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Un caso especial de función lineal. Propiedades básicas de funciones

El concepto de función numérica. Métodos para configurar una función. Propiedades de la función.

Una función numérica es una función que actúa de un espacio numérico (conjunto) a otro espacio numérico (conjunto).

Hay tres formas principales de definir una función: analítica, tabular y gráfica.

1. Analítico.

La forma de definir una función mediante una fórmula se llama analítica. Este método es el principal en el tapete. análisis, pero en la práctica no es conveniente.

2. Forma tabular de configurar la función.

Una función se puede especificar mediante una tabla que contiene los valores de los argumentos y sus correspondientes valores de función.

3. Forma gráfica de configurar la función.

La función y \u003d f (x) se llama gráficamente dada si su gráfica está construida. Este método de definición de la función permite determinar los valores de la función solo aproximadamente, ya que la construcción de un gráfico y la búsqueda de los valores de la función en él está asociado con errores.

Propiedades de la función que se deben tener en cuenta al trazar su gráfica:

1 Alcance definiciones de funciones.

Área de definición de funciones, es decir, aquellos valores que puede tomar el argumento x de la función F \u003d y (x).

2) Intervalos de funciones crecientes y decrecientes.

La función se llama creciente en el intervalo considerado, si más significado El argumento corresponde al valor mayor de la función y (x). Esto significa que si se toman dos argumentos arbitrarios x 1 y x 2 del intervalo considerado, con x 1\u003e x 2, entonces y (x 1)\u003e y (x 2).

La función se llama decreciente en el intervalo considerado, si el valor mayor del argumento corresponde al valor menor de la función y (x). Esto significa que si se toman dos argumentos arbitrarios x 1 y x 2 del intervalo considerado, y x 1< х 2 , то у(х 1) < у(х 2).

3) Ceros de la función.

Los puntos en los que la función F \u003d y (x) intersecta el eje de abscisas (se obtienen al resolver la ecuación y (x) \u003d 0) y se denominan ceros de la función.

4) Paridad y rareza de la función.

La función se llama par, si para todos los valores del argumento del alcance



y (-x) \u003d y (x).

La gráfica de una función par es simétrica con respecto al eje de ordenadas.

La función se llama imparsi para todos los valores del argumento del dominio

y (-x) \u003d -y (x).

La gráfica de una función par es simétrica con respecto al origen.

Muchas funciones no son pares ni impares.

5) La frecuencia de la función.

La función se llama periódica, si hay un número P tal que para todos los valores del argumento del dominio

y (x + P) \u003d y (x).


Función lineal, sus propiedades y gráfico.

Una función lineal es una función de la forma y \u003d kx + bdefinido en el conjunto de todos los números reales.

k - pendiente (número real)

b - miembro gratis (real)

x Es la variable independiente.

En un caso particular, si k \u003d 0, obtenemos una función constante y \u003d b, cuya gráfica es una recta paralela al eje Ox que pasa por un punto de coordenadas (0; b).

· Si b \u003d 0, obtenemos la función y \u003d kx, que es una proporcionalidad directa.

o El significado geométrico del coeficiente b es la longitud del segmento cortado por la línea recta a lo largo del eje Oy, contando desde el origen.

o El significado geométrico del coeficiente k - el ángulo de inclinación de la línea recta a la dirección positiva del eje Ox, se cuenta en sentido antihorario.

Propiedades función lineal:

1) El dominio de definición de una función lineal es el eje real completo;

2) Si k ≠ 0, entonces el rango de valores de la función lineal es el eje real completo.

Si k \u003d 0, entonces el rango de valores de la función lineal consiste en el número b;

3) La uniformidad y la rareza de una función lineal dependen de los valores de los coeficientes k y b.

a) b ≠ 0, k \u003d 0, por lo tanto, y \u003d b es par;

b) b \u003d 0, k ≠ 0, por lo tanto y \u003d kx es impar;

c) b ≠ 0, k ≠ 0, por lo tanto y \u003d kx + b es una función general;

d) b \u003d 0, k \u003d 0, por lo tanto y \u003d 0 es una función tanto par como impar.

4) La función lineal no posee la propiedad de periodicidad;

5) Puntos de intersección con los ejes de coordenadas:

Ox: y \u003d kx + b \u003d 0, x \u003d -b / k, por lo tanto (-b / k; 0) es el punto de intersección con el eje de abscisas.

Oy: y \u003d 0k + b \u003d b, por lo tanto (0; b) es el punto de intersección con el eje de ordenadas.

Comentario. Si b \u003d 0 y k \u003d 0, entonces la función y \u003d 0 desaparece para cualquier valor de la variable x. Si b ≠ 0 y k \u003d 0, entonces la función y \u003d b no desaparece para ningún valor de la variable x.

6) Los intervalos de constancia de signos dependen del coeficiente k.

a) k\u003e 0; kx + b\u003e 0, kx\u003e -b, x\u003e -b / k.

y \u003d kx + b - es positivo para x de (-b / k; + ∞),

y \u003d kx + b - negativo para x de (-∞; -b / k).

b) k< 0; kx + b < 0, kx < -b, x < -b/k.

y \u003d kx + b - positivo para x de (-∞; -b / k),

y \u003d kx + b - negativo para x de (-b / k; + ∞).

c) k \u003d 0, b\u003e 0; y \u003d kx + b es positivo en todo el dominio,

k \u003d 0, b< 0; y = kx + b отрицательна на всей области определения.

7) Los intervalos de monotonicidad de la función lineal dependen del coeficiente k.

k\u003e 0, por lo tanto y \u003d kx + b aumenta en todo el dominio,

k< 0, следовательно y = kx + b убывает на всей области определения.

11. Función y \u003d ax 2 + bx + c, sus propiedades y gráfica.

La función y \u003d ax 2 + bx + c (a, b, c son constantes y ≠ 0) se llama cuadrático. En el caso más simple, y \u003d ax 2 (b \u003d c \u003d 0), la gráfica es una línea curva que pasa por el origen. La curva que sirve como gráfica de la función y \u003d ax 2 es una parábola. Cada parábola tiene un eje de simetría llamado eje de la parábola. El punto O de la intersección de la parábola con su eje se llama ápice de una parábola.
El gráfico se puede construir de acuerdo con el siguiente esquema: 1) Hallar las coordenadas del vértice de la parábola x 0 \u003d -b / 2a; y 0 \u003d y (x 0). 2) Construimos algunos puntos más que pertenecen a la parábola; al construir, podemos usar la simetría de la parábola con respecto a la recta x \u003d -b / 2a. 3) Conecte los puntos marcados con una línea suave. Ejemplo. Grafique la función en \u003d x 2 + 2x - 3. Soluciones. La gráfica de la función es una parábola, cuyas ramas se dirigen hacia arriba. La abscisa del vértice de la parábola x 0 \u003d 2 / (2 ∙ 1) \u003d -1, sus ordenadas y (-1) \u003d (1) 2 + 2 (-1) - 3 \u003d -4. Entonces, el vértice de la parábola es el punto (-1; -4). Hagamos una tabla de valores para varios puntos, que se encuentran a la derecha del eje de simetría de la parábola, la línea recta x \u003d -1.

Propiedades de la función.

Considere la función y \u003d k / y. La gráfica de esta función es una línea llamada en matemáticas hipérbola. La vista general de la hipérbola se muestra en la siguiente figura. (La gráfica muestra que la función y es igual a k dividida por x, en la que k es igual a uno).

Puede verse que la gráfica consta de dos partes. Estas partes se denominan ramas de la hipérbola. Vale la pena señalar también que cada rama de la hipérbola se acerca en una de las direcciones cada vez más cerca de los ejes de coordenadas. Los ejes de coordenadas en este caso se denominan asíntotas.

En general, cualquier línea recta a la que la gráfica de una función se acerque infinitamente, pero no alcance, se llama asíntotas. Una hipérbola, como una parábola, tiene ejes de simetría. Para la hipérbola que se muestra en la figura anterior, esta es la línea y \u003d x.

Ahora tratemos dos casos generales de hipérbolas. La gráfica de la función y \u003d k / x, para k ≠ 0, será una hipérbola, cuyas ramas se ubican en el primer y tercer ángulo coordenado, para k\u003e 0, o en el segundo y cuarto ángulo coordenado, para k<0.

Propiedades básicas de la función y \u003d k / x, para k\u003e 0

Gráfica de la función y \u003d k / x, para k\u003e 0

5.y\u003e 0 para x\u003e 0; y6. La función disminuye tanto en el intervalo (-∞; 0) como en el intervalo (0; + ∞).

10. El rango de valores de la función son dos intervalos abiertos (-∞; 0) y (0; + ∞).

Propiedades básicas de la función y \u003d k / x, para k<0

La gráfica de la función y \u003d k / x, para k<0

1. El punto (0; 0) es el centro de simetría de la hipérbola.

2. Ejes de coordenadas - asíntotas de hipérbola.

4. El dominio de la función es todo x, excepto x \u003d 0.

5.y\u003e 0 para x0.

6. La función aumenta tanto en el intervalo (-∞; 0) como en el intervalo (0; + ∞).

7. La función no está limitada desde abajo ni desde arriba.

8. La función no tiene ni el valor más alto ni el más bajo.

9. La función es continua en el intervalo (-∞; 0) y en el intervalo (0; + ∞). Tiene una discontinuidad en el punto x \u003d 0.

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\u003e\u003e Matemáticas: función lineal y su gráfica

Función lineal y su gráfica


El algoritmo para construir la gráfica de la ecuación ax + por + c \u003d 0, que formulamos en el § 28, con toda su claridad y precisión, no es muy agradable para los matemáticos. Suelen presentar una queja sobre los dos primeros pasos del algoritmo. ¿Por qué, dicen, resolver la ecuación dos veces para la variable y: primero ax1 + por + c \u003d 0, luego ax + por + c \u003d 0? ¿No es mejor expresar inmediatamente y a partir de la ecuación ax + por + c \u003d 0, entonces será más fácil realizar cálculos (y, lo más importante, más rápido)? Vamos a revisar. Considere primero la ecuacion 3x - 2y + 6 \u003d 0 (ver ejemplo 2 del § 28).

Al dar valores específicos de x, es fácil calcular los valores de y correspondientes. Por ejemplo, para x \u003d 0 obtenemos y \u003d 3; en x \u003d -2 tenemos y \u003d 0; para x \u003d 2 tenemos y \u003d 6; para x \u003d 4 obtenemos: y \u003d 9.

Puede ver con qué facilidad y rapidez se encontraron los puntos (0; 3), (- 2; 0), (2; 6) y (4; 9), que fueron seleccionados en el ejemplo 2 del § 28.

Exactamente de la misma manera, la ecuación bx - 2y \u003d 0 (véase el ejemplo 4 del § 28) podría transformarse en la forma 2y \u003d 16 -3x. más y \u003d 2,5x; no es difícil encontrar los puntos (0; 0) y (2; 5) que satisfagan esta ecuación.

Finalmente, la ecuación 3x + 2y - 16 \u003d 0 del mismo ejemplo se puede transformar a la forma 2y \u003d 16 -3x y luego es fácil encontrar puntos (0; 0) y (2; 5) que la satisfagan.

Consideremos ahora las transformaciones indicadas en vista general.


Por tanto, la ecuación lineal (1) con dos variables xey siempre se puede transformar a la forma
y \u003d kx + m, (2) donde k, m son números (coeficientes) y.

Esta vista privada La ecuación lineal se llamará función lineal.

Usando la igualdad (2), es fácil, especificando un valor específico de x, calcular el valor correspondiente de y. Dejemos, por ejemplo,

y \u003d 2x + 3. Entonces:
si x \u003d 0, entonces y \u003d 3;
si x \u003d 1, entonces y \u003d 5;
si x \u003d -1, entonces y \u003d 1;
si x \u003d 3, entonces y \u003d 9, y así sucesivamente.

Por lo general, estos resultados se presentan en forma mesas:

Los valores de y de la segunda fila de la tabla se denominan valores de la función lineal y \u003d 2x + 3, respectivamente, en los puntos x \u003d 0, x \u003d 1, x \u003d -1, x \u003d - 3.

En la ecuación (1) las variables xnu son iguales, pero en la ecuación (2) no lo son: a una de ellas le asignamos valores específicos, la variable x, mientras que el valor de la variable y depende del valor seleccionado de la variable x. Por lo tanto, se suele decir que x es la variable independiente (o argumento), y es la variable dependiente.

Tenga en cuenta que una función lineal es un tipo especial de ecuación lineal en dos variables. Gráfico de ecuaciones y - kx + m, como cualquier ecuación lineal en dos variables, es una línea recta - también se le llama la gráfica de la función lineal y \u003d kx + mn. Por tanto, el siguiente teorema es cierto.


Ejemplo 1. Grafique una función lineal y \u003d 2x + 3.

Decisión. Hagamos una mesa:

En la segunda situación, la variable independiente x, que denota, como en la primera situación, el número de días, solo puede tomar los valores 1, 2, 3, ..., 16. De hecho, si x \u003d 16, luego por la fórmula y \u003d 500 - 30x encontramos: y \u003d 500 - 30 16 \u003d 20. Esto significa que ya el día 17 no será posible sacar 30 toneladas de carbón del almacén, ya que para ese día sólo habrá 20 toneladas en el almacén y habrá que detener el proceso de extracción de carbón. Por lo tanto, el modelo matemático refinado de la segunda situación se ve así:

y \u003d 500 - ZOD :, donde x \u003d 1, 2, 3, .... 16.

En la tercera situación, un independiente variable x teóricamente puede tomar cualquier valor no negativo (por ejemplo, x \u003d 0, x \u003d 2, x \u003d 3,5, etc.), pero en la práctica un turista no puede caminar a una velocidad constante sin dormir y descansar tanto tiempo ... Entonces necesitábamos hacer restricciones razonables en x, digamos 0< х < 6 (т. е. турист идет не более 6 ч).

Recuerde que el modelo geométrico de la doble desigualdad no estricta 0< х < 6 служит отрезок (рис. 37). Значит, уточненная модель третьей ситуации выглядит так: у = 15 + 4х, где х принадлежит отрезку .

Acordemos escribir en lugar de la frase “x pertenece al conjunto X” (dicen: “el elemento x pertenece al conjunto X”, e es el signo de pertenencia). Como puede ver, nuestro conocimiento del lenguaje matemático es constante.

Si la función lineal y \u003d kx + m debe considerarse no para todos los valores de x, sino solo para los valores de x de algunos intervalo numérico X, luego escriben:

Ejemplo 2. Grafique una función lineal:

Solución, a) Compongamos una tabla para la función lineal y \u003d 2x + 1

Construyamos los puntos (-3; 7) y (2; -3) en el plano de coordenadas xOy y dibujemos una línea recta a través de ellos. Esta es la gráfica de la ecuación y \u003d -2x: + 1. Luego, seleccione el segmento que conecta los puntos construidos (Fig. 38). Este segmento es la gráfica de la función lineal y \u003d -2x + 1, donde el [-3, 2].

Por lo general, dicen esto: graficamos una función lineal y \u003d - 2x + 1 en el segmento [- 3, 2].

b) ¿En qué se diferencia este ejemplo del anterior? La función lineal es la misma (y \u003d -2x + 1), lo que significa que la misma línea recta sirve como gráfico. ¡Pero ten cuidado! - esta vez x e (-3, 2), es decir, los valores x \u003d -3 y x \u003d 2 no se consideran, no pertenecen al intervalo (- 3, 2). ¿Cómo marcamos los extremos del intervalo en la línea de coordenadas? Círculos abiertos (Fig. 39), de esto hablamos en el § 26. Asimismo, los puntos (- 3; 7) y B; - 3) deberá estar marcado en el dibujo con círculos de luz. Esto nos recordará que solo se toman aquellos puntos de la recta y \u003d - 2x + 1, que se encuentran entre los puntos marcados con círculos (Fig. 40). Sin embargo, a veces en tales casos no se utilizan círculos de luz, sino flechas (Fig. 41). No es fundamental, lo principal es entender lo que está en juego.


Ejemplo 3. Encuentra los valores más grande y más pequeño de una función lineal en un segmento.
Decisión. Compongamos una tabla para una función lineal

Construyamos los puntos (0; 4) y (6; 7) en el plano de coordenadas xOy y dibujemos una línea recta a través de ellos: una gráfica de una función x lineal (Fig. 42).

Necesitamos considerar esta función lineal no como un todo, sino en un intervalo, es decir, para x e.

El segmento correspondiente del gráfico se resalta en el dibujo. Tenga en cuenta que la ordenada más grande de los puntos que pertenecen a la parte seleccionada es 7; esto es mayor valor función lineal en un segmento. Por lo general, usan la siguiente notación: y naib \u003d 7.

Tenga en cuenta que la ordenada más pequeña de los puntos que pertenecen a la parte de la línea recta resaltada en la Figura 42 es 4; este es el valor más pequeño de la función lineal en el segmento.
Usualmente usan esta notación: y nombre. \u003d 4.

Ejemplo 4. Encuentre y naib y y naim. para función lineal y \u003d -1,5x + 3,5

a) en un segmento; b) en el intervalo (1,5);
c) en un medio intervalo.

Decisión. Compongamos una tabla para la función lineal y \u003d -l, 5x + 3.5:

Construyamos los puntos (1; 2) y (5; - 4) en el plano coordenado xOy y dibujemos una línea recta a través de ellos (figura 43-47). Seleccionemos en la recta construida la parte correspondiente a los valores de x del segmento (Fig. 43), del intervalo A, 5) (Fig. 44), del medio intervalo (Fig. 47).

a) Usando la Figura 43, es fácil concluir que y naib \u003d 2 (la función lineal alcanza este valor en x \u003d 1), y y naim. \u003d - 4 (la función lineal alcanza este valor en x \u003d 5).

b) Utilizando la Figura 44, concluimos: esta función lineal no tiene ni los valores más grandes ni los más pequeños en un intervalo dado. ¿Por qué? El caso es que, a diferencia del caso anterior, se excluyen de consideración ambos extremos del segmento, en el que se alcanzaron los valores más altos y más bajos.

c) Utilizando la Figura 45, concluimos que y naib. \u003d 2 (como en el primer caso), y la función lineal no tiene el valor más pequeño (como en el segundo caso).

d) Utilizando la Figura 46, concluimos: y naib \u003d 3.5 (la función lineal alcanza este valor en x \u003d 0), y y naim. no existe.

e) Utilizando la Figura 47, concluimos: y naim \u003d -1 (la función lineal alcanza este valor en x \u003d 3), y y naib., no existe.

Ejemplo 5. Grafica una función lineal

y \u003d 2x - 6. Usando la gráfica, responde las siguientes preguntas:

a) ¿A qué valor de x será y \u003d 0?
b) ¿En qué valores de x será y\u003e 0?
c) en que valores de x será y< 0?

Solución. Compongamos una tabla para la función lineal y \u003d 2x-6:

Dibuje una línea recta a través de los puntos (0; - 6) y (3; 0) - la gráfica de la función y \u003d 2x - 6 (Fig. 48).

a) y \u003d 0 en x \u003d 3. La gráfica cruza el eje x en el punto x \u003d 3, este es el punto con la ordenada y \u003d 0.
b) y\u003e 0 para x\u003e 3. De hecho, si x\u003e 3, entonces la línea está ubicada sobre el eje x, lo que significa que las ordenadas de los puntos correspondientes de la línea son positivas.

gato< 0 при х < 3. В самом деле если х < 3, то прямая расположена ниже оси х, значит, ординаты соответствующих точек прямой отрицательны. A

Tenga en cuenta que en este ejemplo, decidimos usar el gráfico:

a) la ecuación 2x \u200b\u200b- 6 \u003d 0 (obtenemos x \u003d 3);
b) desigualdad 2x - 6\u003e 0 (tenemos x\u003e 3);
c) desigualdad 2x - 6< 0 (получили х < 3).

Comentario. En ruso, un mismo objeto se suele llamar de forma diferente, por ejemplo: "casa", "edificio", "estructura", "cabaña", "mansión", "cuartel", "choza", "choza". En lenguaje matemático, la situación es casi la misma. Digamos una igualdad con dos variables y \u003d kx + m, donde k, m son números específicos, se puede llamar una función lineal, podemos llamar ecuación lineal con dos variables xey (o con dos incógnitas xey), puede llamarse fórmula, puede llamarse relación entre xey, finalmente puede llamarse relación entre xey. No importa, lo principal es entender que en todos los casos estamos hablando de un modelo matemático y \u003d kx + m

.

Considere la gráfica de la función lineal que se muestra en la Figura 49, a. Si nos movemos a lo largo de este gráfico de izquierda a derecha, entonces las ordenadas de los puntos del gráfico aumentan todo el tiempo, estamos, por así decirlo, “subiendo una colina”. En tales casos, los matemáticos usan el término aumento y dicen esto: si k\u003e 0, entonces la función lineal y \u003d kx + m aumenta.

Considere la gráfica de la función lineal que se muestra en la Figura 49, b. Si nos movemos a lo largo de este gráfico de izquierda a derecha, entonces las ordenadas de los puntos del gráfico están disminuyendo todo el tiempo, estamos, por así decirlo, "bajando una colina". En tales casos, los matemáticos usan el término disminución y dicen esto: si k< О, то линейная функция у = kx + m убывает.

Función lineal en la vida

Ahora resumamos este tema. Ya hemos conocido un concepto como una función lineal, conocemos sus propiedades y hemos aprendido a construir gráficas. Además, consideró casos especiales de una función lineal y aprendió de qué depende la posición relativa de las gráficas de funciones lineales. Pero resulta que en nuestra vida diaria también nos cruzamos constantemente con este modelo matemático.

Pensemos en qué situaciones de la vida real están asociadas con un concepto como las funciones lineales. Y también, ¿entre qué cantidades o situaciones de la vida es posible establecer una relación lineal?

Es probable que muchos de ustedes no comprendan por qué necesitan estudiar funciones lineales, porque es poco probable que esto sea útil en el futuro. Pero aquí está profundamente equivocado, porque nos encontramos con funciones todo el tiempo y en todas partes. Dado que incluso el alquiler mensual habitual también es una función que depende de muchas variables. Y estas variables incluyen el metraje del área, el número de residentes, tarifas, uso de electricidad, etc.

Por supuesto, los ejemplos más comunes de funciones de dependencia lineal con los que nos hemos encontrado son las lecciones de matemáticas.

Estábamos resolviendo problemas en los que encontrábamos las distancias que pasaban coches, trenes o peatones a cierta velocidad. Estas son las funciones lineales del tiempo de movimiento. Pero estos ejemplos son aplicables no solo en matemáticas, están presentes en nuestra vida diaria.

El contenido calórico de los productos lácteos depende del contenido de grasa, y esta dependencia, por regla general, es una función lineal. Entonces, por ejemplo, con un aumento en el porcentaje de grasa en la crema agria, el contenido calórico del producto también aumenta.



Ahora hagamos algunos cálculos y encontremos los valores de k y b resolviendo el sistema de ecuaciones:


Ahora imprimamos la fórmula de dependencia:

Como resultado, obtuvimos una relación lineal.

Para conocer la velocidad de propagación del sonido en función de la temperatura, es posible averiguarlo aplicando la fórmula: v \u003d 331 + 0,6t, donde v es la velocidad (en m / s), t es la temperatura. Si dibujamos una gráfica de esta dependencia, veremos que será lineal, es decir, representará una línea recta.

Y tal usos prácticos el conocimiento en la aplicación de la dependencia funcional lineal se puede enumerar durante mucho tiempo. A partir de las tarifas telefónicas, la longitud y altura del cabello, e incluso refranes en la literatura. Y la lista sigue y sigue ...

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A. V. Pogorelov, Geometría para los grados 7-11, Libro de texto para instituciones educativas

Aprenda a tomar derivadas de funciones. La derivada caracteriza la tasa de cambio de una función en un cierto punto que se encuentra en la gráfica de esta función. En este caso, el gráfico puede ser una línea recta o curva. Es decir, la derivada caracteriza la tasa de cambio de la función en un momento particular en el tiempo. Recuerda reglas generales, mediante el cual se toman las derivadas, y solo entonces se pasa al siguiente paso.

  • Leer el artículo.
  • Cómo tomar las derivadas más simples, por ejemplo, la derivada ecuación exponencial, descrito. Los cálculos presentados en los siguientes pasos se basarán en los métodos descritos en él.

Aprenda a distinguir entre problemas en los que la pendiente debe calcularse en términos de la derivada de una función. En los problemas no siempre se propone encontrar la pendiente o la derivada de una función. Por ejemplo, se le puede pedir que encuentre la tasa de cambio de una función en el punto A (x, y). También se le puede pedir que encuentre la pendiente de la tangente en el punto A (x, y). En ambos casos, es necesario tomar la derivada de la función.

  • Toma la derivada de la función que te dieron. No necesitas trazar un gráfico aquí, solo necesitas la ecuación de la función. En nuestro ejemplo, tome la derivada de la función. Tome la derivada de acuerdo con los métodos descritos en el artículo mencionado anteriormente:

    • Derivado:

  • Sustituye las coordenadas del punto dado en la derivada derivada para calcular la pendiente. La derivada de la función es igual a la pendiente en cierto punto. En otras palabras, f "(x) es la pendiente de la función en cualquier punto (x, f (x)). En nuestro ejemplo:

    • Encuentra la pendiente de la función f (x) \u003d 2 x 2 + 6 x (\\ displaystyle f (x) \u003d 2x ^ (2) + 6x) en el punto A (4.2).
    • Derivada de la función:
      • f ′ (x) \u003d 4 x + 6 (\\ displaystyle f "(x) \u003d 4x + 6)
    • Reemplaza la coordenada x de este punto:
      • f ′ (x) \u003d 4 (4) + 6 (\\ displaystyle f "(x) \u003d 4 (4) +6)
    • Encuentra la pendiente:
    • Pendiente de una función f (x) \u003d 2 x 2 + 6 x (\\ displaystyle f (x) \u003d 2x ^ (2) + 6x) en el punto A (4.2) es 22.

  • Si es posible, verifique su respuesta en el gráfico. Tenga en cuenta que es posible que la pendiente no se calcule en todos los puntos. El cálculo diferencial considera funciones complejas y gráficos complejos, donde la pendiente no se puede calcular en todos los puntos y, en algunos casos, los puntos no se encuentran en los gráficos en absoluto. Si es posible, use una calculadora gráfica para verificar si la pendiente de la función es correcta. De lo contrario, dibuje una tangente a la gráfica en el punto dado y considere si el valor de la pendiente que encontró coincide con lo que ve en la gráfica.

    • La tangente tendrá la misma pendiente que la gráfica de la función en un punto en particular. Para dibujar una tangente en un punto dado, muévase hacia la derecha / izquierda a lo largo del eje X (en nuestro ejemplo, 22 valores a la derecha) y luego hacia arriba una unidad a lo largo del eje Y. Marque el punto y luego conéctelo al punto que se le ha asignado. En nuestro ejemplo, conecte los puntos en las coordenadas (4,2) y (26,3).