சக்தி செயல்பாட்டின் வழித்தோன்றல். இயற்கை மடக்கையின் வழித்தோன்றல் மற்றும் மடக்கை அடிப்படை a

ஒரு சக்தி செயல்பாட்டின் வழித்தோன்றலுக்கான சூத்திரத்தின் வழித்தோன்றல் (x to the power of a). x இன் வேர்களில் இருந்து வழித்தோன்றல்கள் கருதப்படுகின்றன. உயர் வரிசை சக்தி செயல்பாட்டின் வழித்தோன்றலுக்கான சூத்திரம். வழித்தோன்றல்களைக் கணக்கிடுவதற்கான எடுத்துக்காட்டுகள்.

x இன் ஆற்றலின் வழித்தோன்றல் ஒரு மைனஸ் ஒன்றின் சக்திக்கு ஒரு முறை x க்கு சமம்:
(1) .

x இன் n வது மூலத்திலிருந்து mth சக்தியின் வழித்தோன்றல்:
(2) .

சக்தி செயல்பாட்டின் வழித்தோன்றலுக்கான சூத்திரத்தின் வழித்தோன்றல்

வழக்கு x > 0

அதிவேக a உடன் மாறி x இன் ஆற்றல் செயல்பாட்டைக் கவனியுங்கள்:
(3) .
இங்கே a என்பது தன்னிச்சையான உண்மையான எண். முதலில் வழக்கைக் கருத்தில் கொள்வோம்.

செயல்பாட்டின் வழித்தோன்றலைக் கண்டறிய (3), நாம் ஒரு சக்தி செயல்பாட்டின் பண்புகளைப் பயன்படுத்துகிறோம் மற்றும் அதை பின்வரும் வடிவத்திற்கு மாற்றுகிறோம்:
.

இப்போது நாம் வழித்தோன்றலைப் பயன்படுத்துகிறோம்:
;
.
இங்கே.

ஃபார்முலா (1) நிரூபிக்கப்பட்டுள்ளது.

x இன் பட்டம் n முதல் m வரையிலான ஒரு மூலத்தின் வழித்தோன்றலுக்கான சூத்திரத்தின் வழித்தோன்றல்

இப்போது பின்வரும் படிவத்தின் மூலமான செயல்பாட்டைக் கவனியுங்கள்:
(4) .

வழித்தோன்றலைக் கண்டுபிடிக்க, மூலத்தை ஒரு சக்தி செயல்பாடாக மாற்றுகிறோம்:
.
சூத்திரம் (3) உடன் ஒப்பிடுகையில் நாம் அதைக் காண்கிறோம்
.
பிறகு
.

சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்தி (1) வழித்தோன்றலைக் காண்கிறோம்:
(1) ;
;
(2) .

நடைமுறையில், சூத்திரத்தை (2) மனப்பாடம் செய்ய வேண்டிய அவசியமில்லை. முதலில் வேர்களை ஆற்றல் செயல்பாடுகளாக மாற்றுவது மிகவும் வசதியானது, பின்னர் சூத்திரம் (1) ஐப் பயன்படுத்தி அவற்றின் வழித்தோன்றல்களைக் கண்டறியவும் (பக்கத்தின் முடிவில் உள்ள எடுத்துக்காட்டுகளைப் பார்க்கவும்).

வழக்கு x = 0

x = மாறியின் மதிப்புக்கு சக்தி செயல்பாடு வரையறுக்கப்படுகிறது 0 . x = இல் செயல்பாட்டின் (3) வழித்தோன்றலைக் கண்டுபிடிப்போம் 0 . இதைச் செய்ய, ஒரு வழித்தோன்றலின் வரையறையைப் பயன்படுத்துகிறோம்:
.

x = ஐ மாற்றுவோம் 0 :
.
இந்த வழக்கில், வழித்தோன்றல் என்பதன் மூலம் நாம் வலது கை வரம்பைக் குறிக்கிறோம்.

எனவே நாங்கள் கண்டுபிடித்தோம்:
.
இதிலிருந்து தெளிவாகிறது , .
மணிக்கு, .
மணிக்கு, .
இந்த முடிவு சூத்திரத்திலிருந்தும் பெறப்பட்டது (1):
(1) .
எனவே, சூத்திரம் (1) x = க்கும் செல்லுபடியாகும் 0 .

வழக்கு x< 0

செயல்பாட்டை (3) மீண்டும் கவனியுங்கள்:
(3) .
மாறிலி a இன் சில மதிப்புகளுக்கு, x மாறியின் எதிர்மறை மதிப்புகளுக்கும் இது வரையறுக்கப்படுகிறது. அதாவது, இருக்கட்டும் பகுத்தறிவு எண். பின்னர் அதை குறைக்க முடியாத பின்னமாக குறிப்பிடலாம்:
,
m மற்றும் n ஆகியவை இல்லாத முழு எண்கள் பொதுவான வகுப்பான்.

n ஒற்றைப்படை எனில், x மாறியின் எதிர்மறை மதிப்புகளுக்கும் ஆற்றல் செயல்பாடு வரையறுக்கப்படுகிறது. உதாரணமாக, n = போது 3 மற்றும் மீ = 1 எங்களிடம் x க்யூப் ரூட் உள்ளது:
.
x மாறியின் எதிர்மறை மதிப்புகளுக்கும் இது வரையறுக்கப்படுகிறது.

பவர் செயல்பாட்டின் வழித்தோன்றலைக் கண்டுபிடிப்போம் (3) அது வரையறுக்கப்பட்ட மாறிலியின் பகுத்தறிவு மதிப்புகள். இதைச் செய்ய, பின்வரும் வடிவத்தில் x ஐப் பிரதிநிதித்துவப்படுத்துவோம்:
.
பிறகு ,
.
வழித்தோன்றலின் அடையாளத்திற்கு வெளியே மாறிலியை வைப்பதன் மூலமும், சிக்கலான செயல்பாட்டை வேறுபடுத்துவதற்கான விதியைப் பயன்படுத்துவதன் மூலமும் வழித்தோன்றலைக் காண்கிறோம்:

.
இங்கே. ஆனாலும்
.
அன்றிலிருந்து
.
பிறகு
.
அதாவது, சூத்திரம் (1) இதற்கும் செல்லுபடியாகும்:
(1) .

உயர் வரிசை வழித்தோன்றல்கள்

இப்போது சக்தி செயல்பாட்டின் உயர் வரிசை வழித்தோன்றல்களைக் கண்டுபிடிப்போம்
(3) .
முதல் ஆர்டர் வழித்தோன்றலை நாங்கள் ஏற்கனவே கண்டறிந்துள்ளோம்:
.

வழித்தோன்றலின் அடையாளத்திற்கு வெளியே மாறிலியை எடுத்துக் கொண்டால், இரண்டாம் வரிசை வழித்தோன்றலைக் காண்கிறோம்:
.
இதேபோல், மூன்றாவது மற்றும் நான்காவது ஆர்டர்களின் வழித்தோன்றல்களைக் காண்கிறோம்:
;

.

இதிலிருந்து தெளிவாகிறது தன்னிச்சையான n வது வரிசையின் வழித்தோன்றல்பின்வரும் படிவம் உள்ளது:
.

அதை கவனி a இயற்கை எண்ணாக இருந்தால், பின்னர் n வது வழித்தோன்றல் நிலையானது:
.
பின்னர் அனைத்து அடுத்தடுத்த வழித்தோன்றல்களும் பூஜ்ஜியத்திற்கு சமம்:
,
மணிக்கு.

வழித்தோன்றல்களைக் கணக்கிடுவதற்கான எடுத்துக்காட்டுகள்

உதாரணமாக

செயல்பாட்டின் வழித்தோன்றலைக் கண்டறியவும்:
.

தீர்வு

வேர்களை சக்திகளாக மாற்றுவோம்:
;
.
பின்னர் அசல் செயல்பாடு வடிவம் எடுக்கும்:
.

அதிகாரங்களின் வழித்தோன்றல்களைக் கண்டறிதல்:
;
.
மாறிலியின் வழித்தோன்றல் பூஜ்ஜியம்:
.

அதிவேகத்தின் வழித்தோன்றலுக்கான சூத்திரங்களின் ஆதாரம் மற்றும் வழித்தோன்றல் (e to the x power) மற்றும் அதிவேக செயல்பாடு (a to the x power). e^2x, e^3x மற்றும் e^nx ஆகியவற்றின் வழித்தோன்றல்களைக் கணக்கிடுவதற்கான எடுத்துக்காட்டுகள். உயர் ஆர்டர்களின் வழித்தோன்றல்களுக்கான சூத்திரங்கள்.

அதிவேகத்தின் வழித்தோன்றல் அதிவேகத்திற்கு சமம் (e க்கு x சக்தியின் வழித்தோன்றல் e க்கு x சக்திக்கு சமம்):
(1) (e x )′ = e x.

அடிப்படை a கொண்ட அதிவேக செயல்பாட்டின் வழித்தோன்றல், a இன் இயற்கை மடக்கையால் பெருக்கப்படும் செயல்பாட்டிற்கு சமம்:
(2) .

அதிவேகத்தின் வழித்தோன்றலுக்கான சூத்திரத்தின் வழித்தோன்றல், e க்கு x சக்தி

ஒரு அதிவேகச் சார்பு என்பது ஒரு அதிவேகச் சார்பாகும், அதன் அடிப்படையானது எண் e க்கு சமமாக இருக்கும், இது பின்வரும் வரம்பு:
.
இங்கே அது ஒரு இயற்கை எண்ணாகவோ அல்லது உண்மையான எண்ணாகவோ இருக்கலாம். அடுத்து, அதிவேகத்தின் வழித்தோன்றலுக்கான சூத்திரத்தை (1) பெறுகிறோம்.

அதிவேக வழித்தோன்றல் சூத்திரத்தின் வழித்தோன்றல்

அதிவேகத்தைக் கவனியுங்கள், e க்கு x சக்தி:
y = e x.
இந்த செயல்பாடு அனைவருக்கும் வரையறுக்கப்பட்டுள்ளது. x மாறியைப் பொறுத்து அதன் வழித்தோன்றலைக் கண்டுபிடிப்போம். வரையறையின்படி, வழித்தோன்றல் பின்வரும் வரம்பு:
(3) .

அறியப்பட்ட கணித பண்புகள் மற்றும் விதிகளுக்குக் குறைக்க இந்த வெளிப்பாட்டை மாற்றுவோம். இதைச் செய்ய, நமக்கு பின்வரும் உண்மைகள் தேவை:
A)அடுக்கு சொத்து:
(4) ;
B)மடக்கையின் பண்பு:
(5) ;
IN)மடக்கையின் தொடர்ச்சி மற்றும் தொடர்ச்சியான செயல்பாட்டிற்கான வரம்புகளின் சொத்து:
(6) .
வரம்பைக் கொண்ட ஒரு செயல்பாடு இங்கே உள்ளது மற்றும் இந்த வரம்பு நேர்மறையானது.
ஜி)இரண்டாவது குறிப்பிடத்தக்க வரம்பின் பொருள்:
(7) .

இந்த உண்மைகளை நமது வரம்பிற்குப் பயன்படுத்துவோம் (3). நாங்கள் சொத்தைப் பயன்படுத்துகிறோம் (4):
;
.

ஒரு மாற்று செய்வோம். பிறகு ; .
அதிவேகத்தின் தொடர்ச்சியின் காரணமாக,
.
எனவே, எப்போது, ​​. இதன் விளைவாக நாம் பெறுகிறோம்:
.

ஒரு மாற்று செய்வோம். பிறகு . மணிக்கு, . மேலும் எங்களிடம் உள்ளது:
.

மடக்கைப் பண்புகளைப் பயன்படுத்துவோம் (5):
. பிறகு
.

சொத்தைப் பயன்படுத்துவோம் (6). நேர்மறை வரம்பு இருப்பதால் மடக்கை தொடர்ச்சியாக இருப்பதால், பின்:
.
இங்கே நாம் இரண்டாவது குறிப்பிடத்தக்க வரம்பை (7) பயன்படுத்தினோம். பிறகு
.

எனவே, அதிவேகத்தின் வழித்தோன்றலுக்கான சூத்திரம் (1) ஐப் பெற்றோம்.

அதிவேக செயல்பாட்டின் வழித்தோன்றலுக்கான சூத்திரத்தின் வழித்தோன்றல்

இப்போது நாம் பட்டம் a இன் அடிப்படையுடன் கூடிய அதிவேக செயல்பாட்டின் வழித்தோன்றலுக்கான சூத்திரத்தை (2) பெறுகிறோம். நாங்கள் அதை நம்புகிறோம் மற்றும். பின்னர் அதிவேக செயல்பாடு
(8)
அனைவருக்கும் வரையறுக்கப்பட்டுள்ளது.

சூத்திரத்தை மாற்றுவோம் (8). இதற்காக நாம் பயன்படுத்துவோம் அதிவேக செயல்பாட்டின் பண்புகள்மற்றும் மடக்கை.
;
.
எனவே, சூத்திரத்தை (8) பின்வரும் வடிவத்திற்கு மாற்றினோம்:
.

e க்கு x சக்தியின் உயர் வரிசை வழித்தோன்றல்கள்

இப்போது உயர் ஆர்டர்களின் வழித்தோன்றல்களைக் கண்டுபிடிப்போம். முதலில் அடுக்குகளைப் பார்ப்போம்:
(14) .
(1) .

செயல்பாட்டின் (14) வழித்தோன்றல் செயல்பாட்டிற்கு (14) சமமாக இருப்பதைக் காண்கிறோம். (1) வேறுபடுத்தி, இரண்டாவது மற்றும் மூன்றாவது வரிசையின் வழித்தோன்றல்களைப் பெறுகிறோம்:
;
.

n வது வரிசை வழித்தோன்றல் அசல் செயல்பாட்டிற்கு சமம் என்பதை இது காட்டுகிறது:
.

அதிவேக செயல்பாட்டின் உயர் வரிசை வழித்தோன்றல்கள்

இப்போது ஒரு அதிவேகச் செயல்பாட்டைப் பட்டம் a இன் அடிப்படையுடன் கருதுங்கள்:
.
அதன் முதல்-வரிசை வழித்தோன்றலைக் கண்டறிந்தோம்:
(15) .

வேறுபடுத்தி (15), இரண்டாவது மற்றும் மூன்றாவது வரிசையின் வழித்தோன்றல்களைப் பெறுகிறோம்:
;
.

ஒவ்வொரு வேறுபாடும் அசல் செயல்பாட்டின் பெருக்கத்திற்கு வழிவகுக்கிறது என்பதை நாம் காண்கிறோம். எனவே, n வது வரிசை வழித்தோன்றல் பின்வரும் வடிவத்தைக் கொண்டுள்ளது:
.

இந்த பாடத்தில், வேறுபாட்டின் சூத்திரங்களையும் விதிகளையும் பயன்படுத்த கற்றுக்கொள்வோம்.

எடுத்துக்காட்டுகள். செயல்பாடுகளின் வழித்தோன்றல்களைக் கண்டறியவும்.

1. y=x 7 +x 5 -x 4 +x 3 -x 2 +x-9. விதியைப் பயன்படுத்துதல் நான், சூத்திரங்கள் 4, 2 மற்றும் 1. நாங்கள் பெறுகிறோம்:

y'=7x 6 +5x 4 -4x 3 +3x 2 -2x+1.

2. y=3x 6 -2x+5. அதே சூத்திரங்கள் மற்றும் சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்தி நாங்கள் இதேபோல் தீர்க்கிறோம் 3.

y’=3∙6x 5 -2=18x 5 -2.

விதியைப் பயன்படுத்துதல் நான், சூத்திரங்கள் 3, 5 மற்றும் 6 மற்றும் 1.

விதியைப் பயன்படுத்துதல் IV, சூத்திரங்கள் 5 மற்றும் 1 .

ஐந்தாவது உதாரணத்தில், விதியின் படி நான்தொகையின் வழித்தோன்றல் வழித்தோன்றல்களின் கூட்டுத்தொகைக்கு சமம், மேலும் 1வது காலத்தின் வழித்தோன்றலைக் கண்டறிந்தோம் (எடுத்துக்காட்டு 4 ), எனவே, வழித்தோன்றல்களைக் கண்டுபிடிப்போம் 2வதுமற்றும் 3வதுவிதிமுறைகள், மற்றும் 1 க்குசுருக்கமாக நாம் உடனடியாக முடிவை எழுதலாம்.

வேறுபடுத்துவோம் 2வதுமற்றும் 3வதுசூத்திரத்தின் படி விதிமுறைகள் 4 . இதைச் செய்ய, வகுப்பில் உள்ள மூன்றாவது மற்றும் நான்காவது சக்திகளின் வேர்களை எதிர்மறை அடுக்குகளைக் கொண்ட சக்திகளாக மாற்றுகிறோம், பின்னர் அதன்படி 4 சூத்திரம், சக்திகளின் வழித்தோன்றல்களைக் காண்கிறோம்.

அதை நோக்கு இந்த உதாரணம்மற்றும் பெறப்பட்ட முடிவு. மாதிரி பிடித்து விட்டீர்களா? நன்றாக. இதன் பொருள் எங்களிடம் ஒரு புதிய சூத்திரம் உள்ளது மற்றும் அதை எங்கள் டெரிவேடிவ்கள் அட்டவணையில் சேர்க்கலாம்.

ஆறாவது உதாரணத்தைத் தீர்த்து மற்றொரு சூத்திரத்தைப் பெறுவோம்.

விதியைப் பயன்படுத்துவோம் IVமற்றும் சூத்திரம் 4 . இதன் விளைவாக வரும் பின்னங்களைக் குறைப்போம்.

இந்த செயல்பாடு மற்றும் அதன் வழித்தோன்றலைப் பார்ப்போம். நீங்கள், நிச்சயமாக, வடிவத்தைப் புரிந்துகொண்டு சூத்திரத்திற்கு பெயரிடத் தயாராக உள்ளீர்கள்:

புதிய சூத்திரங்களைக் கற்றுக்கொள்வது!

எடுத்துக்காட்டுகள்.

1. வாதத்தின் அதிகரிப்பு மற்றும் y= செயல்பாட்டின் அதிகரிப்பு ஆகியவற்றைக் கண்டறியவும் x 2, வாதத்தின் ஆரம்ப மதிப்பு சமமாக இருந்தால் 4 , மற்றும் புதியது - 4,01 .

தீர்வு.

புதிய வாத மதிப்பு x=x 0 +Δx. தரவை மாற்றுவோம்: 4.01=4+Δх, எனவே வாதத்தின் அதிகரிப்பு Δх=4.01-4=0.01. ஒரு செயல்பாட்டின் அதிகரிப்பு, வரையறையின்படி, செயல்பாட்டின் புதிய மற்றும் முந்தைய மதிப்புகளுக்கு இடையிலான வேறுபாட்டிற்கு சமம், அதாவது. Δy=f (x 0 +Δx) - f (x 0). எங்களுக்கு ஒரு செயல்பாடு இருப்பதால் y=x2, அந்த Δу=(x 0 +Δx) 2 - (x 0) 2 =(x 0) 2 +2x 0 · Δx+(Δx) 2 - (x 0) 2 =2x 0 · Δx+(Δx) 2 =

2 · 4 · 0,01+(0,01) 2 =0,08+0,0001=0,0801.

பதில்: வாதம் அதிகரிப்பு Δх=0.01; செயல்பாடு அதிகரிப்பு Δу=0,0801.

செயல்பாடு அதிகரிப்பு வேறு விதமாகக் காணலாம்: Δy=y (x 0 +Δx) -y (x 0)=y(4.01) -y(4)=4.01 2 -4 2 =16.0801-16=0.0801.

2. செயல்பாட்டின் வரைபடத்திற்கு தொடுகோடு சாய்வின் கோணத்தைக் கண்டறியவும் y=f(x)புள்ளியில் x 0, என்றால் f "(x 0) = 1.

தீர்வு.

டேன்ஜென்சி புள்ளியில் உள்ள வழித்தோன்றலின் மதிப்பு x 0மற்றும் தொடு கோணத்தின் தொடுகோணத்தின் மதிப்பு (வழித்தோன்றலின் வடிவியல் பொருள்). எங்களிடம் உள்ளது: f "(x 0) = tanα = 1 → α = 45°,ஏனெனில் tg45°=1.

பதில்: இந்தச் செயல்பாட்டின் வரைபடத்தின் தொடுகோடு, எருது அச்சின் நேர் திசையுடன் ஒரு கோணத்தை உருவாக்குகிறது 45°.

3. செயல்பாட்டின் வழித்தோன்றலுக்கான சூத்திரத்தைப் பெறவும் y=xn.

வேறுபாடுஒரு செயல்பாட்டின் வழித்தோன்றலைக் கண்டறியும் செயலாகும்.

வழித்தோன்றல்களைக் கண்டறியும் போது, ​​ஒரு வழித்தோன்றலின் வரையறையின் அடிப்படையில் பெறப்பட்ட சூத்திரங்களைப் பயன்படுத்தவும், அதே வழியில் வழித்தோன்றல் பட்டத்திற்கான சூத்திரத்தைப் பெறுகிறோம்: (x n)" = nx n-1.

இவைதான் சூத்திரங்கள்.

வழித்தோன்றல்களின் அட்டவணைவாய்மொழி சூத்திரங்களை உச்சரிப்பதன் மூலம் மனப்பாடம் செய்வது எளிதாக இருக்கும்:

1. நிலையான அளவின் வழித்தோன்றல் பூஜ்ஜியமாகும்.

2. எக்ஸ் பிரைம் ஒன்றுக்கு சமம்.

3. நிலையான காரணியை வழித்தோன்றலின் அடையாளத்திலிருந்து எடுக்கலாம்.

4. ஒரு பட்டத்தின் வழித்தோன்றல், இந்த பட்டத்தின் அதிவேகத்தின் பெருக்கத்திற்கு சமமாக இருக்கும்.

5. ஒரு மூலத்தின் வழித்தோன்றல் இரண்டு சம வேர்களால் வகுக்கப்படும் ஒன்றுக்கு சமம்.

6. x ஆல் வகுக்கப்பட்ட ஒன்றின் வழித்தோன்றல், x ஆல் வகுக்கப்படும் மைனஸ் ஒன்றிற்கு சமம்.

7. சைனின் வழித்தோன்றல் கொசைனுக்கு சமம்.

8. கோசைனின் வழித்தோன்றல் மைனஸ் சைனுக்கு சமம்.

9. தொடுகோட்டின் வழித்தோன்றல் கோசைனின் சதுரத்தால் வகுக்கப்பட்ட ஒன்றிற்குச் சமம்.

10. கோட்டான்ஜென்ட்டின் வழித்தோன்றல் சைனின் சதுரத்தால் வகுக்கப்படும் மைனஸ் ஒன்றுக்கு சமம்.

நாங்கள் கற்பிக்கிறோம் வேறுபாடு விதிகள்.

1. இயற்கணிதத் தொகையின் வழித்தோன்றல், சொற்களின் வழித்தோன்றல்களின் இயற்கணிதத் தொகைக்கு சமம்.

2. ஒரு பொருளின் வழித்தோன்றல் முதல் காரணியின் வழித்தோன்றலின் பெருக்கத்திற்கும், இரண்டாவது கூட்டல் முதல் காரணி மற்றும் இரண்டாவது வழித்தோன்றலுக்கும் சமமாகும்.

3. "ve" ஆல் வகுக்கப்படும் "y" இன் வழித்தோன்றல் ஒரு பகுதிக்கு சமம், இதில் எண் "y ப்ரைம் "ve" ஆல் பெருக்கப்படும் "y பெருக்கல் ve ப்ரைம்", மற்றும் வகுத்தல் "ve ஸ்கொயர்" ஆகும்.

4. சிறப்பு வழக்குசூத்திரங்கள் 3.

ஒன்றாக கற்போம்!

பக்கம் 1 இல் 1 1

வழித்தோன்றலைக் கண்டறியும் செயல்பாடு வேறுபாடு எனப்படும்.

வாதத்தின் அதிகரிப்புக்கான அதிகரிப்பின் விகிதத்தின் வரம்பாக வழித்தோன்றலை வரையறுப்பதன் மூலம் எளிய (மற்றும் மிகவும் எளிமையானது அல்ல) செயல்பாடுகளின் வழித்தோன்றல்களைக் கண்டறிவதில் சிக்கல்களைத் தீர்ப்பதன் விளைவாக, வழித்தோன்றல்களின் அட்டவணை மற்றும் துல்லியமாக வரையறுக்கப்பட்ட வேறுபாடு விதிகள் தோன்றின. . வழித்தோன்றல்களைக் கண்டறியும் துறையில் முதன்முதலில் பணியாற்றியவர்கள் ஐசக் நியூட்டன் (1643-1727) மற்றும் காட்ஃபிரைட் வில்ஹெல்ம் லீப்னிஸ் (1646-1716).

எனவே, எங்கள் காலத்தில், எந்தவொரு செயல்பாட்டின் வழித்தோன்றலைக் கண்டறிய, செயல்பாட்டின் அதிகரிப்பு மற்றும் வாதத்தின் அதிகரிப்புக்கான விகிதத்தின் மேலே குறிப்பிடப்பட்ட வரம்பை நீங்கள் கணக்கிட வேண்டியதில்லை, ஆனால் நீங்கள் அட்டவணையைப் பயன்படுத்த வேண்டும். வழித்தோன்றல்கள் மற்றும் வேறுபாட்டின் விதிகள். வழித்தோன்றலைக் கண்டறிவதற்கு பின்வரும் அல்காரிதம் பொருத்தமானது.

வழித்தோன்றலைக் கண்டுபிடிக்க, பிரதம அடையாளத்தின் கீழ் உங்களுக்கு ஒரு வெளிப்பாடு தேவை எளிய செயல்பாடுகளை கூறுகளாக உடைக்கவும்மற்றும் என்ன நடவடிக்கைகள் என்பதை தீர்மானிக்கவும் (தயாரிப்பு, தொகை, பங்கு)இந்த செயல்பாடுகள் தொடர்புடையவை. மேலும் வழித்தோன்றல்கள் அடிப்படை செயல்பாடுகள்வழித்தோன்றல்களின் அட்டவணையில் நாம் காண்கிறோம், மேலும் தயாரிப்பு, தொகை மற்றும் பங்கு ஆகியவற்றின் வழித்தோன்றல்களுக்கான சூத்திரங்கள் வேறுபாடு விதிகளில் உள்ளன. வழித்தோன்றல் அட்டவணை மற்றும் வேறுபாடு விதிகள் முதல் இரண்டு எடுத்துக்காட்டுகளுக்குப் பிறகு கொடுக்கப்பட்டுள்ளன.

எடுத்துக்காட்டு 1.ஒரு செயல்பாட்டின் வழித்தோன்றலைக் கண்டறியவும்

தீர்வு. வேறுபாட்டின் விதிகளிலிருந்து, செயல்பாடுகளின் ஒரு தொகையின் வழித்தோன்றல் என்பது செயல்பாடுகளின் வழித்தோன்றல்களின் கூட்டுத்தொகை என்பதை நாம் காண்கிறோம், அதாவது.

வழித்தோன்றல்களின் அட்டவணையில் இருந்து, "x" இன் வழித்தோன்றல் ஒன்றுக்கு சமம் என்றும், சைனின் வழித்தோன்றல் கொசைனுக்கு சமம் என்றும் கண்டுபிடிக்கிறோம். இந்த மதிப்புகளை டெரிவேடிவ்களின் கூட்டுத்தொகையாக மாற்றி, சிக்கலின் நிலைக்குத் தேவையான வழித்தோன்றலைக் கண்டறியவும்:

உதாரணம் 2.ஒரு செயல்பாட்டின் வழித்தோன்றலைக் கண்டறியவும்

தீர்வு. ஒரு தொகையின் வழித்தோன்றலாக நாம் வேறுபடுத்துகிறோம், இதில் இரண்டாவது சொல் நிலையான காரணியைக் கொண்டுள்ளது; இது வழித்தோன்றலின் அடையாளத்திலிருந்து எடுக்கப்படலாம்:

ஏதேனும் எங்கிருந்து வருகிறது என்பது குறித்த கேள்விகள் இன்னும் எழுந்தால், அவை வழக்கமாக வழித்தோன்றல்களின் அட்டவணை மற்றும் வேறுபாட்டின் எளிய விதிகளை நன்கு அறிந்த பிறகு அழிக்கப்படும். நாங்கள் இப்போது அவற்றை நோக்கி நகர்கிறோம்.

எளிய செயல்பாடுகளின் வழித்தோன்றல்களின் அட்டவணை

1. மாறிலியின் (எண்) வழித்தோன்றல். செயல்பாடு வெளிப்பாட்டில் உள்ள எந்த எண்ணும் (1, 2, 5, 200...). எப்போதும் பூஜ்ஜியத்திற்கு சமம். இதை நினைவில் கொள்வது மிகவும் முக்கியம், ஏனெனில் இது அடிக்கடி தேவைப்படுகிறது
2. சார்பற்ற மாறியின் வழித்தோன்றல். பெரும்பாலும் "எக்ஸ்". எப்போதும் ஒன்றுக்கு சமம். இதையும் நீண்ட நேரம் நினைவில் வைத்துக் கொள்ள வேண்டும்
3. பட்டத்தின் வழித்தோன்றல். பிரச்சனைகளை தீர்க்கும் போது, ​​நீங்கள் அல்லாத சதுர வேர்களை சக்திகளாக மாற்ற வேண்டும்.
4. சக்தி -1க்கு மாறியின் வழித்தோன்றல்
5. வழித்தோன்றல் சதுர வேர்
6. சைனின் வழித்தோன்றல்
7. கொசைனின் வழித்தோன்றல்
8. தொடுவின் வழித்தோன்றல்
9. கோட்டான்ஜென்ட்டின் வழித்தோன்றல்
10. ஆர்க்சைனின் வழித்தோன்றல்
11. ஆர்க் கொசைனின் வழித்தோன்றல்
12. ஆர்க்டேன்ஜென்ட்டின் வழித்தோன்றல்
13. ஆர்க் கோடேன்ஜென்ட்டின் வழித்தோன்றல்
14. இயற்கை மடக்கையின் வழித்தோன்றல்
15. மடக்கைச் செயல்பாட்டின் வழித்தோன்றல்
16. அதிவேகத்தின் வழித்தோன்றல்
17. அதிவேக செயல்பாட்டின் வழித்தோன்றல்

வேறுபாடு விதிகள்

1. தொகை அல்லது வேறுபாட்டின் வழித்தோன்றல்
2. தயாரிப்பின் வழித்தோன்றல்
2a. ஒரு நிலையான காரணியால் பெருக்கப்படும் வெளிப்பாட்டின் வழித்தோன்றல்
3. விகுதியின் வழித்தோன்றல்
4. சிக்கலான செயல்பாட்டின் வழித்தோன்றல்

விதி 1.செயல்பாடுகள் என்றால்

சில புள்ளியில் வேறுபடலாம், பின்னர் செயல்பாடுகள் அதே புள்ளியில் வேறுபடுகின்றன

மற்றும்

அந்த. இயற்கணிதத் தொகை சார்புகளின் வழித்தோன்றல் இந்தச் சார்புகளின் வழித்தோன்றல்களின் இயற்கணிதத் தொகைக்கு சமம்.

விளைவு. இரண்டு வேறுபட்ட செயல்பாடுகள் ஒரு நிலையான காலத்தால் வேறுபட்டால், அவற்றின் வழித்தோன்றல்கள் சமமாக இருக்கும், அதாவது

விதி 2.செயல்பாடுகள் என்றால்

அவை ஒரு கட்டத்தில் வேறுபடுகின்றன, பின்னர் அவற்றின் தயாரிப்பு அதே புள்ளியில் வேறுபடுகிறது

மற்றும்

அந்த. இரண்டு சார்புகளின் பெருக்கத்தின் வழித்தோன்றல், இந்தச் செயல்பாடுகள் ஒவ்வொன்றின் தயாரிப்புகளின் கூட்டுத்தொகைக்கும் மற்றொன்றின் வழித்தோன்றலுக்கும் சமம்.

முடிவு 1. நிலையான காரணியை வழித்தோன்றலின் அடையாளத்திலிருந்து எடுக்கலாம்:

முடிவு 2. பல வேறுபட்ட செயல்பாடுகளின் உற்பத்தியின் வழித்தோன்றல் ஒவ்வொரு காரணியின் வழித்தோன்றலின் தயாரிப்புகளின் கூட்டுத்தொகைக்கு சமம் மற்றும் மற்றவை.

எடுத்துக்காட்டாக, மூன்று பெருக்கிகளுக்கு:

விதி 3.செயல்பாடுகள் என்றால்

ஒரு கட்டத்தில் வேறுபடலாம் மற்றும் , பின்னர் இந்த கட்டத்தில் அவற்றின் எண்ணிக்கையும் வேறுபடுகிறதுu/v , மற்றும்

அந்த. இரண்டு சார்புகளின் விகுதியின் வழித்தோன்றல் ஒரு பின்னத்திற்குச் சமம், இதன் எண்ணிக்கையானது வகுப்பின் தயாரிப்புகளுக்கும் எண் மற்றும் எண் மற்றும் வகுப்பின் வழித்தோன்றலுக்கும் இடையிலான வேறுபாடு ஆகும், மேலும் வகுப்பானது வகுப்பின் வர்க்கமாகும். முன்னாள் எண்.

மற்ற பக்கங்களில் விஷயங்களை எங்கே தேடுவது

ஒரு பொருளின் வழித்தோன்றல் மற்றும் உள்ளீட்டைக் கண்டறியும் போது உண்மையான பிரச்சனைகள்ஒரே நேரத்தில் பல வேறுபாடு விதிகளைப் பயன்படுத்துவது எப்போதும் அவசியம், எனவே கட்டுரையில் இந்த வழித்தோன்றல்களில் கூடுதல் எடுத்துக்காட்டுகள் உள்ளன"பொருளின் வழித்தோன்றல் மற்றும் செயல்பாடுகளின் பங்கு".

கருத்து.நீங்கள் ஒரு மாறிலியை (அதாவது ஒரு எண்ணை) ஒரு தொகையில் ஒரு சொல்லாகவும், ஒரு நிலையான காரணியாகவும் குழப்ப வேண்டாம்! ஒரு சொல்லின் விஷயத்தில், அதன் வழித்தோன்றல் பூஜ்ஜியத்திற்கு சமம், மற்றும் நிலையான காரணியின் விஷயத்தில், அது வழித்தோன்றல்களின் அடையாளத்திலிருந்து எடுக்கப்படுகிறது. இது வழக்கமான தவறு, அன்று நிகழ்கிறது ஆரம்ப கட்டத்தில்வழித்தோன்றல்களைப் படிக்கிறோம், ஆனால் நாங்கள் பல ஒன்று மற்றும் இரண்டு பகுதி எடுத்துக்காட்டுகளைத் தீர்க்கிறோம் சராசரி மாணவர்இனி இந்த தவறை செய்யாது.

மேலும், ஒரு தயாரிப்பு அல்லது பங்கை வேறுபடுத்தும் போது, ​​உங்களுக்கு ஒரு சொல் உள்ளது u"v, இதில் u- ஒரு எண், எடுத்துக்காட்டாக, 2 அல்லது 5, அதாவது, ஒரு மாறிலி, பின்னர் இந்த எண்ணின் வழித்தோன்றல் பூஜ்ஜியத்திற்கு சமமாக இருக்கும், எனவே, முழு காலமும் பூஜ்ஜியத்திற்கு சமமாக இருக்கும் (இந்த வழக்கு உதாரணம் 10 இல் விவாதிக்கப்பட்டுள்ளது).

மற்றவை பொதுவான தவறு- ஒரு எளிய செயல்பாட்டின் வழித்தோன்றலாக ஒரு சிக்கலான செயல்பாட்டின் வழித்தோன்றலின் இயந்திர தீர்வு. அதனால் தான் ஒரு சிக்கலான செயல்பாட்டின் வழித்தோன்றல்ஒரு தனி கட்டுரை அர்ப்பணிக்கப்பட்டுள்ளது. ஆனால் முதலில் எளிய செயல்பாடுகளின் வழித்தோன்றல்களைக் கண்டுபிடிக்க கற்றுக்கொள்வோம்.

வழியில், வெளிப்பாடுகளை மாற்றாமல் நீங்கள் செய்ய முடியாது. இதைச் செய்ய, நீங்கள் புதிய சாளரங்களில் கையேட்டைத் திறக்க வேண்டும். சக்திகள் மற்றும் வேர்கள் கொண்ட செயல்கள்மற்றும் பின்னங்கள் கொண்ட செயல்பாடுகள் .

சக்திகள் மற்றும் வேர்கள் கொண்ட பின்னங்களின் வழித்தோன்றல்களுக்கான தீர்வுகளை நீங்கள் தேடுகிறீர்கள் என்றால், அதாவது செயல்பாடு இப்படி இருக்கும் போது , பின்னர் "அதிகாரங்கள் மற்றும் வேர்களைக் கொண்ட பின்னங்களின் தொகைகளின் வழித்தோன்றல்" என்ற பாடத்தைப் பின்பற்றவும்.

உங்களிடம் ஒரு பணி இருந்தால் , பின்னர் நீங்கள் "எளிய முக்கோணவியல் செயல்பாடுகளின் வழித்தோன்றல்கள்" பாடத்தை எடுப்பீர்கள்.

படிப்படியான எடுத்துக்காட்டுகள் - வழித்தோன்றலை எவ்வாறு கண்டுபிடிப்பது

எடுத்துக்காட்டு 3.ஒரு செயல்பாட்டின் வழித்தோன்றலைக் கண்டறியவும்

தீர்வு. செயல்பாட்டு வெளிப்பாட்டின் பகுதிகளை நாங்கள் வரையறுக்கிறோம்: முழு வெளிப்பாடும் ஒரு தயாரிப்பைக் குறிக்கிறது, மேலும் அதன் காரணிகள் தொகைகள், இரண்டாவதாக ஒரு சொற்களில் நிலையான காரணி உள்ளது. நாங்கள் தயாரிப்பு வேறுபாடு விதியைப் பயன்படுத்துகிறோம்: இரண்டு செயல்பாடுகளின் உற்பத்தியின் வழித்தோன்றல், மற்றொன்றின் வழித்தோன்றலால் இந்த செயல்பாடுகள் ஒவ்வொன்றின் தயாரிப்புகளின் கூட்டுத்தொகைக்கு சமம்:

அடுத்து, கூட்டுத்தொகையின் வேறுபாட்டின் விதியைப் பயன்படுத்துகிறோம்: இயற்கணிதத் தொகை சார்புகளின் வழித்தோன்றல் இந்த சார்புகளின் வழித்தோன்றல்களின் இயற்கணிதத் தொகைக்கு சமம். எங்கள் விஷயத்தில், ஒவ்வொரு தொகையிலும் இரண்டாவது வார்த்தை கழித்தல் குறியைக் கொண்டுள்ளது. ஒவ்வொரு தொகையிலும் நாம் ஒரு சுயாதீன மாறி இரண்டையும் காண்கிறோம், அதன் வழித்தோன்றல் ஒன்றுக்கு சமம், மற்றும் ஒரு மாறிலி (எண்), இதன் வழித்தோன்றல் பூஜ்ஜியத்திற்கு சமம். எனவே, “எக்ஸ்” ஒன்றாகவும், கழித்தல் 5 பூஜ்ஜியமாகவும் மாறும். இரண்டாவது வெளிப்பாட்டில், "x" 2 ஆல் பெருக்கப்படுகிறது, எனவே "x" இன் வழித்தோன்றலின் அதே அலகு மூலம் இரண்டையும் பெருக்குகிறோம். பின்வரும் வழித்தோன்றல் மதிப்புகளைப் பெறுகிறோம்:

கண்டுபிடிக்கப்பட்ட வழித்தோன்றல்களை தயாரிப்புகளின் கூட்டுத்தொகையாக மாற்றுவோம் மற்றும் சிக்கலின் நிலைக்குத் தேவையான முழு செயல்பாட்டின் வழித்தோன்றலைப் பெறுகிறோம்:

எடுத்துக்காட்டு 4.ஒரு செயல்பாட்டின் வழித்தோன்றலைக் கண்டறியவும்

தீர்வு. விகுதியின் வழித்தோன்றலை நாம் கண்டுபிடிக்க வேண்டும். பங்கீட்டை வேறுபடுத்துவதற்கான சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்துகிறோம்: இரண்டு சார்புகளின் பகுதியின் வழித்தோன்றல் ஒரு பின்னத்திற்குச் சமம், இதன் எண்ணிக்கையானது வகுப்பின் தயாரிப்புகளுக்கும் எண் மற்றும் எண் மற்றும் அதன் வழித்தோன்றலுக்கும் இடையிலான வேறுபாடு ஆகும். வகுத்தல், மற்றும் வகுத்தல் என்பது முன்னாள் எண்ணின் சதுரமாகும். நாங்கள் பெறுகிறோம்:

உதாரணம் 2 இல் உள்ள காரணிகளின் வழித்தோன்றலை நாங்கள் ஏற்கனவே கண்டறிந்துள்ளோம். தற்போதைய எடுத்துக்காட்டில் உள்ள எண்களின் இரண்டாவது காரணியான தயாரிப்பு ஒரு கழித்தல் அடையாளத்துடன் எடுக்கப்பட்டது என்பதையும் மறந்துவிடாதீர்கள்:

நீங்கள் ஒரு செயல்பாட்டின் வழித்தோன்றலைக் கண்டறிய வேண்டிய சிக்கல்களுக்கான தீர்வுகளைத் தேடுகிறீர்கள் என்றால், எடுத்துக்காட்டாக, வேர்கள் மற்றும் சக்திகளின் தொடர்ச்சியான குவியல் உள்ளது. , பின்னர் வகுப்பிற்கு வரவேற்கிறோம் "அதிகாரங்கள் மற்றும் வேர்கள் கொண்ட பின்னங்களின் தொகைகளின் வழித்தோன்றல்" .

சைன்கள், கொசைன்கள், டேன்ஜென்ட்கள் மற்றும் பிற முக்கோணவியல் சார்புகளின் வழித்தோன்றல்கள் பற்றி நீங்கள் மேலும் அறிந்து கொள்ள வேண்டும் என்றால், அதாவது செயல்பாடு இப்படி இருக்கும் போது , பிறகு உங்களுக்கு ஒரு பாடம் "எளிய முக்கோணவியல் செயல்பாடுகளின் வழித்தோன்றல்கள்" .

உதாரணம் 5.ஒரு செயல்பாட்டின் வழித்தோன்றலைக் கண்டறியவும்

தீர்வு. இந்தச் செயல்பாட்டில் நாம் ஒரு தயாரிப்பைக் காண்கிறோம், அதன் காரணிகளில் ஒன்று சுயாதீன மாறியின் வர்க்க மூலமாகும், இதன் வழித்தோன்றல் வழித்தோன்றல்களின் அட்டவணையில் நமக்குத் தெரிந்திருக்கிறது. வர்க்க மூலத்தின் வழித்தோன்றலின் தயாரிப்பு மற்றும் அட்டவணை மதிப்பை வேறுபடுத்துவதற்கான விதியைப் பயன்படுத்தி, நாங்கள் பெறுகிறோம்:

எடுத்துக்காட்டு 6.ஒரு செயல்பாட்டின் வழித்தோன்றலைக் கண்டறியவும்

தீர்வு. இந்தச் செயல்பாட்டில் ஈவுத்தொகையானது சார்பற்ற மாறியின் வர்க்கமூலமாக இருக்கும் ஒரு கோட்பாட்டைக் காண்கிறோம். உதாரணம் 4 இல் நாம் திரும்பத் திரும்பப் பயன்படுத்திய விகுதிகளின் வேறுபாட்டின் விதி மற்றும் வர்க்க மூலத்தின் வழித்தோன்றலின் அட்டவணைப்படுத்தப்பட்ட மதிப்பைப் பயன்படுத்தி, நாங்கள் பெறுகிறோம்:

எண்ணில் உள்ள பின்னத்தை அகற்ற, எண் மற்றும் வகுப்பினை ஆல் பெருக்கவும்.

3 மற்றும் 5 சூத்திரங்களை நீங்களே நிரூபிக்கவும்.

வேறுபாட்டின் அடிப்படை விதிகள்

வரம்பைப் பயன்படுத்தி வழித்தோன்றலைக் கண்டறியும் பொதுவான முறையைப் பயன்படுத்தி, எளிமையான வேறுபாடு சூத்திரங்களைப் பெறலாம். விடுங்கள் u=u(x),v=v(x)- ஒரு மாறியின் இரண்டு வேறுபட்ட செயல்பாடுகள் எக்ஸ்.

1 மற்றும் 2 சூத்திரங்களை நீங்களே நிரூபிக்கவும்.

ஃபார்முலா 3 இன் ஆதாரம்.

விடுங்கள் y = u(x) + v(x).வாத மதிப்புக்கு எக்ஸ்+Δ எக்ஸ்எங்களிடம் உள்ளது ஒய்(எக்ஸ்+Δ எக்ஸ்)=u(எக்ஸ்+Δ எக்ஸ்) + v(எக்ஸ்+Δ எக்ஸ்).

Δ ஒய்=ஒய்(எக்ஸ்+Δ எக்ஸ்) – y(x) = u(x+Δ எக்ஸ்) + v(x+Δ எக்ஸ்) – u(x) – v(x) = Δ u +Δ v.

எனவே,

சூத்திரம் 4 இன் சான்று.

விடுங்கள் y=u(x)·v(x).பிறகு ஒய்(எக்ஸ்+Δ எக்ஸ்)=u(எக்ஸ்+Δ எக்ஸ்)· v(எக்ஸ்+Δ எக்ஸ்), அதனால் தான்

Δ ஒய்=u(எக்ஸ்+Δ எக்ஸ்)· v(எக்ஸ்+Δ எக்ஸ்) – u(எக்ஸ்)· v(எக்ஸ்).

ஒவ்வொரு செயல்பாடுகளும் இருந்து என்பதை நினைவில் கொள்க uமற்றும் vபுள்ளியில் வேறுபடுத்தக்கூடியது எக்ஸ், பின்னர் அவை இந்த கட்டத்தில் தொடர்ச்சியாக இருக்கும், அதாவது u(எக்ஸ்+Δ எக்ஸ்)→u(x), v(எக்ஸ்+Δ எக்ஸ்)→v(x), Δ இல் எக்ஸ்→0.

அதனால் எழுதலாம்

இந்தச் சொத்தின் அடிப்படையில், எத்தனை செயல்பாடுகளின் பலனையும் வேறுபடுத்துவதற்கான விதியைப் பெறலாம்.

உதாரணமாக, விடுங்கள் y=u·v·w.பிறகு,

ஒய் " = u "·( v w) + u·( v·w) "= u "· v· w + u·( v"·w+ v·w ") = u "· v· w + u· v"·w+ u·v·வ".

சூத்திரம் 5 இன் சான்று.

விடுங்கள் . பிறகு

ஆதாரத்தில் நாங்கள் என்ற உண்மையைப் பயன்படுத்தினோம் v(x+Δ எக்ஸ்)→v(x)Δ இல் எக்ஸ்→0.

எடுத்துக்காட்டுகள்.

சிக்கலான செயல்பாட்டின் வழித்தோன்றல் பற்றிய கோட்பாடு

விடுங்கள் y = f(u),ஏ u= u(எக்ஸ்) நாங்கள் செயல்பாட்டைப் பெறுகிறோம் ஒய்வாதத்தைப் பொறுத்து எக்ஸ்: y = f(u(x)).கடைசி செயல்பாடு ஒரு செயல்பாட்டின் செயல்பாடு அல்லது சிக்கலான செயல்பாடு.

செயல்பாட்டு வரையறை டொமைன் y = f(u(x))செயல்பாட்டின் வரையறையின் முழு களமாகும் u=u(எக்ஸ்) அல்லது மதிப்புகள் தீர்மானிக்கப்படும் பகுதி u, செயல்பாட்டின் வரையறையின் டொமைனை விட்டு வெளியேறவில்லை ஒய்= f(u).

செயல்பாட்டிலிருந்து செயல்பாடு ஒரு முறை மட்டுமல்ல, எத்தனை முறை வேண்டுமானாலும் செய்யலாம்.

ஒரு சிக்கலான செயல்பாட்டை வேறுபடுத்துவதற்கான விதியை நிறுவுவோம்.

தேற்றம்.செயல்பாடு என்றால் u= u(எக்ஸ்) ஒரு கட்டத்தில் உள்ளது x 0வழித்தோன்றல் மற்றும் இந்த கட்டத்தில் மதிப்பை எடுக்கும் u 0 = u(x 0), மற்றும் செயல்பாடு y=f(u)புள்ளியில் உள்ளது u 0வழித்தோன்றல் ஒய்"உ = f "(u 0), பின்னர் ஒரு சிக்கலான செயல்பாடு y = f(u(x))குறிப்பிட்ட புள்ளியில் x 0ஒரு வழித்தோன்றலையும் கொண்டுள்ளது, இது சமமானதாகும் ஒய்"x = f "(u 0)· u "(x 0), எங்கே பதிலாக uவெளிப்பாடு மாற்றப்பட வேண்டும் u= u(எக்ஸ்).

எனவே, ஒரு சிக்கலான செயல்பாட்டின் வழித்தோன்றல் இடைநிலை வாதத்தைப் பொறுத்து கொடுக்கப்பட்ட செயல்பாட்டின் வழித்தோன்றலின் தயாரிப்புக்கு சமம். uபொறுத்து இடைநிலை வாதத்தின் வழித்தோன்றலுக்கு எக்ஸ்.

ஆதாரம். ஒரு நிலையான மதிப்புக்கு எக்ஸ் 0 எங்களிடம் இருக்கும் u 0 =u(எக்ஸ் 0), மணிக்கு 0 =f(u 0 ). புதிய வாத மதிப்புக்கு x 0+Δ எக்ஸ்:

Δ u= u(x 0 + Δ எக்ஸ்) – u(எக்ஸ் 0), Δ ஒய்=f(u 0+Δ u) – f(u 0).

ஏனெனில் u- ஒரு கட்டத்தில் வேறுபடுத்தக்கூடியது x 0, அந்த u- இந்த கட்டத்தில் தொடர்கிறது. எனவே, Δ இல் எக்ஸ்→0 Δ u→0. இதேபோல் Δ க்கும் u→0 Δ ஒய்→0.

நிபந்தனையின்படி . இந்த உறவிலிருந்து, வரம்பின் வரையறையைப் பயன்படுத்தி, நாம் (Δ இல் u→0)

அங்கு α→0 இல் Δ u→0, மற்றும், அதன் விளைவாக, Δ இல் எக்ஸ்→0.

இந்த சமத்துவத்தை இவ்வாறு மீண்டும் எழுதுவோம்:

Δ ஒய்=ஒய்"uΔ u+α·Δ u.

இதன் விளைவாக சமத்துவம் Δ க்கும் செல்லுபடியாகும் uதன்னிச்சையான αக்கு =0, அது 0=0 என்ற அடையாளமாக மாறுவதால். Δ இல் u=0 நாம் α=0 எனக் கருதுவோம். இதன் விளைவாக வரும் சமத்துவத்தின் அனைத்து விதிமுறைகளையும் Δ ஆல் வகுப்போம் எக்ஸ்

.

நிபந்தனையின்படி . எனவே, Δ இல் வரம்புக்கு செல்கிறது எக்ஸ்→0, நாங்கள் பெறுகிறோம் ஒய்"x = ஒய்"u·u" x. தேற்றம் நிரூபிக்கப்பட்டுள்ளது.

எனவே, வேறுபடுத்த சிக்கலான செயல்பாடு y = f(u(x)),நீங்கள் "வெளிப்புற" செயல்பாட்டின் வழித்தோன்றலை எடுக்க வேண்டும் f, அதன் வாதத்தை வெறுமனே ஒரு மாறியாகக் கருதி, சுயாதீன மாறியைப் பொறுத்து "உள்" செயல்பாட்டின் வழித்தோன்றலால் பெருக்கவும்.

செயல்பாடு என்றால் y=f(x)வடிவத்தில் குறிப்பிடலாம் y=f(u), u=u(v), v=v(x),பின்னர் y "x இன் வழித்தோன்றலைக் கண்டறிவது முந்தைய தேற்றத்தின் வரிசைமுறை பயன்பாட்டின் மூலம் மேற்கொள்ளப்படுகிறது.

நிரூபிக்கப்பட்ட விதியின்படி, எங்களிடம் உள்ளது ஒய்"x = ஒய்"உ u"x. அதே தேற்றத்தைப் பயன்படுத்துதல் u"x நாங்கள் பெறுகிறோம், அதாவது.

ஒய்"x = ஒய்" எக்ஸ் u"வி v"x = f"உ( u)· u"வி ( v)· v" எக்ஸ் ( எக்ஸ்).

எடுத்துக்காட்டுகள்.

ஒரு தலைகீழ் செயல்பாட்டின் கருத்து

ஒரு உதாரணத்துடன் ஆரம்பிக்கலாம். செயல்பாட்டைக் கவனியுங்கள் y= x 3. சமத்துவத்தை கருத்தில் கொள்வோம் ஒய்= x 3ஒரு சமன்பாடு உறவினராக எக்ஸ். இது ஒவ்வொரு மதிப்புக்கும் சமன்பாடு மணிக்குஒற்றை மதிப்பை வரையறுக்கிறது எக்ஸ்: . வடிவியல் ரீதியாக, இதன் பொருள் ஒவ்வொரு நேர்கோடும் அச்சுக்கு இணையாக இருக்கும் எருதுஒரு செயல்பாட்டின் வரைபடத்தை வெட்டுகிறது y= x 3ஒரு கட்டத்தில் மட்டுமே. எனவே நாம் கருத்தில் கொள்ளலாம் எக்ஸ்ஒரு செயல்பாடாக ஒய். ஒரு சார்பு ஒரு செயல்பாட்டின் தலைகீழ் என்று அழைக்கப்படுகிறது y= x 3.

பொதுவான வழக்கிற்குச் செல்வதற்கு முன், நாங்கள் வரையறைகளை அறிமுகப்படுத்துகிறோம்.

செயல்பாடு y = f(x)அழைக்கப்பட்டது அதிகரித்து வருகிறதுஒரு குறிப்பிட்ட பிரிவில், வாதத்தின் பெரிய மதிப்பு என்றால் எக்ஸ்இந்த பிரிவில் இருந்து ஒத்துள்ளது அதிக மதிப்புசெயல்பாடுகள், அதாவது. என்றால் எக்ஸ் 2 >எக்ஸ் 1, பின்னர் f(x 2 ) > f(x 1 ).

செயல்பாடு இதேபோல் அழைக்கப்படுகிறது குறைகிறது, வாதத்தின் ஒரு சிறிய மதிப்பு செயல்பாட்டின் பெரிய மதிப்புடன் ஒத்திருந்தால், அதாவது. என்றால் எக்ஸ் 2 < எக்ஸ் 1, பின்னர் f(x 2 ) > f(x 1 ).

எனவே, அதிகரிக்கும் அல்லது குறையும் செயல்பாட்டைக் கொடுக்கலாம் y=f(x), சில இடைவெளியில் வரையறுக்கப்பட்டது [ அ; பி]. திட்டவட்டமாக, அதிகரிக்கும் செயல்பாட்டைக் கருத்தில் கொள்வோம் (குறைவதற்கு எல்லாம் ஒரே மாதிரியாக இருக்கும்).

இரண்டு வெவ்வேறு மதிப்புகளைக் கவனியுங்கள் எக்ஸ் 1 மற்றும் எக்ஸ் 2. விடுங்கள் ஒய் 1 =f(x 1 ), ஒய் 2 =f(x 2 ). அதிகரிக்கும் செயல்பாட்டின் வரையறையிலிருந்து அது பின்வருமாறு எக்ஸ் 1 <எக்ஸ் 2, பின்னர் மணிக்கு 1 <மணிக்கு 2. எனவே, இரண்டு வெவ்வேறு மதிப்புகள் எக்ஸ் 1 மற்றும் எக்ஸ் 2 இரண்டு வெவ்வேறு செயல்பாட்டு மதிப்புகளுக்கு ஒத்திருக்கிறது மணிக்கு 1 மற்றும் மணிக்கு 2. எதிர் உண்மையும் உள்ளது, அதாவது. என்றால் மணிக்கு 1 <மணிக்கு 2, பின்னர் அதிகரிக்கும் செயல்பாட்டின் வரையறையிலிருந்து அது பின்வருமாறு எக்ஸ் 1 <எக்ஸ் 2. அந்த. மீண்டும் இரண்டு வெவ்வேறு மதிப்புகள் மணிக்கு 1 மற்றும் மணிக்கு 2 இரண்டு வெவ்வேறு மதிப்புகளுக்கு ஒத்திருக்கிறது எக்ஸ் 1 மற்றும் எக்ஸ் 2. இவ்வாறு, மதிப்புகளுக்கு இடையில் எக்ஸ்மற்றும் அவற்றின் தொடர்புடைய மதிப்புகள் ஒய்ஒருவருக்கு ஒரு கடிதம் நிறுவப்பட்டது, அதாவது. சமன்பாடு y=f(x)ஒவ்வொரு ஒய்(செயல்பாட்டின் வரம்பிலிருந்து எடுக்கப்பட்டது y=f(x))ஒற்றை மதிப்பை வரையறுக்கிறது எக்ஸ், என்று சொல்லலாம் எக்ஸ்சில வாத செயல்பாடு உள்ளது ஒய்: x= g(y).

இந்த செயல்பாடு அழைக்கப்படுகிறது தலைகீழ்செயல்பாட்டிற்கு y=f(x). வெளிப்படையாக, செயல்பாடு y=f(x)செயல்பாட்டின் தலைகீழ் ஆகும் x=g(y).

தலைகீழ் செயல்பாடு என்பதை நினைவில் கொள்க x=g(y)சமன்பாட்டை தீர்ப்பதன் மூலம் கண்டறியப்பட்டது y=f(x)ஒப்பீட்டளவில் எக்ஸ்.

உதாரணமாக.செயல்பாடு கொடுக்கப்படட்டும் ஒய்= இ x. இந்த செயல்பாடு –∞ இல் அதிகரிக்கிறது< எக்ஸ் <+∞. Она имеет обратную функцию எக்ஸ்= பதிவு ஒய். தலைகீழ் செயல்பாட்டின் டொமைன் 0< ஒய் < + ∞.

ஒரு சில கருத்துக்களைச் சொல்லலாம்.

குறிப்பு 1.அதிகரிக்கும் (அல்லது குறையும்) செயல்பாடு என்றால் y=f(x)இடைவெளியில் தொடர்ந்து உள்ளது [ அ; பி], மற்றும் f(a)=c, f(b)=d, பின்னர் தலைகீழ் செயல்பாடு வரையறுக்கப்பட்டு இடைவெளியில் தொடர்கிறது [ c; ஈ].

குறிப்பு 2.செயல்பாடு என்றால் y=f(x)ஒரு குறிப்பிட்ட இடைவெளியில் அதிகரிக்கவோ குறைக்கவோ இல்லை, பின்னர் அது பல தலைகீழ் செயல்பாடுகளைக் கொண்டிருக்கலாம்.

உதாரணமாக.செயல்பாடு y=x2-∞ இல் வரையறுக்கப்பட்டுள்ளது<எக்ஸ்<+∞. Она не является ни возрастающей, ни убывающей и не имеет обратной функции. Однако, если мы рассмотриминтервал 0≤எக்ஸ்<+∞, то здесь функция является возрастающей и обратной для нее будет . На интервале – ∞ <எக்ஸ்≤ 0 செயல்பாடு - குறைகிறது மற்றும் அதன் தலைகீழ்.

குறிப்பு 3.செயல்பாடுகள் என்றால் y=f(x)மற்றும் x=g(y)பரஸ்பரம் தலைகீழாக இருக்கும், பின்னர் அவை மாறிகளுக்கு இடையிலான அதே உறவை வெளிப்படுத்துகின்றன எக்ஸ்மற்றும் ஒய். எனவே, இரண்டின் வரைபடம் ஒரே வளைவாகும். ஆனால் நாம் தலைகீழ் செயல்பாட்டின் வாதத்தை மீண்டும் மூலம் குறிக்கிறோம் எக்ஸ், மற்றும் செயல்பாடு மூலம் ஒய்மற்றும் ஒரே ஒருங்கிணைப்பு அமைப்பில் அவற்றைத் திட்டமிடுங்கள், இரண்டு வெவ்வேறு வரைபடங்களைப் பெறுவோம். 1வது ஆயக் கோணத்தின் இருபிரிவைப் பொறுத்து வரைபடங்கள் சமச்சீராக இருக்கும் என்பதைக் கவனிப்பது எளிது.

டெரிவேட்டிவ் தலைகீழ் செயல்பாடு பற்றிய தேற்றம்

செயல்பாட்டின் வழித்தோன்றலைக் கண்டறிய அனுமதிக்கும் ஒரு தேற்றத்தை நிரூபிப்போம் y=f(x), தலைகீழ் செயல்பாட்டின் வழித்தோன்றலை அறிவது.

தேற்றம்.செயல்பாட்டிற்கு என்றால் y=f(x)ஒரு தலைகீழ் செயல்பாடு உள்ளது x=g(y), இது ஒரு கட்டத்தில் மணிக்கு 0க்கு ஒரு வழித்தோன்றல் உள்ளது g "(v 0), பூஜ்ஜியமற்றது, பின்னர் தொடர்புடைய புள்ளியில் x 0=g(x 0) செயல்பாடு y=f(x)ஒரு வழித்தோன்றல் உள்ளது f "(x 0), சமம், அதாவது. சூத்திரம் சரியானது.

ஆதாரம். ஏனெனில் x=g(y)புள்ளியில் வேறுபடுத்தக்கூடியது y 0, அந்த x=g(y)இந்த கட்டத்தில் தொடர்கிறது, எனவே செயல்பாடு y=f(x)ஒரு புள்ளியில் தொடர்ந்து x 0=g(y 0) எனவே, Δ இல் எக்ஸ்→0 Δ ஒய்→0.

அதைக் காட்டுவோம் .

விடுங்கள் . பின்னர், வரம்பு சொத்து மூலம் . Δ இல் உள்ள வரம்பிற்கு இந்த சமத்துவத்தில் கடந்து செல்வோம் ஒய்→0. பின்னர் Δ எக்ஸ்→0 மற்றும் α(Δx)→0, அதாவது. .

எனவே,

,

கே.இ.டி.

இந்த சூத்திரத்தை வடிவத்தில் எழுதலாம்.

எடுத்துக்காட்டுகளைப் பயன்படுத்தி இந்தத் தேற்றத்தின் பயன்பாட்டைப் பார்ப்போம்.