முதல் நிலை

ஒரு செயல்பாட்டின் வழித்தோன்றல். தி அல்டிமேட் கைடு (2019)

ஒரு மலைப்பாங்கான பகுதி வழியாக செல்லும் ஒரு நேரான சாலையை கற்பனை செய்வோம். அதாவது, அது மேலும் கீழும் செல்கிறது, ஆனால் வலது அல்லது இடதுபுறம் திரும்பாது. அச்சு சாலையில் கிடைமட்டமாகவும் செங்குத்தாகவும் இயக்கப்பட்டால், சாலைக் கோடு சில தொடர்ச்சியான செயல்பாட்டின் வரைபடத்திற்கு மிகவும் ஒத்ததாக இருக்கும்:

அச்சு என்பது பூஜ்ஜிய உயரத்தின் ஒரு குறிப்பிட்ட நிலை; வாழ்க்கையில் நாம் கடல் மட்டத்தைப் பயன்படுத்துகிறோம்.

அத்தகைய பாதையில் நாம் முன்னேறும்போது, ​​​​நாமும் மேலே அல்லது கீழே செல்கிறோம். நாம் மேலும் கூறலாம்: வாதம் மாறும்போது (அப்சிஸ்ஸா அச்சில் இயக்கம்), செயல்பாட்டின் மதிப்பு மாறுகிறது (ஆர்டினேட் அச்சில் இயக்கம்). இப்போது நம் சாலையின் "செங்குத்தான தன்மையை" எவ்வாறு தீர்மானிப்பது என்று யோசிப்போம்? இது என்ன வகையான மதிப்பாக இருக்க முடியும்? இது மிகவும் எளிது: ஒரு குறிப்பிட்ட தூரம் முன்னோக்கி நகரும் போது உயரம் எவ்வளவு மாறும். உண்மையில், சாலையின் வெவ்வேறு பிரிவுகளில், ஒரு கிலோமீட்டர் முன்னோக்கி (x- அச்சில்) நகர்ந்தால், நாம் உயரும் அல்லது விழும். வெவ்வேறு அளவுகள்கடல் மட்டத்துடன் தொடர்புடைய மீட்டர் (ஆர்டினேட் அச்சில்).

முன்னேற்றத்தைக் குறிப்போம் ("டெல்டா x"ஐப் படிக்கவும்).

கிரேக்க எழுத்து (டெல்டா) பொதுவாக கணிதத்தில் "மாற்றம்" என்று பொருள்படும் முன்னொட்டாகப் பயன்படுத்தப்படுகிறது. அதாவது - இது அளவு மாற்றம், - ஒரு மாற்றம்; பிறகு அது என்ன? அது சரி, அளவு மாற்றம்.

முக்கியமானது: ஒரு வெளிப்பாடு என்பது ஒரு முழு, ஒரு மாறி. "டெல்டா" ஐ "x" அல்லது வேறு எந்த எழுத்தில் இருந்து பிரிக்க வேண்டாம்! அதாவது, உதாரணமாக, .

எனவே, நாங்கள் கிடைமட்டமாக முன்னேறிவிட்டோம். செயல்பாட்டின் வரைபடத்துடன் சாலையின் கோட்டை ஒப்பிட்டுப் பார்த்தால், உயர்வை எவ்வாறு குறிப்பிடுவது? நிச்சயமாக, . அதாவது, நாம் முன்னேறும்போது, ​​​​மேலும் உயருகிறோம்.

மதிப்பைக் கணக்கிடுவது எளிது: ஆரம்பத்தில் நாம் உயரத்தில் இருந்தால், நகர்ந்த பிறகு, நாம் உயரத்தில் இருப்பதைக் கண்டோம். தொடக்கப் புள்ளியை விட இறுதிப் புள்ளி குறைவாக இருந்தால், அது எதிர்மறையாக இருக்கும் - இதன் பொருள் நாம் ஏறவில்லை, ஆனால் இறங்குகிறோம்.

"செங்குத்தான நிலைக்கு" திரும்புவோம்: இது ஒரு யூனிட் தூரத்தை முன்னோக்கி நகர்த்தும்போது உயரம் எவ்வளவு (செங்குத்தாக) அதிகரிக்கிறது என்பதைக் காட்டும் மதிப்பு:

சாலையின் சில பகுதியில், ஒரு கிலோமீட்டர் முன்னோக்கிச் செல்லும்போது, ​​​​சாலை ஒரு கிலோமீட்டர் வரை உயர்கிறது என்று வைத்துக்கொள்வோம். பின்னர் இந்த இடத்தில் சாய்வு சமமாக இருக்கும். மேலும் சாலை, மீ முன்னோக்கி நகரும் போது, ​​கிமீ குறையுமா? பின்னர் சாய்வு சமமாக இருக்கும்.

இப்போது ஒரு மலையின் உச்சியைப் பார்ப்போம். உச்சிமாநாட்டிற்கு அரை கிலோமீட்டர் முன்பு பிரிவின் தொடக்கத்தையும், அதற்குப் பிறகு அரை கிலோமீட்டர் முடிவையும் எடுத்துக் கொண்டால், உயரம் கிட்டத்தட்ட ஒரே மாதிரியாக இருப்பதைக் காணலாம்.

அதாவது, எங்கள் தர்க்கத்தின் படி, இங்கே சாய்வு கிட்டத்தட்ட பூஜ்ஜியத்திற்கு சமம் என்று மாறிவிடும், இது தெளிவாக உண்மை இல்லை. ஒரு கிலோமீட்டர் தூரத்தில் நிறைய மாறலாம். செங்குத்தான தன்மையின் போதுமான மற்றும் துல்லியமான மதிப்பீட்டிற்கு சிறிய பகுதிகளைக் கருத்தில் கொள்வது அவசியம். எடுத்துக்காட்டாக, நீங்கள் ஒரு மீட்டரை நகர்த்தும்போது உயரத்தில் ஏற்படும் மாற்றத்தை அளந்தால், முடிவு மிகவும் துல்லியமாக இருக்கும். ஆனால் இந்த துல்லியம் கூட நமக்கு போதுமானதாக இருக்காது - எல்லாவற்றிற்கும் மேலாக, சாலையின் நடுவில் ஒரு கம்பம் இருந்தால், அதை நாம் கடந்து செல்லலாம். எந்த தூரத்தை நாம் தேர்வு செய்ய வேண்டும்? சென்டிமீட்டரா? மில்லிமீட்டரா? குறைவாக இருந்தால் நல்லது!

IN உண்மையான வாழ்க்கைஅருகிலுள்ள மில்லிமீட்டருக்கு தூரத்தை அளவிடுவது போதுமானதை விட அதிகம். ஆனால் கணிதவியலாளர்கள் எப்போதும் முழுமைக்காக பாடுபடுகிறார்கள். எனவே, கருத்து கண்டுபிடிக்கப்பட்டது எல்லையற்ற, அதாவது, நாம் பெயரிடக்கூடிய எந்த எண்ணையும் விட முழுமையான மதிப்பு குறைவாக உள்ளது. உதாரணமாக, நீங்கள் சொல்கிறீர்கள்: ஒரு டிரில்லியன்! எவ்வளவு குறைவு? நீங்கள் இந்த எண்ணை வகுத்தால் - அது இன்னும் குறைவாக இருக்கும். மற்றும் பல. ஒரு அளவு எண்ணற்றது என்று எழுத விரும்பினால், நாம் இப்படி எழுதுகிறோம்: ("x என்பது பூஜ்ஜியத்திற்கு முனைகிறது" என்று படிக்கிறோம்). புரிந்து கொள்வது மிகவும் அவசியம் இந்த எண் பூஜ்யம் இல்லை என்று!ஆனால் அதற்கு மிக அருகில். இதன் மூலம் நீங்கள் பிரிக்கலாம் என்று அர்த்தம்.

முடிவிலிக்கு எதிரான கருத்து எல்லையற்ற பெரியது (). நீங்கள் ஏற்றத்தாழ்வுகளில் பணிபுரியும் போது நீங்கள் ஏற்கனவே அதைக் கண்டிருக்கலாம்: இந்த எண் நீங்கள் நினைக்கும் எந்த எண்ணையும் விட அதிகமாக உள்ளது. நீங்கள் மிகப்பெரிய எண்ணைக் கொண்டு வந்தால், அதை இரண்டால் பெருக்கினால், இன்னும் பெரிய எண்ணைப் பெறுவீர்கள். மேலும் முடிவிலி நடப்பதை விட பெரியது. உண்மையில், எல்லையற்ற பெரியது மற்றும் எல்லையற்ற சிறியது ஒன்றுக்கொன்று நேர்மாறானது, அதாவது at, மற்றும் நேர்மாறாக: at.

இப்போது நம் பாதைக்கு வருவோம். இலட்சியமாக கணக்கிடப்பட்ட சாய்வு என்பது பாதையின் எல்லையற்ற பகுதிக்கு கணக்கிடப்பட்ட சாய்வாகும், அதாவது:

எல்லையற்ற இடப்பெயர்ச்சியுடன், உயரத்தின் மாற்றமும் எல்லையற்றதாக இருக்கும் என்பதை நான் கவனிக்கிறேன். ஆனால் இன்ஃபினிட்டிசிமல் என்பது பூஜ்ஜியத்திற்குச் சமம் அல்ல என்பதை நினைவூட்டுகிறேன். நீங்கள் எண்ணற்ற எண்களை ஒருவருக்கொருவர் பிரித்தால், நீங்கள் முற்றிலும் சாதாரண எண்ணைப் பெறலாம், எடுத்துக்காட்டாக, . அதாவது, ஒரு சிறிய மதிப்பு மற்றொன்றை விட சரியாக மடங்கு பெரியதாக இருக்கும்.

இதெல்லாம் எதற்கு? சாலை, செங்குத்தான... நாங்கள் கார் பேரணியில் செல்லவில்லை, ஆனால் நாங்கள் கணிதம் கற்பிக்கிறோம். மேலும் கணிதத்தில் எல்லாமே ஒரே மாதிரியானவை, வித்தியாசமாக மட்டுமே அழைக்கப்படுகிறது.

வழித்தோன்றல் கருத்து

ஒரு செயல்பாட்டின் வழித்தோன்றல் என்பது வாதத்தின் எல்லையற்ற அதிகரிப்புக்கான வாதத்தின் அதிகரிப்புக்கான செயல்பாட்டின் அதிகரிப்பின் விகிதமாகும்.

அதிகரித்துகணிதத்தில் மாற்றம் என்பார்கள். வாதம் () அச்சில் நகரும்போது எந்த அளவிற்கு மாறுகிறது என்பது அழைக்கப்படுகிறது வாதம் அதிகரிப்புமற்றும் நியமிக்கப்பட்டது.அச்சு தூரத்தில் முன்னோக்கி நகரும் போது செயல்பாடு (உயரம்) எவ்வளவு மாறிவிட்டது என்று அழைக்கப்படுகிறது செயல்பாடு அதிகரிப்புமற்றும் நியமிக்கப்பட்டுள்ளது.

எனவே, ஒரு செயல்பாட்டின் வழித்தோன்றல் என்பது எப்போது என்பதற்கான விகிதமாகும். செயல்பாட்டின் அதே எழுத்துடன், மேல் வலதுபுறத்தில் ஒரு ப்ரைமுடன் மட்டுமே வழித்தோன்றலைக் குறிக்கிறோம்: அல்லது எளிமையாக. எனவே, இந்த குறிப்புகளைப் பயன்படுத்தி வழித்தோன்றல் சூத்திரத்தை எழுதுவோம்:

சாலையுடனான ஒப்புமையைப் போலவே, இங்கே செயல்பாடு அதிகரிக்கும் போது, ​​வழித்தோன்றல் நேர்மறையாகவும், அது குறையும் போது எதிர்மறையாகவும் இருக்கும்.

வழித்தோன்றல் பூஜ்ஜியத்திற்கு சமமாக இருக்க முடியுமா? நிச்சயமாக. உதாரணமாக, நாம் ஒரு தட்டையான கிடைமட்ட சாலையில் வாகனம் ஓட்டினால், செங்குத்தானது பூஜ்ஜியமாகும். அது உண்மைதான், உயரம் மாறாது. இது வழித்தோன்றலுடன் உள்ளது: நிலையான செயல்பாட்டின் (நிலையான) வழித்தோன்றல் பூஜ்ஜியத்திற்கு சமம்:

அத்தகைய செயல்பாட்டின் அதிகரிப்பு எதற்கும் பூஜ்ஜியத்திற்கு சமம்.

மலை உச்சி உதாரணத்தை நினைவில் கொள்வோம். பிரிவின் முனைகளை ஏற்பாடு செய்வது சாத்தியம் என்று மாறியது வெவ்வேறு பக்கங்கள்மேலே இருந்து, முனைகளில் உயரம் ஒரே மாதிரியாக இருக்கும், அதாவது, பிரிவு அச்சுக்கு இணையாக இருக்கும்:

ஆனால் பெரிய பகுதிகள் துல்லியமற்ற அளவீட்டின் அடையாளம். நமது பிரிவை தனக்கு இணையாக உயர்த்துவோம், பிறகு அதன் நீளம் குறையும்.

இறுதியில், நாம் எல்லையில்லாமல் மேலே இருக்கும் போது, ​​பிரிவின் நீளம் எல்லையற்றதாக மாறும். ஆனால் அதே நேரத்தில், அது அச்சுக்கு இணையாக இருந்தது, அதாவது, அதன் முனைகளில் உயரங்களின் வேறுபாடு பூஜ்ஜியத்திற்கு சமம் (அது முனையவில்லை, ஆனால் சமமாக உள்ளது). எனவே வழித்தோன்றல்

இதை இப்படிப் புரிந்து கொள்ளலாம்: நாம் மிக உச்சியில் நிற்கும்போது, ​​இடது அல்லது வலது பக்கம் ஒரு சிறிய மாற்றம் நமது உயரத்தை அலட்சியமாக மாற்றுகிறது.

முற்றிலும் இயற்கணித விளக்கமும் உள்ளது: உச்சியின் இடதுபுறத்தில் செயல்பாடு அதிகரிக்கிறது, வலதுபுறம் குறைகிறது. நாம் முன்பு கண்டறிந்தபடி, ஒரு செயல்பாடு அதிகரிக்கும் போது, ​​வழித்தோன்றல் நேர்மறையாகவும், அது குறையும் போது எதிர்மறையாகவும் இருக்கும். ஆனால் அது தாவல்கள் இல்லாமல் சீராக மாறுகிறது (சாலை எங்கும் அதன் சாய்வைக் கூர்மையாக மாற்றாது). எனவே, எதிர்மறை மற்றும் இடையே நேர்மறை மதிப்புகள்கண்டிப்பாக இருக்க வேண்டும். செயல்பாடு அதிகரிக்காமலும் குறையாமலும் இருக்கும் - உச்சியில்.

தொட்டிக்கும் இது பொருந்தும் (இடதுபுறத்தில் செயல்பாடு குறைந்து வலதுபுறம் அதிகரிக்கும் பகுதி):

அதிகரிப்பு பற்றி இன்னும் கொஞ்சம்.

எனவே நாம் வாதத்தை பெரிதாக்குகிறோம். எந்த மதிப்பில் இருந்து மாறுகிறோம்? அது (வாதம்) இப்போது என்ன ஆனது? நாம் எந்த புள்ளியையும் தேர்வு செய்யலாம், இப்போது அதிலிருந்து நடனமாடுவோம்.

ஒரு ஆயத்துடன் ஒரு புள்ளியைக் கவனியுங்கள். அதில் உள்ள செயல்பாட்டின் மதிப்பு சமம். பின்னர் அதே அதிகரிப்பு செய்கிறோம்: நாங்கள் ஒருங்கிணைப்பை அதிகரிக்கிறோம். இப்போது என்ன வாதம்? மிக எளிதாக: . இப்போது செயல்பாட்டின் மதிப்பு என்ன? வாதம் செல்லும் இடத்தில், செயல்பாடும் செல்கிறது: . செயல்பாடு அதிகரிப்பு பற்றி என்ன? புதிதாக எதுவும் இல்லை: இது இன்னும் செயல்பாடு மாறிய அளவு:

அதிகரிப்புகளைக் கண்டறிய பயிற்சி செய்யுங்கள்:

1. வாதத்தின் அதிகரிப்பு சமமாக இருக்கும்போது ஒரு கட்டத்தில் செயல்பாட்டின் அதிகரிப்பைக் கண்டறியவும்.
2. ஒரு கட்டத்தில் செயல்பாட்டிற்கும் இதுவே செல்கிறது.

தீர்வுகள்:

ஒரே வாத அதிகரிப்புடன் வெவ்வேறு புள்ளிகளில், செயல்பாடு அதிகரிப்பு வேறுபட்டதாக இருக்கும். இதன் பொருள் ஒவ்வொரு புள்ளியிலும் உள்ள வழித்தோன்றல் வேறுபட்டது (இதை நாங்கள் ஆரம்பத்தில் விவாதித்தோம் - சாலையின் செங்குத்தானது வெவ்வேறு புள்ளிகளில் வேறுபட்டது). எனவே, நாம் ஒரு வழித்தோன்றலை எழுதும்போது, ​​எந்த புள்ளியில் குறிப்பிட வேண்டும்:

சக்தி செயல்பாடு.

ஒரு சக்தி செயல்பாடு என்பது ஒரு செயல்பாடு ஆகும், அங்கு வாதம் ஓரளவிற்கு (தர்க்கரீதியானது, சரியா?).

மேலும் - எந்த அளவிற்கு: .

எளிமையான வழக்கு- இதுவே அடுக்கு

ஒரு கட்டத்தில் அதன் வழித்தோன்றலைக் கண்டுபிடிப்போம். வழித்தோன்றலின் வரையறையை நினைவு கூர்வோம்:

எனவே வாதம் மாறுகிறது. செயல்பாட்டின் அதிகரிப்பு என்ன?

அதிகரிப்பு இது. ஆனால் எந்த புள்ளியிலும் ஒரு செயல்பாடு அதன் வாதத்திற்கு சமம். அதனால்தான்:

வழித்தோன்றல் இதற்கு சமம்:

இதன் வழித்தோன்றல் இதற்கு சமம்:

b) இப்போது இருபடி செயல்பாடு (): .

இப்போது அதை நினைவில் கொள்வோம். இதன் பொருள் அதிகரிப்பின் மதிப்பு புறக்கணிக்கப்படலாம், ஏனெனில் இது எண்ணற்றது, எனவே மற்ற சொல்லின் பின்னணிக்கு எதிராக முக்கியமற்றது:

எனவே, நாங்கள் மற்றொரு விதியைக் கொண்டு வந்தோம்:

c) நாங்கள் தருக்க தொடரை தொடர்கிறோம்: .

இந்த வெளிப்பாட்டை வெவ்வேறு வழிகளில் எளிமைப்படுத்தலாம்: தொகையின் கனசதுரத்தின் சுருக்கமான பெருக்கத்திற்கான சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்தி முதல் அடைப்புக்குறியைத் திறக்கவும் அல்லது க்யூப்ஸ் சூத்திரத்தின் வேறுபாட்டைப் பயன்படுத்தி முழு வெளிப்பாட்டையும் காரணியாக்கவும். பரிந்துரைக்கப்பட்ட முறைகளில் ஏதேனும் ஒன்றைப் பயன்படுத்தி அதை நீங்களே செய்ய முயற்சிக்கவும்.

எனவே, நான் பின்வருவனவற்றைப் பெற்றேன்:

மீண்டும் அதை நினைவில் கொள்வோம். இதன் பொருள், பின்வரும் அனைத்து விதிமுறைகளையும் நாம் புறக்கணிக்கலாம்:

நாம் பெறுகிறோம்: .

ஈ) பெரிய அதிகாரங்களுக்கு இதே போன்ற விதிகளைப் பெறலாம்:

e) ஒரு முழு எண்ணாகக் கூட இல்லாமல், தன்னிச்சையான அடுக்குடன் கூடிய ஆற்றல் செயல்பாட்டிற்கு இந்த விதியை பொதுமைப்படுத்தலாம்:

(2)

விதியை வார்த்தைகளில் உருவாக்கலாம்: "பட்டம் ஒரு குணகமாக முன்னோக்கி கொண்டு வரப்படுகிறது, பின்னர் குறைக்கப்படுகிறது."

இந்த விதியை நாங்கள் பின்னர் நிரூபிப்போம் (கிட்டத்தட்ட முடிவில்). இப்போது சில உதாரணங்களைப் பார்ப்போம். செயல்பாடுகளின் வழித்தோன்றலைக் கண்டறியவும்:

1. (இரண்டு வழிகளில்: சூத்திரம் மற்றும் வழித்தோன்றலின் வரையறையைப் பயன்படுத்துதல் - செயல்பாட்டின் அதிகரிப்பைக் கணக்கிடுவதன் மூலம்);

1. . நம்புங்கள் அல்லது இல்லை, இது ஒரு சக்தி செயல்பாடு. உங்களுக்கு இதுபோன்ற கேள்விகள் இருந்தால் “இது எப்படி? பட்டம் எங்கே?”, தலைப்பை நினைவில் கொள்க “”!
   ஆம், ஆம், மூலமும் ஒரு பட்டம், பின்னம் மட்டுமே: .
   இதன் பொருள், நமது வர்க்கமூலம் ஒரு அடுக்குடன் கூடிய சக்தி மட்டுமே:
   .
   சமீபத்தில் கற்றுக்கொண்ட சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்தி வழித்தோன்றலைத் தேடுகிறோம்:

   இந்த கட்டத்தில் அது மீண்டும் தெளிவில்லாமல் இருந்தால், "" தலைப்பை மீண்டும் செய்யவும்!!! (எதிர்மறை அடுக்குடன் சுமார் ஒரு டிகிரி)

2. . இப்போது அடுக்கு:

   இப்போது வரையறை மூலம் (நீங்கள் இன்னும் மறந்துவிட்டீர்களா?):
   ;
   .
   இப்போது, ​​​​வழக்கம் போல், நாங்கள் கொண்டிருக்கும் சொல்லை புறக்கணிக்கிறோம்:
   .

3. . முந்தைய வழக்குகளின் சேர்க்கை: .

முக்கோணவியல் செயல்பாடுகள்.

இங்கே நாம் உயர் கணிதத்தில் இருந்து ஒரு உண்மையைப் பயன்படுத்துவோம்:

வெளிப்பாட்டுடன்.

இன்ஸ்டிட்யூட்டின் முதல் ஆண்டில் நீங்கள் ஆதாரத்தைக் கற்றுக்கொள்வீர்கள் (மேலும் அங்கு செல்ல, நீங்கள் ஒருங்கிணைந்த மாநிலத் தேர்வில் தேர்ச்சி பெற வேண்டும்). இப்போது நான் அதை வரைபடமாகக் காட்டுகிறேன்:

செயல்பாடு இல்லாதபோது - வரைபடத்தின் புள்ளி வெட்டப்பட்டிருப்பதைக் காண்கிறோம். ஆனால் மதிப்புக்கு நெருக்கமாக, செயல்பாடு நெருக்கமாக உள்ளது. இதுவே "நோக்கம்" ஆகும்.

கூடுதலாக, கால்குலேட்டரைப் பயன்படுத்தி இந்த விதியை நீங்கள் சரிபார்க்கலாம். ஆம், ஆம், வெட்கப்பட வேண்டாம், கால்குலேட்டரை எடுத்துக் கொள்ளுங்கள், நாங்கள் இன்னும் ஒருங்கிணைந்த மாநிலத் தேர்வில் இல்லை.

எனவே, முயற்சிப்போம்: ;

உங்கள் கால்குலேட்டரை ரேடியன்ஸ் பயன்முறைக்கு மாற்ற மறக்காதீர்கள்!

முதலியன விகிதத்தின் மதிப்பு சிறியதாக இருப்பதைக் காண்கிறோம்.

அ) செயல்பாட்டைக் கவனியுங்கள். வழக்கம் போல், அதன் அதிகரிப்பைக் கண்டுபிடிப்போம்:

சைன்களின் வித்தியாசத்தை ஒரு தயாரிப்பாக மாற்றுவோம். இதைச் செய்ய, நாங்கள் சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்துகிறோம் ("" தலைப்பை நினைவில் கொள்க): .

இப்போது வழித்தோன்றல்:

மாற்றீடு செய்வோம்: . பிறகு எல்லையற்ற அற்பத்திற்கு அதுவும் எல்லையற்றது: . இதற்கான வெளிப்பாடு வடிவம் எடுக்கிறது:

இப்போது நாம் அதை வெளிப்பாடுடன் நினைவில் கொள்கிறோம். மேலும், தொகையில் (அதாவது, மணிக்கு) ஒரு எண்ணற்ற அளவு புறக்கணிக்கப்பட்டால் என்ன செய்வது.

எனவே நாம் பெறுகிறோம் அடுத்த விதி:சைனின் வழித்தோன்றல் கொசைனுக்கு சமம்:

இவை அடிப்படை ("அட்டவணை") வழித்தோன்றல்கள். இங்கே அவை ஒரு பட்டியலில் உள்ளன:

பின்னர் அவற்றில் இன்னும் சிலவற்றைச் சேர்ப்போம், ஆனால் இவை மிக முக்கியமானவை, ஏனெனில் அவை பெரும்பாலும் பயன்படுத்தப்படுகின்றன.

பயிற்சி:

1. ஒரு புள்ளியில் செயல்பாட்டின் வழித்தோன்றலைக் கண்டறியவும்;
2. செயல்பாட்டின் வழித்தோன்றலைக் கண்டறியவும்.

தீர்வுகள்:

1. முதலில், உள்ள வழித்தோன்றலைக் கண்டுபிடிப்போம் பொதுவான பார்வை, பின்னர் அதன் மதிப்பை மாற்றவும்:
   ;
   .
2. இங்கே நாம் ஒரு சக்தி செயல்பாடு போன்ற ஒன்று உள்ளது. அவளை அழைத்து வர முயற்சிப்போம்
   இயல்பான பார்வை:
   .
   அருமை, இப்போது நீங்கள் சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்தலாம்:
   .
   .
3. . ஈஈஈஈ..... என்ன இது????

சரி, நீங்கள் சொல்வது சரிதான், அத்தகைய வழித்தோன்றல்களை எவ்வாறு கண்டுபிடிப்பது என்பது எங்களுக்கு இன்னும் தெரியவில்லை. இங்கே நாம் பல வகையான செயல்பாடுகளின் கலவையைக் கொண்டுள்ளோம். அவர்களுடன் பணியாற்ற, நீங்கள் இன்னும் சில விதிகளைக் கற்றுக்கொள்ள வேண்டும்:

அடுக்கு மற்றும் இயற்கை மடக்கை.

கணிதத்தில் ஒரு செயல்பாடு உள்ளது, அதன் வழித்தோன்றல் எந்த மதிப்பிற்கும் அதே நேரத்தில் செயல்பாட்டின் மதிப்புக்கு சமமாக இருக்கும். இது "அடுக்கு" என்று அழைக்கப்படுகிறது, மேலும் இது ஒரு அதிவேக செயல்பாடு ஆகும்

இந்த செயல்பாட்டின் அடிப்படை ஒரு நிலையானது - இது எல்லையற்றது தசம, அதாவது, ஒரு விகிதாசார எண் (போன்றவை). இது "ஆய்லர் எண்" என்று அழைக்கப்படுகிறது, அதனால்தான் இது ஒரு கடிதத்தால் குறிக்கப்படுகிறது.

எனவே, விதி:

நினைவில் கொள்வது மிகவும் எளிதானது.

சரி, நாம் வெகுதூரம் செல்ல வேண்டாம், உடனடியாக தலைகீழ் செயல்பாட்டைக் கருத்தில் கொள்வோம். அதிவேக செயல்பாட்டின் தலைகீழ் செயல்பாடு எது? மடக்கை:

எங்கள் விஷயத்தில், அடிப்படை எண்:

அத்தகைய மடக்கை (அதாவது, அடித்தளத்துடன் கூடிய மடக்கை) "இயற்கை" என்று அழைக்கப்படுகிறது, மேலும் அதற்கு ஒரு சிறப்பு குறியீட்டைப் பயன்படுத்துகிறோம்: அதற்கு பதிலாக எழுதுகிறோம்.

அது எதற்கு சமம்? நிச்சயமாக, .

வழித்தோன்றல் இயற்கை மடக்கைமிகவும் எளிமையானது:

எடுத்துக்காட்டுகள்:

1. செயல்பாட்டின் வழித்தோன்றலைக் கண்டறியவும்.
2. செயல்பாட்டின் வழித்தோன்றல் என்ன?

பதில்கள்: அதிவேக மற்றும் இயற்கை மடக்கை ஒரு வழித்தோன்றல் கண்ணோட்டத்தில் தனித்துவமான எளிமையான செயல்பாடுகள். வேறு எந்த அடிப்படையையும் கொண்ட அதிவேக மற்றும் மடக்கைச் சார்புகள் வேறுபட்ட வழித்தோன்றலைக் கொண்டிருக்கும், அதை நாம் வேறுபாட்டின் விதிகளுக்குப் பிறகு பகுப்பாய்வு செய்வோம்.

வேறுபாடு விதிகள்

என்ன விதிகள்? மீண்டும் ஒரு புதிய சொல்?!...

வேறுபாடுவழித்தோன்றலைக் கண்டறியும் செயல்முறையாகும்.

அவ்வளவுதான். இந்த செயல்முறையை ஒரே வார்த்தையில் வேறு என்ன அழைக்கலாம்? வழித்தோன்றல் அல்ல... ஒரு செயல்பாட்டின் அதே அதிகரிப்பு என்று கணிதவியலாளர்கள் வேறுபாட்டை அழைக்கின்றனர். இந்த சொல் லத்தீன் வேறுபாடு - வேறுபாடு இருந்து வந்தது. இங்கே.

இந்த விதிகள் அனைத்தையும் பெறும்போது, ​​நாம் இரண்டு செயல்பாடுகளைப் பயன்படுத்துவோம், எடுத்துக்காட்டாக, மற்றும். அவற்றின் அதிகரிப்புக்கான சூத்திரங்களும் நமக்குத் தேவைப்படும்:

மொத்தம் 5 விதிகள் உள்ளன.

மாறிலியானது வழித்தோன்றல் குறியிலிருந்து எடுக்கப்படுகிறது.

என்றால் - சில நிலையான எண் (நிலையான), பின்னர்.

வெளிப்படையாக, இந்த விதி வேறுபாட்டிற்கும் வேலை செய்கிறது: .

நிரூபிப்போம். அது இருக்கட்டும், அல்லது எளிமையாக இருக்கட்டும்.

எடுத்துக்காட்டுகள்.

செயல்பாடுகளின் வழித்தோன்றல்களைக் கண்டறியவும்:

1. ஒரு கட்டத்தில்;
2. ஒரு கட்டத்தில்;
3. ஒரு கட்டத்தில்;
4. புள்ளியில்.

தீர்வுகள்:

1. (வழித்தோன்றல் அனைத்து புள்ளிகளிலும் ஒரே மாதிரியாக இருக்கும், ஏனெனில் இது ஒரு நேரியல் செயல்பாடு, நினைவிருக்கிறதா?);

தயாரிப்பின் வழித்தோன்றல்

இங்கே எல்லாம் ஒத்திருக்கிறது: ஒரு புதிய செயல்பாட்டை அறிமுகப்படுத்தி அதன் அதிகரிப்பைக் கண்டறியவும்:

வழித்தோன்றல்:

எடுத்துக்காட்டுகள்:

1. செயல்பாடுகளின் வழித்தோன்றல்களைக் கண்டறியவும் மற்றும்;
2. ஒரு புள்ளியில் செயல்பாட்டின் வழித்தோன்றலைக் கண்டறியவும்.

தீர்வுகள்:

அதிவேக செயல்பாட்டின் வழித்தோன்றல்

அதிவேக செயல்பாட்டின் வழித்தோன்றலை எவ்வாறு கண்டுபிடிப்பது என்பதை அறிய இப்போது உங்கள் அறிவு போதுமானது, ஆனால் அடுக்குகள் மட்டுமல்ல (அது என்ன என்பதை நீங்கள் இன்னும் மறந்துவிட்டீர்களா?).

எனவே, சில எண் எங்கே.

செயல்பாட்டின் வழித்தோன்றலை நாங்கள் ஏற்கனவே அறிவோம், எனவே எங்கள் செயல்பாட்டை ஒரு புதிய தளத்திற்கு குறைக்க முயற்சிப்போம்:

இதற்காக நாம் பயன்படுத்துவோம் எளிய விதி: . பிறகு:

சரி, அது வேலை செய்தது. இப்போது வழித்தோன்றலைக் கண்டுபிடிக்க முயற்சிக்கவும், இந்த செயல்பாடு சிக்கலானது என்பதை மறந்துவிடாதீர்கள்.

நடந்ததா?

இங்கே, உங்களை நீங்களே சரிபார்க்கவும்:

சூத்திரம் ஒரு அதிவேகத்தின் வழித்தோன்றலுக்கு மிகவும் ஒத்ததாக மாறியது: அது அப்படியே உள்ளது, ஒரு காரணி மட்டுமே தோன்றியது, இது ஒரு எண், ஆனால் ஒரு மாறி அல்ல.

எடுத்துக்காட்டுகள்:
செயல்பாடுகளின் வழித்தோன்றல்களைக் கண்டறியவும்:

பதில்கள்:

இது ஒரு கால்குலேட்டர் இல்லாமல் கணக்கிட முடியாத ஒரு எண், அதாவது, இதை இனி எழுத முடியாது. எளிய வடிவத்தில். எனவே, பதிலில் இந்த வடிவத்தில் விட்டுவிடுகிறோம்.

மடக்கைச் செயல்பாட்டின் வழித்தோன்றல்

இது இங்கே ஒத்திருக்கிறது: இயற்கை மடக்கையின் வழித்தோன்றல் உங்களுக்கு ஏற்கனவே தெரியும்:

எனவே, வேறு தளத்துடன் தன்னிச்சையான மடக்கையைக் கண்டறிய, எடுத்துக்காட்டாக:

இந்த மடக்கையை அடிப்படையாக குறைக்க வேண்டும். மடக்கையின் அடித்தளத்தை எவ்வாறு மாற்றுவது? இந்த சூத்திரத்தை நீங்கள் நினைவில் வைத்திருக்கிறீர்கள் என்று நம்புகிறேன்:

இப்போது நாம் அதற்கு பதிலாக எழுதுவோம்:

வகுத்தல் என்பது வெறுமனே ஒரு மாறிலி (ஒரு மாறிலி இல்லாத ஒரு நிலையான எண்). வழித்தோன்றல் மிகவும் எளிமையாக பெறப்படுகிறது:

அதிவேக மற்றும் மடக்கை செயல்பாடுகளின் வழித்தோன்றல்கள் ஒருங்கிணைந்த மாநில தேர்வில் கிட்டத்தட்ட ஒருபோதும் காணப்படவில்லை, ஆனால் அவற்றை அறிவது மிதமிஞ்சியதாக இருக்காது.

சிக்கலான செயல்பாட்டின் வழித்தோன்றல்.

"சிக்கலான செயல்பாடு" என்றால் என்ன? இல்லை, இது மடக்கை அல்ல, ஆர்க்டஜென்ட் அல்ல. இந்த செயல்பாடுகளை புரிந்துகொள்வது கடினமாக இருக்கலாம் (நீங்கள் மடக்கை கடினமாக இருந்தால், "மடக்கை" என்ற தலைப்பைப் படிக்கவும், நீங்கள் நன்றாக இருப்பீர்கள்), ஆனால் கணிதக் கண்ணோட்டத்தில், "சிக்கலானது" என்ற வார்த்தையானது "கடினமானது" என்று அர்த்தமல்ல.

ஒரு சிறிய கன்வேயர் பெல்ட்டை கற்பனை செய்து பாருங்கள்: இரண்டு பேர் உட்கார்ந்து சில பொருட்களைக் கொண்டு சில செயல்களைச் செய்கிறார்கள். உதாரணமாக, முதல் ஒரு சாக்லேட் பட்டியை ஒரு ரேப்பரில் போர்த்தி, இரண்டாவது அதை ரிப்பனுடன் இணைக்கிறது. இதன் விளைவாக ஒரு கலப்பு பொருள்: ஒரு சாக்லேட் பட்டை மூடப்பட்டு, ரிப்பனுடன் கட்டப்பட்டுள்ளது. சாக்லேட் சாப்பிட, நீங்கள் செய்ய வேண்டும் தலைகீழ் நடவடிக்கைகள்தலைகீழ் வரிசையில்.

இதேபோன்ற கணிதக் குழாய் ஒன்றை உருவாக்குவோம்: முதலில் ஒரு எண்ணின் கோசைனைக் கண்டுபிடித்து, அதன் விளைவாக வரும் எண்ணை சதுரமாக்குவோம். எனவே, எங்களுக்கு ஒரு எண் (சாக்லேட்) கொடுக்கப்பட்டுள்ளது, அதன் கொசைனை (ரேப்பர்) நான் கண்டுபிடித்தேன், பின்னர் எனக்கு கிடைத்ததை நீங்கள் சதுரமாக்குங்கள் (அதை ரிப்பனுடன் கட்டவும்). என்ன நடந்தது? செயல்பாடு. இது ஒரு சிக்கலான செயல்பாட்டின் ஒரு எடுத்துக்காட்டு: அதன் மதிப்பைக் கண்டறிய, முதல் செயலை நேரடியாக மாறியுடன் செய்கிறோம், பின்னர் முதல் செயலின் விளைவாக இரண்டாவது செயலைச் செய்கிறோம்.

அதே படிகளை நாம் தலைகீழ் வரிசையில் எளிதாகச் செய்யலாம்: முதலில் நீங்கள் அதைச் சதுரம் செய்து, அதன் விளைவாக வரும் எண்ணின் கொசைனைத் தேடுகிறேன்: . முடிவு எப்போதும் வித்தியாசமாக இருக்கும் என்று யூகிக்க எளிதானது. சிக்கலான செயல்பாடுகளின் ஒரு முக்கிய அம்சம்: செயல்களின் வரிசை மாறும்போது, ​​செயல்பாடு மாறுகிறது.

வேறுவிதமாகக் கூறினால், ஒரு சிக்கலான செயல்பாடு என்பது ஒரு செயல்பாடு, அதன் வாதம் மற்றொரு செயல்பாடு: .

முதல் உதாரணத்திற்கு, .

இரண்டாவது உதாரணம்: (அதே விஷயம்). .

கடைசியாக நாம் செய்யும் செயல் அழைக்கப்படும் "வெளிப்புற" செயல்பாடு, மற்றும் முதலில் செய்யப்படும் செயல் - அதன்படி "உள்" செயல்பாடு(இவை முறைசாரா பெயர்கள், நான் அவற்றை எளிய மொழியில் பொருள் விளக்க மட்டுமே பயன்படுத்துகிறேன்).

எந்த செயல்பாடு வெளிப்புறமானது மற்றும் எந்த உள் செயல்பாடு என்பதை நீங்களே தீர்மானிக்க முயற்சிக்கவும்:

பதில்கள்:உள் மற்றும் வெளிப்புற செயல்பாடுகளைப் பிரிப்பது மாறிகளை மாற்றுவதைப் போன்றது: எடுத்துக்காட்டாக, ஒரு செயல்பாட்டில்

1. முதலில் நாம் என்ன செயலைச் செய்வோம்? முதலில், சைனைக் கணக்கிடுவோம், பின்னர் அதை கனசதுரமாக்குவோம். இதன் பொருள் இது ஒரு உள் செயல்பாடு, ஆனால் வெளிப்புறமானது.
   மற்றும் அசல் செயல்பாடு அவற்றின் கலவை: .
2. அக:; வெளி:.
   தேர்வு: .
3. அக:; வெளி:.
   தேர்வு: .
4. அக:; வெளி:.
   தேர்வு: .
5. அக:; வெளி:.
   தேர்வு: .

நாம் மாறிகளை மாற்றி ஒரு செயல்பாட்டைப் பெறுகிறோம்.

சரி, இப்போது நாம் சாக்லேட் பட்டையை பிரித்தெடுத்து அதன் வழித்தோன்றலைத் தேடுவோம். செயல்முறை எப்போதும் தலைகீழாக இருக்கும்: முதலில் நாம் வெளிப்புற செயல்பாட்டின் வழித்தோன்றலைத் தேடுகிறோம், பின்னர் உள் செயல்பாட்டின் வழித்தோன்றலால் முடிவைப் பெருக்குகிறோம். அசல் எடுத்துக்காட்டுடன், இது போல் தெரிகிறது:

மற்றொரு உதாரணம்:

எனவே, இறுதியாக அதிகாரப்பூர்வ விதியை உருவாக்குவோம்:

சிக்கலான செயல்பாட்டின் வழித்தோன்றலைக் கண்டறிவதற்கான அல்காரிதம்:

இது எளிமையானதாகத் தெரிகிறது, இல்லையா?

எடுத்துக்காட்டுகளுடன் சரிபார்க்கலாம்:

தீர்வுகள்:

1) உள்: ;

வெளி: ;

2) உள்: ;

(இப்போது அதை வெட்ட முயற்சிக்காதீர்கள்! கொசைன் கீழ் இருந்து எதுவும் வெளிவரவில்லை, நினைவிருக்கிறதா?)

3) உள்: ;

வெளி: ;

இது மூன்று நிலை சிக்கலான செயல்பாடு என்பது உடனடியாகத் தெளிவாகிறது: எல்லாவற்றிற்கும் மேலாக, இது ஏற்கனவே ஒரு சிக்கலான செயல்பாடாகும், மேலும் அதிலிருந்து வேரைப் பிரித்தெடுக்கிறோம், அதாவது மூன்றாவது செயலைச் செய்கிறோம் (சாக்லேட்டை ஒரு இடத்தில் வைக்கிறோம். ரேப்பர் மற்றும் பிரீஃப்கேஸில் ஒரு ரிப்பனுடன்). ஆனால் பயப்படுவதற்கு எந்த காரணமும் இல்லை: இந்த செயல்பாட்டை வழக்கம் போல் அதே வரிசையில் "திறப்போம்": முடிவில் இருந்து.

அதாவது, முதலில் நாம் மூலத்தையும், பின்னர் கொசைனையும், பின்னர் அடைப்புக்குறிக்குள் உள்ள வெளிப்பாட்டையும் வேறுபடுத்துகிறோம். பின்னர் நாம் அனைத்தையும் பெருக்குகிறோம்.

இதுபோன்ற சந்தர்ப்பங்களில், செயல்களை எண்ணுவது வசதியானது. அதாவது, நமக்குத் தெரிந்ததைக் கற்பனை செய்வோம். இந்த வெளிப்பாட்டின் மதிப்பைக் கணக்கிட எந்த வரிசையில் செயல்களைச் செய்வோம்? ஒரு உதாரணத்தைப் பார்ப்போம்:

செயல் எவ்வளவு தாமதமாக செய்யப்படுகிறதோ, அவ்வளவு "வெளிப்புறமாக" தொடர்புடைய செயல்பாடு இருக்கும். செயல்களின் வரிசை முந்தையதைப் போலவே உள்ளது:

இங்கே கூடு பொதுவாக 4-நிலை. நடவடிக்கையின் போக்கை தீர்மானிப்போம்.

1. தீவிர வெளிப்பாடு. .

2. வேர். .

3. சைன். .

4. சதுரம். .

5. அனைத்தையும் ஒன்றாக இணைத்தல்:

வழித்தோன்றல். முக்கிய விஷயங்களைப் பற்றி சுருக்கமாக

ஒரு செயல்பாட்டின் வழித்தோன்றல்- வாதத்தின் எல்லையற்ற அதிகரிப்புக்கான வாதத்தின் அதிகரிப்புக்கு செயல்பாட்டின் அதிகரிப்பின் விகிதம்:

அடிப்படை வழித்தோன்றல்கள்:

வேறுபாடு விதிகள்:

மாறிலியானது வழித்தோன்றல் குறியிலிருந்து எடுக்கப்படுகிறது:

தொகையின் வழித்தோன்றல்:

தயாரிப்பின் வழித்தோன்றல்:

விகுதியின் வழித்தோன்றல்:

சிக்கலான செயல்பாட்டின் வழித்தோன்றல்:

சிக்கலான செயல்பாட்டின் வழித்தோன்றலைக் கண்டறிவதற்கான அல்காரிதம்:

1. நாம் "உள்" செயல்பாட்டை வரையறுத்து அதன் வழித்தோன்றலைக் கண்டறிகிறோம்.
2. நாம் "வெளிப்புற" செயல்பாட்டை வரையறுத்து அதன் வழித்தோன்றலைக் கண்டறிகிறோம்.
3. முதல் மற்றும் இரண்டாவது புள்ளிகளின் முடிவுகளை நாங்கள் பெருக்குகிறோம்.

ஒரு சிக்கலான வகையின் செயல்பாடுகள் எப்போதும் சிக்கலான செயல்பாட்டின் வரையறைக்கு பொருந்தாது. y = sin x - (2 - 3) · a r c t g x x 5 7 x 10 - 17 x 3 + x - 11 வடிவத்தின் செயல்பாடு இருந்தால், அது y = sin 2 x போலல்லாமல் சிக்கலானதாகக் கருத முடியாது.

இந்த கட்டுரை ஒரு சிக்கலான செயல்பாட்டின் கருத்தையும் அதன் அடையாளத்தையும் காண்பிக்கும். முடிவில் உள்ள தீர்வுகளின் எடுத்துக்காட்டுகளுடன் வழித்தோன்றலைக் கண்டுபிடிப்பதற்கான சூத்திரங்களுடன் வேலை செய்வோம். வழித்தோன்றல் அட்டவணை மற்றும் வேறுபாடு விதிகளின் பயன்பாடு வழித்தோன்றலைக் கண்டுபிடிப்பதற்கான நேரத்தை கணிசமாகக் குறைக்கிறது.

Yandex.RTB R-A-339285-1

அடிப்படை வரையறைகள்

வரையறை 1

ஒரு சிக்கலான செயல்பாடு என்பது அதன் வாதமும் ஒரு செயல்பாடாகும்.

இது இவ்வாறு குறிக்கப்படுகிறது: f (g (x)). g (x) சார்பு ஒரு வாதம் f (g (x)) எனக் கருதப்படுகிறது.

வரையறை 2

f சார்பு இருந்தால் அது ஒரு கோட்டான்ஜென்ட் சார்பு என்றால், g(x) = ln x என்பது இயற்கை மடக்கைச் சார்பு. சிக்கலான செயல்பாடு f (g (x)) arctg(lnx) என எழுதப்படும். அல்லது f சார்பு, இது 4 வது சக்திக்கு உயர்த்தப்பட்ட செயல்பாடாகும், அங்கு g (x) = x 2 + 2 x - 3 முழு பகுத்தறிவு செயல்பாடாகக் கருதப்படுகிறது, f (g (x)) = (x 2 +) 2 x - 3) 4 .

வெளிப்படையாக g(x) சிக்கலானதாக இருக்கலாம். y = sin 2 x + 1 x 3 - 5 உதாரணத்திலிருந்து g இன் மதிப்பு பின்னத்தின் கன மூலத்தைக் கொண்டுள்ளது என்பது தெளிவாகிறது. இந்த வெளிப்பாட்டை y = f (f 1 (f 2 (x))) எனக் குறிக்கலாம். f என்பது சைன் சார்பு, மற்றும் f 1 என்பது கீழ் அமைந்துள்ள ஒரு சார்பு சதுர வேர், f 2 (x) = 2 x + 1 x 3 - 5 - fractional rational function.

வரையறை 3

கூடு கட்டும் அளவு எந்த வகையிலும் தீர்மானிக்கப்படுகிறது இயற்கை எண்மற்றும் y = f (f 1 (f 2 (f 3 (... (f n (x)))))) என எழுதப்பட்டுள்ளது.

வரையறை 4

செயல்பாட்டு கலவையின் கருத்து சிக்கலின் நிலைமைகளுக்கு ஏற்ப உள்ளமைக்கப்பட்ட செயல்பாடுகளின் எண்ணிக்கையைக் குறிக்கிறது. தீர்க்க, படிவத்தின் சிக்கலான செயல்பாட்டின் வழித்தோன்றலைக் கண்டறிய சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்தவும்

(f (g (x))) " = f " (g (x)) g " (x)

எடுத்துக்காட்டுகள்

எடுத்துக்காட்டு 1

y = (2 x + 1) 2 வடிவத்தின் சிக்கலான செயல்பாட்டின் வழித்தோன்றலைக் கண்டறியவும்.

தீர்வு

f என்பது ஒரு ஸ்கொயர் சார்பு என்றும், g(x) = 2 x + 1 என்பது நேரியல் சார்பாகவும் கருதப்படுகிறது.

ஒரு சிக்கலான செயல்பாட்டிற்கான வழித்தோன்றல் சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்துவோம் மற்றும் எழுதுவோம்:

f "(g (x)) = ((g (x)) 2) " = 2 (g (x)) 2 - 1 = 2 g (x) = 2 (2 x + 1) ; g " (x) = (2 x + 1) " = (2 x) " + 1 " = 2 x " + 0 = 2 1 x 1 - 1 = 2 ⇒ (f (g (x))) " = f " (g (x)) g " (x) = 2 (2 x + 1) 2 = 8 x + 4

செயல்பாட்டின் எளிமைப்படுத்தப்பட்ட அசல் வடிவத்துடன் வழித்தோன்றலைக் கண்டறிவது அவசியம். நாங்கள் பெறுகிறோம்:

y = (2 x + 1) 2 = 4 x 2 + 4 x + 1

இங்கிருந்து நமக்கு அது இருக்கிறது

y " = (4 x 2 + 4 x + 1) " = (4 x 2) " + (4 x) " + 1 " = 4 (x 2) " + 4 (x) " + 0 = = 4 · 2 · x 2 - 1 + 4 · 1 · x 1 - 1 = 8 x + 4

முடிவுகளும் அப்படியே இருந்தன.

இந்த வகை சிக்கல்களைத் தீர்க்கும் போது, ​​f மற்றும் g (x) வடிவத்தின் செயல்பாடு எங்கு இருக்கும் என்பதைப் புரிந்துகொள்வது அவசியம்.

உதாரணம் 2

y = sin 2 x மற்றும் y = sin x 2 வடிவத்தின் சிக்கலான செயல்பாடுகளின் வழித்தோன்றல்களை நீங்கள் கண்டுபிடிக்க வேண்டும்.

தீர்வு

முதல் சார்பு குறியீடானது f என்பது ஸ்கொயர் சார்பு என்றும் g(x) என்பது சைன் சார்பு என்றும் கூறுகிறது. பின்னர் நாம் அதைப் பெறுகிறோம்

y " = (sin 2 x) " = 2 sin 2 - 1 x (sin x) " = 2 sin x cos x

இரண்டாவது உள்ளீடு f என்பது ஒரு சைன் சார்பு என்பதையும், g(x) = x 2 என்பது ஒரு சக்தி செயல்பாட்டைக் குறிக்கிறது. ஒரு சிக்கலான செயல்பாட்டின் தயாரிப்பை இவ்வாறு எழுதுகிறோம்

y " = (sin x 2) " = cos (x 2) (x 2) " = cos (x 2) 2 x 2 - 1 = 2 x cos (x 2)

வழித்தோன்றல் y = f (f 1 (f 2 (f 3 (. . (f n (x)))))) y " = f " (f 1 (f 2 (f 3)) என எழுதப்படும். . (f n (x))))) · f 1 " (f 2 (f 3 (. . )))) · . . . fn "(x)

எடுத்துக்காட்டு 3

y = sin (ln 3 a r c t g (2 x)) செயல்பாட்டின் வழித்தோன்றலைக் கண்டறியவும்.

தீர்வு

இந்த உதாரணம் செயல்பாடுகளின் இருப்பிடத்தை எழுதுவதற்கும் தீர்மானிப்பதற்கும் உள்ள சிரமத்தைக் காட்டுகிறது. பின்னர் y = f (f 1 (f 2 (f 3 (f 4 (x))))) f , f 1 , f 2 , f 3 , f 4 (x) என்பது சைன் செயல்பாடு, உயர்த்தும் செயல்பாடு. 3 டிகிரி வரை, மடக்கை மற்றும் அடிப்படை e, ஆர்க்டேன்ஜென்ட் மற்றும் லீனியர் செயல்பாடு ஆகியவற்றுடன் செயல்படும்.

ஒரு சிக்கலான செயல்பாட்டை வரையறுப்பதற்கான சூத்திரத்தில் இருந்து நாம் அதைக் கொண்டுள்ளோம்

y " = f " (f 1 (f 2 (f 3 (f 4 (x)))) f 1 " (f 2 (f 3 (f 4 (x)))) f 2 " (f 3 (f 4 (x)) f 3 "(f 4 (x)) f 4 " (x)

நாம் கண்டுபிடிக்க வேண்டியதைப் பெறுகிறோம்

1. f "(f 1 (f 2 (f 3 (f 4 (x))))) டெரிவேடிவ்களின் அட்டவணையின்படி சைனின் வழித்தோன்றலாக, பின்னர் f" (f 1 (f 2 (f 3 (f 4) x)))) = cos (ln 3 a r c t g (2 x)) .
2. f 1 "(f 2 (f 3 (f 4 (x)))) ஒரு சக்தி செயல்பாட்டின் வழித்தோன்றலாக, பின்னர் f 1 " (f 2 (f 3 (f 4 (x)))) = 3 ln 3 - 1 a r c t g (2 x) = 3 ln 2 a r c t g (2 x) .
3. f 2 "(f 3 (f 4 (x))) ஒரு மடக்கை வழித்தோன்றலாக, பின்னர் f 2 " (f 3 (f 4 (x))) = 1 a r c t g (2 x) .
4. f 3 "(f 4 (x)) என்பது ஆர்க்டஜென்ட்டின் வழித்தோன்றலாக, பின்னர் f 3 "(f 4 (x)) = 1 1 + (2 x) 2 = 1 1 + 4 x 2.
5. f 4 (x) = 2 x என்ற வழித்தோன்றலைக் கண்டறியும் போது, ​​1 க்கு சமமான அடுக்குடன் கூடிய ஆற்றல் செயல்பாட்டின் வழித்தோன்றலுக்கான சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்தி வழித்தோன்றலின் அடையாளத்திலிருந்து 2 ஐ அகற்றவும், பின்னர் f 4 " (x) = (2 x) " = 2 x " = 2 · 1 · x 1 - 1 = 2 .

நாங்கள் இடைநிலை முடிவுகளை இணைத்து அதைப் பெறுகிறோம்

y " = f " (f 1 (f 2 (f 3 (f 4 (x)))) f 1 " (f 2 (f 3 (f 4 (x)))) f 2 " (f 3 (f 4 (x)) f 3 " (f 4 (x)) f 4 " (x) = = cos (ln 3 a r c t g (2 x)) 3 ln 2 a r c t g (2 x) 1 a r c t g (2 x) 1 1 + 4 x 2 2 = = 6 cos (ln 3 a r c t g (2 x)) ln 2 a r c t g (2 x) a r c t g (2 x) (1 + 4 x 2)

அத்தகைய செயல்பாடுகளின் பகுப்பாய்வு கூடு கட்டும் பொம்மைகளை நினைவூட்டுகிறது. ஒரு வழித்தோன்றல் அட்டவணையைப் பயன்படுத்தி எப்போதும் வேறுபாடு விதிகளை வெளிப்படையாகப் பயன்படுத்த முடியாது. சிக்கலான செயல்பாடுகளின் வழித்தோன்றல்களைக் கண்டறிய பெரும்பாலும் நீங்கள் ஒரு சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்த வேண்டும்.

சிக்கலான தோற்றத்திற்கும் சிக்கலான செயல்பாடுகளுக்கும் இடையே சில வேறுபாடுகள் உள்ளன. இதை வேறுபடுத்துவதற்கான தெளிவான திறனுடன், வழித்தோன்றல்களைக் கண்டறிவது மிகவும் எளிதாக இருக்கும்.

எடுத்துக்காட்டு 4

அத்தகைய உதாரணத்தைக் கொடுப்பது அவசியம். y = t g 2 x + 3 t g x + 1 வடிவத்தின் செயல்பாடு இருந்தால், அது g (x) = t g x, f (g) = g 2 + 3 g + 1 வடிவத்தின் சிக்கலான செயல்பாடாகக் கருதப்படலாம். . வெளிப்படையாக, ஒரு சிக்கலான வழித்தோன்றலுக்கான சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்துவது அவசியம்:

f "(g (x)) = (g 2 (x) + 3 g (x) + 1) " = (g 2 (x)) " + (3 g (x)) " + 1 " = = 2 · g 2 - 1 (x) + 3 g "(x) + 0 = 2 g (x) + 3 1 g 1 - 1 (x) = = 2 g (x) + 3 = 2 t g x + 3 ; g " (x) = (t g x) " = 1 cos 2 x ⇒ y " = (f (g (x))) " = f " (g (x)) g " (x) = (2 t g x + 3 ) · 1 cos 2 x = 2 t g x + 3 cos 2 x

y = t g x 2 + 3 t g x + 1 வடிவத்தின் செயல்பாடு சிக்கலானதாகக் கருதப்படவில்லை, ஏனெனில் இது t g x 2, 3 t g x மற்றும் 1 ஆகியவற்றின் கூட்டுத்தொகையைக் கொண்டுள்ளது. இருப்பினும், t g x 2 ஒரு சிக்கலான செயல்பாடாகக் கருதப்படுகிறது, பின்னர் நாம் g (x) = x 2 மற்றும் f வடிவத்தின் சக்தி செயல்பாட்டைப் பெறுகிறோம், இது ஒரு தொடுகோடு செயல்பாடாகும். இதைச் செய்ய, அளவு மூலம் வேறுபடுத்தவும். நமக்கு அது கிடைக்கும்

y " = (t g x 2 + 3 t g x + 1) " = (t g x 2) " + (3 t g x) " + 1 " = = (t g x 2) " + 3 (t g x) " + 0 = (t g x 2) " + 3 காஸ் 2 எக்ஸ்

சிக்கலான செயல்பாட்டின் (t g x 2) வழித்தோன்றலைக் கண்டுபிடிப்பதற்குச் செல்லலாம் ":

f "(g (x)) = (t g (g (x))) " = 1 cos 2 g (x) = 1 cos 2 (x 2) g " (x) = (x 2) " = 2 x 2 - 1 = 2 x ⇒ (t g x 2) " = f " (g (x)) g " (x) = 2 x cos 2 (x 2)

y " = (t g x 2 + 3 t g x + 1) " = (t g x 2) " + 3 cos 2 x = 2 x cos 2 (x 2) + 3 cos 2 x என்று பெறுகிறோம்

சிக்கலான வகையின் செயல்பாடுகள் சிக்கலான செயல்பாடுகளில் சேர்க்கப்படலாம், மேலும் சிக்கலான செயல்பாடுகள் ஒரு சிக்கலான வகையின் செயல்பாடுகளின் கூறுகளாக இருக்கலாம்.

உதாரணம் 5

எடுத்துக்காட்டாக, y = log 3 x 2 + 3 cos 3 (2 x + 1) + 7 e x 2 + 3 3 + ln 2 x (x 2 + 1) வடிவத்தின் சிக்கலான செயல்பாட்டைக் கவனியுங்கள்.

இந்தச் சார்பை y = f (g (x)) எனக் குறிப்பிடலாம், இதில் f இன் மதிப்பு அடிப்படை 3 மடக்கையின் சார்பு ஆகும், மேலும் g (x) என்பது h (x) = வடிவத்தின் இரண்டு சார்புகளின் கூட்டுத்தொகையாகக் கருதப்படுகிறது. x 2 + 3 cos 3 (2 x + 1) + 7 e x 2 + 3 3 மற்றும் k (x) = ln 2 x · (x 2 + 1) . வெளிப்படையாக, y = f (h (x) + k (x)).

h(x) செயல்பாட்டைக் கவனியுங்கள். இதுவே l (x) = x 2 + 3 cos 3 (2 x + 1) + 7 to m (x) = e x 2 + 3 3

n (x) = x 2 + 3 cos 2 (2 x + 1) + 7 = n (x) + p (x) என்பது n (x) = x 2 + 7 மற்றும் p ( என்ற இரண்டு செயல்பாடுகளின் கூட்டுத்தொகை என்று எங்களிடம் உள்ளது. x) = 3 cos 3 (2 x + 1) , இங்கு p (x) = 3 p 1 (p 2 (p 3 (x))) என்பது எண் குணகம் 3 உடன் ஒரு சிக்கலான செயல்பாடாகும், மேலும் p 1 என்பது ஒரு கனசதுரச் செயல்பாடு, ஒரு கோசைன் செயல்பாட்டின் மூலம் p 2, ஒரு நேரியல் செயல்பாட்டின் மூலம் p 3 (x) = 2 x + 1.

m (x) = e x 2 + 3 3 = q (x) + r (x) என்பது q (x) = e x 2 மற்றும் r (x) = 3 3 ஆகிய இரண்டு செயல்பாடுகளின் கூட்டுத்தொகை என்பதைக் கண்டறிந்தோம், இங்கு q (x) = q 1 (q 2 (x)) என்பது ஒரு சிக்கலான செயல்பாடு, q 1 என்பது அதிவேகத்துடன் கூடிய ஒரு செயல்பாடு, q 2 (x) = x 2 என்பது ஒரு சக்தி சார்பு.

இது h (x) = l (x) m (x) = n (x) + p (x) q (x) + r (x) = n (x) + 3 p 1 (p 2 ( p 3 (x))) q 1 (q 2 (x)) + r (x)

k (x) = ln 2 x · (x 2 + 1) = s (x) · t (x) வடிவத்தின் வெளிப்பாட்டிற்கு நகரும் போது, ​​செயல்பாடு ஒரு சிக்கலான s ( x) = ln 2 x = s 1 (s 2 (x)) ஒரு பகுத்தறிவு முழு எண் t (x) = x 2 + 1, இதில் s 1 என்பது ஒரு சதுர சார்பு, மற்றும் s 2 (x) = ln x என்பது மடக்கை அடிப்படை இ.

வெளிப்பாடு k (x) = s (x) · t (x) = s 1 (s 2 (x)) · t (x) வடிவத்தை எடுக்கும்.

பின்னர் நாம் அதைப் பெறுகிறோம்

y = பதிவு 3 x 2 + 3 cos 3 (2 x + 1) + 7 e x 2 + 3 3 + ln 2 x (x 2 + 1) = = f n (x) + 3 p 1 (p 2 (p 3 ( x))) q 1 (q 2 (x)) = r (x) + s 1 (s 2 (x)) t (x)

செயல்பாட்டின் கட்டமைப்புகளின் அடிப்படையில், அதை வேறுபடுத்தும்போது வெளிப்பாட்டை எளிமைப்படுத்த எப்படி, என்ன சூத்திரங்கள் பயன்படுத்தப்பட வேண்டும் என்பது தெளிவாகியது. இத்தகைய சிக்கல்களை நன்கு அறிந்துகொள்வதற்கும், அவற்றின் தீர்வின் கருத்தாக்கத்திற்கும், ஒரு செயல்பாட்டை வேறுபடுத்தும் புள்ளிக்கு திரும்புவது அவசியம், அதாவது அதன் வழித்தோன்றலைக் கண்டறிதல்.

உரையில் பிழையைக் கண்டால், அதை முன்னிலைப்படுத்தி Ctrl+Enter ஐ அழுத்தவும்

வழித்தோன்றல் கணக்கீடு- வேறுபட்ட கால்குலஸில் மிக முக்கியமான செயல்பாடுகளில் ஒன்று. எளிய செயல்பாடுகளின் வழித்தோன்றல்களைக் கண்டறிவதற்கான அட்டவணை கீழே உள்ளது. மேலும் சிக்கலான விதிகள்வேறுபாடு, மற்ற பாடங்களைப் பார்க்கவும்:

• அதிவேக மற்றும் மடக்கை சார்புகளின் வழித்தோன்றல்களின் அட்டவணை

கொடுக்கப்பட்ட சூத்திரங்களை குறிப்பு மதிப்புகளாகப் பயன்படுத்தவும். அவை வேறுபட்ட சமன்பாடுகள் மற்றும் சிக்கல்களைத் தீர்க்க உதவும். படத்தில், எளிய செயல்பாடுகளின் வழித்தோன்றல்களின் அட்டவணையில், பயன்பாட்டிற்கு புரிந்துகொள்ளக்கூடிய வடிவத்தில் ஒரு வழித்தோன்றலைக் கண்டுபிடிப்பதற்கான முக்கிய நிகழ்வுகளின் "ஏமாற்றுத் தாள்" உள்ளது, அதற்கு அடுத்ததாக ஒவ்வொரு வழக்கிற்கும் விளக்கங்கள் உள்ளன.

எளிய செயல்பாடுகளின் வழித்தோன்றல்கள்

1. எண்ணின் வழித்தோன்றல் பூஜ்ஜியம்
с´ = 0
உதாரணமாக:
5´ = 0

விளக்கம்:
வழித்தோன்றல் ஒரு செயல்பாட்டின் மதிப்பு மாறும்போது அதன் மதிப்பு மாறும் விகிதத்தைக் காட்டுகிறது. எந்த சூழ்நிலையிலும் எண் எந்த வகையிலும் மாறாது என்பதால், அதன் மாற்றத்தின் விகிதம் எப்போதும் பூஜ்ஜியமாக இருக்கும்.

2. ஒரு மாறியின் வழித்தோன்றல்ஒன்றுக்கு சமம்
x´ = 1

விளக்கம்:
வாதத்தின் (x) ஒவ்வொரு அதிகரிப்பிலும், செயல்பாட்டின் மதிப்பு (கணக்கீட்டின் முடிவு) அதே அளவு அதிகரிக்கிறது. எனவே, y = x செயல்பாட்டின் மதிப்பில் ஏற்படும் மாற்ற விகிதம், வாதத்தின் மதிப்பில் ஏற்படும் மாற்ற விகிதத்திற்குச் சமமாக இருக்கும்.

3. ஒரு மாறி மற்றும் ஒரு காரணியின் வழித்தோன்றல் இந்த காரணிக்கு சமம்
сx´ = с
உதாரணமாக:
(3x) = 3
(2x) = 2
விளக்கம்:
இந்த வழக்கில், ஒவ்வொரு முறையும் செயல்பாடு வாதம் மாறுகிறது ( எக்ஸ்) அதன் மதிப்பு (y) அதிகரிக்கிறது உடன்ஒருமுறை. எனவே, வாதத்தின் மாற்ற விகிதத்துடன் தொடர்புடைய செயல்பாட்டு மதிப்பின் மாற்ற விகிதம் மதிப்புக்கு சமமாக இருக்கும் உடன்.

அது எங்கிருந்து பின்பற்றப்படுகிறது
(cx + b)" = c
அதாவது, வேறுபாடு நேரியல் செயல்பாடு y=kx+b என்பது நேர்கோட்டின் (k) சாய்வுக்கு சமம்.

4. ஒரு மாறியின் மாடுலோ வழித்தோன்றல்அதன் மாடுலஸுக்கு இந்த மாறியின் விகுதிக்கு சமம்
|x|"= x / |x| x ≠ 0 என்று வழங்கப்பட்டுள்ளது
விளக்கம்:
ஒரு மாறியின் வழித்தோன்றல் (சூத்திரம் 2 ஐப் பார்க்கவும்) ஒன்றுக்கு சமமாக இருப்பதால், மூலப் புள்ளியைக் கடக்கும்போது செயல்பாட்டின் மாற்ற விகிதத்தின் மதிப்பு அதற்கு நேர்மாறாக மாறுவதில் மட்டுமே தொகுதியின் வழித்தோன்றல் வேறுபடுகிறது (வரைபடத்தை வரைய முயற்சிக்கவும். செயல்பாட்டின் y = |x| மற்றும் நீங்களே பாருங்கள். இதுவே சரியான மதிப்பு மற்றும் x / |x| என்ற வெளிப்பாட்டை வழங்குகிறது. எப்போது x< 0 оно равно (-1), а когда x >0 - ஒன்று. அதாவது, மாறி x இன் எதிர்மறை மதிப்புகளுக்கு, வாதத்தின் ஒவ்வொரு அதிகரிப்பிலும், செயல்பாட்டின் மதிப்பு சரியாக அதே மதிப்பால் குறைகிறது, மேலும் நேர்மறை மதிப்புகளுக்கு, மாறாக, அது அதிகரிக்கிறது, ஆனால் அதே மதிப்பால். .

5. ஒரு மாறியிலிருந்து ஒரு சக்திக்கு வழித்தோன்றல்இந்த சக்தியின் எண்ணின் பெருக்கத்திற்கு சமம் மற்றும் ஒன்றால் குறைக்கப்பட்ட சக்திக்கு ஒரு மாறி
(x c)"= cx c-1, x c மற்றும் cx c-1 வரையறுக்கப்பட்டிருந்தால் மற்றும் c ≠ 0
உதாரணமாக:
(x 2)" = 2x
(x 3)" = 3x 2
சூத்திரத்தை நினைவில் கொள்ள:
மாறியின் அளவை ஒரு காரணியாக கீழே நகர்த்தவும், பின்னர் பட்டத்தை ஒன்றால் குறைக்கவும். எடுத்துக்காட்டாக, x 2 க்கு - இரண்டும் x க்கு முன்னால் இருந்தது, பின்னர் குறைக்கப்பட்ட சக்தி (2-1 = 1) எங்களுக்கு 2x கொடுத்தது. x 3 க்கும் இதேதான் நடந்தது - நாங்கள் மும்மடங்கை "கீழே நகர்த்துகிறோம்", அதை ஒன்றால் குறைக்கிறோம் மற்றும் ஒரு கனசதுரத்திற்கு பதிலாக ஒரு சதுரம் உள்ளது, அதாவது 3x 2. கொஞ்சம் "விஞ்ஞானமற்றது" ஆனால் நினைவில் கொள்வது மிகவும் எளிதானது.

6.ஒரு பகுதியின் வழித்தோன்றல் 1/x
(1/x)" = - 1 / x 2
உதாரணமாக:
ஒரு பின்னம் எதிர்மறை சக்தியாக உயர்த்தப்படுவதால்
(1/x)" = (x -1)", பின்னர் நீங்கள் வழித்தோன்றல் அட்டவணையின் விதி 5 இலிருந்து சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்தலாம்
(x -1)" = -1x -2 = - 1 / x 2

7. ஒரு பகுதியின் வழித்தோன்றல் தன்னிச்சையான பட்டத்தின் மாறியுடன்வகுப்பில்
(1 / x c)" = - c / x c+1
உதாரணமாக:
(1 / x 2)" = - 2 / x 3

8. வேரின் வழித்தோன்றல்(வர்க்க மூலத்தின் கீழ் மாறியின் வழித்தோன்றல்)
(√x)" = 1 / (2√x)அல்லது 1/2 x -1/2
உதாரணமாக:
(√x)" = (x 1/2)" என்பது விதி 5 இலிருந்து நீங்கள் சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்தலாம்
(x 1/2)" = 1/2 x -1/2 = 1 / (2√x)

9. தன்னிச்சையான பட்டத்தின் மூலத்தின் கீழ் ஒரு மாறியின் வழித்தோன்றல்
(n √x)" = 1 / (n n √x n-1)

இந்தக் கட்டுரையில் ஒரு சிக்கலான செயல்பாடு போன்ற முக்கியமான கணிதக் கருத்தைப் பற்றி பேசுவோம், மேலும் சிக்கலான செயல்பாட்டின் வழித்தோன்றலை எவ்வாறு கண்டுபிடிப்பது என்பதைக் கற்றுக்கொள்வோம்.

ஒரு சிக்கலான செயல்பாட்டின் வழித்தோன்றலைக் கண்டுபிடிப்பதற்கு முன், ஒரு சிக்கலான செயல்பாட்டின் கருத்தைப் புரிந்துகொள்வோம், அது என்ன, "அது என்ன சாப்பிடப்படுகிறது," மற்றும் "எப்படி சரியாக சமைக்க வேண்டும்."

ஒரு தன்னிச்சையான செயல்பாட்டைக் கவனியுங்கள், எடுத்துக்காட்டாக, இது:

செயல்பாடு சமன்பாட்டின் வலது மற்றும் இடது பக்கங்களில் உள்ள வாதம் ஒரே எண் அல்லது வெளிப்பாடு என்பதை நினைவில் கொள்க.

ஒரு மாறிக்கு பதிலாக, எடுத்துக்காட்டாக, பின்வரும் வெளிப்பாடுகளை வைக்கலாம்: . பின்னர் நாம் செயல்பாடு கிடைக்கும்

வெளிப்பாட்டை ஒரு இடைநிலை வாதம் என்றும், செயல்பாட்டை வெளிப்புற செயல்பாடு என்றும் அழைப்போம். இவை கடுமையான கணிதக் கருத்துக்கள் அல்ல, ஆனால் அவை சிக்கலான செயல்பாட்டின் கருத்தின் பொருளைப் புரிந்துகொள்ள உதவுகின்றன.

ஒரு சிக்கலான செயல்பாட்டின் கருத்தின் கண்டிப்பான வரையறை இதுபோல் தெரிகிறது:

ஒரு தொகுப்பில் ஒரு செயல்பாடு வரையறுக்கப்பட்டு, இந்தச் செயல்பாட்டின் மதிப்புகளின் தொகுப்பாக இருக்கட்டும். செட் (அல்லது அதன் துணைக்குழு) செயல்பாட்டின் வரையறையின் களமாக இருக்கட்டும். ஒவ்வொருவருக்கும் ஒரு எண்ணை ஒதுக்குவோம். இவ்வாறு, செயல்பாடு தொகுப்பில் வரையறுக்கப்படும். இது செயல்பாடு கலவை அல்லது சிக்கலான செயல்பாடு என்று அழைக்கப்படுகிறது.

இந்த வரையறையில், நாம் நமது சொற்களைப் பயன்படுத்தினால், வெளிப்புற செயல்பாடு என்பது ஒரு இடைநிலை வாதம்.

சிக்கலான செயல்பாட்டின் வழித்தோன்றல் பின்வரும் விதியின்படி காணப்படுகிறது:

இதை மேலும் தெளிவுபடுத்த, நான் இந்த விதியை பின்வருமாறு எழுத விரும்புகிறேன்:

இந்த வெளிப்பாட்டில், பயன்படுத்துவது இடைநிலை செயல்பாட்டைக் குறிக்கிறது.

அதனால். சிக்கலான செயல்பாட்டின் வழித்தோன்றலைக் கண்டுபிடிக்க, உங்களுக்குத் தேவை

1. எந்த செயல்பாடு வெளிப்புறமானது என்பதைத் தீர்மானித்து, டெரிவேடிவ்களின் அட்டவணையில் இருந்து தொடர்புடைய வழித்தோன்றலைக் கண்டறியவும்.

2. ஒரு இடைநிலை வாதத்தை வரையறுக்கவும்.

இந்த நடைமுறையில், வெளிப்புற செயல்பாட்டைக் கண்டுபிடிப்பதே மிகப்பெரிய சிரமம். இதற்கு ஒரு எளிய வழிமுறை பயன்படுத்தப்படுகிறது:

ஏ. செயல்பாட்டின் சமன்பாட்டை எழுதுங்கள்.

பி. x இன் சில மதிப்பிற்கான செயல்பாட்டின் மதிப்பை நீங்கள் கணக்கிட வேண்டும் என்று கற்பனை செய்து பாருங்கள். இதைச் செய்ய, x இன் இந்த மதிப்பை செயல்பாட்டின் சமன்பாட்டில் மாற்றவும் மற்றும் உற்பத்தி செய்யவும் எண்கணித செயல்பாடுகள். நீங்கள் செய்யும் கடைசி செயல் வெளிப்புற செயல்பாடு.

உதாரணமாக, செயல்பாட்டில்

கடைசி செயல் அதிவேகமாகும்.

இந்த செயல்பாட்டின் வழித்தோன்றலைக் கண்டுபிடிப்போம். இதைச் செய்ய, நாங்கள் ஒரு இடைநிலை வாதத்தை எழுதுகிறோம்

கொடுக்கப்பட்ட செயல்பாட்டின் வழித்தோன்றலைக் கண்டறிவதில் உள்ள சிக்கல் உயர்நிலைப் பள்ளிக் கணிதப் படிப்புகளிலும் உயர் கல்வியிலும் முக்கியமான ஒன்றாகும். கல்வி நிறுவனங்கள். ஒரு செயல்பாட்டை முழுமையாக ஆராய்ந்து அதன் வழித்தோன்றலை எடுக்காமல் அதன் வரைபடத்தை உருவாக்குவது சாத்தியமில்லை. வேறுபாட்டின் அடிப்படை விதிகள் மற்றும் அடிப்படை செயல்பாடுகளின் வழித்தோன்றல்களின் அட்டவணை உங்களுக்குத் தெரிந்தால், ஒரு செயல்பாட்டின் வழித்தோன்றலை எளிதாகக் கண்டறிய முடியும். ஒரு செயல்பாட்டின் வழித்தோன்றலை எவ்வாறு கண்டுபிடிப்பது என்பதைக் கண்டுபிடிப்போம்.

ஒரு செயல்பாட்டின் வழித்தோன்றல் என்பது, வாதத்தின் அதிகரிப்பு பூஜ்ஜியமாக இருக்கும்போது, ​​செயல்பாட்டின் அதிகரிப்புக்கான விகிதத்தின் வரம்பாகும்.

இந்த வரையறையைப் புரிந்துகொள்வது மிகவும் கடினம், ஏனெனில் வரம்பு என்ற கருத்து பள்ளியில் முழுமையாகப் படிக்கப்படவில்லை. ஆனால் பல்வேறு செயல்பாடுகளின் வழித்தோன்றல்களைக் கண்டறிய, வரையறையைப் புரிந்து கொள்ள வேண்டிய அவசியமில்லை; அதை கணிதவியலாளர்களிடம் விட்டுவிட்டு, வழித்தோன்றலைக் கண்டுபிடிப்பதற்கு நேராக செல்லலாம்.

வழித்தோன்றலைக் கண்டறியும் செயல்முறை வேறுபாடு எனப்படும். நாம் ஒரு செயல்பாட்டை வேறுபடுத்தும்போது, ​​​​ஒரு புதிய செயல்பாட்டைப் பெறுவோம்.

அவற்றைக் குறிப்பிடுவதற்கு, f, g போன்ற லத்தீன் எழுத்துக்களைப் பயன்படுத்துவோம்.

வழித்தோன்றல்களுக்கு பல்வேறு குறியீடுகள் உள்ளன. நாங்கள் ஒரு பக்கவாதம் பயன்படுத்துவோம். எடுத்துக்காட்டாக, g" என்று எழுதினால், g செயல்பாட்டின் வழித்தோன்றலைக் கண்டுபிடிப்போம்.

வழித்தோன்றல்கள் அட்டவணை

வழித்தோன்றலை எவ்வாறு கண்டுபிடிப்பது என்ற கேள்விக்கு பதிலளிக்க, முக்கிய செயல்பாடுகளின் வழித்தோன்றல்களின் அட்டவணையை வழங்குவது அவசியம். வழித்தோன்றல்களைக் கணக்கிட அடிப்படை செயல்பாடுகள்சிக்கலான கணக்கீடுகளைச் செய்ய வேண்டிய அவசியமில்லை. டெரிவேடிவ்களின் அட்டவணையில் அதன் மதிப்பைப் பார்த்தால் போதும்.

1. (sin x)"=cos x
2. (cos x)"= –sin x
3. (x n)"=n x n-1
4. (e x)"=e x
5. (ln x)"=1/x
6. (a x)"=a x ln a
7. (log a x)"=1/x ln a
8. (tg x)"=1/cos 2 x
9. (ctg x)"= – 1/sin 2 x
10. (arcsin x)"= 1/√(1-x 2)
11. (arccos x)"= - 1/√(1-x 2)
12. (arctg x)"= 1/(1+x 2)
13. (arcctg x)"= - 1/(1+x 2)

எடுத்துக்காட்டு 1. y=500 செயல்பாட்டின் வழித்தோன்றலைக் கண்டறியவும்.

இது ஒரு நிலையானது என்பதை நாம் காண்கிறோம். வழித்தோன்றல்களின் அட்டவணையில் இருந்து ஒரு மாறிலியின் வழித்தோன்றல் பூஜ்ஜியத்திற்கு சமம் என்று அறியப்படுகிறது (சூத்திரம் 1).

எடுத்துக்காட்டு 2. y=x 100 செயல்பாட்டின் வழித்தோன்றலைக் கண்டறியவும்.

இது ஒரு சக்திச் செயல்பாடாகும், அதன் அடுக்கு 100 ஆகும், மேலும் அதன் வழித்தோன்றலைக் கண்டறிய, நீங்கள் செயல்பாட்டை அடுக்கு மூலம் பெருக்கி அதை 1 ஆல் குறைக்க வேண்டும் (சூத்திரம் 3).

(x 100)"=100 x 99

எடுத்துக்காட்டு 3. y=5 x செயல்பாட்டின் வழித்தோன்றலைக் கண்டறியவும்

இது ஒரு அதிவேக செயல்பாடு, சூத்திரம் 4 ஐப் பயன்படுத்தி அதன் வழித்தோன்றலைக் கணக்கிடுவோம்.

எடுத்துக்காட்டு 4. y= log 4 x செயல்பாட்டின் வழித்தோன்றலைக் கண்டறியவும்

ஃபார்முலா 7ஐப் பயன்படுத்தி மடக்கையின் வழித்தோன்றலைக் காண்கிறோம்.

(பதிவு 4 x)"=1/x ln 4

வேறுபாடு விதிகள்

ஒரு செயல்பாட்டின் வழித்தோன்றல் அட்டவணையில் இல்லாவிட்டால் அதை எவ்வாறு கண்டுபிடிப்பது என்பதை இப்போது கண்டுபிடிப்போம். ஆய்வு செய்யப்பட்ட பெரும்பாலான செயல்பாடுகள் அடிப்படையானவை அல்ல, ஆனால் எளிய செயல்பாடுகளை (கூடுதல், கழித்தல், பெருக்கல், வகுத்தல் மற்றும் எண்ணால் பெருக்குதல்) பயன்படுத்தி அடிப்படை செயல்பாடுகளின் சேர்க்கைகள் ஆகும். அவற்றின் வழித்தோன்றல்களைக் கண்டறிய, நீங்கள் வேறுபாட்டின் விதிகளை அறிந்து கொள்ள வேண்டும். கீழே, f மற்றும் g எழுத்துக்கள் செயல்பாடுகளைக் குறிக்கின்றன, மேலும் C என்பது மாறிலி.

1. நிலையான குணகம் வழித்தோன்றலின் அடையாளத்திலிருந்து எடுக்கப்படலாம்

எடுத்துக்காட்டு 5. y= 6*x 8 செயல்பாட்டின் வழித்தோன்றலைக் கண்டறியவும்

நாம் 6 இன் நிலையான காரணியை எடுத்து x 4 ஐ மட்டும் வேறுபடுத்துகிறோம். இது ஒரு சக்தி செயல்பாடு, இதன் வழித்தோன்றல் டெரிவேடிவ்களின் அட்டவணையின் சூத்திரம் 3 ஐப் பயன்படுத்தி காணப்படுகிறது.

(6*x 8)" = 6*(x 8)"=6*8*x 7 =48* x 7

2. ஒரு தொகையின் வழித்தோன்றல், வழித்தோன்றல்களின் கூட்டுத்தொகைக்கு சமம்

(f + g)"=f" + g"

எடுத்துக்காட்டு 6. y= x 100 +sin x செயல்பாட்டின் வழித்தோன்றலைக் கண்டறியவும்

ஒரு சார்பு என்பது இரண்டு செயல்பாடுகளின் கூட்டுத்தொகையாகும், அதன் வழித்தோன்றல்களை அட்டவணையில் இருந்து காணலாம். இருந்து (x 100)"=100 x 99 மற்றும் (sin x)"=cos x. கூட்டுத்தொகையின் வழித்தோன்றல் இந்த வழித்தோன்றல்களின் கூட்டுத்தொகைக்கு சமமாக இருக்கும்:

(x 100 +sin x)"= 100 x 99 +cos x

3. வேறுபாட்டின் வழித்தோன்றல் வழித்தோன்றல்களின் வேறுபாட்டிற்கு சமம்

(f – g)"=f" – g"

எடுத்துக்காட்டு 7. y= x 100 – cos x செயல்பாட்டின் வழித்தோன்றலைக் கண்டறியவும்

இந்த செயல்பாடு இரண்டு செயல்பாடுகளின் வேறுபாடு ஆகும், இதன் வழித்தோன்றல்களை அட்டவணையில் இருந்தும் காணலாம். பின்னர் வேறுபாட்டின் வழித்தோன்றல் வழித்தோன்றல்களின் வேறுபாட்டிற்கு சமமாக இருக்கும், மேலும் அடையாளத்தை மாற்ற மறக்காதீர்கள், ஏனெனில் (cos x)"= – sin x.

(x 100 – cos x)"= 100 x 99 + sin x

எடுத்துக்காட்டு 8. y=e x +tg x– x 2 செயல்பாட்டின் வழித்தோன்றலைக் கண்டறியவும்.

இந்தச் செயல்பாடு ஒரு தொகை மற்றும் வேறுபாடு இரண்டையும் கொண்டுள்ளது; ஒவ்வொரு சொல்லின் வழித்தோன்றல்களைக் கண்டுபிடிப்போம்:

(e x)"=e x, (tg x)"=1/cos 2 x, (x 2)"=2 x. பின்னர் அசல் செயல்பாட்டின் வழித்தோன்றல் இதற்கு சமம்:

(e x +tg x– x 2)"= e x +1/cos 2 x –2 x

4. தயாரிப்பின் வழித்தோன்றல்

(f * g)"=f" * g + f * g"

எடுத்துக்காட்டு 9. y= cos x *e x செயல்பாட்டின் வழித்தோன்றலைக் கண்டறியவும்

இதைச் செய்ய, முதலில் ஒவ்வொரு காரணியின் வழித்தோன்றல் (cos x)"=–sin x மற்றும் (e x)"=e x. இப்போது எல்லாவற்றையும் தயாரிப்பு சூத்திரத்தில் மாற்றுவோம். முதல் செயல்பாட்டின் வழித்தோன்றலை இரண்டால் பெருக்கி, முதல் செயல்பாட்டின் பெருக்கத்தை இரண்டின் வழித்தோன்றலால் சேர்க்கிறோம்.

(cos x* e x)"= e x cos x – e x *sin x

5. விகுதியின் வழித்தோன்றல்

(f / g)"= f" * g – f * g"/ g 2

எடுத்துக்காட்டு 10. y= x 50 /sin x செயல்பாட்டின் வழித்தோன்றலைக் கண்டறியவும்

ஒரு விகுதியின் வழித்தோன்றலைக் கண்டறிய, முதலில் எண் மற்றும் வகுப்பின் வழித்தோன்றலைத் தனித்தனியாகக் கண்டுபிடிப்போம்: (x 50)"=50 x 49 மற்றும் (sin x)"= cos x. விகுதியின் வழித்தோன்றலை சூத்திரத்தில் மாற்றினால், நாம் பெறுகிறோம்:

(x 50 /sin x)"= 50x 49 *sin x – x 50 *cos x/sin 2 x

சிக்கலான செயல்பாட்டின் வழித்தோன்றல்

ஒரு சிக்கலான செயல்பாடு என்பது பல செயல்பாடுகளின் கலவையால் குறிக்கப்படும் ஒரு செயல்பாடு ஆகும். ஒரு சிக்கலான செயல்பாட்டின் வழித்தோன்றலைக் கண்டறிவதற்கும் ஒரு விதி உள்ளது:

(u (v))"=u"(v)*v"

அத்தகைய செயல்பாட்டின் வழித்தோன்றலை எவ்வாறு கண்டுபிடிப்பது என்பதைக் கண்டுபிடிப்போம். y= u(v(x)) ஒரு சிக்கலான செயல்பாடாக இருக்கட்டும். செயல்பாட்டை u வெளிப்புற என்றும், v - அகம் என்றும் அழைப்போம்.

உதாரணத்திற்கு:

y=sin (x 3) என்பது ஒரு சிக்கலான செயல்பாடு.

பிறகு y=sin(t) என்பது வெளிப்புறச் செயல்பாடு

t=x 3 - உள்.

இந்த செயல்பாட்டின் வழித்தோன்றலைக் கணக்கிட முயற்சிப்போம். சூத்திரத்தின் படி, நீங்கள் உள் மற்றும் வெளிப்புற செயல்பாடுகளின் வழித்தோன்றல்களை பெருக்க வேண்டும்.

(sin t)"=cos (t) - வெளிப்புற செயல்பாட்டின் வழித்தோன்றல் (இங்கு t=x 3)

(x 3)"=3x 2 - அகச் செயல்பாட்டின் வழித்தோன்றல்

பிறகு (sin (x 3))"= cos (x 3)* 3x 2 என்பது ஒரு சிக்கலான செயல்பாட்டின் வழித்தோன்றலாகும்.