அடிப்படை செயல்பாடுகளின் காலவரையற்ற ஒருங்கிணைப்புகளின் அட்டவணை. அடிப்படை சூத்திரங்கள் மற்றும் ஒருங்கிணைப்பு முறைகள்
அடிப்படை சூத்திரங்கள் மற்றும் ஒருங்கிணைப்பு முறைகள். ஒரு தொகை அல்லது வேறுபாட்டை ஒருங்கிணைப்பதற்கான விதி. ஒருங்கிணைந்த அடையாளத்திற்கு வெளியே மாறிலியை நகர்த்துதல். மாறி மாற்று முறை. பாகங்கள் மூலம் ஒருங்கிணைப்பதற்கான சூத்திரம். ஒரு சிக்கலைத் தீர்ப்பதற்கான எடுத்துக்காட்டு.
நான்கு முக்கிய ஒருங்கிணைப்பு முறைகள் கீழே பட்டியலிடப்பட்டுள்ளன.
1)
ஒரு தொகை அல்லது வேறுபாட்டை ஒருங்கிணைப்பதற்கான விதி.
.
இங்கே மற்றும் கீழே u, v, w ஆகியவை ஒருங்கிணைப்பு மாறி x இன் செயல்பாடுகள்.
2)
ஒருங்கிணைந்த அடையாளத்திற்கு வெளியே மாறிலியை நகர்த்துதல்.
c ஆனது x இலிருந்து ஒரு நிலையான சார்பற்றதாக இருக்கட்டும். பின்னர் அதை ஒருங்கிணைந்த அடையாளத்திலிருந்து வெளியே எடுக்கலாம்.
3)
மாறி மாற்று முறை.
காலவரையற்ற ஒருங்கிணைப்பைக் கருத்தில் கொள்வோம்.
அத்தகைய செயல்பாட்டை நாம் கண்டுபிடிக்க முடிந்தால் φ (எக்ஸ்) x இலிருந்து, அதனால்
,
பின்னர், t = φ(x) மாறியை மாற்றுவதன் மூலம், நம்மிடம் உள்ளது
.
4)
பாகங்கள் மூலம் ஒருங்கிணைப்பதற்கான சூத்திரம்.
,
இதில் u மற்றும் v ஆகியவை ஒருங்கிணைப்பு மாறியின் செயல்பாடுகள்.
கணக்கீட்டின் இறுதி இலக்கு காலவரையற்ற ஒருங்கிணைப்புகள்- இது, உருமாற்றங்கள் மூலம், கொடுக்கப்பட்ட ஒருங்கிணைப்பை எளிய ஒருங்கிணைப்புகளுக்குக் குறைப்பது, அவை அட்டவணை ஒருங்கிணைப்புகள் என்று அழைக்கப்படுகின்றன. அறியப்பட்ட சூத்திரங்களைப் பயன்படுத்தி அடிப்படை செயல்பாடுகள் மூலம் அட்டவணை ஒருங்கிணைப்புகள் வெளிப்படுத்தப்படுகின்றன.
ஒருங்கிணைப்புகளின் அட்டவணை >>> பார்க்கவும்
உதாரணமாக
காலவரையற்ற ஒருங்கிணைப்பைக் கணக்கிடுங்கள்
தீர்வு
ஒருங்கிணைப்பு என்பது மூன்று சொற்களின் கூட்டுத்தொகை மற்றும் வேறுபாடு என்பதை நாங்கள் கவனிக்கிறோம்:
, மற்றும் .
முறையைப் பயன்படுத்துதல் 1
.
அடுத்து, புதிய ஒருங்கிணைப்புகளின் ஒருங்கிணைப்புகள் மாறிலிகளால் பெருக்கப்படுகின்றன என்பதை நாங்கள் கவனிக்கிறோம் 5, 4,
மற்றும் 2
, முறையே. முறையைப் பயன்படுத்துதல் 2
.
ஒருங்கிணைப்புகளின் அட்டவணையில் நாம் சூத்திரத்தைக் காண்கிறோம்
.
n = அனுமானித்து 2
, முதல் ஒருங்கிணைப்பைக் காண்கிறோம்.
இரண்டாவது ஒருங்கிணைப்பை படிவத்தில் மீண்டும் எழுதுவோம்
.
என்பதை நாங்கள் கவனிக்கிறோம். பிறகு
மூன்றாவது முறையைப் பயன்படுத்துவோம். t = φ என்ற மாறியை மாற்றுகிறோம் (x) = பதிவு x.
.
ஒருங்கிணைப்புகளின் அட்டவணையில் நாம் சூத்திரத்தைக் காண்கிறோம்
ஒருங்கிணைப்பு மாறியை எந்த எழுத்திலும் குறிக்கலாம் என்பதால், பின்னர்
படிவத்தில் மூன்றாவது ஒருங்கிணைப்பை மீண்டும் எழுதுவோம்
.
பகுதிகள் மூலம் ஒருங்கிணைப்பு சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்துகிறோம்.
போடுவோம்.
பிறகு
;
;
;
;
.
இந்த பக்கத்தில் நீங்கள் காணலாம்:
1. உண்மையில், ஆன்டிடெரிவேடிவ்களின் அட்டவணை - இது PDF வடிவத்தில் பதிவிறக்கம் செய்யப்பட்டு அச்சிடப்படலாம்;
2. இந்த அட்டவணையை எவ்வாறு பயன்படுத்துவது என்பது குறித்த வீடியோ;
3. பல்வேறு பாடப்புத்தகங்கள் மற்றும் சோதனைகளிலிருந்து ஆண்டிடெரிவேட்டிவ் கணக்கிடுவதற்கான எடுத்துக்காட்டுகளின் தொகுப்பு.
வீடியோவில், நீங்கள் செயல்பாடுகளின் ஆன்டிடெரிவேடிவ்களைக் கணக்கிட வேண்டிய பல சிக்கல்களை நாங்கள் பகுப்பாய்வு செய்வோம், பெரும்பாலும் மிகவும் சிக்கலானது, ஆனால் மிக முக்கியமாக, அவை சக்தி செயல்பாடுகள் அல்ல. மேலே முன்மொழியப்பட்ட அட்டவணையில் சுருக்கப்பட்ட அனைத்து செயல்பாடுகளும் வழித்தோன்றல்கள் போன்ற இதயத்தால் அறியப்பட வேண்டும். அவை இல்லாமல், ஒருங்கிணைப்புகளைப் பற்றிய கூடுதல் ஆய்வு மற்றும் நடைமுறை சிக்கல்களைத் தீர்ப்பதற்கான அவற்றின் பயன்பாடு சாத்தியமற்றது.
இன்று நாம் ஆண்டிடெரிவேடிவ்களைப் படிப்பதைத் தொடர்கிறோம் மற்றும் இன்னும் கொஞ்சம் செல்கிறோம் சிக்கலான தலைப்பு. கடந்த முறை நாம் ஆற்றல் செயல்பாடுகள் மற்றும் சற்றே சிக்கலான கட்டுமானங்களின் ஆண்டிடெரிவேடிவ்களை மட்டுமே பார்த்தோம் என்றால், இன்று நாம் முக்கோணவியல் மற்றும் பலவற்றைப் பார்ப்போம்.
நான் கடந்த பாடத்தில் கூறியது போல், டெரிவேடிவ்களைப் போலன்றி, எந்த நிலையான விதிகளையும் பயன்படுத்தி "உடனடியாக" தீர்க்கப்படாது. மேலும், மோசமான செய்தி என்னவென்றால், வழித்தோன்றலைப் போலல்லாமல், ஆண்டிடெரிவேட்டிவ் கருதப்படவே இல்லை. நாம் முற்றிலும் சீரற்ற செயல்பாட்டை எழுதி அதன் வழித்தோன்றலைக் கண்டுபிடிக்க முயற்சித்தால், மிக அதிக நிகழ்தகவுடன் நாம் வெற்றியடைவோம், ஆனால் இந்த விஷயத்தில் ஆன்டிடெரிவேடிவ் கணக்கிடப்படாது. ஆனால் ஒரு நல்ல செய்தி உள்ளது: எலிமெண்டரி ஃபங்ஷன்கள் எனப்படும் செயல்பாடுகளின் மிகப் பெரிய வகுப்பு உள்ளது, இவற்றின் ஆண்டிடெரிவேடிவ்கள் கணக்கிட மிகவும் எளிதானது. மேலும் அனைத்து வகையான சோதனைகள், சுயாதீன சோதனைகள் மற்றும் தேர்வுகள் ஆகியவற்றில் வழங்கப்படும் மற்ற அனைத்து சிக்கலான கட்டமைப்புகளும், உண்மையில், கூட்டல், கழித்தல் மற்றும் பிற எளிய செயல்கள் மூலம் இந்த அடிப்படை செயல்பாடுகளால் ஆனவை. இத்தகைய செயல்பாடுகளின் முன்மாதிரிகள் நீண்ட காலமாக கணக்கிடப்பட்டு சிறப்பு அட்டவணைகளாக தொகுக்கப்பட்டுள்ளன. இந்த செயல்பாடுகள் மற்றும் அட்டவணைகள் தான் இன்று நாம் வேலை செய்வோம்.
ஆனால், எப்பொழுதும் போல, மீண்டும் மீண்டும் தொடங்குவோம்: ஆன்டிடெரிவேட்டிவ் என்றால் என்ன, அவற்றில் எண்ணற்றவை ஏன் உள்ளன, அவற்றை எவ்வாறு வரையறுப்பது என்பதை நினைவில் கொள்வோம். பொது வடிவம். இதைச் செய்ய, நான் இரண்டு எளிய சிக்கல்களை எடுத்தேன்.
எளிமையான எடுத்துக்காட்டுகளைத் தீர்ப்பது
எடுத்துக்காட்டு #1
$\frac(\text( )\!\pi\!\!\text( ))(6)$ மற்றும் பொதுவாக $\text( )\!\!\pi\ இருப்பதை உடனடியாக கவனிக்கலாம் !\!\ text( )$, செயல்பாட்டின் தேவையான ஆன்டிடெரிவேடிவ் முக்கோணவியல் தொடர்பானது என்பதை உடனடியாக நமக்குச் சுட்டிக்காட்டுகிறது. மற்றும், உண்மையில், நாம் அட்டவணையைப் பார்த்தால், $\frac(1)(1+((x)^(2)))$ என்பது $\text(arctg)x$ என்பதைத் தவிர வேறில்லை. எனவே அதை எழுதுவோம்:
கண்டுபிடிக்க, நீங்கள் பின்வருவனவற்றை எழுத வேண்டும்:
\[\frac(\pi )(6)=\text(arctg)\sqrt(3)+C\]
\[\frac(\text( )\!\!\pi\!\!\text( ))(6)=\frac(\text( )\!\!\pi\!\!\text( )) (3)+C\]
எடுத்துக்காட்டு எண். 2
நாம் இங்கே முக்கோணவியல் செயல்பாடுகளைப் பற்றியும் பேசுகிறோம். நாம் அட்டவணையைப் பார்த்தால், உண்மையில், இதுதான் நடக்கும்:
சுட்டிக்காட்டப்பட்ட புள்ளியின் வழியாக செல்லும் ஆன்டிடெரிவேடிவ்களின் முழு தொகுப்பிலும் நாம் கண்டுபிடிக்க வேண்டும்:
\[\text( )\!\!\pi\!\!\text( )=\arcsin \frac(1)(2)+C\]
\[\text( )\!\!\pi\!\!\text( )=\frac(\text( )\!\!\pi\!\!\\text( ))(6)+C\]
இறுதியாக அதை எழுதுவோம்:
இது மிகவும் எளிமையானது. ஒரே பிரச்சனை என்னவென்றால், எளிய செயல்பாடுகளின் ஆண்டிடெரிவேடிவ்களைக் கணக்கிட, நீங்கள் ஆண்டிடெரிவேடிவ்களின் அட்டவணையைக் கற்றுக்கொள்ள வேண்டும். இருப்பினும், உங்களுக்கான வழித்தோன்றல் அட்டவணையைப் படித்த பிறகு, இது ஒரு பிரச்சனையாக இருக்காது என்று நினைக்கிறேன்.
அதிவேக செயல்பாட்டைக் கொண்ட சிக்கல்களைத் தீர்ப்பது
தொடங்குவதற்கு, பின்வரும் சூத்திரங்களை எழுதுவோம்:
\[((e)^(x))\to ((e)^(x))\]
\[((a)^(x))\to \frac(((a)^(x)))(\ln a)\]
இவை அனைத்தும் நடைமுறையில் எவ்வாறு செயல்படுகின்றன என்பதைப் பார்ப்போம்.
எடுத்துக்காட்டு #1
அடைப்புக்குறிக்குள் உள்ளவற்றைப் பார்த்தால், ஆண்டிடெரிவேடிவ்களின் அட்டவணையில் ஒரு சதுரத்தில் இருக்க $((e)^(x))$ க்கு அத்தகைய வெளிப்பாடு இல்லை என்பதை நாம் கவனிப்போம், எனவே இந்த சதுரம் விரிவாக்கப்பட வேண்டும். இதைச் செய்ய, சுருக்கமான பெருக்கல் சூத்திரங்களைப் பயன்படுத்துகிறோம்:
ஒவ்வொரு சொற்களுக்கும் எதிர் வழித்தோன்றலைக் கண்டுபிடிப்போம்:
\[((இ)^(2x))=((\இடது(((இ)^(2)) \வலது))^(x))\இலிருந்து \frac((\இடது(((இ)) (2)) \right))^(x)))(\ln ((e)^(2)))=\frac(((e)^(2x)))(2)\]
\[((இ)^(-2x))=((\இடது((இ)^(-2)) \வலது))^(x))\ to \frac(((\left(((e)) )^(-2)) \right))^(x)))(\ln ((e)^(-2)))=\frac(1)(-2((e)^(2x))) \]
இப்போது அனைத்து சொற்களையும் ஒரே வெளிப்பாடாகச் சேகரித்து, பொதுவான எதிர்ப்பொருளைப் பெறுவோம்:
எடுத்துக்காட்டு எண். 2
இந்த முறை பட்டம் பெரியது, எனவே சுருக்கமான பெருக்கல் சூத்திரம் மிகவும் சிக்கலானதாக இருக்கும். எனவே அடைப்புக்குறிகளைத் திறப்போம்:
இப்போது இந்த கட்டுமானத்தில் இருந்து நமது சூத்திரத்தின் ஆண்டிடெரிவேட்டிவ் எடுக்க முயற்சிப்போம்:
நீங்கள் பார்க்க முடியும் என, ஆதிகாலங்களில் அதிவேக செயல்பாடுசிக்கலான அல்லது இயற்கைக்கு அப்பாற்பட்ட எதுவும் இல்லை. அவை அனைத்தும் அட்டவணைகள் மூலம் கணக்கிடப்படுகின்றன, ஆனால் கவனமுள்ள மாணவர்கள் $((e)^(2x))$ என்பது $((a) ஐ விட $((e)^(x))$ க்கு மிக நெருக்கமாக இருப்பதைக் கவனிக்கலாம். )^(x ))$. எனவே, $((e)^(2x))$ ஐக் கண்டுபிடிக்க, $((e)^(x))$ என்ற எதிர்வழியை அறிந்து கொள்ள அனுமதிக்கும் இன்னும் சில சிறப்பு விதிகள் இருக்கலாம்? ஆம், அத்தகைய விதி உள்ளது. மேலும், இது ஆண்டிடெரிவேடிவ்களின் அட்டவணையுடன் பணிபுரிவதில் ஒரு ஒருங்கிணைந்த பகுதியாகும். நாங்கள் இப்போது ஒரு எடுத்துக்காட்டுடன் பணிபுரிந்த அதே வெளிப்பாடுகளைப் பயன்படுத்தி அதை பகுப்பாய்வு செய்வோம்.
ஆன்டிடெரிவேடிவ்களின் அட்டவணையுடன் வேலை செய்வதற்கான விதிகள்
எங்கள் செயல்பாட்டை மீண்டும் எழுதுவோம்:
முந்தைய வழக்கில், தீர்க்க பின்வரும் சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்தினோம்:
\[((a)^(x))\to \frac((((a)^(x)))(\ஆபரேட்டர் பெயர்(lna))\]
ஆனால் இப்போது அதை கொஞ்சம் வித்தியாசமாக செய்வோம்: எந்த அடிப்படையில் $((e)^(x))\to ((e)^(x))$ என்பதை நினைவில் கொள்வோம். நான் ஏற்கனவே கூறியது போல், $((e)^(x))$ என்பது $((e)^(x))$ ஐ விட அதிகமாக இல்லை என்பதால், அதன் ஆன்டிடெரிவேட்டிவ் அதே $((e) ^க்கு சமமாக இருக்கும். (x))$. ஆனால் பிரச்சனை என்னவென்றால், நம்மிடம் $((e)^(2x))$ மற்றும் $((e)^(-2x))$ உள்ளது. இப்போது $((e)^(2x))$ இன் வழித்தோன்றலைக் கண்டுபிடிக்க முயற்சிப்போம்:
\[((\left(((e))^(2x)) \right))^(\prime ))=((e)^(2x))\cdot ((\left(2x \right))^( \prime ))=2\cdot ((e)^(2x))\]
எங்கள் கட்டுமானத்தை மீண்டும் எழுதுவோம்:
\[((\இடது(((இ))^(2x)) \வலது))^(\ப்ரைம் ))=2\cdot ((e)^(2x))\]
\[((இ)^(2x))=((\இடது(\frac(((இ))^2x)))(2) \வலது))^(\ப்ரைம் ))\]
இதன் பொருள் என்னவென்றால், $((e)^(2x))$ என்ற எதிர்ப்பொருளைக் கண்டறியும் போது பின்வருவனவற்றைப் பெறுவோம்:
\[((e)^(2x))\to \frac(((e)^(2x)))(2)\]
நீங்கள் பார்ப்பது போல், முன்பு இருந்த அதே முடிவைப் பெற்றோம், ஆனால் $((a)^(x))$ஐக் கண்டுபிடிக்க நாங்கள் சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்தவில்லை. இப்போது இது முட்டாள்தனமாகத் தோன்றலாம்: ஒரு நிலையான சூத்திரம் இருக்கும்போது கணக்கீடுகளை ஏன் சிக்கலாக்க வேண்டும்? இருப்பினும், சற்று சிக்கலான வெளிப்பாடுகளில் இந்த நுட்பம் மிகவும் பயனுள்ளதாக இருப்பதை நீங்கள் காண்பீர்கள், அதாவது. வழித்தோன்றல்களைப் பயன்படுத்தி ஆன்டிடெரிவேடிவ்களைக் கண்டறியவும்.
ஒரு வார்ம்-அப் என, இதே வழியில் $((e)^(2x))$ இன் ஆண்டிடெரிவேட்டிவைக் கண்டுபிடிப்போம்:
\[((\left(((e))^(-2x)) \right))^(\prime ))=((e)^(-2x))\cdot \left(-2 \right)\]
\[((e)^(-2x))=((\left(\frac(((e))^-2x))(-2) \right))^(\prime ))\]
கணக்கிடும்போது, எங்கள் கட்டுமானம் பின்வருமாறு எழுதப்படும்:
\[((இ)^(-2x))\to -\frac(((e)^(-2x)))(2)\]
\[((இ)^(-2x))\to -\frac(1)(2\cdot ((e)^(2x)))\]
நாங்கள் அதே முடிவைப் பெற்றோம், ஆனால் வேறு பாதையில் சென்றோம். இந்த பாதை, இப்போது நமக்கு சற்று சிக்கலானதாகத் தோன்றுகிறது, எதிர்காலத்தில் மிகவும் சிக்கலான ஆன்டிடெரிவேடிவ்களைக் கணக்கிடுவதற்கும் அட்டவணைகளைப் பயன்படுத்துவதற்கும் மிகவும் பயனுள்ளதாக இருக்கும்.
குறிப்பு! இது மிகவும் முக்கியமான புள்ளி: டெரிவேடிவ்கள் போன்ற ஆன்டிடெரிவேடிவ்கள் ஒரு தொகுப்பாகக் கருதப்படலாம் பல்வேறு வழிகளில். இருப்பினும், அனைத்து கணக்கீடுகளும் கணக்கீடுகளும் சமமாக இருந்தால், பதில் ஒரே மாதிரியாக இருக்கும். $((e)^(-2x))$ -ன் உதாரணத்துடன் இதைப் பார்த்தோம் - ஒருபுறம், இந்த ஆண்டிடெரிவேட்டிவ் "வலது வழியாக" கணக்கிட்டு, வரையறையைப் பயன்படுத்தி, மாற்றங்களைப் பயன்படுத்தி கணக்கிட்டு, மறுபுறம், $ ((e)^(-2x))$ ஐ $((\left(((e))^(-2)) \வலது))^(x))$ ஆக குறிப்பிடலாம் என்பதை நினைவில் வைத்துக் கொண்டோம். $((a)^(x))$ செயல்பாட்டிற்கான ஆன்டிடெரிவேட்டிவ். இருப்பினும், அனைத்து மாற்றங்களுக்கும் பிறகு, எதிர்பார்த்தது போலவே முடிவு இருந்தது.
இப்போது நாம் இதையெல்லாம் புரிந்து கொண்டோம், இன்னும் குறிப்பிடத்தக்க விஷயத்திற்கு செல்ல வேண்டிய நேரம் இது. இப்போது நாம் இரண்டு எளிய கட்டுமானங்களை பகுப்பாய்வு செய்வோம், ஆனால் அவற்றைத் தீர்க்கும்போது பயன்படுத்தப்படும் நுட்பம் அட்டவணையில் இருந்து அண்டை ஆண்டிடெரிவேடிவ்களுக்கு இடையில் "இயங்குவதை" விட மிகவும் சக்திவாய்ந்த மற்றும் பயனுள்ள கருவியாகும்.
சிக்கலைத் தீர்ப்பது: ஒரு செயல்பாட்டின் எதிர் வழித்தோன்றலைக் கண்டறிதல்
எடுத்துக்காட்டு #1
எண்களில் உள்ள தொகையை மூன்று தனித்தனி பின்னங்களாகப் பிரிப்போம்:
இது மிகவும் இயல்பான மற்றும் புரிந்துகொள்ளக்கூடிய மாற்றமாகும் - பெரும்பாலான மாணவர்களுக்கு இதில் சிக்கல்கள் இல்லை. எங்கள் வெளிப்பாட்டை பின்வருமாறு மீண்டும் எழுதுவோம்:
இப்போது இந்த சூத்திரத்தை நினைவில் கொள்வோம்:
எங்கள் விஷயத்தில், பின்வருவனவற்றைப் பெறுவோம்:
இந்த மூன்று-அடுக்கு பின்னங்கள் அனைத்தையும் அகற்ற, பின்வருவனவற்றைச் செய்ய பரிந்துரைக்கிறேன்:
எடுத்துக்காட்டு எண். 2
முந்தைய பகுதியைப் போலன்றி, வகுத்தல் என்பது ஒரு தயாரிப்பு அல்ல, ஆனால் ஒரு தொகை. இந்த விஷயத்தில், நமது பின்னத்தை பல எளிய பின்னங்களின் கூட்டுத்தொகையாகப் பிரிக்க முடியாது, ஆனால் எப்படியாவது எண் வகுப்பில் தோராயமாக அதே வெளிப்பாடு உள்ளதா என்பதை உறுதிப்படுத்த முயற்சிக்க வேண்டும். இந்த வழக்கில், அதைச் செய்வது மிகவும் எளிது:
கணித மொழியில் "பூஜ்ஜியத்தைச் சேர்த்தல்" என்று அழைக்கப்படும் இந்தக் குறியீடு, பின்னத்தை மீண்டும் இரண்டு துண்டுகளாகப் பிரிக்க அனுமதிக்கும்:
இப்போது நாம் தேடுவதைக் கண்டுபிடிப்போம்:
அவ்வளவுதான் கணக்கீடுகள். முந்தைய சிக்கலை விட அதிக சிக்கலானது இருந்தபோதிலும், கணக்கீடுகளின் அளவு இன்னும் சிறியதாக மாறியது.
தீர்வின் நுணுக்கங்கள்
அட்டவணை ஆண்டிடெரிவேடிவ்களுடன் பணிபுரிவதில் முக்கிய சிரமம் உள்ளது, இது இரண்டாவது பணியில் குறிப்பாக கவனிக்கப்படுகிறது. உண்மை என்னவென்றால், அட்டவணையின் மூலம் எளிதில் கணக்கிடக்கூடிய சில கூறுகளைத் தேர்ந்தெடுப்பதற்கு, நாம் எதைத் தேடுகிறோம் என்பதைத் தெரிந்து கொள்ள வேண்டும், மேலும் இந்த உறுப்புகளுக்கான தேடலில்தான் ஆன்டிடெரிவேடிவ்களின் முழு கணக்கீடும் உள்ளது.
வேறு வார்த்தைகளில் கூறுவதானால், ஆண்டிடெரிவேடிவ்களின் அட்டவணையை மனப்பாடம் செய்வது மட்டும் போதாது - இதுவரை இல்லாத ஒன்றை நீங்கள் பார்க்க வேண்டும், ஆனால் இந்த சிக்கலின் ஆசிரியரும் தொகுப்பாளரும் என்ன அர்த்தம். அதனால்தான் பல கணிதவியலாளர்கள், ஆசிரியர்கள் மற்றும் பேராசிரியர்கள் தொடர்ந்து வாதிடுகின்றனர்: "எதிர்ப்பொருட்கள் அல்லது ஒருங்கிணைப்பு என்றால் என்ன - இது ஒரு கருவியா அல்லது உண்மையான கலையா?" உண்மையில், என் தனிப்பட்ட கருத்துப்படி, ஒருங்கிணைப்பு என்பது ஒரு கலை அல்ல - அதில் உன்னதமான எதுவும் இல்லை, அது வெறும் பயிற்சி மற்றும் அதிக பயிற்சி. பயிற்சி செய்ய, இன்னும் மூன்று தீவிர உதாரணங்களைத் தீர்ப்போம்.
நடைமுறையில் ஒருங்கிணைப்பு பயிற்சி அளிக்கிறோம்
பணி எண் 1
பின்வரும் சூத்திரங்களை எழுதுவோம்:
\[((x)^(n))\to \frac(((x)^(n+1)))(n+1)\]
\[\frac(1)(x)\to \ln x\]
\[\frac(1)(1+((x)^(2)))\ to \text(arctg)x\]
பின்வருவனவற்றை எழுதுவோம்:
பிரச்சனை எண் 2
அதை பின்வருமாறு மீண்டும் எழுதுவோம்:
மொத்த ஆண்டிடெரிவேடிவ் இதற்கு சமமாக இருக்கும்:
பிரச்சனை எண் 3
இந்தப் பணியின் சிரமம் என்னவென்றால், மேலே உள்ள முந்தைய செயல்பாடுகளைப் போலல்லாமல், $x$ என்ற மாறி எதுவும் இல்லை, அதாவது. கீழே உள்ளதைப் போன்ற ஏதாவது ஒன்றைப் பெறுவதற்கு எதைக் கூட்டுவது அல்லது கழிப்பது என்பது எங்களுக்குத் தெளிவாகத் தெரியவில்லை. இருப்பினும், உண்மையில், இந்த வெளிப்பாடு முந்தைய வெளிப்பாடுகளை விட எளிமையானதாகக் கருதப்படுகிறது, ஏனெனில் இந்த செயல்பாடு பின்வருமாறு மீண்டும் எழுதப்படலாம்:
நீங்கள் இப்போது கேட்கலாம்: இந்த செயல்பாடுகள் ஏன் சமமாக உள்ளன? சரிபார்ப்போம்:
மீண்டும் மீண்டும் எழுதுவோம்:
நமது வெளிப்பாட்டை கொஞ்சம் மாற்றுவோம்:
இதையெல்லாம் நான் எனது மாணவர்களுக்கு விளக்கும்போது, எப்போதும் இதே பிரச்சனை எழுகிறது: முதல் செயல்பாட்டில் எல்லாம் அதிகமாகவோ அல்லது குறைவாகவோ தெளிவாக உள்ளது, இரண்டாவதாக நீங்கள் அதை அதிர்ஷ்டம் அல்லது பயிற்சி மூலம் கண்டுபிடிக்கலாம், ஆனால் நீங்கள் எந்த வகையான மாற்று உணர்வுடன் இருக்கிறீர்கள்? மூன்றாவது உதாரணத்தை தீர்க்க வேண்டுமா? உண்மையில், பயப்பட வேண்டாம். கடைசி ஆண்டிடெரிவேட்டிவைக் கணக்கிடும்போது நாங்கள் பயன்படுத்திய நுட்பம் "ஒரு செயல்பாட்டை அதன் எளிமையானதாக சிதைப்பது" என்று அழைக்கப்படுகிறது, மேலும் இது மிகவும் தீவிரமான நுட்பமாகும், மேலும் ஒரு தனி வீடியோ பாடம் அதற்கு அர்ப்பணிக்கப்படும்.
இதற்கிடையில், நாங்கள் இப்போது படித்தவற்றுக்கு, அதாவது அதிவேக செயல்பாடுகளுக்குத் திரும்புவதற்கும் அவற்றின் உள்ளடக்கத்தில் உள்ள சிக்கல்களை ஓரளவு சிக்கலாக்குவதற்கும் நான் முன்மொழிகிறேன்.
ஆண்டிடெரிவேடிவ் அதிவேக செயல்பாடுகளைத் தீர்ப்பதற்கான மிகவும் சிக்கலான சிக்கல்கள்
பணி எண் 1
பின்வருவனவற்றைக் கவனிக்கலாம்:
\[((2)^(x))\cdot ((5)^(x))=((\left(2\cdot 5 \right))^(x))=((10)^(x) )\]
இந்த வெளிப்பாட்டின் எதிர்விளைவைக் கண்டறிய, நிலையான சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்தவும் - $((a)^(x))\to \frac(((a)^(x)))(\ln a)$.
எங்கள் விஷயத்தில், ஆண்டிடெரிவேடிவ் இப்படி இருக்கும்:
நிச்சயமாக, நாங்கள் இப்போது தீர்த்த வடிவமைப்போடு ஒப்பிடும்போது, இது எளிமையானதாகத் தெரிகிறது.
பிரச்சனை எண் 2
மீண்டும், இந்த செயல்பாட்டை இரண்டு தனித்தனி சொற்களாக - இரண்டு தனித்தனி பின்னங்களாக எளிதாகப் பிரிக்கலாம் என்பதைப் பார்ப்பது எளிது. மீண்டும் எழுதுவோம்:
மேலே விவரிக்கப்பட்ட சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்தி இந்த சொற்கள் ஒவ்வொன்றின் ஆண்டிடெரிவேட்டிவ் கண்டுபிடிக்க வேண்டும்:
ஆற்றல் செயல்பாடுகளுடன் ஒப்பிடும்போது அதிவேக செயல்பாடுகளின் சிக்கலான தன்மை அதிகமாக இருந்தாலும், கணக்கீடுகள் மற்றும் கணக்கீடுகளின் ஒட்டுமொத்த அளவு மிகவும் எளிமையானதாக மாறியது.
நிச்சயமாக, அறிவுள்ள மாணவர்களுக்கு, நாம் இப்போது விவாதித்தவை (குறிப்பாக நாம் முன்பு விவாதித்தவற்றின் பின்னணியில்) அடிப்படை வெளிப்பாடுகளாகத் தோன்றலாம். இருப்பினும், இன்றைய வீடியோ பாடத்திற்கு இந்த இரண்டு சிக்கல்களைத் தேர்ந்தெடுக்கும்போது, மற்றொரு சிக்கலான மற்றும் அதிநவீன நுட்பத்தை உங்களுக்குச் சொல்லும் இலக்கை நான் அமைக்கவில்லை - அசல் செயல்பாடுகளை மாற்றுவதற்கு நிலையான அல்ஜீப்ரா நுட்பங்களைப் பயன்படுத்த நீங்கள் பயப்படக்கூடாது என்பதை நான் உங்களுக்குக் காட்ட விரும்பினேன். .
"ரகசிய" நுட்பத்தைப் பயன்படுத்துதல்
முடிவில், நான் மற்றொரு சுவாரஸ்யமான நுட்பத்தைப் பார்க்க விரும்புகிறேன், இது ஒருபுறம், இன்று நாம் முக்கியமாக விவாதித்ததைத் தாண்டியது, ஆனால், மறுபுறம், இது முதலில், சிக்கலானது அல்ல, அதாவது. தொடக்க மாணவர்கள் கூட அதை மாஸ்டர் செய்யலாம், இரண்டாவதாக, இது எல்லா வகையான சோதனைகள் மற்றும் சோதனைகளில் அடிக்கடி காணப்படுகிறது. சுதந்திரமான வேலை, அதாவது இது பற்றிய அறிவு, ஆண்டிடெரிவேடிவ்களின் அட்டவணையைப் பற்றிய அறிவுக்கு கூடுதலாக மிகவும் பயனுள்ளதாக இருக்கும்.
பணி எண் 1
வெளிப்படையாக, நமக்கு முன்னால் இருப்பது மிகவும் ஒத்த ஒன்று சக்தி செயல்பாடு. இந்த விஷயத்தில் நாம் என்ன செய்ய வேண்டும்? இதைப் பற்றி யோசிப்போம்: $x-5$ என்பது $x$ இலிருந்து வேறுபட்டதல்ல - அவர்கள் $-5$ சேர்த்துள்ளனர். அதை இப்படி எழுதுவோம்:
\[((x)^(4))\to \frac(((x)^(5)))(5)\]
\[(\இடது(\frac(((x))^(5)))(5) \வலது))^(\ப்ரைம் ))=\frac(5\cdot ((x)^(4))) (5)=((x)^(4))\]
$((\left(x-5 \right))^(5))$ இன் வழித்தோன்றலைக் கண்டுபிடிக்க முயற்சிப்போம்:
\[((\left((\left(x-5 \right))^(5)) \right))^(\prime ))=5\cdot ((\left(x-5 \right)) ^(4))\cdot ((\left(x-5 \right))^(\prime ))=5\cdot ((\left(x-5 \right))^(4))\]
இது குறிக்கிறது:
\[((\left(x-5 \right))^(4))=(\left(\frac(((\left(x-5 \right))^(5)))(5) \ வலது))^(\பிரதம ))\]
அட்டவணையில் அத்தகைய மதிப்பு எதுவும் இல்லை, எனவே சக்தி செயல்பாட்டிற்கான நிலையான ஆன்டிடெரிவேடிவ் சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்தி இப்போது இந்த சூத்திரத்தை நாமே பெற்றுள்ளோம். பதிலை இப்படி எழுதுவோம்:
பிரச்சனை எண் 2
முதல் தீர்வைப் பார்க்கும் பல மாணவர்கள் எல்லாம் மிகவும் எளிமையானது என்று நினைக்கலாம்: சக்தி செயல்பாட்டில் $x$ ஐ நேரியல் வெளிப்பாட்டுடன் மாற்றவும், எல்லாம் சரியாகிவிடும். துரதிர்ஷ்டவசமாக, எல்லாம் அவ்வளவு எளிதல்ல, இப்போது இதைப் பார்ப்போம்.
முதல் வெளிப்பாட்டுடன் ஒப்புமை மூலம், பின்வருவனவற்றை எழுதுகிறோம்:
\[((x)^(9))\to \frac(((x)^(10)))(10)\]
\[((\left((\left(4-3x \right))^(10)) \right))^(\prime ))=10\cdot ((\left(4-3x \right)) ^(9))\cdot ((\left(4-3x \right))^(\prime ))=\]
\[=10\cdot ((\left(4-3x \right))^(9))\cdot \left(-3 \right)=-30\cdot ((\left(4-3x \right)) ^(9))\]
எங்கள் வழித்தோன்றலுக்குத் திரும்பி, நாம் எழுதலாம்:
\[((\left((\left(4-3x \right))^(10)) \right))^(\prime ))=-30\cdot ((\left(4-3x \right) )^(9))\]
\[((\இடது(4-3x \வலது))^(9))=(\இடது(\frac((\இடது(4-3x \வலது))^(10)))(-30) \வலது))^(\பிரதம ))\]
இது உடனடியாக பின்வருமாறு:
தீர்வின் நுணுக்கங்கள்
தயவுசெய்து கவனிக்கவும்: கடைசியாக எதுவும் மாறவில்லை என்றால், இரண்டாவது வழக்கில், $-10$ க்கு பதிலாக, $-30$ தோன்றியது. $-10$ மற்றும் $-30$ இடையே என்ன வித்தியாசம்? வெளிப்படையாக, $-3$ காரணி மூலம். கேள்வி: அது எங்கிருந்து வந்தது? நீங்கள் கூர்ந்து கவனித்தால், சிக்கலான செயல்பாட்டின் வழித்தோன்றலைக் கணக்கிடுவதன் விளைவாக இது எடுக்கப்பட்டது என்பதை நீங்கள் காணலாம் - $x$ இல் இருந்த குணகம் கீழே உள்ள ஆன்டிடெரிவேடிவ்வில் தோன்றுகிறது. இது மிகவும் முக்கியமான விதி, இன்றைய வீடியோ டுடோரியலில் நான் முதலில் விவாதிக்கத் திட்டமிடவில்லை, ஆனால் அது இல்லாமல் டேபிள் ஆண்டிடெரிவேடிவ்களின் விளக்கக்காட்சி முழுமையடையாது.
எனவே மீண்டும் செய்வோம். எங்கள் முக்கிய சக்தி செயல்பாடு இருக்கட்டும்:
\[((x)^(n))\to \frac(((x)^(n+1)))(n+1)\]
இப்போது, $x$ க்குப் பதிலாக, $kx+b$ என்ற வெளிப்பாட்டை மாற்றுவோம். அப்போது என்ன நடக்கும்? பின்வருவனவற்றை நாம் கண்டுபிடிக்க வேண்டும்:
\[((\left(kx+b \right))^(n))\ to \frac(((\left(kx+b \right))^(n+1))(\left(n+ 1 \வலது)\cdot k)\]
எந்த அடிப்படையில் இதை நாம் கோருகிறோம்? மிக எளிய. மேலே எழுதப்பட்ட கட்டுமானத்தின் வழித்தோன்றலைக் கண்டுபிடிப்போம்:
\[((\left(\frac((\left(kx+b \right)))^(n+1))(\left(n+1 \right)\cdot k) \right))^( \prime ))=\frac(1)(\left(n+1 \right)\cdot k)\cdot \left(n+1 \right)\cdot ((\left(kx+b \right))^ (n))\cdot k=((\left(kx+b \right))^(n))\]
இது முதலில் இருந்த அதே வெளிப்பாடுதான். எனவே, இந்த சூத்திரமும் சரியானது, மேலும் இது ஆன்டிடெரிவேடிவ்களின் அட்டவணையை கூடுதலாகப் பயன்படுத்தலாம் அல்லது முழு அட்டவணையையும் மனப்பாடம் செய்வது நல்லது.
"ரகசியம்: நுட்பத்திலிருந்து முடிவுகள்:
- நாம் இப்போது பார்த்த இரண்டு செயல்பாடுகளும், உண்மையில், டிகிரிகளை விரிவுபடுத்துவதன் மூலம் அட்டவணையில் சுட்டிக்காட்டப்பட்ட ஆன்டிடெரிவேடிவ்களுக்கு குறைக்கப்படலாம், ஆனால் நான்காவது பட்டத்தை எப்படியாவது அதிகமாகவோ அல்லது குறைவாகவோ சமாளிக்க முடிந்தால், நான் ஒன்பதாவது பட்டத்தை செய்ய மாட்டேன் அனைவரும் வெளிப்படுத்தத் துணிந்தனர்.
- நாம் டிகிரிகளை விரிவுபடுத்தினால், ஒரு எளிய பணியானது தகாத முறையில் அதிக நேரத்தை எடுத்துக்கொள்ளும் அளவுக்கு அதிகமான கணக்கீடுகளுடன் முடிவடையும்.
- அதனால்தான் நேரியல் வெளிப்பாடுகளைக் கொண்ட இத்தகைய சிக்கல்கள் "தலைகீழாக" தீர்க்கப்பட வேண்டியதில்லை. உள்ளே $kx+b$ என்ற வெளிப்பாடு இருந்தால் மட்டுமே டேபிளில் உள்ள ஒன்றிலிருந்து வேறுபடும் ஆன்டிடெரிவேட்டிவ் ஒன்றை நீங்கள் கண்டவுடன், மேலே எழுதப்பட்ட சூத்திரத்தை உடனடியாக நினைவில் வைத்துக் கொள்ளுங்கள், அதை உங்கள் டேபிள் ஆண்டிடெரிவேடிவ் ஆக மாற்றவும், மேலும் அனைத்தும் பலனளிக்கும். வேகமாகவும் எளிதாகவும்.
இயற்கையாகவே, இந்த நுட்பத்தின் சிக்கலான தன்மை மற்றும் தீவிரத்தன்மை காரணமாக, எதிர்கால வீடியோ பாடங்களில் அதன் பரிசீலனைக்கு பல முறை திரும்புவோம், ஆனால் இன்று அவ்வளவுதான். ஆன்டிடெரிவேடிவ்கள் மற்றும் ஒருங்கிணைப்புகளைப் புரிந்துகொள்ள விரும்பும் மாணவர்களுக்கு இந்தப் பாடம் உண்மையில் உதவும் என்று நம்புகிறேன்.
ஒருங்கிணைப்பு கற்றுக்கொள்வது கடினம் அல்ல. இதைச் செய்ய, நீங்கள் ஒரு குறிப்பிட்ட, மிகச் சிறிய விதிகளைக் கற்றுக் கொள்ள வேண்டும் மற்றும் ஒரு வகையான உள்ளுணர்வை வளர்த்துக் கொள்ள வேண்டும். நிச்சயமாக, விதிகள் மற்றும் சூத்திரங்களைக் கற்றுக்கொள்வது எளிது, ஆனால் இந்த அல்லது அந்த ஒருங்கிணைப்பு அல்லது வேறுபாட்டின் விதியை எங்கு, எப்போது பயன்படுத்துவது என்பதைப் புரிந்துகொள்வது மிகவும் கடினம். இது, உண்மையில், ஒருங்கிணைக்கும் திறன்.
1. ஆண்டிடெரிவேட்டிவ். காலவரையற்ற ஒருங்கிணைப்பு.
இந்த கட்டுரையைப் படிக்கும் நேரத்தில், வாசகருக்கு ஏற்கனவே சில வேறுபாடு திறன்கள் (அதாவது, வழித்தோன்றல்களைக் கண்டறிதல்) இருப்பதாகக் கருதப்படுகிறது.
வரையறை 1.1:சமத்துவம் இருந்தால், ஒரு சார்பு ஒரு செயல்பாட்டின் ஆன்டிடெரிவேடிவ் என்று அழைக்கப்படுகிறது:
கருத்துகள்:> "முதன்மை" என்ற வார்த்தையின் முக்கியத்துவத்தை இரண்டு வழிகளில் வைக்கலாம்: முதலில் ஓஉருவக அல்லது முன்மாதிரி ஏதெரிந்துகொள்வது.
சொத்து 1:ஒரு சார்பு ஒரு செயல்பாட்டின் எதிர் வழித்தோன்றலாக இருந்தால், அந்தச் செயல்பாடும் ஒரு செயல்பாட்டின் ஆண்டிடெரிவேட்டிவ் ஆகும்.
ஆதாரம்:ஆண்டிடெரிவேட்டிவ் என்பதன் வரையறையிலிருந்து இதை நிரூபிப்போம். செயல்பாட்டின் வழித்தோன்றலைக் கண்டுபிடிப்போம்:
முதல் பதவிக்காலம் வரையறை 1.1க்கு சமம், மற்றும் இரண்டாவது சொல் மாறிலியின் வழித்தோன்றலாகும், இது 0க்கு சமம்.
.
சுருக்கவும். சமத்துவ சங்கிலியின் தொடக்கத்தையும் முடிவையும் எழுதுவோம்: 
எனவே, ஒரு செயல்பாட்டின் வழித்தோன்றல் க்கு சமம், எனவே, வரையறையின்படி, அதன் ஆண்டிடெரிவேட்டிவ் ஆகும். சொத்து நிரூபிக்கப்பட்டுள்ளது.
வரையறை 1.2:ஒரு செயல்பாட்டின் காலவரையற்ற ஒருங்கிணைப்பு என்பது இந்தச் செயல்பாட்டின் ஆன்டிடெரிவேடிவ்களின் முழு தொகுப்பாகும். இது பின்வருமாறு சுட்டிக்காட்டப்படுகிறது: 
.
பதிவின் ஒவ்வொரு பகுதியின் பெயர்களையும் விரிவாகப் பார்ப்போம்:
- ஒருங்கிணைப்பின் பொதுவான பதவி,
- ஒருங்கிணைந்த (ஒருங்கிணைந்த) வெளிப்பாடு, ஒருங்கிணைந்த செயல்பாடு.
ஒரு வித்தியாசமானது, மற்றும் எழுத்துக்குப் பின் வரும் வெளிப்பாடு, இந்த வழக்கில் அது , ஒருங்கிணைப்பின் மாறி என்று அழைக்கப்படும்.
கருத்துகள்:இந்த வரையறையின் முக்கிய வார்த்தைகள் "முழு தொகுப்பு." அந்த. எதிர்காலத்தில் இதே “பிளஸ் சி” பதிலில் எழுதப்படவில்லை என்றால், தேர்வாளருக்கு இந்த வேலையை எண்ணாமல் இருக்க முழு உரிமை உண்டு, ஏனென்றால் ஆண்டிடெரிவேடிவ்களின் முழு தொகுப்பையும் கண்டறிவது அவசியம், மேலும் சி காணவில்லை என்றால், ஒன்று மட்டுமே காணப்படும்.
முடிவுரை:ஒருங்கிணைப்பு சரியாகக் கணக்கிடப்பட்டுள்ளதா என்பதைச் சரிபார்க்க, முடிவின் வழித்தோன்றலைக் கண்டறிவது அவசியம். இது ஒருங்கிணைப்புடன் ஒத்துப்போக வேண்டும்.
உதாரணமாக:
உடற்பயிற்சி:காலவரையற்ற ஒருங்கிணைப்பைக் கணக்கிட்டு சரிபார்க்கவும்.
தீர்வு:
இந்த ஒருங்கிணைப்பு கணக்கிடப்படும் விதம் இந்த விஷயத்தில் முக்கியமில்லை. இது மேலிருந்து ஒரு வெளிப்பாடு என்று வைத்துக் கொள்வோம். வெளிப்பாடு நம்மை ஏமாற்றவில்லை என்பதைக் காண்பிப்பதே எங்கள் பணி, சரிபார்ப்பு மூலம் இதைச் செய்யலாம்.
தேர்வு:
முடிவை வேறுபடுத்தும்போது, ஒரு ஒருங்கிணைப்பைப் பெற்றோம், அதாவது ஒருங்கிணைப்பு சரியாகக் கணக்கிடப்பட்டது.
2. ஆரம்பம். ஒருங்கிணைப்புகளின் அட்டவணை.
ஒருங்கிணைக்க, ஒவ்வொரு முறையும், கொடுக்கப்பட்ட ஒருங்கிணைப்புக்கு சமமான செயல்பாட்டின் வழித்தோன்றலை நீங்கள் நினைவில் வைத்திருக்க வேண்டியதில்லை (அதாவது, ஒருங்கிணைப்பின் வரையறையை நேரடியாகப் பயன்படுத்தவும்). சிக்கல்களின் ஒவ்வொரு தொகுப்பும் அல்லது கணிதப் பகுப்பாய்வின் பாடப்புத்தகமும் ஒருங்கிணைப்புகளின் பண்புகளின் பட்டியலையும் எளிமையான ஒருங்கிணைப்புகளின் அட்டவணையையும் கொண்டுள்ளது.
பண்புகளை பட்டியலிடுவோம்.
பண்புகள்:
1.
வேற்றுமையின் ஒருங்கிணைப்பானது ஒருங்கிணைப்பின் மாறிக்கு சமம்.
2., ஒரு மாறிலி எங்கே.
நிலையான பெருக்கியை ஒருங்கிணைந்த அடையாளத்திலிருந்து எடுக்கலாம்.
3.
ஒரு கூட்டுத்தொகை முழுமையின் கூட்டுத்தொகைக்கு சமம் (சொற்களின் எண்ணிக்கை வரையறுக்கப்பட்டதாக இருந்தால்).
ஒருங்கிணைப்புகளின் அட்டவணை:
1.  |
10. |
| 2. | 11.  |
| 3. | 12.  |
4.  |
13.  |
5.  |
14.  |
| 6. | 15. |
7.  |
16. |
| 8. | 17.  |
| 9. | 18.  |
பெரும்பாலும், பண்புகள் மற்றும் சூத்திரங்களைப் பயன்படுத்தி ஆய்வின் கீழ் உள்ள ஒருங்கிணைப்பை அட்டவணைக்குக் குறைப்பதே பணி.
உதாரணமாக:
[ஒருங்கிணைப்பின் மூன்றாவது பண்புகளைப் பயன்படுத்தி அதை மூன்று ஒருங்கிணைப்புகளின் கூட்டுத்தொகையாக எழுதுவோம்.]
[இரண்டாவது சொத்தை பயன்படுத்துவோம் மற்றும் ஒருங்கிணைப்பு குறிக்கு அப்பால் மாறிலிகளை நகர்த்துவோம்.]
[முதல் ஒருங்கிணைப்பில் நாம் பயன்படுத்துவோம் அட்டவணை ஒருங்கிணைந்தஎண். 1 (n=2), இரண்டாவது - அதே சூத்திரம், ஆனால் n=1, மற்றும் மூன்றாவது ஒருங்கிணைப்புக்கு நீங்கள் அதே அட்டவணை ஒருங்கிணைப்பைப் பயன்படுத்தலாம், ஆனால் n=0 அல்லது முதல் பண்புடன்.]
.
வேறுபாட்டின் மூலம் சரிபார்க்கலாம்:
அசல் ஒருங்கிணைப்பு பெறப்பட்டது, எனவே, ஒருங்கிணைப்பு பிழைகள் இல்லாமல் செய்யப்பட்டது (மற்றும் தன்னிச்சையான மாறிலி C ஐச் சேர்ப்பது கூட மறக்கப்படவில்லை).
அட்டவணை ஒருங்கிணைப்புகள் ஒரு எளிய காரணத்திற்காக இதயத்தால் கற்றுக்கொள்ளப்பட வேண்டும் - எதற்காக பாடுபட வேண்டும் என்பதை அறிய, அதாவது. கொடுக்கப்பட்ட வெளிப்பாட்டை மாற்றுவதன் நோக்கம் தெரியும்.
இன்னும் சில எடுத்துக்காட்டுகள் இங்கே:
1) 
2) 
3) 
சுயாதீன தீர்வுக்கான பணிகள்:
உடற்பயிற்சி 1.காலவரையற்ற ஒருங்கிணைப்பைக் கணக்கிடுங்கள்:
+ குறிப்பைக் காட்டு/மறை #1.
1) மூன்றாவது சொத்தைப் பயன்படுத்தவும் மற்றும் இந்த ஒருங்கிணைப்பை மூன்று ஒருங்கிணைப்புகளின் கூட்டுத்தொகையாகக் குறிக்கவும்.
+ குறிப்பைக் காட்டு/மறை #2.
+ குறிப்பைக் காட்டு/மறை #3.
3) முதல் இரண்டு சொற்களுக்கு, முதல் அட்டவணை ஒருங்கிணைப்பைப் பயன்படுத்தவும், மூன்றாவது, இரண்டாவது அட்டவணை ஒருங்கிணைப்பைப் பயன்படுத்தவும்.
+ தீர்வு மற்றும் பதிலைக் காட்டு/மறை.
4) தீர்வு: 
பதில்: 
ஒவ்வொரு மாணவரும் தெரிந்து கொள்ள வேண்டிய முதன்மை ஒருங்கிணைப்புகள்
பட்டியலிடப்பட்ட ஒருங்கிணைப்புகள் அடிப்படை, அடிப்படைகளின் அடிப்படை. இந்த சூத்திரங்கள் நிச்சயமாக நினைவில் கொள்ளப்பட வேண்டும். மிகவும் சிக்கலான ஒருங்கிணைப்புகளை கணக்கிடும் போது, நீங்கள் தொடர்ந்து அவற்றைப் பயன்படுத்த வேண்டும்.
தயவுசெய்து பணம் செலுத்துங்கள் சிறப்பு கவனம்சூத்திரங்களுக்கு (5), (7), (9), (12), (13), (17) மற்றும் (19). ஒருங்கிணைக்கும் போது உங்கள் பதிலில் தன்னிச்சையான மாறிலி C ஐ சேர்க்க மறக்காதீர்கள்!
ஒரு மாறிலியின் ஒருங்கிணைப்பு
∫ A d x = A x + C (1)ஒரு சக்தி செயல்பாட்டை ஒருங்கிணைத்தல்
உண்மையில், சூத்திரங்கள் (5) மற்றும் (7) மட்டுமே நம்மை கட்டுப்படுத்திக் கொள்ள முடிந்தது, ஆனால் இந்த குழுவிலிருந்து மீதமுள்ள ஒருங்கிணைப்புகள் அடிக்கடி நிகழ்கின்றன, அவற்றில் கொஞ்சம் கவனம் செலுத்துவது மதிப்பு.
∫ x d x = x 2 2 + C (2)
∫ x 2 d x = x 3 3 + C (3)
∫ 1 x d x = 2 x + C (4)
∫ 1 x d x = ln | x | +C (5)
∫ 1 x 2 d x = - 1 x + C (6)
∫ x n d x = x n + 1 n + 1 + C (n ≠ − 1) (7)
அதிவேக செயல்பாடுகள் மற்றும் ஹைபர்போலிக் செயல்பாடுகளின் ஒருங்கிணைப்புகள்
நிச்சயமாக, சூத்திரம் (8) (ஒருவேளை மனப்பாடம் செய்வதற்கு மிகவும் வசதியானது) எனக் கருதலாம் சிறப்பு வழக்குசூத்திரங்கள் (9). ஹைபர்போலிக் சைன் மற்றும் ஹைபர்போலிக் கோசைன் ஆகியவற்றின் ஒருங்கிணைப்புக்கான சூத்திரங்கள் (10) மற்றும் (11) சூத்திரம் (8) இலிருந்து எளிதில் பெறப்படுகின்றன, ஆனால் இந்த உறவுகளை நினைவில் கொள்வது நல்லது.
∫ e x d x = e x + C (8)
∫ a x d x = a x ln a + C (a > 0, a ≠ 1) (9)
∫ s h x d x = c h x + C (10)
∫ c h x d x = s h x + C (11)
முக்கோணவியல் செயல்பாடுகளின் அடிப்படை ஒருங்கிணைப்புகள்
மாணவர்கள் அடிக்கடி செய்யும் தவறு என்னவென்றால், சூத்திரங்கள் (12) மற்றும் (13) இல் உள்ள அறிகுறிகளை அவர்கள் குழப்புகிறார்கள். சைனின் வழித்தோன்றல் கோசைனுக்குச் சமம் என்பதை நினைவில் வைத்து, சில காரணங்களால் பலர் சின்க்ஸ் செயல்பாட்டின் ஒருங்கிணைப்பு காஸ்க்ஸுக்கு சமம் என்று நம்புகிறார்கள். இது உண்மையல்ல! சைனின் ஒருங்கிணைப்பு "மைனஸ் கோசைன்" க்கு சமம், ஆனால் காஸ்க்ஸின் ஒருங்கிணைப்பு "ஜஸ்ட் சைன்" க்கு சமம்:
∫ sin x d x = - cos x + C (12)
∫ cos x d x = sin x + C (13)
∫ 1 cos 2 x d x = t g x + C (14)
∫ 1 பாவம் 2 x d x = - c t g x + C (15)
தலைகீழ் முக்கோணவியல் செயல்பாடுகளைக் குறைக்கும் ஒருங்கிணைப்புகள்
சூத்திரம் (16), ஆர்க்டேன்ஜென்ட்டுக்கு வழிவகுக்கும், இயற்கையாகவே a=1க்கான சூத்திரத்தின் (17) ஒரு சிறப்பு வழக்கு. இதேபோல், (18) என்பது (19) ஒரு சிறப்பு வழக்கு.
∫ 1 1 + x 2 d x = a r c t g x + C = - a r c c t g x + C (16)
∫ 1 x 2 + a 2 = 1 a a r c t g x a + C (a ≠ 0) (17)
∫ 1 1 - x 2 d x = arcsin x + C = - arccos x + C (18)
∫ 1 a 2 - x 2 d x = arcsin x a + C = - arccos x a + C (a > 0) (19)
மிகவும் சிக்கலான ஒருங்கிணைப்புகள்
இந்த சூத்திரங்களை நினைவில் வைத்துக் கொள்வதும் நல்லது. அவை அடிக்கடி பயன்படுத்தப்படுகின்றன, மேலும் அவற்றின் வெளியீடு மிகவும் கடினமானது.
∫ 1 x 2 + a 2 d x = ln | x + x 2 + a 2 | +C (20)
∫ 1 x 2 - a 2 d x = ln | x + x 2 − a 2 | +C (21)
∫ a 2 - x 2 d x = x 2 a 2 - x 2 + a 2 2 arcsin x a + C (a > 0) (22)
∫ x 2 + a 2 d x = x 2 x 2 + a 2 + a 2 2 ln | x + x 2 + a 2 | + சி (a > 0) (23)
∫ x 2 - a 2 d x = x 2 x 2 - a 2 - a 2 2 ln | x + x 2 − a 2 | + சி (a > 0) (24)
ஒருங்கிணைப்புக்கான பொதுவான விதிகள்
1) இரண்டு சார்புகளின் கூட்டுத்தொகையானது தொடர்புடைய ஒருங்கிணைப்புகளின் கூட்டுத்தொகைக்கு சமம்: ∫ (f (x) + g (x)) d x = ∫ f (x) d x + ∫ g (x) d x (25)
2) இரண்டு சார்புகளின் வேறுபாட்டின் ஒருங்கிணைப்பானது தொடர்புடைய ஒருங்கிணைப்புகளின் வேறுபாட்டிற்கு சமம்: ∫ (f (x) - g (x)) d x = ∫ f (x) d x - ∫ g (x) d x (26)
3) ஒருங்கிணைந்த குறியிலிருந்து மாறிலியை எடுக்கலாம்: ∫ C f (x) d x = C ∫ f (x) d x (27)
சொத்து (26) என்பது சொத்துக்கள் (25) மற்றும் (27) ஆகியவற்றின் கலவையாக இருப்பதைப் பார்ப்பது எளிது.
4) அகச் செயல்பாடு நேர்கோட்டாக இருந்தால் சிக்கலான செயல்பாட்டின் ஒருங்கிணைப்பு: ∫ f (A x + B) d x = 1 A F (A x + B) + C (A ≠ 0) (28)
இங்கே F(x) என்பது f(x) செயல்பாட்டிற்கான ஒரு எதிர் வழித்தோன்றலாகும். தயவுசெய்து கவனிக்கவும்: உள் செயல்பாடு Ax + B ஆக இருக்கும்போது மட்டுமே இந்த சூத்திரம் செயல்படும்.
முக்கியமானது: இல்லை உலகளாவிய சூத்திரம்இரண்டு செயல்பாடுகளின் விளைபொருளின் ஒருங்கிணைப்புக்கும், ஒரு பகுதியின் ஒருங்கிணைப்புக்கும்:
∫ f (x) g (x) d x = ? ∫ f (x) g (x) d x = ? (முப்பது)
நிச்சயமாக, ஒரு பின்னம் அல்லது தயாரிப்பை ஒருங்கிணைக்க முடியாது என்று இது அர்த்தப்படுத்துவதில்லை. ஒவ்வொரு முறையும் நீங்கள் (30) போன்ற ஒரு ஒருங்கிணைப்பைக் காணும்போது, அதை "போராட" ஒரு வழியை நீங்கள் கண்டுபிடிக்க வேண்டும். சில சந்தர்ப்பங்களில், பகுதிகளின் ஒருங்கிணைப்பு உங்களுக்கு உதவும், மற்றவற்றில் நீங்கள் மாறி மாறி மாற்ற வேண்டும், சில சமயங்களில் "பள்ளி" இயற்கணிதம் அல்லது முக்கோணவியல் சூத்திரங்கள் கூட உதவலாம்.
காலவரையற்ற ஒருங்கிணைப்பைக் கணக்கிடுவதற்கான எளிய எடுத்துக்காட்டு
எடுத்துக்காட்டு 1. ஒருங்கிணைப்பைக் கண்டறிக: ∫ (3 x 2 + 2 sin x - 7 e x + 12) d xசூத்திரங்களைப் பயன்படுத்துவோம் (25) மற்றும் (26) (செயல்பாடுகளின் கூட்டுத்தொகை அல்லது வேறுபாட்டின் ஒருங்கிணைப்பானது தொடர்புடைய ஒருங்கிணைப்புகளின் கூட்டுத்தொகை அல்லது வேறுபாட்டிற்கு சமம். நாம் பெறுவது: ∫ 3 x 2 d x + ∫ 2 sin x d x - ∫ 7 e x d x + ∫ 12 டி x
ஒருங்கிணைந்த குறியிலிருந்து மாறிலியை எடுக்கலாம் என்பதை நினைவில் கொள்வோம் (சூத்திரம் (27)). வெளிப்பாடு வடிவத்திற்கு மாற்றப்படுகிறது
3 ∫ x 2 d x + 2 ∫ sin x d x - 7 ∫ e x d x + 12 ∫ 1 d x
இப்போது அடிப்படை ஒருங்கிணைப்புகளின் அட்டவணையைப் பயன்படுத்துவோம். நாம் (3), (12), (8) மற்றும் (1) சூத்திரங்களைப் பயன்படுத்த வேண்டும். சக்தி செயல்பாடு, சைன், அதிவேக மற்றும் மாறிலி ஆகியவற்றை ஒருங்கிணைப்போம் 1. முடிவில் தன்னிச்சையான மாறிலி C ஐ சேர்க்க மறக்காதீர்கள்:
3 x 3 3 - 2 cos x - 7 e x + 12 x + C
அடிப்படை மாற்றங்களுக்குப் பிறகு, இறுதி பதிலைப் பெறுகிறோம்:
X 3 - 2 cos x - 7 e x + 12 x + C
வேறுபாட்டின் மூலம் உங்களை நீங்களே சோதிக்கவும்: விளைந்த செயல்பாட்டின் வழித்தோன்றலை எடுத்து, அது அசல் ஒருங்கிணைப்புக்கு சமமாக இருப்பதை உறுதிசெய்யவும்.
ஒருங்கிணைப்புகளின் சுருக்க அட்டவணை
| ∫ A d x = A x + C |
| ∫ x d x = x 2 2 + C |
| ∫ x 2 d x = x 3 3 + C |
| ∫ 1 x d x = 2 x + C |
| ∫ 1 x d x = ln | x | +சி |
| ∫ 1 x 2 d x = - 1 x + C |
| ∫ x n d x = x n + 1 n + 1 + C (n ≠ − 1) |
| ∫ e x d x = e x + C |
| ∫ a x d x = a x ln a + C (a > 0, a ≠ 1) |
| ∫ s h x d x = c h x + C |
| ∫ c h x d x = s h x + C |
| ∫ sin x d x = - cos x + C |
| ∫ cos x d x = sin x + C |
| ∫ 1 cos 2 x d x = t g x + C |
| ∫ 1 பாவம் 2 x d x = - c t g x + C |
| ∫ 1 1 + x 2 d x = a r c t g x + C = - a r c c t g x + C |
| ∫ 1 x 2 + a 2 = 1 a a r c t g x a + C (a ≠ 0) |
| ∫ 1 1 - x 2 d x = arcsin x + C = - arccos x + C |
| ∫ 1 a 2 - x 2 d x = arcsin x a + C = - arccos x a + C (a > 0) |
| ∫ 1 x 2 + a 2 d x = ln | x + x 2 + a 2 | +சி |
| ∫ 1 x 2 - a 2 d x = ln | x + x 2 − a 2 | +சி |
| ∫ a 2 - x 2 d x = x 2 a 2 - x 2 + a 2 2 arcsin x a + C (a > 0) |
| ∫ x 2 + a 2 d x = x 2 x 2 + a 2 + a 2 2 ln | x + x 2 + a 2 | + சி (a > 0) |
| ∫ x 2 - a 2 d x = x 2 x 2 - a 2 - a 2 2 ln | x + x 2 − a 2 | + சி (a > 0) |
இந்த இணைப்பிலிருந்து ஒருங்கிணைந்த அட்டவணையை (பகுதி II) பதிவிறக்கவும்
நீங்கள் ஒரு பல்கலைக்கழகத்தில் படிக்கிறீர்கள் என்றால், உங்களுக்கு சிரமங்கள் இருந்தால் உயர் கணிதம்(கணித பகுப்பாய்வு, நேரியல் இயற்கணிதம், நிகழ்தகவு கோட்பாடு, புள்ளியியல்), உங்களுக்கு தகுதியான ஆசிரியரின் சேவைகள் தேவைப்பட்டால், உயர் கணித ஆசிரியர் பக்கத்திற்குச் செல்லவும். நாங்கள் ஒன்றாக உங்கள் பிரச்சினைகளை தீர்ப்போம்!
நீங்கள் ஆர்வமாகவும் இருக்கலாம்
முந்தைய பொருளில், வழித்தோன்றலைக் கண்டுபிடிப்பதில் சிக்கல் கருதப்பட்டது பல்வேறு பயன்பாடுகள்: ஒரு வரைபடத்திற்கான தொடுகோட்டின் கோணக் குணகத்தைக் கணக்கிடுதல், தேர்வுமுறைச் சிக்கல்களைத் தீர்ப்பது, மோனோடோனிசிட்டி மற்றும் எக்ஸ்ட்ரீமாவுக்கான செயல்பாடுகளை ஆய்வு செய்தல். $\nநியூகமாண்ட்(\tg)(\mathop(\mathrm(tg))\nolimits)$ $\nnewcommand(\ctg)(\mathop(\mathrm(tg))\nolimits)$ $\newcommand(\arctg)( \mathop(\mathrm(arctg))\nolimits)$ $\newcommand(\arcctg)(\mathop(\mathrm(arcctg))\nolimits)$
படம் 1.
$s(t)$ செயல்பாட்டின் மூலம் வெளிப்படுத்தப்பட்ட, முன்னர் அறியப்பட்ட பாதையில் வழித்தோன்றலைப் பயன்படுத்தி உடனடி வேகத்தை $v(t)$ கண்டுபிடிப்பதில் சிக்கல் கருதப்பட்டது.
படம் 2.
$v(t)$ புள்ளியின் வேகத்தை அறிந்து $t$ நேரத்தில் ஒரு புள்ளியில் $s(t)$ கடந்து செல்லும் பாதையை நீங்கள் கண்டுபிடிக்க வேண்டியிருக்கும் போது, தலைகீழ் பிரச்சனையும் மிகவும் பொதுவானது. நாம் நினைவு கூர்ந்தால், உடனடி வேகமான $v(t)$ $s(t)$: $v(t)=s'(t)$ என்பதன் வழித்தோன்றலாகக் காணப்படுகிறது. இதன் பொருள், தலைகீழ் சிக்கலைத் தீர்க்க, அதாவது பாதையைக் கணக்கிட, நீங்கள் ஒரு செயல்பாட்டைக் கண்டுபிடிக்க வேண்டும், அதன் வழித்தோன்றல் வேக செயல்பாட்டிற்கு சமமாக இருக்கும். ஆனால் பாதையின் வழித்தோன்றல் வேகம் என்பதை நாம் அறிவோம், அதாவது: $s’(t) = v(t)$. வேகம் என்பது முடுக்கம் நேர நேரத்துக்கு சமம்: $v=at$. விரும்பிய பாதை செயல்பாடு படிவத்தைக் கொண்டிருக்கும் என்பதைத் தீர்மானிப்பது எளிது: $s(t) = \frac(at^2)(2)$. ஆனால் இது ஒரு முழுமையான தீர்வு அல்ல. முழுமையான தீர்வு படிவத்தைக் கொண்டிருக்கும்: $s(t)= \frac(at^2)(2)+C$, $C$ என்பது சில மாறிலி. இது ஏன் என்று மேலும் விவாதிக்கப்படும். இப்போதைக்கு, கண்டுபிடிக்கப்பட்ட தீர்வின் சரியான தன்மையைச் சரிபார்ப்போம்: $s"(t)=\left(\frac(at^2)(2)+C\right)"=2\frac(at)(2)+0 =at=v(t)$.
வேகத்தின் அடிப்படையில் ஒரு பாதையைக் கண்டறிவது ஒரு ஆண்டிடெரிவேடிவ் என்பதன் இயற்பியல் பொருள் என்பது கவனிக்கத்தக்கது.
இதன் விளைவாக $s(t)$ சார்பு $v(t)$ செயல்பாட்டின் ஆண்டிடெரிவேட்டிவ் என அழைக்கப்படுகிறது. மிகவும் சுவாரஸ்யமான மற்றும் அசாதாரண பெயர், ஆமாம் தானே. இது சாரத்தை விளக்கும் பல அர்த்தங்களைக் கொண்டுள்ளது இந்த கருத்துமற்றும் அதன் புரிதலுக்கு வழிவகுக்கிறது. அதில் "முதல்" மற்றும் "படம்" என்ற இரண்டு வார்த்தைகள் இருப்பதை நீங்கள் கவனிப்பீர்கள். அவர்களே பேசுகிறார்கள். அதாவது, நம்மிடம் உள்ள வழித்தோன்றலுக்கு ஆரம்பமான செயல்பாடு இதுவாகும். இந்த வழித்தோன்றலைப் பயன்படுத்தி, ஆரம்பத்தில் இருந்த "முதல்", "முதல் படம்", அதாவது ஆன்டிடெரிவேட்டிவ் செயல்பாட்டைத் தேடுகிறோம். இது சில சமயங்களில் பழமையான செயல்பாடு அல்லது ஆண்டிடெரிவேட்டிவ் என்றும் அழைக்கப்படுகிறது.
நாம் ஏற்கனவே அறிந்தபடி, வழித்தோன்றலைக் கண்டறியும் செயல்முறை வேறுபாடு என்று அழைக்கப்படுகிறது. மற்றும் ஆன்டிடெரிவேட்டிவ் கண்டுபிடிக்கும் செயல்முறை ஒருங்கிணைப்பு என்று அழைக்கப்படுகிறது. ஒருங்கிணைப்பின் செயல்பாடு வேறுபாட்டின் செயல்பாட்டின் தலைகீழ் ஆகும். உரையாடலும் உண்மைதான்.
வரையறை.ஒரு குறிப்பிட்ட இடைவெளியில் $f(x)$ செயல்பாட்டிற்கான ஒரு எதிர்ப்பொருள் $F(x)$ ஆகும், இதன் வழித்தோன்றல் இந்தச் சார்பு $f(x)$ க்கு சமமான $x$ க்கு குறிப்பிட்ட இடைவெளியில்: $F' (x)=f (x)$.
ஒருவருக்கு ஒரு கேள்வி இருக்கலாம்: ஆரம்பத்தில் $s(t)$ மற்றும் $v(t)$ பற்றி பேசினால், வரையறையில் $F(x)$ மற்றும் $f(x)$ எங்கிருந்து வந்தது. உண்மை என்னவென்றால், $s(t)$ மற்றும் $v(t)$ ஆகியவை இந்த விஷயத்தில் ஒரு குறிப்பிட்ட பொருளைக் கொண்ட செயல்பாட்டு பதவியின் சிறப்பு நிகழ்வுகள், அதாவது அவை முறையே நேரத்தின் செயல்பாடு மற்றும் வேகத்தின் செயல்பாடு. $t$ மாறியும் அதே தான் - இது நேரத்தைக் குறிக்கிறது. மேலும் $f$ மற்றும் $x$ ஆகியவை முறையே ஒரு செயல்பாடு மற்றும் மாறியின் பொதுவான பதவியின் பாரம்பரிய மாறுபாடு ஆகும். ஆண்டிடெரிவேடிவ் $F(x)$ இன் குறிப்பிற்கு சிறப்பு கவனம் செலுத்துவது மதிப்பு. முதலில், $F$ என்பது மூலதனம். ஆன்டிடெரிவேடிவ்கள் நியமிக்கப்பட்டுள்ளன பெரிய எழுத்துக்களில். இரண்டாவதாக, எழுத்துக்கள் ஒன்றே: $F$ மற்றும் $f$. அதாவது, $g(x)$ செயல்பாட்டிற்கு ஆன்டிடெரிவேட்டிவ் $G(x)$ என்றும், $z(x)$ -க்கு $Z(x)$ என்றும் குறிக்கப்படும். குறிப்பீடு எதுவாக இருந்தாலும், ஒரு ஆண்டிடெரிவேடிவ் செயல்பாட்டைக் கண்டறிவதற்கான விதிகள் எப்போதும் ஒரே மாதிரியாக இருக்கும்.
ஒரு சில உதாரணங்களைப் பார்ப்போம்.
எடுத்துக்காட்டு 1.$F(x)=\frac(1)(5)\sin5x$ செயல்பாடானது $f(x)=\cos5x$ செயல்பாட்டின் எதிர்வழி என்பதை நிரூபிக்கவும்.
இதை நிரூபிக்க, நாம் $F'(x)=f(x)$ என்ற வரையறையைப் பயன்படுத்துவோம், மேலும் $F(x)$: $F'(x)=( செயல்பாட்டின் வழித்தோன்றலைக் கண்டுபிடிப்போம். \frac(1)(5 ) \sin5x)'=\frac(1)(5)\cdot 5\cos5x= \cos5x$. இதன் பொருள் $F(x)=\frac(1)(5) \sin5x$ என்பது $f(x)=\cos5x$ இன் எதிர்வழியாகும். கே.இ.டி.
உதாரணம் 2.பின்வரும் ஆண்டிடெரிவேடிவ்களுக்கு எந்தச் செயல்பாடுகள் பொருந்துகின்றன என்பதைக் கண்டறியவும்: a) $F(z)=\tg z$; b) $G(l) = \sin l$.
தேவையான செயல்பாடுகளைக் கண்டறிய, அவற்றின் வழித்தோன்றல்களைக் கணக்கிடுவோம்:
a) $F'(z)=(\tg z)'=\frac(1)(\cos^2 z)$;
b) $G(l) = (\sin l)' = \cos l$.
எடுத்துக்காட்டு 3.$f(x)=0$ க்கு ஆன்டிடெரிவேட்டிவ் என்னவாக இருக்கும்?
வரையறையைப் பயன்படுத்துவோம். எந்த செயல்பாடு $0$ க்கு சமமான வழித்தோன்றலைக் கொண்டிருக்கலாம் என்று சிந்திப்போம். வழித்தோன்றல்களின் அட்டவணையை நினைவுபடுத்தும்போது, எந்த மாறிலியும் அத்தகைய வழித்தோன்றலைக் கொண்டிருப்பதைக் காண்கிறோம். நாம் தேடும் ஆன்டிடெரிவேட்டிவ்: $F(x)= C$.
இதன் விளைவாக வரும் தீர்வு வடிவியல் மற்றும் உடல் ரீதியாக விளக்கப்படலாம். வடிவியல் ரீதியாக, இந்த வரைபடத்தின் ஒவ்வொரு புள்ளியிலும் $y=F(x)$ வரையிலான தொடுகோடு கிடைமட்டமாக உள்ளது, எனவே $Ox$ அச்சுடன் ஒத்துப்போகிறது. பூஜ்ஜியத்திற்கு சமமான வேகம் கொண்ட ஒரு புள்ளி இடத்தில் உள்ளது, அதாவது அது பயணித்த பாதை மாறாமல் உள்ளது என்பதன் மூலம் இது விளக்கப்படுகிறது. இதன் அடிப்படையில், நாம் பின்வரும் தேற்றத்தை உருவாக்கலாம்.
தேற்றம். (செயல்பாடுகளின் நிலைத்தன்மையின் அடையாளம்) சில இடைவெளியில் $F’(x) = 0$ எனில், இந்த இடைவெளியில் $F(x)$ செயல்பாடு நிலையானதாக இருக்கும்.
எடுத்துக்காட்டு 4.எந்தச் செயல்பாடுகள் a) $F_1 = \frac(x^7)(7)$ இன் எதிர்வழிகள் என்பதைத் தீர்மானிக்கவும்; b) $F_2 = \frac(x^7)(7) – 3$; c) $F_3 = \frac(x^7)(7) + 9$; ஈ) $F_4 = \frac(x^7)(7) + a$, இங்கு $a$ என்பது சில எண்.
ஆண்டிடெரிவேட்டிவ் வரையறையைப் பயன்படுத்தி, இந்தச் சிக்கலைத் தீர்க்க, நமக்குக் கொடுக்கப்பட்ட ஆண்டிடெரிவேட்டிவ் செயல்பாடுகளின் வழித்தோன்றல்களைக் கணக்கிட வேண்டும் என்று முடிவு செய்கிறோம். கணக்கிடும் போது, ஒரு மாறிலியின் வழித்தோன்றல், அதாவது எந்த எண்ணின், பூஜ்ஜியத்திற்கு சமம் என்பதை நினைவில் கொள்ளுங்கள்.
a) $F_1 =(\frac(x^7)(7))"= 7 \cdot \frac(x^6)(7) = x^6$;
b) $F_2 =\left(\frac(x^7)(7) – 3\right)"=7 \cdot \frac(x^6)(7)= x^6$;
c) $F_3 =(\frac(x^7)(7) + 9)'= x^6$;
ஈ) $F_4 =(\frac(x^7)(7) + a)’ = x^6$.
நாம் என்ன பார்க்கிறோம்? பல வேறுபட்ட செயல்பாடுகள் ஒரே செயல்பாட்டின் முதன்மையானவை. எந்தவொரு செயல்பாட்டிலும் எண்ணற்ற பல ஆன்டிடெரிவேடிவ்கள் உள்ளன, மேலும் அவை $F(x) + C$ வடிவத்தைக் கொண்டுள்ளன, இங்கு $C$ என்பது தன்னிச்சையான மாறிலி. அதாவது, வேறுபாட்டின் செயல்பாட்டைப் போலன்றி, ஒருங்கிணைப்பின் செயல்பாடு பன்முகப்படுத்தப்படுகிறது. இதன் அடிப்படையில், ஆண்டிடெரிவேடிவ்களின் முக்கிய பண்புகளை விவரிக்கும் ஒரு தேற்றத்தை உருவாக்குவோம்.
தேற்றம். (ஆண்டிடெரிவேடிவ்களின் முக்கிய சொத்து) செயல்பாடுகள் $F_1$ மற்றும் $F_2$ ஆக இருக்கட்டும் ஆண்டிடெரிவேடிவ் செயல்பாடுகள்சில இடைவெளியில் $f(x)$. இந்த இடைவெளியில் இருந்து அனைத்து மதிப்புகளுக்கும் பின்வரும் சமத்துவம் உண்மையாக இருக்கும்: $F_2=F_1+C$, $C$ என்பது சில மாறிலி.
எண்ணற்ற ஆன்டிடெரிவேடிவ்கள் இருப்பதை வடிவியல் ரீதியாக விளக்கலாம். $Oy$ அச்சில் இணையான மொழிபெயர்ப்பைப் பயன்படுத்தி, $f(x)$க்கு ஏதேனும் இரண்டு ஆண்டிடெரிவேட்டிவ்களின் வரைபடங்களை ஒருவர் மற்றவரிடமிருந்து பெறலாம். இது ஆண்டிடெரிவேட்டிவ் என்பதன் வடிவியல் பொருள்.
நிலையான $C$ ஐத் தேர்ந்தெடுப்பதன் மூலம், ஆண்டிடெரிவேடிவ் வரைபடம் ஒரு குறிப்பிட்ட புள்ளியின் வழியாகச் செல்வதை உறுதிசெய்ய முடியும் என்பதில் கவனம் செலுத்துவது மிகவும் முக்கியம்.
படம் 3.
உதாரணம் 5.$f(x)=\frac(x^2)(3)+1$ செயல்பாட்டிற்கான ஆன்டிடெரிவேட்டிவ்வைக் கண்டறியவும், இதன் வரைபடம் $(3; 1)$ புள்ளியைக் கடந்து செல்கிறது.
முதலில் $f(x)$: $F(x)=\frac(x^3)(9)+x + C$க்கான அனைத்து ஆண்டிடெரிவேட்டிவ்களையும் கண்டுபிடிப்போம்.
அடுத்து, சி எண்ணைக் கண்டுபிடிப்போம், அதற்கான வரைபடம் $y=\frac(x^3)(9)+x + C$ புள்ளி $(3; 1)$ வழியாக செல்லும். இதைச் செய்ய, புள்ளியின் ஆயங்களை வரைபட சமன்பாட்டில் மாற்றி $C$ க்கு அதைத் தீர்க்கிறோம்:
$1= \frac(3^3)(9)+3 + C$, $C=-5$.
$y=\frac(x^3)(9)+x-5$ வரைப்படத்தைப் பெற்றுள்ளோம், இது $F(x)=\frac(x^3)(9)+x-5$ உடன் ஒத்துள்ளது.
ஆன்டிடெரிவேடிவ்களின் அட்டவணை
வழித்தோன்றல்களைக் கண்டறிவதற்கான சூத்திரங்களைப் பயன்படுத்தி ஆண்டிடெரிவேடிவ்களைக் கண்டறிவதற்கான சூத்திரங்களின் அட்டவணையைத் தொகுக்கலாம்.
| செயல்பாடுகள் | ஆன்டிடெரிவேடிவ்கள் |
| $0$ | $C$ |
| $1$ | $x+C$ |
| $a\R$ இல் | $ax+C$ |
| $x^n, n\ne1$ | $\டிஸ்ப்ளே ஸ்டைல் \frac(x^(n+1))(n+1)+C$ |
| $\டிஸ்ப்ளே ஸ்டைல் \frac(1)(x)$ | $\ln|x|+C$ |
| $\பாவம் x$ | $-\cos x+C$ |
| $\cos x$ | $\sin x+C$ |
| $\டிஸ்ப்ளேஸ்டைல் \frac(1)(\sin^2 x)$ | $-\ctg x+C$ |
| $\டிஸ்ப்ளேஸ்டைல் \frac(1)(\cos^2 x)$ | $\tg x+C$ |
| $e^x$ | $e^x+C$ |
| $a^x, a>0, a\ne1$ | $\டிஸ்ப்ளேஸ்டைல் \frac(a^x)(\ln a) +C$ |
| $\டிஸ்ப்ளேஸ்டைல் \frac(1)(\sqrt(1-x^2))$ | $\arcsin x+C$ |
| $\டிஸ்ப்ளே ஸ்டைல் -\frac(1)(\sqrt(1-x^2))$ | $\arccos x+C$ |
| $\டிஸ்ப்ளே ஸ்டைல் \frac(1)(1+x^2)$ | $\arctg x+C$ |
| $\டிஸ்ப்ளே ஸ்டைல் -\frac(1)(1+x^2)$ | $\arcctg x+C$ |
அட்டவணையின் சரியான தன்மையை நீங்கள் பின்வரும் வழியில் சரிபார்க்கலாம்: வலது நெடுவரிசையில் அமைந்துள்ள ஒவ்வொரு ஆன்டிடெரிவேட்டிவ்களுக்கும், வழித்தோன்றலைக் கண்டறியவும், இது இடது நெடுவரிசையில் தொடர்புடைய செயல்பாடுகளை விளைவிக்கும்.
ஆண்டிடெரிவேடிவ்களைக் கண்டறிவதற்கான சில விதிகள்
அறியப்பட்டபடி, பல செயல்பாடுகள் ஆன்டிடெரிவேடிவ்களின் அட்டவணையில் சுட்டிக்காட்டப்பட்டதை விட மிகவும் சிக்கலான வடிவத்தைக் கொண்டுள்ளன, மேலும் இந்த அட்டவணையில் இருந்து தொகைகள் மற்றும் செயல்பாடுகளின் தயாரிப்புகளின் தன்னிச்சையான கலவையாக இருக்கலாம். இங்கே கேள்வி எழுகிறது: அத்தகைய செயல்பாடுகளின் ஆண்டிடெரிவேடிவ்களை எவ்வாறு கணக்கிடுவது. எடுத்துக்காட்டாக, அட்டவணையில் இருந்து $x^3$, $\sin x$ மற்றும் $10$ ஆகியவற்றின் ஆன்டிடெரிவேடிவ்களை எவ்வாறு கணக்கிடுவது என்பது நமக்குத் தெரியும். எடுத்துக்காட்டாக, $x^3-10\sin x$-ஐ எவ்வாறு கணக்கிடுவது? முன்னோக்கிப் பார்க்கும்போது, இது $\frac(x^4)(4)+10\cos x$க்கு சமமாக இருக்கும் என்பது குறிப்பிடத்தக்கது.
1. $f(x)$ க்கு $F(x)$, $g(x)$ க்கு $G(x)$ எனில், $f(x)+g(x)$ க்கு எதிர் வழித்தோன்றல் $ F(x)+G(x)$க்கு சமம்.
2. $f(x)$ என்பது $f(x)$ க்கு ஒரு ஆன்டிடெரிவேட்டிவ் மற்றும் $a$ என்பது மாறிலி என்றால், $af(x)$ க்கு $aF(x)$ என்பது ஆன்டிடெரிவேட்டிவ் ஆகும்.
3. $f(x)$க்கு $F(x)$, $a$ மற்றும் $b$ ஆகியவை மாறிலிகள் எனில், $\frac(1)(a) F(ax+b)$ என்பது ஆன்டிடெரிவேட்டிவ் ஆகும். $f (ax+b)$க்கு.
பெறப்பட்ட விதிகளைப் பயன்படுத்தி, ஆண்டிடெரிவேடிவ்களின் அட்டவணையை விரிவாக்கலாம்.
| செயல்பாடுகள் | ஆன்டிடெரிவேடிவ்கள் |
| $(ax+b)^n, n\ne1, a\ne0$ | $\டிஸ்ப்ளேஸ்டைல் \frac((ax+b)^n)(a(n+1)) +C$ |
| $\displaystyle \frac(1)(ax+b), a\ne0$ | $\டிஸ்ப்ளே ஸ்டைல் \frac(1)(a)\ln|ax+b|+C$ |
| $e^(ax+b), a\ne0$ | $\டிஸ்ப்ளே ஸ்டைல் \frac(1)(a) e^(ax+b)+C$ |
| $\sin(ax+b), a\ne0$ | $\டிஸ்ப்ளே ஸ்டைல் -\frac(1)(a)\cos(ax+b)+C$ |
| $\cos(ax+b), a\ne0$ | $\டிஸ்ப்ளே ஸ்டைல் \frac(1)(a)\sin(ax+b)+C$ |
உதாரணம் 5.இதற்கான ஆண்டிடெரிவேடிவ்களைக் கண்டறியவும்:
a) $\டிஸ்ப்ளே ஸ்டைல் 4x^3+10x^7$;
b) $\டிஸ்ப்ளேஸ்டைல் \frac(6)(x^5) -\frac(2)(x)$;
c) $\displaystyle 5\cos x+\sin(3x+15)$;
ஈ) $\டிஸ்ப்ளே ஸ்டைல் \sqrt(x)-2\sqrt(x)$.
a) $4\frac (x^(3+1))(3+1)+10\frac(x^(7+1))(7+1)+C=x^4+\frac(5)( 4) x^8+C$;
b) $-\frac(3)(2x^4) -2\ln|x|+C$;
c) $5 \sin x - \frac(1)(3)\cos(3x + 15) + C$;
ஈ) $\frac(2)(3)x\sqrt(x) - \frac(3)(2) x\sqrt(x) + C$.