திட்டவட்டமான ஒருங்கிணைந்த. ஒரு உருவத்தின் பரப்பளவை எவ்வாறு கணக்கிடுவது. ஆன்லைன் கால்குலேட்டர். திட்டவட்டமான ஒருங்கிணைப்பைக் கணக்கிடுங்கள் (வளைந்த ட்ரேப்சாய்டின் பகுதி)
$$ பிரிவின் $f(x)$ மற்றும் $y=0, \ x=a$ மற்றும் $x=b$ ஆகிய கோடுகளின் தொடர்ச்சியான எதிர்மறை அல்லாத செயல்பாட்டின் வரைபடத்தால் வரையறுக்கப்பட்ட ஒரு உருவம் வளைவு ட்ரேப்சாய்டு எனப்படும்.
தொடர்புடைய பகுதி வளைந்த ட்ரேப்சாய்டுசூத்திரத்தால் கணக்கிடப்படுகிறது:
$S=\int\limits_(a)^(b)(f(x)dx).$ (*)
வளைந்த ட்ரேப்சாய்டின் பகுதியை $4$ வகைகளாகக் கண்டறிவதற்கான சிக்கல்களை நிபந்தனையுடன் பிரிப்போம். ஒவ்வொரு வகையையும் இன்னும் விரிவாகப் பார்ப்போம்.
வகை I: வளைந்த ட்ரேப்சாய்டு வெளிப்படையாகக் குறிப்பிடப்படுகிறது.பின்னர் உடனடியாக சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்தவும் (*).
எடுத்துக்காட்டாக, $y=4-(x-2)^(2)$ செயல்பாட்டின் வரைபடம் மற்றும் $y=0, \ x=1$ மற்றும் $x ஆகிய கோடுகளால் எல்லைப்படுத்தப்பட்ட வளைந்த ட்ரேப்சாய்டின் பகுதியைக் கண்டறியவும். =3$.
இந்த வளைந்த ட்ரேப்சாய்டை வரைவோம்.
சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்தி (*), இந்த வளைவு ட்ரேப்சாய்டின் பகுதியைக் காண்கிறோம்.
$S=\int\limits_(1)^(3)(\left(4-(x-2)^(2)\right)dx)=\int\limits_(1)^(3)(4dx)- \int\limits_(1)^(3)((x-2)^(2)dx)=4x|_(1)^(3) – \left.\frac((x-2)^(3) )(3)\வலது|_(1)^(3)=$
$=4(3-1)-\frac(1)(3)\இடது((3-2)^(3)-(1-2)^(3)\வலது)=4 \cdot 2 – \frac (1)(3)\இடது((1)^(3)-(-1)^(3)\வலது) = 8 – \frac(1)(3)(1+1) =$
$=8-\frac(2)(3)=7\frac(1)(3)$ (அலகுகள்$^(2)$).
வகை II: வளைந்த ட்ரேப்சாய்டு மறைமுகமாக குறிப்பிடப்படுகிறது.இந்த வழக்கில், நேர்கோடுகள் $x=a, \ x=b$ பொதுவாக குறிப்பிடப்படவில்லை அல்லது பகுதியளவில் குறிப்பிடப்படவில்லை. இந்த வழக்கில், $y=f(x)$ மற்றும் $y=0$ செயல்பாடுகளின் குறுக்குவெட்டு புள்ளிகளை நீங்கள் கண்டுபிடிக்க வேண்டும். இந்த புள்ளிகள் $a$ மற்றும் $b$ புள்ளிகளாக இருக்கும்.
எடுத்துக்காட்டாக, $y=1-x^(2)$ மற்றும் $y=0$ ஆகிய சார்புகளின் வரைபடங்களால் வரையறுக்கப்பட்ட ஒரு உருவத்தின் பகுதியைக் கண்டறியவும்.
குறுக்குவெட்டு புள்ளிகளைக் கண்டுபிடிப்போம். இதைச் செய்ய, செயல்பாடுகளின் வலது பக்கங்களை சமன் செய்கிறோம்.
எனவே, $a=-1$ மற்றும் $b=1$. இந்த வளைந்த ட்ரேப்சாய்டை வரைவோம்.
இந்த வளைந்த ட்ரேப்சாய்டின் பகுதியைக் கண்டுபிடிப்போம்.
$S=\int\limits_(-1)^(1)(\left(1-x^(2)\right)dx)=\int\limits_(-1)^(1)(1dx)-\int \limits_(-1)^(1)(x^(2)dx)=x|_(-1)^(1) – \இடது.\frac(x^(3))(3)\வலது|_ (-1)^(1)=$
$=(1-(-1))-\frac(1)(3)\இடது(1^(3)-(-1)^(3)\வலது)=2 – \frac(1)(3) \இடது(1+1\வலது) = 2 – \frac(2)(3) = 1\frac(1)(3)$ (அலகுகள்$^(2)$).
வகை III: இரண்டு தொடர்ச்சியான எதிர்மறையான செயல்பாடுகளின் குறுக்குவெட்டு மூலம் வரையறுக்கப்பட்ட உருவத்தின் பரப்பளவு.இந்த எண்ணிக்கை ஒரு வளைந்த ட்ரெப்சாய்டாக இருக்காது, அதாவது சூத்திரத்தை (*) பயன்படுத்தி அதன் பகுதியை கணக்கிட முடியாது. எப்படி இருக்க வேண்டும்?இந்த உருவத்தின் பரப்பளவு மேல் செயல்பாடு மற்றும் $y=0$ ($S_(uf)$) மற்றும் கீழ் செயல்பாடு மற்றும் $y ஆகியவற்றால் கட்டுப்படுத்தப்பட்ட வளைவு ட்ரெப்சாய்டுகளின் பகுதிகளுக்கு இடையே உள்ள வேறுபாட்டைக் காணலாம். =0$ ($S_(lf)$), இதில் $x=a, \ x=b$ பங்கு இந்த செயல்பாடுகளின் குறுக்குவெட்டு புள்ளிகளின் $x$ ஆயத்தொலைவுகளால் விளையாடப்படுகிறது, அதாவது.
$S=S_(uf)-S_(lf)$. (**)
அத்தகைய பகுதிகளை கணக்கிடும் போது மிக முக்கியமான விஷயம், மேல் மற்றும் கீழ் செயல்பாடுகளின் தேர்வுடன் "மிஸ்" செய்யக்கூடாது.
எடுத்துக்காட்டாக, $y=x^(2)$ மற்றும் $y=x+6$ ஆகிய செயல்பாடுகளால் வரையறுக்கப்பட்ட உருவத்தின் பகுதியைக் கண்டறியவும்.
இந்த வரைபடங்களின் குறுக்குவெட்டு புள்ளிகளைக் கண்டுபிடிப்போம்:
வியட்டாவின் தேற்றத்தின்படி,
$x_(1)=-2,\x_(2)=3.$
அதாவது, $a=-2,\b=3$. ஒரு உருவத்தை வரைவோம்:
எனவே, மேல் செயல்பாடு $y=x+6$, மற்றும் கீழ் செயல்பாடு $y=x^(2)$. அடுத்து, சூத்திரம் (*) ஐப் பயன்படுத்தி $S_(uf)$ மற்றும் $S_(lf)$ ஆகியவற்றைக் காண்கிறோம்.
$S_(uf)=\int\limits_(-2)^(3)((x+6)dx)=\int\limits_(-2)^(3)(xdx)+\int\limits_(-2 )^(3)(6dx)=\இடது.\frac(x^(2))(2)\வலது|_(-2)^(3) + 6x|_(-2)^(3)= 32 .5$ (அலகுகள்$^(2)$).
$S_(lf)=\int\limits_(-2)^(3)(x^(2)dx)=\இடது.\frac(x^(3))(3)\வலது|_(-2) ^(3) = \frac(35)(3)$ (அலகுகள்$^(2)$).
நாம் கண்டுபிடித்ததை (**) மாற்றுவோம்:
$S=32.5-\frac(35)(3)= \frac(125)(6)$ (அலகுகள்$^(2)$).
வகை IV: எதிர்மறை அல்லாத நிலையைத் திருப்திப்படுத்தாத ஒரு செயல்பாடு(கள்) மூலம் வரையறுக்கப்பட்ட உருவத்தின் பரப்பளவு.அத்தகைய உருவத்தின் பரப்பளவைக் கண்டறிய, நீங்கள் $Ox$ அச்சில் சமச்சீராக இருக்க வேண்டும் ( வேறு வார்த்தைகளில் கூறுவதானால்,செயல்பாடுகளுக்கு முன்னால் "மைனஸ்கள்" வைக்கவும்) பகுதியைக் காட்டவும், I - III வகைகளில் கோடிட்டுக் காட்டப்பட்டுள்ள முறைகளைப் பயன்படுத்தி, காட்டப்படும் பகுதியின் பகுதியைக் கண்டறியவும். இந்த பகுதி தேவையான பகுதியாக இருக்கும். முதலில், நீங்கள் செயல்பாட்டு வரைபடங்களின் குறுக்குவெட்டு புள்ளிகளைக் கண்டறிய வேண்டும்.
எடுத்துக்காட்டாக, $y=x^(2)-1$ மற்றும் $y=0$ ஆகிய சார்புகளின் வரைபடங்களால் வரையறுக்கப்பட்ட ஒரு உருவத்தின் பகுதியைக் கண்டறியவும்.
செயல்பாட்டு வரைபடங்களின் குறுக்குவெட்டு புள்ளிகளைக் கண்டுபிடிப்போம்:
அந்த. $a=-1$, மற்றும் $b=1$. பகுதியை வரைவோம்.
பகுதியை சமச்சீராகக் காண்பிப்போம்:
$y=0 \ \Rightarrow \ y=-0=0$
$y=x^(2)-1 \\Rightarrow \ y= -(x^(2)-1) = 1-x^(2)$.
இதன் விளைவாக $y=1-x^(2)$ மற்றும் $y=0$ செயல்பாட்டின் வரைபடத்தால் வரம்பிடப்பட்ட ஒரு வளைவு ட்ரேப்சாய்டு ஆகும். இரண்டாவது வகையின் வளைந்த ட்ரெப்சாய்டைக் கண்டுபிடிப்பதில் இது ஒரு சிக்கல். நாங்கள் ஏற்கனவே அதை தீர்த்துவிட்டோம். பதில்: $S= 1\frac(1)(3)$ (அலகுகள் $^(2)$). இதன் பொருள், தேவையான வளைவு ட்ரேப்சாய்டின் பரப்பளவு இதற்கு சமம்:
$S=1\frac(1)(3)$ (அலகுகள்$^(2)$).
செயல்பாடு எதிர்மறையாக இல்லாமல் மற்றும் இடைவெளியில் தொடர்ச்சியாக இருக்கட்டும். பின்னர், ஒரு திட்டவட்டமான ஒருங்கிணைப்பின் வடிவியல் பொருளின் படி, இந்த செயல்பாட்டின் வரைபடத்தால் மேலே, அச்சின் கீழ், இடது மற்றும் வலதுபுறத்தில் நேர் கோடுகள் மற்றும் (படம் 2 ஐப் பார்க்கவும்) எல்லைப்படுத்தப்பட்ட ஒரு வளைவு ட்ரேப்சாய்டின் பரப்பளவு சூத்திரத்தால் கணக்கிடப்படுகிறது
எடுத்துக்காட்டு 9.ஒரு கோட்டால் கட்டப்பட்ட உருவத்தின் பகுதியைக் கண்டறியவும் 
மற்றும் அச்சு.
தீர்வு. செயல்பாட்டு வரைபடம் 
இது ஒரு பரவளையமாகும், அதன் கிளைகள் கீழ்நோக்கி இயக்கப்படுகின்றன. அதை உருவாக்குவோம் (படம் 3). ஒருங்கிணைப்பின் வரம்புகளைத் தீர்மானிக்க, கோட்டின் குறுக்குவெட்டு புள்ளிகளை (பரவளையம்) அச்சுடன் (நேராகக் கோடு) காண்கிறோம். இதைச் செய்ய, சமன்பாடுகளின் அமைப்பை நாங்கள் தீர்க்கிறோம்
நாங்கள் பெறுகிறோம்: 
, எங்கே , ; எனவே,,.
அரிசி. 3
சூத்திரம் (5) ஐப் பயன்படுத்தி உருவத்தின் பகுதியைக் காண்கிறோம்:
செயல்பாடு நேர்மறை மற்றும் பிரிவில் தொடர்ச்சியாக இருந்தால், வளைவு ட்ரேப்சாய்டின் பரப்பளவு இந்த செயல்பாட்டின் வரைபடத்தால் கீழே, மேலே அச்சால், இடது மற்றும் வலதுபுறத்தில் நேர் கோடுகள் மற்றும் , மூலம் கணக்கிடப்படுகிறது சூத்திரம்
. (6)
செயல்பாடு ஒரு பிரிவில் தொடர்ச்சியாக இருந்து, குறிப்பிட்ட எண்ணிக்கையிலான புள்ளிகளில் அடையாளத்தை மாற்றினால், ஷேடட் உருவத்தின் பரப்பளவு (படம் 4) தொடர்புடைய திட்டவட்டமான ஒருங்கிணைப்புகளின் இயற்கணிதத் தொகைக்கு சமம்:
அரிசி. 4
எடுத்துக்காட்டு 10.அச்சு மற்றும் செயல்பாட்டின் வரைபடத்தால் வரையறுக்கப்பட்ட உருவத்தின் பகுதியை கணக்கிடவும்.
அரிசி. 5
தீர்வு. ஒரு வரைபடத்தை உருவாக்குவோம் (படம் 5). தேவையான பகுதி என்பது பகுதிகளின் கூட்டுத்தொகை மற்றும் . இந்த பகுதிகள் ஒவ்வொன்றையும் கண்டுபிடிப்போம். முதலில், அமைப்பைத் தீர்ப்பதன் மூலம் ஒருங்கிணைப்பின் வரம்புகளை நாங்கள் தீர்மானிக்கிறோம் 
நாம் பெறுகிறோம், . எனவே:
;
.
இவ்வாறு, நிழலாடிய உருவத்தின் பரப்பளவு
(சதுர அலகுகள்).
அரிசி. 6
இறுதியாக, வளைகோட்டு ட்ரேப்சாய்டு, செக்மென்ட் மற்றும் ,
மற்றும் இடது மற்றும் வலதுபுறத்தில் - நேர் கோடுகள் மற்றும் (படம் 6). பின்னர் அதன் பரப்பளவு சூத்திரத்தால் கணக்கிடப்படுகிறது
. (8)
எடுத்துக்காட்டு 11.கோடுகளால் கட்டப்பட்ட உருவத்தின் பகுதியைக் கண்டறியவும்.
தீர்வு.இந்த எண்ணிக்கை படம் காட்டப்பட்டுள்ளது. 7. சூத்திரம் (8) ஐப் பயன்படுத்தி அதன் பகுதியைக் கணக்கிடுவோம். நாம் கண்டுபிடிக்கும் சமன்பாடுகளின் அமைப்பைத் தீர்ப்பது, ; எனவே,,. பிரிவில் எங்களிடம் உள்ளது: . இதன் பொருள் சூத்திரம் (8) இல் நாம் எடுத்துக்கொள்கிறோம் எக்ஸ், மற்றும் ஒரு தரமாக - . நாங்கள் பெறுகிறோம்:
(சதுர அலகுகள்).
பகுதிகளைக் கணக்கிடுவதில் மிகவும் சிக்கலான சிக்கல்கள் உருவத்தை ஒன்றுடன் ஒன்று அல்லாத பகுதிகளாகப் பிரிப்பதன் மூலமும், முழு உருவத்தின் பரப்பளவை இந்த பகுதிகளின் பகுதிகளின் கூட்டுத்தொகையாகக் கணக்கிடுவதன் மூலமும் தீர்க்கப்படுகின்றன.
அரிசி. 7
எடுத்துக்காட்டு 12.கோடுகளால் கட்டப்பட்ட உருவத்தின் பகுதியைக் கண்டறியவும், , .
தீர்வு. ஒரு வரைபடத்தை உருவாக்குவோம் (படம் 8). இந்த எண்ணிக்கை ஒரு வளைவு ட்ரெப்சாய்டாகக் கருதப்படலாம், கீழே இருந்து அச்சில், இடது மற்றும் வலதுபுறம் - நேர் கோடுகள் மற்றும் மேலே இருந்து - செயல்பாடுகளின் வரைபடங்கள் மற்றும். இரண்டு செயல்பாடுகளின் வரைபடங்களால் உருவம் மேலே இருந்து வரம்பிடப்பட்டிருப்பதால், அதன் பரப்பளவைக் கணக்கிட, இந்த நேர்கோட்டு உருவத்தை இரண்டு பகுதிகளாகப் பிரிக்கிறோம் (1 என்பது கோடுகளின் குறுக்குவெட்டு புள்ளியின் abscissa மற்றும் ). இந்த ஒவ்வொரு பகுதியின் பரப்பளவும் சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்தி கண்டறியப்படுகிறது (4):
(சதுர அலகுகள்); 
(சதுர அலகுகள்). எனவே:
(சதுர அலகுகள்).
அரிசி. 8
|
அரிசி. 9
முடிவில், ஒரு வளைவு ட்ரேப்சாய்டு நேர் கோடுகள் மற்றும் , அச்சு மற்றும் வளைவில் தொடர்ச்சியானது (படம் 9) ஆகியவற்றால் வரையறுக்கப்பட்டிருந்தால், அதன் பகுதி சூத்திரத்தால் கண்டறியப்படுகிறது.
புரட்சியின் உடலின் தொகுதி
ஒரு பிரிவில் தொடர்ச்சியான செயல்பாட்டின் வரைபடத்தால், ஒரு அச்சால், நேர் கோடுகள் மற்றும் , அச்சைச் சுற்றி சுழற்றக்கூடிய ஒரு வளைவு ட்ரேப்சாய்டை அனுமதிக்கவும் (படம் 10). பின்னர் சுழற்சியின் விளைவாக வரும் உடலின் அளவு சூத்திரத்தால் கணக்கிடப்படுகிறது
. (9)
எடுத்துக்காட்டு 13.ஒரு ஹைபர்போலா, நேர்கோடுகள் மற்றும் அச்சின் எல்லைக்குட்பட்ட வளைவு ட்ரேப்சாய்டின் அச்சில் சுழற்றுவதன் மூலம் பெறப்பட்ட உடலின் அளவைக் கணக்கிடுங்கள்.
தீர்வு. ஒரு வரைபடத்தை உருவாக்குவோம் (படம் 11).
பிரச்சனையின் நிலைமைகளில் இருந்து அது பின்வருமாறு, . சூத்திரத்திலிருந்து (9) நாம் பெறுகிறோம்
.
அரிசி. 10
அரிசி. பதினொரு
ஒரு அச்சை சுற்றி சுழற்சி மூலம் பெறப்பட்ட உடலின் தொகுதி OUநேர் கோடுகளால் கட்டப்பட்ட வளைவு ட்ரேப்சாய்டு y = cமற்றும் y = d, அச்சு OUமற்றும் ஒரு பிரிவில் தொடர்ச்சியான செயல்பாட்டின் வரைபடம் (படம் 12), சூத்திரத்தால் தீர்மானிக்கப்படுகிறது
. (10)
|
அரிசி. 12
எடுத்துக்காட்டு 14. ஒரு அச்சில் சுழற்றுவதன் மூலம் பெறப்பட்ட உடலின் அளவைக் கணக்கிடுங்கள் OUகோடுகளால் கட்டப்பட்ட வளைவு ட்ரேப்சாய்டு எக்ஸ் 2 = 4மணிக்கு, y = 4, x = 0 (படம் 13).
தீர்வு. சிக்கலின் நிபந்தனைகளுக்கு ஏற்ப, ஒருங்கிணைப்பின் வரம்புகளைக் காண்கிறோம்: , . சூத்திரம் (10) ஐப் பயன்படுத்தி நாம் பெறுகிறோம்:
அரிசி. 13
ஒரு விமான வளைவின் வில் நீளம்
சமன்பாட்டால் கொடுக்கப்பட்ட வளைவு , எங்கே , விமானத்தில் பொய் (படம் 14).
அரிசி. 14
வரையறை. ஒரு வளைவின் நீளம், இந்த வளைவில் பொறிக்கப்பட்டுள்ள உடைந்த கோட்டின் நீளம், உடைந்த கோட்டின் இணைப்புகளின் எண்ணிக்கை முடிவிலியை நோக்கிச் செல்லும் போது, மற்றும் மிகப்பெரிய இணைப்பின் நீளம் பூஜ்ஜியமாக இருக்கும் போது, அதன் எல்லையாகப் புரிந்து கொள்ளப்படுகிறது.
ஒரு செயல்பாடு மற்றும் அதன் வழித்தோன்றல் பிரிவில் தொடர்ச்சியாக இருந்தால், வளைவின் வில் நீளம் சூத்திரத்தால் கணக்கிடப்படுகிறது.
. (11)
எடுத்துக்காட்டு 15. புள்ளிகளுக்கு இடையில் இணைக்கப்பட்ட வளைவின் வில் நீளத்தைக் கணக்கிடுங்கள் 
.
தீர்வு. எங்களிடம் உள்ள சிக்கல் நிலைமைகளிலிருந்து 
. சூத்திரம் (11) ஐப் பயன்படுத்தி நாம் பெறுகிறோம்:
.
4. முறையற்ற ஒருங்கிணைப்புகள்
எல்லையற்ற ஒருங்கிணைப்பு வரம்புகளுடன்
ஒரு திட்டவட்டமான ஒருங்கிணைப்பு என்ற கருத்தை அறிமுகப்படுத்தும் போது, பின்வரும் இரண்டு நிபந்தனைகள் பூர்த்தி செய்யப்பட்டதாகக் கருதப்பட்டது:
அ) ஒருங்கிணைப்பின் வரம்புகள் ஏமற்றும் வரையறுக்கப்பட்டவை;
b) ஒருங்கிணைப்பு இடைவெளியில் கட்டுப்படுத்தப்படுகிறது.
இந்த நிபந்தனைகளில் குறைந்தபட்சம் ஒன்று திருப்தி அடையவில்லை என்றால், ஒருங்கிணைப்பு அழைக்கப்படுகிறது உங்களுடையது அல்ல.
எல்லையற்ற ஒருங்கிணைப்பு வரம்புகளுடன் முறையற்ற ஒருங்கிணைப்புகளை முதலில் கருத்தில் கொள்வோம்.
வரையறை. செயல்பாடு வரையறுக்கப்பட்டு இடைவெளியில் தொடர்ந்து இருக்கட்டும்மற்றும் வலதுபுறத்தில் வரம்பற்றது (படம் 15).
முறையற்ற ஒருங்கிணைப்பு ஒன்றிணைந்தால், இந்த பகுதி வரையறுக்கப்பட்டுள்ளது; முறையற்ற ஒருங்கிணைப்பு வேறுபட்டால், இந்த பகுதி எல்லையற்றது.
அரிசி. 15
ஒரு முறையற்ற ஒருங்கிணைப்பு எல்லையற்ற குறைந்த வரம்பு ஒருங்கிணைப்பு இதேபோல் வரையறுக்கப்படுகிறது:
. (13)
சமத்துவத்தின் வலது பக்கத்தில் உள்ள வரம்பு (13) இருந்தால் மற்றும் வரையறுக்கப்பட்டதாக இருந்தால் இந்த ஒருங்கிணைப்பு ஒன்றுபடுகிறது; மற்றபடி ஒருங்கிணைப்பு வேறுபட்டது என்று கூறப்படுகிறது.
இரண்டு எல்லையற்ற ஒருங்கிணைப்பு வரம்புகளுடன் ஒரு முறையற்ற ஒருங்கிணைப்பு பின்வருமாறு வரையறுக்கப்படுகிறது:
, (14)
с என்பது இடைவெளியின் எந்தப் புள்ளியாகும். சமத்துவத்தின் (14) வலது பக்கத்தில் உள்ள இரண்டு ஒருங்கிணைப்புகளும் ஒன்றிணைந்தால் மட்டுமே ஒருங்கிணைப்பு ஒன்றிணைகிறது.
;ஜி) 
= [வகுப்பில் ஒரு முழுமையான சதுரத்தைத் தேர்ந்தெடுக்கவும்: ] = 
[மாற்று:
] = 
இதன் பொருள் முறையற்ற ஒருங்கிணைப்பு ஒன்றிணைகிறது மற்றும் அதன் மதிப்பு சமமாக இருக்கும்.
உதாரணம்1 . கோடுகளால் கட்டப்பட்ட உருவத்தின் பகுதியைக் கணக்கிடவும்: x + 2y – 4 = 0, y = 0, x = -3, மற்றும் x = 2
ஒரு உருவத்தை உருவாக்குவோம் (படத்தைப் பார்க்கவும்) A(4;0) மற்றும் B(0;2) ஆகிய இரண்டு புள்ளிகளைப் பயன்படுத்தி x + 2y – 4 = 0 என்ற நேர்கோட்டை உருவாக்குகிறோம். y ஐ x மூலம் வெளிப்படுத்தினால், நாம் y = -0.5x + 2 ஐப் பெறுகிறோம். (1) சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்தி, f(x) = -0.5x + 2, a = -3, b = 2, நாம் கண்டுபிடிக்கிறோம்
S = = [-0.25=11.25 சதுர. அலகுகள்
எடுத்துக்காட்டு 2. கோடுகளால் கட்டப்பட்ட உருவத்தின் பகுதியைக் கணக்கிடுங்கள்: x – 2y + 4 = 0, x + y – 5 = 0 மற்றும் y = 0.
தீர்வு. உருவத்தை உருவாக்குவோம்.
x – 2y + 4 = 0: y = 0, x = - 4, A(-4; 0) என்ற நேர்கோட்டை உருவாக்குவோம்; x = 0, y = 2, B(0; 2).
x + y – 5 = 0: y = 0, x = 5, C(5; 0), x = 0, y = 5, D(0; 5) என்ற நேர்கோட்டை உருவாக்குவோம்.
சமன்பாடுகளின் அமைப்பைத் தீர்ப்பதன் மூலம் கோடுகளின் வெட்டும் புள்ளியைக் கண்டுபிடிப்போம்:
x = 2, y = 3; எம்(2; 3).
தேவையான பகுதியைக் கணக்கிட, AMC முக்கோணத்தை AMN மற்றும் NMC என இரண்டு முக்கோணங்களாகப் பிரிக்கிறோம், ஏனெனில் x A இலிருந்து N க்கு மாறும்போது, பகுதி ஒரு நேர் கோட்டாலும், x N இலிருந்து C க்கு மாறும்போது - ஒரு நேர் கோட்டாலும்
AMN முக்கோணத்திற்கு நம்மிடம் உள்ளது: ; y = 0.5x + 2, அதாவது f(x) = 0.5x + 2, a = - 4, b = 2.
NMC முக்கோணத்திற்கு நம்மிடம் உள்ளது: y = - x + 5, அதாவது f(x) = - x + 5, a = 2, b = 5.
ஒவ்வொரு முக்கோணத்தின் பரப்பளவையும் கணக்கிட்டு, முடிவுகளைச் சேர்ப்பதன் மூலம், நாம் காண்கிறோம்:
சதுர. அலகுகள்
சதுர. அலகுகள்
9 + 4, 5 = 13.5 சதுர. அலகுகள் சரிபார்க்கவும்: = 0.5AC = 0.5 சதுர. அலகுகள்
எடுத்துக்காட்டு 3. கோடுகளால் வரையறுக்கப்பட்ட உருவத்தின் பகுதியைக் கணக்கிடுங்கள்: y = x 2 , y = 0, x = 2, x = 3.
இந்த வழக்கில், நீங்கள் பரவளைய y = x ஆல் கட்டுப்படுத்தப்பட்ட வளைந்த ட்ரேப்சாய்டின் பகுதியைக் கணக்கிட வேண்டும். 2 , நேர்கோடுகள் x = 2 மற்றும் x = 3 மற்றும் ஆக்ஸ் அச்சு (படம் பார்க்கவும்) சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்தி (1) வளைவு ட்ரேப்சாய்டின் பகுதியைக் கண்டுபிடிப்போம்
= = 6 சதுர. அலகுகள்
எடுத்துக்காட்டு 4. கோடுகளால் கட்டப்பட்ட உருவத்தின் பகுதியைக் கணக்கிடுங்கள்: y = - x 2 + 4 மற்றும் y = 0
உருவத்தை உருவாக்குவோம். தேவையான பகுதி பரவளைய y = - x இடையே இணைக்கப்பட்டுள்ளது 2 + 4 மற்றும் எருது அச்சு.
எருது அச்சுடன் பரவளையத்தின் வெட்டுப்புள்ளிகளைக் கண்டுபிடிப்போம். y = 0 என்று வைத்துக் கொண்டால், x = இந்த உருவம் Oy அச்சில் சமச்சீராக இருப்பதால், Oy அச்சின் வலதுபுறத்தில் அமைந்துள்ள உருவத்தின் பரப்பளவைக் கணக்கிட்டு, பெறப்பட்ட முடிவை இரட்டிப்பாக்குகிறோம்: = +4x] சதுர. அலகுகள் 2 = 2 சதுர. அலகுகள்
எடுத்துக்காட்டு 5. கோடுகளால் வரையறுக்கப்பட்ட உருவத்தின் பரப்பளவைக் கணக்கிடவும்: y 2 = x, yx = 1, x = 4
இங்கே நீங்கள் பரவளையத்தின் மேல் கிளையால் கட்டுப்படுத்தப்பட்ட வளைந்த ட்ரேப்சாய்டின் பகுதியைக் கணக்கிட வேண்டும். 2 = x, எருது அச்சு மற்றும் நேர் கோடுகள் x = 1 மற்றும் x = 4 (படத்தைப் பார்க்கவும்)
சூத்திரத்தின்படி (1), f(x) = a = 1 மற்றும் b = 4, எங்களிடம் = (= சதுர அலகுகள்.
எடுத்துக்காட்டு 6 . கோடுகளால் கட்டப்பட்ட உருவத்தின் பகுதியைக் கணக்கிடுங்கள்: y = sinx, y = 0, x = 0, x = .
தேவையான பகுதி சைனூசாய்டு மற்றும் ஆக்ஸ் அச்சின் அரை-அலையால் வரையறுக்கப்பட்டுள்ளது (படத்தைப் பார்க்கவும்).
எங்களிடம் உள்ளது - cosx = - cos = 1 + 1 = 2 sq. அலகுகள்
எடுத்துக்காட்டு 7. கோடுகளால் கட்டப்பட்ட உருவத்தின் பகுதியைக் கணக்கிடுங்கள்: y = - 6x, y = 0 மற்றும் x = 4.
உருவம் எருது அச்சின் கீழ் அமைந்துள்ளது (படத்தைப் பார்க்கவும்).
எனவே, சூத்திரம் (3) ஐப் பயன்படுத்தி அதன் பகுதியைக் காண்கிறோம்
= =
எடுத்துக்காட்டு 8. கோடுகளால் கட்டப்பட்ட உருவத்தின் பகுதியைக் கணக்கிடவும்: y = மற்றும் x = 2. புள்ளிகளிலிருந்து y = வளைவை உருவாக்கவும் (படத்தைப் பார்க்கவும்). எனவே, சூத்திரம் (4) ஐப் பயன்படுத்தி உருவத்தின் பரப்பளவைக் காண்கிறோம்.
எடுத்துக்காட்டு 9 .
எக்ஸ் 2 + ஒய் 2 = ஆர் 2 .
இங்கே நீங்கள் x வட்டத்தால் இணைக்கப்பட்ட பகுதியைக் கணக்கிட வேண்டும் 2 + ஒய் 2 = ஆர் 2 , அதாவது r ஆரம் கொண்ட ஒரு வட்டத்தின் பரப்பளவு மற்றும் மையத்தின் தோற்றம். 0 இலிருந்து ஒருங்கிணைப்பின் வரம்புகளை எடுத்து இந்தப் பகுதியின் நான்காவது பகுதியைக் கண்டுபிடிப்போம்
முன்; எங்களிடம் உள்ளது: 1 = = [
எனவே, 1 =
எடுத்துக்காட்டு 10. கோடுகளால் வரையறுக்கப்பட்ட உருவத்தின் பகுதியைக் கணக்கிடுங்கள்: y= x 2 மற்றும் y = 2x
இந்த எண்ணிக்கை பரவளைய y = x ஆல் வரையறுக்கப்பட்டுள்ளது 2 மற்றும் நேர்கோடு y = 2x (படத்தைப் பார்க்கவும்) கொடுக்கப்பட்ட கோடுகளின் வெட்டுப்புள்ளிகளைத் தீர்மானிக்க, சமன்பாடுகளின் அமைப்பைத் தீர்க்கிறோம்: x 2 – 2x = 0 x = 0 மற்றும் x = 2
பகுதியைக் கண்டுபிடிக்க சூத்திரம் (5) ஐப் பயன்படுத்தி, நாங்கள் பெறுகிறோம்
= (வளைந்த ட்ரேப்சாய்டின் அடிப்படை) n சம பாகங்களாக; இந்த பகிர்வு x 1, x 2, ... x k, ... x n-1 புள்ளிகளைப் பயன்படுத்தி மேற்கொள்ளப்படுகிறது. y அச்சுக்கு இணையான இந்த புள்ளிகள் வழியாக நேர்கோடுகளை வரைவோம். பின்னர் கொடுக்கப்பட்ட வளைவு ட்ரேப்சாய்டு n பகுதிகளாக, n குறுகிய நெடுவரிசைகளாக பிரிக்கப்படும். முழு ட்ரெப்சாய்டின் பரப்பளவு நெடுவரிசைகளின் பகுதிகளின் கூட்டுத்தொகைக்கு சமம்.
k-th நெடுவரிசையை தனித்தனியாகக் கருதுவோம், அதாவது. ஒரு வளைந்த ட்ரேப்சாய்டு அதன் அடிப்பகுதி ஒரு பிரிவாகும். F(x k) க்கு சமமான அதே அடித்தளம் மற்றும் உயரம் கொண்ட ஒரு செவ்வகத்துடன் அதை மாற்றுவோம் (படத்தைப் பார்க்கவும்). செவ்வகத்தின் பரப்பளவு \(f(x_k) \cdot \Delta x_k \), இங்கு \(\Delta x_k \) என்பது பிரிவின் நீளம்; இதன் விளைவாக வரும் தயாரிப்பை kth நெடுவரிசையின் பரப்பளவின் தோராயமான மதிப்பாகக் கருதுவது இயற்கையானது. 
இப்போது மற்ற எல்லா நெடுவரிசைகளிலும் இதைச் செய்தால், பின்வரும் முடிவைப் பெறுவோம்: கொடுக்கப்பட்ட வளைவு ட்ரேப்சாய்டின் பகுதி S என்பது n செவ்வகங்களால் ஆன படிநிலை உருவத்தின் S n பகுதிக்கு தோராயமாக சமமாக இருக்கும் (படத்தைப் பார்க்கவும்):
\(S_n = f(x_0)\Delta x_0 + \dots + f(x_k)\Delta x_k + \dots + f(x_(n-1))\Delta x_(n-1) \)
இங்கே, குறியீட்டின் சீரான தன்மைக்காக, a = x 0, b = x n; \(\Delta x_0 \) - பிரிவின் நீளம், \(\Delta x_1 \) - பிரிவின் நீளம், முதலியன; இந்த வழக்கில், நாம் மேலே ஒப்புக்கொண்டது போல், \(\Delta x_0 = \dots = \Delta x_(n-1) \)
எனவே, \(S \ approx S_n \), மேலும் இந்த தோராயமான சமத்துவம் மிகவும் துல்லியமானது, பெரிய n.
வரையறையின்படி, ஒரு வளைவு ட்ரேப்சாய்டின் தேவையான பகுதி வரிசையின் வரம்பிற்கு சமம் என்று நம்பப்படுகிறது (S n):
$$ S = \lim_(n \to \infty) S_n $$
பிரச்சனை 2(ஒரு புள்ளியை நகர்த்துவது பற்றி)
ஒரு பொருள் புள்ளி நேர்கோட்டில் நகரும். நேரத்தின் வேகத்தின் சார்பு v = v(t) சூத்திரத்தால் வெளிப்படுத்தப்படுகிறது. ஒரு குறிப்பிட்ட காலப்பகுதியில் ஒரு புள்ளியின் இயக்கத்தைக் கண்டறியவும் [a; b].
தீர்வு.இயக்கம் ஒரே மாதிரியாக இருந்தால், பிரச்சனை மிகவும் எளிமையாக தீர்க்கப்படும்: s = vt, அதாவது. s = v(b-a). சீரற்ற இயக்கத்திற்கு, முந்தைய சிக்கலுக்கான தீர்வை அடிப்படையாகக் கொண்ட அதே யோசனைகளை நீங்கள் பயன்படுத்த வேண்டும்.
1) நேர இடைவெளியை வகுக்கவும் [a; b] n சம பாகங்களாக.
2) ஒரு காலகட்டத்தை கருத்தில் கொண்டு, இந்த காலகட்டத்தில் வேகம் நிலையானதாக இருந்தது, அதே நேரத்தில் t k. எனவே v = v(t k) என்று வைத்துக்கொள்வோம்.
3) குறிப்பிட்ட காலப்பகுதியில் புள்ளியின் இயக்கத்தின் தோராய மதிப்பைக் கண்டுபிடிப்போம்; இந்த தோராய மதிப்பை s k எனக் குறிப்பிடுவோம்
\(s_k = v(t_k) \Delta t_k \)
4) இடப்பெயர்ச்சியின் தோராயமான மதிப்பைக் கண்டறியவும்:
\(கள் \தோராயமாக S_n \) எங்கே
\(S_n = s_0 + \dots + s_(n-1) = v(t_0)\Delta t_0 + \dots + v(t_(n-1)) \Delta t_(n-1) \)
5) தேவையான இடப்பெயர்ச்சி வரிசையின் வரம்புக்கு சமம் (S n):
$$ s = \lim_(n \to \infty) S_n $$
சுருக்கமாகக் கூறுவோம். பல்வேறு சிக்கல்களுக்கான தீர்வுகள் ஒரே கணித மாதிரிக்கு குறைக்கப்பட்டன. அறிவியல் மற்றும் தொழில்நுட்பத்தின் பல்வேறு துறைகளில் இருந்து வரும் பல பிரச்சனைகள், தீர்வுக்கான செயல்பாட்டில் ஒரே மாதிரிக்கு இட்டுச் செல்கின்றன. இதன் பொருள் இந்த கணித மாதிரி சிறப்பாக படிக்கப்பட வேண்டும்.
ஒரு திட்டவட்டமான ஒருங்கிணைப்பின் கருத்து
y = f(x) செயல்பாட்டிற்கான மூன்று கருதப்படும் சிக்கல்களில் கட்டமைக்கப்பட்ட மாதிரியின் கணித விளக்கத்தை வழங்குவோம், தொடர்ச்சியான (ஆனால் கருதப்பட்ட சிக்கல்களில் கருதப்பட்டது போல் எதிர்மறையானது அவசியமில்லை) இடைவெளியில் [a; b]:
1) பிரிவைப் பிரிக்கவும் [a; b] n சம பாகங்களாக;
2) $$ S_n = f(x_0)\Delta x_0 + f(x_1)\Delta x_1 + \dots + f(x_(n-1))\Delta x_(n-1) $$
3) கணக்கிட $$ \lim_(n \to \infty) S_n $$
கணிதப் பகுப்பாய்வின் போக்கில், தொடர்ச்சியான (அல்லது துண்டு துண்டாக தொடர்ச்சியான) செயல்பாட்டின் விஷயத்தில் இந்த வரம்பு உள்ளது என்பது நிரூபிக்கப்பட்டது. அவன் அழைக்கப்பட்டான் y = f(x) செயல்பாட்டின் ஒரு குறிப்பிட்ட ஒருங்கிணைப்பு [a; b]மற்றும் பின்வருமாறு குறிக்கப்படுகிறது:
\(\int\limits_a^b f(x) dx \)
எண்கள் a மற்றும் b ஆகியவை ஒருங்கிணைப்பின் வரம்புகள் என்று அழைக்கப்படுகின்றன (முறையே கீழ் மற்றும் மேல்).
மேலே விவாதிக்கப்பட்ட பணிகளுக்குத் திரும்புவோம். சிக்கல் 1 இல் கொடுக்கப்பட்ட பகுதியின் வரையறை இப்போது பின்வருமாறு மீண்டும் எழுதப்படலாம்:
\(S = \int\limits_a^b f(x) dx \)
இங்கே S என்பது மேலே உள்ள படத்தில் காட்டப்பட்டுள்ள வளைந்த ட்ரெப்சாய்டின் பகுதி. இது ஒரு திட்டவட்டமான ஒருங்கிணைப்பின் வடிவியல் பொருள்.
சிக்கல் 2 இல் கொடுக்கப்பட்டுள்ள t = a இலிருந்து t = b வரையிலான காலப்பகுதியில் v = v(t) வேகத்துடன் நேர்கோட்டில் நகரும் ஒரு புள்ளியின் இடப்பெயர்ச்சி s இன் வரையறை பின்வருமாறு மீண்டும் எழுதப்படலாம்:
நியூட்டன்-லீப்னிஸ் சூத்திரம்
முதலில், கேள்விக்கு பதிலளிப்போம்: திட்டவட்டமான ஒருங்கிணைந்த மற்றும் எதிர்வழிக்கு என்ன தொடர்பு?
பிரச்சனை 2 இல் பதிலைக் காணலாம். ஒருபுறம், t = a இலிருந்து t = b வரையிலான காலப்பகுதியில் v = v(t) வேகத்துடன் நேர்கோட்டில் நகரும் புள்ளியின் இடப்பெயர்ச்சி கள் கணக்கிடப்படுகிறது சூத்திரம்
\(S = \int\limits_a^b v(t) dt \)
மறுபுறம், ஒரு நகரும் புள்ளியின் ஒருங்கிணைப்பு என்பது வேகத்திற்கான ஒரு எதிர்விளைவு ஆகும் - அதை s(t) குறிப்போம்; இதன் பொருள் s = s(b) - s(a) சூத்திரத்தால் இடப்பெயர்ச்சி s வெளிப்படுத்தப்படுகிறது. இதன் விளைவாக நாம் பெறுகிறோம்:
\(S = \int\limits_a^b v(t) dt = s(b)-s(a) \)
இதில் s(t) என்பது v(t) இன் எதிர்வழியாகும்.
கணிதப் பகுப்பாய்வின் போது பின்வரும் தேற்றம் நிரூபிக்கப்பட்டது.
தேற்றம். செயல்பாடு y = f(x) இடைவெளியில் [a; b], பின்னர் சூத்திரம் செல்லுபடியாகும்
\(S = \int\limits_a^b f(x) dx = F(b)-F(a) \)
இதில் F(x) என்பது f(x) இன் எதிர் வழித்தோன்றலாகும்.
கொடுக்கப்பட்ட சூத்திரம் பொதுவாக அழைக்கப்படுகிறது நியூட்டன்-லீப்னிஸ் சூத்திரம்ஆங்கில இயற்பியலாளர் ஐசக் நியூட்டன் (1643-1727) மற்றும் ஜெர்மன் தத்துவஞானி காட்ஃபிரைட் லீப்னிஸ் (1646-1716) ஆகியோரின் நினைவாக, அவர் ஒருவருக்கொருவர் சுயாதீனமாகவும் கிட்டத்தட்ட ஒரே நேரத்தில் பெற்றார்.
நடைமுறையில், F(b) - F(a) என்று எழுதுவதற்குப் பதிலாக, \(\left. F(x)\right|_a^b \) (இது சில நேரங்களில் அழைக்கப்படுகிறது) குறியீட்டைப் பயன்படுத்துகிறது. இரட்டை மாற்று) மற்றும், அதன்படி, நியூட்டன்-லீப்னிஸ் சூத்திரத்தை இந்த வடிவத்தில் மீண்டும் எழுதவும்:
\(S = \int\limits_a^b f(x) dx = \left. F(x)\right|_a^b \)
ஒரு திட்டவட்டமான ஒருங்கிணைப்பைக் கணக்கிடும் போது, முதலில் ஆன்டிடெரிவேட்டிவ் கண்டுபிடிக்கவும், பின்னர் இரட்டை மாற்றீடு செய்யவும்.
நியூட்டன்-லீப்னிஸ் சூத்திரத்தின் அடிப்படையில், திட்டவட்டமான ஒருங்கிணைப்பின் இரண்டு பண்புகளை நாம் பெறலாம்.
சொத்து 1.செயல்பாடுகளின் கூட்டுத்தொகை ஒருங்கிணைப்புகளின் கூட்டுத்தொகைக்கு சமம்:
\(\int\limits_a^b (f(x) + g(x))dx = \int\limits_a^b f(x)dx + \int\limits_a^b g(x)dx \)
சொத்து 2.நிலையான காரணியை ஒருங்கிணைந்த அடையாளத்திலிருந்து எடுக்கலாம்:
\(\int\limits_a^b kf(x)dx = k \int\limits_a^b f(x)dx \)
ஒரு திட்டவட்டமான ஒருங்கிணைப்பைப் பயன்படுத்தி விமான உருவங்களின் பகுதிகளைக் கணக்கிடுதல்
ஒருங்கிணைப்பைப் பயன்படுத்தி, நீங்கள் வளைந்த ட்ரெப்சாய்டுகளின் பகுதிகளை மட்டுமல்ல, மிகவும் சிக்கலான வகையின் விமான புள்ளிவிவரங்களையும் கணக்கிடலாம், எடுத்துக்காட்டாக, படத்தில் காட்டப்பட்டுள்ளது. படம் P ஆனது x = a, x = b என்ற நேர் கோடுகள் மற்றும் y = f(x), y = g(x) என்ற தொடர் செயல்பாடுகளின் வரைபடங்கள் மற்றும் பிரிவில் [a; b] சமத்துவமின்மை \(g(x) \leq f(x) \) உள்ளது. அத்தகைய உருவத்தின் S பகுதியைக் கணக்கிட, நாம் பின்வருமாறு தொடருவோம்:
\(S = S_(ABCD) = S_(aDCb) - S_(aABb) = \int\limits_a^b f(x) dx - \int\limits_a^b g(x) dx = \)
\(= \int\limits_a^b (f(x)-g(x))dx \)
எனவே, x = a, x = b என்ற நேர் கோடுகளால் வரம்புக்குட்பட்ட ஒரு உருவத்தின் பகுதி S மற்றும் y = f(x), y = g(x) செயல்பாடுகளின் வரைபடங்கள், பிரிவில் தொடர்ந்து இருக்கும் மற்றும் எந்த x க்கும் [அ; b] சமத்துவமின்மை \(g(x) \leq f(x) \) சூத்திரத்தால் கணக்கிடப்படுகிறது
\(S = \int\limits_a^b (f(x)-g(x))dx \)