por ejemplo, hay aficionados que "reducen" fracciones y obtienen como resultado lo que, por supuesto, no es cierto.

Veamos ejemplos:

1. Reducir fracción:

1. Factoricemos el numerador usando la fórmula del cuadrado de la suma y el denominador usando la fórmula de la diferencia de cuadrados.

2. Divide el numerador y el denominador entre

2. Reducir fracción:

1. Factoricemos el numerador. Como el numerador contiene cuatro términos, utilizamos agrupación.

2. Factoricemos el denominador. También podemos utilizar la agrupación.

3. Anotamos la fracción que obtuvimos y reducimos los mismos factores:

Multiplicación de fracciones algebraicas.

Al multiplicar fracciones algebraicas, multiplicamos el numerador por el numerador y multiplicamos el denominador por el denominador.


¡Importante! No hay necesidad de apresurarse a multiplicar el numerador y el denominador de una fracción. Después de haber escrito el producto de los numeradores de las fracciones en el numerador y el producto de los denominadores en el denominador, debemos factorizar cada factor y reducir la fracción.

Veamos ejemplos:

3. Simplifica la expresión:

1. Escribamos el producto de fracciones: en el numerador el producto de los numeradores, y en el denominador el producto de los denominadores:

2. Factoricemos cada paréntesis:

Ahora necesitamos reducir los mismos factores. Tenga en cuenta que las expresiones y difieren sólo en el signo: y como resultado de dividir la primera expresión por la segunda obtenemos -1.

Entonces,

Dividimos fracciones algebraicas según la siguiente regla:


Eso es Para dividir por una fracción, debes multiplicar por la fracción "invertida".

Vemos que dividir fracciones se reduce a multiplicar, y En última instancia, la multiplicación se reduce a reducir fracciones.

Veamos un ejemplo:

4. Simplifica la expresión:

En la práctica se utilizan con mucha frecuencia fórmulas de expresiones abreviadas, por lo que es recomendable aprenderlas todas de memoria. Hasta este momento nos servirá fielmente, que recomendamos imprimir y tener presente en todo momento:

Las primeras cuatro fórmulas de la tabla compilada de fórmulas de multiplicación abreviadas le permiten elevar al cuadrado y al cubo la suma o diferencia de dos expresiones. El quinto está destinado a multiplicar brevemente la diferencia y la suma de dos expresiones. Y las fórmulas sexta y séptima se utilizan para multiplicar la suma de dos expresiones a y b por su cuadrado incompleto de la diferencia (así se llama una expresión de la forma a 2 −a b+b 2) y la diferencia de dos expresiones a y b por el cuadrado incompleto de su suma (a 2 + a·b+b 2 ) respectivamente.

Vale la pena señalar por separado que cada igualdad en la tabla es una identidad. Esto explica por qué las fórmulas de multiplicación abreviadas también se denominan identidades de multiplicación abreviadas.

Al resolver ejemplos, especialmente en los que el polinomio está factorizado, la FSU se utiliza a menudo en la forma con los lados izquierdo y derecho intercambiados:


Las últimas tres identidades de la tabla tienen sus propios nombres. La fórmula a 2 −b 2 =(a−b)·(a+b) se llama fórmula de diferencia de cuadrados, a 3 +b 3 =(a+b)·(a 2 −a·b+b 2) - fórmula de suma de cubos, A a 3 −b 3 =(a−b)·(a 2 +a·b+b 2) - fórmula de diferencia de cubos. Tenga en cuenta que no nombramos las fórmulas correspondientes con partes reorganizadas de la tabla anterior.

Fórmulas adicionales

No estaría de más agregar algunas identidades más a la tabla de fórmulas de multiplicación abreviadas.

Áreas de aplicación de fórmulas de multiplicación abreviadas (FSU) y ejemplos.

El objetivo principal de las fórmulas de multiplicación abreviadas (fsu) se explica por su nombre, es decir, consiste en multiplicar brevemente expresiones. Sin embargo, el ámbito de aplicación del FSU es mucho más amplio y no se limita a una multiplicación breve. Enumeremos las direcciones principales.

Sin duda, la aplicación central de la fórmula de multiplicación abreviada se encontró en la realización de transformaciones idénticas de expresiones. Muy a menudo, estas fórmulas se utilizan en el proceso. simplificando expresiones.

Ejemplo.

Simplifica la expresión 9·y−(1+3·y) 2 .

Solución.

En esta expresión, la elevación al cuadrado se puede realizar de forma abreviada, tenemos 9 y−(1+3 y) 2 =9 y−(1 2 +2 1 3 y+(3 y) 2). Ya sólo queda abrir los corchetes y traer términos similares: 9 y−(1 2 +2 1 3 y+(3 y) 2)= 9·y−1−6·y−9·y 2 =3·y−1−9·y 2.

Esta lección cubrirá la suma y resta de fracciones algebraicas con denominadores similares. Ya sabemos sumar y restar fracciones comunes con denominadores similares. Resulta que las fracciones algebraicas siguen las mismas reglas. Aprender a trabajar con fracciones con denominadores comunes es una de las piedras angulares del aprendizaje de cómo trabajar con fracciones algebraicas. En particular, comprender este tema facilitará el dominio de un tema más complejo: sumar y restar fracciones con diferentes denominadores. Como parte de la lección, estudiaremos las reglas para sumar y restar fracciones algebraicas con denominadores comunes y también analizaremos una serie de ejemplos típicos.

Regla para sumar y restar fracciones algebraicas con denominadores iguales

Sfor-mu-li-ru-em pra-vi-lo slo-zhe-niya (you-chi-ta-niya) al-geb-ra-i-che-skih fracciones de uno a ti -mi know-me-na-te-la-mi (coincide con la regla análoga para los golpes de tiro ordinarios): es decir, para la suma o el cálculo de fracciones al-geb-ra-i-che-skih con uno para ti know-me-on-the-la-mi necesario -ho-di-mo-compilar una suma al-geb-ra-i-che-suma de números correspondiente, y el sign-me-na-tel se va sin ninguno.

Entendemos esta regla tanto para el ejemplo de los empates ven ordinarios como para el ejemplo de los empates al-geb-ra-i-che.

Ejemplos de aplicación de la regla para fracciones ordinarias.

Ejemplo 1. Sumar fracciones: .

Solución

Sumemos el número de fracciones y dejemos el signo igual. Después de esto, descomponemos el número y firmamos en multiplicidades y combinaciones simples. Consigámoslo: .

Nota: un error estándar que se permite al resolver tipos similares de ejemplos, para -klu-cha-et-sya en la siguiente posible solución: . Esto es un grave error, ya que el signo sigue siendo el mismo que en las fracciones originales.

Ejemplo 2. Sumar fracciones: .

Solución

Éste no se diferencia en nada del anterior: .

Ejemplos de aplicación de la regla para fracciones algebraicas.

De los dro-beats ordinarios pasamos a al-geb-ra-i-che-skim.

Ejemplo 3. Sumar fracciones: .

Solución: como ya se mencionó anteriormente, la composición de las fracciones al-geb-ra-i-che no difiere en nada de la palabra igual que las peleas a tiros habituales. Por tanto, el método de solución es el mismo: .

Ejemplo 4. Eres la fracción: .

Solución

You-chi-ta-nie de fracciones al-geb-ra-i-che-skih de la suma solo por el hecho de que en el número pi-sy-va-et-sya hay diferencia en el número de fracciones utilizadas. Es por eso .

Ejemplo 5. Eres la fracción: .

Solución: .

Ejemplo 6. Simplifica: .

Solución: .

Ejemplos de aplicación de la regla seguida de reducción.

En una fracción que tiene el mismo significado en el resultado de la capitalización o cálculo, las combinaciones son posibles nia. Además, no debes olvidarte de la ODZ de las fracciones al-geb-ra-i-che-skih.

Ejemplo 7. Simplifica: .

Solución: .

Donde. En general, si la ODZ de las fracciones iniciales coincide con la ODZ del total, entonces se puede omitir (después de todo, la fracción que está en la respuesta tampoco existirá con los cambios significativos correspondientes). Pero si la ODZ de las fracciones utilizadas y la respuesta no coinciden, entonces es necesario indicar la ODZ.

Ejemplo 8. Simplifica: .

Solución: . Al mismo tiempo, y (la ODZ de las fracciones iniciales no coincide con la ODZ del resultado).

Sumar y restar fracciones con diferentes denominadores

Para sumar y leer fracciones al-geb-ra-i-che con diferentes know-me-on-the-la-mi, hacemos ana-lo -giyu con fracciones ordinarias-ven-ny y lo transferimos a al-geb -ra-i-che-fracciones.

Veamos el ejemplo más simple de fracciones ordinarias.

Ejemplo 1. Sumar fracciones: .

Solución:

Recordemos las reglas para sumar fracciones. Para empezar con una fracción, es necesario llevarla a un signo común. En el papel de signo general para fracciones ordinarias, actúas minimo común multiplo(NOK) signos iniciales.

Definición

El número más pequeño, que al mismo tiempo se divide en números y.

Para encontrar el NOC, es necesario dividir el conocimiento en conjuntos simples y luego seleccionar todo lo que hay muchos, que se incluyen en la división de ambos signos.

; . Entonces el MCM de números debe incluir dos de dos y dos de tres: .

Después de encontrar el conocimiento general, es necesario encontrar un residente de multiplicidad completo para cada una de las fracciones (de hecho, verter el signo común en el signo de la fracción correspondiente).

Luego cada fracción se multiplica por un factor medio completo. Saquemos algunas fracciones de las mismas que conoces, sumémoslas y léalas en voz alta -estudiado en lecciones anteriores.

Comamos: .

Respuesta:.

Veamos ahora la composición de fracciones al-geb-ra-i-che con diferentes signos. Ahora miremos las fracciones y veamos si hay números.

Sumar y restar fracciones algebraicas con diferentes denominadores

Ejemplo 2. Sumar fracciones: .

Solución:

Al-go-ritmo de la decisión ab-so-lyut-pero ana-lo-gi-chen al ejemplo anterior. Es fácil tomar el signo común de las fracciones dadas y multiplicadores adicionales para cada una de ellas.

.

Respuesta:.

Entonces, formemos al-go-ritmo de suma y cálculo de fracciones al-geb-ra-i-che-skih con diferentes signos:

1. Encuentra el signo común más pequeño de la fracción.

2. Encuentre multiplicadores adicionales para cada una de las fracciones (de hecho, el signo común del signo se da -ésima fracción).

3. Números hasta muchos en las correspondientes multiplicidades hasta completas.

4. Sumar o calcular fracciones, utilizando las sumas por derecho de menor y calculando fracciones con el mismo conocimiento -me-na-te-la-mi.

Ahora veamos un ejemplo con fracciones, en cuyo signo hay letras you -nia.

Francamente, estas son fórmulas que cualquier estudiante de séptimo grado debería recordar. Es simplemente imposible estudiar álgebra incluso en el nivel escolar y no conocer la fórmula para la diferencia de cuadrados o, digamos, el cuadrado de una suma. Aparecen todo el tiempo al simplificar expresiones algebraicas, reducir fracciones e incluso pueden ayudar con cálculos aritméticos. Bueno, por ejemplo, necesitas calcular mentalmente: 3,16 2 - 2 3,16 1,16 + 1,16 2. Si empiezas a calcularlo de frente, te resultará largo y aburrido, pero si usas la fórmula de diferencias al cuadrado, ¡obtendrás la respuesta en 2 segundos!

Entonces, siete fórmulas de álgebra “escolar” que todo el mundo debería conocer:


Nombre Fórmula
cuadrado de la suma (A + B) 2 = A 2 + 2AB + B 2
diferencia al cuadrado (A - B) 2 = A 2 - 2AB + B 2
diferencia de cuadrados (A - B)(A + B) = A 2 - B 2
cubo de suma (A + B) 3 = A 3 + 3A 2 B + 3AB 2 + B 3
cubo de diferencia (A - B) 3 = A 3 - 3A 2 B + 3AB 2 - B 3
suma de cubos A 3 + B 3 = (A + B)(A 2 - AB + B 2)
diferencia de cubos A 3 - B 3 = (A - B)(A 2 + AB + B 2)

Tenga en cuenta: ¡no existe una fórmula para la suma de cuadrados! No dejes que tu imaginación vaya demasiado lejos.

¿Cuál es la forma más fácil de recordar todas estas fórmulas? Bueno, digamos, veamos ciertas analogías. Por ejemplo, la fórmula para la suma al cuadrado es similar a la fórmula para la diferencia al cuadrado (la diferencia tiene solo un signo) y la fórmula para el cubo de la suma es similar a la fórmula para el cubo de la diferencia. Además, en las fórmulas para la diferencia de cubos y la suma de cubos, vemos algo similar al cuadrado de la suma y al cuadrado de la diferencia (solo falta el coeficiente 2).

Pero estas fórmulas (¡como cualquier otra!) se recuerdan mejor en la práctica. Resuelva más ejemplos de simplificación de expresiones algebraicas y todas las fórmulas serán recordadas por sí mismas.

Los estudiantes curiosos probablemente estarán interesados ​​en resumir los hechos presentados. Por ejemplo, existen fórmulas para el cuadrado y el cubo de una suma. ¿Qué pasa si consideramos expresiones como (A + B) 4, (A + B) 5 e incluso (A + B) n, donde n es un número natural arbitrario? ¿Es posible ver algún patrón aquí?

Sí, ese patrón existe. Una expresión de la forma (A + B) n se llama binomio de Newton. Recomiendo que los escolares curiosos deduzcan por sí mismos las fórmulas para (A + B) 4 y (A + B) 5, y luego intenten ver la ley general: compare, por ejemplo, el grado del binomio correspondiente y el grado de cada uno de los términos que se obtienen abriendo los corchetes; comparar el grado de un binomio con el número de términos; Intenta encontrar patrones en los coeficientes. No profundizaremos en este tema ahora (¡esto requiere una conversación por separado!), Solo escribiremos el resultado final:

(A + B) n = A n + C n 1 A n-1 B + C n 2 A n-2 B 2 + ... + C n k A n-k B k + ... + B n .

Aquí C n k = n!/(k! (n-k)!).

Les recuerdo que n! - esto es 1 2 ... n - el producto de todos los números naturales del 1 al n. Esta expresión se llama factorial de n. Por ejemplo, 4! = 1 2 3 4 = 24. ¡El factorial de cero se considera igual a uno!

¿Qué se puede decir sobre la diferencia de cuadrados, la diferencia de cubos, etc.? ¿Hay algún patrón aquí? ¿Es posible dar una fórmula general para A n - B n ?

Sí tu puedes. Aquí está la fórmula:

A n - B n = (A - B)(A n-1 + A n-2 B + A n-3 B 2 + ... + B n-1).

Además, para extraño grados n existe una fórmula similar para la suma:

Un n + B n = (A + B)(Un n-1 - Un n-2 B + Un n-3 B 2 - ... + B n-1).

No derivaremos estas fórmulas ahora (por cierto, no es muy difícil), pero conocer su existencia es ciertamente útil.

Fracciones ordinarias.

Sumar fracciones algebraicas

¡Recordar!

¡Solo puedes sumar fracciones con los mismos denominadores!

No puedes sumar fracciones sin conversiones

Puedes sumar fracciones

Al sumar fracciones algebraicas con denominadores iguales:

  1. el numerador de la primera fracción se suma al numerador de la segunda fracción;
  2. el denominador sigue siendo el mismo.

Veamos un ejemplo de suma de fracciones algebraicas.

Como el denominador de ambas fracciones es “2a”, significa que las fracciones se pueden sumar.

Sumemos el numerador de la primera fracción con el numerador de la segunda fracción, y dejemos el denominador igual. Al sumar fracciones en el numerador resultante, presentamos fracciones similares.

Restar fracciones algebraicas

Al restar fracciones algebraicas con denominadores iguales:

  1. El numerador de la segunda fracción se resta del numerador de la primera fracción.
  2. el denominador sigue siendo el mismo.

¡Importante!

Asegúrate de incluir entre paréntesis el numerador completo de la fracción que estás restando.

De lo contrario, te equivocarás en los signos al abrir los paréntesis de la fracción que estás restando.

Veamos un ejemplo de resta de fracciones algebraicas.

Dado que ambas fracciones algebraicas tienen un denominador de “2c”, esto significa que estas fracciones se pueden restar.

Resta el numerador de la segunda fracción “(a − b)” del numerador de la primera fracción “(a + d)”. No olvides poner entre paréntesis el numerador de la fracción que estás restando. Al abrir paréntesis, utilizamos la regla para abrir paréntesis.

Reducir fracciones algebraicas a un denominador común

Veamos otro ejemplo. Necesitas sumar fracciones algebraicas.

Las fracciones no se pueden sumar de esta forma porque tienen diferentes denominadores.

Antes de sumar fracciones algebraicas, se deben llevar a un denominador común.

Las reglas para reducir fracciones algebraicas a un denominador común son muy similares a las reglas para reducir fracciones ordinarias a un denominador común. .

Como resultado, deberíamos obtener un polinomio que se dividirá sin resto en cada uno de los denominadores anteriores de las fracciones.

A reducir fracciones algebraicas a un denominador común necesitas hacer lo siguiente.

  1. Trabajamos con coeficientes numéricos. Determinamos el MCM (mínimo común múltiplo) para todos los coeficientes numéricos.
  2. Trabajamos con polinomios. Definimos todos los diferentes polinomios en las mayores potencias.
  3. El producto del coeficiente numérico y todos los polinomios en las mayores potencias será el denominador común.
  4. Determina por qué necesitas multiplicar cada fracción algebraica para obtener un denominador común.

Volvamos a nuestro ejemplo.

Considera los denominadores “15a” y “3” de ambas fracciones y encuentra un denominador común para ellos.

  1. Trabajamos con coeficientes numéricos. Encuentra el MCM (el mínimo común múltiplo es un número que es divisible por cada coeficiente numérico sin resto). Para "15" y "3" es "15".
  2. Trabajamos con polinomios. Es necesario enumerar todos los polinomios en las mayores potencias. En los denominadores "15a" y "5" sólo hay
    un monomio - "a".
  3. Multipliquemos el MCM del paso 1 “15” y el monomio “a” del paso 2. Obtenemos "15a". Este será el denominador común.
  4. Para cada fracción, nos hacemos la pregunta: “¿Por qué debemos multiplicar el denominador de esta fracción para obtener “15a”?”

Veamos la primera fracción. Esta fracción ya tiene un denominador de “15a”, lo que significa que no es necesario multiplicarla por nada.

Veamos la segunda fracción. Hagamos la pregunta: "¿Por qué necesitas multiplicar "3" para obtener "15a"?" La respuesta es “5a”.

Al reducir una fracción a un denominador común, multiplica por “5a” tanto el numerador como el denominador.

Se puede escribir una notación abreviada para reducir una fracción algebraica a un denominador común usando "casas".

Para ello, tenga en cuenta el denominador común. Encima de cada fracción, en la parte superior “en la casa”, escribimos por qué multiplicamos cada una de las fracciones.


Ahora que las fracciones tienen los mismos denominadores, se pueden sumar las fracciones.

Veamos un ejemplo de resta de fracciones con diferentes denominadores.

Considera los denominadores “(x − y)” y “(x + y)” de ambas fracciones y encuentra el denominador común para ellos.

Tenemos dos polinomios diferentes en los denominadores "(x − y)" y "(x + y)". Su producto será el denominador común, es decir “(x − y)(x + y)” es el denominador común.


Sumar y restar fracciones algebraicas usando fórmulas de multiplicación abreviadas

En algunos ejemplos, se deben utilizar fórmulas de multiplicación abreviadas para reducir fracciones algebraicas a un denominador común.

Veamos un ejemplo de suma de fracciones algebraicas, donde necesitaremos usar la fórmula de diferencia de cuadrados.

En la primera fracción algebraica el denominador es “(p 2 − 36)”. Obviamente, se le puede aplicar la fórmula de diferencia de cuadrados.

Después de descomponer el polinomio “(p 2 − 36)” en el producto de polinomios
“(p + 6)(p − 6)” está claro que el polinomio “(p + 6)” se repite en fracciones. Esto significa que el denominador común de las fracciones será el producto de polinomios “(p + 6)(p − 6)”.