I. வியட்டாவின் தேற்றம்குறைக்கப்பட்ட இருபடி சமன்பாட்டிற்கு.

குறைக்கப்பட்ட இருபடிச் சமன்பாட்டின் வேர்களின் கூட்டுத்தொகை x 2 +px+q=0எதிரெதிர் அடையாளத்துடன் எடுக்கப்பட்ட இரண்டாவது குணகத்திற்கு சமம், மற்றும் வேர்களின் தயாரிப்பு இலவச காலத்திற்கு சமம்:

x 1 + x 2 = -p; x 1 ∙x 2 =q.

வியட்டாவின் தேற்றத்தைப் பயன்படுத்தி கொடுக்கப்பட்ட இருபடிச் சமன்பாட்டின் வேர்களைக் கண்டறியவும்.

எடுத்துக்காட்டு 1) x 2 -x-30=0.இது குறைக்கப்பட்ட இருபடி சமன்பாடு ஆகும் ( x 2 +px+q=0), இரண்டாவது குணகம் ப=-1, மற்றும் இலவச உறுப்பினர் q=-30.முதலில், இந்த சமன்பாட்டிற்கு வேர்கள் இருப்பதையும், வேர்கள் (ஏதேனும் இருந்தால்) முழு எண்களில் வெளிப்படுத்தப்படுவதையும் உறுதி செய்வோம். இதைச் செய்ய, பாகுபாடு ஒரு முழு எண்ணின் சரியான சதுரமாக இருந்தால் போதும்.

பாகுபாடு காண்பவரைக் கண்டறிதல் டி=b 2 — 4ac=(-1) 2 -4∙1∙(-30)=1+120=121= 11 2 .

இப்போது, ​​வியட்டாவின் தேற்றத்தின்படி, வேர்களின் கூட்டுத்தொகை எதிர் அடையாளத்துடன் எடுக்கப்பட்ட இரண்டாவது குணகத்திற்கு சமமாக இருக்க வேண்டும், அதாவது. ( -ப), மற்றும் தயாரிப்பு இலவச காலத்திற்கு சமம், அதாவது. ( கே) பிறகு:

x 1 +x 2 =1; x 1 ∙x 2 =-30.அவற்றின் தயாரிப்பு சமமாக இருக்கும் இரண்டு எண்களைத் தேர்ந்தெடுக்க வேண்டும் -30 , மற்றும் தொகை அலகு. இவை எண்கள் -5 மற்றும் 6 . பதில்: -5; 6.

எடுத்துக்காட்டு 2) x 2 +6x+8=0.எங்களிடம் இரண்டாவது குணகத்துடன் குறைக்கப்பட்ட இருபடி சமன்பாடு உள்ளது ப=6மற்றும் இலவச உறுப்பினர் q=8. முழு எண் வேர்கள் இருப்பதை உறுதி செய்வோம். பாகுபாடு காண்பதைக் கண்டுபிடிப்போம் டி 1 டி 1=3 2 -1∙8=9-8=1=1 2 . பாகுபாடு D 1 என்பது எண்ணின் சரியான சதுரம் 1 , அதாவது இந்த சமன்பாட்டின் வேர்கள் முழு எண்கள். வியட்டாவின் தேற்றத்தைப் பயன்படுத்தி வேர்களைத் தேர்ந்தெடுப்போம்: வேர்களின் கூட்டுத்தொகை சமம் –р=-6, மற்றும் வேர்களின் தயாரிப்பு சமம் q=8. இவை எண்கள் -4 மற்றும் -2 .

உண்மையில்: -4-2=-6=-р; -4∙(-2)=8=கே. பதில்: -4; -2.

எடுத்துக்காட்டு 3) x 2 +2x-4=0. இந்த குறைக்கப்பட்ட இருபடி சமன்பாட்டில், இரண்டாவது குணகம் ப=2, மற்றும் இலவச உறுப்பினர் q=-4. பாகுபாடு காண்பதைக் கண்டுபிடிப்போம் டி 1, இரண்டாவது குணகம் இரட்டை எண் என்பதால். டி 1=1 2 -1∙(-4)=1+4=5. பாகுபாடு என்பது எண்ணின் சரியான வர்க்கம் அல்ல, எனவே நாங்கள் செய்கிறோம் முடிவுரை: இந்த சமன்பாட்டின் வேர்கள் முழு எண்கள் அல்ல மற்றும் வியட்டாவின் தேற்றத்தைப் பயன்படுத்தி கண்டுபிடிக்க முடியாது.இதன் பொருள், இந்த சமன்பாட்டை வழக்கம் போல், சூத்திரங்களைப் பயன்படுத்தி (இந்த விஷயத்தில், சூத்திரங்களைப் பயன்படுத்தி) தீர்க்கிறோம். நாங்கள் பெறுகிறோம்:

எடுத்துக்காட்டு 4).இருபடி சமன்பாட்டை அதன் வேர்களைப் பயன்படுத்தி எழுதவும் x 1 =-7, x 2 =4.

தீர்வு.தேவையான சமன்பாடு படிவத்தில் எழுதப்படும்: x 2 +px+q=0, மற்றும், வியட்டாவின் தேற்றத்தின் அடிப்படையில் –p=x 1 +x 2=-7+4=-3 → ப=3; q=x 1 ∙x 2=-7∙4=-28 . பின்னர் சமன்பாடு வடிவம் எடுக்கும்: x 2 +3x-28=0.

எடுத்துக்காட்டு 5).ஒரு இருபடி சமன்பாட்டை அதன் வேர்களைப் பயன்படுத்தி எழுதவும்:

II. வியட்டாவின் தேற்றம்ஒரு முழுமையான இருபடி சமன்பாட்டிற்கு கோடாரி 2 +bx+c=0.

வேர்களின் கூட்டுத்தொகை கழித்தல் பி, வகுக்க ஏ, வேர்களின் தயாரிப்பு சமம் உடன், வகுக்க A:

x 1 + x 2 = -b/a; x 1 ∙x 2 =c/a.

கணிதத்தில், பல இருபடிச் சமன்பாடுகளை மிக விரைவாகவும் எந்த பாகுபாடும் இல்லாமல் தீர்க்கக்கூடிய சிறப்பு நுட்பங்கள் உள்ளன. மேலும், சரியான பயிற்சியுடன், பலர் இருபடி சமன்பாடுகளை வாய்வழியாக தீர்க்கத் தொடங்குகிறார்கள், அதாவது "முதல் பார்வையில்."

துரதிர்ஷ்டவசமாக, பள்ளி கணிதத்தின் நவீன பாடத்திட்டத்தில், அத்தகைய தொழில்நுட்பங்கள் கிட்டத்தட்ட படிக்கப்படவில்லை. ஆனால் நீங்கள் தெரிந்து கொள்ள வேண்டும்! இன்று நாம் இந்த நுட்பங்களில் ஒன்றைப் பார்ப்போம் - வியட்டாவின் தேற்றம். முதலில், ஒரு புதிய வரையறையை அறிமுகப்படுத்துவோம்.

x 2 + bx + c = 0 வடிவத்தின் இருபடிச் சமன்பாடு குறைக்கப்பட்டதாக அழைக்கப்படுகிறது. x 2 க்கான குணகம் 1 என்பதை நினைவில் கொள்ளவும். குணகங்களில் வேறு எந்த கட்டுப்பாடுகளும் இல்லை.

1. x 2 + 7x + 12 = 0 என்பது குறைக்கப்பட்ட இருபடி சமன்பாடு;
2. x 2 - 5x + 6 = 0 - மேலும் குறைக்கப்பட்டது;
3. 2x 2 - 6x + 8 = 0 - ஆனால் x 2 இன் குணகம் 2 க்கு சமமாக இருப்பதால் இது வழங்கப்படவில்லை.

நிச்சயமாக, கோடாரி 2 + bx + c = 0 வடிவத்தின் எந்த இருபடிச் சமன்பாடும் குறைக்கப்படலாம் - அனைத்து குணகங்களையும் a என்ற எண்ணால் வகுத்தால் போதும். ஒரு இருபடிச் சமன்பாட்டின் வரையறையானது ≠ 0 என்பதைக் குறிக்கிறது என்பதால், நாம் எப்போதும் இதைச் செய்யலாம்.

உண்மை, இந்த மாற்றங்கள் வேர்களைக் கண்டறிய எப்போதும் பயனுள்ளதாக இருக்காது. சதுரத்தால் கொடுக்கப்பட்ட இறுதி சமன்பாட்டில் அனைத்து குணகங்களும் முழு எண்ணாக இருக்கும்போது மட்டுமே இதைச் செய்ய வேண்டும் என்பதை கீழே உறுதி செய்வோம். இப்போதைக்கு, எளிமையான உதாரணங்களைப் பார்ப்போம்:

பணி. இருபடி சமன்பாட்டை குறைக்கப்பட்ட சமன்பாட்டிற்கு மாற்றவும்:

1. 3x 2 - 12x + 18 = 0;
2. −4x 2 + 32x + 16 = 0;
3. 1.5x 2 + 7.5x + 3 = 0;
4. 2x 2 + 7x - 11 = 0.

ஒவ்வொரு சமன்பாட்டையும் x 2 என்ற மாறியின் குணகத்தால் வகுக்கலாம். நாங்கள் பெறுகிறோம்:

1. 3x 2 - 12x + 18 = 0 ⇒ x 2 - 4x + 6 = 0 - அனைத்தையும் 3 ஆல் வகுக்கவும்;
2. −4x 2 + 32x + 16 = 0 ⇒ x 2 - 8x - 4 = 0 - −4 ஆல் வகுக்கப்பட்டது;
3. 1.5x 2 + 7.5x + 3 = 0 ⇒ x 2 + 5x + 2 = 0 - 1.5 ஆல் வகுத்தால், அனைத்து குணகங்களும் முழு எண்களாக மாறியது;
4. 2x 2 + 7x - 11 = 0 ⇒ x 2 + 3.5x - 5.5 = 0 - 2 ஆல் வகுக்கப்படுகிறது. இந்த வழக்கில், பகுதியளவு குணகங்கள் தோன்றின.

நீங்கள் பார்க்கிறபடி, அசல் சமன்பாட்டில் பின்னங்கள் இருந்தாலும் மேலே உள்ள இருபடி சமன்பாடுகள் முழு எண் குணகங்களைக் கொண்டிருக்கலாம்.

இப்போது முக்கிய தேற்றத்தை உருவாக்குவோம், உண்மையில், குறைக்கப்பட்ட இருபடி சமன்பாட்டின் கருத்து அறிமுகப்படுத்தப்பட்டது:

வியட்டாவின் தேற்றம். x 2 + bx + c = 0 வடிவத்தின் குறைக்கப்பட்ட இருபடிச் சமன்பாட்டைக் கவனியுங்கள். இந்த வழக்கில், பின்வரும் அறிக்கைகள் உண்மை:

1. x 1 + x 2 = −b. வேறு வார்த்தைகளில் கூறுவதானால், கொடுக்கப்பட்ட இருபடிச் சமன்பாட்டின் வேர்களின் கூட்டுத்தொகை x மாறியின் குணகத்திற்குச் சமம், எதிர் அடையாளத்துடன் எடுக்கப்பட்டது;
2. x 1 x 2 = c. இருபடிச் சமன்பாட்டின் வேர்களின் பலன் இலவச குணகத்திற்குச் சமம்.

எடுத்துக்காட்டுகள். எளிமைக்காக, கூடுதல் மாற்றங்கள் தேவையில்லாத மேற்கூறிய இருபடி சமன்பாடுகளை மட்டுமே நாங்கள் கருத்தில் கொள்வோம்:

1. x 2 - 9x + 20 = 0 ⇒ x 1 + x 2 = - (-9) = 9; x 1 x 2 = 20; வேர்கள்: x 1 = 4; x 2 = 5;
2. x 2 + 2x - 15 = 0 ⇒ x 1 + x 2 = -2; x 1 x 2 = -15; வேர்கள்: x 1 = 3; x 2 = −5;
3. x 2 + 5x + 4 = 0 ⇒ x 1 + x 2 = −5; x 1 x 2 = 4; வேர்கள்: x 1 = -1; x 2 = -4.

வியட்டாவின் தேற்றம் இருபடிச் சமன்பாட்டின் வேர்களைப் பற்றிய கூடுதல் தகவல்களை நமக்கு வழங்குகிறது. முதல் பார்வையில், இது கடினமாகத் தோன்றலாம், ஆனால் குறைந்தபட்ச பயிற்சியுடன் கூட நீங்கள் வேர்களை "பார்க்க" கற்றுக்கொள்வீர்கள், மேலும் சில நொடிகளில் அவற்றை யூகிக்க முடியும்.

பணி. இருபடிச் சமன்பாட்டைத் தீர்க்கவும்:

1. x 2 - 9x + 14 = 0;
2. x 2 - 12x + 27 = 0;
3. 3x 2 + 33x + 30 = 0;
4. −7x 2 + 77x - 210 = 0.

வியட்டாவின் தேற்றத்தைப் பயன்படுத்தி குணகங்களை எழுத முயற்சிப்போம் மற்றும் வேர்களை "யூகிக்க":

1. x 2 - 9x + 14 = 0 என்பது குறைக்கப்பட்ட இருபடிச் சமன்பாடு.
   வியட்டாவின் தேற்றத்தின்படி நம்மிடம் உள்ளது: x 1 + x 2 = -(-9) = 9; x 1 · x 2 = 14. வேர்கள் எண்கள் 2 மற்றும் 7 என்பதைக் காண்பது எளிது;
2. x 2 - 12x + 27 = 0 - மேலும் குறைக்கப்பட்டது.
   வியட்டாவின் தேற்றத்தால்: x 1 + x 2 = -(-12) = 12; x 1 x 2 = 27. எனவே வேர்கள்: 3 மற்றும் 9;
3. 3x 2 + 33x + 30 = 0 - இந்த சமன்பாடு குறைக்கப்படவில்லை. ஆனால் சமன்பாட்டின் இரு பக்கங்களையும் a = 3 என்ற குணகத்தால் வகுப்பதன் மூலம் இதை சரிசெய்வோம். நாம் பெறுவது: x 2 + 11x + 10 = 0.
   வியட்டாவின் தேற்றத்தைப் பயன்படுத்தி தீர்க்கிறோம்: x 1 + x 2 = −11; x 1 x 2 = 10 ⇒ வேர்கள்: −10 மற்றும் −1;
4. −7x 2 + 77x - 210 = 0 - மீண்டும் x 2 க்கான குணகம் 1 க்கு சமமாக இல்லை, அதாவது. சமன்பாடு கொடுக்கப்படவில்லை. எல்லாவற்றையும் a = −7 என்ற எண்ணால் வகுக்கிறோம். நாம் பெறுகிறோம்: x 2 - 11x + 30 = 0.
   வியட்டாவின் தேற்றத்தால்: x 1 + x 2 = -(-11) = 11; x 1 x 2 = 30; இந்த சமன்பாடுகளிலிருந்து வேர்களை யூகிப்பது எளிது: 5 மற்றும் 6.

மேற்கூறிய காரணத்திலிருந்து வியட்டாவின் தேற்றம் இருபடிச் சமன்பாடுகளின் தீர்வை எவ்வாறு எளிதாக்குகிறது என்பது தெளிவாகிறது. சிக்கலான கணக்கீடுகள் இல்லை, எண்கணித வேர்கள் மற்றும் பின்னங்கள் இல்லை. எங்களுக்கு ஒரு பாகுபாடு கூட தேவையில்லை ("இருபடி சமன்பாடுகளைத் தீர்ப்பது" என்ற பாடத்தைப் பார்க்கவும்).

நிச்சயமாக, எங்கள் பிரதிபலிப்புகள் அனைத்திலும் நாங்கள் இரண்டு முக்கியமான அனுமானங்களிலிருந்து முன்னேறினோம், பொதுவாகப் பேசுவது, உண்மையான பிரச்சனைகளில் எப்போதும் சந்திக்கப்படுவதில்லை:

1. இருபடி சமன்பாடு குறைக்கப்பட்டது, அதாவது. x 2க்கான குணகம் 1;
2. சமன்பாடு இரண்டு வெவ்வேறு வேர்களைக் கொண்டுள்ளது. ஒரு இயற்கணிதக் கண்ணோட்டத்தில், இந்த விஷயத்தில் பாகுபாடு D > 0 - உண்மையில், இந்த சமத்துவமின்மை உண்மை என்று நாம் ஆரம்பத்தில் கருதுகிறோம்.

இருப்பினும், வழக்கமான கணித சிக்கல்களில் இந்த நிபந்தனைகள் பூர்த்தி செய்யப்படுகின்றன. கணக்கீடு ஒரு “மோசமான” இருபடி சமன்பாட்டில் விளைந்தால் (x 2 இன் குணகம் 1 இலிருந்து வேறுபட்டது), இதை எளிதாக சரிசெய்யலாம் - பாடத்தின் தொடக்கத்தில் உள்ள எடுத்துக்காட்டுகளைப் பாருங்கள். நான் பொதுவாக வேர்களைப் பற்றி மௌனமாக இருக்கிறேன்: இது என்ன மாதிரியான பிரச்சனைக்கு பதில் இல்லை? நிச்சயமாக வேர்கள் இருக்கும்.

எனவே, வியட்டாவின் தேற்றத்தைப் பயன்படுத்தி இருபடி சமன்பாடுகளைத் தீர்ப்பதற்கான பொதுவான திட்டம் பின்வருமாறு:

1. சிக்கல் அறிக்கையில் இது ஏற்கனவே செய்யப்படவில்லை எனில், கொடுக்கப்பட்ட ஒன்றிற்கு இருபடி சமன்பாட்டைக் குறைக்கவும்;
2. மேலே உள்ள இருபடிச் சமன்பாட்டில் உள்ள குணகங்கள் பின்னமாக இருந்தால், பாகுபாட்டைப் பயன்படுத்தி தீர்க்கிறோம். நீங்கள் இன்னும் "கையளவு" எண்களுடன் வேலை செய்ய அசல் சமன்பாட்டிற்குச் செல்லலாம்;
3. முழு எண் குணகங்களின் விஷயத்தில், வியட்டாவின் தேற்றத்தைப் பயன்படுத்தி சமன்பாட்டைத் தீர்க்கிறோம்;
4. சில நொடிகளில் வேர்களை யூகிக்க முடியாவிட்டால், வியட்டாவின் தேற்றத்தை மறந்துவிட்டு, பாகுபாட்டைப் பயன்படுத்தி தீர்க்கவும்.

பணி. சமன்பாட்டைத் தீர்க்கவும்: 5x 2 - 35x + 50 = 0.

எனவே, குறைக்கப்படாத ஒரு சமன்பாடு நம் முன் உள்ளது, ஏனெனில் குணகம் a = 5. எல்லாவற்றையும் 5 ஆல் வகுத்தால், நமக்குக் கிடைக்கும்: x 2 - 7x + 10 = 0.

இருபடி சமன்பாட்டின் அனைத்து குணகங்களும் முழு எண் - வியட்டாவின் தேற்றத்தைப் பயன்படுத்தி அதைத் தீர்க்க முயற்சிப்போம். எங்களிடம் உள்ளது: x 1 + x 2 = -(-7) = 7; x 1 · x 2 = 10. இந்த வழக்கில், வேர்கள் யூகிக்க எளிதானது - அவை 2 மற்றும் 5. பாகுபாடுகளைப் பயன்படுத்தி எண்ண வேண்டிய அவசியமில்லை.

பணி. சமன்பாட்டைத் தீர்க்கவும்: −5x 2 + 8x - 2.4 = 0.

பார்ப்போம்: −5x 2 + 8x - 2.4 = 0 - இந்த சமன்பாடு குறைக்கப்படவில்லை, இரு பக்கங்களையும் குணகம் a = -5 மூலம் வகுக்க வேண்டும். நாம் பெறுகிறோம்: x 2 - 1.6x + 0.48 = 0 - பின்ன குணகங்களுடன் ஒரு சமன்பாடு.

அசல் சமன்பாட்டிற்குத் திரும்பி, பாகுபாடு மூலம் எண்ணுவது நல்லது: −5x 2 + 8x - 2.4 = 0 ⇒ D = 8 2 - 4 · (−5) · (−2.4) = 16 ⇒ ... ⇒ x 1 = 1.2; x 2 = 0.4.

பணி. சமன்பாட்டைத் தீர்க்கவும்: 2x 2 + 10x - 600 = 0.

முதலில், a = 2 என்ற குணகத்தால் எல்லாவற்றையும் வகுக்க வேண்டும். x 2 + 5x - 300 = 0 சமன்பாட்டைப் பெறுகிறோம்.

இது குறைக்கப்பட்ட சமன்பாடு ஆகும், வியட்டாவின் தேற்றத்தின்படி நம்மிடம் உள்ளது: x 1 + x 2 = −5; x 1 x 2 = -300. இந்த விஷயத்தில் இருபடி சமன்பாட்டின் வேர்களை யூகிப்பது கடினம் - தனிப்பட்ட முறையில், இந்த சிக்கலை தீர்க்கும் போது நான் தீவிரமாக சிக்கிக்கொண்டேன்.

நீங்கள் பாகுபாடு மூலம் வேர்களைத் தேட வேண்டும்: D = 5 2 - 4 · 1 · (−300) = 1225 = 35 2 . பாகுபாடு காண்பவரின் வேர் உங்களுக்கு நினைவில் இல்லை என்றால், நான் 1225: 25 = 49 என்பதைக் கவனிக்கிறேன். எனவே, 1225 = 25 49 = 5 2 7 2 = 35 2.

இப்போது பாகுபாட்டின் வேர் அறியப்பட்டதால், சமன்பாட்டைத் தீர்ப்பது கடினம் அல்ல. நாம் பெறுகிறோம்: x 1 = 15; x 2 = −20.

முதல் நிலை

இருபடி சமன்பாடுகள். விரிவான வழிகாட்டி (2019)

"இருபடி சமன்பாடு" என்ற சொல்லில், முக்கிய சொல் "குவாட்ராடிக்" ஆகும். இதன் பொருள், சமன்பாடு அவசியமாக ஒரு மாறி (அதே x) சதுரத்தைக் கொண்டிருக்க வேண்டும், மேலும் மூன்றாவது (அல்லது அதற்கு மேற்பட்ட) சக்திக்கு xகள் இருக்கக்கூடாது.

பல சமன்பாடுகளின் தீர்வு இருபடி சமன்பாடுகளைத் தீர்ப்பதில் வருகிறது.

இது ஒரு இருபடி சமன்பாடு மற்றும் வேறு சில சமன்பாடு அல்ல என்பதை தீர்மானிக்க கற்றுக்கொள்வோம்.

எடுத்துக்காட்டு 1.

வகுப்பிலிருந்து விடுபட்டு, சமன்பாட்டின் ஒவ்வொரு காலத்தையும் பெருக்குவோம்

எல்லாவற்றையும் இடது பக்கம் நகர்த்தி, X இன் அதிகாரங்களின் இறங்கு வரிசையில் விதிமுறைகளை வரிசைப்படுத்துவோம்

இப்போது இந்த சமன்பாடு இருபடி என்று நாம் நம்பிக்கையுடன் சொல்லலாம்!

எடுத்துக்காட்டு 2.

இடது மற்றும் வலது பக்கங்களை இவ்வாறு பெருக்கவும்:

இந்த சமன்பாடு, முதலில் அதில் இருந்தாலும், இருபடி அல்ல!

எடுத்துக்காட்டு 3.

அனைத்தையும் பெருக்குவோம்:

பயங்கரமா? நான்காவது மற்றும் இரண்டாவது டிகிரி... எனினும், நாம் மாற்றீடு செய்தால், நாம் ஒரு எளிய இருபடி சமன்பாட்டைக் கொண்டிருப்பதைக் காண்போம்:

எடுத்துக்காட்டு 4.

அது இருப்பதாகத் தெரிகிறது, ஆனால் இன்னும் விரிவாகப் பார்ப்போம். எல்லாவற்றையும் இடது பக்கம் நகர்த்துவோம்:

பார், அது குறைக்கப்பட்டது - இப்போது அது ஒரு எளிய நேரியல் சமன்பாடு!

பின்வரும் சமன்பாடுகளில் எவை இருபடி மற்றும் எவை இல்லை என்பதை இப்போது நீங்களே தீர்மானிக்க முயற்சிக்கவும்:

எடுத்துக்காட்டுகள்:

பதில்கள்:

1. சதுரம்;
2. சதுரம்;
3. சதுரம் அல்ல;
4. சதுரம் அல்ல;
5. சதுரம் அல்ல;
6. சதுரம்;
7. சதுரம் அல்ல;
8. சதுரம்.

கணிதவியலாளர்கள் வழக்கமாக அனைத்து இருபடி சமன்பாடுகளையும் பின்வரும் வகைகளாகப் பிரிக்கிறார்கள்:

• முழு இருபடி சமன்பாடுகள்- சமன்பாடுகள், இதில் குணகங்கள் மற்றும் இலவச சொல் c ஆகியவை பூஜ்ஜியத்திற்கு சமமாக இல்லை (உதாரணமாக). கூடுதலாக, முழுமையான இருபடி சமன்பாடுகளில் உள்ளன கொடுக்கப்பட்டது- இவை சமன்பாடுகள் இதில் குணகம் (எடுத்துக்காட்டு ஒன்றின் சமன்பாடு முழுமையானது மட்டுமல்ல, குறைக்கப்பட்டது!)

• முழுமையற்ற இருபடி சமன்பாடுகள்- குணகம் மற்றும் அல்லது இலவச கால c பூஜ்ஜியத்திற்கு சமமாக இருக்கும் சமன்பாடுகள்:

  சில உறுப்புகள் இல்லாததால் அவை முழுமையடையாது. ஆனால் சமன்பாடு எப்போதும் x சதுரத்தைக் கொண்டிருக்க வேண்டும்!!! இல்லையெனில், அது இனி ஒரு இருபடிச் சமன்பாடாக இருக்காது, ஆனால் வேறு சில சமன்பாடுகளாக இருக்கும்.

ஏன் இப்படி ஒரு பிரிவினை கொண்டு வந்தார்கள்? ஒரு X ஸ்கொயர் உள்ளது என்று தோன்றுகிறது, சரி. இந்த பிரிவு தீர்வு முறைகளால் தீர்மானிக்கப்படுகிறது. அவை ஒவ்வொன்றையும் இன்னும் விரிவாகப் பார்ப்போம்.

முழுமையற்ற இருபடி சமன்பாடுகளைத் தீர்ப்பது

முதலில், முழுமையற்ற இருபடி சமன்பாடுகளைத் தீர்ப்பதில் கவனம் செலுத்துவோம் - அவை மிகவும் எளிமையானவை!

முழுமையற்ற இருபடி சமன்பாடுகளின் வகைகள் உள்ளன:

1. , இந்த சமன்பாட்டில் குணகம் சமம்.
2. , இந்த சமன்பாட்டில் இலவச சொல் சமம்.
3. , இந்த சமன்பாட்டில் குணகம் மற்றும் இலவச சொல் சமம்.

1. i. வர்க்க மூலத்தை எப்படி எடுப்பது என்பது நமக்குத் தெரிந்ததால், இந்தச் சமன்பாட்டிலிருந்து வெளிப்படுத்துவோம்

வெளிப்பாடு எதிர்மறையாகவோ அல்லது நேர்மறையாகவோ இருக்கலாம். ஒரு வர்க்க எண் எதிர்மறையாக இருக்க முடியாது, ஏனெனில் இரண்டு எதிர்மறை அல்லது இரண்டு நேர்மறை எண்களை பெருக்கும்போது, ​​முடிவு எப்போதும் நேர்மறை எண்ணாக இருக்கும், எனவே: என்றால், சமன்பாட்டிற்கு தீர்வுகள் இல்லை.

மற்றும் என்றால், நாம் இரண்டு வேர்கள் கிடைக்கும். இந்த சூத்திரங்களை மனப்பாடம் செய்ய வேண்டிய அவசியமில்லை. முக்கிய விஷயம் என்னவென்றால், அது குறைவாக இருக்க முடியாது என்பதை நீங்கள் அறிந்திருக்க வேண்டும் மற்றும் எப்போதும் நினைவில் கொள்ள வேண்டும்.

சில உதாரணங்களைத் தீர்க்க முயற்சிப்போம்.

எடுத்துக்காட்டு 5:

சமன்பாட்டை தீர்க்கவும்

இப்போது எஞ்சியிருப்பது இடது மற்றும் வலது பக்கங்களிலிருந்து வேரைப் பிரித்தெடுப்பதுதான். எல்லாவற்றிற்கும் மேலாக, வேர்களை எவ்வாறு பிரித்தெடுப்பது என்பது உங்களுக்கு நினைவிருக்கிறதா?

பதில்:

எதிர்மறை அடையாளம் கொண்ட வேர்களைப் பற்றி ஒருபோதும் மறந்துவிடாதீர்கள் !!!

எடுத்துக்காட்டு 6:

சமன்பாட்டை தீர்க்கவும்

பதில்:

எடுத்துக்காட்டு 7:

சமன்பாட்டை தீர்க்கவும்

ஓ! ஒரு எண்ணின் வர்க்கம் எதிர்மறையாக இருக்க முடியாது, அதாவது சமன்பாடு

வேர்கள் இல்லை!

வேர்கள் இல்லாத அத்தகைய சமன்பாடுகளுக்கு, கணிதவியலாளர்கள் ஒரு சிறப்பு ஐகானைக் கொண்டு வந்தனர் - (வெற்று தொகுப்பு). மேலும் பதிலை இப்படி எழுதலாம்:

பதில்:

எனவே, இந்த இருபடி சமன்பாடு இரண்டு வேர்களைக் கொண்டுள்ளது. நாங்கள் வேரைப் பிரித்தெடுக்காததால் இங்கு எந்த கட்டுப்பாடுகளும் இல்லை.
எடுத்துக்காட்டு 8:

சமன்பாட்டை தீர்க்கவும்

அடைப்புக்குறிக்குள் இருந்து பொதுவான காரணியை எடுத்துக் கொள்வோம்:

இதனால்,

இந்த சமன்பாடு இரண்டு வேர்களைக் கொண்டுள்ளது.

பதில்:

முழுமையற்ற இருபடி சமன்பாடுகளின் எளிமையான வகை (அவை அனைத்தும் எளிமையானவை, இல்லையா?). வெளிப்படையாக, இந்த சமன்பாடு எப்போதும் ஒரே ஒரு மூலத்தைக் கொண்டுள்ளது:

இங்கே உதாரணங்களை விட்டுவிடுவோம்.

முழுமையான இருபடி சமன்பாடுகளைத் தீர்ப்பது

ஒரு முழுமையான இருபடி சமன்பாடு என்பது படிவ சமன்பாட்டின் சமன்பாடு என்பதை நாங்கள் உங்களுக்கு நினைவூட்டுகிறோம்

முழுமையான இருபடிச் சமன்பாடுகளைத் தீர்ப்பது இவற்றை விட சற்று கடினமானது (கொஞ்சம் தான்).

நினைவில் கொள்ளுங்கள், எந்த இருபடி சமன்பாடும் ஒரு பாகுபாட்டைப் பயன்படுத்தி தீர்க்கப்படும்! முழுமையற்றதும் கூட.

மற்ற முறைகள் அதை விரைவாகச் செய்ய உதவும், ஆனால் உங்களுக்கு சிக்கல்கள் இருந்தால் இருபடி சமன்பாடுகள், முதலில், ஒரு பாகுபாட்டைப் பயன்படுத்தி தீர்வை மாஸ்டர்.

1. இருபடி சமன்பாடுகளை ஒரு பாகுபாட்டைப் பயன்படுத்தி தீர்ப்பது.

இந்த முறையைப் பயன்படுத்தி இருபடி சமன்பாடுகளைத் தீர்ப்பது மிகவும் எளிதானது; முக்கிய விஷயம் என்னவென்றால், செயல்களின் வரிசை மற்றும் இரண்டு சூத்திரங்களை நினைவில் கொள்வது.

என்றால், சமன்பாட்டிற்கு ஒரு வேர் உள்ளது. சிறப்பு கவனம்ஒரு படி எடு. பாகுபாடு () சமன்பாட்டின் வேர்களின் எண்ணிக்கையைக் கூறுகிறது.

• என்றால், படியில் உள்ள சூத்திரம் குறைக்கப்படும். எனவே, சமன்பாடு ஒரு ரூட் மட்டுமே கொண்டிருக்கும்.
• அப்படியானால், படியில் உள்ள பாகுபாட்டின் வேரைப் பிரித்தெடுக்க முடியாது. சமன்பாட்டிற்கு வேர்கள் இல்லை என்பதை இது குறிக்கிறது.

நமது சமன்பாடுகளுக்குச் சென்று சில உதாரணங்களைப் பார்ப்போம்.

எடுத்துக்காட்டு 9:

சமன்பாட்டை தீர்க்கவும்

படி 1நாம் தவிர்க்கிறோம்.

படி 2.

நாங்கள் பாகுபாட்டைக் காண்கிறோம்:

இதன் பொருள் சமன்பாடு இரண்டு வேர்களைக் கொண்டுள்ளது.

படி 3.

பதில்:

எடுத்துக்காட்டு 10:

சமன்பாட்டை தீர்க்கவும்

சமன்பாடு நிலையான வடிவத்தில் வழங்கப்படுகிறது, எனவே படி 1நாம் தவிர்க்கிறோம்.

படி 2.

நாங்கள் பாகுபாட்டைக் காண்கிறோம்:

இதன் பொருள் சமன்பாட்டிற்கு ஒரு வேர் உள்ளது.

பதில்:

எடுத்துக்காட்டு 11:

சமன்பாட்டை தீர்க்கவும்

சமன்பாடு நிலையான வடிவத்தில் வழங்கப்படுகிறது, எனவே படி 1நாம் தவிர்க்கிறோம்.

படி 2.

நாங்கள் பாகுபாட்டைக் காண்கிறோம்:

இதன் பொருள், பாகுபாடு காட்டுபவர்களின் வேரை நம்மால் பிரித்தெடுக்க முடியாது. சமன்பாட்டின் வேர்கள் இல்லை.

அத்தகைய பதில்களை எவ்வாறு சரியாக எழுதுவது என்பது இப்போது நமக்குத் தெரியும்.

பதில்:வேர்கள் இல்லை

2. வியட்டாவின் தேற்றத்தைப் பயன்படுத்தி இருபடிச் சமன்பாடுகளைத் தீர்ப்பது.

நீங்கள் நினைவில் வைத்திருந்தால், குறைக்கப்பட்டது என்று அழைக்கப்படும் ஒரு வகை சமன்பாடு உள்ளது (குணம் a சமமாக இருக்கும் போது):

இத்தகைய சமன்பாடுகள் வியட்டாவின் தேற்றத்தைப் பயன்படுத்தி தீர்க்க மிகவும் எளிதானது:

வேர்களின் கூட்டுத்தொகை கொடுக்கப்பட்டதுஇருபடி சமன்பாடு சமம், மற்றும் வேர்களின் பலன் சமம்.

எடுத்துக்காட்டு 12:

சமன்பாட்டை தீர்க்கவும்

இந்த சமன்பாட்டை வியட்டாவின் தேற்றத்தைப் பயன்படுத்தி தீர்க்க முடியும் .

சமன்பாட்டின் வேர்களின் கூட்டுத்தொகை சமம், அதாவது. நாம் முதல் சமன்பாட்டைப் பெறுகிறோம்:

மற்றும் தயாரிப்பு சமம்:

அமைப்பை உருவாக்கி தீர்ப்போம்:

• மற்றும். தொகை சமம்;
• மற்றும். தொகை சமம்;
• மற்றும். தொகை சமம்.

மற்றும் அமைப்புக்கான தீர்வு:

பதில்: ; .

எடுத்துக்காட்டு 13:

சமன்பாட்டை தீர்க்கவும்

பதில்:

எடுத்துக்காட்டு 14:

சமன்பாட்டை தீர்க்கவும்

சமன்பாடு கொடுக்கப்பட்டுள்ளது, அதாவது:

பதில்:

இருபடி சமன்பாடுகள். சராசரி நிலை

இருபடிச் சமன்பாடு என்றால் என்ன?

வேறு வார்த்தைகளில் கூறுவதானால், ஒரு இருபடி சமன்பாடு என்பது வடிவத்தின் சமன்பாடு ஆகும், அங்கு - தெரியாதது, - சில எண்கள் மற்றும்.

எண் மிக உயர்ந்த அல்லது அழைக்கப்படுகிறது முதல் குணகம்இருபடி சமன்பாடு, - இரண்டாவது குணகம், ஏ - இலவச உறுப்பினர்.

ஏன்? ஏனெனில் சமன்பாடு உடனடியாக நேர்கோட்டாக மாறினால், ஏனெனில் மறைந்துவிடும்.

இந்த வழக்கில், மற்றும் பூஜ்ஜியத்திற்கு சமமாக இருக்கலாம். இந்த நாற்காலி சமன்பாடு முழுமையற்றது என்று அழைக்கப்படுகிறது. அனைத்து விதிமுறைகளும் இடத்தில் இருந்தால், அதாவது, சமன்பாடு முடிந்தது.

பல்வேறு வகையான இருபடி சமன்பாடுகளுக்கான தீர்வுகள்

முழுமையற்ற இருபடி சமன்பாடுகளைத் தீர்ப்பதற்கான முறைகள்:

முதலில், முழுமையற்ற இருபடி சமன்பாடுகளைத் தீர்ப்பதற்கான முறைகளைப் பார்ப்போம் - அவை எளிமையானவை.

பின்வரும் வகையான சமன்பாடுகளை நாம் வேறுபடுத்தி அறியலாம்:

I., இந்த சமன்பாட்டில் குணகம் மற்றும் இலவச சொல் சமம்.

II. , இந்த சமன்பாட்டில் குணகம் சமம்.

III. , இந்த சமன்பாட்டில் இலவச சொல் சமம்.

இப்போது இந்த ஒவ்வொரு துணை வகைக்கான தீர்வைப் பார்ப்போம்.

வெளிப்படையாக, இந்த சமன்பாடு எப்போதும் ஒரே ஒரு மூலத்தைக் கொண்டுள்ளது:

ஒரு வர்க்க எண் எதிர்மறையாக இருக்க முடியாது, ஏனென்றால் நீங்கள் இரண்டு எதிர்மறை அல்லது இரண்டு நேர்மறை எண்களைப் பெருக்கும்போது, ​​​​முடிவு எப்போதும் நேர்மறை எண்ணாக இருக்கும். அதனால்தான்:

சமன்பாட்டிற்கு தீர்வுகள் இல்லை என்றால்;

நமக்கு இரண்டு வேர்கள் இருந்தால்

இந்த சூத்திரங்களை மனப்பாடம் செய்ய வேண்டிய அவசியமில்லை. நினைவில் கொள்ள வேண்டிய முக்கிய விஷயம் என்னவென்றால், அது குறைவாக இருக்க முடியாது.

எடுத்துக்காட்டுகள்:

தீர்வுகள்:

பதில்:

எதிர்மறை அடையாளம் கொண்ட வேர்களைப் பற்றி ஒருபோதும் மறந்துவிடாதீர்கள்!

ஒரு எண்ணின் வர்க்கம் எதிர்மறையாக இருக்க முடியாது, அதாவது சமன்பாடு

வேர்கள் இல்லை.

ஒரு சிக்கலுக்கு தீர்வு இல்லை என்பதை சுருக்கமாக எழுத, வெற்று செட் ஐகானைப் பயன்படுத்துகிறோம்.

பதில்:

எனவே, இந்த சமன்பாடு இரண்டு வேர்களைக் கொண்டுள்ளது: மற்றும்.

பதில்:

அடைப்புக்குறிக்குள் இருந்து பொதுவான காரணியை எடுத்துக் கொள்வோம்:

குறைந்தபட்சம் ஒரு காரணி பூஜ்ஜியத்திற்கு சமமாக இருந்தால், தயாரிப்பு பூஜ்ஜியத்திற்கு சமம். இதன் பொருள் சமன்பாடு ஒரு தீர்வைக் கொண்டிருக்கும் போது:

எனவே, இந்த இருபடி சமன்பாடு இரண்டு வேர்களைக் கொண்டுள்ளது: மற்றும்.

உதாரணமாக:

சமன்பாட்டை தீர்க்கவும்.

தீர்வு:

சமன்பாட்டின் இடது பக்கத்தை காரணியாக்குவோம் மற்றும் வேர்களைக் கண்டுபிடிப்போம்:

பதில்:

முழுமையான இருபடி சமன்பாடுகளைத் தீர்ப்பதற்கான முறைகள்:

1. பாகுபாடு

இருபடி சமன்பாடுகளை இந்த வழியில் தீர்ப்பது எளிதானது, முக்கிய விஷயம் செயல்களின் வரிசை மற்றும் இரண்டு சூத்திரங்களை நினைவில் கொள்வது. நினைவில் கொள்ளுங்கள், எந்த இருபடிச் சமன்பாடும் ஒரு பாகுபாட்டைப் பயன்படுத்தி தீர்க்கப்படும்! முழுமையற்றதும் கூட.

வேர்களுக்கான சூத்திரத்தில் உள்ள பாகுபாட்டிலிருந்து மூலத்தை கவனித்தீர்களா? ஆனால் பாகுபாடு எதிர்மறையாக இருக்கலாம். என்ன செய்ய? படி 2 க்கு நாம் சிறப்பு கவனம் செலுத்த வேண்டும். சமன்பாட்டின் வேர்களின் எண்ணிக்கையை பாகுபாடு நமக்குக் கூறுகிறது.

• சமன்பாட்டிற்கு வேர்கள் இருந்தால்:
• சமன்பாடு ஒரே வேர்களைக் கொண்டிருந்தால், உண்மையில் ஒரு வேர்:

  இத்தகைய வேர்கள் இரட்டை வேர்கள் என்று அழைக்கப்படுகின்றன.

• என்றால், பாகுபாட்டின் வேர் பிரித்தெடுக்கப்படவில்லை. சமன்பாட்டிற்கு வேர்கள் இல்லை என்பதை இது குறிக்கிறது.

அது ஏன் சாத்தியம் வெவ்வேறு அளவுகள்வேர்கள்? இருபடிச் சமன்பாட்டின் வடிவியல் அர்த்தத்திற்கு வருவோம். செயல்பாட்டின் வரைபடம் ஒரு பரவளையமாகும்:

ஒரு சிறப்பு வழக்கில், இது ஒரு இருபடி சமன்பாடு, . இதன் பொருள் இருபடி சமன்பாட்டின் வேர்கள் அப்சிஸ்ஸா அச்சுடன் (அச்சு) வெட்டும் புள்ளிகள் ஆகும். ஒரு பரவளையம் அச்சில் குறுக்கிடாமல் இருக்கலாம் அல்லது ஒன்றில் (பரவளையத்தின் உச்சி அச்சில் இருக்கும் போது) அல்லது இரண்டு புள்ளிகளில் வெட்டலாம்.

கூடுதலாக, குணகம் பரவளையத்தின் கிளைகளின் திசைக்கு பொறுப்பாகும். பரவளையத்தின் கிளைகள் மேல்நோக்கி இயக்கப்பட்டால், பின்னர் கீழ்நோக்கி.

எடுத்துக்காட்டுகள்:

தீர்வுகள்:

பதில்:

பதில்: .

பதில்:

இதன் பொருள் தீர்வுகள் இல்லை.

பதில்: .

2. வியட்டாவின் தேற்றம்

வியட்டாவின் தேற்றத்தைப் பயன்படுத்துவது மிகவும் எளிதானது: நீங்கள் ஒரு ஜோடி எண்களைத் தேர்ந்தெடுக்க வேண்டும், அதன் தயாரிப்பு சமன்பாட்டின் இலவச காலத்திற்கு சமமாக இருக்கும், மேலும் கூட்டுத்தொகை எதிர் அடையாளத்துடன் எடுக்கப்பட்ட இரண்டாவது குணகத்திற்கு சமம்.

வியட்டாவின் தேற்றத்தை மட்டுமே பயன்படுத்த முடியும் என்பதை நினைவில் கொள்வது அவசியம் குறைக்கப்பட்ட இருபடி சமன்பாடுகள் ().

சில உதாரணங்களைப் பார்ப்போம்:

எடுத்துக்காட்டு #1:

சமன்பாட்டை தீர்க்கவும்.

தீர்வு:

இந்த சமன்பாட்டை வியட்டாவின் தேற்றத்தைப் பயன்படுத்தி தீர்க்க முடியும் . மற்ற குணகங்கள்: ; .

சமன்பாட்டின் வேர்களின் கூட்டுத்தொகை:

மற்றும் தயாரிப்பு சமம்:

தயாரிப்பு சமமாக இருக்கும் ஜோடி எண்களைத் தேர்ந்தெடுத்து அவற்றின் கூட்டுத்தொகை சமமாக உள்ளதா என்பதைச் சரிபார்ப்போம்:

• மற்றும். தொகை சமம்;
• மற்றும். தொகை சமம்;
• மற்றும். தொகை சமம்.

மற்றும் அமைப்புக்கான தீர்வு:

இவ்வாறு, மற்றும் நமது சமன்பாட்டின் வேர்கள்.

பதில்: ; .

எடுத்துக்காட்டு #2:

தீர்வு:

தயாரிப்பில் உள்ள எண்களின் ஜோடிகளைத் தேர்ந்தெடுத்து, அவற்றின் கூட்டுத்தொகை சமமாக உள்ளதா என்பதைச் சரிபார்க்கவும்:

மற்றும்: அவர்கள் மொத்தமாக கொடுக்கிறார்கள்.

மற்றும்: அவர்கள் மொத்தமாக கொடுக்கிறார்கள். பெறுவதற்கு, கூறப்படும் வேர்களின் அறிகுறிகளை மாற்றினால் போதும்: மற்றும், எல்லாவற்றிற்கும் மேலாக, தயாரிப்பு.

பதில்:

எடுத்துக்காட்டு #3:

தீர்வு:

சமன்பாட்டின் இலவச சொல் எதிர்மறையானது, எனவே வேர்களின் தயாரிப்பு எதிர்மறை எண்ணாகும். வேர்களில் ஒன்று எதிர்மறையாகவும் மற்றொன்று நேர்மறையாகவும் இருந்தால் மட்டுமே இது சாத்தியமாகும். எனவே வேர்களின் கூட்டுத்தொகை சமம் அவற்றின் தொகுதிகளின் வேறுபாடுகள்.

தயாரிப்பில் உள்ள எண்களின் ஜோடிகளைத் தேர்ந்தெடுப்போம், அவற்றின் வேறுபாடு இதற்கு சமம்:

மற்றும்: அவற்றின் வேறுபாடு சமம் - பொருந்தாது;

மற்றும்: - பொருத்தமானது அல்ல;

மற்றும்: - பொருத்தமானது அல்ல;

மற்றும்: - பொருத்தமானது. வேர்களில் ஒன்று எதிர்மறையானது என்பதை நினைவில் கொள்வது மட்டுமே எஞ்சியுள்ளது. அவற்றின் கூட்டுத்தொகை சமமாக இருக்க வேண்டும் என்பதால், சிறிய மாடுலஸ் கொண்ட ரூட் எதிர்மறையாக இருக்க வேண்டும்: . நாங்கள் சரிபார்க்கிறோம்:

பதில்:

எடுத்துக்காட்டு #4:

சமன்பாட்டை தீர்க்கவும்.

தீர்வு:

சமன்பாடு கொடுக்கப்பட்டுள்ளது, அதாவது:

இலவச சொல் எதிர்மறையானது, எனவே வேர்களின் தயாரிப்பு எதிர்மறையானது. சமன்பாட்டின் ஒரு வேர் எதிர்மறையாகவும் மற்றொன்று நேர்மறையாகவும் இருக்கும்போது மட்டுமே இது சாத்தியமாகும்.

தயாரிப்பு சமமாக இருக்கும் எண்களின் ஜோடிகளைத் தேர்ந்தெடுத்து, எந்த வேர்களில் எதிர்மறை அடையாளம் இருக்க வேண்டும் என்பதைத் தீர்மானிக்கவும்:

வெளிப்படையாக, வேர்கள் மட்டுமே மற்றும் முதல் நிபந்தனைக்கு ஏற்றது:

பதில்:

எடுத்துக்காட்டு #5:

சமன்பாட்டை தீர்க்கவும்.

தீர்வு:

சமன்பாடு கொடுக்கப்பட்டுள்ளது, அதாவது:

வேர்களின் கூட்டுத்தொகை எதிர்மறையானது, அதாவது குறைந்தபட்சம் ஒரு வேர் எதிர்மறையானது. ஆனால் அவற்றின் தயாரிப்பு நேர்மறையாக இருப்பதால், இரண்டு வேர்களும் ஒரு கழித்தல் அறிகுறியைக் கொண்டுள்ளன.

தயாரிப்பு சமமான எண்களின் ஜோடிகளைத் தேர்ந்தெடுப்போம்:

வெளிப்படையாக, வேர்கள் எண்கள் மற்றும்.

பதில்:

ஒப்புக்கொள், இந்த மோசமான பாகுபாட்டைக் கணக்கிடுவதற்குப் பதிலாக, வாய்வழியாக வேர்களைக் கொண்டு வருவது மிகவும் வசதியானது. வியட்டாவின் தேற்றத்தை முடிந்தவரை அடிக்கடி பயன்படுத்த முயற்சிக்கவும்.

ஆனால் வேர்களைக் கண்டறிவதை எளிதாக்குவதற்கும் விரைவுபடுத்துவதற்கும் வியட்டாவின் தேற்றம் தேவைப்படுகிறது. அதைப் பயன்படுத்துவதன் மூலம் நீங்கள் பயனடைய, நீங்கள் செயல்களை தானாகவே கொண்டு வர வேண்டும். இதற்கு மேலும் ஐந்து உதாரணங்களைத் தீர்க்கவும். ஆனால் ஏமாற்ற வேண்டாம்: நீங்கள் ஒரு பாகுபாடு பயன்படுத்த முடியாது! வியட்டாவின் தேற்றம் மட்டுமே:

சுயாதீன வேலைக்கான பணிகளுக்கான தீர்வுகள்:

பணி 1. ((x)^(2))-8x+12=0

வியட்டாவின் தேற்றத்தின்படி:

வழக்கம் போல், நாங்கள் தேர்வைத் தொடங்குகிறோம்:

அளவு என்பதால் பொருந்தாது;

: தொகை உங்களுக்கு தேவையானது தான்.

பதில்: ; .

பணி 2.

மீண்டும் எங்களுக்கு பிடித்த வியட்டா தேற்றம்: கூட்டுத்தொகை சமமாக இருக்க வேண்டும், மற்றும் தயாரிப்பு சமமாக இருக்க வேண்டும்.

ஆனால் அது இருக்கக்கூடாது என்பதால், ஆனால், வேர்களின் அறிகுறிகளை மாற்றுகிறோம்: மற்றும் (மொத்தத்தில்).

பதில்: ; .

பணி 3.

ம்ம்... அது எங்கே?

நீங்கள் அனைத்து விதிமுறைகளையும் ஒரு பகுதியாக நகர்த்த வேண்டும்:

வேர்களின் கூட்டுத்தொகை தயாரிப்புக்கு சமம்.

சரி, நிறுத்து! சமன்பாடு கொடுக்கப்படவில்லை. ஆனால் வியட்டாவின் தேற்றம் கொடுக்கப்பட்ட சமன்பாடுகளில் மட்டுமே பொருந்தும். எனவே முதலில் நீங்கள் ஒரு சமன்பாட்டை கொடுக்க வேண்டும். உங்களால் வழிநடத்த முடியாவிட்டால், இந்த யோசனையை கைவிட்டு, அதை வேறு வழியில் தீர்க்கவும் (உதாரணமாக, ஒரு பாகுபாடு காட்டுபவர் மூலம்). ஒரு இருபடி சமன்பாட்டைக் கொடுப்பது என்பது முன்னணி குணகத்தை சமமாக்குவது என்று உங்களுக்கு நினைவூட்டுகிறேன்:

நன்று. பின்னர் வேர்களின் கூட்டுத்தொகை சமம் மற்றும் தயாரிப்பு.

இங்கே ஷெல்லிங் பேரிக்காய்களைத் தேர்ந்தெடுப்பது போல் எளிதானது: எல்லாவற்றிற்கும் மேலாக, இது ஒரு முதன்மை எண் (டாட்டாலஜிக்கு மன்னிக்கவும்).

பதில்: ; .

பணி 4.

இலவச உறுப்பினர் எதிர்மறையானவர். இதில் என்ன விசேஷம்? உண்மை என்னவென்றால், வேர்கள் வெவ்வேறு அறிகுறிகளைக் கொண்டிருக்கும். இப்போது, ​​​​தேர்வின் போது, ​​​​வேர்களின் தொகையை அல்ல, அவற்றின் தொகுதிகளில் உள்ள வேறுபாட்டை நாங்கள் சரிபார்க்கிறோம்: இந்த வேறுபாடு சமம், ஆனால் ஒரு தயாரிப்பு.

எனவே, வேர்கள் சமமானவை மற்றும், ஆனால் அவற்றில் ஒன்று கழித்தல். வியட்டாவின் தேற்றம், வேர்களின் கூட்டுத்தொகை எதிரெதிர் அடையாளத்துடன் இரண்டாவது குணகத்திற்கு சமம் என்று கூறுகிறது, அதாவது. இதன் பொருள் சிறிய ரூட் ஒரு கழித்தல்: மற்றும், பின்னர்.

பதில்: ; .

பணி 5.

நீங்கள் முதலில் என்ன செய்ய வேண்டும்? அது சரி, சமன்பாட்டைக் கொடுங்கள்:

மீண்டும்: எண்ணின் காரணிகளைத் தேர்ந்தெடுக்கிறோம், அவற்றின் வேறுபாடு இதற்கு சமமாக இருக்க வேண்டும்:

வேர்கள் சமம் மற்றும், ஆனால் அவற்றில் ஒன்று கழித்தல். எந்த? அவற்றின் கூட்டுத்தொகை சமமாக இருக்க வேண்டும், அதாவது கழித்தல் ஒரு பெரிய வேரைக் கொண்டிருக்கும்.

பதில்: ; .

நான் சுருக்கமாக சொல்கிறேன்:

1. வியட்டாவின் தேற்றம் கொடுக்கப்பட்ட இருபடி சமன்பாடுகளில் மட்டுமே பயன்படுத்தப்படுகிறது.
2. வியட்டாவின் தேற்றத்தைப் பயன்படுத்தி, தேர்வு மூலம், வாய்வழியாக வேர்களைக் கண்டறியலாம்.
3. சமன்பாடு வழங்கப்படாவிட்டால் அல்லது இலவச காலத்தின் பொருத்தமான ஜோடி காரணிகள் இல்லை என்றால், முழு வேர்களும் இல்லை, நீங்கள் அதை வேறு வழியில் தீர்க்க வேண்டும் (எடுத்துக்காட்டாக, ஒரு பாகுபாடு மூலம்).

3. முழுமையான சதுரத்தைத் தேர்ந்தெடுக்கும் முறை

அறியப்படாத அனைத்து சொற்களும் சுருக்கமான பெருக்கல் சூத்திரங்களிலிருந்து சொற்களின் வடிவத்தில் குறிப்பிடப்பட்டால் - தொகை அல்லது வேறுபாட்டின் வர்க்கம் - பின்னர் மாறிகளை மாற்றிய பின், சமன்பாட்டை வகையின் முழுமையற்ற இருபடி சமன்பாட்டின் வடிவத்தில் வழங்கலாம்.

உதாரணத்திற்கு:

எடுத்துக்காட்டு 1:

சமன்பாட்டைத் தீர்க்கவும்: .

தீர்வு:

பதில்:

எடுத்துக்காட்டு 2:

சமன்பாட்டைத் தீர்க்கவும்: .

தீர்வு:

பதில்:

பொதுவாக, மாற்றம் இப்படி இருக்கும்:

இது குறிக்கிறது: .

உங்களுக்கு எதுவும் நினைவூட்டவில்லையா? இது ஒரு பாரபட்சமான விஷயம்! அப்படித்தான் எங்களுக்கு பாகுபாடு சூத்திரம் கிடைத்தது.

இருபடி சமன்பாடுகள். முக்கிய விஷயங்களைப் பற்றி சுருக்கமாக

இருபடி சமன்பாடு- இது வடிவத்தின் சமன்பாடு, அங்கு - தெரியாதது, - இருபடி சமன்பாட்டின் குணகங்கள், - இலவச சொல்.

முழு இருபடி சமன்பாடு- குணகங்கள் பூஜ்ஜியத்திற்கு சமமாக இல்லாத சமன்பாடு.

குறைக்கப்பட்ட இருபடி சமன்பாடு- ஒரு சமன்பாடு இதில் குணகம், அதாவது: .

முழுமையற்ற இருபடிச் சமன்பாடு- ஒரு சமன்பாடு இதில் குணகம் மற்றும் அல்லது இலவச சொல் c பூஜ்ஜியத்திற்கு சமம்:

• குணகம் என்றால், சமன்பாடு இப்படி இருக்கும்: ,
• ஒரு இலவச சொல் இருந்தால், சமன்பாடு வடிவம் கொண்டது: ,
• என்றால் மற்றும், சமன்பாடு இப்படி இருக்கும்: .

1. முழுமையற்ற இருபடி சமன்பாடுகளைத் தீர்ப்பதற்கான அல்காரிதம்

1.1 படிவத்தின் முழுமையற்ற இருபடிச் சமன்பாடு, எங்கே:

1) தெரியாததை வெளிப்படுத்துவோம்:,

2) வெளிப்பாட்டின் அடையாளத்தைச் சரிபார்க்கவும்:

• சமன்பாட்டில் தீர்வுகள் இல்லை என்றால்,
• என்றால், சமன்பாடு இரண்டு வேர்களைக் கொண்டுள்ளது.

1.2 படிவத்தின் முழுமையற்ற இருபடிச் சமன்பாடு, எங்கே:

1) அடைப்புக்குறிக்குள் இருந்து பொதுவான காரணியை எடுத்துக் கொள்வோம்:

2) காரணிகளில் குறைந்தபட்சம் ஒன்று பூஜ்ஜியத்திற்கு சமமாக இருந்தால், தயாரிப்பு பூஜ்ஜியத்திற்கு சமம். எனவே, சமன்பாடு இரண்டு வேர்களைக் கொண்டுள்ளது:

1.3 படிவத்தின் முழுமையற்ற இருபடிச் சமன்பாடு, எங்கே:

இந்த சமன்பாடு எப்போதும் ஒரே ஒரு மூலத்தைக் கொண்டுள்ளது: .

2. படிவத்தின் முழுமையான இருபடி சமன்பாடுகளைத் தீர்ப்பதற்கான அல்காரிதம்

2.1 பாகுபாட்டைப் பயன்படுத்தி தீர்வு

1) சமன்பாட்டை நிலையான வடிவத்திற்கு கொண்டு வருவோம்: ,

2) சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்தி பாகுபாட்டைக் கணக்கிடுவோம்: , இது சமன்பாட்டின் வேர்களின் எண்ணிக்கையைக் குறிக்கிறது:

3) சமன்பாட்டின் வேர்களைக் கண்டறியவும்:

• சமன்பாட்டிற்கு வேர்கள் இருந்தால், அவை சூத்திரத்தால் கண்டறியப்படுகின்றன:
• சமன்பாட்டிற்கு ஒரு ரூட் இருந்தால், அது சூத்திரத்தால் கண்டறியப்படுகிறது:
• என்றால், சமன்பாட்டிற்கு வேர்கள் இல்லை.

2.2 வியட்டாவின் தேற்றத்தைப் பயன்படுத்தி தீர்வு

குறைக்கப்பட்ட இருபடிச் சமன்பாட்டின் வேர்களின் கூட்டுத்தொகை (எங்கே உள்ள வடிவத்தின் சமன்பாடு) சமம், மற்றும் வேர்களின் பெருக்கல் சமம், அதாவது. , ஏ.

2.3 ஒரு முழுமையான சதுரத்தைத் தேர்ந்தெடுக்கும் முறையின் மூலம் தீர்வு

இருபடிச் சமன்பாடுகளுக்கான வியட்டாவின் தேற்றத்தின் உருவாக்கம் மற்றும் ஆதாரம். வியட்டாவின் உரையாடல் தேற்றம். கன சமன்பாடுகள் மற்றும் தன்னிச்சையான வரிசையின் சமன்பாடுகளுக்கான வியட்டாவின் தேற்றம்.

இருபடி சமன்பாடுகள்

வியட்டாவின் தேற்றம்

குறைக்கப்பட்ட இருபடிச் சமன்பாட்டின் வேர்களைக் குறிக்கவும்
(1) .
பின்னர் வேர்களின் கூட்டுத்தொகையின் குணகம் சமமாக இருக்கும், எதிர் அடையாளத்துடன் எடுக்கப்பட்டது. வேர்களின் தயாரிப்பு இலவச வார்த்தைக்கு சமம்:
;
.

பல வேர்கள் பற்றிய குறிப்பு

சமன்பாட்டின் (1) பாகுபாடு பூஜ்ஜியமாக இருந்தால், இந்த சமன்பாட்டிற்கு ஒரு வேர் உள்ளது. ஆனால், சிக்கலான சூத்திரங்களைத் தவிர்ப்பதற்காக, இந்த வழக்கில், சமன்பாடு (1) இரண்டு பல அல்லது சமமான வேர்களைக் கொண்டுள்ளது என்று பொதுவாக ஏற்றுக்கொள்ளப்படுகிறது:
.

ஆதாரம் ஒன்று

சமன்பாட்டின் வேர்களைக் கண்டுபிடிப்போம் (1). இதைச் செய்ய, இருபடி சமன்பாட்டின் வேர்களுக்கான சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்தவும்:
;
;
.

வேர்களின் கூட்டுத்தொகையைக் கண்டறியவும்:
.

தயாரிப்பைக் கண்டுபிடிக்க, சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்தவும்:
.
பிறகு

.

தேற்றம் நிரூபிக்கப்பட்டுள்ளது.

ஆதாரம் இரண்டு

எண்கள் இருபடிச் சமன்பாட்டின் (1) வேர்களாக இருந்தால்
.
அடைப்புக்குறிகளைத் திறக்கிறது.

.
எனவே, சமன்பாடு (1) வடிவம் எடுக்கும்:
.
(1) உடன் ஒப்பிடுகையில் நாம் காணலாம்:
;
.

தேற்றம் நிரூபிக்கப்பட்டுள்ளது.

வியட்டாவின் உரையாடல் தேற்றம்

தன்னிச்சையான எண்கள் இருக்கட்டும். பின்னர் மற்றும் இருபடி சமன்பாட்டின் வேர்கள்
,
எங்கே
(2) ;
(3) .

வியட்டாவின் உரையாடல் தேற்றத்தின் ஆதாரம்

இருபடிச் சமன்பாட்டைக் கவனியுங்கள்
(1) .
என்றால் மற்றும் , பின்னர் மற்றும் சமன்பாட்டின் வேர்கள் (1) என்பதை நாம் நிரூபிக்க வேண்டும்.

(2) மற்றும் (3) ஐ (1) ஆக மாற்றுவோம்:
.
சமன்பாட்டின் இடது பக்கத்தில் உள்ள சொற்களை நாங்கள் தொகுக்கிறோம்:
;
;
(4) .

(4) இல் மாற்றுவோம்:
;
.

(4) இல் மாற்றுவோம்:
;
.
சமன்பாடு வைத்திருக்கிறது. அதாவது, எண் சமன்பாட்டின் வேர் (1).

தேற்றம் நிரூபிக்கப்பட்டுள்ளது.

ஒரு முழுமையான இருபடி சமன்பாட்டிற்கான வியட்டாவின் தேற்றம்

இப்போது முழுமையான இருபடி சமன்பாட்டைக் கவனியுங்கள்
(5) ,
எங்கே, மற்றும் சில எண்கள். மேலும்.

சமன்பாட்டை (5) ஆல் வகுப்போம்:
.
அதாவது, கொடுக்கப்பட்ட சமன்பாட்டைப் பெற்றோம்
,
எங்கே ; .

ஒரு முழுமையான இருபடி சமன்பாட்டிற்கான வியட்டாவின் தேற்றம் பின்வரும் வடிவத்தைக் கொண்டுள்ளது.

முழுமையான இருபடிச் சமன்பாட்டின் வேர்களைக் குறிக்கவும்
.
பின்னர் வேர்களின் கூட்டுத்தொகை மற்றும் தயாரிப்பு சூத்திரங்களால் தீர்மானிக்கப்படுகிறது:
;
.

கன சமன்பாட்டிற்கான வியட்டாவின் தேற்றம்

அதே வழியில், ஒரு கன சமன்பாட்டின் வேர்களுக்கு இடையே இணைப்புகளை நிறுவலாம். கன சமன்பாட்டைக் கவனியுங்கள்
(6) ,
எங்கே , , , சில எண்கள். மேலும்.
இந்த சமன்பாட்டை பின்வருமாறு பிரிப்போம்:
(7) ,
எங்கே , , .
, , சமன்பாட்டின் வேர்களாக இருக்கட்டும் (7) (மற்றும் சமன்பாடு (6)). பிறகு

.

சமன்பாடு (7) உடன் ஒப்பிடுகையில் நாம் காணலாம்:
;
;
.

nth பட்டத்தின் சமன்பாட்டிற்கான வியட்டாவின் தேற்றம்

அதே வழியில், சமன்பாட்டிற்கான வேர்களுக்கு இடையேயான இணைப்புகளை நீங்கள் காணலாம் , ... , , n வது பட்டம்
.

வியட்டாவின் தேற்றம் n வது சமன்பாடுகள்பட்டம் பின்வரும் படிவத்தைக் கொண்டுள்ளது:
;
;
;

.

இந்த சூத்திரங்களைப் பெற, சமன்பாட்டை பின்வருமாறு எழுதுகிறோம்:
.
பின்னர் , , , ... , க்கான குணகங்களை சமன் செய்து இலவச காலத்தை ஒப்பிடுவோம்.

குறிப்புகள்:
ஐ.என். ப்ரோன்ஸ்டீன், கே.ஏ. Semendyaev, பொறியாளர்கள் மற்றும் கல்லூரி மாணவர்களுக்கான கணிதக் கையேடு, "Lan", 2009.
முதல்வர் நிகோல்ஸ்கி, எம்.கே. பொட்டாபோவ் மற்றும் பலர்., இயற்கணிதம்: பொதுக் கல்வி நிறுவனங்களில் 8 ஆம் வகுப்புக்கான பாடநூல், மாஸ்கோ, கல்வி, 2006.

இரண்டாவது வரிசை சமன்பாடுகளைத் தீர்ப்பதற்கான முறைகளைப் படிக்கும்போது பள்ளி படிப்புஇயற்கணிதங்கள், விளைந்த வேர்களின் பண்புகளைக் கவனியுங்கள். அவை தற்போது வியட்டாவின் தேற்றம் என்று அழைக்கப்படுகின்றன. அதன் பயன்பாட்டிற்கான எடுத்துக்காட்டுகள் இந்த கட்டுரையில் கொடுக்கப்பட்டுள்ளன.

இருபடி சமன்பாடு

இரண்டாவது வரிசை சமன்பாடு கீழே உள்ள புகைப்படத்தில் காட்டப்பட்டுள்ள சமத்துவமாகும்.

இங்கே a, b, c ஆகிய குறியீடுகள் பரிசீலனையில் உள்ள சமன்பாட்டின் குணகங்கள் எனப்படும் சில எண்கள். சமத்துவத்தை தீர்க்க, அதை உண்மையாக்கும் x இன் மதிப்புகளை நீங்கள் கண்டுபிடிக்க வேண்டும்.

என்பதிலிருந்து கவனிக்கவும் அதிகபட்ச மதிப்பு x உயர்த்தப்படும் சக்தி இரண்டுக்கு சமம், பின்னர் பொது வழக்கில் உள்ள வேர்களின் எண்ணிக்கையும் இரண்டுக்கு சமம்.

இந்த வகையான சமத்துவத்தை தீர்க்க பல வழிகள் உள்ளன. இந்த கட்டுரையில், அவற்றில் ஒன்றைக் கருத்தில் கொள்வோம், இது வியட்டா தேற்றம் என்று அழைக்கப்படுவதை உள்ளடக்கியது.

வியட்டாவின் தேற்றத்தின் உருவாக்கம்

16 ஆம் நூற்றாண்டின் இறுதியில், பிரபல கணிதவியலாளர் ஃபிராங்கோயிஸ் வியேட் (பிரெஞ்சு) பல்வேறு இருபடி சமன்பாடுகளின் வேர்களின் பண்புகளை பகுப்பாய்வு செய்யும் போது, ​​அவற்றின் சில சேர்க்கைகள் குறிப்பிட்ட உறவுகளை திருப்திப்படுத்துகின்றன என்பதைக் கவனித்தார். குறிப்பாக, இந்த சேர்க்கைகள் அவற்றின் தயாரிப்பு மற்றும் தொகை.

வியட்டாவின் தேற்றம் பின்வருவனவற்றை நிறுவுகிறது: ஒரு இருபடிச் சமன்பாட்டின் வேர்கள், சுருக்கப்படும்போது, ​​எதிர் குறியுடன் எடுக்கப்பட்ட நேரியல் மற்றும் இருபடிக் குணகங்களின் விகிதத்தைக் கொடுக்கின்றன, மேலும் அவை பெருக்கப்படும்போது, ​​அவை இருபடிக் குணகத்திற்கு இலவச கால விகிதத்திற்கு வழிவகுக்கும். .

என்றால் பொது வடிவம்கட்டுரையின் முந்தைய பிரிவில் உள்ள புகைப்படத்தில் காட்டப்பட்டுள்ளபடி சமன்பாடு எழுதப்பட்டுள்ளது, பின்னர் கணித ரீதியாக இந்த தேற்றத்தை இரண்டு சமத்துவங்களின் வடிவத்தில் எழுதலாம்:

• r 2 + r 1 = -b / a;
• r 1 x r 2 = c / a.

இதில் r 1, r 2 என்பது கேள்விக்குரிய சமன்பாட்டின் வேர்களின் மதிப்பு.

மேற்கூறிய இரண்டு சமத்துவங்களும் பல்வேறு கணிதச் சிக்கல்களைத் தீர்க்கப் பயன்படும். தீர்வுகளுடன் எடுத்துக்காட்டுகளில் வியட்டாவின் தேற்றத்தைப் பயன்படுத்துவது கட்டுரையின் பின்வரும் பிரிவுகளில் கொடுக்கப்பட்டுள்ளது.