இரண்டு தொகுதிகள் மூலம் சமன்பாடுகளை எவ்வாறு தீர்ப்பது. மாடுலஸ் மூலம் சமன்பாடுகளைத் தீர்ப்பது

20.10.2019

மாணவர்களுக்கான மிகவும் கடினமான தலைப்புகளில் ஒன்று மாடுலஸ் அடையாளத்தின் கீழ் மாறியைக் கொண்ட சமன்பாடுகளைத் தீர்ப்பதாகும். இது எதனுடன் இணைக்கப்பட்டுள்ளது என்பதை முதலில் கண்டுபிடிப்போம்? உதாரணமாக, பெரும்பாலான குழந்தைகள் கொட்டைகள் போன்ற இருபடி சமன்பாடுகளை ஏன் உடைக்கிறார்கள், ஆனால் ஒரு தொகுதி போன்ற சிக்கலான கருத்தாக்கத்தில் இவ்வளவு சிக்கல்கள் உள்ளனவா?

என் கருத்துப்படி, இந்த சிரமங்கள் அனைத்தும் ஒரு மாடுலஸுடன் சமன்பாடுகளைத் தீர்ப்பதற்கான தெளிவாக வடிவமைக்கப்பட்ட விதிகளின் பற்றாக்குறையுடன் தொடர்புடையவை. எனவே, முடிவு இருபடி சமன்பாடு, மாணவர் தான் முதலில் பாரபட்சமான சூத்திரத்தையும், பின்னர் இருபடிச் சமன்பாட்டின் வேர்களுக்கான சூத்திரங்களையும் பயன்படுத்த வேண்டும் என்பதை உறுதியாக அறிவார். சமன்பாட்டில் ஒரு மாடுலஸ் காணப்பட்டால் என்ன செய்வது? சமன்பாடு மாடுலஸ் அடையாளத்தின் கீழ் அறியப்படாத ஒன்றைக் கொண்டிருக்கும் போது, வழக்குக்கான தேவையான செயல் திட்டத்தை தெளிவாக விவரிக்க முயற்சிப்போம். ஒவ்வொரு வழக்குக்கும் பல உதாரணங்களை தருவோம்.

ஆனால் முதலில், நினைவில் கொள்வோம் தொகுதி வரையறை. எனவே, எண்ணை மாடுலோ செய்யுங்கள் அஇந்த எண்ணே என்றால் அழைக்கப்படுகிறது அஎதிர்மறை அல்லாத மற்றும் -அ, எண் என்றால் அ பூஜ்ஜியத்தை விட குறைவாக. நீங்கள் இதை இப்படி எழுதலாம்:

|அ| = a என்றால் a ≥ 0 மற்றும் |a| = -a என்றால் a< 0

தொகுதியின் வடிவியல் பொருளைப் பற்றி பேசுகையில், ஒவ்வொரு உண்மையான எண்ணும் எண் அச்சில் ஒரு குறிப்பிட்ட புள்ளிக்கு ஒத்திருக்கிறது என்பதை நினைவில் கொள்ள வேண்டும் - அதன் ஒருங்கிணைக்க. எனவே, ஒரு எண்ணின் தொகுதி அல்லது முழுமையான மதிப்பு இந்த புள்ளியிலிருந்து எண் அச்சின் தோற்றத்திற்கான தூரமாகும். தூரம் எப்போதும் நேர்மறை எண்ணாகக் குறிப்பிடப்படுகிறது. எனவே, எந்த எதிர்மறை எண்ணின் மாடுலஸ் நேர்மறை எண்ணாகும். மூலம், இந்த கட்டத்தில் கூட, பல மாணவர்கள் குழப்பமடையத் தொடங்குகிறார்கள். தொகுதி எந்த எண்ணையும் கொண்டிருக்கலாம், ஆனால் தொகுதியைப் பயன்படுத்துவதன் விளைவாக எப்போதும் நேர்மறை எண்ணாக இருக்கும்.

இப்போது சமன்பாடுகளைத் தீர்ப்பதற்கு நேரடியாக செல்லலாம்.

1. |x| படிவத்தின் சமன்பாட்டைக் கவனியுங்கள் = c, c என்பது உண்மையான எண். இந்த சமன்பாட்டை மாடுலஸ் வரையறையைப் பயன்படுத்தி தீர்க்க முடியும்.

அனைத்து உண்மையான எண்களையும் மூன்று குழுக்களாகப் பிரிக்கிறோம்: பூஜ்ஜியத்தை விட அதிகமானவை, பூஜ்ஜியத்தை விடக் குறைவானவை, மூன்றாவது குழு எண் 0. வரைபடத்தின் வடிவத்தில் தீர்வை எழுதுகிறோம்:

(±c, c > 0 எனில்

என்றால் |x| = c, பின்னர் x = (0, என்றால் c = 0

(உடன் இருந்தால் வேர்கள் இல்லை< 0

1) |x| = 5, ஏனெனில் 5 > 0, பின்னர் x = ±5;

2) |x| = -5, ஏனெனில் -5< 0, то уравнение не имеет корней;

3) |x| = 0, பின்னர் x = 0.

2. படிவத்தின் சமன்பாடு |f(x)| = b, b > 0. இந்த சமன்பாட்டைத் தீர்க்க, தொகுதியிலிருந்து விடுபடுவது அவசியம். நாம் இதை இவ்வாறு செய்கிறோம்: f(x) = b அல்லது f(x) = -b. இப்போது நீங்கள் ஒவ்வொரு சமன்பாடுகளையும் தனித்தனியாக தீர்க்க வேண்டும். அசல் சமன்பாட்டில் இருந்தால் b< 0, решений не будет.

1) |x + 2| = 4, ஏனெனில் 4 > 0, பின்னர்

x + 2 = 4 அல்லது x + 2 = -4

2) |x 2 – 5| = 11, ஏனெனில் 11 > 0, பின்னர்

x 2 – 5 = 11 அல்லது x 2 – 5 = -11

x 2 = 16 x 2 = -6

x = ± 4 வேர்கள் இல்லை

3) |x 2 – 5x| = -8, ஏனெனில் -8< 0, то уравнение не имеет корней.

3. படிவத்தின் சமன்பாடு |f(x)| = g(x). தொகுதியின் பொருளின்படி, அத்தகைய சமன்பாடு அதன் வலது பக்கம் பூஜ்ஜியத்தை விட அதிகமாகவோ அல்லது சமமாகவோ இருந்தால் தீர்வுகளைக் கொண்டிருக்கும், அதாவது. g(x) ≥ 0. பிறகு நம்மிடம் இருக்கும்:

f(x) = g(x)அல்லது f(x) = -g(x).

1) |2x – 1| = 5x – 10. இந்த சமன்பாடு 5x – 10 ≥ 0 எனில் வேர்களைக் கொண்டிருக்கும். அத்தகைய சமன்பாடுகளின் தீர்வு இங்குதான் தொடங்குகிறது.

1. ஓ.டி.இசட். 5x - 10 ≥ 0

2. தீர்வு:

2x – 1 = 5x – 10 அல்லது 2x – 1 = -(5x – 10)

3. நாங்கள் O.D.Z ஐ இணைக்கிறோம். மற்றும் தீர்வு, நாங்கள் பெறுகிறோம்:

ரூட் x = 11/7 O.D.Z.க்கு பொருந்தாது, இது 2 க்கும் குறைவாக உள்ளது, ஆனால் x = 3 இந்த நிபந்தனையை பூர்த்தி செய்கிறது.

பதில்: x = 3

2) |x – 1| = 1 – x 2 .

1. ஓ.டி.இசட். 1 - x 2 ≥ 0. இடைவெளி முறையைப் பயன்படுத்தி இந்த சமத்துவமின்மையைத் தீர்ப்போம்:

(1 – x)(1 + x) ≥ 0

2. தீர்வு:

x – 1 = 1 – x 2 அல்லது x – 1 = -(1 – x 2)

x 2 + x – 2 = 0 x 2 – x = 0

x = -2 அல்லது x = 1 x = 0 அல்லது x = 1

3. தீர்வு மற்றும் O.D.Z. ஆகியவற்றை இணைக்கிறோம்:

x = 1 மற்றும் x = 0 ஆகிய வேர்கள் மட்டுமே பொருத்தமானவை.

பதில்: x = 0, x = 1.

4. படிவத்தின் சமன்பாடு |f(x)| = |g(x)|. அத்தகைய சமன்பாடு பின்வரும் இரண்டு சமன்பாடுகளான f(x) = g(x) அல்லது f(x) = -g(x) க்கு சமம்.

1) |x 2 – 5x + 7| = |2x – 5|. இந்த சமன்பாடு பின்வரும் இரண்டிற்குச் சமம்:

x 2 – 5x + 7 = 2x – 5 அல்லது x 2 – 5x +7 = -2x + 5

x 2 – 7x + 12 = 0 x 2 – 3x + 2 = 0

x = 3 அல்லது x = 4 x = 2 அல்லது x = 1

பதில்: x = 1, x = 2, x = 3, x = 4.

5. மாற்று முறை மூலம் தீர்க்கப்படும் சமன்பாடுகள் (மாறி மாற்று). இந்த தீர்வு முறை மிக எளிதாக விளக்கப்பட்டுள்ளது குறிப்பிட்ட உதாரணம். எனவே, மாடுலஸுடன் ஒரு இருபடிச் சமன்பாட்டைக் கொடுக்கலாம்:

x 2 – 6|x| + 5 = 0. மாடுலஸ் சொத்தின் மூலம் x 2 = |x| 2, எனவே சமன்பாட்டை பின்வருமாறு மீண்டும் எழுதலாம்:

|x| 2 – 6|x| + 5 = 0. பதிலீடு செய்யலாம் |x| = t ≥ 0, பிறகு நம்மிடம் இருக்கும்:

t 2 – 6t + 5 = 0. இந்தச் சமன்பாட்டைத் தீர்க்கும் போது, t = 1 அல்லது t = 5 என்பதைக் காண்கிறோம். மாற்றீட்டிற்கு வருவோம்:

|x| = 1 அல்லது |x| = 5

x = ±1 x = ±5

பதில்: x = -5, x = -1, x = 1, x = 5.

மற்றொரு உதாரணத்தைப் பார்ப்போம்:

x 2 + |x| – 2 = 0. மாடுலஸ் சொத்தின் மூலம் x 2 = |x| 2, எனவே

|x| 2 + |x| – 2 = 0. பதிலீடு செய்யலாம் |x| = t ≥ 0, பின்னர்:

t 2 + t – 2 = 0. இந்த சமன்பாட்டைத் தீர்க்கும் போது, நாம் t = -2 அல்லது t = 1 ஐப் பெறுகிறோம். மாற்றீட்டிற்குத் திரும்புவோம்:

|x| = -2 அல்லது |x| = 1

வேர்கள் இல்லை x = ± 1

பதில்: x = -1, x = 1.

6. மற்றொரு வகை சமன்பாடுகள் ஒரு "சிக்கலான" மாடுலஸ் கொண்ட சமன்பாடுகள் ஆகும். இத்தகைய சமன்பாடுகளில் "ஒரு தொகுதிக்குள் தொகுதிகள்" இருக்கும் சமன்பாடுகள் அடங்கும். இந்த வகை சமன்பாடுகளை தொகுதியின் பண்புகளைப் பயன்படுத்தி தீர்க்க முடியும்.

1) |3 – |x|| = 4. நாம் இரண்டாவது வகையின் சமன்பாடுகளைப் போலவே செயல்படுவோம். ஏனெனில் 4 > 0, பின்னர் நாம் இரண்டு சமன்பாடுகளைப் பெறுகிறோம்:

3 – |x| = 4 அல்லது 3 – |x| = -4.

இப்போது ஒவ்வொரு சமன்பாட்டிலும் x மாடுலஸை வெளிப்படுத்துவோம், பிறகு |x| = -1 அல்லது |x| = 7.

இதன் விளைவாக வரும் ஒவ்வொரு சமன்பாடுகளையும் நாங்கள் தீர்க்கிறோம். முதல் சமன்பாட்டில் வேர்கள் இல்லை, ஏனெனில் -1< 0, а во втором x = ±7.

பதில் x = -7, x = 7.

2) |3 + |x + 1|| = 5. இந்த சமன்பாட்டை இதே வழியில் தீர்க்கிறோம்:

3 + |x + 1| = 5 அல்லது 3 + |x + 1| = -5

|x + 1| = 2 |x + 1| = -8

x + 1 = 2 அல்லது x + 1 = -2. வேர்கள் இல்லை.

பதில்: x = -3, x = 1.

மாடுலஸ் மூலம் சமன்பாடுகளைத் தீர்ப்பதற்கான உலகளாவிய முறையும் உள்ளது. இதுவே இடைவெளி முறை. ஆனால் அதை பிறகு பார்ப்போம்.

இணையதளத்தில், உள்ளடக்கத்தை முழுமையாகவோ அல்லது பகுதியாகவோ நகலெடுக்கும்போது, மூலத்திற்கான இணைப்பு தேவை.

நாங்கள் கணிதத்தைத் தேர்ந்தெடுப்பதில்லைஅவளுடைய தொழில், அவள் எங்களைத் தேர்ந்தெடுக்கிறாள்.

ரஷ்ய கணிதவியலாளர் யு.ஐ. மனின்

மாடுலஸ் கொண்ட சமன்பாடுகள்

பள்ளிக் கணிதத்தில் தீர்க்க மிகவும் கடினமான சிக்கல்கள் மாடுலஸ் அடையாளத்தின் கீழ் மாறிகள் கொண்ட சமன்பாடுகள் ஆகும். அத்தகைய சமன்பாடுகளை வெற்றிகரமாக தீர்க்க, நீங்கள் தொகுதியின் வரையறை மற்றும் அடிப்படை பண்புகளை அறிந்து கொள்ள வேண்டும். இயற்கையாகவே, மாணவர்கள் இந்த வகை சமன்பாடுகளைத் தீர்க்கும் திறன்களைக் கொண்டிருக்க வேண்டும்.

அடிப்படை கருத்துக்கள் மற்றும் பண்புகள்

ஒரு உண்மையான எண்ணின் மாடுலஸ் (முழுமையான மதிப்பு).மூலம் குறிக்கப்படுகிறது மற்றும் பின்வருமாறு வரையறுக்கப்படுகிறது:

TO எளிய பண்புகள்தொகுதி பின்வரும் உறவுகளை உள்ளடக்கியது:

குறிப்பு, கடைசி இரண்டு பண்புகள் எந்த சீரான பட்டத்திற்கும் செல்லுபடியாகும்.

மேலும், என்றால், எங்கே, பின்னர் மற்றும்

மிகவும் சிக்கலான தொகுதி பண்புகள், மாடுலியுடன் சமன்பாடுகளை தீர்க்கும் போது திறம்பட பயன்படுத்த முடியும், பின்வரும் கோட்பாடுகள் மூலம் உருவாக்கப்படுகின்றன:

தேற்றம் 1.எந்த பகுப்பாய்வு செயல்பாடுகளுக்கும்மற்றும் சமத்துவமின்மை உண்மை

தேற்றம் 2.சமத்துவம் என்பது சமத்துவமின்மைக்கு சமம்.

தேற்றம் 3.சமத்துவம் சமத்துவமின்மைக்கு சமம்.

"சமன்பாடுகள்" என்ற தலைப்பில் சிக்கல்களைத் தீர்ப்பதற்கான பொதுவான எடுத்துக்காட்டுகளைப் பார்ப்போம், மாடுலஸ் அடையாளத்தின் கீழ் மாறிகளைக் கொண்டுள்ளது."

மாடுலஸ் மூலம் சமன்பாடுகளைத் தீர்ப்பது

சமன்பாடுகளை மாடுலஸ் மூலம் தீர்க்க பள்ளிக் கணிதத்தில் மிகவும் பொதுவான முறையாகும், தொகுதி விரிவாக்கத்தின் அடிப்படையில். இந்த முறை உலகளாவியது, இருப்பினும், பொது வழக்கில், அதன் பயன்பாடு மிகவும் சிக்கலான கணக்கீடுகளுக்கு வழிவகுக்கும். இது சம்பந்தமாக, மாணவர்கள் மற்றவற்றை அறிந்து கொள்ள வேண்டும், மேலும் பயனுள்ள முறைகள்மற்றும் அத்தகைய சமன்பாடுகளைத் தீர்ப்பதற்கான நுட்பங்கள். குறிப்பாக, தேற்றங்களைப் பயன்படுத்துவதில் திறமை இருப்பது அவசியம், இந்த கட்டுரையில் கொடுக்கப்பட்டுள்ளது.

எடுத்துக்காட்டு 1.சமன்பாட்டை தீர்க்கவும். (1)

தீர்வு. "கிளாசிக்கல்" முறையைப் பயன்படுத்தி சமன்பாட்டை (1) தீர்ப்போம் - தொகுதிகளை வெளிப்படுத்தும் முறை. இதைச் செய்ய, எண் அச்சைப் பிரிப்போம்புள்ளிகள் மற்றும் இடைவெளியில் மற்றும் மூன்று வழக்குகளை கருத்தில்.

1. , பின்னர் , , , மற்றும் சமன்பாடு (1) வடிவத்தை எடுத்தால் . இதிலிருந்து இது பின்வருமாறு. இருப்பினும், இங்கே , எனவே கண்டுபிடிக்கப்பட்ட மதிப்பு சமன்பாட்டின் வேர் அல்ல (1).

2. என்றால், பின்னர் (1) சமன்பாட்டிலிருந்து நாம் பெறுகிறோம்அல்லது .

அன்றிலிருந்து சமன்பாட்டின் வேர் (1).

3. என்றால், பின்னர் சமன்பாடு (1) வடிவம் எடுக்கும்அல்லது . என்பதை கவனிக்கலாம்.

பதில்:,.

ஒரு தொகுதியுடன் அடுத்தடுத்த சமன்பாடுகளைத் தீர்க்கும் போது, அத்தகைய சமன்பாடுகளைத் தீர்ப்பதன் செயல்திறனை அதிகரிக்க தொகுதிகளின் பண்புகளை தீவிரமாகப் பயன்படுத்துவோம்.

எடுத்துக்காட்டு 2.சமன்பாட்டை தீர்க்கவும்.

தீர்வு.மற்றும் பின் வரும் சமன்பாட்டிலிருந்து. இது குறித்து, , , மற்றும் சமன்பாடு வடிவம் எடுக்கும். இங்கிருந்து நாம் பெறுகிறோம். எனினும் , எனவே அசல் சமன்பாட்டிற்கு வேர்கள் இல்லை.

பதில்: வேர்கள் இல்லை.

எடுத்துக்காட்டு 3.சமன்பாட்டை தீர்க்கவும்.

தீர்வு.அப்போதிருந்து. என்றால், பின்னர் மற்றும் சமன்பாடு வடிவம் எடுக்கும்.

இங்கிருந்து நாம் பெறுகிறோம்.

எடுத்துக்காட்டு 4.சமன்பாட்டை தீர்க்கவும்.

தீர்வு.சமன்பாட்டை சமமான வடிவத்தில் மீண்டும் எழுதுவோம். (2)

இதன் விளைவாக வரும் சமன்பாடு வகை சமன்பாடுகளுக்கு சொந்தமானது.

தேற்றம் 2ஐ கணக்கில் எடுத்துக்கொண்டால், சமன்பாடு (2) சமத்துவமின்மைக்கு சமமானது என்று வாதிடலாம். இங்கிருந்து நாம் பெறுகிறோம்.

பதில்: .

எடுத்துக்காட்டு 5.சமன்பாட்டை தீர்க்கவும்.

தீர்வு. இந்த சமன்பாடு வடிவம் கொண்டது. அதனால் தான், தேற்றம் 3 இன் படி, இங்கு சமத்துவமின்மை உள்ளதுஅல்லது .

எடுத்துக்காட்டு 6.சமன்பாட்டை தீர்க்கவும்.

தீர்வு.என்று வைத்துக் கொள்வோம். ஏனெனில், பின்னர் கொடுக்கப்பட்ட சமன்பாடு இருபடி சமன்பாட்டின் வடிவத்தை எடுக்கும், (3)

எங்கே . சமன்பாடு (3) ஒற்றை நேர்மறை மூலத்தைக் கொண்டிருப்பதால்மற்றும் , பின்னர் . இங்கிருந்து அசல் சமன்பாட்டின் இரண்டு வேர்களைப் பெறுகிறோம்:மற்றும் .

எடுத்துக்காட்டு 7. சமன்பாட்டை தீர்க்கவும். (4)

தீர்வு. சமன்பாடு இருந்துஇரண்டு சமன்பாடுகளின் கலவைக்கு சமம்:மற்றும், சமன்பாட்டை தீர்க்கும் போது (4) இரண்டு நிகழ்வுகளை கருத்தில் கொள்வது அவசியம்.

1. என்றால் , பின்னர் அல்லது .

இங்கிருந்து நாம் பெறுகிறோம், மற்றும் .

2. என்றால் , பின்னர் அல்லது .

அப்போதிருந்து.

பதில்: , , , .

எடுத்துக்காட்டு 8.சமன்பாட்டை தீர்க்கவும் . (5)

தீர்வு.முதல் மற்றும் , பின்னர். இங்கிருந்து மற்றும் சமன்பாட்டிலிருந்து (5) அது பின்வருமாறு மற்றும், அதாவது. இங்கே சமன்பாடுகளின் அமைப்பு உள்ளது

இருப்பினும், இந்த சமன்பாடு அமைப்பு சீரற்றது.

பதில்: வேர்கள் இல்லை.

எடுத்துக்காட்டு 9. சமன்பாட்டை தீர்க்கவும். (6)

தீர்வு.நாம் குறிப்பது என்றால், பின்னர் மற்றும் சமன்பாட்டிலிருந்து (6) நாம் பெறுகிறோம்

அல்லது . (7)

சமன்பாடு (7) வடிவத்தைக் கொண்டிருப்பதால், இந்த சமன்பாடு சமத்துவமின்மைக்கு சமமானது. இங்கிருந்து நாம் பெறுகிறோம். முதல் , பின்னர் அல்லது .

பதில்: .

எடுத்துக்காட்டு 10.சமன்பாட்டை தீர்க்கவும். (8)

தீர்வு.தேற்றம் 1ன் படி எழுதலாம்

(9)

சமன்பாடு (8) கணக்கில் எடுத்துக் கொண்டால், இரண்டு சமத்துவமின்மைகளும் (9) சமமாக மாறும் என்று முடிவு செய்கிறோம், அதாவது. சமன்பாடுகளின் அமைப்பு உள்ளது

இருப்பினும், தேற்றம் 3 இன் படி, மேலே உள்ள சமன்பாடுகளின் அமைப்பு சமத்துவமின்மை அமைப்புக்கு சமமானது.

(10)

சமத்துவமின்மை அமைப்பைத் தீர்ப்பது (10) நாம் பெறுகிறோம் . ஏற்றத்தாழ்வுகளின் அமைப்பு (10) சமன்பாடு (8) க்கு சமமானதாக இருப்பதால், அசல் சமன்பாடு ஒற்றை மூலத்தைக் கொண்டுள்ளது.

பதில்: .

எடுத்துக்காட்டு 11. சமன்பாட்டை தீர்க்கவும். (11)

தீர்வு.விடுங்கள் மற்றும் , பின்னர் சமன்பாடு (11) இலிருந்து பின்பற்றப்படுகிறது.

அது பின்வருமாறு மற்றும் . எனவே, இங்கு சமத்துவமின்மை அமைப்பு உள்ளது

இந்த சமத்துவமின்மை அமைப்புக்கான தீர்வுமற்றும் .

பதில்:,.

எடுத்துக்காட்டு 12.சமன்பாட்டை தீர்க்கவும். (12)

தீர்வு. சமன்பாடு (12) தொகுதிகளின் வரிசை விரிவாக்க முறை மூலம் தீர்க்கப்படும். இதைச் செய்ய, பல வழக்குகளைக் கருத்தில் கொள்வோம்.

1. என்றால் , பிறகு .

1.1 என்றால் , பின்னர் மற்றும் , .

1.2 என்றால், பின்னர். எனினும் , எனவே, இந்த வழக்கில், சமன்பாடு (12) க்கு வேர்கள் இல்லை.

2. என்றால் , பிறகு .

2.1 என்றால் , பின்னர் மற்றும் , .

2.2 என்றால், பின்னர் மற்றும்.

பதில்: , , , , .

எடுத்துக்காட்டு 13.சமன்பாட்டை தீர்க்கவும். (13)

தீர்வு.சமன்பாட்டின் இடது பக்கம் (13) எதிர்மறையாக இல்லாததால், . இது சம்பந்தமாக, மற்றும் சமன்பாடு (13)

வடிவம் எடுக்கிறது அல்லது .

சமன்பாடு என்பது தெரிந்ததே இரண்டு சமன்பாடுகளின் சேர்க்கைக்கு சமம்மற்றும், நாம் பெறும் தீர்வு, . ஏனெனில், பின்னர் சமன்பாடு (13) ஒரு மூலத்தைக் கொண்டுள்ளது.

பதில்: .

எடுத்துக்காட்டு 14. சமன்பாடுகளின் அமைப்பைத் தீர்க்கவும் (14)

தீர்வு.இருந்து மற்றும் , பின்னர் மற்றும் . இதன் விளைவாக, சமன்பாடுகளின் அமைப்பிலிருந்து (14) நாம் நான்கு சமன்பாடு அமைப்புகளைப் பெறுகிறோம்:

மேலே உள்ள சமன்பாடு அமைப்புகளின் வேர்கள் சமன்பாடுகளின் அமைப்பின் வேர்கள் (14).

பதில்: , , , , , , , .

எடுத்துக்காட்டு 15. சமன்பாடுகளின் அமைப்பைத் தீர்க்கவும் (15)

தீர்வு.அப்போதிருந்து. இது சம்பந்தமாக, சமன்பாடுகளின் அமைப்பிலிருந்து (15) நாம் இரண்டு சமன்பாடு அமைப்புகளைப் பெறுகிறோம்

சமன்பாடுகளின் முதல் அமைப்பின் வேர்கள் மற்றும் , மற்றும் இரண்டாவது சமன்பாடுகளில் இருந்து நாம் பெறுகிறோம் மற்றும் .

பதில்: , , , .

எடுத்துக்காட்டு 16. சமன்பாடுகளின் அமைப்பைத் தீர்க்கவும் (16)

தீர்வு.அமைப்பின் முதல் சமன்பாட்டிலிருந்து (16) அது பின்வருமாறு.

அன்றிலிருந்து . அமைப்பின் இரண்டாவது சமன்பாட்டைக் கருத்தில் கொள்வோம். ஏனெனில், அந்த , மற்றும் சமன்பாடு வடிவம் எடுக்கும், , அல்லது .

நீங்கள் மதிப்பை மாற்றினால்அமைப்பின் முதல் சமன்பாட்டில் (16), பின்னர், அல்லது.

பதில்:,.

சிக்கலைத் தீர்க்கும் முறைகள் பற்றிய ஆழமான ஆய்வுக்கு, சமன்பாடுகளைத் தீர்ப்பது தொடர்பானது, மாடுலஸ் குறியின் கீழ் மாறிகள் கொண்டிருக்கும், நீங்கள் ஆலோசனை கூறலாம் கற்பித்தல் உதவிகள்பரிந்துரைக்கப்பட்ட இலக்கியங்களின் பட்டியலிலிருந்து.

1. கல்லூரிகளுக்கு விண்ணப்பிப்பவர்களுக்கு கணிதத்தில் உள்ள சிக்கல்களின் தொகுப்பு / எட். எம்.ஐ. ஸ்கானாவி. - எம்.: அமைதி மற்றும் கல்வி, 2013. – 608 பக்.

2. சுப்ருன் வி.பி. உயர்நிலைப் பள்ளி மாணவர்களுக்கான கணிதம்: அதிகரித்த சிக்கலான பணிகள். - எம்.: குறுவட்டு "லிப்ரோகாம்" / யுஆர்எஸ்எஸ், 2017. - 200 பக்.

3. சுப்ருன் வி.பி. உயர்நிலைப் பள்ளி மாணவர்களுக்கான கணிதம்: சிக்கல்களைத் தீர்ப்பதற்கான தரமற்ற முறைகள். - எம்.: குறுவட்டு "லிப்ரோகாம்" / யுஆர்எஸ்எஸ், 2017. – 296 பக்.

இன்னும் கேள்விகள் உள்ளதா?

ஒரு ஆசிரியரிடமிருந்து உதவி பெற -.

blog.site, உள்ளடக்கத்தை முழுமையாகவோ அல்லது பகுதியாகவோ நகலெடுக்கும்போது, அசல் மூலத்திற்கான இணைப்பு தேவை.

உங்கள் தனியுரிமையை பராமரிப்பது எங்களுக்கு முக்கியம். இந்த காரணத்திற்காக, உங்கள் தகவலை நாங்கள் எவ்வாறு பயன்படுத்துகிறோம் மற்றும் சேமிப்போம் என்பதை விவரிக்கும் தனியுரிமைக் கொள்கையை நாங்கள் உருவாக்கியுள்ளோம். எங்கள் தனியுரிமை நடைமுறைகளை மதிப்பாய்வு செய்து, ஏதேனும் கேள்விகள் இருந்தால் எங்களுக்குத் தெரியப்படுத்தவும்.

தனிப்பட்ட தகவல்களை சேகரித்தல் மற்றும் பயன்படுத்துதல்

தனிப்பட்ட தகவல் என்பது ஒரு குறிப்பிட்ட நபரை அடையாளம் காண அல்லது தொடர்பு கொள்ள பயன்படுத்தப்படும் தரவைக் குறிக்கிறது.

நீங்கள் எங்களைத் தொடர்பு கொள்ளும்போது எந்த நேரத்திலும் உங்கள் தனிப்பட்ட தகவலை வழங்குமாறு கேட்கப்படலாம்.

நாங்கள் சேகரிக்கக்கூடிய தனிப்பட்ட தகவல்களின் சில எடுத்துக்காட்டுகள் மற்றும் அத்தகைய தகவலை நாங்கள் எவ்வாறு பயன்படுத்தலாம்.

என்ன தனிப்பட்ட தகவல்களை நாங்கள் சேகரிக்கிறோம்:

நீங்கள் தளத்தில் விண்ணப்பத்தை சமர்ப்பிக்கும் போது, உங்கள் பெயர், தொலைபேசி எண், முகவரி உள்ளிட்ட பல்வேறு தகவல்களை நாங்கள் சேகரிக்கலாம் மின்னஞ்சல்முதலியன

உங்கள் தனிப்பட்ட தகவலை நாங்கள் எவ்வாறு பயன்படுத்துகிறோம்:

எங்களால் சேகரிக்கப்பட்டது தனிப்பட்ட தகவல்உங்களைத் தொடர்பு கொள்ளவும், தனித்துவமான சலுகைகள், விளம்பரங்கள் மற்றும் பிற நிகழ்வுகள் மற்றும் வரவிருக்கும் நிகழ்வுகள் பற்றி உங்களுக்குத் தெரிவிக்கவும் எங்களை அனுமதிக்கிறது.
அவ்வப்போது, முக்கியமான அறிவிப்புகள் மற்றும் தகவல்தொடர்புகளை அனுப்ப உங்கள் தனிப்பட்ட தகவலை நாங்கள் பயன்படுத்தலாம்.
நாங்கள் வழங்கும் சேவைகளை மேம்படுத்துவதற்கும் எங்கள் சேவைகள் தொடர்பான பரிந்துரைகளை உங்களுக்கு வழங்குவதற்கும் தணிக்கைகள், தரவு பகுப்பாய்வு மற்றும் பல்வேறு ஆராய்ச்சி போன்ற உள் நோக்கங்களுக்காக தனிப்பட்ட தகவலைப் பயன்படுத்துவோம்.
பரிசுக் குலுக்கல், போட்டி அல்லது அது போன்ற விளம்பரங்களில் நீங்கள் பங்கேற்றால், அத்தகைய திட்டங்களை நிர்வகிக்க நீங்கள் வழங்கும் தகவலை நாங்கள் பயன்படுத்தலாம்.

மூன்றாம் தரப்பினருக்கு தகவலை வெளிப்படுத்துதல்

உங்களிடமிருந்து பெறப்பட்ட தகவல்களை மூன்றாம் தரப்பினருக்கு நாங்கள் வெளியிட மாட்டோம்.

விதிவிலக்குகள்:

தேவைப்பட்டால் - சட்டம், நீதித்துறை நடைமுறை, சட்ட நடவடிக்கைகளில், மற்றும்/அல்லது ரஷ்ய கூட்டமைப்பின் பிரதேசத்தில் உள்ள அரசாங்க அதிகாரிகளிடமிருந்து பொது கோரிக்கைகள் அல்லது கோரிக்கைகளின் அடிப்படையில் - உங்கள் தனிப்பட்ட தகவலை வெளிப்படுத்த. பாதுகாப்பு, சட்ட அமலாக்கம் அல்லது பிற பொது முக்கியத்துவம் வாய்ந்த நோக்கங்களுக்காக இதுபோன்ற வெளிப்படுத்தல் அவசியம் அல்லது பொருத்தமானது என்று நாங்கள் தீர்மானித்தால், உங்களைப் பற்றிய தகவலையும் நாங்கள் வெளியிடலாம்.
மறுசீரமைப்பு, இணைப்பு அல்லது விற்பனையின் போது, நாங்கள் சேகரிக்கும் தனிப்பட்ட தகவலை பொருந்தக்கூடிய மூன்றாம் தரப்பினருக்கு மாற்றலாம்.

தனிப்பட்ட தகவல்களின் பாதுகாப்பு

உங்கள் தனிப்பட்ட தகவல்களை இழப்பு, திருட்டு மற்றும் தவறாகப் பயன்படுத்துதல், அத்துடன் அங்கீகரிக்கப்படாத அணுகல், வெளிப்படுத்துதல், மாற்றம் செய்தல் மற்றும் அழித்தல் போன்றவற்றிலிருந்து பாதுகாப்பதற்கு - நிர்வாகம், தொழில்நுட்பம் மற்றும் உடல்நிலை உள்ளிட்ட முன்னெச்சரிக்கை நடவடிக்கைகளை மேற்கொள்கிறோம்.

நிறுவன மட்டத்தில் உங்கள் தனியுரிமைக்கு மதிப்பளித்தல்

உங்கள் தனிப்பட்ட தகவல் பாதுகாப்பானது என்பதை உறுதிப்படுத்த, நாங்கள் எங்கள் ஊழியர்களுக்கு தனியுரிமை மற்றும் பாதுகாப்பு தரங்களைத் தொடர்புகொண்டு தனியுரிமை நடைமுறைகளை கண்டிப்பாகச் செயல்படுத்துகிறோம்.

மாடுலஸ் என்பது வெளிப்பாட்டின் முழுமையான மதிப்பு. எப்படியாவது ஒரு தொகுதியைக் குறிக்க, நேராக அடைப்புக்குறிகளைப் பயன்படுத்துவது வழக்கம். சம அடைப்புக்குறிக்குள் இணைக்கப்பட்ட மதிப்பு மாடுலோவாக எடுக்கப்பட்ட மதிப்பு. எந்தவொரு தொகுதியையும் தீர்க்கும் செயல்முறையானது அந்த நேரான அடைப்புக்குறிகளைத் திறப்பதில் உள்ளது, அவை கணித மொழியில் மட்டு அடைப்புக்குறிகள் என்று அழைக்கப்படுகின்றன. அவற்றின் வெளிப்பாடு ஒரு குறிப்பிட்ட எண்ணிக்கையிலான விதிகளின்படி நிகழ்கிறது. மேலும், தொகுதிகளைத் தீர்க்கும் வரிசையில், மட்டு அடைப்புக்குறிக்குள் இருந்த அந்த வெளிப்பாடுகளின் மதிப்புகளின் தொகுப்புகள் காணப்படுகின்றன. பெரும்பாலான சந்தர்ப்பங்களில், சப்மாடுலராக இருந்த வெளிப்பாடு பூஜ்ஜிய மதிப்பு உட்பட நேர்மறை மற்றும் எதிர்மறை மதிப்புகளைப் பெறும் வகையில் தொகுதி விரிவாக்கப்படுகிறது. தொகுதியின் நிறுவப்பட்ட பண்புகளிலிருந்து நாம் தொடங்கினால், செயல்பாட்டில் அசல் வெளிப்பாட்டிலிருந்து பல்வேறு சமன்பாடுகள் அல்லது ஏற்றத்தாழ்வுகள் தொகுக்கப்படுகின்றன, பின்னர் அவை தீர்க்கப்பட வேண்டும். தொகுதிகளை எவ்வாறு தீர்ப்பது என்பதைக் கண்டுபிடிப்போம்.

தீர்வு செயல்முறை

ஒரு தொகுதியைத் தீர்ப்பது அசல் சமன்பாட்டை தொகுதியுடன் எழுதுவதன் மூலம் தொடங்குகிறது. ஒரு மாடுலஸ் மூலம் சமன்பாடுகளை எவ்வாறு தீர்ப்பது என்ற கேள்விக்கு பதிலளிக்க, நீங்கள் அதை முழுமையாக திறக்க வேண்டும். அத்தகைய சமன்பாட்டை தீர்க்க, தொகுதி விரிவாக்கப்படுகிறது. அனைத்து மட்டு வெளிப்பாடுகளும் கருத்தில் கொள்ளப்பட வேண்டும். அதன் கலவையில் சேர்க்கப்பட்டுள்ள அறியப்படாத அளவுகளின் மதிப்புகள் என்ன என்பதை தீர்மானிக்க வேண்டியது அவசியம், அடைப்புக்குறிக்குள் உள்ள மட்டு வெளிப்பாடு பூஜ்ஜியமாக மாறும். இதைச் செய்ய, மட்டு அடைப்புக்குறிக்குள் உள்ள வெளிப்பாட்டை பூஜ்ஜியத்திற்கு சமன் செய்தால் போதும், அதன் விளைவாக வரும் சமன்பாட்டிற்கான தீர்வைக் கணக்கிடுங்கள். கண்டுபிடிக்கப்பட்ட மதிப்புகள் பதிவு செய்யப்பட வேண்டும். அதே வழியில், இந்த சமன்பாட்டில் உள்ள அனைத்து தொகுதிகளுக்குமான அனைத்து அறியப்படாத மாறிகளின் மதிப்பையும் நீங்கள் தீர்மானிக்க வேண்டும். அடுத்து, நீங்கள் மதிப்பு பூஜ்ஜியத்திலிருந்து வேறுபட்டிருக்கும் போது வெளிப்பாடுகளில் மாறிகள் இருப்பதற்கான அனைத்து நிகழ்வுகளையும் வரையறுத்து பரிசீலிக்க வேண்டும். இதைச் செய்ய, அசல் சமத்துவமின்மையில் உள்ள அனைத்து தொகுதிகளுக்கும் பொருந்தக்கூடிய சில சமத்துவமின்மை அமைப்பை நீங்கள் எழுத வேண்டும். ஏற்றத்தாழ்வுகள் எழுதப்பட வேண்டும், இதனால் அவை எண் வரிசையில் காணப்படும் மாறிக்கு கிடைக்கக்கூடிய மற்றும் சாத்தியமான அனைத்து மதிப்புகளையும் உள்ளடக்கும். பின்னர் நீங்கள் காட்சிப்படுத்தலுக்கு இதே எண் கோட்டை வரைய வேண்டும், அதில் பெறப்பட்ட அனைத்து மதிப்புகளையும் பின்னர் திட்டமிட வேண்டும்.

கிட்டத்தட்ட எல்லாவற்றையும் இப்போது இணையத்தில் செய்ய முடியும். தொகுதி விதிக்கு விதிவிலக்கல்ல. பல நவீன ஆதாரங்களில் ஒன்றை நீங்கள் ஆன்லைனில் தீர்க்கலாம். பூஜ்ஜிய தொகுதியில் உள்ள மாறியின் அனைத்து மதிப்புகளும் ஒரு சிறப்புத் தடையாக இருக்கும், இது மட்டு சமன்பாட்டைத் தீர்க்கும் செயல்பாட்டில் பயன்படுத்தப்படும். அசல் சமன்பாட்டில், வெளிப்பாட்டின் அடையாளத்தை மாற்றும் போது, கிடைக்கக்கூடிய அனைத்து மட்டு அடைப்புக்குறிகளையும் நீங்கள் திறக்க வேண்டும், இதனால் விரும்பிய மாறியின் மதிப்புகள் எண் வரிசையில் தெரியும் அந்த மதிப்புகளுடன் ஒத்துப்போகின்றன. இதன் விளைவாக சமன்பாடு தீர்க்கப்பட வேண்டும். சமன்பாட்டைத் தீர்க்கும் போது பெறப்படும் மாறியின் மதிப்பு, தொகுதியினால் குறிப்பிடப்பட்ட வரம்புக்கு எதிராகச் சரிபார்க்கப்பட வேண்டும். மாறியின் மதிப்பு நிபந்தனையை முழுமையாக பூர்த்தி செய்தால், அது சரியானது. சமன்பாட்டின் தீர்வின் போது பெறப்படும், ஆனால் கட்டுப்பாடுகளுக்கு பொருந்தாத அனைத்து வேர்களும் நிராகரிக்கப்பட வேண்டும்.

என் கருத்துப்படி, இந்த சிரமங்கள் அனைத்தும் ஒரு மாடுலஸுடன் சமன்பாடுகளைத் தீர்ப்பதற்கான தெளிவாக வடிவமைக்கப்பட்ட விதிகளின் பற்றாக்குறையுடன் தொடர்புடையவை. எனவே, ஒரு இருபடி சமன்பாட்டைத் தீர்க்கும் போது, மாணவர் முதலில் பாகுபாடு சூத்திரத்தையும், பின்னர் இருபடி சமன்பாட்டின் வேர்களுக்கான சூத்திரங்களையும் பயன்படுத்த வேண்டும் என்பதை உறுதியாக அறிவார். சமன்பாட்டில் ஒரு மாடுலஸ் காணப்பட்டால் என்ன செய்வது? சமன்பாடு மாடுலஸ் அடையாளத்தின் கீழ் அறியப்படாத ஒன்றைக் கொண்டிருக்கும் போது, வழக்குக்கான தேவையான செயல் திட்டத்தை தெளிவாக விவரிக்க முயற்சிப்போம். ஒவ்வொரு வழக்குக்கும் பல உதாரணங்களை தருவோம்.

ஆனால் முதலில், நினைவில் கொள்வோம் தொகுதி வரையறை. எனவே, எண்ணை மாடுலோ செய்யுங்கள் அஇந்த எண்ணே என்றால் அழைக்கப்படுகிறது அஎதிர்மறை அல்லாத மற்றும் -அ, எண் என்றால் அபூஜ்ஜியத்தை விட குறைவாக. நீங்கள் இதை இப்படி எழுதலாம்:

|அ| = a என்றால் a ≥ 0 மற்றும் |a| = -a என்றால் a< 0

இப்போது சமன்பாடுகளைத் தீர்ப்பதற்கு நேரடியாக செல்லலாம்.

(±c, c > 0 எனில்

என்றால் |x| = c, பின்னர் x = (0, என்றால் c = 0

(உடன் இருந்தால் வேர்கள் இல்லை< 0

1) |x| = 5, ஏனெனில் 5 > 0, பின்னர் x = ±5;

2) |x| = -5, ஏனெனில் -5< 0, то уравнение не имеет корней;

3) |x| = 0, பின்னர் x = 0.

1) |x + 2| = 4, ஏனெனில் 4 > 0, பின்னர்

x + 2 = 4 அல்லது x + 2 = -4

2) |x 2 – 5| = 11, ஏனெனில் 11 > 0, பின்னர்

x 2 – 5 = 11 அல்லது x 2 – 5 = -11

x 2 = 16 x 2 = -6

x = ± 4 வேர்கள் இல்லை

3) |x 2 – 5x| = -8, ஏனெனில் -8< 0, то уравнение не имеет корней.

f(x) = g(x)அல்லது f(x) = -g(x).

1. ஓ.டி.இசட். 5x - 10 ≥ 0

2. தீர்வு:

2x – 1 = 5x – 10 அல்லது 2x – 1 = -(5x – 10)

3. நாங்கள் O.D.Z ஐ இணைக்கிறோம். மற்றும் தீர்வு, நாங்கள் பெறுகிறோம்:

பதில்: x = 3

2) |x – 1| = 1 – x 2 .

(1 – x)(1 + x) ≥ 0

2. தீர்வு:

x – 1 = 1 – x 2 அல்லது x – 1 = -(1 – x 2)

x 2 + x – 2 = 0 x 2 – x = 0

x = -2 அல்லது x = 1 x = 0 அல்லது x = 1

3. தீர்வு மற்றும் O.D.Z. ஆகியவற்றை இணைக்கிறோம்:

x = 1 மற்றும் x = 0 ஆகிய வேர்கள் மட்டுமே பொருத்தமானவை.

பதில்: x = 0, x = 1.

1) |x 2 – 5x + 7| = |2x – 5|. இந்த சமன்பாடு பின்வரும் இரண்டிற்குச் சமம்:

x 2 – 5x + 7 = 2x – 5 அல்லது x 2 – 5x +7 = -2x + 5

x 2 – 7x + 12 = 0 x 2 – 3x + 2 = 0

x = 3 அல்லது x = 4 x = 2 அல்லது x = 1

பதில்: x = 1, x = 2, x = 3, x = 4.

5. மாற்று முறை மூலம் தீர்க்கப்படும் சமன்பாடுகள் (மாறி மாற்று). இந்த தீர்வு முறை ஒரு குறிப்பிட்ட உதாரணத்துடன் விளக்க எளிதானது. எனவே, மாடுலஸுடன் ஒரு இருபடிச் சமன்பாட்டைக் கொடுக்கலாம்:

|x| 2 – 6|x| + 5 = 0. பதிலீடு செய்யலாம் |x| = t ≥ 0, பிறகு நம்மிடம் இருக்கும்:

|x| = 1 அல்லது |x| = 5

x = ±1 x = ±5

பதில்: x = -5, x = -1, x = 1, x = 5.

மற்றொரு உதாரணத்தைப் பார்ப்போம்:

x 2 + |x| – 2 = 0. மாடுலஸ் சொத்தின் மூலம் x 2 = |x| 2, எனவே

|x| 2 + |x| – 2 = 0. பதிலீடு செய்யலாம் |x| = t ≥ 0, பின்னர்:

|x| = -2 அல்லது |x| = 1

வேர்கள் இல்லை x = ± 1

பதில்: x = -1, x = 1.

3 – |x| = 4 அல்லது 3 – |x| = -4.

பதில் x = -7, x = 7.

2) |3 + |x + 1|| = 5. இந்த சமன்பாட்டை இதே வழியில் தீர்க்கிறோம்:

3 + |x + 1| = 5 அல்லது 3 + |x + 1| = -5

|x + 1| = 2 |x + 1| = -8

x + 1 = 2 அல்லது x + 1 = -2. வேர்கள் இல்லை.

பதில்: x = -3, x = 1.