Usando la definición de derivada, encuentra la derivada de la función. §1. Definición de derivada

20.09.2019

Crea una proporción y calcula el límite..

¿De dónde vino? tabla de derivadas y reglas de diferenciación? Gracias al único límite. Parece magia, pero en realidad es un juego de manos y no un fraude. En la lección ¿Qué es un derivado? comencé a mirar ejemplos específicos, donde, usando la definición, encontré las derivadas de una función lineal y cuadrática. Con el propósito de calentamiento cognitivo, continuaremos perturbando tabla de derivados, perfeccionando el algoritmo y las soluciones técnicas:

Ejemplo 1

Básicamente, es necesario demostrar caso especial derivado función de potencia, que suele aparecer en la tabla: .

Solución formalizado técnicamente de dos maneras. Comencemos con el primer enfoque, que ya nos resulta familiar: la escalera comienza con una tabla y la función derivada comienza con la derivada en un punto.

Consideremos alguno punto (específico) perteneciente a dominio de definición Función en la que hay una derivada. Establezcamos el incremento en este punto. (por supuesto, dentro del alcanceo/o -I) y componer el incremento correspondiente de la función:

Calculemos el límite:

La incertidumbre 0:0 se elimina mediante una técnica estándar, considerada en el siglo I a.C. Multiplica el numerador y denominador por la expresión conjugada :

La técnica para resolver dicho límite se analiza en detalle en la lección introductoria. sobre los límites de las funciones.

Dado que es posible elegir CUALQUIER punto del intervalo como calidad, luego de realizar el reemplazo obtenemos:

Respuesta

Una vez más, regocijémonos con los logaritmos:

Ejemplo 2

Encuentra la derivada de una función usando la definición de derivada.

Solución: Consideremos un enfoque diferente para promover la misma tarea. Es exactamente igual, pero más racional en cuanto a diseño. La idea es deshacerse del subíndice al comienzo de la solución y usar la letra en lugar de la letra.

Consideremos arbitrario punto perteneciente a dominio de definición función (intervalo) y establezca el incremento en ella. Pero aquí, por cierto, como en la mayoría de los casos, puedes hacerlo sin reservas, ya que la función logarítmica es diferenciable en cualquier punto del dominio de definición.

Entonces el incremento correspondiente de la función es:

Encontremos la derivada:

La simplicidad del diseño se equilibra con la confusión que puede surgir para los principiantes (y no solo). Después de todo, ¡estamos acostumbrados a que la letra “X” cambie en el límite! Pero aquí todo es diferente: una estatua antigua y un visitante vivo que camina rápidamente por el pasillo del museo. Es decir, "x" es "como una constante".

Comentaré la eliminación de la incertidumbre paso a paso:

(1) Usamos la propiedad del logaritmo. .

(2) Entre paréntesis, divida el numerador por el denominador término por término.

(3) En el denominador, multiplicamos y dividimos artificialmente por “x” para aprovechar límite notable , mientras que infinitesimal destaca.

Respuesta: por definición de derivada:

O en resumen:

Te propongo diseñar dos más tú mismo. fórmulas tabulares:

Ejemplo 3

En este caso, es conveniente reducir inmediatamente el incremento compilado a un denominador común. Una muestra aproximada de la tarea al final de la lección (primer método).

Ejemplo 3:Solución : considerar algún punto , perteneciente al dominio de definición de la función . Establezcamos el incremento en este punto. y componer el incremento correspondiente de la función:

Encontremos la derivada en el punto :

ya que como puedes seleccionar cualquier punto dominio de función , Eso Y
Respuesta : por definición de derivada

Ejemplo 4

Encuentra derivada por definición

Y aquí todo hay que reducirlo a límite maravilloso. La solución se formaliza de la segunda forma.

Una serie de otros derivadas tabulares. Lista llena se puede encontrar en un libro de texto escolar o, por ejemplo, en el primer volumen de Fichtenholtz. No veo mucho sentido en copiar pruebas de reglas de diferenciación de libros; también las genera la fórmula.

Ejemplo 4:Solución , perteneciendo a y establezca el incremento en él

Encontremos la derivada:

Usando un límite maravilloso

Respuesta : priorato

Ejemplo 5

Encuentra la derivada de una función. , usando la definición de derivada

Solución: utilizamos el primer estilo de diseño. Consideremos algún punto que pertenece a y especifiquemos el incremento del argumento en él. Entonces el incremento correspondiente de la función es:

Quizás algunos lectores aún no hayan comprendido completamente el principio por el cual se deben realizar los incrementos. Tome un punto (número) y encuentre el valor de la función en él: , es decir, en la función en lugar de Se debe sustituir "X". Ahora también tomamos un número muy específico y lo sustituimos en la función en lugar de"iksa": . Anotamos la diferencia, y es necesario. poner entre paréntesis completamente.

Incremento de función compilada Puede resultar beneficioso simplificar inmediatamente. ¿Para qué? Facilitar y acortar la solución hasta un límite mayor.

Usamos fórmulas, abrimos los corchetes y reducimos todo lo que se puede reducir:

El pavo está destripado, no hay problema con el asado:

Eventualmente:

Como podemos elegir cualquier número real como valor, hacemos el reemplazo y obtenemos .

Respuesta: a-priorato.

Para propósitos de verificación, encontremos la derivada usando reglas y tablas de diferenciación:

Siempre es útil y agradable saber de antemano la respuesta correcta, por lo que es mejor diferenciar la función propuesta de forma “rápida”, ya sea mentalmente o en un borrador, desde el principio de la solución.

Ejemplo 6

Encuentra la derivada de una función por definición de derivada.

Este es un ejemplo para que lo resuelvas por tu cuenta. El resultado es obvio:

Ejemplo 6:Solución : considerar algún punto , perteneciendo a y establece el incremento del argumento en él. . Entonces el incremento correspondiente de la función es:

Calculemos la derivada:

De este modo:
Porque como puedes elegir cualquier número real, entonces Y
Respuesta : a-priorato.

Volvamos al estilo n.° 2:

Ejemplo 7

Averigüemos inmediatamente qué debería pasar. Por regla de diferenciación función compleja :

Solución: considere un punto arbitrario que pertenece a , establezca el incremento del argumento en él y componga el incremento de la función:

Encontremos la derivada:

(1) Uso fórmula trigonométrica .

(2) Bajo el seno abrimos los paréntesis, bajo el coseno presentamos términos similares.

(3) Bajo el seno reducimos los términos, bajo el coseno dividimos el numerador por el denominador término por término.

(4) Debido a la rareza del seno, eliminamos el "menos". Bajo el coseno indicamos que el término .

(5) Realizamos una multiplicación artificial en el denominador para utilizar primer límite maravilloso. Así, se elimina la incertidumbre, arreglemos el resultado.

Respuesta: priorato

Como puede ver, la principal dificultad del problema que estamos considerando radica en la complejidad del límite en sí + la ligera singularidad del embalaje. En la práctica, ambos métodos de diseño ocurren, por lo que describo ambos enfoques con el mayor detalle posible. Son equivalentes, pero aún así, en mi impresión subjetiva, es más recomendable que los tontos se ciñan a la opción 1 con “X-cero”.

Ejemplo 8

Usando la definición, encuentre la derivada de la función.

Ejemplo 8:Solución : considerar un punto arbitrario , perteneciendo a , establezcamos el incremento en él y componer el incremento de la función:

Encontremos la derivada:

Usamos la fórmula trigonométrica. y el primer límite destacable:

Respuesta : priorato

Veamos una versión más rara del problema:

Ejemplo 9

Encuentra la derivada de la función en el punto usando la definición de derivada.

En primer lugar, ¿cuál debería ser el resultado final? Número

Calculemos la respuesta de la forma estándar:

Solución: desde el punto de vista de la claridad, esta tarea es mucho más sencilla, ya que la fórmula considera un valor específico.

Establezcamos el incremento en el punto y componamos el incremento correspondiente de la función:

Calculemos la derivada en el punto:

Usamos una fórmula de diferencia tangente muy rara. y una vez más reducimos la solución a el primer límite maravilloso:

Respuesta: por definición de derivada en un punto.

El problema no es tan difícil de resolver y “en vista general" - basta con reemplazarlo o simplemente según el método de diseño. En este caso, está claro que el resultado no será un número, sino una función derivada.

Ejemplo 10

Usando la definición, encuentre la derivada de la función. en un punto (uno de los cuales puede resultar infinito), que ya he descrito en términos generales en lección teórica sobre derivada.

Algunas funciones definidas por partes también son diferenciables en los puntos de “unión” del gráfico, por ejemplo, catdog tiene una derivada común y una tangente común (eje x) en el punto. Curva, pero diferenciable por ! Los interesados pueden comprobarlo por sí mismos utilizando el ejemplo que acabamos de resolver.

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en el plano coordenado xoy Considere la gráfica de la función. y=f(x). Arreglemos el punto M(x 0 ; f (x 0)). agreguemos una abscisa x0 incremento Δx. Obtendremos una nueva abscisa. x 0 +Δx. Esta es la abscisa del punto. norte, y la ordenada será igual f (x 0 +Δx). El cambio de abscisa supuso un cambio de ordenada. Este cambio se llama incremento de función y se denota Δy.

Δy=f (x 0 +Δx) - f (x 0). A través de puntos METRO Y norte dibujemos una secante Minnesota, que forma un ángulo φ con dirección de eje positiva Oh. Determinemos la tangente del ángulo. φ de triángulo rectángulo NMP.

Dejar Δx tiende a cero. Entonces la secante Minnesota tenderá a tomar una posición tangente MONTE, y el ángulo φ se convertirá en un ángulo α . Entonces la tangente del ángulo α Hay valor límite tangente del ángulo φ :

El límite de la relación entre el incremento de una función y el incremento del argumento, cuando este último tiende a cero, se llama derivada de la función en un punto dado:

Significado geométrico de derivada radica en el hecho de que la derivada numérica de la función en un punto dado es igual a la tangente del ángulo formado por la tangente trazada por este punto a la curva dada y la dirección positiva del eje Oh:

Ejemplos.

1. Encuentre el incremento del argumento y el incremento de la función y= x2, si el valor inicial del argumento era igual a 4 , y nuevo - 4,01 .

Solución.

Nuevo valor de argumento x=x 0 +Δx. Sustituyamos los datos: 4.01=4+Δх, de ahí el incremento del argumento Δx=4,01-4=0,01. El incremento de una función, por definición, es igual a la diferencia entre los valores nuevos y anteriores de la función, es decir Δy=f (x 0 +Δx) - f (x 0). Ya que tenemos una función y=x2, Eso Δу=(x 0 +Δx) 2 - (x 0) 2 =(x 0) 2 +2x 0 · Δx+(Δx) 2 - (x 0) 2 =2x 0 · Δx+(Δx) 2 =

2 · 4 · 0,01+(0,01) 2 =0,08+0,0001=0,0801.

Respuesta: incremento de argumento Δx=0,01; incremento de función Δу=0,0801.

El incremento de la función se puede encontrar de otra manera: Δy=y (x 0 +Δx) -y (x 0)=y(4.01) -y(4)=4.01 2 -4 2 =16.0801-16=0.0801.

2. Encuentra el ángulo de inclinación de la tangente a la gráfica de la función. y=f(x) en el punto x0, Si f "(x 0) = 1.

Solución.

El valor de la derivada en el punto de tangencia. x0 y es el valor de la tangente del ángulo tangente (el significado geométrico de la derivada). Tenemos: f "(x 0) = tanα = 1 → α = 45°, porque tg45°=1.

Respuesta: la tangente a la gráfica de esta función forma un ángulo con la dirección positiva del eje Ox igual a 45°.

3. Deducir la fórmula para la derivada de la función. y=xn.

Diferenciación es la acción de encontrar la derivada de una función.

Al encontrar derivadas, use fórmulas que se derivaron en función de la definición de derivada, de la misma manera que derivamos la fórmula para el grado de derivada: (x n)" = nx n-1.

Estas son las fórmulas.

Tabla de derivadas Será más fácil de memorizar pronunciando formulaciones verbales:

1. La derivada de una cantidad constante es cero.

2. X primo es igual a uno.

3. El factor constante se puede quitar del signo de la derivada.

4. La derivada de un grado es igual al producto del exponente de ese grado por un grado de la misma base, pero el exponente es uno menos.

5. La derivada de una raíz es igual a uno dividido por dos raíces iguales.

6. La derivada de uno dividido por x es igual a menos uno dividido por x al cuadrado.

7. La derivada del seno es igual al coseno.

8. La derivada del coseno es igual a menos el seno.

9. La derivada de la tangente es igual a uno dividido por el cuadrado del coseno.

10. La derivada de la cotangente es igual a menos uno dividido por el cuadrado del seno.

Nosotros enseñamos reglas de diferenciación.

1. La derivada de una suma algebraica es igual a la suma algebraica de las derivadas de los términos.

2. La derivada de un producto es igual al producto de la derivada del primer factor y del segundo más el producto del primer factor y la derivada del segundo.

3. La derivada de “y” dividida por “ve” es igual a una fracción en la que el numerador es “y primo multiplicado por “ve” menos “y multiplicado por ve primo”, y el denominador es “ve al cuadrado”.

4. Un caso especial de la fórmula. 3.

¡Aprendamos juntos!

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Derivada de una función de una variable.

Introducción.

Real desarrollos metodológicos Destinado a estudiantes de la Facultad de Ingeniería Civil e Industrial. Fueron compilados en relación con el programa del curso de matemáticas en la sección "Cálculo diferencial de funciones de una variable".

Los desarrollos representan una única guía metodológica, que incluye: breve información teórica; problemas y ejercicios “estándar” con soluciones detalladas y explicaciones de estas soluciones; opciones de prueba.

Hay ejercicios adicionales al final de cada párrafo. Esta estructura de desarrollos los hace aptos para el dominio independiente de la sección con una mínima asistencia del profesor.

§1. Definición de derivada.

Significado mecánico y geométrico.

derivado.

El concepto de derivada es uno de los conceptos más importantes del análisis matemático y surgió en el siglo XVII. La formación del concepto de derivada está históricamente asociada a dos problemas: el problema de la velocidad del movimiento alterno y el problema de la tangente a una curva.

Estos problemas, a pesar de su diferente contenido, conducen a la misma operación matemática que se debe realizar sobre una función, operación que ha recibido un nombre especial en matemáticas. Se llama operación de derivación de una función. El resultado de la operación de diferenciación se llama derivada.

Entonces, la derivada de la función y=f(x) en el punto x0 es el límite (si existe) de la relación entre el incremento de la función y el incremento del argumento.
en
.

La derivada suele denotarse de la siguiente manera:
.

Así, por definición

Los símbolos también se utilizan para indicar derivados.
.

Significado mecánico de derivada.

Si s=s(t) es la ley del movimiento rectilíneo de un punto material, entonces
es la velocidad de este punto en el tiempo t.

Significado geométrico de derivada.

Si la función y=f(x) tiene una derivada en el punto , entonces el coeficiente angular de la tangente a la gráfica de la función en el punto
es igual
.

Ejemplo.

Encuentra la derivada de la función
en el punto =2:

1) Démosle un punto =2 incrementos
. Darse cuenta de.

2) Encuentra el incremento de la función en el punto. =2:

3) Creemos la relación entre el incremento de la función y el incremento del argumento:

Encontremos el límite de la relación en
:

De este modo,
.

§ 2. Derivados de algunos

funciones más simples.

El estudiante necesita aprender a calcular derivadas de funciones específicas: y=x,y= y en general = .

Encontremos la derivada de la función y=x.

aquellos. (x)′=1.

Encontremos la derivada de la función.

Derivado

Dejar
Entonces

Es fácil notar un patrón en las expresiones de las derivadas de la función potencia.
con n=1,2,3.

Por eso,

. (1)

Esta fórmula es válida para cualquier n real.

En particular, usando la fórmula (1), tenemos:

;

Ejemplo.

Encuentra la derivada de la función

Esta función es un caso especial de una función de la forma

en
.

Usando la fórmula (1), tenemos

Derivadas de las funciones y=sen x e y=cos x.

Sea y=senx.

Dividiendo por ∆x, obtenemos

Pasando al límite en ∆x→0, tenemos

Sea y=cosx.

Pasando al límite en ∆x→0, obtenemos

;
. (2)

§3. Reglas básicas de diferenciación.

Consideremos las reglas de diferenciación.

Teorema1 . Si las funciones u=u(x) y v=v(x) son diferenciables en un punto x dado, entonces su suma es diferenciable en este punto, y la derivada de la suma es igual a la suma de las derivadas de los términos : (u+v)"=u"+v".(3 )

Prueba: considere la función y=f(x)=u(x)+v(x).

El incremento ∆x del argumento x corresponde a los incrementos ∆u=u(x+∆x)-u(x), ∆v=v(x+∆x)-v(x) de las funciones u y v. Entonces la función y aumentará

∆y=f(x+∆x)-f(x)=

=--=∆u+∆v.

Por eso,

Entonces, (u+v)"=u"+v".

Teorema2. Si las funciones u=u(x) y v=v(x) son derivables en un punto dado x, entonces su producto es derivable en el mismo punto. En este caso, la derivada del producto se encuentra mediante la siguiente fórmula: ( uv)"=u"v+uv". ( 4)

Prueba: Sea y=uv, donde u y v son algunas funciones diferenciables de x. Démosle a x un incremento de ∆x; entonces u recibirá un incremento de ∆u, v recibirá un incremento de ∆v e y recibirá un incremento de ∆y.

Tenemos y+∆y=(u+∆u)(v+∆v), o

y+∆y=uv+u∆v+v∆u+∆u∆v.

Por lo tanto, ∆y=u∆v+v∆u+∆u∆v.

De aquí

Pasando al límite en ∆x→0 y teniendo en cuenta que u y v no dependen de ∆x, tendremos

Teorema 3. La derivada del cociente de dos funciones es igual a una fracción cuyo denominador es igual al cuadrado del divisor, y el numerador es la diferencia entre el producto de la derivada del dividendo por el divisor y el producto del dividendo y la derivada del divisor, es decir

Si
Eso
(5)

Teorema 4. La derivada de una constante es cero, es decir si y=C, donde C=const, entonces y"=0.

Teorema 5. El factor constante se puede quitar del signo de la derivada, es decir si y=Cu(x), donde С=const, entonces y"=Cu"(x).

Ejemplo 1.

Encuentra la derivada de la función

Esta función tiene la forma
, dondeu=x,v=cosx. Aplicando la regla de diferenciación (4), encontramos

Ejemplo 2.

Encuentra la derivada de la función

Apliquemos la fórmula (5).

Aquí
;
.

Tareas.

Encuentre las derivadas de las siguientes funciones:

;

11)

2)
; 12)
;

3)
13)

4)
14)

5)
15)

6)
16)

7 )
17)

8)
18)

9)
19)

10)
20)

¿Cuándo hizo el hombre la primera pasos independientes en el estudio del análisis matemático y comienza a hacer preguntas incómodas, ya no es tan fácil salirse con la suya con la frase que "se encontró cálculo diferencial en el repollo". Por tanto, ha llegado el momento de determinar y revelar el secreto del nacimiento. tablas de derivadas y reglas de diferenciación. Comenzó en el artículo. sobre el significado de derivada, que recomiendo mucho estudiar, porque allí simplemente miramos el concepto de derivada y comenzamos a hacer clic en los problemas sobre el tema. Esta misma lección tiene una marcada orientación práctica, además,

Los ejemplos que se analizan a continuación pueden, en principio, dominarse de forma puramente formal. (por ejemplo, cuando no hay tiempo/ganas de profundizar en la esencia de la derivada). También es muy deseable (pero nuevamente no necesario) poder encontrar derivadas utilizando el método "ordinario", al menos al nivel de dos lecciones básicas:¿Cómo encontrar la derivada? y Derivada de una función compleja.

Pero hay una cosa de la que definitivamente no podemos prescindir ahora: es límites de función. Debes ENTENDER qué es un límite y poder resolverlos al menos a un nivel medio. Y todo porque la derivada.

La función en un punto está determinada por la fórmula:

Permítanme recordarles las designaciones y términos: llaman incremento de argumento;

– incremento de función;

– estos son símbolos ÚNICOS (“delta” no se puede “arrancar” de “X” o “Y”).

Evidentemente lo que es una variable “dinámica” es una constante y el resultado de calcular el límite - número (a veces - infinito “más” o “menos”).

Como punto, puedes considerar CUALQUIER valor perteneciente a dominio de definición función en la que existe una derivada.

Nota: la cláusula "en la que existe el derivado" es en general es significativo! Entonces, por ejemplo, aunque un punto está incluido en el dominio de definición de una función, su derivada

no existe allí. Por lo tanto la fórmula

no aplicable en el punto

y una formulación abreviada sin reservas sería incorrecta. Hechos similares son válidos para otras funciones con “interrupciones” en la gráfica, en particular, para arcoseno y arcocoseno.

Así, después de reemplazar , obtenemos la segunda fórmula de trabajo:

Prestemos atención a una circunstancia insidiosa que puede confundir a la tetera: en este límite, "x", siendo en sí misma una variable independiente, desempeña el papel de estadística, y la "dinámica" vuelve a estar determinada por el incremento. El resultado de calcular el límite.

es la función derivada.

Con base en lo anterior, formulamos las condiciones de dos problemas típicos:

- Encontrar derivada en un punto, utilizando la definición de derivada.

- Encontrar función derivada, utilizando la definición de derivada. Esta versión, según mis observaciones, es mucho más común y recibirá la mayor atención.

La diferencia fundamental entre las tareas es que en el primer caso necesitas encontrar el número. (opcionalmente, infinito), y en el segundo –

función Además, es posible que la derivada no exista en absoluto.

Cómo ?

Crea una proporción y calcula el límite.

¿De dónde vino? tabla de derivadas y reglas de diferenciación ? Gracias al único límite

Parece magia, pero

en realidad: prestidigitación y sin fraude. En la lección ¿Qué es un derivado? Comencé a mirar ejemplos específicos donde, usando la definición, encontré las derivadas de una función lineal y cuadrática. Con el propósito de calentamiento cognitivo, continuaremos perturbando tabla de derivados, perfeccionando el algoritmo y las soluciones técnicas:

Básicamente, es necesario demostrar un caso especial de la derivada de una función de potencia, que suele aparecer en la tabla: .

La solución se formaliza técnicamente de dos maneras. Comencemos con el primer enfoque, que ya nos resulta familiar: la escalera comienza con una tabla y la función derivada comienza con la derivada en un punto.

Considere algún punto (específico) perteneciente a dominio de definición Función en la que hay una derivada. Establezcamos el incremento en este punto. (por supuesto, dentro del alcance o/o -ya) y componer el incremento correspondiente de la función:

Calculemos el límite:

La incertidumbre 0:0 se elimina mediante una técnica estándar, considerada en el siglo I a.C. multipliquemos

numerador y denominador de la expresión conjugada :

La técnica para resolver dicho límite se analiza en detalle en la lección introductoria. sobre los límites de las funciones.

Como puedes elegir CUALQUIER punto del intervalo como

Luego, habiendo realizado el reemplazo, obtenemos:

Una vez más, regocijémonos con los logaritmos:

Encuentra la derivada de una función usando la definición de derivada.

Solución: Consideremos un enfoque diferente para promover la misma tarea. Es exactamente igual, pero más racional en cuanto a diseño. La idea es deshacerse de

subíndice y use una letra en lugar de una letra.

Considere un punto arbitrario perteneciente a dominio de definición función (intervalo) y establezca el incremento en ella. Pero aquí, por cierto, como en la mayoría de los casos, puedes hacerlo sin reservas, ya que la función logarítmica es diferenciable en cualquier punto del dominio de definición.

Entonces el incremento correspondiente de la función es:

Encontremos la derivada:

La simplicidad del diseño se equilibra con la confusión que puede

ocurren entre principiantes (y no solo). Después de todo, ¡estamos acostumbrados a que la letra “X” cambie en el límite! Pero aquí todo es diferente: una estatua antigua y un visitante vivo que camina rápidamente por el pasillo del museo. Es decir, "x" es "como una constante".

Comentaré la eliminación de la incertidumbre paso a paso:

(1) Usando la propiedad del logaritmo.

(2) Entre paréntesis, divide el numerador por el denominador término por término.

(3) En el denominador, multiplicamos y dividimos artificialmente por “x” de modo que

aprovecha el maravilloso límite , mientras que infinitesimal hechos.

Respuesta: por definición de derivada:

O en resumen:

Propongo construir usted mismo dos fórmulas de tabla más:

Encuentra derivada por definición

En este caso, es conveniente reducir inmediatamente el incremento compilado a un denominador común. Una muestra aproximada de la tarea al final de la lección (primer método).

Encuentra derivada por definición

Y aquí hay que reducir todo a un límite notable. La solución se formaliza de la segunda forma.

Una serie de otros derivadas tabulares. La lista completa se puede encontrar en el libro de texto escolar o, por ejemplo, en el primer volumen de Fichtenholtz. No veo mucho sentido en copiar pruebas de reglas de diferenciación de libros; también se generan

fórmula

Pasemos a las tareas realmente encontradas: Ejemplo 5

Encuentra la derivada de una función. , usando la definición de derivada

Solución: utilice el primer estilo de diseño. Consideremos algún punto que le pertenece y establezcamos el incremento del argumento en él. Entonces el incremento correspondiente de la función es:

en lugar de "X", debes sustituirlo. Ahora vamos a tomarlo

Incremento de función compilada Puede resultar beneficioso simplificar inmediatamente. ¿Para qué? Facilitar y acortar la solución hasta un límite mayor.

Usamos fórmulas, abrimos los corchetes y reducimos todo lo que se puede reducir:

El pavo está destripado, no hay problema con el asado:

Eventualmente:

Como podemos elegir cualquier número real como valor, hacemos el reemplazo y obtenemos .

Respuesta : a-priorato.

Para fines de verificación, encontremos la derivada usando las reglas.

diferenciación y tablas:

Encuentra la derivada de una función por definición de derivada.

Este es un ejemplo para que lo resuelvas por tu cuenta. El resultado es obvio:

Volvamos al estilo n.° 2: ejemplo 7

Averigüemos inmediatamente qué debería pasar. Por regla de diferenciación de funciones complejas:

Solución: considere un punto arbitrario que le pertenezca, establezca el incremento del argumento en él y complete el incremento

Encontremos la derivada:

(1) Usamos la fórmula trigonométrica

(2) Bajo el seno abrimos los corchetes, bajo el coseno presentamos términos similares.

(3) Bajo el seno cancelamos los términos, bajo el coseno dividimos el numerador por el denominador término por término.

(4) Debido a la rareza del seno, eliminamos el "menos". Bajo coseno

indicamos que el término .

(5) Realizamos una multiplicación artificial en el denominador para utilizar primer límite maravilloso. Así, se elimina la incertidumbre, arreglemos el resultado.

Respuesta: por definición Como puede ver, la principal dificultad del problema considerado radica en

Complejidad hasta el límite + ligera originalidad del embalaje. En la práctica, ambos métodos de diseño ocurren, por lo que describo ambos enfoques con el mayor detalle posible. Son equivalentes, pero aún así, en mi impresión subjetiva, es más recomendable que los tontos se ciñan a la opción 1 con “X-cero”.

Usando la definición, encuentre la derivada de la función.

Esta es una tarea que debes resolver por tu cuenta. El ejemplo está diseñado con el mismo espíritu que el ejemplo anterior.

Veamos una versión más rara del problema:

Encuentra la derivada de una función en un punto usando la definición de derivada.

En primer lugar, ¿cuál debería ser el resultado final? Número Calculemos la respuesta de la forma estándar:

Solución: desde el punto de vista de la claridad, esta tarea es mucho más sencilla, ya que en la fórmula, en lugar de

Se considera un valor específico.

Establezcamos el incremento en el punto y componamos el incremento correspondiente de la función:

Calculemos la derivada en un punto:

Usamos una fórmula de diferencia tangente muy rara. y una vez más reducimos la solución a la primera

límite notable:

Respuesta: por definición de derivada en un punto.

El problema no es tan difícil de resolver "en general": basta con reemplazar la uña o simplemente, según el método de diseño. En este caso, está claro que el resultado no será un número, sino una función derivada.

Ejemplo 10 Usando la definición, encuentre la derivada de la función. en el punto

Este es un ejemplo para que lo resuelvas por tu cuenta.

La tarea adicional final está destinada principalmente a estudiantes con un estudio en profundidad del análisis matemático, pero tampoco perjudicará a nadie más:

¿Será diferenciable la función? ¿en el punto?

Solución: Es obvio que una función dada por partes es continua en un punto, pero ¿será diferenciable allí?

El algoritmo de solución, y no sólo para funciones por trozos, es el siguiente:

1) Encuentra la derivada por la izquierda en un punto dado: .

2) Encuentre la derivada por la derecha en un punto dado: .

3) Si las derivadas unilaterales son finitas y coinciden:

, entonces la función es derivable en el punto

Geométricamente, aquí hay una tangente común (ver la parte teórica de la lección). Definición y significado de derivada).

Si se reciben dos diferentes significados: (uno de los cuales puede resultar infinito), entonces la función no es derivable en el punto.

Si ambas derivadas unilaterales son iguales a infinito

(incluso si tienen signos diferentes), entonces la función no es

es diferenciable en el punto, pero hay una derivada infinita y una tangente vertical común a la gráfica (ver ejemplo lección 5ecuación normal) .

Resolver problemas físicos o ejemplos en matemáticas es completamente imposible sin el conocimiento de la derivada y los métodos para calcularla. La derivada es uno de los conceptos más importantes del análisis matemático. Decidimos dedicar el artículo de hoy a este tema fundamental. ¿Qué es una derivada, cuál es su significado físico y geométrico, cómo calcular la derivada de una función? Todas estas preguntas se pueden combinar en una: ¿cómo entender la derivada?

Significado geométrico y físico de derivada.

Que haya una función f(x) , especificado en un intervalo determinado (a,b) . Los puntos x y x0 pertenecen a este intervalo. Cuando x cambia, la función misma cambia. Cambiar el argumento: la diferencia en sus valores. x-x0 . Esta diferencia se escribe como deltax y se llama incremento de argumento. Un cambio o incremento de una función es la diferencia entre los valores de una función en dos puntos. Definición de derivada:

La derivada de una función en un punto es el límite de la relación entre el incremento de la función en un punto dado y el incremento del argumento cuando este último tiende a cero.

De lo contrario se puede escribir así:

¿Cuál es el punto de encontrar tal límite? Y esto es lo que es:

la derivada de una función en un punto es igual a la tangente del ángulo entre el eje OX y la tangente a la gráfica de la función en un punto dado.

Significado físico de la derivada: la derivada de la trayectoria con respecto al tiempo es igual a la velocidad del movimiento rectilíneo.

De hecho, desde la época escolar todo el mundo sabe que la velocidad es un camino particular. x=f(t) y tiempo t . Velocidad media durante un período de tiempo determinado:

Para conocer la velocidad del movimiento en un momento dado. t0 necesitas calcular el límite:

Regla uno: establezca una constante

La constante se puede sacar del signo de la derivada. Es más, esto debe hacerse. Al resolver ejemplos de matemáticas, tómelo como regla: Si puedes simplificar una expresión, asegúrate de simplificarla. .

Ejemplo. Calculemos la derivada:

Regla dos: derivada de la suma de funciones

La derivada de la suma de dos funciones es igual a la suma de las derivadas de estas funciones. Lo mismo ocurre con la derivada de la diferencia de funciones.

No daremos una demostración de este teorema, sino que consideraremos un ejemplo práctico.

Encuentra la derivada de la función:

Regla tres: derivada del producto de funciones

La derivada del producto de dos funciones diferenciables se calcula mediante la fórmula:

Ejemplo: encontrar la derivada de una función:

Solución:

Es importante hablar aquí sobre el cálculo de derivadas de funciones complejas. La derivada de una función compleja es igual al producto de la derivada de esta función con respecto al argumento intermedio y la derivada del argumento intermedio con respecto a la variable independiente.

En el ejemplo anterior nos encontramos con la expresión:

En este caso, el argumento intermedio es 8x elevado a la quinta potencia. Para calcular la derivada de dicha expresión, primero calculamos la derivada de la función externa con respecto al argumento intermedio y luego multiplicamos por la derivada del propio argumento intermedio con respecto a la variable independiente.

Regla cuatro: derivada del cociente de dos funciones

Fórmula para determinar la derivada del cociente de dos funciones:

Intentamos hablar de derivados para tontos desde cero. Este tema no es tan simple como parece, así que tenga cuidado: a menudo hay errores en los ejemplos, así que tenga cuidado al calcular las derivadas.

Ante cualquier duda sobre este y otros temas, puedes contactar con el servicio de atención al estudiante. En poco tiempo, le ayudaremos a resolver las pruebas más difíciles y a comprender las tareas, incluso si nunca antes ha realizado cálculos de derivadas.