ஒரு சக்தி செயல்பாட்டின் வழித்தோன்றல். இயற்கையான மடக்கை மற்றும் ஒரு மடக்கை அடிப்படை

ஒரு சக்தி செயல்பாட்டின் வழித்தோன்றலுக்கான சூத்திரத்தின் வழித்தோன்றல் (x இன் சக்திக்கு). X இன் வேர்களின் வழித்தோன்றல்கள் கருதப்படுகின்றன. உயர்-வரிசை சக்தி செயல்பாட்டின் வழித்தோன்றலுக்கான சூத்திரம். வழித்தோன்றல்களைக் கணக்கிடுவதற்கான எடுத்துக்காட்டுகள்.

X இன் வழித்தோன்றல் a இன் சக்திக்கு ஒரு முறை x க்கு ஒரு மைனஸ் ஒன்றின் சக்திக்கு சமம்:
(1) .

X இன் n வது மூலத்தின் mth சக்தியின் வழித்தோன்றல்:
(2) .

ஒரு சக்திச் செயல்பாட்டின் வழித்தோன்றலுக்கான சூத்திரத்தின் வழித்தோன்றல்

வழக்கு x> 0

எக்ஸ்போனென்ட் கொண்ட ஒரு மாறி x இன் சக்தி செயல்பாட்டைக் கவனியுங்கள்:
(3) .
இங்கே a என்பது தன்னிச்சையான உண்மையான எண். வழக்கை முதலில் கருத்தில் கொள்ளுங்கள்.

செயல்பாட்டின் (3) வழித்தோன்றலைக் கண்டுபிடிக்க, நாங்கள் சக்தி செயல்பாட்டின் பண்புகளைப் பயன்படுத்தி பின்வரும் வடிவத்திற்கு மாற்றுகிறோம்:
.

இப்போது விண்ணப்பிப்பதன் மூலம் வழித்தோன்றலைக் காண்கிறோம்:
;
.
இங்கே

சூத்திரம் (1) நிரூபிக்கப்பட்டுள்ளது.

X இன் டிகிரி மீ முதல் டிகிரி n இன் வேரின் வழித்தோன்றலுக்கான சூத்திரத்தின் வழித்தோன்றல்

இப்போது பின்வரும் படிவத்தின் வேராக இருக்கும் ஒரு செயல்பாட்டைக் கவனியுங்கள்:
(4) .

வழித்தோன்றலைக் கண்டுபிடிக்க, ரூட்டை ஒரு சக்திச் செயல்பாடாக மாற்றுகிறோம்:
.
சூத்திரம் (3) உடன் ஒப்பிடுகையில், நாம் அதைப் பார்க்கிறோம்
.
பிறகு
.

(1) சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்தி, வழித்தோன்றலைக் காண்கிறோம்:
(1) ;
;
(2) .

நடைமுறையில், சூத்திரத்தை (2) மனப்பாடம் செய்ய வேண்டிய அவசியமில்லை. முதலில் வேர்களை சக்தி செயல்பாடுகளுக்கு மாற்றுவது மிகவும் வசதியானது, பின்னர் அவற்றின் வழித்தோன்றல்களை சூத்திரம் (1) பயன்படுத்தி கண்டுபிடிக்கவும் (பக்கத்தின் முடிவில் உள்ள எடுத்துக்காட்டுகளைப் பார்க்கவும்).

வழக்கு x = 0

அப்படியானால், x = என்ற மாறியின் மதிப்புக்கு சக்தி செயல்பாடு வரையறுக்கப்படுகிறது 0 ... X = இல் செயல்பாட்டின் (3) வழித்தோன்றலைக் கண்டுபிடிப்போம் 0 ... இதைச் செய்ய, வழித்தோன்றலின் வரையறையைப் பயன்படுத்துவோம்:
.

மாற்று x = 0 :
.
இந்த வழக்கில், வழித்தோன்றல் மூலம் நாம் வலது கை வரம்பைக் குறிக்கிறோம்.

எனவே நாங்கள் கண்டோம்:
.
எனவே, என்று பார்க்கப்படுகிறது.
மணிக்கு,.
மணிக்கு,.
இந்த முடிவு சூத்திரம் (1) மூலம் பெறப்படுகிறது:
(1) .
எனவே, சூத்திரம் (1) x = க்கு செல்லுபடியாகும் 0 .

வழக்கு x< 0

செயல்பாட்டை (3) மீண்டும் கருத்தில் கொள்ளுங்கள்:
(3) .
மாறிலியின் சில மதிப்புகளுக்கு, அது x இன் எதிர்மறை மதிப்புகளுக்கும் வரையறுக்கப்படுகிறது. அதாவது, இருக்கட்டும் பகுத்தறிவு எண்... பின்னர் இது ஒரு குறைக்க முடியாத பின்னமாக குறிப்பிடப்படலாம்:
,
எங்கே m மற்றும் n ஆகியவை பொதுப் பிரிப்பான் இல்லாத முழு எண்கள்.

N ஒற்றைப்படை என்றால், சக்தி செயல்பாடு மாறி x இன் எதிர்மறை மதிப்புகளுக்கும் வரையறுக்கப்படுகிறது. உதாரணமாக, n = க்கு 3 மற்றும் m = 1 எங்களிடம் க்யூப் ரூட் உள்ளது:
.
இது மாறி x இன் எதிர்மறை மதிப்புகளுக்கும் வரையறுக்கப்பட்டுள்ளது.

இது வரையறுக்கப்பட்ட மாறிலி a இன் பகுத்தறிவு மதிப்புகளுக்கு மற்றும் சக்தி செயல்பாட்டின் (3) வழித்தோன்றலைக் கண்டுபிடிப்போம். இதைச் செய்ய, நாங்கள் பின்வரும் வடிவத்தில் x ஐ பிரதிநிதித்துவப்படுத்துகிறோம்:
.
பிறகு ,
.
வழித்தோன்றலின் அடையாளத்திற்கு வெளியே மாறிலியை நகர்த்துவதன் மூலமும் ஒரு சிக்கலான செயல்பாட்டை வேறுபடுத்துவதற்கான விதியைப் பயன்படுத்துவதன் மூலமும் நாம் வழித்தோன்றலைக் காண்கிறோம்:

.
இங்கே ஆனால்
.
அப்போதிருந்து, பின்னர்
.
பிறகு
.
அதாவது, சூத்திரம் (1) இதற்கு செல்லுபடியாகும்:
(1) .

உயர் வரிசை வழித்தோன்றல்கள்

இப்போது சக்திச் செயல்பாட்டின் உயர் ஆர்டர்களின் வழித்தோன்றல்களைக் காணலாம்
(3) .
முதல் வரிசை வழித்தோன்றலை நாங்கள் ஏற்கனவே கண்டறிந்துள்ளோம்:
.

வழித்தோன்றலின் அடையாளத்திற்கு வெளியே மாறிலியை எடுத்துக் கொண்டால், இரண்டாவது வரிசை வழித்தோன்றலைக் காண்கிறோம்:
.
இதேபோல், மூன்றாவது மற்றும் நான்காவது ஆர்டர்களின் வழித்தோன்றல்களை நாங்கள் காண்கிறோம்:
;

.

இதிலிருந்து தெளிவாகிறது தன்னிச்சையான n வது வரிசையின் வழித்தோன்றல்இது போல் தெரிகிறது:
.

அதை கவனி ஒரு என்றால் இயற்கை எண் , பின்னர் n -th வழித்தோன்றல் நிலையானது:
.
அனைத்து அடுத்தடுத்த வழித்தோன்றல்களும் பூஜ்ஜியத்திற்கு சமம்:
,
மணிக்கு

டெரிவேடிவ் கணக்கீடு உதாரணங்கள்

உதாரணமாக

செயல்பாட்டின் வழித்தோன்றலைக் கண்டறியவும்:
.

தீர்வு

நாங்கள் வேர்களை சக்திகளாக மாற்றுகிறோம்:
;
.
பின்னர் அசல் செயல்பாடு வடிவம் பெறுகிறது:
.

அதிகாரங்களின் வழித்தோன்றல்களைக் கண்டறியவும்:
;
.
மாறிலியின் வழித்தோன்றல் பூஜ்யம்:
.

அடுக்கின் வழித்தோன்றலுக்கான சூத்திரங்களின் ஆதாரம் மற்றும் வழித்தோன்றல் (இ x இன் சக்தி) மற்றும் அதிவேக செயல்பாடு (a இன் சக்தி x) E ^ 2x, e ^ 3x மற்றும் e ^ nx இன் வழித்தோன்றல்களைக் கணக்கிடுவதற்கான எடுத்துக்காட்டுகள். உயர் வரிசை வழித்தோன்றல் சூத்திரங்கள்.

அதிவேகத்தின் வழித்தோன்றல் அடுக்குக்கு சமம்
(1) (e x) ′ = e x.

ஒரு பட்டத்தின் அடித்தளத்துடன் கூடிய ஒரு அதிவேக செயல்பாட்டின் வழித்தோன்றல் a இன் இயற்கையான மடக்கை மூலம் பெருக்கப்படும் செயல்பாட்டிற்கு சமம்:
(2) .

அடுக்கின் வழித்தோன்றலுக்கான சூத்திரத்தின் வழித்தோன்றல், e இன் சக்தி

அடுக்கு என்பது ஒரு அதிவேக செயல்பாடாகும், இதில் சக்தியின் அடிப்பகுதி மின் எண்ணுக்கு சமமாக இருக்கும், இது பின்வரும் வரம்பு:
.
இங்கே அது இயற்கையான அல்லது உண்மையான எண்ணாக இருக்கலாம். அடுத்து, அதிவேகத்தின் வழித்தோன்றலுக்கான சூத்திரத்தை (1) பெறுகிறோம்.

வழித்தோன்றல் அடுக்கு சூத்திரத்தின் வழித்தோன்றல்

எக்ஸ்போனரை, எக்ஸ் பவரை கருத்தில் கொள்ளுங்கள்:
y = e x.
இந்த செயல்பாடு அனைவருக்கும் வரையறுக்கப்பட்டுள்ளது. X என்ற மாறியுடன் அதன் வழித்தோன்றலைக் கண்டுபிடிப்போம். வரையறையின்படி, வழித்தோன்றல் பின்வரும் வரம்பு:
(3) .

இந்த வெளிப்பாட்டை நன்கு அறியப்பட்ட கணித பண்புகள் மற்றும் விதிகளாகக் குறைக்க மாற்றுகிறோம். இதற்கு நமக்கு பின்வரும் உண்மைகள் தேவை:
A)அதிசய சொத்து:
(4) ;
ஆ)லோகரிதம் சொத்து:
(5) ;
வி)மடக்கையின் தொடர்ச்சி மற்றும் தொடர்ச்சியான செயல்பாட்டிற்கான வரம்புகளின் சொத்து:
(6) .
இங்கே ஒரு வரம்பைக் கொண்ட சில செயல்பாடு மற்றும் இந்த வரம்பு நேர்மறையானது.
ஜி)இரண்டாவது குறிப்பிடத்தக்க வரம்பின் பொருள்:
(7) .

இந்த உண்மைகளை எங்கள் வரம்பிற்குப் பயன்படுத்துகிறோம் (3). நாங்கள் சொத்தைப் பயன்படுத்துகிறோம் (4):
;
.

ஒரு மாற்று செய்வோம். பிறகு ; ...
அடுக்கின் தொடர்ச்சியின் காரணமாக,
.
எனவே, இதற்காக. இதன் விளைவாக, நாங்கள் பெறுகிறோம்:
.

ஒரு மாற்று செய்வோம். பிறகு . மணிக்கு,. மற்றும் எங்களிடம் உள்ளது:
.

மடக்கை (5) இன் சொத்தைப் பயன்படுத்துவோம்:
... பிறகு
.

சொத்தைப் பயன்படுத்துவோம் (6). நேர்மறையான வரம்பு மற்றும் மடக்கை தொடர்ச்சியாக இருப்பதால், பின்:
.
இங்கே நாம் இரண்டாவது குறிப்பிடத்தக்க வரம்பையும் பயன்படுத்தினோம் (7). பிறகு
.

இவ்வாறு, அடுக்கின் வழித்தோன்றலுக்கான சூத்திரத்தை (1) பெற்றுள்ளோம்.

அதிவேக செயல்பாட்டின் வழித்தோன்றலுக்கான சூத்திரத்தின் வழித்தோன்றல்

இப்போது நாம் பட்டத்தின் அடித்தளத்துடன் அதிவேக செயல்பாட்டின் வழித்தோன்றலுக்கான சூத்திரத்தை (2) பெறுகிறோம். நாங்கள் அதை நம்புகிறோம் மற்றும். பின்னர் அதிவேக செயல்பாடு
(8)
அனைவருக்கும் வரையறுக்கப்பட்டது.

சூத்திரத்தை மாற்றுவோம் (8). இதை செய்ய, நாங்கள் பயன்படுத்துவோம் அதிவேக பண்புகள்மற்றும் மடக்கை.
;
.
எனவே, சூத்திரத்தை (8) பின்வரும் படிவத்திற்கு மாற்றியுள்ளோம்:
.

X இன் சக்திக்கு e இன் உயர் வரிசை வழித்தோன்றல்கள்

இப்போது நாம் உயர் ஆர்டர்களின் வழித்தோன்றல்களைக் காண்போம். முதலில் அடுக்கு கருதுக:
(14) .
(1) .

செயல்பாட்டின் (14) வழித்தோன்றல் செயல்பாட்டிற்கு (14) சமமாக இருப்பதைக் காண்கிறோம். வேறுபடுத்தி (1), நாம் இரண்டாவது மற்றும் மூன்றாவது வரிசையின் வழித்தோன்றல்களைப் பெறுகிறோம்:
;
.

எனவே, n வது வரிசையின் வழித்தோன்றலும் அசல் செயல்பாட்டிற்கு சமமாக இருப்பதைக் காணலாம்:
.

அதிவேக செயல்பாட்டின் உயர் வரிசை வழித்தோன்றல்கள்

இப்போது பட்டத்தின் ரேடிக்ஸ் கொண்ட அதிவேக செயல்பாட்டைக் கவனியுங்கள்:
.
அதன் முதல் வரிசை வழித்தோன்றலை நாங்கள் கண்டோம்:
(15) .

வேறுபடுத்தி (15), நாங்கள் இரண்டாவது மற்றும் மூன்றாவது வரிசையின் வழித்தோன்றல்களைப் பெறுகிறோம்:
;
.

ஒவ்வொரு வித்தியாசமும் அசல் செயல்பாட்டின் பெருக்கத்திற்கு வழிவகுக்கிறது என்பதை நாங்கள் காண்கிறோம். எனவே, n வது வரிசை வழித்தோன்றல் பின்வரும் வடிவத்தைக் கொண்டுள்ளது:
.

இந்த பாடத்தில், வேறுபடுத்தும் சூத்திரங்கள் மற்றும் விதிகளை எவ்வாறு பயன்படுத்துவது என்று கற்றுக்கொள்வோம்.

எடுத்துக்காட்டுகள். செயல்பாடுகளின் வழித்தோன்றல்களைக் கண்டறியவும்.

1. y = x 7 + x 5 -x 4 + x 3 -x 2 + x -9. விதியைப் பயன்படுத்துங்கள் நான், சூத்திரங்கள் 4, 2 மற்றும் 1... நாங்கள் பெறுகிறோம்:

y '= 7x 6 + 5x 4 -4x 3 + 3x 2 -2x + 1.

2. y = 3x 6 -2x + 5. அதே சூத்திரங்கள் மற்றும் சூத்திரங்களைப் பயன்படுத்தி நாங்கள் இதே வழியில் தீர்க்கிறோம் 3.

y '= 3 ∙ 6x 5 -2 = 18x 5 -2.

விதியைப் பயன்படுத்துங்கள் நான், சூத்திரங்கள் 3, 5 மற்றும் 6 மற்றும் 1.

விதியைப் பயன்படுத்துங்கள் IV, சூத்திரங்கள் 5 மற்றும் 1 .

ஐந்தாவது எடுத்துக்காட்டில், விதியின் படி நான்தொகையின் வழித்தோன்றல் வழித்தோன்றல்களின் கூட்டுத்தொகைக்கு சமம், நாம் இப்போது முதல் காலத்தின் வழித்தோன்றலைக் கண்டறிந்துள்ளோம் (எடுத்துக்காட்டு 4 ), எனவே, வழித்தோன்றல்களைக் கண்டுபிடிப்போம் 2 வதுமற்றும் 3 வதுவிதிமுறைகள், மற்றும் 1 வதுகால, நாம் உடனடியாக முடிவை எழுதலாம்.

வேறுபடுத்துதல் 2 வதுமற்றும் 3 வதுசூத்திரத்தின்படி விதிமுறைகள் 4 ... இதைச் செய்ய, வகுப்புகளில் உள்ள மூன்றாவது மற்றும் நான்காவது டிகிரிகளின் வேர்களை எதிர்மறை அடுக்குகளுடன் டிகிரிக்கு மாற்றுவோம், பின்னர், 4 சூத்திரம், அதிகாரங்களின் வழித்தோன்றல்களைக் காண்கிறோம்.

அதை நோக்கு உதாரணம் கொடுக்கப்பட்டுள்ளதுமற்றும் பெறப்பட்ட முடிவு. ஒரு முறை கிடைத்ததா? நல்ல. இதன் பொருள் எங்களிடம் ஒரு புதிய சூத்திரம் உள்ளது மற்றும் அதை எங்கள் வழித்தோன்றல் அட்டவணையில் சேர்க்கலாம்.

ஆறாவது உதாரணத்தை தீர்த்து மற்றொரு சூத்திரத்தைப் பெறுவோம்.

நாங்கள் விதியைப் பயன்படுத்துகிறோம் IVமற்றும் சூத்திரம் 4 ... விளைந்த பின்னங்களைக் குறைக்கவும்.

இந்த செயல்பாடு மற்றும் அதன் வழித்தோன்றலை நாங்கள் பார்க்கிறோம். நிச்சயமாக, நீங்கள் முறையைப் புரிந்துகொண்டு, சூத்திரத்திற்கு பெயரிடத் தயாராக உள்ளீர்கள்:

புதிய சூத்திரங்களைக் கற்றல்!

எடுத்துக்காட்டுகள்.

1. வாதம் அதிகரிப்பு மற்றும் செயல்பாட்டு அதிகரிப்பு y = x 2வாதத்தின் ஆரம்ப மதிப்பு என்றால் 4 மற்றும் புதிய - 4,01 .

தீர்வு

புதிய வாத மதிப்பு x = x 0 + Δx... தரவை மாற்றவும்: 4.01 = 4 + Δx, எனவே வாதம் அதிகரிப்பு Δx= 4.01-4 = 0.01. ஒரு செயல்பாட்டின் அதிகரிப்பு, வரையறையின்படி, செயல்பாட்டின் புதிய மற்றும் முந்தைய மதிப்புகளுக்கு இடையிலான வேறுபாட்டிற்கு சமம், அதாவது. =y = f (x 0 + Δx) - f (x 0). எங்களிடம் ஒரு செயல்பாடு இருப்பதால் y = x 2, பிறகு Y= (x 0 + Δx) 2 - (x 0) 2 = (x 0) 2 + 2x 0 · +x + (Δx) 2 - (x 0) 2 = 2x 0 · +x + (Δx) 2 =

2 · 4 · 0,01+(0,01) 2 =0,08+0,0001=0,0801.

பதில்: வாதம் அதிகரிப்பு Δx= 0.01; செயல்பாடு அதிகரிப்பு Y=0,0801.

செயல்பாட்டின் அதிகரிப்பை வேறு வழியில் கண்டுபிடிக்க முடிந்தது: Y= y (x 0 + Δx) -y (x 0) = y (4.01) -y (4) = 4.01 2 -4 2 = 16.0801-16 = 0.0801.

2. ஒரு செயல்பாட்டின் வரைபடத்திற்கு ஒரு தொடுகோட்டின் சாய்வின் கோணத்தைக் கண்டறியவும் y = f (x)புள்ளியில் x 0, என்றால் f "(x 0) = 1.

தீர்வு

தொடு புள்ளியில் வழித்தோன்றல் மதிப்பு x 0மற்றும் தொடுகோட்டின் சாய்வின் கோணத்தின் தொடுகோட்டின் மதிப்பு உள்ளது (வழித்தோன்றலின் வடிவியல் பொருள்). எங்களிடம் உள்ளது: f "(x 0) = tanα = 1 → α = 45 °,ஏனெனில் tg45 ° = 1.

பதில்: இந்த செயல்பாட்டின் வரைபடத்தின் தொடுவானம் ஆக்ஸ் அச்சின் நேர்மறை திசையுடன் சமமாக ஒரு கோணத்தை உருவாக்குகிறது 45 °.

3. ஒரு செயல்பாட்டின் வழித்தோன்றலுக்கான சூத்திரத்தைப் பெறுங்கள் y = x n.

வேறுபாடுஒரு செயல்பாட்டின் வழித்தோன்றலைக் கண்டுபிடிக்கும் செயல்.

வழித்தோன்றல்களைக் கண்டறியும் போது, ​​பெறப்பட்ட பட்டத்திற்கான சூத்திரத்தைப் பெற்றதைப் போலவே, வழித்தோன்றலின் வரையறையின் அடிப்படையில் பெறப்பட்ட சூத்திரங்கள் பயன்படுத்தப்படுகின்றன: (x n) "= nx n-1.

இவை சூத்திரங்கள்.

வழித்தோன்றல் அட்டவணைவாய்மொழி சூத்திரங்களை உச்சரிப்பதன் மூலம் மனப்பாடம் செய்வது எளிதாக இருக்கும்:

1. ஒரு மாறிலியின் வழித்தோன்றல் பூஜ்ஜியமாகும்.

2. X ஸ்ட்ரோக் ஒன்றுக்கு சமம்.

3. நிலையான காரணி வழித்தோன்றலின் அடையாளத்திலிருந்து எடுக்கப்படலாம்.

4. பட்டத்தின் வழித்தோன்றல், அதே அடித்தளத்துடன் கூடிய பட்டம் மூலம் இந்த பட்டத்தின் எக்ஸ்போனென்ட்டின் தயாரிப்புக்கு சமம், ஆனால் அதிவேகம் ஒன்று குறைவாக உள்ளது.

5. ஒரு வேரின் வழித்தோன்றல் ஒரே வேர்களில் இரண்டால் வகுக்கப்பட்ட ஒன்றுக்கு சமம்.

6. X ஆல் வகுக்கப்பட்ட அலகின் வழித்தோன்றல் x வர்க்கத்தால் வகுக்கப்பட்ட மைனஸ் ஒன்றுக்கு சமம்.

7. சைனின் வழித்தோன்றல் கொசைனுக்கு சமம்.

8. கொசைனின் வழித்தோன்றல் மைனஸ் சைனுக்கு சமம்.

9. தொடுதலின் வழித்தோன்றல் கொசைனின் சதுரத்தால் வகுக்கப்பட்ட ஒன்றுக்கு சமம்.

10. கோட்டன்ஜென்ட் வழித்தோன்றல் சைன் சதுரத்தால் வகுக்கப்பட்ட மைனஸ் ஒன்றுக்கு சமம்.

நாங்கள் கற்பிக்கிறோம் வேறுபாடு விதிகள்.

1. இயற்கணிதத் தொகையின் வழித்தோன்றல் சொற்களின் வழித்தோன்றல்களின் இயற்கணிதத் தொகைக்கு சமம்.

2. உற்பத்தியின் வழித்தோன்றல் முதல் காரணி இரண்டாவது மற்றும் முதல் காரணி முதல் இரண்டாவது காரணியின் தயாரிப்புக்கு சமம்.

3. "Y" வின் வழித்தோன்றல் "ve" ஆல் வகுக்கப்பட்ட பின்னத்திற்கு சமம் .

4. ஒரு சிறப்பு வழக்குசூத்திரங்கள் 3.

நாங்கள் ஒன்றாக கற்பிக்கிறோம்!

பக்கம் 1 /1 1

ஒரு வழித்தோன்றலைக் கண்டுபிடிக்கும் செயல்பாடு வேறுபாடு என்று அழைக்கப்படுகிறது.

எளிமையான (மற்றும் மிகவும் எளிமையானது அல்ல) செயல்பாடுகளுக்கான வழித்தோன்றல்களைக் கண்டறிவதன் சிக்கல்களைத் தீர்ப்பதன் விளைவாக, வாதத்தின் அதிகரிப்பு அதிகரிப்பின் விகிதத்தின் வரம்பாக வழித்தோன்றலை வரையறுப்பதன் மூலம், வழித்தோன்றல்களின் அட்டவணை மற்றும் துல்லியமாக வரையறுக்கப்பட்ட வேறுபாட்டின் விதிகள் தோன்றினார். வழித்தோன்றல்களைக் கண்டுபிடிக்கும் துறையில் முதலில் இருந்தவர்கள் ஐசக் நியூட்டன் (1643-1727) மற்றும் கோட்ஃபிரைட் வில்ஹெல்ம் லீப்னிஸ் (1646-1716).

எனவே, நம் காலத்தில், எந்தவொரு செயல்பாட்டின் வழித்தோன்றலைக் கண்டுபிடிக்க, மேலே குறிப்பிடப்பட்ட வரம்பை செயல்பாட்டின் அதிகரிப்பு விகிதத்தின் வாதத்தின் அதிகரிப்பைக் கணக்கிட வேண்டிய அவசியமில்லை, ஆனால் நீங்கள் அதைப் பயன்படுத்த வேண்டும் வழித்தோன்றல்களின் அட்டவணை மற்றும் வேறுபாட்டின் விதிகள். பின்வரும் வழிமுறை வழித்தோன்றலைக் கண்டுபிடிக்க ஏற்றது.

வழித்தோன்றலைக் கண்டுபிடிக்க, பக்கவாத அடையாளத்தின் கீழ் உங்களுக்கு ஒரு வெளிப்பாடு தேவை எளிய செயல்பாடுகளை பிரித்தல்மற்றும் என்ன நடவடிக்கைகள் தீர்மானிக்க (தயாரிப்பு, தொகை, விகிதம்)இந்த செயல்பாடுகள் இணைக்கப்பட்டுள்ளன. மேலும் வழித்தோன்றல்கள் அடிப்படை செயல்பாடுகள்வேறுபாடு விதிகளில், தயாரிப்பு, தொகை மற்றும் விகிதத்தின் வழித்தோன்றல்களின் வழித்தோன்றல்கள் மற்றும் சூத்திரங்களைக் காணலாம். முதல் இரண்டு எடுத்துக்காட்டுகளுக்குப் பிறகு வழித்தோன்றல் அட்டவணை மற்றும் வேறுபாடு விதிகள் கொடுக்கப்பட்டுள்ளன.

உதாரணம் 1.ஒரு செயல்பாட்டின் வழித்தோன்றலைக் கண்டறியவும்

தீர்வு வேறுபாட்டின் விதிகளிலிருந்து, செயல்பாடுகளின் தொகையின் வழித்தோன்றல் செயல்பாடுகளின் வழித்தோன்றல்களின் கூட்டுத்தொகையாகும், அதாவது.

டெரிவேடிவ்களின் அட்டவணையில் இருந்து "x" இன் வழித்தோன்றல் ஒன்றுக்கு சமம், மற்றும் சைனின் வழித்தோன்றல் கொசினுக்கு சமம் என்பதை நாம் அறிவோம். இந்த மதிப்புகளை வழித்தோன்றல்களின் கூட்டுத்தொகையாக மாற்றுவோம் மற்றும் பிரச்சனையின் நிலைக்குத் தேவையான வழித்தோன்றலைக் கண்டறிவோம்:

உதாரணம் 2.ஒரு செயல்பாட்டின் வழித்தோன்றலைக் கண்டறியவும்

தீர்வு தொகையின் வழித்தோன்றலாக நாங்கள் வேறுபடுகிறோம், இதில் இரண்டாவது கால நிலையான காரணி, அதை வழித்தோன்றலின் அடையாளத்திலிருந்து எடுக்கலாம்:

எங்கிருந்து வருகிறது என்பதில் இன்னும் கேள்விகள் இருந்தால், அவை, ஒரு விதியாக, வழித்தோன்றல்களின் அட்டவணை மற்றும் வேறுபாட்டின் எளிமையான விதிகள் தெரிந்த பிறகு தெளிவாகிவிடும். நாங்கள் இப்போது அவர்களிடம் செல்கிறோம்.

எளிய செயல்பாடுகளின் வழித்தோன்றல் அட்டவணை

1. ஒரு மாறிலியின் (எண்) வழித்தோன்றல். செயல்பாட்டு வெளிப்பாட்டில் உள்ள எந்த எண்ணும் (1, 2, 5, 200 ...) எப்போதும் பூஜ்யம். நினைவில் கொள்வது மிகவும் முக்கியம், ஏனெனில் இது அடிக்கடி தேவைப்படுகிறது
2. சுயாதீன மாறியின் வழித்தோன்றல். பெரும்பாலும் "x". எப்போதும் ஒருவருக்கு சமம். இதை நீண்ட நேரம் நினைவில் கொள்வதும் அவசியம்.
3. வழித்தோன்றல் பட்டம். சிக்கல்களைத் தீர்க்கும்போது, ​​நீங்கள் சதுரமற்ற வேர்களை ஒரு சக்தியாக மாற்ற வேண்டும்.
4. -1 இன் சக்திக்கு ஒரு மாறியின் வழித்தோன்றல்
5. வழித்தோன்றல் சதுர வேர்
6. சைனின் வழித்தோன்றல்
7. கொசைனின் வழித்தோன்றல்
8. தொடுதலின் வழித்தோன்றல்
9. கோட்டன்ஜென்ட்டின் வழித்தோன்றல்
10. ஆர்க்சின் வழித்தோன்றல்
11. ஆர்கோசின் வழித்தோன்றல்
12. ஆர்க்டாங்கென்ட்டின் வழித்தோன்றல்
13. ஆர்க் கோடேன்ஜென்ட்டின் வழித்தோன்றல்
14. இயற்கை மடக்கை வழித்தோன்றல்
15. மடக்கை செயல்பாட்டின் வழித்தோன்றல்
16. அடுக்கின் வழித்தோன்றல்
17. அதிவேக செயல்பாட்டின் வழித்தோன்றல்

வேறுபாடு விதிகள்

1. தொகை அல்லது வேறுபாட்டின் வழித்தோன்றல்
2. வேலையின் வழித்தோன்றல்
2a ஒரு நிலையான காரணியால் பெருக்கப்படும் வெளிப்பாட்டின் வழித்தோன்றல்
3. மேற்கோளின் வழித்தோன்றல்
4. ஒரு சிக்கலான செயல்பாட்டின் வழித்தோன்றல்

விதி 1.செயல்படுகிறது என்றால்

ஒரு கட்டத்தில் வேறுபடுத்தக்கூடியது, பின்னர் அதே கட்டத்தில் செயல்பாடுகள்

மேலும்

அந்த. இயற்கணித செயல்பாடுகளின் வழித்தோன்றல் இந்த செயல்பாடுகளின் வழித்தோன்றல்களின் இயற்கணிதத் தொகைக்கு சமம்.

விளைவு இரண்டு வேறுபடுத்தக்கூடிய செயல்பாடுகள் ஒரு நிலையான காலத்தால் வேறுபடுகின்றன என்றால், அவற்றின் வழித்தோன்றல்கள் சமமாக இருக்கும், அதாவது

விதி 2.செயல்படுகிறது என்றால்

ஒரு கட்டத்தில் வேறுபடுத்தக்கூடியது, பின்னர் அதே நேரத்தில் அவற்றின் தயாரிப்புகளும் வேறுபடுகின்றன

மேலும்

அந்த. இரண்டு செயல்பாடுகளின் உற்பத்தியின் வழித்தோன்றல் இந்த செயல்பாடுகளின் தயாரிப்புகளின் கூட்டுத்தொகைக்கு சமமாக இருக்கும்.

முடிவு 1. நிலையான காரணி வழித்தோன்றலின் அடையாளத்திற்கு வெளியே நகர்த்தப்படலாம்:

முடிவு 2. பல வேறுபடுத்தக்கூடிய செயல்பாடுகளின் உற்பத்தியின் வழித்தோன்றல் மற்ற எல்லா காரணிகளிலிருந்தும் ஒவ்வொரு காரணிகளின் வழித்தோன்றலின் தயாரிப்புகளின் தொகைக்கு சமம்.

உதாரணமாக, மூன்று காரணிகளுக்கு:

விதி 3.செயல்படுகிறது என்றால்

ஒரு கட்டத்தில் வேறுபடுத்தக்கூடியது மற்றும் , பின்னர் இந்த கட்டத்தில் அது வேறுபடுகிறது மற்றும் அவற்றின் அளவுu / v, மற்றும்

அந்த. இரண்டு செயல்பாடுகளின் விகிதத்தின் பின்னம் சமமாக இருக்கும் முந்தைய எண்.

மற்ற பக்கங்களில் எதைப் பார்க்க வேண்டும்

ஒரு வழித்தோன்றல் வேலை மற்றும் ஒரு குறியீட்டைக் கண்டுபிடிக்கும்போது உண்மையான பணிகள்ஒரே நேரத்தில் பல வேறுபாடு விதிகளைப் பயன்படுத்துவது அவசியம், எனவே இந்த வழித்தோன்றல்கள் பற்றிய கூடுதல் எடுத்துக்காட்டுகள் கட்டுரையில் உள்ளன"ஒரு வேலை மற்றும் ஒரு குறிப்பிட்ட செயல்பாட்டின் வழித்தோன்றல்".

கருத்துஒரு மாறிலியை (அதாவது ஒரு எண்) கூட்டுத்தொகையாகவும் நிலையான காரணியாகவும் குழப்ப வேண்டாம்! ஒரு காலத்தின் விஷயத்தில், அதன் வழித்தோன்றல் பூஜ்ஜியத்திற்கு சமம், மற்றும் ஒரு நிலையான காரணி வழக்கில், அது வழித்தோன்றல்களின் அடையாளத்திலிருந்து எடுக்கப்படுகிறது. அது வழக்கமான தவறுஅன்று நிகழ்கிறது ஆரம்ப கட்டத்தில்வழித்தோன்றல்களைப் படிப்பது, ஆனால் பல ஒன்று அல்லது இரண்டு கூறு உதாரணங்கள் தீர்க்கப்படுகின்றன சராசரி மாணவர்இந்த தவறை இனி செய்யாது.

மேலும், ஒரு வேலையை அல்லது ஒரு குறிப்பிட்டதை வேறுபடுத்தும் போது, ​​உங்களுக்கு ஒரு கால அவகாசம் உள்ளது u"v, இதில் u- ஒரு எண், எடுத்துக்காட்டாக, 2 அல்லது 5, அதாவது ஒரு மாறிலி, பின்னர் இந்த எண்ணின் வழித்தோன்றல் பூஜ்ஜியத்திற்கு சமமாக இருக்கும், எனவே, முழு காலமும் பூஜ்ஜியத்திற்கு சமமாக இருக்கும் (இந்த வழக்கு உதாரணம் 10 இல் பகுப்பாய்வு செய்யப்படுகிறது).

மற்ற பொதுவான தவறுஒரு எளிய செயல்பாட்டின் வழித்தோன்றலாக ஒரு சிக்கலான செயல்பாட்டின் வழித்தோன்றலின் இயந்திர தீர்வு. அதனால் தான் ஒரு சிக்கலான செயல்பாட்டின் வழித்தோன்றல்ஒரு தனி கட்டுரை அர்ப்பணிக்கப்பட்டுள்ளது. ஆனால் முதலில், எளிய செயல்பாடுகளின் வழித்தோன்றல்களைக் கண்டுபிடிக்க கற்றுக்கொள்வோம்.

வழியில், வெளிப்பாடு மாற்றங்கள் இல்லாமல் நீங்கள் செய்ய முடியாது. இதைச் செய்ய, நீங்கள் புதிய சாளரங்களில் பயிற்சிகளைத் திறக்க வேண்டும் சக்திகள் மற்றும் வேர்களைக் கொண்ட செயல்கள்மற்றும் பின்னம் செயல்கள் .

சக்திகள் மற்றும் வேர்களைக் கொண்ட பின்னங்களின் வழித்தோன்றல்களுக்கான தீர்வுகளை நீங்கள் தேடுகிறீர்களானால், அதாவது, செயல்பாடு போல் இருக்கும் போது , பின்னர் சக்திகள் மற்றும் வேர்கள் கொண்ட பின்னங்களின் கூட்டுத்தொகையின் வழித்தோன்றல் பாடத்தை பின்பற்றவும்.

உங்களுக்கு இது போன்ற பணி இருந்தால் , பின்னர் உங்கள் பாடம் "எளிய முக்கோணவியல் செயல்பாடுகளின் வழித்தோன்றல்கள்".

படிப்படியான எடுத்துக்காட்டுகள் - வழித்தோன்றலை எவ்வாறு கண்டுபிடிப்பது

உதாரணம் 3.ஒரு செயல்பாட்டின் வழித்தோன்றலைக் கண்டறியவும்

தீர்வு செயல்பாட்டு வெளிப்பாட்டின் பகுதிகளை நாங்கள் தீர்மானிக்கிறோம்: முழு வெளிப்பாடும் தயாரிப்பைக் குறிக்கிறது, மேலும் அதன் காரணிகள் தொகைகளாகும், இரண்டாவதாக ஒரு விதிமுறையில் நிலையான காரணி உள்ளது. தயாரிப்பு வேறுபாட்டின் விதியை நாங்கள் பயன்படுத்துகிறோம்: இரண்டு செயல்பாடுகளின் உற்பத்தியின் வழித்தோன்றல் இந்த செயல்பாடுகளின் தயாரிப்புகளின் கூட்டுத்தொகைக்கு சமமாக இருக்கும்.

அடுத்து, தொகையை வேறுபடுத்துவதற்கான விதியை நாங்கள் பயன்படுத்துகிறோம்: இயற்கணிதத் தொகையின் செயல்பாடுகளின் வழித்தோன்றல் இந்த செயல்பாடுகளின் வழித்தோன்றல்களின் இயற்கணிதத் தொகைக்கு சமம். எங்கள் விஷயத்தில், ஒவ்வொரு தொகையிலும், கழித்தல் அடையாளத்துடன் இரண்டாவது கால. ஒவ்வொரு தொகையிலும் நாம் ஒரு சுயாதீன மாறி, அதன் வழித்தோன்றல் ஒன்றுக்கு சமம், மற்றும் ஒரு மாறிலி (எண்), இதன் வழித்தோன்றல் பூஜ்ஜியத்திற்கு சமம். எனவே, எங்களுக்கு "x" ஒன்று, மற்றும் கழித்தல் 5 - பூஜ்ஜியமாக மாறும். இரண்டாவது வெளிப்பாட்டில், "x" 2 ஆல் பெருக்கப்படுகிறது, எனவே "x" இன் வழித்தோன்றலின் அதே அலகு மூலம் இரண்டைப் பெருக்கிறோம். வழித்தோன்றல்களின் பின்வரும் மதிப்புகளை நாங்கள் பெறுகிறோம்:

கண்டுபிடிக்கப்பட்ட வழித்தோன்றல்களை தயாரிப்புகளின் கூட்டுத்தொகையாக மாற்றுகிறோம் மற்றும் சிக்கலின் நிலைக்குத் தேவையான முழு செயல்பாட்டின் வழித்தோன்றலைப் பெறுகிறோம்:

உதாரணம் 4.ஒரு செயல்பாட்டின் வழித்தோன்றலைக் கண்டறியவும்

தீர்வு அளவீட்டின் வழித்தோன்றலை நாம் கண்டுபிடிக்க வேண்டும். விகிதத்தை வேறுபடுத்துவதற்கான சூத்திரத்தை நாங்கள் பயன்படுத்துகிறோம்: இரண்டு செயல்பாடுகளின் பகுதியின் பின்னம் சமமாக இருக்கும் வகுத்தல், மற்றும் வகுத்தல் என்பது முந்தைய எண்களின் சதுரம். நாங்கள் பெறுகிறோம்:

எடுத்துக்காட்டில் உள்ள எண்களில் உள்ள காரணிகளின் வழித்தோன்றலை நாம் ஏற்கனவே கண்டறிந்துள்ளோம். தற்போதைய எடுத்துக்காட்டில் உள்ள எண்களில் இரண்டாவது காரணியாக இருக்கும் தயாரிப்பு ஒரு மைனஸ் அடையாளத்துடன் எடுக்கப்பட்டது என்பதை மறந்துவிடாதீர்கள்:

சிக்கல்களுக்கான தீர்வுகளை நீங்கள் தேடுகிறீர்களானால், ஒரு செயல்பாட்டின் வழித்தோன்றலை நீங்கள் கண்டுபிடிக்க வேண்டும், அங்கு தொடர்ச்சியான வேர்கள் மற்றும் பட்டங்கள் உள்ளன, எடுத்துக்காட்டாக, பின்னர் வகுப்புக்கு வரவேற்கிறோம் "சக்திகள் மற்றும் வேர்களைக் கொண்ட பின்னங்களின் தொகையின் வழித்தோன்றல்" .

சைன்கள், கொசின்கள், தொடுகோடுகள் மற்றும் பிற முக்கோணவியல் செயல்பாடுகளின் வழித்தோன்றல்கள் பற்றி நீங்கள் மேலும் அறிய வேண்டும் என்றால், அதாவது, செயல்பாடு தோன்றும்போது , பிறகு உங்கள் பாடம் "எளிய முக்கோணவியல் செயல்பாடுகளின் வழித்தோன்றல்கள்" .

உதாரணம் 5.ஒரு செயல்பாட்டின் வழித்தோன்றலைக் கண்டறியவும்

தீர்வு இந்த செயல்பாட்டில், ஒரு பொருளைப் பார்க்கிறோம், அதில் ஒரு காரணியானது சுயாதீன மாறியின் சதுர வேர் ஆகும், அதன் வழித்தோன்றல் வழித்தோன்றல்களின் அட்டவணையில் நாம் அறிந்திருக்கிறோம். தயாரிப்பின் வேறுபாட்டின் விதி மற்றும் சதுர மூலத்தின் வழித்தோன்றலின் அட்டவணை மதிப்பின் படி, நாங்கள் பெறுகிறோம்:

உதாரணம் 6.ஒரு செயல்பாட்டின் வழித்தோன்றலைக் கண்டறியவும்

தீர்வு இந்த செயல்பாட்டில், பிரிவை நாம் காண்கிறோம், இதன் ஈவுத்தொகை சுயாதீன மாறியின் சதுர மூலமாகும். எடுத்துக்காட்டு 4 இல் நாம் மீண்டும் மீண்டும் பயன்படுத்திய மற்றும் பயன்படுத்திய விகிதத்தின் வேறுபாட்டின் விதியின் படி, சதுர மூலத்தின் வழித்தோன்றலின் அட்டவணை மதிப்பு, நமக்கு கிடைக்கும்:

எண்ணில் உள்ள பின்னத்தைப் போக்க, எண் மற்றும் வகுப்பால் பெருக்கவும்.

சூத்திரங்கள் 3 மற்றும் 5 ஐ நீங்களே நிரூபியுங்கள்.

அடிப்படை வேறுபாடு விதிகள்

வரம்பைப் பயன்படுத்தி வழித்தோன்றலைக் கண்டுபிடிப்பதற்கான பொதுவான முறையைப் பயன்படுத்துவதன் மூலம், வேறுபாட்டிற்கான எளிய சூத்திரங்களைப் பெறலாம். இருக்கட்டும் u = u (x), v = v (x)- ஒரு மாறியின் இரண்டு வேறுபடுத்தக்கூடிய செயல்பாடுகள் எக்ஸ்.

சூத்திரங்கள் 1 மற்றும் 2 ஐ நீங்களே நிரூபியுங்கள்.

ஃபார்முலாவின் ஆதாரம் 3.

இருக்கட்டும் y = u (x) + v (x).வாத மதிப்புக்காக எக்ஸ்+Δ எக்ஸ்எங்களிடம் உள்ளது ஒய்(எக்ஸ்+Δ எக்ஸ்)=u(எக்ஸ்+Δ எக்ஸ்) + v(எக்ஸ்+Δ எக்ஸ்).

Δ ஒய்=ஒய்(எக்ஸ்+Δ எக்ஸ்) – y (x) = u (x+Δ எக்ஸ்) + v (x+Δ எக்ஸ்) – u (x) – v (x) = Δ u +Δ v.

எனவே,

ஃபார்முலாவின் ஆதாரம் 4.

இருக்கட்டும் y = u (x) v (x).பிறகு ஒய்(எக்ஸ்+Δ எக்ஸ்)=u(எக்ஸ்+Δ எக்ஸ்)· v(எக்ஸ்+Δ எக்ஸ்), எனவே

Δ ஒய்=u(எக்ஸ்+Δ எக்ஸ்)· v(எக்ஸ்+Δ எக்ஸ்) – u(எக்ஸ்)· v(எக்ஸ்).

ஒவ்வொரு செயல்பாடுகளிலிருந்தும் கவனிக்கவும் uமற்றும் vபுள்ளியில் வேறுபடுத்தக்கூடியது எக்ஸ், பின்னர் அவர்கள் இந்த இடத்தில் தொடர்ச்சியாக இருக்கிறார்கள், அதாவது u(எக்ஸ்+Δ எக்ஸ்)→u (x), v(எக்ஸ்+Δ எக்ஸ்)→v (x) at இல் எக்ஸ்→0.

எனவே, நாம் எழுதலாம்

இந்த சொத்தின் அடிப்படையில், எத்தனையோ செயல்பாடுகளின் தயாரிப்புக்கான வேறுபாடு விதியை ஒருவர் பெறலாம்.

உதாரணத்திற்கு, y = u v w.பிறகு,

ஒய் " = u "·( v w) + u·( v· W) "= u "· v W + u·( v"· W + v· W ") = u "· v W + u· v"· W + u v"டபிள்யூ".

சூத்திரம் 5 இன் ஆதாரம்.

இருக்கட்டும் . பிறகு

சான்றில், நாங்கள் உண்மையைப் பயன்படுத்தினோம் v (x +Δ எக்ஸ்)→v (x) at இல் எக்ஸ்→0.

உதாரணங்கள்.

ஒரு வழித்தோன்றல் சிக்கலான செயல்பாட்டின் கோட்பாடு

இருக்கட்டும் y = f (u),ஒரு u= u(எக்ஸ்) நாங்கள் செயல்பாட்டைப் பெறுகிறோம் ஒய்வாதத்தைப் பொறுத்து எக்ஸ்: y = f (u (x)).பிந்தைய செயல்பாடு ஒரு செயல்பாட்டின் செயல்பாடு என்று அழைக்கப்படுகிறது, அல்லது சிக்கலான செயல்பாடு.

செயல்பாட்டின் நோக்கம் y = f (u (x))செயல்பாட்டின் முழு களமும் ஆகும் u=u(எக்ஸ்) அல்லது அதன் மதிப்புகள் உள்ள பகுதி uசெயல்பாட்டின் களத்தை விட்டுவிடாதீர்கள் ஒய்= f (u).

"செயல்பாட்டிலிருந்து செயல்பாடு" செயல்பாட்டை ஒரு முறை அல்ல, எத்தனை முறை வேண்டுமானாலும் செய்யலாம்.

ஒரு சிக்கலான செயல்பாட்டை வேறுபடுத்துவதற்கான ஒரு விதியை நிறுவுவோம்.

தேற்றம்.செயல்பாடு என்றால் u= u(எக்ஸ்) ஒரு கட்டத்தில் உள்ளது x 0வழித்தோன்றல் மற்றும் இந்த கட்டத்தில் மதிப்பை எடுக்கும் u 0 = u(x 0) மற்றும் செயல்பாடு y = f (u)புள்ளியில் உள்ளது u 0வழித்தோன்றல் ஒய்"u = எஃப் "(u 0), பின்னர் சிக்கலான செயல்பாடு y = f (u (x))குறிப்பிட்ட இடத்தில் x 0ஒரு வழித்தோன்றல் உள்ளது, அதாவது ஒய்"x = எஃப் "(u 0)· u "(x 0), அதற்கு பதிலாக எங்கே uவெளிப்பாடு மாற்றாக இருக்க வேண்டும் u= u(எக்ஸ்).

எனவே, ஒரு சிக்கலான செயல்பாட்டின் வழித்தோன்றல் இடைநிலை வாதத்தைப் பொறுத்து இந்த செயல்பாட்டின் வழித்தோன்றலின் தயாரிப்புக்கு சமம் uதொடர்பாக இடைநிலை வாதத்தின் வழித்தோன்றலுக்கு எக்ஸ்.

ஆதாரம்... ஒரு நிலையான மதிப்புடன் என். எஸ் 0 நம்மிடம் இருக்கும் u 0 =u(எக்ஸ் 0), மணிக்கு 0 = எஃப் (யு 0 ). வாதத்தின் புதிய மதிப்புக்காக x 0+Δ எக்ஸ்:

Δ u= u(x 0 + Δ எக்ஸ்) – u(எக்ஸ் 0), Δ ஒய்=எஃப்(u 0+Δ u) – எஃப்(u 0).

ஏனெனில் u- புள்ளியில் வேறுபடுத்தக்கூடியது x 0, பிறகு u- இந்த இடத்தில் தொடர்ந்து உள்ளது. எனவே, for க்கு எக்ஸ்→0 Δ u→ 0 இதேபோல் for க்கு u→0 Δ ஒய்→0.

நிபந்தனைப்படி ... இந்த உறவிலிருந்து, வரம்பின் வரையறையைப் பயன்படுத்தி, நாங்கள் பெறுகிறோம் (for க்கு u→0)

α க்கு α → 0 u→ 0, மற்றும், இதன் விளைவாக, for க்கு எக்ஸ்→0.

இந்த சமத்துவத்தை மீண்டும் எழுதலாம்:

Δ ஒய்=ஒய்"u Δ u+α·Δ u.

பெறப்பட்ட சமத்துவம் for க்கு செல்லுபடியாகும் u= 0 தன்னிச்சையான α க்கு, இது அடையாளமாக மாறும் என்பதால் 0 = 0. இல் u= 0 நாம் will = 0 ஐ அமைப்போம். பெறப்பட்ட சமத்துவத்தின் அனைத்து விதிமுறைகளையும் by ஆல் வகுக்கிறோம் எக்ஸ்

.

நிபந்தனைப்படி ... எனவே, the இல் வரம்பை கடந்து எக்ஸ்→ 0, நாங்கள் பெறுகிறோம் ஒய்"x = ஒய்"u u" x. தேற்றம் நிரூபிக்கப்பட்டுள்ளது.

எனவே, வேறுபடுத்துவதற்கு சிக்கலான செயல்பாடு y = f (u (x)),நீங்கள் "வெளிப்புற" செயல்பாட்டின் வழித்தோன்றலை எடுக்க வேண்டும் எஃப், அதன் வாதத்தை வெறுமனே ஒரு மாறியாகக் கருதி, சுயாதீன மாறியைப் பொறுத்து "அக" செயல்பாட்டின் வழித்தோன்றலால் பெருக்கவும்.

செயல்பாடு என்றால் y = f (x)என குறிப்பிடலாம் y = f (u), u = u (v), v = v (x),முந்தைய தேற்றத்தை தொடர்ச்சியாகப் பயன்படுத்துவதன் மூலம் y "x வழித்தோன்றல் கண்டுபிடிக்கப்பட்டது.

நிரூபிக்கப்பட்ட விதியின்படி, எங்களிடம் உள்ளது ஒய்"x = ஒய்"நீ · u"x. அதே தேற்றத்தைப் பயன்படுத்துதல் u"x பெறப்பட்டது, அதாவது.

ஒய்"x = ஒய்"எக்ஸ் · u"வி · v"x = எஃப்"u ( u)· u"வி ( v)· v"எக்ஸ் ( எக்ஸ்).

எடுத்துக்காட்டுகள்.

மீட்பு செயல்பாட்டின் வரையறை

ஒரு உதாரணத்துடன் ஆரம்பிக்கலாம். செயல்பாட்டைக் கவனியுங்கள் y = x 3... நாங்கள் சமத்துவத்தை கருத்தில் கொள்வோம் ஒய்= x 3ஒரு சமன்பாடாக எக்ஸ்... ஒவ்வொரு மதிப்புக்கும் இந்த சமன்பாடு மணிக்குஒற்றை அர்த்தத்தை வரையறுக்கிறது எக்ஸ்: வடிவியல் ரீதியாக, இதன் பொருள் அச்சுக்கு இணையான எந்த நேர்கோடும் எருதுசெயல்பாட்டு வரைபடத்தை கடக்கிறது y = x 3ஒரு கட்டத்தில் மட்டுமே. எனவே, நாம் கருத்தில் கொள்ளலாம் எக்ஸ்ஒரு செயல்பாடாக ஒய்... செயல்பாடு செயல்பாட்டின் தலைகீழ் என்று அழைக்கப்படுகிறது y = x 3.

பொது வழக்குக்குச் செல்வதற்கு முன், நாங்கள் வரையறைகளை அறிமுகப்படுத்துகிறோம்.

செயல்பாடு y = f (x)அழைக்கப்பட்டார் அதிகரிக்கும்சில இடைவெளியில், வாதத்தின் பெரிய மதிப்பு இருந்தால் எக்ஸ்இந்த பிரிவில் இருந்து ஒத்துள்ளது அதிக முக்கியத்துவம்செயல்பாடுகள், அதாவது. என்றால் எக்ஸ் 2 >எக்ஸ் 1, பிறகு எஃப் (எக்ஸ் 2 )> எஃப் (எக்ஸ் 1 ).

இதேபோல், செயல்பாடு அழைக்கப்படுகிறது குறைந்து வருகிறது, வாதத்தின் சிறிய மதிப்பு செயல்பாட்டின் பெரிய மதிப்புக்கு ஒத்திருந்தால், அதாவது. என்றால் என். எஸ் 2 < என். எஸ் 1, பிறகு எஃப் (எக்ஸ் 2 )> எஃப் (எக்ஸ் 1 ).

எனவே, அதிகரிக்கும் அல்லது குறைக்கும் செயல்பாடு கொடுக்கப்படட்டும் y = f (x)சில பிரிவில் வரையறுக்கப்பட்டது [ ஒரு; b]. உறுதியாக, நாம் அதிகரிக்கும் செயல்பாட்டைக் கருத்தில் கொள்வோம் (குறையும் ஒன்றுக்கு, எல்லாமே ஒரே மாதிரியானவை).

இரண்டு வெவ்வேறு அர்த்தங்களைக் கவனியுங்கள் என். எஸ் 1 மற்றும் என். எஸ் 2 இருக்கட்டும் ஒய் 1 = எஃப் (எக்ஸ் 1 ), ஒய் 2 = எஃப் (எக்ஸ் 2 ). இது அதிகரிக்கும் செயல்பாட்டின் வரையறையிலிருந்து பின்வருமாறு எக்ஸ் 1 <எக்ஸ் 2, பிறகு மணிக்கு 1 <மணிக்கு 2 எனவே, இரண்டு வெவ்வேறு மதிப்புகள் என். எஸ் 1 மற்றும் என். எஸ் 2 செயல்பாட்டின் இரண்டு வெவ்வேறு மதிப்புகளுக்கு ஒத்திருக்கிறது மணிக்கு 1 மற்றும் மணிக்கு 2 உரையாடலும் உண்மை, அதாவது. என்றால் மணிக்கு 1 <மணிக்கு 2, பின்னர் அது அதிகரித்து வரும் செயல்பாட்டின் வரையறையிலிருந்து பின்வருமாறு எக்ஸ் 1 <எக்ஸ் 2 அந்த. மீண்டும் இரண்டு வெவ்வேறு மதிப்புகள் மணிக்கு 1 மற்றும் மணிக்கு 2 இரண்டு வெவ்வேறு மதிப்புகளுக்கு ஒத்திருக்கிறது எக்ஸ் 1 மற்றும் எக்ஸ் 2 இவ்வாறு, மதிப்புகளுக்கு இடையில் எக்ஸ்மற்றும் அவற்றின் தொடர்புடைய மதிப்புகள் ஒய்ஒருவருக்கொருவர் கடித தொடர்பு நிறுவப்பட்டது, அதாவது. சமன்பாடு y = f (x)ஒவ்வொரு ஒய்(செயல்பாட்டின் மதிப்புகளின் வரம்பிலிருந்து எடுக்கப்பட்டது y = f (x))ஒற்றை அர்த்தத்தை வரையறுக்கிறது எக்ஸ், மற்றும் நாம் அதை சொல்ல முடியும் எக்ஸ்சில வாத செயல்பாடு உள்ளது ஒய்: x = g (y).

இந்த அம்சம் அழைக்கப்படுகிறது தலைகீழ்செயல்பாட்டிற்கு y = f (x)... வெளிப்படையாக, செயல்பாடு y = f (x)செயல்பாட்டின் தலைகீழ் ஆகும் x = g (y).

தலைகீழ் செயல்பாடு என்பதை நினைவில் கொள்க x = g (y)சமன்பாட்டைத் தீர்ப்பதன் மூலம் காணப்படுகிறது y = f (x)ஒப்பீட்டளவில் என். எஸ்.

உதாரணமாக.ஒரு செயல்பாடு கொடுக்கப்பட்டது ஒய்= e x. இந்த செயல்பாடு –∞ இல் அதிகரிக்கிறது< எக்ஸ் <+∞. Она имеет обратную функцию எக்ஸ்= ln ஒய்... தலைகீழ் செயல்பாட்டின் களம் 0< ஒய் < + ∞.

ஒரு சில கருத்துகளைச் சொல்வோம்.

குறிப்பு 1.அதிகரிக்கும் (அல்லது குறைந்து) செயல்பாடு இருந்தால் y = f (x)பிரிவில் தொடர்ந்து உள்ளது [ ஒரு; b], மற்றும் f (a) = c, f (b) = d, பின் பிரிவில் தலைகீழ் செயல்பாடு வரையறுக்கப்பட்டு தொடர்ச்சியாக [ c; ஈ].

குறிப்பு 2.செயல்பாடு என்றால் y = f (x)சில இடைவெளியில் அதிகரிக்கவோ குறையவோ இல்லை, பிறகு அது பல தலைகீழ் செயல்பாடுகளைக் கொண்டிருக்கலாம்.

உதாரணமாக.செயல்பாடு y = x 2–∞ இல் வரையறுக்கப்பட்டுள்ளது<எக்ஸ்<+∞. Она не является ни возрастающей, ни убывающей и не имеет обратной функции. Однако, если мы рассмотриминтервал 0≤எக்ஸ்<+∞, то здесь функция является возрастающей и обратной для нее будет . На интервале – ∞ <எக்ஸ்≤ 0 செயல்பாடு - குறைகிறது மற்றும் அதற்கு அதன் தலைகீழ்.

குறிப்பு 3.செயல்படுகிறது என்றால் y = f (x)மற்றும் x = g (y)பரஸ்பர தலைகீழ், பின்னர் அவை மாறிகள் இடையே அதே உறவை வெளிப்படுத்துகின்றன எக்ஸ்மற்றும் ஒய்... எனவே, அவற்றின் வரைபடம் அதே வளைவு. ஆனால் தலைகீழ் செயல்பாட்டின் வாதத்தை நாம் மீண்டும் குறித்தால் எக்ஸ், மற்றும் செயல்பாடு மூலம் ஒய்அவற்றை ஒரு ஒருங்கிணைப்பு அமைப்பில் உருவாக்குங்கள், பின்னர் நாம் இரண்டு வெவ்வேறு வரைபடங்களைப் பெறுகிறோம். 1 வது ஒருங்கிணைப்பு கோணத்தின் இருபகுதியைப் பற்றி வரைபடங்கள் சமச்சீராக இருக்கும் என்று பார்ப்பது எளிது.

வழித்தோன்றல் பங்களிப்பு செயல்பாட்டின் கோட்பாடு

செயல்பாட்டின் வழித்தோன்றலைக் கண்டுபிடிக்க அனுமதிக்கும் ஒரு தேற்றத்தை நிரூபிப்போம் y = f (x)தலைகீழ் செயல்பாட்டின் வழித்தோன்றலை அறிதல்.

தேற்றம்.செயல்பாட்டிற்கு என்றால் y = f (x)ஒரு தலைகீழ் செயல்பாடு உள்ளது x = g (y), இது ஒரு கட்டத்தில் மணிக்கு 0 ஒரு வழித்தோன்றலைக் கொண்டுள்ளது g "(v 0பூஜ்ஜியத்தைத் தவிர, பின்னர் தொடர்புடைய புள்ளியில் x 0=g(x 0) செயல்பாடு y = f (x)ஒரு வழித்தோன்றல் உள்ளது எஃப் "(x 0) சமம், அதாவது சூத்திரம் செல்லுபடியாகும்.

ஆதாரம்... ஏனெனில் x = g (y)புள்ளியில் வேறுபடுத்தக்கூடியது y 0, பிறகு x = g (y)இந்த கட்டத்தில் தொடர்ந்து உள்ளது, எனவே செயல்பாடு y = f (x)புள்ளியில் தொடர்ந்து x 0=g(y 0) எனவே, for க்கு எக்ஸ்→0 Δ ஒய்→0.

அதை நாம் காண்பிப்போம் .

இருக்கட்டும். பின்னர், வரம்பின் சொத்து மூலம் ... இந்த சமத்துவத்தில் வரம்பிற்கு pass என கடந்து செல்வோம் ஒய்→ 0 பின்னர் Δ எக்ஸ்→ 0 மற்றும் α (Δx) → 0, அதாவது. ...

எனவே,

,

கே.ஈ.டி.

இந்த சூத்திரத்தை இவ்வாறு எழுதலாம்.

உதாரணங்களின் மூலம் இந்த தேற்றத்தின் பயன்பாட்டைக் கருத்தில் கொள்வோம்.