Una figura delimitada por la gráfica de una función continua no negativa $f(x)$ en el segmento $$ y las líneas $y=0, \ x=a$ y $x=b$ se llama trapecio curvilíneo.

Área correspondiente trapecio curvo calculado por la fórmula:

$S=\int\limits_(a)^(b)(f(x)dx).$ (*)

Dividiremos condicionalmente los problemas para encontrar el área de un trapecio curvilíneo en tipos $4$. Veamos cada tipo con más detalle.

Tipo I: se especifica explícitamente un trapecio curvo. Luego aplique inmediatamente la fórmula (*).

Por ejemplo, encuentra el área de un trapecio curvilíneo acotado por la gráfica de la función $y=4-(x-2)^(2)$ y las rectas $y=0, \x=1$ y $x =3$.

Dibujemos este trapezoide curvo.

Usando la fórmula (*), encontramos el área de este trapecio curvilíneo.

$S=\int\limits_(1)^(3)(\left(4-(x-2)^(2)\right)dx)=\int\limits_(1)^(3)(4dx)- \int\limits_(1)^(3)((x-2)^(2)dx)=4x|_(1)^(3) – \left.\frac((x-2)^(3) )(3)\derecha|_(1)^(3)=$

$=4(3-1)-\frac(1)(3)\left((3-2)^(3)-(1-2)^(3)\right)=4 \cdot 2 – \frac (1)(3)\izquierda((1)^(3)-(-1)^(3)\derecha) = 8 – \frac(1)(3)(1+1) =$

$=8-\frac(2)(3)=7\frac(1)(3)$ (unidades$^(2)$).

Tipo II: el trapecio curvo se especifica implícitamente. En este caso, las líneas rectas $x=a, \ x=b$ generalmente no se especifican o se especifican parcialmente. En este caso, necesitas encontrar los puntos de intersección de las funciones $y=f(x)$ y $y=0$. Estos puntos serán los puntos $a$ y $b$.

Por ejemplo, encuentra el área de una figura delimitada por las gráficas de las funciones $y=1-x^(2)$ y $y=0$.

Encontremos los puntos de intersección. Para hacer esto, igualamos los lados derechos de las funciones.

Por lo tanto, $a=-1$ y $b=1$. Dibujemos este trapezoide curvo.

Encontremos el área de este trapecio curvo.

$S=\int\limits_(-1)^(1)(\left(1-x^(2)\right)dx)=\int\limits_(-1)^(1)(1dx)-\int \limits_(-1)^(1)(x^(2)dx)=x|_(-1)^(1) – \left.\frac(x^(3))(3)\right|_ (-1)^(1)=$

$=(1-(-1))-\frac(1)(3)\left(1^(3)-(-1)^(3)\right)=2 – \frac(1)(3) \left(1+1\right) = 2 – \frac(2)(3) = 1\frac(1)(3)$ (unidades$^(2)$).

Tipo III: el área de una figura limitada por la intersección de dos funciones continuas no negativas. Esta figura no será un trapecio curvo, lo que significa que no puedes calcular su área usando la fórmula (*). ¿Cómo ser? Resulta que el área de esta figura se puede encontrar como la diferencia entre las áreas de trapecios curvilíneos acotados por la función superior y $y=0$ ($S_(uf)$), y la función inferior y $y =0$ ($S_(lf)$), donde el papel de $x=a, \ x=b$ lo desempeñan las coordenadas $x$ de los puntos de intersección de estas funciones, es decir,

$S=S_(uf)-S_(lf)$. (**)

Lo más importante al calcular dichas áreas es no “fallarse” en la elección de las funciones superior e inferior.

Por ejemplo, encuentre el área de una figura delimitada por las funciones $y=x^(2)$ y $y=x+6$.

Encontremos los puntos de intersección de estas gráficas:

Según el teorema de Vieta,

$x_(1)=-2,\x_(2)=3.$

Es decir, $a=-2,\b=3$. Dibujemos una figura:

Por lo tanto, la función superior es $y=x+6$, y la función inferior es $y=x^(2)$. A continuación, encontramos $S_(uf)$ y $S_(lf)$ usando la fórmula (*).

$S_(uf)=\int\limits_(-2)^(3)((x+6)dx)=\int\limits_(-2)^(3)(xdx)+\int\limits_(-2 )^(3)(6dx)=\left.\frac(x^(2))(2)\right|_(-2)^(3) + 6x|_(-2)^(3)= 32 .5$ (unidades$^(2)$).

$S_(lf)=\int\limits_(-2)^(3)(x^(2)dx)=\left.\frac(x^(3))(3)\right|_(-2) ^(3) = \frac(35)(3)$ (unidades$^(2)$).

Sustituyamos lo que encontramos en (**) y obtenemos:

$S=32.5-\frac(35)(3)= \frac(125)(6)$ (unidades$^(2)$).

Tipo IV: el área de una figura acotada por una(s) función(es) que no satisface la condición de no negatividad. Para encontrar el área de dicha figura, debes ser simétrico con respecto al eje $Ox$ ( en otras palabras, coloque "menos" delante de las funciones) muestre el área y, utilizando los métodos descritos en los tipos I - III, encuentre el área del área mostrada. Esta área será el área requerida. Primero, es posible que tengas que encontrar los puntos de intersección de las gráficas de funciones.

Por ejemplo, encuentra el área de una figura delimitada por las gráficas de las funciones $y=x^(2)-1$ y $y=0$.

Encontremos los puntos de intersección de las gráficas de funciones:

aquellos. $a=-1$ y $b=1$. Dibujemos el área.

Mostremos el área simétricamente:

$y=0 \ \Flecha derecha \ y=-0=0$

$y=x^(2)-1 \ \Flecha derecha \ y= -(x^(2)-1) = 1-x^(2)$.

El resultado es un trapezoide curvilíneo acotado por la gráfica de la función $y=1-x^(2)$ y $y=0$. Este es un problema para encontrar un trapezoide curvo del segundo tipo. Ya lo hemos solucionado. La respuesta fue: $S= 1\frac(1)(3)$ (unidades $^(2)$). Esto significa que el área del trapecio curvilíneo requerido es igual a:

$S=1\frac(1)(3)$ (unidades$^(2)$).

Consideremos un trapecio curvo delimitado por el eje Ox, la curva y=f(x) y dos rectas: x=a y x=b (Fig. 85). Tomemos un valor arbitrario de x (pero no a ni b). Démosle un incremento h = dx y consideremos una franja delimitada por las rectas AB y CD, el eje Ox y el arco BD pertenecientes a la curva considerada. A esta franja la llamaremos franja elemental. El área de una franja elemental se diferencia del área del rectángulo ACQB por el triángulo curvilíneo BQD, y el área de este último es menor que el área del rectángulo BQDM de lados BQ = =h= dx) QD=Ay y área igual a hAy = Ay dx. A medida que el lado h disminuye, el lado Du también disminuye y simultáneamente con h tiende a cero. Por tanto, el área del BQDM es infinitesimal de segundo orden. El área de una franja elemental es el incremento del área, y el área del rectángulo ACQB, igual a AB-AC ==/(x) dx> es el diferencial del área. En consecuencia, encontramos el área misma integrando su diferencial. Dentro de la figura considerada, la variable independiente l: cambia de a a b, por lo que el área requerida 5 será igual a 5= \f(x) dx. (I) Ejemplo 1. Calculemos el área delimitada por la parábola y - 1 -x*, las rectas X =--Fj-, x = 1 y el eje O* (Fig. 86). en la Fig. 87. Fig. 86. 1 Aquí f(x) = 1 - l?, los límites de integración son a = - y £ = 1, por lo tanto J [*-t]\- -fl -- Г -1-±Л_ 1V1 -l-l- Ii-^ 3) |_ 2 3V 2 / J 3 24 24* Ejemplo 2. Calculemos el área limitada por la sinusoide y = sinXy, el eje Ox y la recta (Fig. 87). Aplicando la fórmula (I), obtenemos A 2 S= J sinxdx= [-cos x]Q =0 -(-1) = lf Ejemplo 3. Calcular el área limitada por el arco de la sinusoide ^у = sen jc, encerrado entre dos puntos de intersección adyacentes con el eje Ox (por ejemplo, entre el origen y el punto con la abscisa i). Tenga en cuenta que por consideraciones geométricas queda claro que esta área será el doble del área del ejemplo anterior. Sin embargo, hagamos los cálculos: I 5= | s\nxdx= [ - cosх)* - - cos i-(-cos 0)= 1 + 1 = 2. o De hecho, nuestra suposición resultó ser correcta. Ejemplo 4. Calcule el área delimitada por la sinusoide y el eje Ox en un período (Fig. 88). Los cálculos preliminares sugieren que el área será cuatro veces mayor que en el Ejemplo 2. Sin embargo, después de hacer los cálculos, obtenemos “i Г,*i S - \ sin x dx = [ - cos x]0 = = - cos 2l -( -cos 0) = - 1 + 1 = 0. Este resultado requiere aclaración. Para aclarar la esencia del asunto, también calculamos el área limitada por la misma sinusoide y = sin l: y el eje Ox en el rango de l a 2i. Aplicando la fórmula (I), obtenemos 2l $2l sin xdx=[ - cosх]l = -cos 2i~)-c05i=- 1-1 =-2. Así, vemos que esta zona resultó negativa. Comparándola con el área calculada en el ejercicio 3, encontramos que sus valores absolutos son iguales, pero los signos son diferentes. Si aplicamos la propiedad V (ver Capítulo XI, § 4), obtenemos 2l I 2l J sin xdx= J sin * dx [ sin x dx = 2 + (- 2) = 0Lo que sucedió en este ejemplo no es un accidente. Siempre el área ubicada debajo del eje Ox, siempre que la variable independiente cambie de izquierda a derecha, se obtiene cuando se calcula mediante integrales. En este curso siempre consideraremos zonas sin señalización. Por lo tanto, la respuesta en el ejemplo que acabamos de comentar será: el área requerida es 2 + |-2| = 4. Ejemplo 5. Calculemos el área del BAB que se muestra en la Fig. 89. Esta área está limitada por el eje Ox, la parábola y = - xr y la recta y - = -x+\. Área de un trapecio curvilíneo El área requerida OAB consta de dos partes: OAM y MAV. Como el punto A es el punto de intersección de una parábola y una recta, encontraremos sus coordenadas resolviendo el sistema de ecuaciones 3 2 Y = mx. (solo necesitamos encontrar la abscisa del punto A). Resolviendo el sistema, encontramos l; = ~. Por lo tanto, el área debe calcularse en partes, el primer cuadrado. OAM y luego pl. MAV: .... G 3 2, 3 G xP 3 1/2 U 2. QAM-^x cuadrado. unidades 2 = 2 metros cuadrados. unidades

Ejemplo 5. Calcular el área de una figura delimitada por rectas: y 2 = x, yx = 1, x = 4

Aquí necesitas calcular el área de un trapecio curvilíneo delimitado por la rama superior de la parábola. 2 = x, eje Ox y rectas x = 1 y x = 4 (ver figura)

Según la fórmula (1), donde f(x) = a = 1 y b = 4, tenemos = (= unidades cuadradas.

Ejemplo 6 . Calcula el área de la figura acotada por las rectas: y = sinx, y = 0, x = 0, x=.

El área requerida está limitada por la media onda de la sinusoide y el eje Ox (ver figura).

Tenemos - cosx = - cos = 1 + 1 = 2 cuadrados. unidades

Ejemplo 7. Calcula el área de la figura acotada por las rectas: y = - 6x, y = 0 y x = 4.

La figura se encuentra debajo del eje Buey (ver figura).

Por lo tanto, encontramos su área usando la fórmula (3)

= =

Ejemplo 8. Calcula el área de la figura delimitada por las rectas: y = y x = 2. Construye la curva y = a partir de los puntos (ver figura). Así, encontramos el área de la figura usando la fórmula (4)

Ejemplo 9 .

X 2 + y 2 =r 2 .

Aquí necesitas calcular el área encerrada por el círculo x. 2 + y 2 =r 2 , es decir, el área de un círculo de radio r con centro en el origen. Encontremos la cuarta parte de esta área tomando los límites de integración desde 0

antes; tenemos: 1 = = [

Por eso, 1 =

Ejemplo 10. Calcula el área de una figura delimitada por rectas: y= x 2 y y = 2x

Esta figura está limitada por la parábola y = x 2 y la recta y = 2x (ver figura) Para determinar los puntos de intersección de las rectas dadas, resolvemos el sistema de ecuaciones: x 2 – 2x = 0 x = 0 y x = 2

Usando la fórmula (5) para encontrar el área, obtenemos

= (base de un trapecio curvo) en n partes iguales; esta partición se realiza utilizando los puntos x 1, x 2, ... x k, ... x n-1. Dibujemos líneas rectas a través de estos puntos paralelas al eje y. Luego, el trapezoide curvilíneo dado se dividirá en n partes, en n columnas estrechas. El área de todo el trapezoide es igual a la suma de las áreas de las columnas.

Consideremos la k-ésima columna por separado, es decir un trapecio curvo cuya base es un segmento. Reemplacémoslo con un rectángulo con la misma base y altura igual a f(x k) (ver figura). El área del rectángulo es igual a \(f(x_k) \cdot \Delta x_k \), donde \(\Delta x_k \) es la longitud del segmento; Es natural considerar el producto resultante como un valor aproximado del área de la k-ésima columna.

Si ahora hacemos lo mismo con todas las demás columnas, llegaremos al siguiente resultado: el área S de un trapezoide curvilíneo dado es aproximadamente igual al área S n de una figura escalonada formada por n rectángulos (ver figura):
\(S_n = f(x_0)\Delta x_0 + \dots + f(x_k)\Delta x_k + \dots + f(x_(n-1))\Delta x_(n-1) \)
Aquí, en aras de la uniformidad de la notación, suponemos que a = x 0, b = x n; \(\Delta x_0 \) - longitud del segmento, \(\Delta x_1 \) - longitud del segmento, etc.; en este caso, como acordamos anteriormente, \(\Delta x_0 = \dots = \Delta x_(n-1) \)

Entonces, \(S \approx S_n \), y esta igualdad aproximada es más precisa cuanto mayor es n.
Por definición, se cree que el área requerida de un trapezoide curvilíneo es igual al límite de la secuencia (S n):
$$ S = \lim_(n \to \infty) S_n $$

Problema 2(sobre mover un punto)
Un punto material se mueve en línea recta. La dependencia de la velocidad con el tiempo se expresa mediante la fórmula v = v(t). Encuentre el movimiento de un punto durante un período de tiempo [a; b].
Solución. Si el movimiento fuera uniforme, entonces el problema se resolvería de forma muy sencilla: s = vt, es decir s = v(b-a). Para movimientos desiguales, hay que utilizar las mismas ideas en las que se basó la solución al problema anterior.
1) Dividir el intervalo de tiempo [a; b] en n partes iguales.
2) Considere un período de tiempo y suponga que durante este período la velocidad fue constante, igual que en el momento t k. Entonces suponemos que v = v(t k).
3) Encontremos el valor aproximado del movimiento del punto durante un período de tiempo; denotaremos este valor aproximado como s k
\(s_k = v(t_k) \Delta t_k \)
4) Encuentre el valor aproximado del desplazamiento s:
\(s \aprox S_n \) donde
\(S_n = s_0 + \dots + s_(n-1) = v(t_0)\Delta t_0 + \dots + v(t_(n-1)) \Delta t_(n-1) \)
5) El desplazamiento requerido es igual al límite de la secuencia (S n):
$$ s = \lim_(n \to \infty) S_n $$

Resumamos. Las soluciones a varios problemas se redujeron al mismo modelo matemático. Muchos problemas de diversos campos de la ciencia y la tecnología conducen al mismo modelo en el proceso de solución. Esto significa que este modelo matemático debe ser estudiado especialmente.

El concepto de integral definida.

Demos una descripción matemática del modelo que se construyó en los tres problemas considerados para la función y = f(x), continua (pero no necesariamente no negativa, como se supuso en los problemas considerados) en el intervalo [a; b]:
1) dividir el segmento [a; b] en n partes iguales;
2) hacer la suma $$ S_n = f(x_0)\Delta x_0 + f(x_1)\Delta x_1 + \dots + f(x_(n-1))\Delta x_(n-1) $$
3) calcular $$ \lim_(n \to \infty) S_n $$

En el curso del análisis matemático se demostró que este límite existe en el caso de una función continua (o continua por partes). El es llamado cierta integral de la función y = f(x) sobre el segmento [a; b] y denotado de la siguiente manera:
\(\int\limits_a^b f(x) dx \)
Los números a y b se denominan límites de integración (inferior y superior, respectivamente).

Volvamos a las tareas comentadas anteriormente. La definición de área dada en el problema 1 ahora se puede reescribir de la siguiente manera:
\(S = \int\limits_a^b f(x) dx \)
aquí S es el área del trapezoide curvilíneo que se muestra en la figura anterior. Esto es Significado geométrico de una integral definida.

La definición del desplazamiento s de un punto que se mueve en línea recta con una velocidad v = v(t) durante el período de tiempo desde t = a hasta t = b, dada en el problema 2, se puede reescribir de la siguiente manera:

Fórmula de Newton-Leibniz

Primero, respondamos la pregunta: ¿cuál es la conexión entre la integral definida y la primitiva?

La respuesta se puede encontrar en el problema 2. Por un lado, el desplazamiento s de un punto que se mueve en línea recta con una velocidad v = v(t) durante el período de tiempo desde t = a hasta t = b se calcula mediante la formula
\(S = \int\limits_a^b v(t) dt \)

Por otro lado, la coordenada de un punto en movimiento es una antiderivada de la velocidad; denotémosla s(t); Esto significa que el desplazamiento s se expresa mediante la fórmula s = s(b) - s(a). Como resultado obtenemos:
\(S = \int\limits_a^b v(t) dt = s(b)-s(a) \)
donde s(t) es la antiderivada de v(t).

El siguiente teorema fue demostrado en el curso del análisis matemático.
Teorema. Si la función y = f(x) es continua en el intervalo [a; b], entonces la fórmula es válida
\(S = \int\limits_a^b f(x) dx = F(b)-F(a) \)
donde F(x) es la antiderivada de f(x).

La fórmula dada generalmente se llama Fórmula de Newton-Leibniz en honor al físico inglés Isaac Newton (1643-1727) y al filósofo alemán Gottfried Leibniz (1646-1716), quienes lo recibieron de forma independiente y casi simultáneamente.

En la práctica, en lugar de escribir F(b) - F(a), usan la notación \(\left. F(x)\right|_a^b \) (a veces se le llama doble sustitución) y, en consecuencia, reescribe la fórmula de Newton-Leibniz de esta forma:
\(S = \int\limits_a^b f(x) dx = \left. F(x)\right|_a^b \)

Al calcular una integral definida, primero encuentre la primitiva y luego realice una doble sustitución.

Basándonos en la fórmula de Newton-Leibniz, podemos obtener dos propiedades de la integral definida.

Propiedad 1. La integral de la suma de funciones es igual a la suma de las integrales:
\(\int\limits_a^b (f(x) + g(x))dx = \int\limits_a^b f(x)dx + \int\limits_a^b g(x)dx \)

Propiedad 2. El factor constante se puede sacar del signo integral:
\(\int\limits_a^b kf(x)dx = k \int\limits_a^b f(x)dx \)

Calcular las áreas de figuras planas usando una integral definida.

Con la ayuda de la integral, es posible calcular las áreas no solo de trapecios curvos, sino también de figuras planas de un tipo más complejo, por ejemplo, el que se muestra en la figura. La figura P está limitada por las rectas x = a, x = b y gráficas de funciones continuas y = f(x), y = g(x), y en el segmento [a; b] la desigualdad \(g(x) \leq f(x) \) se cumple. Para calcular el área S de dicha figura procederemos de la siguiente manera:
\(S = S_(ABCD) = S_(aDCb) - S_(aABb) = \int\limits_a^b f(x) dx - \int\limits_a^b g(x) dx = \)
\(= \int\limits_a^b (f(x)-g(x))dx \)

Entonces, el área S de una figura delimitada por rectas x = a, x = b y gráficas de funciones y = f(x), y = g(x), continuas en el segmento y tales que para cualquier x del segmento [a; b] se satisface la desigualdad \(g(x) \leq f(x) \), calculada mediante la fórmula
\(S = \int\limits_a^b (f(x)-g(x))dx \)

Tabla de integrales indefinidas (antiderivadas) de algunas funciones

$$ \int 0 \cdot dx = C $$ $$ \int 1 \cdot dx = x+C $$ $$ \int x^n dx = \frac(x^(n+1))(n+1 ) +C\;\; (n \neq -1) $$ $$ \int \frac(1)(x) dx = \ln |x| +C $$ $$ \int e^x dx = e^x +C $$ $$ \int a^x dx = \frac(a^x)(\ln a) +C \;\; (a>0, \;\; a \neq 1) $$ $$ \int \cos x dx = \sin x +C $$ $$ \int \sin x dx = -\cos x +C $$ $ $ \int \frac(dx)(\cos^2 x) = \text(tg) x +C $$ $$ \int \frac(dx)(\sin^2 x) = -\text(ctg) x +C $$ $$ \int \frac(dx)(\sqrt(1-x^2)) = \text(arcsin) x +C $$ $$ \int \frac(dx)(1+x^2 ) = \text(arctg) x +C $$ $$ \int \text(ch) x dx = \text(sh) x +C $$ $$ \int \text(sh) x dx = \text(ch )x+C$$

El área de un trapecio curvilíneo es numéricamente igual a una integral definida

Cualquier integral definida (que exista) tiene un muy buen significado geométrico. En clase dije que una integral definida es un número. Y ahora ha llegado el momento de exponer otro hecho útil. Desde el punto de vista de la geometría, la integral definida es AREA.

Eso es, la integral definida (si existe) corresponde geométricamente al área de una determinada figura. Por ejemplo, considere la integral definida. El integrando define una determinada curva en el plano (siempre se puede dibujar si se desea), y la integral definida en sí es numéricamente igual al área correspondiente trapecio curvo.

Ejemplo 1

Esta es una declaración de asignación típica. Primero y el momento más importante soluciones - dibujo. Además, el dibujo debe construirse. BIEN.

Al construir un dibujo, recomiendo el siguiente orden: en primer lugar es mejor construir todas las líneas rectas (si existen) y solo Entonces– parábolas, hipérbolas, gráficas de otras funciones. Es más rentable construir gráficas de funciones. punto por punto, la técnica de construcción punto por punto se puede encontrar en el material de referencia.

Allí también podrá encontrar material muy útil para nuestra lección: cómo construir rápidamente una parábola.

En este problema, la solución podría verse así.
Dibujemos el dibujo (tenga en cuenta que la ecuación define el eje):

No sombrearé el trapecio curvo; aquí es obvio de qué área estamos hablando. La solución continúa así:

En el segmento se ubica la gráfica de la función. por encima del eje, Es por eso:

Respuesta:

¿Quién tiene dificultades para calcular la integral definida y aplicar la fórmula de Newton-Leibniz? , consulte la conferencia Integral definida. Ejemplos de soluciones.

Una vez completada la tarea, siempre es útil mirar el dibujo y averiguar si la respuesta es real. En este caso, contamos el número de celdas en el dibujo "a ojo"; bueno, habrá alrededor de 9, parece ser cierto. Está completamente claro que si obtuviéramos, digamos, la respuesta: 20 unidades cuadradas, entonces es obvio que se cometió un error en alguna parte: 20 celdas claramente no encajan en la figura en cuestión, como máximo una docena. Si la respuesta es negativa, entonces la tarea también se resolvió incorrectamente.

Ejemplo 2

Calcular el área de una figura delimitada por rectas, y eje

Este es un ejemplo para que lo resuelvas por tu cuenta. Solución completa y respuesta al final de la lección.

Qué hacer si se localiza el trapezoide curvo. debajo del eje?

Ejemplo 3

Calcula el área de la figura delimitada por líneas y ejes de coordenadas.

Solución: Hagamos un dibujo:

Si un trapezoide curvo completamente ubicado debajo del eje, entonces su área se puede encontrar usando la fórmula:
En este caso:

¡Atención! No deben confundirse los dos tipos de tareas:

1) Si te piden que resuelvas simplemente una integral definida sin ningún significado geométrico, entonces puede ser negativa.

2) Si te piden encontrar el área de una figura usando una integral definida, ¡entonces el área siempre es positiva! Es por eso que el menos aparece en la fórmula que acabamos de comentar.

En la práctica, la mayoría de las veces la figura se ubica tanto en el semiplano superior como en el inferior y, por lo tanto, de los problemas escolares más simples pasamos a ejemplos más significativos.

Ejemplo 4

Encuentra el área de una figura plana delimitada por las rectas , .

Solución: Primero necesitas hacer un dibujo. En términos generales, al construir un dibujo en problemas de área, lo que más nos interesa son los puntos de intersección de las líneas. Encontremos los puntos de intersección de la parábola y la recta. Esto se puede hacer de dos formas. El primer método es analítico. Resolvemos la ecuación:

Esto significa que el límite inferior de integración es , el límite superior de integración es .
Es mejor no utilizar este método, si es posible.

Es mucho más rentable y rápido construir líneas punto por punto, y los límites de la integración se aclaran "por sí solos". La técnica de construcción punto por punto para varios gráficos se analiza en detalle en la ayuda. Gráficas y propiedades de funciones elementales.. Sin embargo, a veces todavía es necesario utilizar el método analítico de encontrar límites si, por ejemplo, el gráfico es lo suficientemente grande o la construcción detallada no reveló los límites de integración (pueden ser fraccionarios o irracionales). Y también consideraremos un ejemplo de este tipo.

Volvamos a nuestra tarea: es más racional construir primero una línea recta y solo luego una parábola. Hagamos el dibujo:

Repito que cuando se construye puntualmente, los límites de integración suelen descubrirse "automáticamente".

Y ahora la fórmula de trabajo: Si en un segmento hay alguna función continua Mayor qué o igual a alguna función continua, entonces el área de la figura correspondiente se puede encontrar usando la fórmula:

Aquí ya no es necesario pensar en dónde se encuentra la figura: encima o debajo del eje y, en términos generales, importa qué gráfico es MÁS ALTO(en relación con otro gráfico), y cual esta ABAJO.

En el ejemplo considerado, es obvio que en el segmento la parábola está ubicada por encima de la línea recta y, por lo tanto, es necesario restar de

La solución completa podría verse así:

La figura deseada está limitada por una parábola arriba y una línea recta abajo.
Sobre el segmento, según la fórmula correspondiente:

Respuesta:

De hecho, la fórmula escolar para el área de un trapecio curvilíneo en el semiplano inferior (ver ejemplo simple No. 3) es caso especial fórmulas . Dado que el eje está especificado por la ecuación y la gráfica de la función se encuentra debajo del eje, entonces

Y ahora un par de ejemplos para su propia solución.

Ejemplo 5

Ejemplo 6

Encuentra el área de la figura delimitada por las líneas , .

Al resolver problemas que implican calcular el área usando una integral definida, a veces ocurre un incidente divertido. El dibujo se hizo correctamente, los cálculos fueron correctos, pero por descuido... se encontró el área de la figura incorrecta, así es exactamente como su humilde servidor la cagó varias veces. Aquí caso real de vida:

Ejemplo 7

Calcula el área de la figura delimitada por las rectas , , , .

Primero hagamos un dibujo:

La figura cuyo área necesitamos encontrar está sombreada en azul.(Mire atentamente el estado: ¡cómo es limitada la figura!). Pero en la práctica, por falta de atención, a menudo surge que es necesario encontrar el área de una figura que está sombreada. verde!

Este ejemplo también es útil porque calcula el área de una figura usando dos integrales definidas. En realidad:

1) En el segmento sobre el eje hay una gráfica de una línea recta;

2) En el segmento sobre el eje hay una gráfica de una hipérbola.

Es bastante obvio que las áreas pueden (y deben) agregarse, por lo tanto:

Respuesta:

Ejemplo 8

Calcula el área de una figura delimitada por líneas,
Presentemos las ecuaciones en forma “escolar” y hagamos un dibujo punto por punto:

Del dibujo queda claro que nuestro límite superior es "bueno": .
¿Pero cuál es el límite inferior? Está claro que esto no es un número entero, pero ¿qué es? Tal vez ? Pero ¿dónde está la garantía de que el dibujo está hecho con perfecta precisión? Bien puede resultar que... O la raíz. ¿Qué pasa si construimos el gráfico incorrectamente?

En tales casos, hay que dedicar más tiempo y aclarar analíticamente los límites de la integración.

Encontremos los puntos de intersección de una recta y una parábola.
Para ello resolvemos la ecuación:

Por eso, .

La solución adicional es trivial, lo principal es no confundirse con sustituciones y signos, los cálculos aquí no son los más simples.

en el segmento , según la fórmula correspondiente:

Respuesta:

Bueno, para concluir la lección, veamos dos tareas más difíciles.

Ejemplo 9

Calcula el área de la figura delimitada por las rectas , ,

Solución: representemos esta figura en el dibujo.

Para realizar un dibujo punto por punto necesitas saber apariencia sinusoides (y generalmente útil saber gráficas de todas las funciones elementales), así como algunos valores de seno, se pueden encontrar en tabla trigonométrica. En algunos casos (como en este caso), es posible construir un dibujo esquemático en el que, en principio, se deben representar correctamente las gráficas y los límites de integración.

Aquí no hay problemas con los límites de integración; se derivan directamente de la condición: "x" cambia de cero a "pi". Tomemos una decisión adicional:

En el segmento, la gráfica de la función se ubica encima del eje, por lo tanto:

(1) Puedes ver cómo los senos y cosenos se integran en potencias impares en la lección. Integrales de funciones trigonométricas.. Esta es una técnica típica: pellizcamos un seno.

(2) Usamos la identidad trigonométrica principal en la forma

(3) Cambiemos la variable, entonces:

Nuevas áreas de integración:

Cualquiera que sea realmente malo con las sustituciones, que tome una lección. Método de reemplazo en integral indefinida . Para aquellos que no entienden bien el algoritmo de reemplazo en una integral definida, visite la página Integral definida. Ejemplos de soluciones.