வழக்கமான நிகழ்தகவு விநியோகம்: தரவு விஞ்ஞானியின் ஏமாற்று தாள். தனித்த சீரற்ற மாறியின் இருபக்க விநியோகம்

பிரிவு 6. சீரற்ற மாறிகளின் விநியோகம் மற்றும் எண் பண்புகள் பற்றிய பொதுவான விதிகள்

செயல்பாடுகளின் வடிவம் F (x), p (x), அல்லது p (x i) கணக்கீடு ஒரு சீரற்ற மாறியின் விநியோக விதி என்று அழைக்கப்படுகிறது. எண்ணற்ற சீரற்ற மாறிகள் கற்பனை செய்யப்படலாம் என்றாலும், மிகக் குறைவான விநியோகச் சட்டங்கள் உள்ளன. முதலில், வெவ்வேறு சீரற்ற மாறிகள் ஒரே மாதிரியான விநியோகச் சட்டங்களைக் கொண்டிருக்கலாம். எடுத்துக்காட்டாக: y ஐ மட்டும் 2 மதிப்புகள் 1 மற்றும் -1 நிகழ்தகவுகள் 0.5 உடன் எடுக்கலாம்; z = -y மதிப்பு அதே விநியோகச் சட்டத்தைக் கொண்டுள்ளது.
இரண்டாவதாக, பெரும்பாலும் சீரற்ற மாறிகள் ஒரே மாதிரியான விநியோகச் சட்டங்களைக் கொண்டுள்ளன, அதாவது, அவற்றுக்கான p (x) ஒரே வகை சூத்திரங்களால் வெளிப்படுத்தப்படுகிறது, ஒன்று அல்லது பல மாறிலிகளில் மட்டுமே வேறுபடுகிறது. இந்த மாறிலிகள் விநியோக அளவுருக்கள் என்று அழைக்கப்படுகின்றன.

கொள்கையளவில் பலவிதமான விநியோகச் சட்டங்கள் சாத்தியமாக இருந்தாலும், பல பொதுவான சட்டங்கள் இங்கே பரிசீலிக்கப்படும். அவை எழும் நிலைமைகள், இந்த விநியோகங்களின் அளவுருக்கள் மற்றும் பண்புகள் குறித்து கவனம் செலுத்த வேண்டியது அவசியம்.

1 விநியோகம் கூட
இது ஒரு சீரற்ற மாறியின் விநியோகத்தின் பெயர், இது இடைவெளியில் (a, b) எந்த மதிப்புகளையும் எடுக்க முடியும், மேலும் அது எந்தப் பிரிவிலும் (a, b) விழும் நிகழ்தகவு பிரிவின் நீளத்திற்கு விகிதாசாரமாகும். மற்றும் அதன் நிலையைச் சார்ந்து இல்லை, மேலும் மதிப்புகளின் நிகழ்தகவு வெளியே (a, b ) 0 க்கு சமம்.

படம் 6.1 சீரான விநியோகத்தின் செயல்பாடு மற்றும் அடர்த்தி

விநியோக அளவுருக்கள்: a, b

2. இயல்பான விநியோகம்
சூத்திரத்தால் விவரிக்கப்பட்ட அடர்த்தியுடன் கூடிய விநியோகம்

(6.1)

சாதாரணமாக அழைக்கப்படுகிறது.
விநியோக அளவுருக்கள்: a, σ

படம் 6.2 அடர்த்தி மற்றும் செயல்பாட்டின் பொதுவான பார்வை சாதாரண விநியோகம்

3. பெர்னோலி விநியோகம்
தொடர்ச்சியான சுயாதீன சோதனைகள் நடத்தப்பட்டால், ஒவ்வொரு நிகழ்விலும் A அதே நிகழ்தகவு p உடன் தோன்றலாம், பின்னர் நிகழ்வின் எண்ணிக்கையானது பெர்னௌல்லியின் சட்டத்தின்படி அல்லது பைனாமியல் சட்டத்தின்படி விநியோகிக்கப்படும் ஒரு சீரற்ற மாறியாகும். (விநியோகத்தின் மற்றொரு பெயர்).

இங்கே n என்பது தொடரில் உள்ள சோதனைகளின் எண்ணிக்கை, m என்பது ஒரு சீரற்ற மாறி (நிகழ்வு A இன் நிகழ்வுகளின் எண்ணிக்கை), P n (m) என்பது A சரியாக m முறை நிகழும் நிகழ்தகவு, q = 1 - p (தி சோதனையில் A தோன்றாத நிகழ்தகவு ).

எடுத்துக்காட்டு 1: டை 5 முறை உருட்டப்பட்டது, 6 புள்ளிகள் இரண்டு முறை உருட்டப்படும் நிகழ்தகவு என்ன?
n = 5, m = 2, p = 1/6, q = 5/6

விநியோக அளவுருக்கள்: n, p

4 . விஷம் விநியோகம்
பாய்சன் விநியோகம் பெர்னோல்லி பரவலின் வரம்புக்குட்பட்ட நிகழ்வாகப் பெறப்படுகிறது, p பூஜ்ஜியமாகவும், n முடிவிலியாகவும் இருந்தால், ஆனால் அவற்றின் தயாரிப்பு மாறாமல் இருக்கும்: np = a. முறையாக, வரம்புக்கு இந்த பத்தியில் சூத்திரம் வழிவகுக்கிறது

ஒதுக்கீடு அளவுரு: a

பாய்சன் விநியோகம் அறிவியல் மற்றும் நடைமுறை வாழ்க்கையில் காணப்படும் பல சீரற்ற மாறிகளுக்கு உட்பட்டது.

எடுத்துக்காட்டு 2: ஒரு மணி நேரத்தில் ஆம்புலன்ஸ் நிலையத்திற்கு வரும் அழைப்புகளின் எண்ணிக்கை.
நேர இடைவெளி T (1 மணிநேரம்) dt ஐ சிறிய இடைவெளிகளாக பிரிக்கிறோம், அதாவது dt இன் போது இரண்டு அல்லது அதற்கு மேற்பட்ட அழைப்புகளின் நிகழ்தகவு மிகக் குறைவு, மேலும் ஒரு அழைப்பின் நிகழ்தகவு dt க்கு விகிதாசாரமாகும்: p = μdt;
கணங்கள் dt இன் போது கவனிப்பதை சுயாதீன சோதனைகளாகக் கருதுவோம், T: n = T / dt நேரத்தில் அத்தகைய சோதனைகளின் எண்ணிக்கை;
ஒரு மணி நேரத்திற்குள் வரும் அழைப்புகளின் நிகழ்தகவு மாறாது என்று நாம் கருதினால், மொத்த அழைப்புகளின் எண்ணிக்கை பெர்னௌலியின் சட்டத்திற்கு கீழ்ப்படிகிறது: n = T / dt, p = μdt. dt ஐ பூஜ்ஜியமாக மாற்றினால், n முடிவிலியை நோக்கிச் செல்வதைக் காண்கிறோம், மேலும் n × p ஆனது மாறாமல் இருக்கும்: a = n × p = μT.

எடுத்துக்காட்டு 3: ஒரு குறிப்பிட்ட நிலையான தொகுதி V இல் உள்ள சிறந்த வாயு மூலக்கூறுகளின் எண்ணிக்கை.
dV இல் இரண்டு அல்லது அதற்கு மேற்பட்ட மூலக்கூறுகளைக் கண்டறிவதற்கான நிகழ்தகவு மிகக் குறைவு, மேலும் ஒரு மூலக்கூறைக் கண்டறிவதற்கான நிகழ்தகவு dVக்கு விகிதாசாரமாக இருக்கும் வகையில் V தொகுதியை dV சிறிய தொகுதிகளாகப் பிரிக்கிறோம்: p = μdV; ஒவ்வொரு தொகுதி dV இன் அவதானிப்பையும் ஒரு சுயாதீன சோதனையாகக் கருதுவோம், அத்தகைய சோதனைகளின் எண்ணிக்கை n = V / dV; V இன் உள்ளே எங்கும் மூலக்கூறைக் கண்டறிவதற்கான சாத்தியக்கூறுகள் ஒரே மாதிரியாக இருக்கும் என்று நாம் கருதினால், V இன் தொகுதியில் உள்ள மொத்த மூலக்கூறுகளின் எண்ணிக்கை பெர்னௌல்லியின் விதிக்கு கீழ்ப்படிகிறது: n = V / dV, p = μdV. dV யை பூஜ்ஜியமாக மாற்றினால், n முடிவிலியை நோக்கி செல்கிறது, மேலும் n × p ஆனது மாறாமல் இருக்கும்: a = n × p = μV.

சீரற்ற மாறிகளின் எண்ணியல் பண்புகள்

1 எதிர்பார்ப்பு (சராசரி)

வரையறை:
கணித எதிர்பார்ப்பு அழைக்கப்படுகிறது
& nbsp (6.4)

சீரற்ற மாறி எடுக்கும் அனைத்து மதிப்புகளின் மீதும் தொகை எடுக்கப்படுகிறது. தொடர் முற்றிலும் ஒன்றிணைந்ததாக இருக்க வேண்டும் (இல்லையெனில் சீரற்ற மாறிக்கு கணித எதிர்பார்ப்பு இல்லை என்று கூறுகிறார்கள்)

; & nbsp (6.5)

ஒருங்கிணைப்பானது முற்றிலும் ஒன்றிணைந்ததாக இருக்க வேண்டும் (இல்லையெனில் சீரற்ற மாறிக்கு கணித எதிர்பார்ப்பு இல்லை என்று கூறுகிறார்கள்)

கணித எதிர்பார்ப்பு பண்புகள்:

ஒரு C ஒரு நிலையான மதிப்பு என்றால், MC = C
b MCx = CMx
c. சீரற்ற மாறிகளின் கூட்டுத்தொகையின் கணித எதிர்பார்ப்பு எப்போதும் அவற்றின் கணித எதிர்பார்ப்புகளின் கூட்டுத்தொகைக்கு சமமாக இருக்கும்: M (x + y) = Mx + My d. நிபந்தனைக்குட்பட்ட கணித எதிர்பார்ப்பு என்ற கருத்து அறிமுகப்படுத்தப்பட்டது. ஒரு சீரற்ற மாறி அதன் மதிப்புகளை x i ஐ வெவ்வேறு நிகழ்தகவுகளுடன் எடுத்தால் (x i / H j) வெவ்வேறு நிலைகளில் H j, பின்னர் நிபந்தனை கணித எதிர்பார்ப்பு தீர்மானிக்கப்படுகிறது.

எப்படி அல்லது ; & nbsp (6.6)

நிகழ்வுகளின் நிகழ்தகவு H j தெரிந்தால், முழுமையானது

எதிர்பார்க்கப்படும் மதிப்பு: ; & nbsp (6.7)

எடுத்துக்காட்டு 4: சராசரியாக, முதல் கோட் விழும் முன் ஒரு நாணயத்தை எத்தனை முறை வீச வேண்டும்? இந்த சிக்கலை "தலையாக" தீர்க்க முடியும்

x i	1 2 3 ... கே ..
p (x i): & nbsp		,

ஆனால் இந்த தொகை இன்னும் கணக்கிடப்பட வேண்டும். நிபந்தனை மற்றும் மொத்த கணித எதிர்பார்ப்புகளின் கருத்துகளைப் பயன்படுத்தி நீங்கள் அதை எளிதாகச் செய்யலாம். கருதுகோள்களை கவனியுங்கள் H 1 - முதன்முறையாக கோட் ஆஃப் ஆர்ம்ஸ் விழுந்தது, H 2 - முதல் முறையாக அது வெளியேறவில்லை. வெளிப்படையாக, p (H 1) = p (H 2) = 1/2; Mx / H 1 = 1;
Мx / Н 2 என்பது தேவையான மொத்த எதிர்பார்ப்பு மதிப்பை விட 1 அதிகம் முதல் நாணயச் சுழற்சிக்குப் பிறகு, நிலைமை மாறவில்லை, ஆனால் அது ஏற்கனவே வீசப்பட்டவுடன். முழு கணித எதிர்பார்ப்புக்கான சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்தி, சமன்பாட்டைத் தீர்க்கும் Mx = Mx / H 1 × p (H 1) + Mx / H 2 × p (H 2) = 1 × 0.5 + (Mx + 1) × 0.5 Mx க்கு, நாம் உடனடியாக Mx = 2 ஐப் பெறுகிறோம்.

இ. f (x) என்பது ஒரு சீரற்ற மாறி x இன் செயல்பாடாக இருந்தால், ஒரு சீரற்ற மாறியின் செயல்பாட்டின் கணித எதிர்பார்ப்பின் கருத்து வரையறுக்கப்படுகிறது:

தனித்த சீரற்ற மாறிக்கு: ; & nbsp (6.8)

சீரற்ற மாறி எடுக்கும் அனைத்து மதிப்புகளின் மீதும் தொகை எடுக்கப்படுகிறது. தொடர் முற்றிலும் ஒன்றிணைந்ததாக இருக்க வேண்டும்.

தொடர்ச்சியான சீரற்ற மாறிக்கு: ; & nbsp (6.9)

ஒருங்கிணைப்பு முற்றிலும் ஒன்றிணைந்ததாக இருக்க வேண்டும்.

2. சீரற்ற மாறியின் மாறுபாடு
வரையறை:
ஒரு சீரற்ற மாறி x இன் மாறுபாடு என்பது அதன் கணித எதிர்பார்ப்பிலிருந்து மதிப்பின் விலகலின் வர்க்கத்தின் கணித எதிர்பார்ப்பு ஆகும்: Dx = M (x-Mx) 2

தனித்த சீரற்ற மாறிக்கு: ; & nbsp (6.10)

சீரற்ற மாறி எடுக்கும் அனைத்து மதிப்புகளின் மீதும் தொகை எடுக்கப்படுகிறது. தொடர் ஒன்றிணைந்ததாக இருக்க வேண்டும் (இல்லையெனில் சீரற்ற மாறிக்கு மாறுபாடு இல்லை என்று கூறப்படுகிறது)

தொடர்ச்சியான சீரற்ற மாறிக்கு: ; & nbsp (6.11)

ஒருங்கிணைப்பானது ஒன்றிணைந்ததாக இருக்க வேண்டும் (இல்லையெனில் சீரற்ற மாறிக்கு மாறுபாடு இல்லை என்று கூறப்படுகிறது)

சிதறல் பண்புகள்:
ஒரு С ஒரு நிலையான மதிப்பு என்றால், DC = 0
b DСх = С 2 Dх
c. சீரற்ற மாறிகளின் கூட்டுத்தொகையின் மாறுபாடு இந்த மதிப்புகள் சுயாதீனமாக இருந்தால் மட்டுமே அவற்றின் மாறுபாடுகளின் கூட்டுத்தொகைக்கு சமமாக இருக்கும் (சுயாதீன மாறிகளின் நிர்ணயம்)
ஈ. மாறுபாட்டைக் கணக்கிட, சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்துவது வசதியானது:

Dx = Mx 2 - (Mx) 2 (6.12)

எண் பண்புகளின் உறவு
மற்றும் வழக்கமான விநியோகங்களின் அளவுருக்கள்

விநியோகம்	விருப்பங்கள்	சூத்திரம்	Mx	Dx
சீருடை	a, b		(b + a) / 2	(b-a) 2/12
சாதாரண	a, σ		அ	σ 2
பெர்னோலி	n, p		np	npq
விஷம்	அ		அ	அ

நிகழ்தகவு பரவல் என்பது அளவிடக்கூடிய இடத்தில் நிகழ்தகவு அளவீடு ஆகும்.

W என்பது தன்னிச்சையான இயல்பு மற்றும் வெறுமையற்ற தொகுப்பாக இருக்கட்டும் Ƒ -s-இயற்கணிதம் W இல், அதாவது, W இன் துணைக்குழுக்களின் தொகுப்பு, W தானே, வெற்று தொகுப்பு Æ, மற்றும் அதிகபட்சமாக கணக்கிடக்கூடிய தொகுப்பு-கோட்பாட்டு செயல்பாடுகளின் தொகுப்பைப் பொறுத்து மூடப்பட்டது (இதன் அர்த்தம். ஏ Î Ƒ தொகுப்பு = W \ ஏமீண்டும் சொந்தமானது Ƒ மற்றும் என்றால் ஏ 1 , ஏ 2,… Î Ƒ , பிறகு Ƒ மற்றும் Ƒ ) ஜோடி (W, Ƒ ) அளவிடக்கூடிய இடம் என்று அழைக்கப்படுகிறது. எதிர்மறை அல்லாத செயல்பாடு பி ( ஏ) அனைவருக்கும் வரையறுக்கப்பட்டுள்ளது ஏ Î Ƒ , நிகழ்தகவு அளவீடு, நிகழ்தகவு, நிகழ்தகவுகளின் P. அல்லது P (W) = 1 மற்றும் P என்பது எண்ணத்தக்க சேர்க்கையாக இருந்தால், அதாவது, எந்த வரிசைக்கும் ஏ 1 , ஏ 2,… Î Ƒ அதை போல ஏ ஐ ∩ ஒரு ஜே= Æ அனைவருக்கும் நான் ¹ ஜே, சமத்துவம் பி () = பி ( ஏ ஐ) மூன்று (W, Ƒ , பி) ஒரு நிகழ்தகவு இடம் என்று அழைக்கப்படுகிறது. நிகழ்தகவு இடம் என்பது A.N ஆல் முன்மொழியப்பட்ட நிகழ்தகவு பற்றிய அச்சோமாடிக் கோட்பாட்டின் ஆரம்பக் கருத்தாகும். 1930 களின் முற்பகுதியில் கோல்மோகோரோவ்.

ஒவ்வொரு நிகழ்தகவு இடத்திலும், ஒருவர் (உண்மையான) அளவிடக்கூடிய செயல்பாடுகளைக் கருத்தில் கொள்ளலாம் எக்ஸ் = எக்ஸ்(w), wÎW, அதாவது, செயல்பாடுகள் (w: எக்ஸ்(w) Î பி} Î Ƒ எந்த போரல் துணைக்குழுவிற்கும் பிஉண்மையான நேராக ஆர்... ஒரு செயல்பாட்டின் அளவீடு எக்ஸ்சமமானதாகும் (w: எக்ஸ்(வ)< எக்ஸ்} Î Ƒ எந்த செல்லுபடியாகும் எக்ஸ்... அளவிடக்கூடிய செயல்பாடுகள் சீரற்ற மாறிகள் என்று அழைக்கப்படுகின்றன. ஒவ்வொரு சீரற்ற மாறி எக்ஸ்நிகழ்தகவு இடத்தில் வரையறுக்கப்பட்டது (W, Ƒ , P), நிகழ்தகவுகளின் P. உருவாக்குகிறது

பி எக்ஸ் (பி) = பி ( எக்ஸ்Î பி) = பி ((வ: எக்ஸ்(w) Î பி}), பி Î Ɓ ,
அளவிடக்கூடிய இடத்தில் ( ஆர், Ɓ ), எங்கே Ɓ ஆர், மற்றும் விநியோக செயல்பாடு

எஃப் எக்ஸ்(எக்ஸ்) = பி ( எக்ஸ் < எக்ஸ்) = பி ((வ: எக்ஸ்(வ)< எக்ஸ்}), -¥ < எக்ஸ் <¥,
R. நிகழ்தகவுகள் மற்றும் ஒரு சீரற்ற மாறியின் விநியோக செயல்பாடு என்று அழைக்கப்படுகின்றன எக்ஸ்.

விநியோக செயல்பாடு எஃப்எந்த சீரற்ற மாறிக்கும் பண்புகள் உள்ளன

1. எஃப்(எக்ஸ்) குறையாது,

2. எஃப்(- ¥) = 0, எஃப்(¥) = 1,

3. எஃப்(எக்ஸ்) ஒவ்வொரு புள்ளியிலும் இடதுபுறத்தில் தொடர்கிறது எக்ஸ்.

சில நேரங்களில், விநியோக செயல்பாட்டின் வரையறையில், சமத்துவமின்மை< заменяется неравенством £; в этом случае функция распределения является непрерывной справа. В содержательных утверждениях теории вероятностей не важно, непрерывна функция распределения слева или справа, важны лишь положения ее точек разрыва எக்ஸ்(ஏதேனும் இருந்தால்) மற்றும் அதிகரிப்புகள் எஃப்(எக்ஸ்+0) - எஃப்(எக்ஸ்-0) இந்த புள்ளிகளில்; என்றால் எஃப் எக்ஸ், இந்த அதிகரிப்பு P ( எக்ஸ் = எக்ஸ்).

எந்த செயல்பாடும் எஃப்பண்புகளுடன் 1. - 3. பரவல் செயல்பாடு எனப்படும். விநியோகங்களுக்கு இடையிலான கடிதப் பரிமாற்றம் ( ஆர், Ɓ ) மற்றும் விநியோக செயல்பாடுகள் ஒன்றுக்கு ஒன்று. எந்த ஆர். பிஅன்று ( ஆர், Ɓ ) அதன் விநியோக செயல்பாடு சமத்துவத்தால் தீர்மானிக்கப்படுகிறது எஃப்(எக்ஸ்) = பி((-¥, எக்ஸ்)), -¥ < எக்ஸ் <¥, а для любой функции распределения எஃப்அவளுடன் தொடர்புடைய ஆர். பிசெயல்பாடு எஃப் 1 (எக்ஸ்) 0 முதல் 1 வரை நேர்கோட்டில் அதிகரிக்கிறது. செயல்பாட்டை உருவாக்க எஃப் 2 (எக்ஸ்) பிரிவு ஒரு பிரிவு, ஒரு இடைவெளி (1/3, 2/3) மற்றும் ஒரு பிரிவு என பிரிக்கப்பட்டுள்ளது. செயல்பாடு எஃப் 2 (எக்ஸ்) இடைவெளியில் (1/3, 2/3) 1/2 க்கு சமம் மற்றும் நேரியல் முறையில் 0 முதல் 1/2 வரை மற்றும் 1/2 முதல் 1 வரை இடைவெளிகளில் மற்றும் முறையே அதிகரிக்கிறது. இந்த செயல்முறை தொடர்கிறது மற்றும் செயல்பாடு எஃப் என்செயல்பாட்டின் பின்வரும் மாற்றத்தால் +1 பெறப்படுகிறது எஃப் என், n³ 2. செயல்பாடு இருக்கும் இடைவெளியில் எஃப் என்(எக்ஸ்) நிலையானது, எஃப் என் +1 (எக்ஸ்) போட்டிகளில் எஃப் என்(எக்ஸ்) செயல்படும் ஒவ்வொரு பிரிவும் எஃப் என்(எக்ஸ்) இருந்து நேர்கோட்டில் அதிகரிக்கிறது அமுன்பு b, ஒரு பிரிவு, ஒரு இடைவெளி (a + (a - b) / 3, a + 2 (b - a) / 3) மற்றும் ஒரு பிரிவு என பிரிக்கப்பட்டுள்ளது. குறிப்பிட்ட இடைவெளியில் எஃப் என் +1 (எக்ஸ்) சமம் ( அ + b) / 2, மற்றும் சுட்டிக்காட்டப்பட்ட இடைவெளிகளில் எஃப் என் +1 (எக்ஸ்) இருந்து நேர்கோட்டில் அதிகரிக்கிறது அமுன் ( அ + b) / 2 மற்றும் இருந்து ( அ + b) / 2 முதல் bமுறையே. ஒவ்வொரு 0 £க்கும் எக்ஸ்£ 1 வரிசை எஃப் என்(எக்ஸ்), n= 1, 2, ..., சில எண்ணுடன் ஒன்றிணைகிறது எஃப்(எக்ஸ்) விநியோக செயல்பாடுகளின் வரிசை எஃப் என், n= 1, 2, ..., சமநிலையானது; எனவே, கட்டுப்படுத்தும் விநியோக செயல்பாடு எஃப்(எக்ஸ்) தொடர்ச்சியாக உள்ளது. இந்தச் சார்பு கணக்கிடக்கூடிய இடைவெளிகளின் தொகுப்பில் நிலையானது (வெவ்வேறு இடைவெளிகளில் செயல்பாட்டின் மதிப்புகள் வேறுபட்டவை), அதில் வளர்ச்சிப் புள்ளிகள் இல்லை, மேலும் இந்த இடைவெளிகளின் மொத்த நீளம் 1. எனவே, லெபெஸ்கு அளவீடு சப் அமைக்கவும் எஃப்பூஜ்ஜியத்திற்கு சமம், அதாவது எஃப்ஒருமை.

ஒவ்வொரு விநியோகச் செயல்பாட்டையும் இவ்வாறு குறிப்பிடலாம்

எஃப்(எக்ஸ்) = பஏசி எஃப்ஏசி ( எக்ஸ்) + பஈ எஃப்ஈ ( எக்ஸ்) + பகள் எஃப்கள் ( எக்ஸ்),
எங்கே எஃப்ஏசி, எஃப் d மற்றும் எஃப்கள் முற்றிலும் தொடர்ச்சியான, தனித்துவமான மற்றும் ஒருமைப் பகிர்வு செயல்பாடுகள் மற்றும் எதிர்மறை எண்களின் கூட்டுத்தொகை பஏசி, ப d மற்றும் p s ஒன்றுக்கு சமம். இந்த பிரதிநிதித்துவம் Lebesgue விரிவாக்கம் மற்றும் செயல்பாடுகள் என்று அழைக்கப்படுகிறது எஃப்ஏசி, எஃப் d மற்றும் எஃப் s - சிதைவு கூறுகள்.

ஒரு விநியோக செயல்பாடு சமச்சீர் என்றால் என்று அழைக்கப்படுகிறது எஃப்(-எக்ஸ்) = 1 - எஃப்(எக்ஸ்+ 0) க்கு
எக்ஸ்> 0. ஒரு சமச்சீர் பரவல் சார்பு முற்றிலும் தொடர்ச்சியாக இருந்தால், அதன் அடர்த்தி சமச் சார்பு ஆகும். ஒரு சீரற்ற மாறி என்றால் எக்ஸ்ஒரு சமச்சீர் விநியோகம் உள்ளது, பின்னர் சீரற்ற மாறிகள் எக்ஸ்மற்றும் - எக்ஸ்சமமாக விநியோகிக்கப்படுகிறது. சமச்சீர் விநியோக செயல்பாடு என்றால் எஃப்(எக்ஸ்) பூஜ்ஜியத்தில் தொடர்ந்து இருக்கும் எஃப்(0) = 1/2.

நிகழ்தகவு முற்றிலும் தொடர்ச்சியான R. கோட்பாட்டில் அடிக்கடி பயன்படுத்தப்படும் மத்தியில் - சீரான R., சாதாரண R. (R. காஸ்), அதிவேக R. மற்றும் R. Cauchy.

R. இடைவெளியில் சீரானதாக அழைக்கப்படுகிறது ( அ, b) (அல்லது பிரிவில் [ அ, b], அல்லது இடையில் [ அ, b) மற்றும் ( அ, b]), அதன் அடர்த்தி நிலையானதாக இருந்தால் (மற்றும் 1 / (க்கு சமம்) b - அ)) அன்று ( அ, b) மற்றும் வெளியே பூஜ்ஜியத்திற்கு சமம் ( அ, b) (0, 1) மீது அடிக்கடி பயன்படுத்தப்படும் சீரான R., அதன் விநியோக செயல்பாடு எஃப்(எக்ஸ்) என்பது பூஜ்ஜியத்திற்கு சமம் எக்ஸ்£ 0, ஒன்றுக்கு சமம் எக்ஸ்> 1 மற்றும் எஃப்(எக்ஸ்) = எக்ஸ் 0 இல்< எக்ஸ்£ 1. சீரான R. இல் (0, 1) ஒரு சீரற்ற மாறி உள்ளது எக்ஸ்(w) = w நிகழ்தகவு இடைவெளியில் (0, 1), இந்த இடைவெளியின் போரல் துணைக்குழுக்களின் தொகுப்பு மற்றும் Lebesgue அளவீடு. இந்த நிகழ்தகவு இடைவெளியானது "இடைவெளியில் (0, 1) சீரற்ற முறையில் w புள்ளியை வீசுதல்" என்ற சோதனைக்கு ஒத்திருக்கிறது, அங்கு "சீரற்ற நேரத்தில்" என்ற வார்த்தையானது (0, 1) அனைத்து புள்ளிகளின் சமத்துவத்தை ("சம வாய்ப்பு") குறிக்கிறது. நிகழ்தகவு இடத்தில் இருந்தால் (W, Ƒ , பி) ஒரு சீரற்ற மாறி உள்ளது எக்ஸ்(0, 1) இல் சீரான P. உடன், எந்த விநியோகச் செயல்பாட்டிற்கும் அதன் மீது எஃப்ஒரு சீரற்ற மாறி உள்ளது ஒய், விநியோக செயல்பாடு எஃப் ஒய்உடன் ஒத்துப்போகிறது எஃப்... எடுத்துக்காட்டாக, ஒரு சீரற்ற மாறியின் பரவல் செயல்பாடு ஒய் = எஃப் -1 (எக்ஸ்) போட்டிகளில் எஃப்... இங்கே எஃப் -1 (ஒய்) = inf ( எக்ஸ்: எஃப்(எக்ஸ்) > ஒய்}, 0 < ஒய் < 1; если функция எஃப்(எக்ஸ்) முழு உண்மையான வரியில் தொடர்ச்சியான மற்றும் கண்டிப்பாக மோனோடோன் ஆகும் எஃப்-1 - செயல்பாடு தலைகீழ் எஃப்.

அளவுருக்கள் கொண்ட இயல்பான R. ( அ, s 2), - ¥< அ < ¥, s 2 >0, அடர்த்தி கொண்ட P. என்று அழைக்கப்படுகிறது, - ¥< எக்ஸ் < ¥. Чаще всего используется нормальное Р. с параметрами அ= 0 மற்றும் s 2 = 1, இது நிலையான சாதாரண P., அதன் விநியோக செயல்பாடு F ( எக்ஸ்) அடிப்படை செயல்பாடுகளின் சூப்பர்போசிஷனின் அடிப்படையில் வெளிப்படுத்தப்படவில்லை மற்றும் அதன் ஒருங்கிணைந்த பிரதிநிதித்துவம் F ( எக்ஸ்) =, -¥ < எக்ஸ் < ¥. Для фунции распределения F(எக்ஸ்) நவீனத்திற்கு முன் தேவையான விரிவான அட்டவணைகள் தொகுக்கப்பட்டன கணினி பொறியியல்(F செயல்பாட்டின் மதிப்புகள் ( எக்ஸ்) சிறப்பு அட்டவணைகளைப் பயன்படுத்தி பெறலாம். செயல்பாடுகள் erf ( எக்ஸ்)), F இன் மதிப்புகள் ( எக்ஸ்) க்கான எக்ஸ்> 0 தொடரின் கூட்டுத்தொகையைப் பயன்படுத்தி பெறலாம்

,
மற்றும் க்கான எக்ஸ் < 0 можно воспользоваться симметричностью F(எக்ஸ்) அளவுருக்கள் கொண்ட சாதாரண விநியோக செயல்பாட்டின் மதிப்புகள் அமற்றும் s 2 ஆனது F ((( எக்ஸ் - அ) / கள்). என்றால் எக்ஸ் 1 மற்றும் எக்ஸ் 2 சுயாதீனமானது பொதுவாக அளவுருக்களுடன் விநியோகிக்கப்படுகிறது அ 1, கள் 1 2 மற்றும் அ 2, s 2 2 என்பது சீரற்ற மாறிகள், பின்னர் அவற்றின் கூட்டுத்தொகையின் பரவல் எக்ஸ் 1 + எக்ஸ் 2 அளவுருக்களுடன் சரி அ= அ 1 + அ 2 மற்றும் s 2 = s 1 2 + s 2 2. கூற்றும் உண்மை, ஒரு வகையில், எதிர்: சீரற்ற மாறி என்றால் எக்ஸ்பொதுவாக அளவுருக்களுடன் விநியோகிக்கப்படுகிறது அமற்றும் கள் 2 மற்றும்
என். எஸ் = எக்ஸ் 1 + எக்ஸ் 2, எங்கே எக்ஸ் 1 மற்றும் எக்ஸ் 2 என்பது மாறிலிகளைத் தவிர வேறு சுயாதீனமான சீரற்ற மாறிகள் எக்ஸ் 1 மற்றும் எக்ஸ் 2 சாதாரண விநியோகங்களைக் கொண்டுள்ளது (கிராமர் தேற்றம்). விருப்பங்கள் அ 1, கள் 1 2 மற்றும் அசாதாரண சீரற்ற மாறிகளின் 2, s 2 2 விநியோகங்கள் எக்ஸ் 1 மற்றும் எக்ஸ் 2 தொடர்புடையது அமற்றும் மேலே உள்ள 2 சமத்துவங்கள். நிலையான இயல்பான விநியோகம் என்பது மத்திய வரம்பு தேற்றத்தில் உள்ள வரம்பு ஆகும்.

அதிவேக R. என்பது அடர்த்தி கொண்ட ஒரு பரவலாகும் ப(எக்ஸ்) = 0 எக்ஸ் < 0 и ப(எக்ஸ்) = எல் இ- எல் எக்ஸ்மணிக்கு எக்ஸ்³ 0, இதில் l> 0 என்பது ஒரு அளவுரு, அதன் விநியோக செயல்பாடு எஃப்(எக்ஸ்) = 0 எக்ஸ்£ 0 மற்றும் எஃப்(எக்ஸ்) = 1 - இ- எல் எக்ஸ்மணிக்கு எக்ஸ்> 0 (சில நேரங்களில் அதிவேக R. பயன்படுத்தப்படுகிறது, இது உண்மையான அச்சில் ஒரு மாற்றத்தால் சுட்டிக்காட்டப்பட்ட ஒன்றிலிருந்து வேறுபடுகிறது). இந்த R. இல் பின்விளைவு இல்லாதது எனப்படும் ஒரு பண்பு உள்ளது: என்றால் எக்ஸ்அதிவேக R. உடன் சீரற்ற மாறி, பின்னர் எந்த நேர்மறைக்கும் எக்ஸ்மற்றும் டி

பி ( எக்ஸ் > எக்ஸ் + டி | எக்ஸ் > எக்ஸ்) = பி ( எக்ஸ் > டி).
என்றால் எக்ஸ்ஒரு குறிப்பிட்ட சாதனம் செயலிழக்கும் வரை செயல்படும் நேரமாகும், பின் விளைவு இல்லாதது என்பது 0 நேரத்தில் சாதனம் இயக்கப்பட்டிருக்கும் நிகழ்தகவு கணம் வரை தோல்வியடையாது என்பதாகும். எக்ஸ் + டிஅவர் கணம் வரை மறுக்கவில்லை என்று வழங்கினார் எக்ஸ், சார்ந்து இல்லை எக்ஸ்... இந்த சொத்து "வயதான" இல்லாததாக விளக்கப்படுகிறது. பின்விளைவு இல்லாதது அதிவேக R இன் சிறப்பியல்பு பண்பு: முற்றிலும் தொடர்ச்சியான விநியோகங்களின் வகுப்பில், மேலே உள்ள சமத்துவமானது அதிவேக R க்கு மட்டுமே செல்லுபடியாகும் (சில அளவுரு l> 0 உடன்). அதிவேக R. குறைந்தபட்ச திட்டத்தில் R. ஐக் கட்டுப்படுத்துகிறது. இருக்கட்டும் எக்ஸ் 1 , எக்ஸ் 2... எஃப்புள்ளி 0 என்பது வளர்ச்சியின் புள்ளி. பின்னர் மணிக்கு n® ¥ சீரற்ற மாறிகளின் விநியோகங்கள் ஒய்n= நிமிடம் ( எக்ஸ் 1 ,…, எக்ஸ் என்) ஒரு ஒற்றை வளர்ச்சி புள்ளி 0 உடன் சீரழிந்த விநியோகத்திற்கு பலவீனமாக ஒன்றிணைகிறது (இது பெரிய எண்களின் விதியின் அனலாக் ஆகும்). சில e> 0 விநியோகச் செயல்பாடு என்று நாம் கூடுதலாகக் கருதினால் எஃப்(எக்ஸ்) இடைவெளியில் (0, e) ஒரு பிரதிநிதித்துவத்தை ஒப்புக்கொள்கிறது மற்றும் ப(u) ®l க்கு u¯ 0, பின்னர் சீரற்ற மாறிகள் Z இன் விநியோக செயல்பாடுகள் n = n நிமிடம் ( எக்ஸ் 1 ,…, எக்ஸ் என்) மணிக்கு n® ¥ ஒரே சீராக - ¥< எக்ஸ் < ¥ сходятся к экспоненциальной функции распределения с параметром l (это - аналог центральной предельной теоремы).

R. Cauchy அடர்த்தியுடன் R. என்று அழைக்கப்படுகிறது ப(எக்ஸ்) = 1 / (p (1 + எக்ஸ் 2)), - ¥< எக்ஸ் < ¥, его функция рас-пределения எஃப்(எக்ஸ்) = (arctg எக்ஸ்+ ப / 2) / ப. இந்த ஆர். 1832 இல் பாய்சனின் படைப்பில் பின்வரும் சிக்கலின் தீர்வு தொடர்பாக தோன்றியது: சுயாதீனமான ஒரே மாதிரியான சீரற்ற மாறிகள் உள்ளனவா எக்ஸ் 1 , எக்ஸ் 2, ... எண்கணிதம் என்றால் ( எக்ஸ் 1 + … + எக்ஸ் என்)/nஒவ்வொரு முறை nசீரற்ற மாறிகள் ஒவ்வொன்றின் அதே R எக்ஸ் 1 , எக்ஸ் 2, ...? சுட்டிக்காட்டப்பட்ட அடர்த்தி கொண்ட சீரற்ற மாறிகள் இந்தப் பண்புகளைக் கொண்டுள்ளன என்பதை எஸ்.பாய்சன் கண்டுபிடித்தார். இந்த சீரற்ற மாறிகளுக்கு, பெரிய எண்களின் விதியின் அறிக்கை திருப்தி அடையவில்லை, இதில் எண்கணிதம் பொருள் ( எக்ஸ் 1 +…+ எக்ஸ் என்)/nவளர்ச்சியுடன் nசீரழியும். இருப்பினும், இது பெரிய எண்களின் சட்டத்திற்கு முரணாக இல்லை, ஏனெனில் இது குறிப்பிட்ட விநியோகத்திற்கு திருப்தியடையாத ஆரம்ப சீரற்ற மாறிகளின் விநியோகங்களுக்கு கட்டுப்பாடுகளை விதிக்கிறது (இந்த விநியோகத்திற்கு, அனைத்து நேர்மறை ஆர்டர்களின் முழுமையான தருணங்கள் ஒன்றுக்கு குறைவாக உள்ளன, ஆனால் கணித எதிர்பார்ப்பு இல்லை) ... ஓ. கோஷியின் படைப்புகளில், ஆர்., அவரது பெயரைத் தாங்கி, 1853 இல் தோன்றினார். ஆர். கௌச்சி தொடர்புடையவர் எக்ஸ்/ஒய்நிலையான சாதாரண R உடன் சுயாதீன சீரற்ற மாறிகள்.

நிகழ்தகவு தனித்தன்மை கோட்பாட்டில் அடிக்கடி பயன்படுத்தப்படும் மத்தியில் R. - R. பெர்னௌல்லி, பைனோமியல் ஆர். மற்றும் ஆர்.

R. பெர்னௌலி என்பது இரண்டு வளர்ச்சிப் புள்ளிகளைக் கொண்ட எந்தப் பரவலும் ஆகும். சீரற்ற மாறியின் மிகவும் பொதுவாகப் பயன்படுத்தப்படும் ஆர் எக்ஸ்நிகழ்தகவுகளுடன் 0 மற்றும் 1 மதிப்புகளை எடுத்துக்கொள்வது
கே = 1 - பமற்றும் பமுறையே, எங்கே 0< ப < 1 - параметр. Первые формы закона больших чисел и центральной предельной теоремы были получены для случайных величин, имею-щих Р. Бернулли. Если на вероятностном пространстве (W, Ƒ , பி) ஒரு வரிசை உள்ளது எக்ஸ் 1 , எக்ஸ் 2, ... நிகழ்தகவுகள் ஒவ்வொன்றும் 1/2 உடன் 0 மற்றும் 1 மதிப்புகளை எடுக்கும் சுயாதீன சீரற்ற மாறிகள், பின்னர் இந்த நிகழ்தகவு இடத்தில் சீரான R. இல் (0, 1) ஒரு சீரற்ற மாறி உள்ளது. குறிப்பாக, சீரற்ற மாறி (0, 1) இல் சீரான விநியோகத்தைக் கொண்டுள்ளது.

அளவுருக்கள் கொண்ட பைனோமியல் ஆர் nமற்றும் ப, n- இயற்கை, 0< ப < 1, называется Р., с точками роста 0, 1,..., nஅங்கு நிகழ்தகவுகள் குவிந்துள்ளன C n k p k q n-கே, கே = 0, 1,…, n,
கே = 1 - ப... இது R. தொகை nவளர்ச்சி புள்ளிகள் 0 மற்றும் 1 உடன் R. பெர்னௌல்லியுடன் சுயாதீன சீரற்ற மாறிகள், இதில் நிகழ்தகவுகள் குவிந்துள்ளன கேமற்றும் ப... இந்த விநியோகம் பற்றிய ஆய்வு ஜே. பெர்னௌலியை பெரிய எண்களின் விதியைக் கண்டுபிடிப்பதற்கும், ஏ. மொய்வ்ரே மத்திய வரம்பு தேற்றத்தைக் கண்டுபிடிப்பதற்கும் வழிவகுத்தது.

ஒரு பாய்சன் ஆர் கே இ- l / கே!, கே= 0, 1,..., இங்கு l> 0 என்பது ஒரு அளவுரு. R. பாய்சன் கொண்ட இரண்டு சார்பற்ற சீரற்ற மாறிகளின் கூட்டுத்தொகை L மற்றும் m அளவுருக்கள் கொண்ட R. Poisson உடன் அளவுரு l + m. R. Poisson என்பது அளவுருக்கள் கொண்ட R. பெர்னூலிக்கான வரம்பு nமற்றும் ப = ப(n) மணிக்கு n® ¥ என்றால் nமற்றும் பவிகிதத்துடன் தொடர்புடையது np®l க்கு n® ¥ (பாய்சன் தேற்றம்). வரிசை 0 என்றால்< டி 1 < டி 2 < டி 3 <… есть последовательность моментов времени, в которые происходят некоторые события (так. наз поток событий) и величины டி 1 , டி 2 -டி 1 , டி 3 - டி 2, ... சுயாதீனமாக ஒரே மாதிரியாக விநியோகிக்கப்படும் சீரற்ற மாறிகள் மற்றும் அவற்றின் பொதுவான P. அளவுரு l> 0 உடன் அதிவேகமாகும், பின்னர் சீரற்ற மாறி எக்ஸ் டிஇடைவெளியில் நிகழும் நிகழ்வுகளின் எண்ணிக்கைக்கு சமம் (0, டி), அளவுரு l உடன் R. Poisson உள்ளது டி(அத்தகைய ஓட்டம் பாய்சன் என்று அழைக்கப்படுகிறது).

R. இன் கருத்து பல பொதுமைப்படுத்தல்களைக் கொண்டுள்ளது; குறிப்பாக, இது பல பரிமாண வழக்குகள் மற்றும் இயற்கணித கட்டமைப்புகள் வரை நீண்டுள்ளது.

பைனோமியல் விநியோகம் என்பது தனித்தனியாக மாறுபடும் சீரற்ற மாறியின் மிக முக்கியமான நிகழ்தகவு விநியோகங்களில் ஒன்றாகும். ஈருறுப்புப் பரவல் என்பது எண்ணின் நிகழ்தகவுப் பரவலாகும் மீநிகழ்வின் நிகழ்வு ஏ v nபரஸ்பர சுதந்திரமான அவதானிப்புகள்... அடிக்கடி நிகழ்வு ஏகவனிப்பின் "வெற்றி" என்றும், எதிர் நிகழ்வு "தோல்வி" என்றும் அழைக்கப்படுகிறது, ஆனால் இந்த பதவி மிகவும் நிபந்தனைக்குட்பட்டது.

இருபக்க விநியோக நிலைமைகள்:

• மொத்தம் nசோதனைகள் இதில் நிகழ்வு ஏநிகழலாம் அல்லது ஏற்படாமல் போகலாம்;
• நிகழ்வு ஏசோதனைகள் ஒவ்வொன்றிலும் ஒரே நிகழ்தகவுடன் நிகழலாம் ப;
• சோதனைகள் பரஸ்பரம் சுயாதீனமானவை.

உள்ள நிகழ்தகவு nசோதனை நிகழ்வு ஏசரியாக வரும் மீபெர்னோலி சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்தி நேரங்களைக் கணக்கிடலாம்:

,

எங்கே ப- நிகழ்வின் நிகழ்தகவு ஏ;

கே = 1 - ப- எதிர் நிகழ்வு நிகழும் வாய்ப்பு.

அதை கண்டுபிடிக்கலாம் ஏன் பெர்னௌல்லி சூத்திரத்துடன் தொடர்புடையது மேலே விவரிக்கப்பட்ட முறையில் இருபக்கப் பரவல் ... நிகழ்வு - வெற்றிகளின் எண்ணிக்கை nசோதனைகள் பல விருப்பங்களாக உடைகின்றன, ஒவ்வொன்றிலும் வெற்றி அடையப்படுகிறது மீசோதனைகள் மற்றும் தோல்வி - இல் n - மீசோதனைகள். அத்தகைய விருப்பங்களில் ஒன்றைக் கவனியுங்கள் - பி1 ... நிகழ்தகவுகளின் கூட்டல் விதியைப் பயன்படுத்தி, எதிர் நிகழ்வுகளின் நிகழ்தகவுகளைப் பெருக்குகிறோம்:

,

மற்றும் நாம் குறிப்பிட்டால் கே = 1 - ப, பிறகு

.

வேறு எந்த விருப்பமும் அதே நிகழ்தகவைக் கொண்டிருக்கும் மீவெற்றி மற்றும் n - மீதோல்விகள். அத்தகைய விருப்பங்களின் எண்ணிக்கை, அது சாத்தியமான வழிகளின் எண்ணிக்கைக்கு சமம் nசோதனை கிடைக்கும் மீவெற்றி.

எல்லாவற்றின் நிகழ்தகவுகளின் கூட்டுத்தொகை மீநிகழ்வு எண்கள் ஏ(0 முதல் எண்கள் n) ஒன்றுக்கு சமம்:

ஒவ்வொரு காலமும் நியூட்டனின் இருபக்கத்தில் ஒரு சொல்லாகும். எனவே, பரிசீலிக்கப்பட்ட விநியோகம் ஈருறுப்பு விநியோகம் என்று அழைக்கப்படுகிறது.

நடைமுறையில், நிகழ்தகவுகளை கணக்கிடுவது பெரும்பாலும் அவசியம் "அதற்கு மேல் இல்லை மீவெற்றிகள் nசோதனைகள் "அல்லது" குறைந்தது மீவெற்றிகள் nசோதனைகள். "இதற்கு, பின்வரும் சூத்திரங்கள் பயன்படுத்தப்படுகின்றன.

ஒருங்கிணைந்த செயல்பாடு, அதாவது நிகழ்தகவு எஃப்(மீ) எதில் nகண்காணிப்பு நிகழ்வு ஏஇனி இருக்காது மீஒருமுறை, சூத்திரத்தால் கணக்கிடலாம்:

இதையொட்டி நிகழ்தகவு எஃப்(≥மீ) எதில் nகண்காணிப்பு நிகழ்வு ஏகுறைந்தபட்சம் வரும் மீஒருமுறை, சூத்திரத்தால் கணக்கிடப்படுகிறது:

சில நேரங்களில் நிகழ்தகவைக் கணக்கிடுவது மிகவும் வசதியானது nகண்காணிப்பு நிகழ்வு ஏஇனி இருக்காது மீநேரங்கள், எதிர் நிகழ்வின் நிகழ்தகவு மூலம்:

.

எந்தச் சூத்திரங்களைப் பயன்படுத்துவது என்பது அவற்றில் எந்தத் தொகையில் குறைவான சொற்கள் உள்ளன என்பதைப் பொறுத்தது.

பைனோமியல் விநியோகத்தின் பண்புகள் பின்வரும் சூத்திரங்களால் கணக்கிடப்படுகின்றன .

எதிர்பார்க்கப்படும் மதிப்பு: .

சிதறல்:.

நிலையான விலகல்:.

MS Excel இல் பைனோமியல் விநியோகம் மற்றும் கணக்கீடுகள்

ஈருறுப்புப் பரவல் நிகழ்தகவு பி n ( மீ) மற்றும் ஒருங்கிணைந்த செயல்பாட்டின் மதிப்புகள் எஃப்(மீ) MS Excel செயல்பாடு BINOM.DIST ஐப் பயன்படுத்தி கணக்கிடலாம். தொடர்புடைய கணக்கீட்டிற்கான சாளரம் கீழே காட்டப்பட்டுள்ளது (பெரிதாக்க, இடது சுட்டி பொத்தானைக் கிளிக் செய்யவும்).

MS Excel க்கு பின்வரும் தரவு உள்ளிடப்பட வேண்டும்:

• வெற்றிகளின் எண்ணிக்கை;
• சோதனைகளின் எண்ணிக்கை;
• வெற்றி வாய்ப்பு;
• integral - boolean மதிப்பு: 0 - நீங்கள் நிகழ்தகவைக் கணக்கிட வேண்டும் என்றால் பி n ( மீ) மற்றும் 1 - நிகழ்தகவு என்றால் எஃப்(மீ).

எடுத்துக்காட்டு 1.கடந்த 100 நாட்களில் விற்பனை செய்யப்பட்ட கேமராக்களின் எண்ணிக்கை குறித்த தகவலை நிறுவனத்தின் மேலாளர் தொகுத்து வழங்கினார். அட்டவணை தகவலைச் சுருக்கி, ஒரு நாளைக்கு ஒரு குறிப்பிட்ட எண்ணிக்கையிலான கேமராக்கள் விற்கப்படும் நிகழ்தகவுகளைக் கணக்கிடுகிறது.

13 அல்லது அதற்கு மேற்பட்ட கேமராக்கள் விற்கப்பட்டால் ஒரு நாள் லாபத்துடன் முடிகிறது. நாள் லாபத்துடன் செயல்படும் நிகழ்தகவு:

நாள் லாபம் இல்லாமல் வேலை செய்யும் நிகழ்தகவு:

நாள் லாபகரமாக வேலை செய்வதற்கான நிகழ்தகவு நிலையானது மற்றும் 0.61 க்கு சமமாக இருக்கட்டும், மேலும் ஒரு நாளைக்கு விற்கப்படும் கேமராக்களின் எண்ணிக்கை அந்த நாளைப் பொறுத்தது அல்ல. பின்னர் நீங்கள் ஈருறுப்பு விநியோகத்தைப் பயன்படுத்தலாம், அங்கு நிகழ்வு ஏ- நாள் லாபத்துடன் செயல்படும், - லாபம் இல்லாமல்.

6 நாட்களில் அனைத்தும் லாபத்துடன் செயல்படும் நிகழ்தகவு:

.

MS Excel செயல்பாடு BINOM.DIST ஐப் பயன்படுத்தி அதே முடிவைப் பெறுகிறோம் (ஒருங்கிணைந்த மதிப்பின் மதிப்பு 0):

பி 6 (6 ) = BINOM.DIST (6; 6; 0.61; 0) = 0.052.

6 நாட்களில் 4 அல்லது அதற்கு மேற்பட்ட நாட்கள் லாபத்துடன் வேலை செய்யும் நிகழ்தகவு:

எங்கே ,

,

MS Excel செயல்பாடு BINOM.DIST ஐப் பயன்படுத்தி, 6 நாட்களில், 3 நாட்களுக்கு மேல் லாபத்துடன் முடிவடையாத நிகழ்தகவைக் கணக்கிடுகிறோம் (ஒருங்கிணைந்த மதிப்பின் மதிப்பு 1):

பி 6 (≤3 ) = BINOM.DIST (3; 6; 0.61; 1) = 0.435.

6 நாட்களில் அனைத்தும் இழப்புகளுடன் வேலை செய்யும் நிகழ்தகவு:

,

MS Excel BINOM.DIST செயல்பாட்டைப் பயன்படுத்தி அதே குறிகாட்டியைக் கணக்கிடுகிறோம்:

பி 6 (0 ) = BINOM.DIST (0; 6; 0.61; 0) = 0.0035.

சிக்கலை நீங்களே தீர்க்கவும், பின்னர் தீர்வு காணவும்

உதாரணம் 2.கலசத்தில் 2 வெள்ளை பந்துகள் மற்றும் 3 கருப்பு நிறங்கள் உள்ளன. கலசத்திலிருந்து பந்தை வெளியே எடுத்து, வண்ணத்தை அமைத்து மீண்டும் வைக்கவும். முயற்சி 5 முறை மீண்டும் மீண்டும் செய்யப்படுகிறது. தோன்றும் வெள்ளைப் பந்துகளின் எண்ணிக்கை தனித்த சீரற்ற மாறியாகும் எக்ஸ்பினாமி சட்டத்தின் படி விநியோகிக்கப்படுகிறது. சீரற்ற மாறியின் விநியோக விதியை வரையவும். ஃபேஷன், கணித எதிர்பார்ப்பு மற்றும் மாறுபாட்டைத் தீர்மானிக்கவும்.

நாங்கள் தொடர்ந்து பிரச்சினைகளை ஒன்றாக தீர்க்கிறோம்

எடுத்துக்காட்டு 3.இருந்து கூரியர் சேவைபொருள்களுக்குச் சென்றது n= 5 கூரியர்கள். ஒவ்வொரு கூரியருக்கும் ஒரு நிகழ்தகவு உள்ளது ப= 0.3, மற்றவர்களைப் பொருட்படுத்தாமல், பொருளுக்கு தாமதமாகிறது. தனித்த சீரற்ற மாறி எக்ஸ்- தாமதமான கூரியர்களின் எண்ணிக்கை. இந்த சீரற்ற மாறியின் விநியோகத் தொடரை உருவாக்கவும். அதன் கணித எதிர்பார்ப்பு, மாறுபாடு, நிலையான விலகல் ஆகியவற்றைக் கண்டறியவும். பொருள்களுக்கு குறைந்தது இரண்டு கூரியர்கள் தாமதமாக வருவதற்கான நிகழ்தகவைக் கண்டறியவும்.

கவர்ச்சியான பெயர்கள் இருந்தபோதிலும், பொதுவான விநியோகங்கள் மிகவும் உள்ளுணர்வு மற்றும் சுவாரஸ்யமான வழிகளில் ஒன்றோடொன்று தொடர்புடையவை, அவை நினைவில் வைத்துக்கொள்ளவும் நம்பிக்கையுடன் சிந்திக்கவும் உதவுகின்றன. சிலர் இயற்கையாகவே, எடுத்துக்காட்டாக, பெர்னோலி விநியோகத்திலிருந்து பின்பற்றுகிறார்கள். இந்த இணைப்புகளின் வரைபடத்தைக் காண்பிக்கும் நேரம்.

ஒவ்வொரு விநியோகமும் அதன் விநியோக அடர்த்தி செயல்பாட்டின் (PDF) எடுத்துக்காட்டு மூலம் விளக்கப்படுகிறது. இந்த கட்டுரை முடிவுகள் ஒற்றை எண்களாக இருக்கும் விநியோகங்களைப் பற்றியது. எனவே, ஒவ்வொரு விளக்கப்படத்தின் கிடைமட்ட அச்சானது சாத்தியமான விளைவு எண்களின் தொகுப்பாகும். செங்குத்து - ஒவ்வொரு முடிவின் நிகழ்தகவு. சில விநியோகங்கள் தனித்தன்மை வாய்ந்தவை - அவற்றின் முடிவுகள் 0 அல்லது 5 போன்ற முழு எண்களாக இருக்க வேண்டும். இவை குறிக்கப்படுகின்றன அரிதான கோடுகள், ஒவ்வொரு முடிவுக்கும் ஒன்று, இந்த முடிவின் நிகழ்தகவுடன் தொடர்புடைய உயரம். சில தொடர்ச்சியானவை, அவற்றின் முடிவுகள் -1.32 அல்லது 0.005 போன்ற எந்த எண் மதிப்பையும் எடுக்கலாம். நிகழ்தகவுகளைக் கொடுக்கும் வளைவின் பிரிவுகளின் கீழ் உள்ள பகுதிகளைக் கொண்ட அடர்த்தியான வளைவுகளால் இவை காட்டப்படுகின்றன. வளைவுகளின் கீழ் உள்ள கோடுகள் மற்றும் பகுதிகளின் உயரங்களின் கூட்டுத்தொகை எப்போதும் 1 ஆகும்.

அச்சிட்டு, புள்ளியிடப்பட்ட கோட்டுடன் வெட்டி, உங்கள் பணப்பையில் உங்களுடன் எடுத்துச் செல்லுங்கள். விநியோக நாடு மற்றும் அவர்களின் உறவினர்களுக்கான உங்கள் வழிகாட்டி இது.

பெர்னோலி மற்றும் சீருடை

மேலே உள்ள பெர்னௌல்லி விநியோகத்தை நீங்கள் ஏற்கனவே சந்தித்திருக்கிறீர்கள், இரண்டு முடிவுகளுடன் - தலைகள் அல்லது வால்கள். இப்போது அதை 0 மற்றும் 1க்கு மேல் உள்ள விநியோகமாக கற்பனை செய்து பாருங்கள், 0 என்பது தலைகள், 1 என்பது வால்கள். இது ஏற்கனவே தெளிவாக இருப்பதால், இரண்டு விளைவுகளும் சமமாக சாத்தியமாகும், மேலும் இது வரைபடத்தில் பிரதிபலிக்கிறது. பெர்னௌல்லி SDF ஆனது சம உயரத்தின் இரண்டு கோடுகளைக் கொண்டுள்ளது, இது 2 சமமான சாத்தியமான விளைவுகளைக் குறிக்கிறது: முறையே 0 மற்றும் 1.

பெர்னௌல்லி விநியோகம் தவறான நாணயத்தைத் தூக்கி எறிவது போன்ற சீரற்ற விளைவுகளையும் குறிக்கும். பின்னர் தலைகளின் நிகழ்தகவு 0.5 ஆக இருக்காது, ஆனால் p இன் வேறு சில மதிப்பு, மற்றும் வால்களின் நிகழ்தகவு 1-p ஆக இருக்கும். பல விநியோகங்களைப் போலவே, இதுவும் மேலே உள்ள p போன்ற சில அளவுருக்கள் கொடுக்கப்பட்ட விநியோகங்களின் முழு குடும்பமாகும். "பெர்னோலி" என்று நீங்கள் நினைக்கும் போது, ​​"ஒரு (ஒருவேளை தவறான) நாணயத்தை தூக்கி எறிவது" என்று நினைக்கிறீர்கள்.

பல சமநிலையான விளைவுகளின் மேல் விநியோகத்தை வழங்குவதற்கான மிகச் சிறிய படி இது: ஒரு பிளாட் SDF ஆல் வகைப்படுத்தப்படும் சீரான விநியோகம். சரியான பகடையை கற்பனை செய்து பாருங்கள். அவரது முடிவுகள் 1-6 சமமாக இருக்கும். இது எந்த பல விளைவுகளுக்கும் குறிப்பிடப்படலாம் n, மற்றும் தொடர்ச்சியான விநியோகமாகவும் கூட.

சம விநியோகத்தை "சரியான பகடை" என்று நினைத்துப் பாருங்கள்.

பைனோமியல் மற்றும் ஹைபர்ஜியோமெட்ரிக்

பெர்னோலி விநியோகத்தைப் பின்தொடரும் விஷயங்களின் விளைவுகளின் கூட்டுத்தொகையாக இருமொழிப் பரவலைக் கருதலாம்.

நேர்மையான நாணயத்தை இரண்டு முறை எறியுங்கள் - எத்தனை முறை தலைகள் இருக்கும்? இது ஒரு பைனோமியல் விநியோக எண். அதன் அளவுருக்கள் n, சோதனைகளின் எண்ணிக்கை மற்றும் p என்பது "வெற்றியின்" நிகழ்தகவு (எங்கள் விஷயத்தில், தலைகள் அல்லது 1). ஒவ்வொரு ரோலும் பெர்னௌலி-விநியோகிக்கப்பட்ட விளைவு அல்லது சோதனை. ஒரு நாணயத்தை எறிவது போன்ற விஷயங்களில் வெற்றிகளின் எண்ணிக்கையை நீங்கள் எண்ணும் போது, ​​ஒவ்வொரு டாஸும் மற்றவற்றிலிருந்து சுயாதீனமாக இருக்கும் மற்றும் அதே வெற்றிக்கான நிகழ்தகவைக் கொண்டிருக்கும் போது, ​​இருநாம விநியோகத்தைப் பயன்படுத்தவும்.

அல்லது அதே எண்ணிக்கையிலான வெள்ளை மற்றும் கருப்பு பந்துகள் கொண்ட ஒரு கலசத்தை கற்பனை செய்து பாருங்கள். உங்கள் கண்களை மூடி, பந்தை வெளியே இழுத்து, அதன் நிறத்தை எழுதி, அதை மீண்டும் வைக்கவும். மீண்டும் செய்யவும். கருப்பு பந்து எத்தனை முறை வெளியே இழுக்கப்பட்டது? இந்த எண் இருவகைப் பரவலுக்கும் கீழ்ப்படிகிறது.

ஹைப்பர்ஜியோமெட்ரிக் விநியோகத்தின் பொருளைப் புரிந்துகொள்வதை எளிதாக்க இந்த விசித்திரமான சூழ்நிலையை நாங்கள் வழங்கினோம். இது அதே எண்ணின் விநியோகம், ஆனால் ஒரு சூழ்நிலையில் நாம் இருந்தால் இல்லைபந்துகளை திருப்பி அனுப்பினார். இது நிச்சயமாக பைனோமியல் விநியோகத்தின் உறவினர், ஆனால் அதே போல் இல்லை, ஏனெனில் ஒவ்வொரு பந்திலும் வெற்றியின் நிகழ்தகவு மாறுகிறது. இழுக்கும் எண்ணிக்கையுடன் ஒப்பிடும்போது பந்துகளின் எண்ணிக்கை போதுமானதாக இருந்தால், இந்த விநியோகங்கள் நடைமுறையில் ஒரே மாதிரியாக இருக்கும், ஏனெனில் ஒவ்வொரு இழுப்பிலும் வெற்றிக்கான வாய்ப்பு மிகக் குறைவாகவே மாறும்.

அவர்கள் திரும்ப வராமல் உருண்டைகளிலிருந்து பந்துகளை எடுப்பது பற்றி எங்காவது பேசும்போது, ​​"ஆம், ஹைப்பர்ஜியோமெட்ரிக் விநியோகம்" என்று திருகுவது எப்போதும் பாதுகாப்பானது, ஏனென்றால் என் வாழ்க்கையில் உருண்டைகளை உண்மையில் பந்துகளால் நிரப்பி வெளியே இழுத்து திரும்பிய யாரையும் நான் சந்தித்ததில்லை. , அல்லது நேர்மாறாகவும். ஊர்மக்களுடன் எனக்கு அறிமுகம் கூட இல்லை. இன்னும் அடிக்கடி, சில பொது மக்களின் குறிப்பிடத்தக்க துணைக்குழுவை மாதிரியாக தேர்ந்தெடுக்கும்போது இந்த விநியோகம் வெளிப்பட வேண்டும்.

தோராயமாக மொழிபெயர்

இது இங்கே மிகவும் தெளிவாக இருக்காது, மேலும் ஆரம்பநிலைக்கு ஒரு பயிற்சி மற்றும் எக்ஸ்பிரஸ் படிப்பு இருப்பதால், அது விளக்கப்பட வேண்டும். பொது மக்கள் தொகை என்பது நாம் புள்ளிவிவர ரீதியாக அளவிட விரும்பும் ஒன்று. ஒரு மதிப்பீட்டிற்கு, ஒரு குறிப்பிட்ட பகுதியை (துணைக்குழு) தேர்ந்தெடுத்து, அதன் மீது தேவையான மதிப்பீட்டை உருவாக்குகிறோம் (பின்னர் இந்த துணைக்குழு மாதிரி என்று அழைக்கப்படுகிறது), மதிப்பீடு முழு மக்களுக்கும் ஒரே மாதிரியாக இருக்கும் என்று கருதுகிறோம். ஆனால் இது உண்மையாக இருக்க, மாதிரியின் துணைக்குழுவின் வரையறையில் கூடுதல் கட்டுப்பாடுகள் அடிக்கடி தேவைப்படுகின்றன (அல்லது அதற்கு நேர்மாறாக, அறியப்பட்ட மாதிரியிலிருந்து, அது மக்கள்தொகையை போதுமான அளவு துல்லியமாக விவரிக்கிறதா என்பதை மதிப்பீடு செய்ய வேண்டும்).

ஒரு நடைமுறை உதாரணம் - E3 க்கு பயணிக்க 100 பேர் கொண்ட நிறுவனத்தின் பிரதிநிதிகளை நாம் தேர்ந்தெடுக்க வேண்டும். இதில் கடந்த ஆண்டு ஏற்கனவே 10 பேர் பயணம் செய்திருப்பது தெரிந்ததே (ஆனால் யாரும் ஒப்புக்கொள்ளவில்லை). குழுவில் குறைந்தபட்சம் ஒரு அனுபவமிக்க தோழராவது இருப்பதற்கான அதிக நிகழ்தகவு இருக்க, நீங்கள் எடுக்க வேண்டிய குறைந்தபட்சம் எவ்வளவு? இந்த வழக்கில், பொது மக்கள் தொகை 100, மாதிரி 10, மற்றும் மாதிரி தேவைகள் ஏற்கனவே E3 க்கு பயணம் செய்த ஒருவராவது.

விக்கிபீடியாவில் குறைவான வேடிக்கையான ஆனால் ஒரு தொகுப்பில் உள்ள குறைபாடுள்ள பாகங்கள் பற்றிய நடைமுறை உதாரணம் உள்ளது.

விஷம்

ஒவ்வொரு நிமிடமும் தொழில்நுட்ப ஆதரவு ஹாட்லைனை அழைக்கும் வாடிக்கையாளர்களின் எண்ணிக்கை என்ன? ஒவ்வொரு நொடியும் பெர்னௌலி சோதனையாகக் கணக்கிட்டால், முதல் பார்வையில் அதன் விநியோகம் பைனாமியாக இருக்கும் விளைவு இதுவாகும், இதன் போது வாடிக்கையாளர் (0) அல்லது அழைப்பு (1) ஐ அழைக்க மாட்டார். ஆனால் மின்சாரம் வழங்கும் அமைப்புகளுக்கு நன்றாகத் தெரியும்: மின்சாரம் அணைக்கப்படும்போது, ​​​​இரண்டு பேர் ஒரு நொடியில் அழைக்கலாம். அல்லது நூற்றுக்கும் மேல்மக்களின். இதை 60,000 மில்லி வினாடி சோதனைகளாகக் காட்டுவதும் உதவாது - அதிக சோதனைகள் உள்ளன, ஒரு மில்லி வினாடிக்கு அழைப்பின் நிகழ்தகவு குறைவாக உள்ளது, ஒரே நேரத்தில் இரண்டு அல்லது அதற்கு மேற்பட்டவை கணக்கில் எடுத்துக்கொள்ளப்படாவிட்டாலும், ஆனால், தொழில்நுட்ப ரீதியாக, இது இன்னும் இல்லை. பெர்னோலி சோதனை. ஆயினும்கூட, முடிவிலிக்கு மாற்றத்துடன் தர்க்கரீதியான பகுத்தறிவு வேலை செய்கிறது. n முடிவிலிக்கும், p - க்கு 0 ஆகவும், அதனால் np நிலையானதாகவும் இருக்கட்டும். இது அழைப்பின் குறைவான மற்றும் குறைவான நிகழ்தகவுடன் நேரத்தை சிறிய மற்றும் சிறிய பகுதிகளாகப் பிரிப்பது போன்றது. வரம்பில், நாம் பாய்சன் விநியோகத்தைப் பெறுகிறோம்.

பைனோமியலைப் போலவே, பாய்சன் விநியோகம் என்பது அளவின் விநியோகம்: ஒன்று நடக்கும் எண்ணிக்கை. இது நிகழ்தகவு p மற்றும் சோதனைகளின் எண்ணிக்கை n ஆகியவற்றால் அல்ல, ஆனால் சராசரி தீவிரம் λ ஆல் அளவுருவாக உள்ளது, இது பைனோமியலுடன் ஒப்பிடுவதன் மூலம், np இன் நிலையான மதிப்பாகும். விஷம் விநியோகம் என்ன தேவையானநிலையான கொடுக்கப்பட்ட தீவிரத்தில் ஒரு குறிப்பிட்ட நேரத்திற்கு நிகழ்வுகளை எண்ணும் போது நினைவில் கொள்ளுங்கள்.

ஒரு பாக்கெட் ஒரு ரூட்டருக்கு வந்து சேரும் போது அல்லது ஒரு கடையில் வாடிக்கையாளர் அல்லது ஏதாவது வரிசையில் காத்திருக்கும்போது, ​​பாய்ஸனை நினைத்துப் பாருங்கள்.

வடிவியல் மற்றும் எதிர்மறை இருவகை

எளிமையான பெர்னௌலி சோதனைகளிலிருந்து வேறுபட்ட விநியோகம் வெளிப்படுகிறது. ஒரு நாணயம் தலைக்கு மேலே வரும் முன் எத்தனை முறை வால் மேலே வரும்? வால்களின் எண்ணிக்கை வடிவியல் பரவலைப் பின்பற்றுகிறது. பெர்னோலி விநியோகத்தைப் போலவே, இது வெற்றிகரமான முடிவின் நிகழ்தகவால் அளவுருவாக உள்ளது, ப. இது n என்ற எண், சோதனைச் சுட்டிகளின் எண்ணிக்கையால் அளவுருவாக இல்லை, ஏனெனில் தோல்வியுற்ற சோதனைகளின் எண்ணிக்கை சரியாக முடிவாகும்.

"எத்தனை வெற்றிகள்" என இருமொழிப் பகிர்வு என்றால், வடிவியல் ஒன்று "வெற்றிக்கு முன் எத்தனை தோல்விகள்?"

எதிர்மறை இருவகைப் பரவல் என்பது முந்தைய ஒன்றின் எளிய பொதுமைப்படுத்தலாகும். இது r க்கு முன் தோல்விகளின் எண்ணிக்கை, வெற்றிகள் 1 அல்ல. எனவே, இது கூடுதலாக இந்த r மூலம் அளவுருவாக உள்ளது. இது சில நேரங்களில் r தோல்விகளின் வெற்றிகளின் எண்ணிக்கையாக விவரிக்கப்படுகிறது. ஆனால், எனது வாழ்க்கைப் பயிற்சியாளர் சொல்வது போல்: "எது வெற்றி, எது தோல்வி என்பதை நீங்களே முடிவு செய்யுங்கள்", எனவே இது ஒன்றுதான், நிகழ்தகவு p என்பது முறையே வெற்றி அல்லது தோல்வியின் சரியான நிகழ்தகவாக இருக்க வேண்டும் என்பதை நீங்கள் மறந்துவிடவில்லை என்றால்.

மன அழுத்தத்தைக் குறைக்க உங்களுக்கு நகைச்சுவை தேவைப்பட்டால், இருசொற்கள் மற்றும் ஹைப்பர்ஜியோமெட்ரிக் விநியோகங்கள் ஒரு வெளிப்படையான ஜோடி என்று நீங்கள் குறிப்பிடலாம், ஆனால் வடிவியல் மற்றும் எதிர்மறை இருபக்கங்களும் மிகவும் ஒத்ததாக இருக்கும், பின்னர் "சரி, யார் அவற்றை எல்லாம் அழைக்கிறார்கள், ஆமா?"

அதிவேக மற்றும் வெய்புலா

தொழில்நுட்ப ஆதரவுக்கான அழைப்புகள் பற்றி மீண்டும்: அடுத்த அழைப்புக்கு எவ்வளவு நேரம் ஆகும்? இந்த காத்திருப்பு நேரத்தின் விநியோகம் வடிவியல் போல் தெரிகிறது, ஏனென்றால் ஒவ்வொரு நொடியும், யாரும் அழைக்காதபோது, ​​​​ஒரு நொடி வரை, இறுதியாக அழைப்பு வரும் வரை தோல்வி போன்றது. தோல்விகளின் எண்ணிக்கை, யாரும் அழைக்காத வரை வினாடிகளின் எண்ணிக்கையைப் போன்றது, இதுவும் நடைமுறையில்அடுத்த அழைப்பு வரை நேரம், ஆனால் "நடைமுறையில்" எங்களுக்கு போதுமானதாக இல்லை. இதன் முக்கிய அம்சம் என்னவென்றால், இந்த நேரம் முழு வினாடிகளின் கூட்டுத்தொகையாக இருக்கும், எனவே, அழைப்புக்கு முன்பே இந்த வினாடிக்குள் காத்திருப்பதை எண்ண முடியாது.

சரி, முன்பு போலவே, நேரப் பங்குகள் - மற்றும் வோய்லாவுடன் தொடர்புடைய வரம்பிற்கு வடிவியல் விநியோகத்தில் கடந்து செல்கிறோம். அழைப்புக்கு முந்தைய நேரத்தை துல்லியமாக விவரிக்கும் அதிவேக விநியோகத்தைப் பெறுகிறோம். இது ஒரு தொடர்ச்சியான விநியோகம், முதலாவது எங்களுடையது, ஏனென்றால் விளைவு முழு வினாடிகளில் இருக்க வேண்டிய அவசியமில்லை. பாய்சன் விநியோகத்தைப் போலவே, இது λ தீவிரத்தால் அளவுருவாக உள்ளது.

பைனோமியலுக்கும் ஜியோமெட்ரிக்கும் இடையே உள்ள தொடர்பை மீண்டும் மீண்டும் சொல்கிறது, பாய்சனின் "நேரத்தில் எத்தனை நிகழ்வுகள்?" "நிகழ்விற்கு எவ்வளவு முன்?" என்ற அதிவேகத்துடன் தொடர்புடையது. நிகழ்வுகள் இருந்தால், ஒரு யூனிட் நேரத்தின் எண்ணிக்கை பாய்சன் விநியோகத்திற்குக் கீழ்ப்படிகிறது, பின்னர் அவற்றுக்கிடையேயான நேரம் அதே அளவுரு λ உடன் அதிவேக விநியோகத்திற்குக் கீழ்ப்படிகிறது. இரண்டு விநியோகங்களுக்கும் இடையிலான இந்த கடிதப் பரிமாற்றம், அவற்றில் ஏதேனும் ஒன்று விவாதிக்கப்படும்போது கவனிக்கப்பட வேண்டும்.

"நிகழ்வுக்கான நேரம்", ஒருவேளை "தோல்விக்கான நேரம்" பற்றி சிந்திக்கும்போது ஒரு அதிவேக விநியோகம் நினைவுக்கு வர வேண்டும். உண்மையில், இது மிகவும் முக்கியமான சூழ்நிலையாகும், வெய்புல் விநியோகம் போன்ற MTBF ஐ விவரிக்க மிகவும் பொதுவான விநியோகங்கள் உள்ளன. எடுத்துக்காட்டாக, தேய்மானம் அல்லது தோல்வியின் விகிதம் நிலையானதாக இருக்கும் போது அதிவேக விநியோகம் பொருத்தமானது, வெய்புல் விநியோகமானது காலப்போக்கில் தோல்வியின் அதிகரிக்கும் (அல்லது குறையும்) விகிதத்தை உருவகப்படுத்தலாம். அதிவேகமானது, பொதுவாக, ஒரு சிறப்பு வழக்கு.

எம்டிபிஎஃப் என்று வரும்போது வெய்புலை நினைத்துப் பாருங்கள்.

இயல்பான, லாக்நார்மல், மாணவர் மற்றும் சி-சதுரம்

சாதாரண, அல்லது காஸியன், விநியோகம் ஒருவேளை மிக முக்கியமான ஒன்றாகும். அதன் மணி வடிவ வடிவம் உடனடியாக அடையாளம் காணக்கூடியது. மேலும், இது வெளிப்புறமாக எளிமையான ஆதாரங்களில் இருந்தும் கூட, எல்லா இடங்களிலும் தன்னை வெளிப்படுத்தும் ஒரு குறிப்பாக ஆர்வமுள்ள நிறுவனமாகும். ஒரு விநியோகத்திற்குக் கீழ்ப்படியும் மதிப்புகளின் தொகுப்பை எடுத்துக் கொள்ளுங்கள் - ஏதேனும்! - மற்றும் அவற்றை மடியுங்கள். அவற்றின் தொகையின் விநியோகம் (தோராயமாக) ஒரு சாதாரண விநியோகத்திற்குக் கீழ்ப்படிகிறது. அதிகமான விஷயங்கள் சுருக்கமாக இருந்தால், அவற்றின் கூட்டுத்தொகை இயல்பான விநியோகத்துடன் ஒத்திருக்கும் (பிடிப்பு: விதிமுறைகளின் விநியோகம் யூகிக்கக்கூடியதாக இருக்க வேண்டும், சுயாதீனமாக இருக்க வேண்டும், அது சாதாரணமாக மட்டுமே இருக்கும்). அசல் விநியோகம் இருந்தபோதிலும் இதுதான் என்பது ஆச்சரியமாக இருக்கிறது.

தோராயமாக மொழிபெயர்

சுருக்கமான விநியோகங்களின் ஒப்பீட்டு அளவிலான தேவையைப் பற்றி ஆசிரியர் எழுதவில்லை என்பது எனக்கு ஆச்சரியமாக இருந்தது: ஒருவர் அடிப்படையில் மற்றவற்றில் ஆதிக்கம் செலுத்தினால், அது ஒன்றிணைவது மிகவும் மோசமாக இருக்கும். மேலும், பொதுவாக, முழுமையான பரஸ்பர சுதந்திரம் விருப்பமானது, பலவீனமான சார்பு போதுமானது.

சரி, அவர் எழுதியது போல், இது கட்சிகளுக்குச் செய்யும்.

இது "மத்திய வரம்பு தேற்றம்" என்று அழைக்கப்படுகிறது, மேலும் அது என்ன, அது ஏன் அழைக்கப்படுகிறது, அதன் அர்த்தம் என்ன என்பதை நீங்கள் அறிந்து கொள்ள வேண்டும், இல்லையெனில் அவர்கள் உடனடியாக சிரிப்பார்கள்.

அதன் சூழலில், இயல்பானது அனைத்து விநியோகங்களுடனும் தொடர்புடையது. இருப்பினும், பொதுவாக, இது எந்த அளவுகளின் விநியோகங்களுடன் தொடர்புடையது. பெர்னௌல்லி சோதனைகளின் கூட்டுத்தொகை இருசொற் பரவலைப் பின்தொடர்கிறது மற்றும் சோதனைகளின் எண்ணிக்கை அதிகரிக்கும்போது, ​​இந்த இருசொற் பரவல் இயல்பான விநியோகத்திற்கு நெருக்கமாகவும் நெருக்கமாகவும் மாறுகிறது. இதேபோல், அதன் உறவினர், ஹைபர்ஜியோமெட்ரிக் விநியோகம். பாய்சன் விநியோகம் - இருமத்தின் வரம்புக்குட்பட்ட வடிவம் - தீவிர அளவுருவின் அதிகரிப்புடன் இயல்பான ஒன்றை அணுகுகிறது.

லாக்நார்மல் விநியோகத்திற்குக் கீழ்ப்படியும் முடிவுகள், மடக்கை பொதுவாக விநியோகிக்கப்படும் மதிப்புகளைக் கொடுக்கும். அல்லது வேறு வார்த்தைகளில் கூறுவதானால்: பொதுவாக விநியோகிக்கப்படும் மதிப்பின் அடுக்கு lognormally விநியோகிக்கப்படுகிறது. தொகைகள் பொதுவாக விநியோகிக்கப்பட்டால், தயாரிப்புகள் சாதாரணமாக விநியோகிக்கப்படுகின்றன என்பதையும் நினைவில் கொள்ளுங்கள்.

மாணவர்களின் டி-விநியோகம் என்பது பல புள்ளியியல் வல்லுநர்கள் மற்ற துறைகளில் படிக்கும் டி-டெஸ்டின் மையமாகும். இது ஒரு சாதாரண விநியோகத்தின் சராசரியைப் பற்றிய அனுமானங்களைச் செய்யப் பயன்படுகிறது மற்றும் அதன் அளவுருவின் அதிகரிப்புடன் ஒரு சாதாரண விநியோகத்திற்கு முனைகிறது. டி-விநியோகத்தின் ஒரு தனித்துவமான அம்சம் அதன் வால்கள் ஆகும், அவை சாதாரண விநியோகத்தை விட தடிமனாக இருக்கும்.

கொழுத்த வால் கொண்ட கதை உங்கள் அண்டை வீட்டாரை போதுமான அளவு அசைக்கவில்லை என்றால், பீர் பற்றிய வேடிக்கையான கதைக்குச் செல்லுங்கள். 100 ஆண்டுகளுக்கு முன்பு, கின்னஸ் தனது திறமையை மேம்படுத்த புள்ளிவிவரங்களைப் பயன்படுத்தினார். அப்போதுதான் வில்லியம் சீலி கோசெட் மேம்படுத்தப்பட்ட பார்லி உற்பத்திக்காக முற்றிலும் புதிய புள்ளிவிவரக் கோட்பாட்டைக் கண்டுபிடித்தார். மற்ற மதுபான உற்பத்தியாளர்கள் தனது யோசனைகளை எவ்வாறு பயன்படுத்துவது என்பதைப் புரிந்து கொள்ள மாட்டார்கள் என்று கோசெட் தனது முதலாளியை நம்பவைத்தார், மேலும் வெளியிட அனுமதி பெற்றார், ஆனால் "மாணவர்" என்ற புனைப்பெயரில். கோசெட்டின் மிகவும் பிரபலமான சாதனை இந்த டி-விநியோகம் ஆகும், இது அவரது பெயரிடப்பட்டது என்று ஒருவர் கூறலாம்.

இறுதியாக, chi-squared distribution என்பது பொதுவாக விநியோகிக்கப்படும் அளவுகளின் சதுரங்களின் தொகைகளின் பரவலாகும். சி-சதுர சோதனையானது இந்த விநியோகத்தில் கட்டமைக்கப்பட்டுள்ளது, இதுவே வேறுபாடுகளின் சதுரங்களின் கூட்டுத்தொகையை அடிப்படையாகக் கொண்டது, இது பொதுவாக விநியோகிக்கப்பட வேண்டும்.

காமா மற்றும் பீட்டா

இந்த கட்டத்தில், நீங்கள் ஏற்கனவே சி-சதுரத்தைப் பற்றி பேச ஆரம்பித்திருந்தால், உரையாடல் ஆர்வத்துடன் தொடங்குகிறது. நீங்கள் ஏற்கனவே உண்மையான புள்ளியியல் நிபுணர்களுடன் பேசிக் கொண்டிருக்கலாம், மேலும் காமா விநியோகம் போன்ற விஷயங்கள் வரக்கூடும் என்பதால், ஏற்கனவே ஒரு வில் எடுப்பது மதிப்புக்குரியதாக இருக்கலாம். இந்த பொதுமைப்படுத்தல் மற்றும்அதிவேக, மற்றும் chi-squared விநியோகம். அதிவேக விநியோகத்தைப் போலவே, இது சிக்கலான தாமத மாதிரிகளுக்குப் பயன்படுத்தப்படுகிறது. எடுத்துக்காட்டாக, அடுத்த n நிகழ்வுகள் வரையிலான நேரம் உருவகப்படுத்தப்படும் போது காமா விநியோகம் தோன்றும். இது மற்ற இரண்டு விநியோகங்களுக்கு "இணைப்பு முன் விநியோகம்" என இயந்திர கற்றலில் தோன்றும்.

இந்த இணைப் பகிர்வுகளைப் பற்றிய உரையாடலில் ஈடுபட வேண்டாம், ஆனால் நீங்கள் விரும்பினால், பீட்டா விநியோகத்தைக் குறிப்பிட மறக்காதீர்கள், ஏனெனில் இது இங்கு குறிப்பிடப்பட்டுள்ள பெரும்பாலான விநியோகங்களுக்கு முந்தைய இணைப்பாகும். இது சரியாக உருவாக்கப்பட்டது என்று தரவு விஞ்ஞானிகள் நம்புகின்றனர். இதை கவனக்குறைவாகக் குறிப்பிட்டு வாசலுக்குச் செல்லுங்கள்.

ஞானத்தின் ஆரம்பம்

நிகழ்தகவு பகிர்வுகள் என்பது உங்களுக்கு அதிகம் தெரியாத ஒன்று. உண்மையிலேயே ஆர்வமுள்ளவர்கள், அனைத்து நிகழ்தகவு விநியோகங்களின் இந்த மிக விரிவான வரைபடத்தைப் பார்க்கவும். நிகழ்தகவு பகுத்தறிவின் யோசனை என்ன?

நிகழ்தகவு பகுத்தறிவின் முதல், மிகவும் இயல்பான படி பின்வருமாறு: சீரற்ற முறையில் மதிப்புகளை எடுக்கும் சில மாறிகள் உங்களிடம் இருந்தால், இந்த மாறி சில மதிப்புகளில் என்ன நிகழ்தகவுகளை எடுக்கும் என்பதை நீங்கள் அறிய விரும்புகிறீர்கள். இந்த நிகழ்தகவுகளின் கலவையானது துல்லியமாக நிகழ்தகவு விநியோகத்தை தீர்மானிக்கிறது. உதாரணமாக, ஒரு பகடை மூலம், உங்களால் முடியும் சம நிகழ்தகவுகளுடன் 1/6 அது எந்த விளிம்பிலும் விழும் என்று கருதுவதற்கு முன். எலும்பு சமச்சீராக இருந்தால் இது நிகழ்கிறது. எலும்பு சமச்சீரற்றதாக இருந்தால், சோதனைத் தரவுகளின் அடிப்படையில், அடிக்கடி விழும் முகங்களுக்கு அதிக நிகழ்தகவுகளையும், குறைவாக அடிக்கடி விழும் முகங்களுக்கு குறைந்த நிகழ்தகவுகளையும் தீர்மானிக்க முடியும். சில விளிம்புகள் விழவில்லை என்றால், அதற்கு 0 நிகழ்தகவு ஒதுக்கப்படும். இது எளிமையான நிகழ்தகவு விதி, இது ஒரு பகடை வீசுவதன் முடிவுகளை விவரிக்கப் பயன்படுகிறது. நிச்சயமாக, இது மிகவும் எளிமையான உதாரணம், ஆனால் இதே போன்ற சிக்கல்கள் எழுகின்றன, எடுத்துக்காட்டாக, காப்பீட்டுக் கொள்கையை வழங்கும்போது உண்மையான தரவுகளின் அடிப்படையில் உண்மையான ஆபத்து கணக்கிடப்படும்போது, ​​உண்மையான கணக்கீடுகளில்.

இந்த அத்தியாயத்தில், நடைமுறையில் உள்ள பொதுவான நிகழ்தகவுச் சட்டங்களைப் பார்ப்போம்.

இந்த விநியோகங்களை STATISTICA இல் எளிதாகத் திட்டமிடலாம்.

இயல்பான விநியோகம்

சாதாரண நிகழ்தகவு விநியோகம் குறிப்பாக புள்ளிவிவரங்களில் பொதுவாகப் பயன்படுத்தப்படுகிறது. சாதாரண விநியோகம் கொடுக்கிறது நல்ல மாதிரிஉண்மையான நிகழ்வுகளுக்கு:

1) ஒரு மையத்தைச் சுற்றி தரவு கொத்தாக இருக்கும் ஒரு வலுவான போக்கு உள்ளது;

2) நேர்மறை மற்றும் எதிர்மறை விலகல்கள்மையத்தில் இருந்து சமமாக;

3) மையத்திலிருந்து விலகல்கள் பெரியதாக மாறும்போது விலகல்களின் அதிர்வெண் வேகமாக குறைகிறது.

மைய வரம்பு தேற்றம் என்று அழைக்கப்படும் முறையைப் பயன்படுத்தி விளக்கப்பட்ட சாதாரண விநியோகத்தின் அடிப்படையிலான வழிமுறையை உருவகமாக பின்வருமாறு விவரிக்கலாம். நீங்கள் ஒரு கிளாஸ் தண்ணீரில் தோராயமாக வீசிய மகரந்தத் துகள்கள் உங்களிடம் இருப்பதாக கற்பனை செய்து பாருங்கள். நுண்ணோக்கின் கீழ் ஒரு தனிப்பட்ட துகளைப் பார்த்தால், நீங்கள் ஒரு அற்புதமான நிகழ்வைக் காண்பீர்கள் - துகள் நகர்கிறது. நிச்சயமாக, நீர் மூலக்கூறுகள் நகர்ந்து அவற்றின் இயக்கத்தை இடைநிறுத்தப்பட்ட மகரந்தத்தின் துகள்களுக்கு மாற்றுவதால் இது நிகழ்கிறது.

ஆனால் இயக்கம் எவ்வாறு சரியாக நடைபெறுகிறது? இங்கே இன்னும் சுவாரஸ்யமான கேள்வி. இந்த இயக்கம் மிகவும் வினோதமானது!

நீர் மூலக்கூறுகளின் தாக்கங்களின் வடிவத்தில் ஒரு தனிப்பட்ட மகரந்தத் துகள் மீது எண்ணற்ற சுயாதீன தாக்கங்கள் உள்ளன, இதனால் துகள் மிகவும் விசித்திரமான பாதையில் நகரும். ஒரு நுண்ணோக்கின் கீழ், இந்த இயக்கம் மீண்டும் மீண்டும் குழப்பமாக உடைந்த ஒரு கோட்டை ஒத்திருக்கிறது. இந்த கின்க்ஸை கணிக்க முடியாது, அவற்றில் எந்த ஒழுங்குமுறையும் இல்லை, இது ஒரு துகள் மீது மூலக்கூறுகளின் குழப்பமான மோதல்களுக்கு சரியாக ஒத்திருக்கிறது. ஒரு இடைநிறுத்தப்பட்ட துகள், ஒரு சீரற்ற தருணத்தில் ஒரு நீர் மூலக்கூறின் தாக்கத்தை அனுபவித்து, அதன் இயக்கத்தின் திசையை மாற்றுகிறது, பின்னர் மந்தநிலையால் சிறிது நேரம் நகர்கிறது, பின்னர் மீண்டும் அடுத்த மூலக்கூறின் தாக்கத்தின் கீழ் விழுகிறது, மற்றும் பல. ஒரு கிளாஸ் தண்ணீரில் ஒரு அற்புதமான பில்லியர்ட்ஸ் உள்ளது!

மூலக்கூறுகளின் இயக்கம் சீரற்ற திசையையும் வேகத்தையும் கொண்டிருப்பதால், பாதையில் உள்ள கின்க்ஸின் அளவும் திசையும் முற்றிலும் சீரற்றவை மற்றும் கணிக்க முடியாதவை. 19 ஆம் நூற்றாண்டில் கண்டுபிடிக்கப்பட்ட பிரவுனியன் இயக்கம் என்று அழைக்கப்படும் இந்த அற்புதமான நிகழ்வு நம்மை பல விஷயங்களைப் பற்றி சிந்திக்க வைக்கிறது.

நாம் ஒரு பொருத்தமான அமைப்பை அறிமுகப்படுத்தி, சில தருணங்களில் துகள்களின் ஆயங்களைக் குறித்தால், நாம் சாதாரண சட்டத்தைப் பெறுவோம். இன்னும் துல்லியமாக, மூலக்கூறுகளின் தாக்கத்திலிருந்து எழும் மகரந்தத் துகள்களின் இடப்பெயர்வுகள் சாதாரண சட்டத்திற்குக் கீழ்ப்படியும்.

முதன்முறையாக, பிரவுனியன் என்று அழைக்கப்படும் அத்தகைய ஒரு துகள் இயக்கத்தின் விதி, ஏ. ஐன்ஸ்டீனால் கடுமையான உடல் மட்டத்தில் விவரிக்கப்பட்டது. பின்னர் லென்ஜெவன் எளிமையான மற்றும் உள்ளுணர்வு அணுகுமுறையை உருவாக்கினார்.

இருபதாம் நூற்றாண்டின் கணிதவியலாளர்கள் இந்த கோட்பாட்டிற்கு தங்கள் சிறந்த பக்கங்களை அர்ப்பணித்தனர், மேலும் முதல் படி 300 ஆண்டுகளுக்கு முன்பு எடுக்கப்பட்டது, மத்திய வரம்பு தேற்றத்தின் எளிமையான பதிப்பு கண்டுபிடிக்கப்பட்டது.

நிகழ்தகவுக் கோட்பாட்டில், மத்திய வரம்பு தேற்றம், முதலில் 17 ஆம் நூற்றாண்டில் மொய்வ்ரே மற்றும் லாப்லேஸ் உருவாக்கத்தில் அறியப்பட்டது, இது ஜே. பெர்னௌல்லி (1654-1705) என்பவரால் பிரபலமான பெரிய எண்களின் சட்டத்தின் வளர்ச்சியாக அறியப்பட்டது (பார்க்க ஜே. பெர்னௌல்லி (1713), Ars Conjectandi), இப்போது மிகவும் வளர்ச்சியடைந்து அதன் உயரத்தை எட்டியுள்ளது. மாற்றமின்மையின் நவீன கொள்கையில், ரஷ்ய கணிதப் பள்ளியின் உருவாக்கத்தில் முக்கிய பங்கு வகித்தது. இந்தக் கொள்கையில்தான் பிரவுனிய துகளின் இயக்கம் அதன் கடுமையான கணித விளக்கத்தைக் காண்கிறது.

சில நியாயமான நிலைமைகளின் கீழ் அதிக எண்ணிக்கையிலான சுயாதீன அளவுகளை (மகரந்தத் துகள்கள் மீதான மூலக்கூறுகளின் தாக்கங்கள்) சுருக்கமாகக் கூறுவதன் மூலம், இது துல்லியமாக பொதுவாக விநியோகிக்கப்படும் அளவுகள் ஆகும். இது சுயாதீனமாக நடக்கிறது, அதாவது, ஆரம்ப மதிப்புகளின் விநியோகத்திலிருந்து மாறாமல். வேறு வார்த்தைகளில் கூறுவதானால், ஒரு மாறியானது பல காரணிகளால் தாக்கப்பட்டால், இந்த தாக்கங்கள் சுயாதீனமானவை, ஒப்பீட்டளவில் சிறியவை மற்றும் ஒன்றுக்கொன்று சேர்க்கின்றன, அதன் விளைவாக வரும் மதிப்பு ஒரு சாதாரண விநியோகத்தைக் கொண்டுள்ளது.

உதாரணமாக, கிட்டத்தட்ட எண்ணற்ற காரணிகள் ஒரு நபரின் எடையை தீர்மானிக்கின்றன (ஆயிரக்கணக்கான மரபணுக்கள், முன்கணிப்பு, நோய்கள் போன்றவை). எனவே, அனைத்து மக்களின் மக்கள்தொகையில் எடையின் சாதாரண விநியோகத்தை எதிர்பார்க்கலாம்.

நீங்கள் ஒரு நிதியாளராக இருந்து பங்குச் சந்தையில் விளையாடினால், பங்கு விலைகள் பிரவுனிய துகள்களைப் போல நடந்துகொள்ளும் போது, ​​பல காரணிகளின் குழப்பமான தாக்கங்களை அனுபவிக்கும் நிகழ்வுகளை நீங்கள் அறிந்திருப்பீர்கள்.

முறைப்படி, சாதாரண விநியோகத்தின் அடர்த்தி பின்வருமாறு எழுதப்பட்டுள்ளது:

இதில் a மற்றும் x 2 என்பது சட்டத்தின் அளவுருக்கள், கொடுக்கப்பட்ட சீரற்ற மாறியின் சராசரி மதிப்பு மற்றும் மாறுபாடு என முறையே விளக்கப்படுகிறது (சாதாரண விநியோகத்தின் சிறப்புப் பங்கின் காரணமாக, அதன் அடர்த்தி செயல்பாடு மற்றும் விநியோகத்தைக் குறிக்க சிறப்பு குறியீடைப் பயன்படுத்துவோம். செயல்பாடு). பார்வைக்கு, சாதாரண அடர்த்தி வரைபடம் பிரபலமான மணி வடிவ வளைவு ஆகும்.

இயல்பான சீரற்ற மாறியின் (a, x 2) தொடர்புடைய பரவல் செயல்பாடு Ф (x; a, x 2) ஆல் குறிக்கப்படுகிறது மற்றும் இது தொடர்புடையது:

a = 0 மற்றும் x 2 = 1 அளவுருக்கள் கொண்ட ஒரு சாதாரண சட்டம் தரநிலை எனப்படும்.

தலைகீழ் நிலையான இயல்பான விநியோக செயல்பாடு z, 0 க்கு பயன்படுத்தப்பட்டது

x இலிருந்து z ஐக் கணக்கிட, STATISTICA நிகழ்தகவு கால்குலேட்டரைப் பயன்படுத்தவும்.

சாதாரண சட்டத்தின் முக்கிய பண்புகள்:

சராசரி, முறை, இடைநிலை: E = x mod = x med = a;

சிதறல்: D = х 2;

சமச்சீரற்ற தன்மை:

அதிகப்படியான:

சாதாரண விநியோகம் இரண்டு அளவுருக்கள் மூலம் விவரிக்கப்பட்டுள்ளது என்பதை சூத்திரங்களிலிருந்து காணலாம்:

a - சராசரி - சராசரி;

õ - நிலையான விலகல் - நிலையான விலகல், படிக்க: "சிக்மா".

சில நேரங்களில் உடன் நிலையான விலகல் நிலையான விலகல் என்று அழைக்கப்படுகிறது, ஆனால் இது ஏற்கனவே காலாவதியான சொல்.

சாதாரண விநியோகத்தைப் பற்றிய சில பயனுள்ள உண்மைகள் இங்கே உள்ளன.

சராசரியானது அடர்த்தி பரவலின் அளவை தீர்மானிக்கிறது. சாதாரண விநியோக அடர்த்தி சராசரியைப் பற்றிய சமச்சீராக உள்ளது. சாதாரண விநியோகத்தின் சராசரி இடைநிலை மற்றும் பயன்முறையுடன் ஒத்துப்போகிறது (வரைபடங்களைப் பார்க்கவும்).

மாறுபாடு 1 மற்றும் சராசரி 1 உடன் இயல்பான பரவல் அடர்த்தி

சராசரி 0 மற்றும் மாறுபாடு 0.01 உடன் இயல்பான பரவல் அடர்த்தி

சராசரி 0 மற்றும் மாறுபாடு 4 உடன் இயல்பான பரவல் அடர்த்தி

மாறுபாட்டின் அதிகரிப்புடன், சாதாரண விநியோகத்தின் அடர்த்தி OX அச்சில் பரவுகிறது அல்லது பரவுகிறது; மாறுபாட்டின் குறைவுடன், மாறாக, சுருங்குகிறது, ஒரு புள்ளியைச் சுற்றி கவனம் செலுத்துகிறது - அதிகபட்ச மதிப்பின் புள்ளி சராசரியுடன் ஒத்துப்போகிறது. மதிப்பு. பூஜ்ஜிய மாறுபாட்டின் வரம்புக்குட்பட்ட வழக்கில், சீரற்ற மாறி சிதைந்து, சராசரிக்கு சமமான ஒற்றை மதிப்பைப் பெறுகிறது.

2- மற்றும் 3-சிக்மா, அல்லது 2- மற்றும் 3-தரநிலை விலகல்கள், சாதாரண விநியோகத்துடன் தொடர்புடைய மற்றும் பல்வேறு பயன்பாடுகளில் பயன்படுத்தப்படும் விதிகளை அறிவது பயனுள்ளது. இந்த விதிகளின் பொருள் மிகவும் எளிமையானது.

இரண்டு மற்றும் மூன்று நிலையான விலகல்கள் (2- மற்றும் 3-சிக்மா) முறையே வலப்புறம் மற்றும் இடதுபுறமாக அமைக்கப்பட்டால், சராசரி புள்ளியிலிருந்து அல்லது, சாதாரண விநியோகத்தின் அதிகபட்ச அடர்த்தியின் புள்ளியில் இருந்து, பின்னர் இந்த இடைவெளியில் கணக்கிடப்பட்ட சாதாரண அடர்த்தியின் வரைபடத்தின் கீழ் உள்ள பகுதி, வரைபடத்தின் கீழ் உள்ள முழுப் பகுதியில் முறையே 95.45% மற்றும் 99.73% ஆக இருக்கும் (புள்ளிவிவர நிகழ்தகவு கால்குலேட்டரைச் சரிபார்க்கவும்!).

வேறு வார்த்தைகளில் கூறுவதானால், இதைப் பின்வருமாறு வெளிப்படுத்தலாம்: 95.45% மற்றும் 99.73% சாதாரண மக்களிடமிருந்து அனைத்து சுயாதீனமான அவதானிப்புகள், எடுத்துக்காட்டாக, ஒரு பகுதியின் அளவு அல்லது பங்கு விலை, 2- மற்றும் 3-தரநிலை விலகல் மண்டலத்தில் உள்ளது. சராசரி இருந்து.

விநியோகம் கூட

ஒவ்வொரு மதிப்பும் சமமாக சாத்தியமுள்ள மாறிகளை விவரிக்கும் போது சீரான விநியோகம் பயனுள்ளதாக இருக்கும், வேறுவிதமாகக் கூறினால், ஒரு மாறியின் மதிப்புகள் சில பகுதிகளில் சமமாக விநியோகிக்கப்படுகின்றன.

கீழே [a, b] இடைவெளியில் மதிப்புகளை எடுக்கும் ஒரு சீரான சீரற்ற மாறியின் அடர்த்தி மற்றும் விநியோகச் செயல்பாட்டிற்கான சூத்திரங்கள் உள்ளன.

இந்த சூத்திரங்களிலிருந்து ஒரு சீரான சீரற்ற மாறியானது தொகுப்பிலிருந்து மதிப்புகளை எடுக்கும் நிகழ்தகவை எளிதாகப் புரிந்து கொள்ள முடியும். [c, d] [a, b] என்பது (d - c) / (b - a) க்கு சமம்.

நாங்கள் வைத்தோம் a = 0, b = 1. ஒரு பிரிவை மையமாகக் கொண்ட ஒரே மாதிரியான நிகழ்தகவு அடர்த்தியின் சதி கீழே உள்ளது.

ஒரே மாதிரியான சட்டத்தின் எண்ணியல் பண்புகள்:

அதிவேக விநியோகம்

சாதாரண மொழியில் அபூர்வம் என்று சொல்லக்கூடிய நிகழ்வுகள் உண்டு. T என்பது சராசரியாக X தீவிரம் கொண்ட அரிதான நிகழ்வுகளின் தொடக்கத்திற்கு இடைப்பட்ட நேரமாக இருந்தால், மதிப்பு
டி ஒரு அளவுருவுடன் (லாம்ப்டா) அதிவேகப் பரவலைக் கொண்டுள்ளது. தொடர்ச்சியான சீரற்ற நிகழ்வுகளுக்கு இடையிலான இடைவெளிகளை விவரிக்க அதிவேக விநியோகம் அடிக்கடி பயன்படுத்தப்படுகிறது, எடுத்துக்காட்டாக, இந்த வருகைகள் அரிதான நிகழ்வுகள் என்பதால், பிரபலமற்ற தளத்திற்கான வருகைகளுக்கு இடையிலான இடைவெளிகள்.

பிரபல ரஷ்ய கணிதவியலாளர் ஏ.ஏ. மார்கோவின் நினைவாக இந்த விநியோகம் பின்விளைவு இல்லாத மிகவும் சுவாரஸ்யமான சொத்து அல்லது அவர்கள் சொல்வது போல் மார்கோவ் சொத்து உள்ளது, இதை பின்வருமாறு விளக்கலாம். சில நிகழ்வுகள் நிகழும் தருணங்களுக்கு இடையேயான விநியோகம் குறியீடாக இருந்தால், எந்த நேரத்திலும் விநியோகம் கணக்கிடப்படும் t அடுத்த நிகழ்வு வரை ஒரு அதிவேக விநியோகம் இருக்கும் (அதே அளவுருவுடன்).

வேறு வார்த்தைகளில் கூறுவதானால், அரிய நிகழ்வுகளின் ஸ்ட்ரீமிற்கு, அடுத்த பார்வையாளருக்கான காத்திருப்பு நேரம் எப்போதும் அதிவேகமாக விநியோகிக்கப்படுகிறது, நீங்கள் அவருக்காக ஏற்கனவே எவ்வளவு காலம் காத்திருந்தீர்கள் என்பதைப் பொருட்படுத்தாமல்.

அதிவேக விநியோகம் பாய்சன் விநியோகத்துடன் தொடர்புடையது: ஒரு யூனிட் நேர இடைவெளியில், நிகழ்வுகளின் எண்ணிக்கை, சுயாதீனமான மற்றும் அதிவேகமாக விநியோகிக்கப்படும் இடைவெளிகளில், ஒரு பாய்சன் விநியோகம் உள்ளது. தள வருகைகளுக்கு இடையிலான இடைவெளிகள் அதிவேக விநியோகத்தைக் கொண்டிருந்தால், எடுத்துக்காட்டாக, ஒரு மணி நேரத்திற்குள் வருகைகளின் எண்ணிக்கை பாய்சன் சட்டத்தின்படி விநியோகிக்கப்படுகிறது.

அதிவேக விநியோகம் என்பது வெய்புல் விநியோகத்தின் ஒரு சிறப்பு நிகழ்வாகும்.

நேரம் தொடர்ச்சியாக இல்லை, ஆனால் தனித்தனியாக இருந்தால், அதிவேக விநியோகத்தின் அனலாக் வடிவியல் விநியோகம் ஆகும்.

அதிவேக பரவல் அடர்த்தி சூத்திரத்தால் விவரிக்கப்படுகிறது:

இந்த விநியோகத்தில் ஒரே ஒரு அளவுரு உள்ளது, இது அதன் பண்புகளை தீர்மானிக்கிறது.

அதிவேக விநியோக அடர்த்தி வரைபடம் இதுபோல் தெரிகிறது:

அதிவேக விநியோகத்தின் முக்கிய எண் பண்புகள்:

எர்லாங் விநியோகம்

இந்த தொடர்ச்சியான விநியோகம் (0,1) ஐ மையமாகக் கொண்டது மற்றும் அடர்த்தி கொண்டது:

கணித எதிர்பார்ப்பு மற்றும் மாறுபாடு முறையே சமம்

எர்லாங் விநியோகம் ஏ. எர்லாங்கின் பெயரால் அழைக்கப்படுகிறது, அவர் முதலில் வரிசை மற்றும் தொலைபேசியின் கோட்பாட்டில் உள்ள சிக்கல்களுக்குப் பயன்படுத்தினார்.

µ மற்றும் n அளவுருக்கள் கொண்ட எர்லாங் பரவலானது n இன் சார்பற்ற, ஒரே மாதிரியாக விநியோகிக்கப்படும் சீரற்ற மாறிகளின் கூட்டுத்தொகையின் பரவல் ஆகும், இவை ஒவ்வொன்றும் nµ அளவுருவுடன் ஒரு அதிவேக விநியோகத்தைக் கொண்டுள்ளன.

மணிக்கு n = 1 எர்லாங் பரவலானது அதிவேக அல்லது அதிவேகப் பரவலைப் போன்றது.

Laplace விநியோகம்

லாப்லேஸ் விநியோகத்தின் அடர்த்தி செயல்பாடு, அல்லது, இரட்டை அதிவேகம் என்றும் அழைக்கப்படுகிறது, எடுத்துக்காட்டாக, பின்னடைவு மாதிரிகளில் பிழைகளின் விநியோகத்தை விவரிக்க பயன்படுத்தப்படுகிறது. இந்த விநியோகத்தின் வரைபடத்தைப் பார்க்கும்போது, ​​OY அச்சைப் பற்றிய சமச்சீரான இரண்டு அதிவேக விநியோகங்களைக் கொண்டிருப்பதைக் காண்பீர்கள்.

நிலை அளவுரு 0 எனில், லாப்லேஸ் விநியோக அடர்த்தி செயல்பாடு படிவத்தைக் கொண்டுள்ளது:

இந்த விநியோகச் சட்டத்தின் முக்கிய எண் பண்புகள், நிலை அளவுரு பூஜ்ஜியமாக இருப்பதாகக் கருதி, பின்வருமாறு:

பொதுவாக, லாப்லேஸ் பரவல் அடர்த்தி வடிவம் கொண்டது:

a என்பது விநியோகத்தின் சராசரி; b என்பது அளவுரு அளவுரு; e என்பது யூலரின் எண் (2.71 ...).

காமா விநியோகம்

அதிவேக விநியோக அடர்த்தி புள்ளி 0 இல் ஒரு பயன்முறையைக் கொண்டுள்ளது, மேலும் இது சில நேரங்களில் நடைமுறை பயன்பாடுகளுக்கு சிரமமாக இருக்கும். பல எடுத்துக்காட்டுகளில், கருதப்படும் சீரற்ற மாறியின் பயன்முறையானது 0 க்கு சமமாக இல்லை என்பது முன்கூட்டியே அறியப்படுகிறது, எடுத்துக்காட்டாக, e-காமர்ஸ் கடைக்கு வரும் அல்லது ஒரு தளத்தைப் பார்வையிடும் கடைக்காரர்களுக்கு இடையிலான இடைவெளிகள் உச்சரிக்கப்படும் பயன்முறையைக் கொண்டுள்ளன. இத்தகைய நிகழ்வுகளை உருவகப்படுத்த காமா விநியோகம் பயன்படுத்தப்படுகிறது.

காமா விநியோகத்தின் அடர்த்தி:

இதில் Γ என்பது யூலரின் Γ-செயல்பாடு, a> 0 என்பது "வடிவம்" அளவுரு மற்றும் b> 0 என்பது அளவுரு அளவுரு ஆகும்.

ஒரு குறிப்பிட்ட வழக்கில், எர்லாங் விநியோகம் மற்றும் அதிவேக விநியோகம் உள்ளது.

காமா விநியோகத்தின் முக்கிய பண்புகள்:

1 அளவுரு அளவுரு மற்றும் 3 மற்றும் 5 வடிவ அளவுருக்கள் கொண்ட காமா அடர்த்தியின் இரண்டு அடுக்குகள் கீழே உள்ளன.

காமா விநியோகத்தின் ஒரு பயனுள்ள பண்பு: சுயாதீன காமா-விநியோகம் செய்யப்பட்ட சீரற்ற மாறிகளின் கூட்டுத்தொகை (அதே அளவுரு b உடன்)

(a l, b) + (a 2, b) + --- + (a n, b) காமா விநியோகத்திற்கும் கீழ்ப்படிகிறது, ஆனால் அளவுருக்கள் a 1 + a 2 + + a n மற்றும் b.

லாக்நார்மல் விநியோகம்

ஒரு சீரற்ற மாறி h, அதன் இயல்பான மடக்கை (lnh) இயல்பான விநியோகச் சட்டத்திற்குக் கீழ்ப்படிந்தால், அது log-normal அல்லது log-normal என்று அழைக்கப்படுகிறது.

லாக்நார்மல் விநியோகம் பயன்படுத்தப்படுகிறது, எடுத்துக்காட்டாக, வருமானம், புதுமணத் தம்பதிகளின் வயது, அல்லது சகிப்புத்தன்மைஉணவில் உள்ள தீங்கு விளைவிக்கும் பொருட்களின் தரத்திலிருந்து.

எனவே, அளவு என்றால் x ஒரு சாதாரண விநியோகம், பின்னர் அளவு y = e x ஒரு லாக்நார்மல் பரவலைக் கொண்டுள்ளது.

நீங்கள் சாதாரண மதிப்பை அதிவேக சக்தியில் மாற்றினால், ஒரு சாதாரண சீரற்ற மாறி பல கூட்டுத்தொகையின் விளைவாக இருப்பதைப் போல, சுயாதீன மாறிகளின் பல பெருக்கல்களின் விளைவாக lognormal மதிப்பு பெறப்படுகிறது என்பதை நீங்கள் எளிதாக புரிந்துகொள்வீர்கள்.

லாக்நார்மல் விநியோகத்தின் அடர்த்தி:

லாக்நார்மல் விநியோகத்தின் முக்கிய பண்புகள்:

சி ஸ்கொயர் விநியோகம்

சராசரி 0 மற்றும் மாறுபாடு 1 உடன் மீ சார்பற்ற இயல்பான மதிப்புகளின் சதுரங்களின் கூட்டுத்தொகை, m டிகிரி சுதந்திரத்துடன் ஒரு சி-சதுரப் பரவலைக் கொண்டுள்ளது. இந்த விநியோகம் பொதுவாக தரவு பகுப்பாய்வில் பயன்படுத்தப்படுகிறது.

முறைப்படி, மீ டிகிரி சுதந்திரத்துடன் கூடிய கிணறு-சதுரப் பரவலின் அடர்த்தி வடிவம் கொண்டது:

எதிர்மறையுடன் x அடர்த்தி 0 ஆக மாறுகிறது.

சி ஸ்கொயர் விநியோகத்தின் அடிப்படை எண் பண்புகள்:

அடர்த்தி சதி கீழே உள்ள படத்தில் காட்டப்பட்டுள்ளது:

ஈருறுப்புப் பரவல்

ஈருறுப்புப் பரவல் என்பது ஒரு சில புள்ளிகளில் குவிந்திருக்கும் மிக முக்கியமான தனித்த விநியோகமாகும். ஈருறுப்புப் பரவல் இந்த புள்ளிகளுக்கு நேர்மறை நிகழ்தகவுகளை ஒதுக்குகிறது. இவ்வாறு, பைனோமியல் விநியோகம் தொடர்ச்சியான விநியோகங்களிலிருந்து வேறுபடுகிறது (சாதாரண, சி-சதுரம், முதலியன), அவை தனித்தனியாக தேர்ந்தெடுக்கப்பட்ட புள்ளிகளுக்கு பூஜ்ஜிய நிகழ்தகவுகளை ஒதுக்குகின்றன மற்றும் அவை தொடர்ச்சியாக அழைக்கப்படுகின்றன.

பின்வரும் விளையாட்டைப் பார்ப்பதன் மூலம் இருசொற் பரவலை நீங்கள் நன்கு புரிந்து கொள்ளலாம்.

நீங்கள் ஒரு நாணயத்தை வீசுகிறீர்கள் என்று கற்பனை செய்து பாருங்கள். கோட் ஆஃப் ஆர்ம்ஸ் வெளியே விழும் நிகழ்தகவு இருக்கட்டும் p, மற்றும் வால்களைப் பெறுவதற்கான நிகழ்தகவு q = 1 - p (நாணயம் சமச்சீரற்றதாக இருக்கும்போது, ​​எடுத்துக்காட்டாக, மாற்றப்பட்ட புவியீர்ப்பு மையம் - நாணயத்தில் ஒரு துளை உருவாக்கப்படும் போது மிகவும் பொதுவான வழக்கை நாங்கள் கருதுகிறோம்).

கோட் ஆஃப் ஆர்ம்ஸ் விழுவது ஒரு வெற்றியாகவும், வால்கள் விழுவது தோல்வியாகவும் கருதப்படுகிறது. பின்னர் கைவிடப்பட்ட ஆயுதங்களின் எண்ணிக்கை (அல்லது வால்கள்) ஒரு இருவகைப் பரவலைக் கொண்டுள்ளது.

சமச்சீரற்ற நாணயங்கள் அல்லது ஒழுங்கற்ற பகடைகளை கருத்தில் கொள்வது நடைமுறை ஆர்வமாக உள்ளது என்பதை நினைவில் கொள்க. நிகழ்தகவு கோட்பாடு மற்றும் கணித புள்ளியியல் பற்றிய அவரது நேர்த்தியான புத்தகமான அறிமுக பாடத்தில் ஜே. நியூமன் குறிப்பிட்டது போல, பகடையின் மீது விழும் புள்ளிகளின் அதிர்வெண் இந்த பகடையின் பண்புகளைப் பொறுத்தது மற்றும் செயற்கையாக மாற்றப்படலாம் என்று மக்கள் நீண்ட காலமாக யூகித்துள்ளனர். தொல்பொருள் ஆராய்ச்சியாளர்கள் பார்வோனின் கல்லறையில் இரண்டு ஜோடி எலும்புகளைக் கண்டறிந்தனர்: "நேர்மையான" - அனைத்து பக்கங்களிலும் சமமான நிகழ்தகவுகளுடன், மற்றும் போலி - புவியீர்ப்பு மையத்தின் வேண்டுமென்றே மாற்றத்துடன், இது சிக்ஸர்கள் விழும் நிகழ்தகவை அதிகரித்தது.

இருவகைப் பரவலின் அளவுருக்கள் வெற்றியின் நிகழ்தகவு ஆகும் p (q = 1 - p) மற்றும் சோதனைகளின் எண்ணிக்கை n.

தோராயமாக தேர்ந்தெடுக்கப்பட்ட நிறுவனங்களில் உள்ள ஆண்கள் மற்றும் பெண்களின் எண்ணிக்கை போன்ற இருசொற் நிகழ்வுகளின் விநியோகத்தை விவரிக்க பைனோமியல் விநியோகம் பயனுள்ளதாக இருக்கும். விளையாட்டு பிரச்சனைகளில் இருசொல் விநியோகத்தின் பயன்பாடு குறிப்பிட்ட முக்கியத்துவம் வாய்ந்தது.

வெற்றிகளின் நிகழ்தகவுக்கான சரியான சூத்திரம் n சோதனைகள் பின்வருமாறு எழுதப்படுகின்றன:

ப-வெற்றிக்கான நிகழ்தகவு

q என்பது 1-p, q> = 0, p + q == 1

n- சோதனைகளின் எண்ணிக்கை, m = 0.1 ... m

இருவகைப் பரவலின் முக்கிய பண்புகள்:

வெவ்வேறு எண்ணிக்கையிலான சோதனைகள் n மற்றும் வெற்றிக்கான நிகழ்தகவுகளுக்கான இந்த விநியோகத்தின் வரைபடம் p வடிவத்தைக் கொண்டுள்ளது:

ஈருறுப்புப் பரவலானது சாதாரண விநியோகம் மற்றும் பாய்சன் விநியோகத்துடன் தொடர்புடையது (கீழே காண்க); அளவுருக்களின் சில மதிப்புகளில் அதிக எண்ணிக்கையிலானசோதனைகள் இந்த விநியோகங்களாக மாறும். இதை STATISTICA மூலம் எளிதாக நிரூபிக்க முடியும்.

எடுத்துக்காட்டாக, அளவுருக்களுடன் பைனோமியல் விநியோகத்தின் வரைபடத்தைக் கருத்தில் கொள்ளுங்கள் p = 0.7, n = 100 (படத்தைப் பார்க்கவும்), நாங்கள் STATISTICA BASIC ஐப் பயன்படுத்தினோம் - வரைபடமானது சாதாரண விநியோகத்தின் அடர்த்திக்கு மிகவும் ஒத்திருப்பதைக் காணலாம் (அது உண்மையில்!).

அளவுருக்கள் கொண்ட பைனோமியல் விநியோக சதி p = 0.05, n = 100 என்பது பாய்சன் விநியோகத்தின் வரைபடத்துடன் மிகவும் ஒத்திருக்கிறது.

ஏற்கனவே குறிப்பிட்டுள்ளபடி, பைனோமியல் விநியோகம் எளிமையான சூதாட்ட விளையாட்டின் அவதானிப்புகளிலிருந்து எழுந்தது - சரியான நாணயத்தை தூக்கி எறிதல். பல சூழ்நிலைகளில், இந்த மாதிரி உதவுகிறது முதலில் நல்லதுமிகவும் சிக்கலான விளையாட்டுகள் மற்றும் பங்குச் சந்தையில் விளையாடும் போது ஏற்படும் சீரற்ற செயல்முறைகளுக்கான தோராயம். பல சிக்கலான செயல்முறைகளின் அத்தியாவசிய அம்சங்களை ஒரு எளிய பைனோமியல் மாதிரியிலிருந்து புரிந்து கொள்ள முடியும் என்பது குறிப்பிடத்தக்கது.

உதாரணமாக, பின்வரும் சூழ்நிலையைக் கவனியுங்கள்.

கோட் ஆஃப் ஆர்ம்ஸ் வீழ்ச்சியை 1 என்றும், வால்கள் விழுவதை - மைனஸ் 1 என்றும் குறிப்போம், அடுத்தடுத்த தருணங்களில் லாபம் மற்றும் இழப்புகளைச் சுருக்கமாகக் கூறுவோம். 1,000 டாஸ்கள், 5,000 டாஸ்கள் மற்றும் 10,000 டாஸ்கள் கொண்ட அத்தகைய விளையாட்டின் வழக்கமான பாதைகளை வரைபடங்கள் காட்டுகின்றன. பாதை பூஜ்ஜியத்திற்கு மேலே அல்லது கீழே எவ்வளவு காலம் உள்ளது என்பதில் கவனம் செலுத்துங்கள், வேறுவிதமாகக் கூறினால், முற்றிலும் நியாயமான விளையாட்டில் வீரர்களில் ஒருவர் வெல்லும் நேரம் மிக நீண்டது, மேலும் வெற்றியிலிருந்து தோல்விக்கு மாறுவது ஒப்பீட்டளவில் அரிதானது. பொருத்துவது கடினம். ஆயத்தமில்லாத மனதில், "முற்றிலும் நியாயமான விளையாட்டு" என்ற வெளிப்பாடு ஒரு மந்திர எழுத்து போல் தெரிகிறது. எனவே, நிலைமைகளின் கீழ் விளையாட்டு நியாயமானதாக இருந்தாலும், ஒரு பொதுவான பாதையின் நடத்தை நியாயமானதாக இல்லை மற்றும் சமநிலையைக் காட்டாது!

நிச்சயமாக, அனுபவ ரீதியாக இந்த உண்மை அனைத்து வீரர்களுக்கும் தெரியும், ஒரு உத்தி அதனுடன் தொடர்புடையது, வீரர் வெற்றியுடன் வெளியேற அனுமதிக்கப்படாதபோது, ​​ஆனால் மேலும் விளையாட வேண்டிய கட்டாயத்தில் உள்ளார்.

ஒரு வீரர் வெற்றிபெறும் போது (0க்கு மேல் உள்ள பாதை) மற்றவர் இழக்கும் எறிதல்களின் எண்ணிக்கையைக் கவனியுங்கள் (பாதை 0 க்குக் கீழே). முதல் பார்வையில், அத்தகைய வீசுதல்களின் எண்ணிக்கை ஏறக்குறைய ஒரே மாதிரியாக இருக்கும் என்று தெரிகிறது. இருப்பினும் (பரபரப்பான புத்தகத்தைப் பார்க்கவும்: ஃபெல்லர் வி. "நிகழ்தகவு கோட்பாடு மற்றும் அதன் பயன்பாடுகளின் அறிமுகம்." மாஸ்கோ: மிர், 1984, ப. 106) ஒரு சிறந்த நாணயத்தின் 10,000 டாஸ்ஸுடன். p = q = 0.5, n = 10,000) 9,930 க்கும் மேற்பட்ட சோதனைகளுக்கு ஒரு தரப்பினர் வழிநடத்தும் நிகழ்தகவு, மற்றொன்று - 70 க்கும் குறைவானது, 0.1 ஐ மீறுகிறது.

ஆச்சரியப்படும் விதமாக, சரியான நாணயத்தின் 10,000 டாஸ்கள் கொண்ட விளையாட்டில், தலைமை மாற்றங்களின் நிகழ்தகவு 8 முறைக்கு மேல் 0.14 ஐ விட அதிகமாக உள்ளது, மேலும் 78 க்கும் மேற்பட்ட தலைமை மாற்றங்களின் நிகழ்தகவு தோராயமாக 0.12 ஆகும்.

எனவே, எங்களிடம் ஒரு முரண்பாடான சூழ்நிலை உள்ளது: பெர்னோலியின் சமச்சீர் நடையில், தொடர்ச்சியான பூஜ்ஜிய வருமானங்களுக்கு இடையே உள்ள "அலைகள்" வியக்கத்தக்க வகையில் நீண்டதாக இருக்கும். இது மற்றொரு சூழ்நிலையுடன் இணைக்கப்பட்டுள்ளது, அதாவது T n / n (வரைபடம் abscissa அச்சுக்கு மேலே இருக்கும் நேரத்தின் பின்னம்) குறைந்தபட்ச சாத்தியமான மதிப்புகள் 1/2 க்கு அருகில் இருக்கும்.

கணிதவியலாளர்கள் ஆர்க்சைன் சட்டம் என்று அழைக்கப்படுவதைக் கண்டுபிடித்தனர், அதன்படி ஒவ்வொரு 0 க்கும்< а <1 вероятность неравенства , где Т n - число шагов, в течение которых первый игрок находится в выигрыше, стремится к

ஆர்க்சைன் விநியோகம்

இந்த தொடர்ச்சியான விநியோகம் இடைவெளியில் (0, 1) குவிந்துள்ளது மற்றும் அடர்த்தி கொண்டது:

தலைகீழ் சைன் விநியோகம் சீரற்ற நடையுடன் தொடர்புடையது. சமச்சீர் நாணயத்தை, அதாவது சம நிகழ்தகவுகளைக் கொண்ட நாணயத்தை வீசும்போது முதல் வீரர் வெற்றிபெறும் நேர விகிதத்தின் விநியோகம் இதுவாகும். எஸ் கோட் ஆஃப் ஆர்ம்ஸ் மற்றும் டெயில்ஸ் மீது விழுகிறது. மற்றொரு விதத்தில், அத்தகைய விளையாட்டை ஒரு துகள்களின் சீரற்ற நடையாகக் காணலாம், இது பூஜ்ஜியத்திலிருந்து தொடங்கி, சம நிகழ்தகவுகளுடன் வலது அல்லது இடதுபுறமாக ஒற்றைத் தாவல்களை செய்கிறது. துகள்களின் தாவல்கள் - கோட் ஆஃப் ஆர்ம்ஸ் அல்லது வால்களின் தோற்றம் - சமமாக சாத்தியம் என்பதால், அத்தகைய நடை பெரும்பாலும் சமச்சீர் என்று அழைக்கப்படுகிறது. நிகழ்தகவுகள் வேறுபட்டிருந்தால், சமச்சீரற்ற நடைப்பயணத்தைப் பெறுவோம்.

ஆர்க்சைனின் விநியோக அடர்த்தியின் வரைபடம் பின்வரும் படத்தில் காட்டப்பட்டுள்ளது:

மிகவும் சுவாரஸ்யமான விஷயம் என்னவென்றால், வரைபடத்தின் உயர்தர விளக்கம், அதில் இருந்து நீங்கள் ஒரு நியாயமான விளையாட்டில் வெற்றி மற்றும் தோல்விகளைப் பற்றி அற்புதமான முடிவுகளை எடுக்கலாம். வரைபடத்தைப் பார்க்கும்போது, ​​குறைந்தபட்ச அடர்த்தி புள்ளியில் இருப்பதைக் காணலாம் 1/2. "அப்படியானால் என்ன?!" - நீங்கள் கேட்க. ஆனால் இந்த கவனிப்பைப் பற்றி நீங்கள் சிந்தித்தால், உங்கள் ஆச்சரியத்திற்கு எல்லையே இருக்காது! நியாயமானதாக வரையறுக்கப்படும் போது, ​​விளையாட்டு உண்மையில் முதல் பார்வையில் தோன்றும் அளவுக்கு நியாயமானது அல்ல என்று மாறிவிடும்.

ஒரு சமச்சீர் சீரற்ற பாதைகள், இதில் ஒரு துகள் நேர்மறை மற்றும் எதிர்மறை அரைஅக்ஸ்கள் இரண்டிலும் சமமான நேரத்தை செலவிடுகிறது, அதாவது பூஜ்ஜியத்தின் வலது அல்லது இடதுபுறம், மிகக் குறைவான நிகழ்தகவு. வீரர்களின் மொழிக்கு செல்லும்போது, ​​சமச்சீர் நாணயத்தை வீசும்போது, ​​வீரர்கள் சமமாக வெற்றிபெறும் மற்றும் தோல்வியடையும் விளையாட்டுகள் மிகக் குறைவு என்று கூறலாம்.

மாறாக, ஒரு வீரர் வெற்றிபெற அதிக வாய்ப்புள்ள விளையாட்டுகள், மற்றொன்று முறையே தோல்வியடையும் வாய்ப்புகள் அதிகம். ஒரு அற்புதமான முரண்பாடு!

நிகழ்தகவைக் கணக்கிடுவதற்கு, முதல் ஆட்டக்காரர் வெற்றிபெறும் நேரத்தின் பின்னம் t இன் வரம்பில் இருக்கும் t1 முதல் t2, இது விநியோக செயல்பாட்டின் மதிப்பிலிருந்து அவசியம் F (t2) F (t1) விநியோகச் செயல்பாட்டின் மதிப்பைக் கழிக்கவும்.

முறைப்படி நாம் பெறுகிறோம்:

பி (டி1

இந்த உண்மையின் அடிப்படையில், 10,000 படிகளில் துகள் 0.1 நிகழ்தகவுடன் 9930 க்கும் மேற்பட்ட நேர நேரங்களின் நேர்மறை பக்கத்தில் உள்ளது என்று STATISTICA ஐப் பயன்படுத்தி கணக்கிடலாம், அதாவது தோராயமாகச் சொன்னால், அத்தகைய நிலைமை குறைந்தபட்சம் ஒன்றில் கவனிக்கப்படும். பத்தில் வழக்கு. (முதல் பார்வையில், இது அபத்தமாகத் தோன்றினாலும், யு. வி. ப்ரோகோரோவ் "பெர்னௌல்லிஸ் வாக்" என்சைக்ளோபீடியாவில் "நிகழ்தகவு மற்றும் கணிதப் புள்ளியியல்", பக். 42-43, மாஸ்கோ: பெரிய குறிப்பைப் பார்க்கவும் ரஷ்ய கலைக்களஞ்சியம், 1999) ...

எதிர்மறை இருவகைப் பரவல்

இது முழுப் புள்ளிகளுக்கும் ஒதுக்கும் ஒரு தனித்துவமான விநியோகமாகும் k = 0,1,2, ... நிகழ்தகவுகள்:

p k = P (X = k) = C k r + k-1 p r (l-p) k ", இங்கு 0<р<1,r>0.

எதிர்மறை இருவகைப் பரவல் பல பயன்பாடுகளில் காணப்படுகிறது.

பொதுவாக r> 0 எதிர்மறை பைனோமியல் விநியோகம் என்பது பெர்னோலி சோதனைத் திட்டத்தில் "வெற்றி" நிகழ்தகவுடன் rth "வெற்றி"க்கான காத்திருப்பு நேரத்தின் விநியோகமாக விளக்கப்படுகிறது. p, எடுத்துக்காட்டாக, இரண்டாவது கோட் ஆஃப் ஆர்ம்ஸ் உருட்டப்படுவதற்கு முன் செய்யப்படும் ரோல்களின் எண்ணிக்கை, இது சில நேரங்களில் பாஸ்கல் விநியோகம் என்று அழைக்கப்படுகிறது மற்றும் காமா விநியோகத்தின் தனித்துவமான அனலாக் ஆகும்.

மணிக்கு r = 1 எதிர்மறை இருவகைப் பரவல் வடிவியல் பரவலுடன் ஒத்துப்போகிறது.

Y ஆனது ஒரு சீரற்ற அளவுருவுடன் கூடிய பாய்சன் பரவலுடன் ஒரு சீரற்ற மாறியாக இருந்தால், இது அடர்த்தியுடன் கூடிய காமா விநியோகத்தைக் கொண்டுள்ளது.

பின்னர் Ub ஆனது அளவுருக்கள் கொண்ட எதிர்மறை இருவகைப் பரவலைக் கொண்டிருக்கும்;

விஷம் விநியோகம்

பாய்சன் விநியோகம் சில நேரங்களில் அரிதான நிகழ்வு விநியோகம் என்று குறிப்பிடப்படுகிறது. பாய்சனின் சட்டத்தின்படி விநியோகிக்கப்படும் மாறிகளின் எடுத்துக்காட்டுகள்: விபத்துகளின் எண்ணிக்கை, உற்பத்தி செயல்பாட்டில் உள்ள குறைபாடுகளின் எண்ணிக்கை போன்றவை. பாய்சன் விநியோகம் சூத்திரத்தால் தீர்மானிக்கப்படுகிறது:

பாய்சன் சீரற்ற மாறியின் முக்கிய பண்புகள்:

பாய்சன் விநியோகம் அதிவேகப் பரவல் மற்றும் பெர்னௌல்லி விநியோகத்துடன் தொடர்புடையது.

நிகழ்வுகளின் எண்ணிக்கையில் பாய்சன் விநியோகம் இருந்தால், நிகழ்வுகளுக்கு இடையிலான இடைவெளிகள் அதிவேக அல்லது அதிவேக விநியோகத்தைக் கொண்டிருக்கும்.

விஷம் விநியோக திட்டம்:

பாய்சன் விநியோகத்தின் சதியை அளவுரு 5 உடன் p = q = 0.5, n = 100 இல் உள்ள பெர்னௌல்லி விநியோகத்தின் சதியுடன் ஒப்பிடுக.

வரைபடங்கள் மிகவும் ஒத்திருப்பதை நீங்கள் காண்பீர்கள். பொது வழக்கில், பின்வரும் முறை உள்ளது (உதாரணமாக, சிறந்த புத்தகத்தைப் பார்க்கவும்: Shiryaev AN "நிகழ்தகவு." மாஸ்கோ: Nauka, ப. 76): பெர்னௌலியின் சோதனைகளில் n பெரிய மதிப்புகளை எடுத்தால், வெற்றியின் நிகழ்தகவு / ? ஒப்பீட்டளவில் சிறியது, அதனால் வெற்றிகளின் சராசரி எண்ணிக்கை (தயாரிப்பு மற்றும் bp) சிறியதாகவோ அல்லது பெரியதாகவோ இல்லை, பின்னர் n, p அளவுருக்கள் கொண்ட பெர்னௌல்லி விநியோகம் = np உடன் Poisson விநியோகத்தால் மாற்றப்படலாம்.

பாய்சனின் விநியோகம் நடைமுறையில் பரவலாகப் பயன்படுத்தப்படுகிறது, எடுத்துக்காட்டாக, அரிய நிகழ்வுகளின் விநியோகமாக தரக் கட்டுப்பாட்டு விளக்கப்படங்களில்.

மற்றொரு எடுத்துக்காட்டு, தொலைபேசி இணைப்புகள் தொடர்பான பின்வரும் சிக்கலைக் கவனியுங்கள் மற்றும் நடைமுறையில் இருந்து எடுக்கப்பட்டது (பார்க்க: ஃபெல்லர் வி. நிகழ்தகவு கோட்பாடு மற்றும் அதன் பயன்பாடுகளின் அறிமுகம். மாஸ்கோ: மிர், 1984, ப. 205, மேலும் மோலினா இ.எஸ். (1935 ) நிகழ்தகவு பொறியியல், மின் பொறியியல், 54, ப. 423-427; பெல் தொலைபேசி அமைப்பு தொழில்நுட்ப வெளியீடுகள் மோனோகிராஃப் B-854). இந்த பணி நவீன மொழியில் மொழிபெயர்க்க எளிதானது, எடுத்துக்காட்டாக, மொபைல் தகவல்தொடர்புகளின் மொழியில், ஆர்வமுள்ள வாசகர்கள் செய்ய ஊக்குவிக்கப்படுகிறார்கள்.

சிக்கல் பின்வருமாறு வடிவமைக்கப்பட்டுள்ளது. இரண்டு தொலைபேசி பரிமாற்றங்கள் இருக்கட்டும் - ஏ மற்றும் பி.

தொலைபேசி நிலையம் A 2,000 சந்தாதாரர்களின் தொடர்பாடலை B நிலையத்துடன் உறுதிசெய்ய வேண்டும். தகவல்தொடர்பு தரமானது 100ல் 1 அழைப்பு மட்டுமே லைன் இலவசமாவதற்கு காத்திருக்கும் வகையில் இருக்க வேண்டும்.

கேள்வி என்னவென்றால்: கொடுக்கப்பட்ட தகவல்தொடர்பு தரத்தை உறுதிப்படுத்த நீங்கள் எத்தனை தொலைபேசி இணைப்புகளை அமைக்க வேண்டும்? வெளிப்படையாக, 2,000 வரிகளை உருவாக்குவது முட்டாள்தனமானது, ஏனெனில் அவற்றில் பல நீண்ட காலத்திற்கு இலவசமாக இருக்கும். உள்ளுணர்வு கருத்தில் இருந்து, வெளிப்படையாக, சில உகந்த எண்ணிக்கையிலான கோடுகள் உள்ளன என்பது தெளிவாகிறது N. இந்த எண்ணை எவ்வாறு கணக்கிடுவது?

நெட்வொர்க்கிற்கான சந்தாதாரரின் அணுகலின் தீவிரத்தை விவரிக்கும் ஒரு யதார்த்தமான மாதிரியுடன் தொடங்குவோம், அதே நேரத்தில் மாதிரியின் துல்லியம் நிலையான புள்ளிவிவர அளவுகோல்களைப் பயன்படுத்தி சரிபார்க்கப்படலாம் என்பதை நினைவில் கொள்க.

எனவே, ஒவ்வொரு சந்தாதாரரும் ஒரு மணி நேரத்திற்கு சராசரியாக 2 நிமிடங்கள் வரியைப் பயன்படுத்துகிறார்கள் மற்றும் சந்தாதாரர் இணைப்புகள் சுயாதீனமானவை என்று வைத்துக்கொள்வோம் (இருப்பினும், ஃபெல்லர் சரியாகக் குறிப்பிடுவது போல, பிந்தையது அனைத்து சந்தாதாரர்களையும் பாதிக்கும் நிகழ்வுகள் இல்லாவிட்டால், எடுத்துக்காட்டாக, ஒரு போர் அல்லது ஒரு சூறாவளி).

எங்களிடம் 2000 பெர்னௌல்லி சோதனைகள் (காயின் டாஸ்கள்) அல்லது பி = 2/60 = 1/30 என்ற வெற்றி விகிதத்துடன் நெட்வொர்க் இணைப்புகள் உள்ளன.

N க்கும் அதிகமான பயனர்கள் ஒரே நேரத்தில் நெட்வொர்க்குடன் இணைக்கப்பட்டிருக்கும் நிகழ்தகவு 0.01 ஐ விட அதிகமாக இல்லாதபோது அத்தகைய N ஐக் கண்டறிவது அவசியம். இந்த கணக்கீடுகளை STATISTICA அமைப்பில் எளிதாக தீர்க்க முடியும்.

STATISTICA இல் சிக்கலைத் தீர்ப்பது.

படி 1.தொகுதியைத் திறக்கவும் அடிப்படை புள்ளிவிவரங்கள்... 110 அவதானிப்புகளைக் கொண்ட binoml.sta கோப்பை உருவாக்கவும். முதல் மாறிக்கு பெயரிடவும் இருவகை, இரண்டாவது மாறி உள்ளது விஷம்.

படி 2. இருவகை, சன்னலை திற மாறி 1(அத்தி பார்க்கவும்). படத்தில் காட்டப்பட்டுள்ளபடி சாளரத்தில் சூத்திரத்தை உள்ளிடவும். பொத்தானை கிளிக் செய்யவும் சரி.

படி 3.தலைப்பில் இருமுறை கிளிக் செய்வதன் மூலம் விஷம், சன்னலை திற மாறி 2(அத்தி பார்க்கவும்.)

படத்தில் காட்டப்பட்டுள்ளபடி சாளரத்தில் சூத்திரத்தை உள்ளிடவும். சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்தி பாய்சன் விநியோகத்தின் அளவுருவைக் கணக்கிடுகிறோம் என்பதை நினைவில் கொள்க = n × ப. எனவே = 2000 × 1/30. பொத்தானை கிளிக் செய்யவும் சரி.

STATISTICA நிகழ்தகவுகளைக் கணக்கிட்டு அவற்றை உருவாக்கப்பட்ட கோப்பில் எழுதும்.

படி 4.கட்டமைக்கப்பட்ட அட்டவணையின் மூலம் 86 எண்ணிடப்பட்ட வழக்குகளுக்கு உருட்டவும். 2000 நெட்வொர்க் பயனர்களில் 86 அல்லது அதற்கு மேற்பட்டவர்கள் ஒரு மணிநேரத்திற்கு ஒரே நேரத்தில் வேலை செய்யும் நிகழ்தகவு 0.01347 என்பதை நீங்கள் பார்ப்பீர்கள்.

2,000 நெட்வொர்க் பயனர்களில் 86 அல்லது அதற்கு மேற்பட்டவர்கள் ஒரு மணிநேரத்தில் ஒரே நேரத்தில் வேலை செய்யும் நிகழ்தகவு, பாய்சன் தோராயத்தைப் பயன்படுத்தும்போது 0.01293 ஆகும்.

0.01 க்கு மேல் நிகழ்தகவு தேவைப்படுவதால், தேவையான தகவல்தொடர்பு தரத்தை வழங்க 87 வரிகள் போதுமானதாக இருக்கும்.

ஈருறுப்புப் பரவலுக்கான இயல்பான தோராயத்தைப் பயன்படுத்துவதன் மூலம் இதே போன்ற முடிவுகளைப் பெறலாம் (இதைச் சரிபார்க்கவும்!).

V. ஃபெல்லர் தனது வசம் STATISTICA அமைப்பைக் கொண்டிருக்கவில்லை என்பதையும், பைனாமியல் மற்றும் சாதாரண விநியோகத்திற்காக அட்டவணைகளைப் பயன்படுத்தினார் என்பதையும் கவனத்தில் கொள்ளவும்.

அதே காரணத்தைப் பயன்படுத்தி, W. ஃபெல்லரால் விவாதிக்கப்பட்ட பின்வரும் சிக்கலை ஒருவர் தீர்க்க முடியும். தலா 1000 பேர் கொண்ட 2 குழுக்களாகப் பிரிக்கும் போது, ​​நம்பகத்தன்மையுடன் பயனர்களுக்கு சேவை செய்ய அதிக அல்லது குறைவான வரிகள் தேவையா என்பதைச் சரிபார்க்க வேண்டும்.

பயனர்களை குழுக்களாகப் பிரிப்பதன் மூலம் அதே தரத்தை அடைய கூடுதலாக 10 வரிகள் தேவைப்படும்.

பகலில் நெட்வொர்க் இணைப்பின் தீவிரத்தில் ஏற்படும் மாற்றத்தையும் நீங்கள் கணக்கில் எடுத்துக்கொள்ளலாம்.

வடிவியல் விநியோகம்

சுயாதீனமான பெர்னௌலி சோதனைகள் மேற்கொள்ளப்பட்டு, அடுத்த "வெற்றி" ஏற்படும் வரை சோதனைகளின் எண்ணிக்கை கணக்கிடப்பட்டால், இந்த எண் வடிவியல் பரவலைக் கொண்டுள்ளது. எனவே, நீங்கள் ஒரு நாணயத்தைப் புரட்டினால், அடுத்த கோட் ஆஃப் ஆர்ம்ஸ் விழுவதற்கு முன்பு நீங்கள் செய்ய வேண்டிய டாஸ்களின் எண்ணிக்கை வடிவியல் விதியைப் பின்பற்றுகிறது.

வடிவியல் விநியோகம் சூத்திரத்தால் தீர்மானிக்கப்படுகிறது:

F (x) = p (1-p) x-1

p என்பது வெற்றியின் நிகழ்தகவு, x = 1, 2,3 ...

விநியோகத்தின் பெயர் வடிவியல் முன்னேற்றத்துடன் தொடர்புடையது.

எனவே, வடிவியல் பரவலானது வெற்றி ஒரு குறிப்பிட்ட கட்டத்தில் வந்ததற்கான நிகழ்தகவை அமைக்கிறது.

வடிவியல் பரவல் என்பது அதிவேகப் பரவலின் தனித்துவமான அனலாக் ஆகும். குவாண்டாவில் நேரம் மாறினால், ஒவ்வொரு தருணத்திலும் வெற்றிக்கான நிகழ்தகவு ஒரு வடிவியல் விதியால் விவரிக்கப்படுகிறது. நேரம் தொடர்ச்சியாக இருந்தால், நிகழ்தகவு ஒரு அதிவேக அல்லது அதிவேக விதியால் விவரிக்கப்படுகிறது.

ஹைபர்ஜியோமெட்ரிக் விநியோகம்

இது ஒரு சீரற்ற மாறி X இன் தனித்தனி நிகழ்தகவு விநியோகம் ஆகும் முழு எண் மதிப்புகள் m = 0, 1,2, ..., n நிகழ்தகவுகளுடன்:

N, M மற்றும் n ஆகியவை எதிர்மில்லாத முழு எண்கள் மற்றும் M< N, n < N.

ஹைப்பர்ஜியோமெட்ரிக் பரவலானது பொதுவாக மீண்டும் நிகழாத ஒரு தேர்வுடன் தொடர்புடையது மற்றும் எடுத்துக்காட்டாக, M கருப்பு மற்றும் N - M வெள்ளை உள்ளிட்ட N பந்துகளைக் கொண்ட பொது மக்களிடமிருந்து n அளவின் சீரற்ற மாதிரியில் சரியாக m கருப்பு பந்துகளைக் கண்டறிவதற்கான நிகழ்தகவை தீர்மானிக்கிறது (பார்க்க , எடுத்துக்காட்டாக, என்சைக்ளோபீடியா "நிகழ்தகவு மற்றும் கணித புள்ளிவிவரங்கள்", மாஸ்கோ: கிரேட் ரஷியன் என்சைக்ளோபீடியா, ப. 144).

ஹைப்பர்ஜியோமெட்ரிக் விநியோகத்தின் கணித எதிர்பார்ப்பு N ஐச் சார்ந்து இல்லை மற்றும் தொடர்புடைய இருபக்க விநியோகத்தின் கணித எதிர்பார்ப்பு µ = np உடன் ஒத்துப்போகிறது.

ஹைபர்ஜியோமெட்ரிக் விநியோகத்தின் சிதறல் ஈருறுப்பு விநியோகத்தின் மாறுபாட்டை மீறுவதில்லை npq எந்தவொரு வரிசையின் தருணங்களுக்கும், ஹைப்பர்ஜியோமெட்ரிக் விநியோகம் இருசொல் விநியோகத்தின் தருணங்களின் தொடர்புடைய மதிப்புகளுக்குச் செல்கிறது.

தரக் கட்டுப்பாட்டுப் பணிகளில் இந்த விநியோகம் மிகவும் பொதுவானது.

பல்லுறுப்புக்கோவை பரவல்

ஒரு பல்லுறுப்புக்கோவை, அல்லது பல்லுறுப்புக்கோவை, விநியோகம் இயற்கையாகவே பரவலைப் பொதுமைப்படுத்துகிறது. ஒரு நாணயம் இரண்டு விளைவுகளுடன் (லாட்டிஸ் அல்லது கோட் ஆஃப் ஆர்ம்ஸ்) தூக்கி எறியப்படும் போது இருபக்கப் பரவல் ஏற்பட்டால், ஒரு டை உருட்டப்படும்போது மற்றும் இரண்டுக்கும் மேற்பட்ட சாத்தியமான விளைவுகள் இருக்கும்போது பல்லுறுப்புக்கோவை விநியோகம் ஏற்படுகிறது. முறைப்படி, இது X 1, ..., X k ஆகிய சீரற்ற மாறிகளின் கூட்டு நிகழ்தகவு விநியோகமாகும், முழு எண் எதிர்மறை அல்லாத மதிப்புகள் n 1, ..., nk, நிபந்தனை n 1 + ... + nk = n, நிகழ்தகவுகளுடன்:

பல்லுறுப்புக்கோவையின் (р 1 + ... + p k) n விரிவாக்கத்தின் போது பல்லுறுப்புக்கோவை நிகழ்தகவுகள் எழுகின்றன என்பதன் மூலம் "பல்கோப்புப் பரவல்" என்ற பெயர் விளக்கப்படுகிறது.

பீட்டா விநியோகம்

பீட்டா விநியோகம் படிவத்தின் அடர்த்தியைக் கொண்டுள்ளது:

நிலையான பீட்டா விநியோகம் 0 முதல் 1 வரையிலான வரம்பில் குவிந்துள்ளது. நேரியல் மாற்றங்களைப் பயன்படுத்துவதன் மூலம், பீட்டா மதிப்பை மாற்ற முடியும், இதனால் அது எந்த வரம்பிலும் மதிப்புகளை எடுக்கும்.

பீட்டா விநியோகம் கொண்ட அளவின் முக்கிய எண் பண்புகள்:

தீவிர மதிப்புகளின் விநியோகம்

தீவிர மதிப்புகளின் விநியோகம் (வகை I) படிவத்தின் அடர்த்தியைக் கொண்டுள்ளது:

இந்த விநியோகம் சில நேரங்களில் தீவிர மதிப்பு விநியோகம் என்றும் அழைக்கப்படுகிறது.

தீவிர மதிப்பு விநியோகம், வெள்ள நிலைகள், சுழல் வேகங்கள், கொடுக்கப்பட்ட ஆண்டிற்கான அதிகபட்ச பங்குச் சந்தை குறியீடுகள் மற்றும் பல போன்ற தீவிர நிகழ்வுகளை உருவகப்படுத்த பயன்படுகிறது.

இந்த விநியோகம் நம்பகத்தன்மை கோட்பாட்டில் பயன்படுத்தப்படுகிறது, எடுத்துக்காட்டாக, மின்சுற்றுகளின் தோல்வி நேரத்தை விவரிக்கவும், அதே போல் உண்மையான கணக்கீடுகளிலும்.

ரேலி விநியோகம்

Rayleigh விநியோகம் படிவத்தின் அடர்த்தியைக் கொண்டுள்ளது:

b என்பது அளவுரு அளவுரு.

Rayleigh விநியோகம் 0 முதல் முடிவிலி வரையிலான வரம்பில் குவிந்துள்ளது. 0க்கு பதிலாக, STATISTICA ஆனது வாசல் அளவுருக்கான மற்றொரு மதிப்பை உள்ளிட உங்களை அனுமதிக்கிறது, இது Rayleigh விநியோகத்தைப் பொருத்துவதற்கு முன் அசல் தரவிலிருந்து கழிக்கப்படும். எனவே, வாசல் அளவுருவின் மதிப்பு கவனிக்கப்பட்ட அனைத்து மதிப்புகளையும் விட குறைவாக இருக்க வேண்டும்.

y 1 மற்றும் y 2 ஆகிய இரண்டு மாறிகள் ஒன்றுக்கொன்று சார்பற்றதாகவும் பொதுவாக ஒரே மாறுபாட்டுடன் விநியோகிக்கப்படும் என்றும் இருந்தால், மாறி Rayleigh விநியோகம் இருக்கும்.

Rayleigh விநியோகம், எடுத்துக்காட்டாக, படப்பிடிப்பு கோட்பாட்டில் பயன்படுத்தப்படுகிறது.

வெய்புல் விநியோகம்

ஸ்வீடிஷ் ஆராய்ச்சியாளர் வாலோடி வெய்புல் என்பவரின் நினைவாக வெய்புல் விநியோகம் பெயரிடப்பட்டது, அவர் நம்பகத்தன்மை கோட்பாட்டில் பல்வேறு வகையான தோல்வி நேரங்களை விவரிக்க இந்த விநியோகத்தைப் பயன்படுத்தினார்.

முறைப்படி, வெய்புல் விநியோக அடர்த்தி வடிவத்தில் எழுதப்பட்டுள்ளது:

சில நேரங்களில் வெய்புல் விநியோக அடர்த்தியும் வடிவத்தில் எழுதப்படுகிறது:

B என்பது அளவுரு அளவுரு;

С - வடிவ அளவுரு;

E என்பது ஆய்லரின் மாறிலி (2.718 ...).

நிலை அளவுரு. பொதுவாக, வெய்புல் பரவலானது 0 முதல் முடிவிலி வரையிலான அரைஅச்சுகளை மையமாகக் கொண்டது. எல்லை 0 க்கு பதிலாக, நடைமுறையில் பெரும்பாலும் தேவைப்படும் அளவுரு a ஐ அறிமுகப்படுத்தினால், மூன்று அளவுரு Weibull விநியோகம் என்று அழைக்கப்படுவது எழுகிறது.

வெய்புல் விநியோகம் நம்பகத்தன்மை மற்றும் காப்பீட்டுக் கோட்பாட்டில் பரவலாகப் பயன்படுத்தப்படுகிறது.

மேலே விவரிக்கப்பட்டுள்ளபடி, ஒரு பொருளின் தோல்வியின் நிகழ்தகவு நிலையானது என்ற அனுமானத்தின் கீழ் MTBF ஐ மதிப்பிடுவதற்கான மாதிரியாக அதிவேக விநியோகம் பெரும்பாலும் பயன்படுத்தப்படுகிறது. காலப்போக்கில் தோல்வியின் நிகழ்தகவு மாறினால், வெய்புல் விநியோகம் பயன்படுத்தப்படும்.

மணிக்கு c = 1 அல்லது, மற்றொரு அளவுருவில், வெய்புல் விநியோகம், சூத்திரங்களில் இருந்து பார்க்க எளிதானது, ஒரு அதிவேக விநியோகமாகவும், at, ஒரு ரேலீ விநியோகமாகவும் மாறுகிறது.

வெய்புல் விநியோகத்தின் அளவுருக்களை மதிப்பிடுவதற்கான சிறப்பு முறைகள் உருவாக்கப்பட்டுள்ளன (உதாரணமாக, புத்தகம்: Lawless (1982) புள்ளிவிவர மாதிரிகள் மற்றும் வாழ்நாள் தரவுக்கான முறைகள், Belmont, CA: Lifetime Learning, இது மதிப்பீட்டு முறைகளை விவரிக்கிறது, அத்துடன் மூன்று அளவுரு விநியோகம் Weibull க்கான நிலை அளவுருவை மதிப்பிடும் போது ஏற்படும் சிக்கல்கள்).

பெரும்பாலும், ஒரு நம்பகத்தன்மை பகுப்பாய்வைச் செய்யும்போது, ​​ஒரு குறிப்பிட்ட நேரத்திற்குப் பிறகு ஒரு குறுகிய கால இடைவெளியில் தோல்வியின் நிகழ்தகவைக் கருத்தில் கொள்வது அவசியம். t அதை தருணம் வரை வழங்கியுள்ளது எந்த தோல்வியும் ஏற்படவில்லை.

அத்தகைய செயல்பாடு ஆபத்து செயல்பாடு அல்லது தோல்வி விகிதம் செயல்பாடு என்று அழைக்கப்படுகிறது, மேலும் இது முறையாக பின்வருமாறு வரையறுக்கப்படுகிறது:

H (t) - தோல்வி விகிதம் அல்லது ஆபத்து செயல்பாடு நேரத்தில் t செயல்பாடு;

f (t) - தோல்வி நேரங்களின் விநியோக அடர்த்தி;

F (t) என்பது தோல்வி நேரங்களின் விநியோகச் செயல்பாடாகும் (இடைவெளியில் உள்ள அடர்த்தியின் ஒருங்கிணைப்பு).

பொதுவாக, தோல்வி விகிதம் செயல்பாடு பின்வருமாறு எழுதப்பட்டுள்ளது:

ஆபத்து செயல்பாடு ஒரு மாறிலிக்கு சமமாக இருக்கும்போது, ​​இது சாதனத்தின் இயல்பான செயல்பாட்டிற்கு ஒத்திருக்கிறது (சூத்திரங்களைப் பார்க்கவும்).

இல், ஆபத்து செயல்பாடு குறைகிறது, இது சாதனத்தின் இயங்குதலுக்கு ஒத்திருக்கிறது.

மணிக்கு, ஆபத்து செயல்பாடு குறைகிறது, இது சாதனத்தின் வயதானதற்கு ஒத்திருக்கிறது. வழக்கமான ஆபத்து செயல்பாடுகள் வரைபடத்தில் காட்டப்பட்டுள்ளன.

வெவ்வேறு அளவுருக்கள் கொண்ட வெய்புல் அடர்த்தி அடுக்குகள் கீழே காட்டப்பட்டுள்ளன. அளவுருவின் மதிப்புகளின் மூன்று வரம்புகளுக்கு கவனம் செலுத்த வேண்டியது அவசியம் a:

முதல் பகுதியில், ஆபத்து செயல்பாடு குறைகிறது (சரிப்படுத்தும் காலம்), இரண்டாவது பகுதியில், ஆபத்து செயல்பாடு ஒரு மாறிலிக்கு சமம், மூன்றாவது பகுதியில், ஆபத்து செயல்பாடு அதிகரிக்கிறது.

ஒரு புதிய காரை வாங்குவதற்கான உதாரணத்திற்கு நீங்கள் கூறப்பட்டதை நீங்கள் எளிதாக புரிந்து கொள்ளலாம்: முதலில் காரைத் தழுவும் காலம் உள்ளது, பின்னர் இயல்பான செயல்பாட்டின் நீண்ட காலம், பின்னர் கார் பாகங்கள் தேய்ந்து, அதன் தோல்வியின் ஆபத்து கூர்மையாக அதிகரிக்கிறது. .

செயல்பாட்டின் அனைத்து காலகட்டங்களும் ஒரே விநியோக குடும்பத்தால் விவரிக்கப்படுவது முக்கியம். இது வெய்புல் விநியோகத்தின் யோசனை.

வெய்புல் விநியோகத்தின் முக்கிய எண் பண்புகள் இங்கே உள்ளன.

பரேட்டோ விநியோகம்

பயன்பாட்டு புள்ளிவிவரங்களின் பல்வேறு சிக்கல்களில், துண்டிக்கப்பட்ட விநியோகங்கள் என்று அழைக்கப்படுவது பெரும்பாலும் சந்திக்கப்படுகிறது.

எடுத்துக்காட்டாக, இந்த விநியோகம் காப்பீட்டில் அல்லது வரிவிதிப்புகளில் வருமானம் ஒரு குறிப்பிட்ட மதிப்பை விட அதிகமாக இருக்கும் போது பயன்படுத்தப்படுகிறது c 0

பரேட்டோ விநியோகத்தின் முக்கிய எண் பண்புகள்:

லாஜிஸ்டிக் விநியோகம்

தளவாட விநியோகம் ஒரு அடர்த்தி செயல்பாட்டைக் கொண்டுள்ளது:

A - நிலை அளவுரு;

B என்பது அளவுரு அளவுரு;

E என்பது யூலரின் எண் (2.71 ...).

ஹோட்டல் டி 2 -விநியோகம்

இந்த தொடர்ச்சியான விநியோகம், இடைவெளியில் (0, T) ஒரு அடர்த்தியைக் கொண்டுள்ளது:

அளவுருக்கள் எங்கே n மற்றும் k, n> _k> _1, சுதந்திரத்தின் அளவுகள் என்று அழைக்கப்படுகின்றன.

மணிக்கு Hotelling's k = 1, P-விநியோகம் மாணவர்களின் விநியோகமாக குறைக்கப்பட்டது, மேலும் எதற்கும் k> 1 என்பது பல பரிமாண வழக்குக்கான மாணவர் விநியோகத்தின் பொதுமைப்படுத்தலாகக் கருதப்படலாம்.

ஹோட்டல் விநியோகம் சாதாரண விநியோகத்தை அடிப்படையாகக் கொண்டது.

ஒரு k-பரிமாண சீரற்ற திசையன் Y ஆனது பூஜ்ஜிய சராசரி திசையன் மற்றும் கோவாரியன்ஸ் மேட்ரிக்ஸுடன் இயல்பான பரவலைக் கொண்டிருக்கட்டும்.

அளவைக் கவனியுங்கள்

சீரற்ற திசையன்களான Z i ஒன்றுக்கொன்று மற்றும் Y இல் இருந்து சுயாதீனமாக உள்ளன மற்றும் Y போலவே விநியோகிக்கப்படுகின்றன.

பின்னர் சீரற்ற மாறி T 2 = Y T S -1 Y ஆனது T 2-Hotelling விநியோகத்தை n டிகிரி சுதந்திரத்துடன் கொண்டுள்ளது (Y என்பது ஒரு நெடுவரிசை திசையன், T என்பது இடமாற்ற இயக்கி).

அங்கு சீரற்ற மாறி t n சுதந்திரத்தின் n டிகிரி கொண்ட மாணவர்களின் விநியோகத்தைக் கொண்டுள்ளது ("நிகழ்தகவு மற்றும் கணிதப் புள்ளியியல்", என்சைக்ளோபீடியா, ப. 792 ஐப் பார்க்கவும்).

Y இல் பூஜ்ஜியமற்ற சராசரியுடன் இயல்பான பரவல் இருந்தால், அதனுடன் தொடர்புடைய விநியோகம் அழைக்கப்படுகிறது மையத்திற்கு வெளியேஹோட்டல் டி 2 - சுதந்திரம் மற்றும் மையமற்ற அளவுருவின் n டிகிரி கொண்ட விநியோகம் v.

Hotelling's T 2 -distribution என்பது மாணவர்களின் t-விநியோகத்தின் அதே சூழ்நிலையில் கணிதப் புள்ளிவிவரங்களில் பயன்படுத்தப்படுகிறது, ஆனால் பல பரிமாண வழக்கில் மட்டுமே. அவதானிப்புகளின் முடிவுகள் X 1, ..., X n சுயாதீனமாக இருந்தால், சராசரி வெக்டார் µ மற்றும் ஒரு சீரற்ற கோவாரியன்ஸ் மேட்ரிக்ஸுடன் பொதுவாக விநியோகிக்கப்படும் சீரற்ற திசையன்கள், பின்னர் புள்ளிவிவரங்கள்

ஒரு Hotelling T 2 -விநியோகத்துடன் உள்ளது n - 1 டிகிரி சுதந்திரம். இந்த உண்மை ஹோட்டல் அளவுகோலின் அடிப்படையை உருவாக்குகிறது.

STATISTICA இல், ஹோட்டல் அளவுகோல் கிடைக்கிறது, எடுத்துக்காட்டாக, அடிப்படை புள்ளிவிவரங்கள் மற்றும் அட்டவணைகள் தொகுதியில் (கீழே உள்ள உரையாடல் பெட்டியைப் பார்க்கவும்).

மேக்ஸ்வெல் விநியோகம்

சிறந்த வாயு மூலக்கூறுகளின் வேகங்களின் பரவலை விவரிக்கும் போது மேக்ஸ்வெல் பரவல் இயற்பியலில் எழுந்தது.

இந்த தொடர்ச்சியான விநியோகம் (0,) ஐ மையமாகக் கொண்டது மற்றும் அடர்த்தி கொண்டது:

விநியோக செயல்பாடு வடிவம் உள்ளது:

Ф (x) என்பது நிலையான இயல்பான விநியோகச் செயல்பாடாகும். மேக்ஸ்வெல் விநியோகம் நேர்மறை வளைவு குணகம் மற்றும் ஒரு புள்ளியில் ஒற்றை பயன்முறையைக் கொண்டுள்ளது (அதாவது, விநியோகம் ஒரே மாதிரியானது).

மேக்ஸ்வெல் விநியோகம் எந்த வரிசையிலும் வரையறுக்கப்பட்ட தருணங்களைக் கொண்டுள்ளது; கணித எதிர்பார்ப்பு மற்றும் மாறுபாடு முறையே சமம், மற்றும்

மேக்ஸ்வெல் விநியோகம் இயற்கையாகவே இயல்பான விநியோகத்துடன் தொடர்புடையது.

X 1, X 2, X 3 ஆகியவை 0 மற்றும் х 2 அளவுருக்களுடன் இயல்பான விநியோகத்துடன் சுயாதீன சீரற்ற மாறிகள் என்றால், சீரற்ற மாறி மேக்ஸ்வெல் விநியோகம் உள்ளது. எனவே, மேக்ஸ்வெல் பரவலானது ஒரு சீரற்ற திசையன் நீளத்தின் பரவலாகக் கருதப்படலாம், முப்பரிமாண இடத்தில் உள்ள கார்ட்டீசியன் ஒருங்கிணைப்பு அமைப்பில் உள்ள ஆயத்தொலைவுகள் சுயாதீனமானவை மற்றும் பொதுவாக சராசரி 0 மற்றும் மாறுபாடு x 2 உடன் விநியோகிக்கப்படுகின்றன.

காச்சி விநியோகம்

இந்த அற்புதமான விநியோகம் சில நேரங்களில் சராசரி மதிப்பைக் கொண்டிருக்கவில்லை, ஏனெனில் அதன் அடர்த்தி x முழுமையான மதிப்பில் அதிகரிக்கும் போது மிக மெதுவாக பூஜ்ஜியமாக மாறும். இத்தகைய விநியோகங்கள் ஹெவி டெயில்ட் விநியோகங்கள் என்று அழைக்கப்படுகின்றன. எந்த அர்த்தமும் இல்லாத ஒரு விநியோகத்தை நீங்கள் கொண்டு வர வேண்டும் என்றால், உடனடியாக Cauchy விநியோகத்தை அழைக்கவும்.

Cauchy விநியோகம் ஒரே நேரத்தில் இடைநிலை மற்றும் படிவத்தின் அடர்த்தி செயல்பாட்டைக் கொண்ட பயன்முறையைப் பொறுத்து ஒரே மாதிரியான மற்றும் சமச்சீரானது:

எங்கே c> 0 என்பது அளவுரு அளவுரு மற்றும் a என்பது மைய அளவுரு ஆகும், இது ஒரே நேரத்தில் பயன்முறை மற்றும் சராசரியின் மதிப்புகளை தீர்மானிக்கிறது.

அடர்த்தியின் ஒருங்கிணைப்பு, அதாவது விநியோக செயல்பாடு விகிதத்தால் வழங்கப்படுகிறது:

மாணவர்களின் டி விநியோகம்

"மாணவர்" என்ற புனைப்பெயரில் அறியப்பட்ட ஆங்கிலப் புள்ளியியல் வல்லுநர் V. Gosset, ஆங்கில பீரின் தரத்தைப் பற்றிய புள்ளிவிவர ஆய்வில் தனது வாழ்க்கையைத் தொடங்கியவர், 1908 இல் பின்வரும் முடிவைப் பெற்றார். இருக்கட்டும் x 0, x 1, .., x m - சுயாதீனமான, (0, s 2) - பொதுவாக விநியோகிக்கப்படும் சீரற்ற மாறிகள்:

இந்த விநியோகம், இப்போது மாணவர்களின் டி விநியோகம் என்று அழைக்கப்படுகிறது (சுருக்கமாக t (m) -பகிர்வுகள், இங்கு m என்பது சுதந்திரத்தின் அளவுகளின் எண்ணிக்கை), இரண்டு மக்கள்தொகையின் வழிமுறைகளை ஒப்பிடுவதற்காக வடிவமைக்கப்பட்ட பிரபலமான t- சோதனைக்கு அடியில் உள்ளது.

அடர்த்தி செயல்பாடு f t (x) என்பது சீரற்ற மாறிகளின் x 2 மாறுபாட்டைச் சார்ந்து இல்லை, மேலும், x = 0 என்ற புள்ளியைப் பொறுத்து ஒரே மாதிரியானது மற்றும் சமச்சீரானது.

மாணவர்களின் விநியோகத்தின் அடிப்படை எண் பண்புகள்:

சராசரியின் மதிப்பீடுகள் பரிசீலிக்கப்படும்போது மற்றும் மாதிரி மாறுபாடு தெரியாதபோது டி-விநியோகம் முக்கியமானது. இந்த வழக்கில், மாதிரி மாறுபாடு மற்றும் டி-விநியோகம் பயன்படுத்தப்படுகிறது.

பெரிய அளவிலான சுதந்திரத்தில் (30 க்கு மேல்), டி-விநியோகம் நடைமுறையில் நிலையான இயல்பான விநியோகத்துடன் ஒத்துப்போகிறது.

டி-விநியோகத்தின் அடர்த்தி செயல்பாட்டின் வரைபடம், அதிகரித்து வரும் சுதந்திரத்தின் அளவுகளுடன் பின்வருமாறு சிதைகிறது: உச்சம் அதிகரிக்கிறது, வால்கள் 0 வரை செங்குத்தாக செல்கின்றன, மேலும் டி-விநியோகத்தின் அடர்த்தி செயல்பாட்டின் வரைபடங்கள் போல் தெரிகிறது. பக்கவாட்டில் சுருக்கப்படுகின்றன.

எஃப்-விநியோகம்

கருத்தில் கொள்ளுங்கள் மீ 1 + மீ 2 சுயாதீனமான மற்றும் (0, s 2) பொதுவாக விநியோகிக்கப்படும் அளவுகள்

மற்றும் வைத்து

வெளிப்படையாக, அதே சீரற்ற மாறி இரண்டு சுயாதீனமான மற்றும் சரியான முறையில் இயல்பாக்கப்பட்ட chi-square-distributed அளவுகளின் விகிதமாக வரையறுக்கப்படலாம், அதாவது

1924 ஆம் ஆண்டில் பிரபல ஆங்கில புள்ளியியல் நிபுணர் ஆர். ஃபிஷர், ஒரு சீரற்ற மாறி F (m 1, m 2) இன் நிகழ்தகவு அடர்த்தி செயல்பாட்டின் மூலம் வழங்கப்படுகிறது என்பதைக் காட்டினார்:

இதில் Γ (y) என்பது யூலரின் காமா செயல்பாட்டின் மதிப்பு. புள்ளி y, மற்றும் சட்டமே எஃப்-விநியோகம் என அழைக்கப்படுகிறது, இது முறையே m, 1 மற்றும் m7 க்கு சமமான எண் மற்றும் வகுப்பின் சுதந்திரத்தின் அளவுகள்

எஃப் விநியோகத்தின் அடிப்படை எண் பண்புகள்:

எஃப்-விநியோகம் பாகுபாடு, பின்னடைவு பகுப்பாய்வு, மாறுபாட்டின் பகுப்பாய்வு மற்றும் பிற வகையான பல்வகை தரவு பகுப்பாய்வு ஆகியவற்றில் நிகழ்கிறது.