முக்கோணத்தைப் பற்றி நீங்கள் தெரிந்து கொள்ள வேண்டிய அனைத்தும். செங்கோண முக்கோணம் செங்கோணத்திலிருந்து உயரத்தைக் கண்டறிவது எப்படி

எந்த பள்ளி பாடத்திட்டத்தில் வடிவியல் போன்ற பாடம் உள்ளது என்பது முக்கியமல்ல. நாம் ஒவ்வொருவரும், ஒரு மாணவராக, இந்த ஒழுக்கத்தைப் படித்து சில சிக்கல்களைத் தீர்த்தோம். ஆனால் பலருக்கு, அவர்களின் பள்ளி ஆண்டுகள் அவர்களுக்குப் பின்னால் உள்ளன, மேலும் சில பெற்ற அறிவு நினைவிலிருந்து அழிக்கப்பட்டுள்ளது.

ஆனால் பள்ளி பாடப்புத்தகத்திலிருந்து ஒரு குறிப்பிட்ட கேள்விக்கான பதிலை நீங்கள் திடீரென்று கண்டுபிடிக்க வேண்டும் என்றால் என்ன செய்வது, எடுத்துக்காட்டாக, ஒரு செங்கோண முக்கோணத்தில் உயரத்தை எவ்வாறு கண்டுபிடிப்பது? இந்த வழக்கில், ஒரு நவீன மேம்பட்ட கணினி பயனர் முதலில் இணையத்தைத் திறந்து அவருக்கு ஆர்வமுள்ள தகவலைக் கண்டுபிடிப்பார்.

முக்கோணங்கள் பற்றிய அடிப்படை தகவல்கள்

இந்த வடிவியல் உருவம் இறுதிப் புள்ளிகளில் ஒன்றோடொன்று இணைக்கப்பட்ட 3 பிரிவுகளைக் கொண்டுள்ளது, மேலும் இந்த புள்ளிகளின் தொடர்பு புள்ளிகள் ஒரே நேர்கோட்டில் இல்லை. ஒரு முக்கோணத்தை உருவாக்கும் பகுதிகள் அதன் பக்கங்கள் என்று அழைக்கப்படுகின்றன. பக்கங்களின் சந்திப்புகள் உருவத்தின் உச்சிகளையும், அதன் மூலைகளையும் உருவாக்குகின்றன.

கோணங்களைப் பொறுத்து முக்கோணங்களின் வகைகள்

இந்த எண்ணிக்கை 3 வகையான கோணங்களைக் கொண்டிருக்கலாம்: கூர்மையான, மழுங்கிய மற்றும் நேராக. இதைப் பொறுத்து, முக்கோணங்களில் பின்வரும் வகைகள் வேறுபடுகின்றன:

பக்கங்களின் நீளத்தைப் பொறுத்து முக்கோணங்களின் வகைகள்

முன்னர் குறிப்பிட்டபடி, இந்த எண்ணிக்கை 3 பிரிவுகளில் இருந்து தோன்றுகிறது. அவற்றின் அளவைப் பொறுத்து, பின்வரும் வகை முக்கோணங்கள் வேறுபடுகின்றன:

ஒரு செங்கோண முக்கோணத்தின் உயரத்தை எவ்வாறு கண்டுபிடிப்பது

ஒரு செங்கோண முக்கோணத்தின் இரண்டு ஒத்த பக்கங்கள் தொடர்பு புள்ளியில் ஒரு செங்கோணத்தை உருவாக்கும் கால்கள் என்று அழைக்கப்படுகின்றன. அவற்றை இணைக்கும் பிரிவு "ஹைபோடென்யூஸ்" என்று அழைக்கப்படுகிறது. கொடுக்கப்பட்ட வடிவியல் உருவத்தில் உயரத்தைக் கண்டறிய, வலது கோணத்தின் மேலிருந்து ஹைப்போடென்ஸுக்கு ஒரு கோட்டைக் குறைக்க வேண்டும். இதையெல்லாம் வைத்து, இந்தக் கோடு கோணத்தை 90ல் வகுக்க வேண்டுமா? சரியாக பாதியில். அத்தகைய பிரிவு ஒரு இருமுனை என்று அழைக்கப்படுகிறது.

மேலே உள்ள படம் ஒரு செங்கோண முக்கோணத்தைக் காட்டுகிறது, அதன் உயரத்தை நாம் கணக்கிட வேண்டும். இது பல வழிகளில் செய்யப்படலாம்:

ஒரு முக்கோணத்தைச் சுற்றி ஒரு வட்டத்தை வரைந்து ஒரு ஆரம் வரைந்தால், அதன் மதிப்பு ஹைப்போடென்யூஸின் பாதி அளவு இருக்கும். இதன் அடிப்படையில், ஒரு செங்கோண முக்கோணத்தின் உயரத்தை சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்தி கணக்கிடலாம்:

வலது முக்கோணம்- இது ஒரு முக்கோணம், இதில் ஒரு கோணம் நேராக இருக்கும், அதாவது 90 டிகிரிக்கு சமம்.

• வலது கோணத்திற்கு எதிரே உள்ள பக்கமானது ஹைப்போடென்யூஸ் என்று அழைக்கப்படுகிறது (படத்தில் காட்டப்பட்டுள்ளது cஅல்லது ஏபி)
• வலது கோணத்தை ஒட்டிய பக்கமானது கால் என்று அழைக்கப்படுகிறது. ஒவ்வொரு வலது முக்கோணத்திற்கும் இரண்டு கால்கள் உள்ளன (படத்தில் அவை குறிக்கப்பட்டுள்ளன அமற்றும் b அல்லது AC மற்றும் BC)

செங்கோண முக்கோணத்தின் சூத்திரங்கள் மற்றும் பண்புகள்

சூத்திர பெயர்கள்:

(மேலே உள்ள படத்தைப் பார்க்கவும்)

a, b- ஒரு செங்கோண முக்கோணத்தின் கால்கள்

c- ஹைப்போடென்யூஸ்

α, β - ஒரு முக்கோணத்தின் கடுமையான கோணங்கள்

எஸ்- சதுரம்

ம- செங்கோணத்தின் உச்சியில் இருந்து ஹைப்போடென்ஸுக்கு உயரம் குறைக்கப்பட்டது

மீ ஏ அஎதிர் மூலையில் இருந்து ( α )

மீ பி- பக்கவாட்டில் வரையப்பட்ட இடைநிலை பிஎதிர் மூலையில் இருந்து ( β )

மீ சி- பக்கவாட்டில் வரையப்பட்ட இடைநிலை cஎதிர் மூலையில் இருந்து ( γ )

IN வலது முக்கோணம் எந்த கால்களும் ஹைப்போடென்யூஸை விட குறைவாக இருக்கும்(சூத்திரம் 1 மற்றும் 2). இந்த பண்பு பித்தகோரியன் தேற்றத்தின் விளைவாகும்.

கடுமையான கோணங்களில் ஏதேனும் ஒன்றின் கொசைன்ஒன்றுக்கும் குறைவானது (சூத்திரம் 3 மற்றும் 4). இந்த சொத்து முந்தையதைப் பின்பற்றுகிறது. எந்த கால்களும் ஹைப்போடென்யூஸை விட குறைவாக இருப்பதால், கால் மற்றும் ஹைப்போடென்யூஸின் விகிதம் எப்போதும் ஒன்றை விட குறைவாகவே இருக்கும்.

ஹைபோடென்யூஸின் சதுரம் கால்களின் சதுரங்களின் கூட்டுத்தொகைக்கு சமம் (பித்தகோரியன் தேற்றம்). (சூத்திரம் 5). சிக்கல்களைத் தீர்க்கும்போது இந்த சொத்து தொடர்ந்து பயன்படுத்தப்படுகிறது.

ஒரு செங்கோண முக்கோணத்தின் பரப்பளவுகால்களின் பாதி உற்பத்திக்கு சமம் (சூத்திரம் 6)

ஸ்கொயர் மீடியன்களின் கூட்டுத்தொகைகால்களுக்குச் சமம் என்பது நடுநிலையிலிருந்து ஹைப்போடென்யூஸின் ஐந்து சதுரங்கள் மற்றும் ஹைபோடென்யூஸின் ஐந்து சதுரங்கள் நான்கால் வகுக்கப்படும் (ஃபார்முலா 7). மேலே கூடுதலாக, உள்ளது மேலும் 5 சூத்திரங்கள், எனவே, "வலது முக்கோணத்தின் சராசரி" என்ற பாடத்தையும் நீங்கள் படிக்க பரிந்துரைக்கப்படுகிறது, இது இடைநிலையின் பண்புகளை இன்னும் விரிவாக விவரிக்கிறது.

உயரம்ஒரு செங்கோண முக்கோணத்தின் கால்களின் பெருக்கத்திற்கு சமமானது ஹைப்போடென்யூஸால் வகுக்கப்படும் (ஃபார்முலா 8)

கால்களின் சதுரங்கள் ஹைப்போடென்யூஸுக்குக் குறைக்கப்பட்ட உயரத்தின் சதுரத்திற்கு நேர்மாறான விகிதத்தில் இருக்கும் (சூத்திரம் 9). இந்த அடையாளம் பித்தகோரியன் தேற்றத்தின் விளைவுகளில் ஒன்றாகும்.

ஹைபோடென்யூஸ் நீளம்சுற்றறிக்கை வட்டத்தின் விட்டம் (இரண்டு ஆரங்கள்) சமம் (சூத்திரம் 10). செங்கோண முக்கோணத்தின் ஹைபோடென்யூஸ் சுற்றுவட்டத்தின் விட்டம் ஆகும். இந்த சொத்து பெரும்பாலும் சிக்கலைத் தீர்ப்பதில் பயன்படுத்தப்படுகிறது.

பொறிக்கப்பட்ட ஆரம்வி வலது முக்கோணம் வட்டம்இந்த முக்கோணத்தின் கால்களின் கூட்டுத்தொகையை ஹைப்போடென்யூஸின் நீளத்தைக் கழித்தல் உட்பட வெளிப்பாட்டின் பாதியாகக் காணலாம். அல்லது கொடுக்கப்பட்ட முக்கோணத்தின் அனைத்து பக்கங்களின் (சுற்றளவு) கூட்டுத்தொகையால் வகுக்கப்பட்ட கால்களின் பெருக்கமாக. (சூத்திரம் 11)
கோணத்தின் சைன் எதிர் உறவுஇந்த கோணம் கால் முதல் ஹைப்போடென்யூஸ்(சைன் வரையறையின்படி). (சூத்திரம் 12). பிரச்சனைகளை தீர்க்கும் போது இந்த சொத்து பயன்படுத்தப்படுகிறது. பக்கங்களின் அளவை அறிந்து, அவை உருவாக்கும் கோணத்தை நீங்கள் காணலாம்.

ஒரு செங்கோண முக்கோணத்தில் கோணம் A (α, ஆல்பா) இன் கொசைன் சமமாக இருக்கும் அணுகுமுறை அருகில்இந்த கோணம் கால் முதல் ஹைப்போடென்யூஸ்(சைன் வரையறையின்படி). (சூத்திரம் 13)

"Get an A" என்ற வீடியோ பாடத்தில் 60-65 புள்ளிகளுடன் கணிதத்தில் ஒருங்கிணைந்த மாநிலத் தேர்வில் வெற்றிகரமாக தேர்ச்சி பெற தேவையான அனைத்து தலைப்புகளும் அடங்கும். கணிதத்தில் சுயவிவர ஒருங்கிணைந்த மாநிலத் தேர்வின் 1-13 அனைத்து பணிகளும் முழுமையாக. கணிதத்தில் அடிப்படை ஒருங்கிணைந்த மாநிலத் தேர்வில் தேர்ச்சி பெறவும் ஏற்றது. நீங்கள் ஒருங்கிணைந்த மாநிலத் தேர்வில் 90-100 புள்ளிகளுடன் தேர்ச்சி பெற விரும்பினால், பகுதி 1 ஐ 30 நிமிடங்களில் மற்றும் தவறுகள் இல்லாமல் தீர்க்க வேண்டும்!

10-11 வகுப்புகளுக்கான ஒருங்கிணைந்த மாநிலத் தேர்வுக்கான தயாரிப்பு பாடநெறி, அத்துடன் ஆசிரியர்களுக்கும். கணிதத்தில் ஒருங்கிணைந்த மாநிலத் தேர்வின் பகுதி 1 (முதல் 12 சிக்கல்கள்) மற்றும் சிக்கல் 13 (முக்கோணவியல்) ஆகியவற்றில் நீங்கள் தீர்க்க வேண்டிய அனைத்தும். இது ஒருங்கிணைந்த மாநிலத் தேர்வில் 70 புள்ளிகளுக்கு மேல் உள்ளது, மேலும் 100-புள்ளி மாணவரோ அல்லது மனிதநேய மாணவரோ அவர்கள் இல்லாமல் செய்ய முடியாது.

தேவையான அனைத்து கோட்பாடு. ஒருங்கிணைந்த மாநிலத் தேர்வின் விரைவான தீர்வுகள், ஆபத்துகள் மற்றும் ரகசியங்கள். FIPI பணி வங்கியின் பகுதி 1 இன் அனைத்து தற்போதைய பணிகளும் பகுப்பாய்வு செய்யப்பட்டுள்ளன. ஒருங்கிணைந்த மாநிலத் தேர்வு 2018 இன் தேவைகளுடன் பாடநெறி முழுமையாக இணங்குகிறது.

பாடநெறி 5 பெரிய தலைப்புகளைக் கொண்டுள்ளது, ஒவ்வொன்றும் 2.5 மணிநேரம். ஒவ்வொரு தலைப்பும் புதிதாக, எளிமையாகவும் தெளிவாகவும் கொடுக்கப்பட்டுள்ளது.

நூற்றுக்கணக்கான ஒருங்கிணைந்த மாநில தேர்வு பணிகள். வார்த்தை சிக்கல்கள் மற்றும் நிகழ்தகவு கோட்பாடு. சிக்கல்களைத் தீர்ப்பதற்கான எளிய மற்றும் எளிதாக நினைவில் கொள்ளக்கூடிய அல்காரிதம்கள். வடிவியல். கோட்பாடு, குறிப்பு பொருள், அனைத்து வகையான ஒருங்கிணைந்த மாநில தேர்வு பணிகளின் பகுப்பாய்வு. ஸ்டீரியோமெட்ரி. தந்திரமான தீர்வுகள், பயனுள்ள ஏமாற்றுத் தாள்கள், இடஞ்சார்ந்த கற்பனையின் வளர்ச்சி. முக்கோணவியல் முதல் பிரச்சனை வரை 13. சிக்கலுக்கு பதிலாக புரிந்து கொள்ளுதல். சிக்கலான கருத்துகளின் தெளிவான விளக்கங்கள். இயற்கணிதம். வேர்கள், சக்திகள் மற்றும் மடக்கைகள், செயல்பாடு மற்றும் வழித்தோன்றல். ஒருங்கிணைந்த மாநிலத் தேர்வின் பகுதி 2 இன் சிக்கலான சிக்கல்களைத் தீர்ப்பதற்கான அடிப்படை.

(ஏபிசி)மற்றும் அதன் பண்புகள், இது படத்தில் வழங்கப்படுகிறது. ஒரு செங்கோண முக்கோணத்தில் ஒரு ஹைப்போடென்யூஸ் உள்ளது - வலது கோணத்திற்கு எதிரே இருக்கும் பக்கம்.

உதவிக்குறிப்பு 1: செங்கோண முக்கோணத்தின் உயரத்தை எவ்வாறு கண்டறிவது

வலது கோணத்தை உருவாக்கும் பக்கங்கள் கால்கள் என்று அழைக்கப்படுகின்றன. படம் பக்கங்களைக் காட்டுகிறது AD, DC மற்றும் BD, DC- கால்கள் மற்றும் பக்கங்களிலும் ஏசிமற்றும் NE- ஹைப்போடென்யூஸ்.

தேற்றம் 1. 30° கோணம் கொண்ட செங்கோண முக்கோணத்தில், இந்தக் கோணத்திற்கு எதிரே உள்ள கால், ஹைப்போடென்யூஸின் பாதியை உடைக்கும்.

hC

ஏபி- ஹைப்போடென்யூஸ்;

கி.பிமற்றும் டி

முக்கோணம்
ஒரு தேற்றம் உள்ளது:
கருத்து அமைப்பு CACKLஈ

தீர்வு: 1) எந்த செவ்வகத்தின் மூலைவிட்டங்களும் சமமாக இருக்கும். உண்மை 2) ஒரு முக்கோணத்தில் ஒரு கூர்மையான கோணம் இருந்தால், இந்த முக்கோணம் கடுமையானது. உண்மை இல்லை. முக்கோணங்களின் வகைகள். ஒரு முக்கோணத்தின் மூன்று கோணங்களும் கூர்மையாக இருந்தால், அதாவது 90° க்கும் குறைவாக இருந்தால், அது அக்யூட் எனப்படும்.

அல்லது, மற்றொரு பதிவில்,

பித்தகோரியன் தேற்றத்தின்படி

செங்கோண முக்கோணத்தின் உயரத்திற்கான சூத்திரம் என்ன?

செங்கோண முக்கோணத்தின் உயரம்

செங்கோண முக்கோணத்தின் உயரம் ஹைப்போடென்யூஸுக்கு வரையப்பட்டிருப்பது சிக்கல் அறிக்கையில் உள்ள தரவைப் பொறுத்து ஒரு வழியில் அல்லது வேறு வழியில் காணலாம்.

அல்லது, மற்றொரு பதிவில்,

BK மற்றும் KC ஆகியவை ஹைபோடென்யூஸில் கால்களின் கணிப்புகள் (உயரம் ஹைப்போடென்யூஸைப் பிரிக்கும் பிரிவுகள்).

ஒரு செங்கோண முக்கோணப் பகுதியின் மூலம் ஹைப்போடென்யூஸின் உயரத்தைக் காணலாம். ஒரு முக்கோணத்தின் பகுதியைக் கண்டறிய சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்தினால்

(ஒரு பக்கத்தின் பாதி தயாரிப்பு மற்றும் உயரம் இந்தப் பக்கத்திற்கு வரையப்பட்டது) ஹைப்போடென்யூஸுக்கு மற்றும் ஹைபோடென்ஸுக்கு வரையப்பட்ட உயரம், நாம் பெறுகிறோம்:

இங்கிருந்து நாம் உயரத்தை முக்கோணத்தின் இருமடங்கு பரப்பளவிற்கும் ஹைப்போடென்யூஸின் நீளத்திற்கும் உள்ள விகிதத்தில் காணலாம்:

ஒரு வலது முக்கோணத்தின் பரப்பளவு கால்களின் பாதி உற்பத்திக்கு சமம் என்பதால்:

அதாவது, ஹைப்போடென்ஸுக்கு வரையப்பட்ட உயரத்தின் நீளம் கால்களின் உற்பத்தியின் ஹைப்போடென்ஸுக்கு சமமாக இருக்கும். கால்களின் நீளத்தை a மற்றும் b, ஹைபோடென்யூஸின் நீளத்தை c ஆல் குறிப்பதாக இருந்தால், சூத்திரத்தை இவ்வாறு மாற்றி எழுதலாம்.

ஒரு செங்கோண முக்கோணத்தின் சுற்றுவட்டத்தின் ஆரம் ஹைபோடென்யூஸின் பாதிக்கு சமமாக இருப்பதால், உயரத்தின் நீளத்தை கால்கள் மற்றும் வட்ட வட்டத்தின் ஆரம் ஆகியவற்றின் அடிப்படையில் வெளிப்படுத்தலாம்:

ஹைப்போடென்ஸுக்கு வரையப்பட்ட உயரம் மேலும் இரண்டு செங்கோண முக்கோணங்களை உருவாக்குவதால், அதன் நீளத்தை வலது முக்கோணத்தில் உள்ள உறவுகள் மூலம் காணலாம்.

வலது முக்கோணத்திலிருந்து ABK

வலது முக்கோணத்திலிருந்து ACK

வலது முக்கோணத்தின் உயரத்தின் நீளத்தை கால்களின் நீளத்தின் அடிப்படையில் வெளிப்படுத்தலாம். ஏனெனில்

பித்தகோரியன் தேற்றத்தின்படி

சமன்பாட்டின் இரு பக்கங்களையும் நாம் சதுரமாக்கினால்:

ஒரு வலது முக்கோணத்தின் உயரத்தை அதன் கால்களுடன் தொடர்புபடுத்துவதற்கான மற்றொரு சூத்திரத்தை நீங்கள் பெறலாம்:

செங்கோண முக்கோணத்தின் உயரத்திற்கான சூத்திரம் என்ன?

வலது முக்கோணம். சராசரி நிலை.

உங்கள் வலிமையைச் சோதித்து, ஒருங்கிணைந்த மாநிலத் தேர்வு அல்லது ஒருங்கிணைந்த மாநிலத் தேர்வுக்கு நீங்கள் எவ்வளவு தயாராக இருக்கிறீர்கள் என்பதை அறிய விரும்புகிறீர்களா?

செங்கோண முக்கோணங்களைப் பற்றிய முக்கிய தேற்றம் பித்தகோரியன் தேற்றம் ஆகும்.

பித்தகோரியன் தேற்றம்

மூலம், கால்கள் மற்றும் ஹைப்போடென்யூஸ் என்றால் என்ன என்பது உங்களுக்கு நன்றாக நினைவிருக்கிறதா? மிகவும் நன்றாக இல்லை என்றால், படத்தைப் பாருங்கள் - உங்கள் அறிவைப் புதுப்பிக்கவும்

நீங்கள் ஏற்கனவே பித்தகோரியன் தேற்றத்தை பலமுறை பயன்படுத்தியிருக்கலாம், ஆனால் அத்தகைய தேற்றம் ஏன் உண்மை என்று நீங்கள் எப்போதாவது யோசித்திருக்கிறீர்களா? நான் எப்படி நிரூபிக்க முடியும்? பண்டைய கிரேக்கர்களைப் போலவே செய்வோம். ஒரு பக்கத்துடன் ஒரு சதுரத்தை வரைவோம்.

எவ்வளவு புத்திசாலித்தனமாக அதன் பக்கங்களை நீளமாகப் பிரித்தோம் என்று பாருங்கள்!

இப்போது குறிக்கப்பட்ட புள்ளிகளை இணைப்போம்

எவ்வாறாயினும், இங்கே நாங்கள் வேறு ஒன்றைக் குறிப்பிட்டோம், ஆனால் நீங்களே வரைபடத்தைப் பார்த்து, இது ஏன் என்று சிந்தியுங்கள்.

பெரிய சதுரத்தின் பரப்பளவு என்ன? சரி,. ஒரு சிறிய பகுதி பற்றி என்ன? நிச்சயமாக, . நான்கு மூலைகளின் மொத்த பரப்பளவு உள்ளது. நாம் அவற்றை ஒரே நேரத்தில் இரண்டாக எடுத்து, அவற்றின் ஹைப்போடனஸ் மூலம் ஒருவருக்கொருவர் சாய்ந்தோம் என்று கற்பனை செய்து பாருங்கள். என்ன நடந்தது? இரண்டு செவ்வகங்கள். இதன் பொருள் "வெட்டுகளின்" பகுதி சமம்.

இப்போது அனைத்தையும் ஒன்றாகப் போடுவோம்.

எனவே நாங்கள் பித்தகோரஸைப் பார்வையிட்டோம் - அவரது தேற்றத்தை ஒரு பழங்கால வழியில் நிரூபித்தோம்.

வலது முக்கோணம் மற்றும் முக்கோணவியல்

ஒரு செங்கோண முக்கோணத்திற்கு, பின்வரும் உறவுகள் உள்ளன:

கடுமையான கோணத்தின் சைன் எதிர் பக்கத்தின் ஹைப்போடென்யூஸின் விகிதத்திற்கு சமம்

கடுமையான கோணத்தின் கொசைன், ஹைபோடென்யூஸுக்கு அருகில் உள்ள காலின் விகிதத்திற்கு சமம்.

ஒரு தீவிர கோணத்தின் தொடுகோடு எதிரெதிர் பக்கத்தின் அடுத்த பக்கத்தின் விகிதத்திற்கு சமம்.

ஒரு தீவிர கோணத்தின் கோடேன்ஜென்ட் எதிர் பக்கத்திற்கு அருகில் உள்ள பக்கத்தின் விகிதத்திற்கு சமம்.

மீண்டும் ஒரு மாத்திரை வடிவில் இவை அனைத்தும்:

மிகவும் வசதியான ஒன்றை நீங்கள் கவனித்தீர்களா? குறியை கவனமாக பாருங்கள்.

இது மிகவும் வசதியானது!

வலது முக்கோணங்களின் சமத்துவத்தின் அறிகுறிகள்

II. கால் மற்றும் ஹைபோடென்யூஸ் மூலம்

III. ஹைபோடென்யூஸ் மற்றும் கடுமையான கோணம் மூலம்

IV. கால் மற்றும் கடுமையான கோணத்தில்

கவனம்! கால்கள் "பொருத்தமானவை" என்பது இங்கே மிகவும் முக்கியமானது. உதாரணமாக, இது இப்படி நடந்தால்:

பின்னர் முக்கோணங்கள் சமமாக இல்லை, அவர்கள் ஒரே மாதிரியான கடுமையான கோணத்தைக் கொண்டிருந்தாலும்.

வேண்டும் இரண்டு முக்கோணங்களிலும் கால் அருகருகே இருந்தது அல்லது இரண்டிலும் எதிரே இருந்தது.

வலது முக்கோணங்களின் சமத்துவத்தின் அறிகுறிகள் முக்கோணங்களின் சமத்துவத்தின் வழக்கமான அறிகுறிகளிலிருந்து எவ்வாறு வேறுபடுகின்றன என்பதை நீங்கள் கவனித்தீர்களா? "முக்கோணம்" என்ற தலைப்பைப் பார்த்து, "சாதாரண" முக்கோணங்களின் சமத்துவத்திற்கு, அவற்றின் மூன்று கூறுகள் சமமாக இருக்க வேண்டும் என்பதில் கவனம் செலுத்துங்கள்: இரண்டு பக்கங்களும் அவற்றுக்கிடையேயான கோணம், இரண்டு கோணங்கள் மற்றும் அவற்றுக்கிடையேயான பக்கம், அல்லது மூன்று பக்கங்களிலும் ஆனால் வலது முக்கோணங்களின் சமத்துவத்திற்கு, இரண்டு தொடர்புடைய கூறுகள் மட்டுமே போதுமானது. அருமை, சரியா?

வலது முக்கோணங்களின் ஒற்றுமையின் அறிகுறிகளுடன் நிலைமை தோராயமாக ஒரே மாதிரியாக உள்ளது.

வலது முக்கோணங்களின் ஒற்றுமையின் அறிகுறிகள்

III. கால் மற்றும் ஹைபோடென்யூஸ் மூலம்

செங்கோண முக்கோணத்தில் இடைநிலை

செங்கோண முக்கோணத்திற்குப் பதிலாக, முழு செவ்வகத்தைக் கவனியுங்கள்.

ஒரு மூலைவிட்டத்தை வரைந்து, மூலைவிட்டங்கள் வெட்டும் புள்ளியைக் கருத்தில் கொள்வோம். செவ்வகத்தின் மூலைவிட்டங்களைப் பற்றி உங்களுக்கு என்ன தெரியும்?

மூலைவிட்டங்களின் வெட்டுப்புள்ளி பாதியாக பிரிக்கப்பட்டுள்ளது, மூலைவிட்டங்கள் சமமாக இருக்கும்.

மேலும் இதிலிருந்து என்ன வருகிறது?

எனவே அது மாறியது

இந்த உண்மையை நினைவில் வையுங்கள்! நிறைய உதவுகிறது!

அதைவிட ஆச்சரியம் என்னவென்றால், அதற்கு நேர்மாறான உண்மையும் இருக்கிறது.

ஹைப்போடென்ஸுக்கு வரையப்பட்ட சராசரியானது பாதி ஹைப்போடென்ஸுக்கு சமமாக இருப்பதால் என்ன பலன் கிடைக்கும்? படத்தைப் பார்ப்போம்

கவனமாக பாருங்கள். எங்களிடம் உள்ளது: , அதாவது, புள்ளியிலிருந்து முக்கோணத்தின் மூன்று முனைகளுக்கும் உள்ள தூரம் சமமாக மாறியது. ஆனால் முக்கோணத்தில் ஒரே ஒரு புள்ளி மட்டுமே உள்ளது, முக்கோணத்தின் மூன்று முனைகளிலிருந்தும் உள்ள தூரம் சமமாக இருக்கும், இது வட்டத்தின் மையம். அதனால் என்ன நடந்தது?

இதை "தவிர" என்று ஆரம்பிக்கலாம். "

ஆனால் ஒத்த முக்கோணங்கள் அனைத்தும் சமமான கோணங்களைக் கொண்டுள்ளன!

மற்றும் பற்றி இதையே கூறலாம்

இப்போது அதை ஒன்றாக வரைவோம்:

அவை ஒரே கூர்மையான கோணங்களைக் கொண்டுள்ளன!

இந்த "மூன்று" ஒற்றுமையால் என்ன பலன் கிடைக்கும்?

சரி, உதாரணமாக - செங்கோண முக்கோணத்தின் உயரத்திற்கான இரண்டு சூத்திரங்கள்.

தொடர்புடைய கட்சிகளின் உறவுகளை எழுதுவோம்:

உயரத்தைக் கண்டுபிடிக்க, விகிதாச்சாரத்தைத் தீர்த்து பெறுகிறோம் முதல் சூத்திரம் "செங்கோண முக்கோணத்தில் உயரம்":

இரண்டாவது ஒன்றை எவ்வாறு பெறுவது?

இப்போது முக்கோணங்களின் ஒற்றுமையைப் பயன்படுத்துவோம்.

எனவே, ஒற்றுமையைப் பயன்படுத்துவோம்: .

இப்போது என்ன நடக்கும்?

மீண்டும் நாம் விகிதத்தைத் தீர்த்து இரண்டாவது சூத்திரத்தைப் பெறுகிறோம் "செங்கோண முக்கோணத்தில் உயரம்":

இந்த இரண்டு சூத்திரங்களையும் நீங்கள் நன்றாக நினைவில் வைத்துக் கொள்ள வேண்டும் மற்றும் மிகவும் வசதியான ஒன்றைப் பயன்படுத்த வேண்டும். அவற்றை மீண்டும் எழுதுவோம்

சரி, இப்போது, ​​இந்த அறிவைப் பயன்படுத்துவதன் மூலமும், மற்றவர்களுடன் இணைப்பதன் மூலமும், நீங்கள் எந்த பிரச்சனையையும் ஒரு செங்கோண முக்கோணத்தில் தீர்க்கலாம்!

கருத்துகள்

மூலப் பக்கத்திற்கு dofollow இணைப்பு இருந்தால், அனுமதியின்றி பொருட்களை விநியோகிப்பது அனுமதிக்கப்படும்.

தனியுரிமைக் கொள்கை

உங்கள் தனியுரிமையை பராமரிப்பது எங்களுக்கு முக்கியம். இந்த காரணத்திற்காக, உங்கள் தகவலை நாங்கள் எவ்வாறு பயன்படுத்துகிறோம் மற்றும் சேமிப்போம் என்பதை விவரிக்கும் தனியுரிமைக் கொள்கையை நாங்கள் உருவாக்கியுள்ளோம். எங்கள் தனியுரிமை நடைமுறைகளை மதிப்பாய்வு செய்து, ஏதேனும் கேள்விகள் இருந்தால் எங்களுக்குத் தெரியப்படுத்தவும்.

தனிப்பட்ட தகவல்களை சேகரித்தல் மற்றும் பயன்படுத்துதல்

தனிப்பட்ட தகவல் என்பது ஒரு குறிப்பிட்ட நபரை அடையாளம் காண அல்லது தொடர்பு கொள்ள பயன்படுத்தப்படும் தரவைக் குறிக்கிறது.

நீங்கள் எங்களைத் தொடர்பு கொள்ளும்போது எந்த நேரத்திலும் உங்கள் தனிப்பட்ட தகவலை வழங்குமாறு கேட்கப்படலாம்.

நாங்கள் சேகரிக்கக்கூடிய தனிப்பட்ட தகவல்களின் சில எடுத்துக்காட்டுகள் மற்றும் அத்தகைய தகவலை நாங்கள் எவ்வாறு பயன்படுத்தலாம்.

என்ன தனிப்பட்ட தகவல்களை நாங்கள் சேகரிக்கிறோம்:

நீங்கள் தளத்தில் விண்ணப்பத்தை சமர்ப்பிக்கும் போது, ​​உங்கள் பெயர், தொலைபேசி எண், மின்னஞ்சல் முகவரி போன்ற பல்வேறு தகவல்களை நாங்கள் சேகரிக்கலாம்.

உங்கள் தனிப்பட்ட தகவலை நாங்கள் எவ்வாறு பயன்படுத்துகிறோம்:

நாங்கள் சேகரிக்கும் தனிப்பட்ட தகவல்கள், தனித்துவமான சலுகைகள், விளம்பரங்கள் மற்றும் பிற நிகழ்வுகள் மற்றும் வரவிருக்கும் நிகழ்வுகளுடன் உங்களைத் தொடர்புகொள்ள அனுமதிக்கிறது. அவ்வப்போது, ​​முக்கியமான அறிவிப்புகள் மற்றும் தகவல்தொடர்புகளை அனுப்ப உங்கள் தனிப்பட்ட தகவலை நாங்கள் பயன்படுத்தலாம். நாங்கள் வழங்கும் சேவைகளை மேம்படுத்துவதற்கும் எங்கள் சேவைகள் தொடர்பான பரிந்துரைகளை உங்களுக்கு வழங்குவதற்கும் தணிக்கைகள், தரவு பகுப்பாய்வு மற்றும் பல்வேறு ஆராய்ச்சி போன்ற உள் நோக்கங்களுக்காக தனிப்பட்ட தகவலைப் பயன்படுத்துவோம்.

ஒரு செங்கோண முக்கோணத்தின் உயரத்தின் சொத்து ஹைப்போடென்ஸுக்குக் குறைக்கப்பட்டது

பரிசுக் குலுக்கல், போட்டி அல்லது அது போன்ற விளம்பரங்களில் நீங்கள் பங்கேற்றால், அத்தகைய திட்டங்களை நிர்வகிக்க நீங்கள் வழங்கும் தகவலை நாங்கள் பயன்படுத்தலாம்.

மூன்றாம் தரப்பினருக்கு தகவலை வெளிப்படுத்துதல்

உங்களிடமிருந்து பெறப்பட்ட தகவல்களை மூன்றாம் தரப்பினருக்கு நாங்கள் வெளியிட மாட்டோம்.

தேவைப்பட்டால் - சட்டம், நீதித்துறை நடைமுறை, சட்ட நடவடிக்கைகளில், மற்றும்/அல்லது ரஷ்ய கூட்டமைப்பின் பிரதேசத்தில் உள்ள அரசாங்க அதிகாரிகளிடமிருந்து பொது கோரிக்கைகள் அல்லது கோரிக்கைகளின் அடிப்படையில் - உங்கள் தனிப்பட்ட தகவலை வெளிப்படுத்த. பாதுகாப்பு, சட்ட அமலாக்கம் அல்லது பிற பொது முக்கியத்துவம் வாய்ந்த நோக்கங்களுக்காக இதுபோன்ற வெளிப்படுத்தல் அவசியம் அல்லது பொருத்தமானது என்று நாங்கள் தீர்மானித்தால், உங்களைப் பற்றிய தகவலையும் நாங்கள் வெளியிடலாம். மறுசீரமைப்பு, இணைப்பு அல்லது விற்பனையின் போது, ​​நாங்கள் சேகரிக்கும் தனிப்பட்ட தகவலை பொருந்தக்கூடிய மூன்றாம் தரப்பினருக்கு மாற்றலாம்.

தனிப்பட்ட தகவல்களின் பாதுகாப்பு

உங்கள் தனிப்பட்ட தகவலை இழப்பு, திருட்டு மற்றும் தவறான பயன்பாடு, அத்துடன் அங்கீகரிக்கப்படாத அணுகல், வெளிப்படுத்துதல், மாற்றம் மற்றும் அழிவு ஆகியவற்றிலிருந்து பாதுகாக்க, நிர்வாக, தொழில்நுட்ப மற்றும் உடல் உட்பட - முன்னெச்சரிக்கை நடவடிக்கைகளை எடுக்கிறோம்.

நிறுவன அளவில் உங்கள் தனியுரிமைக்கு மதிப்பளித்தல்

உங்கள் தனிப்பட்ட தகவல் பாதுகாப்பானது என்பதை உறுதிப்படுத்த, நாங்கள் எங்கள் ஊழியர்களுக்கு தனியுரிமை மற்றும் பாதுகாப்பு தரங்களைத் தொடர்புகொண்டு தனியுரிமை நடைமுறைகளை கண்டிப்பாகச் செயல்படுத்துகிறோம்.

செய்திக்கு நன்றி!

உங்கள் கருத்து ஏற்கப்பட்டது மற்றும் மதிப்பாய்வுக்குப் பிறகு அது இந்தப் பக்கத்தில் வெளியிடப்படும்.

வெட்டுக்குக் கீழே என்ன மறைக்கப்பட்டுள்ளது என்பதைக் கண்டுபிடித்து, ஒருங்கிணைந்த மாநிலத் தேர்வு மற்றும் ஒருங்கிணைந்த மாநிலத் தேர்வுக்குத் தயாராவதற்கான பிரத்யேகப் பொருட்களைப் பெற விரும்புகிறீர்களா? உங்கள் மின்னஞ்சலை விடுங்கள்

ஒரு செங்கோண முக்கோணத்தின் பண்புகள்

ஒரு செங்கோண முக்கோணத்தைக் கவனியுங்கள் (ஏபிசி)மற்றும் அதன் பண்புகள், இது படத்தில் வழங்கப்படுகிறது. ஒரு செங்கோண முக்கோணத்தில் ஒரு ஹைப்போடென்யூஸ் உள்ளது - வலது கோணத்திற்கு எதிரே இருக்கும் பக்கம். வலது கோணத்தை உருவாக்கும் பக்கங்கள் கால்கள் என்று அழைக்கப்படுகின்றன. படம் பக்கங்களைக் காட்டுகிறது AD, DC மற்றும் BD, DC- கால்கள் மற்றும் பக்கங்களிலும் ஏசிமற்றும் NE- ஹைப்போடென்யூஸ்.

வலது முக்கோணத்தின் சமத்துவத்தின் அறிகுறிகள்:

தேற்றம் 1. ஒரு செங்கோண முக்கோணத்தின் ஹைப்போடென்யூஸ் மற்றும் கால் மற்றொரு முக்கோணத்தின் ஹைப்போடென்யூஸ் மற்றும் கால் போன்றதாக இருந்தால், அத்தகைய முக்கோணங்கள் ஒத்ததாக இருக்கும்.

தேற்றம் 2. ஒரு செங்கோண முக்கோணத்தின் இரண்டு கால்கள் மற்றொரு முக்கோணத்தின் இரண்டு கால்களுக்கு சமமாக இருந்தால், அத்தகைய முக்கோணங்கள் ஒத்ததாக இருக்கும்.

தேற்றம் 3. ஒரு செங்கோண முக்கோணத்தின் ஹைப்போடென்யூஸ் மற்றும் அக்யூட் கோணம் மற்றொரு முக்கோணத்தின் ஹைப்போடென்யூஸ் மற்றும் அக்யூட் கோணம் போன்றதாக இருந்தால், அத்தகைய முக்கோணங்கள் ஒத்ததாக இருக்கும்.

தேற்றம் 4. ஒரு வலது முக்கோணத்தின் ஒரு கால் மற்றும் அருகிலுள்ள (எதிர்) தீவிர கோணம் ஒரு கால் மற்றும் மற்றொரு முக்கோணத்தின் அருகிலுள்ள (எதிர்) கடுமையான கோணத்திற்கு சமமாக இருந்தால், அத்தகைய முக்கோணங்கள் ஒத்ததாக இருக்கும்.

30° கோணத்திற்கு எதிரே உள்ள காலின் பண்புகள்:

தேற்றம் 1.

செங்கோண முக்கோணத்தில் உயரம்

30° கோணம் கொண்ட செங்கோண முக்கோணத்தில், இந்தக் கோணத்திற்கு எதிரே உள்ள கால், ஹைப்போடென்யூஸின் பாதியை உடைக்கும்.

தேற்றம் 2. ஒரு செங்கோண முக்கோணத்தில் கால் ஹைபோடென்யூஸின் பாதிக்கு சமமாக இருந்தால், அதற்கு எதிர் கோணம் 30° ஆகும்.

உயரமானது செங்கோணத்தின் உச்சியிலிருந்து ஹைப்போடென்யூஸுக்கு வரையப்பட்டால், அத்தகைய முக்கோணம் இரண்டு சிறியதாக பிரிக்கப்படுகிறது, இது வெளிச்செல்லும் ஒன்றைப் போன்றது மற்றும் மற்றொன்றுக்கு ஒத்ததாகும். இதிலிருந்து பின்வரும் முடிவுகள் பின்வருமாறு:

1. உயரம் என்பது ஹைபோடென்யூஸின் இரண்டு பிரிவுகளின் வடிவியல் சராசரி (விகிதாசார சராசரி) ஆகும்.
2. முக்கோணத்தின் ஒவ்வொரு காலும் ஹைபோடென்யூஸ் மற்றும் அருகிலுள்ள பிரிவுகளுக்கு சராசரி விகிதாசாரமாகும்.

ஒரு செங்கோண முக்கோணத்தில், கால்கள் உயரத்தில் செயல்படுகின்றன. ஆர்த்தோசென்டர் என்பது முக்கோணத்தின் உயரங்களின் குறுக்குவெட்டு ஏற்படும் புள்ளியாகும். இது உருவத்தின் வலது கோணத்தின் உச்சியுடன் ஒத்துப்போகிறது.

hC- முக்கோணத்தின் வலது கோணத்தில் இருந்து வெளிப்படும் உயரம்;

ஏபி- ஹைப்போடென்யூஸ்;

கி.பிமற்றும் டி- ஹைபோடென்யூஸை உயரத்தால் வகுக்கும் போது எழும் பிரிவுகள்.

"ஜியோமெட்ரி" பற்றிய தகவல்களைப் பார்ப்பதற்குத் திரும்பு

முக்கோணம்ஒரே நேர்கோட்டில் இல்லாத மூன்று புள்ளிகள் (செங்குத்துகள்) மற்றும் இந்த புள்ளிகளை இணைக்கும் மூன்று பிரிவுகளைக் கொண்ட வடிவியல் உருவமாகும். செங்கோண முக்கோணம் என்பது 90° கோணத்தில் (வலது கோணம்) உள்ள ஒரு முக்கோணமாகும்.
ஒரு தேற்றம் உள்ளது:ஒரு செங்கோண முக்கோணத்தின் தீவிர கோணங்களின் கூட்டுத்தொகை 90° ஆகும்.
கருத்து அமைப்பு CACKLஈ

முக்கிய வார்த்தைகள்:முக்கோணம், வலது கோணம், கால், ஹைப்போடென்யூஸ், பித்தகோரியன் தேற்றம், வட்டம்

முக்கோணம் என்று அழைக்கப்படுகிறது செவ்வகஅது சரியான கோணத்தில் இருந்தால்.
ஒரு செங்குத்து முக்கோணத்தில் இரண்டு பரஸ்பர செங்குத்து பக்கங்கள் உள்ளன கால்கள்; அதன் மூன்றாவது பக்கம் அழைக்கப்படுகிறது ஹைப்போடென்யூஸ்.

• செங்குத்தாக மற்றும் சாய்ந்த பண்புகளின்படி, ஹைபோடென்யூஸ் ஒவ்வொரு கால்களையும் விட நீளமானது (ஆனால் அவற்றின் தொகையை விட குறைவாக).
• ஒரு செங்கோண முக்கோணத்தின் இரண்டு தீவிர கோணங்களின் கூட்டுத்தொகை ஒரு செங்கோணத்திற்கு சமம்.
• ஒரு செங்கோண முக்கோணத்தின் இரண்டு உயரங்கள் அதன் கால்களுடன் ஒத்துப்போகின்றன. எனவே, நான்கு குறிப்பிடத்தக்க புள்ளிகளில் ஒன்று முக்கோணத்தின் வலது கோணத்தின் செங்குத்துகளில் விழுகிறது.
• ஒரு செங்கோண முக்கோணத்தின் சுற்றளவு ஹைப்போடென்யூஸின் நடுவில் உள்ளது.
• செங்கோண முக்கோணத்தின் உச்சியில் இருந்து ஹைப்போடென்யூஸ் வரை வரையப்பட்ட ஒரு செங்கோண முக்கோணத்தின் இடைநிலை இந்த முக்கோணத்தைச் சுற்றியிருக்கும் வட்டத்தின் ஆரம் ஆகும்.

ஒரு தன்னிச்சையான வலது முக்கோண ABC ஐக் கருத்தில் கொண்டு, உயரம் CD = hc ஐ அதன் வலது கோணத்தின் உச்சியில் இருந்து C வரையவும்.

இது கொடுக்கப்பட்ட முக்கோணத்தை ACD மற்றும் BCD என இரண்டு வலது முக்கோணங்களாகப் பிரிக்கும்; இந்த முக்கோணங்கள் ஒவ்வொன்றும் ஏபிசி முக்கோணத்துடன் பொதுவான தீவிர கோணத்தைக் கொண்டுள்ளன, எனவே முக்கோணம் ஏபிசியைப் போலவே இருக்கும்.

ABC, ACD மற்றும் BCD ஆகிய மூன்று முக்கோணங்களும் ஒன்றுக்கொன்று ஒத்தவை.

முக்கோணங்களின் ஒற்றுமையிலிருந்து பின்வரும் உறவுகள் தீர்மானிக்கப்படுகின்றன:

• $$h = \sqrt(a_(c) \cdot b_(c)) = \frac(a \cdot b)(c)$$;
• c = ac + bc;
• $$a = \sqrt(a_(c) \cdot c), b = \sqrt(b_(c) \cdot c)$$;
• $$(\frac(a)(b))^(2)= \frac(a_(c))(b_(c))$$.

பித்தகோரியன் தேற்றம்யூக்ளிடியன் வடிவவியலின் அடிப்படைக் கோட்பாடுகளில் ஒன்று, செங்கோண முக்கோணத்தின் பக்கங்களுக்கிடையேயான உறவை நிறுவுகிறது.

வடிவியல் உருவாக்கம்.ஒரு செங்கோண முக்கோணத்தில், ஹைபோடென்யூஸில் கட்டப்பட்ட சதுரத்தின் பரப்பளவு கால்களில் கட்டப்பட்ட சதுரங்களின் பகுதிகளின் கூட்டுத்தொகைக்கு சமம்.

இயற்கணித உருவாக்கம்.ஒரு செங்கோண முக்கோணத்தில், ஹைப்போடென்யூஸின் சதுரம் கால்களின் சதுரங்களின் கூட்டுத்தொகைக்கு சமம்.
அதாவது, முக்கோணத்தின் ஹைப்போடென்யூஸின் நீளத்தை c ஆல் குறிக்கிறது, மற்றும் கால்களின் நீளத்தை a மற்றும் b ஆல் குறிக்கிறது:
a2 + b2 = c2

பித்தகோரியன் தேற்றத்தை மாற்று.

செங்கோண முக்கோணத்தின் உயரம்

நேர்மறை எண்களின் எந்த மூன்று மடங்குக்கும் a, b மற்றும் c
a2 + b2 = c2,
கால்கள் a மற்றும் b மற்றும் ஹைபோடென்னஸ் c கொண்ட ஒரு செங்கோண முக்கோணம் உள்ளது.

வலது முக்கோணங்களின் சமத்துவத்தின் அறிகுறிகள்:

• கால் மற்றும் ஹைபோடென்யூஸ் சேர்த்து;
• இரண்டு கால்களில்;
• கால் மற்றும் கடுமையான கோணத்தில்;
• ஹைபோடென்யூஸ் மற்றும் கடுமையான கோணத்தில்.

மேலும் பார்க்க:
ஒரு முக்கோணத்தின் பரப்பளவு, ஐசோசெல்ஸ் முக்கோணம், சமபக்க முக்கோணம்

வடிவியல். 8 வர்க்கம். சோதனை 4. விருப்பம் 1 .

கி.பி : குறுவட்டு = குறுவட்டு : பி.டி. எனவே CD2 = AD ∙ பி.டி. அவர்கள் சொல்கிறார்கள்:

கி.பி : ஏசி = ஏசி : ஏபி எனவே AC2 = AB ∙ கி.பி. அவர்கள் சொல்கிறார்கள்:

BD : கி.மு. = கி.மு : ஏபி எனவே BC2 = AB ∙ பி.டி.

பிரச்சனைகளை தீர்க்க:

1.

A) 70 செ.மீ.; B) 55 செ.மீ.; C) 65 செ.மீ.; D) 45 செ.மீ.; இ) 53 செ.மீ.

2. ஒரு செங்கோண முக்கோணத்தின் உயரம் ஹைப்போடென்ஸுக்கு வரையப்பட்டதால், ஹைபோடென்யூஸை 9 மற்றும் 36 பிரிவுகளாகப் பிரிக்கிறது.

இந்த உயரத்தின் நீளத்தை தீர்மானிக்கவும்.

A) 22,5; B) 19; C) 9; D) 12; இ) 18.

4.

A) 30,25; B) 24,5; C) 18,45; D) 32; இ) 32,25.

5.

A) 25; B) 24; C) 27; D) 26; இ) 21.

6.

A) 8; B) 7; C) 6; D) 5; இ) 4.

7.

8. செங்கோண முக்கோணத்தின் கால் 30 ஆகும்.

செங்கோண முக்கோணத்தில் உயரத்தைக் கண்டறிவது எப்படி?

இந்த முக்கோணத்தைச் சுற்றியுள்ள வட்டத்தின் ஆரம் 17 ஆக இருந்தால், வலது கோணத்தின் உச்சியில் இருந்து ஹைப்போடென்ஸுக்கு உள்ள தூரத்தைக் கண்டறியவும்.

A) 17; B) 16; C) 15; D) 14; இ) 12.

10.

A) 15; B) 18; C) 20; D) 16; இ) 12.

A) 80; B) 72; C) 64; D) 81; இ) 75.

12.

A) 7,5; B) 8; C) 6,25; D) 8,5; இ) 7.

பதில்களைச் சரிபார்க்கவும்!

ஜி8.04.1. செங்கோண முக்கோணத்தில் விகிதாசாரப் பிரிவுகள்

வடிவியல். 8 வர்க்கம். சோதனை 4. விருப்பம் 1 .

Δ ABC ∠ACV = 90° இல். AC மற்றும் BC கால்கள், AB ஹைபோடென்யூஸ்.

குறுவட்டு என்பது முக்கோணத்தின் ஹைப்போடென்ஸுக்கு வரையப்பட்ட உயரம்.

AD ப்ராஜெக்ஷன் லெக் AC ஹைபோடென்யூஸ் மீது,

BC காலின் BD ப்ரொஜெக்ஷன் ஹைப்போடென்யூஸ் மீது.

உயர சிடி முக்கோண ஏபிசியை இரண்டு முக்கோணங்களாகப் பிரிக்கிறது (மற்றும் ஒன்றுக்கொன்று): Δ ADC மற்றும் Δ CDB.

ஒத்த Δ ADC மற்றும் Δ CDB ஆகியவற்றின் பக்கங்களின் விகிதாச்சாரத்தில் இருந்து இது பின்வருமாறு:

கி.பி : குறுவட்டு = குறுவட்டு : பி.டி.

ஒரு செங்கோண முக்கோணத்தின் உயரத்தின் சொத்து ஹைப்போடென்ஸுக்குக் குறைக்கப்பட்டது.

எனவே CD2 = AD ∙ பி.டி. அவர்கள் சொல்கிறார்கள்: ஒரு செங்கோண முக்கோணத்தின் உயரம், ஹைப்போடென்ஸுக்கு வரையப்பட்டது,ஹைபோடென்யூஸில் கால்களின் கணிப்புகளுக்கு இடையிலான சராசரி விகிதாசார மதிப்பு.

Δ ADC மற்றும் Δ ACB இன் ஒற்றுமையிலிருந்து இது பின்வருமாறு:

கி.பி : ஏசி = ஏசி : ஏபி எனவே AC2 = AB ∙ கி.பி. அவர்கள் சொல்கிறார்கள்: ஒவ்வொரு காலும் முழு ஹைப்போடென்யூஸுக்கும் இந்த காலின் ஹைபோடென்யூஸுக்கும் இடையிலான சராசரி விகிதாசார மதிப்பாகும்.

இதேபோல், Δ CDB மற்றும் Δ ACB ஆகியவற்றின் ஒற்றுமையிலிருந்து இது பின்வருமாறு:

BD : கி.மு. = கி.மு : ஏபி எனவே BC2 = AB ∙ பி.டி.

பிரச்சனைகளை தீர்க்க:

1. ஹைபோடென்யூஸை 25 செமீ மற்றும் 81 செமீ பிரிவுகளாகப் பிரித்தால், வலது முக்கோணத்தின் உயரத்தைக் கண்டறியவும்.

A) 70 செ.மீ.; B) 55 செ.மீ.; C) 65 செ.மீ.; D) 45 செ.மீ.; இ) 53 செ.மீ.

2. ஒரு செங்கோண முக்கோணத்தின் உயரம், ஹைப்போடென்ஸுக்கு வரையப்பட்ட ஹைபோடென்யூஸை 9 மற்றும் 36 பிரிவுகளாகப் பிரிக்கிறது. இந்த உயரத்தின் நீளத்தைத் தீர்மானிக்கவும்.

A) 22,5; B) 19; C) 9; D) 12; இ) 18.

4. ஒரு வலது முக்கோணத்தின் உயரம் ஹைப்போடென்ஸுக்கு வரையப்பட்ட 22 ஆகும், கால்களில் ஒன்றின் ப்ராஜெக்ஷன் 16. மற்ற காலின் ப்ரொஜெக்ஷனைக் கண்டறியவும்.

A) 30,25; B) 24,5; C) 18,45; D) 32; இ) 32,25.

5. ஒரு செங்கோண முக்கோணத்தின் கால் 18, மற்றும் ஹைப்போடென்ஸுக்கு அதன் ப்ராஜெக்ஷன் 12. ஹைப்போடென்ஸைக் கண்டறியவும்.

A) 25; B) 24; C) 27; D) 26; இ) 21.

6. ஹைப்போடென்யூஸ் 32 க்கு சமம். ஹைப்போடென்யூஸில் 2 க்கு சமமாக இருக்கும் பக்கத்தைக் கண்டறியவும்.

A) 8; B) 7; C) 6; D) 5; இ) 4.

7. ஒரு செங்கோண முக்கோணத்தின் ஹைப்போடென்யூஸ் 45. ஹைபோடென்யூஸில் 9 இருக்கும் பக்கத்தைக் கண்டறியவும்.

8. ஒரு செங்கோண முக்கோணத்தின் கால் 30. இந்த முக்கோணத்தைச் சுற்றியுள்ள வட்டத்தின் ஆரம் 17 ஆக இருந்தால், வலது கோணத்தின் உச்சியில் இருந்து ஹைப்போடென்யூஸுக்கு உள்ள தூரத்தைக் கண்டறியவும்.

A) 17; B) 16; C) 15; D) 14; இ) 12.

10. செங்கோண முக்கோணத்தின் ஹைப்போடென்யூஸ் 41, மற்றும் கால்களில் ஒன்றின் ப்ராஜெக்ஷன் 16. செங்கோணத்தின் உச்சியில் இருந்து ஹைப்போடென்ஸுக்கு வரையப்பட்ட உயரத்தின் நீளத்தைக் கண்டறியவும்.

A) 15; B) 18; C) 20; D) 16; இ) 12.

A) 80; B) 72; C) 64; D) 81; இ) 75.

12. ஹைபோடென்யூஸில் கால்களின் கணிப்புகளில் உள்ள வேறுபாடு 15, மற்றும் வலது கோணத்தின் உச்சியில் இருந்து ஹைப்போடென்யூஸுக்கு உள்ள தூரம் 4. சுற்றப்பட்ட வட்டத்தின் ஆரத்தைக் கண்டறியவும்.

A) 7,5; B) 8; C) 6,25; D) 8,5; இ) 7.

வடிவியல் சிக்கல்களைத் தீர்க்கும் போது, ​​அத்தகைய வழிமுறையைப் பின்பற்றுவது பயனுள்ளது. பிரச்சனையின் நிலைமைகளைப் படிக்கும்போது, ​​அது அவசியம்

• ஒரு வரைதல் செய்யுங்கள். வரைதல் சிக்கலின் நிலைமைகளுக்கு முடிந்தவரை ஒத்திருக்க வேண்டும், எனவே அதன் முக்கிய பணி தீர்வு கண்டுபிடிக்க உதவுகிறது
• சிக்கல் அறிக்கையிலிருந்து எல்லா தரவையும் வரைபடத்தில் வைக்கவும்
• சிக்கலில் தோன்றும் அனைத்து வடிவியல் கருத்துகளையும் எழுதுங்கள்
• இந்த கருத்துகளுடன் தொடர்புடைய அனைத்து கோட்பாடுகளையும் நினைவில் கொள்ளுங்கள்
• இந்த தேற்றங்களில் இருந்து வரும் வடிவியல் உருவத்தின் கூறுகளுக்கு இடையே உள்ள அனைத்து உறவுகளையும் வரைபடத்தில் வரையவும்

எடுத்துக்காட்டாக, சிக்கலில் ஒரு முக்கோணத்தின் கோணத்தின் இருசமவெட்டி என்ற சொற்கள் இருந்தால், நீங்கள் ஒரு இருசமயத்தின் வரையறை மற்றும் பண்புகளை நினைவில் வைத்துக் கொள்ள வேண்டும் மற்றும் வரைபடத்தில் சமமான அல்லது விகிதாசார பிரிவுகள் மற்றும் கோணங்களைக் குறிக்க வேண்டும்.

இந்த கட்டுரையில் நீங்கள் ஒரு முக்கோணத்தின் அடிப்படை பண்புகளை கண்டுபிடிப்பீர்கள், அது சிக்கல்களை வெற்றிகரமாக தீர்க்க நீங்கள் தெரிந்து கொள்ள வேண்டும்.

முக்கோணம்.

ஒரு முக்கோணத்தின் பரப்பளவு.

1. ,

இங்கே - முக்கோணத்தின் தன்னிச்சையான பக்கம், - இந்த பக்கத்திற்கு உயரம் குறைக்கப்பட்டது.

2. ,

இங்கே மற்றும் முக்கோணத்தின் தன்னிச்சையான பக்கங்கள், மற்றும் இந்த பக்கங்களுக்கு இடையே உள்ள கோணம்:

3. ஹெரானின் சூத்திரம்:

முக்கோணத்தின் பக்கங்களின் நீளம் இங்கே உள்ளது, முக்கோணத்தின் அரை சுற்றளவு,

4. ,

இங்கே முக்கோணத்தின் அரை சுற்றளவு உள்ளது, மேலும் இது பொறிக்கப்பட்ட வட்டத்தின் ஆரம் ஆகும்.

தொடுகோடு பகுதிகளின் நீளமாக இருக்கட்டும்.

ஹெரானின் சூத்திரத்தை பின்வருமாறு எழுதலாம்:

5.

6. ,

இங்கே - முக்கோணத்தின் பக்கங்களின் நீளம், - சுற்றப்பட்ட வட்டத்தின் ஆரம்.

இந்த பக்கத்தை m: n என்ற விகிதத்தில் பிரிக்கும் முக்கோணத்தின் பக்கத்தில் ஒரு புள்ளி எடுக்கப்பட்டால், இந்த புள்ளியை எதிர் கோணத்தின் உச்சியுடன் இணைக்கும் பிரிவு முக்கோணத்தை இரண்டு முக்கோணங்களாகப் பிரிக்கிறது, அதன் பகுதிகள் விகிதத்தில் உள்ளன. மீ: என்:

ஒத்த முக்கோணங்களின் பகுதிகளின் விகிதம் ஒற்றுமை குணகத்தின் சதுரத்திற்கு சமம்.

ஒரு முக்கோணத்தின் இடைநிலை

இது ஒரு முக்கோணத்தின் உச்சியை எதிர் பக்கத்தின் நடுவில் இணைக்கும் ஒரு பகுதி.

ஒரு முக்கோணத்தின் இடைநிலைகள்ஒரு புள்ளியில் வெட்டும் மற்றும் 2:1 என்ற விகிதத்தில் வெட்டுப்புள்ளியால் வகுக்கப்படும், உச்சியில் இருந்து எண்ணும்.

ஒரு வழக்கமான முக்கோணத்தின் இடைநிலைகளின் வெட்டுப்புள்ளி இடைநிலையை இரண்டு பிரிவுகளாகப் பிரிக்கிறது, அதில் சிறியது பொறிக்கப்பட்ட வட்டத்தின் ஆரம் மற்றும் பெரியது சுற்றறிக்கை வட்டத்தின் ஆரம் சமமாக இருக்கும்.

சுற்றப்பட்ட வட்டத்தின் ஆரம் பொறிக்கப்பட்ட வட்டத்தின் ஆரம்: R=2r

சராசரி நீளம்தன்னிச்சையான முக்கோணம்

,

இங்கே - பக்கத்திற்கு வரையப்பட்ட இடைநிலை - முக்கோணத்தின் பக்கங்களின் நீளம்.

ஒரு முக்கோணத்தின் இரு பிரிவு

இந்த கோணத்தின் உச்சியை எதிர் பக்கத்துடன் இணைக்கும் முக்கோணத்தின் எந்தக் கோணத்தின் இருசமப் பிரிவு இதுவாகும்.

ஒரு முக்கோணத்தின் இரு பிரிவுஒரு பக்கத்தை அடுத்தடுத்த பக்கங்களுக்கு விகிதாசாரமாக பிரிவுகளாக பிரிக்கிறது:

ஒரு முக்கோணத்தின் இரு பிரிவுகள்ஒரு புள்ளியில் வெட்டுங்கள், இது பொறிக்கப்பட்ட வட்டத்தின் மையமாகும்.

கோண இருசமயத்தின் அனைத்து புள்ளிகளும் கோணத்தின் பக்கங்களிலிருந்து சமமான தொலைவில் உள்ளன.

முக்கோண உயரம்

இது முக்கோணத்தின் உச்சியில் இருந்து எதிர் பக்கத்திற்கு அல்லது அதன் தொடர்ச்சிக்கு கைவிடப்பட்ட ஒரு செங்குத்து பிரிவு ஆகும். ஒரு மழுங்கிய முக்கோணத்தில், கடுமையான கோணத்தின் உச்சியில் இருந்து வரையப்பட்ட உயரம் முக்கோணத்திற்கு வெளியே உள்ளது.

ஒரு முக்கோணத்தின் உயரம் ஒரு புள்ளியில் வெட்டுகிறது, இது அழைக்கப்படுகிறது முக்கோணத்தின் orthocenter.

முக்கோணத்தின் உயரத்தைக் கண்டறியபக்கவாட்டில் வரையப்பட்டால், கிடைக்கக்கூடிய எந்த வகையிலும் அதன் பகுதியை நீங்கள் கண்டுபிடிக்க வேண்டும், பின்னர் சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்தவும்:

ஒரு முக்கோணத்தின் சுற்றுவட்டத்தின் மையம், முக்கோணத்தின் பக்கங்களில் வரையப்பட்ட செங்குத்தாக இருபிரிவுகளின் குறுக்குவெட்டுப் புள்ளியில் அமைந்துள்ளது.

ஒரு முக்கோணத்தின் சுற்றளவு ஆரம் பின்வரும் சூத்திரங்களைப் பயன்படுத்தி கண்டறியலாம்:

இங்கே முக்கோணத்தின் பக்கங்களின் நீளம் மற்றும் முக்கோணத்தின் பரப்பளவு உள்ளது.

,

முக்கோணத்தின் பக்கத்தின் நீளம் மற்றும் எதிர் கோணம் எங்கே. (இந்த சூத்திரம் சைன் தேற்றத்திலிருந்து பின்பற்றப்படுகிறது.)

முக்கோண சமத்துவமின்மை

முக்கோணத்தின் ஒவ்வொரு பக்கமும் தொகையை விட குறைவாகவும் மற்ற இரண்டின் வேறுபாட்டை விட அதிகமாகவும் இருக்கும்.

எந்த இரண்டு பக்கங்களின் நீளங்களின் கூட்டுத்தொகையானது மூன்றாவது பக்கத்தின் நீளத்தை விட எப்போதும் அதிகமாக இருக்கும்:

பெரிய பக்கத்திற்கு எதிரே பெரிய கோணம் உள்ளது; பெரிய கோணத்திற்கு எதிரே பெரிய பக்கம் உள்ளது:

என்றால், நேர்மாறாக.

சைன்களின் தேற்றம்:

ஒரு முக்கோணத்தின் பக்கங்கள் எதிர் கோணங்களின் சைன்களுக்கு விகிதாசாரமாக இருக்கும்:

கொசைன் தேற்றம்:

ஒரு முக்கோணத்தின் ஒரு பக்கத்தின் சதுரமானது, மற்ற இரு பக்கங்களின் சதுரங்களின் கூட்டுத்தொகைக்கு சமமாக இருக்கும், அவற்றுக்கிடையே உள்ள கோணத்தின் கோசைன் மூலம் இந்தப் பக்கங்களின் இரு மடங்கு பெருக்கத்தில் இல்லை:

வலது முக்கோணம்

- இது ஒரு முக்கோணம், இதன் கோணங்களில் ஒன்று 90° ஆகும்.

செங்கோண முக்கோணத்தின் தீவிர கோணங்களின் கூட்டுத்தொகை 90° ஆகும்.

ஹைப்போடென்யூஸ் என்பது 90° கோணத்திற்கு எதிரே இருக்கும் பக்கமாகும். ஹைப்போடென்யூஸ் மிக நீளமான பக்கமாகும்.

பித்தகோரியன் தேற்றம்:

ஹைப்போடென்யூஸின் சதுரம் கால்களின் சதுரங்களின் கூட்டுத்தொகைக்கு சமம்:

செங்கோண முக்கோணத்தில் பொறிக்கப்பட்ட வட்டத்தின் ஆரம் சமமாக இருக்கும்

,

இங்கே பொறிக்கப்பட்ட வட்டத்தின் ஆரம், - கால்கள், - ஹைப்போடென்யூஸ்:

ஒரு செங்கோண முக்கோணத்தின் சுற்றுவட்டத்தின் மையம் ஹைபோடென்யூஸின் நடுவில் உள்ளது:

ஹைபோடென்யூஸுக்கு வரையப்பட்ட செங்கோண முக்கோணத்தின் இடைநிலை, பாதி ஹைப்போடென்ஸுக்கு சமம்.

ஒரு செங்கோண முக்கோணத்தின் சைன், கொசைன், டேன்ஜென்ட் மற்றும் கோடேன்ஜென்ட் ஆகியவற்றின் வரையறைபார்

வலது முக்கோணத்தில் உள்ள உறுப்புகளின் விகிதம்:

ஒரு செங்கோணத்தின் உச்சியில் இருந்து வரையப்பட்ட ஒரு செங்கோண முக்கோணத்தின் உயரத்தின் சதுரம், ஹைபோடென்யூஸில் கால்களின் கணிப்புகளின் பெருக்கத்திற்கு சமம்:

காலின் சதுரமானது ஹைப்போடென்யூஸின் பெருக்கத்திற்கு சமம் மற்றும் ஹைபோடென்யூஸின் மீது காலின் முன்கணிப்பு:

மூலைக்கு எதிரே கிடந்த கால் பாதி ஹைப்போடென்ஸுக்கு சமம்:

ஐசோசெல்ஸ் முக்கோணம்.

ஒரு ஐசோசெல்ஸ் முக்கோணத்தின் இருமுனையானது அடிப்பகுதிக்கு வரையப்பட்ட இடைநிலை மற்றும் உயரம் ஆகும்.

ஐசோசெல்ஸ் முக்கோணத்தில், அடிப்படை கோணங்கள் சமமாக இருக்கும்.

உச்ச கோணம்.

மற்றும் - பக்கங்களிலும்,

மற்றும் - அடிவாரத்தில் கோணங்கள்.

உயரம், இருமுனை மற்றும் இடைநிலை.

கவனம்!பக்கவாட்டில் வரையப்பட்ட உயரம், இருமுனை மற்றும் இடைநிலை ஆகியவை ஒத்துப்போவதில்லை.

வழக்கமான முக்கோணம்

(அல்லது சமபக்க முக்கோணம் ) ஒரு முக்கோணம், அனைத்து பக்கங்களும் கோணங்களும் ஒன்றுக்கொன்று சமமாக இருக்கும்.

வழக்கமான முக்கோணத்தின் பகுதிசமமாக

முக்கோணத்தின் பக்கத்தின் நீளம் எங்கே.

வழக்கமான முக்கோணத்தில் பொறிக்கப்பட்ட வட்டத்தின் மையம், ஒரு வழக்கமான முக்கோணத்தைச் சுற்றி வட்டத்தின் மையத்துடன் ஒத்துப்போகிறது மற்றும் இடைநிலைகளின் குறுக்குவெட்டு புள்ளியில் உள்ளது.

வழக்கமான முக்கோணத்தின் இடைநிலைகளின் வெட்டுப்புள்ளிஇடைநிலையை இரண்டு பிரிவுகளாகப் பிரிக்கிறது, அதில் சிறியது பொறிக்கப்பட்ட வட்டத்தின் ஆரத்திற்குச் சமம், மேலும் பெரியது சுற்றப்பட்ட வட்டத்தின் ஆரத்திற்குச் சமம்.

ஐசோசெல்ஸ் முக்கோணத்தின் கோணங்களில் ஒன்று 60° ஆக இருந்தால், முக்கோணம் வழக்கமானதாக இருக்கும்.

முக்கோணத்தின் நடுக் கோடு

இது இரு பக்கங்களின் நடுப்புள்ளிகளை இணைக்கும் பிரிவு.

படத்தில் DE என்பது ABC முக்கோணத்தின் நடுக் கோடு.

முக்கோணத்தின் நடுக் கோடு மூன்றாவது பக்கத்திற்கு இணையாகவும் அதன் பாதிக்கு சமமாகவும் இருக்கும்: DE||AC, AC=2DE

ஒரு முக்கோணத்தின் வெளிப்புற கோணம்

இது முக்கோணத்தின் எந்த கோணத்திற்கும் அருகில் இருக்கும் கோணம்.

ஒரு முக்கோணத்தின் வெளிப்புறக் கோணம் அதற்கு அருகில் இல்லாத இரண்டு கோணங்களின் கூட்டுத்தொகைக்கு சமம்.

வெளிப்புற கோண முக்கோணவியல் செயல்பாடுகள்:

முக்கோணங்களின் சமத்துவத்தின் அறிகுறிகள்:

1 . ஒரு முக்கோணத்தின் இரண்டு பக்கங்களும் அவற்றுக்கிடையேயான கோணமும் முறையே இரண்டு பக்கங்களுக்கும், மற்றொரு முக்கோணத்தின் அவற்றுக்கிடையேயான கோணமும் சமமாக இருந்தால், அத்தகைய முக்கோணங்கள் ஒத்ததாக இருக்கும்.

2 . ஒரு முக்கோணத்தின் ஒரு பக்கமும் இரண்டு அடுத்தடுத்த கோணங்களும் முறையே மற்றொரு முக்கோணத்தின் ஒரு பக்கத்திற்கும் இரண்டு அடுத்தடுத்த கோணங்களுக்கும் சமமாக இருந்தால், அத்தகைய முக்கோணங்கள் ஒத்ததாக இருக்கும்.

3 ஒரு முக்கோணத்தின் மூன்று பக்கங்களும் முறையே மற்றொரு முக்கோணத்தின் மூன்று பக்கங்களுக்கு சமமாக இருந்தால், அத்தகைய முக்கோணங்கள் சமமாக இருக்கும்.

முக்கியமான:ஒரு செங்கோண முக்கோணத்தில் இரண்டு கோணங்கள் வெளிப்படையாக சமமாக இருப்பதால், பிறகு இரண்டு வலது முக்கோணங்களின் சமத்துவம்இரண்டு கூறுகளின் சமத்துவம் தேவை: இரண்டு பக்கங்கள், அல்லது ஒரு பக்கம் மற்றும் ஒரு தீவிர கோணம்.

முக்கோணங்களின் ஒற்றுமையின் அறிகுறிகள்:

1 . ஒரு முக்கோணத்தின் இரண்டு பக்கங்களும் மற்றொரு முக்கோணத்தின் இரு பக்கங்களுக்கு விகிதாசாரமாக இருந்தால், இந்த பக்கங்களுக்கு இடையே உள்ள கோணங்கள் சமமாக இருந்தால், இந்த முக்கோணங்கள் ஒரே மாதிரியாக இருக்கும்.

2 . ஒரு முக்கோணத்தின் மூன்று பக்கங்களும் மற்றொரு முக்கோணத்தின் மூன்று பக்கங்களுக்கு விகிதாசாரமாக இருந்தால், முக்கோணங்களும் ஒரே மாதிரியாக இருக்கும்.

3 . ஒரு முக்கோணத்தின் இரண்டு கோணங்களும் மற்றொரு முக்கோணத்தின் இரண்டு கோணங்களும் சமமாக இருந்தால், முக்கோணங்களும் ஒரே மாதிரியாக இருக்கும்.

முக்கியமான:ஒத்த முக்கோணங்களில், ஒத்த பக்கங்களும் சம கோணங்களுக்கு எதிரே இருக்கும்.

மெனெலாஸ் தேற்றம்

ஒரு கோடு ஒரு முக்கோணத்தை வெட்டட்டும், அது பக்கத்துடன் அதன் குறுக்குவெட்டு புள்ளியாகும், இது பக்கத்துடன் அதன் குறுக்குவெட்டு புள்ளியாகும், மேலும் பக்கத்தின் தொடர்ச்சியுடன் அதன் வெட்டும் புள்ளியாகும். பிறகு