கிட்டத்தட்ட அட்டவணை ஒருங்கிணைப்புகள். அடிப்படை சூத்திரங்கள் மற்றும் ஒருங்கிணைப்பு முறைகள்
இந்த பக்கத்தில் நீங்கள் காணலாம்:
1. உண்மையில், ஆன்டிடெரிவேடிவ்களின் அட்டவணை - இது PDF வடிவத்தில் பதிவிறக்கம் செய்யப்பட்டு அச்சிடப்படலாம்;
2. இந்த அட்டவணையை எவ்வாறு பயன்படுத்துவது என்பது குறித்த வீடியோ;
3. பல்வேறு பாடப்புத்தகங்கள் மற்றும் சோதனைகளிலிருந்து ஆண்டிடெரிவேட்டிவ் கணக்கிடுவதற்கான எடுத்துக்காட்டுகளின் தொகுப்பு.
வீடியோவில், நீங்கள் செயல்பாடுகளின் ஆன்டிடெரிவேடிவ்களைக் கணக்கிட வேண்டிய பல சிக்கல்களை நாங்கள் பகுப்பாய்வு செய்வோம், பெரும்பாலும் மிகவும் சிக்கலானது, ஆனால் மிக முக்கியமாக, அவை சக்தி செயல்பாடுகள் அல்ல. மேலே முன்மொழியப்பட்ட அட்டவணையில் சுருக்கப்பட்ட அனைத்து செயல்பாடுகளும் வழித்தோன்றல்கள் போன்ற இதயத்தால் அறியப்பட வேண்டும். அவை இல்லாமல், ஒருங்கிணைப்புகளைப் பற்றிய கூடுதல் ஆய்வு மற்றும் நடைமுறை சிக்கல்களைத் தீர்ப்பதற்கான அவற்றின் பயன்பாடு சாத்தியமற்றது.
இன்று நாம் ஆண்டிடெரிவேடிவ்களைப் படிப்பதைத் தொடர்கிறோம் மற்றும் இன்னும் கொஞ்சம் செல்கிறோம் சிக்கலான தலைப்பு. கடந்த முறை நாம் ஆற்றல் செயல்பாடுகள் மற்றும் சற்றே சிக்கலான கட்டுமானங்களின் ஆண்டிடெரிவேடிவ்களை மட்டுமே பார்த்தோம் என்றால், இன்று நாம் முக்கோணவியல் மற்றும் பலவற்றைப் பார்ப்போம்.
நான் கடந்த பாடத்தில் கூறியது போல், டெரிவேடிவ்களைப் போலன்றி, எந்த நிலையான விதிகளையும் பயன்படுத்தி "உடனடியாக" தீர்க்கப்படாது. மேலும், மோசமான செய்தி என்னவென்றால், வழித்தோன்றலைப் போலல்லாமல், ஆண்டிடெரிவேட்டிவ் கருதப்படவே இல்லை. நாம் முற்றிலும் சீரற்ற செயல்பாட்டை எழுதி அதன் வழித்தோன்றலைக் கண்டுபிடிக்க முயற்சித்தால், மிக அதிக நிகழ்தகவுடன் நாம் வெற்றியடைவோம், ஆனால் இந்த விஷயத்தில் ஆன்டிடெரிவேடிவ் கணக்கிடப்படாது. ஆனால் ஒரு நல்ல செய்தி உள்ளது: எலிமெண்டரி ஃபங்ஷன்கள் எனப்படும் செயல்பாடுகளின் மிகப் பெரிய வகுப்பு உள்ளது, இவற்றின் ஆண்டிடெரிவேடிவ்கள் கணக்கிட மிகவும் எளிதானது. மேலும் அனைத்து வகையான சோதனைகள், சுயாதீன சோதனைகள் மற்றும் தேர்வுகள் ஆகியவற்றில் வழங்கப்படும் மற்ற அனைத்து சிக்கலான கட்டமைப்புகளும், உண்மையில், கூட்டல், கழித்தல் மற்றும் பிற எளிய செயல்கள் மூலம் இந்த அடிப்படை செயல்பாடுகளால் ஆனவை. இத்தகைய செயல்பாடுகளின் முன்மாதிரிகள் நீண்ட காலமாக கணக்கிடப்பட்டு சிறப்பு அட்டவணைகளாக தொகுக்கப்பட்டுள்ளன. இந்த செயல்பாடுகள் மற்றும் அட்டவணைகள் தான் இன்று நாம் வேலை செய்வோம்.
ஆனால், எப்பொழுதும் போல, மீண்டும் மீண்டும் தொடங்குவோம்: ஆன்டிடெரிவேட்டிவ் என்றால் என்ன, அவற்றில் எண்ணற்றவை ஏன் உள்ளன, அவற்றை எவ்வாறு வரையறுப்பது என்பதை நினைவில் கொள்வோம். பொது வடிவம். இதைச் செய்ய, நான் இரண்டு எளிய சிக்கல்களை எடுத்தேன்.
எளிமையான எடுத்துக்காட்டுகளைத் தீர்ப்பது
எடுத்துக்காட்டு #1
$\frac(\text( )\!\pi\!\!\text( ))(6)$ மற்றும் பொதுவாக $\text( )\!\!\pi\ இருப்பதை உடனடியாக கவனிக்கலாம் !\!\ text( )$, செயல்பாட்டின் தேவையான ஆன்டிடெரிவேடிவ் முக்கோணவியல் தொடர்பானது என்பதை உடனடியாக நமக்குச் சுட்டிக்காட்டுகிறது. மற்றும், உண்மையில், நாம் அட்டவணையைப் பார்த்தால், $\frac(1)(1+((x)^(2)))$ என்பது $\text(arctg)x$ என்பதைத் தவிர வேறில்லை. எனவே அதை எழுதுவோம்:
கண்டுபிடிக்க, நீங்கள் பின்வருவனவற்றை எழுத வேண்டும்:
\[\frac(\pi )(6)=\text(arctg)\sqrt(3)+C\]
\[\frac(\text( )\!\!\pi\!\!\text( ))(6)=\frac(\text( )\!\!\pi\!\!\text( )) (3)+C\]
எடுத்துக்காட்டு எண். 2
நாம் இங்கே முக்கோணவியல் செயல்பாடுகளைப் பற்றியும் பேசுகிறோம். நாம் அட்டவணையைப் பார்த்தால், உண்மையில், இதுதான் நடக்கும்:
சுட்டிக்காட்டப்பட்ட புள்ளியின் வழியாக செல்லும் ஆன்டிடெரிவேடிவ்களின் முழு தொகுப்பிலும் நாம் கண்டுபிடிக்க வேண்டும்:
\[\text( )\!\!\pi\!\!\text( )=\arcsin \frac(1)(2)+C\]
\[\text( )\!\!\pi\!\!\text( )=\frac(\text( )\!\!\pi\!\!\\text( ))(6)+C\]
இறுதியாக அதை எழுதுவோம்:
இது மிகவும் எளிமையானது. ஒரே பிரச்சனை என்னவென்றால், எளிய செயல்பாடுகளின் ஆண்டிடெரிவேடிவ்களைக் கணக்கிட, நீங்கள் ஆண்டிடெரிவேடிவ்களின் அட்டவணையைக் கற்றுக்கொள்ள வேண்டும். இருப்பினும், உங்களுக்கான வழித்தோன்றல் அட்டவணையைப் படித்த பிறகு, இது ஒரு பிரச்சனையாக இருக்காது என்று நினைக்கிறேன்.
அதிவேக செயல்பாட்டைக் கொண்ட சிக்கல்களைத் தீர்ப்பது
தொடங்குவதற்கு, பின்வரும் சூத்திரங்களை எழுதுவோம்:
\[((e)^(x))\to ((e)^(x))\]
\[((a)^(x))\to \frac(((a)^(x)))(\ln a)\]
இவை அனைத்தும் நடைமுறையில் எவ்வாறு செயல்படுகின்றன என்பதைப் பார்ப்போம்.
எடுத்துக்காட்டு #1
அடைப்புக்குறிக்குள் உள்ளவற்றைப் பார்த்தால், ஆண்டிடெரிவேடிவ்களின் அட்டவணையில் ஒரு சதுரத்தில் இருக்க $((e)^(x))$ க்கு அத்தகைய வெளிப்பாடு இல்லை என்பதை நாம் கவனிப்போம், எனவே இந்த சதுரம் விரிவாக்கப்பட வேண்டும். இதைச் செய்ய, சுருக்கமான பெருக்கல் சூத்திரங்களைப் பயன்படுத்துகிறோம்:
ஒவ்வொரு சொற்களுக்கும் எதிர் வழித்தோன்றலைக் கண்டுபிடிப்போம்:
\[((இ)^(2x))=((\இடது(((இ)^(2)) \வலது))^(x))\இலிருந்து \frac((\இடது(((இ)) (2)) \right))^(x)))(\ln ((e)^(2)))=\frac(((e)^(2x)))(2)\]
\[((இ)^(-2x))=((\இடது((இ)^(-2)) \வலது))^(x))\ to \frac(((\left(((e)) )^(-2)) \right))^(x)))(\ln ((e)^(-2)))=\frac(1)(-2((e)^(2x))) \]
இப்போது அனைத்து சொற்களையும் ஒரே வெளிப்பாடாகச் சேகரித்து, பொதுவான எதிர்ப்பொருளைப் பெறுவோம்:
எடுத்துக்காட்டு எண். 2
இந்த முறை பட்டம் பெரியது, எனவே சுருக்கமான பெருக்கல் சூத்திரம் மிகவும் சிக்கலானதாக இருக்கும். எனவே அடைப்புக்குறிகளைத் திறப்போம்:
இப்போது இந்த கட்டுமானத்தில் இருந்து நமது சூத்திரத்தின் ஆண்டிடெரிவேட்டிவ் எடுக்க முயற்சிப்போம்:
நீங்கள் பார்க்க முடியும் என, அதிவேக செயல்பாட்டின் ஆண்டிடெரிவேடிவ்களில் சிக்கலான அல்லது இயற்கைக்கு அப்பாற்பட்ட எதுவும் இல்லை. அவை அனைத்தும் அட்டவணைகள் மூலம் கணக்கிடப்படுகின்றன, ஆனால் கவனமுள்ள மாணவர்கள் $((e)^(2x))$ என்பது $((a) ஐ விட $((e)^(x))$ க்கு மிக நெருக்கமாக இருப்பதைக் கவனிக்கலாம். )^(x ))$. எனவே, $((e)^(2x))$ ஐக் கண்டுபிடிக்க, $((e)^(x))$ என்ற எதிர்வழியை அறிந்து கொள்ள அனுமதிக்கும் இன்னும் சில சிறப்பு விதிகள் இருக்கலாம்? ஆம், அத்தகைய விதி உள்ளது. மேலும், இது ஆண்டிடெரிவேடிவ்களின் அட்டவணையுடன் பணிபுரிவதில் ஒரு ஒருங்கிணைந்த பகுதியாகும். நாங்கள் இப்போது ஒரு எடுத்துக்காட்டுடன் பணிபுரிந்த அதே வெளிப்பாடுகளைப் பயன்படுத்தி அதை பகுப்பாய்வு செய்வோம்.
ஆன்டிடெரிவேடிவ்களின் அட்டவணையுடன் வேலை செய்வதற்கான விதிகள்
எங்கள் செயல்பாட்டை மீண்டும் எழுதுவோம்:
முந்தைய வழக்கில், தீர்க்க பின்வரும் சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்தினோம்:
\[((a)^(x))\to \frac((((a)^(x)))(\ஆபரேட்டர் பெயர்(lna))\]
ஆனால் இப்போது அதை கொஞ்சம் வித்தியாசமாக செய்வோம்: எந்த அடிப்படையில் $((e)^(x))\to ((e)^(x))$ என்பதை நினைவில் கொள்வோம். நான் ஏற்கனவே கூறியது போல், $((e)^(x))$ என்பது $((e)^(x))$ ஐ விட அதிகமாக இல்லை என்பதால், அதன் ஆன்டிடெரிவேட்டிவ் அதே $((e) ^க்கு சமமாக இருக்கும். (x))$. ஆனால் பிரச்சனை என்னவென்றால், நம்மிடம் $((e)^(2x))$ மற்றும் $((e)^(-2x))$ உள்ளது. இப்போது $((e)^(2x))$ இன் வழித்தோன்றலைக் கண்டுபிடிக்க முயற்சிப்போம்:
\[((\left(((e))^(2x)) \right))^(\prime ))=((e)^(2x))\cdot ((\left(2x \right))^( \prime ))=2\cdot ((e)^(2x))\]
எங்கள் கட்டுமானத்தை மீண்டும் எழுதுவோம்:
\[((\இடது(((இ))^(2x)) \வலது))^(\ப்ரைம் ))=2\cdot ((e)^(2x))\]
\[((இ)^(2x))=((\இடது(\frac(((இ))^2x)))(2) \வலது))^(\ப்ரைம் ))\]
இதன் பொருள் என்னவென்றால், $((e)^(2x))$ என்ற எதிர்ப்பொருளைக் கண்டறியும் போது பின்வருவனவற்றைப் பெறுவோம்:
\[((e)^(2x))\to \frac(((e)^(2x)))(2)\]
நீங்கள் பார்ப்பது போல், முன்பு இருந்த அதே முடிவைப் பெற்றோம், ஆனால் $((a)^(x))$ஐக் கண்டுபிடிக்க நாங்கள் சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்தவில்லை. இப்போது இது முட்டாள்தனமாகத் தோன்றலாம்: ஒரு நிலையான சூத்திரம் இருக்கும்போது கணக்கீடுகளை ஏன் சிக்கலாக்க வேண்டும்? இருப்பினும், சற்று சிக்கலான வெளிப்பாடுகளில் இந்த நுட்பம் மிகவும் பயனுள்ளதாக இருப்பதை நீங்கள் காண்பீர்கள், அதாவது. வழித்தோன்றல்களைப் பயன்படுத்தி ஆன்டிடெரிவேடிவ்களைக் கண்டறியவும்.
ஒரு வார்ம்-அப் என, இதே வழியில் $((e)^(2x))$ இன் ஆண்டிடெரிவேட்டிவைக் கண்டுபிடிப்போம்:
\[((\left(((e))^(-2x)) \right))^(\prime ))=((e)^(-2x))\cdot \left(-2 \right)\]
\[((e)^(-2x))=((\left(\frac(((e))^-2x))(-2) \right))^(\prime ))\]
கணக்கிடும்போது, எங்கள் கட்டுமானம் பின்வருமாறு எழுதப்படும்:
\[((இ)^(-2x))\to -\frac(((e)^(-2x)))(2)\]
\[((இ)^(-2x))\to -\frac(1)(2\cdot ((e)^(2x)))\]
நாங்கள் அதே முடிவைப் பெற்றோம், ஆனால் வேறு பாதையில் சென்றோம். இந்த பாதை, இப்போது நமக்கு சற்று சிக்கலானதாகத் தோன்றுகிறது, எதிர்காலத்தில் மிகவும் சிக்கலான ஆன்டிடெரிவேடிவ்களைக் கணக்கிடுவதற்கும் அட்டவணைகளைப் பயன்படுத்துவதற்கும் மிகவும் பயனுள்ளதாக இருக்கும்.
குறிப்பு! இது மிகவும் முக்கியமான புள்ளி: டெரிவேடிவ்கள் போன்ற ஆன்டிடெரிவேடிவ்கள் ஒரு தொகுப்பாகக் கருதப்படலாம் பல்வேறு வழிகளில். இருப்பினும், அனைத்து கணக்கீடுகளும் கணக்கீடுகளும் சமமாக இருந்தால், பதில் ஒரே மாதிரியாக இருக்கும். $((e)^(-2x))$ -ன் உதாரணத்துடன் இதைப் பார்த்தோம் - ஒருபுறம், இந்த ஆண்டிடெரிவேட்டிவ் "வலது வழியாக" கணக்கிட்டு, வரையறையைப் பயன்படுத்தி, மாற்றங்களைப் பயன்படுத்தி கணக்கிட்டு, மறுபுறம், $ ((e)^(-2x))$ ஐ $((\left(((e))^(-2)) \வலது))^(x))$ ஆக குறிப்பிடலாம் என்பதை நினைவில் வைத்துக் கொண்டோம். $((a)^(x))$ செயல்பாட்டிற்கான ஆன்டிடெரிவேட்டிவ். இருப்பினும், அனைத்து மாற்றங்களுக்கும் பிறகு, எதிர்பார்த்தது போலவே முடிவு இருந்தது.
இப்போது நாம் இதையெல்லாம் புரிந்து கொண்டோம், இன்னும் குறிப்பிடத்தக்க விஷயத்திற்கு செல்ல வேண்டிய நேரம் இது. இப்போது நாம் இரண்டு எளிய கட்டுமானங்களை பகுப்பாய்வு செய்வோம், ஆனால் அவற்றைத் தீர்க்கும்போது பயன்படுத்தப்படும் நுட்பம் அட்டவணையில் இருந்து அண்டை ஆண்டிடெரிவேடிவ்களுக்கு இடையில் வெறுமனே "இயங்குவதை" விட மிகவும் சக்திவாய்ந்த மற்றும் பயனுள்ள கருவியாகும்.
சிக்கலைத் தீர்ப்பது: ஒரு செயல்பாட்டின் எதிர் வழித்தோன்றலைக் கண்டறிதல்
எடுத்துக்காட்டு #1
எண்களில் உள்ள தொகையை மூன்று தனித்தனி பின்னங்களாகப் பிரிப்போம்:
இது மிகவும் இயல்பான மற்றும் புரிந்துகொள்ளக்கூடிய மாற்றமாகும் - பெரும்பாலான மாணவர்களுக்கு இதில் சிக்கல்கள் இல்லை. எங்கள் வெளிப்பாட்டை பின்வருமாறு மீண்டும் எழுதுவோம்:
இப்போது இந்த சூத்திரத்தை நினைவில் கொள்வோம்:
எங்கள் விஷயத்தில், பின்வருவனவற்றைப் பெறுவோம்:
இந்த மூன்று-அடுக்கு பின்னங்கள் அனைத்தையும் அகற்ற, பின்வருவனவற்றைச் செய்ய பரிந்துரைக்கிறேன்:
எடுத்துக்காட்டு எண். 2
முந்தைய பகுதியைப் போலன்றி, வகுத்தல் என்பது ஒரு தயாரிப்பு அல்ல, ஆனால் ஒரு தொகை. இந்த விஷயத்தில், நம் பின்னத்தை பல எளிய பின்னங்களின் கூட்டுத்தொகையாகப் பிரிக்க முடியாது, ஆனால் எப்படியாவது எண் வகுப்பில் தோராயமாக அதே வெளிப்பாடு உள்ளதா என்பதை உறுதிப்படுத்த முயற்சிக்க வேண்டும். இந்த வழக்கில், அதைச் செய்வது மிகவும் எளிது:
கணித மொழியில் "பூஜ்ஜியத்தைச் சேர்த்தல்" என்று அழைக்கப்படும் இந்தக் குறியீடு, பின்னத்தை மீண்டும் இரண்டு துண்டுகளாகப் பிரிக்க அனுமதிக்கும்:
இப்போது நாம் தேடுவதைக் கண்டுபிடிப்போம்:
அவ்வளவுதான் கணக்கீடுகள். முந்தைய சிக்கலை விட அதிக சிக்கலானது இருந்தபோதிலும், கணக்கீடுகளின் அளவு இன்னும் சிறியதாக மாறியது.
தீர்வின் நுணுக்கங்கள்
அட்டவணை ஆண்டிடெரிவேடிவ்களுடன் பணிபுரிவதில் முக்கிய சிரமம் உள்ளது, இது இரண்டாவது பணியில் குறிப்பாக கவனிக்கப்படுகிறது. உண்மை என்னவென்றால், அட்டவணையின் மூலம் எளிதில் கணக்கிடக்கூடிய சில கூறுகளைத் தேர்ந்தெடுப்பதற்கு, நாம் எதைத் தேடுகிறோம் என்பதைத் தெரிந்து கொள்ள வேண்டும், மேலும் இந்த உறுப்புகளுக்கான தேடலில்தான் ஆன்டிடெரிவேடிவ்களின் முழு கணக்கீடும் உள்ளது.
வேறு வார்த்தைகளில் கூறுவதானால், ஆண்டிடெரிவேடிவ்களின் அட்டவணையை மனப்பாடம் செய்வது மட்டும் போதாது - இதுவரை இல்லாத ஒன்றை நீங்கள் பார்க்க வேண்டும், ஆனால் இந்த சிக்கலின் ஆசிரியரும் தொகுப்பாளரும் என்ன அர்த்தம். அதனால்தான் பல கணிதவியலாளர்கள், ஆசிரியர்கள் மற்றும் பேராசிரியர்கள் தொடர்ந்து வாதிடுகின்றனர்: "எதிர்ப்பொருட்கள் அல்லது ஒருங்கிணைப்பு என்றால் என்ன - இது ஒரு கருவியா அல்லது உண்மையான கலையா?" உண்மையில், என் தனிப்பட்ட கருத்துப்படி, ஒருங்கிணைப்பு என்பது ஒரு கலை அல்ல - அதில் உன்னதமான எதுவும் இல்லை, அது வெறும் பயிற்சி மற்றும் அதிக பயிற்சி. மேலும் பயிற்சி செய்ய, இன்னும் மூன்று தீவிர உதாரணங்களைத் தீர்ப்போம்.
நடைமுறையில் ஒருங்கிணைப்பு பயிற்சி அளிக்கிறோம்
பணி எண் 1
பின்வரும் சூத்திரங்களை எழுதுவோம்:
\[((x)^(n))\to \frac(((x)^(n+1)))(n+1)\]
\[\frac(1)(x)\to \ln x\]
\[\frac(1)(1+((x)^(2)))\ to \text(arctg)x\]
பின்வருவனவற்றை எழுதுவோம்:
பிரச்சனை எண் 2
அதை பின்வருமாறு மீண்டும் எழுதுவோம்:
மொத்த ஆண்டிடெரிவேடிவ் இதற்கு சமமாக இருக்கும்:
பிரச்சனை எண் 3
இந்தப் பணியின் சிரமம் என்னவென்றால், மேலே உள்ள முந்தைய செயல்பாடுகளைப் போலல்லாமல், $x$ என்ற மாறி எதுவும் இல்லை, அதாவது. கீழே உள்ளதைப் போன்ற ஏதாவது ஒன்றைப் பெறுவதற்கு எதைக் கூட்டுவது அல்லது கழிப்பது என்பது எங்களுக்குத் தெளிவாகத் தெரியவில்லை. இருப்பினும், உண்மையில், இந்த வெளிப்பாடு முந்தைய வெளிப்பாடுகளை விட எளிமையானதாகக் கருதப்படுகிறது, ஏனெனில் இந்த செயல்பாடு பின்வருமாறு மீண்டும் எழுதப்படலாம்:
நீங்கள் இப்போது கேட்கலாம்: இந்த செயல்பாடுகள் ஏன் சமமாக உள்ளன? சரிபார்ப்போம்:
மீண்டும் மீண்டும் எழுதுவோம்:
நமது வெளிப்பாட்டை கொஞ்சம் மாற்றுவோம்:
இதையெல்லாம் நான் எனது மாணவர்களுக்கு விளக்கும்போது, எப்போதும் இதே பிரச்சனை எழுகிறது: முதல் செயல்பாட்டில் எல்லாம் அதிகமாகவோ அல்லது குறைவாகவோ தெளிவாக உள்ளது, இரண்டாவதாக நீங்கள் அதை அதிர்ஷ்டம் அல்லது பயிற்சி மூலம் கண்டுபிடிக்கலாம், ஆனால் நீங்கள் எந்த வகையான மாற்று உணர்வுடன் இருக்கிறீர்கள்? மூன்றாவது உதாரணத்தை தீர்க்க வேண்டுமா? உண்மையில், பயப்பட வேண்டாம். கடைசி ஆண்டிடெரிவேட்டிவைக் கணக்கிடும்போது நாங்கள் பயன்படுத்திய நுட்பம் "ஒரு செயல்பாட்டை அதன் எளிமையானதாக சிதைப்பது" என்று அழைக்கப்படுகிறது, மேலும் இது மிகவும் தீவிரமான நுட்பமாகும், மேலும் ஒரு தனி வீடியோ பாடம் அதற்கு அர்ப்பணிக்கப்படும்.
இதற்கிடையில், நாங்கள் இப்போது படித்தவற்றுக்கு, அதாவது அதிவேக செயல்பாடுகளுக்குத் திரும்புவதற்கும் அவற்றின் உள்ளடக்கத்தில் உள்ள சிக்கல்களை ஓரளவு சிக்கலாக்குவதற்கும் நான் முன்மொழிகிறேன்.
ஆண்டிடெரிவேடிவ் அதிவேக செயல்பாடுகளைத் தீர்ப்பதற்கான மிகவும் சிக்கலான சிக்கல்கள்
பணி எண் 1
பின்வருவனவற்றைக் கவனிக்கலாம்:
\[((2)^(x))\cdot ((5)^(x))=((\left(2\cdot 5 \right))^(x))=((10)^(x) )\]
இந்த வெளிப்பாட்டின் எதிர்விளைவைக் கண்டறிய, நிலையான சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்தவும் - $((a)^(x))\to \frac(((a)^(x)))(\ln a)$.
எங்கள் விஷயத்தில், ஆண்டிடெரிவேடிவ் இப்படி இருக்கும்:
நிச்சயமாக, நாங்கள் இப்போது தீர்த்த வடிவமைப்போடு ஒப்பிடும்போது, இது எளிமையானதாகத் தெரிகிறது.
பிரச்சனை எண் 2
மீண்டும், இந்த செயல்பாட்டை இரண்டு தனித்தனி சொற்களாக - இரண்டு தனித்தனி பின்னங்களாக எளிதாகப் பிரிக்கலாம் என்பதைப் பார்ப்பது எளிது. மீண்டும் எழுதுவோம்:
மேலே விவரிக்கப்பட்ட சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்தி இந்த சொற்கள் ஒவ்வொன்றின் ஆண்டிடெரிவேட்டிவ் கண்டுபிடிக்க வேண்டும்:
வெளிப்படையான பெரிய சிக்கலான போதிலும் அதிவேக செயல்பாடுகள்சக்தியுடன் ஒப்பிடும்போது, கணக்கீடுகள் மற்றும் கணக்கீடுகளின் ஒட்டுமொத்த அளவு மிகவும் எளிமையானதாக மாறியது.
நிச்சயமாக, அறிவுள்ள மாணவர்களுக்கு, நாம் இப்போது விவாதித்தவை (குறிப்பாக நாம் முன்பு விவாதித்தவற்றின் பின்னணியில்) அடிப்படை வெளிப்பாடுகளாகத் தோன்றலாம். இருப்பினும், இன்றைய வீடியோ பாடத்திற்கு இந்த இரண்டு சிக்கல்களைத் தேர்ந்தெடுக்கும்போது, மற்றொரு சிக்கலான மற்றும் அதிநவீன நுட்பத்தை உங்களுக்குச் சொல்லும் இலக்கை நான் அமைக்கவில்லை - அசல் செயல்பாடுகளை மாற்றுவதற்கு நிலையான அல்ஜீப்ரா நுட்பங்களைப் பயன்படுத்த நீங்கள் பயப்படக்கூடாது என்பதை நான் உங்களுக்குக் காட்ட விரும்பினேன். .
"ரகசிய" நுட்பத்தைப் பயன்படுத்துதல்
முடிவில், நான் மற்றொரு சுவாரஸ்யமான நுட்பத்தைப் பார்க்க விரும்புகிறேன், இது ஒருபுறம், இன்று நாம் முக்கியமாக விவாதித்ததைத் தாண்டியது, ஆனால், மறுபுறம், இது முதலில், சிக்கலானது அல்ல, அதாவது. தொடக்க மாணவர்கள் கூட அதை மாஸ்டர் செய்யலாம், இரண்டாவதாக, இது எல்லா வகையான சோதனைகள் மற்றும் சோதனைகளில் அடிக்கடி காணப்படுகிறது. சுதந்திரமான வேலை, அதாவது இது பற்றிய அறிவு, ஆண்டிடெரிவேடிவ்களின் அட்டவணையைப் பற்றிய அறிவுக்கு கூடுதலாக மிகவும் பயனுள்ளதாக இருக்கும்.
பணி எண் 1
வெளிப்படையாக, சக்தி செயல்பாட்டிற்கு மிகவும் ஒத்த ஒன்று உள்ளது. இந்த விஷயத்தில் நாம் என்ன செய்ய வேண்டும்? இதைப் பற்றி யோசிப்போம்: $x-5$ என்பது $x$ இலிருந்து வேறுபட்டதல்ல - அவர்கள் $-5$ சேர்த்துள்ளனர். அதை இப்படி எழுதுவோம்:
\[((x)^(4))\to \frac(((x)^(5)))(5)\]
\[(\இடது(\frac(((x))^(5)))(5) \வலது))^(\ப்ரைம் ))=\frac(5\cdot ((x)^(4))) (5)=((x)^(4))\]
$((\left(x-5 \right))^(5))$ இன் வழித்தோன்றலைக் கண்டுபிடிக்க முயற்சிப்போம்:
\[((\left((\left(x-5 \right))^(5)) \right))^(\prime ))=5\cdot ((\left(x-5 \right)) ^(4))\cdot ((\left(x-5 \right))^(\prime ))=5\cdot ((\left(x-5 \right))^(4))\]
இது குறிக்கிறது:
\[((\left(x-5 \right))^(4))=(\left(\frac(((\left(x-5 \right))^(5)))(5) \ வலது))^(\பிரதம ))\]
அட்டவணையில் அத்தகைய மதிப்பு எதுவும் இல்லை, எனவே இந்த ஃபார்முலாவை ஸ்டாண்டர்ட் ஆண்டிடெரிவேடிவ் ஃபார்முலாவைப் பயன்படுத்தி இப்போது நாமே பெற்றுள்ளோம். சக்தி செயல்பாடு. பதிலை இப்படி எழுதுவோம்:
பிரச்சனை எண் 2
முதல் தீர்வைப் பார்க்கும் பல மாணவர்கள் எல்லாம் மிகவும் எளிமையானது என்று நினைக்கலாம்: சக்தி செயல்பாட்டில் $x$ ஐ நேரியல் வெளிப்பாட்டுடன் மாற்றவும், எல்லாம் சரியாகிவிடும். துரதிர்ஷ்டவசமாக, எல்லாம் அவ்வளவு எளிதல்ல, இப்போது இதைப் பார்ப்போம்.
முதல் வெளிப்பாட்டுடன் ஒப்புமை மூலம், பின்வருவனவற்றை எழுதுகிறோம்:
\[((x)^(9))\to \frac(((x)^(10)))(10)\]
\[((\left((\left(4-3x \right))^(10)) \right))^(\prime ))=10\cdot ((\left(4-3x \right)) ^(9))\cdot ((\left(4-3x \right))^(\prime ))=\]
\[=10\cdot ((\left(4-3x \right))^(9))\cdot \left(-3 \right)=-30\cdot ((\left(4-3x \right)) ^(9))\]
எங்கள் வழித்தோன்றலுக்குத் திரும்பி, நாம் எழுதலாம்:
\[((\left((\left(4-3x \right))^(10)) \right))^(\prime ))=-30\cdot ((\left(4-3x \right) )^(9))\]
\[((\இடது(4-3x \வலது))^(9))=(\இடது(\frac((\இடது(4-3x \வலது))^(10)))(-30) \வலது))^(\பிரதம ))\]
இது உடனடியாக பின்வருமாறு:
தீர்வின் நுணுக்கங்கள்
தயவுசெய்து கவனிக்கவும்: கடைசியாக எதுவும் மாறவில்லை என்றால், இரண்டாவது வழக்கில், $-10$ க்கு பதிலாக, $-30$ தோன்றியது. $-10$ மற்றும் $-30$ இடையே என்ன வித்தியாசம்? வெளிப்படையாக, $-3$ காரணி மூலம். கேள்வி: அது எங்கிருந்து வந்தது? நீங்கள் கூர்ந்து கவனித்தால், சிக்கலான செயல்பாட்டின் வழித்தோன்றலைக் கணக்கிடுவதன் விளைவாக இது எடுக்கப்பட்டது என்பதை நீங்கள் காணலாம் - $x$ இல் இருந்த குணகம் கீழே உள்ள ஆன்டிடெரிவேடிவ்வில் தோன்றுகிறது. இது மிகவும் முக்கியமான விதி, இன்றைய வீடியோ டுடோரியலில் நான் முதலில் விவாதிக்கத் திட்டமிடவில்லை, ஆனால் அது இல்லாமல் டேபிள் ஆண்டிடெரிவேடிவ்களின் விளக்கக்காட்சி முழுமையடையாது.
எனவே மீண்டும் செய்வோம். எங்கள் முக்கிய சக்தி செயல்பாடு இருக்கட்டும்:
\[((x)^(n))\to \frac(((x)^(n+1)))(n+1)\]
இப்போது, $x$ க்குப் பதிலாக, $kx+b$ என்ற வெளிப்பாட்டை மாற்றுவோம். அப்போது என்ன நடக்கும்? பின்வருவனவற்றை நாம் கண்டுபிடிக்க வேண்டும்:
\[((\left(kx+b \right))^(n))\ to \frac(((\left(kx+b \right))^(n+1))(\left(n+ 1 \வலது)\cdot k)\]
எந்த அடிப்படையில் இதை நாம் கோருகிறோம்? மிக எளிய. மேலே எழுதப்பட்ட கட்டுமானத்தின் வழித்தோன்றலைக் கண்டுபிடிப்போம்:
\[((\left(\frac((\left(kx+b \right)))^(n+1))(\left(n+1 \right)\cdot k) \right))^( \prime ))=\frac(1)(\left(n+1 \right)\cdot k)\cdot \left(n+1 \right)\cdot ((\left(kx+b \right))^ (n))\cdot k=((\left(kx+b \right))^(n))\]
இது முதலில் இருந்த அதே வெளிப்பாடுதான். எனவே, இந்த சூத்திரமும் சரியானது, மேலும் இது ஆன்டிடெரிவேடிவ்களின் அட்டவணையை கூடுதலாகப் பயன்படுத்தலாம் அல்லது முழு அட்டவணையையும் மனப்பாடம் செய்வது நல்லது.
"ரகசியம்: நுட்பத்திலிருந்து முடிவுகள்:
- நாம் இப்போது பார்த்த இரண்டு செயல்பாடுகளும், உண்மையில், டிகிரிகளை விரிவுபடுத்துவதன் மூலம் அட்டவணையில் சுட்டிக்காட்டப்பட்ட ஆன்டிடெரிவேடிவ்களுக்கு குறைக்கப்படலாம், ஆனால் நான்காவது பட்டத்தை எப்படியாவது அதிகமாகவோ அல்லது குறைவாகவோ சமாளிக்க முடிந்தால், நான் ஒன்பதாம் பட்டத்தை கூட கருத்தில் கொள்ள மாட்டேன். வெளிப்படுத்தத் துணிந்தார்.
- நாம் டிகிரிகளை விரிவுபடுத்தினால், ஒரு எளிய பணியானது தகாத முறையில் அதிக நேரத்தை எடுத்துக்கொள்ளும் அளவுக்கு அதிகமான கணக்கீடுகளுடன் முடிவடையும்.
- அதனால்தான் நேரியல் வெளிப்பாடுகளைக் கொண்ட இத்தகைய சிக்கல்கள் "தலைகீழாக" தீர்க்கப்பட வேண்டியதில்லை. உள்ளே $kx+b$ என்ற வெளிப்பாடு இருந்தால் மட்டுமே டேபிளில் உள்ள ஒன்றிலிருந்து வேறுபடும் ஆன்டிடெரிவேட்டிவ் ஒன்றை நீங்கள் கண்டவுடன், மேலே எழுதப்பட்ட சூத்திரத்தை உடனடியாக நினைவில் வைத்துக் கொள்ளுங்கள், அதை உங்கள் டேபிள் ஆண்டிடெரிவேடிவ் ஆக மாற்றவும், மேலும் அனைத்தும் பலனளிக்கும். வேகமாகவும் எளிதாகவும்.
இயற்கையாகவே, இந்த நுட்பத்தின் சிக்கலான தன்மை மற்றும் தீவிரத்தன்மை காரணமாக, எதிர்கால வீடியோ பாடங்களில் அதன் பரிசீலனைக்கு பல முறை திரும்புவோம், ஆனால் இன்று அவ்வளவுதான். ஆன்டிடெரிவேடிவ்கள் மற்றும் ஒருங்கிணைப்புகளைப் புரிந்துகொள்ள விரும்பும் மாணவர்களுக்கு இந்தப் பாடம் உண்மையில் உதவும் என்று நம்புகிறேன்.
அடிப்படை சூத்திரங்கள் மற்றும் ஒருங்கிணைப்பு முறைகள். ஒரு தொகை அல்லது வேறுபாட்டை ஒருங்கிணைப்பதற்கான விதி. ஒருங்கிணைந்த அடையாளத்திற்கு வெளியே மாறிலியை நகர்த்துதல். மாறி மாற்று முறை. பகுதிகள் மூலம் ஒருங்கிணைப்பதற்கான சூத்திரம். ஒரு சிக்கலைத் தீர்ப்பதற்கான எடுத்துக்காட்டு.
நான்கு முக்கிய ஒருங்கிணைப்பு முறைகள் கீழே பட்டியலிடப்பட்டுள்ளன.
1)
ஒரு தொகை அல்லது வேறுபாட்டை ஒருங்கிணைப்பதற்கான விதி.
.
இங்கே மற்றும் கீழே u, v, w ஆகியவை ஒருங்கிணைப்பு மாறி x இன் செயல்பாடுகள்.
2)
ஒருங்கிணைந்த அடையாளத்திற்கு வெளியே மாறிலியை நகர்த்துதல்.
c ஆனது x இலிருந்து ஒரு நிலையான சார்பற்றதாக இருக்கட்டும். பின்னர் அதை ஒருங்கிணைந்த அடையாளத்திலிருந்து வெளியே எடுக்கலாம்.
3)
மாறி மாற்று முறை.
கருத்தில் கொள்வோம் காலவரையற்ற ஒருங்கிணைப்பு.
அத்தகைய செயல்பாட்டை நாம் கண்டுபிடிக்க முடிந்தால் φ (எக்ஸ்) x இலிருந்து, அதனால்
,
பின்னர், t = φ(x) மாறியை மாற்றுவதன் மூலம், நம்மிடம் உள்ளது
.
4)
பகுதிகள் மூலம் ஒருங்கிணைப்பதற்கான சூத்திரம்.
,
இதில் u மற்றும் v ஆகியவை ஒருங்கிணைப்பு மாறியின் செயல்பாடுகள்.
காலவரையற்ற ஒருங்கிணைப்புகளைக் கணக்கிடுவதற்கான இறுதி இலக்கு, மாற்றங்களின் மூலம், கொடுக்கப்பட்ட ஒருங்கிணைப்பை எளிய ஒருங்கிணைப்புகளுக்குக் குறைப்பதாகும், அவை அட்டவணை ஒருங்கிணைப்புகள் என்று அழைக்கப்படுகின்றன. அறியப்பட்ட சூத்திரங்களைப் பயன்படுத்தி அடிப்படை செயல்பாடுகள் மூலம் அட்டவணை ஒருங்கிணைப்புகள் வெளிப்படுத்தப்படுகின்றன.
ஒருங்கிணைப்புகளின் அட்டவணை >>> பார்க்கவும்
உதாரணமாக
காலவரையற்ற ஒருங்கிணைப்பைக் கணக்கிடுங்கள்
தீர்வு
ஒருங்கிணைப்பு என்பது மூன்று சொற்களின் கூட்டுத்தொகை மற்றும் வேறுபாடு என்பதை நாங்கள் கவனிக்கிறோம்:
, மற்றும் .
முறையைப் பயன்படுத்துதல் 1
.
அடுத்து, புதிய ஒருங்கிணைப்புகளின் ஒருங்கிணைப்புகள் மாறிலிகளால் பெருக்கப்படுகின்றன என்பதை நாங்கள் கவனிக்கிறோம் 5, 4,
மற்றும் 2
, முறையே. முறையைப் பயன்படுத்துதல் 2
.
ஒருங்கிணைப்புகளின் அட்டவணையில் நாம் சூத்திரத்தைக் காண்கிறோம்
.
n = அனுமானித்து 2
, முதல் ஒருங்கிணைப்பைக் காண்கிறோம்.
இரண்டாவது ஒருங்கிணைப்பை படிவத்தில் மீண்டும் எழுதுவோம்
.
என்பதை நாங்கள் கவனிக்கிறோம். பிறகு
மூன்றாவது முறையைப் பயன்படுத்துவோம். t = φ என்ற மாறியை மாற்றுகிறோம் (x) = பதிவு x.
.
ஒருங்கிணைப்புகளின் அட்டவணையில் நாம் சூத்திரத்தைக் காண்கிறோம்
ஒருங்கிணைப்பு மாறியை எந்த எழுத்திலும் குறிக்கலாம் என்பதால், பின்னர்
படிவத்தில் மூன்றாவது ஒருங்கிணைப்பை மீண்டும் எழுதுவோம்
.
பகுதிகள் மூலம் ஒருங்கிணைப்பு சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்துகிறோம்.
போடுவோம்.
பிறகு
;
;
;
;
.
ஆண்டிடெரிவேடிவ் செயல்பாடு மற்றும் காலவரையற்ற ஒருங்கிணைப்பு
உண்மை 1. ஒருங்கிணைப்பு என்பது வேறுபாட்டின் தலைகீழ் செயல், அதாவது, இந்தச் செயல்பாட்டின் அறியப்பட்ட வழித்தோன்றலில் இருந்து ஒரு செயல்பாட்டை மீட்டமைத்தல். செயல்பாடு இவ்வாறு மீட்டெடுக்கப்பட்டது எஃப்(எக்ஸ்) என்று அழைக்கப்படுகிறது எதிர் வழிவகைசெயல்பாட்டிற்கு f(எக்ஸ்).
வரையறை 1. செயல்பாடு எஃப்(எக்ஸ் f(எக்ஸ்) சில இடைவெளியில் எக்ஸ், அனைத்து மதிப்புகளுக்கும் என்றால் எக்ஸ்இந்த இடைவெளியில் இருந்து சமத்துவம் உள்ளது எஃப் "(எக்ஸ்)=f(எக்ஸ்), அதாவது, இந்த செயல்பாடு f(எக்ஸ்) என்பது ஆண்டிடெரிவேடிவ் செயல்பாட்டின் வழித்தோன்றலாகும் எஃப்(எக்ஸ்). .
உதாரணமாக, செயல்பாடு எஃப்(எக்ஸ்) = பாவம் எக்ஸ் செயல்பாட்டின் ஒரு எதிர்ப்பொருள் ஆகும் f(எக்ஸ்) = cos எக்ஸ் முழு எண் வரியிலும், x இன் எந்த மதிப்பிற்கும் (பாவம் எக்ஸ்)" = (காஸ் எக்ஸ்) .
வரையறை 2. ஒரு செயல்பாட்டின் காலவரையற்ற ஒருங்கிணைப்பு f(எக்ஸ்) என்பது அதன் அனைத்து ஆண்டிடெரிவேடிவ்களின் தொகுப்பாகும். இந்த வழக்கில், குறியீடு பயன்படுத்தப்படுகிறது
∫
f(எக்ஸ்)dx
,அடையாளம் எங்கே ∫ ஒருங்கிணைந்த அடையாளம், செயல்பாடு என்று அழைக்கப்படுகிறது f(எக்ஸ்) - ஒருங்கிணைந்த செயல்பாடு, மற்றும் f(எக்ஸ்)dx - ஒருங்கிணைந்த வெளிப்பாடு.
இவ்வாறு, என்றால் எஃப்(எக்ஸ்) – இதற்கு சில எதிர்ப்பு f(எக்ஸ்) , அந்த
∫
f(எக்ஸ்)dx = எஃப்(எக்ஸ்) +சி
எங்கே சி - தன்னிச்சையான மாறிலி (நிலையான).
ஒரு செயல்பாட்டின் ஆண்டிடெரிவேடிவ்களின் தொகுப்பை காலவரையற்ற ஒருங்கிணைப்பாகப் புரிந்து கொள்ள, பின்வரும் ஒப்புமை பொருத்தமானது. ஒரு கதவு இருக்கட்டும் (பாரம்பரியமானது மரக்கதவு) அதன் செயல்பாடு "ஒரு கதவு" ஆகும். கதவு எதனால் ஆனது? மரத்தால் ஆனது. இதன் பொருள் என்னவென்றால், “ஒரு கதவு” என்ற செயல்பாட்டின் ஒருங்கிணைப்பின் ஆன்டிடெரிவேடிவ்களின் தொகுப்பு, அதாவது அதன் காலவரையற்ற ஒருங்கிணைப்பு, “ஒரு மரம் + சி” ஆகும், இதில் C என்பது ஒரு நிலையானது, இது இந்த சூழலில் முடியும். எடுத்துக்காட்டாக, மரத்தின் வகையைக் குறிக்கவும். சில கருவிகளைப் பயன்படுத்தி ஒரு கதவு மரத்தில் இருந்து உருவாக்கப்படுவது போல, ஒரு செயல்பாட்டின் வழித்தோன்றல் ஒரு ஆண்டிடெரிவேடிவ் செயல்பாட்டிலிருந்து "உருவாக்கப்படுகிறது" வழித்தோன்றலைப் படிக்கும்போது நாம் கற்றுக்கொண்ட சூத்திரங்கள் .
பின்னர் பொதுவான பொருட்களின் செயல்பாடுகளின் அட்டவணை மற்றும் அவற்றுடன் தொடர்புடைய ஆன்டிடெரிவேடிவ்கள் ("கதவாக இருக்க" - "ஒரு மரமாக", "ஒரு கரண்டியாக இருக்க" - "உலோகமாக" போன்றவை) அடிப்படை அட்டவணைக்கு ஒத்ததாக இருக்கும். காலவரையற்ற ஒருங்கிணைப்புகள், அவை கீழே கொடுக்கப்படும். காலவரையற்ற ஒருங்கிணைப்புகளின் அட்டவணையானது, இந்த செயல்பாடுகள் "உருவாக்கப்பட்ட" ஆண்டிடெரிவேடிவ்களின் அறிகுறியுடன் பொதுவான செயல்பாடுகளை பட்டியலிடுகிறது. காலவரையற்ற ஒருங்கிணைப்பைக் கண்டறிவதில் உள்ள சிக்கல்களின் ஒரு பகுதியாக, அதிக முயற்சி இல்லாமல் நேரடியாக ஒருங்கிணைக்கக்கூடிய ஒருங்கிணைப்புகள் வழங்கப்படுகின்றன, அதாவது காலவரையற்ற ஒருங்கிணைப்புகளின் அட்டவணையைப் பயன்படுத்துகிறது. மிகவும் சிக்கலான சிக்கல்களில், ஒருங்கிணைப்பு முதலில் மாற்றப்பட வேண்டும், இதனால் அட்டவணை ஒருங்கிணைப்புகளைப் பயன்படுத்தலாம்.
உண்மை 2. ஆண்டிடெரிவேடிவ் என ஒரு செயல்பாட்டை மீட்டெடுக்கும் போது, ஒரு தன்னிச்சையான மாறிலியை (நிலையான) கணக்கில் எடுத்துக்கொள்ள வேண்டும். சி, மற்றும் 1 முதல் முடிவிலி வரையிலான பல்வேறு மாறிலிகளுடன் ஆன்டிடெரிவேடிவ்களின் பட்டியலை எழுதாமல் இருக்க, நீங்கள் ஒரு தன்னிச்சையான மாறிலியுடன் ஆன்டிடெரிவேடிவ்களின் தொகுப்பை எழுத வேண்டும். சிஎடுத்துக்காட்டாக, இது போன்றது: 5 எக்ஸ்³+C. எனவே, ஒரு தன்னிச்சையான மாறிலி (நிலையானது) ஆண்டிடெரிவேட்டிவ் வெளிப்பாட்டில் சேர்க்கப்பட்டுள்ளது, ஏனெனில் ஆன்டிடெரிவேடிவ் ஒரு செயல்பாடாக இருக்கலாம், எடுத்துக்காட்டாக, 5 எக்ஸ்³+4 அல்லது 5 எக்ஸ்³+3 மற்றும் வேறுபடுத்தப்பட்டால், 4 அல்லது 3 அல்லது வேறு ஏதேனும் மாறிலி பூஜ்ஜியத்திற்குச் செல்லும்.
ஒருங்கிணைப்பு சிக்கலை முன்வைப்போம்: இந்த செயல்பாட்டிற்கு f(எக்ஸ்) அத்தகைய செயல்பாட்டைக் கண்டறியவும் எஃப்(எக்ஸ்), யாருடைய வழித்தோன்றல்சமமாக f(எக்ஸ்).
எடுத்துக்காட்டு 1.ஒரு செயல்பாட்டின் ஆண்டிடெரிவேடிவ்களின் தொகுப்பைக் கண்டறியவும்
தீர்வு. இந்தச் செயல்பாட்டிற்கு, ஆண்டிடெரிவேட்டிவ் என்பது செயல்பாடாகும்
செயல்பாடு எஃப்(எக்ஸ்) செயல்பாட்டிற்கான ஆன்டிடெரிவேடிவ் என்று அழைக்கப்படுகிறது f(எக்ஸ்), வழித்தோன்றல் என்றால் எஃப்(எக்ஸ்) சமமாக உள்ளது f(எக்ஸ்), அல்லது, இது ஒரே விஷயம், வேறுபாடு எஃப்(எக்ஸ்) சமமாக உள்ளது f(எக்ஸ்) dx, அதாவது
(2)
எனவே, சார்பு என்பது செயல்பாட்டின் எதிர் வழித்தோன்றலாகும். இருப்பினும், இது க்கு மட்டும் ஆண்டிடெரிவேட்டிவ் அல்ல. அவை செயல்பாடுகளாகவும் செயல்படுகின்றன
எங்கே உடன்- தன்னிச்சையான மாறிலி. இதை வேறுபாட்டின் மூலம் சரிபார்க்கலாம்.
எனவே, ஒரு செயல்பாட்டிற்கு ஒரு ஆன்டிடெரிவேடிவ் இருந்தால், அதற்கு ஒரு நிலையான காலத்தால் வேறுபடும் எண்ணற்ற ஆன்டிடெரிவேடிவ்கள் உள்ளன. ஒரு செயல்பாட்டிற்கான அனைத்து ஆன்டிடெரிவேடிவ்களும் மேலே உள்ள வடிவத்தில் எழுதப்பட்டுள்ளன. இது பின்வரும் தேற்றத்திலிருந்து பின்வருமாறு.
தேற்றம் (உண்மை 2 இன் முறையான அறிக்கை).என்றால் எஃப்(எக்ஸ்) - செயல்பாட்டிற்கான ஆன்டிடெரிவேடிவ் f(எக்ஸ்) சில இடைவெளியில் எக்ஸ், பிறகு வேறு ஏதேனும் ஆன்டிடெரிவேட்டிவ் f(எக்ஸ்) அதே இடைவெளியில் படிவத்தில் குறிப்பிடப்படலாம் எஃப்(எக்ஸ்) + சி, எங்கே உடன்- தன்னிச்சையான மாறிலி.
அடுத்த எடுத்துக்காட்டில், காலவரையற்ற ஒருங்கிணைப்பின் பண்புகளுக்குப் பிறகு, பத்தி 3 இல் கொடுக்கப்படும் ஒருங்கிணைப்புகளின் அட்டவணைக்குத் திரும்புவோம். மேலே உள்ளவற்றின் சாராம்சம் தெளிவாக இருக்கும் வகையில் முழு அட்டவணையையும் படிப்பதற்கு முன் இதைச் செய்கிறோம். அட்டவணை மற்றும் பண்புகளுக்குப் பிறகு, ஒருங்கிணைப்பின் போது அவற்றை முழுமையாகப் பயன்படுத்துவோம்.
உதாரணம் 2.ஆண்டிடெரிவேடிவ் செயல்பாடுகளின் தொகுப்புகளைக் கண்டறியவும்:
தீர்வு. இந்த செயல்பாடுகள் "உருவாக்கப்பட்ட" ஆண்டிடெரிவேடிவ் செயல்பாடுகளின் தொகுப்புகளை நாங்கள் காண்கிறோம். ஒருங்கிணைப்புகளின் அட்டவணையில் இருந்து சூத்திரங்களைக் குறிப்பிடும்போது, தற்போதைக்கு அத்தகைய சூத்திரங்கள் உள்ளன என்பதை ஏற்றுக்கொள்ளுங்கள், மேலும் காலவரையற்ற ஒருங்கிணைப்புகளின் அட்டவணையை இன்னும் கொஞ்சம் படிப்போம்.
1) ஒருங்கிணைப்புகளின் அட்டவணையில் இருந்து சூத்திரத்தை (7) பயன்படுத்துதல் n= 3, நாம் பெறுகிறோம்
2) ஒருங்கிணைந்த அட்டவணையில் இருந்து சூத்திரம் (10) ஐப் பயன்படுத்துதல் n= 1/3, எங்களிடம் உள்ளது
3) முதல்
பின்னர் சூத்திரத்தின் படி (7) உடன் n= -1/4 நாம் கண்டுபிடிக்கிறோம்
இது ஒருங்கிணைந்த குறியின் கீழ் எழுதப்பட்ட செயல்பாடு அல்ல. f, மற்றும் வேறுபாட்டின் மூலம் அதன் தயாரிப்பு dx. இது முதன்மையாக எந்த மாறி மூலம் ஆன்டிடெரிவேடிவ் தேடப்படுகிறது என்பதைக் குறிப்பிடுவதற்காக செய்யப்படுகிறது. உதாரணத்திற்கு,
,
;
இங்கே இரண்டு நிகழ்வுகளிலும் ஒருங்கிணைப்பு சமமாக இருக்கும், ஆனால் கருதப்படும் நிகழ்வுகளில் அதன் காலவரையற்ற ஒருங்கிணைப்புகள் வேறுபட்டதாக மாறிவிடும். முதல் வழக்கில், இந்த செயல்பாடு மாறியின் செயல்பாடாக கருதப்படுகிறது எக்ஸ், மற்றும் இரண்டாவது - ஒரு செயல்பாடாக z .
ஒரு செயல்பாட்டின் காலவரையற்ற ஒருங்கிணைப்பைக் கண்டறியும் செயல்முறை அந்த செயல்பாட்டை ஒருங்கிணைத்தல் என்று அழைக்கப்படுகிறது.
காலவரையற்ற ஒருங்கிணைப்பின் வடிவியல் பொருள்
நாம் ஒரு வளைவைக் கண்டுபிடிக்க வேண்டும் என்று வைத்துக்கொள்வோம் y=F(x)மற்றும் அதன் ஒவ்வொரு புள்ளியிலும் தொடு கோணத்தின் தொடுகோடு என்பது கொடுக்கப்பட்ட செயல்பாடு என்பதை நாம் ஏற்கனவே அறிவோம் f(x)இந்த புள்ளியின் abscissa.
வழித்தோன்றலின் வடிவியல் அர்த்தத்தின்படி, வளைவின் கொடுக்கப்பட்ட புள்ளியில் தொடுகோடு சாய்வின் கோணத்தின் தொடுகோடு y=F(x)வழித்தோன்றலின் மதிப்புக்கு சமம் F"(x). எனவே அத்தகைய செயல்பாட்டை நாம் கண்டுபிடிக்க வேண்டும் F(x), எதற்காக F"(x)=f(x). பணியில் தேவையான செயல்பாடு F(x)என்பதன் ஆன்டிடெரிவேட்டிவ் ஆகும் f(x). பிரச்சனையின் நிலைமைகள் ஒரு வளைவால் அல்ல, ஆனால் வளைவுகளின் குடும்பத்தால் திருப்திப்படுத்தப்படுகின்றன. y=F(x)- இந்த வளைவுகளில் ஒன்று மற்றும் வேறு எந்த வளைவையும் அச்சில் இணையான மொழிபெயர்ப்பு மூலம் பெறலாம் ஓ.
இன் ஆண்டிடெரிவேடிவ் செயல்பாட்டின் வரைபடத்தை அழைப்போம் f(x)ஒருங்கிணைந்த வளைவு. என்றால் F"(x)=f(x), பின்னர் செயல்பாட்டின் வரைபடம் y=F(x)ஒரு ஒருங்கிணைந்த வளைவு உள்ளது.
உண்மை 3. காலவரையற்ற ஒருங்கிணைப்பானது அனைத்து ஒருங்கிணைந்த வளைவுகளின் குடும்பத்தால் வடிவியல் ரீதியாக குறிப்பிடப்படுகிறது , கீழே உள்ள படத்தில் உள்ளது போல. ஆயத்தொலைவுகளின் தோற்றத்திலிருந்து ஒவ்வொரு வளைவின் தூரமும் தன்னிச்சையான ஒருங்கிணைப்பு மாறிலியால் தீர்மானிக்கப்படுகிறது. சி.
காலவரையற்ற ஒருங்கிணைப்பின் பண்புகள்
உண்மை 4. தேற்றம் 1. காலவரையற்ற ஒருங்கிணைப்பின் வழித்தோன்றல் ஒருங்கிணைப்புக்குச் சமம், அதன் வேறுபாடு ஒருங்கிணைப்புக்குச் சமம்.
உண்மை 5. தேற்றம் 2. ஒரு செயல்பாட்டின் வேறுபாட்டின் காலவரையற்ற ஒருங்கிணைப்பு f(எக்ஸ்) செயல்பாட்டிற்கு சமம் f(எக்ஸ்) ஒரு நிலையான காலம் வரை , அதாவது
(3)
1 மற்றும் 2 கோட்பாடுகள் வேறுபாடு மற்றும் ஒருங்கிணைப்பு ஆகியவை பரஸ்பர தலைகீழ் செயல்பாடுகள் என்பதைக் காட்டுகின்றன.
உண்மை 6. தேற்றம் 3. ஒருங்கிணைப்பில் உள்ள நிலையான காரணி காலவரையற்ற ஒருங்கிணைப்பின் அடையாளத்திலிருந்து எடுக்கப்படலாம் , அதாவது
ஒருங்கிணைப்பு கற்றுக்கொள்வது கடினம் அல்ல. இதைச் செய்ய, நீங்கள் ஒரு குறிப்பிட்ட, மிகச் சிறிய விதிகளைக் கற்றுக் கொள்ள வேண்டும் மற்றும் ஒரு வகையான உள்ளுணர்வை வளர்த்துக் கொள்ள வேண்டும். நிச்சயமாக, விதிகள் மற்றும் சூத்திரங்களைக் கற்றுக்கொள்வது எளிது, ஆனால் இந்த அல்லது அந்த ஒருங்கிணைப்பு அல்லது வேறுபாட்டின் விதியை எங்கு, எப்போது பயன்படுத்துவது என்பதைப் புரிந்துகொள்வது மிகவும் கடினம். உண்மையில், இது ஒருங்கிணைக்கும் திறன்.
1. ஆண்டிடெரிவேட்டிவ். காலவரையற்ற ஒருங்கிணைப்பு.
இந்த கட்டுரையைப் படிக்கும் நேரத்தில், வாசகருக்கு ஏற்கனவே சில வேறுபாடு திறன்கள் (அதாவது, வழித்தோன்றல்களைக் கண்டறிதல்) இருப்பதாகக் கருதப்படுகிறது.
வரையறை 1.1:சமத்துவம் இருந்தால், ஒரு சார்பு ஒரு செயல்பாட்டின் ஆன்டிடெரிவேடிவ் என்று அழைக்கப்படுகிறது:
கருத்துகள்:> "முதன்மை" என்ற வார்த்தையின் முக்கியத்துவத்தை இரண்டு வழிகளில் வைக்கலாம்: முதலில் ஓஉருவக அல்லது முன்மாதிரி ஏதெரிந்துகொள்வது.
சொத்து 1:ஒரு சார்பு ஒரு செயல்பாட்டின் எதிர் வழித்தோன்றலாக இருந்தால், அந்தச் செயல்பாடும் ஒரு செயல்பாட்டின் ஆண்டிடெரிவேட்டிவ் ஆகும்.
ஆதாரம்:ஆண்டிடெரிவேட்டிவ் என்பதன் வரையறையிலிருந்து இதை நிரூபிப்போம். செயல்பாட்டின் வழித்தோன்றலைக் கண்டுபிடிப்போம்:
முதல் பதவிக்காலம் வரையறை 1.1க்கு சமம், மற்றும் இரண்டாவது சொல் மாறிலியின் வழித்தோன்றலாகும், இது 0க்கு சமம்.
.
சுருக்கவும். சமத்துவ சங்கிலியின் தொடக்கத்தையும் முடிவையும் எழுதுவோம்: 
எனவே, ஒரு செயல்பாட்டின் வழித்தோன்றல் க்கு சமம், எனவே, வரையறையின்படி, அதன் ஆண்டிடெரிவேட்டிவ் ஆகும். சொத்து நிரூபிக்கப்பட்டுள்ளது.
வரையறை 1.2:ஒரு செயல்பாட்டின் காலவரையற்ற ஒருங்கிணைப்பு என்பது இந்தச் செயல்பாட்டின் ஆன்டிடெரிவேடிவ்களின் முழு தொகுப்பாகும். இது பின்வருமாறு சுட்டிக்காட்டப்படுகிறது: 
.
பதிவின் ஒவ்வொரு பகுதியின் பெயர்களையும் விரிவாகப் பார்ப்போம்:
- ஒருங்கிணைப்பின் பொதுவான பதவி,
- ஒருங்கிணைந்த (ஒருங்கிணைந்த) வெளிப்பாடு, ஒருங்கிணைந்த செயல்பாடு.
ஒரு வித்தியாசமானது, மற்றும் எழுத்துக்குப் பின் வரும் வெளிப்பாடு, இந்த வழக்கில் அது , ஒருங்கிணைப்பின் மாறி என்று அழைக்கப்படும்.
கருத்துகள்:இந்த வரையறையின் முக்கிய வார்த்தைகள் "முழு தொகுப்பு." அந்த. எதிர்காலத்தில் இதே “பிளஸ் சி” பதிலில் எழுதப்படவில்லை என்றால், தேர்வாளருக்கு இந்த வேலையை எண்ணாமல் இருக்க முழு உரிமை உண்டு, ஏனென்றால் ஆண்டிடெரிவேடிவ்களின் முழு தொகுப்பையும் கண்டறிவது அவசியம், மேலும் சி காணவில்லை என்றால், ஒன்று மட்டுமே காணப்படும்.
முடிவுரை:ஒருங்கிணைப்பு சரியாகக் கணக்கிடப்பட்டுள்ளதா என்பதைச் சரிபார்க்க, முடிவின் வழித்தோன்றலைக் கண்டறிவது அவசியம். இது ஒருங்கிணைப்புடன் ஒத்துப்போக வேண்டும்.
உதாரணமாக:
உடற்பயிற்சி:காலவரையற்ற ஒருங்கிணைப்பைக் கணக்கிட்டு சரிபார்க்கவும்.
தீர்வு:
இந்த ஒருங்கிணைப்பு கணக்கிடப்படும் விதம் இந்த விஷயத்தில் முக்கியமில்லை. இது மேலிருந்து ஒரு வெளிப்பாடு என்று வைத்துக் கொள்வோம். வெளிப்பாடு நம்மை ஏமாற்றவில்லை என்பதைக் காண்பிப்பதே எங்கள் பணி, சரிபார்ப்பு மூலம் இதைச் செய்யலாம்.
தேர்வு:
முடிவை வேறுபடுத்தும்போது, ஒரு ஒருங்கிணைப்பைப் பெற்றோம், அதாவது ஒருங்கிணைப்பு சரியாக கணக்கிடப்பட்டது.
2. ஆரம்பம். ஒருங்கிணைப்புகளின் அட்டவணை.
ஒருங்கிணைக்க, ஒவ்வொரு முறையும், கொடுக்கப்பட்ட ஒருங்கிணைப்புக்கு சமமான செயல்பாட்டின் வழித்தோன்றலை நீங்கள் நினைவில் வைத்திருக்க வேண்டியதில்லை (அதாவது, ஒருங்கிணைப்பின் வரையறையை நேரடியாகப் பயன்படுத்தவும்). சிக்கல்களின் ஒவ்வொரு தொகுப்பும் அல்லது கணிதப் பகுப்பாய்வின் பாடப்புத்தகமும் ஒருங்கிணைப்புகளின் பண்புகளின் பட்டியலையும் எளிமையான ஒருங்கிணைப்புகளின் அட்டவணையையும் கொண்டுள்ளது.
பண்புகளை பட்டியலிடுவோம்.
பண்புகள்:
1.
வேற்றுமையின் ஒருங்கிணைப்பானது ஒருங்கிணைப்பின் மாறிக்கு சமம்.
2., ஒரு மாறிலி எங்கே.
நிலையான பெருக்கியை ஒருங்கிணைந்த அடையாளத்திலிருந்து எடுக்கலாம்.
3.
ஒரு கூட்டுத்தொகை முழுமையின் கூட்டுத்தொகைக்கு சமம் (சொற்களின் எண்ணிக்கை வரையறுக்கப்பட்டதாக இருந்தால்).
ஒருங்கிணைப்புகளின் அட்டவணை:
| 1. | 10. |
| 2. | 11.  |
| 3. | 12. |
4.  |
13.  |
5.  |
14.  |
| 6. | 15. |
7.  |
16. |
| 8. | 17.  |
| 9. | 18. |
பெரும்பாலும், பண்புகள் மற்றும் சூத்திரங்களைப் பயன்படுத்தி ஆய்வின் கீழ் உள்ள ஒருங்கிணைப்பை அட்டவணைக்குக் குறைப்பதே பணி.
உதாரணமாக:
[ஒருங்கிணைப்பின் மூன்றாவது பண்புகளைப் பயன்படுத்தி அதை மூன்று ஒருங்கிணைப்புகளின் கூட்டுத்தொகையாக எழுதுவோம்.]
[இரண்டாவது சொத்தை பயன்படுத்துவோம் மற்றும் ஒருங்கிணைப்பு குறிக்கு அப்பால் மாறிலிகளை நகர்த்துவோம்.]
[ முதல் ஒருங்கிணைப்பில், அட்டவணை ஒருங்கிணைந்த எண். 1 (n=2) ஐப் பயன்படுத்துவோம், இரண்டாவதாக, அதே சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்துவோம், ஆனால் n=1, மூன்றாவது ஒருங்கிணைப்புக்கு ஒரே அட்டவணையை ஒருங்கிணைக்கலாம், ஆனால் n=0, அல்லது முதல் சொத்து. ]
.
வேறுபாட்டின் மூலம் சரிபார்க்கலாம்:
அசல் ஒருங்கிணைப்பு பெறப்பட்டது, எனவே, ஒருங்கிணைப்பு பிழைகள் இல்லாமல் செய்யப்பட்டது (மற்றும் தன்னிச்சையான மாறிலி C ஐச் சேர்ப்பது கூட மறக்கப்படவில்லை).
அட்டவணை ஒருங்கிணைப்புகள் ஒரு எளிய காரணத்திற்காக இதயத்தால் கற்றுக்கொள்ளப்பட வேண்டும் - எதற்காக பாடுபட வேண்டும் என்பதை அறிய, அதாவது. கொடுக்கப்பட்ட வெளிப்பாட்டை மாற்றுவதன் நோக்கம் தெரியும்.
இன்னும் சில எடுத்துக்காட்டுகள் இங்கே:
1) 
2) 
3) 
சுயாதீன தீர்வுக்கான பணிகள்:
உடற்பயிற்சி 1.காலவரையற்ற ஒருங்கிணைப்பைக் கணக்கிடுங்கள்:
+ குறிப்பைக் காட்டு/மறை #1.
1) மூன்றாவது சொத்தைப் பயன்படுத்தவும் மற்றும் இந்த ஒருங்கிணைப்பை மூன்று ஒருங்கிணைப்புகளின் கூட்டுத்தொகையாகக் குறிக்கவும்.
+ குறிப்பைக் காட்டு/மறை #2.
+ குறிப்பைக் காட்டு/மறை #3.
3) முதல் இரண்டு சொற்களுக்கு, முதல் அட்டவணை ஒருங்கிணைப்பைப் பயன்படுத்தவும், மூன்றாவது, இரண்டாவது அட்டவணை ஒருங்கிணைப்பைப் பயன்படுத்தவும்.
+ தீர்வு மற்றும் பதிலைக் காட்டு/மறை.
4) தீர்வு: 
பதில்: 
பள்ளியில், பலர் ஒருங்கிணைப்புகளைத் தீர்க்கத் தவறிவிடுகிறார்கள் அல்லது அவர்களுடன் ஏதேனும் சிரமங்களை எதிர்கொள்கின்றனர். இந்த கட்டுரையில் நீங்கள் அனைத்தையும் கண்டுபிடிப்பதால், அதைக் கண்டுபிடிக்க உதவும். ஒருங்கிணைந்த அட்டவணைகள்.
ஒருங்கிணைந்தகணித பகுப்பாய்வில் முக்கிய கணக்கீடுகள் மற்றும் கருத்துக்களில் ஒன்றாகும். அதன் தோற்றம் இரண்டு நோக்கங்களுக்காக விளைந்தது:
முதல் கோல்- ஒரு செயல்பாட்டை அதன் வழித்தோன்றலைப் பயன்படுத்தி மீட்டமைக்கவும்.
இரண்டாவது கோல்- வரைபடத்திலிருந்து f(x) சார்புக்கு நேராகக் கோட்டில் அமைந்துள்ள பகுதியின் கணக்கீடு, இதில் a ஆனது x ஐ விட அதிகமாகவோ அல்லது சமமாகவோ b மற்றும் x-அச்சுக்கு சமமாக இருக்கும்.
இந்த இலக்குகள் நம்மை திட்டவட்டமான மற்றும் காலவரையற்ற ஒருங்கிணைப்புகளுக்கு இட்டுச் செல்கின்றன. இந்த ஒருங்கிணைப்புகளுக்கு இடையேயான தொடர்பு பண்புகள் மற்றும் கணக்கீடுகளுக்கான தேடலில் உள்ளது. ஆனால் எல்லாம் பாய்கிறது மற்றும் காலப்போக்கில் எல்லாம் மாறுகிறது, புதிய தீர்வுகள் கண்டறியப்பட்டன, சேர்த்தல்கள் அடையாளம் காணப்பட்டன, இதன் மூலம் மற்ற வகையான ஒருங்கிணைப்புக்கு திட்டவட்டமான மற்றும் காலவரையற்ற ஒருங்கிணைப்புகளை வழிநடத்துகிறது.
என்ன நடந்தது காலவரையற்ற ஒருங்கிணைப்பு நீங்கள் கேட்க. இது ஆண்டிடெரிவேடிவ் செயல்பாடுஒரு மாறி x இன் F(x) இடைவெளியில் b ஐ விட x ஐ விட பெரியது. எந்த செயல்பாடு F(x) என்று அழைக்கப்படுகிறது, x என்ற எந்த பதவிக்கும் கொடுக்கப்பட்ட இடைவெளியில், வழித்தோன்றல் F(x) க்கு சமம். x ஐ விட பெரியது b ஐ விட பெரியது என்ற இடைவெளியில் F(x) என்பது f(x) க்கு ஆண்டிடெரிவேடிவ் என்பது தெளிவாகிறது. இதன் பொருள் F1(x) = F(x) + C. C - என்பது கொடுக்கப்பட்ட இடைவெளியில் f(x)க்கான ஏதேனும் மாறிலி மற்றும் எதிர்வழியாகும். இந்த கூற்று தலைகீழானது; f(x) - 2 செயல்பாட்டிற்கு, ஆண்டிடெரிவேடிவ்கள் மாறிலியில் மட்டுமே வேறுபடுகின்றன. ஒருங்கிணைந்த கால்குலஸின் தேற்றத்தின் அடிப்படையில், இடைவெளியில் ஒவ்வொரு தொடர்ச்சியும் ஒரு
திட்டவட்டமான ஒருங்கிணைந்த ஒருங்கிணைந்த தொகைகளில் வரம்பு என புரிந்து கொள்ளப்படுகிறது, அல்லது கொடுக்கப்பட்ட செயல்பாட்டின் சூழ்நிலையில் f(x) சில வரியில் வரையறுக்கப்பட்டுள்ளது (a,b) அதன் மீது ஒரு எதிர்வழி எஃப் உள்ளது, அதாவது கொடுக்கப்பட்ட வரியின் முனைகளில் அதன் வெளிப்பாடுகளின் வேறுபாடு F(b) - F(a).
இந்த தலைப்பின் ஆய்வை விளக்குவதற்கு, வீடியோவைப் பார்க்க பரிந்துரைக்கிறேன். இது விரிவாகச் சொல்கிறது மற்றும் ஒருங்கிணைப்புகளை எவ்வாறு கண்டுபிடிப்பது என்பதைக் காட்டுகிறது.
ஒரு குறிப்பிட்ட வகை ஒருங்கிணைப்பைத் தீர்க்க உதவுவதால், ஒவ்வொரு ஒருங்கிணைப்பு அட்டவணையும் மிகவும் பயனுள்ளதாக இருக்கும்.
சாத்தியமான அனைத்து வகையான எழுதுபொருட்கள் மற்றும் பல. நீங்கள் ஆன்லைன் ஸ்டோர் v-kant.ru மூலம் வாங்கலாம். அல்லது ஸ்டேஷனரி சமாரா (http://v-kant.ru) இணைப்பைப் பின்தொடரவும், தரம் மற்றும் விலைகள் உங்களை மகிழ்ச்சியுடன் ஆச்சரியப்படுத்தும்.