USO para 4? ¿No estás rebosante de felicidad?

La pregunta, como dicen, es interesante ... ¡Puedes, puedes pasar 4! Y al mismo tiempo, no reviente ... La condición principal es practicar regularmente. Aquí está la preparación básica para el examen de matemáticas. Con todos los secretos y misterios del Examen de Estado Unificado, sobre los que no leerá en los libros de texto... Estudie esta sección, resuelva más tareas de varias fuentes, ¡y todo saldrá bien! Se supone que la sección básica "¡Suficiente para ti y tres!" no te causa ningún problema. Pero si de repente... ¡Sigue los enlaces, no seas perezoso!

Y comenzaremos con un gran y terrible tema.

Trigonometría

¡Atención!
Hay adicionales
material en la Sección Especial 555.
Para aquellos que fuertemente "no muy..."
Y para los que "mucho...")

Este tema da muchos problemas a los estudiantes. Se considera uno de los más graves. ¿Qué es el seno y el coseno? ¿Qué es tangente y cotangente? ¿Qué es un círculo numérico? Vale la pena hacer estas preguntas inofensivas, ya que una persona palidece y trata de desviar la conversación hacia un lado ... Pero en vano. Estos son conceptos simples. Y este tema no es más difícil que otros. Solo necesita comprender claramente las respuestas a estas mismas preguntas desde el principio. Es muy importante. Si lo averiguaste, te gustará la trigonometría. Entonces,

¿Qué es el seno y el coseno? ¿Qué es tangente y cotangente?

Comencemos desde la antigüedad. No te preocupes, recorreremos los 20 siglos de trigonometría en 15 minutos y, de forma imperceptible para nosotros, repetiremos una pieza de geometría del grado 8.

Dibuja un triángulo rectángulo con lados a B C y ángulo X. Aquí hay uno.

Déjame recordarte que los lados que forman un ángulo recto se llaman catetos. a y c- patines Hay dos de ellos. El otro lado se llama hipotenusa. desde- hipotenusa.

¡Triángulo y triángulo, piénsalo! ¿Qué hacer con él? ¡Pero los antiguos sabían qué hacer! Repitamos sus acciones. Midamos el lado en. En la figura, las celdas están especialmente dibujadas, como sucede en las tareas del examen. Lado en es igual a cuatro celdas. está bien. Midamos el lado pero. Tres celdas.

Ahora vamos a dividir la longitud del lado pero por longitud de lado en. O, como dicen, tomemos la proporción pero para en. C.A= 3/4.

Alternativamente, puede compartir en sobre el pero. Obtenemos 4/3. Poder en dividido por desde. hipotenusa desde no contamos por celdas, pero es igual a 5. Obtenemos C.A= 4/5. En resumen, puedes dividir las longitudes de los lados entre sí y obtener algunos números.

¿Así que lo que? ¿Cuál es el significado de esta interesante actividad? Hasta ahora ninguno. Un trabajo estúpido, para ser honesto.)

Y ahora hagamos esto. Ampliemos el triángulo. Extendamos los lados para y de, pero para que el triángulo permanezca en ángulo recto. Inyección X, por supuesto, no cambia. Para verlo, pase el mouse sobre la imagen o tóquela (si tiene una tableta). Fiestas a, b y c convertirse en m, n, k y, por supuesto, las longitudes de los lados cambiarán.

¡Pero su relación no lo es!

Actitud C.A Fue: C.A= 3/4, se convirtió Minnesota= 6/8 = 3/4. Las relaciones de otras partes relevantes también no cambiará . Puede cambiar arbitrariamente las longitudes de los lados en un triángulo rectángulo, aumentar, disminuir, sin cambiar el ángulo x – la relación de las respectivas partes no cambiará . Puede verificar, o puede tomar la palabra de personas antiguas.

¡Ahora esto es muy importante! Las proporciones de los lados en un triángulo rectángulo no dependen de ninguna manera de las longitudes de los lados (para el mismo ángulo). Esto es tan importante que las relaciones de las partes se han ganado sus nombres especiales. Sus nombres, por así decirlo.) Familiarícese.

¿Cuál es el seno del ángulo x ? Esta es la razón del cateto opuesto a la hipotenusa:

senx = aire acondicionado

¿Cuál es el coseno del ángulo x ? Esta es la razón del cateto adyacente a la hipotenusa:

desdeosx= C.A

¿Cuál es la tangente del ángulo x ? Esta es la razón del cateto opuesto al adyacente:

tgx=C.A

¿Cuál es la cotangente del ángulo x? ? Esta es la razón del cateto adyacente al opuesto:

ctgx = en/a

Todo es muy simple. Seno, coseno, tangente y cotangente son algunos números. Sin dimensiones. Solo números. Para cada rincón - el suyo propio.

¿Por qué me repito tan aburridamente? Entonces que es eso necesito recordar. Irónicamente recuerda. La memorización se puede hacer más fácil. ¿La frase "Empecemos desde lejos ..." te resulta familiar? Así que empieza desde lejos.

Seno el ángulo es la razón distante desde el ángulo del cateto hasta la hipotenusa. Coseno es la razón de la más cercana a la hipotenusa.

Tangente el ángulo es la razón distante desde el ángulo del catéter al más cercano. Cotangente- viceversa.

Ya más fácil, ¿verdad?

Bueno, si recuerdas que solo las piernas se sientan en la tangente y la cotangente, y la hipotenusa aparece en el seno y el coseno, entonces todo se volverá bastante simple.

Toda esta gloriosa familia - seno, coseno, tangente y cotangente también se llama funciones trigonométricas.

Y ahora una pregunta a considerar.

¿Por qué decimos seno, coseno, tangente y cotangente? ¿esquina? Estamos hablando de la relación de las partes, como... ¿Qué tiene que ver con ¿inyección?

Veamos la segunda imagen. Exactamente igual que el primero.

Pase el mouse sobre la imagen. Cambié el ángulo X. ampliado de x a x.¡Todas las relaciones han cambiado! Actitud C.A era 3/4, y la proporción correspondiente estaño se convirtió en 6/4.

¡Y todas las demás relaciones se han vuelto diferentes!

Por lo tanto, las proporciones de los lados no dependen de ninguna manera de sus longitudes (en un ángulo x), ¡sino que dependen mucho de este mismo ángulo! Y solo de él. Por lo tanto, los términos seno, coseno, tangente y cotangente se refieren a esquina. La esquina aquí es la principal.

Debe entenderse irónicamente que el ángulo está indisolublemente ligado a sus funciones trigonométricas. Cada ángulo tiene su propio seno y coseno. Y casi todo el mundo tiene su propia tangente y cotangente. Es importante. Se cree que si nos dan un ángulo, entonces su seno, coseno, tangente y cotangente sabemos ! Y viceversa. Dado un seno, o cualquier otra función trigonométrica, conocemos el ángulo.

Hay tablas especiales donde para cada ángulo se escriben sus funciones trigonométricas. Las tablas de Bradys se llaman. Se han hecho durante mucho tiempo. Antes, cuando no había calculadoras ni computadoras...

Por supuesto, las funciones trigonométricas de todos los ángulos no se pueden memorizar. Solo necesita conocerlos desde algunos ángulos, más sobre eso más adelante. Pero el hechizo Conozco un ángulo, así que conozco sus funciones trigonométricas" - siempre funciona!

Así que repetimos una pieza de geometría del octavo grado. ¿Lo necesitamos para el examen? Necesario. Aquí hay un problema típico del examen. Para cuya solución es suficiente el 8º grado. Imagen dada:

Todo. No hay más datos. Necesitamos encontrar la longitud del cateto BC.

Las celdas ayudan poco, el triángulo está ubicado incorrectamente de alguna manera ... Supongo que a propósito ... De la información está la longitud de la hipotenusa. 8 celdas. Por alguna razón, se da un ángulo.

Aquí debemos recordar inmediatamente acerca de la trigonometría. Hay un ángulo, por lo que conocemos todas sus funciones trigonométricas. ¿Qué función de las cuatro se debe poner en acción? Veamos lo que sabemos, ¿de acuerdo? Conocemos la hipotenusa, el ángulo, pero necesitamos encontrar adyacente a esta esquina catet! ¡Claramente, el coseno necesita ser puesto en acción! Aquí estamos estrenando. Simplemente escribimos, por definición de coseno (razón adyacente cateto a hipotenusa):

cosC = BC/8

El ángulo C mide 60 grados y su coseno es 1/2. ¡Necesitas saber esto, sin tablas! Es decir:

1/2 = sol/8

Ecuación lineal elemental. Desconocido - sol. Quién olvidó cómo resolver ecuaciones, da un paseo por el enlace, el resto resuelve:

sol = 4

Cuando los antiguos se dieron cuenta de que cada ángulo tiene su propio conjunto de funciones trigonométricas, tenían una pregunta razonable. ¿No están relacionados entre sí el seno, el coseno, la tangente y la cotangente? Entonces, conociendo una función del ángulo, ¿puedes encontrar el resto? ¿Sin calcular el ángulo en sí?

Así estaban inquietos...)

Conexión entre funciones trigonométricas de un ángulo.

Por supuesto, el seno, el coseno, la tangente y la cotangente del mismo ángulo están relacionados. Cualquier conexión entre expresiones se da en matemáticas mediante fórmulas. En trigonometría, hay una gran cantidad de fórmulas. Pero aquí vamos a ver los más básicos. Estas fórmulas se llaman: identidades trigonométricas básicas. Aquí están:

Estas fórmulas necesitan saber hierro. Sin ellos, no hay nada que hacer en trigonometría en absoluto. Tres identidades auxiliares más se derivan de estas identidades básicas:

Inmediatamente le advierto que las últimas tres fórmulas se olvidan rápidamente. Por alguna razón.) Por supuesto, puede derivar estas fórmulas de las tres primeras. Pero, en un momento difícil... Tú entiendes.)

En tareas estándar como las que se muestran a continuación, hay una manera de sortear estas fórmulas olvidables. Y reducir drásticamente los errores en el olvido, y en los cálculos también. Esta práctica se encuentra en la Sección 555, lección "Relación entre funciones trigonométricas de un ángulo".

¿En qué tareas y cómo se utilizan las identidades trigonométricas básicas? La tarea más popular es encontrar alguna función del ángulo, si se da otra. En el examen, tal tarea está presente de año en año). Por ejemplo:

Encuentra el valor de senx si x es un ángulo agudo y cosx=0.8.

La tarea es casi elemental. Estamos buscando una fórmula donde haya seno y coseno. Aquí está esa fórmula:

sen 2 x + cos 2 x = 1

Sustituimos aquí un valor conocido, a saber, 0,8 en lugar del coseno:

sen 2 x + 0.8 2 = 1

Bueno, consideramos, como de costumbre:

sen 2 x + 0,64 = 1

sen 2 x \u003d 1 - 0.64

Aquí, casi todo. Hemos calculado el cuadrado del seno, queda sacar la raíz cuadrada y ¡la respuesta está lista! La raíz de 0,36 es 0,6.

La tarea es casi elemental. Pero la palabra "casi" no es en vano aquí... El hecho es que la respuesta senx = - 0.6 también es adecuada... (-0.6) 2 también será 0.36.

Se obtienen dos respuestas diferentes. Y necesitas uno. El segundo está mal. ¿¡Cómo ser!? Sí, como de costumbre). Lea la tarea cuidadosamente. Por alguna razón dice... si x es un angulo agudo... Y en las tareas, cada palabra tiene un significado, sí... Esta frase es información adicional para la solución.

Un ángulo agudo es un ángulo menor de 90°. Y en tales ángulos todos funciones trigonométricas -tanto seno como coseno, y tangente con cotangente- positivo. Esos. simplemente descartamos la respuesta negativa aquí. Tenemos el derecho.

En realidad, los estudiantes de octavo grado no necesitan tales sutilezas. Solo funcionan con triángulos rectángulos, donde las esquinas solo pueden ser agudas. Y no saben, dichosos, que hay ángulos negativos, y ángulos de 1000°... Y todos estos ángulos de pesadilla tienen sus propias funciones trigonométricas tanto con más como con menos...

Pero para los estudiantes de secundaria sin tener en cuenta el letrero, de ninguna manera. Mucho conocimiento multiplica las penas, sí...) Y para la correcta solución, la tarea debe contener información adicional (si es necesario). Por ejemplo, se podría dar como:

O de alguna otra manera. Verá en los ejemplos a continuación.) Para resolver tales ejemplos, necesita saber en qué cuarto cae el ángulo dado x y qué signo tiene la función trigonométrica deseada en este cuarto.

Estos conceptos básicos de trigonometría se discuten en las lecciones qué es un círculo trigonométrico, el conteo de ángulos en este círculo, la medida de un ángulo en radianes. A veces también necesitas saber la tabla de senos de cosenos de tangentes y cotangentes.

Entonces, anotemos lo más importante:

Consejos prácticos:

1. Recuerda las definiciones de seno, coseno, tangente y cotangente. Muy útil.

2. Asimilamos claramente: seno, coseno, tangente y cotangente están firmemente conectados con ángulos. Sabemos una cosa, por lo que sabemos otra.

3. Asimilamos claramente: el seno, el coseno, la tangente y la cotangente de un ángulo están interconectados por identidades trigonométricas básicas. Conocemos una función, lo que significa que podemos (si tenemos la información adicional necesaria) calcular todas las demás.

Y ahora vamos a decidir, como siempre. En primer lugar, las tareas en el volumen de 8 º grado. Pero los estudiantes de secundaria también pueden...)

1. Calcular el valor de tgA si ctgA = 0,4.

2. β - ángulo en un triángulo rectángulo. Encuentra el valor de tgβ si senβ = 12/13.

3. Determine el seno de un ángulo agudo x si tgx \u003d 4/3.

4. Encuentra el valor de una expresión:

6sen 2 5° - 3 + 6cos 2 5°

5. Encuentra el valor de una expresión:

(1-cosx)(1+cosx), si senx = 0,3

Respuestas (separadas por punto y coma, en desorden):

0,09; 3; 0,8; 2,4; 2,5

¿Sucedió? ¡Multa! Los estudiantes de octavo grado ya pueden seguir sus A's).

¿No salió todo bien? ¿Las tareas 2 y 3 de alguna manera no son muy ...? ¡No hay problema! Hay una hermosa técnica para tales tareas. ¡Todo se decide, prácticamente, sin fórmulas en absoluto! Y, por tanto, sin errores. Esta técnica se describe en la lección: "Relación entre funciones trigonométricas de un ángulo" en la Sección 555. Todas las demás tareas también se desmontan allí.

Estos eran problemas como el Examen Estatal Unificado, pero en una versión simplificada. USO - luz). Y ahora casi las mismas tareas, pero en forma completa. Para estudiantes de secundaria abrumados por el conocimiento.)

6. Encuentre el valor de tgβ si senβ = 12/13 y

7. Determine senx si tgx = 4/3, y x pertenece al intervalo (- 540°; - 450°).

8. Encuentra el valor de la expresión sinβ cosβ si ctgβ = 1.

Respuestas (en desorden):

0,8; 0,5; -2,4.

Aquí, en el problema 6, el ángulo se da de alguna manera no muy ambiguo... ¡Pero en el problema 8, no está establecido en absoluto! es a propósito). Se toma información adicional no solo de la tarea, sino también de la cabeza). Pero si lo decide, ¡se garantiza una tarea correcta!

¿Qué pasa si no te has decidido? Um... Bueno, la Sección 555 ayudará aquí. Allí, las soluciones a todas estas tareas se describen en detalle, es difícil no entender.

En esta lección, se da un concepto muy limitado de funciones trigonométricas. Dentro de 8º grado. Los mayores tienen preguntas...

Por ejemplo, si el ángulo X(vea la segunda imagen en esta página) - ¿¡Hacerlo tonto!? ¡El triángulo se derrumbará! y como ser? No habrá cateto, ni hipotenusa... El seno se ha ido...

Si los pueblos antiguos no hubieran encontrado una salida a esta situación, ahora no tendríamos teléfonos móviles, televisión o electricidad. ¡Sí Sí! La base teórica de todas estas cosas sin funciones trigonométricas es cero sin varita. Pero los antiguos no defraudaron. Cómo salieron, en la próxima lección.

Si te gusta este sitio...

Por cierto, tengo un par de sitios más interesantes para ti).

Puedes practicar la resolución de ejemplos y averiguar tu nivel. Pruebas con verificación instantánea. Aprendiendo - ¡con interés!)

puede familiarizarse con funciones y derivadas.

En la vida, a menudo tenemos que enfrentar problemas de matemáticas: en la escuela, en la universidad y luego ayudando a nuestro hijo con la tarea. Las personas de ciertas profesiones se encontrarán con las matemáticas a diario. Por lo tanto, es útil para memorizar o recordar reglas matemáticas. En este artículo analizaremos uno de ellos: encontrar el cateto de un triángulo rectángulo.

que es un triangulo rectangulo

Primero, recordemos qué es un triángulo rectángulo. Un triángulo rectángulo es una figura geométrica de tres segmentos que conectan puntos que no están en la misma línea recta, y uno de los ángulos de esta figura es de 90 grados. Los lados que forman un ángulo recto se llaman catetos y el lado opuesto al ángulo recto se llama hipotenusa.

Hallar el cateto de un triángulo rectángulo

Hay varias formas de averiguar la longitud de la pierna. Me gustaría considerarlos con más detalle.

Teorema de Pitágoras para encontrar el cateto de un triángulo rectángulo

Si conocemos la hipotenusa y el cateto, entonces podemos encontrar la longitud del cateto desconocido usando el teorema de Pitágoras. Suena así: "El cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de los catetos". Fórmula: c²=a²+b², donde c es la hipotenusa, a y b son los catetos. Transformamos la fórmula y obtenemos: a²=c²-b².

Ejemplo. La hipotenusa mide 5 cm y el cateto mide 3 cm Transformamos la fórmula: c²=a²+b² → a²=c²-b². A continuación, decidimos: a²=5²-3²; a²=25-9; a²=16; a=√16; a=4 (cm).

Relaciones trigonométricas para encontrar el cateto de un triángulo rectángulo

También es posible encontrar un cateto desconocido si se conocen cualquier otro lado y cualquier ángulo agudo de un triángulo rectángulo. Hay cuatro opciones para encontrar el cateto usando funciones trigonométricas: por seno, coseno, tangente, cotangente. Para resolver los problemas, la siguiente tabla nos ayudará. Consideremos estas opciones.

Encuentra el cateto de un triángulo rectángulo usando el seno

El seno de un ángulo (sin) es la razón del cateto opuesto a la hipotenusa. Fórmula: sin \u003d a / c, donde a es el cateto opuesto al ángulo dado, y c es la hipotenusa. A continuación, transformamos la fórmula y obtenemos: a=sin*c.

Ejemplo. La hipotenusa mide 10 cm y el ángulo A mide 30 grados. Según la tabla, calculamos el seno del ángulo A, es igual a 1/2. Luego, usando la fórmula transformada, resolvemos: a=sin∠A*c; a=1/2*10; a=5 (cm).

Encuentra el cateto de un triángulo rectángulo usando el coseno

El coseno de un ángulo (cos) es la razón del cateto adyacente a la hipotenusa. Fórmula: cos \u003d b / c, donde b es el cateto adyacente al ángulo dado, y c es la hipotenusa. Transformemos la fórmula y obtengamos: b=cos*c.

Ejemplo. El ángulo A mide 60 grados, la hipotenusa mide 10 cm Según la tabla, calculamos el coseno del ángulo A, es igual a 1/2. A continuación, resolvemos: b=cos∠A*c; b=1/2*10, b=5 (cm).

Encuentra el cateto de un triángulo rectángulo usando la tangente

La tangente de un ángulo (tg) es la razón del cateto opuesto al contiguo. Fórmula: tg \u003d a / b, donde a es el lado opuesto a la esquina y b es adyacente. Transformemos la fórmula y obtengamos: a=tg*b.

Ejemplo. El ángulo A mide 45 grados, la hipotenusa mide 10 cm Según la tabla, calculamos la tangente del ángulo A, es igual a Resolver: a=tg∠A*b; a=1*10; a=10 (cm).

Encuentra el cateto de un triángulo rectángulo usando la cotangente

La cotangente de un ángulo (ctg) es la razón del cateto adyacente al cateto opuesto. Fórmula: ctg \u003d b / a, donde b es el lado adyacente a la esquina y es opuesto. En otras palabras, la cotangente es la "tangente invertida". Obtenemos: b=ctg*a.

Ejemplo. El ángulo A mide 30 grados, el cateto opuesto mide 5 cm. Según la tabla, la tangente del ángulo A es √3. Calcular: b=ctg∠A*a; b=√3*5; b=5√3 (cm).

Entonces, ahora sabes cómo encontrar el cateto en un triángulo rectángulo. Como puede ver, no es tan difícil, lo principal es recordar las fórmulas.

Seno el ángulo agudo α de un triángulo rectángulo es la razón opuesto catéter a la hipotenusa.
Se denota como sigue: sen α.

Coseno El ángulo agudo α de un triángulo rectángulo es la razón del cateto adyacente a la hipotenusa.
Se denota como sigue: cos α.

Tangente El ángulo agudo α es la relación entre el cateto opuesto y el cateto adyacente.
Se denota como sigue: tg α.

Cotangente El ángulo agudo α es la relación entre el cateto adyacente y el opuesto.
Se designa como sigue: ctg α.

El seno, coseno, tangente y cotangente de un ángulo dependen únicamente de la magnitud del ángulo.

Normas:

Identidades trigonométricas básicas en un triángulo rectángulo:

(α - ángulo agudo opuesto a la pierna B y adyacente a la pierna a . Lado desde - hipotenusa. β - el segundo ángulo agudo).

B seno = - C	sen 2 α + cos 2 α = 1
a cosα = - C	1 1 + tg 2 α = -- porque 2 α
B tga = - a	1 1 + control 2 α = -- sin2α
a ctga = - B	1 1 1 + -- = -- tg 2 α sen 2 α
pecado tga = -- porque

A medida que aumenta el ángulo agudoseno yaumento de tg α, ycos α disminuye.

Para cualquier ángulo agudo α:

sen (90° - α) = cos α

cos (90° - α) = sen α

ejemplo explicativo:

Sea un triángulo rectángulo ABC
AB = 6,
BC = 3,
ángulo A = 30º.

Encuentra el seno del ángulo A y el coseno del ángulo B.

Solución

1) Primero, encontramos el valor del ángulo B. Aquí todo es simple: dado que en un triángulo rectángulo la suma de los ángulos agudos es 90º, entonces el ángulo B \u003d 60º:

B \u003d 90º - 30º \u003d 60º.

2) Calcula el seno A. Sabemos que el seno es igual a la razón del cateto opuesto a la hipotenusa. Para el ángulo A, el cateto opuesto es el lado BC. Entonces:

aC 3 1
sen A = -- = - = -
AB 6 2

3) Ahora calculamos cos B. Sabemos que el coseno es igual a la razón del cateto adyacente a la hipotenusa. Para el ángulo B, el cateto adyacente es del mismo lado BC. Esto significa que nuevamente necesitamos dividir BC en AB, es decir, realizar las mismas acciones que cuando calculamos el seno del ángulo A:

aC 3 1
porque B = -- = - = -
AB 6 2

El resultado es:
sen A = cos B = 1/2.

sen 30º = cos 60º = 1/2.

De esto se sigue que en un triángulo rectángulo el seno de un ángulo agudo es igual al coseno de otro ángulo agudo, y viceversa. Esto es exactamente lo que significan nuestras dos fórmulas:
sen (90° - α) = cos α
cos (90° - α) = sen α

Comprobémoslo de nuevo:

1) Sea α = 60º. Sustituyendo el valor de α en la fórmula del seno, obtenemos:
sen (90º - 60º) = cos 60º.
sen 30º = cos 60º.

2) Sea α = 30º. Sustituyendo el valor de α en la fórmula del coseno, obtenemos:
cos (90° - 30º) = sen 30º.
cos 60° = sen 30°.

(Para más información sobre trigonometría, consulte la sección de Álgebra)

Capítulo I. Solución de Triángulos Rectángulos

§3 (37). Razones y tareas básicas

En trigonometría, se consideran problemas en los que se requiere calcular ciertos elementos de un triángulo por un número suficiente de valores numéricos de sus elementos dados. Estas tareas suelen denominarse solución triángulo.

Sea ABC un triángulo rectángulo, C un ángulo recto, pero Y B- catetos opuestos a los ángulos agudos A y B, desde- hipotenusa (Fig. 3);

entonces nosotros tenemos:

El coseno de un ángulo agudo es la razón del cateto adyacente a la hipotenusa:

porque A = B/ C, porque B = a / C (1)

El seno de un ángulo agudo es la razón del cateto opuesto a la hipotenusa:

sen A = a / C, sen B = B/ C (2)

La tangente de un ángulo agudo es la razón del cateto opuesto al contiguo:

bronceado A = a / B, tg B = B/ a (3)

La cotangente de un ángulo agudo es la razón del cateto adyacente al opuesto:

ctgA= B/ a, control B = a / B (4)

La suma de los ángulos agudos es 90°.

Problemas básicos de triángulos rectángulos.

Tarea I. Dada la hipotenusa y uno de los ángulos agudos, calcula los demás elementos.

Solución. Dejar dado desde y A. Ángulo B = 90° - A también se conoce; las piernas se encuentran a partir de las fórmulas (1) y (2).

un = c pecado, b = c porque a

Tarea II . Dado un cateto y uno de los ángulos agudos, calcula los demás elementos.

Solución. Dejar dado pero y A. Ángulo B = 90° - A es conocido; de las fórmulas (3) y (2) encontramos:

B = a tg B (= a ctg A), desde = a/sin A

Tarea III. Dado el cateto y la hipotenusa, calcula los elementos restantes.

Solución. Dejar dado pero Y desde(y pero< с ). De las igualdades (2) encontramos el ángulo A:

sen A = a / C y A = arco sen a / C ,

y finalmente la pierna B:

B = desde porque A (= desde pecado B).

Tarea IV. Se dan los catetos a y b para encontrar otros elementos.

Solución. De las igualdades (3) encontramos un ángulo agudo, por ejemplo A:

tg A = a / B, A = arcotan a / B ,

ángulo B \u003d 90 ° - A,

hipotenusa: C = a/sen A (= B/senB; = a/cos B)

A continuación se muestra un ejemplo de cómo resolver un triángulo rectángulo usando tablas logarítmicas*.

* El cálculo de los elementos de triángulos rectángulos según tablas naturales se conoce del curso de geometría de la clase VIII.

Al calcular usando tablas logarítmicas, uno debe escribir las fórmulas correspondientes, prologaritmarlas, sustituir datos numéricos, encontrar los logaritmos requeridos de elementos conocidos (o sus funciones trigonométricas) de las tablas, calcular los logaritmos de los elementos deseados (o sus funciones trigonométricas ) y busque los elementos necesarios en las tablas.

Ejemplo. pierna dana pero= 166.1 e hipotenusa desde= 187,3; calcular ángulos agudos, otro cateto y área.

Solución. Tenemos:

sen A = a / C; lg sen A = lg a-lg C;

A ≈ 62°30", B ≈ 90° - 62°30" ≈ 27°30".

Calculamos la pierna B:

b = un tgB; lg B= registro B+ lg tg B ;

El área de un triángulo se puede calcular usando la fórmula

S=1/2 abdominales = 0,5 a 2 g B;

Para el control, calculamos el ángulo A en una regla de cálculo:

Un \u003d arco pecado a / C= arco sen 166 / 187 ≈ 62°.

Nota. pierna B se puede calcular por el teorema de Pitágoras, utilizando las tablas de cuadrados y raíces cuadradas (Tablas III y IV):

B= √187,3 2 - 166,1 2 = √35080 - 27590 ≈ 86,54.

Discrepancia con el valor obtenido previamente b= 86.48 se explica por los errores de las tablas, que dan los valores aproximados de las funciones. El resultado de 86,54 es más preciso.

Cuál es el seno, coseno, tangente, cotangente de un ángulo te ayudará a entender un triángulo rectángulo.

¿Cómo se llaman los lados de un triángulo rectángulo? Así es, la hipotenusa y los catetos: la hipotenusa es el lado opuesto al ángulo recto (en nuestro ejemplo, este es el lado \(AC\) ); los catetos son los dos lados restantes \(AB\) y \(BC\) (los que son adyacentes al ángulo recto), además, si consideramos los catetos con respecto al ángulo \(BC\), entonces el cateto \ (AB \) es el cateto adyacente, y el cateto \ (BC \) es el opuesto. Entonces, ahora respondamos la pregunta: ¿cuáles son el seno, el coseno, la tangente y la cotangente de un ángulo?

Seno de un ángulo- esta es la relación entre el cateto opuesto (lejos) y la hipotenusa.

En nuestro triángulo:

\[ \sin \beta =\dfrac(BC)(AC) \]

Coseno de un ángulo- esta es la relación entre el cateto adyacente (cercano) y la hipotenusa.

En nuestro triángulo:

\[ \cos \beta =\dfrac(AB)(AC) \]

ángulo tangente- esta es la relación de la pierna opuesta (lejana) a la adyacente (cercana).

En nuestro triángulo:

\[ tg\beta =\dfrac(BC)(AB) \]

Cotangente de un ángulo- esta es la relación de la pierna adyacente (cercana) a la opuesta (lejana).

En nuestro triángulo:

\[ ctg\beta =\dfrac(AB)(BC) \]

Estas definiciones son necesarias recordar! Para que sea más fácil recordar qué pierna dividir por qué, debe comprender claramente que en tangente Y cotangente solo las piernas se sientan, y la hipotenusa aparece solo en seno Y coseno. Y luego puedes llegar a una cadena de asociaciones. Por ejemplo, este:

coseno→toque→toque→adyacente;

Cotangente→toque→toque→adyacente.

Antes que nada, es necesario recordar que el seno, el coseno, la tangente y la cotangente como razones de los lados de un triángulo no dependen de las longitudes de estos lados (en un ángulo). ¿No confíes? Entonces asegúrese mirando la imagen:

Considere, por ejemplo, el coseno del ángulo \(\beta \) . Por definición, de un triángulo \(ABC \) : \(\cos \beta =\dfrac(AB)(AC)=\dfrac(4)(6)=\dfrac(2)(3) \), pero podemos calcular el coseno del ángulo \(\beta \) a partir del triángulo \(AHI \) : \(\cos \beta =\dfrac(AH)(AI)=\dfrac(6)(9)=\dfrac(2)(3) \). Verás, las longitudes de los lados son diferentes, pero el valor del coseno de un ángulo es el mismo. Así, los valores de seno, coseno, tangente y cotangente dependen únicamente de la magnitud del ángulo.

Si comprende las definiciones, ¡adelante, corríjalas!

Para el triángulo \(ABC \) , que se muestra en la siguiente figura, encontramos \(\sin \\alpha ,\ \cos \ \alpha ,\ tg\ \alpha ,\ctg\ \alpha \).

\(\begin(array)(l)\sin \ \alpha =\dfrac(4)(5)=0.8\\\cos \ \alpha =\dfrac(3)(5)=0.6\\ tg\ \alpha =\dfrac(4)(3)\\ctg\ \alpha =\dfrac(3)(4)=0.75\end(matriz) \)

Bueno, ¿lo conseguiste? Entonces inténtelo usted mismo: calcule lo mismo para el ángulo \(\beta \) .

Respuestas: \(\sin \ \beta =0.6;\ \cos \ \beta =0.8;\ tg\ \beta =0.75;\ ctg\ \beta =\dfrac(4)(3) \).

Círculo unitario (trigonométrico)

Entendiendo los conceptos de grado y radián, consideramos un círculo con un radio igual a \(1\) . Tal círculo se llama único. Es muy útil en el estudio de la trigonometría. Por lo tanto, nos detenemos en él con un poco más de detalle.

Como puede ver, este círculo está construido en el sistema de coordenadas cartesianas. El radio del círculo es igual a uno, mientras que el centro del círculo se encuentra en el origen, la posición inicial del radio vector se fija a lo largo de la dirección positiva del eje \(x \) (en nuestro ejemplo, este es el radio \(AB \) ).

Cada punto en el círculo corresponde a dos números: la coordenada a lo largo del eje \(x \) y la coordenada a lo largo del eje \(y \) . ¿Cuáles son estos números de coordenadas? Y en general, ¿qué tienen que ver con el tema que nos ocupa? Para hacer esto, recuerda sobre el triángulo rectángulo considerado. En la figura de arriba, puedes ver dos triángulos rectángulos enteros. Considere el triángulo \(ACG \) . Es rectangular porque \(CG \) es perpendicular al eje \(x \).

¿Cuál es \(\cos \ \alpha \) del triángulo \(ACG \) ? Así es \(\cos \ \alpha =\dfrac(AG)(AC) \). Además, sabemos que \(AC \) es el radio del círculo unitario, entonces \(AC=1 \) . Sustituye este valor en nuestra fórmula del coseno. Esto es lo que sucede:

\(\cos \ \alpha =\dfrac(AG)(AC)=\dfrac(AG)(1)=AG \).

¿Y cuál es \(\sin \ \alpha \) del triángulo \(ACG \) ? Bueno, por supuesto, \(\sin \alpha =\dfrac(CG)(AC) \)! Sustituya el valor del radio \ (AC \) en esta fórmula y obtenga:

\(\sin \alpha =\dfrac(CG)(AC)=\dfrac(CG)(1)=CG \)

Entonces, ¿puedes decirme cuáles son las coordenadas del punto \(C \) , que pertenece a la circunferencia? Bueno, ¿de ninguna manera? Pero, ¿y si te das cuenta de que \(\cos \ \alpha \) y \(\sin \alpha \) son solo números? ¿A qué coordenada corresponde \(\cos \alpha \)? Bueno, por supuesto, la coordenada \(x \) ! ¿Y a qué coordenada corresponde \(\sin \alpha \)? ¡Así es, la coordenada \(y \)! entonces el punto \(C(x;y)=C(\cos \alpha ;\sin \alpha) \).

¿Qué son entonces \(tg \alpha \) y \(ctg \alpha \) ? Así es, usemos las definiciones apropiadas de tangente y cotangente y obtengamos eso \(tg \alpha =\dfrac(\sin \alpha )(\cos \alpha )=\dfrac(y)(x) \), pero \(ctg \alpha =\dfrac(\cos \alpha )(\sin \alpha )=\dfrac(x)(y) \).

¿Qué pasa si el ángulo es mayor? Aquí, por ejemplo, como en esta imagen:

¿Qué ha cambiado en este ejemplo? Averigüémoslo. Para hacer esto, nuevamente recurrimos a un triángulo rectángulo. Considere un triángulo rectángulo \(((A)_(1))((C)_(1))G \) : un ángulo (como adyacente al ángulo \(\beta \) ). ¿Cuál es el valor de seno, coseno, tangente y cotangente para un ángulo? \(((C)_(1))((A)_(1))G=180()^\circ -\beta \ \)? Así es, nos adherimos a las definiciones correspondientes de funciones trigonométricas:

\(\begin(matriz)(l)\sin \angle ((C)_(1))((A)_(1))G=\dfrac(((C)_(1))G)(( (A)_(1))((C)_(1)))=\dfrac(((C)_(1))G)(1)=((C)_(1))G=y; \\\cos \angle ((C)_(1))((A)_(1))G=\dfrac(((A)_(1))G)(((A)_(1)) ((C)_(1)))=\dfrac(((A)_(1))G)(1)=((A)_(1))G=x;\\tg\angle ((C )_(1))((A)_(1))G=\dfrac(((C)_(1))G)(((A)_(1))G)=\dfrac(y)( x);\\ctg\ángulo ((C)_(1))((A)_(1))G=\dfrac(((A)_(1))G)(((C)_(1 ))G)=\dfrac(x)(y)\end(matriz) \)

Bueno, como puedes ver, el valor del seno del ángulo todavía corresponde a la coordenada \(y\) ; el valor del coseno del ángulo - la coordenada \ (x \) ; y los valores de tangente y cotangente a las razones correspondientes. Por lo tanto, estas relaciones son aplicables a cualquier rotación del radio vector.

Ya se ha mencionado que la posición inicial del radio vector es a lo largo de la dirección positiva del eje \(x\). Hasta ahora hemos rotado este vector en sentido contrario a las manecillas del reloj, pero ¿qué sucede si lo rotamos en el sentido de las manecillas del reloj? Nada extraordinario, también obtendrás un ángulo de cierto tamaño, pero solo será negativo. Por lo tanto, al girar el radio vector en sentido contrario a las agujas del reloj, obtenemos ángulos positivos, y al girar en el sentido de las agujas del reloj - negativo.

Entonces, sabemos que la revolución completa del radio vector alrededor del círculo es \(360()^\circ \) o \(2\pi \) . ¿Es posible rotar el radio vector por \(390()^\circ \) o por \(-1140()^\circ \) ? ¡Bueno, por supuesto que puedes! En el primer caso, \(390()^\circ =360()^\circ +30()^\circ \), por lo que el vector de radio hará una rotación completa y se detendrá en \(30()^\circ \) o \(\dfrac(\pi )(6) \) .

En el segundo caso, \(-1140()^\circ =-360()^\circ \cdot 3-60()^\circ \), es decir, el radio vector hará tres revoluciones completas y se detendrá en la posición \(-60()^\circ \) o \(-\dfrac(\pi )(3) \) .

Por lo tanto, de los ejemplos anteriores, podemos concluir que los ángulos que difieren en \(360()^\circ \cdot m \) o \(2\pi \cdot m \) (donde \(m \) es cualquier número entero) corresponden a la misma posición del radio vector.

La siguiente figura muestra el ángulo \(\beta =-60()^\circ \) . La misma imagen corresponde a la esquina. \(-420()^\circ ,-780()^\circ ,\ 300()^\circ ,660()^\circ \) etc Esta lista puede continuar indefinidamente. Todos estos ángulos se pueden escribir con la fórmula general \(\beta +360()^\circ \cdot m \) o \(\beta +2\pi \cdot m \) (donde \(m \) es cualquier número entero)

\(\begin(matriz)(l)-420()^\circ =-60+360\cdot (-1);\\-780()^\circ =-60+360\cdot (-2); \\300()^\circ =-60+360\cdot 1;\\660()^\circ =-60+360\cdot 2.\end(matriz) \)

Ahora, conociendo las definiciones de las funciones trigonométricas básicas y utilizando el círculo unitario, intenta responder a qué valores equivalen:

\(\begin(array)(l)\sin \ 90()^\circ =?\\\cos \ 90()^\circ =?\\\text(tg)\ 90()^\circ =? \\\text(ctg)\ 90()^\circ =?\\\sin \ 180()^\circ =\sin \ \pi =?\\\cos \ 180()^\circ =\cos \ \pi =?\\\texto(tg)\ 180()^\circ =\texto(tg)\ \pi =?\\\texto(ctg)\ 180()^\circ =\texto(ctg)\ \pi =?\\\sin \ 270()^\circ =?\\\cos \ 270()^\circ =?\\\text(tg)\ 270()^\circ =?\\\text (ctg)\ 270()^\circ =?\\\sin \ 360()^\circ =?\\\cos \ 360()^\circ =?\\\text(tg)\ 360()^ \circ =?\\\text(ctg)\ 360()^\circ =?\\\sin \ 450()^\circ =?\\\cos \ 450()^\circ =?\\\text (tg)\ 450()^\circ =?\\\text(ctg)\ 450()^\circ =?\end(matriz) \)

Aquí hay un círculo unitario para ayudarte:

¿Alguna dificultad? Entonces vamos a averiguarlo. Entonces sabemos que:

\(\begin(array)(l)\sin \alpha =y;\\cos\alpha =x;\\tg\alpha =\dfrac(y)(x);\\ctg\alpha =\dfrac(x) )(y).\end(matriz) \)

A partir de aquí, determinamos las coordenadas de los puntos correspondientes a ciertas medidas del ángulo. Bueno, empecemos por orden: la esquina en \(90()^\circ =\dfrac(\pi)(2) \) corresponde a un punto con coordenadas \(\left(0;1 \right) \) , por lo tanto:

\(\sin 90()^\circ =y=1 \) ;

\(\cos 90()^\circ =x=0 \) ;

\(\text(tg)\ 90()^\circ =\dfrac(y)(x)=\dfrac(1)(0)\Rightarrow \text(tg)\ 90()^\circ \)- no existe;

\(\text(ctg)\ 90()^\circ =\dfrac(x)(y)=\dfrac(0)(1)=0 \).

Además, siguiendo la misma lógica, descubrimos que las esquinas en \(180()^\circ ,\ 270()^\circ ,\ 360()^\circ ,\ 450()^\circ (=360()^\circ +90()^\circ)\ \ ) corresponden a puntos con coordenadas \(\left(-1;0 \right),\text( )\left(0;-1 \right),\text( )\left(1;0 \right),\text( )\left(0 ;1 \derecho) \), respectivamente. Sabiendo esto, es fácil determinar los valores de las funciones trigonométricas en los puntos correspondientes. Pruébelo usted mismo primero, luego verifique las respuestas.

Respuestas:

\(\displaystyle\sin\180()^\circ =\sin\\pi =0\)

\(\displaystyle\cos\180()^\circ =\cos \\pi =-1\)

\(\text(tg)\ 180()^\circ =\text(tg)\ \pi =\dfrac(0)(-1)=0 \)

\(\text(ctg)\ 180()^\circ =\text(ctg)\ \pi =\dfrac(-1)(0)\Rightarrow \text(ctg)\ \pi \)- no existe

\(\sen\270()^\circ =-1\)

\(\cos\270()^\circ =0\)

\(\text(tg)\ 270()^\circ =\dfrac(-1)(0)\Rightarrow \text(tg)\ 270()^\circ \)- no existe

\(\texto(ctg)\ 270()^\circ =\dfrac(0)(-1)=0 \)

\(\sen\360()^\circ =0\)

\(\cos\360()^\circ =1\)

\(\text(tg)\ 360()^\circ =\dfrac(0)(1)=0 \)

\(\text(ctg)\ 360()^\circ =\dfrac(1)(0)\Rightarrow \text(ctg)\ 2\pi \)- no existe

\(\sin \ 450()^\circ =\sin \ \left(360()^\circ +90()^\circ \right)=\sin \ 90()^\circ =1 \)

\(\cos \ 450()^\circ =\cos \ \left(360()^\circ +90()^\circ \right)=\cos \ 90()^\circ =0 \)

\(\text(tg)\ 450()^\circ =\text(tg)\ \left(360()^\circ +90()^\circ \right)=\text(tg)\ 90() ^\circ =\dfrac(1)(0)\Flecha derecha \text(tg)\ 450()^\circ \)- no existe

\(\text(ctg)\ 450()^\circ =\text(ctg)\left(360()^\circ +90()^\circ \right)=\text(ctg)\ 90()^ \circ =\dfrac(0)(1)=0 \).

Así, podemos hacer la siguiente tabla:

No es necesario recordar todos estos valores. Basta recordar la correspondencia entre las coordenadas de los puntos en el círculo unitario y los valores de las funciones trigonométricas:

\(\left. \begin(array)(l)\sin \alpha =y;\\cos \alpha =x;\\tg \alpha =\dfrac(y)(x);\\ctg \alpha =\ dfrac(x)(y).\end(array) \right\)\ \text(¡¡Necesidad de recordar o ser capaz de generar salida!! \) !}

Y aquí están los valores de las funciones trigonométricas de los ángulos en y \(30()^\circ =\dfrac(\pi)(6),\ 45()^\circ =\dfrac(\pi)(4) \) dado en la siguiente tabla, debe recordar:

No hay necesidad de asustarse, ahora mostraremos uno de los ejemplos de una memorización bastante simple de los valores correspondientes:

Para usar este método, es vital recordar los valores del seno para las tres medidas de ángulo ( \(30()^\circ =\dfrac(\pi )(6),\ 45()^\circ =\dfrac(\pi )(4),\ 60()^\circ =\dfrac(\pi )(3) \)), así como el valor de la tangente del ángulo en \(30()^\circ \) . Conociendo estos valores \(4\), es bastante fácil restaurar toda la tabla: los valores del coseno se transfieren de acuerdo con las flechas, es decir:

\(\begin(matriz)(l)\sin 30()^\circ =\cos \ 60()^\circ =\dfrac(1)(2)\ \ \\\sin 45()^\circ = \cos \ 45()^\circ =\dfrac(\sqrt(2))(2)\\\sin 60()^\circ =\cos \ 30()^\circ =\dfrac(\sqrt(3 ))(2)\ \end(matriz) \)

\(\text(tg)\ 30()^\circ \ =\dfrac(1)(\sqrt(3)) \), sabiendo esto, es posible restaurar los valores para \(\text(tg)\ 45()^\circ , \text(tg)\ 60()^\circ \). El numerador “\(1 \) ” coincidirá con \(\text(tg)\ 45()^\circ \ \) , y el denominador “\(\sqrt(\text(3)) \) ” coincidirá con \ (\texto (tg)\ 60()^\circ \\) . Los valores de cotangente se transfieren de acuerdo con las flechas que se muestran en la figura. Si comprende esto y recuerda el esquema con flechas, será suficiente recordar solo \(4 \) valores de la tabla.

Coordenadas de un punto en un círculo

¿Es posible encontrar un punto (sus coordenadas) en un círculo, sabiendo las coordenadas del centro del círculo, su radio y ángulo de rotación? ¡Bueno, por supuesto que puedes! Derivamos una fórmula general para encontrar las coordenadas de un punto. Aquí, por ejemplo, tenemos un círculo de este tipo:

Nos dan ese punto \(K(((x)_(0));((y)_(0)))=K(3;2) \) es el centro del círculo. El radio del círculo es \(1,5 \) . Es necesario encontrar las coordenadas del punto \(P \) obtenidas al rotar el punto \(O \) en \(\delta \) grados.

Como se puede ver en la figura, la coordenada \(x\) del punto \(P\) corresponde a la longitud del segmento \(TP=UQ=UK+KQ\) . La longitud del segmento \(UK\) corresponde a la coordenada \(x\) del centro del círculo, es decir, es igual a \(3\) . La longitud del segmento \(KQ \) se puede expresar usando la definición de coseno:

\(\cos \ \delta =\dfrac(KQ)(KP)=\dfrac(KQ)(r)\Rightarrow KQ=r\cdot \cos \ \delta \).

Entonces tenemos que para el punto \(P \) la coordenada \(x=((x)_(0))+r\cdot \cos \ \delta =3+1,5\cdot \cos \ \delta \).

Por la misma lógica, encontramos el valor de la coordenada y para el punto \(P\) . De este modo,

\(y=((y)_(0))+r\cdot \sin \ \delta =2+1,5\cdot \sin \delta \).

Entonces, en términos generales, las coordenadas de los puntos están determinadas por las fórmulas:

\(\begin(matriz)(l)x=((x)_(0))+r\cdot \cos \ \delta \\y=((y)_(0))+r\cdot \sin \ \delta \end(matriz) \), donde

\(((x)_(0)),((y)_(0)) \) - coordenadas del centro del círculo,

\(r\) - radio del círculo,

\(\delta \) - ángulo de rotación del radio del vector.

Como puede ver, para el círculo unitario que estamos considerando, estas fórmulas se reducen significativamente, ya que las coordenadas del centro son cero y el radio es igual a uno:

\(\begin(matriz)(l)x=((x)_(0))+r\cdot \cos \ \delta =0+1\cdot \cos \ \delta =\cos \ \delta \\y =((y)_(0))+r\cdot \sin \ \delta =0+1\cdot \sin \ \delta =\sin \ \delta \end(matriz) \)

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