Función lineal cómo encontrar k. Función lineal y su gráfica.
Como muestra la práctica, las tareas sobre las propiedades y gráficas de una función cuadrática causan serias dificultades. Esto es bastante extraño, porque estudian la función cuadrática en el octavo grado, y luego durante el primer trimestre del noveno grado "atormentan" las propiedades de la parábola y construyen sus gráficas para varios parámetros.
Esto se debe al hecho de que cuando obligan a los estudiantes a construir parábolas, prácticamente no dedican tiempo a "leer" los gráficos, es decir, no practican la comprensión de la información recibida de la imagen. Aparentemente, se supone que, después de construir una docena o dos gráficos, un estudiante inteligente descubrirá y formulará la relación entre los coeficientes en la fórmula y apariencia Artes graficas. En la práctica esto no funciona. Para tal generalización, se requiere una experiencia seria en miniinvestigación matemática, que la mayoría de los estudiantes de noveno grado, por supuesto, no poseen. Mientras tanto, la Inspección del Estado propone determinar los signos de los coeficientes utilizando el cuadro.
No exigiremos lo imposible a los escolares y simplemente ofreceremos uno de los algoritmos para resolver este tipo de problemas.
Entonces, una función de la forma y = hacha 2 + bx + c llamada cuadrática, su gráfica es una parábola. Como sugiere el nombre, el término principal es hacha 2. Eso es A no debe ser igual a cero, los coeficientes restantes ( b Y Con) puede ser igual a cero.
Veamos cómo los signos de sus coeficientes afectan la apariencia de una parábola.
La dependencia más simple del coeficiente. A. La mayoría de los escolares responden con confianza: “si A> 0, entonces las ramas de la parábola se dirigen hacia arriba, y si A < 0, - то вниз". Совершенно верно. Ниже приведен график квадратичной функции, у которой A > 0.
y = 0,5x 2 - 3x + 1
En este caso A = 0,5
Y ahora por A < 0:
y = - 0,5x2 - 3x + 1
En este caso A = - 0,5
Impacto del coeficiente Con También es bastante fácil de seguir. Imaginemos que queremos encontrar el valor de una función en un punto X= 0. Sustituye cero en la fórmula:
y = a 0 2 + b 0 + C = C. Resulta que y = c. Eso es Con es la ordenada del punto de intersección de la parábola con el eje y. Normalmente, este punto es fácil de encontrar en el gráfico. Y determine si está por encima o por debajo de cero. Eso es Con> 0 o Con < 0.
Con > 0:
y = x 2 + 4x + 3
Con < 0
y = x 2 + 4x - 3
En consecuencia, si Con= 0, entonces la parábola pasará necesariamente por el origen:
y = x2 + 4x
Más difícil con el parámetro. b. El punto en el que lo encontraremos depende no sólo de b sino también de A. Esta es la cima de la parábola. Su abscisa (coordenada del eje X) se encuentra mediante la fórmula x en = - b/(2a). De este modo, b = - 2ax pulg. Es decir, procedemos de la siguiente manera: encontramos el vértice de la parábola en la gráfica, determinamos el signo de su abscisa, es decir, miramos a la derecha de cero ( x en> 0) o hacia la izquierda ( x en < 0) она лежит.
Sin embargo, eso no es todo. También debemos prestar atención al signo del coeficiente. A. Es decir, mira hacia dónde se dirigen las ramas de la parábola. Y solo después de eso, según la fórmula. b = - 2ax pulg determinar el signo b.
Veamos un ejemplo:
Las ramas están dirigidas hacia arriba, lo que significa A> 0, la parábola corta al eje en bajo cero, es decir Con < 0, вершина параболы лежит правее нуля. Следовательно, x en> 0. Entonces b = - 2ax pulg = -++ = -. b < 0. Окончательно имеем: A > 0, b < 0, Con < 0.
Una función lineal es una función de la forma
argumento x (variable independiente),
función y (variable dependiente),
k y b son algunos números constantes
La gráfica de una función lineal es derecho.
Para crear un gráfico es suficiente. dos puntos, porque a través de dos puntos se puede trazar una línea recta y, además, solo uno.
Si k˃0, entonces la gráfica se ubica en el primer y tercer cuarto de coordenadas. Si k˂0, entonces la gráfica se ubica en el segundo y cuarto cuarto de coordenadas.
El número k se llama pendiente de la gráfica recta de la función y(x)=kx+b. Si k˃0, entonces el ángulo de inclinación de la recta y(x)= kx+b hacia la dirección positiva Ox es agudo; si k˂0, entonces este ángulo es obtuso.
El coeficiente b muestra el punto de intersección del gráfico con el eje del amplificador operacional (0; b).
y(x)=k∙x-- caso especial Una función típica se llama proporcionalidad directa. La gráfica es una línea recta que pasa por el origen, por lo que un punto es suficiente para construir esta gráfica.
Gráfica de una función lineal
Donde coeficiente k = 3, por lo tanto
La gráfica de la función aumentará y tendrá un ángulo agudo con el eje Ox porque El coeficiente k tiene un signo más.
función lineal fuera de línea
OPF de una función lineal
Excepto en el caso en que
También una función lineal de la forma
es una funcion vista general.
B) Si k=0; b≠0,
En este caso, la gráfica es una recta paralela al eje Ox y que pasa por el punto (0; b).
B) Si k≠0; b≠0, entonces la función lineal tiene la forma y(x)=k∙x+b.
Ejemplo 1 . Grafica la función y(x)= -2x+5
Ejemplo 2 . Encontremos los ceros de la función y=3x+1, y=0;
– ceros de la función.
Respuesta: o (;0)
Ejemplo 3 . Determine el valor de la función y=-x+3 para x=1 y x=-1
y(-1)=-(-1)+3=1+3=4
Respuesta: y_1=2; y_2=4.
Ejemplo 4 . Determine las coordenadas de su punto de intersección o demuestre que las gráficas no se cruzan. Sean dadas las funciones y 1 =10∙x-8 y y 2 =-3∙x+5.
Si las gráficas de funciones se cruzan, entonces los valores de las funciones en este punto son iguales
Sustituye x=1, entonces y 1 (1)=10∙1-8=2.
Comentario. También puedes sustituir el valor resultante del argumento en la función y 2 =-3∙x+5, entonces obtenemos la misma respuesta y 2 (1)=-3∙1+5=2.
y=2- ordenada del punto de intersección.
(1;2) - el punto de intersección de las gráficas de las funciones y=10x-8 e y=-3x+5.
Respuesta: (1;2)
Ejemplo 5 .
Construya gráficas de las funciones y 1 (x)= x+3 y y 2 (x)= x-1.
Puedes notar que el coeficiente k=1 para ambas funciones.
De lo anterior se deduce que si los coeficientes de una función lineal son iguales, entonces sus gráficas en el sistema de coordenadas son paralelas.
Ejemplo 6 .
Construyamos dos gráficas de la función.
El primer gráfico tiene la fórmula.
El segundo gráfico tiene la fórmula.
En este caso, tenemos una gráfica de dos rectas que se cruzan en el punto (0;4). Esto significa que el coeficiente b, que es responsable de la altura de elevación del gráfico por encima del eje Ox, si x = 0. Esto significa que podemos suponer que el coeficiente b de ambas gráficas es igual a 4.
Montaje: Ageeva Lyubov Aleksandrovna, Gavrilina Anna Viktorovna
El concepto de función numérica. Métodos para especificar una función. Propiedades de funciones.
Una función numérica es una función que actúa desde un espacio numérico (conjunto) a otro espacio numérico (conjunto).
Tres formas principales de definir una función: analítica, tabular y gráfica.
1. Analítico.
El método de especificar una función mediante una fórmula se llama analítico. Este método es el principal en el tapete. análisis, pero en la práctica no es conveniente.
2. Método tabular para especificar una función.
Se puede especificar una función utilizando una tabla que contiene los valores de los argumentos y sus valores de función correspondientes.
3. Método gráfico para especificar una función.
Se dice que una función y=f(x) está dada gráficamente si se construye su gráfica. Este método de especificar una función permite determinar los valores de la función solo aproximadamente, ya que construir un gráfico y encontrar los valores de la función en él está asociado con errores.
Propiedades de una función que se deben tener en cuenta a la hora de construir su gráfica:
1)Área definiciones de funciones.
Dominio de la función, es decir, aquellos valores que puede tomar el argumento x de la función F =y(x).
2) Intervalos de funciones crecientes y decrecientes.
La función se llama creciente. en el intervalo considerado, si valor mas alto el argumento corresponde a un valor mayor de la función y(x). Esto significa que si se toman dos argumentos arbitrarios x 1 y x 2 del intervalo considerado, y x 1 > x 2, entonces y(x 1) > y(x 2).
La función se llama decreciente. en el intervalo considerado, si un valor mayor del argumento corresponde a un valor menor de la función y(x). Esto significa que si se toman dos argumentos arbitrarios x 1 y x 2 del intervalo considerado, y x 1< х 2 , то у(х 1) < у(х 2).
3) Función ceros.
Los puntos en los que la función F = y (x) corta el eje de abscisas (se obtienen resolviendo la ecuación y(x) = 0) se denominan ceros de la función.
4) Funciones pares e impares.
La función se llama par, si para todos los valores de argumento del alcance
y(-x) = y(x).
La gráfica de una función par es simétrica con respecto a la ordenada.
La función se llama impar., si para todos los valores del argumento del dominio de definición
y(-x) = -y(x).
La gráfica de una función par es simétrica con respecto al origen.
Muchas funciones no son ni pares ni impares.
5) Periodicidad de la función.
La función se llama periódica, si existe un número P tal que para todos los valores del argumento del dominio de definición
y(x + P) = y(x).
Función lineal, sus propiedades y gráfica.
Una función lineal es una función de la forma y = kx + b, definido en el conjunto de todos los números reales.
k– pendiente (número real)
b– término ficticio (número real)
X- variable independiente.
· En el caso especial, si k = 0, obtenemos una función constante y = b, cuya gráfica es una recta paralela al eje Ox que pasa por el punto de coordenadas (0; b).
· Si b = 0, entonces obtenemos la función y = kx, que es de proporcionalidad directa.
o El significado geométrico del coeficiente b es la longitud del segmento que corta la recta a lo largo del eje Oy, contando desde el origen.
o El significado geométrico del coeficiente k es el ángulo de inclinación de la recta con respecto a la dirección positiva del eje Ox, calculado en sentido antihorario.
Propiedades de una función lineal:
1) El dominio de definición de una función lineal es todo el eje real;
2) Si k ≠ 0, entonces el rango de valores de la función lineal es todo el eje real.
Si k = 0, entonces el rango de valores de la función lineal consta del número b;
3) La uniformidad y la imparidad de una función lineal dependen de los valores de los coeficientes k y b.
a) b ≠ 0, k = 0, por lo tanto, y = b – par;
b) b = 0, k ≠ 0, por lo tanto y = kx – impar;
c) b ≠ 0, k ≠ 0, por lo tanto y = kx + b es una función de forma general;
d) b = 0, k = 0, por lo tanto y = 0 es una función par e impar.
4) Una función lineal no tiene la propiedad de periodicidad;
5) Puntos de intersección con ejes de coordenadas:
Ox: y = kx + b = 0, x = -b/k, por lo tanto (-b/k; 0) es el punto de intersección con el eje x.
Oy: y = 0k + b = b, por lo tanto (0; b) es el punto de intersección con la ordenada.
Comentario. Si b = 0 y k = 0, entonces la función y = 0 desaparece para cualquier valor de la variable x. Si b ≠ 0 y k = 0, entonces la función y = b no desaparece para ningún valor de la variable x.
6) Los intervalos de signo constante dependen del coeficiente k.
a) k > 0; kx + b > 0, kx > -b, x > -b/k.
y = kx + b – positivo en x desde (-b/k; +∞),
y = kx + b – negativo para x de (-∞; -b/k).
b)k< 0; kx + b < 0, kx < -b, x < -b/k.
y = kx + b – positivo en x desde (-∞; -b/k),
y = kx + b – negativo para x de (-b/k; +∞).
c) k = 0, b > 0; y = kx + b es positivo en todo el dominio de definición,
k = 0, segundo< 0; y = kx + b отрицательна на всей области определения.
7) Los intervalos de monotonicidad de una función lineal dependen del coeficiente k.
k > 0, por lo tanto y = kx + b aumenta en todo el dominio de definición,
k< 0, следовательно y = kx + b убывает на всей области определения.
11. Función y = ax 2 + bx + c, sus propiedades y gráfica.
| La función y = ax 2 + bx + c (a, b, c son constantes, a ≠ 0) se llama cuadrático En el caso más simple, y = ax 2 (b = c = 0), la gráfica es una línea curva que pasa por el origen. La curva que sirve como gráfica de la función y = ax 2 es una parábola. Toda parábola tiene un eje de simetría llamado el eje de la parábola. El punto O de la intersección de una parábola con su eje se llama el vértice de la parábola. |
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| La gráfica se puede construir según el siguiente esquema: 1) Encuentra las coordenadas del vértice de la parábola x 0 = -b/2a; y 0 = y(x 0). 2) Construimos algunos puntos más que pertenecen a la parábola, al construir podemos usar las simetrías de la parábola con respecto a la recta x = -b/2a. 3) Conecte los puntos indicados con una línea suave. Ejemplo. Grafica la función b = x 2 + 2x - 3. Soluciones. La gráfica de la función es una parábola, cuyas ramas se dirigen hacia arriba. La abscisa del vértice de la parábola x 0 = 2/(2 ∙1) = -1, sus ordenadas y(-1) = (1) 2 + 2(-1) - 3 = -4. Entonces, el vértice de la parábola es el punto (-1; -4). Hagamos una tabla de valores para varios puntos que se encuentran a la derecha del eje de simetría de la parábola: la línea recta x = -1. Propiedades de la función.
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Definición de una función lineal
Introduzcamos la definición de lineal. funciones
Definición
Una función de la forma $y=kx+b$, donde $k$ es distinto de cero, se llama función lineal.
La gráfica de una función lineal es una línea recta. El número $k$ se llama pendiente de la recta.
Cuando $b=0$ la función lineal se llama función proporcionalidad directa$y=kx$.
Considere la Figura 1.
Arroz. 1. Geométrico significado pendiente de una recta
Considere el triángulo ABC. Vemos que $ВС=kx_0+b$. Encontremos el punto de intersección de la recta $y=kx+b$ con el eje $Ox$:
\ \
Entonces $AC=x_0+\frac(b)(k)$. Encontremos la proporción de estos lados:
\[\frac(BC)(AC)=\frac(kx_0+b)(x_0+\frac(b)(k))=\frac(k(kx_0+b))((kx)_0+b)=k \]
Por otro lado, $\frac(BC)(AC)=tg\angle A$.
Así, podemos sacar la siguiente conclusión:
Conclusión
Significado geométrico del coeficiente $k$. El coeficiente angular de la recta $k$ es igual a la tangente del ángulo de inclinación de esta recta al eje $Ox$.
Estudio de la función lineal $f\left(x\right)=kx+b$ y su gráfica
Primero, considere la función $f\left(x\right)=kx+b$, donde $k > 0$.
- $f"\left(x\right)=(\left(kx+b\right))"=k>0$. En consecuencia, esta función aumenta en todo el dominio de definición. No hay puntos extremos.
- $(\mathop(lim)_(x\to -\infty ) kx\ )=-\infty $, $(\mathop(lim)_(x\to +\infty ) kx\ )=+\infty $
- Gráfico (Fig. 2).
Arroz. 2. Gráficas de la función $y=kx+b$, para $k > 0$.
Ahora considere la función $f\left(x\right)=kx$, donde $k
- El dominio de definición son todos los números.
- El rango de valores son todos números.
- $f\izquierda(-x\derecha)=-kx+b$. La función no es ni par ni impar.
- Para $x=0,f\left(0\right)=b$. Cuando $y=0.0=kx+b,\ x=-\frac(b)(k)$.
Puntos de intersección con ejes de coordenadas: $\left(-\frac(b)(k),0\right)$ y $\left(0,\ b\right)$
- $f"\left(x\right)=(\left(kx\right))"=k
- $f^("")\left(x\right)=k"=0$. Por lo tanto, la función no tiene puntos de inflexión.
- $(\mathop(lim)_(x\to -\infty ) kx\ )=+\infty $, $(\mathop(lim)_(x\to +\infty ) kx\ )=-\infty $
- Gráfico (Fig. 3).
