El nodo y el golpe de números es el divisor común más grande y el múltiplo común más pequeño de varios números. "Enteros. Signos de divisibilidad. GCD y NOC
Encontrar el máximo común divisor de tres o más números se puede reducir a encontrar secuencialmente el MCD de dos números. Mencionamos esto cuando estudiamos las propiedades de GCD. Allí formulamos y probamos un teorema: el máximo común divisor de varios números a 1, a 2, ..., a k igual al número d kque se encuentra en el cálculo secuencial MCD (a 1, a 2) \u003d d 2, MCD (d 2, a 3) \u003d d 3, MCD (d 3, a 4) \u003d d 4, …,MCD (d k-1, a k) \u003d d k.
Veamos cómo se ve el proceso de encontrar el MCD de varios números, después de considerar la solución del ejemplo.
Ejemplo.
Encuentra el máximo común divisor de cuatro números 78 , 294 , 570 y 36 .
Decisión.
En este ejemplo a 1 \u003d 78, a 2 \u003d 294, a 3 \u003d 570, a 4 \u003d 36.
Primero, mediante el algoritmo euclidiano, determinamos el factor común más grande d 2 dos primeros números 78 y 294 . Al dividir, obtenemos las igualdades 294 \u003d 78,3 + 60; 78 \u003d 601 + 18;60 \u003d 18,3 + 6 y 18 \u003d 6 · 3. Así, d 2 \u003d MCD (78, 294) \u003d 6.
Ahora calcular d 3 \u003d MCD (d 2, a 3) \u003d MCD (6, 570). Nuevamente aplicamos el algoritmo euclidiano: 570 \u003d 695por lo tanto d 3 \u003d MCD (6, 570) \u003d 6.
Queda por calcular d 4 \u003d MCD (d 3, a 4) \u003d MCD (6, 36). Como 36 dividido por 6 luego d 4 \u003d MCD (6, 36) \u003d 6.
Por lo tanto, el máximo común divisor de cuatro números dados es d 4 \u003d 6es decir MCD (78, 294, 570, 36) \u003d 6.
Responder:
MCD (78, 294, 570, 36) \u003d 6.
La factorización simple de números también le permite calcular el MCD de tres o más números. En este caso, el mayor factor común se encuentra como el producto de todos los factores primos comunes de números dados.
Ejemplo.
Calcule el MCD de los números del ejemplo anterior usando sus factorizaciones primas.
Decisión.
Descomponer números 78 , 294 , 570 y 36 por factores primos, obtenemos 78 \u003d 2 · 3 · 13,294 \u003d 2 · 3 · 7 · 7, 570 \u003d 2 · 3 · 5 · 19, 36 \u003d 2 · 2 · 3 · 3. Los factores primos comunes de todos estos cuatro números son números 2 y 3 . Por lo tanto, MCD (78, 294, 570, 36) \u003d 2 · 3 \u003d 6.
Responder:
MCD (78, 294, 570, 36) \u003d 6.
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Encontrar números negativos de MCD
Si uno, varios o todos los números cuyo mayor divisor se encuentra son números negativos, entonces su MCD es igual al mayor divisor común de los módulos de estos números. Esto se debe al hecho de que números opuestos una y −a tienen los mismos divisores, de los que hablamos cuando estudiamos las propiedades de la divisibilidad.
Ejemplo.
Encuentra el MCD de enteros negativos −231 y −140 .
Decisión.
El valor absoluto de un número. −231 es igual a 231 y el módulo del número −140 es igual a 140 y MCD (−231, −140) \u003d MCD (231, 140). El algoritmo euclidiano nos da las siguientes igualdades: 231 \u003d 1401 + 91; 140 \u003d 911 + 49; 91 \u003d 491 + 42; 49 \u003d 421 + 7 y 42 \u003d 7.6. Por lo tanto, MCD (231, 140) \u003d 7. Entonces el mayor divisor común deseado de números negativos −231 y −140 es igual a 7 .
Responder:
MCD (−231, −140) \u003d 7.
Ejemplo.
Definir el MCD de tres números. −585 , 81 y −189 .
Decisión.
Al encontrar el máximo común divisor, los números negativos se pueden reemplazar por sus valores absolutos, es decir, MCD (−585, 81, −189) \u003d MCD (585, 81, 189). Expansiones de números 585 , 81 y 189 los factores primos tienen respectivamente la forma 585 \u003d 3 · 3 · 5 · 13, 81 \u003d 3 · 3 · 3 · 3 y 189 \u003d 3 · 3 · 3 · 7. Los factores primos comunes de estos tres números son 3 y 3 . Luego MCD (585, 81, 189) \u003d 3 · 3 \u003d 9por lo tanto MCD (−585, 81, −189) \u003d 9.
Responder:
MCD (−585, 81, −189) \u003d 9.
35. Las raíces del polinomio. Teorema de Bezout. (33 y superior)
36. Raíces múltiples, criterio de multiplicidad de la raíz.
El mínimo común múltiplo de dos números está directamente relacionado con el mayor divisor común de estos números. Esta la relación entre NOD y NOC está determinado por el siguiente teorema.
Teorema.
El mínimo común múltiplo de dos enteros positivos a y b es igual al producto de los números a y b dividido por el divisor común más grande de a y b, es decir, NOC (a, b) \u003d ab: MCD (a, b).
Evidencia.
Permitir M es un múltiplo de a y b. Es decir, M es divisible por a, y por la definición de divisibilidad existe un número entero k tal que la igualdad M \u003d a · k es verdadera. Pero M también es divisible por b, entonces a · k es divisible por b.
Denote GCD (a, b) como d. Entonces podemos escribir las igualdades a \u003d a 1 · d y b \u003d b 1 · d, y a 1 \u003d a: d y b 1 \u003d b: d serán números coprimos. Por lo tanto, la condición obtenida en el párrafo anterior de que a · k es divisible por b puede reformularse de la siguiente manera: a 1 · d · k es divisible por b 1 · d, y esto, debido a las propiedades de divisibilidad, es equivalente a la condición de que a 1 · k es divisible por b 1)
También necesitamos escribir dos corolarios importantes del teorema considerado.
Los múltiplos comunes de dos números coinciden con los múltiplos de su múltiplo común más pequeño.
Esto es cierto, ya que cualquier múltiplo común M de los números a y b está determinado por la igualdad M \u003d LCM (a, b) · t para algún valor entero de t.
El mínimo común múltiplo de números positivos coprimos a y b es igual a su producto.
La justificación de este hecho es bastante obvia. Como ayb son coprimos, MCD (a, b) \u003d 1, por lo tanto, NOC (a, b) \u003d a · b: MCD (a, b) \u003d a · b: 1 \u003d a · b.
Mínimo común múltiplo de tres o más números
Encontrar el mínimo común múltiplo de tres o más números se puede reducir a encontrar secuencialmente el NOC de dos números. Cómo se hace esto se indica en el siguiente teorema: A 1, a 2, ..., a k coinciden con los números múltiples comunes m k-1 y a k, por lo tanto, coinciden con los números múltiples m k. Y como el mínimo positivo de m k es el número m k en sí, el mínimo común múltiplo de a 1, a 2, ..., a k es m k.
Lista de referencias.
- Vilenkin N.Ya. y otras matemáticas Grado 6: un libro de texto para instituciones educativas.
- Vinogradov I.M. Fundamentos de la teoría de números.
- Michelovich Sh.Kh. Teoría de los números
- Kulikov L.Ya. et al.Colección de problemas en álgebra y teoría de números: un libro de texto para estudiantes de matemática física. especialidades de institutos pedagógicos.
Definición El número entero positivo más grande, que es divisible sin el resto de los números a y b, se llama máximo común divisor (MCD) estos números.
Encuentra el divisor común más grande de los números 24 y 35.
Los divisores 24 serán los números 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24, y los divisores 35 serán los números 1, 5, 7, 35.
Vemos que los números 24 y 35 tienen solo un factor común: el número 1. Dichos números se llaman mutuamente simple.
Definición Los números naturales se llaman mutuamente simplesi su máximo común divisor (MCD) es 1.
El máximo común divisor (MCD) se puede encontrar sin escribir todos los divisores de los números dados.
Factoriza los números 48 y 36, obtenemos:
48 = 2 * 2 * 2 * 2 * 3, 36 = 2 * 2 * 3 * 3.
De los factores incluidos en la expansión del primero de estos números, tache los que no están incluidos en la expansión del segundo número (es decir, dos deuces).
Quedan los factores 2 * 2 * 3. Su producto es 12. Este número es el máximo común divisor de 48 y 36. También encuentran el máximo común divisor de tres o más números.
Encontrar máximo común divisor
2) de los factores incluidos en la expansión de uno de estos números, tache los que no están incluidos en la expansión de otros números;
3) encuentra el producto de los factores restantes.
Si todos los números dados se dividen por uno de ellos, entonces este número es máximo común divisor Números dados
Por ejemplo, el máximo común divisor de los números 15, 45, 75 y 180 será el número 15, ya que todos los demás números se dividen en él: 45, 75 y 180.
Mínimo común múltiplo (NLC)
Definición Mínimo común múltiplo (NLC) los enteros positivos a y b son los enteros positivos más pequeños que son múltiplos de a y b. El mínimo común múltiplo (LCL) de los números 75 y 60 se puede encontrar sin escribir múltiplos consecutivos de estos números. Para hacer esto, descomponemos 75 y 60 en factores simples: 75 \u003d 3 * 5 * 5, y 60 \u003d 2 * 2 * 3 * 5.
Escribimos los factores incluidos en la expansión del primero de estos números y sumamos los factores faltantes 2 y 2 de la expansión del segundo número (es decir, combinamos los factores).
Obtenemos cinco factores 2 * 2 * 3 * 5 * 5, cuyo producto es 300. Este número es el mínimo común múltiplo de 75 y 60.
También encuentran el mínimo común múltiplo para tres o más números.
A encuentra el mínimo común múltiplo varios números naturales, es necesario:
1) descomponerlos en factores primos;
2) escriba los factores incluidos en la expansión de uno de los números;
3) agregue a ellos los factores que faltan de las descomposiciones de los números restantes;
4) encuentra el producto de los factores resultantes.
Tenga en cuenta que si uno de estos números es divisible por todos los demás números, entonces este número es el múltiplo común más pequeño de estos números.
Por ejemplo, el mínimo común múltiplo de 12, 15, 20 y 60 será 60, ya que se divide entre todos los números dados.
Pitágoras (siglo VI a. C.) y sus alumnos estudiaron la cuestión de la divisibilidad de los números. Un número igual a la suma de todos sus divisores (sin el número en sí), llamaron al número perfecto. Por ejemplo, los números 6 (6 \u003d 1 + 2 + 3), 28 (28 \u003d 1 + 2 + 4 + 7 + 14) son perfectos. Los siguientes números perfectos son 496, 8128, 33 550 336. Los pitagóricos solo conocían los tres primeros números perfectos. El cuarto - 8128 - se hizo conocido en el siglo primero. norte mi. El quinto - 33,550,336 - fue encontrado en el siglo XV. Para 1983, ya se conocían 27 números perfectos. Pero hasta ahora, los científicos no saben si hay números perfectos impares, si existe el número perfecto más grande.
El interés de los antiguos matemáticos en los números primos se debe al hecho de que cualquier número es primo o puede representarse como un producto de números primos, es decir, los números primos son como los ladrillos a partir de los cuales se construyen los números naturales restantes.
Probablemente hayas notado que los números primos en una serie de números naturales son desiguales; en algunas partes de la serie hay más, en otras, menos. Pero cuanto más nos movemos a lo largo de la recta numérica, los primos menos comunes son. Surge la pregunta: ¿hay un último (primo) número primo? El antiguo matemático griego Euclides (siglo III aC) en su libro "Principios", que durante dos mil años fue el principal libro de texto de matemáticas, demostró que hay infinitos números primos, es decir, hay un número primo aún mayor detrás de cada número primo número.
Para encontrar números primos, otro matemático griego de la misma época, Eratóstenes, inventó dicho método. Anotó todos los números del 1 a cierto número, y luego eliminó una unidad que no es un número primo ni compuesto, luego tachó todos los números que vienen después del 2 (números divisibles por 2, es decir, 4, 6 , 8, etc.). El primer número restante después de 2 fue 3. Luego, los dos números después de 3 se eliminaron después de dos (números que son múltiplos de 3, es decir, 6, 9, 12, etc.). al final, solo los números primos permanecieron sin cruzar.
Segundo número: b \u003d
Separador de bits Sin espacio delimitador "´
Resultado:
El máximo común divisor de MCD ( una,si)=6
Mínimo común múltiplo NOC ( una,si)=468
El número entero positivo más grande por el cual los números a y b son divisibles sin resto se llama máximo común divisor (MCD) de estos números. MCD designado (a, b), (a, b), mcd (a, b) o hcf (a, b).
Minimo común multiplo (NOC) de dos enteros a y b es el entero positivo más pequeño que es divisible por ayb sin resto. Se designa NOC (a, b) o mcm (a, b).
Los enteros ayb se llaman mutuamente simplesi no tienen factores comunes que no sean +1 y −1.
Máximo común divisor
Deje que se den dos números positivos una 1 y una 2 1). Se requiere encontrar el divisor común de estos números, es decir encuentra ese número λ que divide números una 1 y una 2 al mismo tiempo. Describimos el algoritmo.
1) En este artículo, la palabra número se entenderá como un número entero.
Permitir una 1 ≥ una 2 y dejar
dónde metro 1 , una 3 algunos enteros una 3 <una 2 (resto de la división una 1 en una 2 debería ser menos una 2).
Vamos a pretender que λ divide una 1 y una 2 entonces λ divide metro 1 una 2 y λ divide una 1 −metro 1 una 2 =una 3 (Declaración 2 del artículo "Divisibilidad de los números. Un signo de divisibilidad"). Se deduce que cada divisor común una 1 y una 2 es un divisor común una 2 y una 3) Lo contrario también es cierto si λ factor común una 2 y una 3 entonces metro 1 una 2 y una 1 =metro 1 una 2 +una 3 también se dividen en λ . De ahí el factor común una 2 y una 3 también hay un divisor común una 1 y una 2) Como una 3 <una 2 ≤una 1, entonces podemos decir que la solución al problema de encontrar un divisor común de números una 1 y una 2 se reduce a un problema más simple de encontrar un divisor común de números una 2 y una 3 .
Si un una 3 ≠ 0, entonces se puede dividir una 2 en una 3) Luego
,
dónde metro 1 y una 4 algunos enteros, ( una 4 resto de división una 2 en una 3 (una 4 <una 3)). Por un razonamiento similar, concluimos que los divisores comunes de números una 3 y una 4 coinciden con divisores comunes de números una 2 y una 3, y también con divisores comunes una 1 y una 2) Como una 1 , una 2 , una 3 , una 4, ... números que disminuyen constantemente, y dado que hay un número finito de enteros entre una 2 y 0, luego en algún paso norte, resto de la división una n en una n + 1 será cero ( una n + 2 \u003d 0).
.
Cada divisor común λ números una 1 y una 2 también un divisor de números una 2 y una 3 , una 3 y una 4 , .... una n y una n + 1. Lo contrario también es cierto, divisores comunes de números una n y una n + 1 también son divisores de números una n - 1 y una n ... una 2 y una 3 , una 1 y una 2) Pero un divisor común de números una n y una n + 1 es el número una n + 1, porque una n y una n + 1 son divisibles por una n + 1 (recuerda que una n + 2 \u003d 0). Por lo tanto una n + 1 también es un divisor de números una 1 y una 2 .
Tenga en cuenta que el número una n + 1 es el mayor de los divisores de números una n y una n + 1, ya que el divisor más grande una n + 1 es en sí mismo una n + 1. Si un una n + 1 se puede representar como el producto de enteros, entonces estos números también son divisores comunes de números una 1 y una 2) Número una n + 1 se llama máximo común divisor números una 1 y una 2 .
Los números una 1 y una 2 pueden ser números positivos y negativos. Si uno de los números es cero, entonces el máximo común divisor de estos números será igual al valor absoluto del otro número. El máximo común divisor de números cero no está definido.
El algoritmo anterior se llama algoritmo euclidianopara encontrar el máximo común divisor de dos enteros.
Un ejemplo de cómo encontrar el máximo común divisor de dos números.
Encuentra el máximo común divisor de los dos números 630 y 434.
- Paso 1. Divide el número 630 por 434. El resto es 196.
- Paso 2. Divide el número 434 por 196. El resto es 42.
- Paso 3. Divide el número 196 por 42. El resto es 28.
- Paso 4. Divide el número 42 entre 28. El resto es 14.
- Paso 5. Divide el número 28 por 14. El resto es 0.
En el paso 5, el resto de la división es 0. Por lo tanto, el máximo común divisor de los números 630 y 434 es 14. Tenga en cuenta que los números 2 y 7 también son divisores de los números 630 y 434.
Números primos mutuos
Definición 1. Deje que el mayor divisor común de números una 1 y una 2 es igual a uno. Entonces estos números se llaman números primos mutuosNo tener un divisor común.
Teorema 1. Si un una 1 y una 2 son números coprimos, y λ algún número, luego cualquier divisor común de números λa 1 y una 2 también es un divisor de números común λ y una 2 .
Evidencia. Considere el algoritmo euclidiano para encontrar el divisor común más grande de números una 1 y una 2 (ver arriba).
.
De las condiciones del teorema se deduce que el máximo común divisor de números una 1 y una 2, y por lo tanto una n y una n + 1 es 1. es decir una n + 1 \u003d 1.
Multiplica todas estas igualdades por λ luego
.
Deja que el factor común una 1 λ y una 2 comer δ . Luego δ es un factor en una 1 λ , metro 1 una 2 λ y en una 1 λ -metro 1 una 2 λ =una 3 λ (ver "Divisibilidad de los números", Proposición 2). Más lejos δ es un factor en una 2 λ y metro 2 una 3 λ y, por lo tanto, es un factor en una 2 λ -metro 2 una 3 λ =una 4 λ .
Razonamiento por lo que estamos convencidos de que δ es un factor en una n - 1 λ y metro n - 1 una norte λ y por lo tanto en una n - 1 λ −metro n - 1 una norte λ =una n + 1 λ . Como una n + 1 \u003d 1, entonces δ es un factor en λ . De ahí el número δ es un divisor de números común λ y una 2 .
Consideramos casos particulares del Teorema 1.
Consecuencia 1. Permitir una y c los números primos son relativamente si. Entonces su producto c.A es primo relativo a si.
De Verdad. Del teorema 1 c.A y si tienen los mismos divisores comunes que c y si. Pero los numeros c y si mutuamente simple, es decir tener un solo factor común 1. Entonces c.A y si también tienen un único factor común 1. Por lo tanto c.A y si mutuamente simple
Consecuencia 2. Permitir una y si números coprime y dejar si divide alaska. Luego si divide y k.
De Verdad. De la condición de la declaración alaska y si tener un divisor común si. En virtud del teorema 1, si debe ser un divisor común si y k. Por lo tanto si divide k.
El corolario 1 puede ser generalizado.
Consecuencia 3. 1. Deja que los números una 1 , una 2 , una 3 , ..., una m prima con respecto al número si. Luego una 1 una 2 , una 1 una 2 una 3 , ..., una 1 una 2 una 3 ··· una m, el producto de estos números es primo con respecto al número si.
2. Tengamos dos filas de números.
tal que cada número en la primera fila es primo con respecto a cada número en la segunda fila. Entonces el producto
Se requiere encontrar dichos números que sean divisibles por cada uno de estos números.
Si el número es divisible por una 1, entonces tiene la forma sa 1 donde s algún número Si un q es el mayor divisor común de números una 1 y una 2 entonces
dónde s 1 es un número entero. Luego
es un pequeño común múltiplo una 1 y una 2 .
una 1 y una 2 son números coprimos, entonces el mínimo común múltiplo de números una 1 y una 2:
Necesitas encontrar el mínimo común múltiplo de estos números.
De lo anterior, se deduce que cualquier múltiplo de números una 1 , una 2 , una 3 debe ser un múltiplo de números ε y una 3, y viceversa. Deja que el mínimo común múltiplo de números ε y una 3 come ε 1) Luego, un múltiplo de números una 1 , una 2 , una 3 , una 4 debe ser un múltiplo de números ε 1 y una 4) Deja que el mínimo común múltiplo de números ε 1 y una 4 comer ε 2) Por lo tanto, descubrimos que todos los números múltiples una 1 , una 2 , una 3 ,...,una m coincide con múltiplos de cierto número ε n, que se llama el múltiplo común más pequeño de números dados.
En el caso particular cuando los números una 1 , una 2 , una 3 ,...,una m son números coprimos, entonces el mínimo común múltiplo de números una 1 , una 2 como se muestra arriba tiene la forma (3). Además, desde una 3 primos con respecto a los números una 1 , una 2 entonces una 3 primos con respecto al número una 1 · una 2 (Corolario 1). Entonces, el mínimo común múltiplo de números una 1 ,una 2 ,una 3 es un número una 1 · una 2 una 3) Discutiendo de manera similar, llegamos a las siguientes declaraciones.
Declaración 1. Mínimo común múltiplo de mutuamente primo una 1 , una 2 , una 3 ,...,una m es igual a su producto una 1 · una 2 una 3 ··· una metro.
Declaración 2. Cualquier número que sea divisible por cada uno de los números coprimos una 1 , una 2 , una 3 ,...,una m también se divide por su producto una 1 · una 2 una 3 ··· una metro.
El número entero positivo más grande, en el que los números a y b son divisibles sin resto, se llama máximo común divisor estos números. Designar GCD (a, b).
Considere el hallazgo de MCD usando el ejemplo de dos números naturales 18 y 60:
18 = 2 × 3 × 3
60 = 2 × 2 × 3 × 5
18 = 2 × 3 × 3
60 = 2 × 2 × 3 × 5
324 , 111 y 432
Descomponemos los números en factores primos:
324 = 2 × 2 × 3 × 3 × 3 × 3
111 = 3 × 37
432 = 2 × 2 × 2 × 2 × 3 × 3 × 3
Tachado del primer número, cuyos factores no están en el segundo y tercer número, obtenemos:
2 × 2 × 2 × 2 × 3 × 3 × 3 \u003d 3
Como resultado de GCD ( 324 , 111 , 432 )=3
Encontrar GCD usando el algoritmo euclidiano
La segunda forma de encontrar el máximo divisor común con algoritmo euclidiano. El algoritmo euclidiano es la forma más eficiente de encontrar GCDPara usarlo, debe encontrar constantemente el resto de la división de números y aplicar fórmula de recurrencia.
Fórmula de recurrencia para GCD, MCD (a, b) \u003d MCD (b, a mod b), donde a mod b es el resto de dividir a por b.
Algoritmo Euclidiano
Ejemplo Encuentra el máximo divisor común de números 7920 y 594
Encuentra el MCD ( 7920 , 594 ) usando el algoritmo euclidiano, calcularemos el resto de la división usando una calculadora.
- 7920 mod 594 \u003d 7920 - 13 × 594 \u003d 198
- 594 mod 198 \u003d 594 - 3 × 198 \u003d 0
Como resultado, obtenemos GCD ( 7920 , 594 ) = 198
Minimo común multiplo
Para encontrar un denominador común al sumar y restar fracciones con diferentes denominadores, debe saber y poder calcular minimo común multiplo (NOC)
Un múltiplo del número "a" es un número que es divisible por el número "a" sin un resto.
Los números son múltiplos de 8 (es decir, estos números se dividen entre 8 sin resto): estos son los números 16, 24, 32 ...
Múltiplos de 9: 18, 27, 36, 45 ...
Los números que son múltiplos de un número dado a son infinitos, a diferencia de los divisores del mismo número. Divisores: el número final.
Un múltiplo común de dos números naturales es un número que es divisible por ambos números..
Minimo común multiplo (NOC) de dos o más números naturales se llama el número natural más pequeño, que está completamente dividido por cada uno de estos números.
Cómo encontrar un NOC
Un NOC se puede encontrar y registrar de dos maneras.
La primera forma de encontrar el NOC
Este método se usa generalmente para números pequeños.
- Escribimos en la línea los múltiplos para cada uno de los números, hasta que haya un múltiplo, igual para ambos números.
- El múltiplo del número "a" se denota con la letra mayúscula "K".
Ejemplo. Encuentra los NOC 6 y 8.
La segunda forma de encontrar el NOC
Este método es conveniente para encontrar el NOC para tres o más números.
El número de factores idénticos en las descomposiciones de números puede ser diferente.
NOC (24, 60) \u003d 2 · 2 · 3 · 5 · 2
Respuesta: NOC (24, 60) \u003d 120
Para encontrar el mínimo común múltiplo (LCL) también puede ser como sigue. Encuentra el NOC (12, 16, 24).
24 \u003d 2 · 2 · 2 · 3
Como vemos en la descomposición de los números, todos los factores 12 están incluidos en la descomposición de 24 (el mayor de los números), por lo tanto, en el NOC agregamos solo un 2 de la descomposición del número 16.
NOC (12, 16, 24) \u003d 2 · 2 · 2 · 3 · 2 \u003d 48
Respuesta: NOC (12, 16, 24) \u003d 48
Casos especiales de encontrar NOC
Por ejemplo, NOC (60, 15) \u003d 60
Dado que los números primos mutuos no tienen divisores primos comunes, su mínimo común múltiplo es igual al producto de estos números.
En nuestro sitio, también puede usar la calculadora especial para encontrar el múltiplo común más bajo en línea para verificar sus cálculos.
Si un número natural se divide solo por 1 y por sí mismo, entonces se llama simple.
Cualquier número natural siempre se divide por 1 y por sí mismo.
El número 2 es el número primo más pequeño. Este es el único primo par, los primos restantes son impares.
Hay muchos números primos, y el primero de ellos es el número 2. Sin embargo, no hay último primo. En la sección "Para estudio" puede descargar una tabla de primos hasta 997.
Pero muchos números naturales también se dividen por completo en otros números naturales.
- el número 12 se divide por 1, 2, 3, 4, 6, 12;
- el número 36 se divide por 1, 2, 3, 4, 6, 12, 18, 36.
- descomponer divisores de números en factores primos;
Los números en los que se divide completamente el número (para 12 es 1, 2, 3, 4, 6 y 12) se denominan divisores del número.
El divisor de un número natural a es un número natural que divide un número dado "a" sin dejar resto.
Un número natural que tiene más de dos divisores se llama compuesto.
Tenga en cuenta que los números 12 y 36 tienen divisores comunes. Estos son los números: 1, 2, 3, 4, 6, 12. El mayor de los divisores de estos números es 12.
El divisor común de dos números dados "a" y "b" es el número por el cual ambos números dados "a" y "b" se dividen sin un resto.
Máximo común divisor (MCD) de dos números dados "a" y "b" es el número más grande por el cual ambos números "a" y "b" son divisibles sin un resto.
Brevemente, el divisor común más grande de los números "a" y "b" se escribe como:
Ejemplo: MCD (12; 36) \u003d 12.
Los divisores de números en el registro de decisiones se indican con una "D" mayúscula.
Los números 7 y 9 tienen solo un divisor común: el número 1. Estos números se llaman números primos mutuos.
Números primos mutuos son números naturales que tienen solo un factor común: el número 1. Su MCD es 1.
Cómo encontrar el mayor factor común
Para encontrar el MCD de dos o más números naturales necesitas:
Los cálculos se escriben convenientemente con una barra vertical. A la izquierda de la línea primero escribimos el dividendo, a la derecha el divisor. A continuación, en la columna izquierda, escriba los valores de los cocientes.
Expliquemos de inmediato con un ejemplo. Factoriza 28 y 64 en factores primos.
- Enfatizamos los mismos factores primos en ambos números.
28 \u003d 2 · 2 · 7
64 \u003d 2 · 2 · 2 · 2 · 2 · 2
Encuentre el producto de los mismos factores primos y escriba la respuesta;
MCD (28; 64) \u003d 2 · 2 \u003d 4
Respuesta: MCD (28; 64) \u003d 4
Hay dos formas de organizar la presencia de GCD: en una columna (como se hizo anteriormente) o "en una línea".
La primera forma de grabar el mcd
Encuentra GCD 48 y 36.
MCD (48; 36) \u003d 2 · 2 · 3 \u003d 12
La segunda forma de grabar el MCD
Ahora escribimos la solución para buscar GCD en la línea. Encuentra GCD 10 y 15.
En nuestro sitio de información, también puede usar el programa auxiliar para encontrar el divisor común más grande en línea para verificar sus cálculos.
Encontrar el mínimo común múltiplo, métodos, ejemplos de encontrar NOCs.
El material presentado a continuación es una continuación lógica de la teoría del artículo bajo el encabezado del NOC: el mínimo común múltiplo, definición, ejemplos, la relación entre el NOC y el MCD. Aquí hablamos de encontrar el mínimo común múltiplo (LCL), y prestaremos especial atención a resolver ejemplos. Primero, mostramos cómo se calcula el NOC de dos números a través del MCD de estos números. Luego, considere encontrar el mínimo común múltiplo descomponiendo los números en factores primos. Después de eso, nos centraremos en encontrar los NOC de tres o más números, y también prestaremos atención al cálculo de los NOC de números negativos.
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Cálculo del múltiplo común más pequeño (NLC) a través de GCD
Una forma de encontrar el múltiplo común más pequeño se basa en la relación entre el NOC y el MCD. La relación existente entre el NOC y el GCD nos permite calcular el mínimo común múltiplo de dos enteros positivos a través del factor común más grande conocido. La fórmula correspondiente tiene la forma NOC (a, b) \u003d ab: MCD (a, b) . Considere ejemplos de encontrar NOCs usando la fórmula anterior.
Encuentra el mínimo común múltiplo de dos números 126 y 70.
En este ejemplo, a \u003d 126, b \u003d 70. Utilizamos la conexión entre el NOC y el GCD, expresada por la fórmula NOC (a, b) \u003d a · b: GCD (a, b). Es decir, primero tenemos que encontrar el máximo común divisor de los números 70 y 126, después de lo cual podemos calcular el NOC de estos números usando la fórmula escrita.
Encontramos GCD (126, 70) usando el algoritmo euclidiano: 126 \u003d 701 + 56, 70 \u003d 561 + 14, 56 \u003d 14.4, por lo tanto, GCD (126, 70) \u003d 14.
Ahora encontramos el mínimo común múltiplo requerido: NOC (126, 70) \u003d 126 · 70: MCD (126, 70) \u003d 126 · 70: 14 \u003d 630.
¿Cuál es el NOC igual a (68, 34)?
Como 68 se divide completamente por 34, el MCD (68, 34) \u003d 34. Ahora calculamos el mínimo común múltiplo: NOC (68, 34) \u003d 68 · 34: MCD (68, 34) \u003d 68 · 34: 34 \u003d 68.
Tenga en cuenta que el ejemplo anterior se ajusta a la siguiente regla para encontrar LCL para enteros positivos a y b: si el número a es divisible por b, entonces el mínimo común múltiplo de estos números es a.
Encontrar NOCs factorizando números en factores primos
Otra forma de encontrar el múltiplo común más pequeño se basa en la descomposición de los números en factores primos. Si componimos un producto de todos los factores primos de números dados, y luego excluimos de este producto todos los factores primos comunes que están presentes en las descomposiciones de estos números, entonces el producto resultante será igual al mínimo común múltiplo de estos números.
La regla establecida para encontrar el NOC se deriva de la igualdad del NOC (a, b) \u003d a · b: MCD (a, b). De hecho, el producto de los números a y b es igual al producto de todos los factores involucrados en las descomposiciones de a y b. A su vez, MCD (a, b) es igual al producto de todos los factores primos presentes simultáneamente en las descomposiciones de ayb (que se describe en la sección sobre cómo encontrar MCD descomponiendo los números en factores primos).
Damos un ejemplo. Háganos saber que 75 \u003d 3 · 5 · 5 y 210 \u003d 2 · 3 · 5 · 7. Componga el producto de todos los factores de estas expansiones: 2 · 3 · 3 · 5 · 5 · 5 · 7. Ahora excluimos de este producto todos los factores que están presentes tanto en la expansión del número 75 como en la expansión del número 210 (3 y 5 son tales factores), entonces el producto tomará la forma 2 · 3 · 5 · 5 · 7. El valor de este producto es igual al mínimo común múltiplo de los números 75 y 210, es decir, NOC (75, 210) \u003d 2 · 3 · 5 · 5 · 7 \u003d 1,050.
Descomponiendo los números 441 y 700 en factores primos, encuentre el mínimo común múltiplo de estos números.
Factoriza 441 y 700 en factores primos: 
Obtenemos 441 \u003d 3 · 3 · 7 · 7 y 700 \u003d 2 · 2 · 5 · 5 · 7.
Ahora componimos el producto de todos los factores involucrados en la descomposición de estos números: 2 · 2 · 3 · 3 · 5 · 5 · 7 · 7 · 7. Excluimos de este producto todos los factores presentes simultáneamente en ambas expansiones (solo existe uno de estos factores: este es el número 7): 2 · 2 · 3 · 3 · 5 · 5 · 7 · 7. Por lo tanto, el NOC (441, 700) \u003d 2 · 2 · 3 · 3 · 5 · 5 · 7 · 7 \u003d 44100.
NOC (441, 700) \u003d 44100.
La regla para encontrar NOC utilizando la descomposición de números en factores primos se puede formular de manera un poco diferente. Si sumamos a los factores de la expansión del número a los factores que faltan de la expansión del número b, entonces el valor del producto resultante será igual al mínimo común múltiplo de los números a y b.
Por ejemplo, tomaremos los mismos números 75 y 210, sus descomposiciones en factores primos son los siguientes: 75 \u003d 3 · 5 · 5 y 210 \u003d 2 · 3 · 5 · 7. A los factores 3, 5 y 5 de la expansión del número 75, sumamos los factores que faltan 2 y 7 de la expansión del número 210, obtenemos el producto 2 · 3 · 5 · 5 · 7, cuyo valor es igual al LCL (75, 210).
Encuentra el mínimo común múltiplo de 84 y 648.
Primero obtenemos las descomposiciones de los números 84 y 648 en factores primos. Tienen la forma 84 \u003d 2 · 2 · 3 · 7 y 648 \u003d 2 · 2 · 2 · 3 · 3 · 3 · 3. A los factores 2, 2, 3 y 7 de la expansión del número 84, sumamos los factores que faltan 2, 3, 3 y 3 de la expansión del número 648, obtenemos el producto 2 · 2 · 2 · 3 · 3 · 3 · 3 · 7, que es 4 536 . Por lo tanto, el mínimo común múltiplo deseado de 84 y 648 es 4.536.
Encontrar NOCs de tres o más números
El múltiplo común más pequeño de tres o más números se puede encontrar al encontrar sucesivamente el NOC de dos números. Recordemos el teorema correspondiente, que da una manera de encontrar el LCL de tres o más números.
Sean enteros positivos a 1, a 2, ..., ak, el múltiplo común más pequeño mk de estos números se puede calcular calculando secuencialmente m 2 \u003d NOC (a 1, a 2), m 3 \u003d NOC (m 2, a 3), ... , mk \u003d NOC (mk - 1, ak).
Considere la aplicación de este teorema como un ejemplo de encontrar el mínimo común múltiplo de cuatro números.
Encuentre el NOC de los cuatro números 140, 9, 54 y 250.
Primero encontramos m 2 \u003d NOC (a 1, a 2) \u003d NOC (140, 9). Para esto, de acuerdo con el algoritmo euclidiano, determinamos el MCD (140, 9), tenemos 140 \u003d 9 · 15 + 5, 9 \u003d 5 · 1 + 4, 5 \u003d 4 · 1 + 1, 4 \u003d 1 · 4, por lo tanto, el MCD (140, 9) \u003d 1, de donde NOC (140, 9) \u003d 140 · 9: MCD (140, 9) \u003d 140 · 9: 1 \u003d 1,260. Es decir, m 2 \u003d 1.260.
Ahora encontramos m 3 \u003d NOC (m 2, a 3) \u003d NOC (1,260, 54). Lo calculamos a través del MCD (1 260, 54), que también está determinado por el algoritmo euclidiano: 1 260 \u003d 54 · 23 + 18, 54 \u003d 18 · 3. Entonces el MCD (1 260, 54) \u003d 18, de donde el NOC (1 260, 54) \u003d 1,260 · 54: el MCD (1,260, 54) \u003d 1,260 · 54: 18 \u003d 3,780. Es decir, m 3 \u003d 3,780.
Queda por encontrar m 4 \u003d NOC (m 3, a 4) \u003d NOC (3 780, 250). Para hacer esto, encontramos un MCD (3,780,250) de acuerdo con el algoritmo euclidiano: 3,780 \u003d 25015 + 30, 250 \u003d 30,8 + 10, 30 \u003d 10,3. Por lo tanto, MCD (3,780,250) \u003d 10, de donde NOC (3,780,250) \u003d 3,780,250: MCD (3,780,250) \u003d 3,780,250: 10 \u003d 94,500. Es decir, m 4 \u003d 94 500.
Por lo tanto, el mínimo común múltiplo de los cuatro números originales es 94,500.
NOC (140, 9, 54, 250) \u003d 94,500.
En muchos casos, es conveniente encontrar el mínimo común múltiplo de tres o más números usando las factorizaciones de estos números. Se debe seguir la siguiente regla. El múltiplo común más pequeño de varios números es igual al producto, que se compone de la siguiente manera: a todos los factores de la expansión del primer número, se suman los factores faltantes de la expansión del segundo número, a los factores resultantes se agregan los factores faltantes de la expansión del tercer número, y así sucesivamente.
Considere el ejemplo de encontrar el múltiplo común más pequeño usando la factorización de números.
Encuentra el mínimo común múltiplo de cinco números 84, 6, 48, 7, 143.
Primero obtenemos las descomposiciones de estos números en factores primos: 84 \u003d 2 · 2 · 3 · 7, 6 \u003d 2 · 3, 48 \u003d 2 · 2 · 2 · 2 · 3, 7 (7 es un número primo, coincide con su descomposición en factores primos) y 143 \u003d 11 · 13.
Para encontrar el NOC de estos números a los factores del primer número 84 (son 2, 2, 3 y 7), debe agregar los factores que faltan de la expansión del segundo número 6. La descomposición del número 6 no contiene los factores faltantes, ya que 2 y 3 ya están presentes en la descomposición del primer número 84. Además de los factores 2, 2, 3 y 7, sumamos los factores que faltan 2 y 2 de la expansión del tercer número 48, obtenemos un conjunto de factores 2, 2, 2, 2, 3 y 7. No tendrá que agregar factores a este conjunto en el siguiente paso, ya que 7 ya está contenido en él. Finalmente, a los factores 2, 2, 2, 2, 3 y 7, sumamos los factores faltantes 11 y 13 de la expansión del número 143. Obtenemos el producto 2 · 2 · 2 · 2 · 3 · 7 · 11 · 13, que es 48 048.
Por lo tanto, el NOC (84, 6, 48, 7, 143) \u003d 48 048.
NOC (84, 6, 48, 7, 143) \u003d 48 048.
Encontrar el mínimo común múltiplo de números negativos
A veces hay tareas en las que desea encontrar el mínimo común múltiplo de números, entre los cuales uno, varios o todos los números son negativos. En estos casos, todos los números negativos deben ser reemplazados por los números opuestos a ellos, y luego encontrar el NOC de los números positivos. Esta es la forma de encontrar el NOC de los números negativos. Por ejemplo, NOC (54, −34) \u003d NOC (54, 34) y NOC (−622, −46, −54, −888) \u003d NOC (622, 46, 54, 888).
Podemos hacer esto porque el conjunto de múltiplos de a coincide con el conjunto de múltiplos de −a (a y −a son números opuestos). De hecho, sea b un múltiplo de a, entonces b es divisible por a, y el concepto de divisibilidad establece la existencia de un número entero q tal que b \u003d a · q. Pero la igualdad b \u003d (- a) · (−q) también se cumple, lo que, por la misma noción de divisibilidad, significa que b es divisible por −a, es decir, b es un múltiplo de −a. Lo contrario también es cierto: si b es un múltiplo de −a, entonces b también es un múltiplo de a.
Encuentre el mínimo común múltiplo de los números negativos −145 y −45.
Reemplaza los números negativos −145 y −45 con los números opuestos 145 y 45. Tenemos NOC (−145, −45) \u003d NOC (145, 45). Habiendo determinado MCD (145, 45) \u003d 5 (por ejemplo, de acuerdo con el algoritmo euclidiano), calculamos el MCD (145, 45) \u003d 145 × 45: MCD (145, 45) \u003d 145 × 45: 5 \u003d 1 305. Por lo tanto, el mínimo común múltiplo de enteros negativos −145 y −45 es 1 305.
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Seguimos estudiando división. En esta lección consideraremos conceptos como GCD y NOC.
GCD es el mayor factor común
NOC es el múltiplo común más pequeño.
El tema es bastante aburrido, pero debes entenderlo. Sin comprender este tema, no podrá trabajar eficazmente con fracciones, que son un verdadero obstáculo en las matemáticas.
Máximo común divisor
Definición El mayor divisor común de números una y si una y si se dividen sin remanente.
Para comprender bien esta definición, sustituya variables una y si dos números cualquiera, por ejemplo, en lugar de una variable una sustituya el número 12, y en lugar de la variable si número 9. Ahora intentemos leer esta definición:
El mayor divisor común de números 12 y 9 llamado el mayor número por el cual 12 y 9 se dividen sin remanente.
Según la definición, está claro que estamos hablando de un divisor común de los números 12 y 9, y este divisor es el más grande de todos los divisores existentes. Este factor común más grande (MCD) necesita ser encontrado.
Para encontrar el máximo común divisor de dos números, se utilizan tres métodos. El primer método lleva bastante tiempo, pero le permite comprender la esencia del tema y sentir todo su significado.
El segundo y el tercer método son bastante simples y permiten encontrar rápidamente GCD. Consideraremos los tres métodos. Y qué aplicar en la práctica: tú eliges.
La primera forma es buscar todos los divisores posibles de dos números y seleccionar el más grande de ellos. Considere este método en el siguiente ejemplo: encuentra el máximo divisor común de los números 12 y 9.
Primero, encontramos todos los divisores posibles de 12. Para hacer esto, divida 12 entre todos los divisores en el rango de 1 a 12. Si el divisor le permite dividir 12 sin un resto, lo resaltaremos en azul y haremos la explicación correspondiente entre paréntesis.
12: 1 = 12
(12 dividido por 1 sin resto, lo que significa que 1 es un divisor de 12)
12: 2 = 6
(12 dividido por 2 sin resto, lo que significa que 2 es un divisor de 12)
12: 3 = 4
(12 dividido por 3 sin resto, lo que significa que 3 es un divisor de 12)
12: 4 = 3
(12 dividido por 4 sin resto, lo que significa que 4 es un divisor de 12)
12: 5 \u003d 2 (2 en el resto)
(12 no se divide por 5 sin resto, lo que significa que 5 no es un divisor de 12)
12: 6 = 2
(12 dividido por 6 sin resto, lo que significa que 6 es un divisor de 12)
12: 7 \u003d 1 (5 en el resto)
(12 no se divide por 7 sin resto, lo que significa que 7 no es un divisor de 12)
12: 8 \u003d 1 (4 en el resto)
(12 no se divide entre 8 sin resto, lo que significa que 8 no es un divisor de 12)
12: 9 \u003d 1 (3 en el resto)
(12 no se divide entre 9 sin resto, lo que significa que 9 no es un divisor de 12)
12:10 \u003d 1 (2 en el resto)
(12 no se divide entre 10 sin resto, lo que significa que 10 no es un divisor de 12)
12: 11 \u003d 1 (queda 1)
(12 no se divide por 11 sin resto, lo que significa que 11 no es un divisor de 12)
12: 12 = 1
(12 dividido por 12 sin resto, lo que significa que 12 es un divisor de 12)
Ahora encontramos los divisores del número 9. Para hacer esto, verifique todos los divisores del 1 al 9
9: 1 = 9
(9 dividido por 1 sin resto, lo que significa que 1 es un divisor de 9)
9: 2 \u003d 4 (queda 1)
(9 no se divide por 2 sin resto, lo que significa que 2 no es un divisor de 9)
9: 3 = 3
(9 dividido por 3 sin resto, lo que significa que 3 es un divisor de 9)
9: 4 \u003d 2 (queda 1)
(9 no se divide en 4 sin resto, lo que significa que 4 no es un divisor de 9)
9: 5 \u003d 1 (4 en el resto)
(9 no se divide por 5 sin resto, lo que significa que 5 no es un divisor de 9)
9: 6 \u003d 1 (3 en el resto)
(9 no se divide por 6 sin resto, lo que significa que 6 no es un divisor de 9)
9: 7 \u003d 1 (2 en el resto)
(9 no se divide por 7 sin resto, lo que significa que 7 no es un divisor de 9)
9: 8 \u003d 1 (queda 1)
(9 no se divide por 8 sin resto, lo que significa que 8 no es un divisor de 9)
9: 9 = 1
(9 dividido por 9 sin resto, lo que significa que 9 es un divisor de 9)
Ahora escribimos los divisores de ambos números. Los números resaltados en azul son divisores. Los escribiremos:
Una vez escritos los divisores, puede determinar de inmediato cuál es el más grande y el más común.
Por definición, el máximo común divisor de los números 12 y 9 es el número por el cual 12 y 9 son divisibles sin resto. El divisor más grande y más común de los números 12 y 9 es el número 3.
Y el número 12 y el número 9 se dividen entre 3 sin resto:
Entonces MCD (12 y 9) \u003d 3
La segunda forma de encontrar GCD
Ahora considere la segunda forma de encontrar el máximo factor común. La esencia de este método es factorizar ambos números en factores primos y multiplicar los comunes.
Ejemplo 1. Encuentra el MCD de los números 24 y 18
Primero, descomponemos ambos números en factores primos:
Ahora multiplica sus factores comunes. Para no confundirse, se pueden enfatizar factores comunes.
Observamos la expansión del número 24. Su primer factor es 2. Buscamos el mismo factor en la expansión del número 18 y vemos que también está allí. Destacamos ambos deuces:
Nuevamente, observamos la expansión del número 24. Su segundo factor también es 2. Buscamos el mismo factor en la expansión del número 18 y vemos que ya no está allí la segunda vez. Entonces no enfatizamos nada.
El próximo deuce en la expansión de 24 también falta en la expansión de 18.
Pasamos al último factor en la expansión de 24. Este es un factor de 3. Buscamos el mismo factor en la expansión de 18 y vemos que también está allí. Destacamos ambos triples:
Entonces, los factores comunes de los números 24 y 18 son los factores 2 y 3. Para obtener el MCD, estos factores deben multiplicarse:
Entonces MCD (24 y 18) \u003d 6
La tercera forma de encontrar GCD
Ahora considere la tercera forma de encontrar el máximo factor común. La esencia de este método es que los números a buscar para el máximo factor común se descomponen en factores primos. Luego, los factores que no están incluidos en la expansión del segundo número se eliminan de la expansión del primer número. Los números restantes en la primera expansión se multiplican y obtienen GCD.
Por ejemplo, encontramos el MCD de los números 28 y 16 de esta manera. En primer lugar, descomponemos estos números en factores primos:
Recibió dos descomposiciones: y
Ahora, desde la expansión del primer número, tache los factores que no están incluidos en la expansión del segundo número. La descomposición del segundo número no incluye el siete. Lo eliminamos de la primera descomposición:
Ahora multiplicamos los factores restantes y obtenemos el MCD:
El número 4 es el máximo común divisor de los números 28 y 16. Ambos números se dividen por 4 sin un resto:
Ejemplo 2 Encuentra el MCD de los números 100 y 40
Factoriza el número 100
Factoriza el número 40
Recibió dos descomposiciones:
Ahora, desde la expansión del primer número, tache los factores que no están incluidos en la expansión del segundo número. La descomposición del segundo número no incluye uno cinco (solo hay un cinco). Lo eliminaremos de la primera descomposición.
Multiplica los números restantes:
Obtuvimos la respuesta 20. Entonces, el número 20 es el máximo común divisor de los números 100 y 40. Estos dos números se dividen por 20 sin un resto:
MCD (100 y 40) \u003d 20.
Ejemplo 3 Encuentra el MCD de los números 72 y 128
Factoriza el número 72
Factoriza el número 128
2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2
Ahora, desde la expansión del primer número, tache los factores que no están incluidos en la expansión del segundo número. La descomposición del segundo número no incluye dos triples (no hay ninguno). Los eliminamos de la primera descomposición:
Obtuvimos la respuesta 8. Entonces, el número 8 es el máximo común divisor de los números 72 y 128. Estos dos números se dividen entre 8 sin dejar resto:
MCD (72 y 128) \u003d 8
Encontrar un MCD para múltiples números
El mayor factor común se puede encontrar para varios números, y no solo para dos. Para esto, los números a buscar para el máximo factor común se descomponen en factores primos, luego se encuentra el producto de los factores primos comunes de estos números.
Por ejemplo, encuentre el MCD para los números 18, 24 y 36
Factoriza el número 18
Factoriza el número 24
Factoriza el número 36
Tengo tres descomposiciones:
Ahora, resalte y enfatice los factores comunes en estos números. Deben incluirse factores comunes en los tres números:
Vemos que los factores comunes para los números 18, 24 y 36 son los factores 2 y 3. Multiplicando estos factores, obtenemos el MCD, que estamos buscando:
Obtuvimos la respuesta 6. Entonces, el número 6 es el máximo común divisor de los números 18, 24 y 36. Estos tres números se dividen entre 6 sin un resto:
MCD (18, 24 y 36) \u003d 6
Ejemplo 2 Encuentra el MCD para los números 12, 24, 36 y 42
Factoriza cada número. Luego encontramos el producto de los factores comunes de estos números.
Factoriza el número 12
Factor 42
Recibió cuatro descomposiciones:
Ahora, resalte y enfatice los factores comunes en estos números. Deben incluirse factores comunes en los cuatro números:
Vemos que los factores comunes para los números 12, 24, 36 y 42 son los factores 2 y 3. Multiplicando estos factores, obtenemos el MCD, que estamos buscando:
Obtuvimos la respuesta 6. Entonces, el número 6 es el divisor común más grande de los números 12, 24, 36 y 42. Estos números se dividen por 6 sin un resto:
MCD (12, 24, 36 y 42) \u003d 6
De la lección anterior, sabemos que si un número sin resto se divide en otro, se llama múltiplo de este número.
Resulta que múltiple puede ser común a varios números. Y ahora nos interesará un múltiplo de dos números, aunque debería ser lo más pequeño posible.
Definición Mínimo común múltiplo (LCL) Números una y b - una y si una y numero si.
La definición contiene dos variables. una y si. Sustituyamos cualesquiera dos números en lugar de estas variables. Por ejemplo, en lugar de una variable una sustituya el número 9, y en lugar de la variable si sustituya el número 12. Ahora intente leer la definición:
Mínimo común múltiplo (LCL) Números 9 y 12 - este es el número más pequeño que es un múltiplo 9 y 12 . En otras palabras, es un número tan pequeño que es divisible sin resto por un número 9 y en el número 12 .
De la definición está claro que el NOC es el número más pequeño que es divisible por 9 y 12. Se requiere encontrar este NOC.
Para encontrar el múltiplo común más pequeño (LCL), puede usar dos métodos. La primera forma es que puede escribir los primeros múltiplos de dos números, y luego elegir entre estos múltiplos un número que sea común tanto a los números como a los pequeños. Apliquemos este método.
En primer lugar, encontraremos los primeros múltiplos del número 9. Para encontrar los múltiplos del número 9, debe multiplicar este nueve por los números del 1 al 9. Las respuestas resultantes serán múltiplos del número 9. Entonces, comencemos. Los múltiples se resaltarán en rojo:
Ahora encontramos los múltiplos del número 12. Para hacer esto, multiplicamos 12 por todos los números del 1 al 12.