Derivada de una función potencia. Derivada de logaritmo natural y logaritmo en base a

Derivación de la fórmula para la derivada de una función potencia (xa la potencia de a). Se consideran las derivadas de las raíces de x. La fórmula para la derivada de una función de potencia de orden superior. Ejemplos de cálculo de derivadas.

La derivada de x elevado a a es a por x elevado a a menos uno:
(1) .

La derivada de la n-ésima raíz de x a la m-ésima potencia es:
(2) .

Derivación de la fórmula para la derivada de una función potencia

Caso x > 0

Considere una función de potencia de la variable x con exponente a :
(3) .
Aquí a es un número real arbitrario. Consideremos primero el caso.

Para encontrar la derivada de la función (3), usamos las propiedades de la función potencia y la transformamos a la siguiente forma:
.

Ahora encontramos la derivada aplicando:
;
.
Aquí .

La fórmula (1) está probada.

Derivación de la fórmula para la derivada de la raíz del grado n de x al grado m

Ahora considere una función que es la raíz de la siguiente forma:
(4) .

Para encontrar la derivada, convertimos la raíz en una función de potencia:
.
Comparando con la fórmula (3), vemos que
.
Luego
.

Por la fórmula (1) encontramos la derivada:
(1) ;
;
(2) .

En la práctica, no es necesario memorizar la fórmula (2). Es mucho más conveniente convertir primero las raíces en funciones de potencia y luego encontrar sus derivadas usando la fórmula (1) (ver ejemplos al final de la página).

Caso x = 0

Si , entonces la función exponencial también está definida para el valor de la variable x = 0 . Encontremos la derivada de la función (3) para x = 0 . Para hacer esto, usamos la definición de un derivado:
.

Sustituye x = 0 :
.
En este caso, por derivada nos referimos al límite de la derecha para el cual .

Entonces encontramos:
.
De esto se puede ver que en , .
En , .
En , .
Este resultado también se obtiene por la fórmula (1):
(1) .
Por lo tanto, la fórmula (1) también es válida para x = 0 .

caso x< 0

Considere la función (3) nuevamente:
(3) .
Para algunos valores de la constante a, también se define para valores negativos de la variable x. Es decir, sea a número racional. Entonces se puede representar como una fracción irreducible:
,
donde m y n son números enteros sin divisor común.

Si n es impar, entonces la función exponencial también se define para valores negativos de la variable x. Por ejemplo, para n = 3 y m = 1 tenemos la raíz cúbica de x:
.
También se define para valores negativos de x.

Encontremos la derivada de la función potencia (3) para y para valores racionales de la constante a, para los cuales está definida. Para ello, representamos x de la siguiente forma:
.
Luego ,
.
Encontramos la derivada sacando la constante del signo de la derivada y aplicando la regla de diferenciación de una función compleja:

.
Aquí . Pero
.
Porque entonces
.
Luego
.
Es decir, la fórmula (1) también es válida para:
(1) .

Derivados de órdenes superiores

Ahora encontramos las derivadas de orden superior de la función potencia
(3) .
Ya hemos encontrado la derivada de primer orden:
.

Sacando la constante a del signo de la derivada, encontramos la derivada de segundo orden:
.
Del mismo modo, encontramos derivadas de tercer y cuarto orden:
;

.

A partir de aquí es claro que derivada de un enésimo orden arbitrario tiene la siguiente forma:
.

Darse cuenta de si un es número natural , , entonces la n-ésima derivada es constante:
.
Entonces todas las derivadas posteriores son iguales a cero:
,
en .

Ejemplos de derivados

Ejemplo

Encuentra la derivada de la función:
.

Solución

Convirtamos las raíces en potencias:
;
.
Entonces la función original toma la forma:
.

Encontramos derivadas de grados:
;
.
La derivada de una constante es cero:
.

Demostración y derivación de fórmulas para la derivada de la exponencial (e elevada a x) y la función exponencial (a elevada a x). Ejemplos de cálculo de derivadas de e^2x, e^3x y e^nx. Fórmulas para derivadas de órdenes superiores.

La derivada del exponente es igual al propio exponente (la derivada de e elevado a x es igual a e elevado a x):
(1) (e x )′ = e x.

La derivada de una función exponencial con base de grado a es igual a la propia función, multiplicada por el logaritmo natural de a:
(2) .

Derivación de la fórmula para la derivada del exponente, e a la potencia de x

El exponente es una función exponencial cuya base exponencial es igual al número e, que es el siguiente límite:
.
Aquí puede ser un número natural o real. A continuación, derivamos la fórmula (1) para la derivada del exponente.

Derivación de la fórmula para la derivada del exponente

Considere el exponente, e a la potencia de x :
y = e x .
Esta función está definida para todos. Encontremos su derivada con respecto a x. Por definición, la derivada es el siguiente límite:
(3) .

Transformemos esta expresión para reducirla a propiedades y reglas matemáticas conocidas. Para ello necesitamos los siguientes datos:
PERO) Propiedad del exponente:
(4) ;
B) Propiedad del logaritmo:
(5) ;
EN) Continuidad del logaritmo y propiedad de los límites para una función continua:
(6) .
Aquí, hay una función que tiene un límite y este límite es positivo.
GRAMO) El significado del segundo límite maravilloso:
(7) .

Aplicamos estos hechos a nuestro límite (3). Usamos la propiedad (4):
;
.

Hagamos una sustitución. Luego ; .
Debido a la continuidad del exponente,
.
Por lo tanto, en , . Como resultado, obtenemos:
.

Hagamos una sustitución. Luego . En , . Y tenemos:
.

Aplicamos la propiedad del logaritmo (5):
. Luego
.

Apliquemos la propiedad (6). Como hay un límite positivo y el logaritmo es continuo, entonces:
.
Aquí también usamos el segundo límite notable (7). Luego
.

Así, hemos obtenido la fórmula (1) para la derivada del exponente.

Derivación de la fórmula para la derivada de la función exponencial

Ahora derivamos la fórmula (2) para la derivada de la función exponencial con una base de grado a. Creemos eso y . Entonces la función exponencial
(8)
Definido para todos.

Transformemos la fórmula (8). Para esto usamos propiedades de la función exponencial y logaritmo.
;
.
Entonces, hemos transformado la fórmula (8) a la siguiente forma:
.

Derivadas de orden superior de e a la potencia de x

Ahora encontremos derivadas de órdenes superiores. Veamos primero el exponente:
(14) .
(1) .

Vemos que la derivada de la función (14) es igual a la función (14) misma. Derivando (1), obtenemos derivadas de segundo y tercer orden:
;
.

Esto muestra que la derivada de n-ésimo orden también es igual a la función original:
.

Derivadas de orden superior de la función exponencial

Ahora considere una función exponencial con una base de grado a:
.
Encontramos su derivada de primer orden:
(15) .

Derivando (15), obtenemos derivadas de segundo y tercer orden:
;
.

Vemos que cada diferenciación conduce a la multiplicación de la función original por . Por lo tanto, la n-ésima derivada tiene la siguiente forma:
.

En esta lección, aprenderemos cómo aplicar fórmulas y reglas de derivación.

Ejemplos. Hallar derivadas de funciones.

1. y=x 7 +x 5 -x 4 +x 3 -x 2 +x-9. Aplicación de la regla I, fórmulas 4, 2 y 1. Obtenemos:

y'=7x 6 +5x 4 -4x 3 +3x 2 -2x+1.

2. y=3x6 -2x+5. Resolvemos de manera similar, usando las mismas fórmulas y la fórmula 3.

y’=3∙6x 5 -2=18x 5 -2.

Aplicación de la regla I, fórmulas 3, 5 Y 6 Y 1.

Aplicación de la regla IV, fórmulas 5 Y 1 .

En el quinto ejemplo, de acuerdo con la regla I la derivada de la suma es igual a la suma de las derivadas, y acabamos de encontrar la derivada del primer término (ejemplo 4 ), por lo tanto, encontraremos derivadas 2do Y 3ro términos y para el primero término, podemos escribir inmediatamente el resultado.

diferenciando 2do Y 3ro términos según la fórmula 4 . Para ello, transformamos las raíces de tercer y cuarto grado en denominadores a potencias con exponentes negativos, y luego, según 4 fórmula, encontramos las derivadas de las potencias.

Mirar ejemplo dado y el resultado ¿Captaste el patrón? Bueno. Esto significa que tenemos una nueva fórmula y podemos agregarla a nuestra tabla de derivadas.

Resolvamos el sexto ejemplo y obtengamos una fórmula más.

Usamos la regla IV y fórmula 4 . Reducimos las fracciones resultantes.

Miramos esta función y su derivada. Usted, por supuesto, entendió el patrón y está listo para nombrar la fórmula:

¡Aprendiendo nuevas fórmulas!

Ejemplos.

1. Encuentra el incremento del argumento y el incremento de la función y= x2 si el valor inicial del argumento era 4 , y el nuevo 4,01 .

Solución.

Nuevo valor de argumento x \u003d x 0 + Δx. Sustituye los datos: 4.01=4+Δx, de ahí el incremento del argumento Δх=4.01-4=0.01. El incremento de una función, por definición, es igual a la diferencia entre los valores nuevos y anteriores de la función, es decir Δy \u003d f (x 0 + Δx) - f (x 0). Como tenemos una función y=x2, luego Δу\u003d (x 0 + Δx) 2 - (x 0) 2 \u003d (x 0) 2 + 2x 0 · Δx+(Δx) 2 - (x 0) 2 \u003d 2x 0 · ∆x+(∆x) 2 =

2 · 4 · 0,01+(0,01) 2 =0,08+0,0001=0,0801.

Responder: incremento de argumento Δх=0,01; incremento de función Δу=0,0801.

Era posible encontrar el incremento de la función de otra manera: Δy\u003d y (x 0 + Δx) -y (x 0) \u003d y (4.01) -y (4) \u003d 4.01 2 -4 2 \u003d 16.0801-16 \u003d 0.0801.

2. Encuentre el ángulo de inclinación de la tangente a la función gráfica y=f(x) en el punto x0, si f "(x 0) \u003d 1.

Solución.

El valor de la derivada en el punto de contacto. x0 y es el valor de la tangente de la pendiente de la tangente (el significado geométrico de la derivada). Tenemos: f "(x 0) \u003d tgα \u003d 1 → α \u003d 45 °, porque tg45°=1.

Responder: la tangente a la gráfica de esta función forma un ángulo con la dirección positiva del eje Ox, igual a 45°.

3. Deducir la fórmula de la derivada de una función y=xn.

Diferenciación es el acto de hallar la derivada de una función.

Al encontrar derivadas, se utilizan fórmulas que se derivaron sobre la base de la definición de la derivada, de la misma manera que derivamos la fórmula para el grado de derivada: (x n)" = nx n-1.

Aquí están las fórmulas.

tabla de derivadas será más fácil de memorizar pronunciando formulaciones verbales:

1. La derivada de un valor constante es cero.

2. El trazo X es igual a uno.

3. El factor constante se puede sacar del signo de la derivada.

4. La derivada de un grado es igual al producto del exponente de ese grado por el grado de la misma base, pero el exponente es uno menos.

5. La derivada de la raíz es igual a uno dividido por dos raíces iguales.

6. La derivada de la unidad dividida por x es menos uno dividido por x al cuadrado.

7. La derivada del seno es igual al coseno.

8. La derivada del coseno es igual a menos el seno.

9. La derivada de la tangente es igual a uno dividido por el cuadrado del coseno.

10. La derivada de la cotangente es menos uno dividido por el cuadrado del seno.

Nosotros enseñamos reglas de diferenciación.

1. La derivada de la suma algebraica es igual a la suma algebraica de los términos derivados.

2. La derivada del producto es igual al producto de la derivada del primer factor por el segundo más el producto del primer factor por la derivada del segundo.

3. La derivada de "y" dividida por "ve" es igual a una fracción, en cuyo numerador "y es un trazo multiplicado por "ve" menos "y, multiplicado por un trazo", y en el denominador - "ve al cuadrado ”.

4. caso especial fórmulas 3.

¡Aprendamos juntos!

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La operación de encontrar una derivada se llama diferenciación.

Como resultado de resolver problemas de encontrar derivadas de las funciones más simples (y no muy simples) definiendo la derivada como el límite de la relación del incremento al incremento del argumento, apareció una tabla de derivadas y reglas de diferenciación definidas con precisión. . Isaac Newton (1643-1727) y Gottfried Wilhelm Leibniz (1646-1716) fueron los primeros en trabajar en el campo de la búsqueda de derivadas.

Por lo tanto, en nuestro tiempo, para encontrar la derivada de cualquier función, no es necesario calcular el límite mencionado anteriormente de la relación entre el incremento de la función y el incremento del argumento, sino que solo es necesario usar la tabla de derivadas y las reglas de diferenciación. El siguiente algoritmo es adecuado para encontrar la derivada.

Para encontrar la derivada, necesitas una expresión debajo del signo de trazo desglosar funciones simples y determinar qué acciones (producto, suma, cociente) estas funciones están relacionadas. Otros derivados funciones elementales encontramos en la tabla de derivadas, y las fórmulas para las derivadas del producto, suma y cociente - en las reglas de diferenciación. La tabla de derivadas y las reglas de derivación se dan después de los dos primeros ejemplos.

Ejemplo 1 Encontrar la derivada de una función

Solución. De las reglas de derivación encontramos que la derivada de la suma de funciones es la suma de las derivadas de funciones, es decir

De la tabla de derivadas, encontramos que la derivada de "X" es igual a uno, y la derivada del seno es coseno. Sustituimos estos valores en la suma de derivadas y encontramos la derivada requerida por la condición del problema:

Ejemplo 2 Encontrar la derivada de una función

Solución. Derivar como derivada de la suma, en la que el segundo término con un factor constante, se puede sacar del signo de la derivada:

Si todavía hay preguntas sobre de dónde viene algo, por regla general, se aclaran después de leer la tabla de derivadas y las reglas de diferenciación más simples. Vamos a ellos ahora mismo.

Tabla de derivadas de funciones simples

1. Derivada de una constante (número). Cualquier número (1, 2, 5, 200...) que esté en la expresión de la función. Siempre cero. Es muy importante recordar esto, ya que se requiere muy a menudo
2. Derivada de la variable independiente. Más a menudo "x". Siempre igual a uno. Esto también es importante recordar
3. Derivada de grado. Al resolver problemas, debe convertir las raíces no cuadradas en una potencia.
4. Derivada de una variable a la potencia de -1
5. Derivado raíz cuadrada
6. Derivada del seno
7. Derivada del coseno
8. Derivada tangente
9. Derivada de cotangente
10. Derivada del arcoseno
11. Derivada del arco coseno
12. Derivada del arco tangente
13. Derivada de la tangente inversa
14. Derivada del logaritmo natural
15. Derivada de una función logarítmica
16. Derivada del exponente
17. Derivada de función exponencial

Reglas de diferenciación

1. Derivada de la suma o diferencia
2. Derivado de un producto
2a. Derivada de una expresión multiplicada por un factor constante
3. Derivada del cociente
4. Derivada de una función compleja

Regla 1si funciones

son diferenciables en algún punto, entonces en el mismo punto las funciones

y

esos. la derivada de la suma algebraica de funciones es igual a la suma algebraica de las derivadas de estas funciones.

Consecuencia. Si dos funciones derivables difieren en una constante, entonces sus derivadas son, es decir.

Regla 2si funciones

son diferenciables en algún punto, entonces su producto también es diferenciable en el mismo punto

y

esos. la derivada del producto de dos funciones es igual a la suma de los productos de cada una de estas funciones y la derivada de la otra.

Consecuencia 1. El factor constante se puede sacar del signo de la derivada:

consecuencia 2. La derivada del producto de varias funciones diferenciables es igual a la suma de los productos de la derivada de cada uno de los factores y todos los demás.

Por ejemplo, para tres multiplicadores:

regla 3si funciones

diferenciable en algún punto Y , entonces en este punto su cociente también es diferenciable.u/v, y

esos. la derivada de un cociente de dos funciones es igual a una fraccion cuyo numerador es la diferencia entre los productos del denominador y la derivada del numerador y el numerador y la derivada del denominador, y el denominador es el cuadrado del numerador anterior .

Dónde buscar en otras páginas

Al hallar la derivada del producto y el cociente en tareas reales siempre se requiere aplicar varias reglas de diferenciación a la vez, por lo que hay más ejemplos de estos derivados en el artículo"La derivada de un producto y un cociente".

Comentario.¡No debe confundir una constante (es decir, un número) como un término en la suma y como un factor constante! En el caso de un término, su derivada es igual a cero, y en el caso de un factor constante, se saca del signo de las derivadas. Esta error tipico, que ocurre en etapa inicial estudiando derivadas, pero a medida que resuelve varios ejemplos de una y dos partes estudiante promedio ya no comete este error.

Y si al derivar un producto o un cociente tienes un término tu"v, en el cual tu- un número, por ejemplo, 2 o 5, es decir, una constante, entonces la derivada de este número será igual a cero y, por lo tanto, todo el término será igual a cero (tal caso se analiza en el ejemplo 10) .

Otro Error común- solución mecánica de la derivada de una función compleja como derivada de una función simple. Es por eso derivada de una función compleja dedicado a un artículo aparte. Pero primero aprenderemos a encontrar derivadas de funciones simples.

En el camino, no puedes prescindir de las transformaciones de expresiones. Para hacer esto, es posible que deba abrir en nuevos manuales de Windows Acciones con potencias y raíces. Y Acciones con fracciones .

Si está buscando soluciones para derivadas con potencias y raíces, es decir, cuando la función se ve como , luego siga la lección " Derivado de la suma de fracciones con potencias y raíces".

Si tienes una tarea como , entonces estás en la lección "Derivadas de funciones trigonométricas simples".

Ejemplos paso a paso: cómo encontrar la derivada

Ejemplo 3 Encontrar la derivada de una función

Solución. Determinamos las partes de la expresión de la función: la expresión completa representa el producto, y sus factores son sumas, en la segunda de las cuales uno de los términos contiene un factor constante. Aplicamos la regla de diferenciación del producto: la derivada del producto de dos funciones es igual a la suma de los productos de cada una de estas funciones y la derivada de la otra:

A continuación, aplicamos la regla de derivación de la suma: la derivada de la suma algebraica de funciones es igual a la suma algebraica de las derivadas de estas funciones. En nuestro caso, en cada suma, el segundo término con signo menos. En cada suma, vemos tanto una variable independiente, cuya derivada es igual a uno, como una constante (número), cuya derivada es igual a cero. Entonces, "x" se convierte en uno, y menos 5, en cero. En la segunda expresión, "x" se multiplica por 2, entonces multiplicamos dos por la misma unidad que la derivada de "x". Obtenemos los siguientes valores de derivadas:

Sustituimos las derivadas encontradas en la suma de productos y obtenemos la derivada de toda la función requerida por la condición del problema:

Ejemplo 4 Encontrar la derivada de una función

Solución. Estamos obligados a encontrar la derivada del cociente. Aplicamos la fórmula para diferenciar un cociente: la derivada de un cociente de dos funciones es igual a una fracción cuyo numerador es la diferencia entre los productos del denominador y la derivada del numerador y el numerador y la derivada del denominador, y el denominador es el cuadrado del numerador anterior. Obtenemos:

Ya hemos encontrado la derivada de los factores en el numerador en el Ejemplo 2. Tampoco olvidemos que el producto, que es el segundo factor en el numerador, se toma con un signo menos en el ejemplo actual:

Si está buscando soluciones a problemas en los que necesita encontrar la derivada de una función, donde hay una pila continua de raíces y grados, como, por ejemplo, entonces bienvenido a clase "La derivada de la suma de fracciones con potencias y raíces" .

Si necesita aprender más sobre las derivadas de senos, cosenos, tangentes y otras funciones trigonométricas, es decir, cuando la función se ve como , entonces tienes una lección "Derivadas de funciones trigonométricas simples" .

Ejemplo 5 Encontrar la derivada de una función

Solución. En esta función vemos un producto, uno de cuyos factores es la raíz cuadrada de la variable independiente, con cuya derivada nos familiarizamos en la tabla de derivadas. De acuerdo con la regla de diferenciación del producto y el valor tabular de la derivada de la raíz cuadrada, obtenemos:

Ejemplo 6 Encontrar la derivada de una función

Solución. En esta función vemos el cociente, cuyo dividendo es la raíz cuadrada de la variable independiente. Según la regla de diferenciación del cociente, que repetimos y aplicamos en el ejemplo 4, y el valor tabular de la derivada de la raíz cuadrada, obtenemos:

Para deshacerse de la fracción en el numerador, multiplique el numerador y el denominador por .

Las fórmulas 3 y 5 pruébense a sí mismos.

REGLAS BÁSICAS DE DIFERENCIACIÓN

Usando el método general de encontrar la derivada usando el límite, puede obtener las fórmulas de diferenciación más simples. Permitir u=u(x),v=v(x) son dos funciones derivables de una variable X.

Las fórmulas 1 y 2 pruébense a sí mismos.

Prueba de Fórmula 3.

Permitir y = u(x) + v(x). Por valor de argumento X+Δ X tenemos y(X+Δ X)=tu(X+Δ X) + v(X+Δ X).

Δ y=y(X+Δ X) – y(x) = tu(x+Δ X) + v(x+Δ X) – tu(x) – v(x) = Δ tu +Δ v.

Como consecuencia,

Prueba de Fórmula 4.

Permitir y=u(x)v(x). Luego y(X+Δ X)=tu(X+Δ X)· v(X+Δ X), es por eso

Δ y=tu(X+Δ X)· v(X+Δ X) – tu(X)· v(X).

Tenga en cuenta que dado que cada una de las funciones tu Y v diferenciable en un punto X, entonces son continuas en este punto, y por lo tanto tu(X+Δ X)→tu(x), v(X+Δ X)→v(x), para Δ X→0.

Por lo tanto, podemos escribir

Con base en esta propiedad, se puede obtener una regla para diferenciar el producto de cualquier número de funciones.

Deje, por ejemplo, y=u v w. Luego,

y " = tu "·( v w) + tu·( v w) "= tu "· v w + tu·( v" w + v w ") = tu "· v w + tu· v" w + tu v w".

Prueba de Fórmula 5.

Permitir . Luego

En la prueba, usamos el hecho de que v(x+Δ X)→v(x) en Δ X→0.

Ejemplos.

TEOREMA DE LA DERIVADA DE UNA FUNCIÓN COMPLEJA

Permitir y = f(u), pero tu= tu(X). Obtenemos una función y, dependiendo del argumento X: y = f(u(x)). La última función se llama función de una función, o función compleja.

Alcance de la función y = f(u(x)) es todo el alcance de la función tu=tu(X) o aquella parte de ella en la que se determinan los valores tu, no fuera del alcance de la función y= f(tu).

La operación "función a partir de función" se puede realizar no una vez, sino cualquier número de veces.

Establezcamos una regla para diferenciar una función compleja.

Teorema. Si la función tu= tu(X) tiene en algún momento x0 derivada y toma el valor en este punto tu 0 = tu(x0), y la función y=f(tu) tiene en el punto tu 0 derivado y"tu= F "(tu 0), entonces la función compleja y = f(u(x)) en el punto especificado x0 también tiene una derivada, que es igual a y"x= F "(tu 0)· tu "(x0), donde en lugar de tu la expresión debe ser sustituida tu= tu(X).

Así, la derivada de una función compleja es igual al producto de la derivada de esta función con respecto al argumento intermedio tu a la derivada del argumento intermedio con respecto a X.

Prueba. Por un valor fijo X 0 tendremos tu 0 =tu(X 0), en 0 =f(tu 0 ). Para el nuevo valor del argumento x0+Δ X:

Δ tu= tu(x0 + Δ X) – tu(X 0), Δ y=F(tu 0+Δ tu) – F(tu 0).

Porque tu– diferenciable en un punto x0, luego tu es continua en este punto. Por lo tanto, para Δ X→0 Δ tu→0. Del mismo modo, para Δ tu→0 Δ y→0.

Por condición . De esta relación, usando la definición del límite, obtenemos (para Δ tu→0)

donde α→0 en Δ tu→0 y, en consecuencia, para Δ X→0.

Reescribamos esta ecuación como:

Δ y=y"tú ∆ tu+α·Δ tu.

La igualdad resultante también es válida para Δ tu=0 para α arbitrario, ya que se convierte en la identidad 0=0. En Δ tu=0 supondremos α=0. Divide todos los términos de la igualdad resultante por Δ X

.

Por condición . Por lo tanto, pasando al límite en Δ X→0, obtenemos y"x= y"tu" x. El teorema ha sido probado.

Entonces, para diferenciar función compleja y = f(u(x)), necesitas tomar la derivada de la función "externa" F, tratando su argumento simplemente como una variable y multiplicando por la derivada de la función "interna" con respecto a la variable independiente.

Si la función y=f(x) se puede representar como y=f(u), u=u(v), v=v(x), luego la búsqueda de la derivada y " x se realiza por aplicación sucesiva del teorema anterior.

De acuerdo con la regla probada, tenemos y"x= y"tú · tu x. Aplicando el mismo teorema a tu x obtenemos, es decir

y"x= y" X tu"v · v"x= F"tu( tu)· tu"v( v)· v"X( X).

Ejemplos.

EL CONCEPTO DE LA FUNCIÓN INVERSA

Comencemos con un ejemplo. Considere la función y=x3. Consideraremos la igualdad y= x3 como una ecuación para X. Esta es la ecuación para cada valor. en define un solo valor X: . Geométricamente, esto significa que cualquier línea paralela al eje Buey corta la gráfica de la función y=x3 solo en un punto. Por lo tanto podemos considerar X como una función de y. La función se llama la inversa de la función. y=x3.

Antes de pasar al caso general, introducimos definiciones.

Función y = f(x) llamado creciente en un cierto intervalo, si el valor mayor del argumento X de este segmento corresponde a mayor valor funciones, es decir si X 2 >X 1, entonces f(x 2 ) > f(x 1 ).

Del mismo modo, la función se llama menguante, si el valor menor del argumento corresponde al valor mayor de la función, es decir si X 2 < X 1, entonces f(x 2 ) > f(х 1 ).

Entonces, dada una función creciente o decreciente y=f(x), definido en algún intervalo [ a; B]. Para definir, consideraremos una función creciente (para una función decreciente, todo es similar).

Considere dos valores diferentes X 1 y X 2. Permitir y 1 =f(x 1 ), y 2 =f(x 2 ). De la definición de una función creciente se sigue que si X 1 <X 2, entonces en 1 <en 2. Por lo tanto, dos valores diferentes X 1 y X 2 corresponden a dos valores de función diferentes en 1 y en 2. Lo contrario también es cierto, es decir. si en 1 <en 2, entonces de la definición de una función creciente se sigue que X 1 <X 2. Esos. de nuevo a dos valores diferentes en 1 y en 2 corresponde a dos valores diferentes X 1 y X 2. Así, entre valores X y sus valores correspondientes y se establece una correspondencia uno a uno, es decir, la ecuacion y=f(x) para cada y(tomado del rango de la función y=f(x)) define un solo valor X, y podemos decir que X tener alguna función de argumento y: x=g(y).

Esta función se llama contrarrestar para la función y=f(x). Obviamente, la función y=f(x) es la inversa de la función x=g(y).

Tenga en cuenta que la función inversa x=g(y) se encuentra resolviendo la ecuación y=f(x) relativamente X.

Ejemplo. Deja que la función y= e x . Esta función aumenta en –∞< X <+∞. Она имеет обратную функцию X=ln y. Dominio de la función inversa 0< y < + ∞.

Hagamos algunos comentarios.

Observación 1. Si una función creciente (o decreciente) y=f(x) continua en el intervalo [ a; B], y f(a)=c, f(b)=d, entonces la función inversa es definida y continua en el intervalo [ C; D].

Observación 2. Si la función y=f(x) no es ni creciente ni decreciente en algún intervalo, entonces puede tener varias funciones inversas.

Ejemplo. Función y=x2 definido en –∞<X<+∞. Она не является ни возрастающей, ни убывающей и не имеет обратной функции. Однако, если мы рассмотриминтервал 0≤X<+∞, то здесь функция является возрастающей и обратной для нее будет . На интервале – ∞ <X≤ 0 la función es decreciente y su inversa.

Observación 3. si funciones y=f(x) Y x=g(y) son mutuamente inversas, entonces expresan la misma relación entre las variables X Y y. Por lo tanto, el gráfico es la misma curva. Pero si denotamos el argumento de la función inversa de nuevo por X, y la función a través de y y los construimos en el mismo sistema de coordenadas, obtenemos dos gráficos diferentes. Es fácil ver que las gráficas serán simétricas con respecto a la bisectriz del primer ángulo coordenado.

TEOREMA DE LA DERIVADA DE LA FUNCIÓN INVERSA

Demostremos un teorema que nos permita encontrar la derivada de la función y=f(x) conocer la derivada de la función inversa.

Teorema. Si por la función y=f(x) hay una función inversa x=g(y), que en algún momento en 0 tiene una derivada gramo "(v0) distinto de cero, entonces en el punto correspondiente x0=gramo(x0) función y=f(x) tiene una derivada F "(x0) igual a , es decir fórmula correcta.

Prueba. Porque x=g(y) diferenciable en un punto , luego x=g(y) es continua en este punto, por lo que la función y=f(x) continuo en el punto x0=gramo(). Por lo tanto, para Δ X→0 Δ y→0.

Demostremos que .

Permitir . Entonces por la propiedad del límite . Pasemos en esta igualdad al límite en Δ y→0. Entonces Δ X→0 y α(Δx)→0, es decir .

Como consecuencia,

,

QED

Esta fórmula se puede escribir como .

Consideremos la aplicación de este teorema con ejemplos.