Y es la raíz de x al cuadrado. Raíz cuadrada. Guía completa (2019)

Considera la función y=√x. La gráfica de esta función se muestra en la siguiente figura.

Gráfica de la función y=√x

Como puedes ver, la gráfica se parece a una parábola rotada, o más bien a una de sus ramas. Obtenemos una rama de la parábola x=y^2. Se puede ver en la figura que el gráfico toca el eje Oy solo una vez, en el punto con coordenadas (0; 0).
Ahora vale la pena señalar las principales propiedades de esta función.

Propiedades de la función y=√x

1. El dominio de la función es un rayo.

Responder. D(f) = [-1,4].

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Propiedades de gráficos y funciones en = │Oh│ (módulo)

Considere la función en = │Oh│, donde pero- un número determinado.

Alcance de la definición funciones en = │Oh│, es el conjunto de todos los números reales. La figura muestra respectivamente gráficas de funciones en = │X│, en = │ 2x │, en = │X/2│.

Puedes ver que la gráfica de la función en = | Oh| obtenido de la gráfica de la función en = Oh, si la parte negativa de la gráfica de la función en = Oh(está debajo del eje O X), reflexionar simétricamente este eje.

El gráfico es fácil de ver. propiedades funciones en = │ Oh │.

En X= 0, obtenemos en= 0, es decir, el origen de coordenadas pertenece a la gráfica de la función; en X= 0, obtenemos en> 0, es decir, todos los demás puntos del gráfico se encuentran por encima del eje O X.

Para valores opuestos X, valores en será lo mismo; eje O en este es el eje de simetría del gráfico.

Por ejemplo, puede trazar la función en = │X 3│. Para comparar características en = │X 3 │y en = X 3, haremos una tabla de sus valores con los mismos valores de los argumentos.

De la tabla vemos que para graficar la función en = │X 3 │, puedes empezar trazando la función en = X 3 . Después de eso, se encuentra simétricamente al eje O. X mostrar la parte que está debajo de este eje. Como resultado, obtenemos el gráfico que se muestra en la figura.

Propiedades de gráficos y funciones en = X 1/2 (raíz)

Considere la función en = X 1/2 .

Alcance de la definición de esta función es el conjunto de los números reales no negativos, ya que la expresión X 1/2 solo importa cuando X > 0.

Construyamos un gráfico. Para compilar una tabla de sus valores, usamos una microcalculadora, redondeando los valores de la función a décimas.

Después de dibujar puntos en el plano de coordenadas y su conexión suave, obtenemos gráfico de función en = X 1/2 .

El gráfico construido nos permite formular algunas propiedades funciones en = X 1/2 .

En X= 0, obtenemos en= 0; en X> 0, obtenemos en> 0; la gráfica pasa por el origen; los puntos restantes del gráfico se ubican en el primer cuarto de coordenadas.

Teorema. Gráfico de función en = X 1/2 es simétrica a la gráfica de la función en = X 2, donde X> 0, relativamente recto en = X.

Prueba. Gráfico de función en = X 2, donde X> 0 es la rama de la parábola ubicada en el primer cuadrante de coordenadas. Deja que el punto R (pero; B) es un punto arbitrario de este gráfico. entonces la igualdad es verdadera B = pero 2. Dado que, según la condición, el número pero es no negativo, entonces la igualdad también es verdadera pero= B 1/2. Y esto significa que las coordenadas del punto q (B; pero) transformar la fórmula en = X 1/2 a la verdadera igualdad, o de lo contrario, punto q (B; pero en= X 1/2 .

También se demuestra que si el punto METRO (desde; D) pertenece a la gráfica de la función en = X 1/2 luego punto norte (D; desde) pertenece al grafo en = X 2, donde X > 0.

Resulta que cada punto R(pero; B) gráfico de función en = X 2, donde X> 0, solo un punto coincide q (B; pero) gráfico de función en = X 1/2 y viceversa.

Queda por demostrar que los puntos R (pero; B) Y q (B; pero) son simétricas con respecto a la recta en = X. Dejar caer perpendiculares a los ejes de coordenadas desde los puntos R Y q, obtenemos puntos en estos ejes mi(pero; 0), D (0; B), F (B; 0), DESDE (0; pero). Punto R intersecciones de perpendiculares RE Y control de calidad tiene coordenadas ( pero; pero) y por lo tanto pertenece a la línea en = X. Triángulo PRQ es isósceles, ya que sus lados PR Y RQ igual │ B – pero│ cada uno. Derecho en = X bisecar como un ángulo DOF, también lo es el ángulo PRQ y cruza la línea PQ en un cierto punto S. Por lo tanto, el segmento RS es la bisectriz del triangulo PRQ. Como la bisectriz de un triángulo isósceles es su altura y mediana, entonces PQ ┴ RS Y PD = QS. Y esto significa que los puntos R (pero; B) Y q (B; pero) simétrica con respecto a la recta en = X.

Como la gráfica de la función en = X 1/2 es simétrica a la gráfica de la función en = X 2, donde X> 0, relativamente recto en= X, entonces la gráfica de la función en = X 1/2 es una rama de la parábola.

Lección y presentación sobre el tema: "Funciones de potencia. Raíz cúbica. Propiedades de la raíz cúbica".

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Definición de una función de potencia - raíz cúbica

Chicos, seguimos estudiando. funciones de potencia. Hoy vamos a hablar de la función Raíz Cúbica de x.
¿Qué es una raíz cúbica?
Un número y se llama raíz cúbica de x (raíz de tercer grado) si $y^3=x$ es verdadero.
Se denotan como $\sqrt(x)$, donde x es el número raíz, 3 es el exponente.
$\sqrt(27)=3$; $3^3=27$.
$\sqrt((-8))=-2$; $(-2)^3=-8$.
Como podemos ver, la raíz cúbica también se puede extraer de números negativos. Resulta que nuestra raíz existe para todos los números.
La raíz tercera de un número negativo es igual a un número negativo. Cuando se eleva a una potencia impar, el signo se conserva, la tercera potencia es impar.

Comprobemos la igualdad: $\sqrt((-x))$=-$\sqrt(x)$.
Sean $\sqrt((-x))=a$ y $\sqrt(x)=b$. Elevemos ambas expresiones a la tercera potencia. $–x=a^3$ y $x=b^3$. Entonces $a^3=-b^3$ o $a=-b$. En la notación de las raíces obtenemos la identidad deseada.

Propiedades de las raíces cúbicas

a) $\raíz cuadrada(a*b)=\raíz cuadrada(a)*\raíz cuadrada(6)$.
b) $\sqrt(\frac(a)(b))=\frac(\sqrt(a))(\sqrt(b))$.

Probemos la segunda propiedad. $(\sqrt(\frac(a)(b)))^3=\frac(\sqrt(a)^3)(\sqrt(b)^3)=\frac(a)(b)$.
Encontramos que el número $\sqrt(\frac(a)(b))$ en el cubo es igual a $\frac(a)(b)$ y luego es igual a $\sqrt(\frac(a) (b))$, que y necesitaba ser probado.

Chicos, tracemos nuestro gráfico de función.
1) El dominio de definición es el conjunto de los números reales.
2) La función es impar porque $\sqrt((-x))$=-$\sqrt(x)$. Luego, considere nuestra función para $x≥0$, luego refleje el gráfico en relación con el origen.
3) La función crece para $х≥0$. Para nuestra función, un valor mayor del argumento corresponde a un valor mayor de la función, lo que significa que aumenta.
4) La función no está limitada desde arriba. De hecho, de lo que sea un número grande podemos calcular la tercera raíz, y podemos movernos hasta el infinito, encontrando todos grandes valores argumento.
5) Para $x≥0$, el valor más pequeño es 0. Esta propiedad es obvia.
Construyamos una gráfica de la función por puntos para x≥0.

Construyamos nuestro gráfico de la función en todo el dominio de definición. Recuerda que nuestra función es impar.

Propiedades de la función:
1) D(y)=(-∞;+∞).
2) Función impar.
3) Aumenta en (-∞;+∞).
4) Ilimitado.
5) No hay valor mínimo ni máximo.

7) E(y)= (-∞;+∞).
8) Convexo hacia abajo por (-∞;0), convexo hacia arriba por (0;+∞).

Ejemplos de resolución de funciones de potencia

Ejemplos
1. Resuelve la ecuación $\sqrt(x)=x$.
Solución. Construyamos dos gráficos en el mismo plano de coordenadas $y=\sqrt(x)$ y $y=x$.

Como puede ver, nuestras gráficas se intersecan en tres puntos.
Respuesta: (-1;-1), (0;0), (1;1).

2. Construya un gráfico de la función. $y=\sqrt((x-2))-3$.
Solución. Nuestra gráfica se obtiene a partir de la gráfica de la función $y=\sqrt(x)$, desplazando en paralelo dos unidades a la derecha y tres unidades hacia abajo.

3. Construya un gráfico de función y léalo. $\begin(casos)y=\sqrt(x), x≥-1\\y=-x-2, x≤-1 \end(casos)$.
Solución. Construyamos dos gráficas de funciones en el mismo plano de coordenadas, teniendo en cuenta nuestras condiciones. Para $х≥-1$ construimos un gráfico de la raíz cúbica, para $х≤-1$ el gráfico función lineal.
1) D(y)=(-∞;+∞).
2) La función no es ni par ni impar.
3) Disminuye en (-∞;-1), aumenta en (-1;+∞).
4) Ilimitado desde arriba, limitado desde abajo.
5) mayor valor no. El valor más pequeño es menos uno.
6) La función es continua en toda la recta real.
7) E(y)= (-1;+∞).

Tareas para solución independiente

1. Resuelve la ecuación $\sqrt(x)=2-x$.
2. Trace la función $y=\sqrt((x+1))+1$.
3. Construya un gráfico de la función y léalo. $\begin(casos)y=\sqrt(x), x≥1\\y=(x-1)^2+1, x≤1 \end(casos)$.