Sistemas de ingenieria 

Encontrar el área de un trapezoide curvo. Área de un trapecio curvo

Una figura delimitada por la gráfica de una función continua no negativa $f(x)$ en el segmento $$ y las rectas $y=0, \ x=a$ y $x=b$ se llama trapecio curvilíneo.

Área correspondiente trapecio curvo calculado por la fórmula:

$S=\int\limits_(a)^(b)(f(x)dx).$ (*)

Dividiremos condicionalmente los problemas para encontrar el área de un trapecio curvilíneo en tipos $4$. Veamos cada tipo con más detalle.

Tipo I: se especifica explícitamente un trapecio curvo. Luego aplique inmediatamente la fórmula (*).

Por ejemplo, encuentra el área de un trapezoide curvilíneo acotado por la gráfica de la función $y=4-(x-2)^(2)$ y las rectas $y=0, \x=1$ y $x =3$.

Dibujemos este trapezoide curvo.

Usando la fórmula (*), encontramos el área de este trapecio curvilíneo.

$S=\int\limits_(1)^(3)(\left(4-(x-2)^(2)\right)dx)=\int\limits_(1)^(3)(4dx)- \int\limits_(1)^(3)((x-2)^(2)dx)=4x|_(1)^(3) – \left.\frac((x-2)^(3) )(3)\derecha|_(1)^(3)=$

$=4(3-1)-\frac(1)(3)\left((3-2)^(3)-(1-2)^(3)\right)=4 \cdot 2 – \frac (1)(3)\izquierda((1)^(3)-(-1)^(3)\derecha) = 8 – \frac(1)(3)(1+1) =$

$=8-\frac(2)(3)=7\frac(1)(3)$ (unidades$^(2)$).

Tipo II: el trapecio curvo se especifica implícitamente. En este caso, las líneas rectas $x=a, \ x=b$ generalmente no se especifican o se especifican parcialmente. En este caso, necesitas encontrar los puntos de intersección de las funciones $y=f(x)$ y $y=0$. Estos puntos serán los puntos $a$ y $b$.

Por ejemplo, encuentra el área de una figura delimitada por las gráficas de las funciones $y=1-x^(2)$ y $y=0$.

Encontremos los puntos de intersección. Para hacer esto, igualamos los lados derechos de las funciones.

Por lo tanto, $a=-1$ y $b=1$. Dibujemos este trapezoide curvo.

Encontremos el área de este trapecio curvo.

$S=\int\limits_(-1)^(1)(\left(1-x^(2)\right)dx)=\int\limits_(-1)^(1)(1dx)-\int \limits_(-1)^(1)(x^(2)dx)=x|_(-1)^(1) – \left.\frac(x^(3))(3)\right|_ (-1)^(1)=$

$=(1-(-1))-\frac(1)(3)\left(1^(3)-(-1)^(3)\right)=2 – \frac(1)(3) \left(1+1\right) = 2 – \frac(2)(3) = 1\frac(1)(3)$ (unidades$^(2)$).

Tipo III: el área de una figura limitada por la intersección de dos funciones continuas no negativas. Esta figura no será un trapecio curvo, lo que significa que no puedes calcular su área usando la fórmula (*). ¿Cómo ser? Resulta que el área de esta figura se puede encontrar como la diferencia entre las áreas de trapecios curvilíneos acotados por la función superior y $y=0$ ($S_(uf)$), y la función inferior y $y =0$ ($S_(lf)$), donde el papel de $x=a, \ x=b$ lo desempeñan las coordenadas $x$ de los puntos de intersección de estas funciones, es decir,

$S=S_(uf)-S_(lf)$. (**)

Lo más importante al calcular dichas áreas es no “fallarse” en la elección de las funciones superior e inferior.

Por ejemplo, encuentre el área de una figura delimitada por las funciones $y=x^(2)$ y $y=x+6$.

Encontremos los puntos de intersección de estas gráficas:

Según el teorema de Vieta,

$x_(1)=-2,\ x_(2)=3.$

Es decir, $a=-2,\b=3$. Dibujemos una figura:

Por lo tanto, la función superior es $y=x+6$, y la función inferior es $y=x^(2)$. A continuación, encontramos $S_(uf)$ y $S_(lf)$ usando la fórmula (*).

$S_(uf)=\int\limits_(-2)^(3)((x+6)dx)=\int\limits_(-2)^(3)(xdx)+\int\limits_(-2 )^(3)(6dx)=\left.\frac(x^(2))(2)\right|_(-2)^(3) + 6x|_(-2)^(3)= 32 .5$ (unidades$^(2)$).

$S_(lf)=\int\limits_(-2)^(3)(x^(2)dx)=\left.\frac(x^(3))(3)\right|_(-2) ^(3) = \frac(35)(3)$ (unidades$^(2)$).

Sustituyamos lo que encontramos en (**) y obtenemos:

$S=32.5-\frac(35)(3)= \frac(125)(6)$ (unidades$^(2)$).

Tipo IV: el área de una figura acotada por una(s) función(es) que no satisface la condición de no negatividad. Para encontrar el área de dicha figura, debes ser simétrico con respecto al eje $Ox$ ( en otras palabras, coloque "menos" delante de las funciones) muestre el área y, utilizando los métodos descritos en los tipos I - III, encuentre el área del área mostrada. Esta área será el área requerida. Primero, es posible que tengas que encontrar los puntos de intersección de las gráficas de funciones.

Por ejemplo, encuentra el área de una figura delimitada por las gráficas de las funciones $y=x^(2)-1$ y $y=0$.

Encontremos los puntos de intersección de las gráficas de funciones:

aquellos. $a=-1$ y $b=1$. Dibujemos el área.

Mostremos el área simétricamente:

$y=0 \ \Flecha derecha \ y=-0=0$

$y=x^(2)-1 \ \Flecha derecha \ y= -(x^(2)-1) = 1-x^(2)$.

El resultado es un trapezoide curvilíneo acotado por la gráfica de la función $y=1-x^(2)$ y $y=0$. Este es un problema para encontrar un trapezoide curvo del segundo tipo. Ya lo hemos solucionado. La respuesta fue: $S= 1\frac(1)(3)$ (unidades $^(2)$). Esto significa que el área del trapecio curvilíneo requerido es igual a:

$S=1\frac(1)(3)$ (unidades$^(2)$).









De vuelta atras

¡Atención! Las vistas previas de diapositivas tienen únicamente fines informativos y es posible que no representen todas las características de la presentación. Si estás interesado este trabajo, descargue la versión completa.

Palabras clave: trapecio integral, curvilíneo, área de figuras delimitadas por lirios

Equipo: pizarra, ordenador, proyector multimedia

tipo de lección: lección-conferencia

Objetivos de la lección:

  • educativo: crear una cultura de trabajo mental, crear una situación de éxito para cada estudiante y crear motivación positiva para el aprendizaje; Desarrollar la capacidad de hablar y escuchar a los demás.
  • desarrollando: formación del pensamiento independiente del estudiante en la aplicación de conocimientos en diversas situaciones, la capacidad de analizar y sacar conclusiones, desarrollo de la lógica, desarrollo de la capacidad de plantear correctamente preguntas y encontrar respuestas. Mejorar la formación de habilidades computacionales, desarrollar el pensamiento de los estudiantes durante la realización de las tareas propuestas, desarrollar una cultura algorítmica.
  • educativo: formar conceptos sobre un trapezoide curvilíneo, sobre una integral, dominar las habilidades de calcular las áreas de figuras planas

Método de enseñanza: explicativo e ilustrativo.

durante las clases

En clases anteriores aprendimos a calcular las áreas de figuras cuyos límites son líneas quebradas. En matemáticas existen métodos que permiten calcular las áreas de figuras delimitadas por curvas. Estas figuras se denominan trapecios curvilíneos y su área se calcula mediante antiderivadas.

Trapecio curvilíneo ( diapositiva 1)

Un trapezoide curvo es una figura delimitada por la gráfica de una función, ( sh.m.), derecho x = un Y x = segundo y eje x

Varios tipos de trapecios curvos ( diapositiva 2)

Estamos considerando diferentes tipos trapecios curvilíneos y aviso: una de las líneas degenera en un punto, el papel de función limitante lo desempeña la línea

Área de un trapecio curvo (diapositiva 3)

Arreglar el extremo izquierdo del intervalo. A, y el correcto X cambiaremos, es decir, moveremos la pared derecha del trapezoide curvilíneo y obtendremos una figura cambiante. El área de un trapecio curvilíneo variable delimitada por la gráfica de la función es una primitiva F para función F

Y en el segmento [ a; b] área de un trapezoide curvilíneo formado por la función F, es igual al incremento de la primitiva de esta función:

Ejercicio 1:

Encuentra el área de un trapecio curvilíneo delimitado por la gráfica de la función: f(x) = x 2 y recto y = 0, x = 1, x = 2.

Solución: ( según el algoritmo diapositiva 3)

Dibujemos una gráfica de la función y las líneas.

Busquemos uno de funciones antiderivadas f(x) = x 2 :

Autoprueba en diapositiva

Integral

Considere un trapecio curvilíneo definido por la función F en el segmento [ a; b]. Dividamos este segmento en varias partes. El área de todo el trapecio se dividirá por la suma de las áreas de trapecios curvos más pequeños. ( diapositiva 5). Cada uno de estos trapecio puede considerarse aproximadamente un rectángulo. La suma de las áreas de estos rectángulos da una idea aproximada del área total del trapecio curvo. Cuanto más pequeño dividimos el segmento [ a; b], con mayor precisión calculamos el área.

Escribamos estos argumentos en forma de fórmulas.

Divida el segmento [ a; b] en n partes por puntos x 0 =a, x1,...,xn = b. Longitud k- th denotamos por xk = xk – xk-1. hagamos una suma

Geométricamente, esta suma representa el área de la figura sombreada en la figura ( sh.m.)

Las sumas de la forma se llaman sumas integrales de la función. F. (sh.m.)

Las sumas integrales dan un valor aproximado del área. El valor exacto se obtiene pasando al límite. Imaginemos que estamos refinando la partición del segmento [ a; b] de modo que las longitudes de todos los segmentos pequeños tiendan a cero. Entonces el área de la figura compuesta se acercará al área del trapecio curvo. Podemos decir que el área de un trapecio curvo es igual al límite de sumas integrales, sc.t. (sh.m.) o integral, es decir,

Definición:

Integral de una función f(x) de a antes b llamado límite de sumas integrales

= (sh.m.)

Fórmula de Newton-Leibniz.

Recordamos que el límite de las sumas integrales es igual al área de un trapecio curvilíneo, lo que significa que podemos escribir:

sc.t. = (sh.m.)

Por otro lado, el área de un trapecio curvo se calcula mediante la fórmula

S k.t. (sh.m.)

Comparando estas fórmulas, obtenemos:

= (sh.m.)

Esta igualdad se llama fórmula de Newton-Leibniz.

Para facilitar el cálculo, la fórmula se escribe como:

= = (sh.m.)

Tareas: (sh.m.)

1. Calcule la integral usando la fórmula de Newton-Leibniz: ( consulte la diapositiva 5)

2. Redacte integrales según el dibujo ( consulte la diapositiva 6)

3. Encuentra el área de la figura delimitada por las líneas: y = x 3, y = 0, x = 1, x = 2. ( Diapositiva 7)

Encontrar las áreas de figuras planas ( diapositiva 8)

¿Cómo encontrar el área de figuras que no son trapecios curvos?

Dejemos que se den dos funciones, cuyas gráficas ves en la diapositiva. . (sh.m.) Encuentra el área de la figura sombreada. . (sh.m.). ¿Es la figura en cuestión un trapecio curvo? ¿Cómo puedes encontrar su área usando la propiedad de aditividad del área? Considere dos trapecios curvos y reste el área del otro del área de uno de ellos ( sh.m.)

Creemos un algoritmo para encontrar el área usando animación en una diapositiva:

  1. Funciones gráficas
  2. Proyecta los puntos de intersección de las gráficas en el eje x.
  3. Sombrea la figura obtenida cuando las gráficas se cruzan.
  4. Encuentra trapecios curvilíneos cuya intersección o unión sea la figura dada.
  5. Calcula el área de cada uno de ellos.
  6. Encuentra la diferencia o suma de áreas.

Tarea oral: Cómo obtener el área de una figura sombreada (decir usando animación, diapositiva 8 y 9)

Tarea: Analice las notas, núm. 353 (a), núm. 364 (a).

Bibliografía

  1. Álgebra y los inicios del análisis: un libro de texto para los grados 9-11 de la escuela nocturna (turno) / ed. G.D. Glaser. - M: Ilustración, 1983.
  2. Bashmakov M.I. Álgebra y los inicios del análisis: un libro de texto para los grados 10-11 de la escuela secundaria / Bashmakov M.I. - M: Ilustración, 1991.
  3. Bashmakov M.I. Matemáticas: libro de texto para instituciones que comienzan. y miércoles profe. educación / M.I. Bashmákov. - M: Academia, 2010.
  4. Kolmogorov A.N. Álgebra y principios del análisis: libro de texto para los grados 10-11. instituciones educativas / A.N. Kolmogorov. - M: Educación, 2010.
  5. Ostrovsky S.L. ¿Cómo hacer una presentación para una lección?/ S.L. Ostrovsky. – M.: 1 de septiembre de 2010.

Ejemplo 1 . Calcula el área de la figura acotada por las rectas: x + 2y – 4 = 0, y = 0, x = -3 y x = 2


Construyamos una figura (ver figura) Construimos una línea recta x + 2y – 4 = 0 usando dos puntos A(4;0) y B(0;2). Expresando y a través de x, obtenemos y = -0,5x + 2. Usando la fórmula (1), donde f(x) = -0,5x + 2, a = -3, b = 2, encontramos

S = = [-0,25=11,25 m2. unidades

Ejemplo 2. Calcula el área de la figura acotada por las rectas: x – 2y + 4 = 0, x + y – 5 = 0 e y = 0.

Solución. Construyamos la figura.

Construyamos una línea recta x – 2y + 4 = 0: y = 0, x = - 4, A(-4; 0); x = 0, y = 2, B(0; 2).

Construyamos una línea recta x + y – 5 = 0: y = 0, x = 5, C(5; 0), x = 0, y = 5, D(0; 5).

Encontremos el punto de intersección de las rectas resolviendo el sistema de ecuaciones:

x = 2, y = 3; M(2; 3).

Para calcular el área requerida, dividimos el triángulo AMC en dos triángulos AMN y NMC, ya que cuando x cambia de A a N, el área está limitada por una línea recta, y cuando x cambia de N a C, por una línea recta.


Para el triángulo AMN tenemos: ; y = 0,5x + 2, es decir, f(x) = 0,5x + 2, a = - 4, b = 2.

Para el triángulo NMC tenemos: y = - x + 5, es decir, f(x) = - x + 5, a = 2, b = 5.

Calculando el área de cada triángulo y sumando los resultados, encontramos:

metros cuadrados. unidades

metros cuadrados. unidades

9 + 4, 5 = 13,5 cuadrados. unidades Verificar: = 0,5AC = 0,5 m2. unidades

Ejemplo 3. Calcular el área de una figura acotada por rectas: y = x 2 , y = 0, x = 2, x = 3.

En este caso, es necesario calcular el área de un trapecio curvo delimitado por la parábola y = x 2 , rectas x = 2 y x = 3 y el eje Ox (ver figura) Usando la fórmula (1) encontramos el área del trapecio curvilíneo


= = 6 metros cuadrados. unidades

Ejemplo 4. Calcula el área de la figura acotada por las rectas: y = - x 2 + 4 y y = 0

Construyamos la figura. El área requerida está encerrada entre la parábola y = - x 2 + 4 y el eje Buey.


Encontremos los puntos de intersección de la parábola con el eje Ox. Suponiendo y = 0, encontramos x = Dado que esta figura es simétrica con respecto al eje Oy, calculamos el área de la figura ubicada a la derecha del eje Oy, y duplicamos el resultado obtenido: = +4x]sq. unidades 2 = 2 metros cuadrados. unidades

Ejemplo 5. Calcular el área de una figura delimitada por rectas: y 2 = x, yx = 1, x = 4

Aquí necesitas calcular el área de un trapecio curvilíneo delimitado por la rama superior de la parábola. 2 = x, eje Ox y rectas x = 1 y x = 4 (ver figura)


Según la fórmula (1), donde f(x) = a = 1 y b = 4, tenemos = (= unidades cuadradas.

Ejemplo 6 . Calcula el área de la figura acotada por las rectas: y = sinx, y = 0, x = 0, x=.

El área requerida está limitada por la media onda de la sinusoide y el eje Ox (ver figura).


Tenemos - cosx = - cos = 1 + 1 = 2 cuadrados. unidades

Ejemplo 7. Calcula el área de la figura acotada por las rectas: y = - 6x, y = 0 y x = 4.

La figura se encuentra debajo del eje Buey (ver figura).

Por lo tanto, encontramos su área usando la fórmula (3)


= =

Ejemplo 8. Calcula el área de la figura delimitada por las rectas: y = y x = 2. Construye la curva y = a partir de los puntos (ver figura). Así, encontramos el área de la figura usando la fórmula (4)

Ejemplo 9 .

X 2 + y 2 =r 2 .

Aquí necesitas calcular el área encerrada por el círculo x. 2 + y 2 =r 2 , es decir, el área de un círculo de radio r con centro en el origen. Encontremos la cuarta parte de esta área tomando los límites de integración desde 0

antes; tenemos: 1 = = [

Por eso, 1 =

Ejemplo 10. Calcula el área de una figura delimitada por rectas: y= x 2 y y = 2x

Esta figura está limitada por la parábola y = x 2 y la recta y = 2x (ver figura) Para determinar los puntos de intersección de las rectas dadas, resolvemos el sistema de ecuaciones: x 2 – 2x = 0 x = 0 y x = 2


Usando la fórmula (5) para encontrar el área, obtenemos

= }