15 இடது அடைப்புக்குறிகளைத் திறக்கவும். எளிய நேரியல் சமன்பாடுகளைத் தீர்ப்பது

இயற்கணிதத்தில் கருதப்படும் பல்வேறு வெளிப்பாடுகளில், மோனோமியல்களின் தொகைகள் ஒரு முக்கிய இடத்தைப் பிடித்துள்ளன. அத்தகைய வெளிப்பாடுகளின் எடுத்துக்காட்டுகள் இங்கே:
\(5a^4 - 2a^3 + 0.3a^2 - 4.6a + 8\)
\(xy^3 - 5x^2y + 9x^3 - 7y^2 + 6x + 5y - 2\)

மோனோமியல்களின் கூட்டுத்தொகை பல்லுறுப்புக்கோவை எனப்படும். பல்லுறுப்புக்கோவையில் உள்ள சொற்கள் பல்லுறுப்புக்கோவையின் சொற்கள் எனப்படும். மோனோமியல்கள் பல்லுறுப்புக்கோவைகளாகவும் வகைப்படுத்தப்படுகின்றன, இது ஒரு உறுப்பினரைக் கொண்ட பல்லுறுப்புக்கோவையாகக் கருதுகிறது.

உதாரணமாக, ஒரு பல்லுறுப்புக்கோவை
\(8b^5 - 2b \cdot 7b^4 + 3b^2 - 8b + 0.25b \cdot (-12)b + 16 \)
எளிமைப்படுத்த முடியும்.

நிலையான வடிவத்தின் மோனோமியல் வடிவத்தில் அனைத்து சொற்களையும் பிரதிநிதித்துவப்படுத்துவோம்:
\(8b^5 - 2b \cdot 7b^4 + 3b^2 - 8b + 0.25b \cdot (-12)b + 16 = \)
\(= 8b^5 - 14b^5 + 3b^2 -8b -3b^2 + 16\)

விளைந்த பல்லுறுப்புக்கோவையில் இதே போன்ற சொற்களை முன்வைப்போம்:
\(8b^5 -14b^5 +3b^2 -8b -3b^2 + 16 = -6b^5 -8b + 16 \)
இதன் விளைவாக ஒரு பல்லுறுப்புக்கோவை உள்ளது, அவற்றின் அனைத்து சொற்களும் நிலையான வடிவத்தின் மோனோமியல்கள், அவற்றில் ஒத்தவை எதுவும் இல்லை. இத்தகைய பல்லுறுப்புக்கோவைகள் அழைக்கப்படுகின்றன நிலையான வடிவத்தின் பல்லுறுப்புக்கோவைகள்.

பின்னால் பல்லுறுப்புக்கோவை பட்டம்ஒரு நிலையான வடிவம் அதன் உறுப்பினர்களின் மிக உயர்ந்த அதிகாரங்களை எடுத்துக்கொள்கிறது. எனவே, இருசொல் \(12a^2b - 7b\) மூன்றாம் பட்டத்தையும், திரினோமியலானது \(2b^2 -7b + 6\) இரண்டையும் கொண்டுள்ளது.

பொதுவாக, ஒரு மாறியைக் கொண்ட நிலையான வடிவ பல்லுறுப்புக்கோவைகளின் விதிமுறைகள் அடுக்குகளின் இறங்கு வரிசையில் அமைக்கப்பட்டிருக்கும். உதாரணத்திற்கு:
\(5x - 18x^3 + 1 + x^5 = x^5 - 18x^3 + 5x + 1\)

பல பல்லுறுப்புக்கோவைகளின் கூட்டுத்தொகை நிலையான வடிவத்தின் பல்லுறுப்புக்கோவையாக மாற்றப்படலாம் (எளிமைப்படுத்தப்பட்டது).

சில நேரங்களில் ஒரு பல்லுறுப்புக்கோவையின் விதிமுறைகளை குழுக்களாக பிரிக்க வேண்டும், ஒவ்வொரு குழுவையும் அடைப்புக்குறிக்குள் இணைக்க வேண்டும். அடைப்புக்குறிகளை அடைப்பது என்பது திறப்பு அடைப்புக்குறிகளின் தலைகீழ் மாற்றம் என்பதால், அதை உருவாக்குவது எளிது அடைப்புக்குறிகளைத் திறப்பதற்கான விதிகள்:

அடைப்புக்குறிக்குள் "+" அடையாளம் வைக்கப்பட்டால், அடைப்புக்குறிக்குள் உள்ள சொற்கள் அதே அறிகுறிகளுடன் எழுதப்படும்.

அடைப்புக்குறிக்குள் "-" அடையாளம் வைக்கப்பட்டால், அடைப்புக்குறிக்குள் இணைக்கப்பட்ட சொற்கள் எதிர் குறிகளுடன் எழுதப்படும்.

ஒரு மோனோமியல் மற்றும் ஒரு பல்லுறுப்புக்கோவையின் உற்பத்தியின் உருமாற்றம் (எளிமைப்படுத்துதல்).

பெருக்கத்தின் பரவலான பண்பைப் பயன்படுத்தி, நீங்கள் ஒரு மோனோமியல் மற்றும் ஒரு பல்லுறுப்புக்கோவையின் பெருக்கத்தை ஒரு பல்லுறுப்புக்கோவையாக மாற்றலாம் (எளிமைப்படுத்தலாம்). உதாரணத்திற்கு:
\(9a^2b(7a^2 - 5ab - 4b^2) = \)
\(= 9a^2b \cdot 7a^2 + 9a^2b \cdot (-5ab) + 9a^2b \cdot (-4b^2) = \)
\(= 63a^4b - 45a^3b^2 - 36a^2b^3 \)

ஒரு மோனோமியல் மற்றும் பல்லுறுப்புக்கோவையின் பெருக்கல் இந்த மோனோமியலின் தயாரிப்புகள் மற்றும் பல்லுறுப்புக்கோவையின் ஒவ்வொரு சொற்களின் கூட்டுத்தொகைக்கும் சமமாக இருக்கும்.

இந்த முடிவு பொதுவாக ஒரு விதியாக வடிவமைக்கப்பட்டுள்ளது.

ஒரு பல்லுறுப்புக்கோவையால் ஒரு மோனோமியலைப் பெருக்க, நீங்கள் அந்த மோனோமியலைப் பல்லுறுப்புக்கோவையின் ஒவ்வொரு சொற்களாலும் பெருக்க வேண்டும்.

ஒரு தொகையால் பெருக்க இந்த விதியை ஏற்கனவே பலமுறை பயன்படுத்தியுள்ளோம்.

பல்லுறுப்புக்கோவைகளின் தயாரிப்பு. இரண்டு பல்லுறுப்புக்கோவைகளின் பெருக்கத்தின் உருமாற்றம் (எளிமைப்படுத்தல்).

பொதுவாக, இரண்டு பல்லுறுப்புக்கோவைகளின் பெருக்கமானது ஒரு பல்லுறுப்புக்கோவையின் ஒவ்வொரு காலத்தின் பெருக்கத்தின் கூட்டுத்தொகை மற்றும் மற்றொன்றின் ஒவ்வொரு காலத்தின் கூட்டுத்தொகைக்கு சமமாக இருக்கும்.

பொதுவாக பின்வரும் விதி பயன்படுத்தப்படுகிறது.

ஒரு பல்லுறுப்புக்கோவையை ஒரு பல்லுறுப்புக்கோவையால் பெருக்க, நீங்கள் ஒரு பல்லுறுப்புக்கோவையின் ஒவ்வொரு காலத்தையும் மற்றொன்றின் ஒவ்வொரு சொல்லால் பெருக்கி, அதன் விளைவாக வரும் தயாரிப்புகளைச் சேர்க்க வேண்டும்.

சுருக்கமான பெருக்கல் சூத்திரங்கள். சதுரங்களின் கூட்டுத்தொகை, வேறுபாடுகள் மற்றும் வேறுபாடுகள்

மற்றவற்றை விட இயற்கணித மாற்றங்களில் சில வெளிப்பாடுகளை நீங்கள் அடிக்கடி கையாள வேண்டும். ஒருவேளை மிகவும் பொதுவான வெளிப்பாடுகள் \((a + b)^2, \; (a - b)^2 \) மற்றும் \(a^2 - b^2 \), அதாவது தொகையின் வர்க்கம், வர்க்கம் சதுரங்களின் வேறுபாடு மற்றும் வேறுபாடு. இந்த வெளிப்பாடுகளின் பெயர்கள் முழுமையடையாமல் இருப்பதை நீங்கள் கவனித்தீர்கள், எடுத்துக்காட்டாக, \((a + b)^2 \) என்பது கூட்டுத்தொகையின் வர்க்கம் மட்டுமல்ல, a மற்றும் b ஆகியவற்றின் கூட்டுத்தொகையின் வர்க்கமாகும். . இருப்பினும், a மற்றும் b இன் கூட்டுத்தொகையின் வர்க்கம் அடிக்கடி நிகழாது; ஒரு விதியாக, a மற்றும் b எழுத்துக்களுக்கு பதிலாக, இது பல்வேறு, சில நேரங்களில் மிகவும் சிக்கலான வெளிப்பாடுகளைக் கொண்டுள்ளது.

\((a + b)^2, \; (a - b)^2 \) என்ற வெளிப்பாடுகளை, நிலையான வடிவத்தின் பல்லுறுப்புக்கோவைகளாக எளிதாக (எளிமையாக்க) மாற்றலாம்; உண்மையில், பல்லுறுப்புக்கோவைகளைப் பெருக்கும் போது நீங்கள் ஏற்கனவே இந்தப் பணியைச் சந்தித்திருக்கிறீர்கள்:
\((a + b)^2 = (a + b)(a + b) = a^2 + ab + ba + b^2 = \)
\(= a^2 + 2ab + b^2 \)

இதன் விளைவாக வரும் அடையாளங்களை நினைவில் வைத்து, இடைநிலை கணக்கீடுகள் இல்லாமல் அவற்றைப் பயன்படுத்துவது பயனுள்ளது. சுருக்கமான வாய்மொழி சூத்திரங்கள் இதற்கு உதவுகின்றன.

\((a + b)^2 = a^2 + b^2 + 2ab \) - கூட்டுத்தொகையின் சதுரம் சதுரங்களின் கூட்டுத்தொகைக்கும் இரட்டைப் பெருக்கத்திற்கும் சமம்.

\((a - b)^2 = a^2 + b^2 - 2ab \) - வேறுபாட்டின் வர்க்கமானது, இரட்டிப்பான தயாரிப்பு இல்லாமல் சதுரங்களின் கூட்டுத்தொகைக்கு சமம்.

\(a^2 - b^2 = (a - b)(a + b) \) - சதுரங்களின் வேறுபாடு வேறுபாடு மற்றும் கூட்டுத்தொகையின் பெருக்கத்திற்கு சமம்.

இந்த மூன்று அடையாளங்கள் அதன் இடது கை பகுதிகளை மாற்றங்களில் வலது கையால் மாற்ற அனுமதிக்கின்றன மற்றும் நேர்மாறாக - வலது கை பகுதிகளை இடது கையால் மாற்றலாம். மிகவும் கடினமான விஷயம் என்னவென்றால், தொடர்புடைய வெளிப்பாடுகளைப் பார்ப்பது மற்றும் அவற்றில் a மற்றும் b மாறிகள் எவ்வாறு மாற்றப்படுகின்றன என்பதைப் புரிந்துகொள்வது. சுருக்கமான பெருக்கல் சூத்திரங்களைப் பயன்படுத்துவதற்கான பல எடுத்துக்காட்டுகளைப் பார்ப்போம்.

சமன்பாட்டின் அந்த பகுதி அடைப்புக்குறிக்குள் உள்ள வெளிப்பாடாகும். அடைப்புக்குறிகளைத் திறக்க, அடைப்புக்குறிக்கு முன்னால் உள்ள அடையாளத்தைப் பார்க்கவும். கூட்டல் குறி இருந்தால், வெளிப்பாட்டில் அடைப்புக்குறிகளைத் திறப்பது எதையும் மாற்றாது: அடைப்புக்குறிகளை அகற்றவும். மைனஸ் அடையாளம் இருந்தால், அடைப்புக்குறிகளைத் திறக்கும்போது, ​​முதலில் அடைப்புக்குறிக்குள் இருந்த அனைத்து அறிகுறிகளையும் எதிர்மாறாக மாற்ற வேண்டும். எடுத்துக்காட்டாக, -(2x-3)=-2x+3.

இரண்டு அடைப்புக்குறிகளை பெருக்குதல்.
சமன்பாடு இரண்டு அடைப்புக்குறிகளின் பெருக்கத்தைக் கொண்டிருந்தால், நிலையான விதியின்படி அடைப்புக்குறிகளை விரிவாக்கவும். முதல் அடைப்புக்குறியில் உள்ள ஒவ்வொரு சொல்லும் இரண்டாவது அடைப்புக்குறியில் உள்ள ஒவ்வொரு சொல்லுடன் பெருக்கப்படுகிறது. இதன் விளைவாக வரும் எண்கள் சுருக்கப்பட்டுள்ளன. இந்த வழக்கில், இரண்டு "பிளஸ்கள்" அல்லது இரண்டு "மைனஸ்கள்" ஆகியவற்றின் பலன் இந்த வார்த்தைக்கு "பிளஸ்" அடையாளத்தை அளிக்கிறது, மேலும் காரணிகள் இருந்தால் வெவ்வேறு அறிகுறிகள், பின்னர் ஒரு கழித்தல் குறியைப் பெறுகிறது.
கருத்தில் கொள்வோம்.
(5x+1)(3x-4)=5x*3x-5x*4+1*3x-1*4=15x^2-20x+3x-4=15x^2-17x-4.

அடைப்புக்குறிகளைத் திறப்பதன் மூலம், சில சமயங்களில் க்கு ஒரு வெளிப்பாட்டை உயர்த்துவது. சதுரம் மற்றும் கனசதுரத்திற்கான சூத்திரங்கள் இதயத்தால் அறியப்பட்டு நினைவில் கொள்ளப்பட வேண்டும்.
(a+b)^2=a^2+2ab+b^2
(a-b)^2=a^2-2ab+b^2
(a+b)^3=a^3+3a^2*b+3ab^2+b^3
(a-b)^3=a^3-3a^2*b+3ab^2-b^3
பாஸ்கலின் முக்கோணத்தைப் பயன்படுத்தி மூன்றுக்கும் அதிகமான வெளிப்பாட்டை உருவாக்குவதற்கான சூத்திரங்களைச் செய்யலாம்.

ஆதாரங்கள்:

• அடைப்புக்குறி விரிவாக்க சூத்திரம்

அடைப்புக்குறிக்குள் இணைக்கப்பட்டிருக்கும் கணிதச் செயல்பாடுகள் மாறுபட்ட அளவு சிக்கலான தன்மையின் மாறிகள் மற்றும் வெளிப்பாடுகளைக் கொண்டிருக்கலாம். அத்தகைய வெளிப்பாடுகளை பெருக்க, நீங்கள் ஒரு தீர்வைத் தேட வேண்டும் பொதுவான பார்வை, அடைப்புக்குறிகளைத் திறந்து முடிவை எளிதாக்குதல். அடைப்புக்குறிக்குள் மாறிகள் இல்லாமல் செயல்பாடுகள் இருந்தால், எண் மதிப்புகளுடன் மட்டுமே, அடைப்புக்குறிகளைத் திறப்பது அவசியமில்லை, ஏனெனில் உங்களிடம் கணினி இருந்தால், அதன் பயனருக்கு மிக முக்கியமான கணினி ஆதாரங்களுக்கான அணுகல் உள்ளது - வெளிப்பாட்டை எளிதாக்குவதை விட அவற்றைப் பயன்படுத்துவது எளிது.

வழிமுறைகள்

பொதுவான வடிவத்தில் முடிவைப் பெற விரும்பினால், ஒரு அடைப்புக்குறிக்குள் உள்ள மற்ற எல்லா அடைப்புக்குறிகளின் உள்ளடக்கத்தால் ஒவ்வொன்றையும் (அல்லது minuend உடன்) வரிசையாகப் பெருக்கவும். எடுத்துக்காட்டாக, அசல் வெளிப்பாடு பின்வருமாறு எழுதப்பட வேண்டும்: (5+x)∗(6-x)∗(x+2). பின் தொடர் பெருக்கல் (அதாவது அடைப்புக்குறிகளைத் திறப்பது) பின்வரும் முடிவைக் கொடுக்கும்: (5+x)∗(6-x)∗(x+2) = (5∗6-5∗x)∗(5∗x+ 5∗2) + (6∗x-x∗x)∗(x∗x+2∗x) = (5∗6∗5∗x+5∗6∗5∗2) - (5∗x∗5∗x+ 5∗ x∗5∗2) + (6∗x∗x∗x+6∗x∗2∗x) - (x∗x∗x∗x+x∗x∗2∗x) = 5∗6∗5 ∗x + 5∗6∗5∗2 - 5∗x∗5∗x - 5∗x∗5∗2 + 6∗x∗x∗x + 6∗x∗2∗x - x∗x∗x∗x - x ∗x∗2∗x = 150∗x + 300 - 25∗x² - 50∗x + 6∗x³ + 12∗x² - x∗x³ - 2∗x³.

வெளிப்பாடுகளைக் குறைப்பதன் மூலம் முடிவை எளிதாக்குங்கள். எடுத்துக்காட்டாக, முந்தைய படியில் பெறப்பட்ட வெளிப்பாட்டை பின்வருமாறு எளிமைப்படுத்தலாம்: 150∗x + 300 - 25∗x² - 50∗x + 6∗x³ + 12∗x² - x∗x³ - 2∗x³ = 100∗ 300 - 13∗ x² - 8∗x³ - x∗x³.

அறியப்படாத மாறிகள் இல்லாமல் எண் மதிப்புகளை மட்டும் பெருக்க வேண்டும் என்றால் கால்குலேட்டரைப் பயன்படுத்தவும். உள்ளமைக்கப்பட்ட மென்பொருள்

"திறப்பு அடைப்புக்குறிகள்" - கணித பாடநூல், தரம் 6 (விலென்கின்)

குறுகிய விளக்கம்:

எடுத்துக்காட்டுகளில் அடைப்புக்குறிகளை எவ்வாறு விரிவுபடுத்துவது என்பதை இந்த பிரிவில் நீங்கள் கற்றுக் கொள்வீர்கள். இது எதற்காக? எல்லாம் முன்பைப் போலவே உள்ளது - நீங்கள் எண்ணுவதை எளிதாகவும் எளிதாகவும் செய்ய, குறைவான தவறுகளைச் செய்ய, மேலும் (உங்கள் கணித ஆசிரியரின் கனவு) எல்லாவற்றையும் தவறு இல்லாமல் தீர்க்க.
எண்களின் கலவையை, அவற்றின் மறுசீரமைப்பைக் காட்ட விரும்பினால், ஒரு வரிசையில் இரண்டு கணிதக் குறியீடுகள் தோன்றினால், அடைப்புக்குறிகள் கணிதக் குறியீட்டில் வைக்கப்படும் என்பதை நீங்கள் ஏற்கனவே அறிவீர்கள். அடைப்புக்குறிகளை விரிவுபடுத்துவது என்பது தேவையற்ற எழுத்துக்களை அகற்றுவதாகும். உதாரணமாக: (-15)+3=-15+3=-12, 18+(-16)=18-16=2. கூட்டலுடன் தொடர்புடைய பெருக்கத்தின் பரவலான பண்பு உங்களுக்கு நினைவிருக்கிறதா? உண்மையில், அந்த எடுத்துக்காட்டில் கணக்கீடுகளை எளிமைப்படுத்த அடைப்புக்குறிகளையும் அகற்றினோம். பெருக்கத்தின் பெயரிடப்பட்ட பண்பு நான்கு, மூன்று, ஐந்து அல்லது அதற்கு மேற்பட்ட சொற்களுக்கும் பயன்படுத்தப்படலாம். உதாரணமாக: 15*(3+8+9+6)=15*3+15*8+15*9+15*6=390. அடைப்புக்குறிகளைத் திறக்கும்போது, ​​அடைப்புக்குறிக்கு முன்னால் உள்ள எண் நேர்மறையாக இருந்தால், அதில் உள்ள எண்கள் அடையாளத்தை மாற்றாது என்பதை நீங்கள் கவனித்தீர்களா? எல்லாவற்றிற்கும் மேலாக, பதினைந்து ஒரு நேர்மறை எண். இந்த உதாரணத்தை நீங்கள் தீர்த்தால்: -15*(3+8+9+6)=-15*3+(-15)*8+(-15)*9+(-15)*6=-45+( - 120)+(-135)+(-90)=-45-120-135-90=-390. அடைப்புக்குறிகளுக்கு முன்னால் பதினைந்து மைனஸ் என்ற எதிர்மறை எண்ணைக் கொண்டிருந்தோம், அடைப்புக்குறிகளைத் திறக்கும்போது எல்லா எண்களும் தங்கள் அடையாளத்தை மற்றொன்றுக்கு - எதிர் - கூட்டிலிருந்து மைனஸுக்கு மாற்றத் தொடங்கின.
மேலே உள்ள எடுத்துக்காட்டுகளின் அடிப்படையில், அடைப்புக்குறிகளைத் திறப்பதற்கான இரண்டு அடிப்படை விதிகளைக் கூறலாம்:
1. அடைப்புக்குறிகளுக்கு முன்னால் நேர்மறை எண் இருந்தால், அடைப்புக்குறிகளைத் திறந்த பிறகு, அடைப்புக்குறிக்குள் உள்ள எண்களின் அனைத்து அறிகுறிகளும் மாறாது, ஆனால் அவை இருந்ததைப் போலவே இருக்கும்.
2. அடைப்புக்குறிகளுக்கு முன்னால் எதிர்மறை எண் இருந்தால், அடைப்புக்குறிகளைத் திறந்த பிறகு கழித்தல் குறி எழுதப்படாது, மேலும் அடைப்புக்குறிக்குள் உள்ள அனைத்து முழுமையான எண்களின் அறிகுறிகளும் திடீரென்று எதிர்மாறாக மாறும்.
உதாரணமாக: (13+8)+(9-8)=13+8+9-8=22; (13+8)-(9-8)=13+8-9+8=20. நமது உதாரணங்களைச் சிறிது சிக்கலாக்குவோம்: (13+8)+2(9-8)=13+8+2*9-2*8=21+18-16=23. இரண்டாவது அடைப்புக்குறிகளைத் திறக்கும்போது, ​​​​நாம் 2 ஆல் பெருக்கப்படுவதை நீங்கள் கவனித்தீர்கள், ஆனால் அறிகுறிகள் அப்படியே இருந்தன. இதோ ஒரு உதாரணம்: (3+8)-2*(9-8)=3+8-2*9+2*8=11-18+16=9, இந்த எடுத்துக்காட்டில் எண் இரண்டு எதிர்மறையாக உள்ளது, அதற்கு முன் அடைப்புக்குறிகள் மைனஸ் அடையாளத்துடன் நிற்கின்றன, எனவே அவற்றைத் திறக்கும்போது, ​​எண்களின் அடையாளங்களை எதிர்மாறாக மாற்றினோம் (ஒன்பது ஒரு கூட்டுடன் இருந்தது, ஒரு கழித்தல் ஆனது, எட்டு ஒரு கழித்தல், ஒரு பிளஸ் ஆனது).

கிமு ஐந்தாம் நூற்றாண்டில், எலியாவின் பண்டைய கிரேக்க தத்துவஞானி ஜெனோ தனது புகழ்பெற்ற அபோரியாக்களை உருவாக்கினார், அதில் மிகவும் பிரபலமானது "அகில்லெஸ் மற்றும் ஆமை" அபோரியா ஆகும். அது எப்படி ஒலிக்கிறது என்பது இங்கே:

அகில்லெஸ் ஆமையை விட பத்து மடங்கு வேகமாக ஓடி அதற்கு ஆயிரம் அடிகள் பின்னால் செல்கிறது என்று வைத்துக் கொள்வோம். இந்த தூரம் ஓட அகில்லெஸ் எடுக்கும் நேரத்தில், ஆமை அதே திசையில் நூறு படிகள் ஊர்ந்து செல்லும். அகில்லெஸ் நூறு படிகள் ஓடும்போது, ​​ஆமை இன்னும் பத்து படிகள் ஊர்ந்து செல்லும், மற்றும் பல. இந்த செயல்முறை முடிவில்லாமல் தொடரும், அகில்லெஸ் ஒருபோதும் ஆமையைப் பிடிக்க மாட்டார்.

இந்த பகுத்தறிவு அனைத்து அடுத்தடுத்த தலைமுறைகளுக்கும் ஒரு தர்க்கரீதியான அதிர்ச்சியாக மாறியது. அரிஸ்டாட்டில், டியோஜெனெஸ், கான்ட், ஹெகல், ஹில்பர்ட்... இவர்கள் அனைவரும் ஏதோ ஒரு வகையில் ஜெனோவின் அபோரியாவைக் கருதினர். அதிர்ச்சி மிகவும் வலுவாக இருந்தது" ... விவாதங்கள் இன்றுவரை தொடர்கின்றன; முரண்பாடுகளின் சாராம்சம் குறித்த பொதுவான கருத்துக்கு விஞ்ஞான சமூகம் இன்னும் வரவில்லை ... கணித பகுப்பாய்வு, தொகுப்பு கோட்பாடு, புதிய இயற்பியல் மற்றும் தத்துவ அணுகுமுறைகள் பிரச்சினையின் ஆய்வில் ஈடுபட்டுள்ளன. ; அவை எதுவும் பிரச்சனைக்கு பொதுவாக ஏற்றுக்கொள்ளப்பட்ட தீர்வாக மாறவில்லை."[விக்கிபீடியா, "ஜீனோஸ் அபோரியா". எல்லோரும் தாங்கள் ஏமாறுகிறார்கள் என்பதை புரிந்துகொள்கிறார்கள், ஆனால் ஏமாற்றுவது என்னவென்று யாருக்கும் புரியவில்லை.

கணிதக் கண்ணோட்டத்தில், ஜெனோ தனது அபோரியாவில் அளவிலிருந்து க்கு மாறுவதைத் தெளிவாகக் காட்டினார். இந்த மாற்றம் நிரந்தரமானவற்றுக்குப் பதிலாக பயன்பாட்டைக் குறிக்கிறது. நான் புரிந்து கொண்டவரை, மாறி அளவீட்டு அலகுகளைப் பயன்படுத்துவதற்கான கணிதக் கருவி இன்னும் உருவாக்கப்படவில்லை அல்லது அது ஜெனோவின் அபோரியாவில் பயன்படுத்தப்படவில்லை. நமது வழக்கமான தர்க்கத்தைப் பயன்படுத்துவது நம்மை ஒரு பொறிக்குள் இட்டுச் செல்கிறது. நாம், சிந்தனையின் மந்தநிலை காரணமாக, பரஸ்பர மதிப்புக்கு நேரத்தின் நிலையான அலகுகளைப் பயன்படுத்துகிறோம். இயற்பியல் கண்ணோட்டத்தில், அகில்லெஸ் ஆமையைப் பிடிக்கும் தருணத்தில் அது முற்றிலும் நின்றுவிடும் வரை நேரம் குறைவது போல் தெரிகிறது. நேரம் நின்று விட்டால், அகில்லெஸால் ஆமையை மிஞ்ச முடியாது.

நாம் நமது வழக்கமான தர்க்கத்தைத் திருப்பினால், எல்லாம் சரியாகிவிடும். அகில்லெஸ் நிலையான வேகத்தில் இயங்குகிறது. அவரது பாதையின் ஒவ்வொரு அடுத்தடுத்த பிரிவும் முந்தையதை விட பத்து மடங்கு குறைவாக உள்ளது. அதன்படி, அதைக் கடக்க செலவழித்த நேரம் முந்தையதை விட பத்து மடங்கு குறைவு. இந்த சூழ்நிலையில் "முடிவிலி" என்ற கருத்தை நாம் பயன்படுத்தினால், "அகில்லெஸ் ஆமையை எல்லையற்ற விரைவாகப் பிடிக்கும்" என்று சொல்வது சரியாக இருக்கும்.

இந்த தர்க்கரீதியான பொறியைத் தவிர்ப்பது எப்படி? நேரத்தின் நிலையான அலகுகளில் இருங்கள் மற்றும் பரஸ்பர அலகுகளுக்கு மாறாதீர்கள். ஜெனோவின் மொழியில் இது போல் தெரிகிறது:

அகில்லெஸ் ஆயிரம் படிகள் ஓட எடுக்கும் நேரத்தில், ஆமை அதே திசையில் நூறு படிகள் ஊர்ந்து செல்லும். முதல் முறைக்கு சமமான அடுத்த இடைவெளியில், அகில்லெஸ் இன்னும் ஆயிரம் படிகள் ஓடுவார், ஆமை நூறு படிகள் ஊர்ந்து செல்லும். இப்போது அகில்லெஸ் ஆமையை விட எண்ணூறு படிகள் முன்னால் இருக்கிறார்.

இந்த அணுகுமுறை தர்க்கரீதியான முரண்பாடுகள் இல்லாமல் யதார்த்தத்தை போதுமான அளவில் விவரிக்கிறது. ஆனால் இது பிரச்சனைக்கு முழுமையான தீர்வு அல்ல. ஒளியின் வேகத்தின் தவிர்க்க முடியாத தன்மையைப் பற்றிய ஐன்ஸ்டீனின் கூற்று ஜீனோவின் அபோரியா "அகில்லெஸ் மற்றும் ஆமை" போன்றது. நாம் இன்னும் இந்த சிக்கலைப் படித்து, மறுபரிசீலனை செய்து தீர்க்க வேண்டும். மேலும் தீர்வை எண்ணற்ற எண்ணிக்கையில் அல்ல, அளவீட்டு அலகுகளில் தேட வேண்டும்.

ஜீனோவின் மற்றொரு சுவாரஸ்யமான அபோரியா பறக்கும் அம்பு பற்றி கூறுகிறது:

பறக்கும் அம்பு அசைவற்றது, ஏனெனில் அது ஒவ்வொரு தருணத்திலும் ஓய்வில் உள்ளது, மேலும் ஒவ்வொரு தருணத்திலும் அது ஓய்வில் இருப்பதால், அது எப்போதும் ஓய்வில் இருக்கும்.

இந்த அபோரியாவில், தர்க்கரீதியான முரண்பாடு மிகவும் எளிமையாகக் கடக்கப்படுகிறது - ஒவ்வொரு தருணத்திலும் ஒரு பறக்கும் அம்பு விண்வெளியில் வெவ்வேறு புள்ளிகளில் ஓய்வில் உள்ளது என்பதை தெளிவுபடுத்துவது போதுமானது, இது உண்மையில் இயக்கம். இன்னொரு விஷயத்தையும் இங்கு கவனிக்க வேண்டும். சாலையில் ஒரு காரின் ஒரு புகைப்படத்திலிருந்து அதன் இயக்கத்தின் உண்மை அல்லது அதற்கான தூரத்தை தீர்மானிக்க முடியாது. ஒரு கார் நகர்கிறதா என்பதைத் தீர்மானிக்க, ஒரே புள்ளியில் வெவ்வேறு புள்ளிகளில் எடுக்கப்பட்ட இரண்டு புகைப்படங்கள் உங்களுக்குத் தேவை, ஆனால் அவற்றிலிருந்து தூரத்தை நீங்கள் தீர்மானிக்க முடியாது. ஒரு காருக்கான தூரத்தை தீர்மானிக்க, உங்களுக்கு ஒரு நேரத்தில் விண்வெளியில் வெவ்வேறு புள்ளிகளிலிருந்து எடுக்கப்பட்ட இரண்டு புகைப்படங்கள் தேவை, ஆனால் அவற்றிலிருந்து நீங்கள் இயக்கத்தின் உண்மையை தீர்மானிக்க முடியாது (நிச்சயமாக, கணக்கீடுகளுக்கு உங்களுக்கு இன்னும் கூடுதல் தரவு தேவை, முக்கோணவியல் உங்களுக்கு உதவும். ) நான் சுட்டிக்காட்ட விரும்புவது சிறப்பு கவனம், காலத்தின் இரண்டு புள்ளிகள் மற்றும் விண்வெளியில் இரண்டு புள்ளிகள் குழப்பமடையக் கூடாத வெவ்வேறு விஷயங்கள், ஏனெனில் அவை ஆராய்ச்சிக்கு வெவ்வேறு வாய்ப்புகளை வழங்குகின்றன.

புதன், ஜூலை 4, 2018

செட் மற்றும் மல்டிசெட் இடையே உள்ள வேறுபாடுகள் விக்கிபீடியாவில் நன்றாக விவரிக்கப்பட்டுள்ளன. பார்க்கலாம்.

நீங்கள் பார்க்க முடியும் என, "ஒரு தொகுப்பில் இரண்டு ஒத்த கூறுகள் இருக்க முடியாது," ஆனால் ஒரு தொகுப்பில் ஒரே மாதிரியான கூறுகள் இருந்தால், அத்தகைய தொகுப்பு "மல்டிசெட்" என்று அழைக்கப்படுகிறது. நியாயமான மனிதர்கள் இத்தகைய அபத்தமான தர்க்கத்தை ஒருபோதும் புரிந்து கொள்ள மாட்டார்கள். "முழுமையாக" என்ற வார்த்தையிலிருந்து எந்த அறிவும் இல்லாத, பேசும் கிளிகள் மற்றும் பயிற்சி பெற்ற குரங்குகளின் நிலை இதுதான். கணிதவியலாளர்கள் சாதாரண பயிற்சியாளர்களாக செயல்படுகிறார்கள், அவர்களின் அபத்தமான கருத்துக்களை நமக்குப் போதிக்கிறார்கள்.

ஒரு சமயம், பாலத்தை கட்டிய பொறியாளர்கள் பாலத்தின் அடியில் படகில் சென்று சோதனை செய்து கொண்டிருந்தனர். பாலம் இடிந்து விழுந்தால், சாதாரண பொறியாளர் தனது படைப்பின் இடிபாடுகளில் இறந்தார். பாலம் சுமைகளைத் தாங்கினால், திறமையான பொறியாளர் மற்ற பாலங்களைக் கட்டினார்.

கணிதவியலாளர்கள் "என்னை மனதில் கொள்ளுங்கள், நான் வீட்டில் இருக்கிறேன்" அல்லது "கணிதம் சுருக்கக் கருத்துக்களைப் படிக்கிறது" என்ற சொற்றொடருக்குப் பின்னால் எப்படி மறைந்தாலும், அவற்றை யதார்த்தத்துடன் பிரிக்கமுடியாத வகையில் இணைக்கும் ஒரு தொப்புள் கொடி உள்ளது. இந்த தொப்புள் கொடி பணம். கணிதத் தொகுப்புக் கோட்பாட்டை கணிதவியலாளர்களுக்கே பயன்படுத்துவோம்.

நாங்கள் கணிதத்தை நன்றாகப் படித்தோம், இப்போது நாங்கள் பணப் பதிவேட்டில் உட்கார்ந்து சம்பளம் கொடுக்கிறோம். எனவே ஒரு கணிதவியலாளர் தனது பணத்திற்காக எங்களிடம் வருகிறார். நாங்கள் அவருக்கு முழுத் தொகையையும் எண்ணி, அதை வெவ்வேறு குவியல்களில் எங்கள் மேஜையில் வைக்கிறோம், அதில் ஒரே மதிப்பின் பில்களை வைக்கிறோம். ஒவ்வொரு பைலில் இருந்தும் ஒரு பில் எடுத்து கணிதவியலாளருக்கு அவருடைய "கணித சம்பளம்" கொடுக்கிறோம். ஒரே மாதிரியான தனிமங்கள் இல்லாத ஒரு தொகுப்பு, ஒரே மாதிரியான தனிமங்களைக் கொண்ட தொகுப்பிற்குச் சமமானதல்ல என்பதை நிரூபித்தபோதுதான் மீதமுள்ள பில்களைப் பெறுவார் என்பதை கணிதவியலாளருக்கு விளக்குவோம். இங்குதான் வேடிக்கை தொடங்குகிறது.

முதலாவதாக, பிரதிநிதிகளின் தர்க்கம் வேலை செய்யும்: "இது மற்றவர்களுக்குப் பயன்படுத்தப்படலாம், ஆனால் எனக்கு அல்ல!" அப்போது அதே மதிப்புள்ள ரூபாய் நோட்டுகள் உள்ளன என்று உறுதியளிக்கத் தொடங்குவார்கள் வெவ்வேறு எண்கள்மசோதாக்கள், அதாவது அவை ஒரே மாதிரியான கூறுகளாக கருதப்பட முடியாது. சரி, சம்பளத்தை நாணயங்களில் எண்ணுவோம் - நாணயங்களில் எண்கள் இல்லை. இங்கே கணிதவியலாளர் இயற்பியலை வெறித்தனமாக நினைவில் கொள்ளத் தொடங்குவார்: வெவ்வேறு நாணயங்களில் உள்ளது வெவ்வேறு அளவுகள்ஒவ்வொரு நாணயத்தின் அழுக்கு, படிக அமைப்பு மற்றும் அணு அமைப்பு தனித்துவமானது...

இப்போது எனக்கு மிகவும் சுவாரஸ்யமான கேள்வி உள்ளது: மல்டிசெட்டின் கூறுகள் ஒரு தொகுப்பின் கூறுகளாக மாறுவதற்கும் நேர்மாறாகவும் மாற்றும் கோடு எங்கே? அத்தகைய வரி இல்லை - எல்லாம் ஷாமன்களால் தீர்மானிக்கப்படுகிறது, விஞ்ஞானம் இங்கே பொய் சொல்லக்கூட இல்லை.

இங்கே பாருங்கள். நாங்கள் ஒரே மைதானம் கொண்ட கால்பந்து மைதானங்களைத் தேர்ந்தெடுக்கிறோம். வயல்களின் பகுதிகள் ஒரே மாதிரியானவை - அதாவது எங்களிடம் மல்டிசெட் உள்ளது. ஆனால் இதே மைதானங்களின் பெயர்களைப் பார்த்தால், பெயர்கள் வித்தியாசமாக இருப்பதால், பலவற்றைப் பெறுகிறோம். நீங்கள் பார்க்க முடியும் என, ஒரே மாதிரியான தனிமங்கள் ஒரு தொகுப்பு மற்றும் மல்டிசெட் ஆகும். எது சரி? இங்கே கணிதவியலாளர்-ஷாமன்-கூர்மையானவர் தனது ஸ்லீவிலிருந்து டிரம்ப்களின் சீட்டுகளை வெளியே இழுத்து, ஒரு செட் அல்லது மல்டிசெட் பற்றி எங்களிடம் சொல்லத் தொடங்குகிறார். எப்படியிருந்தாலும், அவர் சொல்வது சரி என்று நம்மை நம்ப வைப்பார்.

நவீன ஷாமன்கள் எவ்வாறு செட் கோட்பாட்டுடன் செயல்படுகிறார்கள் என்பதைப் புரிந்து கொள்ள, அதை யதார்த்தத்துடன் இணைத்து, ஒரு கேள்விக்கு பதிலளிப்பது போதுமானது: ஒரு தொகுப்பின் கூறுகள் மற்றொரு தொகுப்பின் கூறுகளிலிருந்து எவ்வாறு வேறுபடுகின்றன? "ஒரு முழுமையல்ல" அல்லது "ஒற்றை முழுதாக கற்பனை செய்ய முடியாதது" எதுவுமின்றி நான் உங்களுக்குக் காட்டுகிறேன்.

ஞாயிற்றுக்கிழமை, மார்ச் 18, 2018

ஒரு எண்ணின் இலக்கங்களின் கூட்டுத்தொகையானது ஷாமன்களின் நடனம் ஆகும், இது கணிதத்துடன் எந்த தொடர்பும் இல்லை. ஆம், கணித பாடங்களில் ஒரு எண்ணின் இலக்கங்களின் கூட்டுத்தொகையைக் கண்டுபிடித்து அதைப் பயன்படுத்த கற்றுக்கொடுக்கிறோம், ஆனால் அதனால்தான் அவர்கள் ஷாமன்கள், அவர்களின் சந்ததியினருக்கு அவர்களின் திறமைகளையும் ஞானத்தையும் கற்பிக்கிறார்கள், இல்லையெனில் ஷாமன்கள் வெறுமனே இறந்துவிடுவார்கள்.

ஆதாரம் தேவையா? விக்கிபீடியாவைத் திறந்து, "ஒரு எண்ணின் இலக்கங்களின் கூட்டுத்தொகை" பக்கத்தைக் கண்டறிய முயற்சிக்கவும். அவள் இல்லை. எந்த எண்ணின் இலக்கங்களின் கூட்டுத்தொகையைக் கண்டுபிடிக்க கணிதத்தில் எந்த சூத்திரமும் இல்லை. எல்லாவற்றிற்கும் மேலாக, எண்கள் நாம் எண்களை எழுதும் கிராஃபிக் குறியீடுகள், மேலும் கணிதத்தின் மொழியில் பணி இதுபோல் தெரிகிறது: "எந்த எண்ணையும் குறிக்கும் கிராஃபிக் சின்னங்களின் கூட்டுத்தொகையைக் கண்டறியவும்." கணிதவியலாளர்களால் இந்த சிக்கலை தீர்க்க முடியாது, ஆனால் ஷாமன்கள் அதை எளிதாக செய்ய முடியும்.

கொடுக்கப்பட்ட எண்ணின் இலக்கங்களின் கூட்டுத்தொகையைக் கண்டறிய என்ன, எப்படிச் செய்கிறோம் என்பதைக் கண்டுபிடிப்போம். எனவே, 12345 என்ற எண்ணைப் பெறுவோம். இந்த எண்ணின் இலக்கங்களின் கூட்டுத்தொகையைக் கண்டுபிடிக்க என்ன செய்ய வேண்டும்? அனைத்து படிகளையும் வரிசையாகக் கருதுவோம்.

1. ஒரு காகிதத்தில் எண்ணை எழுதுங்கள். நாம் என்ன செய்தோம்? எண்ணை வரைகலை எண் குறியீடாக மாற்றியுள்ளோம். இது கணித செயல்பாடு அல்ல.

2. ஒரு விளைவான படத்தை தனிப்பட்ட எண்களைக் கொண்ட பல படங்களாக வெட்டுகிறோம். ஒரு படத்தை வெட்டுவது ஒரு கணித செயல்பாடு அல்ல.

3. தனிப்பட்ட கிராஃபிக் குறியீடுகளை எண்களாக மாற்றவும். இது கணித செயல்பாடு அல்ல.

4. இதன் விளைவாக வரும் எண்களைச் சேர்க்கவும். இப்போது இது கணிதம்.

12345 என்ற எண்ணின் இலக்கங்களின் கூட்டுத்தொகை 15. இவை கணிதவியலாளர்கள் பயன்படுத்தும் ஷாமன்களால் கற்பிக்கப்படும் "வெட்டு மற்றும் தையல் படிப்புகள்" ஆகும். ஆனால் அது மட்டும் அல்ல.

கணிதக் கண்ணோட்டத்தில், எந்த எண் அமைப்பில் எண்ணை எழுதுகிறோம் என்பது முக்கியமல்ல. எனவே, வெவ்வேறு எண் அமைப்புகளில் ஒரே எண்ணின் இலக்கங்களின் கூட்டுத்தொகை வேறுபட்டதாக இருக்கும். கணிதத்தில், எண் அமைப்பு எண்ணின் வலதுபுறத்தில் சப்ஸ்கிரிப்டாகக் குறிக்கப்படுகிறது. பெரிய எண் 12345 உடன், நான் என் தலையை முட்டாளாக்க விரும்பவில்லை, கட்டுரையில் இருந்து எண் 26 ஐக் கருத்தில் கொள்வோம். இந்த எண்ணை பைனரி, ஆக்டல், டெசிமல் மற்றும் ஹெக்ஸாடெசிமல் எண் அமைப்புகளில் எழுதுவோம். ஒவ்வொரு அடியையும் நுண்ணோக்கியில் பார்க்க மாட்டோம்; நாங்கள் ஏற்கனவே அதைச் செய்துவிட்டோம். முடிவைப் பார்ப்போம்.

நீங்கள் பார்க்க முடியும் என, வெவ்வேறு எண் அமைப்புகளில் ஒரே எண்ணின் இலக்கங்களின் கூட்டுத்தொகை வேறுபட்டது. இந்த முடிவுக்கும் கணிதத்திற்கும் எந்த சம்பந்தமும் இல்லை. ஒரு செவ்வகத்தின் பரப்பளவை மீட்டர் மற்றும் சென்டிமீட்டர்களில் தீர்மானித்தது போலவே, நீங்கள் முற்றிலும் மாறுபட்ட முடிவுகளைப் பெறுவீர்கள்.

பூஜ்ஜியம் அனைத்து எண் அமைப்புகளிலும் ஒரே மாதிரியாகத் தெரிகிறது மற்றும் இலக்கங்களின் கூட்டுத்தொகை இல்லை. இது உண்மைக்கு ஆதரவான மற்றொரு வாதம். கணிதவியலாளர்களுக்கான கேள்வி: எண் இல்லாத ஒன்று கணிதத்தில் எவ்வாறு குறிப்பிடப்படுகிறது? என்ன, கணிதவியலாளர்களுக்கு எண்களைத் தவிர வேறு எதுவும் இல்லை? நான் ஷாமன்களுக்கு இதை அனுமதிக்க முடியும், ஆனால் விஞ்ஞானிகளுக்கு அனுமதிக்க முடியாது. எதார்த்தம் என்பது எண்களைப் பற்றியது மட்டுமல்ல.

எண் அமைப்புகள் எண்களுக்கான அளவீட்டு அலகுகள் என்பதற்கான ஆதாரமாக பெறப்பட்ட முடிவு கருதப்பட வேண்டும். எல்லாவற்றிற்கும் மேலாக, வெவ்வேறு அளவீட்டு அலகுகளுடன் எண்களை ஒப்பிட முடியாது. ஒரே அளவின் வெவ்வேறு அலகுகளைக் கொண்ட அதே செயல்கள் அவற்றை ஒப்பிட்டுப் பார்த்த பிறகு வெவ்வேறு முடிவுகளுக்கு வழிவகுத்தால், இதற்கும் கணிதத்திற்கும் எந்தத் தொடர்பும் இல்லை.

உண்மையான கணிதம் என்றால் என்ன? ஒரு கணித செயல்பாட்டின் முடிவு எண்ணின் அளவு, பயன்படுத்தப்படும் அளவீட்டு அலகு மற்றும் இந்த செயலை யார் செய்கிறார் என்பதைப் பொறுத்து இருக்காது.

கதவில் கையொப்பமிடுங்கள் அவர் கதவைத் திறந்து கூறுகிறார்:

ஓ! இது பெண்கள் கழிவறை இல்லையா?
- இளம்பெண்! ஆன்மாக்கள் சொர்க்கத்திற்கு ஏறும் போது அவர்களின் தூய்மையற்ற புனிதத்தன்மையை ஆய்வு செய்வதற்கான ஆய்வகம் இது! மேலே ஒளிவட்டம் மற்றும் அம்புக்குறி. வேறு என்ன கழிப்பறை?

பெண்... மேலுள்ள ஒளிவட்டமும் கீழே உள்ள அம்பும் ஆண்.

இதுபோன்ற ஒன்று உங்கள் கண்களுக்கு முன்பாக ஒரு நாளைக்கு பல முறை ஒளிரும் வடிவமைப்பு கலை,

திடீரென்று உங்கள் காரில் ஒரு விசித்திரமான ஐகானைக் கண்டால் ஆச்சரியப்படுவதற்கில்லை:

தனிப்பட்ட முறையில், நான் ஒரு மலம் கழிக்கும் நபரில் மைனஸ் நான்கு டிகிரிகளைப் பார்க்க முயற்சி செய்கிறேன் (ஒரு படம்) (பல படங்களின் கலவை: ஒரு கழித்தல் அடையாளம், எண் நான்கு, டிகிரிகளின் பதவி). மேலும் இந்த பெண் இயற்பியல் தெரியாத ஒரு முட்டாள் என்று நான் நினைக்கவில்லை. கிராஃபிக் படங்களை உணரும் வலுவான ஸ்டீரியோடைப் மட்டுமே அவளுக்கு உள்ளது. மேலும் கணிதவியலாளர்கள் இதை நமக்கு எப்பொழுதும் கற்பிக்கிறார்கள். இதோ ஒரு உதாரணம்.

1A என்பது "மைனஸ் நான்கு டிகிரி" அல்லது "ஒரு a" அல்ல. இது "பூப்பிங் மேன்" அல்லது ஹெக்ஸாடெசிமல் குறியீட்டில் "இருபத்தி ஆறு" எண். இந்த எண் அமைப்பில் தொடர்ந்து பணியாற்றுபவர்கள் தானாக ஒரு எண்ணையும் ஒரு எழுத்தையும் ஒரு கிராஃபிக் சின்னமாக உணர்கிறார்கள்.

A+(b + c) அடைப்புக்குறி இல்லாமல் எழுதலாம்: a+(b + c)=a + b + c. இந்த செயல்பாடு அடைப்புக்குறிகளைத் திறப்பது என்று அழைக்கப்படுகிறது.

எடுத்துக்காட்டு 1. a + (- b + c) வெளிப்பாட்டில் அடைப்புக்குறிகளைத் திறப்போம்.

தீர்வு. a + (-b+c) = a + ((-b) + c)=a + (-b) + c = a-b + c.

அடைப்புக்குறிகளுக்கு முன்னால் “+” அடையாளம் இருந்தால், அடைப்புக்குறிக்குள் உள்ள விதிமுறைகளின் அறிகுறிகளைப் பராமரிக்கும் போது அடைப்புக்குறிகளையும் இந்த “+” அடையாளத்தையும் தவிர்க்கலாம். அடைப்புக்குறிக்குள் முதல் சொல் குறி இல்லாமல் எழுதப்பட்டிருந்தால், அது "+" அடையாளத்துடன் எழுதப்பட வேண்டும்.

எடுத்துக்காட்டு 2.வெளிப்பாடு -2.87+ (2.87-7.639) மதிப்பைக் கண்டுபிடிப்போம்.

தீர்வு.அடைப்புக்குறிகளைத் திறந்து, நாம் பெறுகிறோம் - 2.87 + (2.87 - 7.639) = - - 2.87 + 2.87 - 7.639 = 0 - 7.639 = - 7.639.

வெளிப்பாட்டின் மதிப்பைக் கண்டறிய - (- 9 + 5), நீங்கள் சேர்க்க வேண்டும் எண்கள்-9 மற்றும் 5 மற்றும் விளைந்த கூட்டுத்தொகைக்கு எதிர் எண்ணைக் கண்டறியவும்: -(- 9 + 5)= -(- 4) = 4.

அதே மதிப்பை மற்றொரு வழியில் பெறலாம்: முதலில் இந்த விதிமுறைகளுக்கு எதிரான எண்களை எழுதவும் (அதாவது அவற்றின் அடையாளங்களை மாற்றவும்), பின்னர் சேர்க்கவும்: 9 + (- 5) = 4. இவ்வாறு, -(- 9 + 5) = 9 - 5 = 4.

பல சொற்களின் கூட்டுத்தொகைக்கு நேர்மாறான தொகையை எழுத, இந்த விதிமுறைகளின் அடையாளங்களை நீங்கள் மாற்ற வேண்டும்.

இதன் பொருள் - (a + b) = - a - b.

எடுத்துக்காட்டு 3.வெளிப்பாடு 16 - (10 -18 + 12) மதிப்பைக் கண்டுபிடிப்போம்.

தீர்வு. 16-(10 -18 + 12) = 16 + (-(10 -18 + 12)) = = 16 + (-10 +18-12) = 16-10 +18-12 = 12.

"-" அடையாளத்திற்கு முந்தைய அடைப்புக்குறிகளைத் திறக்க, நீங்கள் இந்த அடையாளத்தை "+" உடன் மாற்ற வேண்டும், அடைப்புக்குறிக்குள் உள்ள அனைத்து சொற்களின் அறிகுறிகளையும் எதிர்மாறாக மாற்றவும், பின்னர் அடைப்புக்குறிகளைத் திறக்கவும்.

எடுத்துக்காட்டு 4. 9.36-(9.36 - 5.48) வெளிப்பாட்டின் மதிப்பைக் கண்டுபிடிப்போம்.

தீர்வு. 9.36 - (9.36 - 5.48) = 9.36 + (- 9.36 + 5.48) = = 9.36 - 9.36 + 5.48 = 0 -f 5.48 = 5 ,48.

அடைப்புக்குறிகளை விரிவுபடுத்துதல் மற்றும் பரிமாற்ற மற்றும் துணை பண்புகளைப் பயன்படுத்துதல் கூடுதலாககணக்கீடுகளை எளிதாக்க உங்களை அனுமதிக்கிறது.

உதாரணம் 5.(-4-20)+(6+13)-(7-8)-5 என்ற வெளிப்பாட்டின் மதிப்பைக் கண்டுபிடிப்போம்.

தீர்வு.முதலில், அடைப்புக்குறிகளைத் திறந்து, பின்னர் அனைத்து நேர்மறை மற்றும் தனித்தனியாக அனைத்து எதிர்மறை எண்களின் கூட்டுத்தொகையையும் தனித்தனியாகக் கண்டுபிடித்து, இறுதியாக, முடிவுகளைச் சேர்ப்போம்:

(- 4 - 20)+(6+ 13)-(7 - 8) - 5 = -4-20 + 6 + 13-7 + 8-5 = = (6 + 13 + 8)+(- 4 - 20 - 7 - 5)= 27-36=-9.

எடுத்துக்காட்டு 6.வெளிப்பாட்டின் மதிப்பைக் கண்டுபிடிப்போம்

தீர்வு.முதலில், ஒவ்வொரு சொல்லையும் அவற்றின் முழு எண் மற்றும் பின்ன பகுதிகளின் கூட்டுத்தொகையாகக் கற்பனை செய்து, அடைப்புக்குறிகளைத் திறந்து, பின்னர் முழு எண்களைச் சேர்த்து தனித்தனியாக பகுதியளவுபகுதிகள் மற்றும் இறுதியாக முடிவுகளைச் சேர்க்கவும்:

"+" அடையாளத்திற்கு முன் அடைப்புக்குறிகளை எவ்வாறு திறப்பது? பல எண்களின் கூட்டுத்தொகைக்கு எதிர்மாறான வெளிப்பாட்டின் மதிப்பை எப்படிக் கண்டறியலாம்? "-" அடையாளத்திற்கு முன் அடைப்புக்குறிகளை எவ்வாறு விரிவாக்குவது?

1218. அடைப்புக்குறிகளைத் திற:

a) 3.4+(2.6+ 8.3); c) m+(n-k);

b) 4.57+(2.6 - 4.57); ஈ) c+(-a + b).

1219. வெளிப்பாட்டின் பொருளைக் கண்டறியவும்:

1220. அடைப்புக்குறிகளைத் திற:

a) 85+(7.8+ 98); ஈ) -(80-16) + 84; g) a-(b-k-n);
b) (4.7 -17)+7.5; e) -a + (m-2.6); h) -(a-b + c);
c) 64-(90 + 100); இ) c+(- a-b); i) (m-n)-(p-k).

1221. அடைப்புக்குறிகளைத் திறந்து, வெளிப்பாட்டின் பொருளைக் கண்டறியவும்:

1222. வெளிப்பாட்டை எளிமையாக்கு:

1223. எழுது தொகைஇரண்டு வெளிப்பாடுகள் மற்றும் அதை எளிதாக்குங்கள்:

a) - 4 - m மற்றும் m + 6.4; ஈ) a+b மற்றும் p - b
b) 1.1+a மற்றும் -26-a; e) - m + n மற்றும் -k - n;
c) a + 13 மற்றும் -13 + b; e)m - n மற்றும் n - m.

1224. இரண்டு வெளிப்பாடுகளின் வேறுபாட்டை எழுதி அதை எளிமையாக்கவும்:

1226. சிக்கலைத் தீர்க்க சமன்பாட்டைப் பயன்படுத்தவும்:

அ) ஒரு அலமாரியில் 42 புத்தகங்களும், மறுபுறத்தில் 34 புத்தகங்களும் உள்ளன. இரண்டாவது அலமாரியில் இருந்து பல புத்தகங்கள் அகற்றப்பட்டன, இரண்டாவது அலமாரியில் விடப்பட்ட பல புத்தகங்கள் முதல் அலமாரியில் இருந்து எடுக்கப்பட்டன. அதன் பிறகு, முதல் அலமாரியில் 12 புத்தகங்கள் மீதம் இருந்தன. இரண்டாவது அலமாரியில் இருந்து எத்தனை புத்தகங்கள் அகற்றப்பட்டன?

b) முதல் வகுப்பில் 42 மாணவர்கள் உள்ளனர், மூன்றாம் வகுப்பை விட இரண்டாம் வகுப்பில் 3 மாணவர்கள் குறைவாக உள்ளனர். இந்த மூன்று தரங்களிலும் 125 மாணவர்கள் இருந்தால் மூன்றாம் வகுப்பில் எத்தனை மாணவர்கள் உள்ளனர்?

1227. வெளிப்பாட்டின் பொருளைக் கண்டறியவும்:

1228. வாய்வழியாக கணக்கிடவும்:

1229. கண்டுபிடி மிக உயர்ந்த மதிப்புவெளிப்பாடுகள்:

1230. 4 தொடர்ச்சியான முழு எண்களைக் குறிப்பிடவும்:

a) அவற்றில் சிறியது -12; c) அவற்றில் சிறியது n;
b) அவற்றில் மிகப்பெரியது -18; ஈ) அவற்றில் பெரியது k க்கு சமம்.

பாடத்தின் உள்ளடக்கம் பாட குறிப்புகள்பிரேம் பாடம் வழங்கல் முடுக்கம் முறைகள் ஊடாடும் தொழில்நுட்பங்களை ஆதரிக்கிறது பயிற்சி பணிகள் மற்றும் பயிற்சிகள் சுய-சோதனை பட்டறைகள், பயிற்சிகள், வழக்குகள், தேடல்கள் வீட்டுப்பாட விவாத கேள்விகள் மாணவர்களிடமிருந்து சொல்லாட்சிக் கேள்விகள் விளக்கப்படங்கள் ஆடியோ, வீடியோ கிளிப்புகள் மற்றும் மல்டிமீடியாபுகைப்படங்கள், படங்கள், கிராபிக்ஸ், அட்டவணைகள், வரைபடங்கள், நகைச்சுவை, நிகழ்வுகள், நகைச்சுவைகள், காமிக்ஸ், உவமைகள், சொற்கள், குறுக்கெழுத்துக்கள், மேற்கோள்கள் துணை நிரல்கள் சுருக்கங்கள்ஆர்வமுள்ள கிரிப்ஸ் பாடப்புத்தகங்களுக்கான கட்டுரைகள் தந்திரங்கள் மற்ற சொற்களின் அடிப்படை மற்றும் கூடுதல் அகராதி பாடப்புத்தகங்கள் மற்றும் பாடங்களை மேம்படுத்துதல்பாடப்புத்தகத்தில் உள்ள பிழைகளை சரிசெய்தல்பாடப்புத்தகத்தில் ஒரு பகுதியை புதுப்பித்தல், பாடத்தில் புதுமை கூறுகள், காலாவதியான அறிவை புதியவற்றுடன் மாற்றுதல் ஆசிரியர்களுக்கு மட்டும் சரியான பாடங்கள்ஆண்டுக்கான காலண்டர் திட்டம் வழிகாட்டுதல்கள்விவாத நிகழ்ச்சிகள் ஒருங்கிணைந்த பாடங்கள்